Report VII: Determination of Diffusion coefficient for the Acetone (A) – Air Air (B) system Informe VII: Determinación del coeficiente de difusividad para el sistema Acetona (A) – Aire Aire (B) FORERO, Jorge; GONZÁLEZ, Daniela; ROJAS, Nicolás Laboratorio de Propiedades Termodinámicas y de Transporte. Grupo 1 Departamento de ingeniería Química y Ambiental Universidad Nacional de Colombia – Sede Sede Bogotá I. Objetivos
Determinar el coeficiente de difusión de un vapor de acetona a través de una fase estancada gaseosa (Aire). Comparar los valores hallados con valores reportados en la literatura. Relacionar los coeficientes de la primera y segunda ley de la termodinámica en la aplicación de dicho coeficiente.
II. Marco teóri co
Los procesos de transferencia de masa son fenómenos impulsados por la tendencia de un sistema para llegar al equilibrio termodinámico, pero aquí la fuerza motriz del fenómeno involucra la diferencia en el potencial químico de una especie o más especies. El estudio del equilibrio provee información acerca de las condiciones a las cuáles éste se puede dar, sin embargo, no provee información acerca del mecanismo de transferencia o el tiempo en el cual se llega a dicha condición. Para el estudio de este fenómeno de transporte se puede tomar, para ciertos sistemas que el potencial químico es equivalente a concentración. El transporte de masa se estudia por medio de dos mecanismos, el difusional y el convectivo. Mecanismos de Transferencia de Masa
Difusional
En el caso específico de los gases, una explicación lógica de este fenómeno de transporte se puede deducir a través de la teoría cinética de los gases. A temperaturas mayores al cero absoluto las moléculas están en un movimiento aleatorio. En este movimiento neto las moléculas de una y otra especie chocan aleatoriamente una con otra y el movimiento de cada molécula se puede dar en distintas direcciones, sin embargo, el movimiento neto de las sustancias va desde su mayor potencial químico hasta el menor. Este movimiento neto tiene como única fuerza motriz la diferencia de potenciales químicos, es el estudiado estudiado en la transferencia de masa difusional. Cabe anotar que este mecanismo es lento en comparación al mecanismo convectivo. El mecanismo de difusión es descrito por la ley de Fick en donde el flujo por
unidad de área es proporcional al gradiente de concentración: ⃗ = ∆
Ecuación 1.
Donde es el coeficiente de difusión de un componente A en un medio B. Convectivo El mecanismo convectivo es un proceso más complejo para su estudio que el mecanismo difusional. En este fenómeno de transporte se estudia la transferencia de masa entre dos fases distintas en contacto. La ecuación para transferencia de masa convectiva se generaliza de una manera análoga a la ley de enfriamiento de Newton: = ∆
Ecuación 4. Donde es un parámetro geométrico de las sustancias asociado con su volumen normal de ebullición y es un parámetro función de los potenciales de LennardJones de las sustancias. Se puede ver de esta relación la dependencia del coeficiente de difusión con la temperatura y la presión y se puede proponer una relación para su cálculo a distintas condiciones de temperatura y presión (menor a 25 atm):
Ecuación 2.
Donde el coeficiente depende de las condiciones del sistema, la geometría del mismo y de las sustancias empleadas. Coeficiente de Difusividad
El coeficiente de difusión es la constante de proporcionalidad en la ley de Fick y de esta pueden obtenerse sus unidades fundamentales:
Ecuación 5. III. Procedimiento
A continuación, se muestran el algoritmo para la determinación del coeficiente de difusividad para el sistema Acetona-Aire empleando la celda de Arnold:
Ecuación 3. Para el cálculo teórico de del coeficiente de difusividad se han propuesto diversas correlaciones y ecuaciones, una de ellas ampliamente utilizada es la ecuación de Hirschfelder utilizando los potenciales de Lennard-Jones, propuesta para gases no polares no reaccionantes:
Figura 1. Algoritmo de trabajo para la determinación del coeficiente de difusividad.
IV. Equipo
El equipo a utilizar es una celda de Arnold, como la que se muestra en la figura 2.
Figura 2. Material y equipo de laboratorio requerido para realizar la práctica.
Se tiene una cuba con agua a una temperatura conocida, que mantendrá todo el sistema a esa misma temperatura. Se tiene un controlador de la temperatura, para ajustar la temperatura aproximada a la que se desea que esté el agua. El equipo tiene un medidor de la temperatura, pero es preferible medir la temperatura del agua manualmente con un termómetro de mercurio. Al interior de la cuba hay un tubo angosto que contendrá el líquido a difundir en el gas, conectado a una tubería por donde pasará aire en flujo laminar. El aire debe estar a la temperatura del sistema, por lo que pasa primero por dos serpentines de cobre al interior de la cuba, antes de entrar en contacto con la acetona. El aire comprimido se filtra y pasa por una columna de sílice en donde el agua en el aire será absorbida. A continuación, entra a los amortiguadores de flujo que sirven como colectores de partículas, para después entrar a los serpentines y finalmente al tubo de difusión. El tubo de difusión posee una tubuladura conectada a un manómetro de agua que permite medir la presión manométrica a la cual está circulando el aire en el tubo de difusión.
Se tiene una válvula reguladora del flujo de aire y se puede medir el caudal con un burbujómetro, que consiste en una probeta, con una película jabonosa. conectada a una salida del aire. Se mide el tiempo que demora una burbuja en ascender a determinada altura. Se tiene un teodolito a disposición, que consiste en un conjunto de lupas que apuntan al capilar que contiene la muestra de acetona, a la que se le va a medir la altura con una regla instalada en el equipo (papel milimetrado en la figura). V. Resultados
Una vez estabilizado el sistema (temperatura y presión constante, se realizaron mediciones de la altura de la columna de líquido (acetona) en el interior del tubo angosto cada 10 minutos. La tabla 1 se construye a partir de estos valores. t (min) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
z (cm) 5,8 5,9 5,95 6,03 6,12 6,18 6,22 6,25 6,31 6,35
Tabla 1. Variación del nivel de acetona en el tubo a través del tiempo.
Los cálculos para determinar el coeficiente de difusión en la celda de Arnold, se hacen asumiendo estado estable a pesar que el sistema cambia con el tiempo, este tipo de análisis se llama pseudoestable.
La acetona se vaporiza y se difunde dentro de la fase gaseosa, cambiando progresivamente el nivel de líquido en el tubo de la celda. Si la longitud de la trayectoria de difusión varía muy poco en un tiempo relativamente largo, puede utilizarse el modelo de difusión pseudoestacionario. Es decir que para cada Z (altura del líquido), NAZ se calcula en condiciones estacionarias. Adicionalmente si no existe contraflujo de aire (NBZ = 0) y la difusión es unidireccional la ecuación (1) se expresa como:
Ecuación 10. La ecuación 9 permite evaluar la difusividad a partir de datos experimentales de la variación de nivel de la acetona en el tiempo. Se tienen los siguientes datos experimentales para el sistema nombrado. Procedemos a determinar el factor ( − )
en cada intervalo de tiempo y construimos la siguiente gráfica:
Ecuación 6. Integrando:
Ecuación 7. Experimentalmente se observará una disminución en el nivel del líquido a medida que avanza el tiempo, entonces:
Figura 3. Regresión lineal del ajuste de mínimos cuadrados.
Realizando una regresión lineal de estos datos obtenemos la siguiente expresión: ( ) = 1 ∙ 10− + 0,0004 2
Acto seguido, calculamos la constante k, definida como: Ecuación 8. Del análisis pseudoestacionario:
Ecuación 11. La tabla 2 muestra las propiedades de la acetona requeridas para resolver la ecuación 11.
Ecuación 9. donde la concentración total c:
ρac a 43°C (g/m3) PMac (g/mol) Tc (K) Pc (atm)
773590 58,08 508,2 46,3914474
Tabla 2. Propiedades de la acetona en las condiciones de trabajo
Para determinar la presión de vapor de la acetona a 43°C se construyó la gráfica presentada a continuación que muestra la presión de vapor del compuesto en función de la temperatura.
Adicionalmente, se reporta una función polinómica para hallar el coeficiente de difusividad en función de la temperatura para este sistema en específico: = 0,05321 + 3,2888 ∙ 10− + 6,7556 ∙ 10−
Donde se obtiene en / y la temperatura se debe ingresar en K. Así, para una temperatura de 43°C: = 0,05321 + 3,2888 ∙ 10− (316) + 6,7556 ∙ 10− (316) = 0,118
Figura 4. Presión de vapor de la acetona como función de la temperatura.
Como se puede apreciar, a esta temperatura de operación, la presión de vapor de la acetona toma un valor de 470 mmHg. Procedemos a resolver la ecuación 11, donde se obtiene: = 0,00390258
Finalmente, se utiliza la siguiente relación para calcular el coeficiente de difusividad de la acetona en aire: =
Ecuación 12.
Donde m es la pendiente determinada de la regresión lineal. 1 ∙ 10− = = 2 2(0,004) − = 1,281 ∙ 10 = 0,1281
Finalmente, empleamos el método de Hirschfelder para calcular este coeficiente de difusividad (ver ecuación 4), donde, los coeficientes σ y / ya están tabulados para el aire (ver tabla 1 de Anexos), mientras que para la acetona es necesario definirlos según: Ecuación 13. Ecuación 14. Como se puede ver, son necesarias las propiedades críticas de la acetona, que son consultadas en la tabla 2, así: σ (Å) Acetona Aire
εA/k (K) 5,419 391,314 3,617 97
Tabla 3. Constantes de Lennard-Jones para las sustancias de trabajo.
Determinando las constantes de Leonnard-Jones conjugadas, es posible determinar los términos involucrados en la ecuación de Hirschfelder: σAB (Å)
4,518
εAB/k (K) εAB/kT Tk/εAB ΩD
194,827 0,617 1,622 1,163
Tabla 4. Constantes de Lennard-Jones conjugadas.
Donde ΩD se lee a partir de Tk/εAB en la tabla de las integrales de colisión basadas en los potenciales de Lennard-Jones (ver tabla 2 de Anexos). Reemplazando estos valores en el modelo de Hirschfelder se obtiene: = 0,136 VI. Análisis de Resul tados
Se elige el modelo de Hirschfelder como el valor verdadero de la difusividad de la acetona en aire, ya que esta es una expresión establecida empíricamente, involucrando los términos de la temperatura y presión de operación, además de tener en cuenta factores como las fuerzas de interacción y colisión entre las moléculas del sistema. Partiendo de esta idea, se procede a hallar los errores relativos de los otros resultados obtenidos. Dichos errores se presentan a continuación, en la tabla 5. Hirschfelder Experimental Yaws
0,1358 Error (%) 0,1281 5,63 0,1181 12,955
Tabla 5. Errores relativos para cada modelo empleado.
Como se puede observar, los valores obtenidos para la difusividad de la acetona en aire son muy cercanos entre sí, presentando errores muy pequeños. Cabe resaltar el valor obtenido experimentalmente, ya que como se muestra en la gráfica, presenta un error aproximado del 6% con respecto al reportado en la literatura, lo que significa que se cumplió
satisfactoriamente el principal objetivo de la práctica. A pesar de que experimentalmente no se obtuvo el valor exacto de la difusividad de la acetona a las condiciones de trabajo, puede considerarse este modelo como una buena aproximación al valor real. Debido a la exactitud del modelo experimental, podemos deducir que las suposiciones iniciales son válidas, por lo menos en este caso. La suposición de un estado pseudoestable del sistema y la ausencia de flujo de aire hacia la acetona permitieron la determinación de con resultados satisfactorios, simplificando el trabajo realizado. VII. Conclusiones:
El valor obtenido para el coeficiente de difusión de manera experimental mostró el menor error comparado con el método de Yaws. Se pueden atribuir los errores experimentales a la suposición de concentración nula en la zona de la altura mínima.
VIII. Referencias
R.Treybal. (1988). Mass-transfer operation. USA. McGraw-Hill Book Company; 3rd edition. J. Welty. (2008) Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer. USA. John Wiley and Sons, Inc; 5th edition. Yaws' Handbook of Thermodynamic and Physical Properties of Chemical Compounds.
IX. Anexos
Anexo 1. Constantes de Lennard-Jones calculadas a partir de datos de viscosidad.
Anexo 2. Integrales de colisión basadas en los potenciales de Lennard-Jones.
