4.1 4.1 En mayo mayo 1 de 195 1953, 3, una una per perso sona na abri abrió ó una una cuen cuenca ca de ahor ahorro ro depo deposi sita tand ndo o $50 $50 mensualmente mensualmente en un banco local. Si la tasa de interés interés sobre la cuenta cuenta era del 0.25% mensua mensuall ¿en que mes y año año estaría estaría (a) situa situada da P si se se utiliza utiliza el el factor factor P/A P/A con i = 0.25 0.25% %y (b) situada F si se utilizara i = 0.25 y n = 30 meses? DATOS
Solucion
a)
a ) P R ( P / A, i 0.25%, t 30)
P?
P 50( 28.8679 )
P / A 28 .8679
P $1443 .40
t 30 meses
b ) F R ( F / A, i 0.25%, t 30)
R $50
F 50(31.1133)
i 0.25 %
F $1,555.70
b) F ? F / A 31 .1133 t 30 meses R $50 i 0.25 %
“P” se encuentra situado el 1 de abril de 1953 ya que es un periodo antes que la renta y “F” durante treinta meses estará situado el 1 de noviembre de 1955
4.2 4.2 Dete Determ rmin inee la cant cantid idad ad de din din ero ero que que deb debee depo deposi sita tarr una una años años para para pode poderr reti retira rarr $ 10,0 10,000 00 anua anualm lmen ente te dura durant ntee 10 años años 15 años años si la tasa tasa de interé interéss es del del 11% 11% anua anual. l.
pers person onaa dent dentro ro de de 3 empe empeza zand ndo o dent dentro ro de
DATOS F $12,000 t 18años t R 6años i 18%
1 i
t
Solucion
P3
1 1 i t P10 R R i
P3
6 5 , 3 7 0 . 4 8 1 0 . 1 1
P3
$ 18686 .
1 1 0.11 ( 9 ) P10 10 ,000 10 ,000 0.11 P10 $ 65 ,370 .48 P10 F 3
F 3
( 12 )
4.3 ¿Cuánto dinero se tendría que depositar durante 5 meses consecut ivos empezando dentro de 2 años si se desea poder retirar $ 50,000 50,000 dentro de 12 años? Suponga que la tasa de interés interés es del 6% nominal nominal anual anual compuesto compuesto mensualmen mensualmente? te? DATOS F $50,000 t 12 años t R 5meses i 6% anual / mensual Solucion
i pp 1
J
P F 1 i pp
t
1 n
P 50 ,000 1 6 .2%
12
0.06 1 12
i pp 1
R
t 11 .58
P $24 ,996 .97
R
P *i
1 1 i
t
24,996.97 6% (5 ) 1 1 6%
R $5,934.19
i pp 6.2 %
4.4 ¿Cuánt ¿Cuánto o dine dinero ro anua anuall tendrí tendríaa que deposi depositar tar un hombre hombre durant durantee 6 años años empe empezan zand do dentro de 4 años años a partir de ahora si desea desea tener $12,000 dentro de 18 años? Suponga Suponga que la tasa de interés es del 18% nominal nominal anual anual compuesta compuesta anualmen anualmente. te. DATOS F $12,000 t 18años t R 6años i 18%
P F 1 i
R
t
P (12 ,000 )1 18 % P $ 3,192 .46
12
R
P *i
1 1 i
t
3,192.4618% (6) 1 1 18%
R $1,553.80
4.3 ¿Cuánto dinero se tendría que depositar durante 5 meses consecut ivos empezando dentro de 2 años si se desea poder retirar $ 50,000 50,000 dentro de 12 años? Suponga que la tasa de interés interés es del 6% nominal nominal anual anual compuesto compuesto mensualmen mensualmente? te? DATOS F $50,000 t 12 años t R 5meses i 6% anual / mensual Solucion
i pp 1
J
P F 1 i pp
t
1 n
P 50 ,000 1 6 .2%
12
0.06 1 12
i pp 1
R
t 11 .58
P $24 ,996 .97
R
P *i
1 1 i
t
24,996.97 6% (5 ) 1 1 6%
R $5,934.19
i pp 6.2 %
4.4 ¿Cuánt ¿Cuánto o dine dinero ro anua anuall tendrí tendríaa que deposi depositar tar un hombre hombre durant durantee 6 años años empe empezan zand do dentro de 4 años años a partir de ahora si desea desea tener $12,000 dentro de 18 años? Suponga Suponga que la tasa de interés es del 18% nominal nominal anual anual compuesta compuesta anualmen anualmente. te. DATOS F $12,000 t 18años t R 6años i 18%
P F 1 i
R
t
P (12 ,000 )1 18 % P $ 3,192 .46
12
R
P *i
1 1 i
t
3,192.4618% (6) 1 1 18%
R $1,553.80
4.5 Calcule Calcule el el valor valor presen presente te de las sigu siguien ientes tes serie seriess de ingre ingresos sos y gasto gasto si si la tasa tasa de interés interés es del 8% anual compuesto anualmente. Años 0 1-6 7-11
Ingreso $ 12,000 800 900
Gasto $ 1,000 100 200
Solución
R I G R0 12,000 1,000 11,000 R1 6 800 100 700 R7 11 900 200 700 R111 $700 anual
P111 P111 P111
1 (1 i ) t R R111 i 1 (1 8%) (10 ) 700 700 8 % $5,397.06
P111 F 0 P0 F 0 (1 i ) R0 t
P0 5,397 .06 (1 8%) (1) 11,000 P0 15,997 .27
4.6 ¿Qué depósitos depósitos mensuales mensuales deben deben realizarse realizarse con el fin de acumular $ 4,000 4,000 dentro de 5 años, si el primer primer depósito depósito se realizara realizara en 6 meses a partir de de ahora y el interés interés es un 9% nominal anual compuesto mensualmente?
Datos: F = $4,000 J = 9% anual/mensual
n = 12 t = 4.5 años
Flujo de efectivo:
Solución: R
F J
n
1 J n
nt
-1
4,000 0.09
1 0.09 n
12
12*4.5
$ 6036 / mes 1
con el fin de acumular acumular los los $ 4,000 dentro dentro de 5 años años deberán deberán Respuesta: Por lo tanto con 36 depositarse $ 60. cada mes, pariendo en 6 meses a partir de ahora.
4.7 Si un hombre hombre deposita deposita $ 40,000 40,000 ahora ahora en una cuenta cuenta que ganara ganara intere intere ses a una tasa tasa del 7% anual compuesto trimestralmente. ¿Cuánto dinero podrá retirar cada 6 meses si efectúa su primer retito dentro de 15 años y desea hacer un total de 10 retiros?
Datos: F = $40,000 J = 7% anual/trimestral
Flujo de efectivo:
n=4 t = 14.5 años
Solución: F14.5 P (1 J ) nt 40,000 (1 0.07 ) 4*14.5 $ 109,409 80 n 4
J anual/semestral = ?
i efectivo anual 1 J
n n - 1 1 0.07 4 4 - 1 0.072 7.2% anual
J anual semestral n 1 i 1 / n - 1 2 1 0.072 1 / 2 - 1 0.071 7.1% anual/seme stral
n 109,409 80 0.0712 $ 13,188 76 /semestre R nt 2 ( 5) 1 - 1 J 1 - 1 0.071 n 2 P J
Respuesta: Depositando los $40,000 ahora, el hombre podrá retira r $13,188 76 cada 6 meses dentro de 15 años. 4.8 ¿Cuál es el valor presente de la siguiente serie de ingresos y desembolsos si la tasa de interés es del 8% nominal anual compuesto semestralmente?
Año 0 1.5 6.8 9.14
Ingreso $ 0 6,000 6,000 8,000 F P (1 J ) nt n
Gasto $ 9,000 2,000 3,000 5,000
Presente $ 9,000 78 10,123 – 6,000 + 2,000 = 6,123 78 9,280 53 – 6,000 + 3,000 = 6,280 53 7,357 59 – 8,000 +5,000 = 4,357 59
J = 8% anual/semestral
4.9 Se desea realizar una inversión de un solo pago en el sexto cumple años de una niña para entregarle $ 1,500 en cada cumpleaños desde que ella cumpla 17 hasta los 22 años, inclusive en ambos. Si la tasa de interés es del 8% anual. ¿Cuál es la cantidad global que debe invertirse?
Datos: i = 8% anual R = $ 1,500/anual
P=?
Flujo de efectivo:
Solución:
1 - 1 i t 1 - 1 0.08 6 32 P16 R 1,500 $ 6,934 i 0.08 P6
F (1 i)
t
6,934 32 10
(1 0.08)
$ 3,21193
Respuesta : Para poder entregarle $1,500 en cada cumpleaños desde los 17 hasta los 22, incluyendo ambos, habría que invertir $ 3,211 93 en el sexto cumpleaños de la niña. 4.10 Para el diagrama de flujo de efectivo que aparece enseguida, calcule la cantidad de dinero en el año 4 que seria equivalente a todo el flujo de efectivo que se muestra si la tasa de interés es del 10% anual.
Flujo de efectivo:
Datos: i = 10% anual
R 1 = $ 500 R2 = $ 800
Solución: VTE 4 F4 ( R $500) P4 (R $800)
1 i t - 1 1 1 i t 1 VTE 4 R1 R2 t i i (1 i) 1 0.10 5 - 1 1 1 0.10 10 1 $ 7,52133 VTE 4 500 800 1 0.10 0.10 (1 0.10) Respuesta : La cantidad de dinero equivalente a t odo el flujo mostrado con anterioridad ubicada en el año 4 es igual a $ 7,521 33. 4.11 Para el diagrama de flujo de efectivo que aparece enseguida, calcule la cantidad de dinero en el cuarto año que sería equivalente a todo el flujo de efectivo que se mues tra si la tasa de interés es de 1% mensual. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15 Años
$500 $800
F5=P 6 $4,397.08
P01=$2,420.64
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15 Años
$800
P 02=$1,997.18
0
1
2
$500
3
4
Flujo de efectivo equivalente: 0=$4,417.82
0
1
4=$7,122
2
3
4
4.12 Si un hombre deposita $100 mensualmente durante 5 años en una cuenta de ahorros, efectuando el primer depósito dentro d e un mes. Cuánto tendrá en su cuenta después de haber efectuado el último depósito, suponiendo que la tasa de interés es del, 0.5% mensual durante los tres primeros años y 0.75% mensual, de ese momento en adelante. F5=$7,325.07 R=$100
F3=P4
Años 1 0
11
13 1
=0.5%mensual
23
25
35
2
37 3
47
49 4
=0.75%mensual
F3 con R= $100 mensuales durante los 3 primeros años con i=0.5% mensual:
F5 para el P 3 En los dos años restantes con i=0.75% mensual.
59 5
F 5 = $ 4 , 7 0 6 . 2 2 P
4=
$3,933.61
A ños 3
4
5
=0 .7 5 % m e n s u a l
F3 con R= $100 mensuales durante los 2 últimos años con i=0.75% mensual:
F5=$2,618.85 F 3=P 4
Años 3
37
47
4
49
=0.75% mensual
Valor futuro total en el año 5 4706.22+2618.85
59
5
4.13 Un individuo obtiene en préstamo$8000 a una tasa de interés de 12% nominal anual compuesto semestralmente; desea reembolsar el dinero efectuando cinco pagos semestrales iguales, el primer pago sería hecho tres años después de recibir el dinero. ¿Cuál sería el monto de los pagos? P21/2=$10,705.8 P=$8000
R=$2,541.52
Años 1/2 0
1/2 1
1/2 2
=6%semestral
J=12% anual/semestral T=2 ½ años n=2
1/2 3
1/2 4
5
4.14 Un estudiante que se acaba de graduar en la universidad ha planeado iniciar un fondo de pensiones. Es su deseo retirar dinero cada año dentro de 30 años empezando dentro de 25 años. El fondo de pensiones gana un interés del 7% si deposita $1000 anual por los primeros 24 años. ¿Qué cantidad anual uniforme podrá retirar cuando se pensione dentro de 25 años? F24=P25=$58,177
R=$4,689
$1000
Años 0
1
2
23
24
0
1
2
28
29
30
El valor futuro para el período de ahorro de $1000 anuales, por 24 años con i=7% anual:
La renta anual, durante 30 años, con el principal del período de 24 años con i=7% anual:
4.15 ¿Cuánto dinero se tendrá que depositar cada mes empezando dentro de cinco me ses si se desea tener $5000 dentro de tres años, suponiendo que la tasa de interés es del 8% nominal anual compuesto mensualmente? F=$5000 R=$140.62
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0
13 14 1
22 23
25 26 2
J= 8% anual/mensual n= 12 t=2 2/3 años
Renta mensual, para un valor futuro de $5000, con i=0.67% mensual.
4.16 ¿Cuánto dinero se debe depositar el 1 de enero de 1999 y cada 6 meses a partir de entonces hasta julio 1 de del 2004, con el fin de retirar $1000 cada 6 meses durante 5 años empezando el 1 de enero del 2005? El interés es 12% nominal anual comp uesto semestralmente.
Años
24 35 3
j n*t 1 1 n P11 R2 * j n 0.12 10 1 1 2 P11 1000 * 0.12 2 P11
$7360.09
P11
F 11 j n
F 11 * R 2
j 1 n
n *t
1
0.12 2
7360 .09 * R 2
R2
12
0.12 1 1 2
$436.28
Respuesta: Se deben depositar $436.28. 4.17 Una pareja compra una póliza de seguros que tiene planeado utilizar para financiar parcialmente la educación universitaria de su hija. Si la póliza entrega $35000 dentro de 10 años, ¿Qué depósito global adicional debe efectuar la pareja dentro de 12 años con el fin de que su hija pueda retirar $20000 anualmente durante 5 años empezando dentro de 18 años? Suponga que la tasa de interés es 10% anual.
1 1 i t P17 R * i 1 1 0.10 t P17 20000 * 0.10 P17 $75815.74 F 17
350001 i x1 i (*) 7
P17 F 17
5
(**)
Igualando (*) con (**) y despejando x tenemos: x
x
P17 35000(1 i )
7
1 i 5 75815.74 35000 (1 0.10) 7
1 0.10 5
x $4725.61
Respuesta: La pareja debe depositar la suma de $4725.61 en el año 12. 4.18 Un empresario compró un edif icio y aisló el techo con espuma de 6 pulgadas, lo cual redujo la cuenta de calefacción en $25 mensual y el costo del aire acondicionado en $20 mensual. Suponiendo que el invierno dura los primeros 6 meses del año y que el verano los siguientes 6 meses, ¿Cuál fue la cantidad equivalente de sus ahorros después de los primeros 3 años a una tasa de interés del 1% mensual?
1 i 6 1 1 i 6 1 30 18 6 24 12 0 F 36 R1 * 1 i 1 i 1 i R 2 * 1 i 1 i 1 i i i
F 36
1 0.01 6 1 1 0.01 6 1 30 18 6 24 12 0 25 * 1 0.01 1 0.01 1 0.01 20 * 1 0.01 1 0.01 1 0.01 0 . 01 0 . 01
F 36 $972.44
Respuesta: La cantidad equivalente a sus ahorros es $972.4 4 4.19 ¿En qué año tendría una persona que hacer un solo depósito de $10000 si ya venia depositando $1000 cada año durante los años 1 a 4 y desea tener $17000 dentro de dieciocho años? Use una tasa de interés del 7% anual compuesto anualmente. F 18 P18 x (1 i ) x x x
log( F 18 ) log( P18 x ) log(1 i) log(17000) log(10000) log(1 0.07)
x 8
t=18-x t=18-8=10 Respuesta: La persona debe hacer el depósito dentro de 10 años. 4.20 Calcule el valor de x en el flujo de efectivo que se muestra a continuación, de forma que el valor total equivalente en el mes 4 sea $ 9000 utilizando u na tasa de interés de 1.5% mensual.
Mes 0 1 2 3 4 5
Flujo de efectivo 200 200 600 200 200 x
Mes 6 7 8 9 10 11
Flujo de efectivo x x x 900 500 500
Llevando todos los flujos hacia su correspondiente valor en el mes 4, sumándolos e igualándolos a 9000 tenemos:
1 0.015 5 1 1 1 0.015 4 900 500 500 2 9000 200 * 400 (1.015) x 5 6 7 0.015 0.015 1.015 1.015 1.015 De donde: x $1508.47 Respuesta: El valor de x es $1508.47.
4.21-Encuentre el valor de x en el diagrama a continuación, de manera tal que los flujos de efectivos positivos sean exactamente equivalente a los flujos de efectivos negativos si la tasa de interés es del 14% anual compuesto semestralmente.
Haciendo la equivalencia de la tasa de interés.
j n 14% 2 i 1 1 x100 , i 1 1 x100 14 .49% n 2 Flujos de efectivos Positivos P1 800 *
1 1 i t 1 1 14.49% 2 = 1000 1,636.33 ; P2 A 14 . 49 % i P2
1,636 .33
P3 1200
P4
1,248 .35 *
1 14.49% 2 1 1 14.49% 2 14.49%
3 x
1 14.49% 10
1,963 .6
1,963.6 ; P3 1 14 .49% 5 998 .19 *
0.78 x *
Principal Positivo = ∑ Pn = P 1 + P2 +P3 + P4 = 3,046.54 + 0.78x Flujos de Efectivos Negativos 500 381 .51 * P1 1 14.49% 2 P2 P3
x
1 14.49% 5 2 x
1 14.49% 8
0.51x * 0.68 x *
Principal Negativo = ∑ Pn = P 1 + P2 +P3 = 381.51 + 0.51x + 0.68x = 381.51 + 1.19x Principal Positivo = Principal Negativo 3,046.54 + 0.78x = 381.51 + 1.19x donde X = $6,500.07 es el valor que haría los ingresos y desembolsos iguales 4.22- En el siguiente diagrama encuentre el valor de x que aria el valor presente equivalente del flujo de efectivo igual a $22,000, si la tasa de interés es del 13%
$5x
P t = 22,000 P1 P2
x
1 13% 2 5 x
0.78 x * 1.30 x *
1 13% 11 1 1 13% 7
P3 1000
4, 422 .61
4,422.61 P3 1 13% 2 3,463 .552 *
13%
Principal = ∑ Pn = P 1 + P2 +P3 = -0.78x + 1.3x + 3,463.552 Si P t = 22,000 Entonces 22,000 = -0.78x + 1.3x + 3,463.552 Donde X = $35,647.02 sería el valor que haría el principal equivalente a $22,000 4.23- Calcule la cantidad de dinero en el año 7 que seria equivalente a los siguientes flujos de efectivos si la tasa de interés es del 16% nominal anual compuesta trimestralmente. Año Cantidad $
0 900
1 900
2 900
3 900
4 1,300
5 1,300
6 1,300
7 500
8 900
9 900
Haciendo la Equivalencia
j n 16% 4 i 1 1 x100 , i 1 1 x100 16.99 % n 4 Pt=∑Pn P1 900 *
1 1 i t 1 1 16.99% 3 1988 .95 * P2 A = 900 i 16.99% 1 1 16.99% 3 2,872.93 P3 2,872 .93 3 1794 .23 * P3 1300 16.99% 1 16.99% P4
500
1 16.99% 7
166 .7 *
Principal = ∑ Pn = P 1 + P2 +P3 + P4 = 4,849.88 7 F P (1 i ) 4,849.88(1 16.99%) $14,546.96 Es la cantidad de dinero en el año 7. t
4.24 Determine los pagos anuales uniformes que serian equivalentes al flujo efectivo que aparece a continuación. Utilice la tasa de interés del 12 % anual.
1 1 i t 1 1 12% 4 = 1,200 3,644.82 * P1 A 12 % i P2
1 1 12% 3 4,803.66 P2 4,803 .664 3,052 .81 * 2,000 12% 1 12%
P3 P4
3,000
1 12% 8 2,000
1 12% 9
1,211 .65 * 721 .22 *
Principal = ∑ Pn = P 1 + P2 +P3 + P4 = 8,630.5
8,630.5(12%) $1,619.76 1 (1 i ) t 1 (1 12%) 9 Serían los pagos anuales uniformes que serían equivalentes a los flujos mostrados. A
Pi
4-25 Calcule el valor anual (del año 1 hasta el año 10) de la siguiente serie de desembolso Suponga que i = 10% anual compuesto semestralmente. Año 0 1 2 3 4 5
Desembolso $ 3,500 3,500 3,500 3,500 5,000 5,000
Año 6 7 8 9 10
Desembolso $ 5,000 5,000 5,000 5,000 15,000
Haciendo la equivalencia
j n 10 % 2 i 1 1 x100 , i 1 1 x100 10.25 % 2 n Haciendo un solo principal P1 3,500 * P2
1 1 10.25% 3 8,665.82 * 3,500 10 . 25 %
1 1 10.25% 6 21,617.69 P3 21,617 .69 3 16,131 .45 * P3 5,000 10.25% 1 10.25% P4
15,000
1 10.25% 10
5,653 .34 *
Principal = ∑ Pn = P 1 + P2 +P3 + P4 = 33,950.61 33,950.61(10.25%) $5,584.78 1 (1 i ) t 1 (1 10.25%) 10 Sería el valor anual de la serie de desembolso A
Pi
4.26 Una compañía petrolera está planeando vender unos pozos de petróleo existentes. Se espera que los pozos produzcan 100 ,000 barriles de petróleo anualmente durante 14 años más. Si el precio de venta por barril de petróleo es actualmente $35. ¿Cuánto se están dispuesto a pagar por los pozos si se espera que el precio del petróleo disminuya en $2 por barril cada 3 años, si la primera disminución ocurre inmediatamente después de la iniciación, del año 2? Suponga que la tasa de interés es 12% anual y que las ventas de petróleo se realizan al final de cada año . t 14años PB 100000* 35 i
12% Anual
F 14 (3500000 )(1 0.12)13 F 14 15,272,226
(1 0.12 ) 3 1 F 4 (3300000 ) F 4 11,135,520 0 . 12 (1 0.12 ) 3 1 F 10 ( 2900000 ) F 10 9,785,760 0 . 12 (1 0.12 ) 3 1 F 7 (3300000 ) F 7 10,460,640 0.12 (1 0.12 ) 3 1 F 13 ( 2700000 ) F 13 9,110,880 0 . 12 F 14 2,500,000 10 7 3 F 14 15 , 272 , 226 11,135 ,520 (1 0 .12 ) 10 , 460 ,640 (1 0 . 12 ) 9 ,785 ,760 (1 0 .12 ) 9,110 ,880 (1 0 .12 ) 2 ,500 ,000
F 14
P0
P0
99,435,077.02 F
(1 i ) t 99,435,077.02 (1 0.12)14
P0 20,346,386.83
4.27 Una gran compañía manufacturera compró una máquina semiautomática por $18,000 su costo de mantenimiento y operación anual fue $2700. Después de 4 años de su compra inicial, la compañía decidió adquirir para la máquina una unidad adicional que le haría completamente automática. La unidad adicional t uvo un costo adicional de $9100. El costo de operar la maquina en condición completamente automática fue $1200 por año. Si la compañía utilizó la máquina durante un total de 13 años, tiempo después del cual esta quedó sin valor.¿ cual fue el valor anual un iforme equivalente de la máquina a una tasa de interés del 9% anual compuesto semestralmente?
1 (1 0.092 ) 4 P1 2700 P1 $8708 .98 0.092 P2 9100 (1 0.092)
4
P2 $6399 .57
1 (1 0.092 ) 9 P3 1200 P3 $7136 .17 0 . 092 P4
7136.17 (1 0.092) P1 $5018.51
PT 18000 P1 P2 P3 P4 38127 .06 R
Pi
1 (1 i )
t
381257.06 * 0.092 1 (1 0.092)
R=$5147 4.29 El departamento de de productos derivados de una planta empacadora de carne tiene un horno cuyo flujo de costo aparece a continuación . Si la tasa de interés es del 15% anual, determine el valor presente de los costos. Año Costo,$ Año Costo,$ 0 5000 6 8000 1 5000 7 9000 2 5000 8 9100 3 5000 9 9200 4 6000 10 9300 5 7000 11 9400
1 (1 0.15) 3 1000 1 (1 0.15) 4 1 (1 0.15) 4 100 1 (1 0.15) 4 4 4 3 600 * ( 1 0 . 15 ) 4 4 0.15 0.15 (1 0.15) 0.15 0.15 (1 0.15) 0.15 0.15
P 500 500
9100 1 (1 0.15) 4 * (1 0.15) 7 0.15 0.15 P 500 1141 .61 (3786 .44 17129 .87)(1.15)
3
(378.64 25980 .30) *1.15
P $25,303 .73
4.30 Una persona obtiene en préstamo $10000 a una tasa de interés del 8% compuesto anualmente y desea rembolsar el préstamo durante un periodo de 4 años con pago anuales tales que el segundo pago supere en $500 el primer pago; el tercero supere en $ I000 el segundo y el cuarto supere en $2000 al tercero. Determine el monto del primer pago . J ( Anual )( Anual ) i ( Anual ) 8 %
F 1 10000 (1 0.08)1 $10800 P1
10800 X
F 2 (10800 X )(1 0.08) 11664 1.08 X 1
P2
(11664 1.08 X ) ( X 500) 11664 2.08 X
F 3
(11164 2.08 X )(1 0.08)1 12057.12 2.2464 X
P3 12057 .12 2.2464 X ( X 1500 ) 10557 .12 3.2464 X F 4
0
(10557 .12 3.2464 X )(1 0.08)1 ( X 3500 ) 0 7901.6896 4.506112X 0 X $1753 .55 SegundoPag o
4.31 Para el flujo de efectivo que se muestra a continuación calcule el valor anual uniforme equivalente en los periodos de 1 hasta 12, si la tasa de interé s es del 8% nominal anual compuesto semestralmente.
Periodo Valor $ semestral 100 0 100 1 100 2 100 3 100 4 150 5 200 6 250 7 300 8 350 9 400 10 450 11 500 12 i = 8% anual/ semestral Solución: Calculo de i efectiva: n
j i 1 1 n 2
0.08 i 1 1 0.0816 * 100 8.16% 2 Cálculo del principal en 0 debido a la renta de $100 de 1 a 3.
1 1 i t P0 R * i
1 1 0.0816 3 P0 100 * 100 356 .97 0 . 0816 Cálculo del principal en 0 debido al gradiente aritmético de 4 a 12.
1 (1 i) t t PG * i i (1 i ) t G
1 (1 0.0816) 9 50 9 PG * 1080.20 0.0816 0.0816 (1 0.0816) 9 PPB
1 (1 i) t P B * i
1 (1 0.0816) 9 PPB 100 * 620.55 0 . 0816 P PG PPB P
1080.20 620.55 1700.75
P0
P0
F
(1 i ) t 10075 (1 0.0816 ) 3
1344 .13
Cálculo del principal total. PT 0 1344.13 356.97 1701.10
Cálculo de la renta. R
R
P *i
1 (1 i ) t 1701 .10 * 0.0816 1 (1 0.0816 ) 12
227 .60
El valor anual uniforme equivalente es de $227.60 4.32 Para el flujo de efectivo que se muestra a continuación, encuentre el valor de x que hará que el valor anual equivalente en los años 1 hasta 9 sea igual a $2000 a una tasa de interés del 12% anual compuesto trimestralmente.
Año Flujo Efectivo $
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
200
300
400
500
x
600
700
800
900
1000
Solución: Calculo de i efectiva: n
j i 1 1 n 4
0.12 i 1 1 0.1255 * 100 12 .55% 4 Calculo del principal en 0 debido a las cuotas de 0 a 3. P0 PG PPB
1 (1 i) t t PG * i i (1 i ) t G
1 (1 0.1255) 3 100 3 PG * 219.22 0.1255 0.1255 (1 0.1255) 3 PPB
1 (1 i) t P B * i
1 (1 0.1255) 3 PPB 300 * 713.79 0 . 1255 P0 219.22 713.79 200 1133 .01
Calculo del principal en 0 debido a las cuotas de 4 a 9. P4 PG PPB
1 (1 i) t t PG * i i (1 i ) t G
1 (1 0.1255) 5 100 5 * PG 627.66 0.1255 0.1255 (1 0.1255) 5 PPB
1 (1 i) t P B * i
1 (1 0.1255) 5 PPB 600 * 2133.72 0 . 1255 P4
627.66 2133.72 2761.38
P0
P0
F
(1 i ) t 2761 .38 (1 0.1255 ) 4
1720 .85
PT 0 P0 P4 PT 0 1133 .01 1720 .85 2853 .86
Calculo del principal en 0 debido a x P0
x
(1 0.1255 ) 4
0.6232 x
Calculo de x. R
P *i
1 (1 i ) t
2000
( 2853 .86 0.6232 x ) * 0.1255 1 (1 0.1255 ) 9
2000 * (1 (1 0.1255) 9 ) 2853.86 0.1255 x 0.6232 x
12168.62
El valor de x para que el valor anual uniforme equivalente sea igual de $2000 es, 12168.62
4.33 Una persona obtiene en préstamo $8000 a una tas a de interés nominal del 7% anual compuesto semestralmente. Se desea que el préstamo sea rembolsado en 12 pagos semestrales, efectuando el primer pago dentro de año. Si los pagos deben aumentar en $50 cada vez, determine el monto del primer pago.
Solución: Calculo de i efectiva: n
j i 1 1 n 2
0.07 i 1 1 0.0712 * 100 7.12% 2 Calculo del valor futuro en 1. F P * (1 i)
t
1 F 8000 * (1 i 0.0712 ) 8596 .6
Cálculo del principal debido al gradiente
1 (1 i) t t PG * i i (1 i ) t G
1 (1 0.0712) 12 50 12 * PG 1850.55 0.0712 0.0712 (1 0.0712)12
Calculo del principal debido al pago base. PPB P PG PPB
8569.6 1850.55 6719.41
Calculo del monto del primer pago. P B
PPB
1 (1 i ) t i
P B
6719 .41 1 (1 0.0712) 12 0.0712
851.41
El primer monto será de $851.41 4.34 En el siguiente diagrama, encuentre el valor de G que haría el flujo de ingresos equivalente al flujo de desembolsos, utilizando una tasa de interés del 12% anual.
A=$600
Solución:
(1 i ) t 1 F R * i (1 0.12) 8 1 F 600 * 7379.82 0 . 12
P PG PPB
1 (1 i) t 1 (1 i ) t t * 7379.82 = + G* i i i (1 i ) t G
G
7379 .82
1 (1.12) 1 1 (1.12) 4 4 * 0.12 0.12 4 0 . 12 ( 1 . 12 ) 4
148.99
El valor de G que haría el flujo de ingresos equivalente al flujo de desembolsos es 148.99 4.35 Para el diagrama mostrado encuentre el primer año y el valor de la ultimo entrada en el flujo de ingresos que haría que las entradas fueran al menos del mismo valor de las inversiones de $500 en los años 0, 1 y 2. Utilice una tasa de interés del 13% anual.
Solución: Calculo del valor futuro en 2.
(1 i ) t 1 F R * i (1 0.13) 3 1 F 500 * 1703.45 0 . 13 Calculo del valor de la última entrada 2 n' n n
n'2
20 30 (0) 1.131 1703 .45
20 30 (1) 1.13 2
...
20 30( n ' 1) 1.13 n '
20 30 ( n' 1) 1.13 n ' n '1 n'
n' 31
n 33
20 30 (30 ) 920
1 1 i t P0 R * 500 i
1 1 0.13 2 P0 500 * 500 1334 .05 0 . 013
4.36 Calcule el valor de x para la serie de flujos de efectivo que se muestra a continuación. De manera que el valor anual equivalente desde el mes 1 hasta el mes 14 sea $5000. Utilizando una taza de interés de 12% nominal anual compuesto mensualmente. MES 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Flujo de efectivo. $ 100 100 + x 100 + 2x 100 + 3x 100 + 4x 100 + 5x 100 + 6x 100 + 7x 100 + 8x 100 + 9x 100 + 10x 100 + 11x 100 + 12x 100 + 13x 100 + 14x
Solución:
=1,609.69
El valor de x para la serie de flujos es 41.32 4.37 suponiendo que el flujo de efectivo en el problema 4.36 representa depósitos. Encuentre el valor de x que hará los depósitos iguales a $9000 en el mes 9 si la tasa de enteres es del 12% anual compuesto trimestralmente. Suponga que no hay interés en tre periodos. Solución:
El valor de x que hará que los depósitos sean igual a 9,000 en el mes 9 con una tasa de interés del 12% anual compuesto trimestralmente es de 455.27. 4.38 Resuelva para el valor de G. de manera que el diagrama de flujo de efectivo de la izquierda sea equivalente al de la derecha. Utilice una taza de interés del 13% anual.
2500 2000 1500
3G
1000
2G
500
G
Año 0
1
2
3
4
5
0
1
2
3 G
Solución:
4
5
6
El valor de G es de 1,396.7 de manare que ambos diagra mas son equivalentes. 4.39 Para el diagrama siguiente, resuelva para el valor de X. Utilizando una taza de interés del 12% anual. 0
1 2
3 4
5 Año
0
1
2
3
4
5
6
=
$1.300
X +100 X+150 X+200 X+250 X+300
Solución:
Año
El valor de x es 1,671.89 4.40 El señor Alum Nye esta planeando hacer una contribución a la universidad de la cual egreso. El desearía hoy una cantidad de dinero de modo que la universidad pueda apoyar estudiantes. Específicamente, desearía proporcionar apoyo financiero para las matriculas de cinco estudiantes por año durante 20 años en total es decir, (21 becas), efectuando la primera beca de matricula de inmediato y continuando en intervalos de 1 año. El costo de la matricula en la universidad es de $3800 anuales y se espera que se mantenga en esa cantidad durante 4 años mas. Después de ese momento, sin embargo, el costo de la matricula aumentara en 105 por año. Si la universidad puede depositar la donación y obtener un interés a una taza nominal del 8% anual compuesto semestralmente. ¿Cuánto debe donar el señor Alum Nye? Solución:
=8.16%
4.41- Calcule el valor presente (en el tiempo 0) de un arrendamiento que exige un pago ahora de $ 20,000 y cantidades que aumentan en 6% anualmente. Suponga que el arriendo dura un total de 10 años. Utilice una tasa de interés de 14%
- Valor presente:
- Valor presente para t =0
4.42- Calcule el valor anual de una maquina que tiene un costo inicial $ 29,000, una vida útil de 10 años y un costo de operación anual de $13,000 durante los primeros 4 años aumentando en 10% anualmente a partir de entonces. Utilice una tasa de interés del 14% anual.
- Método del Valor presente:
4.43- Calcule el valor anual de fin de periodo de la compañía A -1 producto de obtener en arriendo un computador si el costo anual de $ 15,00 0 para el año 1 y $ 16,500 para el año 2. y los costos aumentan en 10% cada año desde ese momento. Suponga que los pagos de arriendo deben hacerse al principio del año y que debe utilizarse un periodo de estudio de 7 años. La tasa mínima atractiva de retor no de la compañía es de 16% anual.
- Valor presente:
- Método del Valor presente:
Valor Anual
4.44- Calcule el valor presente de una maquina que cuesta $ 55,000, una vida útil de 8 años con un valor de salvamento de $ 10,000. Se espera que el costo de operación de la maquina sea de $10,000 para el año 1 y $ 11,000 para el año 2 con cantidades que aumentan en 10% anualmente a partir de entonces. Utilice una tasa de interés del 15% anual.
- Valor presente:
- Método del Valor presente:
4.45- Calcule el valor anual equivalente de una maquina que cues ta $ 73,000 inicialmente y tendrá un valor de salvamento de $ 10,000 después de 9 años. El costo de operación de la maquina sea de $21,000 para el año 1 y $ 22,050 para el año 2 con cantidades que aumentan en 5% anualmente a partir de entonces. Utilice un a tasa de interés del 19% anual.
- Valor presente:
- Método del Valor presente:
- Valor Anual
4.46- Encuentre el valor presente (en el tiempo 0) de los flujos de efectivo que se muestran en el siguiente diagrama. Suponga que i=12 % anual compuesto semes tralmente.
Solución: Primero encontramos el principal del gradiente aritmético. Datos:
Respuesta: El valor presente de los flujos es de $1447.15 4.47- Si una persona empieza una cuenta bancaria depositando $2000 dentro de seis mes es, ¿cuánto tiempo le tomará agotar la cuenta si empieza a retirar dinero dentro de una año de acuerdo al siguiente plan: retira $500 el primer mes, $450 el segundo mes, $400 el segundo mes y cantidades que disminuyen en $50 hasta que la cuenta se agota? S uponga que la cuenta gana un interés del 12% nominal anual compuesto mensualmente.
Solución: - se calcula el interés nominal.
-
Se calcula el valor futuro en el año 5
-
Se calcula el principal en el año 6
-
Resolviendo la ecuación por prueba error
Respuesta: le tomará un tiempo entre 5 y 6 años agotar la cuenta. 4.48 Calcule el valor anual de los siguientes flujos de efectivo para i=12% anual. Año Cantidades, $
0 1,4 5 5000 1000 950
Solución: Calculo del principal:
6 800
7 700
8 600
9 500
10 400
Respuesta: El valor anual es de $1743.26. 4.49 Para el diagrama siguiente, calcule la cantidad de dinero en el año 15 que sería equivalente a las cantidades mostradas, si la tasa de interés es del 1% mensual.
Solución:
-
Se calcula el principal del año 1
-
Se calcula el valor futuro equivalente en el año 15.
Respuesta: la cantidad equivalente del diagrama en el año 15 es de $15,277.85. 4.50 En los siguientes flujos de efectivo, calcule el valor presente y el valor anual uniforme equivalente para i=10% anual en los siguientes flujos de efectivo.
