Integración de funciones racionales de seno y coseno

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Integración de funciones racionales de seno y coseno Bibliografía recomendada MÓDULO 1

INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado con algunas oper oper acion es in ver ver sas . La adición y la sustracción son operaciones inversas, la multiplicación y la división son también operaciones inversas, así como la potenciación y la extracción de raíces. Ahora, conocerá la operación inversa la de derivación o diferenciación denominada antiderivación o antidiferenciación , la cual implica el cálculo de una antiderivada.

Antiderivada. Una función F función F se se denomina antiderivada de una función f función f en en un intervalo I intervalo I si si para todo

Ejemplo. Si F Si F es es la función definida por si

De modo que

entonces f entonces f es es la derivada de F de F , y F y F es es la antiderivada de f de f . Si G es la

función definida por porque

entonces

entonces G también es una antiderivada de f de f , En realidad, cualquier función H función H definida definida por

donde C es C es una constante, es una antiderivada de f de f .

Teorema 1. Si f Si f y y g son g son dos funciones definidas en el intervalo I intervalo I , tales que entonces existe una constante K constante K tal tal que

para todo

para todo

"La antiderivación o antidiferenciación es el proceso proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. El símbolo operación de antiderivación, y se escribe

donde

denota la y

En la igualdad la expresión f . Si

x es la variable de integración,

es el integrando y

recibe el nombre de antiderivada general o integral indefinida de es el conjunto de todas las funciones cuyas diferenciales sean

también es el conjunto de todas las funciones cuya derivada es

Teorema 2.

Teorema 3.

donde a es una constante.

Teorema 4. Si las funciones f funciones f y y g están g están definidas en el mismo intervalo, entonces

Teorema 5. Si las funciones

donde

están definidas en el mismo intervalo, entonces

son constantes.

Teorema 6.

Si n es un número racional, entonces

Ejemplos.

1) Evalúe Solución.

2) Calcule Solución.

3) Determine Solución.

Los teoremas para las integrales indefinidas de las funciones trigonométricas seno, coseno, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, secante por tangente y cosecante por cotangente, son deducciones inmediatas de los teoremas correspondientes de diferenciación. A continuación se presentan tales teoremas.

Teorema 7.

Teorema 8.

Teorema 9.

Teorema 10.

Teorema 11.

Teorema 12.

Ejemplos.


Las identidades trigonométricas se emplean con frecuencia cuando se calculan integrales indefinidas que involucran funciones trigonométricas. Las ocho identidades trigonométricas fundamentales siguientes son de crucial importancia.


3) Determine Solución.

Ejercicios. Calcule las integrales indefinidas:

Teorema 13. Regla de la cadena para antiderivación. Sea g una función diferenciable y sea el contradominio de g algún intervalo I . Suponga que f es una función definida en I y que F es una antiderivada de f en I . Entonces

Teorema 14. Si g es una función diferenciable y n es un número racional, entonces

Ejemplos.


y observe que si junto a

para obtener

entonces

Por lo tanto, se necesita un factor 3

En consecuencia, se escribe

2) Calcule Solución. Observe que si

6 junto a



entonces para obtener

Luego, se escribe

3) Evalúe

Solución. Como

Por lo tanto, necesitamos un factor

se escribe

Ejercicios. Resuelva:

En los teoremas que se presentan a continuación

es una función de x, es decir,

Teorema 15.

Ejemplo.

Evalúe Solución. En este caso para obtener

Teorema 16.

Ejemplo.

Calcule

por lo tanto, Entonces, se escribe

luego se necesita un factor 3 junto a

Solución. Consideremos para obtener

tenemos que Por lo tanto,

luego necesitamos un factor 6 junto a

Teorema 17.

Ejemplo.

Calcule Solución. Como

entonces

por lo tanto,

Teorema 18.

Ejemplo.

Evalúe Solución. Siendo

entonces

luego, podemos escribir

Teorema 19.

Ejemplo.

Resuelva Solución.

Ejercicios. Resuelva las integrales indefinidas:

Teorema 20.

Ejemplo.

Evalúe Solución.

Sea

entonces,

por lo tanto

Teorema 21.

Ejemplo.

Evalúe Solución.

Como entonces

se aplica el teorema 21 con

de donde obtenemos,

Ejercicios. En los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida.

A partir de las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas se obtienen algunas fórmulas de integrales indefinidas. El teorema siguiente proporciona tres de estas fórmulas.

Teorema 22.

El teorema siguiente proporciona algunas fórmulas más generales.

Teorema 23.

Ejemplos.



Con la finalidad de completar el cuadrado de por 3 en realidad se suma es

se suma

al denominador, de modo que para que la expresión del

denominador persista, es decir, no se altere, se resta también


y como está multiplicado

Por lo tanto, se tiene

Las fórmulas de integración indefinida del teorema siguientes son consecuencia inmediata de las fórmulas de las derivadas de las funciones hiperbólicas.

Teorema 24.

Ejemplos.


2) Evalúe

Ejercicios.

Antes de estudiar los diferentes métodos de integración, se presenta una lista numerada de las fórmulas típicas de integración indefinida las cuales deben ser memorizadas por el estudiante para un mejor desenvolvimiento.

Emprendamos el estudio de los métodos de integración. Uno de los métodos más ampliamente usados en la resolución de integrales es la in tegración por partes.

INTEGRACIÓN POR PARTES La fórmula de la integración por partes es la siguiente:

Esta fórmula expresa a la integral

en términos de la integral

elección adecuada de u y dv, puede evaluarse más fácilmente integral Ejemplos.

1) Evaluar Solución.

Tomemos u = ln x y dv = x dx, por lo tanto,

y

luego,

2) Evaluar Solución.

Sea

y

entonces,

y

por lo tanto,

Mediante una

Ejercicios. Evalúe las integrales indefinidas.

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS Las integrales trigonométricas implican operaciones algebraicas sobre funciones trigonométricas.

CASO 1.

(i)

o (ii)

(i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

donde n es un número entero positivo impar.

Ejemplos.



CASO 2.

donde al menos uno de los exponentes es un número entero positivo impar. En la solución de este caso se utiliza un método semejante al empleado en el caso 1.

(i) Si n es impar, entonces

(ii) Si m es impar, entonces

Ejemplo.

Cuando ninguno de los exponentes de las potencias seno y coseno es impar, no se pueden seguir los procedimientos expuestos en los casos 1 y 2. En tal caso se deben tomar muy en cuenta las identidades siguientes:

CASO 3.

(i)

(ii)

positivos pares.



o (iii)

donde m y n son números enteros

(iii) Se hace la transformación

Ejemplos.

CASO 4.

(i)

o (ii)



donde n es un número entero positivo.

Ejemplos.



CASO 5.

(i)

o (ii)



donde n es un número entero positivo par.

Ejemplo.

Evalúe Solución.

CASO 6.

(i)

o (ii)



donde m es un entero positivo par.

Ejemplo.

Evalúe Solución.

CASO 7.

(i)

o (ii)

i) Se hace la transformación


donde m es un entero positivo impar.

Ejemplo.

Evalúe Solución.

CASO 8.

(i)

o (ii)

donde n es un número entero positivo impar.

Aplique integración por partes.

(i) Considere (ii) Considere

y y

Ejemplo .

Evalúe Solución.

Sean Aplicando el método de integración por partes tenemos:

Luego, Evaluemos la integral I aplicando el método de integración por partes:

Sean Entonces,

Por lo tanto,

En conclusión,

CASO 9.

(i)

o (ii) entero positivo impar.

donde n es un entero positivo par y m es un

Exprese el integrando en términos de potencias impares de la secante o cosecante y después siga las sugerencias del caso 8.



Ejemplo.

Evalúe Solución.

Las integrales A y B las resolvimos en el ejemplo del caso 8.

La solución de A es:

La solución de B es:

Por lo tanto,

CASO 10.

(i)

(i)



(iii) Se hace la transformación

Ejemplo.

Evalúe

o (iii)

m?n.

Solución.

Ejercicios. Determine las integrales indefinidas indicadas a continuación.

INTEGRACIN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Se mostrará con tres casos cómo el cambio de variable mediante sustitución trigonométrica permite con frecuencia evaluar una integral que contiene una expresión de una de las formas siguientes donde a > 0:

CASO 1. El integrando contiene una expresión de la forma Se introduce una nueva variable

considerando

donde a > 0. donde

si

y

si x < 0

Ejemplos.

1) Evalúe Solución. Sabemos que:

Hagamos el cambio

y diferenciemos el primer miembro

con respecto de x y al segundo miembro con respecto de Sustituyendo obtenemos:

Ahora, como entonces, Otra manera de resolver. Observemos la siguiente figura:

entonces,

y

Es evidente por trigonometría que:

y luego, despejando x se obtiene: Por lo tanto,

Como hemos indicado anteriormente,

y entonces


Como

haciendo el cambio Por lo tanto,

tenemos:

Pero,

y

en conclusión.

Resolvamos teniendo en cuenta la figura siguiente:

Obviamente,

y

Por lo tanto,

A partir de la figura se tiene:

y entonces,

CASO 2. El integrando contiene una expresión de la forma

donde a > 0. Introduzca una variable si

y

considerando

donde

si x < 0

Ejemplo. Evalúe Solución.

haciendo el cambio: Sustituyendo nos queda:

La integral A se evalúa por partes, así:

obtenemos,

y

Sea

y sustituyendo:

Luego,

Consecuentemente,

Pero, sustituyendo resulta:

por lo tanto,

CASO 3. El integrando contiene una expresión de la forma

donde a > 0. Introduzca una variable si

y

considerando

donde

si

Ejemplo. Evalúe Solución.

Luego debemos hacer el cambio:

además,

Sustituyendo,

Pero,

y Sustituyendo nuevamente obtenemos:

Ahora, resolvamos a partir de la siguiente figura.

Evidentemente,

y

luego,

Como

y entonces

Ejercicios. Calcule las siguientes integrales indefinidas. (En los ejercicios 2, 3, 6, 7 y 9 resuelva completando cuadrados)

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Si se quiere integrar el cociente de dos funciones polinómicas y el grado del numerador es mayor que el del denominador, primero debe efectuarse la división. Ejemplo.

Al efectuar la división de dos polinomios, obtenemos un polinomio cociente más el resto sobre el divisor. En el ejemplo anterior, la expresión:

pudo integrarse de inmediato. En otros casos, se la debe descomponer en fracciones simples, como se indicará a continuación.

Sabemos que:

y grado

grado

ó

La integral de q es inmediata, ya que q es un polinomio, y el problema se reduce a integrar el cociente de dos funciones polinómicas cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador. El procedimiento básico en éste método de integración, es la descomposición del cociente en fracciones simples, para lo cual, deben hallarse, primero, las raíces del polinomio correspondiente al denominador. A continuación se presentan cuatro casos según las raíces sean reales o imaginarias, simples o compuestas.

CASO 1. Las raices del denominador son reales y simples. El denominador se expresa como producto de polinomios lineales diferentes. Ejemplo1.

Las raíces del denominador son:

y

luego,

por lo tanto,

Para calcular el valor de A y B, multiplicamos ambos miembros de la igualdad anterior por así:

Luego, Por lo tanto,

Ej emplo 2.


y

luego,

y

ahora, multiplicando ambos miembros de ésta última igualdad por el denominador obtenemos:

Luego, Por lo tanto,

CASO 2. Las raíces del denominador son reales y múltiples. El denominador se expresa como producto de polinomios lineales, algunos repetidos. Ejemplo.

Las raíces del denominador son: y

igualdad por

y

luego,

multiplicando ambos miembros de ésta última

obtenemos:

Luego, como no existe otro valor de x que anule alguno de los sumandos, conviene elegir cualquier valor que facilite los c álculos.

Por ejemplo, obtenidos, y despejemos B: Por lo tanto,

Reemplacemos A y C por los valores

CAS0 3. El denominador tiene raíces complejas, no reales, simples. En el factoreo del denominador aparecen polinomios cuadráticos irreducibles, todos distintos entre sí. Ejemplo.


y

Entonces,

con lo que

Multiplicando ambos miembros de ésta última igualdad por

obtenemos:

De la última igualdad se tiene:

y Resolviendo el sistema,

y

Por

lo tanto,

CASO 4. El denominador tiene raíces complejas, no reales, múltiples. En el factoreo aparecen factores cuadráticos irreducibles repetidos. Ejemplo.

El denominador no tiene raíces reales (no se anula para número real alguno), por lo que

hacemos el cambio

para calcular las raíces complejas.

En efecto, Las raíces en función de

son: y

Entonces,

con lo que,

(raíces múltiples).

Multiplicando ambos miembros de ésta última igualdad por

obtenemos:

De ésta última igualdad se tiene que:

y

Por lo tanto, Ejercicios. Resuelva las siguientes integrales.

Ahora, veamos como resolver integrales cuando en el integrando aparecen expresiones de la forma: 

1. Se efectúa el cambio de variable







o bien

Ejemplos. 1) Calcular

Hagamos el cambio

luego,

y

por lo

tanto, 

2) Calcular

Haciendo el cambio

tendremos,

por lo tanto,

3) Calcular Haciendo el cambio

tendremos,

y

entonces,

luego,



3) Calcular

Haciendo el cambio

tendremos,

luego, por lo tanto,

Ejercicios. Resuelva:

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES DE SENO Y COSENO Si el integrando es una función racional de

y

reducir a una función racional de z mediante la sustitución la fórmula para y y Entonces se tiene,

Como

se puede Con la finalidad de obtener

en términos de z se utilizan las identidades siguientes:

entonces

por lo tanto,

Los resultados anteriores se establecen como el siguiente teorema.

Teorema 25. Si

entonces:

Ejemplos. 1) Evalúe

Haciendo el cambio

entonces

2) Calcule

Como

y

entonces

3) Evalúe

Integración de funciones racionales de seno y coseno

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