Integracion de Potencias Seno-coseno Secante-tangente Ingenieria

1

UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ CÁTEDRA: MATEMÁTICA II CARRERA: INGENIERÍA

Integración de potencias de seno y coseno Integración de potencias de secante y tangente

INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE SENO Y COSENO Las integrales de la forma

 sen

m

x cos n xdx

Donde m y n son enteros positivos, y se evalúan de varias maneras según los valores de m y n, es decir, si m y n son impares o pares. Los procedimientos se describen en la siguiente tabla: TABLA 1. INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE SENO Y COSENO

CASO

PROCEDIMIENTO

IDENTIDADES RELEVANTES

n impar

Hacer la sustitución u=senx

cos 2 x = 1 − sen2 x

m impar

Hacer la sustitución u=cosx

sen 2 x = 1 − cos 2 x

Usar identidades para reducir las potencias de sen y cos

m y n pares

sen 2 x = 12 (1 − cos 2 x )

cos 2 x = 12 (1 + cos 2 x )

Es importante resaltar, que los exponentes m y n, están asociados a las funciones sen y cos, respectivamente.

Ejemplos Evalúe las siguientes integrales indefinidas:

1.

 sen x cos 4

5

xdx

Puesto que n=5 (impar) se usará la siguiente sustitución o cambio de variable Cambio de variable (C.V.)

u = senx , derivando la expresión anterior: du = cos xdx

Comparando esta última expresión en la integral, debemos descomponer cos5 x

 sen x cos 4

5

xdx =  sen 4 x cos 4 x cos xdx

De la tabla 1, debemos sustituir la identidad relevante según el caso. Para el caso particular, cos 2 x = 1 − sen 2 x Profesor: Ricardo Osío Lara

2



 sen x cos 4

5

xdx =  sen 4 x cos 4 x cos xdx =  sen4 x(cos2 x)2 cos xdx

 sen x cos

5

xdx =  sen 4 x cos 4 x cos xdx =  sen4 x(1 − sen2 x)2 cos xdx

4

Aplicando la sustitución o cambio de variable en la última integral

 sen

4

x(1 − sen2 x)2 cos xdx

4

2 2

u

u

4

1-u

du

(1 − u 2 )2 du =  u 4 (1 − 2u 2 + u 4 )du =  u 4 − 2u 6 + u8 )du =  u 4 du − 2  u 6 du +  u8 du

u5  u du − 2 u du +  u du = 5 4

6

8

2 7 u9 − u + + C 7 9

Devolviendo el cambio de variable sen5 x 2 sen7 x sen9 x  sen x cos xdx = 5 − 7 + 9 + C 4

2.

 sen x cos 3

2

5

xdx

Puesto que m=3 (impar) se usará la siguiente sustitución o cambio de variable Cambio de variable (C.V.)

u = cos x , derivando la expresión anterior: du = − senxdx ó −du = senxdx

Comparando esta última expresión en la integral, debemos descomponer sen3 x

 sen x cos 3

2

xdx =  sen 2 x cos 2 xsenxdx

De la tabla 1, debemos sustituir la identidad relevante según el caso. Para el caso particular, sen 2 x = 1 − cos 2 x

 sen x cos 3

2

xdx =  sen 2 x cos 2 xsenxdx =  (1 − cos 2 x ) cos2 xsenxdx


 (1

−

cos2 x ) cos2 xsenxdx 1-u

u

-du

Profesor: Ricardo Osío Lara

3



u5  (1 − u )u − du =  (u − u )du =  u du −  u du = 5 2

2

4

2

4

2

u3 − + C 3

Devolviendo el cambio de variable cos5 x cos3 x  sen x cos xdx = 5 − 3 + C 3

3.

 sen x cos 4

4

2

xdx

Puesto que m=n=4 (pares), debemos re-escribir la integral para reducir a potencias de sen y cos

 sen x cos 4

4

xdx =  ( sen 2 x)2 (cos2 x )2 dx

De la tabla 1, debemos sustituir la identidad relevante según el caso. Para el caso particular, sen 2 x = 12 (1 − cos 2 x ) y cos 2 x = 12 (1 + cos 2 x ) 2

2

4 4 2 2 2 2  sen x cos xdx =  ( sen x) (cos x) dx =  [ 12 (1 − cos 2 x) ] [ 12 (1 + cos 2 x) ] dx

Aplicando propiedades de potenciación y diferencia de cuadrados 2

2

2

2 4  [ 12 (1 − cos 2 x) ] [ 12 (1 + cos 2 x) ] dx = 161  1 − cos (2 x) = 161  sen (2 x)dx

sen 2(2x)=1-cos 2(2x)

Aplicando la siguiente sustitución o cambio de variable Cambio de variable (C.V.) u = 2 x , derivando la expresión anterior: 1 16

du 2

=

dx

 sen (2 x)dx = 161  sen u du2 = 321  sen udu 4

4

4

Para resolver esta integral debemos aplicar la siguiente formula de reducción: 3 1 1 4 2 sen udu = u − sen u + sen4 u + C  8 4 32 4 4 4  sen x cos xdx = 321  sen udu =

1 3 1 1  2 u sen u sen4u  + C − +  32  8 4 32 


4



4 4  sen x cos xdx =

3 1 1 x − sen(4 x) + sen(8 x) + C 128 128 1024

INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE SECANTE Y TANGENTE Las integrales de la forma

 tg

m

x sec n xdx

Donde m y n son enteros positivos, y se evalúan de varias maneras según los valores de m y n, es decir, si m y n son impares o pares. Los procedimientos se describen en la siguiente tabla: TABLA 2. INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE SECANTE Y TANGENTE

CASO

PROCEDIMIENTO

IDENTIDADES RELEVANTES

n par

Hacer la sustitución u=tgx

sec2 x = 1 + tg 2 x

m impar

Hacer la sustitución u=secx

tg 2 x = sec2 x − 1

m par y n impar

Reducir las potencias de sec solamente

tg 2 x = sec2 x − 1

Es importante resaltar, que los exponentes m y n, están asociados a las funciones tg y sec, respectivamente.

Ejemplos Evalúe las siguientes integrales indefinidas: 1.

 tg

2

x sec4 xdx

Puesto que n=4 (par) se usará la siguiente sustitución o cambio de variable


5



Cambio de variable (C.V.) u = tgx , derivando la expresión anterior: du = sec2 xdx

Comparando esta última expresión en la integral, debemos descomponer sec4 x

 tg

2

x sec4 xdx =  tg 2 x sec2 x sec2 xdx

De la tabla 2, debemos sustituir la identidad relevante según el caso. Para el caso particular, sec2 x = 1 + tg 2 x

 tg

2

x sec4 xdx =  tg 2 x sec2 x sec2 xdx =  tg 2 x(1 + tg 2 x) sec2 xdx


 tg

2

x (1 + tg 2 x ) sec2 xdx

2

u

2

1-u

du

u5  u (1 + u )du =  u + u )du =  u du +  u du = 5 2

2

2

4

2

4

u3 + + C 3

Devolviendo el cambio de variable tg 5 x tg 3x  tg x sec xdx = 5 + 3 + C 2

2.

 tg

3

4

x sec3 xdx

Puesto que m=3 (impar) se usará la siguiente sustitución o cambio de variable Cambio de variable (C.V.)

u = sec x , derivando la expresión anterior: du = sec xtgxdx

Comparando esta última expresión en la integral, debemos descomponer sec3 x y tg 3 x

 tg

3

x sec3 xdx =  tg 2 x sec 2 x sec xtgxdx

De la tabla 2, debemos sustituir la identidad relevante según el caso. Para el caso particular, tg 2 x = sec2 x − 1 Profesor: Ricardo Osío Lara

6



 tg

3

x sec3 xdx =  tg 2 x sec 2 x sec xtgxdx =  (sec2 x − 1) sec2 x sec xtgxdx


 (sec x 2

−

1) sec2 x sec xtgxdx

u -1

u

u5  (u − 1)u du =  u − u )du =  u du −  u du = 5 2

2

4

2

4

2

du

u3 − + C 3

Devolviendo el cambio de variable sec5 x sec3 x  tg x sec xdx = 5 − 3 + C 3

3.

 tg

2

3

x sec xdx

Puesto que m=2 (par) y n=1 (impar) De la tabla 2, debemos sustituir la identidad relevante según el caso. Para el caso particular, tg 2 x = sec2 x − 1

 tg

2

x sec xdx =  (sec2 x − 1) sec xdx =  (sec3 x − sec x )dx =  sec3 xdx −  sec xdx Integración por partes

1

 sec xdx  sec xdx = 2 sec xtgx 3

−

+

Integración inmediata

1 Ln sec x + tgx − Ln sec x + tgx + C 2

1 1 2 sec sec tg x xdx = xtgx − Ln sec x + tgx + C  2 2 Para la integración de potencias de cosecante y cotangente, debe aplicarse el mismo método que para potencias de secante y tangente. Sólo con reemplazar en la tabla 2; secante por cosecante

y, tangente por cotangente.



7 Integración de potencias de seno y coseno Integración de potencias de secante y tangente

BIBLIOGRAFÍAS CONSULTADAS •

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ANTON, Howard. Cálculo y Geometría Analítica. Vol. 1 y 2. Editorial Limusa, S.A. de C.V. México. 1984. AYRES Jr, Frank y MENDELSON, Elliott. Cálculo. Serie Schaum. Cuarta edición. McGraw Hill Interamericana Editores, S.A. de C.V. México. 2006. LEITHOLD, Louis. El Cálculo. Séptima edición. Oxford University Press – Harla México, S.A. de C.V. México. 1998. MORÓN, William. Matemática II. Problemas resueltos. Valencia – Venezuela. 1990. SÁNCHEZ, Jorge. Cálculo Integral con Funciones Trascendentes Tempranas para Ciencias e Ingeniería. Inversora Hipotenusa. Barquisimeto – Venezuela. 2005.


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