UNIVERSIDAD INTERAMERICANA // INTERAMERICANA // Recinto Recinto d e Bayamón // Bayamón // Escuela Escuela de Ingeniería MECN 3500 3500 // // Métodos Métodos Numéricos para Ingeniería Prof. Eduardo Cabrera Ruiz
5.0 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 5.1 INTRODUCCIÓN En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función que sería, en general, de una de las tres formas siguientes: 1. Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica. 2. Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente. 3. Una función tabulada en donde los valores de x y f ( x x) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales. En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados. Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar. La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante. Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
5.2
REGLA DEL TRAPECIO
La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes. Considérese la función f ( x x), cuya gráfica entre los extremos x = a y x = b se muestra en la fig. 1. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n columnas (fajas o tiras) de ancho Δ x y aproximando el área de cada columna mediante un trapecio, como se indica en la figura.
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y = f ( x) x)
y2
y3
y4 y n-1 y n
y1 y0
A3 A4
A1
A n
A2
x = a
x = b
x
x
Fig. 1
Llamando a las ordenadas yi (i = 0,1, 2, 3, ...., n), las áreas de los trapecios son: ⎛ y0 + y1 ⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ y + y2 ⎞ A2 = Δ x ⎜ 1 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ y + y3 ⎞ A3 = Δ x ⎜ 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ A1 = Δ x ⎜
(1)
⎛ y n−1 + yn ⎞ ⎟ 2 ⎝ ⎠
A n = Δ x ⎜
El área total comprendida entre x = a y x = b está dada por: b
A=
∫ f ( x ) dx ≅ A1 + A2 + A3 + + A
(2)
n
a
Sustituyendo las ecuaciones (1) en esta expresión se obtiene: b
A=
∫ f ( x ) dx ≅
a
Δ x
2
( y0 + 2 y1 + 2 y2 + + 2 y n−1 + yn )
(3)
La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como: I≅
Δ x ⎛
n −1
∑1
⎜ y0 + 2
2 ⎝
i=
⎞
yi + yn ⎟
⎠
(4)
Δ x
Restoo de de la las Or Ordenad nadas ) ( y + y + 2 Rest 2 0 n ∑ En esencia, la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos pequeños y aproximar la x) en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya integral curva y = f ( x puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos extremos de los intervalos. I≅
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Si la función f ( x) se puede expresar como una función matemática continua que tiene derivadas continuas f '('( x) y f''( x x), el error que resulta de aproximar el área verdadera en una columna bajo la curva f ( x x) comprendida entre xi y xi+1 mediante el área de un trapecio, se demuestra que es igual a: 1 3 eT = − f ′′(ξ )(Δ x ) x i < ξ < x i +1 (5) 12 Este error es la cantidad que se debe agregar al área del trapecio para obtener el área real. Se llama Error por Truncamiento, ya que es el error que resulta de utilizar una serie de Taylor truncada, en vez de una serie de Taylor completa, para representar en forma de serie el área de una columna. Generalmente no se puede valuar directamente el término mostrado como error por truncamiento. Sin embargo, se puede obtener una buena aproximación de su valor para cada columna suponiendo que f '' es suficientemente constante en el intervalo de la columna (se supone que las derivadas de orden superior son despreciables) y evaluando f” para ξ = xi. La estimación del error por truncamiento para la integración total se obtiene sumando las estimaciones para cada columna. Si la estimación obtenida para el error total por truncamiento es mayor de lo que se puede tolerar, se debe utilizar una columna más angosta o un método más preciso.
Otro error que se introduce al obtener el área aproximada de cada columna es el Error por Redondeo. Este se produce cuando las operaciones aritméticas requeridas se efectúan con valores numéricos que tienen un número limitado de dígitos significativos. Se puede demostrar que una aproximación al límite del error por redondeo es: ~e ( b − a )2 ⎛ 1 ⎞ y e R ≤ (6) ⎜ ⎟ 2 ⎝ Δ x ⎠ Tenemos entonces que el límite en el error por redondeo aumenta proporcionalmente a (1/ Δ x), lo cual pronto domina al error por truncamiento que es proporcional a Δ x2. En realidad, el error por redondeo en sí no crece proporcionalmente con Δ x -1. sino con Δ x - p p. en que 0 < p < 1, pero sin embargo aún supera al error por truncamiento si Δ x decrece lo suficiente. El error por redondeo se puede minimizar utilizando aritmética de doble precisión o mediante compiladores que pueden manejar un gran número de dígitos significativos. De la información anterior se puede ver que el error total en el intervalo de integración deseado, es la suma de los errores de truncamiento y redondeo. Si el error total se debiera únicamente al error por truncamiento, se podría hacer tan pequeño como se deseara reduciendo suficientemente el ancho de la columna. Por ejemplo, bisectando el ancho de la columna se duplicaría el número de errores por truncamiento que hay que sumar, pero la expresión para el error en cada columna indica que cada uno sería aproximadamente un octavo de su valor previo. Sin embargo, disminuyendo el ancho de la columna se afectaría también el error total al aumentar el error por redondeo, debido al mayor número de operaciones que hay que efectuar al valuar la ec. (3). Entonces, cuando se disminuye el ancho de la columna para disminuir el error total, existe un punto óptimo en el cual disminuciones adicionales del ancho de la columna harían que el error aumentara en lugar de disminuir, porque el error por redondeo se volvería dominante. El ancho óptimo de la columna para una función especial se puede determinar fácilmente en forma experimental en la computadora (suponiendo que el área real bajo la gráfica de la función se puede valuar) pero es difícil definirlo analíticamente. MECN3500-Métodos Numéricos para Ingeniería
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5.3 REGLA DE SIMPSON Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f ( a a) y f ( b), entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden. A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson.
5.4 REGLA DE SIMPSON 1/3 La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos columnas, bajo la curva f ( x) en la fig. 2, se aproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos: ( x i , y i ) ( x i +1 , y i +1 ) ( x i + 2 , y i + 2 ) y = f ( x x) y = ax2+bx+c
y = f ( x x)
x
xi
x
xi+1
xi+2
x
Fig. 2
Por conveniencia al derivar una expresión para esta área, supongamos que las dos columnas que comprenden el área bajo la parábola se encuentran en lados opuestos del origen, como se muestra en la fig. 3. Este arreglo no afecta la generalidad de la derivación. La forma general de la ecuación de la parábola de segundo grado que conecta los tres puntos es: y = ax 2 + bx + c (7) La integración de la ec. (7) desde - Δ x hasta Δ x proporciona el área contenida en las dos columnas mostradas bajo la parábola. Por lo tanto: Δ x
Δ x
⎡ ax 3 bx 2 A = ∫ ( ax + bx + c dx ) = ⎢ + + cx ⎤⎥ 2 ⎣ 3 ⎦ −Δ x − Δ x 2
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(8)
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Universidad Interamericana Recinto de Bayamón -Escuela De Ingeniería y = f ( x x) y = ax2+bx+c
y = f ( x x)
yi+1 A 2 columnas yi+2
yi
x = - x
0
x = x
x
Fig. 4
La sustitución de los límites en la ec. (8) produce: 2 3 (9) A2 correas = a (Δ x ) + 2 c (Δ x ) 3 Las constantes a y c se pueden determinar sabiendo que los puntos (- Δ x, yi) (0. y yi+1), y (Δ x, yi+2) deben satisfacer la ec. (7). La sustitución de estos tres pares de coordenadas en la ec. (7) produce: 2
y i = a (− Δ x ) + b (− Δ x ) + c y i +1 = c
(10) 2
y i + 2 = a (Δ x ) + b(Δ x ) + c
La solución simultánea de estas ecuaciones para determinar las constantes a, b, c, nos lleva a: y − 2 y i +1 + y i + 2 a = i 2(Δ x )2 b =
y i + 2 − y i
(11)
2Δ x
c = y i +1
La sustitución de la primera y tercera partes de la ec. (11) en la ec. (9) produce: =
Δ x
(12) ( y + 4 yi +1 + yi+ 2 ) 3 0 que nos da el área en función de tres ordenadas yi , yi+1 , yi+2 y el ancho Δ x de una columna. 2 correas
Esto constituye la regla de Simpson para determinar el área aproximada bajo una curva contenida en dos columnas de igual ancho. Si el área bajo una curva entre dos valores de X se divide en aplicación de la ec. (12) muestra que:
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n
columnas uniformes ( n par), la
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A0 =
Δ x
A1 =
Δ x
A2 =
Δ x
3 3 3
( y0 + 4 y1 + y2 ) ( y2 + 4 y3 + y4 ) ( y4 + 4 y5 + y6 )
(13)
A n 2 =
Δ x
(y
+ 4 yn−1 + yn )
3 n−2 Sumando estas áreas, podemos escribir: x n+1
∫ 0
n
f ( x ) dx =
2
∑1
Ai =
i=
x1 =
Δ x
3
( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 2 y4 + + 2 yn−2 + 4 yn−1 + yn )
(14)
o bien ( −2 ) 2 2 ⎛ ⎞ Δ x 4 2 f x d x = A = y + y + y + y ⎜ ( ) ∑ ∑ ∑ 0 2 i +1 2i i n ⎟ ∫ ⎜ ⎟ 3 i =1 i =0 i =1 x1 = 0 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ n −1 n− 2 Δ x ⎜ I= y0 + 4 ∑ y i + 2 ∑ y i + y n ⎟ ⎟⎟ 3 ⎜⎜ i =1 i =2 im pares pares ⎝ ⎠ en donde n es par.
x n+1
n
2
n
n
(15)
La ec. (15) se llama Regla de Simpson de un Tercio para determinar el área aproximada bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un número par de columnas de ancho Δ x. Si la función f(x) se puede expresar como una función matemática continua que tiene derivadas continuas f’ a f IV , el error que resulta de aproximar el área verdadera de dos columnas bajo la curva f(x) comprendida entre xi-1 y xi+1 mediante el área bajo una parábola de segundo grado, se demuestra que es: 1 5 eT = − f IV (ξ )(Δ x ) x i −1 < ξ < x i +1 (16) 90 Este error por truncamiento es la cantidad que se debe agregar al área aproximada de dos columnas, que se obtiene mediante la regla de un tercio de Simpson, para obtener el área real bajo la curva en ese intervalo. El término mostrado del error por truncamiento generalmente no se puede valuar en forma directa. Sin embargo, se puede obtener una buena estimación de su valor para cada intervalo de dos columnas suponiendo que f IV es suficientemente constante en el intervalo (se supone que las derivadas de orden superior son despreciables) y valuando f IV para = xi. La estimación del error por truncamiento para toda la integración se obtiene sumando las estimaciones correspondientes a cada dos columnas. Si la estimación del error total por truncamiento es mayor de lo que se puede tolerar, se deben utilizar intervalos de dos columnas menores. Considerando el error por redondeo que también aparece, existe un ancho óptimo de la columna para obtener un error total mínimo en la integración.
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5.5 REGLA DE SIMPSON 3/8 La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma general de la parábola de tercer grado es: y = ax 3 + bx 2 + cx + d
(17)
y = f ( x) (-1/2 x, yi+1 )
(1/2 x, yi+2 ) (-3/2 x, yi+3 )
(-3/2 x, yi )
-2 x
- x
0
x
2 x
Fig. 4
En la derivación, las constantes se determinan requiriendo que la parábola pase a través de los cuatro puntos indicados sobre la curva mostrada en la fig. 4. El intervalo de integración es de –(3 Δ x)/2 a (3Δ x)/2, lo que produce: A3 correas =
3 Δ x 2
3Δ x 3 2 + + + = ( ) ( y ax bx cx d dx ∫ 8
−3 Δ x
i
+ 3 y i +1 + 3 y i + 2 + y i +3 ) (18)
2
O bien n − 2 n −3 ⎞ 3Δ x ⎛ + + + + 3 2 I≅ y y y y y ( ) ⎜ ∑ ∑ i n⎟ 8 ⎝ 0 i =1,4,7,… i i +1 i = 3, 6 ,9 ,… ⎠
(19)
que es la regla de los tres octavos de Simpson. La ecuación 19 requiere que el número de segmentos sea múltiplo de 3. La regla de Simpson de 3/8 tiene un error por truncamiento de: 3 IV 5 f (ξ )(Δ x ) 80 Por lo tanto es algo más exacta que la regla de 1/3. eT = −
(20)
La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos necesarios para la versión de 3/8. No obstante la regla de 3/8 tiene utilidad en las aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de columnas es impar. MECN3500-Métodos Numéricos para Ingeniería
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5.6 EJEMPLO 1.
Utilícese la regla trapezoidal de cuatro segmentos o columnas para calcular la integral de f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5 desde a = 0 hasta b = 0.8 y calcular el error sabiendo que el valor correcto de la integral es 1.64053334. SOLUCIÓN Δ x =
b − a n
n=4
=
0.8 − 0.0 = 0.2 4 x
f(x)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.200 1.288 2.456 3.464 0.232
usando la fórmula trapezoidal: 0.2 I ≅ [0.2 + 0.232 + 2(1.288 + 2.456 + 3.464)] = 1.4848 2 ex = 1.64053334 - 1.4848 = 0.15573334 e% = 9.5 % 2.
Utilícese la regla de Simpson de 1/3 con n = 4 para calcular la integral del inciso anterior SOLUCIÓN n = 4 Δ x = 0.2 x
f(x)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.200 1.288 2.456 3.464 0.232
usando la regla de Simpson de 1/3 0.2 [0.2 + 0.232 + 4(1.288 + 3.464) + 2(2.456 )] = 1.62346667 I ≅ 3 e x = 1.64053334 - 1.62346667 = 0.01706667 e% = 1.04 % 3.
Utilícese la regla de Simpson de 3/8 para calcular la integral anterior:
SOLUCIÓN Como se requieren cuatro puntos o tres columnas para la regla de Simpson de 3/8, entonces: 0.8 − 0.0 Δ x = = 0.2667 3 46
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x
f(x)
0.0000 0.2667 0.5333 0.8000
0.20000000 1.43286366 3.48706521 0.23200000
usando la ecuación de Simpson de 3/8 3(0.2667 ) I ≅ [0.2 + 0.232 + 3(1.432864 + 3.487065 )] = 1.51917037 8 e x = 1.64053334 - 1.51917037 = 0.121164 e% = 7.4 % 4.
Utilícese en conjunción las reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 para integrar la misma función usando cinco segmentos.
SOLUCIÓN Los datos necesarios para la aplicación de cinco segmentos ( h = 0.16 ) son: x
f(x)
0.00 0.20000000 0.16 1.29691904 0.32 1.74339328 0.48 3.18601472 0.64 3.18192896 0.80 0.23200000 La integral de los primeros dos segmentos se obtiene usando la regla de Simpson de 1/3: 0.16 I ≅ [0.2 + 1.743393 + 4(1.296919 )] = 0.38032370 3 Para los últimos tres segmentos, se usa la regla de Simpson de 3/8 para obtener: 3(0.16 ) I ≅ [1.743393 + 0.232 + 3(3.186015 + 3.181929 )] = 1.26475346 8 La integral total se calcula sumando los dos resultados: I = 0.38032370 + 1.26475346 = 1.64507716 ex = 1.64053334 - 1.64507716 = -0.00454383 e% = -0.28 %
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5.7 PROBLEMAS 1.- Evaluate the integral I=
2π
∫ 0
cos 2 xdx
Using the following methods with 6 function evaluations: a) Trapezoidal rule 1 b) Simpson’s rule. 3 3 c) Simpson’s rule. 8 2.-
A closed cylindrical barrel, of radius R and length L, is half full with oil of weight density w and lies on the ground on the edge AB as shown.
The force exerted by oil on the circular side ( F) is given by R F = ∫ 2 w R 2 − x 2 xdx 0
3 F for 2 = 2 ft and w =90 lb/ft using the following methods: Find the value of F
a) Analytical integration. b) Trapezoidal rule using 12 steps. 1 c) Simpson’s rule using 12 steps. 3 3 d) Simpson’s rule using 12 steps. 8
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