INTEGRAL DAN PENGGUNAANNYA TUGAS MANDIRI MATEMATIKA KONTEKSTUAL KEMIPAAN 4
DISUSUN OLEH: MUHAMMAD ARISTO VIDIARTA 15/379611/PA/16669 GEOFISIKA 2015
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADAH MADA TAHUN 2015/2016
1
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah puji syukur
kami panjatkan
kehadirat Allah SWT karena berkat rahmat
dan hidayah-Nya kami dapat menyelesaikan tugas Matematika Kontekstual, yaitu TUGAS MAKALAH TENTANG INTEGRAL DAN PENGGUNAANNYA tanpa halangan suatu apapun.
Banyak orang yang menganggap pelajaran matematika itu adalah pelajaran yang sulit, tapi sebenarnya tidaklah ada hal yang sulit apabila kita memperhatikan, memahami dan tekun belajar. Khususnya pada sub bab ntegral dalam pelajaran ini mudah jika kita bisa men!oba soalsoal integral terus menerus dan memahami konsep integral yang ada. "leh karena itu, tugas ini penulis buat untuk memahami integral dan penggunaannya. #engan tersusunya tugas ini penulis berharap dengan tugas ini bisa membuat penulis mendapat nilai yang baik dan juga tugas ini semoga dapat berguna dalam proses belajar mengajar dan berguna bagi pemba!anya dengan begitu tidak per!uma makalah ini disusun. #alam kesempatan kali tidak lupa penulis mengu!apkan banyak terima kasih kepada Bpk. #r. Budi Surodjo, M.Si. yang telah membina dan mengarahkan kami untuk dapat menyelesaikan tugas ini dengan hasil yang baik dan penulis juga berterima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini. Mengingat bah$a manusia memiliki kelebihan maupun kekurangan dalam mengerjakan sesuatu hal, maka penulis mengharapkan pemba!a bersedia untuk memberika koreksi terhadap tugas ini. "leh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersi%at konstrukti% dari para pemba!a semua dan juga mudah mudahan laporan yang penulis susun ini dapat berman%aat bagi pemba!a semua dan dapat meningkatkan prestasi si penyusun dan si pemba!a . &ogyakarta, '( "ktober ')*+
enulis,
Muhammad Aristo idiarta
2
DAFTAR ISI
udul///////////////////////////////......... * Kata engantar/////////////////////////////. ' #a%tar si///////////////////////////////.. 0 BAB endahuluan///////////////////////////. 1 *.* 2atar Belakang////////////////////////... *.' 3umusan Masalah///////////////////////.. *.0 Tujuan//////////////////////////// *.1 Man%aat///////////////////////////..
1 + + +
BAB embahasan///////////////////////////. ( '.* Sejarah ntegral////////////////////////.. ( '.' #e%inisi ntegral////////////////////////. 4 '.0 enerapan ntegral dalam bidang 5eo%isika/////////////.. *0 '.1 enerapan ntegral dalam bidang lain//////////////// *+ BAB enutup////////////////////////////.. *( 0.* Kesimpulan////////////////////////// *( 0.' Saran////////////////////////////.. *( #a%tar ustaka/////////////////////////////. *6
!A! I PENDAHULUAN
1"1 L#$#% !&'#(#)*
Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki si%at uni7ersal, dimana
matematikaini memiliki peran penting di semua bidang ilmu pengetahuan. Melalui perkembanganpenalaran dan abstraksi, matematika berkembang dari pen!a!ahan, perhitungan, pengukurandan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda %isika. Matematikase!ara praktis mendaji salah satu kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang,termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran8medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi,dan psikol ogi. Matematika terapan, !abang matematika yang melingkupi penerapanpengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaantemuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. ara matematika$an juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itusendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadilatar mun!ulnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian. Salah satu !abang dari lmu Matematika yang patut di pelajari adalah ntegral. ntegral adalah la$an dari proses di%erensial. ntegral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentudan integral tak tentu. erbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integraltertentu memiliki batasan-batasan ,integral tak tentu tidak memiliki batasan 9 batasan.enguasaan mata pelajaran Matematika khususnya mengenai integral bagi peserta didik juga ber%ungsi membentuk kompetensi program keahlian #engan mengajarkan Matematikakhususnya dalam hal integral diharapkan peserta didik dapat menerapkannya dalam kehidupansehari-hari dan mengembangkan diri di bidang keahlian dan pendidikan pada tingkat yang lebih tinggi.
1"2 R+,+-#) M#-#'#.
!
*. '. 0. 1.
Bagaimana Sejarah ditemukannya ntegral: Apa yang dimaksud dengan ntegral: Bagaimana penerapan ntegral dalam bidang 5eo%isika: Bagaimana penerapan ntegral dalam bidang lain:
1"3 T++#)
*. '. 0. 1.
Mengetahui sejarah ditemukannya ntegral. Mengetahui de%inisi dari ntegral. Mengetahui penerapan ntegral dalam bidang 5eo%isika Mengetahui penerapan ntegral dalam bidang lain.
1"4 M#)##$
Man%aat dari penulisan makalah ini adalah agar pemba!a dapat mengetahui sejarah ditemukannya ntegral, de%inisi dari ntegral, penerapan ntegral dalam bidang 5eo%isika, dan penerapan ntegral dalam bidang lain.
!A! II PEM!AHASAN
2"1 S&#%#. I)$&*%#'
"
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode ;aman, yaitu ;aman kuno, ;aman pertengahan, dan ;aman modern. ada periode ;aman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah mun!ul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. erhitungan 7olume dan luas yang merupakan %ungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada apirus Mosk$a Mesir Teorema Rolle>. Sekitar tahun *))), matematika$an rak bn al-?aytham
khusus
dari teorema
dasar
kalkulus
pada
tahun
*((6.
2eibni; dan Ne$ton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmu$an tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus se!ara terpisah dalam $aktu yang
hampir
bersamaan.
Ne$ton
mengaplikasikan
kalkulus
se!ara
umum
ke
bidang %isikasementara 2eibni; mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. #
Ketika Ne$ton dan 2eibni; mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontro7ersi di antara matematika$an tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Ne$ton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi 2eibni; yang pertama kali mempublikasikannya. Ne$ton menuduh 2eibni; men!uri pemikirannya dari !atatan-!atatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Ne$ton kepada beberapa anggota dari Royal Society. emeriksaan se!ara terperin!i menunjukkan bah$a keduanya bekerja se!ara terpisah, dengan 2eibni; memulai dari integral dan Ne$ton dari turunan. Sekarang, baik Ne$ton dan 2eibni; diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus se!ara terpisah. Adalah 2eibni; yang memberikan nama kepada ilmu !abang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Ne$ton menamakannya >The science of fluxions>. Sejak itu, banyak matematika$an yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus. Konon dalam sejarah matematika, pelajaran integral lebih dikenal dengan anti-di%%erensial atau kalo di sekolah atau perguruan tinggi, kita lebih mengenal kata >turunan dibanding kata >di%%erensial. adi ntegral itu adalah kebalikan dari turunan. Baik integral ataupun di%%erensial, keduanya merupakan bagian dari ilmu Kalkulus dalam Matematika. Menurut sejarah, tokoh yang mengembangkan dan memperkenalkan konsep di%%erensial dan anti-di%%erensial Notasi 2eibni;, karena 2eibni; lah yang memperkenalkan konsep integral dalam Matematika, lambang integral seperti ini C D, diambil dari huru% pertama nama si 2eibni;, yaitu huru% >2, namun pada ;aman dahulu orang menuliskan huru% >2 dalam bentuk yang indah. lmu$an dalam erkembangan Matematika ?itung ntegral Sejak ilmu matematika berkembang dari abad sebelum masehi sampai abad sesudah masehi juga sampai sekarang jaman modern. lmu tentang integral mengalami perkembangan yang !ukup bagus. #ari integral yang dikembangkan oleh 2eibni;h pada abad sesudah masehi sampai integral yang kembangkan oleh ?ensto!k-kur;$eill jaman modern sekarang ini . menurut sejarahnya, orang yang ter!atat pertama kali mengemukakan ide tentang integral adalah Ar!himides, seorang ahli matematika $
bangsa &unani yang berasal dari Syra!usa <'6@ 9 '*' SM=. a menggunakan ide itu untuk menghitung luas daerah lingkaran, daerah yang dibatasi parabola dan tali busur, dan sebagainya. ?itung integral merupakan metode matematika dengan latar belakang sejarah yang !ukup unik. Banyak ilmu$an, baik matematika maupun non-matematika, yang berminat terhadap perkembangan matematika hitung integral, di antrannya sebagai berikut. Tokoh-Tokoh Matematika dalam integral *. Ar!himedes <'6@-'*' SM=, seorang %isika$an sekaligus matematika$an dari Syra!use, &unani. ada abad kedua sebelum masehi, Ar!himedes talah menemukan ide penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan 7olume dari benda putar. #iantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola, 7olume bola, 7olume keru!ut, serta 7olume benda putar yang lain. de penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus ntegral. '. saa! Ne$ton <*(1'-*@'@ M=, seorang matematika$an sekaligus %isika$an dari nggris. saa! Ne$ton dan 5ott%ried $ilhelm 2eibni; dalam kurun $aktu yang hampir bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah menemukan hubungan antara Kalkulus #i%%eransial dan Kalkulus ntegral. Walaupun konsep luas daerah yang dibatasi oleh kur7a tertutup
5ott%ried
$ilhelm
2eibni;
<*(1(-*@*(
M=, seorang
ilmu$an
jenius
dari
2eip;ig,
erman. 2eibni; seorang ilmu$an serba-bisa. a mendalami bidang hukum, agama, %ilsa%at, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema #asar Kalkulus yang dikembangkan bersama Ne$ton, 2eibni; juga terkenal dengan pemakaian lambang matematika. 2ambang dE8dy bagi turunan dan lambang Dbagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh 2eibni; dalam ?itung #i%%erensial dan ?itung ntegral.
1. 5eorge Friedri!h Bernhard 3iemann <*6'(-*6(( M=, seorang matematika$an dari 5ottingen, erman. Meskipun Teorema #asar Kalkulus telah dikemukakan oleh Ne$ton, namun 3iemann memberi de%inisi mutakhir tentang integral tentu. Atas sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai ntegral 3iemann.
%
2"2 D&)- I)$&*%#'
ntegral adalah suatu bilangan yang dihitung melalui proses pembatasan
ʃ
menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi di%erensiasi. 2ambang integral adalah
ntegral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas ba$ah. ntegral tak tentu biasanya dipakai untuk men!ari 7olume benda putar dan luas. •
ntegral Tak Tentu Notasi8lambang untuk menyatakan integral adalah ∫ . Misalkan F
∫ f < x= dx
= F < x= + c
3umus dasar integral tak tentu a. ntegral Fungsi Aljabar Gara menentukan integral %ungsi aljabar. Misalkan y H EnI* maka kita dapat menentukan
nI*=-*
turunan pertamanya, yaitu yJ H
n
H
&
dy
dy
dx
dx
sehingga diperoleh
H
Kemudian disubtitusikan dengan bentuk %ungsi y H E
∫
n +*
x
n +*
+c
, n ≠ 9*
ada materi di%erensial, jika turunan F
turunan dari yH F
dx
H%
bah$a ∫ %
Si%at-si%at yang merupakan rumus-rumus dasar integral adalah sebagai berikut. *. ∫ dE H E I ! *
'. ∫ E dE H n
n
+*
EnI* I ! n ≠ 9*
a
a
0. ∫ n dE H a
n
+*
EnI* I ! n ≠ 9*
a
1. ∫ dE H I ! +. ∫ %
a
@. ∫ %
1'
*. ika %
GontohC *. Selesaikan pengintegralan dari ∫ E1 √E dE. enyelesaianC *
∫
x 1 x x ' dx
∫ E1 √E dE H
∫
x
1 *'
dx
*
x 1 *' + *
1 * +* '
+c
'
**
x ' + c **
b. ntegral Fungsi Trigonometri Karena integral adalah operasi kebalikan
∫ sin E dE H 9!os E I !
•
∫ !os E dE H sin E I ! *
•
a
∫ sin aE dE H 9 !os aE I !
11
*
•
∫ !os aE dE H
a
sin aE I ! *
•
a
∫ sin
•
∫ !os
a
sin
ntegral Tentu
•
Misalkan % kontinu pada inter7al tertutup a,bL atau a ≤ E ≤ b. ika F suatu %ungsi sedemikian rupa sehingga F′
∫ a
f < x=dx = [ F < x)] a = F
F
Misal g
∫ f < x=dx a
dengan E∈a,bL maka g
x
H
∫ f < x=dx a
H F
Si%at-si%at integral tertentuC Misal %
a.
∫ f < x=dx a
b
b.
∫ a
H)
f < x=dx
a
∫ f < x=dx
H 9
b
12
b
!.
∫ a
b
f < x=dx
H !
∫ f < x=dx a
b
d.
∫ a [ f < x= ± g < x=]dx c
e.
∫ a
f < x=dx +
b
∫ a
b
H
∫ a
, dengan ! konstanta b
f < x= dx
±
∫ g < x=dx a
b
f < x= dx
H
∫ f < x=dx a
dengan a ! b.
2"3 P&)&%##) I)$&*%#' #'#, #)* G&-(# 1. Metode Elektromagnetik
#alam penggunaan metode elektromagnetik, determinasi perjalanan $aktu yang digunakan oleh sinyal elektromagnetik dihitung menggunakan deri7ati% dari sinyal T#3.
2. Metode gravitasi
#eri7ati% digunakan pada penghitungan mengenai per!epatan di sebuah 7ektor tiga dimensi. ika kita menggunakan koordinat kartesius
1
komponen
Selain itu penggunaan deri7ati% lainnya dalam metode gra7itasi adalah dalam men!ari potensi gra7itasi dari titik sebuah massa
ersamaan tersebut menghasilkan sebuah solusi C
3. Seismologi dan Struktur internal bumi
#eri7ati% digunakan sesuai dengan rinsip #OAlembert dimana deri7ati% dapat mendemonstrasikan dengan sederhana %ungsi dari
seperti
penjabaran berikut.
ersamaan tersebut 7alid untuk ! bernilai positi% maupun negati% sehingga persamaan umum dari F dapat disimpulkan merepresentasikan superposisi dari gelombang yang 1!
berjalan berla$anan arah di sepanjang sumbu P sesuai persamaan berikut.
2"4 P&)&%##) I)$&*%#' #'#, #)* '#)
Bidang konomi •
Men!ari %ungsi asal dari %ungsi marginalnya <%ungsi turunannya=.
•
Men!ari %ungsi biaya total.
•
Men!ari %ungsi penerimaan total dari %ungsi penerimaan marginal.
•
Men!ari %ungsi konsumsi dari %ungsi konsumsi marginal.
•
Fungsi tabungan dari %ungsi tabungan marginal.
•
Fungsi kapital dari %ungsi in7estasi. Bidang Teknologi
• enggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebo!oran selama selang
$aktu tertentu • enggunaan ke!epatan pesa$at ulang alik ndea7our untuk menentukan ketinggian maksimum
yang di!apai pada $aktu tertentu. • Meme!ahkan persoaalan yang berkaitan dengan 7olume, paanjang kur7a, perkiraan populasi,
keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha, surplus konsumen. Bidang Fisika •
Analisis rangkaian listrik arus AG.
•
Analisis medan magnet pada kumparan.
•
Analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung. Bidang Matematika
•
Menentukan luas suatu bidang,
1"
•
Menentukan 7olume benda putar,
•
Menentukan anjang busur
!A! III PENUTUP
3"1 K&-,+'#)
ntegral adalah suatu bilangan yang dihitung melalui proses pembatasan
ʃ
2ambang integral adalah , diambil dari huru% pertama nama si 2eibni;, yaitu huru% >2. ntegral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas ba$ah. ntegral tak tentu biasanya dipakai untuk men!ari 7olume benda putar dan luas. ntegral dapat diterapkan dalam beberapa bidang, antara lain bidang ekonomi, bidang teknologi, bidang %isika, bidang matematika, dan bidang geo%isika. #alam bidang geo%isika, integral digunakan dalam metode elektromagnetik, metode gra7itasi, seismologi dan struktur internal bumi, dan masih banyak yang lainnya.
3"2 S#%#)
*. ?endaknya dalam proses belajar mengajar matematika integral, lebih sering diberi tugas. #an hendaknya tugas yang di berikan tidak terlalu menyulitkan bagipeserta didik. Sehingga para
1#
peserta didik bisa menyelesaikan tugas denganbaik dan termoti7asi untuk mempelajari Matematika ntegral ini. '.
?endaknya dalam proses belajar mengajar pihak guru memberikanpembelajaran yang merata bagi seluruh sis$a di kelas. #an hendaknya pihakguru tidak hanya memperhatikan bagian sudut kelas tertentu, sehingga bagiansudut kelas yang lainnya sering terbengkalai sehingga dalam prosespembelajaran bagian sudut kelas tersebut tidak bisa mengikuti dengan baik.
0.
?endaknya dalam proses e7aluasi pembelajaran tidak memberikan jenis-jenissoal yang terlalu rumit8susah dan terkesan sangat berbeda dengan soal-soallatihan yang sederhana dan diberikan selama proses pembelajaran. Sehinggasoal-soal e7aluasi yang di berikan selama ini sulit untuk di selesaikan olehpeserta didik.
1$
DAFTAR PUSTAKA
*. '. 0. 1. +. (.
Nugraha, #idit Budi.')*'. Kalkulus Integral dan Aplikasinya.akartaC 5raha lmu httpC88shakuyaa.blogspot.!o.id8')*08)18integral-kalkulus.html httpC88$$$.s!ribd.!om8do!811+0@*(08Matematika-ntegralQs!ribd httpC88!eritabaru')*'.blogspot.!o.id8')*18)(8makalah-integral.html httpC88$$$.a!ademia.edu840+(6(@8enggunaanRntegralRdalamRbidangR5eo%isika httpsC88id.$ikibooks.org8$iki8SubjekCMatematika8MateriCntegral
1%
