INTRODUCCION:
Las integrales dobles surgen con la necesidad de resolver algunos problemas de la física, la matemática y la estadística. Particularmente, en el caso de la estadística, la evaluación de variables aleatorias bidimensionales contínuas requiere la resolución de integrales dobles definidas. Es por eso que se considera importante y a la vez necesario efectuar una revisión de la metodología necesaria para resolver este tipo de integrales.
TIPOS DE INTEGRALES DOBLES Al igual que en el caso de una sola variable, las integrales dobles pueden ser: Indefinidas, en cuyo caso el resultado final es una función más una constante, o bien definidas, donde existen límites específicos de integración y el resultado final es una cantidad o número. En aplicaciones estadísticas, las integrales que se deben evaluar algunas veces son dobles y definidas, por lo que se le dará prioridad a este tipo.
METODO PARA RESOLVER INTEGRALES DOBLES Para resolver una integral doble de la forma:
Se aplica un principio semejante al de la regla de la cadena: “resolver primero la integral interna y luego con el resultado de ésta, la integral externa”.
Algunos detalles importantes son los siguientes: Todas las reglas, teoremas, técnicas y trucos de integración son válidos Si se integra respecto a una variable, la otra se considera constante -
Se puede cambiar el orden del diferencial (dx, dy) para facilitar el proceso, y al final se debe obtener el mismo resultado.
EJEMPLO Evaluar la siguiente integral:
Paso 1: Identificara la integral interna
Paso 2: Resolver la integral interna, dejando constante x y variable y
Paso 3: Resolver la integral externa, utilizando el resultado de la integral interna
EJEMPLO Resolver:
Paso 1: Identificar la integral interna:
Paso 2: Resolver la integral interna, dejando constante x y variable y :
Paso 3: Resolver la integral externa, utilizando el resultado de la interna:
Ejemplo 3: Resuelva:
Aunque en la integral interna los límites ahora son variables, el procedimiento que se sigue es el mismo Paso 1: Identificar la integral interna:
Paso 2: resolver la integral interna, dejando constante x y variable y
Paso 3: usando como integrando el resultado de la integral interna, resolver la externa En este caso hay que aplicar sustitución por U en el primer término de la siguiente manera: Si U=x2+1, dU=2x dx y dU/2=x dx También se puede desarrollar el binomio cuadrado del primer término x(x2+1)2=x( x4+2x2+1)=x5+2x3+x
Ejemplo 4: Evalúe:
En este ejemplo los límites simbólicos están para la variable y , pero el proceso es el mismo Paso 1: Identificar la integral interna
Paso 2: Resolver la integral, dejando constante a y, y variable a x
Paso 3: Resolver la integral externa, usando el resultado de la integral interna como integrando: (en el segundo término hay que usar integración por partes o tabla)
La integral gaussiana Publicado el 27/03/2012por Miguel Lacruz
La integral gaussiana, que toma su nombre del matemático alemán Carl Friedrich Gauss, viene dada por la expresión
El cálculo de esta integral tiene una gran importancia en teoría de probabilidad porque representa la masa de la distribución normal. La integral gasussiana tiene muchas más aplicaciones, por ejemplo, en la teoría cuántica de campos. Aunque el integrando no admite una primitiva expresable en términos elementales, hay varias formas de calcular la integral gaussiana que evitan la regla de Barrow . Veamos a continuación un método de cálculo. Poniendo
resulta que
donde la última igualdad entre una integral iterada y una integral doble se cumple gracias al teorema de Fubini. Ahora hacemos un cambio de variable en la integral doble usando coordenadas polares
Un sencillo cálculo con
derivadas indica que el determinante jacobiano de esta transformación viene dado por la expresión
Aplicando el teorema del cambio de variable en la integral doble resulta que
Esta última integral es inmediata y se puede calcular usando la regla de Barrow ,
Combinando las expresiones anteriores llegamos a la conclusión de que decir, que
es
como queríamos demostrar.
La distribución normal Publicado el 27/03/2012por Miguel Lacruz
Se dice que una variable aleatoria continua parámetros
y se denota
obedece a una distribución normal de si su función de densidad de probabilidad
viene dada por la expresión
Observemos que
para todo
Además, practicando el cambio de
variable
resulta que
porque según este post, la integral gaussiana viene dada por la expresión
Calculemos ahora la función generadora de momentos. Tenemos
Completando el cuadrado en la expresión entre corchetes resulta
y de aquí se deduce que
donde
Resumiendo, la función generadora de momentos de una distribución normal de parámetros
viene dada por la expresión
Ahora calculamos las dos primeras derivadas de la función generadora de momentos.
Finalmente, los momentos de
respecto al origen vienen dados por
y por lo tanto de
viene dada por
BIBLIOGRAFIA: Leithold, Louis. El Cálculo 7. Zill, Denis. Cálculo con Geometría Analítica Swokowski, Earl. Cálculo con Geometría Analítica Café matematico.wordpress.com
Además, la varianza
