ARITMÉTICA
Interés 1. CONCEPTO Se denomina interés a la ganancia obtenida obteni da por el prés préstam tamo o de una determinad deter minadaa cant cantidadde idadde diner dinero o duran durante te un cierto tiempo y bajo condiciones previamente señaladas en la tasa de interés. La regla de interés es el conjunto de procedimientos que permiten el cálculo del interés con los elementos previamente señalados.
2. ELEMENTOS 2.1. Capita Capitall (C) (C) Es el din diner ero o qu quee ha sid sido o pr pres estad tado, o, impuesto o depositado en una entidad financiera.
2.2. Tie Tiempo mpo (t) (t) Es aquel que señala la duraci duración ón del prestamo expresado en años, meses o días.
Para el tiempo se considera: Un año comercial de 360 días. Un mes comercial de 30 días. Un año común de 365 días. Un año bisiesto de 366 días.
Es el indicador que señala la ganancia a recibir por el préstamo del capit capital, al, gene generalm ralmente ente exp expresad resado o como com o un tan tanto to por cie cient nto o del ca capit pital al prestado y en un período de tiempo señalado.
Ejemplo: Tasa de int inter erés és del 20 20% % anu anual al ind indica ica que en un año se debe de ganar 20 unidades monetarias de cada 100 prestadas. Tasas equivalentes Tasa 10% mensual<>tasa 30% trimestral<>tasa 120% anual Tasa 12% mensual<>tasa 36% trimestral<>tasa 144% anual Tasa 4% mensual<>tasa 12% trimestral<>tasa 48% anual
Se deposita 5000 soles en un banco a la tasa del 10% anual durante 2 años. ¿Qué monto se recibirá al cabo de dicho tiempo?
Resolución:
2.4. Mon Monto to (M) (M) Es el valor que resulta de sumar el cap capita itall pre presta stado do el in inter terés és gan ganado ado,, al término del prestamo.
I = 5000 × 10%(2) 10%(2) = 1000 soles El monto recibido: M = 5000+1000 =6000 soles
Monto = Capital + Interés
Observación
Ejercicio 1
Se ha prestado S/.750 por un año, recibiendo un interés de S/.300. ¿Qué monto se ha obtenido y qué tanto por ciento se está ganando (tasa)?
Resolución: Interés=300
2.3. Tasa de interés interés (r)
Ejercicio 2
Capital=750 (se presta)
gana
Monto= 750+300=1050 (se recibe)
tiempo=1 año
Se obtiene un monto de 1050. Interés 300 ×100%= ×100%=40% capital 750
r%=
3. INTERÉS SIMPLE Aquelenelcualelcapitalpermanece constante const ante durante todo el tiempo que dura el préstamo. El valor del inter interes es simple ganado por el préstamo de un capital C, durante t años, impuesto a la tasa del r% anual, está dado por: I = Cr% t ... (1)
Para utilizar únicamente la expresión (1) se debe de tener en cuenta que la tasa de interés y el tiempo deben de estar en las mismas unidades de tiempo.
4. CÁLCULO DE DÍAS TRANSCURRIDOS En el caso que el tiempo está dado en días, se utiliza los días que tiene el calendario.
Ejemplo: ¿Cuánt ¿Cuá ntos os dí días as ha hayy de desd sdee el 24 de ma marz rzo o al 25 de junio? 24 de marzo: El mes de marzo posee 31 días, como han transcurrido 24, faltan 31-24=7 días. Abril: Utiliza 30 días Mayo: Utiliza 31 días 25 de junio: Utiliza 25 días 24 marzo
25 junio
Marzo 7
Abril +
30
Mayo +
31
Junio +
25
93 días
109
ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010 Ejemplo: ¿Cuál es el interés producido por un capital de S/.2920 prestado al 9% semestral, desde el 20 de julio hasta el 18 de septiembre?, considerando a.- Interés ordinario b. - Interés exacto
Resolución:
Para obtener el monto final, que resulta de prestar un capital C, a una tasa del r%, durante n períodos de capitalización se utilizará: M=C(1+r%)n Donde la tasa y el número de períodos de capitalización deben de estar en las mismas unidades de la capitalización.
Calculando el número de días. 20 julio
18 septiembre
Julio 11
Agosto +
31
Setiembre +
18
60 días
2920×18×60 = S/.87,6 36000
Según el interés exacto: I=
Halla el monto de un capital de S/.6000 colocado al 12% de interés compuesto anual durante 3 años.
Resolución:
Según el interés ordinario: I=
Ejemplo:
2920×18×60 = S/.86,4 36500
Para realizar cualquier transacción, la norma bancaria es el sistema que utilizan los bancos para calcular el interés mediante el interés ordinario con el número exacto de días.
5. INTERÉS COMPUESTO El interés obtenido en un determinado período se agrega al capital para formar un nuevo capital, para el siguiente período. Este proceso se llama capitalización.
æ è
n
ö ø
r M=C 1+ 100
æ è
3
ö ø
12 Þ M=6000 1+ 100
M= S/.8429,568
6. TASAS EQUIVALENTES Dos tasas son equivalentes cuando, dentro de períodos de capitalización diferentes, se cumple:
æ è
n
ö ø
r 1+ 100
æ è
nxm
ö ø
r/m = 1+ 100
Se presta S/.1000 capitalizable anualmente al 10% anual durante 3 años. ¿Qué interés se gana? Interés +100
C 1=1000
Interés +110
C2=1100
C3=1210
Interés +121
C4=1331
1 año 1 año 1 año 1.er año 2.° año 3.er año
Tasa 10% anual Þ Al tercer año el nuevo capital formado es 1331 soles. El interés ganado es 1331–1000=331 soles.
110
¿Qué interés se gana al prestar S/.2500 por 6 meses al 10% bimestral?
Resolución: Se puede calcular de varias maneras: a) 6 meses <>3 bimestres; tasa 10% bimestral I=2500×10% (3)= S/.750 b) 6 meses;10% bimestral<>5% mensual. I=2500×5% (6)= S/.750 c) 6 meses<>1 semestre; 10% bimestral<>30% semestral. I=2500×30% (1)= S/.750 2. Halla el monto que produce S/.400 impuestos al 18% capitalizable cuatrimensualmente por 2 años y 8 meses.
Resolución: El tiempo indicado se expresa como fracción de un año: 2
2 años 8 meses <> 2+ 8 años= 8 12 3 3
8 año 12
Donde m es el número de períodos de capitalización en un año.
Ejemplo: Ejemplo:
1.
8 x3 3
nxm
Si prestamos S/.2000 al 16% capitalizable trimestralmente durante 3 años, ¿cuál será el monto?
Resolución: nxm
r/m M=C æ1+ ö Donde 1 año<>4 trimestres è 100ø
Þ m = 4 períodos de capitalización
æ è
También 1 año<> 3 cuatrimestres.
3x4
ö ø
16/4 M=2000 1+ = 2000(1,04)12=3202 100 Se recibe S/.3202 de monto.
ÞM=C æ1+r/möÞM=400 æ1+18/3ö
è
ø
100
M=400(1,06)8
è
ø
100
Þ M=S/.637,54
ARITMÉTICA 3. ¿ A l c a b o d e q u é t i e m p o u n capital de S/.8000 se convierte en S/. 15625, cuando ha sido colocado al 25% de interés compuesto anual?
Resolución:
æ è
Nivel I
ö ø
n
n
æ 5 è
ö ø
r M=C 1+ Þ15625=8000 1+ 25 100 100 6 6 3 5
n
Þ
2×
n
3
1)
n
æ ö æ ö Þ æ5ö = æ5ö è ø è ø è4ø è4ø
53 125 5 = = 2 3 (2 ) 100 4
2)
Se deposita 2500 al 20% anual, capitalizable trimestralmente durante 6 meses. Determina el interés ganado.
3)
Capitalización trimestral M=2500(1+5%) 2=2756,25
Se gana un interés:
d) S/.8000 e) S/.8400
¿Qué suma de dinero se debe depositar al 10% anual, para que en dos años y medio se convierta en S/.3750? a) S/.2400 b) S/.3000 c) S/.3200
Þ I = 2756,25 - 2500.
c) S/.180
Un capital fue depositado al 5% mensual y luego de tres meses ha producido un interés de S/.1200. ¿Cuál es el capital depositado? a) S/.6000 b) S/.6800 c) S/.7200
Resolución: 20% anual <> 5% trimestral 6 meses <> 2 trimestres
Se depositan S/.4000 a una tasa de interés del 0,8% quincenal. ¿Qué interés producirá en cinco quincenas? a) S/.120 b) S/.160 d) S/.200 e) S/.240
\ n = 3 años
4.
6) Los 2/5 de un capital se prestan al 30% y elrestose prestaa una tasa de manera que ambos capitales para un mismo tiempo producen el mismo interés. ¿Cuál es la tasa desconocida?
d) S/.2800 e) S/.3400
I = 256,25 4)
5.
Un capital depositado al 8% anual capitalizable semestralmente por un año, origina un monto de 8112 soles. ¿Qué interés se gana?
¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capital al 5% de interés anual, si los intereses producidos equivalen a la décima parte del capital? a)1,5 años b) 1 año c) 2 años d)2,5 años e) 3 años
Resolución: 5)
8% anual <> 4% semestral 1 año <> 2 semestres Capitalización semestral M=C(1+4%) 2=8112Þ C= S/.7500. El interés ganado: 8112 - 7500= S/.612
Una persona coloca la mitad de su capital al 6% anual, la tercera parte al 5%anual y el resto al 4% anual. Si luego de un año ganó S/.1600, ¿cuál es su capital? a) S/.30000 b) S/.33000 c) S/.36000
d) S/.39000 e) S/.45000
a) 20% d) 30%
b) 25% e) 40%
c) 45%
7) La relación de dos capitales es de 4 a 11. La relación entre los intereses producido después de algún tiempo es de 7 a 22. Si el segundo capital está impuesto al 16% anual, ¿cuál es la tasa de imposición del primer capital?
a) 14% d) 12%
b) 16% e) 15%
c) 10%
8) La diferencia de los capitales es S/.15000. Si se impone el mayor al 4% anual y el menor al 12% y luego de 18 meses los intereses son iguales, ¿cuál es el capital mayor?
a) S/.27500 b)S/.18000 c) S/.18500
d) S/.20500 e) S/.22500
9) Un capital impuesto al 1% mensual de interés simple produce anualmente 300 soles más que si se impusiera al 10% anual. Halla dicho capital.
a) S/.6000 b) S/.10000 c) S/.15000
d) S/.24000 e) S/.20000
10) Los 5/7 de un capital colocado al 3% produce anualmente S/.420 más que el resto colocado al 4%. ¿Cuál es el capital?
a) S/.28000 b) S/.63000 c) S/.40000
d) S/.56000 e) S/.42000
11) Un capital impuesto al 20% trimestral de interés simple se convirtió al cabo de ocho meses en S/.49680. ¿Cuál fue el capital?
a) S/.28600 b) S/.36000 c) S/.45000
d) S/.42300 e) S/.32400
111
ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010 12) Un capital se impone al 5% mensual. ¿En qué tiempo se quintuplicará?
a) 50 meses b) 60 meses c) 70 meses
d) 80 meses e) 90 meses
13) Un capital se presta al 50%. ¿En qué tiempo produce el 25% del monto?
a) 6 meses b) 8 meses c) 10 meses
d) 11 meses e) 12 meses
14) Si a un capital se le agrega sus intereses producidos en 10 meses, se obtiene un número que esal capital como 21 esa 20. Halla la tasa de interés anual
a) 6% d) 5%
b) 7% e) 9%
c) 8%
15) Un capitalse divideen tres partes iguales las cuales se imponen al 14%; 17% y 19% anual. ¿Al cabo de cuánto tiempo producirá un interés igual al capital?
a) 2 años b) 4 años c) 6 años
d) 5 años e) 8 años
Nivel II 16) La octava parte de un capital se depositó al 35%. Los3/7 delresto al40%y elsaldoa cierta tasa que permitió obtener una utilidad anual de 45% sobre dicho capital, ¿a qué tasa se colocó el saldo?
a) 55,75% b) 55,25% c) 35,25%
d) 48,25% e) 51,25%
17) Se prestó un capital por un año y el monto fue S/.5500 pero si se hubiera prestado por dos años sería S/.6000. ¿Cuál sería el monto en cuatro años?
a) S/.12000 b) S/.9000 c) S/.8000
18) Se ha colocado los 3/8 de un capital al 8% anual y el resto al 6% anual. Si al cabo de medio año el capital más el interés total suman S/. 41350, ¿cuál es la suma depositada al 6%?
a) S/.36000 b) S/.40000 c) S/.25000
d) S/.20000 e) S/.16000
19) Se sabe que S/.54000 es la suma de los capitales de dos personas. La primera impone su dinero al 4% durante tres meses y recibe un interés doble del que tendría la segunda persona imponiendo el suyo al 5% durante 6 meses. Indica el capital menor.
a) S/.8000 b) S/.6000 c) S/.9000
d) S/.7200 e) S/.12000
20) Se tiene dos capitales tales que los 3/4 del primero igualan a los 4/5 del segundo. Si colocamos al 9% trimestral durante 4 meses los 2/3 del primero y a la mitad del segundo se obtendrá S/.3270 como renta total. Halla el capital menor.
a) S/.20500 b) S/.24000 c) S/.20000
d) S/.22500 e) S/.25000
21) L u i s c o l o c a u n c a p i t a l a l 25% y Pedro el suyo al 12% observándoseque a loscinco años los montos obtenidos son iguales. Si el capital de Pedro excede en S/.780 al capital de Luis, calcula la suma de capitales.
a) S/.4220 b) S/.4680 c) S/.5240 112
d) S/.7000 e) S/.6500
d) S/.5620 e) S/.4620
22) Una empresa vende unamáquina al contado en S/.5000 o en su lugar, con una cuota inicial de S/.3000 y un pago de S/.2120 a los 45 días. ¿Cuál es la tasa anual de interés simple que cobra la empresa por el saldo quele pagan a los 45 días? (1mes = 30 días)
a) 16% d) 32%
b) 50% e) 36%
c) 48%
23) Una persona pide un préstamo al banco, y éste le cobra intereses de acuerdo a la siguiente expresión: I(n) = 2400 - 400n (en soles) y "n" en meses; que deberá usarse desde n=1 hasta que I(n)=0. ¿A cuánto asciende los intereses pagados por dicho préstamo?
a) S/.4800 b) S/.6000 c) S/.5200
d) S/.6400 e) S/.4000
24) Un capital es impuesto al 0,2% diariodurante10meses y produce S/.2784 más que si se pusiera al 0,2% mensual durante el mismo período de tiempo. Halla el capital.
a) S/.4000 b) S/.4800 c) S/.3600
d) S/.3200 e) S/.4200
25) Dos capitales que se diferencian en S/.45000 fueron impuestos a dos tasas que están en la relación de 5 a 4, después de un cierto tiempo se observa que los intereses producidos están en razón inversa a las tasas. Determina a cuánto asciende el mayor capital.
a) S/.65000 d) S/.60000 b) S/.125000 e) S/.105000 c) S/.75000
ARITMÉTICA 26) Dos hermanos reciben cierta herencia. El mayor coloca su parte al 7% anual y el menor al 4% anual. Si al cabo de 20 años sus capitales se igualaron, ¿qué parte de la herencia le correspondió al hermano mayor, inicialmente?
a) 2/7 d) 3/5
b) 3/7 e) 3/4
c) 2/5
27) Si un capital de $239200 es dividido en tres partes para imponerlas al 50%, 45% y 55% respectivamente, resulta que producen el mismo interés. Halla la parte impuesta al 45%.
a) S/.88000 b) S/.79000 c) S/.72000
d) S/.69000 e) S/.57400
28) Los 2/5 de un capital se prestan al r 1% anual y el resto al r 2% anual. Si al cabo de un año producen montos iguales, halla "r 2/r 1" sabiendo que r 2+r 1=100.
a) 1/4 d) 5/4
b) 3/4 e) 3/5
c) 2/3
29) ¿A qué tasa mensual debo imponer mi dinero sabiendo que tengo S/.1200 y dentro de ocho meses debo comprar un artefacto que actualmente cuesta S/.1400 y que al cabo de dicho tiempo su precio aumentará en un 20%?
a) 5% d) 15%
b) 17,5% c) 10% e) 12%
30) Una persona invierte en una empresa la suma de S/.18000 con la condición de cobrar 3,25% de interés simple y además el 5% de los beneficios que obtiene la empresa. Al cabo de dos años y ocho meses recibe S/.20310, como cuantía de capital, intereses y beneficios. Halla el capital total invertido en la empresa, sabiendo que los beneficios representan el 15% del mismo.
a) S/.150000 b) S/.100000 c) S/.120000
d) S/.200000 e) S/.160000
31) Dos capitales, uno de S/.2000 y otr o de S/. 3000, col ocados durante el mismo tiempo en un banco que paga el 10% de interés anual.Si se ha convertido en un monto total de S/.5375, ¿qué interés produciría el primer capital si se depositara en el mismo banco, pero a la mitad del tiempo mencionado?
b) S/.60 c) S/.75 e) S/.100
32) D o s c a p i t a l e s q u e s u m a n S/.14300 son impuestos, uno al 12% y el otro al 10%, durante el mismo tiempo, produciendo igual interés. ¿Cuál es el menor capital?
a) S/.6000 b) S/.6200 c) S/.6500
d) S/.7200 e) S/.7800
33) Un capital depositado al 12% anual ha producido un interés equivalente a 1/9 del monto. ¿Cuántos días duró el depósito?
a) 300 d) 365
a) S/.800 b) S/.900 c) S/.950
b) 325 e) 375
c) 350
d) S/.1000 e) S/.1200
35) Hace 6 meses se impuso un cierto capital, cuyo monto actual es S/.6200. Si dentro de un año el monto será S/.8600, ¿cuál fue la tasa de interés?
a) 20% d) 48%
Nivel III
a) S/.50 d) S/.90
34) Dos capitales que suman S/.6000 se imponen a una misma tasa de interés,elprimerodurante5meses y el segundo durante 8 meses, produciendo S/.125 y S/.280 de interés, respectivamente. Halla la diferencia de los capitales.
b) 38% e) 60%
c) 42%
36) Un capital se deposita al 20% semestral durante 18 meses. Si el mismo capital se hubiera depositado al 18% trimestral durante 20 meses, ¿cuál sería la relación de los intereses obtenidos?
a) 1/2 d) 2/5
b) 2/3 e) 3/5
c) 3/4
37) Se depositó un capital al 5% y el monto fue S/.4200. Pero si se hubiera depositado al 3%, el monto hubiera sido S/.3920. Halla el monto si se hubiera depositado al 2%.
a) S/.3780 b) S/.3870 c) S/.3890
d) S/.3980 e) S/.4100
38) Susana colocó la mitad de su capital al 6%, la tercera parte al 5% y lo que queda al 4%. Si gana una renta anual de S/.2080, ¿cuál es su capital? (en miles de soles)
a) 20 d) 26
b) 22 e) 39
c) 24
113
ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010 39) Un capital C se prestó al 0,1% de interés simple diario y después de un año produjo un monto de S/.6800. Si el interés ganado se vuelve a prestar a la misma tasa, ¿cuántos años deben transcurrir para que el monto sea C+50?
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
40) Un capital de S/. 3450 se divide en dos partes. La primera se deposita al 15% y la segunda al 12%, y resulta que al cabo de un año los intereses obtenidos están en la relación de 2 a 3. Halla la menor de las partes en la que fue dividido el capital.
a) S/.1000 b) S/.1200 c) S/.1450
d) S/.2500 e) S/.2250
41) Los 3/4 de un capital colocado al 1% trimestral durante 17 meses, produce un interés que se diferencia del que produce el resto del capital, pero colocado al doble de las condiciones del primero, en S/.680. Halla el capital.
a) S/.20000 b) S/.24000 c) S/.12000
d) S/.36000 e) S/.48000
b) 20% e) 35%
c) 25%
43) U n c a p i t a l d e S / . 4 5 0 0 e s impuesto al 20%, capitalizable cada año. Halla el interés ganado al finalizar el segundo año.
a) S/.1960 b) S/.1980 c) S/.2000
114
a) S/.1200 b) S/.1800 c) S/.2400
d) S/.1800 e) S/.1890
d) S/.3000 e) S/.3600
45) Al depositar un capital al 5%, capitalizableanualmente durante 3 años, se obtiene S/.2484,75 menos que si hubiera prestado el doble del capital anterior al 5% de interés simple durante 4 años. Halla el valor del capital inicial.
a) S/.1200 b) S/.1800 c) S/.2000
d) S/.2200 e) S/.2500
46) C a r l o s p r e s t a s u d i n e r o a l 20% de interés, capitalizable semestralmente. Si prestara C durante 18 meses ganaría 121 soles más que si lo prestara durante un año. Halla la suma de las cifras de C.
a) 1 d) 4
42) Un capital impuesto durante 2 años produce un interés igual al 10% del monto. ¿Qué porcentaje del monto produciría en 6 años?
a) 10% d) 30%
44) Se ha prestado un capital de S/.2500 al 24%, capitalizable semestralmente. Al cabo de "n" años el capital se convirtió en S/.5184. ¿Qué interés se habría ganado si el capital inicial se hubiese prestado al 48% de interés simple durante "n" años?
b) 2 e) 9
c) 3
47) Luis debe decidir si coloca su dinero en un banco A que le paga 88% de interés anual, o un banco B que le paga una tasa del 40% semestral, capitalizable trimestralmente. Si el tiempo de imposición es de 180 días, ¿qué porcentajemás gana en un banco respecto del otro?
a) 1% d) 0,1%
b) 0,5% c) 0,2% e) Gana igual
48) Un ciertocapital estuvoimpuesto durante 2 años al 10% anual, al cabo de los cuales se retira la totalidad del monto y se impone al 8% capitalizable anualmente durante un tiempo igual al anterior obteniéndose en total S/.6998,4. ¿Cuál es la diferencia entre el monto final y el capital inicial?
a) S/.1980,2 b) S/.1990,8 c) S/.1998,4
d) S/.1989,6 e) S/.1998
49) Una letra que vence el 10de julio es descontada al 45% el 11 de mayo y cobrando el banco una comisión del 1% adicional sobre el valor nominal. Si lo que recibió por la letra fue 4575 soles, ¿cuál es su valor nominal?
a) S/.4750 b) S/.4800 c) S/.4950
d) S/.5000 e) S/.5150
50) F a l t a n t r e s m e s e s p a r a e l vencimiento de una letra y se observa que los descuentos, comercial y racional están en la relación de 17 a 16. ¿Cuál es la tasa de descuento?
a) 20 % b) 22 % c) 24 %
d) 25 % e) 28 %
ARITMÉTICA
1) Karina depositó en el banco de Lima S/.3000 a una tasa de interés simple del 2% mensual. ¿Cuánto ganará en dos años?
a) S/. 1200 b) S/. 1560 c) S/. 1440
¿Qué cantidad se debe depositar a una tasa de interés del 4% mensual para que en medio año se convierta en $3100? a) $ 2000 b) $ 2200 c) $ 2400
d) S/. 1800 e) S/. 1500
3) Si un capital depositado a una tasa anual del r % produce un interés que representa el 18% del capital en cuatro meses, halla r.
a) 48% b) 50% c) 54%
2)
4)
d) 58% e) 60%
d) $ 2500 e) $ 2800
La cuarta parte de un capital se depositó al 8%anual y elresto al6% anual.Si luego de dos años los intereses ganados ascienden a S/.312, halla el capital. a) S/. 3000 b) S/. 2400 c) S/. 3600
d) S/. 2000 e) S/. 1800
5) La diferencia de dos capitales es S/.2000. Si el mayor se impone al 5% anual y el menor al 12% anual, luego de 10 meses los intereses obtenidos ascienden a S/.650. Halla la suma de los capitales.
a) S/. 10000 b) S/. 8000 c) S/. 7500
d) S/. 7000 e) S/. 5000
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