Interpolasi Kuadratik Interpolasi kuadratik adalah metode penyempurna setelah interpolasi linier, karena banyak kasus dengan penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan sebab fungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier. Untuk itu digunakan polinomial lain yang berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya. Interpolasi Kuadratik digunakan untuk mencari titik-titik antara dari 3 buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.
Gambar 1. Grafik interpolasi kuadratik
Untuk memperoleh titik Q(x,y) digunakan interpolasi kuadratik sebagai berikut:
(1)
Algoritma interpolasi kuadratik : 1. Tentukan 3 titik yang diketahui, misal disimbolkan dengan P(x 1,y1), Q(x2,y2), R(x3,y3). 2. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari 3. Hitung nilai y yang akan dicari dengan meggunakna rumus (1) 4. Tampilkan nilai nilai x dan nilai y
Listing program interpolasi kuadratik
clear clc disp(' "Interpolasi Kuadratik" ' ) disp(' Press Enter to continue ' ) pause %% disp(' Interpolasi Kuadratik Kelompok 2' ); disp(' Prodi Matematik FMIPA UNIB ') disp('===============2================' ); x=input ('masukkan nilai x= '); x1=input('masukkan nilai x1= ' ); x2=input('masukkan nilai x2= ' ); x3=input('masukkan nilai x3= ' ); y1=input('masukkan nilai y1= ' ); y2=input('masukkan nilai y2= ' ); y3=input('masukkan nilai y3= ' ); y=(y1*(((x-x2)*(x-x3))/((x1-x2)*(x1-x3))))+(y2*(((x-x1)*(xx3))/((x2-x1)*(x2-x3))))+(y3*(((x-x1)*(x-x2))/((x3-x1)*(x3x2)))); disp(y);
contoh soal Carilah nilai ln (3) dengan menggunakan metode kuadratik berdasar data berikut ini x
1
y = ln (x)
0
1,5
2
2,5
3,5
4
0,4054651081 0,6931471806 0,9162907319 1,252762968 1,386294361
Bandingkan hasil bila menggunakan x = 1, 1.5 dan 4 dengan x = 2.5, 3.5 dan 4 Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, hitung pula besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 3 = 1,098612289). Penyelesaian Diketahui : x
1
y = ln (x)
0
1,5
2
2,5
3,5
4
0,4054651081 0,6931471806 0,9162907319 1,252762968 1,386294361
nilai eksak dari ln 3 = 1,098612289 Ditanya a. Dengan menggunakan interpolaasi kuadratik carilah nilai ln (3), menggunakan titiktitik ln(1), ln(1,5) dan ln(4)
b. Dengan menggunakan interpolaasi kuadratik carilah nilai ln (3), menggunakan titiktitik ln(2,5), ln(3,5) dan ln(4) c. Bandingkan galatnya Penyelesaian a. Dengan menggunakan titik-titik ln(1), ln(1,5) dan ln(4) ln (1)
=0
ln (1,5)
= 0,4054651081
ln (4)
= 1,386294361
P1 (1,0) P2 (1.5, 0.4054651081) P3 (4, 1.386294361 )
b. Dengan menggunakan titik-titik ln(2,5), ln(3,5) dan ln(4) ln (2,5)
= 0,9162907319
ln (3,5)
= 1,252762968
ln (4)
= 1,386294361
P1 (2.5, 0.9162907319) P2 (3.5 , 1.252762968) P3 (4, 1.386294361 )
c. Badingkan galat Nilai eksak dari ln(3) = 1,098612289
Galat Menggunakan titik-titik ln(1), ln(1,5) dan ln(4) =
= 0,104649628 Menggunakan titik-titik ln(2,5), ln(3,5) dan ln(4)
=
= -0,002517197
Interpolasi Lagrange Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial yang disusun dalam kombinasi deret dan didefinisikan dengan:
Jika kita misalkan
∏
Sehingga diperoleh,
∑
Algoritma interpolasi lagrange 1. Tentukan jumlah titik (N) yang diketahui 2. Tentukan titik-titik Pi(xi,yi) yang diketahui dengan i=1,2,3,…,N 3. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari 4. Hitung nilai y yang akan dicari dengan meggunakna rumus 5. Tampilkan nilai x dan nilai y
1) Interpolasi Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi equispaced (h = konstan) atau non equispaced (h= todakkonstan). 2) Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus interpolasi dan invers interpolasi (interpolasi balik).
3) Metode Lagrange dapat digunakan untuk mencari nilai fungsi yang variabelnya terletak didaerah awal, akhir, maupun tengah. 4) Tidak membutuhkan tabel beda hingga dalam proses penyelesaiannya sehingga penyelesaian persoalaan lebih mudah.
Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena : 1. Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan. 2. Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Karena tidak ada hubungannya antara p n-1(x) dan pn(x) pada polinom Lagrange