Intervalos de Confianza: dos muestras
1.- Inte Interv rval alo o de Conf Confia ianz nza a para para dife difere renc ncia ia de me medi dias as de po pobl blac acio ione nes s 2 2 independientes con varianzas conocidas σ 1 y σ 2 respectivamente.
Estimador y estadístico: 2 N ( µ 1 ; σ 1 )
x1
≈
x 2
≈
2
2 N ( µ 2 ; σ 2 )
x1 − x2
≈ N ( µ 1 − µ 2 ;
σ 1
n1
2
+
σ 2
n2
)
El estadístico para este caso es:
z =
( x1 − x 2 ) − ( µ 1 − µ 2 ) 2
σ 1
2
+
n1
y tiende a una distribución normal estándar
σ 2
n2
Intervalo de confianza con un nivel de confianza de 1- α
2
P (( x1 − x2 ) − z α
σ 1 2
n1
2
+
σ 2
n2
2
≤ µ 1 − µ 2 ≤ ( x1 − x2 ) + z
α
σ 1 2
n1
2
+
σ 2
n2
) = 1 − α
Ejemplo: Se llevan a cabo pruebas de resistencia a la tensión sobre dos diferentes clas clases es de larg largue uero ros s de alum alumin inio io utili utiliza zado dos s en la fabr fabric icac ació ión n de avio avione nes s comerciales pequeños. pequeños. De la experiencia pasada pasada con el proceso de fabricación fabricación de largueros y del procedimiento de prueba, se supone que la desviación estándar de las resistencias a la tensión son conocidas. Los datos obtenidos aparecen en la siguiente tabla: Clase de de la larguero
Tamaño de de la la muestra
1 2
10 12
Media muestral de la resistencia a la tensión ( Kg/mm 2) 87,6 74,5
Desviación estándar de la población ( Kg/mm2) 1,0 1,5
a) En base a esta información entregada previamente, previamente, encuentre un intervalo de conf confia ianz nza a para para la dife difere renc ncia ia entr entre e los los prom promed edio ios s pobl poblac acio iona nale les s de la resistencia a la tensión con un nivel de confianza del 90%. (87,6 − 74,4) ±1,645
1,0 2 10
+
1,5 2 12
1
[12,22;13,98]
kg / mm 2
b) ¿De acuerdo al resultado obtenido en a) qué puede concluir respecto a la diferencia entre los promedios poblacionales con relación a la resistencia? Existe diferencia entre la resistencia promedio a la tensión del larguero 1 y larguero 2, ya que dentro del intervalo de confianza no se incluye el cero.
2.-Intervalo de Confianza para diferencia de medias de poblaciones normales e independientes, con varianzas desconocida y suponiendo igualdad entre 2 2 ellas σ 1 = σ 2 P (( x1 − x2 ) − t α
2
, n1 + n2
S − 2 p
2
2 p
S =
1
n1
+
1
n2
≤ µ 1 − µ 2 ≤ ( x1 − x2 ) + t α
2
, n1 + n2
S − 2 p
1
n1
+
1
n2
) = 1 − α
2
(n1 − 1) s1 + (n2 − 1) s 2
n1 + n2 − 2
Ejemplo:
Un artículo publicado dio a conocer los resultados de un análisis del porcentaje de calcio en cemento estándar y en cemento contaminado con plomo. Los niveles bajos de calcio indican que el mecanismo de hidratación del cemento queda bloqueado y esto permite que el agua ataque varias partes de una estructura de cemento. Al tomar diez muestras de cemento estándar, se encontró que el porcentaje promedio de calcio es de 90 con una desviación estándar de 5; los resultados obtenidos con 15 muestras de cemento contaminado con plomo fueron de 87 en promedio con una desviación estándar de 4. Supóngase que el porcentaje de calcio está distribuido de manera normal. Encuéntrese un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre medias de los dos tipos de cementos. Supóngase que las dos poblaciones normales tienen la misma varianza.
1. Solución:
El estimador combinado de la varianza es:
Al calcular la raíz cuadrada a este valor nos queda que sp = 4.41
2
( x1
− x2 )
1
± s p
+
n1
[
El resultado es
1
n2
= (90-87)± 2,069 4,41
1 10
+
1 15
]
0,72;6,72
−
Interpretación: Hay un 95% de probabilidad que la diferencia del porcentaje promedio de calcio entre los dos tipos de cementos está contenida entre -0,76 y 6,72. b) Un experto manifiesta que no hay diferencia entre los dos tipos de cementos, respecto al porcentaje del calcio contenido. En base al resultado anterior ¿ qué podría manifestarle Ud. ? Que puede tener razón, ya que el cero está contenido dentro del intervalo. Indicando esta última cifra que no hay diferencias.
3.-Intervalo de Confianza para diferencia de medias de poblaciones normales e independientes, con varianzas desconocida y suponiendo diferencia entre 2 2 ellas σ 1 ≠ σ 2 Estimador y estadístico: 2 N ( µ 1 ; σ 1 )
x1
≈
x 2
≈
2
x1 − x 2
N ( µ 2 ; σ 22 )
≈ N ( µ 1 − µ 2 ;
σ 1
n1
2
+
σ 2
n2
)
Pero las varianzas son desconocidas. Ello lleva a estimarlas y ha generar un nuevo estimador para la varianza de diferencia de medias. Consecutivamente se origina el siguiente estadístico:
( x1 − x2 ) − ( µ 1 − µ 2 )
T=
2
s1
n1
2
+
s 2
que se distribuye como una t-
n2
Student con g.l. grados de libertad que se obtiene de la siguiente expresión:
2
s12 s22 + n1 n2 gl = −2 2 2 2 2 s1 1 s 2 1 + n n 1 + 1 1 n2 n2 + 1 Intervalo de confianza:
3
P ( ( x1
− x2 )
- t α 2
s12 , g .l .
n1
+
s 22 n2
≤ µ 1
−
µ 2 ≤ ( x1 − x2 ) +
t α 2
s12 , g .l .
n1
+
s 22 n2
) = 1 −α
Problema: Una compañía de taxis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca A o de la B para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia entre los promedios de desgaste a través de Kms. recorridos, de las dos marcas, se lleva a cabo un experimento utilizando 12 de cada marca. Los neumáticos se utilizan hasta que se desgastan, dando como resultado promedio para la marca A 36.300 kilómetros, con una desviación estándar de 5000 kilómetros y para la marca B 38.100 kilómetros con una desviación estándar de 6100 kilómetros. Calcule un intervalo de confianza de 95% para la diferencia promedio de las dos marcas, si se sabe que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal para la marca A y para la marca B. Asuma que las dos varianzas poblacionales son distintas. Resp: [ −6551,158; 2851,158 ] 4.- INTERVALO PAREADAS)
DE CONFIANZA
PARA LA µ D
(OBSERVACIONES
Este es un procedimiento de estimación para la diferencia de dos medias cuando las muestras son dependientes y las varianzas de las dos poblaciones no necesariamente son iguales. Las muestras pareadas involucran un procedimiento en el cual varios pares de observaciones se equiparan de la manera más próxima posible, en términos de características relevantes. Los dos grupos de observaciones son diferentes sólo en un aspecto o "tratamiento". Toda diferencia subsiguiente en los dos grupos se atribuye a dicho tratamiento. Las ventajas de las muestras pareadas son: 1) Pueden utilizar muestras pequeñas. 2)
Se encuentran varianzas más pequeñas.
3)
Menos grados de libertad se pierden en el análisis.
4) Resulta un error de muestreo más pequeño (la variación entre observaciones reduce debido a que corresponden de la forma más próxima posible). Otro método para utilizar muestras pareadas a diferencia de la situación que se describió cuando las muestras son independientes, las condiciones de las dos poblaciones no se signan de forma aleatoria a las unidades 4
experimentales. Más bien, cada unidad experimental homogénea recibe ambas condiciones poblacionales; como resultado, cada unidad experimental tiene un par de observaciones, una para cada población. Por ejemplo, si realizamos una prueba de una nueva dieta con 15 individuos, el peso antes y después de llevar a cabo la dieta forman la información de nuestras dos muestras. Estas dos poblaciones son "antes" y "después" y la unidad experimental es el individuo. Obviamente las observaciones en un par tienen algo en común. Para determinar si la dieta es efectiva consideramos las diferencias d 1, d2, ……dn en las observaciones pareadas. Estas diferencias son los valores de una muestra aleatoria D1, D2, . . . . . Dn de una población de diferencias que supondremos µ D
= µ 1 − µ 2
2
σ D
distribuidas normalmente con media y varianza . Estimamos 2 2 s σ D mediante d , la varianza de las diferencias que constituyen nuestra muestra. El estimador puntual de µ D será
d
Se puede establecer un intervalo de confianza de (1 - α )100% para µ D
-t
t
/2
α
/2
α
P (- t
/2
α
< T < t /2) α
Donde : El estadístico
d − µ D T = s se distribuye como una t de Student con n - 1 grados d n de libertad
d =
∑
d i
S d
∑ (d − d )
=
2
i
n −1
n
Intervalo de confianza
P ( d − t α
s d 2
,n−1
n
≤ µ D ≤ d + t α
s d 2
,n − 1
n
) = 1 − α
Ejemplo:
5
Se asume que se tienen puntajes respecto al tiempo empleado en cierta labor de 10 empleados antes y después de habérseles impartido capacitación laboral adicional. Establezca un intervalo de confianza del 90% para la media de la diferencia en los puntajes antes y después de la capacitación. Los puntajes aparecen en la tabla: Solución Datos Empleado
Puntaje antes de La capacitación del empleado
Puntaje después de La capacitación del empleado
d i
d i
9.0 7.3 6.7 5.3 8.7 6.3 7.9 7.3 8.0 8.0 7.4
9.2 8.2 8.5 4.9 8.9 5.8 8.2 7.8 9.5 8.5 7.9
-0.2 -0.9 -1.8 0.4 -0.2 0.5 -0.3 -0.5 -1.5 -0.5 -5.0
0.04 0.81 3.24 0.16 0.04 0.25 0.09 0.25 2.25 0.25 7.38
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
Encontrar la estimación puntual y la desviación estándar muestral de d. 5
−
d =
10 = - 0.5 (estimación puntual de µ D )
n
∑ d − nd 2 i
2
s d
=
i =1
n−1
2
=
7,3 − 10( −0,5) 2 9
=
0,736
Determinar los valores de la variable aleatoria t de acuerdo al nivel de confianza preestablecido
P ( -1.833
≤ t ≤
1.833 ) = 0.90
Encontrar los límites inferiores y superiores dentro de los cuales se encuentra el parámetro 6
0.736
Límite superior de confianza
µ D
: -0.5 + ( 1.833)
10 = -0.073
0.736 µ D
Límite inferior de confianza
: -0.5 + ( 1.833)
10 = -0.927
Conclusión: Debido a que se restan los puntajes posteriores al entrenamiento de los puntajes anteriores al entrenamiento, produciendo valores negativos, se puede estar 90% seguro de que la media de los puntajes posteriores al entrenamiento está entre - 0.073 y - 0.927; ello denotaría que hay una rebaja en los puntajes relativos a los tiempos empleados en cierta labor, indicando a su vez una mayor eficiencia.
5.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS DE DOS DISTRIBUCIONES NORMALES
El objetivo es averiguar si hay diferencias entre las dos varianzas poblacionales. Supóngase que se tienen dos poblaciones normales e independientes con 2 2 σ 1 , σ 2 varianzas desconocidas , respectivamente. De este par de poblaciones, se tiene disponible dos muestras aleatorias de tamaños n1 y n2 , 2 2 respectivamente; sean s1 y s 2 las dos varianzas muestrales. Se desea encontrar un intervalo de confianza del 100(1 - α ) por ciento para el cociente 2 2 de las varianzas, σ 1 / σ 2 .
Para hallar el intervalo de confianza, recuérdese que la distribución de muestreo de
(n1 − 1) s1
2
2 σ 1
F =
n1 − 1
(n2 − 1) s2
2 2 σ 2
2
2
s σ = ( 12 )( 22 ) s2 σ 1
n2 − 1 es una F de Fisher con n1 −1 (en el numerador) y n2 libertad. Esta distribución aparece en la figura
−1 (denominador)
grados de
7
α / 2
α / 2
1 −α
f 1−
f
α
α
2
2
Luego, la construcción del intervalo de confianza del cociente se hará: De modo que la varianza muestral mayor quede en el numerador del estadístico F. Así,
F =
2
2
2
2
s1 σ 2 s 2 σ 1
2
σ 1
2
σ 2
2
=
s1
2
Fs2
Por consiguiente el intervalo de confianza es::
2 σ 1 s12 P ≤ 2≤ 2 σ 2 f , s f 1− 2 n −1;n − 2 2 α
1
α
2
= 1 − α , n −1,n −1 s 22 2 s12 1
2
f
1 1−α , n1 −1, n21 −1= 2 α f , n −1, n1 −1 2 2
n1 : corresponde al tamaño de la muestra asociada a la varianza muestral mas grande.
Ejemplo: Una empresa ha estado experimentando con dos disposiciones físicas distintas de su línea de ensamble. Se ha determinado que ambas disposiciones producen aproximadamente el mismo número de unidades terminadas al día. A fin de obtener una disposición que permita un mayor control del proceso, usted sugiere que se adopte de manera permanente la disposición que exhiba la varianza más pequeña en el número de terminadas producidas al día. Dos muestra aleatorias independientes producen los resultados que se muestran en la tabla de más abajo. Establezca un intervalo de confianza del 95% para el 2
cociente de las varianzas poblacionales
σ 1
2
σ 2
. En base al resultado obtenido,
¿cuál de los dos disposiciones recomendaría Ud. ?
8
Solución Datos Línea de ensamble 1 n 2 = 21
Línea de ensamble 2 n = 25 1
s 22 = 1,432
s1 = 3,761
2
Estimación puntual 2
σ 1
3,761 1, 432 (estimador puntual insesgado de
-
2
σ 2
)
Nivel de confianza 0,95
Encontrar los límites inferiores y superiores dentro de los cuales se encuentra el cociente de los parámetros
2
σ 1
Límite superior de confianza de
2 σ 2
:
3,761 1 ( )( ) 1,432 2,327
1,129
=
2
σ 1
Límite inferior de confianza de
2
σ 2
: 3,761 1 1,432 2,408
= 1,0907
Conclusión: 2
σ 1
Se tiene una confianza del 95% que
2
σ 2
este contenida entre 1,0907 y
1,129. Puesto que 1 no está contenido en el intervalo entonces se puede confiar que la varianza de la línea 1 es distinta a la varianza correspondiente para la línea 2.
6.INTERVALO PROPORCIONES.
DE
CONFIANZA
PARA
DIFERENCIAS
DE
9
Vamos a considerar que tenemos dos poblaciones de modo que en cada una de ellas estudiamos una variable aleatoria dicotómica (Bernoulli) de parámetros respectivos p1 y p2. De cada población se extraen muestras de tamaño n1 y n2, respectivamente:
Entonces
Si las muestras son suficientemente grandes ocurre que el estadístico ˆ 1 − p ˆ 2 ) − ( p1 − p2 ) ( p
p1 q1
Z=
n1
+
p2 q 2
tiende a una normal estándar
n2
Donde: n2
n1
∑ x
1i
pˆ 1 =
y
i =1
n1
pˆ 2
=
∑ x i =1
2i
ˆ1 1 − p
ˆ1 =q
y 1 − pˆ 2
=
qˆ 2
n2
Por el mismo razonamiento que en el caso de una población llegamos a que una aproximación para un intervalo de confianza al nivel 1 −α para la diferencia de proporciones de dos poblaciones es:
P ( pˆ 1
− pˆ 2 − z
α
pˆ 1qˆ1 2
n1
+
pˆ 2 qˆ 2 n2
≤ p1 − p 2 ≤ pˆ 1 − pˆ 2 + z
α
pˆ 1 qˆ1 2
n1
+
pˆ 2 qˆ 2 n2
) = 1 − α
Ejemplo
10
Se está considerando cambiar el procedimiento de manufactura de partes. Se toman muestras del procedimiento actual así como del nuevo para determinar si este último resulta mejor. Si 75 de 1.000 artículos del procedimiento actual presentaron defectos y lo mismo sucedió con 80 de 2.500 partes del nuevo, determine un intervalo de confianza del 90% para la verdadera diferencia de proporciones de partes defectuosas. ˆ1 p
=
75 1000
ˆ1 p
−
= 0,075
ˆ2 p
=
pˆ 2
0,043
=
80 2500
= 0,032
0,075 * 0,925 1000
+
0,032 * 0,968 2500
= 0,00904
0,043 ± 1,645*0,00904 [ 0,028 ; 0,0579 ] Con un nivel de confianza del 90% la diferencia entre las proporciones de artículos defectuosos está contenida entre 0,028 y 0,0579. Ello lleva a concluir que el nuevo procedimiento sería mejor que el actual.
11
