El número de permutaciones de las letras de la palabra "statistics" es
10!/3!3!1!2!1!=50.400
Porque hay 3 eses, 3 tes, 1 a, 2 ies y 1 c.
EJEMPLO 9
Si la P(A/B) no está dependiendo del suceso B, entonces los eventos A y B son independientes.
Definición: Sean A y B dos eventos que pertenecen a , entonces estos dos eventos son independientes si y solo si se cumplen las siguientes igualdades:
P(A/B) = P(A)
P(B/A) = P(B)
P(A )= P(A)P(B)
Eventos independientes
Del ejemplo 21 se tiene que ¿Cuál es la probabilidad de escoger la caja II?
P(II/A) = P(A/II) P(II)P(A/I) P(I) + P(A/II) P(II) + ….+ P(A/VI) P(VI) = 410 16 39 16 + 410 16+ 28 16+ 515 16+ 26 16+ 714 16
P(II/A) =410 1643120= 1/1543120 = 843 = 0,186 = 18,6%
La probabilidad de escoger la caja II es igual a 18,6%
Ejemplo22
Sea A1,A2,….,Ak un conjunto de k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos con P(Ai)>0 para i= 1,2,……,k, Entonces para cualquier otro evento B para el que P(B) >0, se tiene que estamos ante el teorema de bayes:
P(Ai/B) = ( ) ( /( ) ( )
Teorema de Bayes
Entonces la probabilidad pedida es:
P(A) = P(A/I)*P(I) + P(A/II)*P(II) + ….+ P(A/VI)*P(VI)
P(A) = 39 * 16 + 410 * 16+ 28 * 16+ 515 * 16+ 26 * 16+ 714 * 16 =43120 = 0,3583 = 35,83%
¿Cuál es la probabilidad de escoger la caja II?
Frente a esta pregunta surge la necesidad de obtener una parte o componente de las diferentes particiones del espacio muestral omega. Surge el teorema de Bayes.
Solución
Sea A el evento de extraer una bola roja y sean I,II,III,IV,V y VI los eventos de extraer una bola de la caja I, de la caja II,………., de extraer bola de la caja VI.
Ahora corresponde verificar el total de bolas que hay en cada una de las caja y verificar la cantidad de bolas azules que hay por caja.
La probabilidad de extraer una bola Azul de la caja I es: P(A/I) = 39
La probabilidad de extraer una bola Azul de la caja II es: P(A/II) = 410
La probabilidad de extraer una bola Azul de la caja III es: P(A/III) = 28
La probabilidad de extraer una bola Azul de la caja IV es: P(A/IV) = 515
La probabilidad de extraer una bola Azul de la caja V es: P(A/V) = 26
La probabilidad de extraer una bola Azul de la caja VI es: P(A/VI) = 714
Así mismo, puesto que la probabilidad de escoger cualquier caja va depender de la forma como caiga el dado. Entonces P(I) = 16, la probabilidad P(II) = 16 , …., P(VI) = 16
Solución
La caja I contiene 4 bolas rojas, 3 azules y 2 blancas, la caja II contiene 3 bolas rojas, 4 azules y 3 blancas, la Caja III contiene 5 bolas rojas, 2 azules y 1 blanca, la caja IV contiene 6 bolas rojas, 5 azules y 4 blanca; la caja V contiene 1 bola rojas , 2 azules y 3 blanca; en tanto la caja VI contiene 6 bolas rojas 7 azules y 1 blanca. Se lanza un dado en buen estado, de tal manera que si cae 1 se saca una bola de la caja I, si cae 2 se saca una bola roja de la caja II y así sucesivamente. Determinar la probabilidad de extraer una bola azul.
Ejemplo 21
Sea A1, A2, A3, ……, An eventos que pertenecen al espacio muestral y que forman una partición del mismo y sea R una región específica que se quiere calcular entonces:
P(R) = P(R/A1)*P(A1) + P(R/A2)*P(A2) + P(R/A3)*P(A3)+….+ P(R/An)*P(An)
Expresado de otra manera aplicando el teorema de la multiplicación total se tiene que:
P( ) = P( 1)+ P( 2)+ …….+ P( n): donde, i=1,2,3,….,n
Teorema de la multiplicación total
Sea 1, 2, 3,….., , eventos del espacio muestral omega y se desea obtener la probabilidad de P( 1 2 …… ) >0, entonces la probabilidad de:
P( 1 2 …… ) = ( 2/ 1) ( 1) ( 3/ 1 2) ( / 1 2 … 1)
Teorema de la multiplicación para n – eventos
Se lanza un dado dos veces ¿cuál es la probabilidad de que los resultados obtenidos sean el tres y el cuatro, en este orden?
Entonces la probabilidad de que en primer lanzamiento se obtenga el tres es: P (3) = 1/6
La probabilidad de que en el segundo lanzamiento se obtenga el cuatro es: P (4) = 1/6
Ahora bien la probabilidad de obtener P(A )= P(A)*P(B/A) = P(3)*P(4/3)= 1/6 * 1/6 = 1/36
Y P(A )= P(A)*P(B) = P(3)*P(4) = 1/6 * 1/6 = 1/ 36
Lo que implica que los dos sucesos son independientes
Ejemplo 24
1.- En cierto colegio hay 650 estudiantes de los cuales 300 hombres y 210 de ellos practican deportes. 350 son mujeres y trescientos de ellas también practican un deporte.
a.- determina la probabilidad de Mujer
b.- Determina la probabilidad de mujer y practica un deporte
c.- Determina la probabilidad de que al extraer un individuo al azar sea mujer dado que practica algún deporte.
2.- El periódico de un colegio pública dentro su estructura tres secciones: una literatura (L); Deportes (D) y Arte (A). Sí los hábitos de lectura de un estudiante con respecto a estas secciones es:
Problemas propuestos
Lee regularmente
L
D
A
L D
L A
D A
L D A
Probabilidad
0,20
0,17
0,25
0,10
0,09
0,11
0,08
a.- Elabora el diagrama de venn
b.- ( / ) c.- ( / )
d.- ( / ) e.- ( / )
3.- En cierta Institución escolar se venden tres marcas de uniformes (Tipo I, Tipo II y Tipo III). Un 60% de la demanda por parte de los estudiantes corresponde a la marca I. el 25% de la marca II y el 15% de la marca III. De los uniformes ofrecidos, un 18% de los uniformes presentan un pequeño defecto; mientras que los uniformes de la marca II y III presentan un 25% y 30% respectivamente. Apoyarse en el diagrama de árbol.
Problemas propuestos
a.-) El primer elemento de cada par ordenado se puede elegir de cinco maneras distintas
b.-) que al seleccionar uno de ellos se puede utilizar nuevamente, es decir que puede repetir, quedan cinco elementos para elegir el segundo componente de la pareja ordenada de dos en dos.
Conclusión: los dos lugares que conforman la parejas ordenadas se pueden conformar de: 5*5 = 25 maneras como quedó registrado en el subconjunto R explicado por extensión saliendo 25 parejas de la siguiente manera.
Cinco repetidas y 20 sin repetición que explican los sucesos con reemplazamiento y con orden.
La fórmula algebraica que explica los sucesos con reemplazamiento y con repetición para el ejemplo 2111 es:
.n1*n2 = 5*5 = 25
Entonces:
Para escoger dos cargos en una Institución, se presentan 3 candidatos para Personero 5 para secretario.
Los dos cargos se pueden llenar de la siguiente manera:
.n1 * n2 =3*5 = 15 maneras de llenar esas dos vacantes.
Ejemplo 6
Se realiza el siguiente experimento aleatorio. Se lanzan dos dados una vez. Verificar este ejemplo por comprensión y por extensión.
Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, el número de aristas que posee un dado del conjunto S tomadas de a dos con reemplazamiento y con orden.
Por comprensión:
Sea R = {(x,y)/xϵS, y yϵS, x = y}
Los subconjuntos de pares ordenados se pueden visualizar de la siguiente manera por extensión:
Por extensión:
Si un suceso puede ocurrir de n1 maneras, y si cuando éste ha ocurrido otro suceso puede ocurrir de n2 maneras, entonces el número de maneras en que ambos pueden ocurrir el orden especifico de n1*n2 .
Ejemplo 7
El símbolo específico para denotar el factorial es !
La factorial de n, denotada por n!, se define como
N! = n(n - 1)(n – 2)…1
Así, 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120, y
3!2!= (3. 2. 1) (2. 1)= 12
Conviene definir 0! = 1.
FACTORIAL DE UN NÙMERO
Los arreglos en los cuales nos interesa el orden, reciben el nombre de permutaciones. Es un arreglo ordenado de n objetos.
PERMUTACIONES
Una permutación de n objetos tomados de una elección ordenada viene dada por:
NPn = N(N – 1) (n – 2)… (N – N + 1)= N!/(N-n)!
En particular, el número de permutaciones de n objetos tomados de n en n es
(_n^n)p=n(n-1)(n-2)…1=n!
Sucesos sin reemplazamiento y con orden
4.- Se selecciona al azar un alumno de cierto colegio y se señala como A el evento el alumno seleccionado tiene carnet estudiantil y como B el evento análogo para un carnet del seguro estudiantil. Se supone que P(A) = 0,60, P (B) = 0,35 y P(A B) = 0,28
a.- Calcular que el estudiante tiene almenos uno de las dos carnet? P (AUB) =
b.- P(A/B)
c.- P(B/A)
d.- P( / )
5.- Cierta empresa de sistemas presenta tres tipos de fallas en su seguridad industrial. Las fallas están categorizadas en las siguientes probabilidades:
( ) = 0,13 =0,18 =0,06 =0,21 = 0,18
= 0,09 =0,05
a.- Si la empresa tiene una falla A ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una falla B?
b.- Si la empresa presenta una falla A ¿cuál es la probabilidad de que presente las tres fallas?
c.- Si la empresa presenta al menos una falla ¿cuál es la probabilidad de que tenga exactamente una falla?
d.- Si la empresa tiene los dos primeras fallas a la vez ¿cuál es la probabilidad de que no tenga el tercera falla?
Problemas propuestos
a.- Determina la probabilidad de qué un estudiantes escogido al azar haya comprado un uniforme de la marca I y que presente un pequeño defecto?
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar haya comprado un uniforme y presente un pequeño defecto?
c.- Sí un estudiante regresa un uniforme por detectar un pequeño defecto ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la marca I? ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la marca II? ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la marca III?
Problemas propuestos
Una caja contiene 3 bolas blancas y 2 bolas negras. Sea E1 el suceso "la primera bola extraída es negra" y E2 el suceso "la segunda bola extraída es negra". Las bolas extraídas no se devuelven a la caja. E1 y E2 son sucesos dependientes.
La probabilidad de que la primera bola sea negra es P{E1}=25. La probabilidad de que la segunda sea negra, dado que ya primera haya sido la negra, es P( 2 1)=14. Luego la probabilidad de que ambas sean negras es
Pr 1 2= 1 ( 2 1)=25.14=110
Ejemplo 20
Si hay dos eventos 1 y 2 que pertenecen a omega diferente de vacío, la probabilidad de que ocurra 1 y 2 se obtiene al multiplicar las dos probabilidades. De este modo para dos eventos se expresa de la siguiente manera:
P( 1 2)= ( 1/ 2) ( 2)
Teorema de la multiplicación para dos eventos
La probabilidad de la camisa tipo A dado que es negra (N).
Solución
=5/20
=3/20
= ( ) ( ) = 3/205/20=3/5
Determinar:
Sea 0 un espacio muestral definido y sea una serie de subconjuntos o eventos que pertenecen a omega. Sea P: , se llama probabilidad si se cumplen los tres axiomas de Kolmogorov:
K1.- La probabilidad de cualquier evento A, debe ser mayor o igual que cero. Esto es, la probabilidad de que ocurra A debe ser cómo mínimo cero lo que indica que no habrá probabilidades negativas:
0
Verificación
K2.- La probabilidad correspondiente a todo el espacio muestral( )es igual a uno. Esto es, el espacio muestral al realizarse todo el experimento, la probabilidad máxima posible es uno:
=1
Axiomas de la probabilidad
1.- Determinar las siguientes combinaciones 52, 64 95 ( )117
2.- ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse 5 personas entre un total de 12?
3.- ¿De cuántas maneras puede formarse una comisión de 3 hombres y 4 mujeres de entre un total de 8 hombres y 6 mujeres?
4.- ¿De cuántas maneras pueden escogerse 2 hombres, 4 mujeres, 3 niños y 3 niñas de entre 6 hombres, 8 mujeres, 4 niños y 5 niñas si: (a) no se impone restricción alguna y (b) un hombre y una mujer concretos deben ser elegidos?
5.- ¿De cuantas maneras puede dividirse un grupo de 10 personas en dos grupos de 7 y 3 personas?
6.- ¿De cuantas maneras puede elegirse una comisión de 3 estadísticos y 2 economistas de entre 5 estadísticos y 6 economistas si: (a) no se impone restricción, (b) 2 estadísticos han de figurar en ella y (c) un economista concreto tiene vetado el figurar en ella?
7.- Hallar el número de: (a) combinaciones y (b) permutaciones de 4 letras que pueden formarse con las letras de la palabra Estadística.
Ejercicio de la sección
¿De cuantas formas se puede repartir 10 objetos en dos grupos de 4 y 6 objetos, respectivamente
Solución
Es el mismo que el número de colocaciones de 10 objetos de los que 4 son iguales y los otros 6 son iguales. Por el problema 5.23, es
10!4!6!=10 . 9 . 8 . 74!=210
El problema equivale a hallar el número de selecciones de 4 entre 10 objetos (o 6 entre 10), siendo irrelevante el orden de selección.
En general, el número de selecciones de r entre n objeto, llamado el número de combinaciones de n objetos tomados de r en r, se denota por y viene dada por
= ! ! != 1…..( +1) != !
ejemplo13
= 1…( +1) != ! ! !
Ejemplo12:
El número de combinaciones de las letras a, b y c tomadas de dos en dos es
32=3 .22!=3
Son ab, ac, bc. Nótese que ab es la misma combinación que ba, pero no la misma permutación.
Formula: Combinación
Los arreglos en los cuales no interesa el orden, reciben el nombre de combinaciones.
Combinación, son las técnicas especiales de conteo.
COMBINACIONES
Una combinación de n objetos tomados de r en r es una selección de r de ellos, sin importar el orden de los r escogidos. El número de combinaciones de n objetos, tomados de r en r se denota por y viene dado por:
Sucesos sin reemplazamiento y sin orden
Cinco fichas rojas, 2 blancas y 3 azules se colocan en filas. Las de un color no son distinguibles entre si. ¿Cuántas colocaciones distintas son posibles?
Solución
Sea P el número de colocaciones. Multiplicando P por el número de colocaciones de: (a) las 5 rojas entre si, (b) las 2 blancas entre si y (c) las 3 azules entre si ( o sea, multiplicando por P es 5!2!3!), obtendremos el número de colocaciones de 10 fichas distinguibles ( o sea 10!). Luego
(5!2!3!)P= 10! Y P=10!/5!2!3!
En general, el número de colocaciones diferentes de n objetos, de los que n1 son iguales, n2 son iguales,… nk son iguales, es
n!/(n_1! n_2 !…n_k !)
Donde n1 + n2 + … + nk = n.
Ejemplo 12
¿De cuantas maneras se puede sentar 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles?
Solución
El primer sitio se puede ocupar de 10 formas, y una vez ocupado, el segundo se puede ocupar de 6 maneras, el tercero de 8 y el cuarto de 7. Por lo tanto,
Número de colocaciones de 10 personas tomadas de 4 en 4= 10. 9. 8. 7= 5040
En general
Número de colocaciones de n objeto distintos de r en r = n(n – 1 )…(n – r + 1)
Esto se llama el número de permutaciones de n objeto distintos tomados de n en n y se denota por npr, P(n, r ) o Pn.r. Nótese que cuando r=n, npn= n!,
Como en el problema 5.17.
Ejemplo 10
K3.- Sí A1,A2,…,An, son subconjuntos de eventos mutuamente excluyentes del espacio muestral entonces, la probabilidad de la unión de A1,A2,…,An, es igual a la suma de sus probabilidades de A1,A2,…,An. Esto es, al desear la probabilidad de que ocurra al menos uno o más eventos dentro del espacio muestral, es la suma de las probabilidades de los eventos de manera individual:
1 2 …. = =1 ( )
A la tripleta ( , ; P) se le denomina espacio de probabilidad medibles.
Axiomas de la probabilidad
De los tres axiomas anteriores se puede intuir otras propiedades a tener en cuenta:
a.- Teniendo en cuenta los axiomas dos y tres se puede concluir que la probabilidad se va mover entre lo imposible que tomaría el valor de cero y lo posible que sería el valor de uno:
0 ( ) 1
b.- Para cualquier evento A, la probabilidad de A es igual a uno menos la probabilidad de A complemento. Esto es
=1 ( )
Otras propiedades
c.- Para cualquiera de los dos eventos A y B, entonces la probabilidad de la unión es igual a la probabilidad del evento A más la probabilidad del evento B menos la probabilidad de la intersección de A y B. Esto es
= + ( )
d.- Sí los eventos son mutuamente excluyentes entonces, la probabilidad de la unión A y B es igual a la probabilidad de A más la probabilidad de B. Esto es
= +
e.- La probabilidad del evento vacío es igual a cero. Esto es
= 0
Otras propiedades
Cierta fábrica de camisas produce dos líneas para adquirir camisas en dos colores. La producción en sus diferentes combinaciones se presenta en la siguiente tabla
Ejemplo18
Tabla 2
Colores
N
R
Tipo de camisas
A
3
7
B
2
8
N: Negro R: Rojo
Probabilidad condicional
Cuando en un experimento conocido se presentan varios eventos con sus probabilidades, es posible la ocurrencia de uno de ellos se puede ver afectada por la ocurrencia de otro evento. Es decir, la forma que la información ha ocurrido un evento B, afecta la probabilidad del evento A. esto se puede expresar
= ( ) ( ), >0
De otra manera
= ( ) ( ), >0
Definición de probabilidad condicional
Sean E1 el suceso, sacar un as de una baraja y E2, sacar un rey. Entonces 1=452=113 ( 2)=452=113
La probabilidad de sacar o un as o un rey en un solo ensayo es
( 1+ 2)= 1+ ( 2)=113+113=213
Pues no es posible sacar ambos a la vez, y son, por lo tanto, sucesos mutuamente excluyentes.
Ejemplo17
Dos o más sucesos se llaman sucesos mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera de ellos excluye la de los otros.
Sí la probabilidad de ( 1+ 2 ) no tiene elementos comunes o presentan sucesos mutuamente excluyentes es igual a la suma de las probabilidades asociadas a todos los puntos muéstrales que se encuentran en los subconjuntos de E1 y E2 menos los puntos que tienen en común es igual a cero. Esto es aplicando las operaciones entre eventos se tiene que
1 2 = 1+ 2
Donde 1 2=0
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
La probabilidad estimada, o probabilidad empírica, de un suceso se toma como la frecuencia relativa de ocurrencia del suceso cuando el número de observaciones es muy grande. La probabilidad misma es el límite de esa frecuencia relativa cuando el número de observaciones crece indefinidamente. Sí un experimento se repite n veces y sí un evento A dentro de este experimento ocurre x veces, entonces la probabilidad de la frecuencia relativa será:
= = =
Definición de probabilidad como la frecuencia relativa
Sea E el suceso de que al tirar un dado una vez salga un 3 o 4. Hay seis formas de caer el dado, 1,2,3,4,5 o 6; y si el dado es bueno, podemos suponer que las seis tienen la misma oportunidad de salir. Como E puede ocurrir de dos formas. Tenemos
= ( )=26=13.
La probabilidad de que no alga ni 3 ni 4 (o sea, de que salga 1, 2,5 o 6) es
= ( )=1 13=23.
Ejemplo 14
Definición clásica
Supongamos que un suceso E tiene x posibilidades de ocurrir entre un total de n posibilidades, cada una de las cuales tiene la misma oportunidad de ocurrir que las demás. Entonces, la probabilidad de que ocurra E (o sea un éxito) se denota por
( )=
La probabilidad de que no ocurra E (o sea, un fracaso) se denota por
P( )= ( )= =1 =1 =1 ( )
Así pues, e + q = 1, es decir, p(E) + p(q)=1. Entonces la probabilidad de
P(q) = 1 – P(E)
Definición de Probabilidad
R = {(aa), (ab), (ac), (ad), (ae), (ba), (bb), (bc), (bd), (be) , (ca), (cb), (cc), (cd), (ce), (da), (db), (dc), (dd) (de) (ea) (eb), (ec), (ed), (ee)}
En este conjunto hay pares ordenados con elementos repetidos lo que indica que (x,y) pertenecen al conjunto R bajo la condición de que x = y.
Esto indica que:
n(R)= 5 o sea el conjunto R tiene cinco elementos distintos, bajo la condición de que x = y,
Por extensión:
Sea el conjunto S*S, estamos interesados en el subconjunto del espacio muestral formados por las parejas ordenadas y con reemplazamiento que contiene elementos distintos.
Sea S = {a, b, c, d, e}, de cuantas maneras distintas se pueden seleccionar las letras a, b, c, d y e del conjunto S tomadas de a dos con reemplazamiento y con orden.
Por comprensión:
Sea R = {(x,y)/xϵS, y yϵS, x = y}
Los subconjuntos de pares ordenados se pueden visualizar de la siguiente manera por extensión:
Ejemplo5
El conteo con reemplazamiento y con orden se da cuando se tiene en cuenta que los elementos que componen el espacio muestral pueden volver a participar dentro de la jugada y se pueden formar duplas, ternas repetidas hasta agotar todas las posibilidades.
Formación de subconjuntos bajo la condición X = Y
Sucesos con reemplazamiento y con orden
El número de permutaciones que se pueden dar de las letras a, b y c tomadas de dos en dos es 3p2 = 3. 2 = 6. Son ab, ba, ac,ca, bc y cb.
El número de permutaciones de n objetos, de los que n1 son iguales, n2 son iguales,… es n!/(n_1 !n_2 !…) donde n=n_1+n_2+
EJEMPLO 8
Es cuando el evento tiene dos o más elementos se denominan eventos compuestos.
Operaciones entre eventos:
Para representar las relaciones y operaciones entre eventos, es necesario disponer para ciertos casos de representaciones gráficas que ayuden a analizar las operaciones lógicas correspondientes. Este procedimiento consiste en dibujar diagramas de venn, para desarrollar las operaciones de complementación, intersección, unión, diferencias entre otros.
Evento compuesto
Las operaciones entre eventos se pueden corresponder a través del diagrama de venn que permite visualizar todas las posibilidades de relaciones y operaciones entre ellos. En la siguiente sección se ilustrará la utilidad de los diagramas de venn para desarrollar los conceptos de unión, intersección, complementación, entre otras.
Diagrama de Venn
Sean A y B dos subconjuntos cuales quiera del conjunto universal . La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos A ó B.
Por comprensión:
AUB = {xϵ /xϵA ó xϵB} = {x/xϵA ó xϵB}.
Interpretación: esta expresión se lee, "A unión B es el conjunto de elementos x que pertenecen a A, a B, o a ambos".
U: significa unión
Ó: significa tanto A como B, es una conjunción lógica de inclusión que debe tomarse admitiendo que un elemento puede pertenecer sólo a A, sólo a B, o a la intersección de A y B.
Unión
Sea ={Las letras del abecedario} y sea
A={Las vocales del abecedario} y B= {a,b,c},
Entonces AUB = {a,b,c,e,i,o,u}
El elemento a que forma parte de la intersección de A y B es un elemento de la unión y solamente se indica una sola vez.
Ejemplo1:
El espacio muestral se define como el conjunto de todas las posibilidades que podrían resultar cuando se realiza el experimento aleatorio o estocástico. Espacio muestral, es el conjunto de todos los posibles resultados de ese experimento.
Cuando encontramos todos los resultados posibles se habrá identificado el espacio muestral del experimento. En el espacio muestral se enumeran todos los posibles resultados, pero no quiere decir que todos estos posibles resultados van ocurrir al mismo tiempo. Es un simple enunciado u omega.
El espacio muestral se puede asimilar con el diagrama de venn o como el universo de lo posible y se señala con la letra griega omega ( )
Omega ( ) es equivalente a espacio muestral o universo de todas las posibilidades del experimento
ESPACIO MUESTRAL
Un experimento es aleatorio o estocástico, es aquel que al realizarse muchas veces bajo las mismas condiciones no genera siempre los mismos resultados o puntuaciones muéstrales. Los experimentos aleatorios o estocásticos, son por lo regular los que la estadística emplea para explicar aquellos fenómenos donde impera la incertidumbre. Por ejemplo, cuando se realiza el embazado de los productos en un recipiente o botella, éste proceso que realiza la máquina se ve afectado por factores de ruido que hacen que la cantidad del producto en el recipiente o botella no tenga la misma cantidad exacta entre ellas, dándose el fenómeno de la aleatoriedad.
Experimento aleatorio o estocástico
Un experimento es determinístico, cuando después de realizarse muchas veces bajo las mismas condiciones genera siempre los mismos resultados. Por ejemplo, la fórmula utilizada por un empresario para producir un producto. Cada vez que combina los ingredientes o componentes necesarios bajo las mismas condiciones y cantidades termina produciendo el producto deseado.
Experimento determinísticos
UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO 2014 II
CAPITULO 2: PROBABILIDAD BÁSICA
Msc: CARLOS CAMACHO
Comprender conceptos y procedimientos de la estadística básica y los aplica para interpretar y transmitir diversas informaciones del entorno.
La finalidad de este capítulo está enmarcado en primer lugar, se exponen los principales conceptos utilizados en la probabilidad; en segundo lugar se definirán las diferentes técnicas de conteo. Un tercer componente estará dedicadas definiciones y los axiomas de la probabilidad y por último se hará un breve resumen de los teoremas de la multiplicación y problemas propuestos.
OBJETIVO:
La probabilidad se asocia con la aleatoriedad y con la incertidumbre. En cualquier problema que genera alguno o varios resultados posibles, la probabilidad proporciona métodos para cuantificar las oportunidades o probabilidades asociadas con varios resultados posibles. El estudio de la probabilidad se remonta a más de 350 años y básicamente su origen está relacionado con los juegos de azar. Los juegos de azar incluyen acciones tales como lanzar dados, lanzar una moneda, girar la rueda de una ruleta, en las cuales el resultado de una prueba es incierto.
Conceptos asociados a la probabilidad
Con la probabilidad se pretende, lograr una comprensión más precisa del contexto de su aplicación, de cómo se mide y de qué manera se utiliza la probabilidad para hacer inferencias.
Para el desarrollo de esta unidad se hace necesario aclarar los siguientes conceptos: Experimentos, Espacio muestral, Eventos, Operaciones entre eventos, técnicas de conteo para determinar el espacio muestral, axiomas de la probabilidad, definición de probabilidad, teoremas de la probabilidad y resolución de problemas.
Conceptos asociados a la probabilidad
Un experimento es un conjunto de acciones o actividades planeadas que se realizan bajo ciertas condiciones para obtener unos resultados o puntuaciones muéstrales. Los experimentos se realizan con el fin de obtener información de la población estudiada.
Un experimento es cualquier ejercicio o asunto que genera informaciones.
La estadística identifica dos tipos de experimento, a saber: experimentos determinísticos y experimentos aleatorios.
Experimento
De la definición de unión se define que es conmutativa:
AUB = BUA
2.2.4.1.2 Intersección de conjuntos
La Intersección se simboliza por:
Sea A y B dos conjuntos que pertenecen a omega , entonces la intersección de los conjuntos de A y B, son los elementos de que son miembros tanto de A como dé B. Son los elementos comunes a ambos conjuntos.
Por comprensión:
A B = {x /x A y x B} ={x/x A, x B}
Significa que "A intersección B, es el conjunto de elementos de omega que pertenecen a "A y B" y: significa intersección
Propiedades de la unión (U)
Del espacio muestral omega ( ), se desprenden unas relaciones que al clasificarlas se denominan eventos.
Un evento es un subconjunto o parte del espacio muestral omega ( ).
Los eventos generalmente se simbolizan con la letra mayúscula: (E)
Cuando el evento tiene un solo elemento, se denomina evento unitario o elemental.
Eventos
3.- Para cualquier subconjunto A de omega , se cumple que
A =
A = {x/x A y x },
Como el conjunto vacío carece de elementos, no puede existir elementos comunes a y a otro conjunto A, no importando cuál sea ese conjunto A. por lo tanto la intersección resultante es vacío.
Propiedades de la intersección
Sea omega ={0,1,2,3} y sea B = {0,1}
Determinar B' y (B')':
B' = {2,3} (B')' = {0,1}
Conclusión el complemento de B complemento (B')' es igual a B
Ejemplo3:
Dentro de las técnicas de conteo las más importante son:
el principio fundamental del conteo,
conteo a través del diagrama en árbol,
el principio de la adición,
permutaciones y
las combinaciones
Técnicas de Conteo
Las técnicas del conteo, es una operación o acción sobre una decisión, que puede tomarse de A formas diferentes y si después de que ha sido ejecutada de una de esas formas, una segunda acción puede tomarse de B formas diferentes, una tercera acción puede ejecutarse de C formas diferentes y así sucesivamente hasta la r-ésimo acción que puede ejecutarse de Z formas diferentes. Lo que indica que el número total de acciones diferentes en que pueden efectuarse estas r acciones, viene siendo igual a:
A*B*C*……………..*Z
Principio fundamental del conteo
Dentro de las técnicas de conteo ocurren un a series de reglas para realizar la enumeración de los elementos del espacio muestral omega ( ). Para la enumeración de las puntuaciones o elementos de se requiere diferenciar los siguientes casos: cuando los arreglos se realizan con reemplazamiento y con orden, sin reemplazamiento y con orden, sin reemplazamiento y sin orden y por último con reemplazamiento y sin orden. Estos arreglos se desarrollaran en su momento en esta sección de técnicas del conteo.
Principio fundamental del conteo
Sea = {a,b,c,d,e,f,g,h} y sea A={a,c,d,f}
Y sea B = {c,d,e,g} entonces
A B = {c, d}
Propiedades de la intersección
1.- De la definición de intersección se deduce la propiedad conmutativa:
A B = B A
2.- La intersección de conjuntos da lugar a dos posibilidades distintas
a.- Que el conjunto intersección no es vacío, que al menos hay, un elemento común a ambos conjuntos A y B.
A B
b.- Los conjuntos A y B no tienen elementos comunes entonces son disjuntos o mutuamente excluyentes
A B =
Ejemplo2:
El complemento del conjunto B está formado por omega que no pertenecen a B. de igual manera, el complemento de B complemento (B')' está constituido por aquellos elementos de omega que no pertenecen a B'. O sea, los que están dentro de B.
Conclusión
Mario y Juan querían saber de cuantas maneras se puede formar la palabra:
SER.
El conteo hasta agotar las posibilidades, los escribieron en su cuaderno:
SER, RES, RSE, ESR, SER, ERS.
Ejemplo 4
Los conjuntos se expresan con letras mayúsculas.
La relación de complementación se puede expresar mediante el diagrama de Venn
Complemento de un conjunto
4.- para cualquier subconjunto A del conjunto universal se cumple que
A Ω = A
Por definición de intersección de conjuntos
A Ω = {x/x A y x Ω}, (1)
Por definición de subconjunto, todo elemento que pertenece a A pertenece a omega
A Ω xϵA xϵΩ,
Propiedades de la intersección
Entonces la expresión (1) se reduce:
A Ω = {x/x A y x Ω} = { x/x A} = A.
5.- para cualquier conjunto A se cumple que
A A = A
Entonces por definición de intersección
A A ={x/x A y x A} = { x/x A} = A.
Donde A=A, los elementos comunes a ambos conjuntos son exactamente los mismos.
Propiedades de la intersección
Sea omega el conjunto formado por ={1,2,3,4,5,6} y sea A={1,3,5}, B={2,4,6}
C={1,2,3}
Determinar: A' , B', C', ', '
A' = {2,4,6} B' = {1,3,5} C' = {4,5,6} '= { } ' = { }
El complemento de vacío ( '), es igual a omega ( ).
El complemento de omega es igual vacío
El complemento de B complemento, se simboliza (B')',
(B')' = B
Ejemplo 2
Definición:
sea B un evento del conjunto universal omega ( ), entonces el complemento de B con respecto a omega se define como el conjunto de elementos de omega que no pertenece a B.
De otra manera por comprensión
B' ={x /x B} = {x/x ^x B }
Que significa: B' complemento es el conjunto de los elementos de x que pertenecen a , pero no pertenecen a B
El complemento generalmente se simboliza por: B', B^c, B ̅.
Complemento de un conjunto
6.- para cualquier conjunto A se cumple que
A A' =
De otra manera se cumple que
A A ={x/x A y x A'}
7.- para equis conjuntos se cumple que
A B C ={x/x A,x B, x C}
8.- La operación de intersección es asociativa
A B C=A (B C)=(A B) C
Propiedades de la intersección
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