Introduccion a Las Finanzas Cuantitativas

Introducci´ on a las Finanzas Cuantitativas on

Jos´ e Manuel Corcuera Corcu era

2

J.M. Corcuera

2

J.M. Corcuera

Índice 1 Valoraci aloraci´ o ń de derivados 3 1.1 Mode odelos a tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 1.1.1 Estrategi Estrategias as de inversi´ inversi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. 1.1.22 Est Estrat rategi egias adm admisibl sibles es y arb arbitra itrajje . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 1.2 Mart arting ingalas alas y oport portun uniidade dadess de arbi arbitr traj ajee . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Mercados Mercados completos completos y valor valoraci´ ación de opci pciones . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 1.3 .1 Valo alorac raci´ i´ on on y replicación o n en me merc rcad ados os comp comple leto toss . . . . . . 15 1.4 Introd Introducc ucci´ ión a las opc opcion iones am amer eriicana canass . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.1 1.4 .1 El prob problem lemaa de la para parada da óptima optima y las opciones americanas americanas 22 1.4.2 1.4 .2 Aplica Aplicaci´ ci´ on o n a opc opcione ioness am amer eric icaanas nas . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5 Mode odelos a tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5. 1.5.11 Mart artinga ingallas a tiem iempo con contin tinuo . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.5.2 1.5 .2 Constr Construcc ucci´ i´ on on de la integral estocástica. . . . . . . . . . . 37 1.5.3 Cálculo alculo de Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.5.4 Teorema de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.5.5 El mode odelo de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2 Optimiz Optimizaci aci´ o ń de carteras 63 2.1 Progra Programac maci´ i´ on on dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.2 Método odo de martingala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.1 2.2 .1 Optimi Optimizac zaci´ ión on de carteras en el modelo de Cox-Ross-Rubinstein (CRR). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.3 2.3 Cons Consum umoo óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.3.1 M´ etodo etodo de programación on dinámica amica en el problema de consumo óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.3.2 2.3.2 M´ etodo etodo de martingala martingala en el problema problema de consumo ópt optimo imo 79 2.3. 2.3.33 Util Utilid idad ad máxima axima para para el cons consumo umo y la riquez riquezaa termi terminal nal . 83 2.4 Optimi Optimizac zaci´ ión o n en el mo mode delo lo de Blac Blackk-Sc Scho hole less . . . . . . . . . . . . 85 2.4.1 M´ etodo etodo de programación on dinámica. amica. Ecuación de HJB. . . 86 2.4. 2.4.22 Métod e todoo de mart artinga ingalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3 Mo delos de tipo de inter´ es 3.1 Modeliz Modelizaci aci´ón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 La curva de tipos pos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

93 93 93

´ INDICE

4

3.2 3.3

3.4

3.5 3.6

3.1.2 Curva de tipos para un futuro incierto . . . . 3.1.3 Tipos de interés . . . . . . . . . . . . . . . . Opciones sobre bonos . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelos basados en los tipos instantáneos . . . . . . 3.3.1 Inversión de la curva de tipos . . . . . . . . . 3.3.2 Estructuras de tipos afines. . . . . . . . . . . 3.3.3 El modelo de Vasicek . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 El modelo de Ho-Lee . . . . . . . . . . . . . . Modelos basados en los tipos a plazo . . . . . . . . . 3.4.1 La ecuación de Musiela . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Bonos con cupones y swaps . . . . . . . . . . 3.4.3 ”The foward measure” . . . . . . . . . . . . . Forwards and Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . Miscelanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Black-Scholes en el caso multidimensional . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 95 100 102 105 105 106 107 108 110 111 113 117 119 119

´ INDICE

J.M. Corcuera

2

´ INDICE

Cap´ıtulo 1

Valoraci´ on de derivados Supongamos que el precio de unas acciones viene dado en el instante t por S t . Nos proponemos estudiar el llamado mercado de opciones o derivados. Definici´ on 1.0.1 Una opci´ on es un contrato que da el derecho (pero no la obligaci´ on) a comprar (CALL) o vender (PUT) acciones a un precio K (strike o precio de ejercicio) en el instante T (madurez del contrato). El beneficio (o payoff) del contrato será:

− K )+

(S T en el caso del CALL ò

− S T )+

(K

en le caso del PUT. Problema 1: ¿Cu´ anto debe pagar el comprador de la opción? (prima). Es el llamado problema de valoración. Problema2: El que vende el contrato, cómo debe generar la cantidad ( S T K )+ (en el caso del CALL) a partir de la prima. Es el llamado problema de recubrimiento del riesgo (”hedging”). Suposición: vamos a suponer que en el mercado no se puede hacer beneficio sin riesgo (”está libre de oportunidades de arbitraje”). También vamos a suponer que la tasa de interés (continuo) es r. Es decir un euro se convierte en erT euros pasado el tiempo T . Entonces, tenemos el siguiente resultado.

−

Proposici´ on 1.0.1 (relaci´ on de paridad PUT -CALL) si el mercado est´ a libre de oportunidades de arbitraje y C t es la prima o precio de un CALL con strike K y madurez T en el instante t y P t la del put con el mismo strike y madurez, tenemos que C t

− P t = S t − Ke−r(T −t), para todo 0 ≤ t ≤ T 3

´ DE DERIVADOS CAP ´ ITULO 1. VALORACI ON

4

Demostraci´ on. Veamos que si no hay arbitraje. Supongamos por ejemplo que C t P t > S t Ke −r(T −t)

−

−

En el instante t compramos una acción, un PUT y vendemos un CALL. Obtenemos C t P t S t

− −

por hacer la operación. Si la cantidad es positiva la invertimos a interés r hasta el instante T , si es negativa pedimos prestado al mismo tipo. En el instante T se pueden dar dos situaciones: 1) S T > K el cliente al que le hemos vendido el CALL lo ejerce, entonces le damos la acción por K, en total tendremos S t ) er(T −t) + K

− −− −

(C t

P t

= C t

≤ − −

P t



S t + Ke −r(T −t) er(T −t) > 0

2) S T K, ejercemos el PUT y vendemos la acción a K , tendremos otra vez (C t P t S t ) er(T −t) + K que es una cantidad positiva. Por lo tanto habr´ıa arbitraje.

1.1

Modelos a tiempo discreto

Los valores de los stocks (acciones u otros activos) serán variables aleatorias definidas en un cierto espacio de probabilidad (Ω , , P ). Consideraremos una sucesi´ on creciente de σ-álgebras (filtración) : 0 ... . n rep1 N resenta la información disponible hasta el instante n. El horizonte N , corresponder´ a con la madurez de las opciones. Supondremos que Ω es finito, 0 = , Ω , que N = = (Ω) y que P ( ω ) > 0, para todo ω. El mercado consistirá en (d + 1) activos financieros cuyos precios en el instante n estarán dados por variables no-negativas S n0 , S n1 , ..., S nd que son medibles respecto a n (es decir los precios dependen de ”lo” observado hasta ese momento, es decir no hay información privilegiada), en muchos casos supondremos que n = σ(S k1 ,..., S kd , 0 k n), con lo que toda la información estará en los precios observados hasta ese momento. El stock con super´ındice cero corresponde a un activo sin riesgo (dinero en una cuenta bancaria) y supondremos que S 00 = 1. Si el beneficio relativo del activo sin riesgo: 0 S n+1 S n0 = r 0 S n0

F F P

F F ⊆ F ⊆ ⊆ F ⊆ F F F {∅ }

{}

F

F

≤ ≤

−

≥

es constante, tendremos 0 S n+1 = S n0 (1 + r) = S 00 (1 + r)n+1 .

El factor β n =

1 0 S n

= (1 + r)−n lo llamaremos factor de descuento.

J.M. Corcuera

1.1. MODELOS A TIEMPO DISCRETO

1.1.1

Estrategias de inversi´ on

Una estrategia de inversión es un proceso estocástico (una sucesión de variables aleatorias en el caso discreto) φ = ((φ0n , φ1n ,...,φ dn ))0≤n≤N en Rd+1 . φin indica el n´ umero de acciones del tipo i-ésimo en la cartera de valores, en el instante n-ésimo. φ es ”previsible” es decir:



φi0 φin

es es

F 0-medible F n−1-medible,

≤ n ≤ N.

para todo 1

Esto quiere decir que las posiciones de la cartera en el instante n fueron decididas con la información disponible en n 1. Es decir en el periodo (n 1, n] la cantidad de activos del tipo i es φ in . El valor de la cartera en el instante n es el producto escalar

−

−

d



·

V n (φ) = φ n S n =

φin S ni ,

i=0

su valor descontado es

ñ (φ) = β n V n (φ) = φ n S ñ V

·

con

ñ = (1, β n S n1 ,...,β n S nd ) = (1, ˜ S S n1 , ..., ˜ S nd )

Definici´ on 1.1.1 Una estrategia de inversi´ on se dir´ a que es autofinanciada si

·

·

≤ n ≤ N − 1

φn S n = φ n+1 S n , 0

Observaci´ on 1.1.1 La interpretaci´ on es que en el instante n una vez anunciados los nuevos precios S n los inversores reajustan su cartera sin a˜ nadir ni consumir riqueza: si compramos φ n+1 φn activos el coste de la operaci´ on ser´ a (φn+1 φn ) S n , y queremos que éste sea cero esto es φ n S n = φn+1 S n , 0 n N 1.

−

− · ≤ −

·

·

≤

Proposici´ on 1.1.1 Una estrategia de inversion es autofinanciada si si s´ olo si: V n+1 (φ)

− V n(φ) = φn+1 · (S n+1 − S n), 0 ≤ n ≤ N − 1

Proposici´ on 1.1.2 Las siguientes cosas son equivalentes: (i) La estrategia φ es autofinanciada, (ii) Para todo 1 n N

≤ ≤

V n (φ) = V 0 (φ) +

n

n





j=1

(iii) Para todo1

· − S j−1) =

φj (S j

j=1

n

·

φj ∆S j =

d



φij ∆S ji

j=1 i=0

≤ n ≤ N n

ñ (φ) = V 0 (φ) + V

 j=1

n

˜j φj (S

· −

˜j −1 ) = S

 j=1

n

˜j = φj ∆S

·

d

 j=1 i=1

˜ji φij ∆S


6

Demostraci´ on. (i) equivale a (ii): n

V n (φ) = V 0 (φ) +

 

(V j (φ)

j=1 n

= V 0 (φ) +

j=1

− V j−1(φ))

· − S j−1) (proposición anterior)

φj (S j

(i) equivale a (iii): la condición de autofinanciación se puede escribir: ñ = φn+1 S ñ , 0 φn S

·

·

≤ n ≤ N − 1

por tanto ñ+1 (φ) V

− V ñ(φ) = φn+1 · (S ñ+1 − S ñ), 0 ≤ n ≤ N − 1

y n

ñ (φ) = V ˜0 (φ) + V

˜j (φ) (V

 

− V ˜j−1(φ))

j=1 n

= V 0 (φ) +

˜j φj (S

j=1

· − S ˜j−1)

Esta proposición nos dice que la estrategia autofinanciada está definida por su valor inicial V 0 y por las posiciones en los activos con riesgo. Más concretamente: Proposici´ on 1.1.3 Para cualquier proceso previsible φˆ = ((φ1n ,...,φ dn ))0≤n≤N y cualquier variable V 0 0 -medible, existe un ´ unico proceso previsible tal que la 0 1 d estrategia φ = ((φn , φn ,...,φ n ))0≤n≤N es autofinanciada con valor inicial V 0 .

F

Demostraci´ on. n

ñ (φ) = V 0 (φ) + V

  j=1 n

= V 0 (φ) +

j=1

˜j φj (S

· − S ˜j−1)

˜j φj (S

· − S ˜j−1)

ñ = φ0n + = φn S

·

d



φin ˜ S ni .

i=1

Por tanto n 1

φ0n = V 0 (φ) +

−

 j=1

d

˜j φj (S

· − S ˜j−1) −

 i=1

φin ˜ S ni −1

∈ F n−1

1.1. MODELOS A TIEMPO DISCRETO

1.1.2

J.M. Corcuera

Estrategias admisibles y arbitraje

Notemos que no hacemos suposiciones sobre el signo de las cantidades φin . Si φin < 0 significa que hemos pedido prestado ese número de acciones y convertido en dinero (”venta en corto”) o unidades monetarias que hemos convertido en acciones (préstamo para comprar acciones) y que tenemos que devolver, notemos que cada unidad monetaria del instante 0 vale (1 + r)n en el instante n. Supondremos que los préstamos y ventas en corto están permitidos siempre que el valor de nuestra cartera sea en todo momento positivo. Definici´ on 1.1.2 Una estrategia φ es admisible si es autofinanciada y si V n (φ) 0, para todo 0 n N.

≤ ≤

≥

Definici´ on 1.1.3 Una estrategia de arbitraje es una estrategia admisible con valor inicial cero y valor final distinto de cero. Observaci´ on 1.1.2 Notemos que si existe arbitraje resultar´ıa que con una inversi´ on inicial cero obtendr´ıamos una riqueza no nula. La mayor parte de los modelos de precios excluyen oportunidades de arbitraje de manera que si queremos tener una riqueza final no nula tendremos que hacer inversi´ on inicial. El prop´ osito siguiente ser´ a caracterizar estos modelos con la noci´ on de martingala. Un mercado sin oportunidades de arbitraje se dir´ a que es viable. Ejercicio 1.1.1 Consideremos una cartera con valor inicial V 0 = 1000, formada por las cantidades siguientes de activos con riesgo: Activo 1 Activo 2 n>0 200 100 n>1 150 120 n>2 500 60 Si el precio de los activos es n = 0 n = 1 n = 2

Activo 1 Activo 2 3.4 2.3 3.5 2.1 3.7 1.8

encontrar en cada instante las cantidades de activo sin riesgo de la cartera, suponiendo r = 0.05 y que la cartera es autofinanciada. Soluci´ on 1.1.1 Sabiendo que el valor de la cartera en el tiempo t = 0 es V 0 = 1000, podemos calcular la composici´ on de la cartera inicial a seg´ un las posiciones φ1 = (200, 100), dejando en la cuenta corriente lo que queda de los 1000 euros iniciales despu´ es de comprar los activos 1 y 2. Despu´ es calculamos c´ omo evoluciona el valor de la cartera en funci´ on del cambio de precios entre el instante 0 y el 1.Volvemos a reestructurar la cartera en funci´ on de las posiciones φ2 = (150, 120), en la cuenta corriente volvemos a dejar lo que queda del valor de la cartera en t=1 despu´ es de comprar los activos 1 y 2 en las cantidades correspondientes. Después calculamos c´ omo evoluciona el valor de la cartera en funci´ on del cambio de precios entre el instante 1 y el 2.


8 Activo 0 1 2 Total

No acciones 90 200 100

Precio t = 0 1 3,4 2,3

Valor t = 0 90 680 230 1000

Precio t = 1 1,05 3,5 2,1

Valor t = 1 94,5 700 210 1004,5

Activo 0 1 2 Total

No acciones 216,67 150 120

Precio t = 1 1,05 3,5 2,1

Valor t = 1 2227,5 525 252 1004,5

Precio t = 2 1,103 3,7 1,8

Valor t = 2 238,88 555 216 1009,88

Ejercicio 1.1.2 Consideremos un mercado financiero con un solo periodo, con tipo de interés r y con un solo activo con riesgo S . Supongamos que S 0 = 1 y, para n = 1, S 1 puede tomar dos valores diferentes: 2, 1/2. ¿Para que valores de r el mercado es viable (libre de oportunidades de arbitraje)? ¿Y si S 1 puede tomar también el valor 1? Soluci´ on 1.1.2 Queremos calcular los valores de r para los que hay posibilidad de arbitraje. Tomamos una cartera cuyo valor inicial sea V 0 = 0. Entonces, si invertimos el importe q en el activo sin riesgo, tenemos que invertir q en el activo con riesgo ( q puede ser negativa o positiva). Calculamos el valor de la cartera en los dos posibles estados del momento 2. V 1 (ω1 ) = q (r 1) V 1 (ω2 ) = q (r + 1/2) Por tanto, si r > 1 hay posibilidad de arbitraje tomando q positiva (dinero en cuenta corriente y posici´ on corta en el activo con riesgo) y si r < 1/2 tenemos posibilidad de arbitraje con q positiva (tomando prestado dinero e invirtiendo en el activo con riesgo). La situaci´ on no cambia si S 1 puede tomar el valor 1.

−

−

−

Ejercicio 1.1.3 Supongamos un mercado con dos stocks (d = 2) tales que los valores en t = 0 son S 01 = 9.52 Eur. y S 02 = 4.76 Euros. El dinero est´ a a interés simple del 5% en el per´ıodo [0, 1]. Se supone también que en el instante 1, S 11 y S 12 pueden tomar tres valors, dependiendo de los tres estados del mercado: ω1 , ω2 , ω3 : S 11 (ω1 ) = 20 Eur., S 11 (ω2 ) = 15 Eur. y S 11 (ω3 ) = 7.5 Eur , y S 12 (ω1 ) = 6 Eur , S 12 (ω2 ) = 6 Eur. i S 12 (ω3 ) = 4. ¿Es un mercado viable ? Soluci´ on 1.1.3 Para saber si el mercado es viable tenemos que comprobar si existe posibilidad de arbitraje. Tomamos una cartera cuya inversi´ on inicial sea 0 y vemos si puede tener rendimiento no negativo en todos los estados del momento 1 con alguno de ellos estrictamente positivo. Sean q 1 y q 2 las cantidades invertidas en los activos 1 y 2 respectivamente. Dado que el valor de la inversi´ on inicial es cero, en la cuenta corriente tenemos 9.52q 1 4.76q 2 . Calculamos el valor e nuestra cartera en el momento 1 para todos los estados posibles. V 1 (ω1 ) = 10.004q 1 + 1.002q 2

−

−

1.2. MARTINGALAS Y OPORTUNIDADES DE ARBITRAJE J.M.

Corcuera

V 1 (ω2 ) = 5.004q 1 + 1.002q 2 V 1 (ω3 ) = 2.4964q 1 0.998q 2 . Es f´ acil comprobar que hay una regi´ on del plano en la que estas expresiones son las tres positivas al mismo tiempo (ver Figura 1), por tanto hay posibilidad de arbitraje.

−

−

Figura 1

1.2

Martingalas y oportunidades de arbitraje

F

F P (Ω) y P ({ω}) > 0,

Sea (Ω, , P ) un espacio de probabilidad finito. Con = para todo ω. Consideraremos una filtración ( n )0≤n≤N .

F

Definici´ on 1.2.1 Diremos que una sucesi´ on de variables aleatorias X = (X n )0≤n≤N es adaptada si X n es n -medible, 0 n N.

F

≤ ≤

Definici´ on 1.2.2 Una sucesi´ on adaptada (M n )0≤n≤N , diremos que es una submartingala si E (M n+1 martingala si E (M n+1 supermartingala si E (M n+1 para todo 0

|F n) ≥ M n |F n) = M n |F n) ≤ M n

≤ n ≤ N − 1

Observaci´ on 1.2.1 Esta definici´ on se extiende al caso multidimensional componente a componente. Si (M n )0≤n≤N es una martingala es f´ acil ver que E (M n+j F n ) = M n , j 0; E (M n ) = E (M 0 ), n 0 y que si (N n ) es otra martingala, (aM n + bN n ) es otra martingala. Omitiremos el sub´ındice.

|

≥

≥


10

Proposici´ on 1.2.1 Sea (M n ) una martingala y (H n ) una sucesi´ on previsible, escribamos ∆M n = M n M n−1 . Entonces la sucesi´ on definida por

−

X 0 = H 0 M 0 n

X n = H 0 M 0 +



H j ∆M j , n

j=1

≥ 1 es una martingala

Demostraci´ on. Basta ver que para todo n E (X n+1

≥ 0

− X n|F n) = E (H n+1∆M n+1|F n) = H n+1E (∆M n+1|F n) = 0

Observaci´ on 1.2.2 La transformaci´ on anterior se llama transformaci´ on de la martingala (M n ) por (H n ). Recordemos que n

ñ (φ) = V 0 (φ) + V

 j=1

˜j φj ∆S

·

˜i ) es una martingala, resultar´ ñ ) es con (φi ) previsible. Entonces si (S a que (V ñ (φ)) = E (V 0 (φ)) = V 0 (φ). una martingala y en particular E (V Proposici´ on 1.2.2 Un proceso adaptado (M n ) es una martingala si y s´ olo si para cualquier proceso previsible (H n ) tenemos N



E (

H j ∆M j ) = 0

(1.1)

j=1

Demostraci´ on. Supongamos que (M n ) es una martingala entonces por la proposición anterior ya está. Supongamos que se cumple (1.1) entonces podemos tomar H n = 0, 0 n j, H j +1 = 1A con A j , H n = 0,n > j. Entonces E (1A (M j +1 M j )) = 0

≤ ≤

∈ F

−

− |

como esto es cierto para todo A esto equivale a que E (M j +1 M j F j ) = 0.Ahora lo hacemos para todo j y ya está. Teorema 1.2.1 Un mercado es viable (libre de oportunidades de arbitraje) si y s´ olo si existe P ∗ equivalente a P tal que los precios descontados de los activos ñj ), j = 1,...,d) son P ∗ - martingalas. ((S Demostraci´ on. Supongamos que existe P ∗ y sea una estrategia ϕ admisible con valor inicial cero, entonces n

ñ = V

 i=1

˜i ϕi ∆S

·


Corcuera

es una P ∗ martingala y consecuentemente Ñ ) = 0 E P ∗ (V Ñ 0 resulta que V Ñ = 0 (ya que P ∗ (ω) > 0 para todo ω). Por tanto y como V no hay arbitraje. Supongamos ahora que no hay arbitraje y sea Γ el conjunto de variables estrictamente positivas definidas en Ω (o sea variables no negativas y tales que para alg´ un ω Ω valen mayor que cero). Identificaremos cada variable aleatoria X con el vector de RCard(Ω) (X (ω1 ),..X (ωCard(Ω )). Consideremos el subcon junto, S , compacto y convexo de las variables de Γ tales que X (ωi ) = 1. Sea L = V N (ϕ), ϕ autofinanciada , V 0 (ϕ) = 0 (es claro que L es un subespacio vectorial de RCard(Ω) ). Adem´ as (lo veremos luego) L S = φ. Entonces por el teorema del hiperplano separador existe una aplicación lineal A tal que A(Y ) > 0 para todo Y S y A(Y ) = 0 si Y L. A(Y ) = λi Y (ωi ). Entonces todos los λ i > 0 (ya que A(Y ) > 0 para todo Y S ) y podemos definir

≥

∈

{

}

∈

∈

P ∗ (ωi ) = y para todo φ previsible

∩





∈

λi λi



N

˜ ˜i ) = E P ∗ (V Ñ ) = A(V N ) = 0 φi ∆S λi i=1



E P ∗ (

·



˜ será P ∗ -martingala (proposición anterior). con lo que S Veamos que L Γ = φ (y por tanto L S = φ). Supongamos que no, de manera que existe ϕ autofinanciada tal que V N (ϕ) Γ. Entonces a partir de ϕ puedo crear una estrategia de arbitraje: sea

∩

∩

{

n = sup k, V k (ϕ)

≤ −

∈

≥ 0 }

≥

{

}

notemos que n N 1 ya que V N (ϕ) 0. Sea A = V n (ϕ) < 0 , definamos la estrategia autofinanciada tal que para todo i = 1,...,d θji

=



0 1A ϕij

≤

j n j >n

entonces para todo k > n k

˜k (θ) = V

 

  k

˜j = 1A 1A ϕj ∆S

j=n+1

˜k (ϕ) = 1 A V

·

− V ñ(ϕ)

Ñ (θ) > 0 en A. de manera que V

j=1



n

˜j ϕj ∆S

·

 − j=1

˜j ϕj ∆S

·

 


12

Observaci´ on 1.2.3 A P ∗ se le suele denominar medida de martingala o probabilidad neutral.

{ }

Ejercicio 1.2.1 Consideremos una sucesi´ on X n n≥1 de variables aleatorias independents y con leyes N (0, σ 2 ). Definimos la sucesi´ on Y n = exp a ni=1 X i nσ 2 , n 1, on a és un par´ ametro real, i Y 0 = 1. Para qué valores de a la sucesi´ on Y n n≥0 es una martingala (supermartingala) (submartingala)?

≥ { }



−

{ }

Ejercicio 1.2.2 Sea Y n n≥1 una sucesi´ on de variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas con

−1) = 12 . Escribamos S 0 = 0 i S n = Y 1 + · ·· + Y n si n ≥ 1. Comprobar si son martingalas P (Y i = 1) = P (Y i =

las sucesiones siguientes:

M n(1) =

eθS n , n (cosh θ)n

≥ 0

n



M n(2)

=

M n(3)

k=1 = S n2

sign(S k−1 )Y k , n

≥ 1, M 0(2) = 0

−n

Ejercicio 1.2.3 Consideremos un mercado financiero a tiempo discreto, de dos periodos, con tipos de inter´ es r 0, y un un solo activo con riesgo, S . Supongamos una evoluci´ on de los precios de S del tipo siguiente:

≥

n = 0

n = 1 p2

p1

5 1−p

1

n = 2 9

8 1−p

2

6

p3 4 1−p3

3

a) Encontrar p1 , p2 i p3 , en funci´ on de r para que la lei de probabilidad sea neutral. b) Suponiendo r = 0.1, calcular el valor inicial de un derivado con 2 vencimiento N = 2 y beneficio (payoff) S 1 +S . Encontrar primero la cartera 2 que cubre el riesgo del derivado y ver su valor inicial. Comprobar que este valor coincide con el valor medio, respecte de la probabilidad neutral, del payoff actualizado. Ejercicio 1.2.4 Encontrar las probabilidades neutrales en el mercado del problema 1.1.3 suponiendo que s´ olo est´ a disponible el stock 1. Teorema 1.2.2 (Teorema del hiperplano separador) Sea L un subespacio de n n R y K un subconjunto convexo y compacto de R tal que no interseca L. R tal que φ(x) = 0 para todo Entonces existe un funcional lineal φ : Rn x L y φ(x) > 0 para todo x K.

∈

∈

→




Corcuera

La demostración del teorema se basa en el lema siguiente Lema 1.2.1 Sea C un conjunto convexo y cerrado de Rn que no contiene al R tal que φ(x) > 0 para todo x cero, existe entonces φ : Rn C Demostraci´ on. Sea B(0, r) una bola de radio r y con centro en el origen, tomemos r suficientemente grande para que B(0, r) C = φ. La aplicaci´ on

→

∈

∩ 

B(0, r)

∩ C →

R+

1/2

n

x

−→ ||x|| =

  x2i

i=1

∈ ∩ − ∈

es continua y como est´ a definida en un compacto existir´ a z B(0, r) C tal que z = inf x∈B(0,r)∩C x y deber´ a cumplir que z > 0 ya que C no contiene al origen. Sea ahora x C, como C es convexo λx + (1 λ)z C para todo 0 λ 1. Es obvio que

|| || ≤ ≤

|| || ∈

|| ||

λx + (1 − λ)z ≥ ||z|| > 0, entonces

λ2 x x + 2λ(1

equivalentemente

·

− λ)x · z + (1 − λ)2z · z ≥ z · z,

λ2 (x x + z z) + 2λ(1

·

·

− λ)x · z − 2λz · z ≥ 0,

tomemos λ > 0, entonces

·

· − λ)x · z ≥ 2z · z y pasemos al l´ımite cuando λ → 0, tendremos x · z ≥ z · z > 0, basta entonces tomar φ (x) = x · z. Demostraci´ on. (del teorema) K − L = {u ∈ n , u = k − l, k ∈ K, l ∈ L } es convexo y cerrado. En efecto, sea 0 ≤ λ ≤ 1 y u, ˜ u ∈ K − L λu + (1 − λ)˜u = λk + (1 − λ)k˜ − (λl + (1 − λ)˜l) = ¯k − ¯l donde k¯ ∈ K (por convexidad de K ) y ¯l ∈ L (ya que es un espacio vectorial), luego es convexo. Adem´ as si tomamos una sucesi´ on (un ) ∈ K − L que converge a u, tendremos que un = kn − l n con kn ∈ K, ln ∈ L, esto es ln = kn − u n . Ahora bien, como K es compacto, existir´ a una subsucesi´ on k n que converge a un cierto k ∈ K, as´ı l n converger´ a a k − u, pero como l n es una sucesi´ on convergente en un espacio vectorial cerrado ( d lo es para cualquier d) tendremos que k − u = l ∈ L, de manera que u = k − l ∈ K − L. Ahora K − L no contiene λ(x x + z z) + 2(1

R

r

r

r

R

al origen y por la proposici´ on anterior existir´ a φ lineal tal que φ(k)

− φ(l) > 0, para todo k ∈ K y todo l ∈ L,


14

ahora bien como L es un espacio vectorial φ(l) debe ser cero, supongamos que por ejemplo φ(l) > 0, entonces λl L para λ > 0 arbitrariamente grande y tendr´ıamos φ(k) > λφ(l),

∈

lo cual es imposible si φ(k) es finito. Por ´ ultimo como φ(l) = 0 resultar´ a φ(k) > 0 para todo k K.

∈

1.3

Mercados completos y valoraci´ on de opciones

Definiremos opción europea (o derivado europeo) a un contrato que tiene una madurez N y que produce un payoff h 0 donde h es N - medible. Por ejemplo 1 1 un call es un derivado con payoff h = (S N K )+ , un put h = (K S N )+ o N 1 1 una opción asiática h = ( N j=0 S j K )+

≥ − −



F

−

Definici´ on 1.3.1 Un derivado definido por h se dir´ a que es replicable si existe una estrategia admisible φ tal que V N (φ) = h. Proposici´ on 1.3.1 Si φ es una estrategia autofinanciada que replica h y el mercado es viable entonces la estrategia es admisible. ˜ y como existe P ∗ tal que E p∗ (V Ñ (φ) = h Ñ (φ) Demostraci´ on. V ñ (φ) entonces V ñ (φ) 0. V

≥

|F n) =

Definici´ on 1.3.2 Un mercado es completo si cualquier derivado es replicable. Teorema 1.3.1 Un mercado viable es completo si y s´ olo si existe una ´ unica medida de probabilidad P ∗ equivalente a P bajo la cual los precios descontados son martingalas Demostraci´ on. Supongamos que el mercado es viable y completo entonces dado h N -medible existe φ admisible tal que V N (φ) = h esto es:

F

N

Ñ (φ) = V 0 (φ) + V

 j=1

˜j = φj ∆S

·

h 0 , S N

entonces supongamos que existen P 1 y P 2 medidas de martingala, entonces h 0 ) = V 0 (φ) S N h E P 2 ( 0 ) = V 0 (φ) S N E P 1 (

y como esto es cierto para todo h en N = .

F F

F N -medible las dos probabilidades coinciden

´ DE OPCIONES J.M. Corcuera 1.3. MERCADOS COMPLETOS Y VALORACI ON

Supongamos que el mercado es viable e incompleto, veamos que entonces se puede construir más de una probabilidad neutral. Sea H el subconjunto de variables aleatorias de la forma N

V 0 +



˜j φj ∆S

·

j=1

con V 0 0 -medible y φ = ((φ1n ,...,φ dn ))0≤n≤N predecible. H es un subespacio vectorial del espacio vectorial, E, formado por todas las variables aleatorias. Adem´ as es no trivial, ya que al ser el mercado incompleto existirá h tal que h H. Sea P ∗ una medida de martingala en E , podemos definir el producto 0 S n escalar X, Y = E P ∗ (XY ). Sea entonces X una variable ortogonal a H y definamos X (ω) P ∗∗ (ω) = (1 + )P ∗ (ω) 2 X ∞

F

∈





|| ||

entonces tenemos una probabilidad equivalente a P ∗ :

X (ω) )P ∗ (ω) > 0 2 X ∞

P ∗∗ (ω) = (1 +

ya que 1

∈ H



P ∗∗ (ω) =

E P ∗∗ (

j=1



P ∗ (ω) +

E P ∗ (X ) =1 2 X ∞

|| ||

y X es ortogonal a H. Además por esta ortogonalidad

N



|| ||

N

·

φj

˜j ) = E P ∗ ( ∆S



·

φj

j=1

˜j ) + ∆S

E P ∗ (X

N j=1 φj



|| ||∞

2 X

· ∆S ˜j ) = 0

˜ es una P ∗∗ -martingala por la proposición (1.2.2). de modo que S

1.3.1

Valoraci´ on y replicaci´ on en mercados completos

≥

Supongamos un derivado con payoff h 0 y que el mercado es viable y completo. Sabemos que existirá φ admisible tal que V N (φ) = h y si P ∗ es la probabilidad neutral resultará que n

ñ (φ) = V 0 (φ) + V

 j=1

˜j φj ∆S

·

es una P ∗ -martingala, en particular E P ∗ (

h 0 S N

|F n) = E P ∗ (V Ñ (φ)|F n) = V ñ(φ)

esto es V n (φ) = S n0 E P ∗ (

h 0 S N

|F n) = E P ∗ ( (1 + r)h N −n |F n)


16

por tanto el valor de la cartera que replica h queda determinado por la fórmula anterior y esto nos dará el precio del derivado en n que denotaremos C n , esto es C n = V n (φ). Notemos que si sólo tenemos un stock con riesgo (d = 1) entonces ñ C

− C ñ−1 = φn

ñ ∆S

lo que nos permitirá calcular la cartera recubridora si tenemos una expresión de C en función de S. El modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Supongamos un modelo con un solo stock con riesgo que evoluciona: S n (ω) = S 0 (1 + b)U n (ω) (1 + a)n−U n (ω) donde U n (ω) = ξ 1 (ω) + ξ 2 (ω) + ... + ξ n (ω) y donde las ξ i son variables aleatorias con valores 0 ó 1, es decir bernoullis y a < r < b : n = 0 n = 1 n = 2... S 0 (1 + b)2   S 0 (1 + b)   S 0  S 0 (1 + b)(1 + a)     S 0 (1 + a) S 0 (1 + a) 2   Tambi´ en podemos escribir S n = S n−1 (1 + b)ξn (1 + a)1−ξn (ω) Entonces ñ = S 0 S

U n

    1+b 1+r

1+a 1+r

n U n

−

ñ−1 = S

ξn

   1+b 1+r

1+a 1+r

1 ξn

−

ñ sea martingala respecto de una P ∗ necesitamos que para que S ñ E P ∗ (S y si tomamos

|F n−1) = S ñ−1

F n = σ(S 0, S 1,...,S n) tendremos que lo anterior equivale a ξn

  

1+b E P ∗ ( 1+r

1+a 1+r

1 ξn

−

|F n−1) =1

esto es

  1+b 1+r

 

1+a P ∗ (ξ n = 1|F n−1 ) + P ∗ (ξ n = 0|F n−1 ) = 1 1+r


o lo que es lo mismo

|F n−1) = rb −− aa , b−r P ∗ (ξ n = 0|F n−1 ) = 1 − P ∗ (ξ n = 1|F n−1 ) = b−a P ∗ (ξ n = 1

Notemos que esta probabilidad es determinista y no depende de n, por tanto bajo ella las ξ i , i = 1,...,N son variables independientes e idénticamente dis−a . Además P ∗ es u´ nica con tribuidas con distribución Bernoulli( p) con p = rb− a lo que el mercado es viable y completo. As´ı bajo la probabilidad neutral P ∗ S N = S n (1 + b)ξn+1 +...+ξN (1 + a)N −n−(ξn+1 +...+ξN ) = S n (1 + b)W n,N (1 + a)N −n−W n,N

−

con W n,N ∼Bin(N n, p) que es independiente de S n , S n−1 , ...S 1 . Como tenemos la probabilidad neutral podemos calcular el precio de un call en el instante n C n = E P ∗ = E P ∗ N n

 

−

(S N K )+ (1 + r)N −n

 |F n

(S n (1 + b)W n,N (1 + a)N −n−W n,N (1 + r)N −n

− (S (1 + b)k (1 + a)N −n−k − K ) n + = − N n (1 + r)

  k=0

−

N n

= S n

− n



−

N

N

k

k=k∗

N n

n N

− K (1 + r) −



k=k∗

− K )+ |F n





− n

N

k



pk (1

( p(1 + b))k ((1 p)(1 + a))N −n−k (1 + r)N −n

−



− n

pk (1

k

− p)N −n−k

donde k∗ = inf k, S n (1 + b)k (1 + a)N −n−k > K

{ } log S K − (N − n) log(1 + a) } = inf {k,k > log( 1+b ) n

1+a

Notemos que p(1 + b) (1 + 1+r

− p)(1 + a) = 1 1+r

de manera que si definimos p = ¯

p(1 + b) 1+r

− p)N −n−k


18 podemos escribir N n

C n = S n

−





− n

N

p¯k (1

k

k=k∗

N n

− K (1 + r) −

−

n N



k=k∗

¯ N −n−k − p)



− n

N

pk (1 p)N −n−k

k

−

− n, ¯ p) ≥ k ∗} − K (1 + r)n−N Pr{Bin(N − n, p) ≥ k ∗}

{

= S n Pr Bin(N

Cartera recubridora en el modelo CRR Tenemos que

V n = φ0n (1 + r)n + φ1n S n . Fijado S n−1 , S n puede tomar dos valores S nu = S n−1 (1 + b) ó S nd = S n−1 (1 + a) y análogamente V n . Entonces φ1n =

V nu V nd . S n−1 (b a)

φ0n =

V nu φ1n S nu (1 + r)n

y

−

−

(1.2)

−

En el caso de un CALL, si tomamos n = N tendremos: φ1N

u d V N V N (S N −1 (1 + b) = = S N −1 (b a)

−

−

− K )+ − (S N −1(1 + a) − K )+ . S N −1 (b − a)

podemos ahora calcular por la condición de autofinanciaci´ o n el valor de la cartera en N 1:

−

V N −1 = φ0N (1 + r)N −1 + φ1N S N −1 y de aqu´ı φ 1N −1 volviendo a utilizar (1.2). Ejemplo 1.3.1 El siguiente es un ejemplo de programa en Mathematica para calcular el valor de un call y un put en un modelo CRR con los datos: S 0 = 100 eur., K = 100 eur. b = 0.2, a = 0.2, r = 0.02, n = 4 periodos.

−

Clear[s, call, pu]; s[0] = Table[100, {1}]; a = -0.2; b = 0.2; r = 0.02; n = 4; p = (r - a)/(b - a); s[x_] := s[x] = Prepend[(1 + a)*s[x - 1], (1 + b)*s[x - 1][[1]]]; ColumnForm[Table[s[i], {i, 0, n}], Center]


pp[x_] := Max[x, 0] call[n] = Map[pp, s[n] - 100]; pu[n] = Map[pp, 100 - s[n]]; call[x_] := call[x] = Drop[p*call[x + 1]/(1 + r) + (1 - p)*RotateLeft[call[x + 1], 1]/(1 + r), -1] ColumnForm[Table[call[i], {i, 0, n}], Center] pu[x_] := pu[x] = Drop[p*pu[x + 1]/(1 + r) + (1 - p)*RotateLeft[pu[x + 1], 1]/(1 + r), -1] ColumnForm[Table[pu[i], {i, 0, n}], Center]

Ejemplo 1.3.2 C´ alculo, utilizando un modelo CRR con 91 periodos con a = b, del valor de un call europeo, en el instante inicial, sobre una acci´ on de Telef´ onica.

−

• Madurez: tres 3 meses (91 d´ıas = n) ( T = 91/365). • Precio actual de telef´ onica 15,54 euros. • Precio de ejercicio (strike) 15.54 euros. • Tipo de interés 4.11 % anual. • Volatilidad anual: 23,20% ( b2=volatilidad 2 × T /n) Clear[s, c]; n = 91; so = 15.54; K = 15.54; vol = 0.232; T = 91/365; r = 0.0411*T/n; b =vol*Sqrt[T/n]; a =-b; p = (r - a)/(b - a); q = 1 - p; s[0] = Table[so, {1}]; s[x_] := s[x] = Prepend[(1 + a)*s[x - 1], (1 + b)*s[x - 1][[1]]]; pp[x_] := Max[x, 0]; c[n] = Map[pp, s[n] - K]; c[x_] := c[x] = Drop[p*c[x + 1]/(1 + r) + q*RotateLeft[c[x + 1], 1]/(1 + r), -1]; c[0][[1]]

Ejercicio 1.3.1 Consideremos un mercado financiero de dos periodos, con tipo de interés r = 0, y con un solo activo con riesgo S 1 . Supongamos que S 01 = 1 y para n = 1, 2, S n1 = S n1 −1 ξ n , donde las variables ξ 1 , ξ 2 son independientes, y toman dos valores diferentes: 2, 34 , con la misma probabilidad. a) ¿¿Es un


20

mercado viable? ¿¿Es un mercado completo? Encontrar el precio de una opci´ on 1 europea con madurez N = 2 y payoff max0≤n≤2 S n . Encontrar también una cartera recubridora de esta opci´ on. amos ahora que en este mercado tenemos tambi´ en un segundo activo con riesgo 2 2 S n tal que S 0 = 1 y para n = 1, 2 S n2 = S n2 −1 ηn , donde las variables ηn toman los tres valores diferentes 2, 1, independientes y

1 2,

η1 y η2 son

|

P (ηn = 2 ξ n = 2) = 1, 3 1 P (ηn = 1 ξ n = ) = , 4 3 1 3 2 P (ηn = ξ n = ) = , 2 4 3

| |

de manera que el vector (ξ n , ηn ) toma solo los valores (2, 2), ( 34 , 1), ( 34 , 12 ) con probabilidades 21 , 61 , 31 . b) Demostrar que los dos activos S n1 , S n2 forman un mercado viable y completo y calcular la probabilidad neutra. ¿Se puede saber cu´ al ser´ a el precio de la opci´ on europea del apartado a) anterior sin hacer ning´ un c´ alculo? ¿Por qué?

→L { ≤ } → { ≤ }

Ejercicio 1.3.2 Demostrar que si X n X, X absolutamente continua, y ¯ an a R, entonces P X n a n P X a .

→ ∈

{

→n ∞

} →

Ejercicio 1.3.3 Sea X nj , j = 1,...,k n , n  1 , donde kn , un sistema triangular de variables aleatorias centradas e independientes, fijado n, −1/2 kn 2 con X nj = O(kn ), y tales que j=1 E (X nj ) σ 2 > 0, demostrar que S n =



kn j=1 X nj

→L N (0, σ2).



Ejercicio 1.3.4 Supongamos ahora una sucesi´ on de modelos binomiales CRR donde el n´ umero de periodos depende de n y tales que 1 + r(n) = e

rT n

, √ 1 + b(n) = e σ , √ −σ T n

T n

1 + a(n) = e

,

Demostrar que para n suficientemente grande los mercados son viables. Calcular el precio l´ımite de un call en el instante inicial cuando n .

→∞

Ejercicio 1.3.5 Considerar el mismo problema que en el caso anterior pero con 1 + b(n) = eτ , T

1 + a(n) = eλ n , donde τ > 0 y 0 < λ < r.

´ A LAS OPCIONES AMERICANAS 1.4. INTRODUCCI ON

1.4

J.M. Corcuera

Introducci´ on a las opciones americanas

Una opción americana se puede ejercer en cualquier momento entre 0 y N, y definiremos entonces una sucesión positiva (Z n ) adaptada a ( n ) para indicar el beneficio inmediato de ejercer la opción en n. En el caso de un call americano Z n = (S n K )+ y en el caso de un put americano Z n = (K S n )+ . Para definir el precio, U n , en el instante n, de la opción americana procederemos por inducci´ on hacia atrás. Obviamente U N = Z N . En el instante N 1, el poseedor de la opción puede optar entre recibir Z N −1 o la cantidad ”equivalente” a Z N en el instante Z N −1 es decir la cantidad que permite replicar Z N en N 1, 0 que será S N Z N N −1 ) (suponemos que estamos en un mercado viable y −1∗E P ∗ ( ˜ completo y P es la probabilidad neutral). Obviamente optará entre el máximo de las dos cantidades anteriores, de manera que es natural definir

F − −

−

−

|F

0 U N −1 = max(Z N −1 , S N Z N −1 E P ∗ ( ˜

|F N −1))

y por inducción hacia atrás ñ+1 U n = max(Z n , S n0 E P ∗ (U

|F n))

ó análogamente ñ = max( ˜ ñ+1 U Z n , E P ∗ (U

|F n)), 0 ≤ n ≤ N − 1

ñ ) es la m´ Proposici´ on 1.4.1 La sucesi´ on (U as peque˜ na P ∗ -supermartingala que domina la sucesi´ on ( ˜ Z n ) ñ ) es adaptada y por construcción Demostraci´ on. Evidentemente ( U ñ+1 E P ∗ (U

|F n) ≤ U ñ.

ñ ), entonces T N Ñ = U Ñ . Sea (T n ) otra supermartingala que domina ( Z Z ñ+1 entonces por la monoton´ıa de la esperanza y Supongamos que T n+1 U puesto que (T n ) es supermartingala ñ+1 n ) T n E P ∗ (T n+1 n ) E P ∗ (U

≥

≥

≥

|F ≥

|F

adem´ as (T n ) domina a ( ˜ Z n ) por tanto

≥ max( ˜Z n, E P ∗ (U ñ+1|F n)) = U ñ

T n

Observaci´ on 1.4.1 Si ejercemos la opci´ on en el instante n, recibimos Z n y el valor de esto en el instante inicial es V 0 = E P ∗ ( ˜ Z n

|F 0), como se puede ejercer en cualquier instante {0, 1,..,N } uno se pregunta si U 0 = sup E P ∗ ( ˜ Z ν |F 0 ), ν donde ν es un tiempo aleatorio tal que la decisi´ on de parar en n se toma en base a la informaci´ on en n. Esto es ν = n n . La respuesta, como veremos m´ as adelante, es afirmativa.

{

} ∈ F


22

1.4.1

El problema de la parada ´ o ptima y las opciones americanas

{

}

Definici´ on 1.4.1 Una variable aleatoria ν que toma valores en 0, 1,...,N es un tiempo de paro si

{ν = n} ∈ F n, 0 ≤ n ≤ N { ≤ n} ∈

Observaci´ on 1.4.2 Equivalentemente ν es un tiempo de paro si ν 0 n N , definici´ on que se puede extender al caso continuo. n,

F

≤ ≤

Vamos a introducir el concepto de sucesión ”parada” por un tiempo de paro. Sea (X n ) un proceso adaptado y ν un tiempo de paro, entonces definimos X nν = X n∧ν para todo n. Notemos que X nν (ω) =



X n X ν (ω)

≤

si n ν (ω) si n > ν (ω)

Proposici´ on 1.4.2 Sea (X n ) adaptado, entonces (X nν ) es adaptado y si (X n ) es una martingala (sup, super), entonces (X nν ) es una martingala (sub, super).

∧

n ν

X nν

= X n∧ν = X 0 + n

= X 0 +

 j=1



− X j−1)

(X j

j=1

1{j ≤ν } (X j

− X j−1),

{ ≤ } { ≤ − } ∈ F

F

pero j ν = ν j 1 j −1 con lo que 1 {j ≤ν } es j −1 -medible y la ν sucesi´ on (φj ) con φ j = 1 {j ≤ν } es previsible. Obviamente X n es n -medible y ν E (X n+1

− X nν |F n) = E (1{n+1≤ν }(X n+1 − X n)|F n) = 1 {n+1≤ν } E (X n+1

super n ) ≶ 0 si (X n ) es martingala sub

− X n|F

Envoltura de Snell Sea (Y n ) un proceso adaptado (a (

F n)), definamos

X N = Y N X n = max(Y n , E (X n+1

F

|F n)), 0 ≤ n ≤ N − 1

diremos que (X n ) es la envoltura de Snell de ( Y n ).


J.M. Corcuera

ñ ), la sucesi´ Observaci´ on 1.4.3 Notemos que (U on de precios actualizados de las opciones americanas es la envoltura de Snell de la sucesi´ on de payoffs actu ñ ). alizados (Z Observaci´ on 1.4.4 Por una proposici´ on anterior la envoltura de Snell de un proceso adaptado es la menor supermartingala que lo mayora. Observaci´ on 1.4.5 Fijado ω si X n es estrictamente mayor que Y n , X n = E (X n+1 n ) con lo que X n se comporta hasta ese n como una martingala, esto indica que si ”paramos” adecuadamente X n podemos conseguir que sea martingala.

|F

Proposici´ on 1.4.3 La variable

{ ≥ 0, X n = Y n}

ν = inf n

es un tiempo de paro y (X nν ) es una martingala. Demostraci´ on.

{ν = n} = {X 0 > Y 0} ∩ ... ∩ {X n−1 > Y n−1} ∩ {X n = Y n} ∈ F n. Adem´ as

n

X nν



= X 0 +

j=1

manera que ν X n+1

− X j−1)

1{j ≤ν } (X j

− X nν = 1{n+1≤ν }(X n+1 − X n)

y ν E (X n+1

− X nν |F n) = 1{n+1≤ν }E (X n+1 − X n|F n) 0 si ν ≤ n ya que el indicador es cero =



0

si ν > n ya que entonces X n = E (X n+1

|F n)

Escribiremos τ n,N para indicar los tiempos de paro a valores en 1,...,N .

}

Corolario 1.4.1

|F 0) = τ ∈sup τ

X 0 = E (Y ν

0,N

|F 0)

E (Y τ

Demostraci´ on. (X nν ) es una martingala y por tanto ν X 0 = E (X N = E (X ν

|F 0) = E (X N ∧ν |F 0) |F 0) = E (Y ν |F 0).

{ n, n +


24

Por otro lado (X n ) es supermartingala y por tanto ( X nτ ) también lo es para todo τ τ 0,N de manera que

∈

≥ E (X N τ |F 0) = E (X τ |F 0) ≥ E (Y τ |F 0),

X 0 por tanto

|F 0) ≥ E (X τ |F 0), ∀τ ∈ τ 0,N

E (X ν

Observaci´ on 1.4.6 An´ alogamente se podr´ıa demostrar que X n = E (Y ν n

|F n) = τ ∈sup τ

|F n),

E (Y τ

n,N

donde

{ ≥ n, X j = Y j }

ν n = inf j

Definici´ on 1.4.2 Un tiempo de paro ν se dir´ a que es ´ optimo para la sucesi´ on (Y n ) si E (Y v 0 ) = sup E (Y τ 0 ).

|F

|F

τ τ 0,N

∈

{

}

Observaci´ on 1.4.7 El tiempo de paro ν = inf n, X n = Y n (donde X es la envoltura de Snell de Y ) es entonces un tiempo de paro ´ optimo para Y . Veamos que es el m´ as peque˜ no de los tiempos de paro ´ optimos. El siguiente teorema nos da una caracterizaci´ on de los mismos. Teorema 1.4.1 τ es un tiempo de paro ´ optimo si y s´ olo si



X τ = Y τ (X nτ )

es una martingala

Demostraci´ on. Si (X nτ ) es una martingala y X τ = Y τ τ X 0 = E (X N = E (X τ

|F 0) = E (X N ∧τ |F 0) |F 0) = E (Y τ |F 0).

Por otro lado para todo tiempo de paro π, (X nπ ) es una supermartingala, manera que π X 0 E (X N E (Y π 0 ). 0 ) = E (X π 0)

≥

|F

|F ≥

|F

|

Rec´ıprocamente, sabemos, por el colorario anterior, que X 0 = supτ ∈τ 0,N E (Y τ F 0 ). Entonces si τ es óptimo

|F 0) ≤ E (X τ |F 0) ≤ X 0,

X 0 = E (Y τ

donde la última desigualdad se debe a que ( X nτ ) es una supermartingala. Tenemos as´ı que E (X τ Y τ 0 ) = 0

− |F


J.M. Corcuera

− ≥

y como X τ Y τ 0, resulta que X τ = Y τ (casi seguramente, pero nuestro espacio de probabilidad no tiene subconjuntos de probabilidad cero distintos del vac´ıo). Veamos también que (X nτ ) es martingala. Sabemos que es supermartingala, entonces

≥ E (X nτ |F 0) ≥ E (X N τ |F 0) = E (X τ |F 0) = X 0

X 0

por lo visto antes. Por tanto, para todo n E (X nτ

− E (X τ |F n)|F 0) = 0,

pero por otro lado, ya que (X nτ ) es supermartingala, X nτ

≥ E (X N τ |F n) = E (X τ |F n) de manera que X nτ = E (X τ |F n ). Descomposici´ on de supermartingalas Proposici´ on 1.4.4 Cualquier supermartingala (X n ) tiene una descomposici´ on unica: ´ X n = M n An

−

donde (M n ) es una martingala y (An ) es no-decreciente, previsible y nulo en cero. Demostraci´ on. Basta escribir n

X n =



n

− E (X j |F j−1))

(X j

j=1

 − j=1

(X j −1

− E (X j |F j−1)) + X 0

e identificar n

M n =

 

An =

− E (X j |F j−1)) + X 0,

(X j

j=1 n j=1

(X j −1

− E (X j |F j−1))

donde definimos M 0 = X 0 y A 0 = 0. Entonces (M n ) es una martingala: M n

− M n−1 = X n − E (X n|F n−1),

1

≤ n ≤ N

de manera que E (M n

− M n−1|F n−1) = 0, 1 ≤ n ≤ N.

Por u ´ ltimo como (X n ) es supermartingala An

− An−1 = X n−1 − E (X n|F n−1) ≥ 0, 1 ≤ n ≤ N.


26 Veamos la unicidad. Si M n

− An = M n − An,

0

≤ n ≤ N

M n

− M n = An − An,

0

≤ n ≤ N,

tendremos pero entonces como (M n ) y (M n ) son martingalas y (An ) y (An ) previsibles, resulta que An−1

− An−1 = M n−1 − M n −1 = E (M n − M n |F n−1) = E (An − An |F n−1 ) = A n − An , 1 ≤ n ≤ N,

esto es

− AN = AN −1 − AN −1 = ... = A0 − A0 = 0,

AN

ya que por hipótesis A 0 = A0 = 0. Esta descomposición se conoce con el nombre de descomposición de Doob. Proposici´ on 1.4.5 El mayor tiempo de paro ´ optimo para (Y n ) est´ a dado por ν max =



N inf n, An+1 > 0

{

}

si A N = 0 si A N > 0

,

donde (X n ), envoltura de Snell de (Y n ), tiene la descomposici´ on de Doob X n = M n An .

−

{ν max = n } = {A1 = 0, A2 = 0,...,A n = 0, An+1 > 0 } ∈ 0 ≤ n ≤ N − 1, {ν max = N } = {AN = 0} ∈ F N −1 . Por tanto es un tiempo de paro. X nν = X n∧ν = M n∧ν − An∧ν = M n∧ν Demostraci´ on.

F n,

max

max

max

max

max

ya que A n∧ν max = 0. De esta manera (X nν max ) es martingala. Por tanto para ver que es óptimo nos falta probar que X νm ax = Y νmax N 1

X νm ax =

−

  j=1

1{ν max =j } X j + 1{ν max =N } X N

N 1

=

−

j=1

{

1{ν max =j } max(Y j , E (X j +1

|F j )) + 1{ν

} Y N ,

max =N

}

ahora bien en ν max = j , A j = 0, Aj+1 > 0 de manera que E (X j +1

|F j ) = E (M j+1|F j ) − Aj+1 < E (M j+1|F j ) = M j = X j


{

J.M. Corcuera

}

por tanto X j = Y j en ν max = j y consecuentemente X ν max = Y νm ax . Veamos por u ´ ltimo que es el tiempo de paro óptimo mayor posible. Sea τ ν max y P τ > ν max > 0. Entonces

{

≥

}

−

E (X τ ) = E (M τ ) E (Aτ ) = E (M 0 ) = X 0 E (Aτ ) < X 0

−

− E (Aτ )

y por tanto (X τ ∧n ) no puede ser martingala.

1.4.2

Aplicaci´ on a opciones americanas

Otra expresi´ on para el precio de opciones americanas Ya vimos que el precio de una opción americana con payoffs (Z n ) venia dado por



U N = Z N U n = max(Z n , S n0 E P ∗ (U n+1

|F n))

si n

≤ N − 1.

ñ ) es la envoltura Dicho de otra manera, la sucesión de los precios actualizados ( U de Snell de la sucesión de payoffs actualizados ( ˜ Z n ). Los resultados anteriores nos permiten afirmar entonces que ñ = sup E P ∗ (Z ˜τ U

|F n),

∈

τ τ n,N

o equivalentemente U n = S n0 sup E P ∗ ( τ τ n,N

∈

Z τ S τ 0

|F n).

Recubrimiento (”hedging”) en el caso de opciones americanas Sabemos por los resultados anteriores que podemos descomponer ñ = M ñ U

− Añ

˜ n ) es una P ∗ -martingala y ( A ñ ) es un proceso creciente y previsible donde (M que se anula en n = 0. Si recibimos U 0 podemos construir una cartera autofinanciada que replique M N (la relación entre los procesos con tilde y sin tilde es cómo siempre). En efecto, como el mercado es completo, cualquier payoff positivo (asumimos que (Z n ) 0), se puede replicar, de manera que existirá φ tal que V N (φ) = M N

≥

o lo que es lo mismo

Ñ (φ) = M ˜ N V

ñ (φ)) y (M ˜ n ) son P ∗ -martingalas de manera que V ñ (φ) = M ˜ n, 0 pero (V N. Notemos entonces que U n = M n

− An = V n(φ) − An

≤ n ≤


28 y por tanto

≥ U n.

V n (φ) = U n + An

Es decir con el dinero que recibimos podemos ”superrecubrir” el valor del derivado. Ejercicio ´ optimo de la opci´ on americana Supongamos que compramos la opción americana y queremos saber cu´ ando ejercer la opción. Es decir queremos saber qué tiempo de paro τ utilizar. Si τ es tal que U τ (ω) (ω) > Z τ (ω) (ω) no tiene interés ejercer la opción pues su valor U τ (ω) (ω) es superior a lo que vamos a obtener si la ejercemos: Z τ (ω) (ω). Por ˜τ = Z ˜τ . Por otro lado buscaremos que An = 0, tanto, buscaremos τ tal que U para todo 1 n τ, (o equivalentemente Aτ = 0) ya que si no, a partir de alg´ un momento ser´ıa mejor ejercer la opción y construir la cartera de valores ñτ ) es una P ∗ -martingala φ. De manera que V τ ∧n (φ) = U τ ∧n , pero entonces ( U ˜τ = Z ˜τ son las dos condiciones para que τ sea un tiempo de y esto junto con U ˜ paro óptimo para ( Z n ). Notemos que desde el punto de vista del vendedor, si el comprador no ejerce la opción en un tiempo de paro óptimo entonces ò bien U τ > Z τ ò Aτ > 0 en ambos casos, como el vendedor ha invertido la prima en construir una cartera de valores con la estrategia φ, tendrá por beneficio

≤ ≤

V τ (φ)

− Z τ = U τ + Aτ − Z τ > 0.

Ejemplo 1.4.1 Calculo del precio de una opci´ on americana de venta a tres meses sobre acciones, cuando el precio de ejercicio es de 60 euros, el tipo de inter´ es 10% anual y la volatilidad 45% anual utilizando un modelo CRR con doce periodos. Se analiza también en qué nodos conviene ejercer la opci´ on. Clear[s, pa, vc, vi]; T = 1/4;n =12;so = 60;K = 60;vol = 0.45;ra = 0.10; r = ra*T/n;b =vol*Sqrt[T/n];a=-b; p = (r - a)/(b - a); q = 1 - p; pp[x ] := Max[x, 0] s[0] = Table[so, 1 ]; s[x ] := s[x] = Prepend[(1 + a)*s[x - 1], (1 + b)*s[x - 1][[1]]]; ColumnForm[Table[s[i], i, 0, n ], Center] pa[n] = Map[pp, K - s[n]]; pa[x ] := pa[x] = K - s[ x] + Map[pp, Drop[p*pa[x + 1]/(1 + r) + q*RotateLeft[pa[x + 1], 1]/(1 + r), -1] - K + s[x]] ColumnForm[Table[pa[i], i, 0, n ], Center] vc[n] = Map[pp, K - s[n]]; vc[x ] := Drop[p*pa[x + 1]/(1 + r) + q*RotateLeft[pa[x + 1], 1]/(1 + r), -1]

{ }

{

{

}

}


J.M. Corcuera

vi[i ] := Table[Map[pp, K - s[i]]] ColumnForm[Table[vc[i] - vi[i], i, 0, n ], Center] ColumnForm[Table[pa[i] - vi[i], i, 0, n ], Center]

{ {

} }

Ejercicio 1.4.1 Obtener las siguientes cotas parar los precios de los ”calls” ( C ) y los ”puts” ( P ) de las opciones europeas ( E ) y americanas ( A):

− K, 0) ≤ C n(E ) ≤ C n(A); max(0, (1 + r)−(N −n) K − S n ) ≤ P n (E ) ≤ (1 + r)−(N −n) K max(S n

Ejercicio 1.4.2 Consideremos un mercado viable y completo con N periodos de negociaci´ on. Demostrar que, con las notaciones habituales, sup τ , temps d’atur

E Q



−

(S τ K )+ (1 + r)τ

  = E Q

−

(S N K )+ (1 + r)N



donde Q es la probabilidad neutral. Ejercicio 1.4.3 Sea C nE N on europea con ”payoff ” n=0 el precio de una opci´ N Z N y sean Z n n=0 los ”payoffs” de una opci´ on americana . Demostrar que si C nE Z n , n = 0, 1,...,N 1, entonces C nA N on n=0 (los precios de la opci´ E N americana) coinciden con C n n=0 .

≥

{ }

{ }

−

{ }

{ }

≥

Ejercicio 1.4.4 Sea X n = ξ 1 + ξ 2 + ... + ξ n , n 1, donde las ξ i son iid tales que P (ξ i = 1) = P (ξ i = 1) = 1/2. Encontrar la descomposici´ on de Doob de X .

| |

−


30

1.5

Modelos a tiempo continuo

Vamos a considerar modelos a tiempo continuo y aunque las ideas fundamentales son las mismas, los aspectos técnicos son mas delicados. La razón principal para considerar modelos a tiempo continuo es que no dependemos del incremento de tiempo entre negociación y negociació n y que podemos dar fórmulas cerradas. Fue Louis Bachelier en 1900 con su ”Théorie de la sp´ eculation” el primero en considerar un movimiento browniano y en derivar f´ ormulas para los precios de opciones. Daremos unas cuantas definiciones y resultados para entender los modelos a tiempo continuo. En particular, definiremos el movimiento browniano, que constituye el núcleo del modelo de Black-Scholes. Posteriormente daremos el concepto de martingala a tiempo continuo y el cálculo diferencial asociado, es decir el cálculo de Itô. Definici´ on 1.5.1 Un proceso estoc´ astico es una familia de variables aleatorias reales (X t )t∈R+ definidas en un espacio de probabilidad (Ω, , P ).

F

Observaci´ on 1.5.1 En la pr´ actica, el ´ındice t indicar´ a el tiempo, y tomaremos siempre sus valores entre 0 y T . Observaci´ on 1.5.2 Un proceso también puede ser considerado como una aplicaci´ on aleatoria: para todo ω Ω podemos asociar la aplicaci´ on de R+ a R: t X t (ω) llamada ”trayectoria” del proceso. Es decir el proceso ser´ıa una aplicaci´ on de Ω en el conjunto de funciones reales. Si las trayectorias son continuas se dice que el proceso es continuo.

∈

−→

Observaci´ on 1.5.3 Un proceso estoc´ astico también puede ser visto como una aplicaci´ on de R+ Ω en R. Supondremos en R+ Ω la σ-´ algebra (R+ ) y que la aplicaci´ on es siempre medible (proceso medible), que es un poco m´ as fuerte que la condici´ on de ser simplemente proceso (aunque si por ejemplo el proceso X es continuo por alg´ un lado entonces existe una versión, Y , del mismo (es decir P (X t = Y t ) = 1, para todo t) es medible).

×

×

F

B

⊗ F

F

Definici´ on 1.5.2 Sea (Ω, , P ) un espacio de probabilidad, una filtraci´ on ( t )t≥0 es una familia creciente de sub-σ-´ algebras de . Diremos que un proceso (X t ) es adaptado si para todo t, X t es t -medible.

F

F

Observaci´ on 1.5.4 Trabajaremos con filtraciones que tienen la propiedad

∈ F y P (A) = 0 entonces A ∈ F t para todo t. Es decir F 0 contiene a los conjuntos P -nulos de F . La importancia de esto es que si X = Y c.s. y X es (F t )-medible entonces Y es (F t )-medible. As´ı si Si A

un proceso (X t ) es adaptado e (Y t ) es otra version del mismo entonces (Y t ) es adaptado.

J.M. Corcuera

1.5. MODELOS A TIEMPO CONTINUO

Observaci´ on 1.5.5 Podemos construir la filtraci´ on generada por un proceso (X t ) y escribir t = σ(X s , 0 s t). En general esta filtraci´ on no satisface la condici´ on anterior y substituiremos t por ¯t = t donde es la colecci´ on de conjuntos de probabilidad cero de . Le llamaremos la filtraci´ on natural generada por (X t ). Salvo que digamos lo contrario ser´ a la que consideraremos.

F

≤ ≤

F F F ∨N F

N

El movimiento browniano es el movimiento aleatorio que se observa en algunas part´ıculas microscópicas que se hallan en un medio fluido (por ejemplo polen en una gota de agua). Recibe su nombre en honor a Robert Brown quien lo describe en 1828. El movimiento aleatorio de estas part´ıculas se debe a que su superficie es bombardeada incesantemente por las mol´ eculas del fluido sometidas a una agitaci´ on térmica. La descripción matemática del fenómeno fue elaborada por Albert Einstein en 1905. En los años 20 Norbert Wiener dio una caracterización del movimiento browniano como proceso estocástico y también se le conoce como proceso de Wiener. Vamos a considerar el caso unidimensional. Definici´ on 1.5.3 Diremos que (X t )t≥0 es un proceso con incrementos independientes si para cualesquiera 0 t 1 < ... < t n , X t1 , X t2 X t1 ,...,X tn X tn−1 son independientes.

≤

−

−

Definici´ on 1.5.4 Un movimiento browniano es un proceso continuo con incrementos independientes y estacionarios. Esto es:

• P -c.s s −→ X s(ω) es continua. • Si s ≤ t, X t − X s es independiente de F s = σ(X u , 0 ≤ u ≤ s). • Si s ≤ t, X t − X s X t−s − X 0. Se deduce que la ley de X t − X 0 es gaussiana: ∼

Teorema 1.5.1 Si (X t ) es un movimiento browniano entonces X t

− X 0

∼

N (rt,σ 2 t)

Proposici´ on 1.5.1 Si (X t ) es un proceso con incrementos independientes, continuo y 0 = t 0n t 1n ... t nn t es una sucesi´ on de particiones de [0, t] con limn→∞ sup tin ti−1,n = 0, entonces para todo ε > 0

≤ ≤ ≤ ≤ | − | n

→∞ i=1 P {|X tin − X ti−1,n | > ε} = 0.

lim

n



Demostraci´ on. Tendremos que para todo ε > 0

{i |

− X t − | > ε} = 0,

lim P sup X tin

→∞

n

i

1,n


32 pero



|

− X t − | > ε

P sup X tin i

i

1,n

n



=1

 −  −

{|

=1

− X t − | ≤ ε}

P X tin

i=1 n

(1

i=1

i

1,n

− P {|X t − X t − | > ε}) in

i

1,n

n

 {−

≥ 1 − exp {

{|

}

− X t − | > ε}} ≥ 0

P X tin

i=1

i

1,n

Proposici´ on 1.5.2 Sea Y kn , k = 1,...,n variables independientes y tales que Y kn εn con εn 0. Entonces si liminf V ar( nk=1 Y kn ) > 0

| |≤

↓

n k=1 Y kn

 

− E (



V ar(



n k=1 Y kn )



n k=1

Y kn )

Demostraci´ on. Escribamos X kn = Y kn 1 log E (exp it vn

{

n

  −

= log(

}

X kn )

k=1

E (exp it

X kn )) = vn

n 2 k=1 E (X kn ) vn2

1 2 t 2 1 2 εn t + O( ), 2 vn

−

= ya que

n 3 k=1 E (X kn ) vn3

  

− E (Y kn) y v n2 = V ar(

n



i=1

=

→ N (0, 1)

n

 

log(E (exp it

i=1

−

 ≤   2εn

n 2 k=1 E (X kn ) vn3

Observaci´ on 1.5.6 Notemos que si liminf V ar( que

nr k=1 Y kn



− E (

P nr 0 para k=1 Y kn )

→

X kn )) vn

n 3 k=1 E (X kn ) vn3

i 3 t 3!



+ ...

.

n k=1 Y kn )



n k=1 Y kn )



= 0 tendremos

cierta subsucesi´ on.

≤ ≤ ... ≤ tnn ≤ t

Demostraci´ on. (Teorema) Dada la partició n 0 = t 0n t 1n definamos Y nk = (X tkn X tk−1,n )1{|Xtkn −Xtk−1,n |≤εn } ,

−

entonces, por la primera proposición, después de una peque˜ na modificación (aqu´ı ε depende de n), n

P (X t

− X 0 =



k=1

n

Y nk )

≤



k=1

|

P ( X tkn

− X t − | > εn) n →∞ → 0. k

1,n

J.M. Corcuera

1.5. MODELOS A TIEMPO CONTINUO P n X t k=1 Y nk n k=1 Y kn ) > 0,



Por tanto liminf V ar(

→ − X 0. Por otro lado, por la segunda proposición, si n k=1

  −  Y kn

E (

Y kn )

n k=1 Y kn )

V ar(

− −

n k=1

→ N (0, 1)

con lo que X t X 0 tiene una ley normal (o es una constante). Resultará que la ley de cualquier incremento es normal. Entonces si tomamos como definición de r, σ2 que X 1 X 0 ∼ N (r, σ2 ), de la independencia, homogeneidad y continuidad resultar´ a que X t X 0 ∼ N (rt,σ 2 t) :

−

p

X 1

− X 0 =



(X i/p

i=1

− X (i−1)/p)

entonces X 1/p X 0 ∼ N (r/p,σ 2 /p). Análogamente X q/p X 0 ∼ N (qr/p,qσ2 /p). Ahora podemos aproximar cualquier valor de t por racionales y aplicar la continuidad de X.

−

−

Definici´ on 1.5.5 Un movimiento browniano es est´ andar si X 0 = 0 P c.s. µ = 0 y σ 2 = 1. A partir de ahora siempre lo supondremos est´ andar. En un modelo a tiempo discreto, con un stock con riesgo S , el valor descontado de una una cartera autofinanciada φ ven´ıa dado por n

ñ = V 0 + V

 

˜j , φj ∆S

j=1

t ˜s , vendrá a describir lo mismo. en un modelo a tiempo continuo V 0 + 0 φ s dS Veremos que estas integrales estarán bien definidas siempre que tengamos una definici´ on de t



φs dW s

0

donde (W s ) es un movimiento browniano. En principio podemos pensar en una definici´ on ω a ω (trayectorial) pero aunque W s (ω) es continua en s, no es una funci´ on de variación acotada y por tanto no le podemos asociar una medida para definir una integral de Lebesgue-Stieltjes. Proposici´ on 1.5.3 Las trayectorias del movimiento Browniano no tienen variaci´ on acotada con probabilidad uno. Demostraci´ on. Dada la partició n 0 = t 0n con limn→∞ sup tin ti−1,n = 0, tendremos:

| −

|

≤ t 1n ≤ ... ≤ t nn ≤ t de [0, t]

n

∆n =



− W t −

(W tin

i=1

i

1,n

)2

2

L t. →


34 En efecto:

E ((∆n

− t)2) = E (∆2n − 2t∆n + t2) = E (∆2n ) − 2t2 + t2 ,

ahora bien

   − −  −   −  −  − n

n

E (∆2n ) = E

W ti−1,n )2 (W tjn

(W tin

i=1 j=1

n

=

W tj −1,n )2

n

4

E ((W tin

W ti−1,n ) ) + 2

i=1 n

=3

 

− W t −

E ((W tin

i=1 j
i

1,n

)2 (W tjn

− W t − j

1,n

n

ti−1,n )2 + 2

(tin

i=1

(tin

ti−1, )((tjn

i=1 j
− tj−1,n)

n

= t 2 + 2

(tin

i=1

ti−1,n )2

de manera que n

E ((∆n

2

− t) ) = 2

Then



(tin

i=1

− ti−1,n)2 ≤ 2t sup |tin − ti−1,n| → 0.

{| − t| > ε} ≤ 2t sup |tinε2− ti−1,n| ,

P ∆n

∞ sup t entonces si la sucesión de particiones es tal que in n=1 c.s. aplicando Borel-Cantelli, tendremos que ∆ n t. Por u ´ ltimo



n

|

− W t −

W tin

i=1

i

1n

n i=1

 |≥

|W t − W t − supi |W t − W t −

| − ti−1,n| < ∞,

→ |2 = ∆n c.s. t | supi |W t − W t − | → 0 .

in

i

1,n

i,n

i

1,n

in

i

1,n

Proposici´ on 1.5.4 Si (X t ) es un movimiento browniano y 0 < t1 < ... < t n , entonces (X t1 , X t2 ,...,X tn ) es un vector gaussiano. Demostraci´ on. (X t1 , X t2 ,...,X tn ) se obtiene como una transformación lineal de (X t1 , X t2 X t1 ,...,X tn X tn−1 ) que es un vector gaussiano de normales independientes.

−

−

Proposici´ on 1.5.5 Si (X t ) es un movimiento Browniano entonces Cov(X t , X s ) = s t.

∧

−

−

Demostraci´ on. V ar(X t X s ) = V ar(X t )+V ar(X s ) 2Cov(X t , X s ). Esto es t s = t + s 2Cov (X t , X s ).

−

−

)2 )

J.M. Corcuera


Definici´ on 1.5.6 Un proceso continuo (X t ) es un ( si

• X t es F t-medible. • X t − X s es independiente de F s , • X t − X s X t−s − X 0

s

F t)-movimiento browniano

≤ t.

∼

Ejemplo 1.5.1 Sea (X t ) un movimiento Browniano (standard). Sea T > 0, definamos t = σ(X s , T t s T ), 0 t < T entonces

F

− ≤ ≤ ≤ T X s Y t = X T −t − X T + ds, s



0

T t

−

≤ t < T

F t)-movimiento Browniano (standard). Demostraci´ on. Es obvio que Y es (F t )-medible, continuo, gaussiano y que Y 0 = 0. Tiene incrementos homogéneos, de hecho, sea 0 ≤ u < v < T T −u X s Y v − Y u = X T −v − X T −u + ds, s T −v entonces E (Y v − Y u ) = 0 y T −u E ((X T −v − X T −u ) X s ) V ar(Y v − Y u ) = v − u + 2 ds s define un (



    − −    − −  − − −

T u

+2

T v

−

T v r

−



E (X s X r ) ds dr sr

T v T u

− − T v − s = v u + 2 ds s T −v T −u r 1

+2

dsdr

T v

−

T v r T u

−

− T v − s = v u + 2 ds s T −v T −u r (T v)

+2

T v

= v

−

−

− u.

Finalmente, Y v Y u es independiente de basta ver que E (Y v Y u u ) = 0, pero since

r

dr

F u. Como las variables son gaussianas,

− |F E (Y v − Y u |F u ) = E (Y v − Y u |X T −u ) = 0, T u

− E (X T −u X s ) E ((Y v − Y u ) X T −u ) = T − v − (T − u) + du s T −v = u

− v + v − u = 0.




36

1.5.1

Martingalas a tiempo continuo

Definici´ on 1.5.7 Sea (M t ) una familia de variables aleatorias adaptada a ( y con momentos de primer orden, entonces es:

F t)

• Una martingala si E (M t|F s ) = M s , para todo s ≤ t • Una submartingala si E (M t|F s ) ≥ M s , para todo s ≤ t • Una supermartingala si E (M t|F s ) ≤ M s , para todo s ≤ t. En la definición anterior las igualdades y desigualdades se entienden casi seguramente . Proposici´ on 1.5.6 Si (X t ) es un (

F t)-movimiento browniano entonces:

• (X t) es una (F t)-martingala. • (X t2 − t) es una (F t)-martingala. • (exp(σX t − σ2 t)) es una (F t)-martingala. 2

Demostraci´ on. E (X t

|F s ) = E (X t − X s + X s |F s) = E (X t − X s |F s ) + X s = E (X t − X s ) + X s = X s ,

E (X t2

− t|F s) = E ((X t − X s + X s )2|F s ) − t = E ((X t − X s )2 + X s2 + 2(X t − X s )|F s ) − t = t − s + X s2 − t = X s2 − s,

2

E (exp(σX t

2

− σ2 t)|F s) = exp(σX s − σ2 t)E (exp(σ(X t − X s))|F s) σ 2 = exp(σX s − t)E (exp(σ(X t − X s )) 2 σ 2 σ2 = exp(σX s − t) exp( (t − s)) (ya que X t − X s 2 2 2 σ = exp(σX s − s) 2

∼

N (0, t

− s))

J.M. Corcuera


Ejercicio 1.5.1 Comprobar si los siguientes procesos estoc´ asticos, definidos a partir de un movimiento browniano B, son martingalas, respecto de t = σ(Bs , 0 s t),

F

≤ ≤

t

 −

2

X t = t Bt

2

sBs ds

0

X t = e t/2 cos Bt X t = e t/2 sin Bt

− − 12 t)

X t = (Bt + t) exp( Bt X t = B t1 Bt2 .

En este ultimo ´ caso B t1 y B t2 representan dos brownianos independientes y σ(Bs1 , Bs2 , 0 s t).

F t =

≤ ≤

Ejercicio 1.5.2 Sea (X t ) un movimiento browniano (est´ andar) demostrar que t

X t

 − 0

define un ( t, X T ).

1.5.2

− X s ds, − s

X T T

0

≤ t < T

F t)-movimiento browniano entre 0 y T con F t = σ(X s , 0 ≤ s ≤

Construcci´ on de la integral estoc´ astica.

Sea (W t ) un movimiento browniano estándar, y (τ n ) una sucesión de particiones: 0 = t 0n t 1n ... t nn = t , con d n := lim n→∞ sup tin ti−1,n = 0, tal que para todo 0 s t

≤ ≤ ≤ ≤ ≤

| −

lim

n

− W t − |2 c.s. = s.

|

W tin

→∞ t ∈τ i,n n ti,n ≤s

Sea f una función de clase C 2 en

|

i

1,n

R. Entonces,

(1.3)

fijado ω,

1  f (W tin ) f (W ti−1,n ) = f  (W ti−1,n )(W tin W ti−1,n )+ f (W t˜i−1,n )(W tin W ti−1,n )2 , 2

−

−

−



donde ˜ti−1,n (ti−1,n , tin ). Como f es uniformemente continua en el compacto (W s (ω))0≤s≤t tendremos que

∈

n

| i=1



−



n

|

−

f (W t˜i−1,n ) f (W ti−1,n ) (W tin W ti−1,n )

2

≤ εn

 i=1

(W tin W ti−1,n )2

−

→ 0, →∞

n

Para cada n, µn (A)(ω) := ni=1 W tin (ω) W ti−1,n (ω) 2 1A (ti−1,n ) define una medida en [0, t] que converge, por (1.3), a la medida de Lebesgue en [0 , t] . De



|

−

|


38 manera que n

 i=1



− W t −

f (W ti−1,n )(W tin

t



2

1,n ) =

i

n



f (W s )µn (ds)

0

t

 →

→∞



f (W s )ds.

0

Por tanto, f (W t )



− f (0) = nlim →∞ 1 + 2

− f (W t −

(f (W tin )

t



i

1,n

)) = lim n

→∞



f (W s )ds.



f  (W ti−1,n )(W tin

− W t −

0

De esta manera




− W t − est´ a bien definido ya que coincide con f (W t ) − f (0) − 12 lim

n

→∞

i

1,n

definir entonces t



f  (W s )dW s = lim n

0

→∞



)

t  0 f (W s )ds y




− W t − i

1,n

podemos

).

El problema es que estamos sujetos a las sucesiones de particiones para las que (1.3) es válido. No obstante si conseguimos que las sumas de Riemann, que definen nuestra ”integral estocástica” converjan en otro modo (en probabilidad o en L2 ) independientemente de las particiones que elijamos, el l´ımite será en cualquier caso el mismo debido a la unicidad del l´ımite casi seguro. De esta manera queda establecido que t

 0

1 f  (W s )dW s = f (W t ) − f (0) −

t

2



1 2





f (W s )ds

0

lo que altera el teorema fundamental del c´ alculo. Ejemplo 1.5.2 t



W s dW s =

0

t

 0

{ }

1 2 W 2 t

− 12 t,

{ }−1−

exp W s dW s = exp W t

t

0

{ }

exp W s ds

Es fácil ver, haciendo el mismo razonamiento, que podemos extender los integrandos a funciones f : [0, t] R R de clase C 1,2 de manera que

× →

t

f (t, W t ) = f (0, 0) +

 0

t

f t (s, W s )ds +

 0

1 f x (s, W s )dW s + 2

t

 0

f xx (s, W s )ds,

i

1,n

)

J.M. Corcuera


donde ∂ ∂ f (t, x), f x (s, x) = f (t, x), ∂t ∂x ∂ 2 f xx (s, x) = f (t, x). ∂x 2 f t (s, x) =

Ejemplo 1.5.3 Si tomamos f (t, x) = exp(ax exp(aW t

−

1 2 a t) = 1 2

−

a 2 2 t

+a

 

− 21 a2t), a ∈

t



exp(aW s

0

exp(aW s

0

a 2 + 2

tenemos

− 12 a2s)ds

− 12 a2s)dW s

t

exp(aW s

0

R,

− 12 a2s)ds.

Esto es, exp(aW t

−

1 2 a t) = 1 + a 2

t



exp(aW s

0

− 12 a2s)dW s .

Ejemplo 1.5.4 Supongamos un mercado donde tenemos un stock con riesgo, S t = W t , y una cuenta bancaria con interés simple r = 0. De manera que dada una estrategia φt = (φ0t , φ1t ) el valor de nuestra cartera, en el instante t, ser´ a V t = φ0t + φ1t W t , Si la estrategia es autofinanciada tendremos dV t = φ 1t dW t Supongamos ahora que V t = V (t, S t ), entonces aplicando el c´ alculo estoc´ astico anterior 1 dV t = dV (t, S t ) = V t (t, W t )dt + V x (t, W t )dW t + V xx (t, W t )dt, 2 de manera que 1 V t (t, W t ) + V xx (t, W t ) = 0 2 V x (t, W t ) = φ1t

(1.4)

(1.5)

y si queremos replicar H = F (W T ), habr´ a que buscar una soluci´ on de (1.4) con la condici´ on de contorno V (T, W T ) = F (W T ). La ecuaci´ on 1.5 nos resolver´ıa el problema de ”hedging”.


40 La integral definida

Vamos entonces a construir una integral en el sentido de convergencia en L 2 . Definici´ on 1.5.8 (H t )0≤t≤T es un proceso simple si se puede escribir n

H t =

 i=1

φi 1(ti−1 ,ti ] (t),

donde 0 = t 0 < t1 < ... < t n = T y φ es

F 

-medible y acotada.

ti−1

Definici´ on 1.5.9 Si (H t )0≤t≤T es un proceso simple, definimos n

T



H s dW s =

0



− W t − )

φi (W ti

i=1

i

1

Proposici´ on 1.5.7 Si (H t )0≤t≤T es un proceso simple E ( (propiedad de isometr´ıa)

T 2 0 H s dW s )



=

T 2 0 E (H s )ds



Demostraci´ on. T

E (



n

0

= E (

i=1 n 1

+2

=

− W t − )

φi (W ti

i=1 n

=

n

    

H s dW s )2 = E (

φ2i (W ti

i

1



φj (W tj

j=1

− W t − )) i

1

− W t − )2) i

−

1

−

− W t − |F t − ))

E (φi (W ti W ti−1 )φj E (W tj i=1 j>i n E (φ2i E (W ti W ti−1 )2 ti−1 )) i=1 n t E (φ2i )(ti ti 1 ) = E H s2 ds = 0 i=1

−

−

−

 T

H

1

j

1

|F

Vamos a extender la clase de integrandos simples,

H = {(H t)0≤t≤T , (F t)-adaptado,

i

 0

t

 0

E (H s2 )ds

S a la clase H :

E (H s2 )ds <





∞}. T



Se puede ver que la clase con el producto escalar (H t ), (F t ) = 0 E (H s F s )ds es un espacio de Hilbert. Notemos que por la proposición anterior tenemos definida una aplicación lineal I : = variables T -medibles de cuadrado T integrable , I (H ) = 0 H s dW s . En tambi´ en podemos definir un producto escalar M, L := E (ML). Tenemos entonces que I es una isometr´ıa.



}





S →M { M

F

J.M. Corcuera


S

Proposici´ on 1.5.8 La clase es densa en T 2 ( )ds). 0 E H s



H (con respecto a la morma ||H t||2 := H,

Definici´ on 1.5.10 Si H es un proceso de la clase el l´ımite en L 2 T



T

H s dW s = lim n

→∞

0

 0

la integral se define como

H sn dW s ,

(1.6)

donde H sn es una sucesi´ on de procesos simples tales que T

lim

n

→∞

 0

− H s)2ds = 0.

E (H sn

T

Que el l´ımite (1.6) existe se debe a que la sucesión de variables 0 H sn dW s es de Cauchy y L 2 (Ω) es completo, en efecto debido a la propiedad de isometr´ıa T



E (

0

H sn dW s

T

 − 0

H sm dW s )2

T



  ≤  =

0

T

2

0 T

+2

0

− H sm)2ds

E (H sn

− H s)2ds

E (H sn

E (H sm

− H s )2ds.

An´ alogamente se puede ver que el l´ımite no depende de la sucesión H n . Es fácil ver que para todo H de la clase

H

• Se cumple la propiedad de isometr´ıa, T



T

2

E (

H s dW s ) =

0

 0

E (H s2 )ds,

• La esperanza de la integral es cero, T



E (

H s dW s ) = 0,

0

• La integral es lineal, T



T

(aH s + bF s )dW s = a

0



T

H s dW s + b

0



F s dW s

0

La integral indefinida Si H es de la clase

H también lo es H 1[0,t] y podemos definir t



T

H s dW s :=

0

tenemos as´ı el proceso



I (H )t :=



H s 1[0,t] (s)dW s ,

0

t

 0

H s dW s , 0



≤ t ≤ T


42

F t)-martingala.

Proposici´ on 1.5.9 I (H ) es una (

Demostraci´ on. El resultado es inmediato si H es simple: es obvio que t> s t -medible y tiene esperanza, es suficiente entonces ver que

t H s dW s es 0



F

∀

t

E

 

s

H u dW u

0

 F    =

s

H u dW u .

0

Podemos suponer que s y t son algunos de los puntos de la partición 0 = t 0 < tn t1 < ... < t n = T . As´ı basta ver que (M n ) := 0 H u dW u es una ( n )martingala con Gn = tn . Pero (M n ) es la ( n )-martingala (W tn ) transformada por el proceso ( n )-previsible (φn ) por tanto es una martingala. Si H no es simple la integral es un l´ımite en L2 de martingalas, pero esto conserva la propiedad de martingala.

G

F



G



G

Observaci´ on 1.5.7 Se puede ver, utilizando la desigualdad de Doob para martingalas continuas: 2 E ( sup M t2 ) 4E (M T )

≤

0 t T

≤≤

que existe una versi´ on de I (H ) que es continua.

∀

Observaci´ on 1.5.8 Denotaremos t > s,

t H u dW u := s



t 0 H u dW u



−

s 0 H u dW u .



Para hacer una ulterior extensión de los integrandos son convenientes los siguiente resultados Proposici´ on 1.5.10 Sea A

F t-medible, entonces para todo H ∈ H

T



T

1A H s 1{s>t} dW s = 1 A

0



H s dW s

t

Demostraci´ on. Si H n es una sucesión que se aproxima a H resulta que n 1A H 1{·>t} se aproximará a 1A H 1{·>t} y como el resultado es cierto para procesos simples ya está. Definici´ on 1.5.11 Un tiempo de paro relativo a una filtraci´ on ( variable aleatoria τ : Ω [0, ]

→ ∞

≥ 0, {τ ≤ t} ∈ F t. Proposici´ on 1.5.11 Sea τ un (F t )- tiempo de paro entonces tal que para todo t

τ T

 0

∧

T

H s dW s =

 0

1{s≤τ } H s dW s

F t) es una

J.M. Corcuera

1.5. MODELOS A TIEMPO CONTINUO n



Demostraci´ on. Si τ es de la forma τ = i=1 ti 1Ai donde 0 < t1 < t2 < ... < t n = T y A i ti -medibles y disjuntos, entonces es inmediato:

F

T n

T



1{s>τ } H s dW s =

0

    0

i=1

n

1{s>ti } 1Ai H s dW s =

T

=

T

  1Ai

H s dW s

∧

ti T

i=1

H s dW s ,

∧

τ T

Por u ´ltimo imar τ por T 1 s τ 0



E

∧

τ T T T H s dW s = 0 H s dW s H dW s . En 0 τ T s 2n 1 (k+1)T τ n = k=0 (k+1)T y ver que 2n 1 kT τ < 2n 2n





−

{ ≤

{ ≤ } H s dW s :

 

T

0

−



∧

1{s≤τ n } H s dW s

0

T 1 s τ n 0

}

2

T

 −

general, basta aprox-

    

1{s≤τ } H s dW s

T

= E

0

{ ≤ } H s dW s

2

L →



1{τ
y si aplicamos convergencia dominada ya está. Por u´ltimo tomamos una subT sucesi´ on de 0 1{s≤τ n } H s dW s que converja casi seguramente.



Extensi´ on de la integral Vamos a hacer una ulterior extensión de los integrandos, consideremos la clase T

˜ = (H t )0≤t≤T , (

H {

F t)-adaptado,

 0

H s2 ds <

∞ P -c.s.}.

t ˜ sea τ n = inf t Dado H T, 0 (H s )2 ds n (+ si el conjunto t 2 anterior es vac´ıo). Que 0 (H s ) ds es t -medible se deduce de que es l´ımite casi seguro de variables t -medibles, de aqu´ı τ n es un tiempo de paro. Sea T An = 0 (H s )2 ds < n y definamos Podemos entonces definir:

∈H

{





{ ≤

F

F }

˜(H )nt := J

t



≥ } ∞



≥ 1 N´ otese que esto está bien definido de manera que si m ≥ n y ω ∈ A n entonces 0

1{s≤τ n } H s dW s 1An , para todo n

n ˜(H )m ˜ J t (ω) = J (H )t (ω),

en efecto: ˜(H )m J t (ω) = pero

t τ n (ω)



∧

t τ n

 0

∧

1{s≤τ m } H s dW s ,

0

t

1{s≤τ m } H s dW s =

  0

1{s≤τ n } 1{s≤τ m } H s dW s

t

=

0

1{s≤τ n } H s dW s ,


44 de manera que

t τ n (ω)



∧

0

˜(H )n (ω) 1{s≤τ m } H s dW s = J t

Podemos ahora definir ˜(H )t = lim J n

→∞

t



t

 

1{s≤τ n } H s dW s 1An

0

= lim n

→∞

 0

1{s≤τ n } H s dW s .

∈ H

N´ otese que si H

˜(H )t = lim J

→∞

n

t

=



t

 0

t τ n

1{s≤τ n } H s dW s = lim

→∞

n



∧

H s dW s

0

H s dW s = J (H )t ,

0

por tanto se trata de una ”extensión”. Ejercicio 1.5.3 Ver que la definici´ on no depende de la sucesi´ on de tiempos de paro ”localizadora” de (H s ) (esto es que τñ y que 1{·<˜τn } H · est´ a en ) entonces el l´ımite es el mismo.

↑ ∞





H

Se puede ver que la extensión anterior es un l´ımite en probabilidad de integrales de procesos simples H n que convergen a H en el sentido de que t

 |

P (

0

− H s|2ds > ε) → 0.

H sn

N´ otese que la nueva integral es un l´ımite casi seguro de un l´ımite en norma cuadr´ atica. La propiedad de martingala se pierde entonces. En general tenemos que si (τ m ) es una sucesión localizadora ˜(H )t∧τ m = lim J

→∞

n

= lim n

→∞

= lim n

→∞



t

=

0

  

t τ m

∧

0

1{s≤τñ } H s dW s

t

0

1{s≤τñ ∧τ m } H s dW s

t

0

1{s≤τ m } H s dW s

1{s≤τ m } H s dW s

˜(H )t∧τ m es una martingala. Entonces de dice que J ˜(H ) es una de manera que J martingala local (cuando se para por τ m es martingala, en t , y τ m ).

↑ ∞

J.M. Corcuera


1.5.3

C´ alculo de Itˆ o

Vamos a desarrollar un cálculo basado en la integral anterior. Ya hemos visto que este cálculo es distinto del ordinario. Nuestro teorema fundamental será ahora t 1 t  f  (W s )dW s = f (W t ) f (W 0 ) f (W s )ds 2 0 0



−

−

para f C 2 , o en forma diferencial



∈

1 df (W t ) = f  (W s )dW s + f  (W t )dt 2

(1.7)

Vamos a tratar de extender este y otros resultados. Definici´ on 1.5.12 Un proceso (X t )0≤t≤T diremos que es proceso de Itˆ o si se puede escribir t

X t = X 0 +



t

K s ds +

0

donde



H s dW s

0

• X 0 es F 0-medible. • (K s) y (H s ) son ( F t)-adaptados. • 0T (|K s| + |H s|2)ds < ∞ P -c.s..

 

F t)-martingala continua tal

Proposici´ on 1.5.12 Si (M t )0≤t≤T es una ( t M t = 0 K s ds < P -c.s. entonces

∞

que

∀ ≤ T Ejercicio 1.5.4 Sea (M t )0≤t≤T es una ( F t )-martingala continua tal que M t = t t | | ≤ C < ∞ P -c.s, probar que si 0 K s ds con (K s ) adaptado y tal que 0 K s ds i n tomais t i = T n , 0 ≤ i ≤ n, entonces M t = 0, t





n



lim E (

n

→∞

(M tni

i=1

− M t − )2) = 0 n i 1

y simultaneamente n



E (

(M tni

i=1

− M t − )2) = E (M T 2 − M 02) n i 1

∀ ≤ T , M t = 0.

y que por tanto P -c.s t

Corolario 1.5.1 Todo proceso de Itˆ o tiene una expresi´ on unica. ´


46

∈ C 1,2 entonces:

Teorema 1.5.2 Sea (X t )0≤t≤T un proceso de Ito y f (t, x) t



f (t, X t ) = f (0, X 0 )+

t



f t (s, X s )ds+

0

0

1 f x (s, X s )dX s + 2

t







f xx (s, X s )d X, X s ,

0

donde t



t

f x (s, X s )dX s =

0

t

 

f x (s, X s )K s ds +

0

f x (s, X s )H s dW s

0

t

X, X s =



H s2 ds.

0

Ejemplo 1.5.5 Supongamos que queremos encontrar una soluci´ on (S t )0≤t≤T para la ecuaci´ on t

S t = x 0 +



S s (µds + σdW s )

0

o en forma diferencial

dS t = S t (µdt + σdW t ),

S 0 = x 0 .

Por el teorema anterior. dS t 1 2 2 = µdt + σdW t = d(log S t ) + σ S t dt, S s 2S t2 esto es d(log S t ) = (µ de manera que

− 12 σ2)dt + σdW t

{ − 12 σ2)t + σW t}

S t = S 0 exp (µ

Proposici´ on 1.5.13 (F´ ormula de integraci´ on por partes) Sean X t e Y t dos t t t t procesos de Itˆ o, X t = X 0 + 0 K s ds+ 0 H s dW s e Y t = Y 0 + 0 K s ds+ 0 H s dW s . Entonces





t

X t Y t = X 0 Y 0 +



t

X s dY s +

0

donde





Y s dX s + X, Y

0

t

X, Y t =

 0



t



H s H s ds.

Demostraci´ on. Por la formula de Itô 2

2

(X t + Y t ) = (X 0 + Y 0 ) + 2

t

 0

y X t

2

= X 02 + 2

1 (X s + Y s )d(X s + Y s ) + 2 t

 0

1 X s dX s + 2

t

 0

t



2H s2 ds,

0

2(H s + H s )2 ds

J.M. Corcuera


Y t

2

= Y 02

t

+2

 0

1 Y s dY s + 2

t

 0

2H s2 ds

con lo que restando a la primera igualdad la suma de estas dos obtenemos: t

2X t Y t = 2X 0 Y 0 + 2



t

X s dY s + 2

0

t



Y s dX s +

0

 0

2H s H s ds.

Consideremos la ecuación diferencial dX t =

−cX tdt + σdW t, X 0 = x

entonces si aplicamos la formula anterior a X t ect tendremos y por tanto de manera que

d X t ect = e ct dX t + cX t ect dt

 

e−ct d X t ect = σdW t

 

X t = xe −ct + σe−ct

t



ecs dW s ,

0

una nueva integración por partes nos conduce a X t = xe −ct + σe −ct (ect W t −

t



cecs W s ds),

0

con lo que se trata de un proceso Gaussiano con esperanza xe −ct y varianza 2

Var(X t ) = σ e−2ct

t



e2cs ds

0

= σ

21

− e−2ct . 2c


48

1.5.4

Teorema de Girsanov

F

Lema 1.5.1 Sea (Ω, , P ) un espacio de probabilidad dotado de una filtraci´ on ( t )0≤t≤T , T = . Sea Z T > 0 tal que E (Z T ) = 1 y Z t := E (Z T t ), 0 ˜ t T. Entonces si definimos P (A) := E (1A Z T ), A e Y es una variable ˜ -medible, tal que E ( Y ) < entonces, para todo s t, t

F ≤ F

F F

∀ ∈ F | | ∞ ≤ ˜ (Y |F s ) = 1 E (Y Z t |F s ). E Z s Demostraci´ on. Sea A ∈ F s entonces ˜ (1A Y ) = E (1A Y Z T ) = E (1A E (Y Z t |F s )) E ˜ (1A 1 E (Y Z t |F s )). = E Z s

|F ≤

(1.8)

Teorema 1.5.3 (Girsanov) Consideremos un espacio de probabilidad como antes T y (θt )0≤t≤T un proceso adaptado tal que 0 θt2 dt < c.s. donde t

Z t := exp

 {

θs dW s

0

 −

∞

t

1 2

 0

F

θs2 ds ,

}

es una martingala y W es un ( t )-movimiento browniano est´ andar. Entonces t ˜ bajo la probabilidad P ( ) := E (1· Z T ), X t = W t t T,es un 0 θ s ds, 0 ( t )-movimiento browniano est´ andar.

·

F

−



≤ ≤

Demostraci´ on. (X t )0≤t≤T es adaptado y continuo, veamos que los incrementos son independientes y homogéneos. ˜ (exp iu(X t X s ) E 1 = E (exp iu(X t Z s

{

−

}|F s) − X s )}Z t|F s)

{ t

 {

= E (exp

(iu + θs )dW s

s

−

1 2

Ahora bien, si escribimos

t

 s

{

N t := exp iuX t y aplicamos la formula de Itô a t

Z t N t = exp

 {

(iu + θs )dW s

0

obtenemos

−

1 2

(2iuθs + θs2 )ds

}|F s)

} t

 0

(2iuθs + θs2 )ds

}

Z t N t t

=1 +

  

Z s N s (iu + θs )dW s

0

t

=1 +

Z s N s (iu + θs )dW s

0

−

2

− u2

t

 0

t

 

1 1 (2iuθs + θs2 )ds + 2 2 Z s N s ds.

0

Z s N s (iu + θs )2 ds

J.M. Corcuera


{ ≤ T , 0t |(Z s N s(iu + θs))|2ds ≥ n})



Por tanto (localizando con τ n = inf t E (Z t∧τ n N t∧τ n

n

Esto es

n

n

pasando ahora al l´ımite cuando n Fubini obtenemos

|F s) = 1

Z v N v dv

s

.

s τ n

∧

∧

t τ n

u 2 ˜ E 2

|F s) = N s∧τ

˜ ( N t E N s

∧

     F −      −  F → ∞  − |F

|F s ) = Z s∧τ N s∧τ

˜ (N t∧τ E n

t τ n

u 2 E 2

N v dv

s

,

s τ n

∧

y aplicando convergencia dominada y

u 2 2

t

s

˜ ( N v E N s

˜ ( N t Esto nos da una ecuación para g s (t) := E N s gs (t) =

s )dv.

|F s )(ω), tal que

2

−u2 gs (t)

gs (s) = 1 De manera que

2

gs (t) = exp esto es ˜ (exp iu(X t E

{

{− u2 (t − s)} 2

− X s)}|F s ) = exp{− u2 (t − s)}

con lo que los incrementos son independientes homogeneos y con ley N(0 , t

1.5.5

− s).

El modelo de Black-Scholes

El modelo de Samuelson, más conocido por modelo de Black-Scholes, consiste en un mercado con dos activos. Un activo sin riesgo, S 0 , (o cuenta bancaria) que evoluciona como: dS t0 = rS t0 dt, t 0

≥

donde r es una constante no negativa, esto es S t0 = e rt ,

t

≥ 0

y un activo con riesgo S que evoluciona como dS t = S t (µdt + σdBt )

≥ 0

t

donde (Bt ) es un movimiento browniano. Como hemos visto anteriormente esto implica que σ 2 S t = S 0 exp µt t + σBt . 2 Entonces log(S t ) es un movimiento browniano, no necesariamente estándar, y por las propiedades del movimiento Browniano tenemos que S t :

{ −

}


50

• tiene trayectorias continuas • los incrementos relativos S S −S t

u

u

S t

son independientes de σ(S s , 0

≤ s ≤ u) :

− S u = S t − 1

S u

S u

y

2

S t = exp µ(t S u

{ − u) − σ2 (t − u) + σ(Bt − Bu)} que es independiente de σ(Bs , 0 ≤ s ≤ u) = σ(S s , 0 ≤ s ≤ u). • los incrementos relativos son estacionarios: S t − S u S t−u − S 0 . S u

∼

S 0

De hecho podriamos formular el modelo en términos de estas tres hipótesis Estrategias autofinanciadas Una estrategia es un proceso φ = (φt )0≤t≤T = H t0 , H t 0≤t≤T a valores en R2 adaptado a la filtración natural del movimiento browniano, (Bt ) , (que coincide con la de (S t )), el valor de la cartera es

 

V t (φ) = H t0 S t0 + H t S t . En el caso a tiempo discreto, deciamos que la cartera era autofinanciada si V n+1 (φ)

0 − V n(φ) = φ0n+1(S n+1 − S n0 ) + φn+1(S n+1 − S n),

la correspondiente versión en el caso discreto será: dV t = H t0 dS t0 + H t dS t . T

Para dar una sentido a esta igualdad imponemos la condición: 0 H t0 + H t2 ds < P c.s., entonces las integrales (diferenciales) están bien definidas:

 |

∞

T

  0

H t0 dS t0

T

=

T

  0

0



H t0 re rt dt

T

H t dS t =

|

T

H t S t µdt +

0



σH t S t dBt .

0

Tenemos entonces la siguiente definición Definici´ on 1.5.13 Una estrategia autofinanciada, φ, es una par de procesos adaptados H t0 0≤t≤T , (H t )0≤t≤T que satisfacen

•

T 0

 

 |

H t0 + H t2 ds <

|



∞ P c.s.

J.M. Corcuera

1.5. MODELOS A TIEMPO CONTINUO t 0 rs 0 H s re ds

• H t0S t0 + H tS t = H 00S 00 + H 0tS 0 +



+

t 0 H s dS s ,



≤ t ≤ T .

0

˜t = e −rt S t , de manera que la tilde la utilizaremos, como en el Indiquemos S caso discreto, para indicar cualquier valor actualizado (o descontado). Proposici´ on 1.5.14 φ es autofinanciada si y s´ olo si: ˜t (φ) = V 0 (φ) + V

t



˜s H s dS

0

˜t = Demostraci´ on. Supongamos que φ es autofinanciada, entonces como V e−rt V t , resultará que ˜t = dV

−re−rt V tdt + e−rt dV t = −re−rt (H t0 S t0 + H t S t )dt

+ e−rt (H t0 dS t0 + H t dS t )

−re−rt (H t0S t0 + H tS t)dt

=

+ e−rt (H t0 rS t0 dt + H t dS t )

−re−rt H tS tdt + e−rt H tdS t = H t (−re −rt S t dt + e−rt dS t ) =

˜t . = H t dS An´ alogamente si

˜t = H t dS ˜t dV tenemos que dV t = H t0 dS t0 + H t dS t .

Valoraci´ on y cobertura en el modelo de Black-Scholes Busquemos una probabilidad bajo la cual los precios actualizados sean martingala. Sabemos que ˜t = d e−rt S t = dS

re−rt S t dt + e−rt dS t

  − −− − 

= e −rt S t ( rdt + µdt + σdBt ) r

˜t d = σ S

µ

σ

t + Bt

˜t dW t = σ S con

W t = Bt

− r −σ µ t.

(1.9)


52

µ Entonces por el teorema de Girsanov con θt = r− σ resulta que (W t )0≤t≤T es un browniano estándar respecto a la probabilidad P ∗

r−µ 1 dP ∗ = exp{ BT − σ

2

− r

µ

2

σ

}

T dP.

(1.10)

De (1.9) deducimos que

{− 12 σ2t + σW t}

˜t = S 0 exp S



˜t y que S

es una P ∗ -martingala. También tenemos que

0 t T

≤≤

{ − 12 σ2t + σW t}.

S t = S 0 exp rt

Definici´ on 1.5.14 Una estrategia φ es admisible si es autofinanciada y su valor ˜t = H t0 + H t ˜ descontado V S t 0, t.

≥ ∀

Definici´ on 1.5.15 Diremos que una opci´ on es replicable si su payoff es igual al valor final de una estrategia admisible. Proposici´ on 1.5.15 En el modelo de Black-Scholes cualquier opci´ on con payoff (no negativo) de la forma h = f (S T ), de cuadrado integrable respecto a P ∗ , con E P ∗ (h t ) una funci´ on C 1,2 del tiempo y de S t , es replicable, su precio viene dado por C (t, S t ) = E P ∗ (e−r(T −t) h t ) y la estrategia que replica h viene dada por (H t0 , H t ) con

|F

|F

∂C (t, S t ) ∂S t = C (t, S t ) H t S t

H t = H t0 ert

−

Demostraci´ on. En primer lugar, por la independencia de los incrementos relativos E P ∗ (e−r(T −t) f (S T )

|F t) = E P ∗ (e−r(T −t) f ( S S Tt S t)|F t) = E P ∗ (e−r(T −t) f (

S T x))x=S t S t

= C (t, S t ), de manera que lo que llamaremos precio del derivado en t depende u ´ nicamente de S t y t. ˜ (t, S t ) = e −rt C (t, ˜ Si aplicamos ahora la formula de Ito a C S t ert ), tendremos ˜ (t, S t ) C t

= C (0, S 0 ) +

 0

∂ ˜ C (s, ˜ S s ) ds + ∂s

t

 0

∂ ˜ C (s, ˜ S s ) ˜ 1 dS s + ˜ 2 ∂ S s

t

 0

∂ 2 ˜ C (s, ˜ S s ) ˜ ˜ d S, S s 2 ˜ ∂ S s





J.M. Corcuera


y como

˜t = σ S ˜t dW t dS

tendremos ˜ (t, S t ) C t

= C (0, S 0 ) +

 0

∂ ˜ C (s, S s ) ˜ σS s dW s + ˜s ∂ S

  t

0



∂ ˜ C (s, S s ) 1 ∂ 2 ˜ C (t, S s ) 2 ˜2 + σ S s ds ˜2 ∂s 2 ∂ S s

˜ (t, S t ) es una martingala de cuadrado integrable: ahora bien C ˜ (t, S t ) = E P ∗ (e−rT f (S T ) C

|F t)

y por tanto como la descomposición de un proceso de Itô es u ´ nica tendremos: ˜ (t, S t ) = C (0, S 0 ) + C

t

 0

∂ ˜ C (s, S s ) ˜ dS s ˜s ∂ S

∂ ˜ C (s, S s ) 1 ∂ 2 ˜ C (t, S s ) 2 ˜2 + σ S s = 0. ˜2 ∂s 2 ∂ S s Ahora como ∂ ˜ C (s, S s ) ∂C (s, S s ) ∂S s = e −rt ˜s ˜s ∂S s ∂ S ∂ S ∂C (s, S s ) = ∂S s y ∂ 2 ˜ C (s, S s ) ∂ 2 C (s, S s ) ∂S s = ˜s2 ˜s ∂S s2 ∂ S ∂ S ∂ 2 C (s, S s ) = e rt , ∂S s2 podemos escribir ˜ (t, S t ) = C (0, S 0 ) + C

t

 0

∂C (s, S s ) ˜ dS s ∂S s

(1.11)

∂C (s, S s ) ∂C (s, S s ) 1 2 2 ∂ 2 C (t, S s ) + rS s + σ S s = rC (s, S s ). (1.12) ∂s ∂S s 2 ∂S s2 De (1.11) tenemos una estrategia autofinanciada cuyo valor final es f (S T ) y tal que H t0 , H t vienen dados por

 

H t =

∂C (t, S t ) ∂S t

y ert H t0 = C (t, S t )

(t, S t ) S t . − ∂ C ∂S t


54

Precio y cobertura de una opci´ o n de compra. Formula de BlackScholes.

− K )+, tenemos

Si tomamos h = (S T

C (t, S t ) = S t Φ(d+ )

− Ke−r(T −t)Φ(d−) (fórmula de Black-Scholes)

con Φ(x) la función de distribución de una normal estándar y donde 1 2 t log( S K ) + (r 2 σ )(T d± = σ (T t)

√ ± −

− t) .

En efecto C (t, S t ) = E P ∗ (e−r(T −t) (S T

− K )+|F t) = e−r(T −t) E P ∗ (S T 1{S >K } |F t ) − Ke −r(T −t) E P ∗ (1{S >K } |F t ) S T = e−r(T −t) S t E P ∗ ( 1{ > } )x=S − Ke −r(T −t) E P ∗ (1{ > } )x=S , S t T

T

ST St

K x

ST St

t

K x

ahora bien S T = exp (r S t

{ − 12 σ2)(T − t) + σ (W T − W t)} 1 Ley = exp{(r − σ 2 )(T − t) + σW T −t } 2

entonces S T K > ) S t x S K T = P ∗ (log > log ) S t x log K (r 21 σ2 )(T t) W T −t x = P ∗ ( > ) (T t) σ (T t) x log K + (r 21 σ 2 )(T t) =Φ σ (T t) = Φ(d− ) (después de substituir x por S t )

E P ∗ (1{ ST > K } ) = P ∗ ( St

x



√ −

− √ −

√ − −

−

 −

−

t

J.M. Corcuera


Por otra parte, si escribimos Y para indicar una variable normal estándar S T 1 ST K ) S t { St > x } 1 2 = e −r(T −t) E P ∗ (exp (r σ )(T t) + σW T −t 1{σW T −t >log K −(r− 1 σ2 )(T −t)} ) x 2 2 1 2 = E P ∗ (exp σ (T t) + σW T −t 1{σW T −t >log K −(r− 1 σ2 )(T −t)} ) x 2 2 1 2 x 1 2 = E P ∗ (exp σ (T t) σ (T t)Y 1 ) √ − 2 σ )(T −t) } {Y < log K +(r 2 σ (T −t)

e−r(T −t) E P ∗ (

{− {−

= = =

1 (2π)

√

1 (2π)

√

1 (2π)

√

{ − − − } − − √ − }

log x +(r 1 σ2 )(T K 2 σ (T t)

  

−t)

√ − −

−∞

{− 12 σ2(T − t) − σ√ (T − t)y − 12 y2}dy

exp

log x +(r 1 σ2 )(T K 2 σ (T t)

−t)

√ − −

−∞

log x +(r+ 1 σ2 )(T K 2 σ (T t)

√ −

}

{− 12 (σ√ (T − t) + y)2}dy

exp

−t)

{− 12 u2}du

exp

−∞

= Φ(d+ ) (después de substituir x por S t ) De aqu´ı ∂C (t, S t ) = Φ(d+ ) := ∆. ∂S t En efecto: ∂C (t, S t ) ∂ Φ(d+ ) ∂ Φ(d− ) = Φ(d+ ) + S t Ke −r(T −t) ∂S t ∂S t ∂S t d2 + ∂d + 1 = Φ(d+ ) + S t e− 2 (2π) ∂S t 2 d− 1 ∂d − Ke −r(T −t) e− 2 . (2π) ∂S t

−

√

√

−

Ahora bien

∂d ± 1 = ∂S t S t σ (T

√ − t) ,

por tanto ∂C (t, S t ) = Φ(d+ ) + ∂S t = Φ(d+ ) + por u ´ltimo

d2 d2 + 1 ∂d + − − r(T −t) − 2− 2 S t e Ke e (2π) ∂S t d2 + 1 ∂d + K −r(T −t) d22+ − d22− S t e− 2 1 e e (2π) ∂S t S t

√



−

−

√

√ − t)

d+ = d− + σ (T





,


56 de manera que d2+

− d2− = (d− + σ√ (T − t))2 − d2− √ = 2d− σ (T − t) + σ 2 (T − t) = 2log

y por tanto 1

−

S t + 2r(T K

− t)

K −r(T −t) d22+ − d22− = 0. e e S t

An´ alisis de la sensibilidad. Los griegos. Sea C (t, S t ) la función de precio de una cartera basada en un sólo activo con riesgo (S t ) (y bonos). Por razones pr´ acticas es a menudo de vital importancia tener una idea de la sensibilidad de C con respecto a cambios en el valor de S t (para medir el riesgo de nuestra cartera) y con respecto a cambios en los par´ ametros del modelo (para medir los efectos de una mala especificación del modelo). La notación estándar es: ∂C • ∆ = ∂S • Γ = ∂ ∂S C • ρ = ∂C ∂r • Θ = ∂C ∂t • V = ∂C ∂σ t

2

2 t

Todas estas medidas de sensibilidad son conocidas como ”los griegos”. Incluye como vemos que se pronuncia ”vega”. Una cartera que no es sensible a pequeños cambios en alguno de los parametros se dice que es ”neutral”: delta neutral, gamma neutral,..

V

Proposici´ on 1.5.16 En el modelo de Black-Scholes la cartera que replica un call con strike K y tiempo de madurez T tiene los siguientes griegos:

• ∆ = Φ(d+) > 0 √ (T )−t) > 0 (donde φ es la densidad de una normal est´ andar) • Γ = S σφ(d • ρ = K (T − t)e−r(T −t) Φ(d+) > 0 • Θ = − 2√ S (T σ−t) φ(d+) − Kre−r(T −t)Φ(d−) < 0 • V = S tφ(d+)√ (T − t) > 0 σ −r(T −t) Φ(d− ). Ejercicio 1.5.5 Demostrar que Θ = − 2√ S (T −t) φ(d+ ) − Kre +

t

t

t

Observaci´ on 1.5.9 N´ otese que la ecuaci´ on (1.12), puede escribir 1 Θ + rS s ∆ + σ 2 S s2 Γ = rC (s, S s ). 2

J.M. Corcuera


Opciones ex´ oticas No todas las opciones tienen un payoff h = f (S T ). As´ı por ejemplo tenemos las opciones asiáticas con payoff h =

 



T

1 T

S u du

0

− K

+

las opciones lookback,

− S ∗, donde S ∗ = 0≤min S t t≤T

(”lookback call”) h = S T (”lookback put”) h = S ∗

− S T , donde S ∗ = 0max S , ≤t≤T t

o las opciones con barrera

− K )+1{S ∗≥K }

(”down-and-out-call”) h = (S T

− K )+1{S ∗≤K }.

(”down-and-in-call”) h = (S T

Para todas ellas necesitamos un teorema más general de replicación en el modelo de Black-Scholes.

≥

Teorema 1.5.4 En el modelo de Black-Scholes cualquier opci´ on con payoff h 0 y T -medible que sea de cuadrado integrable bajo P ∗ es replicable y su valor viene dado por C t = E P ∗ (e−r(T −t) h t )

F

|F

Demostraci´ on. Bajo P ∗ M t := E P ∗ (e−rT h

|F t), 0 ≤ t ≤ T

es una martingala de cuadrado integrable, entonces por el teorema de representación de martingalas brownianas existe un (único) proceso adaptado (Y t ) tal que t

M t = M 0 +



Y s dW s

0

con

T



E P ∗ ( entonces podemos definir H t con

0

Y s2 ds) <

H t =

Y t ˜t σ S

y tendremos

t

M t = M 0 +

∞,

 0

˜s H s dS


58 esto es

˜t = C 0 + C

t



˜s , H s dS

0

con lo que la estrategia H t0 , H t con H t0 = C t H t S t es autofinanciada y replica h. Para ver que es admisible basta tener en cuenta que como h 0, C t 0.

 

−

≥

≥

Ejemplo 1.5.6 (Opciones asi´ aticas) Consideremos una opci´ on asi´ atica con payoff h =

 



T

1 T

− K

S u du

0

por el teorema anterior C t = E P ∗ (e−r(T −t) h 1 ϕ(t, x) = E P ∗ (( T

T

+

|F t). Definamos

S u du S t

 t

,

− x)+).

Entonces C t = e −r(T −t) E P ∗ = e −r(T −t) E P ∗

      T

1 T

S u du

0

S u du

t

1 T

= e −r(T −t) S t E P ∗

T

t

− T 1

K

t S u du 0 S t

t

t

1 T

(K

K

S u du S t

= e −r(T −t) S t ϕ(t, Z t ) donde Z t =

K

+

T

1 T

   −  F     − − F      − −  F S u du)

0

1 T

t

+

t S du 0 u

S t

t

+

. Es f´ acil ver que

dZ t =



(σ

2

− r)Z t −



1 dt T

− σZ tdW t.

En efecto, aplicando la f´ ormula de integraci´ on por partes y la f´ ormula de Itˆ o: dZ t = d =

t

t

  −   −     

−

K S t

1 d T S t

K K dS t + 3 d S t 2 S t S t

S u du

0

 −

S t dt + T S t

1 d S t 1 T

1 T

S u du

0

t 0 S u du dS t S t2

−

1 T

t 0 S u du d S t3

S t,

J.M. Corcuera


ahora bien como dS t = rS t dt + σS t dW t , resulta que t

dZ t = +

  −    −  − − −

1 K K 2 T 0 S u du r + σ + r S t S t S t

K σ + S t

= (σ2

1 T

t 0 S u du

S t

−

t 0 S u du



S t

σ2

−

1 T



dt

σ dW t

1 dt T

r)Z t

1 T

σZ t dW t .

˜t = e −r(T −t) ˜ Then, we know that C S t ϕ(t, Z t ), t 1,2 assume that ϕ(t, x) C tendremos

≤ T is a martingale. Then if we

∈

∂ϕ ∂ϕ 1 ∂ 2 ϕ 2 2 dt + dZ t + σ Z t dt ∂t ∂Z t 2 ∂Z t 2 ∂ϕ ∂ϕ 1 1 ∂ 2 ϕ 2 2 = + σ2 r)Z t + σ Z t dt ∂t ∂Z t T 2 ∂Z t2 ∂ϕ σZ t dW t , ∂Z t

dϕ =





−



−



− por otra parte

˜t = re −r(T −t) ˜ ˜t + e−r(T −t) ˜ dC S t ϕdt + e−r(T −t) ϕdS S t dϕ ˜ ϕt + e−r(T −t) d S,





˜t + e−r(T −t) ˜ = re −r(T −t) ˜ S t ϕdt + e−r(T −t) ϕdS S t dϕ ∂ϕ 2 ˜ e−r(T −t) σ S t Z t dt ∂Z t ∂ϕ ˜t = e −r(T −t) ϕ Z t dS ∂Z t ∂ϕ 2 ˜ + re−r(T −t) ˜ S t ϕdt e−r(T −t) σ S t Z t dt ∂Z t ∂ϕ ∂ϕ 1 1 ∂ 2 ϕ 2 2 + e−r(T −t) ˜ S t + (σ2 r)Z t + σ Z t dt, ∂t ∂Z t T 2 ∂Z t2

−

−



−





−

−





igualando la parte que es martingala tenemos las ecuaciones

−      − 

˜t = e−r(T −t) ϕ dC rϕ +

∂ ϕ ∂t

∂ϕ − ∂Z t

rZ t +

1 T

Z t +

∂ϕ ∂Z t

˜t dS

1 ∂ 2 ϕ 2 2 σ Z t = 0. 2 ∂Z t2

Por tanto la estrategia recubridora viene dada por H t0 , H t con H t0 = C t H t S t y ∂ϕ H t = e −r(T −t) ϕ Z t , ∂Z t

−


60

donde ϕ es soluci´ on de la ecuaci´ on en derivadas parciales ∂ ϕ rϕ + ∂t

−

∂ ϕ ∂x



1 rx + T



+

1 ∂ 2 ϕ 2 2 σ x =0 2 ∂x 2

(1.13)

con la condici´ on de contorno ϕ(T, x) = x− (parte negativa de x). Esta ecuaci´ on se resuelve numéricamente. Ejercicio 1.5.6 Demostrar que el precio de una opci´ on asiatica con strike flotante 1 T (payoff= T 0 S u du S T ) viene dado en el instante inicial por

 



−

+

C = e −rT S 0 ϕ(0, 0)

donde ϕ es soluci´ on de la ecuaci´ on (1.13) con la condici´ on de contorno ϕ(T, x) = (1 + x) Lema 1.5.2 Consideremos funciones escalonadas de la forma n

f (t) =

 i=1

∈

≤ E

λi 1(ti−1 ,ti ] (t)

≤

J dicho conjunto } ∈ J . Si Y ∈

R y 0 con λi t0 < t1 ... < t n T y denotemos por T f 1 T 2 de funciones. Sea T = exp 0 f (s)dBs 2 0 f (s)ds , f f L2 ( T , P ) es ortogonal a T , f entonces es nula.

F

{

−



E ∈ J f Sea Y ≥ 0 de L2 (F T , P ) ortogonal a E T sea G n

Demostraci´ on. (Bt1 , Bt2 ,...,B tn ), tendremos que

:= σ

n

 {  {

E (exp

− Bt − )}Y ) = 0,

λi (Bti

i=1

y

i

1

n

E (exp

λi (Bti

i=1

Sea X la aplicación

− Bt − )}E (Y |Gn)) = 0.

n R X : Ω ω X (ω) = (Bt1 (ω), Bt2 (ω)

→ −→

i

1

− Bt (ω),...,Bt 1

n

(ω)

− Bt − (ω)) n

1

entonces n

 { exp

Rn

i=1

}

λi xi E (Y

|Gn)(x1, x2,...,xn)dP X (x1, x2,...,x n) = 0,

de manera que la transformada de Laplace de E (Y n )(x1 , x2 ,...,x n )dP X es cero y por tanto E (Y n )(x1 , x2 ,...,x n ) es idénticamente nula P X c.s., y de aqu´ı E (Y n ) lo es P c.s., finalmente como esto es cierto para toda n del tipo anterior resultará que Y es cero P c.s.. Por u ´ ltimo si Y es cualquiera podemos descomponer Y = Y + Y − y llegar´ıamos a la conclusión de que Y + = Y − P c.s. por la unicidad de la transformada de Laplace de una medida.

|G

|G

−

|G

G

J.M. Corcuera


Proposici´ on 1.5.17 Para toda variable F L2 ( T tado (Y t )0≤t≤T , con E ( 0 Y t2 dt) < , tal que



∈

∞

F T , P ) existe un proceso adap-

T



F = E (F ) +

Y t dBt

0

T



− ∞

Demostraci´ on. Supongamos que F E (F ) es ortogonal a 0 Y t dBt cualquiera T que sea (Y t )0≤t≤T , con E ( 0 Y t2 dt) < , entonces si demostramos que F E (F ) = 0 P c.s. entonces ya está, ya que el espacio de Hilbert de variables cenT tradas de L 2 ( T , P ) coincidirá con el espacio de Hilbert de variables 0 Y t dBt T con E ( 0 Y t2 dt) < . Escribamos Z = F E (F ), tenemos



F

tomemos Y t =



∞

−



−

T



− E (F ))

E ((F

Y t dBt ) = 0,

0

E tf f (t), con las E tf definidas anteriormente, tendremos T

− E (F ))

E ((F y también

 E  E

f t f (t)dBt ) =

0

T

− E (F ))(1 +

E ((F

ahora bien, por la fórmula de Itô f T

E de manera que

0

T

=1+

f t f (t)dBt ))

0

=0

 E 0

f t f (t)dBt ,

− E (F ))E T f ) = 0

E ((F

− E (F ) = 0 P c.s.

y por el lema anterior F

Teorema 1.5.5 Toda martingala (M t )0≤t≤T de cuadrado integrable se puede escribir t



≤ t ≤ T T donde Y s es un proceso adaptado con E ( 0 Y t2 dt) < ∞. M t = M 0 +

Y s dBs , 0

0

Demostraci´ on. Podemos escribir



M t = E (M T

|F t)

y por lo anterior

T

M T = E (M T ) +



Y s dBs

0

entonces basta tomar esperanzas condicionadas.

62


Cap´ıtulo 2

Optimizaci´ on de carteras Consideraremos de nuevo un mercado a tiempo discreto definido en un cierto espacio de probabilidad (Ω, , P ) finito: Ω = ω1 , ω2 ,...,ω M , P ( ωi ) > 0, para todo i. será partes de Ω, y consideraremos una filtración ( n ) , 0 = , Ω , N = . El horizonte N , corresponderá al instante final de inversión. El mercado consistirá en (d + 1) activos financieros cuyos precios en el instante n estarán dados por variables no-negativas S n0 , S n1 , ..., S nd que son medibles respecto a n . El stock con super´ındice cero corresponde a un activo sin riesgo (dinero en una cuenta bancaria con tasa de interés r), supondremos que S 00 = 1.

F

F {∅ } F F

{

} { } F F

F

0 S n+1 = S n0 (1 + r) = (1 + r)n+1 .

Una estrategia de inversión será una cartera admisible φ = ((φ0n , φ1n ,...,φ dn ))0≤n≤N en Rd+1 . φin indica el número de acciones del tipo i-ésimo en la cartera de valores, en el instante n-ésimo, denotaremos por el conjunto de carteras autofinanciadas. R que supondremos diferFijaremos una funci´ on de utilidad u : R+ enciable, cóncava y estrictamente creciente. Ejemplos de funciones de utilidad son: u(x) = log x γ u(x) = xγ γ < 1, γ = 0 − x u(x) = 1 e

A

→

 



−

Queremos resolver el siguiente problema de optimización:

{

max E (u(V N (φ)), φ

∈ A, V 0(φ) = x},

(2.1)

donde V i (φ) representa el valor de la cartera en el instante i-ésimo. Proposici´ on 2.0.18 Si existe una soluci´ on al problema anterior entonces el mercado es viable. 63

´ DE CARTERAS CAP ´ ITULO 2. OPTIMIZACI ON

64

Demostraci´ on. Sea φ una solución de nuestro problema y ψ un arbitraje, consideremos la cartera θ = φ + ψ. Por definición de arbitraje V 0 (θ) = V 0 (φ) + V 0 (ψ) = V 0 (φ) = x y V N (θ) = V N (φ) + V N (ψ) con alg´ un ω i tal que

≥ V N (φ)

V N (θ)(ωi ) = V N (φ)(ωi ) + V N (ψ)(ωi ) > V N (φ)(ωi ), con lo que φ no ser´ıa una solución. Proposici´ on 2.0.19 Supongamos que φ es una soluci´ on de nuestro problema de optimizaci´ on (2.1), entonces u (V N (φ))(ω) ∗ P (ω) = P (ω) E (u (V N (φ))) es una probabilidad neutral. Demostraci´ on. Como u es estrictamente creciente P ∗ y P son equivalentes. Consideremos las estrategias autofinanciadas definidas por (( φˆ1n , ˆ φ2n ,..., ˆ φdn ))(y)0≤n≤N que coinciden con ((φ1n , φ2n ,...,φ dn ))0≤n≤N salvo que en el periodo (n 1, n] en el activo con riesgo i-ésimo

−

φîn (y) = φ in + yα donde y

∈

R y α es

F n−1-medible, la función

ˆ g(y) = E (u(V N (φ(y))))

tiene un máximo en y = 0, donde N N

V N (φ) = (1 + r) (x +



ñ ). φn ∆S

n=1

De manera que

·

˜i α), 0 = g  (0) = E (u (V N (φ))∆S n

F n−1-medible, resulta entonces que ñi |F n−1 ) = 0. E (u (V N (φ))∆S

y como esto es cierto para toda variable α,

Por otro lado sabemos, (por la ”formula de Bayes” (1.8)), que ñi E P ∗ (∆S y por tanto

1 ˜i  |F n−1) = E (u (V N (φ)) |F n−1) E (∆S nu (V N (φ))|F n−1)), ñ E P ∗ (∆S

|F n−1) = 0.

Podemos intentar resolver el problema como un problema de optimización en varias variables. Veamos el siguiente ejemplo

J.M. Corcuera Ejemplo 2.0.7 Consideremos un mercado con dos instantes de negociaci´ on, donde r = 0, y un s´ olo stock con riesgo que evoluciona: n = 0 n = 1 n = 2 9 1/2

8 

1/2

1/2

5 

6

1/2 1/2

4 

1/2

3 consiederemos la utilidad exponencial u(x) = 1 (E (1

− e−x, el objetivo es maximizar

− e−(x+φ ∆S +φ (S )∆S ) 1

1

2

1

2

que depende de tres variables φ 1 , φ28 := φ2 (8), φ24 := φ 2 (4). Entonces, como ∆S 1 =



3 1

−

y ∆S 2 =

resultar´ a

 

(si S 1 = 8) ( si S 1 = 4)

 −

1 2 2 1

,

−

− e−(x+φ ∆S +φ (S )∆S ) 1 −x−3φ −φ =1 − e + e−x−3φ +2φ 4

E (1

1

1



1

2

1

2

28

1

28

+ e −x+φ1 −2φ24 + e−x+φ1 +φ24 .



Busquemos los puntos cr´ıticos. Si derivamos con respecto a φ24 e igualamos a cero obtenemos 2e−2φ24 + eφ24 = 0

−

con lo que 1 φ24 = log 2, 3 la derivada segunda es

− 14 e−x+φ

1

4e−2φ24 + eφ24 < 0






66

con lo que corresponde a un m´ aximo. An´ alogamente, si derivamos con respecto a φ 28 , obtenemos 1 φ28 = log 2, 3 substituyendo estas expresiones en la funci´ on objetivo obtenemos

−

1 φ1 = log 3 4 Observaci´ on 2.0.10 Notemos que si en este mercado tratamos de m´ aximizar la riqueza, la funci´ on objetivo ser´ıa E (x + φ1 ∆S 1 + φ2 (S 1 )∆S 2 ) = x + φ1

∞

−∞

− 14 φ28 + 14 φ24,

∞

la ”soluci´ on” ser´ıa φ1 = , φ28 = , φ24 = !!. Notemos también, por la proposici´ on anterior, que si u(x) = x y tenemos una soluci´ on al problema de optimizaci´ on, entonces P ∗ = P y esto en general no ocurrir´ a. Resulta obvio que el procedimiento de optimización utilizado se complica exponencialmente con el número de pasos. Vamos a considerar dos m´ etodos para resolver el problema. En el ejemplo anterior hemos simplificado el problema llevando a cabo una ”maximización iterativa”, basándonos en el hecho evidente de que: max

φ1 ,φ28 ,φ24

F (φ1 , φ28 , φ24 ) = max(max(max F (φ1 , φ28 , φ24 ))), φ1

φ28

φ24

esta es la idea que subyace en el ”método de de programación dinámica”.

2.1

Programaci´ on din´ amica

− 1 U n (y) = max {E (u(V N (φ))|F n ), φ ∈ Ayn }

Definamos para n = 0, 1, 2,...,N

donde yn son las carteras autofinanciadas construidas a partir del instante n y cuyo valor en n es y.Definimos U N (y) = u(y). Se le suele llamar ”proceso valor óptimo”. Notemos que puesto que el valor de toda cartera autofinanciada depende de su valor inicial y de ((φ1n , φ2n ,...,φ dn ))0≤n≤N , sucesión previsible:

A

N

y ˜j ) V N (φ) = (1 + r) ( + φj ∆S (1 + r)n j=n+1 N



·

tendremos que

{

|F n), ((φ1j , φ2j ,...,φdj))n+1≤j≤N previsible, V n = y }

U n (y) = max E (u(V N (φ))

´ DIN AMICA ´ 2.1. PROGRAMACI ON

J.M. Corcuera

Proposici´ on 2.1.1 (”Ecuaci´ on funcional de programaci´ on din´ amica”) U n (y) = =

φ φ

max

{E (U n+1(V n+1(φ))|F n), V n = y }

max

E (U n+1 ((1 + r)n+1 (

F n -medible F n -medible

y ñ+1 )) + φ ∆S (1 + r)n

·

|F n)

Demostraci´ on. Por definición, U N (y) = u(y), y por tanto

{ |F N −1), ((φ1j , φ2j ,...,φdj))j=N previsible, V N −1 = y } = max{E (U N (V N (φ))|F N −1 ), ((φ1j , φ2j ,...,φ dj ))j=N previsible, V N −1 = y }.

U N −1 (y) = max E (u(V N (φ)) Adem´ as, U n (y ) =

max

E (u((1 + r) (

φ F n -medible, ϕj previsible

(1 + r )n

( ) =

=

= =

φ

φ

φ

φ

max

(ϕj ) previsible

max

max

max

E (

F n -medible,

N

E (u((1 + r) (

n+1

max

F n -medible,

(1 + r)n

E (E (u((1 + r) (

(ϕj ) previsible

E (U n+1 ((1 + r)

(

N

y

E (u((1 + r ) (

max

˜j ))|F n ) ϕj · ∆S j =n+2

N

(ϕj ) previsible

F n -medible,

ñ+1 + + φ · ∆S

N

max

F n -medible,

N

y

N

y

(1 + r)n

ñ+1 + + φ · ∆S

y

(1 + r )n y

(1 + r )n

˜j ))|F n ) ϕj · ∆S j =n+2 N

ñ+1 + + φ · ∆S

˜j ))|F n+1 )|F n ) ϕj · ∆S j =n+2 N

ñ+1 + + φ · ∆S

˜j ))|F n+1 )|F n ) ϕj · ∆S j =n+2

ñ+1 ))|F n ). + φ · ∆S

En la cuarta igualdad utilizamos el hecho de que si Z es una variable aleatoria que depende de (ϕj ) max

(ϕj ) previsible

Z ((ϕj ))|F n ), |F n) = E ((ϕ ) max previsible

E (Z ((ϕj ))

j

en efecto, para toda (ϕj ) previsible E (

max

(ϕj ) previsible

|F n) ≥ E (Z ((ϕj ))|F n)

Z ((ϕj ))

de manera que E (

max

(ϕj ) previsible

E (Z ((ϕj ))|F n ). |F n) ≥ (ϕ ) max previsible

Z ((ϕj ))

j

Sea (ψj ) previsible para la cual E (

max

(ϕj ) previsible

|F n) = E (Z ((ψj ))|F n),

Z ((ϕj ))

obviamente E (

max

(ϕj ) previsible

E (Z ((ϕj ))|F n ) |F n) = E (Z ((ψj ))|F n) ≤ (ϕ ) max previsible

Z ((ϕj ))

j


68

El método consiste entonces en utilizar este propiedad para resolver el problema de manera recursiva, calculando U N −1 , de aqu´ı U N −2 , etc. Una ventaja del m´ etodo es que obtenemos de golpe una solución para todos los posibles valores de la riqueza inicial y. Ejemplo 2.1.1 Consideremos el ejemplo anterior,

− e−(y+φ U 1 (y) = max E (1 − e−(y+φ φ

28 ∆S 2 )

U 1 (y) = max E (1 φ28

24

24

|S 1 = 8), si S 1 = 8 ∆S ) |S 1 = 4), si S 1 = 4. 2

Como

−

e−(y+φ28 ∆S 2 ) |S 1 = 8

−

e−(y+φ24 ∆S 2 ) S 1 = 4

E 1 =1

−

1 −(y+φ28 ) e + e−(y−2φ28 ) 2



y E 1



1 =1 − 2

|





e−(y−φ24 ) + e−(y+2φ24 )

con lo que el m´ aximo se obtiene para φ28 =

 

−13 log 2, φ24 = 13 log 2.

Entonces, independientemente del valor de S 1 , U 1 (y) = 1

− 32 22/3e−y .

Ahora U 0 (y) = max E (1 φ1

= max(1 φ1

− 32 22/3e−(y+φ ∆S ) )) 1

− 34 22/3e−y (e−3φ

1

1

+ eφ1 ))

de donde el valor m´ aximo se alzanza para 1 φ1 = log 3 4

2.2

M´ etodo de martingala

Para poder aplicar el m´ etodo se requiere que el mercado sea completo. Dada una riqueza inicial x,denotemos V x el conjunto de variables aleatorias que se pueden replicar con una riqueza inicial x. El m´ etodo consiste en descomponer el problema en dos pasos:

´ 2.2. M ETODO DE MARTINGALA

J.M. Corcuera

1. Encontramos primero la riqueza óptima, Yˆ , esto es ˆ = max E (u(Y )). E (u(Y ))

∈

Y V x

2. Buscamos la cartera autofinanciada φ que replique Yˆ .

∈ V x equivale a

Como el mercado es completo Y E P ∗



Y (1 + r)N



= x,

por tanto

{

max E (u(Y )) = max u(Y ), E P ∗

Y V x

∈

Y



Y (1 + r)N



}

= x .

Se trata por tanto de un máximo con restricciones y podemos aplicar el método de multiplicadores de lagrange para resoverlo. El lagrangiano de nuestro problema será: Y F (Y, λ) := E (u(Y )) λ E P ∗ x . (1 + r)N

  −  −

Ahora bien

F (Y, λ) = E u(Y )

λ

−   −  −

YL (1 + r)N

dP ∗ dP . Podemos

x

donde L = ahora tratar de maximizar u(Y ) que nos conduce a las condiciones de extremo λL (1 + r)N YL x = E (1 + r)N

λ

 −

YL (1+r)N

x lo

u (Y ) =





esto es, denotando I la función inversa de u  , Y = I (

λL ) (1 + r)N

x = E



λL I ( (1+r) N )L

(1 + r)N



.

La segunda ecuación permite eliminar λ y obtener Y de la primera ecuación substituyendo el valor de λ encontrado. As´ı obtenemos la riqueza óptima (después de comprobar que se trata de un máximo) y después se buscar´ıa la cartera que replica dicha riqueza óptima y que sabemos que existe ya que el mercado es completo.


70

Ejemplo 2.2.1 Si consideramos la ut´ılidad logar´ıtmica u(x) = log x, tenemos u (x) = x1 con lo que I (y) = y1 y Y =

(1 + r)N , λL

la condici´ on sobre λ nos da λ = x1 con lo que la riqueza ´ optima correspondiente a una riqueza inicial x viene dada por Y = Ejemplo 2.2.2 Si u(x) =

x(1 + r)N L

xγ γ , tenemos u

Y = (

 (x) = x γ −1 e I (y) = y γ−1 1 por tanto

1 λL ) γ −1 N (1 + r)

la condici´ on sobre λ da x = E de manera que

 

 

1

λL γ −1 ( (1+r) N )

(1 + r)N

L

γ



1



λ −1 = x E ((L(1 + r)−N ) γ −1 ) γ

con lo que

−1

1

Y = Ejemplo 2.2.3 Si u(x) = 1

x(L(1 + r)−N ) γ −1 γ

E ((L(1 + r)−N ) γ −1

− e−x, u (x) = e−x, I (y) = − log y. Por tanto Y = log

(1 + r)N . λL

La condici´ on sobre λ nos da N

log (1+r) λL x = E L , (1 + r)N





por tanto log

(1 + r)N = x(1 + r)N + E (L log L) λ

con lo que Y = x(1 + r)N

− log L + E (L log L)


J.M. Corcuera

Ejemplo 2.2.4 Si continuamos con el ejemplo anterior, ya vimos en el ejercicio (1.2.3), que el mercado era completo ya que tenemos una ´ unica probabilidad neutral, P ∗ tal que p∗1 = 1/4, p∗2 = 2/3 y p∗3 = 1/3, en el esquema de evoluci´ on: n = 0

n = 1 ∗

n = 2 9

p2

p∗ 1 5 1−p∗1

8 1−p∗ 2

6

.

∗

p3

4 1−p∗ 3

3

Escribamos ω1 la trayectoria ”589”, ω2 la trayectoria ”586”, ω3 la trayectoria ”546” y ω4 la trayectoria ”543”. Entonces P ∗ (ω1 ) 2 P ∗ (ω2 ) 1 = , L(ω2 ) = = P (ω1 ) 3 P (ω2 ) 3 ∗ ∗ P (ω3 ) P (ω4 ) L(ω3 ) = = 1, L(ω4 ) = = 2. P (ω3 ) P (ω4 ) L(ω1 ) =

Por otro lado u(x) = 1 viene dada por Y =

− e−x e I (x) = − log x con lo que la riqueza ´ optima

− log(λL) = − log λ − log L con E P ∗ (Y ) = x

de manera que Y = x

− log L − E (L log L)

esto es

− log 23 − E (L log L) 1 Y (ω2 ) = x − log − E (L log L) 3 Y (ω3 ) = x − E (L log L) Y (ω4 ) = x − log2 − E (L log L) Y (ω1 ) = x

ahora tenemos que hallar la cartera que replica esta riqueza (”payoff”). Entonces, utilizando la misma notaci´ on que antes φ028 + φ28 S 2 (ω1 ) = Y (ω1 ) φ028 + φ28 S 2 (ω2 ) = Y (ω2 ) con lo que φ28 =

Y (ω1 ) S 2 (ω1 )

− Y (ω2) = − 1 log 2, − S 2(ω2) 3


72 an´ alogamente

φ24 =

Y (ω3 ) S 2 (ω3 )

Ahora, la cartera en n = 1 vale

− Y (ω4) = 1 log 2. − S 2(ω4) 3 −

− S 1(ω1))

−

− S 1(ω3))

V 1 (ω1 ) = V 1 (ω2 ) = Y (ω1 ) φ28 (S 2 (ω1 ) 2 1 = x log E P ∗ (L) + log 2 3 3

−

−

V 1 (ω3 ) = V 1 (ω4 ) = Y (ω3 ) φ28 (S 2 (ω3) 2 = x E P ∗ (L) log 2, 3

−

−

finalmente φ1 =

V 1 (ω1 ) S 1 (ω1 )

− V 1(ω3) = 1 log 3 − S 2(ω3) 4

Observaci´ on 2.2.1 El m´ etodo de martingala tambi´ en se puede derivar de la proposici´ on (2.0.19). Supongamos que el modelo es completo y sea P ∗ la probabilidad neutral, entonces tenemos P ∗ (ω) u (V N (φ))(ω) = , P (ω) E (u (V N (φ))) donde V N (φ) es la riqueza terminal ´ optima correspondiente a la estrategia ´ optima φ. Por tanto P ∗ (ω) V N (φ) = I (E (u (V N (φ))) ) P (ω) con E (u (V N (φ))) tal que E P ∗ (

2.2.1

V N (φ) ) = x. (1 + r)N

Optimizaci´ on de carteras en el modelo de Cox-RossRubinstein (CRR).

Consideremos la utilidad logar´ıtmica en el modelo CRR siguiente: n = 0

p

x 1−p

n = 1 p

n = 2..... p x(1 + b)  1−p

p

x(1 + b)(1 + a)  1−p

x(1 + b) 1−p x(1 + a) 1−p

p

p

x(1 + a)2  1−p

.


J.M. Corcuera

Sabemos que la probabilidad neutral corresponde a tomar en cada paso una probalidad p ∗ , en lugar de p, dada por r b

p∗ = de esta manera P ∗ (ω) p∗ L(ω) = = P (ω) p

− a, −a

U N (ω)

1 p∗ 1 p

  − 

−

N U N (ω)

,

−

donde U N representa el número total de subidas en la trayectoria hasta el instante N . Entonces la riqueza óptima vendrá dada por x(1 + r)N p Y = = x(1 + r)N ∗ L p

U N

 − 1 p 1 p∗

−

N U N

−

Ahora queremos encontrar la cartera autofinanciada cuyo valor final V N = Y. Tenemos que (con la notación habitual) φ1N =

u d V N V N S N −1 (b a)

−

−

y con lo que u d V N V N b a x(1 + r)N p = b a p∗

− −

φ1N S N −1 =

U N −1

1 p 1 p∗

N 1 U N −1

U N −1

1 p 1 p∗

N 1 U N −1

 −    −− 

−

x(1 + r)N p = b a p∗

−

Y 1+r

−−

−

− 1

Por otro la cartera que replica Y en N V N −1 = E P ∗ (

−−



− −− p − p∗ p∗ (1 − p∗ )



− −

− p∗)

p p∗

1 p 1 p∗

vale

|F N −1)

N 1

= x(1 + r) −

= x(1 + r)N −1

p p∗

U N −1

1 p 1 p∗

N 1 U N −1

p p∗

U N −1

1 p 1 p∗

N 1 U N −1

 −    −− 

−− −−

−

de manera que



p ∗ 1 p p + (1 ∗ p 1 p∗



,

φ1N S N −1 (1 + r)( p p∗ ) = ∗ . V N −1 p (1 p∗ )(b a) Esta cantidad corresponde a la fracción de riqueza invertida en el activo con riesgo y que como se ve no depende de N , un argumento de inducción permite demostrar que φ1 S N −2 φ1N S N −1 φ1 S 0 = N −1 = ... = 1 . V N −1 V N −2 x

−

−

−


74

2.3

Consumo ´ optimo

Un proceso de consumo lo definiremos como un proceso adaptado no negativo C = (C i )0≤i≤N . Un plan de consumo-inversión consistirá en un par (C, φ) donde C es un proceso de consumo y φ una estrategia de inversión autofinanciada. Supondremos una función de utilidad u que medirá la utilidad del consumo. A partir de una riqueza inicial ν , un plan de consumo-inversión se dirá que es autofinanciado si no se añade o extrae dinero de la cartera, excepto lo que se consume. Como siempre escribiremos V n = φn S n = φ0n S n0 + φ1n S n1 + ... + φdn S nd ,

·

entonces si la estrategia es autofinanciada

·

·

φn S n = C n + φn+1 S n , esto es V n+1

− V n = φn+1 · S n+1 − φn · S n = φn+1 · S n+1 − φn+1 · S n − C n = φn+1 · (S n+1 − S n ) − C n = φn+1 · ∆S n+1 − C n ,

y por tanto N 1

N

V N = ν +



·

φn ∆S n

n=1

−

 −

C n

n=0

an´ alogamente, con la notación habitual para los valores actualizados, tenemos que ñ = C ñ + φn+1 S ñ , φn S

·

y

ñ+1 V

·

− V ñ = φn+1 · ∆S ñ+1 − C ñ.

Finalmente

N 1

N

Ñ = ν + V



ñ φn ∆S

·

n=1

−

 −

ñ . C

n=0

Diremos que una estrategia de consumo consumo-inversión (C, φ) es admisible, escribiremos (C, φ) , si es autofinanciada y C N V N . El problema de consumo óptimo es resolver:

∈A

≤

N

max E (

(C,φ) V 0 =ν

∈A

≤



αn u(C n ))

n=0

donde 0 < α 1 (permite controlar la dependencia de la función de utilidad con respecto al tiempo).

2.3.

´ CONSUMO OPTIMO

J.M. Corcuera

Proposici´ on 2.3.1 Si (C n )0≤n≤N es un proceso de consumo ´ optimo entonces la probabilidad P ∗ (ω) =

u (C N ) P ∗ (ω) E (u (C N ))

es una probabilidad neutral

Demostraci´ on. Notemos en primer lugar que N

max E (

(C,φ) V 0 =ν

∈A



αn u(C n ))

n=0 N 1

−

ñ ) − φ1 S 0 ) + αn u((1 + r)n (φn − φn+1 ) · S φ ∈A n=1 N N Ñ )) + α u((1 + r) φN · S



= max E (u(ν

:= max F (φ) φ

∈A

Entonces siguiendo la misma l´ınea argumental que en la proposición (2.0.19), si consideramos las estrategias admisibles definidas por (( φˆ0n , ˆ φ1n , ..., ˆ φdn ))(y)0≤n≤N que coinciden con ((φ0n , φ1n ,...,φ dn ))0≤n≤N salvo que en el periodo (n 1, n] en el activo con riesgo i-ésimo

−

φîn (y) = φ in + yθ donde y

∈

R y θ es

F n−1-medible, la función ˆ g(y) = F (φ(y))

tiene un máximo en y = 0. Si derivamos en y = 0 obtenemos ñi E (θ(αn (1 + r)n u (C n )S

− αn−1(1 + r)n−1u (C n−1)S ñi −1)) = 0,

como esto ocurre para cualquier θ, ñi E (αn (1 + r)n u (C n )S

F n−1-medible, resultará que

|F n−1) = αn−1(1 + r)n−1u(C n−1)S ñi −1),

con lo que (αn u (C n )S ni )0≤n≤N es una martingala, en particular si tomamos i = 0 resultará que (αn u (C n )(1 + r)n ) es una martingala. Si aplicamos ahora

´ DE CARTERAS CAP ´ ITULO ITULO 2. OPTIMIZ OPTIMIZAC ACI I ON

76 la formula de Bayes (1.8)

˜i E P P ∗ (S n

 ˜i |F n)|F n−1) |F n−1) = E (S nE E ((uu((C C N NN N ) )|F n−1 ) = =

ñi E (αN (1 + r)N u (C N E (S N ) n ) n−1 )  N N E (α (1 + r ) u (C N N ) n−1 ) ˜i αn (1 + r)n u (C n ) n−1 ) E (S n αn 1 (1 +

−

r)n 1 u

|F

|F |F |F

−  (C n−1 ) E (S i αn u (C n )|F n−1 ) = n−1 n α (1 + r)n−1 u (C n−1 ) S ni −1 αn−1 u (C n−1 ) = n−1 α (1 + r)n−1 u (C n−1 ) ñi −1 = S

Vamos a resolver el problema de optimización por los m´ etodos etodo s habituales h abituales..

2.3.1

M´ etodo de programaci´ etodo on on din´ amica amica en el problema de consumo optimo o ´ptimo

Definamos U n (y )

   N

= max

E (

j =n

αj −n u(C j )

-medible , (C j , φj )n+1≤j ≤N ∈ A, V n = y = y |F n), C n ≥ 0 F n-medible,

para n para n = 0, 1,...,N . Notemos que para U para U N u (y ), ya que a mayor consumo N (y ) = u( mayor may or utilidad.

− − 1

Proposici´ on on 2.3.2 Para n Para n = 0, 1,...,N

U n (y) = max(u(C n ) + αE (U n+1 ((1 + r )n+1 ( C n ,φ

y ñ+1 + φ ∆S (1 + r)n

·

− C ñ))|F n))

 

2.3.. 2.3

´ CONSU CONSUMO MO OPTIMO

J.M. Corcuera

∈ A y que

Demostraci´ on. on. Suponemos Suponemos (C (C j , φj )n+1≤j ≤N medible,

C n

≥ 0 F n-

N

U n (y) =

max

(C j ,φj )n+1≤j ≤N C n ,V n =y



E (

αj −n u(C j )

j =n

|F n)

N

=

max

(C j ,φj )n+1≤j ≤N C n ,V n =y

= max

C n ,φn+1 V n =y

= max

C n ,φn+1 V 0 =y

= max

C n ,φn+1 V n =y

= max

C n ,φn+1 V n =y

= max

C n ,φn+1 V n =y



E (u(C n ) + α

        

αj −n−1 u(C j )

|F n)

j =n+1

 |F   |F 

N

max

(C j ,φj )n+2≤j ≤N C n+1



E (u(C n ) + α


n)


n)

j =n+1 N

u(C n ) + α

max

(C j ,φj )n+1≤j ≤N C n+1

E (



j =n+1 N

u(C n ) + α

max

(C j ,φj )n+2≤j ≤N C n+1

E (E (




 |F 

|F n+1)

j =n+1

n)

N

u(C n ) + αE (

max

C n+1 ,(C j ,φj )n+2≤j ≤N ñ+1 = y n +φ ˜ ˜ V (1+r (1+r ) + φn+1 ∆S n+1 C n

·

u(C n ) + αE (U n+1 ((1 + r)

n+1

(E (

−




|F n+1))

j =n+1

y ñ+1 ( + φn+1 ∆S (1 + r )n

·

− C ñ))

Ejemplo 2.3.1 Continuando con el ejemplo anterior y la utilidad logar´ logar´ıtmica tendremos

− c18)|S 1 = 8)) = ma max x (log(c (log(c18 ) + αE (log(y (log(y + φ28 ∆S 2 − c18 )|S 1 = 8)) c ,φ α α = ma max x (log(c (log(c18 ) + log(y log(y + φ28 − c18 ) + log(y log(y − 2φ28 − c18 )), )), c ,φ 2 2

U 1 (y) (S 1 = 8) 8) = ma max x (log(c (log(c18 ) + αE (U 2 (y + φ28 ∆S 2 c18 ,φ28 18

28

18

28

las condiciones de extremo nos llevan a 1 c18

−

α 2



1



1 + =0 y + φ28 c18 y 2φ28 c18 1 2 =0 y + φ28 c18 y 2φ28 c18

−

−

−

− −

−

−

 |F 

 |F n)

n)

´ DE CARTERAS CAP ´ ITULO ITULO 2. OPTIMIZ OPTIMIZAC ACI I ON

78 de lo que resulta

φ28 =

−αy

4(1 + α)

, c18 =

y . 1+α

(2.2)

Por tanto U 1 (y ) (S 1 = 8) = (1 + α)log y

log2, − log(1 + α) + α log 2(13+α α) − α2 log2,

an´ alogament alogam entee obten ob tendr´ dr´ıamos ıam os φ24 =

αy y , c14 = 4(1 + α) 1+α

y por tanto U 1 (y ) (S 1 = 4) = (1 + α)log y

− log(1 + α) + α log 2(13+α α) − α2 log2, log2,

de manera que en este caso no depende del valor de S 1 .Usando Usando otra vez la ecuaci´ on de programaci´ on din´ amica, tenemos: U 0 (y ) = max(log(c (log(c) + αE (U 1 (y + φ1 ∆S 1 c,φ1

max(log(c (log(c) + c,φ1

+ con K con K = = log(1 + α)

α(1 α (1 + α) log(y log(y + 3φ 3 φ1 2

α(1 α (1 + α) log(y log(y 2

− c))) − c)

− φ1 − c) − K )

3α α log2, de donde resulta − α log 2(1+α 2(1+α) + 2 log2,

c =

y α(1 + α)y , φ1 = . 2 1+α+α 3(1 + α + α2 )

Notemos que para calcular φ calcular φ 28 , φ24 y los consumos ´ optimos en el intante 1, 1 , c18 , c14 , en t´ erminos erminos de la riqueza inicial y inicial y,, tenemos primero que calcular la riqueza en 1, si S si S 1 = 8: V 18 := y + + 3φ 3 φ1 18 := y =

α(1 + α)y y = y + + − c = y − 2 1+α+α 1 + α + α2

2α(1 + α)y 1 + α + α2

y substituir en (2.2 ), con lo que 2

φ28 =

− 2(1 +ααy+ α2) , c18 = 1 +2ααy+ α2 .

Si S 1 = 4, tendriamos la riqueza en 1: y

α(1 + α)y y − φ1 − c = y − = y − 3(1 + α + α2 ) 1 + α + α2 =

2α(1 + α)y , 3(1 + α + α2 )

2.3.

´ CONSUMO OPTIMO

con lo que φ24 =

J.M. Corcuera

α2 y 2αy , c = . 14 6(1 + α + α2 ) 3(1 + α + α2 )

Por ultimo ´ el consumo ´ optimo en el instante final vendr´ a dado por la riqueza en ese instante, de manera que si, por ejemplo S 2 = 9, el consumo ´ optimo valdr´ a

− c18 2α(1 + α)y α2 y 2αy = − − 2 2 1+α+α 2(1 + α + α ) 1 + α + α2

V 18 + φ28

=

3α2 y . 2(1 + α + α2 )

Sin embargo estas expresiones no son interesantes en la pr´ actica, con la expresiones (2.2 ) ya tenemos suficiente. Observaci´ on 2.3.1 El problema de optimizaci´ on se complica extraordinariamente si consideramos funciones de utilidad que no verifiquen u (0) = ya que entonces no queda garantizado que en la soluci´ on ´ optima se cumpla que el consumo es un proceso positivo.

∞

2.3.2

M´ etodo de martingala en el problema de consumo optimo ´

En este caso para poder aplicar el método necesitamos que el modelo sea completo. Definici´ on 2.3.1 Diremos que un proceso de consumo C es replicable si existe a φ autofinanciada (con los consumos C 1 , C 2 ,..C N −1 ) tal que V N = C N . Se dir´ que φ replica C. Proposici´ on 2.3.3 En un mercado completo todo proceso de consumo C es replicable. Demostraci´ on. Sea (C i )0≤i≤N un proceso de consumo. Una manera de garantizar el proceso de consumo es pedir al banco, en los instantes 0 , 1, 2,...,N, las cantidades C 0 , C 1 ,...,C N para consumo y luego restituirlo al final pagando C 0 (1 + r)N + C 1 (1 + r)N −1 + ... + C N para ello habrá que generar este payoff y esto se podrá hacer si tenemos una cantidad inicial ν tal que E P ∗ ( o equivalentemente

C 0 (1 + r)N + C 1 (1 + r)N −1 + ... + C N ) = ν (1 + r)N ˜1 + ... + C Ñ ) = ν. E P ∗ (C 0 + C


80 Sea φ1n , φ2n ,...,φ dn





≤ ≤ la estrategia correspondiente. Tendremos

1 n N

n

˜1 + ... + C Ñ E P ∗ (C 0 + C

|F n) = ν +

˜i φi ∆S



·

i=0

y este ser´ıa el valor de la cartera autofinanciada si no hubiera consumo. Si a esta cartera se le quitan los consumos descontados hasta n, tendremos el valor de la cartera autofinanciada con consumo: n 1

ñ = E P ∗ (C 0 + C ˜1 + ... + C Ñ V

|F n) −

n 1

n



= ν +

˜i φi ∆S

·

i=0

−

−

−



˜i C

i=0

˜i C

 i=0

Observaci´ on 2.3.2 Notemos que justo depu´ es de instante i-ésimo el valor de la cartera disminuye en C i . A partir de la estrategia autofinanciada sin consumo que replica C 0 (1 + r)N + C 1 (1 + r)N −1 + ... + C N , se puede obtener la estrategia autofinanciada con consumo simplemente quitando de la cuenta bancaria las cantidades C 0 , C 1 ,...,C N en los instantes correspondientes. Tenemos as´ı que el problema de consumo óptimo es equivalente a N

max

(C,φ)

∈A

 E (

N

αn u(C n )), E P ∗ (

n=0



ñ ) = ν C

n=0

por tanto el lagrangiano correspondiente es N

E (



,

N



n

α u(C n ))

n=0

− λ(E P ∗ (



ñ ) C

n=0

− ν ),

ahora bien N

E P ∗ (



N

ñ ) = C

n=0

 

N

ñ ) = E P ∗ (C

n=0

ñ L) E (C

n=0

N

=



ñ E (L E (C

N

|F n)) =

n=0



E (C n N n )

n=0

con N n := (1 + r)−n E (L

|F n). Por tanto

N

E (

N

  n

α u(C n ))

n=0

− λ(E P ∗ (

N

= E (

n=0

 

ñ ) C

n=0

− ν )

N

αn u(C n ))

− λ(

C n N n

n=0

− ν ))).

2.3.

´ CONSUMO OPTIMO

J.M. Corcuera

Las condiciones de primer orden nos conducen a αn u (C n ) = λN n , 0

≤ n ≤ N

N

E (



C n N n ) = ν

n=0

con lo que C n = I (

λN n ), 0 αn N

ν = E (



n=0

I (

≤ n ≤ N

λN n )N n ) αn

Ejemplo 2.3.2 Si tomamos u(x) = log(c) tenemos I (y) = 1/y, con lo que C n =

αn ,0 λN n

≤ n ≤ N

N

N





αn 1 ν = E ( N n ) = αn λN λ n n=0 n=0 de manera que C n =

αn ν N n

N n=0



αn

Ejemplo 2.3.3 Si continuamos con el ejemplo (2.0.7) teniamos n = 0

n = 1

n = 2 9

1/2(2/3)

8

 

1/2(1/3) 1/2(1/4)

5

 

6

1/2(3/4) 1/2(1/3)

4

 

1/2(2/3)

3 con lo que los valores de N i (con r = 0) vienen dados por

∗

|F i) = E ( P P |F i) P ∗ = E ( |F i ), P

N i = E (L


82 y en nuestro caso

N 0 = 1, 1 4 1 2 3 4 1 2

N 1 (S 1 = 8) = N 1 (S 1 = 4) =

2 3 1 2 1 3 1 2

1 + 2 1 + 2

1 4 1 2 3 4 1 2

1 3 1 2 2 3 1 2

1 1 = 2 2 1 3 = 2 2

N 2 = L. Entonces, si usamos la utilidad logar´ıtmica, C 2 =

α2 ν L(1 + α + α2 )

para hallar la estrategia ´ optima tenemos ahora que replicar C 2 , esto es hallar 0 por ejemplo φ 28 , φ28 tales que φ028 + 9φ28 = φ028 + 6φ28 =

α2 ν 1 4 1 2

2 3 1 2

(1 + α + α2 ) α2 ν

1 4 1 2

1 3 1 2

(1 + α + α2 )

=

3 α2 ν 2 1 + α + α2

=

3α2 ν 1 + α + α2

con lo que 2

φ28 =

− 2(1 +ααν + α2) ,

an´ alogamente obtendr´ıamos φ24 =

α2 ν . 2(1 + α + α2 )

El consumo en 1 viene dado por c18 = C 1 (S 1 = 8) = =

2αν , 1 + α + α2

c14 = C 1 (S 1 = 4) = =

αν N 1 (S 1 = 8)(1 + α + α2 )

αν N 1 (S 1 = 4)(1 + α + α2 )

2αν , 3(1 + α + α2 )

2.3.

´ CONSUMO OPTIMO

J.M. Corcuera

De esta manera el valor de cartera en 1 vendr´ a dado por V 18 = φ 028 + 8φ28 + c18 =

3 α2 ν α2 ν + 2 1 + α + α2 2(1 + α + α2 )

2αν (1 + α + α2 ) 2α(1 + α)ν = , 1 + α + α2

+

y an´ alogamente V 14 =

2α(1 + α)ν . 3(1 + α + α2 )

Por ultimo ´ habr´ıa que replicar V 1 i esto nos conduce a 2α(1 + α)ν 1 + α + α2 2α(1 + α)ν φ0 + 4φ = , 3(1 + α + α2 ) φ0 + 8φ =

con lo que φ =

α(1 + α)ν , 3(1 + α + α2 )

el consumo en el instante inicial es C 0 =

ν 1 + α + α2

de manera que el valor de la cartera en el instante inicial ser´ a 2α(1 + α)ν α(1 + α)ν + 2 3(1 + α + α ) 3(1 + α + α2 ) ν + 1 + α + α2 = ν

φ0 + 5φ + C 0 =

como ten´ıa que ocurrir.

2.3.3

Utilidad m´ axima para el consumo y la riqueza terminal

Se trata de máximizar N

max E (

(C,φ) V 0 =ν

∈A



n=0

αn uc (C n ) + αN u p (V N

− C N ))

donde u c y u p son funciones de utilidad en principio distintas.


84

M´ etodo de programaci´ on din´ amica Definimos como siempre el proceso ”valor óptimo”

   N

U n (y) = max

E (

αj −n uc (C j ) + αN −n u p (V N

− C N )|F n), C n ≥ 0 F n-medible, (C j , φj )n+1≤j≤N ∈ A,

j=n

entonces tendremos que U n (y) = max(uc (C ) + αE (U n+1 ((1 + r)n+1 ( C,φ

y ñ+1 + φ ∆S (1 + r)n

− C ñ))|F n))

·

− 1, pero ahora U N (y) = uc(y), de hecho U N (y) = max(uc (c) + u p (y − c)). c

para n = 0, 1,...,N

M´ etodo de martingala Suponemos que el mercado es completo. Se trata ahora de replicar un proceso de consumo C 0 , C 1 ,...,C N −1 y al final disponer de una riqueza V N . Esto se puede conseguir replicando el ”payoff” C 0 (1 + r)N + C 1 (1 + r)N −1 + ... + C N −1 (1 + r) + V N pero para esto se necesitará una riqueza inicial ˜1 + ... + C Ñ −1 + V Ñ ) ν = E P ∗ (C 0 + C por tanto el Lagrangiano correspondiente será N 1

N

E (



n

N

− C N ) − λ(

α uc (C n ) + α u p (V N

n=0

−



y las condiciones de primer orden αn uc (C n ) = λN n , 0

≤ n ≤ N − 1 αN uc (C N ) = α N u p (V N − C N ) αN u p (V N − C N ) = λN N N 1

ν = E (

−



n=0

− ν )),

C n N n + V N N N

n=0

C n N n + V N N N ).

´ EN EL MODELO DE BLACK-SCHOLES J.M. Corcuera 2.4. OPTIMIZACI ON

2.4

Optimizaci´ on en el modelo de Black-Scholes

El modelo de Black-Scholes, consiste en un mercado con dos activos. Un activo sin riesgo, S 0 que evoluciona como: dS t0 = rS t0 dt,

t

≥ 0

donde r es una constante no negativa, esto es, suponiendo S 00 = 1, S t0 = e rt ,

t

≥ 0

y un activo con riesgo S que evoluciona como dS t = S t (µdt + σdBt )

≥ 0

t

donde (Bt ) es un movimiento browniano, esto es: 2

{ − σ2 t + σBt}.

S t = S 0 exp µt

Si suponemos un proceso de inversión-consumo (c, φ) y una riqueza inicial x tendremos t

V t = x +

 0

φ0s dS t0

t

+

 0

φ1s dS t

t

 −

cs ds.

0

En términos de los parámetros del sistema dV t = φ0t re rt dt + φ1t S t (µdt + σdBt )

−

ct dt 1 + φt S t (µdt + σdBt ) ct dt + φ1t S t (µ r)dt + φt S t dBt

φ1t S t )dt

− − − = (rV t − ct )dt = (rV t − ct )dt + πt (µ − r)dt + πt σdBt = r(V t

donde π t := φ1t S t es la cantidad invertida en el activo con riesgo. Un caso particular Consideremos el caso en que queremos maximizar la utilidad terminal y que usamos la utilidad logar´ıtmica. En este caso c t = 0, 0 t T . En este caso

≤ ≤

dV t = rV t dt + πt (µ = V t (r + θt (µ

{

− r)dt + πtσdBt − r))dt + θtσdBt}

πt donde θ t := V , es decir la fracción de riqueza invertida en el activo con riesgo. t Supongamos que utilizamos la utilidad logar´ıtmica, de manera que queremos resolver max E (log(V T )). θ


86 Tenemos dlog(V t ) =

2 2

dV t V t

2

− 12 θt σV 2V t dt t

= (r + θt (µ

− r) − 12 θt2σ2)dt + θtσdBt,

de manera que

 

T

E (log(V T )) = log(V 0 ) + E

(r + θs (µ

0

Entonces si asumimos que

T 2 0 E (θt )dt

<



− r) −

1 2 2 θ σ )ds 2 s

(r + θs (µ

0

y obtendremos un máximo si θt =

2.4.1

µ

T

+ E (

θt σdBt ).

0

∞. Tendremos que

T

E (log(V T )) = log(V 0 ) + E

 

− r) −



1 2 2 θ σ )ds 2 s

− r.

σ2

M´ etodo de programaci´ on din´ amica. HJB.

Ecuaci´ o n de

Vamos a extender la noción de función de utilidad Definici´ on 2.4.1 Una funci´ on de utilidad U : [0, 0,1 aplicaci´ on C tal que

∞) × (0, ∞) →

R es

una

·

1. U (t, ) es estrictamente creciente y estrictamente cóncava 2. la derivada U  (t, c) = (∂/∂c)U (t, c) es tal que para todo t

≥ 0

lim U  (t, c) = 0

→∞

c

lim+ U  (t, c) =

→0

c

∞

Notemos que U  (t, c) es estrictamente decreciente en c de manera que tenemos una función inversa I (t, c) tal que I (t, U  (t, c)) = c = U  (t, I (t, c))

∈ ∞

para todo c (0, ). Quremos resolver T



max E (

c,θ V 0 =x

0

F (t, ct )dt + G(V T ))


≥ 0,

donde F y G son funciones de utilidad (esta última independiente de t) y c t para todo t 0. Definamos el proceso valor óptimo

≥

T



H (t, x) = max E ( c,θ V t =x

F (t, cs )ds + G(V T )

t

|F t),

vamos a considerar únicamente estrategias markovianas θ t = θ(t, V t ), donde

{

dV t = V t (r + θt (µ

− r))dt + θtσdBt} − ctdt.

T

H (t, x) = sup E (

   

F (s, cs )ds + G(V T ))

t

c,θ V t =x

t+h

= sup E (

T

F (s, cs )ds +

t

c,θ V t =x



t+h

T



|F t) + E (

= sup (E (

F (s, cs )ds

t

c,θ V t =x

|F t))

F (s, cs )ds + G(V T )

t+h

|F t+h)|F t))

F (s, cs )ds + G(V T )

t+h

t+h

|F t) + H (t + h, V t+h)|F t)

= sup (E (

F (s, cs )ds

t

c,θ V t =x

Si suponemos que H (t, x) es C 1,2 para poder aplicar la fórmula de Itô tendremos t+h

H (t + h, V t+h ) = H (t, V t ) +



(

t

t+h



+

t

∂H dV s ∂x

t+h

= H (t, x) +



(

t

t+h



+

t

t+h



(

t

t+h

+

t

Asumiendo ahora que tendremos

∂H 1 ∂ 2 H 2 2 2 + V θ σ )ds ∂s 2 ∂x 2 s s

∂H dV s (suponemos que V t = x) ∂x

= H (t, x) +



∂H 1 ∂ 2 H 2 2 2 + V θ σ )ds ∂s 2 ∂x 2 s s

∂H ∂ H + (V s (r + θs (µ ∂s ∂x

2

− r)) − cs) + 12 ∂ ∂xH 2 V s2 θs2σ2)ds

∂H V s θs σdBs . ∂x T ∂H 2 0 E ( ∂x V s θs ) dt



|F t) = H (t, x)

<

∞, o bien localizando el proceso,

E (H (t + h, V t+h )

t+h

+ E (

 t

(

∂H ∂ H + (V s (r + θs (µ ∂s ∂x

2

− r)) − cs ) + 12 ∂ ∂xH 2 V s2 θs2σ2)ds|F t).


88

Tenemos entonces que para todo h t+h



0 = sup E (

t

c,θ V t =x

t+h



= E (

t

(F (s, cs ) +

(

≥ 0

∂ H ∂ H + (V s (r + θs (µ ∂s ∂x

2

− r)) − ct) + 12 ∂ ∂xH 2 V s2 θs2σ2)ds|F t)

∂H ∂ H + sup (F (s, cs ) + (V s (r + θs (µ ∂s ∂x c,θ

2

− r)) − ct) + 12 ∂ ∂xH 2 V s2 θs2σ2))ds|F t)

V t =x

≥

como esto ocurre para todo h 0, si el integrando es continuo, dividiendo por h y tendiendo el l´ımite a cero (asumiendo que podemos intercambiar el l´ımite y la esperanza) tendremos la ecuación para H (t, x) : ∂H ∂H 1 ∂ 2 H 2 2 2 +sup (F (t, ct )+ (x(r+θt (µ r)) ct )+ x θt σ ) = 0.(Hamilton-Jacobi-Bellman) ∂t ct ,θt ∂x 2 ∂x 2

− −

con la condición de contorno H (T, x) = G(x). Ejemplo 2.4.1 Si consideramos el problema del consumo y riqueza terminal optimos la ecuacion de HJB correspondiente ser´ ´ a: ∂H ∂ H + sup(F (t, c) + (x(r + θ(µ ∂t ∂x c,θ

2

− r) − c) + 12 ∂ ∂xH 2 x 2θ2σ2) = 0,

(2.3)

primero resolvemos el problema de optimizaci´ on est´ atico ∂ H sup(F (t, c) + (x(r + θ(µ ∂x c,θ

− r)) −

1 ∂ 2 H 2 2 2 c) + x θ σ ), 2 ∂x 2

que nos da como soluci´ on

⇐⇒ ˆc = I (t, ∂H ) ∂x ∂H ∂x µ − r ˆ − θ = , x ∂ H σ2

F  (t, cˆ) =

∂H ∂x

2

∂x 2

Si tomamos como funci´ ones de utilidad F (t, x) = e−δt log x y G(x) = log x resultar´ a cˆ = ˆ θ =

1 eδt ∂H ∂x ∂H ∂x ∂ 2 H x ∂x 2

−

(2.4) µ

− r.

σ2

(2.5)

En vista de las caracter´ısticas del problema podemos intentar una soluci´ on de la forma H (t, x) = a(t)log x + b(t),


donde, por la condici´ on de contorno, a(T ) = 1, b(T ) = 0, tendr´ıamos entonces, substituyendo en (2.4,2.5 ) e−δt x a(t) ˆ µ r, θ = σ2 cˆ =

−

asimismo ∂H = a(t)log ˙ x + ˙b(t) ∂t ∂H a(t) = ∂x x 2 ∂ H a(t) = . 2 ∂x x2

−

Teniendo en cuenta todo esto la ecuaci´ on (2.3) queda de la forma e −δt 1 (µ r)2 0 = a(t)log ˙ x + ˙b(t) + e−δt log x + a(t)(r + ) a(t) 2 σ2

−

− e−δt = 0

Esto da condiciones para a(t) y b(t). En particular

−e−δt

a(t) ˙ = con lo que a(t) = 1 +

e −δt

− e−δT .

δ Por tanto los consumos y estrategias ´ optimas vienen dados por δe −δt

ct =

δ + e−δt µ r θ = σ2

−

2.4.2

− e−δT V t

M´ etodo de martingala

≥

F

Proposici´ on 2.4.1 Sea ξ 0 una variable aleatoria positiva T -medible. Y sea (cs )0≤s≤T un proceso adaptado positivo, esto es un proceso de consumo. Supongamos que ˜ + E P ∗ (ξ

T



c˜s ds) = x

0

˜2 + T c˜2 ds) < entonces existe una estrategia admisible, con valor y que E P ∗ (ξ 0 s inicial x, que replica el proceso de consumo de manera que la riqueza final es ξ .



∞


90

T

Demostraci´ on. Consideremos la variable T -medible ξ + 0 cs er(T −s) ds 0. Sabemos que al ser de cuadrado integrable existe una estrategia admisible que la replica de manera que su valor actualizado en cada instante es



F

˜ + E P ∗ (ξ

T



t

|F t) = x +

c˜s ds

0

 0

≥

˜t , φ1s dS

esta estrategia autofinanciada es la que posibilita el consumo cs ds en cada inT stante s, de manera que al final habr´ıa que devolver al banco 0 cs er(T −s) ds. En realidad la estrategia autofinanciada ”con consumo” coincide con la anterior en la parte que se invierte en el activo con riesgo, la parte que queda en el banco difiere, de manera que el valor actualizado de la cartera para la estrategia autofinanciada con consumo es:



t

x+

 0

˜t φ1s dS

t

 − 0

˜ + c˜s ds = E P ∗ (ξ

T



c˜s ds

t

|F t)

(2.6)

Consideremos entonces el problema T

max E (

(c,φ) V 0 =x



F (t, ct )dt + G(V T )),

0

le corresponderá el lagrangiano T

E (



F (t, ct )dt + G(V T ))

0

= E (

− λ(E P ∗ (V ˜T +

T

 

F (t, ct )dt + G(V T )

0

− λ(V ˜T Z T +

T

T

  

c˜t dt)

0

− x)

T

c˜t Z t dt

0

− x)

T

− λ(V T N T + ctN tdt − x), 0 0 ∗ −rt Z t , 0 ≤ t ≤ T.Las condiciones de primer donde Z t = E ( dP dP |F t ) y N t = e = E (

F (t, ct )dt + G(V T )

orden nos conducen a

F  (t, ct ) = λN t G (V T ) = λN T T

E (V T N T +



ct N t dt) = x

0

Entonces si escribimos I 1 (t, x) la función inversa de F  (t, x) e I 2 (x) la función inversa de G  (x), tenemos ct = I 1 (t,λN t ) V T = I 2 (λN T ) T

E (I 2 (λN T )N T +

 0

I 1 (t,λN t )N t dt) = x.


Ejemplo 2.4.2 Consideremos el ejemplo anterior. En primer lugar e−δt λN t 1 V T = , λN T ct =

con λ tal que T

1 1 + λ λ



e−δt dt = x,

0

esto es δ + 1

λ =

− e−δT .

δx

Notemos, a partir de (2.6) que ˜t = E P ∗ (V ˜T + V = = =

T

  t

E (V T N T + 1 1 λ + λ

|F t) T cs N s ds|F t ) t c˜s ds

Z t T δs ds t e



−

Z t

γ (t)x , Z t

esto es V t = con γ (t) =

γ (t)x N t

δ + e−δt e−δT , 1 + δ e−δT

de esta manera podemos concluir que

− −

e−δt e−δt ct = = V t λN t γ (t)λx δe−δt = V t , δ + e−δt e−δT

−

tal como hab´ıamos obtenido. Para calcular la estrategia ´ optima por este método, necesitamos escribir V t en términos de S t y para ello explicitar el proceso (N t ). A partir de (1.10) tenemos que dP ∗ Z t = E ( dP

|F t) = exp{ −σ µ Bt − 12 r

− r

µ

σ

2

} ≤ t ≤ T

t ,0


92

2

{ − σ2 t + σBt}, resulta que

y como S t = S 0 exp µt Z t = =

 

S t exp S 0

σ 2 µt + t 2

S t exp S 0

σ 2 µt + t 2

} }

{− {−

r

−µ

r µ σ2

−

r µ σ2

exp

r

exp

1 2

r

−

σ

para ciertas constantes a y b.Como µ−r ˜t = γ (t)x = 1 γ (t)xe−bt S t σ2 V Z t a

y buscamos φ tal que t



˜s φ1s dS

0

t

 −

c˜s ds

0

resultar´ a que − ˜t ∂ V µ r ert −bt S µσ2r −1 = γ ( t)xe t ˜t σ2 a ∂ S ˜t µ r ert V µ r V t = = , 2 σ S t σ 2 S t

−

φ1t =

−

de manera que

−

φ1t S t µ r = . V t σ2

−

al igual que obteniamos por el otro método. Ejercicio 2.4.1 Resolver el problema de minimizar T

 {

E (exp

0

2 u2t dt + X T )

}

si dX t = (ax + ut )dt + σdW t , donde el control u t no tiene restricciones.

2

µ

2

σ

= S t σ2 aebt ,

˜t = x + V

µ

  − {−   − {− 1 2

t

}

t

}

Cap´ıtulo 3

Modelos de tipo de inter´ es Los modelos de tipos de inter´ es son usados principalmente para valorar y recubrir bonos y opciones sobre bonos. Señalar que no existe un modelo de referencia como el modelo de Black-Scholes para opciones sobre ”stocks”.

3.1 3.1.1

Modelizaci´ on La curva de tipos

En los modelos que hemos estudiado los tipos de inter´ es se supusieron constantes. En la pr´ actica el inter´ es depende de la fecha de emisión del préstamo y del final o madurez del mismo. Alguien que pide prestado un euro en el instante t, hasta la madurez T , tendr´ a que pagar una cantidad F (t, T ) en el instante T , lo cual equivale a un tipo medio de tasa de interés cont´ınuo R(t, T ) dado por la igualdad: F (t, T ) = e(T −t)R(t,T ) . Si suponemos conocidos los tipos de interés (R(t, T ))0≤t≤T , y no hay arbitraje, se deberá cumplir que

∀ ≤ u ≤ s,

F (t, s) = F (t, u)F (u, s), t

y de aqu´ı junto con con la igualdad F (t, t) = 1, se sigue, si F (t, s) es derivable como función de s, que existe una función r(t) tal que



T

F (t, T ) = exp

t

En efecto, sea s



r(s)ds .

≥ t

F (t, s + h)

− F (t, s) = F (t, s)F (s, s + h) − F (t, s) = F (t, s)(F (s, s + h) − 1), 93

CAP ´ ITULO ITULO 3.

94

´ MODELOS MODELOS DE TIPO TIPO DE INTER INTER ES

−

tendiendo h tendiendo h

F ( F (t, s + h) F ( F (t, s) F ( F (s, s + h) = F ( F (t, s)h h 0 tendremos

→

F (s, s) − F ( ,

∂ 2 F ( F (t, s)/∂s = ∂ 2 F ( F (s, s)/∂s := /∂s := r r((s) F ( F (t, s)

y de aqu´ aq u´ı

   T

F ( F (t, T ) T ) = exp

r(s)ds )ds .

t

Notemos que R(t, T ) T ) =

T

1

r(s)ds. )ds. T t t La función on r (s) se interpreta como un tipo de inter´ interés es instantáneo, aneo, se le suele llamar ”tipo en corto” (”short rate”). Planteémoslo emoslo al revés. es. Supongamos Supon gamos que quiero q uiero un contrato co ntrato que q ue me garantize el cobro de un euro en el instante T instante T .. Tendremos entonces lo que se llaman bonos . ¿Cuanto tendr´ ten dré que pagar p agar por p or el precio p recio de un bono bo no en el e l instante t?. t?. Para Para recibir recibir F ( F (t, T ) T ) en el instante T T tenemos que pagar ( poner en la cuenta bancaria) la cantidad de un euro, por tanto habrá que pagar 1/F 1 /F ((t, T ). T ). En la práctica actica no se conocen los precios de los bonos para los diferentes instantes, estos van cambiando aleatoriamente con el instante inicial, pero intuitivamente parece que tenga que existir una relación entre los precios correspondient spondientes es a los diferente diferentess instante instantess iniciale inicialess y de madurez. madurez. El ánimo de los modelos modelos de bonos es establecer establecer estas relaciones. relaciones. El principa principall objeto objeto de estudio estudio es lo que llamar llamaremo emoss ”bono ”bono sin cupones” cupones” (”zero coupon bond”).

− −

Definici´ on on 3.1.1 Un bono sin cupone cuponess con madur madurez ez T T es un contr ontrato que garantiza el cobro de un euro en el instante T . T . Su pre precio en el instante instante t lo escribiremos P ( P (t, T ) T ). El convenio de que el pago en el instante de la madurez sea 1 , conocido comoo ”valo com ”valorr princi principal pal”, ”, es por simpli simplicid cidad. ad. Los bonos con cupones cupones son los que van dando ciertas ciertas cantidades cantidades (cupones) hasta el final del periodo. Todos estos instrumentos tienen en común un que proporcionan al propietario un flujo determinista de dinero y por ello se llaman activos de renta fija. Definici´ on on 3.1.2 La curva de tipos (de un bono sin cupones) es la gr´ afica correspondiente de la aplicaci´ on R (t, T ) T )  −→ R(

T

Hemos visto que si pudieramos anticipar el futuro, o si quiseramos construir un mercado con los precios de los bonos fijados para los diferentes instantes de negociación on y madurez la condición on de ausencia de arbitraje nos conducir´ conducir´ıa a P ( P (t, T ) T ) = e −

T t

r(s)ds )ds

.

´ 3.1. MODELIZ MODELIZAC ACI I ON

J.M. Corcuera

y R(t, T ) T ) =

3.1.2 3.1.2

1

− − t

T

T



r(s)ds )ds

t

Curv Curva de tipos tipos para para un futuro futuro inci inciert erto o

Para un falor fijo de t de t,, P ( P (t, T ) T ) es una función on de T de T cuya cuya gráfica afica nos da la ”curva de precios de los bonos en t en t”” o ”la estructura a t´ ermino” ermino” (”term structure”) en t. Es de esperar que sea una función on suave. Si fijamos T fijamos T ,, p( p (t, T ) T ) será un proceso estocástico. astico. En este contexto, contexto, nuestro nuestro mercado de bonos va a ser un mercado mercado con infinitos activos (para cada T T tenemos in activo) y lo que nos vamos a plantear es preguntas como: modelos delos son razonables para valorar valorar los bonos ? • ¿qué mo • ¿qu´ ¿ qué relac rel aci´ ión on deben tener los precios de los bonos para que no haya arbitraje?

• ¿podemos derivar precios de los bonos libres de oportunidades de arbitraje a partir de un modelo de los tipos en corto?

• dado un modelo para un mercado de bonos, ¿cómo podemos calcular los precios de derivados, como por ejemplo opciones de compra europeas de bonos?

3.1.3

Tipos de inter´ inter´ es es

Considerem Consideremos os el siguient siguientee ejemplo. ejemplo. Supongamos Supongamos que estamos estamos en el instante instante t y fijamos otros instantes futuros S y T , T , t < S < T . T . El pro prop´ p´ osito osito es construir en el instante t instante t un contrato que nos permita invertir en el instante S un S un euro y tener tene r un interés es determinista en el periodo [S, [ S, T ], T ], de modo que obtengamos una cantidad en T determinista. T determinista. Esto se puede hacer de la siguiente manera: 1. En el instant instantee t vendemos un bono con madurez S madurez S .. Esto nos proporciona P ( P (t, S ) euros. 2. En el instant instantee t compramos P compramos P ((t, S )/P ( /P (t, T ) T ) bonos que maduren en T . T . Notemos que esto implica lo siguiente: 1. En el instant instantee t el coste de la operación on es cero. 2. En el instant instantee S , S , tenemos que pagar 1 euro. 3. En el instant instantee T recibimos T recibimos P P ((t, S )/P ( /P (t, T ) T ) euros. La cantidad que recibimos P ( P (t, S )/P ( /P (t, T ) T ) se puede indicar mediante tipos simples simp les o cont´ınuos: ınuos :


96


• El inter´ interés es simple a plazo (LIBOR), L = L(t; S, T ), T ), que es la solución on de la ecuación: on:

P ( P (t, S ) − − S )L = P ( P (t, T ) T )

1 + (T ( T

es decir decir es el inter´ inter´ es es simple simple que se garantiza garantiza para el periodo [ S, T ] T ] en el instante t. E l inter´ int erés es cont con t´ınuo ınu o a plazo pla zo R = R = R((t; S, T ), on de la ecuación: on: • El T ), solución eR(T −S ) =

P ( P (t, S ) . P ( P (t, T ) T )

an´ alogamente alogamente al caso anterior, es el interés es cont´ cont´ınuo que q ue se garantiza, en el instante t, para el periodo [S, [ S, T ] T ]. La anotación on en términ erm inos os de inter´ inte rés es simple es la que se usa en el mercado, mientras que la otra se utiliza en contextos teóricos. oricos. Por tanto dado el mercado de bonos, podemos definir diferentes tipos de inter´ interés, es, es decir los precios de los bonos b onos se pueden indicar, presentar o marcar, de diferentes maneras. Definici´ on on 3.1.3 1. El tipo a plazo simple para el intervalo [S, T ] T ] contratado en t, (LIBOR a plazo) se define como L(t; S, T ) T ) =

P (t, T ) T ) − P ( P (t, S ) − P ( (T − P (t, T ) T ) − S )P (

2. El inter´ int erés es actual act ual simple simpl e (”spot”) para para [t, [ t, T ] T ], LIBOR actual, se define como L(t, T ) T ) =

P (t, T ) T ) − 1 , − (T P ( P (t, T ) T ) − − t)P (

es el anterior haciendo S = t. = t. 3. El tipo de inter´ es es continuo a plazo contratado en t para [ para [S, S, T ] T ] como R(t; S, T ) T ) =

P (t, T ) T ) − log P ( P (t, S ) − log P ( − S T −

4. El tipo de inter´ es es continuo actual para para [ [t, t, T ] T ] como R(t, T ) T ) =

P (t, T ) T ) − logT P ( − − t

5. El tipo de inter´ es es instant´ aneo a plazo (”forward rate”) con madurez T , T , contratado en t como f (t, T ) T ) =

∂ log P ( P (t, T ) T ) − ∂ log = lim lim R(t; S, T ) T ) T →S ∂T

´ 3.1. MODELIZACI ON

J.M. Corcuera

6. El tipo de inter´ es en corto (”short rate”) o instant´ aneo en t r(t) = f (t, t) = lim f (t, T )

→t

T

Notemos que el tipo de interés instantáneo a plazo con madurez T , contratado en t se puede interpretar como el tipo de interés determinista contratado en t para el periodo infinitesimal [ T, T + dT ]. Fijado t, cualquier tipo de interés de los definidos anteriormente permite recuperar los precios de los bonos con cualquier madurez. Entonces modelizar estos tipos, o sea dar su dinámica en t, es equivalente a modelizar los precios de los bonos. Vamos a definir ahora el proceso ”cuenta bancaria” o activo ”sin riesgo”. Crearemos un escenario aleatorio para los tipos de interés instantáneos r(s). En concreto consideraremos un espacio de probabilidad dotado de una filtración (Ω, , P, ( t )0≤t≤T ), supondremos que ( t )0≤t≤T es la filtración natural generada por un movimiento browniano (W s )0≤t≤T y que T = . En este contexto introducimos el activo ”sin” riesgo

F F

F

S t0 =

F F

t

exp

 {

}

r(s)ds

0

t

 |

|

∞

donde (r(t))0≤t≤T es un proceso adaptado con 0 r(s) ds < . En nuestro mercado tendremos también activos con riesgo, estos será n los bonos ! (sin cupones) de madurez menor o igual al horizonte T. Para cada instante u T definimos un proceso adaptado (P (t, u))0≤t≤u satisfaciendo P (t, t) = 1. Hagamos ahora la hipótesis: (H) Existe una probabilidad P ∗ equivalente a P tal que para todo 0 u T , ( ˜ P (t, u))0≤t≤u definido por

≤

≤ ≤

˜ u) = e− P (t,

t r (s)ds 0

P (t, u)

es una martingala. Esta hipótesis tiene las siguientes interesantes consecuencias. Proposici´ on 3.1.1 P (t, u) = E P ∗ Demostraci´ on.



e−

u t

˜ u) = E P ∗ (P (u, ˜ u) P (t, = E P ∗ (e−

u 0

r(s)ds

|F t) = E P ∗ (e− r(s)ds |F t),

 |F t

u 0

r(s)ds

con lo que eliminando el factor de descuento P (t, u) = E P ∗ (e−

u t

r(s)ds

|F t)

P (u, u)

|F t)

CAP ´ ITULO 3.

98

´ MODELOS DE TIPO DE INTER ES

∗

∗

dP Si escribimos, como siempre, Z T = dP t ) es dP , sabemos que Z t := E ( dP una martingala estrictamente positiva, entonces del hecho de que la filtración es la generada por un movimiento browniano resultará la siguiente representación:

|F

Proposici´ on 3.1.2 Existe un proceso adaptado (q (t))0≤t≤T tal que, para todo 0 t T , t 1 t 2 Z t = exp q (s)dW s q (s)ds , c.s. 2 0 0

≤ ≤

 {



−

}

Demostraci´ on. Como Z t es una martingala browniana, un argumento de localización (ya que no sabemos si es de cuadrado integrable), nos permite extender el teorema (1.5.5) y concluir que existe un proceso ( H t ) satisfaciendo T 2 , c.s., tal que 0 H t dt <



∞

t

Z t = 1 +



H s dW s ,

0

ahora como Z t > 0, P c.s., y aplicando la formula de Itô, tendremos t

log Z t =

 0

de manera que q (s) =

H s Z s ,

H s dW s Z s

−

1 2

t

 0

H s2 ds Z s2

c.s.,

Corolario 3.1.1 El precio en el instante t de un bono (sin cupones) con madurez u T viene dado por

≤

P (t, u) = E (e−

u t

r(s)ds+

u t

q(s)dW s

− 12

u t

q2 (s)ds

|F t)

Demostraci´ on. E P ∗ (e−

u t

r(s)ds

|F t) =

E (e−

u t

r(s)ds

Z u

Z t

= E (e−

u t

r(s)ds Z u

= E (e−

u t

r(s)ds+

Z t

|F t) |F t)

u t

q(s)dW s

− 12

u t

q2 (s)ds

|F t).

La siguiente proposición da una interpretación económica del proceso q. Proposici´ on 3.1.3 Para cada madurez u, existe un proceso adaptado (σtu ) 0≤t≤u tal que, para todo 0 t u,

≤ ≤

dP (t, u) = (r(t) P (t, u)

− σtu q ((t))dt + σtu dW t

´ 3.1. MODELIZACI ON

J.M. Corcuera

 

˜ u) es una martingala bajo P ∗ resultará que Demostraci´ on. Como P (t,





˜ u)Z t lo es bajo P , además es estrictamente positiva y argumentando P (t, como antes tendremos que ˜ u)Z t = P (0, u)e P (t,

t 0

θsu dW s

− 12

t (θsu )2 ds 0

para cierto proceso adaptado (θsu )0≤t≤u , de manera que t

 {

P (t, u) = P (0, u)exp

t

r(s)ds +

0

−

1 2

t

 0

((θsu )

2

 0

(θsu

− q (s))dW s

− q 2(s))ds},

de manera que, aplicando la fórmula de Itô, dP (t, u) = r(t)dt + (θtu q (t))dW t P (t, u) 1 u 2 ((θt ) q 2 (t))dt 2 1 u + (θt q (t))2 dt 2 = (r(t) + q 2 (t) θtu q (t))dt + (θtu q (t))dW t ,

−

−

−

−

−

−

y el resultado se sigue tomando σ tu = θ tu

− q (t).

Observaci´ on 3.1.1 Si comparamos la f´ ormula dP (t, u) = (r(t) P (t, u) con

− σtu q ((t))dt + σtu dW t

dS t0 = r(t)dt S t0

encontramos que los bonos son activos con mayor riesgo que el activo ”sin riesgo” S 0 . Notemos también que bajo P ∗ ˜ t := W t W

t

 −

q (s)ds

0

F

es un ( t )- browniano est´ andar (por el teorema de Girsanov (1.5.3)) y podemos escribir dP (t, u) ˜ t = r(t)dt + σtu dW P (t, u) justificando el nombre de probabilidad neutral que se da a P ∗ .

CAP ´ ITULO 3.

100

3.2


Opciones sobre bonos

Supongamos un derivado europeo con madurez T y payoff (P (T, T ∗ )

− K )+

donde T ∗ > T y P (T, T ∗ ) es el precio de un bono que madura en T ∗ . El propósito es valorar y recubrir este derivado, esta ópción de compra del bono que madura en T ∗ . Parece razonable tratar de recubrir el derivado a partir del stock sin riesgo t S t0 = e 0 r (s)ds y del stock con riesgo t



P (t, T ∗ ) = P (0, T ∗ )exp{

0

(r(s)

−

∗ 1 σsT 2

 

2

t

)ds +

 0

∗

˜ s , σsT dW

de manera que una estrategia será un par de procesos adaptados φ0t , φ1t 0≤t≤T ∗ que representan la cantidad de activos sin riesgo y de bonos con madurez T ∗ respectivamente. El valor de la cartera autofinanciada en el instante t vendrá dado por V t = φ0t S t0 + φ1t P (t, T ∗ )

 

y la condición de autofinanciación implica que dV t = φ0t dS t0 + φ1t dP (t, T ∗ ) = φ0t r(t)e

t r (s)ds 0 t 0

∗ ˜ t ) dt + φ1t P (t, T ∗ )(r(t)dt + σtT dW

∗ ˜ t + φ1t r(t)P (t, T ∗ ))dt + φ1t σtT P (t, T ∗ )dW ∗ ˜ t , = r(t)V t dt + φ1t σtT P (t, T ∗ )dW

= (φ0t r(t)e

r(s)ds

T

 |

|

entonces impondremos las condiciones 0 r(t)V t dt < , para que lo anterior esté bien definido.

∞

∞ y 0T |φ1t σtT ∗ P (t, T )|2dt <



Definici´ on 3.2.1 Una estrategia φ = (φ0t , φ1t )0≤t≤T es admisible si es autofi˜t , es no negativo. nanciada y su valor descontado, V Proposici´ on 3.2.1 Sea T < T ∗ . Supongamos que sup0≤t≤T r(t) < c.s. y ∗ T que σ t = 0 c.s. para todo 0 t T . Sea h una variable aleatoria T -medible T tal que ˜h = e− 0 r(s)ds h sea de cuadrado integrable bajo P ∗ . Entonces existe una estrategia admisible que en el instante T vale h y su valor en t T viene dado por T V t = E P ∗ (e− t r(s)ds h t ).



∞ F ≤

≤ ≤

|F

Demostraci´ on. ˜h es una variable T -medible, con T = σ(W t , 0 adem´ as es de cuadrado integrable respecto a P ∗ por tanto

F

F

˜ M t := E P ∗ (h

|F t)

≤ t ≤ T ),

J.M. Corcuera

3.2. OPCIONES SOBRE BONOS

es una P ∗ -martingala de cuadrado integrable. Entonces (M t Z t ) es una P martingala, no necesariamente de cuadrado integrable. En efecto, sabemos que ˜ E P ∗ (h de manera que



˜

|F t) = E (hZ Z Tt |F t)

˜ T M t Z t = E (hZ

 |F

|F t)

˜ T t ) es claramente una P -martingala. De esta manera tendremos, y E (hZ por una ligera generalización del teorema (1.5.5), t

M t Z t = E (M t Z t ) +



J s dW s ,

0

T 2 0 J s ds <



∞ c.s., por tanto Z t dM t + M t dZ t + d M, Z t = J s dW s ,

con (J s ) adaptado y tal que

esto es 1 J t t −M t dZ − dM, Z t + dW t Z t Z t Z t 1 J t = −M t q (t)dW t − dM, Z t + dW t Z t Z t J t 1 − =( M t q (t))dW t − dM, Z t Z t Z t J t J t =( M t q (t))dW t − ( − M t q (t))q (t)dt − Z t Z t J t ˜ t = H t dW ˜ t − M tq (t))dW =( Z t

dM t =

con H t :=

J t Z t

− M tq (t), 0 ≤ t ≤ T .Entonces si tomamos φ1t =

H t

|F t) − σH T t∗

˜ , φ0t = E P ∗ (h ∗˜ T ∗ σ P (t, T ) t

tendremos una cartera autofinanciada con valor final e ˜t = d(e− dV

t (s)ds 0 r

t (s)ds 0 r

V t ) =

−e−

t (s)ds 0 r

t

T 0

r(s)ds

r(t)V t dt + e−

M T = h.En efecto

t 0

r(s)ds

dV t

∗ ˜ t ) ( r(t)V t dt + r(t)V t dt + φ1t σtT P (t, T ∗ )dW ∗ ˜ T ∗ )dW ˜ t = H t dW ˜ t = dM t = φ 1t σtT P (t,

= e −

−

T

por tanto tendremos una cartera autofinanciada con valor final e 0 r(s)ds M T = ˜t 0 . La condici´ h. Es inmediato que V on sup0≤t≤T r(t) < c.s. garantiza que

T 0

 |

|

r(t)V t dt <

∞.

≥

∞

CAP ´ ITULO 3.

102

3.3


Modelos basados en los tipos instant´ aneos

Consideremos una evolución de la forma dr(t) = µ(t, r(t))dt + σ(t, r(t))dW t

(3.1)

y supongamos que P (t, T ) = F (t, r(t); T )

(3.2)

donde F es una función suave en R+ R R+ .Evidentemente se deberá cumplir la condición de contorno F (T, r(T ); T ) = 1, cualquiera que sea el valor de r(T ). Consideremos dos bonos con distinta madurez T 1 y T 2 > T 1 . Supongamos que existe un portfolio (φ0t , φ1t ), autofinanciado, basado en la cuenta bancaria y en el bono que expira en T 2 tal que en el instante T 3 < T 1 replica el bono con madurez T 1 , esto es

× ×

P (T 3 , T 1 ) = φ 0T 3 e

T 3 0

r(s)ds

+ φ1T 3 P (T 3 , T 2 )

entonces si no hay arbitraje se deberá cumplir la igualdad para todo t manera que t 0

dP (t, T 1 ) = r(t)φ0t e

r(s)ds

≤ T 3, de

dt + φ1t dP (t, T 2 )

y aplicando la fórmula de Itô a (3.2) tendremos ∂F (1) ∂ F (1) 1 ∂ 2 F (1) 2 dt + dr(t) + σ dt ∂t ∂r 2 ∂r 2 ∂F (2) ∂F (2) 1 ∂ 2 F (2) 2 = r(t)φ0t S t0 dt + φ1t dt + φ1t dr(t) + φ1t σ dt ∂t ∂r 2 ∂r 2 Igualando los t´ erminos con dW t y dt tendremos, ∂F (1) ∂ F (1) 1 ∂ 2 F (1) 2 + µ+ σ ∂t ∂r 2 ∂r 2 ∂F (2) ∂F (2) 1 ∂ 2 F (2) 2 = rφ 0t S t0 + φ1t + φ1t µ + φ1t σ ∂t ∂r 2 ∂r 2 σ

∂F (1) ∂F (2) = φ1t σ ∂r ∂r

de aqu´ı φ1t =

∂F (1) ∂r ∂F (2) ∂r

y rφ0t S t0

(1)

= r(F

−

∂F (1) ∂r ∂F (2) ∂r

F (2) )

(3.3)

´ J.M. 3.3. MODELOS BASADOS EN LOS TIPOS INSTANT ANEOS

Corcuera

substituyendo en (3.3) tendremos 1 ∂F (1) ∂r

=



∂F (1) ∂ F (1) 1 ∂ 2 F (1) 2 + µ+ σ ∂t ∂r 2 ∂r 2

1 ∂F (2) ∂r



(1)

− rF

∂F (2) ∂ F (2) 1 ∂ 2 F (2) 2 + µ+ σ ∂t ∂r 2 ∂r 2

 (2)

− rF



.

Como esto es cierto para arbitrarios, T 1 , T 2 < T, resultará que existe un λ(t, r) tal que ∂F ∂ F 1 ∂ 2 F 2 + µ + σ ∂t ∂r 2 ∂r 2

(ecuació n de estructura) − rF = λσ ∂F ∂r

(3.4)

Como vemos resulta una indeterminación en λ y esto tiene que ver con el hecho de que la dinámica de r(t) bajo P no determina los precios de los bonos. Tenemos la siguiente proposición Proposici´ on 3.3.1 Sea P ∗ equivalente a P tal que dP ∗ = exp dP

T

 {−

λ(s, r(s))dW s

0

−

1 2

T



λ2 (s, r(s))ds ,

}

0

supongamos que F (t, r(t); T ) = E P ∗ (e−

T t

r(s)ds

|F t)

es C 1,2 , entonces es una soluci´ on de (3.4) con la condici´ on de contorno F (T, r(T ); T ) = ∗ 1. Adem´ as bajo y P ˜ t dr(t) = (µ λσ)dt + σd W

−

˜ ( con W

F t) P ∗-movimiento browniano.

Demostraci´ on. Sea P ∗ equivalente a P tal que dP ∗ = exp dP

T

 {−

λ(s, r)dW s

0

−

1 2

T



λ2 (s, r)ds

}

0

{ 12

(una condición suficiente es la condición de Novikov E (exp ) entonces sabemos, por el teorema de Girsanov, que

∞

˜ · = W · + W

·



T 2 0 λ (s, r(s))ds



λ(s, r(s))ds

0

F t)-browniano respecto a P ∗. Si aplicamos la fórmula de Itô a e−

es un (

}}) <

t 0

r(s)ds

F (t, r(t); T )

CAP ´ ITULO 3.

104


tendremos: e−

t 0

r(s)ds

F (t, r(t); T ) t

= F (0, r(0); T ) +



e−

s 0

(

r(u)du

∂F ∂ F 1 ∂ 2 F 2 ( + µ + σ ∂t ∂r 2 ∂r 2

0

t

+



e−

s 0

∂r

σdW s t

= F (0, r(0); T ) +



e−

s 0

0

t

+

e−

s 0

− rF )ds

r(u)du ∂F

0



∂F ∂ F 1 ∂ 2 F 2 + µ + σ ∂t ∂r 2 ∂r 2

r(u)du

− rF − λσ ∂F )ds ∂r

r(u)du ∂F

0

∂r

˜ s . σdW t

T

Entonces como e− 0 r (s)ds F (t, r(t); T ) = E P ∗ ((e− 0 r(u)du t ) resultar´ a que ∂F ∂F 1 ∂ 2 F 2 ∂F rF λσ ∂r = 0, y la condición de contorno F (T, r(T ); T ) = ∂t + ∂r µ+ 2 ∂r 2 σ 1 se cumple trivialmente. Ante esta circunstancia se han propuesto diversos modelos para r(t) bajo la probabilidad neutral:

− −

| F

1. Vasicek dr(t) = (b

− ar(t))dt + σdW t.

2. Cox-Ingersoll-Ross (CIR) dr(t) = a(b

− r(t))dt + σ√ r(t)dW t

3. Dothan dr(t) = ar(t)dt + σr(t)dW t 4. Black-Derman-Toy dr(t) = Θ(t)r(t)dt + σ(t)r(t)dW t 5. Ho-Lee dr(t) = Θ(t)dt + σdW t 6. Hull-White (Vasicek generalizado) dr(t) = (Θ(t)

− a(t)r(t))dt + σ(t)dW t

7. Hull-White (CIR generalizado) dr(t) = (Θ(t)

− a(t)r(t))dt + σ(t)√ r(t)dW t


3.3.1

Corcuera

Inversi´ on de la curva de tipos

En estos modelos tenemos una serie de parámetros desconocidos, que denotaremos globalmente por α, estos parámetros No pueden estimarse a partir de la observación de la evolución de los valores de r(s) ya que estos evolucionan en realidad bajo P y no bajo P ∗ . Donde si aparece el efecto de la P ∗ es en los precios reales de los bonos ya que si el modelo es correcto P (t, T ) = E P ∗ (e−

T t

r(s)ds

|F t) = F (t, r(t); T, α),

esto u ´ ltimo si el modelo es markoviano bajo P ∗ . Entonces si por ejemplo la evolución de r bajo P ∗ viene dada por dr(t) = µ(t, r(t); α)dt + σ(t, r(t); α)dW t podemos tratar de resolver la ecuación en derivadas parciales ∂F ∂ F 1 ∂ 2 F 2 + µ + σ rF = 0, ∂t ∂r 2 ∂r 2 F (T, r(T ); T, α) = 1

−

(3.5) (3.6)

y luego ajustar el valor de α para que los valores que hemos obtenido de P (t, T ) = F (t, r(t); T, α) se parezcan a los valores observados de los bonos. Evidentemente determinados modelos darán lugar a ecuaciones más faciles de resolver que otros.

3.3.2

Estructuras de tipos afines.

{

Definici´ on 3.3.1 Si la estructura de tipos (”term structure”) P (t, T ); 0 T tiene la forma P (t, T ) = F (t, r(t); T )

}

≤ t ≤

donde F tiene la forma F (t, r(t); T ) = e A(t,T )−B(t,T )r donde A(t, T ) y B(t, T ) son funciones deterministas, entonces el modelo se dir´ a que tiene una estructura de tipos af´ın (Affine Term Structure: ATS). La cuestión es qué elecciones de µ y σ en la dinámica de r(t) bajo P ∗ : dr(t) = µ(t, r(t))dt + σ(t, r(t))dW t nos conducen a un modelo ATS. La ecuación de estructura (3.5) nos lleva a ∂A ∂t

− {1 + ∂∂tB }r − µB + 12 σ2B2 = 0

y la condición de contorno (3.6) a A(T, T ) = 0 B(T, T ) = 0.

CAP ´ ITULO 3.

106


Entonces si µ(t, r(t)) y σ 2 (t, r(t)) son tambien afines, esto es µ(t, r(t)) = α(t)r + β (t) σ(t, r(t)) = (γ (t)r + δ (t))

√

resultar´ a que ∂A ∂t

− β (t)B + 12 δ (t)B2 − {1 + ∂∂tB + α(t)B − 12 γ (t)B2}r = 0

y como esto debe ocurrir para todo valor de r(t)(ω) tendremos que ∂A 1 β (t)B + δ (t)B 2 = 0 ∂t 2 ∂ B 1 1+ + α(t)B γ (t)B 2 = 0. ∂t 2

−

−

Ejercicio 3.3.1 Demuestra que salvo los modelos de Dothan y de Black-DermanToy el resto de modelos mencionados tienen una estructura de tipos af´ın.

3.3.3

El modelo de Vasicek

Vamos a ilustrar la t´ ecnica anterior con el modelo de Vasicek. Este modelo se ha utilizado bastante en Alemania y Reino Unido. dr(t) = (b por tanto α(t) =

− ar(t))dt + σdW t,

−a, β (t) = b, γ (t) = 0 y δ (t) = σ 2, de manera que ∂A ∂t

− bB + 12 σ2B2 = 0, ∂ B − aB = 0, 1+ ∂t

A(T, T ) = 0 B(T, T ) = 0



Es fácil ver que (si a = 0) B(t, T ) =

1 (1 a

− e−a(T −t) ),

ahora de (3.7) obtenemos σ2 A(t, T ) = 2

T

 t

2

B dt

T

 − b

Bdt

t

y substituyendo la expresión de B obtenemos A(t, T ) =

B(t, T )

− (T − t) (ab − 1 σ2) − σ 2 B2(t, T ),

a2

2

4a

recordemos que P (t, T ) = exp

{−(T − t)R(t, T )}

(3.7)


Corcuera

donde R(t, T ) era el tipo de interés continuo para el periodo [t, T ], se trata de un tipo promedio en el intervalo [ t, T ], entonces como

{

P (t, T ) = exp A(t, T ) resulta que R(t, T ) =

− B(t, T )r(t)},

T )r(t) , − A(t, T ) −T B(t, −t

se obtiene entonces que en nuestro modelo

b lim R(t, T ) = T →∞ a

2

− 2aσ 2

y esto es considerado como una imperfección del modelo. Ejercicio 3.3.2 Considera el modelo anterior con a > 0. a) Resuelve la ecuaci´ on diferencial estoc´ astica explicitamente y determina la distribuci´ on de r(t). b) Cuando t , la distribuci´ on de r(t) tiende a una distribuci´ on l´ımite. Mostrar que es una distribuci´ on N (b/a,σ/ 2a).

→∞

3.3.4

√

El modelo de Ho-Lee

En el modelo de Ho-Lee dr(t) = Θ(t)dt + σdW t de manera que α(t) = γ (t) = 0, β (t) = Θ(t) y δ (t) = σ 2 . Tenemos entonces las ecuaciones ∂A ∂t

2

− Θ(t)B + σ2 B 2 = 0,

A(T, T ) = 0

∂ B = 0, ∂t

B(T, T ) = 0

1+ con lo que

 −

B(t, T ) = T

t

T

A(t, T ) =

2

Θ(s)(s

t

− T )ds + σ2 (T −3 t)

3

.

Notemos que al contrario del modelo anterior no tenemos aparentemente una expresi´ on expl´ıcita en términos de los parámetros, ahora tenemos un parámetro infinito-dimensional Θ(s). Una manera de estimarlo es tratar de ajustar la esˆ T ), T tructura de tipos inicial observada P (0, 0 , con los valores teóricos. Esto es ˆ T ), T 0 P (0, T ) P (0,

{ ≈

Esto conduce a 2

≥ } ≥

2

ˆ

ˆ

T ) T ) ∂ f (0, T ) − ∂ log∂T P (0, ≈ −∂ log∂T P (0, = 2 2 ∂T

CAP ´ ITULO 3.

108


y por tanto Θ(T ) =

∂ ˆ f (0, T ) + σ 2 T ∂T

Ejercicio 3.3.3 Sean (W 1 , W 2 ,...,W n ) n movimientos Brownianos independientes y sean X i , i = 1,...,n, procesos de Ornstein-Uhlenbeck soluciones de

−aX i(t)dt + σdW i (t), i = 1,...,n.

dX i (t) = Considerar el proceso

r(t) := X 12 (t) + ... + X n2 (t). Demostrar que dr(t) = (nσ2

− 2ar(t))dt + 2σ



r(t))dW (t)

donde W es un movimiento Browniano est´ andar.

3.4

Modelos basados en los tipos a plazo

El principal inconveniente de los modelos basados en tipos instantáneos es su dificultad para capturar la estructura de los tipos observada en el instante inicial. Una manera alternativa es modelizar los tipos a plazo f (t, u) y utilizar la relación r(t) = f (t, t), éste es el enfoque de Heath-Jarrow-Morton (HJM). Recordemos que u

P (t, u) = exp

 {−

}

f (t, s)ds ,

t

de manera que los f (t, s) representan los tipos instantáneos (en s) ”anticipados” por el mercado en t. Suponamos que bajo una probabilidad neutral P ∗ ˜ t df (t, T ) = α(t, T )dt + σ(t, T )dW con

(3.8)

ˆ T ). f (0, T ) = f (0,

Vamos a tratar de deducir la evolución de P (t, u) a partir de la de f (t, T ). Si u escribimos X t = f (t, s)ds, tenemos P (t, u) = eXt y de la ecuación (3.8) t obtenemos

−



u

 −  −  −

dX t = f (t, t)dt

t

= f (t, t)dt

df (t, s)ds =

u

u

α(t, s)dtds

t u

= (f (t, t)

t

 −  − t

α(t, s)ds)dt

(

t

˜ t ds σ(t, s)dW

u

˜ t , σ(t, s)ds)dW

3.4. MODELOS BASADOS EN LOS TIPOS A PLAZO

J.M. Corcuera

donde hemos aplicado un Fubini ”estocástico”. De manera que dP (t, u) 1 = dX t + d X t P (t, u) 2

  u

= (f (t, t) u

1 + ( 2



 − t

= (f (t, t) u

(

(

˜ t σ(t, s)ds)dW

t

σ(t, s)ds)2 dt

t

 −

u

α(t, s)ds)dt

 −

u

 − t

1 α(t, s)ds + ( 2

u



σ(t, s)ds)2 )dt

t

˜ t . σ(t, s)ds)dW

t

Entonces si comparamos con lo obtenido en (3.1.1) y tenemos en cuenta que f (t, t) = r(t) resultará que u

 − t

1 α(t, s)ds + ( 2

de manera que

u



σ(t, s)ds)2 = 0

t

u

α(t, u) = (



σ(t, s)ds)σ(t, u)

t

y podemos reescribir la ecuación de evolución (3.8) como T



df (t, T ) = σ(t, T )(

˜ t , σ(t, s)ds)dt + σ(t, T )dW

t

notemos que entonces todo depende de σ(t, s), es decir de cierta volatilidad. Hemos ”eliminado” la tendencia α(t, u), como en cierta manera ocurr´ıa en el modelo de Black-Scholes. Entonces el algoritmo para el uso de un modelo HJM es 1. Especificar la elección de las volatilidades σ(t, s) T ˜ t con σ(t, s)ds)dt + σ(t, T )dW t



2. Integrar df (t, T ) = σ(t, T )( ˆ T ). inicial f (0, T ) = f (0,

3. Calcular los precios de los bonos por la formula P (t, T ) = exp

la condición

{−

T f (t, s)ds t



4. Utilizar los resultados anteriores para calcular los precios de los derivados. Ejemplo 3.4.1 Supongamos que σ(t, T ) es constante, constante que denotamos también por σ. Entonces ˜ t − t)dt + σdW

df (t, T ) = σ 2 (T de manera que

˜ t − 2t ) + σW

f (t, T ) = f ˆ(0, T ) + σ2 t(T

}.

CAP ´ ITULO 3.

110 en particular


σ 2 t2 ˆ ˜ t r(t) = f (t, t) = f (0, t) + + σ W 2

de manera que ∂ ˆ f (0, T ) 2 ˜ T =t + σ t)dt + σd W t ∂T pero este es el modelo de Ho-Lee ajustado a la estructura inicial de los tipos a plazo!.

|

dr(t) = (

Ejemplo 3.4.2 Una suposici´ on habitual consiste en suponer que los tipos a plazo con mayor madurez fluctuan menos que los de madurez m´ as corta. Para tener esto en cuenta podemos suponer por ejemplo que σ(t, T ) = σe −b(T −t) , b > 0, tendremos entonces que T



T

σ(t, s)ds =

t



e−b(s−t) ds =

t

y

− σb



e−b(T −t)



−1

,

2

df (t, T ) =

˜ t . − σb e−b(T −t)(e−b(T −t) − 1)dt + σe−b(T −t)dW

Por tanto σ 2 e−2bT 1 2b2

f (t, T ) = f (0, T ) + + σe −bT

t



˜ s , ebs dW

e2bt

 − −

σ 2 e−bT (1 b2

− ebt)

0

y en particular r(t) = f (0, t) + + σe −bt

t



σ 2 −2bt e 2b2



˜ s , ebs dW

2

− 1 − σb2 (e−bt − 1)



0

que es una generalizaci´ on del modelo de Vasicek.

3.4.1

La ecuaci´ on de Musiela

Definamos r(t, x) := f (t, t + x) y supongamos un modelo del tipo HJM bajo una probabilidad neutral, de manera que T



df (t, T ) = σ(t, T )(

t

tenemos la siguiente proposición

˜ t , σ(t, s)ds)dt + σ(t, T )dW


J.M. Corcuera

Proposici´ on 3.4.1 ∂ dr(t, x) = r(t, x) + σ0 (t, x)( ∂x

x



{

˜ t σ0 (t, s)ds dt + σ0 (t, x)dW

}

0

donde σ0 (t, x) := σ(t, t + x) Demostraci´ on. dr(t, x) = df (t, T )|T =t+x + t+x



= σ(t, t + x)(

∂ f (t, T )|T =t+x dt ∂T ˜ t σ(t, s)ds)dt + σ(t, t + x)dW

t

+

∂ r(t, x)dt ∂x

Notemos que la ecuación de Musiela es una ecuación diferencial estocástica infinito-dimensional o una ecuación en derivadas parciales estocástica.

3.4.2

Bonos con cupones y swaps

Bonos con cupones fijos El más simple de lso bonos con cupones es el bono con cupones fijados. Es un bono que en puntos intermedios proporciona unos pagos predertimados (cupones) al poseedor del bono. La descripción formal es la siguiente:

• Fijamos unos instantes, T 0, T 1,...,T n.T 0 se interpreta como el el instante de emisión del bono, mientras que T 1 ,...,T n son los instantes de pago.

• En el instante T i el propietario recibe la cantidad c i. • En T n el propietario del bono recibe además K . Es obvio que este bono puede ser replicado con una cartera con ci bonos de cero cupones con madurez T i , i = 1,..,n 1 y K bonos de cero cupones de madurez T n . De manera que su precio en cuaquier instante t < T 1 vendrá dado por

−

n

p(t) = K P (t, T n ) +



ci P (t, T i ).

i=1

A menudo los cupones se determinan en términos de algún tipo de interés r i en lugar de cantidades, de manera que por ejemplo ci = r i (T i

− T i−1)K.

CAP ´ ITULO 3.

112


Para un cupon estándar los intervalos de tiempo son equiespaciados: T i = T 0 + iδ, y r i = r, de manera que n



p(t) = K P (t, T n ) + rδ

 i=1



P (t, T i ) .

Bonos con tipos flotantes En muchos bonos con cupones el bono no se fija de antemano sino que se actualiza en cada periodo, un ejemplo es tomar ri = L(T i−1 , T i ) donde L es el LIBOR del momento. Recordemos que L(T i−1 , T i )(T i

− T i−1) = P (T i−11, T i ) − 1

de manera (que si tomamos K = 1) ci = L(T i−1 , T i )(T i

− T i−1) = P (T i−11, T i ) − 1.

Es fácil ver que podemos replicar esta cantidad vendiendo un bono (sin cupones) que madure en T i y comprando uno que madure en T i−1 :

• Con el bono que vendemos tendremos en T i un payoff −1. • Con 1el bono que compramos, tendremos 1 en T i−1 y podemos comprar 1 P (T i−1 ,T i ) bonos

que maduren en T i proporcionando un payoff P (T i−1 ,T i ) .

• El coste total es P (t, T i−1) − P (t, T i). Por tanto para cualquier instante t < T 0 el precio del bono con cupones aleatorios será n

p(t) = P (t, T n ) +

 i=1

(P (t, T i−1 )

− P (t, T i)) = P (t, T 0)!

Swaps de tipos de inter´ es. Hay muchas clases de swaps sobre tipos de interés pero todos ellos son básicamente un intercambio de pagos a un tipo fijo con pagos a un interés aleatorio. Vamos a considerar los llamados ”forwards swaps settled in arrears”. Denotemos por K el nominal y R el (”swap rate”) interés fijo. Supongamos unos instantes T i equiespaciados, en el instante T i , i 1 recibimos

≥

KδL(T i−1 , T i )

J.M. Corcuera


a cambio de KδR, de manera que el balance en T i es Kδ [L(T i−1 , T i ) valor de este flujo de dinero en t t 0 será

≤ K (P (t, T i−1 ) − P (t, T i )) − KδRP (t, T i ) = KP (t, T i−1 ) − K (1 + Rδ )P (t, T i ),

− R], el

de manera que en total n

p(t) =

 i=1

(KP (t, T i−1 )

− K (1 + Rδ )P (t, T i )) n

= KP (t, T 0 )

− KP (t, T n) − KRδ n

= KP (t, T 0 )

− K





P (t, T i )

i=1

di P (t, T i ),

i=1

−

con d i = Rδ,i = 1,..,n 1 y d n = 1 + Rδ. R se suele tomar de manera que el valor del contrato sea cero a la hora de establecerlo Si se establece en t < T 0 , R =

3.4.3

−

P (t, T 0 ) P (t, T n ) . δ ni=1 P (t, T i )



”The foward measure”

Vamos a estudiar un procedimiento que puede ser útil a la hora de calcular precios de derivados en el mercado de bonos. Se trata del uso de la llamada ”forward measure”. Sea P ∗ la probabilidad neutral. Por definición P ∗ es una probabilidad tal que ˜ T ) P (t,





0 t T

≤≤

son martingalas, cualquiera que sea T. Fijemos un tiempo T y consideremos los valores de los bonos con otra madurez T˜ > T, con referencia al bono que madura en T : ˜ P (t, T ) U T, T ˜ (t) := , P (t, T ) es decir en vez de tomar como referencia (”numeraire”) el valor de la cuenta bancaria, tomamos el bono que madura en T . Sea P T una probabilidad respecto a la cual U T, T ˜ (t) son martingalas para cualquier T˜ > T . A P T le





0 t T

≤≤

llamaremos ”forward measure”. Definamos una probabilidad en

F T , P T tal que

T

dP T e− 0 rs ds = . dP ∗ P (0, T ) Veamos que es una ”forward measure” (de hecho es la única por el teorema de representaci´ on de martingalas brownianas) .

CAP ´ ITULO 3.

114


Proposici´ on 3.4.2 Si (V t )0≤t≤T es el valor de una cartera autofinanciada, entonces su valor descontado utilizando el bono P (t, T ) como referencia (”numeraire”) es una P T -martingala. Es decir V t , P (t, T )

≤ t ≤ T ,

0

es una P T -martingala. Demostraci´ on. Definamos T

e− 0 rs ds Z t := E P ∗ ( P (0, T ) entonces

|F t),

˜ T ) P (t, . P (0, T )

Z t = Por la regla de Bayes (1.8) E P T (

V T P (T, T )

|F t) = E P ∗ (V Z T tZ T |F t) ˜T |F t ) ˜t E P ∗ (V V = =

|F t) = E P

T

(V T

˜ T ) P (t,

P (0, T )Z t V t = . P (t, T )

Corolario 3.4.1 El precio de cualquier T -payoff Y replicable viene dado por P (t, T )E P T (Y

|F t).

Demostraci´ on. Sea (V t )0≤t≤T la cartera que replica Y , entonces V T = Y y por tanto V t E P T (Y t ) = . P (t, T )

|F

Proposici´ on 3.4.3 Supongamos que ∂ E P ∗ (e− ∂T

T t

rs ds

∂ |F t) = E P ∗ ( ∂T

entonces E P T (rT



e−

|F t) = f (t, T ).

T t

rs ds

 |F

t ),

J.M. Corcuera

3.4. MODELOS MODELOS BASADO BASADOS S EN LOS TIPOS A PLAZO PLAZO

Demostraci´ on. on. 1 ∂P ( ∂P (t, T ) T ) 1 ∂ − = − E P − P ( P ∗ (e P (t, T ) T ) ∂T P ( P (t, T ) T ) ∂T

f ( f (t, T ) T ) =

1 ∂ − P ( E P P ∗ ( P (t, T ) T ) ∂T = E P P (rT |F t ). =

T



e−

T t

rs ds

 |F

t) =

T t

rs ds

|F t)

1 − E P P ∗ (rT e P ( P (t, T ) T )

T t

rs ds

|F t)

Sea (S (S t )0≤t≤T un activo estrictamente positivo y denotemos por P (S ) la probabilidad (en T T ) que convierte a

F

 V t S t

0 t T

≤≤

en martingala, donde (V ( V t )0≤t≤T es una cartera cartera autofinancia autofinanciada. da. Veamo eamoss una fórmula ormula general para el precio de una opción. Proposici´ on on 3.4.4 Sea (S ( S t )0≤t≤T un activo estrictamente positivo entonces el precio de una opci´ on de compra con madurez T T del activo S S y strike K K viene dado por Π(t Π(t; S ) = S t P (S ) (S T T

≥ K |F t) − KP ( KP (t, T ) T )P T (S T T ≥ K |F t ).

Demostraci´ on. on.

− Π(t Π(t; S ) = E P P ∗ (e

T t

rs ds

− K )+|F t) − r ds (S T = E P P ∗ (e T − K )1{S ≥K } |F t ) − r ds S T − r ds 1{S ≥K } |F t ) = E P P ∗ (e T 1{S ≥K } |F t ) − KE P P ∗ (e = S t P (S ) (S T KP (t, T ) T )P T (S T T ≥ K |F t ) − KP ( T ≥ K |F t ),

con

T t

s

T t

s

(S T T

T T

T t

T T

dP (S ) e− = dP ∗

T 0

rs ds

S 0

S T T

s

T T

.

Supongamos que S es S es otro bono que madura en T¯ > T, entonces T, entonces la opción on (de madurez T madurez T )) sobre ese bono tendrá un precio dado por ¯)P T ¯ (P ( ¯) Π(t Π(t; S ) = P ( P (t, T ) T P (T , T ) T

≥ K |F t)) − P ( P (t, T ) T )P T (P ( P (T , ¯ T ) T ) ≥ K |F t )) P (T , T ) T ) 1 P (T , ¯ T ) T ) T P ( ¯)P T ¯ ( P ( = P ( P (t, T ) T ) KP ( KP ( t, T ) T ) P ( ≤ |F − ≥ K |F t). t ¯ K P ( P (T , T ) T ) P ( P (T , T ) T )

Definamos, ¯) := F B (t,T, T ) T

P ( P (t, T ) T ) ¯) . P ( P (t, T ) T


116


En nuestro contexto de estructuras afines P (t, T ) T ) ¯ ) = P ( F B (t,T, T ) T = exp A(t, ¯ T ) T ) ¯ P ( P (t, T ) T )

{−

T ) + (B ( B (t, ¯ T ) T ) − B (t, T )) T ))rrt } − A(t, T )

y respecto a P a P ∗ dF B (t) = F B (t)(... )(...d dt + (B (B (t, ¯ T ) T ) ¯

entonces respecto P respecto P T y a P T tendremos

T ))σ σt dW t ), − B(t, T ))

¯ − B(t, T )) T ))σ σt dW tT , ¯ ) − B (t, T )) dF B−1 (t) = −F B−1 (t)(B )(B (t, T ) T T ))σ σt dW tT .

¯) dF B (t) = F B (t)(B )(B (t, T ) T

de manera que P ( P (t, T ) T ) F B (T ) T ) = exp P ( P (t, ¯ T ) T ) P ( P (t, ¯ T ) T ) F B−1 (T ) T ) = exp P ( P (t, T ) T ) con

T

 {−  { t T

t

σT¯,T (t) =

1 2

σT¯,T (s)dW sT

T

 −  −

¯ σT¯,T (s)dW sT

1 2

t T

σT2¯,T (s)ds ,

}

σT2¯,T (s)ds .

t

}

−(B(t, ¯T ) T ) − B (t, T )) T ))σ σt

entonces si σ si σt es determinista la determinista la ley de log LT condicionada a ¯ T repecto repecto de P de P y P T de varianza 2 Σt,T, ¯ T

   

Ley

Ley

log F B (T ) T )

log F B−1 (T ) T )

T

:=

 t

σT2¯,T (s)ds,

P ( P (t,T ) t,T ) 1 2 − log P ( ¯ ¯ ) + 2 Σt,T,T P (t,T ) T

Σt,T,T ¯

¯) P ( P (t,T ) T 1 2 − log P ( ¯ P (t,T ) t,T ) + 2 Σt,T,T

Σt,T,T ¯

Notemos finalmente que P (T , T ) T ) ¯ P ( Π(t Π(t; S ) = P = P ((t, ¯ T ) T )P T ( P ( P (T , ¯ T ) T )

F t es Gaussiana

 |F   |F 

¯

t

∼

N (0 N (0,, 1) bajo P bajo P T

t

∼

N (0 N (0,, 1) bajo P bajo P T

¯

P ( P (T , T ) T ) KP (t, T ) T )P T ( ≤ K 1 |F t) − KP ( ≥ K |F t) P ( P (T , T ) T ) (3.9)

KP (t, T ) T )P T (F B−1 (T ) T ) ≥ K |F t ) ≤ K 1 |F t) − KP ( ¯ = P ( P (t, ¯ T ) T )P T (log F B (T ) T ) ≤ − log K |F KP (t, T ) T )P T (log F B−1 (T ) T ) ≥ log K |F |F t) − KP ( |F t) = P ( P (t, ¯ T )Φ( T )Φ(d d+ ) − KP ( KP (t, T )Φ( T )Φ(d d − ), ¯ = P ( P (t, ¯ T ) T )P T (F B (T ) T )

con

¯

±

d =

P ( P (t,T ) T ) log KP ( KP (t,T ) t,T )

2 ± 21 Σt,T, ¯ T

Σt,T,T ¯

.

J.M. Corcuera

3.5. FORWARDS AND FUTURES FUTURES

Ejemplo 3.4.3 En el modelo de Ho-Lee

−σ(T ¯ − − T ) T ), √ − t. ¯ − − T ) Σt,T,T ¯ = σ( σ (T T ) T − σT¯,T =

Ejemplo 3.4.4 En el modelo de Vasicek σ at −aT ¯ e (e e−aT ), a σ2 2 2(T −t) Σt,T, = (1 e−2(T )(1 ¯ T 2a3

−

σT¯,T =

−

T ) 2 ) . − e−(T ¯−T )

Caps and Floors Un ”cap” es un contrato que protege de tener que pagar más as que un tipo de inter´ interés es preespecificado, ”the cap rate”, R aunque el préstamo estamo sea a interés es variable. variable. Tambi´ ambién en se puede definir el ”floor” ”flo or” que es un contrato que garantiza que el tipo de intrés es va a estar siempre por encima del ”floor rate” R aunque el préstamo esta mo sea a interés es variable. variab le. T´ ecnicamente ecnicamente un cap es una suma de ”captlets” que consisten en los siguientes contratos básicos. asicos. δ : 0 = T 0 , T 1 ,...,T n = • El intervalo [0,T] se divide en puntos equidistantes δ : T . T . T´ıpicamente 1/4 de año no o medio año. no.

• El ”cap”

funciona funciona sobre una ”cantidad ”cantidad principal principal” ” digamos K y el ”cap rate ” es R.

• El tipo de interéses flotante es por p or ejemplo el LIBOR L( L (T i−1 , T i ). caplet i se define como un contrato con payoff en T i dado por • El caplet i Kδ ( Kδ (L(T i−1 , T i ) − R)+ . Proposici´ on on 3.4.5 El valor de un ”cap” con nominal K K y ”cap rate” R es el de una cartera de 1 + Rδ + Rδ opciones opciones de venta que maduran en T i−1 , i = 1,...,n 1 sobre bonos que maduran en T i y con un precio de ejercicio 1+Rδ 1+Rδ . Notemos que Cap(t)

3.5

− Floor(t) = Swap(t). Swap(t) .

Forward orwardss a and nd Future uturess

Definici´ on on 3.5.1 Sea X X un payoff en T . T . Un contr contrato ato a plazo plazo sobre sobre X con instante de suministro T T es un contrato establecido en t < T que T que especifica un a en T por precio a plazo f plazo f ((t; T , X ) que se pagar´ T por recibir X. X. El precio f precio f ((t; T , X ) se determina de manera que el contrato en t valga cero.

CAP ´ ITULO 3.

118


Proposici´ on 3.5.1 1 f (t; T, X ) = E P ∗ (X exp P (t, T ) = E P T (X t ).

|F

T

 {−

}|F t)

rs ds

t

Definici´ on 3.5.2 Sea X un payoff en T. Un contrato de futuros sobre X e instante de suministro T es un activo financiero con las siguientes propiedades

• Existe un ”precio futuro” F (t; T, X ) sobre X en cada instante t. • En T el poseedor del contrato paga F (T ; T, X ) y recibe X. • Para un intervalo de tiempo arbitrario ( s, t] el poseedor recibe F (t; T, X ) − F (s; T, X ).

• En cada instante el precio del contrato es cero. Proposici´ on 3.5.2

|F t).

F (t; T, X ) = E P ∗ (X

Corolario 3.5.1 Los precios futuros y los ”forward” coinciden si y s´ olo si los tipos de interés son deterministas. Un modelo de Libor. En primer lugar notemos que L(t; T i−1 , T i ) =

i ) − P (t, T i−1 ) , − P (t, T δP (t, T i )

de manera que F B (t, T i−1 , T i ) =

P (t, T i−1 ) = 1 + δL(t; T i−1 , T i ) P (t, T i )

con lo que dF B (t, T i−1 , T i ) = δ dL(t; T i−1 , T i ), con lo que, respecto a P T i , y en nuestro contexto de estructura af´ın dL(t; T i−1 , T i ) = F B (t, T i−1 , T i )(B(t, T i ) B(t, T i−1 ))σt dW tT i 1 = (1 + δL(t; T i−1 , T i ))(B(t, T i ) B(t, T i−1 ))σt W tT i . δ

−

−

Entonces la estructura de los LIBOR queda determinada. Otra manera de proceder es dar un modelo para los LIBOR, pero hay que hacerlo de manera que el modelo sea consistente y libre de oportunidades de arbitraje, una manera es que implique algún modelo para los forward libre de oportunidades de arbitraje.

J.M. Corcuera

3.6. MISCELANEA

Se puede ver, por un procedimiento de inducción hacia atras (enfoque de Musiela y Rutkowski) que es posible construir un modelo LIBOR tal que dL(t; T i−1 , T i ) = L(t; T i−1 , T i )λ(t, T i−1 , T i )dW tT i , i = 1,...,n con la condiciones iniciales L(0; T i−1 , T i ) =

i ) − P (0, T i−1 ) − P (0, T δP (0, , i = 1,...,n. T i )

En particular si tomamos λ(t, T i−1 , T i ) determinista tendremos que L(t; T i−1 , T i ) es lognormal (LLM), este modelo es muy usado. Proposici´ on 3.5.3 En un modelo LLM el precio de un cap (”in arrears”) con strike K y ”tenor-structure” T i = T 0 + iδ , i = 1,...,n viene dado por n

Π(t) =

 i=1

δP (t, T i )(L(t; T i−1 , T i )Φ(di+ )

donde di± =

log

υi (t)

donde υi2 (t) =

L(t;T i−1 ,T i ) K

T i−1

 t

− K Φ(di−),

± 21 υi2(t) ,

λ2 (s, T i−1 , T i )ds.

Observaci´ on 3.5.1 Si λ2 (s, T i−1 , T i ) = σ i2 , i = 1,..,n para ciertas constantes entonces tenemos la llamada f´ ormula de Black para caps.

3.6 3.6.1

Miscelanea Black-Scholes en el caso multidimensional

El mercado consistirá en (d +1) activos financieros S t0 , S t1 ,..., S td de manera que dS t0 = S t0 r(t)dt, S 00 = 1, y d

dS ti = S ti (µi (t)dt +



σ ij (t)dW tj ), i = 1,...,d

j=1

donde W = (W 1 ,...,W d ) es un browniano d-dimensional . Por simplicidad suponemos que µ, σ y r son deterministas y cadlag. Consideraremos la filtración natural asociada a W . Una estrategia de inversión será un proceso adaptado φ = ((φ0t , φ1t ,...,φ dt ))0≤t≤T en R d+1 . El valor de la cartera en el instante t es el producto escalar d

·

V t (φ) = φt S t =

 i=0

φit S ti ,

CAP ´ ITULO 3.

120


su valor descontado es t r ds 0 s

˜t (φ) = e− V

˜t . V t (φ) = φt S

·

Supondremos que los activos pueden producir dividendos continuos (y deterministas) ((δ t1 ,...,δ td ))0≤t≤T de manera que si la estrategia es autofinanciada d

dV t (φ) =

d



φit dS ti +

i=0



φit S ti δ ti dt.

i=1

Busquemos una probabilidad bajo la cual los precios actualizados de las carteras autofinanciadas sean martingala. Sabemos que



˜t = d e− dV =

−rte−

= e− = e−

t r ds 0 s

t r ds 0 s

t r ds 0 s

t r ds 0 s



V t dt + e−

t r ds 0 s

rt (φ0t S t0

= e−

d

    

t r ds 0 s

dV t

d

φit dS ti +





φit S ti δ ti dt

i=1

d

t r ds 0 s

  −   −     

φit S ti (δ ti

φit dS ti + φit S ti δ ti dt



i=1

rt )dt +−

t 0

d

rs ds

φit dS ti

i=1

d

d

φit S ti (δ ti + µit

d

σ ij (t)d W tj +

σt−1

jk

 

(t)(δ tk + µkt

− rt)dt

k=1



d

φit S ti

˜ tj σ ij (t)dW

j=1 d

˜ tj = W tj + W

σ ij (t)dW tj

j=1

d

j=1

d

con

φit S ti

rt )dt +

d

φit S ti

i=1

d

i=1

i=1

= e−

rs ds

t r ds 0 s

V t dt + e−

d



− V t)dt + e−

i=1

t r ds 0 s

t 0

t r ds 0 s

i=0

i=1

= e−

−rte−

V t (φ) =

  σ−1

jk

(t)(δ tk + µkt

− rt)dt, j = 1,...,d

k=1

jk

Entonces por el teorema de Girsanov con θj (t) = σ −1 (t)(rt δ tk µ kt ) ˜t resulta que W es un browniano estándar d-dimensional con respecto

 

 

0 t T

≤≤

− −

a la probabilidad P ∗ :

dP ∗ = Πnj=1 exp{− Tendremos as´ı que

T

 0

θj (t)dW tj

˜T E P ∗ (V

−

1 2

|F t) = V ˜t,

T

 0

θj2 (t)dt dP.

}

J.M. Corcuera

3.6. MISCELANEA

y cualquier T -payoff X que sea replicable tendrá un precio en t dado por V t = e

t r ds 0 s

˜ T E P ∗ (X

|F t).

˜ T es de cuadrado integrable el teorema de representación de Por otro lado si X martingalas permite escribir d

˜ T E P ∗ (X

˜ t ) = E P ∗ (X T ) +

|F

t

  j=1

0

˜ j , hjs dW s

con lo que podemos tomar φit =

d

1 ˜ti S

ik

  σt−1

hkt , i = 1,...,d.

k=1

  

Observaci´ on 3.6.1 Hemos supuesto que σtij es invertible y de aqu´ı se deriva que el modelo est´ a libre de arbitraje y es completo. Para la ausencia de arbitraje solo necesitamos que exista θ(t) tal que dk=1 σ jk (t)θk (t) = δ tj + µjt r t . En

−

 

cambio para que el modelo sea completo necesitamos que σtij sea invertible. De esta manera podemos tener modelos viables donde la dimensi´ on de W sea mayor que el n´ umero de stocks pero entonces no ser´ an completos. Precio de una opci´ on de compra. Notemos primero que bajo P ∗ d

dS ti

−  

= S ti (

δ ti

rt

dt +

˜ j ), i = 1,...,d, σtij dW t

j=1



i

con lo que S ti e−(rt −δt )t son martingalas bajo P ∗ : dS ti e−

t 0 (rs

−δsi )ds = e −

t 0 (rs

−δsi )ds

d

=



S ti rt

δ ti dt + dS ti

−  − 

˜ tj . σtij S ti dW



j=1

Entonces C t := E P ∗



  −  F { }  F  −

i (S T

exp

K )+

t

T rs ds t

bajo P ∗ , y condicionando a i log S T

−

log S ti ∼

T

N (

(rs

t

T

= exp

 {

δ si ds

}E P ∗

t



i (S T

− K )+ |F t T exp{− t (rs − δ si )ds}



t,

δ si )ds

−

1 2

T d

T d

        t

j=1

2 σsij

ds,

t

j=1

σsij

2

ds).



,

CAP ´ ITULO 3.

122


Por tanto T

C t = exp

 { t

δ si ds

}

con log d± =



S ti Φ(d+ )

S ti K

+



T

− K exp

 {

− δ si )ds}Φ(d−)

(rs

t

  − ±          T t

T t

d j=1

1 2

δ si

rs

d j=1

σsij

2

σsij

2

,

ds .

ds

Si volvemos al caso d = 1, a un modelo de Black-Scholes con tipo de interés r y tasa de dividendos constante δ , tenemos la siguiente fórmula para el precio de una opción de compra, con strike K , de un stock que genera dividendos. C t = S t e−δ(T −t) Φ(d+ ) con d± =

log

S t K

+ (r σ

Opciones sobre divisas.

− Ke −r(T −t) Φ(d−), 1 2 2 σ )(T

 − ± − δ

(T

t)

− t) .

Un divisa se puede pensar como un tipo de stock cuyo valor por unidad en t, digamos X t , var´ıa de manera aleatoria y que genera unos intereses (o dividendos) al tipo foráneo, digamos r f . De esta manera, si suponemos un modelo de BlackScholes para X y tipo de interés (doméstico) rd , el valor de una opció n de compra con strike K se obtendrá por la fórmula anterior con δ = r f y r = r d . Observaci´ on 3.6.2 Los razonamientos anteriores se pueden extender al caso en que µ, r y δ sean procesos adaptados, cadlag y tales que Πnj=1 exp

t

 {− 0

θj (s)dW sj

−

1 2

t

 0

θj2 (s)ds , 0

} ≤ t ≤ T ,

sea una martingala. Tambi´ en al caso en que σ sea adaptada e invertible para todo ω y t, pero ya no tendremos formulas del ”tipo Black-Scholes” ya que los valores ”descontados” de los stocks ya no ser´ an log-normales . Stock options Supongamos que los bonos tienen una volatilidad σB (t, T ), d-dimensional, determinista y cadlag, esto es, que bajo la probabilidad neutral P ∗

·

dP (t, T ) = P (t, T )(...dt + σB (t, T ) dW t ) y que tenemos un stock S tal que bajo P ∗

·

dS t = S t (rt dt + σS (t) dW t ),

J.M. Corcuera

3.6. MISCELANEA



−



donde σS (t) σB (t, T ) > 0, σS (t) determinista y cadlag. Entonces el precio de una opción de compra con strike K viene dado por

− KP (t, T )Φ(d−),

C t = S t Φ(d+ ) con d± = donde Σ2t

S t log KP (t,T )

Σt

T

=

 

σS (u)

t

± 21 Σ2t

(3.10)

,

− σB (u, T )2 du.

En efecto por la fórmula general que vimos Π(t; S ) = S t P (S ) (S T

≥ K |F t) − KP (t, T )P T (S T ≥ K |F t),

bajo P ∗ P (t, T ) P (0, T ) F S (t) := = exp S t S 0

t

 { 0

y bajo P (S )

||

t

..du +

dF S (t) = σS (u)



(σS (u)

0

− σB (u, T )) · dW u},

− σB (u, T ))||dW u(S ),

donde W (S ) es un browniano. Análogamente bajo P T F B (t) := dF B (t) =

S t P (t, T )

−||σS (u) − σB (u, T ))||dW uT ,

con W T browniano bajo P T . Y siguiendo los mismos cálculos que en (3.9) obtenemos (3.10). Volatilidad estoc´ astica Supongamos que bajo P ∗ dS t = S t (rt dt + σS (W t2 , t)dW t1 ) donde W t1 y W t2 son dos brownianos estándar independientes. Entonces el precio de una opción de compra con strike K viene dado por E (S t Φ(d+ ) con d± = donde Σ2t

T

=

  t

− KP (t, T )Φ(d−)|F t),

S t log KP (t,T )

σS (W u2 , u)

Σt

± 21 Σ2t

,

− σB (W u2, u , T ) 2 du.



CAP ´ ITULO 3.

124


Estamos suponiendo que dP (t, T ) = P (t, T )(...dt + σB (W t2 , t , T )dW t1 ). Si σ B (W u2 , u , T ) = 0 obtenemos la fórmula de Hull-White. t Si suponemos una covarianza 0 ρ s ds entre W t1 y W t2 obtendr´ıamos



E (S t ξ t Φ(d+ ) con

− KP (t, T )Φ(d−)|F t),

S t ξt log KP (t,T ) d± = ˆt Σ

donde

and

T

  −  {

ˆ 2t = Σ

( 1

t

T

ξ t = exp

t

± 21 Σˆ 2t

ρ2u σS (W u2 , u)

ρu σS (W u2 , u)dW u2

−

,

− σB (W u2, u , T ))2du 1 2

T

 t

2 ρ2u σS (W u2 , u)du .

}

M´ etodos de Fourier para el c´ alculo de precios. Definimos la transformada de Fourier de f por (Ff ) (v) =



eixv f (x)dx.

R

Si f es integrable entonces siempre existe. Su inversa, si f es integrable, viene dada, para casi todo punto, por 1 F−1 f (v) =

 

2π



e−ixv f (x)dx.

R

Supongamos que el modelo es, bajo P ∗ , de la forma S t = e rt+Xt , donde (X t ) es un proceso con incrementos independientes y homog´ eneos y denk sidad f Xt (x). El precio de un call con strike e vendrá dado por C (k) = e −rT E ((erT +Xt

− ek )+).

Entonces si consideramos la función zT (k) = e−rT E ((erT +Xt

− ek )+) − (1 − ek−rT )+,

resulta que

− −

ϕX (v i) 1 ς T (v) := (FzT ) (v) = e ivrT T , iv(iv + 1)

J.M. Corcuera

3.6. MISCELANEA

donde ϕXT es la función caracter´ıstica de X T . C (k) se puede obtener ahora invirtiendo ς T (v). En efecto zT (k) = e −rT



f XT (x)(erT +x

− ek )(1{rT +x>k} − 1{rT>k})dx.

R

Entonces si aplicamos Fubini a ς T (v) =



eikv zT (k)dk

R

= e−rT

   − −    −     −      − − − eikv

f XT (x)(erT +x

R

R

rT +x

= e−rT

f XT (x)

rT +x

f XT (x) e

R

= eirTv

f XT (x)

R

irTv

=

e

eikv (erT +x

1{rT>k} )dx dk

ek )dk dx

rT

R

= e−rT

ek )(1{rT +x>k}

ex(iv+1) iv

eikv iv ex

rT +x

ek(iv+1) iv + 1

rT

dx

eirTv

rT +x

) dx

rT

f XT (x)

R

ex(iv+1) 1 dx iv + 1

irTv

(ϕXT (v

e − i) − 1) − iv + (ϕX (v − i) − 1) 1

iv eirTv = (ϕXT (v iv(iv + 1)

T

− i) − 1).

El siguiente paso es invertir ς T (v), ya que se supone que conocemos ϕXT , con lo que recuperamos z T (k). Para hacer este último paso se suele recurrir a métodos numéricos. Si queremos calcular la transformada de Fourier inversa de f (x) podemos hacer la aproximación



e−iux f (x)dx ≈

A/2



N −1 A − iux e f (x)dx ≈ wk f (xk )e−iuxk ,

N

−A/2

R

−



k=0

−

donde xk = A/2 + k∆, con ∆ = A/(N 1), wk depende del tipo de aproximación, por ejemplo con la aproximación trapezoidal w0 = wN −1 = 1/2 y el retso de pesos 1. Si ahora tomamos u = u n = 2πn N ∆ tendremos que N −1 A iun A/2 − 1 F (f )(un ) ≈ e wk f (xk )e−2πink/N .

N



k=0

Entonces existe un algoritmo ”fast Fourier transform” (FFT) para calcular de manera muy rápida N 1

−



k=0

gk e−2πink/N , n = 0, 1,...,N

− 1,

126

CAP ´ ITULO 3.


que sólo require O(N log N ) operaciones. Notemos que el paso en la red de 2π 2π puntos un viene dado por d = N ∆ , de manera que d∆ = N de manera que si queremos d y ∆ peque˜ nos tendremos que aumentar N de manera importante. Otra limitació n es que en el algoritmo FFT la red de puntos tiene que ser uniforme y el número de puntos una potencia de 2 (N = 2 k ).

Introduccion a Las Finanzas Cuantitativas

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