UNIVERIHOAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE DE MEDELLIN FACULTAD DE MINAS Departamento de Ingeniería Civil
INTRODUCCION AL CALCULO TENSORIAL
Carlos González Rodríguez Profesor Asistente
•
Medellín,Agosto de 1978
UNAL-Medellín
~~
6 4000 00055964 4
INDICE
l'
II
' d.:l. SES RECIPROCAS
1 3
III
COORDENADAS CURVILINEAS
7
IV
TRANSFORMACION DE CANTIDADES
16
VECTORES CONTRAVARIANTES y VECTORES COVARIANTES
20
TENSORES
36
VII
ALGEBRA TENSORIAL
42
VIII
TENSOR METRICO
51
GEODESICAS y LOS SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL
67 .
DIFERENCIACION DE LAS COMPONENTES TENSORIALES
85
XI
TENSORES RELATIVOS
99
XII
TENSORES CARTESIANOS
118
BIB LIOG RAFIA
138
v \;1
IX
x
l
, BREVE NOTA HISTORIA
,
i
-/66'69
CAPITULO 1 BREVE NOTA HISTORICA
El desarrollo del cálculo tensorial (también llamado análisis multilineal) se haya ligado al desarrollo de la geometría diferencial; el trabajo de Karl F. Gauss (17771855) sobre la geometría intrínseca de las superficies curvas bidimensionales fué generalizado por Bernhard Riemann(182 6-1866) quien desarrolló la geometría ir:.trínseca para superficies no euclideanas de n-dimensiones (manifold s) ; en un manifold . n~imensional cada punto está definido por n coordenadas y en el caso n~ tenemos una superficie no euclideana que es el único tipo de manifold que 'podemos captar intuitivamente. En 1827 Gauss mostró que las propiedades métricas de una superficie se pueden expresar por medio de los coeficientes ] (ir j=l, 2 ) t de la siguiente forma diferencial: TI
TI
3
~ ~%I ~
d U;a. d V,
+
J2.l. d. Ul.. duz.
I
-..s¿ d
siendo el cuadrado de la distancia entre dos puntos de la superficie infinitamente cercanos y d (J, I d th son los diferenciales de las coordenadas intrínsecas de la superficie o coordenadas gaussianas. Riemann generalizó en 1854 esta fórmula para" superficies" de n dimensiones así:
-
J
(i, j = 1 ,2 ...... n)
J
Por medio de los coeficientes LJ' quedan determinadas todas las propiedades métric;::as en el manifold, por ejemplo, longitud de curvas, ángulo entre curvas, "areas" sobre manifold¡ etc. Después de 1868 se despierta el interés de los matemáticos por algunos de los puntos tocados por Riemann en sus trabajos; Christoffel y Lipzchitz introdujeron el copcepto de diferenciación covariante, Beltrami y Kronecker e s tudiaron la curvatura de varios espacios y superficies n-dimensionales. Jordan generalizó las fórmulas de Serret-Frenet para curvas en el espacio n-dimensional.
•
Todos estos trabajos abrieron el camino a la gran generalización que hizo el geómétra italiano G. Ricci (1853-1925) a quien se considera fundador del cálculo tens~)fial; Ricci se apoyó en la métrica desarrollada por Riemann y en la diferenCiación covariante de ChristofÍel ; el profesor Tullio Levi-Civita, gran impulsador del cálculo de te nsores afirmó: "el desarrollo de los tensores como una rama sistemática de las matemáticas fué un proceso posterior I el crédito del cual se debe a Ricci quien durante los diez afias desde 1887 a 1896 elaboró la teoría y realizó la elegante y compre r:.siva notación que permite adaptarla fácilmente a una gran
2
variedad de temas de análisis
I
geometría y física".
El éxito de Ricci se debió a la gran intuición que tuvo cuando percibió que las propiedades de la geometría riemanianna son propiedades de ciertos ve ctores y tensores covariantes y contravariantes; esto le permitió simplificar de un modo notable todos los estudios anteriores a la vez que abrió horizontes para nue• • • vas lnveStlgaclones. El cálculo de Ricci despertó el interés general luego de que A. Einstein hizo uso de él en su formulación de la teoría general de la relatividad (1913-1916) ; en su teoría, Einstein necesitó trabajar con un espacio riemanniano de cuatro dimensiones y encontró que toda la herramienta matemática necesaria ya había sido elaborada por Ricci. Finalmente, en 1917 Gerhard Hessenberg en su obra sobre la fundamentación vectorial de la geometría diferencial presenta un nuevo punto de vista sobre los tensores ; según Hessenberg un tensor puede ser mirado como una forma multilineal homogenea dada en vectores base y que es invariante bajo transformación de coordenadas; el tensor se compone así de un conjunto de escalares ( componentes del tensor) cada uno de ellos adscrito a un grupo de vectores base; según esta presentación, un vector es un tensor de orden uno porque es una forma lineal homogénea de vectores base esto es: -;--.
siendo 1.."
...... =. A, A
.., l~
il
-
~
+ Al t.'~+ A3(:J
~
J
(..3
base vectorial en tres dimensiones.
Las componentes del tensor cambian al cambiar de sistema coordenado pero el tensor mismo permanece igual, es un invariante. En nuestra presentación trataremos algunos temas desde este punto de vista que desarrolló Hessenberg.
I
CAPITULO II BASES RECIPROCAS
A-
VECTORES BASE: En el espacio tridimensional cualquier conjunto de tres vectores no coplanares puede servir de base a todos los vectores de ese espacio, es decir, todo vector A puede expresarse como una combinación lineal de esos tres ya que siempre es posible construir un paralepípedo tal que una de sus diagonales tenga la magnitud y dirección de A y que los tres lados partiendo de uno de los extremos de esa diagonal tengan respec'tivamente la dirección de los vectores base; -..,
lla.>
a'i ' a:2, "a3 : vectores base
Q.,
B-
BASES RECIPROCAS: S I·....,. al, -'"' aZ' -. a3 represen t an una b ase y se definen otros tres vectores ~l,
~2 ,a 3 de la siguiente manera: 2-1
-d -=
~
......,
Q.'1.. X. Q.').
•
J
le\; Ci"~ a')1
- -Ch .-.., con: [ ct, Q:\ )
= a.,. ( a.- '2)C a.')) ::
a. -a. LJ'1 ::.
.,.....,. ( o.~"
I lt
- , "'1. a."l ~ entonces las dos bases ...;.,. a, -a~ - al ya:. Cl. 1 se llaman recIprocas; como se puede apreciar de la definición los vectores a' 0..1. 0...' son respectivame ;-¡ ::<:-' • • perpendiculares a los planos determinados por los pares de vectores (¿r; Q;) I
(a~, a:: ), (a:,a't).
'f
~
---.
-.
J
4
Se deduce entonces lo siguiente:
I
2-2
; análogamente:
; también:
o. ; análogamente:
~ -:::l o: . (...C.,'=' C)..'.
-3
-"'7
Q.
'&.
:.
-
a. a._Q3 -
Resumiendo los resultados anteriores: las dos bases anteriormente definidas son tales que: --"'.........
L-
ajO :.
2 -3) 0.'. $j' ;aqui i y j pueden tomar los valore s 1,2 de Kronecker que vale 1 y si i= j Y vale O para i j.
*
• (jt. 13; ()
es el delta
-
~¡~
Como·a _Clj = O para i::f- j se aprecia que cada aJ es perpendicular- a los dos vec• .-., - - , -'lo , tares (,{t (i 1- j) por lo tanto a. Q.1. a'3 son respectivamente perpendiculares a los planos determinados por los pares de vectores ( Cl\ a~ y por lo tanto son proporcionales a (a..'l.¡( a.~ ) J (c!lltlil.) y en consecuencia: ~
a.? ), ( a', ) , ca.:\- a' ),
( a', a't ) -'7
al
=
V 1\\
con Kl, K2
a.
-3
-"¿
1(
Cl
)
K3; escalares; si realizamos el producto al
I
2-2) nos queda: Kl
"'3) -' > , (a 'IC a: . a =.... 1..
I
análogamente K2 = K3 =
-
fI
\
K I = [O: o.~ ~
I
al = 1
J"
la ecuación
,
•
; o sea que los vectores como:
se pueden expresar en función de los 2-4)
,
,
comparando 2-1) Y 2-3) se aprecia que las dos bases se comportan recíprocamente cuando se expresa una en función de la otra. Una relación importante entre las bases recíprocas es la de que sus correspondientes triples productos mixtos son inversos es decir:
[Ci'
al. 0.. 1 . [a, a . . 3
a3l
==
l. c ..... ,
;esto lo demostramos así:
5
2 -5)
a.
l •
(a\ ~ ) _ (i4)( (1-;). ti 0.-; x al)>( ( a; lii)] )t
-
.
[ al 0:-1.
0:3] 3
; el triple producto del nume-
rador lo expandimos utilizando la regla:
ti' (b" e) :: (u. L ) b Ir
(i'. ¡;- ) F
==!:;7
(cr;. Xa?'3 ). F!h 0.'1) (el.
lt
lt
.:: (a\ )( Q;) .[(a';x al). ..-,
::
[
Q,
_
--'7
a.l.. Q.~J
,
u1.1 etl ~ [d":. (0:"7.)( (3) 1[ cb.. ( a3
le
QI Y)
llevando a 2-4 resulta: -
•
a'"
_
(a"l.}I.
-"1.,. \
Q'" )
. -,~1"""3 base o. o.. a
=-
[
al al. ct}' ~ _
ta, Q"t.
d .-
a3j~-
I
-
' - - --i [ d, Cl.l. Q.3J
Si-...,los vectores son triplemente ortogonales entonces como el vector J - ? 7.. -;::=t l a.1 (de la base recíproca al Q'L Q3 ) debe ser ortogonal a a. y u... coincide en dirección con de la misma manera coincide en dirección con 0...3. y Q"3 con ct~ por lo tanto en este caso las dos bases coinciden por lo menos en cuanto a que sus correspondientes vectores tienen igual dirección y senl tido; si además de ser ortogonal Q..3 está formada por vectores unitarios ~ - . -.... ,,,. --""" 1 --> --.. • \ entonces los al Q.l..Q3 tambien seran unitarios ya que a.. a. = l Y como la. . :. I J
;
-......
___
--"
al..
al ;
a -a1.
:..-"'7
\
a: \.=
I
y
\
Q'L \ :: \ Q3 \ = I
Veamos un ejemplo ilustrativo sobre bases recíprocas: tenemos en el espacio bidimensional dos vectores base unitarios y eh dirigidos a lo largo de los ejes Xl I XZ (después encontraremos justificado el que los vectores bases lleven subíndices y los ejes correspondientes superíndices) ;construyamos la base "recíproca el I ,
al
a'"
.
•
•
'.
~-.-~----~------------------ Xl
-
,
"
•
). •
•
•
X,
6
De 2-1) vemos que QI debe ser normal a ~ (o sea estar sobre Xl' que forma ángulo recto con X2 ) y 1. no.!:,.mal a (osea es tar sobre X2 que forma ángulo recto con Xl )¡ del extremo de QI y bajemos a los ejes Xl X2 líneas que sean perpendiculares a Xl X2; vamos a demos trar que los vectores así obtenidos son los vectores ( recíprocos de ( a.)i~ ) ; para esto debemos -... • -e: demostrar quE2,. estos vectores satisfacen 2-3) o sea al. QJ' == J.j , tenemos: al = 10. Sentr; pero en el triángulo corre spondiente a tenemos Sen fT .::. L =;7 rá.'l= ltr.lhen-9- =-~
a
,
al
a7..
a, a1. )
1\ \a.: \ Jet. ra'\
a·.
.
a. al ,
1-
-al. -QI :: \-LQ, 10,11
-.a . al..---
j~-&:::.
I
porque
.5.:.M e-
uni taria'; ademá s
=
o
porque
.....,.
....,.
VI \ V"" 4 A ...L-;'\
.......
---
. a.
es
•
De la misma manera se demuestra Q'l., Ql.. =.t. Y a1..,a. = O por lo tanto se cum""'"' pIe: aj ~; o sea si los vectores (O"Cl1.. ) son unitarios su base recíproca está formada por ( "O.! ;a.') obtenidos como se indicó arriba.
al',
CAPITULO III
COORDENADAS CURVILINEAS
En física existe un gran número de problemas que se pueden resolver mas fácilmente si se trabaja con coordenadas apropiadas al problema que de resolver se trata, es decir, las coordenadas cartesianas no son siempre las mas convenientes para todo tipo de problema; así por ejemplo si estudiamos el flujo de calor a través de una esfera, evidentemente lo más práctico es trabajar con coordenadas esféricas; si estamos calculando la longitud de un arco de circunferencia lo mas conveniente es trabajar con coordenadas polares ( es decir, cilíndricas en un plano) ya que en e ste caso SCI. \,:;. f8-7<. d. -e- ~ 7< (ti-b - e-A..) lo cual
,
)-0;0.
es mas simple que si lo hacemos con coordenadas cartesianas:
con
id.
~ -.x.
(R."L_;;(... 'l.. )
- '/,
d.:t..
En vista de lo anterior surge la necesidad de estudiar las coordenadas curvilíneas .J en un espacio dado instalemos un sistema coordenado cartesiano Yi ó sea cada punto del espacio queda determinado en este sistema por una terna de valores ( d', Jl, 13 ); definamos ahora tres funciones ( :x,. XL, ~J ) tales que: 3-1)
X,:::
XI
l J',11.,13 )
Xt= :lo¿ (:h.J'L,Jl) l' }.= X") ('J, ,lt, J:1) Esas funciones las vamos a suponer monovaluadas y derivables en todos los puntos del espacio tomado; si en 3-1) hacemos x,:: el' ::x.2. = (~ ,..:t.:. -::: C3 , las ecuaciones quedan: 3-2)
:t, ( J., 1t.. , ~"3) = el Xl. ( J, , )1.. , j ~ ) ":. (lo
::(.~ (J •. 'j ~ . ') ~ ') ::. ~"}
Vemos que en cada una de esas tres ecuaciones se puede despejar una de las ~ en función de las otras dos t por ejemplo jI = f, ( c.. 1 I J .... , 'J, ) ó sea que cada una de las ecuaciones 3-2) representa una s1..~perficie porque la coordenada en una dirección ( ';fl por ejemplo) es función de los puntos del plano normal a esa dirección (plano Y2 Y3 por ejemplo); este es el caso por ejemplo de la ecuación ~::: -t" V7P"_x1.._J·L. que nos represente. una semiesfera de radio R y centrada. en el origen: a cada punto ( x , y) del plano X Y corresponde un punto de coordenadas ( X. , J I t ) perteneciente a esa semiesfera y el dado precisamente por 1<.1.. -xl..- j'Z" .
1.
z.
V
8
Si en la ecuación 1\ ( 'f '. '11. J, ) ::. L, vamos cambiando el valor de la cons tante e, obtenemos una familia de superficies (por ejemplo si en 2::. V'RZ-_:;;Ll._'jL hacemos variar R obtenemos una familia de superEicies esféricas concéntricas) y lo mismo se aplica a X z. ('1.)'1. '1~)-:'(l.y x~('f,lz.'J'!))=-ó; de este modo el espacio considerado se puede pensar como lleno completamente con tres familias de superficies y en cada punto ( ~ I j~. ~") ) de este espacio se cortan tres superficies, p:-ecis amente aquellas para las cuales se cumple:
r
'J =- '1,
(y \, ::t 2. • Y ~ )";
~,dado
Como vemos, para poder garantizar la intersección de tres superficies en cada punto del espacio es necesario que en las ecuaciones 3-2) se puedan despejar las j \' en función de las ::i.,.' de modo que para cada terna ( X" xt. J X ~ ) exista una y solo una terna ( ~" :J't. ~ 3 ); la condición algebráica que nos ganntiza esto la obtenemos si en 3-1) expresamos las diferenciales totales de en función de los diferenciales totales de J',', es decir:
x....
3-3)
d-:i.,
=
d -::1.1...
=
r7
~, d :I:, d j, ~
d .x, d)1. +
4-
'J,
2J'h,.
.;;::ú d 'J I
~ j,
do
d 'f~
'i I
...
~ .:i 3.
é>:f-z.
el J3
aXI
-
d'$~
;) X1.. d 1-r +
+
dj¡
a :f.3_
(
d..1 + '1.
;; Xl.• d
.;):13
'13
a x,. el J'3 d
J'}
Se demuestra en el análisis matemático avanzado que la condición necesaria y suficiente para que exista una correspondencia buinÍvoca entre los ::fJ y los JL es la de que no se anule el determinante de los coeficientes del sistema de ecuaciones 3-3); este determinante se llama el jacobiano de la transformación que nos convierte a los JI' en los .:(' a partir de las ecuaciones 3-1) I es decir se debe cumplir: •
,
.I.
---
é)Xj.
dj,
;;; -:L)
d
'1,
:ü.
C> 'j
a,:t lo
'&.
d '13
.a• X3 .
2> X-J, d 13
(3
.;) '1 ~
=1
O
•
9
Volveremos sobre el jacobiano en el capítulo XI sobre tensores relativos. Si en un punto del espacio tenemos tres superficies intersectadas: :::t:.,:: x, C1.1"l.J'});:, (1.) .:x."I. := X1 ['1,,'r"L . J"3 ) =- C"I., X ~:: ;1C') ( 1., '1 ... , '13) ;:. e 3 sabemos que ellas se cortarán dos a dos según una curva; así: la intersección de X 1.. :;:. c.."lo y 1} L.., la obtenemos despejando d~' en-función de XI' -!'7 3-5)
J
1
=-
1,
Jl.; ~1. J 3:: J 3
(X"
(2.
J
C:J
(X." (1., ("?» "j. \ J Ú, ("!J)
(
J
Recordando que los l' se refieren a coordenadas cartesianas del espacio podemos observar en las anteriores ecua~iones que para el punto en cuestión ( o sea siendo L"" c.") constantes) los valores de J" '$'1., j., son funciones de un solo parámetro ( X, )} por lo tanto las ecuaciones 3-5 son las ecuaciones parámétricas de la curva que resulta de la intersección de las superficies )( " ~ -x: 1. ( JI, 17. )-) ~ '") -::.. L z. Y :x ~ ;: ::;( , t.. 'f" 'j '&., '1 3) =- C"3 ; e s ta curva la llamamos la curva Xl; análogamente podemos decir que la intersección de las superficies Xl = el y X3 = e3 es una curva X2 y la intersección de Xl = el y X2 = e 2 es la curva X3 I en el gráfico siguiente podemos apreciar estas curvas Xl' X2' X3 :
•
•
•
•
•
-
• •
•
.• ::.::::;::•
•
•
-rl
t ,
r-•
(X,;:(,¡
11. 1 J
( j' J J
j,
superficie
XI -- el
superflcie X<.:=
(,
,•
•
•
:t2 =J
:
,
-::
-- •
1I111/
..•••••• . . ~
superficie
X3 .=
(3 ••
¿~),)(3 )
•
- h) -~
10 llamemos ~ al radio vector que nos localiza el punto l' con respecto al origen de coordenadas del sistema cartesiano ( 'j" J 'Z., ~ 3 . ) ; tenemos entonces:
ya que
rL'
hemos d_cho que de 3-1) se pueden despejar las en función de las J::(.' . Ahora, si desplazamos a y una distancia infinitesimal a lo largo de la curva Xl se-f0s convierte en y+- el.::; (aquí se mant~nen x2 y x3 constantes) siendo d y un vector tangente a Xl ; la derivada ay representa entonces un vector é):;(1
_
tangente ~ Xl Y nos mide precisamente el cambio de Y a lo largo de Xl; este vector dY en general no tiene por qué ser unitario; lo llamaremos ;análoga, d:t.1
a:
mente
-
_
:=-
ay
a,
y
son vectores tangentes a las curvas
a.3::::
~.:x'L
Xz
y
X3 respectivamente.
•
Si tenemos una función escalar .")(, ::...;(, ( JI )1. '53) se llama gradiente de..:x::1 a ... d:X - e t '. 7? la expresión: eX, L. + -' L'., + é) .),[, ___ l.'.,. _ '\7", con t.,' vector unitario en ;aj, ;;) 'i'l. 40 ;;¡'13 ~ - V ... I )
Si A ~ representa el parámetro longitud de· arco a lo largo de la curva Xz entonces ;;;7 no solo es un vector tangente a la curva coordenada X2 sino que tam-
-
dA~
.
bién es unitario ya que en el límite (cuando AY y 6 h""L son infinitesimales) la magnitud de 6,':; tiende a la de .6.-1 2 ,este vector unitario lo llamamos --.
- -- ay 1: ~A'1. ~
Y
.
-.
_
-z:
Pero .= '1, i, + 1t T J"">¡) L:J (con ':t,. '1 'L, j"3 representando puntos de la curva X2 I para lo cual se deben cumplir las ecuaciones del tipo 3-5, es decir variando sólo una de las tres variables ::L." X'Z. J::L, en este caso sole X'L) Tenemos entonces:
-..
-t: l.. ::.
é)
-' •
'1..l L,
d~2.
.¡.
,
a 'jL
l..,. +-
d--1'1.
,
;) 'h... L.3 d-1z
• •
vector unitario
tangente a la curva X2 . Ahora:
,
-
VXI .T?:=
,
-
;::; XI,
d J'
.. +
é) '11 ,9/')2.
5) .::L,_ d :!z .;.. d .:L. -
a'f7.
8.,.6'1.
:;)'j-;)
,
~ '"1 3 Gl...02.
-
d
X,.
d /n..
Hemos demostrado pues que para cualquier punto P el gradiente de la función X,; .:tI (J,,'!<.,13) multiplicado por el vec:tor unitario en la direcCión de la curva X. (o s e a XI:;' c..r4_ J X3::' dL ) es igual a la derivada de esa función X'::..:X, ( '/, '$z. '13) con respecto al arco A 1.. ; por lo tanto si a la función X, ~ X, [1./ .; :., \ la tomamos constante ( :x I =- (, ) entonces -
JI, J L, J»
11
d ~ '.
d~z.
=
O Y en este caso: 3-6)
-...... \l :X. , • -t-
A.,
=O es decir I que si
.x, =- <:'1 en-
-
tonces el vector gradiente de XI es normal a la tangente -t-~ de la curva X 2. Análogamente: ?J:;Y a '11 + a xJ é} '1 3. .¡.. a.:x.J a 'b, = d.. XI. -:;t. 1 • -F; ::
Q
aJ'
~'j¡.
.9...13
éJ/5:)
;>~')
é)"j}
•
dA3
o sea el g radiente de XI multiplicado e sca larmen te por el vector unitario tangente a la curva X3 es igual a la derivada de XI con respecto a 'la longitud a lo largo de X3 ( /.)'3); si X, = e 1 entonces d ';;::"', =O Y por lo tanto para este _ _ dA3 caso "'1:$.1. -t:-~ =0: 3-7; vemos así que el gradiente de XI es normal a cuando XI es constante. •
r:.;
De 3-6 Y '3-7 se concluye que cuardo XI =cte ( o sea para la superficie X ,:.)L,{t,'j:'h):'(,,) el gradiente de XI es normal a la tangente R a la curva Xz y a la tangente n a la curva X3 y co~ .~ Ll.. Y -t"~ están sobre la superficie ?
----
----
-
'V-:/.3
es normal a la superficie:i.
3
=
e3
Podernos demostrar ahora que los vectores: Q. , ;:.
' °3 Q..
,
~-- CJ, - -
y
• forman dos bases recíprocas. Tenemos:
--.
y;. '! I
--. l
I
-=--
~ '$1. L'l. ~ )3
----
¿ ::::-'/ do::.
y:
entonces:
(
~'1"Z..
ax! +-
d.::tl
8':h
a:j-~ a~1
el XI dx,
=-
1
12 .t- ;;)'11, :2;;(,2 4- ~j:J
? ~I é> ~ 'l.
e ~;
?
X1
é)
~
':Í3
,
análogamente: --o
a~.
--?
(Jx.. ::. o)
3-7 a)
y
Vemos pues que se cumple la ecuación 2-3) que nos define las bases recíprocas: ~ = 1 para i = j , = O para i ~ j) . '-(. L. V A.J... a t J -;:;.
V' ....
(
.'
(
--:>
-?
Si los . Ch forman una triada ortogonal entonces como ya sabemos, los V Xt: coinciden con los a.l' o sea las dos bases coinciden ( esta coincidencia es por lo menos de sus direcciones y si los son unitarios también coinciden en magnitud). ~
ar.
Para terminar es te capítulo apliquemos lo anterior a un tipo simple de coordenadas curvilíneas, las cilíndricas; en este caso se cumple: '-j I
~
;:..
~
Y
1.. ;::: Y
4¡;10..
.s,..t..v¡ e-
\)3;:: ~ &
=-
....,
X"¡,'J "\:;:::
siendo ( '1" :f . . , ':J") ) coordenadas cartesianas y 1 J gún la nomenclatura con que hemos venido trabajando ; e s decir: 3- 8) , ..r _ ;:,L I
J'2,-::' .xl Los vectores
----?
-
0-., C1l.,
--':>
a..:J
C} ~j~
dX,
•
(.
.5~
::r. '2.
)
'53
~ ~3
son: -'9
4-
•
--'>
•
d ':Í~ (, .f _d1 1, (3 -C7 x.. eXI
'"
se-
--
,
~
.":>
::t...."l (, 1- ,)-<,v, Z2.. Lt
I
- -
Para encontrar '({x" 3- 8) es decir:
---,
-V Xl., í/ X3
necesitamos la transformación inversa de
13
Ahora:
-..
-
a:L.
'VX --
•
I
é)
-- -
1,
-
ax,
+-
l.,
•
é)
"J,
VJ.~ +!:
•
'jt
-
L,• ....
:)~. ~ X'l..
V
a X,
r
(1
--.. • l.:a
dj~
::fa. VJ.1.. + ~h1. _
~ ~ +:(~ St.-II"':4
-.. •
t
1
-
i, ..
-:f.,"Ca '1.:t.
Análogamente obtenemos:
-
'íj Xl.
-
-
:.
'íf- ::(. J
tIz.
y
entonces
--. 'V:x. L
-
l..
+-
t!C 5
-. •
..:z:k. L z
:x,
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_
=-
Q. 3
•
- (3
-1
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~,
•
-
.-
Como vemos, re sulta: I
..(N).:x.l.
-...
"Ix)
a.-=--
-
j
_
'({.1.,3::'
¿
3
tienen igual dirección pero no igual módulo ya que como
'íj Xl. ,.
\
~1.
\
j: 1
--a,
---.
~-,.
Las dos bases resultan así iguales en sus vectores ( CL3 ). Y ( Y:x... \i':b) pero no en Ch y 'V x.. esto debido a que ( UI ct·U1...)) es triplemente ortogonal pero \ Q'l.. \:f. 1; como se ve: Qt'. ~ O (i:ir j) I es decir: --..
--:"'1J'
2ij
,
•
~
~
14
En el siguiente gráfico apreciamos los vectore s
-a -al. a.) f
.1
I
para coordenadas
cilíndricas
En este caso las tres superficie s que se cortan en todo punto P son las siguiente s :
•
••
r-__.:. __. . ;
r .....
•
• • • • •
:• ..-.. a, :::.a.'""':'"...'1J'
Y':. XI ~ '1'1,'1.+1-; : d:c.(cilindro)
•
-e
•• ,•
•
•
•
•• • ••
•
•
. . :.. ...:.. •
•••
,,/-
••
'.
1
....... w •
~'"
X"f. :::.
'1
o.vc7"aa;" :t.:ct~(Plano )
I
•
.... ' .,' e
I!
..............
+------ t
't
~
•
•
,
\
La s curvas coordenadas son:
m
Xl: Intersección de las superficies X '2. ~ ct:~ 1-:, -=o sea la intersección de los dos planos; es pues, la recta que pasa por P yes sopor. te del vector a,::. Q.".
-
J
---
X2: Intersección de las superficies X J;:' ere. ) X3::. (t:.e... es decir del cilindro y el plano Z= cte; esta curva es la circunferencia mostrada en el dibujo.
15
X3:
Intersección de Xl =cte¡ ~=cte~s d:.cir es la paralela al eje Y3 que pasa por P. (recta soporte de ~ a.i ).
a,
I
CAPITULO IV TRANSFORMACION DE CANTIDADES
!tI,
Dado un sistema coordenado J ~. J J ,en él se pueden definir cantidades que sean :unción del punto ( j" 'j ~ ¡ 3 ); si definimos un nuevo conjunto de coorde::3.das ( :x 1 .::t:.Z,¡-X.3 ) tales que las :XL' estén relacionadas a las Ji' por las eCU2.:::!:Jnes 3-1) es de mucho interés estudiar como se transforman las cantidade s deÍi~idas en el sis tema dI.' cuando las expre samos en el nuevo conjunto X,.. Si la cantidad es un número, por ejemplo 1r ó 28, ese número permanece inalterado al cambiar de coordenadas; si la cantidad a considerar es el conjunto de diferenciales d J i:( d 'J" d J .. I cl '13 ) ellos se transformarán en los d..::t(.: {d.~" d ~l, d x~ ~ así: I
dx, ~ ol XI ~ -
J 'j
é)X, ~ \j, [; (::'1
+
I
iJ::r;.,.
di"l. + ~~I. · d 'J"3 "dj" ;)'1.,
:_:"}
a :x:, d J i
;)'ji
Siguiendo la convención dada por A. Einstein, vamos a quitar el símbolo de la sumatoria pero lo reemplazamos con la suposición de que siempre que en un término aparezca una letra repetida se toma la sumatoria con respecto a esta letra; esta sumatoria se toma sobre el rango de valores de esa letra en este caso: i= 1, 2,3. Entonces la expresión de arriba queda;'
el :t.
4-1)
I
::.
L
En este caso el haber quitado el símbolo no representa mucho ahorro en la escritura y es más, dificulta la comprensión de 4-1) porque debemos localizar el índice repetido (i) Y establecer una sumatoria sobre él; sin embargo como de ahora en adelante, a medida que vayamos profundizando en el álgebra y cálculo tensoriales, vamos a hacer uso frecuente de expresiones que implican sumatoria se complicarían mucho las ecuaciones si colocamos tantos símbolos ~ . La letra que aparece repetida ( y por lo tanto sobre la cual se debe hacer sumatofia) la llamaremos índice vacío o mudo (dummy index) porque esa letra la podemos reemplazar por cualquier otra y el resultado es el mismo, es decir, una suma sobre el rango; por ejemplo 4 -1 se puede escribir también así: , d.xl == ~ ~~ el JI< , (~ ... J J 2. J.3 ) Esto es lo mismo que sucede cuando integramos entre límites: por ejemplo: (
3
:x. 2. d.x. ;.
1 "3 'J"l ¿
e J) 3
'1
I'rr; 7.
-::.
el 'T??
x,~"." son variable s muda? ,se pueden reemplazar por cualquier otra letra sin que cambie el valor de la expre., Slon. /
..
).,2
Z
J
- -:
17
Siguiendo con nuestra transformación de diferenciales, tenemos:
d. X-2 ::. o sea: 4-2
I
también 4-3)
'a:Xl. ;;> ""j J
d J.
+
;JX; ;;; 'j 't
el J-z. + ~;t.'l:. el 13 ::;;. ;;J
d ~ t;; dX,=- d 1L' (sumando ~
:s ~
3
8
l:. ,
<>X:z.. d'" ' ;;>::1"
JL
sobre i= 1 ,2 , 3 )
'j¿,
d ~~ -./ = ~ 9~3 d!L'::;;' L... ;;11' l·;:'
.
X d,;)'jt' 3_
~Jl'
•
Las tres expresiones 4-1, 4-2, 4-3 se pueden expresar en una sola: 4-4) -v' d '-"'-J
~
d_- .::ti
d
1t'
d Jlit'
•
,
Aquí como sabemos debemos sumar sobre el índice repetido en un término en este caso ( i); el índice j varía tomando los valore s j= 1, j= 2 I j= 3 Y en cada caso nos dá las ecuaciones 4-1), 4-2) I 4-3), Esta forma 4-4 es muy útil para trabajar ya que con una sola ecuación estamos escribiendo 3 ecuaciones cada una con tres términos a la derecha del signo igual; el índice j lo llamamos índice libre ( free index) porque no se puede cambiar por cualquiera otro sin cambiar el valor de la expresión ( lo cual no ocurre con el índice vacío); cada valor del índice libre, dentro del rango de valores que puede tomar él, nos dá una distinta ecuación así como en el ejemplo la variación de j de uno a tres nos produce las tres ecuaciones anteriores. Otra cantidad que podemos estudiar c6mo se transforma es cP (JI, ':f'l~'f3 ),función escalar de punto; este es el caso por ejemplo de la variación de la temperatura en el interior de un cuerpo; si cambiamos de coordenadas, cp ( ' '!, ';f? )'3 ) se convierte en ~ ( ;t, ,.:ir,.x~ ) ; nos interesa apreciar cómo se transforma cada una de las componentes del gradiente de cp ) cuando hacemos el cambio de coordenadas, tenemos:
c; ( Ti
(según la convención de Einstein) ; tenemos pues:
18
Similarmente:
)
E s tas tres ecuaciones se escriben en una sola así:
__
a~
C)
':!L' ~
~::t.j'-
d.x.j' é)'ji
; aquí
j toma sucesivamente los valores
1,2,3 dando lugar a las tres identidades anteriores y en cada una' de ellas ( o sea para cada valor de j) hacemos la sumatoria para i desde uno hasta tres. Como un ejemplo final de transformación de cantidades transformemos el delta de Kronecker ~f si llamamos &~: al delta referido a las coordenadas , ( J I I j'L. • 'j 3 ) Y el delta referido a ( ~I I :x:: 'L.:l::., ), en tonces ~7 se
;
&!
'1
SI(
transforma en
a través de la siguiente expresión:
4-4)
; al lado de la derecha
hay una doble sumatoria porque hay dos índices repetidos i, j; si efectuamos en extenso esas operaciones resulta:
4-5)
'i..
~ 1( = + +
d::J../" ~I ~: d
'J
I
OlX K
d;:C~ d 'jI d 'jl.
d;(1(
crJ(/' ~ ~~ -;;) ':f 'd .xl(
+
•
+
.;)1'
2
;;J 'j? é):X t<
~~
rr ~~ p:t~ d J'~ b; + é).:í! d '1: S~ .,;)':$3 ;;X" dJ3
Oi.i d.x.~~ ~~ + ~~ + é):1 :;>.xl( d 'p.
c>;i~=.d ~'.. ~:~ +
3 1 -c>.x~
dX • d
j
• •
.!t
9:;(1(
a,xK
J~
Vemos que para cada par de valores ( J(-t ), ~ conteniendo a ~:. .
K
es la suma de 9 términos
•
Como sabemos que
(J/. c)
vale 1 para i=j, Y vale cero para i +
=1 j
resulta 4-5:
por
'.
19
tanto:
I
3
S! . L •
S)
x,~ ;oj~ ,
;)'JL
a.:X ,.,.
-
l .:; I
-a .:x:.. .( a ,.;x:. K.
• •
4 - 6 ) I pero . como sabe-
mos que ( ::lL 1) x'Z.. ) son variables inde¡endientes (definidas en 3-1) -ax-} entonces vale 1 si ~=- J< ( ?X A -:.., ) y vale cero si -l =1= >< ;;;:x. 1(, 'dX J' J es decir e s correcta la fórmula que nos transformó d (. en ( j " ; vemos aquí
(
r:
que la convención de Einstein nos comienza a reportar beneficios pues es muy sencilla y concisa la expresión 4-4 comparada con 4-5; a partir de. 4-4 podíamos haber llegado más r~pidamente a 4-6 sin necesidad de haber desarrollado en e xtenso como en 4-5; para hacer esto volvamos a 4-4: 'J2 _ dX_t. ~:1 L' ~ ~. , el lado de la derecha se SI< - dji ~.x>( ( anula cuando que es la misma 4-6.
y
j'
&i
I
se hace uno cuando i = j
~';:L#. :::.:C>::f.. d J -:. d . 1< é) 'JJ' d-X le
"? ¿).a
1
a x'"
CAPITULO V VECTORES CONTRAVARIANTES y VECTORES COVARIANTES
En el capítulo anterior vimos como se transforman los diferencia les d 'j i en los diferenciales d U al cambiar de las coordenadas ( /j, J ~l.J :! ~ al siste.n:a ( :::L, Xt X, ); esta transformación es : 4-4): Jx,. =-: iJ1L J "t' I I J d rL' ct
)
,,
aquí cone ya sabemos se suma, para cada j sobre i desde uno hasta tres; lo que tenemos en 4-4 son tres ecuaciones; podemos ver los d~f como las componentes del vector J:Y-;' =d ~I L? + cLjz + d.j, L3 y los d'XJ f
it
las componentes de ese mismo vector referido al nuevo sistema curvilíneo I -v \ d. ----. \ --:-'" ,-;"," \ --;? .l"""'X"X,) osea "( == d.:l-, LI 4-~:(Zl2 + q.:i.) [3 aSl pues 4-4 nos dice e omo se transforman la s componentes del vector cl.. Y al cambiar del sistema al -:::4'. Por deÍinición vamos a decir que las componentes de d7 se transforman contravariantemente porque se -transforman según 4-4; podemos generalizar y decir que si las componentes A~ de un cierto vector expresadas en co~denadas ( 'J, :11- J"3 ) se transforman en
tt'
Al
A
componentes del mismo vect0.r de modo que 5-1): 1. a -:::f-J ~ A.!;:: -G) jL'
A
Al
pero referidas a un nuevo sistema ( :L1.xl.~) entonces el vector
,A'"
es un vec-
tor contravariante; , , notemos en primer lugar que el vector como tal no ha cambiado, las A t Y Al se refieren al mismo vector, lo que ha cambiado es el valor de sus componentes porque cambiamos de sistema de coordenadas de (
'11 '1z
~3)
a (Xl I -.L 1., :x. 3 ) ; notemos también la similitud de 5-1) con 4-4); ambas ecuaciones nos dicen que un vector es contravariante si las nuevas componentes ( ó sea componentes en ::te:) se obtienen a partir de las viejas componentes (ó sea componentes en ~l') multiplicando estas por la derivada, par?ial de las nuevas coordenadas con respecto a las viejas coordenadas y tomando en
(s;?,..:t.J_) 2)jL'
este producto sumatoria con respecto al índice i (índice mudo). De ahora en adelante identificaremos con superíndices las componentes de un vector contravariante ; por lo tanto como el vector d. "("es contravariante la ecuación 4-4) se debe escribir con superíndices así:
Estos superíndices no significan elevación a potencia sino que se usan para identificar los vectores contravariantes. Ahora, vimos anteriormente que las componentes del vector gradiente de una función escalar (~, ':17... 'f"3' se transforman al pasar al sistema ( :tI :X2..A3)
cb
•
21
según la fórmula:
a(j;
-
5-2)
-
-
-7
Decimos entonces, por definición, que las componentes del vector \l éP se transforman covariantemente porque se transforman según 5-2; nuevamente hay que cecir que el vector como tal permanece inalterado, cambian solo sus componen~es; podemos generalizar y decir que si las componentes· AL' de un -:>
A
vector
t
se transforman en
según la ley:
'-< L'
I
Al = .~~. A ¿
5-3)
Al
entonces
el vector
es un vector cova-
riante. ~~
Notemos que 5-2) es un caso particular de 5-3) el caso en el cual el vector A es ~ ; para los vectores covariantes utilizaremos. subíndices; la ecuación
5-3) que define un vector covariante nos dice qu~ las nuevas componentes se obtienen a partir de las viejas multiplicando estas últimas por la derivada parcial de las viejas coordenadas con respecto a las nuevas y tomando en este producto sumatoria con respecto al índice { (índice vacío).
Podemos apreciar que 5-1) y 5-3) forman, cada una, un sistema de tres ecuaciones ; para captar mas intuitivamente lo que expresan esas ecuaciones vamos a • expandirlas, es decir dar a l) los valores que pueden adoptar ( t~J :'/J <-, 3)
L
I
A
De la ecuación 5-1 : t
j 1
j= 2
Al.
•2 A
;;J::f} • d 'jI
-
r
-
• S ;:
1
A +
¡:J::L~ A'"
OJ I
• :ti
a- - AL• a
resulta:
'1~'
d .xl dj2
Z 4-
- -A
j= 3
dJJ a.:;:¿L
-a:t.'-;;AZ dj'"
ª:t: A dj3
.3
-aj3 A Z
--
q ::x? A3
-r
22 En forma matricial queda
r~
a .xl -
-.a 'j'
1
I Al.
--
I,
5-4 ·
d~2.
a :Lz..
I Á3 L
Al
a..:x' - -
d .:::L ~
dj3
a.:r.2._
dX~ . .
a'jl
d '11-
-a:J3
a..:t.3
a.x J
<> .::i J-
•
djl
-é) ':J~•
-a'.fl
Al.
A3
Ya podernos apreciar la simplificación que introduce en la presentación el uso • • de la convención de Einstein de índices libres (J ) y vacíos ( c. ); la ecuación matricial está representada por la breve fórmula 5-1. Análogamente I la expresión 5-3) se puede expresar matricialmente así:
~
• /4. 1
,
--
A~
• A3
d 1(3
ax'
a:L'
~1
ójl
-2>.:t.
,
C)
-
"1-
::1 \
á:i
3
.a....::t::.
~
d.::t3
-
Estudiaremos ahora la definición de vectores covariantes y contravariantes en su relación con las bases recíprocas · sf? y V~(· (C-::.1 1 2¡3) .
ru-= a.1
l
En primer lugar vamos a suponer que en un cierto . espacio hay dos sistemas de c~ordenadas ( Xl y'l.::i.1 ) Y ( )" 'J'I. '.1 3 ) curvilíneas en general definidos uno en función del otro por las ecuaciones .
5- 5) a)
X.
• t
:::
b)
En el entorno de todo punto P se puede expresar el radio vector que con un punto Gt infinitamente próximo a él así:
( •
U!le
a
P
23
ó también: S-6, b)
si9!1do nado:(l
los vectores
b7, b:) b;
y
-'.
ay
.a~'
en el sistema coorde-
los vectores
e n e 1 s is tema
<:f L'
Notemos que hemos colocado subíndice a los vectores base Ql y lo mismo a los otros vectores base así mismo hemos colocado superíndice a los ditl ferenciales correspondientes d.:t y d J/.'; esta colocación d e ín dice s debemos ~ justificarla es decir vamos a demostrar que los vectores base a.c (,'::: 1,2,.3 ') Y
b7;
LZ
:z.,
se transforman covariantemente al pasar de las coordenadas ::t.(' a las 'J t-' y viceversa y además que los correspondientes diferenciales se transfonnan contravariantemente bajo esas mismas transformaciones de coordenadas. (t":: 1)
3 )
d.t.~: J j': De S-S a)
Demostremos primero la transformación contravariante de se deduce por diferenciación directa:
dx(::.
d.~/ aJI
j,,/
Y de S-S b
.J
análogamente:
S-S c)
d X) L'
Vemos entonces que travariantemente. -!;>
Ahora:
Q{ ;::.
-:> Y.
:9
y de
S-6 b)
~•
-;r-:¿ -
a.:x( -2 7 ..
se transforman según S-l e s decir, con-
.¿.
d J' a.:x.c.
a:::L l
•
3jJ a:).J a:tL-
aY' - -•
aj"
~•
~.
J
pero
.t-
~?
G>:f
l
"8j3 -o.x i
ay
-dJ'! -•
..:-.'/
b~ ~
~
24
5-6 d)
---"77 J
-7
al' b e
; por lo tan to
se transfor-
man según 5-3 es decir covariantemente.
1
Lo que hic:mos fué coger el vector eL en el punto P y descomponerlo según las dos beses (llamémoslas directas por oposición a sus recíprocas que consideraremos a continuación) ll~ ~ 9~. =- Civ,"'. (i -::. (J <., las
bc
é);tL
d:L
3»',
a'l"
componentes fueron L' (C=-I) 2. I 3) para la base a} y d j' ( (t"= ),2;3) para la base t?evidentemente también podemos expresar d-:7 en función de cualquier otra base localizada en P; expresemos Jyr'J en función de las bases recíprocas de 0.( y b1 ó sea (como se demostró en el c apítu lo III) y {¡
Jc
Vi,..
-"7
respectivamente; por simplificación e!1 la escritura llamaremos V:Le: -'?
-";¡
'íJ ji..-=- be. . Si expresamos al vector
d. y::. Q) d1.,
5-7 a) , d
..x'Jcl.:i.:z
,
d...::L.)
o
-+-
2- d.:t."L
Jl
+-
(J}
en las coordenadas d-:L:J -::
a
d 1.3
f
y
t
aquí los
d:i... 1 --'7
-:: . a
resulta:
(le ¿.xc
no son en genera 1 1os mismos
~.
)
d .x:. ~
J
-7
vistos anteriormente ya que como las bases son díferentes ) t1,; en general (como vimos en el ca1(. II sólo coinciden las dos bases si los CIT· son vectores unitarios triplemente ortogonales) entonce s las componentes también serán diferentes; d7 ta.mbién se puede expresar en el punto P en términos de los b~ así: 5-7b)
~
~
-~
7' JV::.b/dJ.+-h dj"l.+b dJ'3::' n'-djt.·
diferentes, en general, de los
\
d
j
e
considerados en
siendo los
5-6 b ) .
a c: (
Notemo c,'=. J) 2,3 ) ..,..., . s que he mos colocado superíndice a los vectores base y h L ( e=- ') 4, '3 ) así mismo hemos colocado subíndice a los diferenciales correspondientes d..:t(, d j L; esto tenemos que Justificarlo es decir, vamos a demostrar que los vectores base recíprocos 1,3) (re cíproco de los ~. ')} 'b¡; l L' ::'1) ' - ) "?> ) (re cíproco de los "17) s e tra n sforman c ontravariantemente y los correspondie ntes diferenciale s ( d x. /.' para y el para s e transforman en forma covariante.
aL. ( (::;.),
h?:
a(
)
,
Como el vector 5-7 b) resulta: 5-8 ) •
CL
al
Ji
,
~'7
Y e s e l mismo ye s e a q ue s e expres e por 5-7 a ) o por
el -JJ '-{ .
(ca mbi amo s e l índ ice
25
•
vacío (.. en la ecuación 5-7 b) por el índice vacío
•
J ).
Ahora¡ ya se demostró lo siguiente (5-6 -d ) ;multiplicando escalarrnente a lado y la-
(uno de
~ do por el v ector a.
~ los recIprocas
-;?',: ) resulta: v-
•
Y~ -déJ je.'
sión de la derecha
•
J
j=k
cf sea
es un índice repetido
de suma sobre él
•
L'.
en la I
expre-
pe ro
(por ser bases recíprocas) nos queda entonces:
--
b
notemos que
-7K
O-
a XK a :::é ~~ -- - f J dj( a:s
,
•
~~/=
(ya que -?~
•
1('.0.~
S-lJ)
•
e igual a cero para j:f=. K ) es decir
•
--
1
para
a ..:(( =
a
je
.,.-y
Multiplicando 5-8) escalarrnente por
bk
resulta:
•
f?J .xL' d:í l:=:' ~~ d j j
:::.
d. J t(
dj"
::: ?:t.
5-10 ).
L
•
.dil'
aJI< -
Similarmente: en 5-6-c): 1¡ n
"'"\ 1I J
• --?
o JI.
- - -. DJ 8:11.
-?{
mente por
,
• hemos demostrado pues:
multiplicando ambos lados escalar-
resulta: •
--'?
- ..,
81 ~ oJ • blA. -- (71 e I .
al -
1
•
a:r t
~
~/
-:..
aJI{ ,
.....,.
•
r3.:X- L
•
26 Por lo tanto si multiplicamos -.0:.,
-QI(
5-8) por
resulta: •
--,
a. al( l
,
d x. ~ ~ el::t
'8 'jJ~
l.' :::.
l.'
:;::
-o.x" el. x
pero:
s-u:
-=---'9
K
ax'"
Vemos de 5-10 Y 5-11 que los diferenciales d.Xl.'} d j (' se transforman covariantemente, por lo tanto está justificado que los describamos con subíndices. Hay que anotar que las variables ,::;c) '1) tienen superíndices en todas las derivadas parciales porque se refieren a derivación directa obtenida de ecuaciones ~l' = 'lt' ( X,) x .. , X3 ) y Xt..' = x. L ( 'j,) J2.)~:J ).
-al'
Demostremos finalmente que los vectores recíprocos de los sea los L' y los 1"t..' se transforman contravariantemente.
a
-?
El vector d -r se puede escribir en cualquiera de las 5-7b: es el mismo vector referido en el caso 5-6 a a ,...,. -i> , 5-6 b a la base J:lL', en 5-7a a la base a L (siendo recíproca de y recíproca de
a(
-9
.ht.':;:::'
5-12)
--:-? 'f( XL' ¡--?
d ...,. ::
re
al'
y los
o
formas 5-6 a, 5-6b, S-7a, la base de los -=" Ql' , en 'T"'> ' yen 5-7 b a la base~t. '1~ , siendo =. :O' y
a:·
ax{'
~
),
J Y'"
Igualemos la expresión de -J'
-.
aLclxl.';:: .b
\
ti
'j j
según 5-7a y 5-7b, re sulta:
;hemos cambiado el índice vacío i por j en •
5-7b; de 5-11 tenemos: ( j
d;(L
:::>o
~ d .1J' oX(
índice vacío) entonces en 5-12 •
.C) j~
d 'Jj
:=
é)~1
Ci (
@~': el ~J -
-.b
J
; -> ,
el:t' ::: o
;;-3;:>
d;l.'
5-13 )
; esta ecuación contiene tres térmi-
nos ( j= 1,2, 3 ) cada uno de ellos con un paréntesis que contiene tres cantida--? , ( i= 1 ,2 I 3 ) I C o m o los d '5 J s o n in de pe n des aL ~, ~,J.
a ;t..t'
27
• dientes entre si ( j :=. ¡, z) 3 ) entonces los términos entre paréntesis se deben anular para que se cumpla 5-12 , por lo tanto:
5-14)
Similarmente: si en 5-12) reemplazamos 5-10 ( es decir 1J ~ q::t~ d. X ('
el.
el lJ'
;;;~J
•
-
8X':-
él'Ji d.1l.' ;::
I
\
d;;!" - ':.
a 'jJ
'a
r -111-0..)
;,J
por su valor que se obtiene de ) tendremos:
d
XI.: ";:
f.::)
-=---'='?
7p
:::: O
:::!:::¡
- ? L' _-
5-14 Y 5-14a.nosdicen que los vectores se transforman contravariantemente. Queda por lo tanto justificado expresar tro :fOrma s: .
eLY' de
cualquiera de las siguientes cua-
• -'7
5-15
j:j - el :t aL' L
d:v -- djL b -->'>. d7 ::: d eL L d:7 ~ dJl b L'
:tL'
L
En esas expresiones se debe sumar sobre i. --;>
En el caso de que en el punto P se tenga un vector ~
J y'
.
A
diferente del vector ~,~
¿como lo podemos expresar en las bases recíprocas Q
lJ
al' del
coordenado (
t" T7, :t.1:t 1. X'3 ) Y en las bases recíprocas () "') .(J L J ,
coordenado (
ji, 1"t. 'i -; I
sistema
del sistema
)?
En primer lugar debemos ver al vector
-"'7
A
como un vector fijo en el punto ' P
por lo tanto lo que vamos a encontrar es la expresión de sus componentes según cuatro bases diferentes; ahora este vector es igual a K cf7 siendo K
-¡;;'
,
28 ~
-4\:I
un escalar y J V un vector infinitesimal en la dirección de A: entonces como -::-7 A es invariante (es fijol su magnitud y orientación en, el espacio no cam, bian) K tampoco cambiará al cambiar de coordenadas ::t.'" a J" o viceversa; por lo tanto si cada una de las ecuaciones 5-15 las multiplicamos por la constante 1<. resulta: • "? --':1 L' ~ pero y - A K J.y )<. cl.. '1 Ql
=-
•
KJ:i (. es la componente de A? según a~
variantemente entonces ~d..x l'
y como J..::iY se transforma cont-ratambién ya que: J..X ~ é):fJ el ~ KJ.X¿~d.:il~l
Ji
entonces: \-::=7 L
-:;>
A al'
A .:: K
~ d..,t'
dY'::::
..1
8 (.'
llamémosla 5-1Sa)
A = B l.: -¡;;. A~ =- Ac 71 /( -:::. "B
componentes de
L'
I
; análogamente:
P
pero
'" J jt 'e s
la componente de
A/ según
por lo tanto :
; similarmente: t'
bt'
Al
.. A segun
-:-")
)
,;:)lL' y componentes d e A segun U\-
'1:> (' !J
-?
Como se ve I dado un vector A sus componentes según los vectores bas9s covariantes ( ya sea a~' ó se transforman contravariante~e.nte y s1!s L ) se componentes según los vectores bases contravariantes ( ya sea aL 6 transforman covariantemente; por lo tanto si en un punto P tenernos un sistema coordenado ~'=- XL' ( ~.) J ,-.1,,) ) L::.. ',"l. ) si los vectores base .,. directos son = a.:i. y los vectores base recíprocos son = 'l:Lt:. entonces
Et )
b
al'
tri
;:)::t. "
cualquier vector guientes: -A=?'
A"
AL =
se puede expresar de cualquiera de las dos maneras si--"7"7 A ~l . ' al::'
L U
--:-"?
A modo de ejemplo: si en un plano tenemos un vector 'A este se puede descomt como se muestra en el dibujo siguiente: poner según las tl~ o según
a
•
29
x' -'1
Aa. a
\
"
"
"",
\
\
, \
\ \ \
, ,
, " --------).,.
-
al
OPERACIONES CON VECTORES EN COORDENADAS CURVILINEAS -:;.
A
Dadas las coordenadas :i.l' = Xl' ( 1, '11. ~3) un vector cualquiera en un punto P del espacio puede ser repres~nt~do ~egún la base de vectores directos (l~ ó según la base recíproca en general 11"7 puede ser escrito así: 5-16)/\
=
Si tomamos resulta:
Al' a~
Al. eL'
=
-;-'?
f -:-'?
A
A, al
=
aL' ;
-')
ti !J..,. y multiplicamos escalarmente a. ambos lados por (j.'f = At' el(. Zif = AL' ~l = AJ'.::::';)5. J6CL) AJ=A. 211 tenemos así
que las componentes contravariantes de un vector se obtienen multiplicando es calarmente él este vector por los correspo%!ientes vectores bases recíprocos; similarmente se obtiene : 5-16 b) AL' = ó sea: las componentes covariantes de un vector se obtienen multiplicando a este e sCéllarmente por los co·· rrespondientes vectores base directos .
A, lfl
_-JI>
-:-':?
A, --B se 7:' '( j L' eeL', uJ ) =- A' .8J o A 13 el producto escalar
L' : .
obtiene l'
30
-:?
-?
A):B
11. oh + 11 .01
I
es decir: 5-17) A,.a ==- ¡.. ~I +J ; en el caso de que las coordenada3 sean cartesianas entonces las bases 11/ y a1· ( t':. J, '1.)"3 ) l están formadas por vectores unitarios e igualesCa '= á~por lo tanto no hay diferencia entre componentes contravariantes y covariantes de un vector pudiéndose escy:.bir 5-17 así: = A l' lit' = Al 8, + A&.lh + A~ B) que es la expresión para el producto escalar cuando las coordenadas son cartesianas (es decir vectores base unitarios y triplemente ortogonales).
X.E
Otra forma de escribir el producto --? - ?
(
A.S :: '-.A
11
---='7
A. Ir
::=.
•-"')
-";)
(JL'),
(BJ' GJ ) == Al
7f' uj'
aL'.
d lJ'::
l
-¡;:. Bes la •
resulta pues
(Al' al') . (Bi
13j '
(
m . aj')
llamemos
== A ['8/ q
A"""'" -::?
.
siguiente:
.b
aJ ).= Al'Bi 8<.1'
con
Relación entre las componentes covariantes y contravariantes: j'
~ -":>
• _
Al
5-17
i
~
A dJ,ai.::=.A g,.{
Tenemos~n5-16b) ,?:-17a) Al'~A.tlt'.::: mente = AJ' ~ IJ : 5-17b). -.?A M~a:::Lg~n~it':..:"",u~d!.-.~d;::e.--!.~_:
-:::?
similar-
De lo visto anteriormente tenernos:
el -7
--A.a_ ....,.
-::.")
Ay-.B:
Coseno del ángulo entre dos vectores
--
Tenemos:
•
~
lt\.la\
Al' &' gÚ'
-
cos 0.(•
Producto vectorial 5-18)
~
Al!
es ':. <")
(
~A ~ x
A',) Á/ul'
1J X.
/\. vi U: ~l 'R
\
) =:
At
' J ..u 1:".4.
'Q/ )( ~'. ,
~.~.
Encontremos el valor de
alx a:.J
~
en función de los vectores
UK.
,
.
31 -:b
--'?;¡
Sabemos que el vector ~ es normal al plano de a y Q;. (ya que y i=l,2,3, son bases recíprocas como se definieron en el artículo entonces ;:,. '1,
a7,
5-1 Q)
L.=
\
(de 2-4 )
•
•
similarmente:
. Introduzcamos ahora un símbolo e..~'t< llamado símbolo de permutación que puede valer + 1, - l. ó cero según la siguiente regla: a) Si hay índices repetidos et:j'K vale cero, por ejemplo:
-b)
___ - - - ""':::.. O
Si los índices son todos distintos y se presentan en orden cíclico su valor es + 1, así:
e¡,3 -
~
c) Si los índices son todos distintos y se presentan en orden no cíclico su valor es -1, así:
é:. f
3
1.. =-
é! 3 2.. I =
e
2..\"3>
.= -
1
La misma regla define los valores para el símbolo con superíndices,
c::
('./J(
Utilizando este símbolo de permutación las 3 ecuaciones 5-19 se pueden escribir en una sola, así: por ejemplo para
5-20
~ J 21
al
a} + e
=- c.
J2.l-
«1..
el! x ¿}
Volviendo a 5-18 tendremos: -;-Al) 4>
A- )( 8
:::. A t" 13J
---';> L'
a
>1
-¿.l
u
)
)
pero de 5-2 o: por lo tanto:
\
32
--
suma sobre i, j, k)
I
Corno vimos en el artículo 2)
-
.-...
por lo tanw:
Terminamos este capítulo con un ejemplo sobre componentes covariantes y contravariantes de un vector en coordenadas curvilíneas. Determinemos las componentes covariantes y contravariantes del vector velocidad de una partícula P moviéndose en el espacio en términos de coordenadas cilíndricas
I I --------- -------
,/
/ ./
,/
'<
e
1-
Sean ( ~ I :f"l..,j'}) las coordenadas cartesianas y ( :x. I ,X'1., X-J) coordenadas cillndricas; b relación entre las coordenadas es la siguiente: ~I
-=- y
:1 z...;:.
:J ?> y:
~-e- -=-
x,
~
-y A Jl/Y)-B :.:X I
xt..
.-6.(m
X
7..
::í 3 ::z 1:: ~r=j-,-"l..-+--J-l2· :=.
-L
.:t."L':
Q.Pfccan,
:1"2.
'j ~'
I
33 Corno el sistema .Jt' es cartesiano no hay diferencia ~tr..e la base directa y su , .. .-? reCIproca por lo tanto solo considerarnos una base l, J I j<. Y no hay que hacer diferencia entre componentes covariantes y contravariantes en este sistema '-{ t' llamemos V1./1 V V" esas componentes y son: J
1,/
)
V~
5-21
d
t'::'
..1
,
'J
t •
J~
Jll
:-
V~'
d-t
•
Xl'
V )
Las componentes contravariantes ( la transformación:
v;t
utilizando 5-21
1.'-;:.
en el sistema
se obtienen de
(ecuación 5-1) por lo tanto:
'-~
o:t I~• •
--
a1 J
d ..
::L L' =7
es decir las componentes coruravariantes del vector velocidad son las deriva• das de las coordenadas ::t l con respecto al tiempo:
v;t, --
d. XI -- dv -dt d+ .~
d.x"2... .
VXl. _
-
Vx.::, ,
•
d-t::
-
d.:t3 ,
de
Las componentes covariantes ( . maCIon:
--
V:.ü ·)
d.~,
d-t: cl.7=;;
•
d-t.-
en el sis tema:4' seobtienen de la transfor-
~
(de 5-21)
pero ::t;(
V
5-23)
Encontremos primero
V:t
l
;
expandiendo 5-23 para
(de 5-22)
34
~ al' ?'j1.. 91,1.. a~1
Para i=
<-
ª-1!. Vx\
. VXL= ~~ oX'
9j2. aJ-l. V~'
+
ox'
2)11..
+
+ -t--
~3
;;>:{2.
a '1"1.. y::t.3
e>x' ax 3
,
~i-L
V
Ü.
ex?.
+-
52:'f: zf \fx%-
a1. ax-z..
?j~
.e 1:'
a..:t. \
VXI
V
:C?I
=-
8~'
dJ:'l. .8x 3
.a12. CLi.2. VX )
.r éUlo éJ 1. "3
a~1..
+- ,:3 'j ~
.C) 'j 'L.
a J~..3
d;L '1-
0' V~)
ax1.. ax'
\Í :t.2.-t
d 1.3 é7::L (..
?~: ~ V~l -+ ~~~ d ~ 31. 3
~ a:J..' V:t. 3
_C)J? V~t ª\(~
é)X'-
qJ J-: fJ:i¿ cLX3
::)~ 1 iL$.../
L
~ .CJ:f3 V~I a.:t."2-
-t
81'
=='9
Q '-1 1
+
(3.:t
1
V:t.1. . ,.
VX3
v;:(-..
as.z. ~.J~ V:t.)
ax; 01 3 ~ d j '3 d:fJ Vx~
a.:t
( 1)
cL :2:.
el-C.-
Esta s tres compon ente s covarian tes tamb ién las hubieramos podido obtener u tiliza ndo l a e cuación 5-17 a} que nos da l as componentes covariantes en función
35 de las contravariantes; en este caso 5-17 a) queda:
5-24 ) Encontrel"!10S los ~I'J' ; en e 1 ejemplo hecho al final del capítulo 3 encontramos: .a. .I, = Cos e ~ -:-?> l. + sen ~ h th = -Y5en -e- i... + yt.o5-& ~ il. -='? --> ~ ¿~ 1 Cos?-9 + Ah'r't t; :. I
-
--
a3
_ a.. a, :. . ~ gIl. =- ~ .~~
~
11-
-
91:' = al.
;¡
2. ')
=-
f/u.
=
?
a~'C3; -='"
-?
U3:::'
Q
= ~\ = o Q3' ClJ '" q-~I ;: o
: : Cb, tL;::. g3'l.
~2 • C13
;:::
o
a.l. . Zlz. :::. y:L ~33 = ~.: á
a3' Por lo tanto en 5-24
\y
4 \f OJ • V:t.. -;::. \VlX'
Ii..
I
V
- ,. . .,
--:>_-
Notemos que V~ ..... V.:l y V.t..3 =- V:t) esto e s así ya que como para coordena~ 3 tiedas cilíndricas UI, ~,Cb son7"C>mutuamente ortogonales ,entonces Di aL 6 -..,. ,.....". ..,.-') ~ nen las mismas direcciones de l Á l D.:2. tl..3 y como D., y CL3 son unitarios, entonces también lo son por tanto = y Zi3 -:: y normales a 1 vector 11l y se debe cumplir Vx, -:: VJLI , = no se cumple l
a' ya:J
tI
VX'L
a al
aa.
V;(. ')
a3
y:t.') • J
~
que V Xl. = ya que aunque tenga la misma dirección de a.. no son vectores unitarios sino que 0.;' es yl veces mas grande que ZJ). (compa~ ~ ~ ~ rar Cl:l. y al. al final del cap. In) por lo tanto la componente de V según tl.i e .s mas pequeña que la componente según esto es: ~ == \.
,a.
-';>
O-?,
V::t.l
yt
CAPITULO VI
TENSORES
El concepto de tensor surge naturalmente como una generalización de las cantidades escalares y vectoriales; en los escalares el valor de la cantidad pennanece ina¡terada para trarisfórmación de coordenadas; por ejemplo si en el interior de u:;. 8uerpo la temperatura se puede expresar corno una función de punto j ( J. ::h 13 ) y si el mismo punto se expresa en otro sistema de 'coordenadas Xi comó ':)!., X1.J~~ entonces la temperatura será -C;t. (x. I :r". :x:~) ; obviamente la tempera tura en cada punto tiene un valor de terminado independiente del sistema coordenado utilizado para localizarlo por lo tanto:
t-
J
-t~
('J, 'f ~
'j ~)::::
tx.
(~I I X 1 ,
X:, )
E ste tipo de transformación es la mas elemental que existe; en ella las componentes de la cantidad (la cantidad escalar tiene una sola "componente" : su magnitud) permanecen invariables al cambiar de coordenadas. También sabernos que las componentes de un vector se transforman al cambiar coordenadas; esta transformación puede ser covariante o contravariante para cada vector; es decir sus componentes I ya sean AJ' ó AJ' según que esten expresadas en la base recíproca o directa respectivamente r se transforman en Al!, ó l.: al cambiar del sistema al -:t.l': estas dos transformaciones son
A
~
aSl:
Jl'
,
A
t.'
,
:::.
, A
t..'
;:::
Recordemos que lo que se transfonna por medio de las anteriores ecuaciones son cierto tipo de componentes del vector pero no el vector mismo ya que este permanece fijo o inalterado,es un invariante, en cuanto a magnitud y dirección con respecto a algún sistema "absoluto" de coordenadas. Entonces el vector A~ se puede expresar según las coordenadas ::t,' o según las ~ L' Y en cada uno de estos sistemas se expresa según los vectores base directos o según los recíprocos; por lo tanto: \. . ,_?( A = AL' = A« == A b siendo
K:::. l'aal' bi l' at', ti z: : base s directa y recíproca en --¡; -;: t..' tJ
t:,
(V
:
bases directa y recíproca en
-::::l L'
= ::r'l' l '3', 'j
~ t:::.
'1 l:
t
;j-:;)
(::L "Xl, X3)
•I componentes contrava.riantes y covariantes refeddas a los :i. L:
37 I ,
AL. ,
• •
componentes contravariantes y 00 variantes referidos a los j (' (los E (.' y l! l.' de las ecuaciones 5-15 a).
Podemos generalizar ahora y suponer que existen cantidades, también invariantes como la magnitud de un escalar o como un vector fijo, cuyas componentes se transformc:1 de manera completamente similar a como se transforman las componentes d e un vector; por ejemplo podemos suponer la existencia de una cierta cantidad A talq.¡e:
A= ,
En esta cantidad (Íormada por nueve componentes: 3 2) los términos A I'J' se llaman las componentes de A según 5.1; la expresión (!t@' no es un producto Ele vectores ( ni escalar ni vectorial) simplemente es la colocación de los dos vectores uno a continuación del otro para indicar que la componente !'1IJ corresponde o pertenece tanto a a.~' como a O:! , Reco!1ocemos un tipo de tal cantidad en el tensor de tensiones el cual como sabemos se acostumbra escribir como la matriz:
aL'
~ll
cf"23
Q;2 Este conjunto de nueve cantidades nos permite encontrar la tensión ( fuerza / area) para cualquier superficie infin itesimal en el entorno de un punto P Para el cual se conocen los
0
Otra cantidad de este tipo es el conocido tensor de inercia • •
38
~l
1 13
,/
1
I:.
1.
22
23
,
Si en un sistema coordenado 'jt , tenemos un punto P en el cual hay una masa puntual m y además existe una recta :A entonces el producto m el '2. (siendo cl la distancia de P a la recta 1. ) es un invariante, es decir no cambia si referimos el punto y la recta a .un nuevo sistema de coordenadas ;t,.' : esta cantidad m d,"2.. es función de los ,términos de la matriz,.I y al cambiar de coordenadas cambiarán los "lij' a I~' pero la cantidad /Md.. ~ (que es propiamen~e a~ tensor de inercia) no cambia. En este caso los índices i, j representan los ejes a los cuales si baja la perpendicular desde P, es decir ILJ' 'está también --...,. adscrito a dos direcciones a\ o..J ~.
No nos interesa por ahora profundizar en los tensores de tensiones y de inercia, lo que se quiere resaltar: es el hecho de que hay cantidades que tienen varias componentes , (componentes que pueden pertenec:er "a más de una dirección) y que al cambiar de coordenadas cambia el valor de esas componentes pero la cantidad misma es invariante ( por ejemplo: la tensión sobre una superfiCie infinitesimal o el producto de inercia m d'Z. ); estas cantidades las llamaremos tensores. Como en un tensor cada componente pertenece a varias direcciones ( ó a una si la cantidad invariante es un vector) entonces la transformación de cada componente I al cambiar de coordenadas, hay que hacerla teniendo en cuen ta la pertenencia de ella a esas varias direcciones; esto es : si en un tensor cada componente A¿j' corresponde a los vectores y como para estos vectores bases contravariantes las componentes de cualquier vector son componentes covariantes (ver 5-15 a) entonces las A'J" se deben transformar covariantemente tanto ~. ::.iP'. por p¡ntenecer a D L como por pertenecer a C» es decir,A IJ' se transforma en Ald~ al cambiar de coordenadas ~l,: a las :XI' según la ley doblemente covariante:
D", o/
,
6-1 )
a:r' 9'1. (3 :;c!:
•
J .
O..:í .(
AIJ'
Decimos entonces que las Alj' son las componentes de un tensor covariante de rango 2 ( un vector covariante es un tensor covariante de rango 1).
39
A
En forma similar sí las componentes ( if ) de una cantidad --iI' _ invariante corresponden cada una a dos vectores bases covariantes ( aL') Q.J ) entonces esas componentes se transforman contravariantemente al cambiar del sistema j /.' al ::ú' por lo tanto:
6-2. )
-
A
,
Podemos también considerar cantidades invariantes cuyas componentes ( t{ ) corresponden cada una a un vector base covariante ( y a un' vector base contravariante( ZI/ ) y por lo tanto se transformarán en forma mixta es decir -";1 contravariantemente por su pertenencia al vec tor covariante y covariantemente por su pertenencia al vector contravariante t así que:
a:r· )
al'
at'
6-3)
Se puede apreciar de lo anterior que una cantidad inv~iante puede tener sus componentes referidas tanto a las bases covariante ( lIt') como a la contravarian..-l\P te( O J ) o también a ambas al mismo tiempo; por ejemplo, para coordenadas curvilíneas en el tensor de tensiones podemos tomar sus componentes referidas a las , , solamente, serán las \).J' ,o referidas a las solamente, serán -="'> ~• t.: las ~Jo podernos ref~rirlas tanto a las corno a las r , serán las C5J' ; en este último caso t;S'"J' representa la tensión en la cara cuya normal está en la dirección de la tensión misma tomada en la dirección de 11..J' ,
al.'
at'
a
a. ;'
á.:'
Las cantidades cuyas componentes se transforman como en 6-1,6-2 I 6-3 las llamamos respectivamente tensor covariante de rango dos I tensor contravariante de rango dos y tensor mixto de rango dos, (la palabra tensor se usó por primera vez en relación con el tensor de tensioner:;) . Sin embargo no debemos perder de vista que los adjetivos covariarie, contravariante y mixto se refieren exclusivamente a las componentes del tensor no al tensor, este es un invariante. De ahora en adelante designaremos un tensor A por su componente genérica¡ por lo tanto si el L' tensor es de rango dos podemos representarlo por Aü' , Al '-.J , J ; esos tres símbolos representan al mismo tensor solo que en el primer caso se dan sus componentes covariantes, en el segundo las contravariantes y en el último las mixtas.
A
En las ecuaciones (6-1,6-2, 6-3) que nos definen tensores de rango dos (o de segundo orden) los índices que aparecen pueden tomar los valore s de 1,2 I 3 si estamos en un espacio tridimensional; y tornarían los valores 1-2 si estamos en una superficie; por ejemplo en el tridimensional 6-1 queda así:
.
40
.....
é)'i'. ~8'í-:
S?1: d~~ A21 -t ~ 8'j' A31
1
C) l'
A~1 -
~;tl(
.2í A a..:t Q
,
.J.
11
é):L""
é):t)(. -é>;i~
A,)
lo
~ j~ ? j~14
A22-
-r
0.f: ~ AZJ B;i..K ax
_01
A32.
;-
SJ'f:
a.;í. l
8::Ll( 8:1-
-r
~ ~
.1-
é):::L't..
o.x
A
3
8z"
~'t. a~14
éJ;:i. K 81R..
8;iK
~A:H
a.xR.
Una de estas ecuaciones se obtiene para cada par de valores (J<.) i ); por lo ta,T1to corno los rangos de k y 1 son también de 1,2,3 resultan 3 2 componentes ;11<1. Las ecuaciones 6-1,6-2, 6-3 se pueden generalizar si es necesario de modo que sean aplicables a espacios de más de tres dimensiones I por ejemplo n; en este caso lo único que hay que tener en cuenta, e s que el rango de los índices va de 1 hasta n; por lo tanto habrá n 2 términos AK.i. cada uno conteniendo n 2 términos funciones de los AlJ; en la teoría de la relatividad por ejemplo, n= 4 ya que fuera de las tres dimensiones espaciales se considera una cuarta dimensión, el tiempo constituyéndose así un espacio -tiempo de cuatro dimensiones.
•
Podernos generalizar mas aún el concepto de tensor y entrar a definir tensores covariantes f contravariantes y mixtos de orden 3 f 4, ... etc.; por ejemplo, un tensor covariante de orden 4 en el espacio n- dimensional trasnforma sus componentes A(!'lIC! al pasar del sistema (YI'Y2 ... Yn ) al sistema (XII x2 ... x n ) según la regla:
~JJ' •
a.:t.,;.
Bit(_
-a;( l' I
Este tensor tiene n 4 componentes AI'fl\ N'I ~ 9¡- cada una formada por n 4 sumandos que contienen a los AtJ'K 1. . Un tenEor contravariante de rango cuatro transforma sus componentes AL'.¡'t4fl. en las rrn mp ~ al pasar del sistema J'L'al sis terna xi según la ley:
A
I
rM""~~:::
A
11"1'\
;::,.::(. r
'a~r
ª8jJ
'"
X-:
.Q:i~ <;3.:t ~~ '0:$1<
BjJl.
A¿'J'K1{
• )
/)'
Un tensor mixto de cuarto orden puede expreSélrse de varias maneras: por ejemplo: )
A K':'"
)
41
(,j,,,,1rm ,Il\ r, 9r "
De la reg la anterior para transformar las diversas componentes de tensores de distintos órdenes podemos apreciar que un escalar es un tensor de orden cero y un vector es un tensor de orden 1 ( puede ser covariante o contravariante); así mismo el cero es un tensor de cualquier orden, es decir se puede considerar escalar, vector tensor de orden 2, ... tensor de orden n ya que se transforma así: I
6-4)
..•
aquí está cons iderado como tensor mixto de orden 4. ,
•
CAPITULO VII ALGEBRA TENSORIAL
En este capítulo presentaremos las operaciones algebráicas que se pueden realizar sob~e tensores de modo que el resultado de la operación sea un nuevo tensor. -SUMA Y RESTA: La suma ( o resta) de dos tensores que tienen el mismo número de índices covariantes y contravariantes es un nuevo tensor dei mismo tipo (covariante, contravariante o mixto) y rango que los tensores dados Por ejemplo dados los tensores ley: I
..,.,
A~-w, I
I
,
•
~~
é) x.~
é>
,
~~ -
AKt{
:t.:,
~~
a:t
~X"'"
..z3~,
,
se transforma cada uno según la
a x""
A~, a'1~ IJ m <)::!. ,
l<
-é)j'" BIJ'
Por lo tanto:
7-1
tl Por 10 tanto ( A;j' ± .B "'J' ) es un tensor mixto de rango covariante 2 y de rango contravariante 1 ya que 7-1 es la ley de transformación de este tipo de tensores es decir:
-MULTIPLICACION: la in terior .
Hay dos tipos de multiplicación de tensores: la exterior y
. Multiplicación exterior: Dados dos tensores cualesquiera (no necesariamente del mismo tipo y rango) se llama producto exterior de eh al tensor obtenido multiplicando cada componente de uno de ellos por todas las componentes del otro. Antes de ejecutar la multiplicación exterior de tensores, es necesario cambiar los índices en los dos tensores de modo que no haya indices· repetidos al mismo nivel. El producto exterior nos produce otro tensor como se dedu-
•
43
ce directamente de la ley de transformación de las componentes de cada uno de los tensores factores; por ejemplo:
De lo anterior deducimos que el producto exterior de dos tensores, uno de ellos de rango 1 covariante y de rango 1 contravariante y el otro, de rango 2 covariante y rango 1 contravariante es un tensor de rango 3 covariante y rango dos contravariante es decir:
-Podemos generalizar y decir que el producto de dos tensores, uno de rango y covariante y S contravariante y el otro de rango {- covariante y ti. contravariante es un tensor de rango ( --(-t t ) covariante y ( S+ lt ) contra v ariante . •
. Contracción: La contracción es una operación que se hace sobre un solo tensor y consiste en igualar un índice covariante con uno contravariante y al quedar ambos iguales se realiza la suma sobre él; de esta mane ra resulta un nuevo tensor que tiene un rango menor en dos unidades que el tensor original; esto es, si el tensor original es de rango covariante -y y contravariante S al realizar una vez la contracción se obtiene un tensor de rango ("("-1 ) covariante y ( S - ¡ ) contra variante . Para comprobar lo anterior consideremos el tensor , f'"l
_
B""f~ igualando m y p re suIta: ''no'!
13't'l""~ d .L 't'tl
Pero l
.... é)jL"
_
-
• '-/ R. ""..." ,.,." ~'t! ~ C> J _ ?"L" éJ;;("" dX-r dX~ ~Jl •
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B \. 1l
J • L
J3 i ~Jt ,
por lo tanto :
44
ª-1:!' d ~~ B,L 13~'f - é)X'" ax~ , Jd. I
1l'1"l'I
13~",,~
"
•
8it;.
--
•
d ::f."'"
A,'
L.::K
1(
~ ~t" .. , ="/
•
~ ~ 13Ji.R. (
)
•
a x c:t-
=7 •
es ~r. tensor covariante de rango dos o sea:
En el ejemplo considerado, el índice m también se podía haber contraído con n ó en con q, . resultando en estos casos el tensor 0J~
Al:::
A;:
A:-.
. J:;./: J;;. Z: J::-3:
Al
1I
+
lo
Al. , +A
3 3\
A~2.. + A~t. + A~¡ ' A~~ + A~~ -? A~3
Si hubiéramos contraído j con k nos hubiera dado el vector covariante yas componentes son:
A~K
cu-
i= 1: i= 2:
i=-3:
Hay que anotar que la contracción solo se realiza igualando un índice covariante con uno contravariante ya que la igualación de dos índices covariantes o de dos contravariante s produce una cantidad que en general no es un tensor; por ejemplo si en A igualamos i con j nos produce ~L' que se transforma así:
0'
A
dJ{ - --
•
djJ
.
é);t ..... é).x l'
4S
igualando i con j re suIta:
~j~ ~
aX""
8:::t. l'
Se puede ""preciar de esta ley de transformación que A ~I..' no es un tensor porque no se transforma como tal esto es, (Si estamos en espacio tridimensional por ejemplo) las tres componentes de A ~'l (una para cada valor de k ya aue se suma sobre i) se convierten en 3 3 = 27 componente s y sabemos qU~ para que una cantidad sea tensor cada componente se transfonna en otra según la ley específica del tensor pero no como en este caso en que las tres componentes se transforman en 27 .
A:?
. Producto interior: Si se realiza el producto exterior de dos tensores y luego en este tensor producto se efectúa una contracción de un índice covariante de un tensor con un índice contravariante del otro, el resultado es el producto interior de los dos tensores originales: qomo en general un tensor se, puede contraer de varias maneras (por ej emplo AJ"< , se puede contraer en A~'K -= Al( ó en I\¡'c: = Áj' ) entonces en general hay varios tensores producto interior de dos tensores dados. Por ejemplo, sean los tensores A~, C.$rt = A"f .B +t ; contrayendo también se puede obtener;
C.
jy":-
Bf't
entonces el producto exterior será: ,1.(, con Y resulta: (J't. ':. ~ A~ Bvt t: A t: L ~V'-t:::' s"8 Y'4:.
c: r'l"t
Si se efectúa el producto interior de dos vectores, uno dado en sus componentes covariantes y otro en las contravariantes resultará un escalar ya que:
AL'::. I
A
P X .t' A l' ~j1'
)
BJ'::
d'1: B;._
Ó~, ......
'd..x
():::í.~
• L
=-"/
I
I
producto externo realizamos la contracción i
A"Bi
= j
si en este
obtenemos:
a ~ :' ~ó) j ~. A ~ B
:; 51 ~ '+ Al' B ~ éI'jt d;tl !f. ~jf' ,. l' Al' f < ~ A 1\ B ~ 3 () r .f3 q.::: 1, l' '-.?
=
L'
,
se demuestra así que
Al'13 f
='/ -
-
es un invariante de una sola componente
I
o sea
46
un escalar; esta expresión es la misma ecuación 5-17 que nos define el producto escalar de dos vectores la cual se convierte en coordenadas cartesianas ( o -? sea vectores bases unitarios y sin distinción entre la base directa aL y la recíproca en la expresión conocida AL.'.3l = A, '8,+ Al.lh + A~ 13 '3 (para el espacio tridimensional) .
al' )
Cociente tensorial: ' La división entre tensores no está definida; existe sin embargo una operación que puede ser asimilada a la división. Dado un conjunto de cantidades (mas propiamente dicho, un conjunto de funciones de las Yi) queremos averiguar si ellas son componentes de un tensor; una forma de averiguar esto es determinar si se transforman corno tensores es decir, comprobar si al cambiar de coordenadas Yi a las Xi esas cantidades se transforman por medio de alguna de las ecuaciones 6-1, 6-2, 6-3 que nos definen a los tensores covariantes, contravariantes o mix:tos. Existe sin embargo otro' método que en muchos casos es muy práctico; consiste en esencia en multiplicar el conjunto de cantidades (o sea funciones de las Jl') dadas por tensores de tipo y rango conocido, según el resultado de esta multiplicación podemos decir si las cantidades son o no componentes de un tensor y en caso de que lo sean, podernos determinar el tipo y rango de este;vearnos algunos casos: L:{
A
Si el símbolo representa un conjunto de 9 cantidades, (funciones de la:=¡, J..(....) si fu' es un vector covariante arbitrario y si el producto interno ALJ Bj' produce un vector contravariante, entonces podernos afirmar que AL! es un tensor contravariante de 20. Orden.
a)
I
t'S
A
La demostración es la siguiente: como BJ es un vector contra variante entonces se "transforma (sus componentes) así: 'Il
A
~
E~
~ p x~ g 'j "
Aú· lJ . J
Pero nos dice el enunciado que ] j es covariante
En el lado de la izquierda
g
=9
es un índice mudo y lo reemplazarnos por .!!!... .:~
47
,
I
'éLX~
Al(l'WI Erm ,
( AI~"., _ o Y.._"<
ax ALJ,a
'j ¿'
Q
~.:t.::"
d Ji
d'j "
..,
.....,
djJ
•
lrYI
::"0
=-"»
I
A LJ' ) 5trn - o -
Para un valor dado de k la ecuación anterior nos resulta una ecuación con 3 términos (en el espacio tri- dimensional) . Cada término multiplicado por un valor distinto de B'm (m::I,2,3) y como el , vector B m, es arbitrario entonces para que la ecuación sea nula se debe cumplir que se anule cada uno de los n términos por lo tanto: I
A K,.,.., , WfY""\
A
-
:.
-,?
X; d
9 x""" A I.'j'
?
'jL
,
o sea las
'a 'jJ'
A
.
1J
son las com-
ponente s de un tensor contravariante de orden 2. b)
i Si B Y cj son dos vectores contravariantes arbitrarios si A,. es un con)
1J
junto de cantidades (conjunto de funciones de las Yi ) de las cuales que-o remos saber si son las componentes de un tensor y si el producto interno Aij BicJ es un invariante, escalar, entonces Aij es un tensor covariante de orden 2. ~
Esto lo demostramos así: por hipótesis, ,
Bi = dyl
I
.;);('<
5"
A 'J' l
I
AJ<.Q. E'"
=-7
I
(..f ::
A.-· J
•
•
~l (J
•K
~'j~ ~. B ;;JXX ;:):xr¿
c..• .!l
=Y
i
' J ,como B-, c son vecto-
res arbitrarios entonces los términos entre paréntesis se deben anular
=-'?
• tensor
48
covariante de rango 2 . En forma ~.r,t
A,'J
j(
i. B¡¿ =
Tensor contravariante de orden tres = Aijk)
siendo],i un vector covariante arbitrario entonces las Aijk,l tes de un tensor contravariante de orden 4.
.
son las componen-
Las expresiones anteriores nos dan la idea de introducir un algoritmo de división entre tensores; veamos los tres resultados obtenidos: A<"j
7-2 ,
7-3
7-4
.
AZ¿.i 8 e J Al.')' d .!3 R. L
es tensor
A if
escalar ) ~
-::.
{; (
-:;::.
A ,'j'
1(
:::::!:)
A 1.'/ H 1.
e s tensor
es tensor
Podernos pensar que en esas tres ecuaciones lo que se hizo fué despejar la cantidad que se desea averiguar si es o no tensor ( A':1 J A l.j' I A iJ" 1< 1.. respectivamente): realizando este "despeje" obtenemos:
., AL' A'-j::. lJi AL)':.
A Bl' t
'
..,.. " • .".., I
"
;el vector covariante del denominador pasa al def\Omi.n.adeF- como cotravariante -=-'?
-. .J
; tensor doblemente contravariante (siendo .B : el vector contravariante "inverso" 'del vector covariante B j ) . ,
Análogamente: De 7-2: :
y de 7-3:
En lo que acabamos de desarrollar no
tensor covariante de orden 2 (aquíBi, Cj son los "inversos" de Bi, C j ). vector contravariante de orden 4 vector" inverso" de 13! )
••
( 1ft:
hemos definido el cociente de tensores,
•
1-
49
porque este no existe, lo único que hemos hecho es inventar un artificio que nos permite conocer el carácter tensorial de un conjunto de funciones a partir de su producto con tensores de orden conocido y del resultado de este producto; lo que hacemos entonces es despejar la cantidad cuya "tensorialidad" deseamos conocer; este despeje lo hacemos ''pasando a dividir" los tensores que están mult':'plicando a nuestra cantidad y en este "cociente" pasamos estos tensores al numerador cambiando los índices covariantes en contravariantes y viceversa. Veamos un último ejemplo: Si A .. es un conjunto de funcione.s de Yi (i=l, 2,3) (n o sabemos si s'on o no componentes de un tensor) y 8 JI( es un tensor arbitrario covariante de orden dos, entonces si al efectuar el producto interno Ai ~J'I(' el resultado en un tensor AIJ' doblemente covariante podemos de la "ley del cociente" despejar a A t! así: Il.
L
K
A i . 8;'1( ~ A ,'j' ~ • K A -JI( l< A i e _ ,'j_ <::. A (j 8 ::: A ( BJ'I<
I
por lo tanto los
A
1< i
son en efecto componentes de un tensor mixto de orden dos.
PROPIEDAD
fUNDAMENTAL
DE LOS TENSORES
La propiedad más importante de los tensores es la de que las ecuaciones tensoriales en las cuales se dá la igualdad de dos tensores o se enuncia que un tensor es nulo, son ciertas para todos los sistemas de coordenadas. Para poder afirmar esta invariancia de las ecuaciones tensoriales con respecto a los distintos sistemas coordenados se debe cumplir necesariamente que los tensores que se están igualando en la ecuación tengan los órdenes covariantes iguales y los órdenes contravariantes también iguales es decir deben ser ecuaciones del tipo:
Orden covariante de A= orden covariante de B= n.orden contravariante de A= OrJ den contravariante de B=s. Para demostrar esta propiedad fundamental de las ecuaciones tensoriales , notemos que si en un sistema de coordenadas Yi (i=1(2,3 ... n) un cierto tensor se anula, entonces se debe anular para cualquier otro sistema Xi (i=l, 2 ... n) (ver ecuación 6-4); ahora t si se tiene una ecuación del tipo: -t .JÁ
A ..,.s V
7-4
TI -t
:::
..9'('
.c.4.
~v
debemos demostrar que esta igualdad se sigue m.anteniendo cuando cambiamos de las coordenadas Yi a las Xi es decir debemos demostrar:
•
-"
50
, el. f
..B
7-5)
a..l;¡ c.
-t..... tA.4. La forma más sencilla de llegar a 7-5 es notando que de 7-4 ) el tensor Ay.s,,-:B1'"Sv
es un tensor nulo y como el tensor nulo es nulo en todos los sistemas coordenados resulta que al cambiar de coordenadas Yi a las xi , obtenemos 'd f ~ A'df Idf o.hG a.bG ::. o =-7 A.b!..;;'.B c:t.b c.
ziJf
A
Esto mismo se puede demostrar de otra forma. Tenemos de las leyes de transformación de I eS j
Aa.bt. ::
A yso" -t..u
•
•
t
'O x d , 'C) X d j ."" ,<:9 '1 ~ d'it .91""" é),X
~~~
dJoV..
ª-L a 1~h
8.xq.. :d:t.
? ~t~ e>'xc..
Restando obtenemos: 'di
A A.!>r..
J
-
J.f
lJ ct.bc
_ -
'j~
d
rJ.f-
A c:t.,b '-
r--
a '] ~
d j 5 ;;;xa.. d x b
Id}
::::
.B Cl.. b c.
Vemos que para poder hacer esta demostración se necesitó que los tensores A y B tuvieran igual orden covariante (3 en este caso) e igual orden contravariante ( 2 ); si esto no se hubiera cumplido, no podríamos haber hecho la resta de los dos tensores (porque la suma y la resta solo está definida para tensores que tie"nen el mismo número de índices covariantes y contravariantes) y por lo tanto no hubiéramos obtenido la igualdad A = B al cambiar de coordenadas; por lo ta.nto si la ecuación tensorial A~5 ;;. es cierta en un sistema Yi I podemos asegurar que en general no será cierta para cualquier otro sistema coordenado xi-
13:;
•
CAPITULO VIII TENSOR
A-
METRICO
INTRODUCCION Vamos a estudiar ahora un tensor que nos permite cuantificar el espacio que estemos considerando; el tensor métricO, como veremos, es simplemente un conjunto de cantidades, en general funciones, que nos sirve para Il!edir distancias sobre el espacio y por lo tanto calcular áreas y volúmenes; en otras palabras, con el tensor métrico logramos introducir una métrica en ese espacio, sea euclediano o no -euclediano. Llamamos espacio euclediano n-dimensional aquel en el cual la distancia entre dos puntos cercanos PI (x"'P1),:-p1. . . '- -"X"",,) y 1\ (]{'fll+~X1'1 , __ _ -- ___ x-rl'l'\-\"~t;>"'" ") se puede obtener aplicando el teorema de Pitágoras en n dimensiones siempre y cuando pueda existir siquiera un sistema coordenado -::t~ ( x" "Lt.,- _--:xfil) fijo en el espacio con referencia al cual se pueda expresar para todos los pares de puntos próximos de ese espacio la distancia entre ellos ( A y) corno: -
8-1
Jj'ff
"Z..
=-
'"
A
:L-r,
"lo
T
'l..
"lo
+- ~::L-p""
l\ X'f" -+- b .:t:'f3 +- - __ - -
1.\ Y., es la distancia entre los puntos cercanos PI. y P2 ; si la misma fór-
mula (con referencia al mismo sis tema coordenado) se puede aplicar para cualquier otro par de puntos a.1(:::c.~'J:LiIl~, ___ . .:tQ.... ) y a. . . (~~,+Al(EI.~_-;;Cq ...+ll:tt!_) decimos que el espacio es euclideano, así ~v~ será: "l.
..6 y~ .:;
'1...
A XCilI
't..
+
/j:t.. Q. 'L
'
..
6 ::I..~~ +- - - -
,
b:(' ~"'t'\
Espacios euclideanos que conocemos son por ejemplo: un plano en 2 dimensiones y nuestro espacio ordinario -intuitivo tridimensional I sin embargo, no hay razón para que no conside,remos espacios euclideanos de mayor número de dimensiones; en todos e,l1os la característica es la de la introducción de un solo sistema coordenado que nos permita para cualquier par de puntos próximos medir la distancia entre ellos de acuerdo con Pitágoras. Llamamos espacio no-euclideano n-dimensional ( o espacio riemanniano) aquel en el cual no es posible encontrar un sistema coordenado fijo (;x 1) X "lo - - - x~que nos permita para todos los pares de puntos próximos de ese espacio expresar la distancia entre ellos según 8-1; de este modo para medir distancias en un espacio no euclideano se necesita considerar coordenadas variables en ese espacio; por ejemplo la superficie esférica es un espacio no euclideano de dos dimensiones porque no
52
Xz )
se puede encontrar un sistema de coordenadas ( Xl) fijo en esa superficie de modo que se pueda expresar para todos los pares de puntos próximos en la esfera la distancia /J. y como
Pocemos también apreciar que la superficie esférica se puede considerar como espacio euclideano si se estudia en un número mayor de dimensiones que dos ya que si introducimos en el espacio tridimensional un sistema (xl x 1 x 3 ) para todos los pares PI, t.i si se puede expresar 6 v por: ) 2
-
Se puede generalizar, (esto se demuestra en el estudio de las geometrías no euclideanas) y afirmar que todo espacio riemanniano n-dimensional se puede estudiar como euclideano si se considera en un número mayor de dimensiones; por lo tanto todos los espacios no euclideanos de dos dimensiones se comportan euclideanamente (esto es Av se mide por 8-1) si se analizan en el espacio ordinario tridimensional. Debemos pues notar que el carácter de euclideanidad o de no-euclideanidad se define cuando se considera el espacio n-dimensional en esas mismas n-dimensiones, no en un espacio mas amplio; así, nos encontramos con la no eucledianidad de una superficie bidimensional (se pueden considerar" superficie s de 3 ... n-dimensiones, los llamados manifold s en inglés) si estudiamos su geometría intrínseca es decir referida a coordenadas variando sobre la superficie, pero no cuando es eudiamos esa superÍicie con ejes coordenados fijos . 11
B-
Componentes del tensor métrico (componentes covariantes del tensor métrico ó fundamental) . Hemos visto en la introducción que para un espacio euclediano n-dimensional la distancia entre dos puntos cercanos se puede calcular• utilizando la regla de Pitágoras y tomando un sistema cartesiano fijo yl; si los puntos en cuestión están infinitamente próximos, la distancia entre ellos la llamamos d,5 y se cumple entonces:
8-2)
(sumando sobre i= 1, 2 .. n según la convención de Eisntein) .
Si el espacio es no euclcdiano de todos modos se pl.!ede estudidr como
S3 euclediano o sea aplicar 8-2 con tal de tomar un número suficientemente grande de dimensiones; por lo tanto 8-2) es la expresión de d.s para todo espacio sea euclediano o riemanniano. Ahora , si definimos un nuevo sis tema coordenado xi ::z:1::,zJ (
J' J 1._ - - - :1"'1)
;t"'-:. x""
L:r~
I
tal que
7~:::t-z..f...j"'JJ: ---J~) •, 1,
o en general inversa es
X
.:i L'
L',.
---J""')
j'Z.J -
(J', J 'Z.,
------
J "")
y si la transformación
J' -:. J' l Xl, X"L, ___ - - -.x. '>l) J J" (X" .:i.. '2-, ____ - - -X 7)) 'Z..::
,I
.),'1'1::,. •
J~(:t.J:t I
•
'J -= 1 ( d J L'::;
o en general
L
cambiamos el índice mudo
'2.. J
-
(:X., X2. I
---
-
_-:i..
-- --
.."
.:t"")
) , entonce s tenemos:
•
d~j
J
( sumando sobre j= 1,2 -n)
en el segundo factor por 1< para efectuar la multiplicación.
Tenemos así:
iI.jL· d.-=t i d:L K dX"
I
En el espacio n-dimensional esta expresión de llamemos: •
•
8-3)
•
~.:¿t, .d ':.r a:;tJ axll.
(suma sobre i, j, k = 1,2 3 .. n)
::. 3J ""
c.\-5:2-
tiene n 3 sumando;,
o s ee :
a:e',
"dJ~ + ,2>.1: d'j:J, d ::(J' ct:L ,;. d::L J a.x.""
)
S4
(j I k índices mudos = 1, 2 I --n)
Resulta: •
Sabemos que los d J.. son las componentes contravariantes del vector desplazamiento y como d..:S1.. es un invariante, ya que la distancia entre dos puntos cercanos no depende del sistema coordenado empleado, ob tene mos de 7-3 que los ;}ix son las componentes covariantes de un tensor; este tensor es el llamado tensor métrico el cual propiamente habIendo es d..s 'L (invariante) y sus componentes las podemos escribir en la siguiente matriz en el caso de espacio tridimensional: ""J
~ll
;]12
§-21
~22
~31
-
De la definición de ~il( en 8-3) observamos que:
;entonces corno para el
gú'
tensor métrico se cumple g,:.i = por lo tanto: 8-4) d.5"L;;: ~f.i :tldxJ'
a
,
,
,
decimos que es un tensor Slmetnco con {j'J'simétrico,
Veamos como está relacionado el tensor métrico ~ IJ' (lo designamos --":lO por una componente genérica) y los vectores base covariantes 0., a1..J
a;
J ---
«I';J .
,J
-
~
~
En el sistema cartesiano en n-dimensiones ( jI) Jz. ____ ~ j ...... ) si l.,) t:~ ,----.i I'Y) son los vectores unitarios ba se la expresión del vector posición Y de un punto 'j t' (i= 1,2 n ) es la siguiente: )
I
"
La expresión para el elemento ds es:
-:=
G~I~"l.+- @Jl..)~?- ~----- @-J"')~ d J t' d 'j t' (L' ::. 2 , ---- M) , J)
~
y
Ahora: d. puede expresarse en funci.ón del nuevo sistema de coordenadas curvil~as ~'}~\ ~~ ___ x"" con 'XL':: xL'tt'f~· __ -.:(")así:
dy "'- pY. é) X
Ji' I
1"
Ji? J.~ a:::l. 'l.
1.
+ __ ,
t-
a"?..
'o x:....
d. x
"'l
~
ay
.;:;.:x.
<:>LX L l'
55
,
solo varía y en cada una de las derivadas parciales a lo lar. go de la coordenada Xl (para un i específico) permaneciendo constantes ~ los dsmás .:x J , ; esta derivada 9'( es el vector base Q.,' (t':IJ 2.-,.,.,\
a.xJ
')
definido en el capitulo 3..
Obtenemos así:
--?
a. -::; , a.. ~L. ay , el ~J' J
-
aY!.
d
)!. t'
8-5
r-
d]i.J
,
ax.
-=-~
--
Comparando 8-5 con 8-4 concluimos: 8-6) gaJ'" Q,·.a,j' ;para emplear una notación utilizada ampliamente en los libros sobre cálculo tensorial. seguiremos llamando de ahora en adelante los vectores bases covariantes (o directos corno los hemos llamado por diferenciarlos de los vectores b::¡" -::;?¡ ) ~ ' esto podernos escribir ses reCIprocas..,.., V~t' ar: como ?ci l ' ; segun 8-6): ~U· = €lt" ~j" ó sea que cada component~ ¿j'".J del tensor métrico es igual al producto escalar de los correspondientes vectores bases fJ¡.· ~i ; desde este punto de vista se puede apreciar nuevamente la simetría del tensor métrico ya que el producto escalar es conmutativo e s decir: -.-, -';>
--
J
~I:J
: fll"
~J' ~
\,""l..
A partir de Al-.J se introduce una métrica en el espacio considerado de modo que se puede encontrar la expresión para los diferenciales de área y de volumen en espacios referidos a coordenadas curvilíneas y luego por integración se encuentra longitud de curvas, área de superficies y volumenes de sólidos; esto lo estudiaremos en el artículo referente a tensores relativos, /
Veamos algunos ejemplos del tensor métrico f/I'J' referido a varios sistemas coordenados en el espacio de 3 dimensiones. a)
Coordenadas cartesianas
J5'L-"" (J ~ 1) 1.. +@1")1.. + -- _~ j"')"l.. por lo tanto: 8,1 :=. I I /ln.,;:. ') 833:::' I y el resto de los ~ L'J' es cero; por lo tanto en coorSabemos que
denadas cartesianas el tensor métrico coincide con el delta de Kronecker ~IJ' = áLJ' ; si colocamos los componentes del tensor CJ
56
1
o b)
o
o
1
o
o
1
•
Coordenadas cilíndricas.::¿L; la relación entre las coordenadas car• • tesianas J L Y las cilíndricas ::t. l es la siguiente: Ejemplo del art. 3)
::: a:1~ ..d J'~
Sabemos de 8-3) que:
J;(L
(k índice mudo)
d:xJ"
por lo tanto: a~' ~l,
-
éJ~t'
a::LJ
... ~(X'5.w X 1) ,d[:¡" .s~:tl)
d :x.t"
a .:x. J
•
Obtenernos por lo tanto:
Desarrollando J obtenernos que los demás 8'j' son cero; por lo tanto el tensor métrico (dispuesto como matriz) resulta ser: 1
o
o
o o c)
o
o
1
Coordenadas esféricas: la relación entre las coordenadas cartesianas .J~' y las esféricas .:xl'es la siguiente:
57
x.::. J ':<- y S.(/V\ ~ ea!> ~.:; .:t..'..s ' ,)I! l...D S ::L 3 J ~ .j"L;: Y j~? ~Q-~ .::L' ,5..(.N¡ ::L2. 5~.x3 .z. -: . .j:) -;:. -y e,o> 9 ~ Y.. cp .s )L "lo "t.
'1.
I
Estas relaciones se aprecian en el siguiente gráfico
.... ., ,
é=:e , -.. --.... "'-----... ... " . . . . .(ql .'" , ,, ..,
l
-
" 2':
~
'\
;
... --------- ---~-.-.-.--- ,<:¡P ~ Lx,:t.:t)::; (~9, &) '\
\~
\ ~z. \
\
\ \
\ \
'-.....
\ '-..,.
_a (x '.,Ú..nx1.cpsx3 ) ..
'iJ (( ~
tenemos:
......... -.....,¡
é">(t Ij.¿." X 1. co.s X 3) +
éi .x L -1-
a
(X'c.oS;tI) . .a ():,'loj-X 1 )
::=
8
l. '1. .:;
1.
.5 ~
S..u..,'l xl. ( ÚJJ "l.:¿3 + .5~"t x;)
(.x'
C,o.5 X
= (.:r ,) 'L. [
833 -;:. (:t..I
(
I
;;)
o sea que:
:x.1)'lo T ~..s x.1.) '1. T OJJL;:L7..
.:::
I
(x I cp S ~ L 5..(..on re 3) 2. + (x J J -
~ t..o S ::t.. J )
Co.5 z X."l.
a x t."
é);X.,J'
(5 ~ xl- Co.1 .z J y-+ (.shn x
::
a[x~~JL2. ~;t") :;3 (X~:¿lJ¡.,.;(
d x)
O:X l
~1I
I
2. 1'"
~.kr)X1..s~ :c3)
I
1. t ( )t'
-S.vnx.'2. [JJs,:;¿])
'l..
.=(:(.)"1. [5~x'l( 5.....","Lx 3 +-~~\ x"!l)] ~(x')'Z.~~X7..",," y-ls~t~
,
::i. j'
58
3'J 'son cero
Desarrollando obtenemos que los demás para coordenadas esféricas:
o
o
1
por lo tanto,
l
o
o
o
o
,
-
Los mismos resultados anteriores se pueden obtener a partir de los ~ -::":> vectores base covariantes ya que 8':J- = J así:
3('
gl" [,.,
.....,. ..,.
a-l)
Para coordenadas cartesianas los vectore s base son L ,J'. K que son vectores unitarios y constantes en dirección por lo tanto " ~ J g~:= -¡¿ } se obtiene:
8:
r ...,..... --
g.,:.l..i=/J fl'1;:
b-2)
- ..... j
L',
:::
T } g;:: -...
~
3u.::.j·J-=-/
0.)
-
J
etc~los demás
&, ::. ~ : :. --.
fJ
1.. ':-
-
ti lo
~.s:xl. 1; r .5..(rn :x. lo
J
son cero.
En el ejemplo final del artículo 3) obtuvimos:
-....
J
-
i:
:::. t
J
""-
~ ~ lb ~
•
L,3
Se obtiene: -e --.
::. ez:;~"l X
;
(- XI
Z
¿ . i.
.5.(;'W');i. 1.. )
-..
___
-
+- 5~'a xl. L~, ¿~ ::. J (~ .:~~.I _'Í..t.o."I xl.) ( I • ¿' I +
-.
TL:t'ÚJ~x1.+- X'WJYl.) ¿:r.l: -;:.~,y~:::. Q
__
el 33=-
fh .~h:
á'12.:: ¡.. g:
~-"7*
Lj. L 3 :: J ~(Ct;!>::t.7. Z +- 5.kn;{Z¿;),(-.x I 5..v., Xl.Zt-:x. 1 co.r::t't7:),..o
.J
gJ'j' son cero
los demás
c3 )
"(1-
para coordenadas esféricas.
Encontremos
d (J,
-..
l:
-.
r
f}. {t.
-1-
'j,
73 )
Tenemos:
~l
_-.......
.--.
~
-::
g;. : :
S.lh\::l'l. X
!:"""1t
~:3:::
-
I
l..OJ:t" {¡ t-S~:::L"l.s~X~¿2 -I-UJS;CZ i3
Ü?~l2. ú:J.>x3 t:' +
X
.s..tH\:t l 5..f.m Al. 3
-X. --"11
l.
'c.o:sxl.S~::t) G-X' ~)l2 Z; +- :t 1 .s..(.,Y\ :t 't. (!.o
-=S :t.) ü
--'i>
S9
a"
:=
--
'8" 'J, =-
I
De los resultados obtenidos en los tres casos anteriores se desprende que el diferencial de arco J ~ se puede expresar en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas respectivamente I de la siguiente manera:
cf!,?.~ G~,)"t+(d)'lr-+@)l)\
d-;'"l. + J'j'-4-
d?::"2..
dS7..:: G.:t')l"t"(X·)~Xl)\@y?)\:: d~1.. ~ .(2-d.'8-"L+ d~?.
J5
1..
~ @X') 1. +-C?l' )'(d :r1.) '"+ (t ~ xl.) ~ y))'L:= dY1. .f- Y'dcJ,'L+- . (l 5.v~;t rp Je."l..
Estas expresiones de el ') nos permiten por ejemplo, hallar la longitud de un arco de curva referida a un sistema dado de coordenadas ( sea cartesiano , cilíndrico, esférico u otro tipo cualquiera); en este caso, ca-mo se e studia en geometría diferencial, las variables :;:L' X \ x ~ (y por lo tanto los correspondientes diferenciales dx', d x"L, d,,¿3) son funciones de un solo parámetro) por lo tanto d.s queda expresando en función de una sola variable pudiéndose hallar la longitud de un arco finito de curva por simple integración. J
c-
Componentes contravariantes del tensor métrico ( tensor conjugado) -'l..
Acabamos de estudiar la cantidad d S como un invariante que se puede expresar en función de los diferenciales contravariantes Jx t ' (i =1,2 , . , n en el espacio n-:- dimensional) y de ciertos coeficientes ~'T los cuales, como hemos visto, son propiamente las componentes del tensor d? estos se transforman doblemente covariantes al cambiar 1")'
8
--3i
)
de un sistema coordenado a otro; también hemos estudiado que ~I:'f = ~'" por lo tanto podemos apreciar que la fórmula: d:$'Z.:: g. .f d. ~l' cJ ::t J ' expresa el hecho de que el tensor se encuentra referido a la base covariante lJ,· (llamada al' en el artículo 3) ; sabernos sin embargo que las componentes de todo tensor se pueden expresar ya sea referidas a la base covariante ( 4:. ) o a la base recíproca o contravariante (aL' -=- ~t' ) ; -
-#
en síntesis: 8-6)
-,
siendo d'X l..' los diferenciales tomados a lo largo d e la base contravarian--. te al :: V ::t l' (ver ecuación S-7 a) ,
60 Así como en la parte B de este artículo concluimos que 'l,,{ son las componentes covariantes del tensor. , métrico, de la misma manera podemos ahora (de 8-6 ) concluir que son las componentes contravariantes de un tensor de 2 o. Orden ya que a 1 multiplicarla s por las componente s covariantes de dos vectores ( J.:t~) d~i :componentes covariantes del vector d-:; ) produce el invariante c1~~ (ver art. 7 cociente tensorial).
g'J
I
Encontremos el valor de los términos
:J ''J' del
3
tensor conjugado
l'
•
J
•
Tenemos en coordenadas cartesianas: -
_1
'1.
L'
)
L'
a ':1 a ~ ;:: d ~ " d J(' ya que en el sistema cartesiano no hay diferencia entre las componentes covariante s y contravariantes de cualquier vector (ver art: 5: producto escalar). Ahora I si pasamos a otro sistema coordenado Xl (i = 1,2 I • • n) sabemos que las componentes covarian tes se transforman así:
doS
:=.
por lo tanto: I I
,
d. :::i.i
I
Tenemos entonces:
J
d::t. I C
con:
•
I
a~J axl( 01 'jL' -d 'j'"
por lo tanto
J
. a.:tt., ~ x
son:
,
8-7)
.
é)'jK
los términ03
S J'J'
J
.'
a~1(
(k: índice mudo :1,2, .. n)
(m: índice mudo: 1,2
Ahora: de 8- 3 " por lo tanto el producto interno
a- 'j ~. a
){.J
a
'j 1(
.,
n)
es igual a:
j"?1"¡
pero:
a:xJ . 'dX 1
a
I
•
Tenemos pue s ',
(vale -.l para k= m y --º para k;i: m )
a::t.' _ a.~R ,
\
61 L•
.'
Al concluir que;S-S) ~ü. ~ tJ :: &R hemos deducido que el tensor conjugado t"J' como matriz, es la matriz inversa del tensor métrico ya que el producto interno de dos tensores I el uno doblemente covariante y el otro doblement~ covariante nos produce, como matriz, la matriz producto yademás como matriz, es la matriz unitaria; por ejemplo si estamos en el espacio tridimensional S-S} resulta:
9
I
S;,
$11
g12
'/13
Ó21
3-22
~23
J31
!-32
d33
•
~12
l21
~22
d(f23
31
~32
J33
3-
dI' 3/1 á'1l. d
'l.' +
~
l' d
11
/ + 3,1 d .¡.8,) 8 S ~" 33 d" 3d d r,lo ~d" ~JI 3 1-
l.l
2
13
¿ZI 8" +:Jo d
13
-
1
o
o
O
1
o
o
o
1
de sarrollando se obtiene:
•
./ 1"
~ll
11
+-
32)
~31
:; I -:-0
:.0
"'0
Estas 3 2 ecuaciones (n2 en el espacio n-dimensional) estan representadas tensorialmente por la ecuación gJ"~ <.1' ¿,~. • ~
g
De lo anterior podemos apreciar que una forma de encontrar las componentes del tensor conjugado es:
d(('
G ·:f.
siendo
•
I
en la matriz
~ 'l'
y
\
~ 'J 1
el cofactor del rermino
el determinante de esta matriz, esto es así
62
porque como sabemos del álgebra de matrices, la matriz inversa de una matriz dada es igual a la transpuesta de la matriz de los cofactores dividida~or~u determinante y como 31J' es una matriz simétrica (~I'J·=¡","i.~ ;;. ji. gl' ::. dJ'l')) entonces coincide la matriz de los cofactores con su transpuesta.
- -
Así como las componentes !lIJ' se pueden expresar en función de los vectores bases~.: (ll.i como los llamamos en el arto 3 ) de la misma mane~ los ~t'j' se expresan en función de los vectores bases recíprocos \{"X.~) si estamos en el espacio tridimensional: a :t.,' -:"' a ' ---. ~ ..,. ~:ú' .. e. + :t!. lz + ?x~ ~ l~ "::: C7-X': tIC
- - -- -'V -
siendo C.
,
Ahora:
'(j ::ú' •
porque
-
d .:t.t.' LK
:tJ'
~
Lw. ,
--:o ,
l..t,
é91t
,
en el sistema cartesiano '1t 'í 1-,:1 J
= ~ kl!
,
Xl' OYf.. ,
;.> 'jI<
..
.
~
'1 ~l'
::?'
e¿ -- d
,
JR.
.
•
-.. ,
éf.Yj'
d
O> 'j '"
.;;J'j"
fJj3
vectores unitaria;
l..)
(, J
J
é)'j,
,
'V'Xj
~ 1(1
é) .'J'~
"d.:ú' • ;;) jJ' •
-
.;3 'j J<
;;; J
J(
Comparando con 8-7 obtenernos : ,
para seguir una convencióh am-
)
pliamente utilizada, seguiremos llamando • ,
~ IJ
-.
:=-
fr',
,por lo tanto "
--11'
~j
Resumiendo lo obtenido hasta este momento con respecto al tensor métrico y su conjugado, tenemos:
l:fS1...=
dlJ
3c'~' ':.
con:
~(f=
el X t ti
';:f.J':=
~ K ,é> 'j ~ ax J dX~
- -
~ ,',, ~ J' , a.:l ax J
~ ,'J' d :L.,'
d~'
J
'!::
s el. J{(dx' ' J
~, O,
(k índice mudo: 1,2 1 - - n)
;;f1O
-
(
~ .q "
l
a'j;{ •:,j
3
a'J~
-?
•
=
( ~IJ' : cofactor de ~IJ -..
J
•
~t' =
--
d.:;
- ad ::>/.4.'. JI(
-r1
~L'
en la matriz ~)
-."
•
~J
(
de 2-3
)
63 •
d-;, ~::
E s te último resultado surge así: J!, 'l....
d
X¿·.
c:i. '.)(. lo
(de 5-17)
,
-
d.5 :.
por lo tanto
I
't.
<:;. J
l'
d -:;¿ d ').'i
<:J"
se obtiene', )
- -
•
En el caso de que el sistema coordenado considerado sea ortogonal, tenemas: ~'i =: gL', ~i -= o ,para l..:J.{ ;enestecaso 1 ~':.I'f es igual al producto de todos los ténninos de la diagonal principal y el cDfactor de cada ~ ,'j" e s cero para c:::J:. J' e igual al producto de todos los término~.de la diagonal excluyendo el término ~I'J" para i=jJPor lo tanto de: ~.. j;:. ~'J".deducimos que si el sistema coordenado es ortogonal en-
~
tonces:
1$.:1'1
~"f::
t'J':::.
..
(l"* s')
o
y
tg-q,;: ~I"J:
:
8-9)
para
• • c.::J .
Diferentes componentes de un tensor dado (ascenso v descenso de Índices) Al principio del capítulo VI definimos que un tensor de orden 'r se puede considerar formado por un conjunto dado de componentes y qu= cada una de estas componentes está asociada, o pertenece a \{" vectores base; así en 3 dimensiones, un tensor de segundo orden se puede expresar de alguna de estas cuatro maneras:
-Al. a.1. LI' d ""a.' ... A' z Q 0...1.;- A :3 a. +A a. a.. +2. ~ A"J - r¡ 2. ....... .... 3 _.... :) --lo A) -l .} A ~ al. a') .. A I a~ al ~ A z. a l a..: .,. ,.., ") a~ a.. .
-
t '. _
...,
I
I
' ? : -1 (.J..
2.
-
I
-1
l
/1
'L
I
- -
• ,", ' a, . . A.l • ..AA' a3,n1.(J ..... ::
I
lo U.
-3
En la primera forma están dadas las componentes covariantes del tensor ( es decir referido al tensor a la base recíproca), en la segunda están dadas las componentes contravariantes (es decir referido al tensor a la base directa), en la tercera forma está referido el tensor por su primer índice (en este superíndice) a la base directa y por su segundo índice( subíndice) a la base recíproca , finalmente en la última forma e stá referido el tensor por su primer índice (en este caso subíndice) a la base recíproca y por su segundo índice (superíndice) a la base directa; en los casos 30. y 40. se ha
64
colocado un punto en donde hay espacio vacío de índice, por ejemplo en A~~. el punto a la izquierda de la j quiere decir que a la izquierda de j no hay subíndice sino un superíndice que es 1. 'f el punto a la derecha de i quiere decir que a la derecha de i no hay otro superíndice sino el subíndice j ; es muy importante entonces colocar los puntos en el lugar preciso ya que de otro modo se presentaría una gran confusión, por ejemplo si no se colocan puntos en los casos 30. y 40. tendremos Aj:, A j: es deci:" aparentemente no habría diferencia entre las componentes de la 3a. formé! y las de la 4a. lo cual es falso ya que si por ejemplo, en el caso del tensor de tensiones convenimos en que el primer índice (sea superíndice o subíndice) que aparezca representa la normal a la superficie sobre la cual se define la tensión entonces en el caso 3 esa norma está en la dirección de los vectore s de la base directa ( A'. j' = A' i ar.: 0...1 ,siendo aL' vector directo) y en el caso 40. la .normal. al área está en dirección de los --. --. ---. . vectores de la base recíproca (A/ ;: AJ' L ai Ql' siendo Q I vector r,ecIproco) p,or lo tanto son fundamentalmente distintas las componentes ALj' Y las AJ L , •
•
-"""11
-
---.
Se nos presenta ahora la tarea de pasar de unas componentes dadas del tensor a otras componentes o sea encontrar nuevas componentes . ' a partir de unas dadas; por ejemplo: si conocemos las componentes A LJ como podemos encontrar las ' ALJ' ? Este problema ya lo hemos resuelto en el caso de tensores de orden ~ (o sea vectores) en el arto 5~ las ecuaciones 5-17 a y S-17b nos dicen ,
Al - AJ gIJ' ,
Al' - Ai -
siendo
~IJ'
- .- a,'
aJ
~
iJ
3 3
' '
y
L.J ::::
-- ,
D.L
•
tl:1 '
,
o sea las compo-
nentes del tensor métrico y conjugado estudiado.sen este artículo. El procedimiento que debemos seguir para obtener nuevas componentes a partir de unas dadas consiste en reemplazar aquellos vectores base que debamos cambiar para que las componentes queden referidas a una nueva balJ ' liL' ~' se, por ejernp~o si: ,A c.'~ y necesitamos obtener l~~ componentes A.L~,;:. A"j' Cit' al entonces en la expresión...d~ Al; debemos reemplazar en función de los vectores recíprocos QJ • El problema se reduce pues a encontrar los vectores bases directos en función de los recíprocos y viceversa, los vectores recíprocos en función de los directos.
1
a.J
En la parte "operacione s con vectore s en coordenadas curvilíneas" del ca.p, S obtuvimos:
65
5-16)
•
- -
A,' = A ,a,.
5-16 b)
-A ::
- t•
CA.~·), a
En e~ caso de que el vector
-
A
-
--.
Q'J'
obtenernos:
.. •
Similannente :
-
aJo
sea el vector base directo
do/L' O
:::.
1
'
5-16 e
. •
.
5-16 d
,
\
Estas dos últimas expresiones nos van a permitir encontrar las distintas componentes de un tensor.
A¿J x •
•
Si tenemos te forma:
• J
•
~
AL' .•
se pueden obtener las
de la siguien-
A= --.
a.L'
Hemos reemplazado el vector base directo , = jlR base recíproca a...i esto es: t
en función de los vectores
al(
a:
Queda así expresado el tensor en Íunción de la base recíproca por su primer índice y de la base directa por el segundo y tercer índices o sea al efectuarse el producto interno Afj'i( ;I,.~se obtienen la s componentes mixtas A~~ ~ del tensor A. El re sultado, llamémoslo visual, fué la caida o descenso del primer superíndice~ similarmente si tenemos las componentes Aij' JI.. se pueden obtener las componentes A:: H de es ta manera ~
~I(
('.,l
A .=. A {J' K a a a. :.:: A ij'1< g -
..... ;'
t
Hemos reemplazado ,t.i..
Tl·J'x = ALj'K
g
oC:
-
así!
~
al,.':::.
.t A.2·· .... J'-I( (). o.::=. •J 1< a,R a. a.
-.1 ....
- Jl ~ 'JZ. a
; se obtiene pues:
L
t'J
;concluimos, que el ascenso de un subíndice i se obtiene efectuando el producto interno del tensor (e s decir, sus componentes) por el tensor conjugado t',.f
3
Aplicando en forma reiterado el proced imiento a n te rior se pue den ob te ner mas componentes; p or ejemplo u. par ti r de A w'l( s e con sigue :
A'J"( A••
_ -
AL'J·i(Ci.
od )
., K
:: AJI'J'r1, etc .
_
dI("" -
A"'< _
A
l..,. L
-
• • J K ql'n
d ...
Ato{XQ
A'J"O\.
1 ,.
t'ffl)
¿JJ'ff'TI;;'
dXHl)
A
, l~
(J
d ~'l di rm
.,
'" :::
..di j
, rM , r )
j(
.J
c¡ .
66
Si efectuamos el procedimiento inverso, o sea subímos los índices que habíamos bajado, debemos llegar a las componentes iniciales y en efecto: A· J' p< q 2 L' -::. ~ L'it< R..
a
/I
,
,
A I.J RN'I'I. ~ () .. A ~('j :t''''' 8J(1Y! = A l..J ~ ..v _1"\ Q , ,
A· .)(
xi,.,." _
A ~ _, L'.
,'R tritrY) _
8
-
A' J
J(
Jo(
.J
etc, •
•
Concluimos así que el proceso de descenso y ascenso de índices de un tensor dado ( o sea el proceso de encontrar nuevas componentes tensoz-iales ha partir de unas dadas) se efectúa por medio de la multiplicación interna del tensor dado (sus componentes) con el tensor métrico y el conjugado respectivamente.
•
CAPITULO IX •
GEODESICAS y LOS SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL
•
Dada una superficie de dos dimensiones (por ahora y por facilidad de visualización cCllsideraremos s610 superficies bidimensionales pero al final del artículo ge:-..eralizaremos a superficies n-dimensionales) definida por los puntos • :i' (i : 1, 2 ~ referidos a las coordenadas curvilínea s 2t": , si en e sa superficie 7. J 'P"L 50n dos puntos cualesquiera, nos planteamos el problem~ de encontrar de entre todas aquellas cur_v as que yaCiendo sobre la superficie pasan por 7', y P~la curva cuya longitud sea mínima, es decir menor que la de las demás curvas. ~
La palabra "paralelo" no se utiliza en este artículo en el sentido euclediano si'> no que al decir que o.os vectores( pp', G G;?' por ejemplo) que yacen sobre una superficie y se apoyan sobre una curva (ot.. p::>r ejemplo) son paralelos lo que queremos significar es que forman el mismo ángulo con la curva de apoy%~~ "':""';, -"> por ejemplo, en el plano de esta hoja los vectores A y B son paralelos porque forman el mismo ángulo uJ con la curva mostrada o sea con la tangente a ella en los puntos A y B.
,/,"
," -;;-----------¿..,-~---- ----
En realidad este tipo de paralelismo solo se puede definir sobre superficies desarrollables, sin embargo en el entorno longitudinal de una curv-a perteneciente a cualquier superficie (no necesariamente desarrollable) se puede tomar tal superficie como de sarrollable pudiéndose hablar por lo tanto también en ella de paralelismo en el sentido indicado anteriormente; de este modo, la esfera no es una .superficie desarrollable pero una franja definida por una curva en ella y su entorno sí se puede considerar desarrollable por ejemplo una franja de ancho infinitesima 1 que contenga al ecuador esférico se puede considerar una superficie de sarrollable. Volvamos a nuestro problema de encontrar la curva de distancia mínima entre • •
68
dos puntos de una superficie; sea O¿ una curva cualquiera situada sobre la superficie dada y comprendida entre los puntos r, y 'Pz si tomamos otra curva cualquiera ~. también sobre la misma superficie, situada infinitamente cerca de OL podemos establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos "f de eL y los puntos p' de oL', de modo que si C5t es otro punto de ~ infinitamente cercano a ? , entonces--'9 tQ..' es el punto correspondiente sobre • • ~I sienc:.o entonces Gt Gi' paralelo a -p pI Y por lo tanto al desplazar el punto "P a lo largo de eL,.¡;:pl se desplaza paralelo a si mismo en el espacio (en el sentido de paralelismo indicado anteriormente) permaneciendo siempre sobre la superficie. I
I
'P,
La longitud de los segmentos PP' ( Q a', _ _ __ ti v", - - - - ) varía al desplazarse el punto"? sobre ex: , podemos por lo tanto considerar la longitud de estos segmentos como el producto de un infinitesimal E.. , constante para ~ I , Y la magnitud de un vector finito A en la dirección de ppl; este vector A varía (en magnitud y dirección) a lo largo de ~ como una función del parámetro de la curva pero siempre desplazándose paralelo a si mismo (semejante a como . se desplazan los peldaños de una escala en hélice para formar la superficie helicoide desarrollable) . En los punto s
~
y
-:'?
1', obviamente el vector A
Ahora, si consideramos otra curva d IJ los segmentos ?P/l ( (Q Ai' ) __ 111/'; ___ ) serán iguales al producto de otro L (constante para .,¿" y según el dibujo mostrado l:. para a(: " es mayor que para el' ) por la magnitud del mismo vector A definido en todo punto de eL ; vemos así, que una vez definido un vector "A' , o propiamente hablando, un campo vectorial sobre la superficie yapoyado sobre ~ , se pueden encontrar las curvas eL' d....J) J _ _ __ __ a partir de o.(.. tomando sobre el vector las distancias ~A de modo que a los diferentes valores de é.. corresponden curvas diferentes cL')d...", ..... y para E:...::.o la curva obtenida es precisamente Q/... •
r
A:
..
es nulo.
f
<-
~
I
69
Sea L la longitud de eL entre P, y 'P-¿ y L' la longitud de otra curva C( 1 entre esos dos mismos puntos; obviamente 1. es función de é..... y para ¿ =- o ' se cumple L' ~ L J podemos entonces expandir L' en serie de Taylor de la siguiente manera: •
•
•
....
La longitud mínima se debe obtener si
Esta condición no es práctica Para trabajar con ella, pero si damos por supuesto que hemos encontrado la curva de mínima longitud, llamémosla o( y su longitud L) y expresamos la longitud , de cualquiera otra curva infinitamente cercana a ella tendremos:
L '" L +' .-
9-2 )
«
-aL
a!
J )
o
.r .!- [
"2..
..z!
(OLL') ".
+ -I d €,'l- o 3 '.
t- 3
(d'lOLI) + ......•••.• é)
o
Esta ecuación es la misma 9-1 pero con la diferencia de que en 9-1 L es la longitud de una curva eL. de referencia cualquiera y en 9-2 L es la longitud mínima, entonces, la mínima longitud se obtiene colocando en 9-2 : d LJ
.
dE-
9-3)
-=- o
-
=--.."
.L L "L. ~') ~)
dL' _
élt.
-
al.)
21•
t
•. ' ." . • .
=0
-g
~ paComo sabemos que L es la mínima longitud entonces L ' en 9-2 es mlnima . . ra ~ -:.. o ( L' =- L ) y por lo tanto sabiendo que U es mln1ma para L=- o Sl reemplazamos ¿ por cero en 9-3 obtenemos: ~
dL' _
ai
-
(a'L\ - o a E. . ) o -
d'
'Z. I
(9
L')
I L~LI) I L:* \ I (. + .•••.•. E-n 9-2 obtenemos·. L - L -:::. ~~ 0-+.21 a{."- Jo • ~ aE..!> o Se aco stumbra llamar primera variacion de L el tér mino €:.. ( ~ L: \ y se sim...l.
e>{.. ) o
boliza por
9-3a)
~ L resulta entonces:
L' - L : ~L
-I
:;1•
•
70
Despreciando los infinitesimales de orden mayor que el primero se deduce: ,
L ::: eS L pero ~ L:: ~(fi) y hemos deducido que si L es la curva de mínima longitud se debe cumplir (~~) =- o Y por lo tanto: ~ L::: o: 9-4.J resulta
L' -
L' _ L ~
así:
á L -;:.
O
Esta condición es fundamental y veremos como a partir de ella se pueden deducir las ecuaciones diferenciales de la curva de mínima distancia; esta curva la seguiremos llamando geodésica; la geodésica sobre una superficie cumple el mismo papel que la recta sobre un plano, ambas son curvas de mínima longitud sobre sus respectivas superficies. El significado de la ecuación L'- L ::=- á L::. O es el siguiente: de todas las curvas que pasan por P, y 1'2. la que más se parece a las curvas de su entorno es precisamente la geodésica, es decir la longitud de la geodésica menos la longitud de una cualquiera de las curvas de su entorno es menor que la longitud de cualquier otra curva ~ menos la longitud de una cualquiera de las curvas del entorno de r>I.. ~ en realidad la ecuación L' - L -:::. á L ~ o lo que nos dice es que la longitud de la geodésica es igual. a la longitud de las curvas de su entorno pero esto es solo una aproximación introducida al despreciar los términos de segundo y mayor orden en 9-3a , la verdad es que la longitud mínima es la de la geodésica y difiere "muy poco" de las longitudes de las curvas de su entorno.
L' - L ::.
A partir de geodésica.
~ l -.:. O encontremos las ecuaciones diferenciales de la
Sea el S el diferencial de arco medido a lo largo de la geodésica yeb' el diferencial medido a lo largo de otra curva del entorno ( 0<.' ) , sabemos que : L = ('P'L d.. S . )PJ
Ahora: 9-5
• •
~ Jd S
Pero:
.& 9-5a
•
•
~
.&L::. o =7
Se debe cumplir:
:::
JJ
SI
-
f J.5 = f (d.s
J. ~ -.:. ds ' _ d5 ~ ~L-;.
(P"'d.5 )70
S i1~J.S 7.
Necesitamos la expresión para
J
;:. o
I -
(SI ... ~)
d 5) ;::
~5
=- d P..
: : lJ~~ -- L& ~
dS
7,
~
Js .
1,
f
d (S '- 5 ) -::!:)
--
fd!!'S
71
Tenerno s :
•
9-6
••
~(J.s)"L':. (d.~lr'- (.l~)"I.-:.. (J..s'+d..s)( d.sl_d.!i) ': (~cl.S +.J.s-t- Ó..s)(ád~ +d.5-d..s) ~(~JS-t-
pequeña cantidad (
.á d.s )
l.
Ahora:
d.1'
el ~ d ~ J' =? .á(d.s)'l.= ~(dIJ'd:~/cl.::iJ')= 2.dS,&ci5, por 9-,6 , l ~ ;¿ cl~ ~d5 -= d:x¡ d ~J l, 3,·.J + :!~. dx. & d)l.J -r g':f d:;x:J ~ rl.:::i
(ds) " :=
l'
L
Pero:
á ~ IJ'
•
__ (
~ ~},) ~ XK
y por lo tanto: .
é) :lC. J
•
en la última expresión lo único que se hizo fué intercambiar los índices mudos iy~
Subs tituyendo en 9-7) y dividiendo por
d
::t
~' _d
+ .L Z
,
9-8
- -
~d
•
g/" el ::f: J
-xl'!:
d~
J
J
d.5 :;:;.0."/
~.Y J' d.s
ds
el.>
(Hemos utilizado acá:
;t. ~
2.
1 ,'-
,
1-
-t
d.
;t
L' .
el
6 .":(J'
+
-'-
dlJ
d
Cx <-x L') - d 6:x L')
ds
$ x.I.'
el X
l.'
:::
,
•
¡" J;.
Notemos que las dos últimas integrales son iguales ya que como d")'=== jJ', dI' :- ~ú; se puede intercambiar i poyj y j por i en la 3a. integral resultando igual a la 2a, ; vamos a resolver esta integral; designemos la integral por 1:
72
y
integrando por partes, sea por lo tanto:
El primer término a la derecha se anula porque en P, y 'P1 coincide'n la geo, . désica ( .x J ) y cualquier otra curva ot' ( X J .. ~:;!J ) por lo tanto:
.
d-'2
X ~L' ~
;iJ'
d5
d.s" Ahora:
•
Los dos términos entre paréntesis son iguales, basta intercambiar los índices i , k y al dividir por dos nos dá precisamente la expresión de la izquierda: reagrupando obtenernos:
d ~ :' el x. ~ ~ d
el 5
•
XJd
.s
5
Queda así entonces 9-8.
J1\
~L_ -
P.
.L ,0 2
~,,~" el ::iJ
dA)
d.$
PL
Llamemos:
f.!..(.d 3",.i PI l' Z 2l-X ,< 9- 9 • •
-\- acal~r
a.:x.
J.- ( ,o g.j' 2
a.:rK
-t-
-
dJ.'~_) dx~ Jx~ -r dU ~ 2x i _] <>x'¡ d~ d.5 d..$ '1.
? o-=tt.. ~ ~ ~. -
es simétrico cuan.d:o se refiere a 1. y k de primera clase '. Obtenemos entonces:
d
~L '.<
aXJ
)
:::
[L' 1<
)
r J
I
e s te término
Y lo llamamos símbolo de Christoffel
73
Según 9-4 la curva ' es una geodésica si S L ::. o por lo tanto si la anterior integral se anula se debe anular el término entre paréntesis debido a que los términos S :z:J' son arbitrarios es decir para cada curva del entorno (cada una de longitud L I ) de la geodésica existen ~::i/ (l:: 'J :1..) de modo que la integral siempre se anula por lo tanto:
. \Z
d X. 1<
L'
d..J
e .x • ... [,. Ji( 1'] d.sl. J
9-10)
.
==D
En esta. ecuación diferencial el Índice -i es un Índice mudo en el primer término por lo tanto hay sumatoria para i= 1,2 y en el segunda término hay sumatoria sobre los índices mudo i, k, por lo tanto j es un índice libre y como j = 1,2 para superficies bidimensionales entonces la ecuacIón 9-10 representa dos ecuaciones una para j=i y otra para j= 2: por lo tanto las dos ecuacione s diferenciales de las geodésicas para superficies bidimensionales son las si guientes: j=i:
~'J ¿l..x.' +- :l..J~z..x..: + (I'JIJd.X' ~x.' +d.~t
d..5t.
dj
[21,/J
.,Jx,1..;dx: dS
.lj
1"
.J.s '::0
j=2 :
'all
J2.X I '"lo
d3 t
+ ~u. J 1 X
d. oSt
t
1-
[1
I J 2.)
d x.~ J..:x.,' d.5
toD 1.) lo] d, Xl.. -c!.x~• dj .d.~
r[2I
J
dx t
Z ]
c::!j
d.3
+ dJ
.1. )(.1
~ [2.2./L) ...d.x.l..d.x2., --o d.~ dj
--
La generalización a superficies n-dimensionales es inmediata y aunque no sea posible captar visualmente superficies de tres o más dimensiones sin embargo se definen en ella las geodésicas de la misma manera que para las superficies que podemos visualizar ( las bidimensionales) esto es I como las curvas de mínima longitud que unen dos puntos dados de la superficie; por lo tanto, la ecuación 9-10 esla ecuación de las geodésicas para superficies de n-dimensiones y en este caso los índices i, j, k toman los valores de 1 hasta n, re sultando así n ecuaciones (j = 1, ... n) La ecuación 9-10 se puede e scribir también de otra ma n era. a lado y lado por sumando sobre j =-? i:t qRi JZ'¿": Ji . dI'$' d z. + j (L'~ JI) x.c. J. .:x::" _ o
¡-"J'
dJ
J.
9J.~
. dS' -
Multiplique mos
74 R. qJ'::: C; i. q 1. __ c¡>J~ dq i./:. -; Q Q
Pero e 1 tensor conjugado es sim é trico o sea
(ver ecuación 8-8) y para t..':::
~::l~' dxl( dJ dJ Llamemo~; 9-11)
q
(J
Pi
J ' C ( t<~.3'
';:.
r
~ ú:
=o ;el subíndice j no aparece J 1 , j es índice mudo
9
en la expresión de la derecha porque en ~ 'J [ ( y desaparece al hacerse sumatoria sobre él.
Ti~
J )
K)
El ténnino se llama símbolo de Christoffel de segunda clase y se acostumbra también escribirlo como t' fe J .f I es simétrico en j y k
l
'J
Podemos expresar los símbolos de 1 a. clase en función de los de 2a. clase, multiplicando 9-11 a ambos lados por ~ ~~ y sumando sobre f'N\ ••
drm ~ \ el(, ~) ;: á' 1\'nJ( \ l' ~
=
",'J
9-12) "
[ l
K)
1YY11
= d'MR
~
L'kJ Q
~
;:;.?
}
-=-
.
~'>
;r,....,.,fl
T
~ (1(
queda así:
La ecuación de la geodésica en términos de 9-13 :
En esta ecuación i, k son índices mudos y varían de 1 hasta n, y ~ es el índice libre por lo tanto para cada valor distinto de.1 obtenemos una ecuación resultando así n ecuaciones diferenciales. Los símbolos definidos en 9-9 y 9-11 se llaman símbolos de Christoffel en memoria del matemático alemán Erwin Bruno Christoffel (1829-1901) quien los introdujo en 1869; Christoffel utilizó la notación \ t:~ para su segundo símbolo pero hoy en día se utiliza más escrito así:
r:.t
K)
t.'~
A modo de ejemplo calculemos los símbolos de Christoffel para coordenadas cartesianas, cilindrica s y esféricas. a)
Coordenadas cartesianas
Tenemos:
(c.'I(,J1
~ ~
(
75
El tensor métrico referido a coordenadas cartesianas ( Ej: a es:
cr 'J' -e'
1
o
o
o
1
o
o
o
1
del cap. 8-B )
Como las distintas ~'J' son constantes ( sean 1. ó O ) entonces todas sus derivadas son cero y por lo tanto todos los símbolos de Christoffel son nulos. Los símbolos de Christoffel de 2a. clase son:
).
Ti".
~
e.
R' J
[l' ~)J-J
Por lo tanto todos son también nulos. b)
Coordenadas cilíndricas:
El tensor métrico en estas coordenadas ( ver ejemplo: b arto 8-B) es: O
1
O
o
o
o
o
1
Todas las derivadas de las componentes de este tensor son nulas con excepción (recordemos que llamamos .:x' ~ Y, x'l.:=.g. ~ x)::: .c) de: d g"l.t. : :. zy'é] ;c.'
por lo tanto los únicos
( i k, j]
e 2.2.,IJ [
•
l
1,
"2.
..
-
J ::
dis tintos de cero son :
Y' ? ::.. C)Y'
-.L 9 2.
[1 2, l.) -::..
Y"
d y1....
I
-:z:: -o ..,.:
~
Esto en virtud de que, como vimos al definir a(ik, trica en i y k . .R Los dis tintos de cero son:
r
r
21)..
"'j
f J '
es una expresión simé-
t'A
-
T"l't --
~'I [ Z z, I
[
H) I
T I~ -- Tl~
=-
11 J
~"
P ero de 8-9:
- -jll I
-;:.J
=?)
~-'1
gz.1- L- 2..)1 J ..- I ¿r2.
(u,2.) t
--
-y'L . y -.. \
\ ~
'('
76
c)
Coordenadas esféricas:
•
El tensor métrico en estas coordenadas es: (Ver ejemplo c art. 8-3)
o
1
o
o
o
-x. 1 ~ '<', .x."".= "
(llamamos
I
Las derivadas distintas de cero son:
?g.ll::
Z y'.j.kY)I.CP
a ~.1 3.
j
::.
7... y7.::'~
d.l:.'L-
() XI
Los símbolos de 1 a. clase diferentes de cero son:
[22,11
1
-
-"2
'(33,21 -
1 2
(23,31 [33,1
J -
-
a -('1. ..
_
;])'f
-
_
-'f' •
?J '("l.j~"tP =- _ ';;)
4
[ 32 , 3 J = l. , ~Y
y
1. .j ..vr.1. r/:..
a
1...5~
.L UJ5 A . IJ' 'f
.:= '< 2. .5 -'.N\ ~ ea..s"¡ 't
_ ~ ..a""~5.v.,1..f.=. _ 'lJArr.'--p dY'"
[12,21
-
(21 , 2) = ~ ~ '(::.. '("
t 31 ,3)
-
[13,3]
~"("
= ~
d y1.5~~q
:=
y.5~ .... cp
d'\
Los símbolos de 2a. clase diferentes de cero son:
c)
C,.o.s
c(
x'3::.
-e-)
77
Ejemplo: Hayar la ecuación de las geodésicas en el plano utilizando coordenadas polares ( G- A - Hawkins: multilinear Analysis for Students in Engineering and Sience ). Para coordenadas polares se tiene:
:x. -::. y
J -:.
g''.1"::
Sabemos Que
~11= ~12=
;'>X'
d 'JI +•
x"t
d
.x.'CP.sx"l.::. X. ' ..5~.x ~
y j.2.ot') -9- -:.
.3 1 ~ . ~ '1 : ~yJ d :EJ'
é};L'
t) j '
6d S ~ =.
~ '11. >'
;;) :i..'
'j'
:: '/ l. por lo tanto:
)
a:x..'
C> po
J 1.
--
ox1..
_ X '~..s.x. 1. j..v.o, X 1. 't ;t.' 5-
1.
=-
..
O
~21= ~ ,~ -- o
~IJ' =
Tenemos pues el siguiente tensor
o
1
..
y
de 8-9:
o
o Los símbolos de Christoffel son
(aCJ~
a~n
J --
-
Q)
-
~ ~"') 1
--
ll1,2)
-
{l7.L 1.(~ + a 2 e x' O.x i
[12, ~
--
[21 ,1J
--
~ ( ~ +- d ~I\
\.12,2]
--
(21 ,2J
--
~ (?~¿~ + d 8 ~ I
[22,1]
--
[22,21
-
2
•
+-
ox.'
~ (.~~Il
ax'
CU::1. 1. ( 3:ll.1.. +2 éLX"
CJ 11,
a ~. o.x
d x'
-t"
-'í1. I
•
[J.1,11
1.
~ lJ=:.
o
1
O
--
o ~I'l..)
d
_
ax'
a.x~ _
d XZ
()
x.'
~ iltL - a ;!-P.. ) := O dXl.
ax-:..
~"I. _) ~ a xl.
é)
dX1'd..:t.1 d ~)1_dgZ.1.)::_,
;: o '(
78
[\\ ...]
1"111.. = ~r·1
TI,1 -:. ~II [11.,,] -\-
l'
1 _ -1, _
T
I
~
~nr."1 ,-) ~ o
t
r "l~
-;:.
r ,1"1. = d
)"< I I
[
[2 '2., IJ
11
.T ~ -::
d4
-:
1
1'"
gll"ll"2¡t]:: o
J 1"" g
d
il .
"L 1. [
~
I 2 J 2]
[2. 2¡ 2. J
,
---.
: : . - '\
~"'I ["2. ~, IJ T d-l.:l. [,2., 2..J =- "O
La ecuación diferencial de la geodésica es: (ec. 9-11):
r.~ t K
C)l.x.t t~-'...::.--
d.xl dX ~K
d.5
a.57,
X ~ ;:. o'x.~ ;;>s¡,
llamando
..
..t ~ 1
para
..... ,
.J
.......
T
X
.)
.- "Z.
I
(~)"l.
-j ~
+
X
,
,\~1.
-'-
......
:.
)
se obtiene:
~
I ... -L 41 .x'" x
I
....
T,'1I. X' . ..x. ~ +
,- """..,."lo_ . __
)' ,n. X
7..
o
'1. . , " , II:X
X
T
-¡--\ 1. .1-1.1
.. 1.
X
..
xl
T
+
1 '1.
".
.x 'X 'l.;-
l' 1. • ~ _1.'1.:x..x. "1..,
•
='0
; . ~1. y2.. ..... --:::-o
por lo tanto las dos ecuaciones diferencia-
:.r- -
a)
1:, 1( y'" ~ llamemos
~(
.e )z.
=-
o
. .. e- +- 3::...,-e o y .., "\...e. +- 't...,.. y.e. ;: . o : "'> .4 . ;> e V:::. r ..
b)
."
~
\
y=- d. ~
•
d.-bl-, ;::
d-e. d.s
Ahora:
L", J.(
:=. o
Pero les son:
Pero:
~,
(
.x. .; --
y
,. X
•• I
... .t.
o
r'··.x. .."
;;L -
para ~~-l
dj
-
Y.;::.
de
ele-
::: A V-z.
9- v: ir _ ir eL, (~\ = _ '1-7. el v,
$... (- A ~) d..s
~
d-e
-
= _ A ~'2~ -é ::.. _ d-t71.,
d-e-
V)
1>;1.. \)'7. C:P'v"
d-e"l.
A V 'Z.::
~ A .,!y de-
79
Reemplazando
.."'S "
-f7 en a) resulta:
_ A'Z. V 1.~'I.1,(
_..!....
de-~
A-;'V 4 =o ~
d
2
't +
d-e
V
V ::.
o
&.
La solución de esta ecuación es:
V::.
k
~.s (9-
oL)
_;;>
"r = a. .j.~~ (e - bL) Esta es 13 ecuación de la curva geodésica en el plano escrita en coordenadas polares y representa una recta, siendo a la distancia perpendicular del origen a la recta geodésica y Ol. el áng~'lo entre a y el eje horizontal y I •
11.
~--~~-------------------yl
Si querernos encontrar la geodésica que pasa por dos pun tos dados P, ('>(" e,) y p~ ('<""7.) Gl, ) reemplazamos en la ecuación de la geodésica obteniendo:
y, ~ a.. .se.~ (e 1-""'- ) Yt.::. CL 5.¿c (-91. - o.l)
S.u:. (e, _",q
_
S.e( (-9z.-oL) -
ce> S.f) z Cd S 6t ea.s 6', Cas ó4
y
a.
:=
-t-
.5.a..-., ~ J
Ca S
5.ll.M
oL
.5~ c{..
-t:-~ '\2 Go.s el. \ \ ~~ tJ I
--
(-8'Z,. -
c.lt
Ca.5 (&,-bl.)
Y'a.
T 5 ~ 9'l...
a. y~
o¿ ::
yo 1, ="/
, con
--n
- y-;
-'(", -
e.o.5t7,
'f""l...5..qm-ez..
y a determ i nado
80
Podríamos tratar de encontrar más geodésicas, por ejemplo: las geodésicas sobre una esfera son círculos máximos y sobre un cilindro circular son hélices circulares (si los puntos ~ ~ 'P-c. están sobre la generatriz.)la geodésica es una hélice de paso infinito es to es, la misma generatriz y si están sobre un círculo paralelo a la base, la geodésica es el arco de este círculo entre esos dos puntos, es decir una hélice de paso cero) • -TRANSFORMACION DE LOS SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL
Nos proponernos en esta sección encontrar la ley de transformación de los símbolos de Christbffel cuando pasarnos de un si stema coordenado cualquiera ji ( i =1,2 ... n), no necesariamente cartesiano,a otro sistema coordenado cualquiera X t ' ; estas leyes de transformación nos mostrarán un hecho importante: que los símbolos de Christoffel en general no son tensores, es decir sus componentes no se transforman como se transforman la s componentes de los tensores. En los sistemas coordenados resulta ser:
J';"'-
9-14
d .s-¡
d
9-15
TY'
+
'j
,...., "'"
S
1..x.i
h~
+
l.
d..s ,.
•
x.~
Jt:
y
.d J "'"d5 dX1',
la ecuación 9-13 de las geodésicas
d'i:'
•
d5
J. X...,'El-
d.5
dS
-
-
o
o
En la parte inferior de los símbolos de Christoffel de 2a. clase hemos colocado la letra que designa el sistema coordenado con respecto al cual está calculado el símbolo. Ahora:
d:c dj
.-
-d"llY-. d..5 'l..
---
.d
.:r:
J.
ax1"
~'f; d -
a"X 1"
x-f', -?
d,5
1.,X,i'
d.P
dJ~ ~LX: a.x1" d...s -c.
Reemplazando en 9-14 obtenemos: 'j'Y'" d'Z X l' J Y'"
?J
;;)11' . dS'"
1-
(el·d~"" ax'4
. (~!1:-) d xf' d _dX~
+
•
a1J'~_
+
\
ds
•
a:(1'dX~
I
yo
-r ..L.. . . . . M j
d.s d.x~
-d,j
~
cl1~,
d.s
. el
x: _o
d5
81
Multiplicando por
ax S d '1-(" é)
1"
y sumando sobre yo
resulta:
,d'Z.x.1'+
é>X1' d5~
cXs :aj~ •
Pero
•
C}1'<"
¿2.x 5 •
aX"p
...
--
~J
'P
( 5'X' a 7.1."" ;;)'j~
cl.,51.
.
vale 1 para
Y
.
az1' <>x~
r<
+
.J
""'" 'Y\
l' ;:
S d1: ?J1"" dX él '),;. '0;(1' C);.rq.
5
'"-"-'
d. ::( !l ) el .x.-p • .. ==<~U
'O
cl...5
.
Comparando esta expresión con 9-15 obtenemos:
9-16
--
x.s. ~ :1': aJ't' ax1'
d
-
é)
j
rvl
~x.~
Como vemos T i'~ en general no se transforma (sus componentes) como en tensor ya que" sobra" el término d:t.s Cl't '{.,- ;sólo cuando este término es nu~1Y ~x~aÁ~
e
.
lo ( es decir cuando 'J t'J X J' están relacionados así: 'j t' ~ j '-- .:!J siendo LJe. constantes; en este caso decimos que la transformación de cooro denadas de las ~L' a las X J Y viceversa es una transformación afín) los símbolos de Christoffel se pueden considerar como tensores mixtos contravariantes de 1 er. Orden y covariante de 20. Orden como se aprecia en 9-16. Veamos ahora como se transforman los símbolos de 2 a. Clase.
J.l<
De 9-11 tenemos:
;¡
«J 'l"J!. :i
y de 9-12
....... fW\
::r ~
"C'" N'l\M
• •
~otando que
Hemos colocado el subíndice y en el extremo inferior derecho del símbolo de la. clase y en la parte inferior de los tensores métricos y conjugado para expresar el hecho de que en este caso ellos están referidos al sistema coordenado J'c.' ; en forma similar, para el sistema ;:¿ l ' las dos ecuaciones anteriores quedan así: . qS~ ~.s
x
[f
fj.,j
Jx
~
= 'Jji x
Tx
5
1'~
82
Reemplazando en 9-16 se obtiene:
~~i
'_
G)::.1
dj~ d '1 M
~ [fl4-,JJ~ - er" a~? 3X~ Multiplicando ambos lados de la ecuación por . ~ St: ~
,
[1'~1 JJ~ ~SJ ~j-t x
:
x
_ d;:¿ ~ 1"""" ~ '1 t? -y'~ é) J" o.x:f d;~ r'f\
pero
f 1s
-
t:
~xj <) < 1-("
L"""""/~J) -t ].s't a 'lV ~xi'o:t:~
y vale 1 para t= j -"7
'l1J'
En la sección 8-B) vimos que son las componentes covariantes del tensor métrico, por lo tanto al cambiar de coordenadas Ji a las XL' se transforman según la ley doblemente covariante:
gJJ'
~
~
d
J~ ~
dX'
a:xJ'
Reemplazando resulta:
_ _
ax~ a~,: d'jY' a.x f F
Esta es la ley de transformación de los símbolos de Christoffel de la, Clase; vemos así que ( tyV\ f't'\) Jt J no se transforma como tensor; solo si la transformación e s afín ( 'p' = (i L :xJ' ~ (i e : c-r.r¿) [fVY\ IV\ • .2. J e s tensor un tensor covariante de tercer orden como se aprecia en 9-17. I
Relación entre los Vectores base (directos y recíprocos) y los símbolos de Christoffel. En 8-6) tenemos: Los ~IJ lo tanto:
son en general funciones de las coordenadas curvilíneas
por
,
83
9-18)
•
En forma similar:
~I'/(, ~ é)~ 21:x./ ;:;:XJ
9-19)
d
•
ftl..
1-
y
9-2Ó)
~
--;.
Ahora:
'J
L' :
(ver cap, 3) por lo tanto:
4.,
ex"
9-23) aX t '
Sumando 9-19 ) con 9-20) y restándole 9-18) se obtiene;
a 91'1<
d ~ ('J( , + , a:xJ'
c>x(
•
a 3L'(-.
-
a -=-" gK••
t-
az<'
CJ:x
--
K
--f!'
-
a {jt', • J a.x .-:-Y
~i - d ~c.'•
--?
,
dX-
~
a .:(
a:x. ~'
-? S
t'K.
-
a 5'L'
-~.
é)xJ
9-24)
:::.
1(
~
e )( t:
'
(
éJ CJ··~ +C).
:xi
~
dJ ,gl< -;;>
,;):xJ -y
--:I'
;;).::fJ'
oX a<
0)(.1·
l-
,
) é)QI<. -;:
+- ~ gjl<,. _ '9 g-D: ;::
~ ('
--?
- a á'J • . d L' ox k
~j'
ri
~
---?
é);x:.i ---..,
Pero de 9-23): ~
+ a f[1(_ '
3K
--9
,
-
C>
;J'.
a...x. K
~ ,C)
por lo tanto:
-
~ L: . ~" +
;}:xJ
a dJK é>X L'
_.C)
-:?
? j( a..:xJ ~¡'J'_ \
d :::c. H'
)
. y de
9.9
->
84
-7
La relación entre los vectores ba'se ~ L' Clase se obtiene de la siguiente manera:
y los símbolos de Christoffel de 2a.
resulta:
De la ecuación 9-24 si llamamos
El vector Clproca
..
-...,
-5
.b t'
, como todo vector, se puede expresar en función de la base reesto es: --:--?
-h ::.
-;¡ . . . . ~m, d ~ A
J
--. . , o¿K ca
K
•
(m, k: índices mudos)
Sustituyendo se obtiene: pero
(ver 3-7a)
pero
por lo tanto:
Ahora:
-
(ver eco
5~16
d pago 65)
; utilizando 9-1) concluimos:
; 9-25
En forma completamente similar se puede deducir que:
: 9-26
CAPITULO X DIFERENCIACION DE LAS COMPONENTES TENSORIALES
A-
INTRODUCCION
Estudiaremos en este artículo la diferenciación aplicada a los tensores: en general se puede decir que el conjunto de derivadas de las componentes de un tensor con respecto a una de las coordenadas..x c. no forman un tensor, esto es, sus componentes no se transforma'n como se transforman las componentes de un tensor; para apreciar es to supongamos que tenemos el tensor contravariante de 1 er Orden A": definido en el sis, tema curvilíneo l (i= 1,2 n) , si cambiamos al sistema curvilíneo Xl' (i= 1, 2 .. n) la relación de las At: (componentes en .1<: ) con las ÁL (componentes en :x.': ) es la siguiente: o
o
J o
ox~
I (_
A -
o.
A'"
) diferenciando a ambos lados con res-
djct.
pecto a
obtenemos: ,
o
aA~-=.
ax J
i
B
• ,aA~:= (aZ ,;;l~-; 10 -1' a x.J 8.Jci a;(J •
o
d
)
f)A_
. t- (
d j.D
La cantidad cuya componente genérica es
2J2.:;Ll __\ d'[8
a j.'c;) 1 () ) axi é)A~
no e s un tensor ya que
so-
é)j13
bra el 20.
sumando de la derecha para que esa componente ~l..tlo
forme como tensor; solo si
d jex. d 'j {3
=O
A~ .9 JO .d
se trans-
podemos decir que la deriva-
da de un vector contravariante es un tensor mixto de 20. Orden es decir solo cuando la tTansformación ' de coordenadas es lineal ( la llamada transformación t. • • afin 'j:: ):,J) la derivada de un tensor es otro tensor; el mismo resultado se obtiene si tomamos otro tensor de cualquier orden y lo derivamos; por ejemplo, • dado Ajl(' este tensor (sus componentes! ) se transforman así:
(.l'
'dx5(
.'
x-'f
resulta:
.
•
?~~.P~C~
C> X fYY\ ~ .x. N'\
derivando con respecto a
86
• t'
Vemos nuevamente que la derivada de, Aj'J( no es un tensor, sobra todo el término que está multiplicando a A Ji< ' Veremos a continuación 'que de todos modos es posible definir una cierta operación de diferenciación ( llamada diferenciación covariante) de modo que al derivar de esta manera cualquier tensor el resultado sea otro tensor; esta operación es por lo tanto de mucha importancia porque nos permite plantear ecuaciones tensoriales ( y por lo tanto válidas para ~odo sistema coordenado) en términos de derivadas de tensores y es sabido que en la física y en las matemáticas las derivadas desempeñan siempre un papel de primera importancia.
B-
DIFERENCIACION COVARIANTE
.
'
Para introducimos en es te tipo de diferenciación tomemos un tensor contravariante de orden 1 (vector) AL ; en general las componentes A~, de este tensor son funciones del sistema coordenado xi (i= 1,2,3). De la ecuación 9-16 obtenemos:
~
l-~.!3
_ r). - 'j~"
ox l a'1~ ~ + a1. ~)._ ax~ ¿;'j). ax«'
é);tB
d~d.x.!Jd~l
;)J .....
;;.x(-
Multiplicando esta ecuación a ambos lados por
r: x
I x
l
.é)
é)'Xt.'
CIt.]}
Q(lj
"éJXt' -
~
$;:'
r~ '" '" t'
a1.. j
).
J}..
,,!}
~
a x ,.
x..
eX"
+ al
r\.
é?X~
d'j~ d'J'"' -t- $"'" ;;;'1.) .. ~ .J .L4."
r). J ~ t' eL jJ
* ;t
J' ': c';) ; ( a.x. c;i. •dA. IJ
d
d
:=i)
\:e', _
a;:( l'
&).."""" = O -;-
-?:r:
JxO(Q.x~ 3'J)' .3-X t '
dA l '
r}.
11'
T
'j::- .~y~ a J' ':.
dXO(
= 1 Y para m
011 ~ =
l _ á.xqé}x,j -
oC; X':
J IA.."
-
~j~ _ ~NW\
L'
Si m=).
T).
J ':': _
resulta:
por lo tanto
(F 1~ . -=/
éJx:t- ax..~
a 1 '"'_
~
él-x O(
0::( .B
'1 11.
-:=)
87 ¡
,
Esta ecuación que nos relaciona la 2a. derivada de las coordenadas cur• • J vilíneas 'j l (con respecto a las coordenadas curvilíneas :r ) con los símbolos de Christoffel de 2 a. Clase fué deducida por primera vez por el mismo Crhistoffel en el añ o de 1869. Similarmente obtenemos (in ter• • cambiando los papeles de J L Y "y'J ):
10-2)
(En esta expresión s, m, n
dt..x (• _ d'jt(.djt)
S'i en 10-1 reemplazamos suIta:
son índices mudos) . por su valor obtenido en 10-2 re-
1 ,
l aA . ,
~
dX J -
-:::::'? 10-3)
En el segundo término de la derecha oL. y..5 son índices mudos por lo tan", to los podemos intercambiar quedando e s te term1no a S1: ~
A' Dl j
~
a::LJ'
I
t>(.
él X 4:
5g ;) 'J~
En el último término a la derecha el producto
es igual
1\'\
5J
y
vale 1 para n= j
por lo tanto este
término queda:
Pero I
A. . . . = '7 10-4)
a
88
+
Vemos de es ta ecuación que la expresión
,
,
J"
coordenado
+
se transforma en
AS L.H1 o'-
en el sistema
:1
A""'"
en el sis tema
Xl..
•
según una ley de transformación que es la de los tensores mixtos de 20. Orden por lo tanto el conjunto de cantidades 10-4a : dA~ -+- Td.. A.s son los comaJa J f)1 ponentes de un tensor mixto • Este tensor lo llamamos derivada cova• riante del t.ensor contravariante de orden 1, AL.. Vamos a consi.derar a continuación otra forma de llegar a la misma definición de derivada covariante y que tiene la ventaja de que nos permite obtenerla de una manera más sencilla. En el cálculo diferencial ordinario se utiliza el operador 10-4)
-da~
+-
; este operador se puede aplicar a escala-
res (obtenemos el gradiente del escalar), o a vectores ( se obtiene la divergencia o el curl del vector según que la multiplicación sea escalar o vectorial) ; consideremos ahora cual es el resultado de aplicar V a tensores; para un sistema coordenado curvilíneo cualquiera ')1.' en n-dimensiones se presentan en cada punto de ese espacio n- dimensional dos bases vectoriale s; la directa y la recíproca (los ~ ylos"f: );definamos 10-S)"l =~t: ::;1.: (i, ' índice '-1
L'
mudo, = 1, 2 , .. n); en el caso de que.J sean coordenadas cartesianas en tres dimensiones, las bases directas y recíprocas son iguales (ve r cap . 2) y formadas por los vectores i, ji k convirtiéndose 10.5) en 10-4). Apliquemos la definición general de ,
-~L
, d dj"
a un tensor contravarian-
te A t ; cada coordenada de . este tensor (ve ctor) esta adscrita a un vector ba-? ...... J ~ se covariante ~, (ver 5-1 S a) es to es: A A ~J . Entonces:
gA ~
3 ~1~' eA ~ 1 '
J
J
')
'
I
por lo tanto:
lO-Sa}
Pero de 9-2 S):
r Iun-
( COI)
•
ción de los
>
En el 20. término de la derecha den intercambiar obteniendo: 10-6'
V
'J e
}.
m y j son índice s mudos y por lo tanto s e pue-
7i = (~ ~~ r 1:':"J") W'~
-
89 Comparando el término entre paréntesis con 10-4a) notamos que este término corresponde a la definición que hemos dado de derivada covariante de un vector contravariante; los vectores colocados a la derecha de este pa-
1(' t
réntesis nos indican que cada componente de VA está adscrita a dos vectores base, uno directo y otro recíproco es decir ( ver arto 6) VA es un tensor mixto de orden 2 y por lo tanto el resultado obtenido en 10-6) coincide en todo con 10-4; para coordenadas cartesianas los símbolos I',.!¡ (ver ejemplo a) del arto 9) son todos nulos y por lo tanto en este caso las componentes de la derivada covariante de un vector se convierten en :21 A~ e.s decir en la ';>'1 " '
derivada parcial tal como se conoce en el cálculo diferencial ordinario ; en el " caso de que el sistema sea curvilíneo hay por lo menos algunos r~~.que no se anulan ( ver ej. b Y c del art. 9 ) Y en este caso la derivada covariante ya no coincide con la derivada parcial; vemos así que en general a la derivada parcial se le de be agregar un término para obtener la derivada covariante ,este término es precisamente aquel que nos indica corno varían los vect~r~. ba.~ con respecto a las coordenadas escogidas ( en el caso de 10-5 a) es d A.Jg l • Resumiendo, en este tipo de diferenciación no sólo se tiene en cuen-@;¡I.· ta como varían con las coordenadas las componentes del tensor sino también como varían los vectores base cuando varían las coordenadas; el cálculo diferencial que se puede levantar sobre esta base se llama cálculo diferencial absoluto quedando reducido el cálculo diferencial ordinario a un caso particular de aquel (cuando l.: ~. ;::.. o )" J -?ia
Podemos utilizar el operador V:: ~
c0 ~.
J
para obtener la derivada covarian-
te de cualquier otro tensor. Supongamos que tenernos un tensor covariante de 1 er. Orden Aj' ;encontremos su derivada covariante ; sabemos que cada componente AJ' está adscrita a un vector base recíproco; J\ ::: Aj ~'¿' (ver 5-15 a) así que: t¡ ~ (AJ' i~'t ="/
A :;:
1'(
;;J J~ ~
'V A -
; pero de 9-26) tenernos:
(con
por lo tanto:
l'
• J
-~l·
~"~ldNY\
1 '1 t
1
referido al sistema
\(1')
J
90 Los términos
se llaman las componentes del tensor deri-
A
vada covariante de
•
Consideremos. ahora la derivada covariante del tensor mixto
.1 ..' .
Tenemos : dado
A J· -K
9-:
A·J le' g-#j ~
A/< con respecto a
(ver diferentes componentes de un tensor
arto 8) así que:
_. = _
De 9-25 Y 9-26 obtenemos:
~
.
r~L
~
drtO\
)
@jt'
Intercambiando los índices mudos L m en el 20. término del paréntesis y k , m en el 3er. término obtenemos:
10-7)
Apreciamos entonces que la derivada covariante del tensor mixto Al' 1( es un tensor mixto covariante de orden 2 ( recordemos de 5-15 a que a los vectores base contravariantes le corresponden componentes covariantes y a los vectores base covariantes le corresponden componentes contravariantes ) y contravariante de orden l. Las componentes de esta derivada se llaman componentes de \/ con respecto a jl' (i= 1, 2 I • • n en el espacio n-dimensional) y las representaremos simbólicamente colocando una coma después del último subíndice seguida del índice que nos representa la variable con respecto a la cual está derivada la componente así:
A/'
A~. JJl
~
/(
?"\ a'ji
_ A
K.
I"N\
T ""'" • •
jl
-\-
A .""" ~
I
K . """\
91
Podemos generalizar el procedimiento anterior y obtener así las diferentes componentes del tensor derivada covariante de cualquier tensor; la derivada co• variante de una componente dada con respecto a ~r se obtiene así: a)
Se calcula primero la derivada parcial de esa componente con respecto a \( , l' •
b)
.
'" Se calculan los productos de e sta componente ( cambiando cada vez uno de los índices covariantes 'por un índice m que será mudo comenzando por el 1 er. subíndice)por el símbolo de Christoffel de 2a. clase cuyo 's uperíndice es el índice mudo m y sus subíndices son el índice i de derivación y un índice covariante cada vez comenzado por el primero.
c)
Computamos luego los productos de la componente ( cambiando cada vez uno de los índices contravariantes por un índice mudo, comenzando por el 1 er . superíndice) por el símbolo de Christoffel de 2 a. clase cuyo superíndice es un índice contravariante cada vez comenzando por el primero y sus subíndices son el índice vacío m y el índice de derivación i.
d)
Los productos del paso b se afectan todos con el sig no menos ( -) y los del paso c con el signo más ( +) .
j'J(~
son las componentes del tensor V A P!J
Estas
y es un tensor cuyo
orden contravariante es igual al del tensor original pero su orden covariante es mayor en una unidad que el orden covariante del tensor original (ver por ejemplo el tensor en la ecuación 10-7).
C-
TEOREMA DE RICCI: Nos dice este teorema que la derivada covariante del tensor métrico ( sea en su forma covariante ~ "J') contravariante ca ,'J , o mixta &f ) es cero. Las componentes 10-8)
g"j,
o ~ ,'1
•
J(
de la derivada covariante de
ca 1'),
son:
92
Ahora; de 9-9:
. Sumando estas dos expresiones y teniendo en cuenta que: Q'K
(7'
=
'*-1.' v~
J
ala
o. (jJK'='
q"
dJL)
q(J"J
I
obtenernos:
; ahora de 9-12 tenernos:
YK, t]
-...., Reemplazando e s te valor en 10- 8 obtenemos:
E 3 deci.:-, ,;ada -::omponente del tensor derivada covar.. _.. ite del tensor
"\J W':.1' =O
nula J por lo tanto
•
,-¡ (l';' '4 Ó
Demostremos ahora que
es también cero; tenemos: perü
, va18 uno ó cero; además:
por lo tanto
i OL, ... ('u
es
=0
porque
-
-,-..,\ _
~
•
(..k
como todas la s componen te s
__
_
valen cero entonces
'VJ/
•
=
O.
Demostrerr.os finalmente que la derivada covariante del tensor métrico escrito en su fOrITo..1 contrélvariante e:::; cero ó; V8~' = O. Tenernos
~.h'
ca t"j
_
~f(J
•
; aplicando derivada covariante resulta:
93
; pero hemos demostrado que I
fuL'
\j ~
vg({
O.
por lo tanto
es difere!lte de cero en general por lo tanto
,'J'
=
OI pero
6!ll'
}
En esta última demostración hemos ·s upuesto que en la derivación covariante de un producto de tensores se cumple la fórmula de la derivación ordinaria del productoestoesque si 'j (X)/"'é--=- ~ (:~) entonces
'1::=
d
('1 ~) _ 1..( ~-'C + Z:- .d::s .J dx d..::L d..x.. Esta regla se sigue cumpliendo en la rI.erivación covariante de un producto tensorial como lo veremos a continuación .
por lo tanto:
En forma completamente similar se puede demostrar que la derivada covariante de una suma de tensores (recordemos del arto 7 que los tensores a sumar deben tener todos igual orden covariante e igual orden contravariante) es la suma de las derivadas covariantes de los tensores; por ejemplo:
94
--
o
Como consecuencia del teorema de Ricci podemos tratar en la diferenciación covariante los tensores métricos como si fueran constantes es decir podemos sacarlos fuera del símbolo? • .
\7 {
1(. i
A :!)
= ~ I~'
1 A~
pero
por lo tanto;
D-
DIFERENCTACION INTRINSECA O ABSOLUTA DE UN TENSOR.
En este capítulo hemos estudiado la derivada de un tensor r definido en un sistema coordenado jL(i =1,2, .. n), con respecto a las coordenadas j lO ; se presenta en algunos problemas. de la física y las matemáticas la dependencia de las coordenadas con respecto a un parámetro t; este es el caso por ejemplo de la variación con respecto al tiempo del vector velocidad en un fluido o del movimiento de un punto en el espacio describiéndonos una 'curva} ya que como nos lo enseña la geometría diferencial en este caso las coordenadas de las distintas posiciones del punto móvil son funciones de un solo parámetro t (este parámetro puede ser la longitud del arco, .s ). Vamos a obtener en esta sección la derivada de un tensor con respecto a t. o
JI..
A'Xj(.. Tomemos un tensor cualquiera por ejemplo ; las componentes de • y supongamos que este tensor son funciones de las coordenadas JI.. . t.· a su vez estas J L son funciones de t , o 'jI.. -= ) ~ (-t:: ) .
A! con respecto a t la representaremos A! / J -r y es igual a: ~ ~ ~ L =. el A 3 d~ + A
La derivada absoluta de bólicamente como .)
$A Jt
~ 1<
(~
_
A A1< (j d-t
+
A~
k
12
-i>
-1<,. --, \
JZ
K_
sim-
K
1<
d-t::
8--?1( d ~ ~1'
.
~~ d
-t:
-=v
en el 20. término de la d e recha i n te rcambia mo s l os índ i ces mudo s El r ~ y en
95
el 3er. término intercambiamos m,
~
- -
•
por lo tanto:
10-9)
Resulta p'.les que la derivada absoluta de un tensor es otro tensor de igual orden que el tensor derivado así, en el ejemplo cada componente de J A ~
~~
es tá adscrita a un vector base directo ( indicándonos es to que
A~t< . el A~ __ (3 A~ .
•
~
At ~t
)
y a uno recíproco (
f
1
lof
é:-
es un tensor de 20. orden mixto tal y como
lo es el vector Ahora:
. clk - ;) J i
•
por lo tanto
El término entre paréntesis es la componente riante de (ó g A~ ) por lo tanto:
de la derivada cova-
A!
10-10)
; si en vez de
.!!
A 1'<
tomamos
cualquier otro tensor cuyas componentes sean funciones de las coordenadas y estas a su vez funciones de un parámetro t hubiéramos obtenido el mismo resultado; por ejemplo: el tensor derivada absoluta de A~.~ . . . . ,. , con respecto at es:
-
-
-
-
y sus componentes son por lo tanto:
••
~1'I""t
A d,l
•
En el caso de que todos los T~. , sean nulos ( coordenadas cartesianas) resulta: ~ d.A! o sea la derivada intríns eca de un tensor corresponde a la ~t- -:::: d t
A!
f
96
derivada total en coordenadas cartesianas. E-
EL TENSOR DE RIEMANN -CHRISTOFFEL (O TENSOR
CURVATURA).
Sabemos que la derivada covariante de un tensor dado es otro tensor; podemos por lo tanto obtener la derivada covariante de la derivada covarian. te :iel tensore.s decir la 2a. derivada covariante. Tomemos por ejemplo el tensor covariante de orden 1 (vectqr) componentes de la derivada covariante de AL son:
A( a A~·· ¡j -::: é) ~ ;'
-
,,"-L tj
A
<:L
A
l.' •
Las
; si derivamos covariantemen-
te) las componentes de este tensor 2a. derivada son .( ver parte final de la sección B del presente artículo):
Realizando las derivadas obtenemos:
10-11)
Si calculamos primero A l¡ 1( Y luego por 2a. derivación A 1.·)Kj· el resultado es el siguiente (basta intercambiar los índices j, k en la ecuación de A L~ JI< ): Cll.Al.',
10-12)
+
\ 1
~ K'
:J
97 Restando 10-11) Y 10-12):
Intercambicndo los índices mudos.§.. cha:
d
T.
a.. ':K_
J
~
en el 1 er.
y 3er. términos de la dere-
a..
-d T
d jJ'
Sabemos que At"Jj"es un tensor covariante de 20. orden por lo tanto A I.'/J'/o(. es covariante de tercer orden; como Aa es un tensor covariante arbitrario entonces por lo visto en el arto VII sobre el cuociente tensorial concluimos que el término entre paréntesis es un tensor mixto; covariante de orden 3 y contravariante de orden 1: 1<0J~. Este tensor se llama tensor mixto de Riemann-Ghristoffe 1 d , tensor Riemann- Christoffel de segunda especie o tensor curvatura. En forma similar podemos obtener la 2 a. derivada de cualquier otro tensor y formar la diferencia de esas derivadas con los índices de derivación trastocados) por ejemplo si partimos de un tensor doblemente covariante A-:f resulta.
A (.1 / 1< 1!
A
A K J~~;- A J ~ /:-~
) re s ulta nuevamente que la diferencia de las dos derivadas depende directamente del tensor 1<.L~1< . _
lJ')
2. K
:=
Ca.
Ct.
J
Concluimos entonces que en la 2a. derivada covariante el orden de derivación no es indiferente, en general no es igual A~'~~,.,... que A~'J m,~ ; sabemos sin embargo que en coordenadas cartesianas todos los símbolos ~~, son nulos por lo tanto ~;I" = O y en es te caso el orden de derivación no importa. En el artículo VII, en la sección titulada "propiedad fundamental de los tensores", dijimos que si un tensor cualquiera es nulo para un sistema dado de coordenadas entonces será nulo para cualquier otro sistema; según esto, el tensor ~ :t/< será nulo para todo sis tema coordenado ya que se anula en el carte, Slano. u..
En realidad 7
98 •
En general, lo anteriormente afirmaeb quiere decir que si :tI.. son coordenadas en un espacio no euclideano Y Z~ son coordenadas cartesianas entonces no existen las ecuaciones JL' ;::.. JI.' (x 1 ) xl. J _ _ x"') ( i=l, 2 .. n). Como una consecuencia de esta propiedad de los espacios no-euclideanos surge el hec~o de que si en un cierto espacio n-dimensional es posible encontrar al menos ..m sistema cartesiano jI.' (i= 1,2, .. n) con respecto al cual queden localizados todos sus puntos, entonces el espacio es euclideano; así: todos los puntes de un plano pueden ser localizados con respecto a un sistema de coordenadas polares ( Yj -e- ) pero al mismo tiempo pueden localizarse con respecto a un sistema cartesiano ( jI, J 1- ) por lo tanto el plano es un espacio euclideano. En los espacios euclideanos se pueden entonces encontrar las ecuaciones que nos ligan las coordenadas cartesianas (fe: con cualquier otro sistema .:x lo' Y la transformación recíproca ,esto es: 10-13)
I.f .: ~J L' ( X)::t..) I " l . _____ X O
"",)
I '-( I '1 L L J , J J
'"1' "" ) J
::l l'
-.,¡ f.'
~.,.oL
-
-- -
-
(i = 1 ,2 ... n) •
Con las anteriores observaciones queda aclarada la aparente contradicción que se nos presentó con respecto a la nulidad del tensor 'R';ff< ya que si ~n un cierto espacio n dimensional se pueden tomar coordenadas cartesianas JI. (i=1,2 .. n) entonces J<~I<' vale cero para ese sistema cartesiano y para cualquier otro sistema)l.f (ver ec. 6-4) obtenido a partir de J f.' según ecuacione s del tipo 10-13); no podemos decir sin embargo que 7<.0-J-.. es cero para un sistema :::t.L' adscrito a un espacio en el cual no se pueden definir coordenadas cartesianas J l.' ya que al no existir en este caso las relaciones 10-13 no podemos escribir la ecuación 6-4. Vemos entonces que el tensor 7<~'K es nulo en espacios euclideanos y es dis-
tinto de cero en espacios no euclideanos; en la geometría diferencial se estudia el significado geométrico de este tensor y se concluye que 1
CAPITULO XI •
TENSORES RELATIVOS A-
JACOBIANO DE UNA TRANSFORMACION
Se presenta en la física una serie de cantidades cuya ley de transformac ión al cambiar de sistema coordenado es muy semejante a la ley de transfO!lnación de las componentes tensoriales; la única diferencia radica en L que aparece el jacobiano de la transformació n elevado a una poten-
\.d1 ·.1 aXJ
.
cia entera W ; estas cantidades se llaman tensores relativos; por ejemplo: si A~ es una cantidad tal que al pasar del sistema j r: al sistema x c.: sus componentes se transforman según la ley;
',., A rm
-=- \_()'j~'.\uJ d2~
ap d),K ox...... A'< K.
dy"J
decimos entonces que
A~
1<.
es un tensor relativo mixto de orden dos y peso W . Antes de estudiar más en detalle los tensores relativos repasemos algunas ideas fundamentales sobre el jacobiano. Supongamos un conjunto de cuatro variables ( U, v J x)) ) relacionadas a través de dos ecuaciones:
11-1)
F ( lÁ.¡ v) ;L b (u..¡
¡
lj') ::: o
v):;(..) ' ) )
=:.
O
.
Nos interesa encontrar la condición que se debe cumplir para que podamos expresar dos de las variables ( .AL¡ 11 por ejemplo) en función de las otras dos ( X, 'j ); es decir: qué necesitamos para garantizar que podemos encontrar las ecuacione s A.,...{..:: f 1.'X., 'J } ¡ V:: ~ r... )(..) lj ) ? Supongamos que existe un conjunto de valores ( .Mo, Vo J que satisfacen las ecuaciones l l - l r por lo tanto: Ao '"
j
CX-fJ)
':f.)
Vo::
d-
CXo ¡
j" )
X-D)
'fo
Si jCx, 'J) y ~(XI j ) las supone mo s aptas para s e r expand idas en serie de Tay lar en el entorno d e ( XO¡ jo) t endre mos :
)
100
•
+ ........ "' ......... .
-+-- ... . • . ... - . . . . .... . . Esto corresponde al desarrollo en serie de Taylor de funciones de varias variables (ver por ej. Ivan S. Sokilnikoff, Advance Calculus, Cap. XII funciones implícitas). Para poder garantizar este desarrollo se necesita la exis tencia de las derivadas
et-),
•••• -
..
.. .
'"
.
••• )
.....
;
J
..
,
.
(~~1 ,(~{> t, (~~t1)0, <)'/>1
(:;).
J
J
~ ;)0 I~a2!2) o ) (~~.; t l~ffL JOJ
.
Veamos ahora qué se necesita para que existan estas derivadas. Diferenciand.o 11-1) con respecto a x obtenernos ( y ,x: son variables independientes) :
+
-
d f
-av a-x..
y por la regla de Cramer se obtiene:
- - --
ClX
-
_
___
O
aF
dr
aF -;;)t-(.
( );(.
iYV
d("
04.
C>6_
-
dtL
élV
'1'-
::';:[ av ~...,~-~...!:.--
-au... )
;:)F
aX. ~~ .
ax
-
dI-{.
-qT:. av
a61
c;>6t
dF al-\.
-av'
•
101
Si el denominador
-
d¡:
J:=.
dc..t..
dG. .
(
<.:u
para
c:>,
Vo . .
:to /Jo)
dV
Jó I- )
0 ..(,{..)
a:Z
::/-0
~Go .
,dllL
entonces se puede calcular
•
"OF .aV
o
-ra~ o y
Análogamente , diferenciando 11-1 con respecto a y resulta que se puede calcular siempre (av \ _ dijo d':1 o y l.:a:5) o - \d j o
du..) _ (dJ..) (
(di')
*
que Y o ; ahora, el cálculo de las derivadas de mayor orden que aparecen en las ecuaciones 11-2 se hace a partir de las 1 as. derivadas; por ej emp1o: J
aF
-;;;u. 2lG
--
df
-a x..
dF - -
- -d4 -;)()... CJV
.d
-dX
similarmente, obtenemos :
-
'db \
2;::L
(jF
\
aF -dÁ
~
av
é)'I/
;3V
ij
dGt a.:x..
---
di" -éJu.
aF
•
av
.Ó
f-
a..k
I
Glr .=--
g ¿-t.
a.:x
av
•J
\
a~ a u.. ~J ClV
vemos nueva-
::r"*
mente que el requisito para que existan estas derivadas es que, o ; si esto se cumple en ( -u", VD, ")CA) :1" ) entonces se pueden calcular:
y
Obviamente para que también existan las 3as, 4as .... derivadas cumplir I:¡::. 'O en (..ÁÁ.- o , V",) Zt:;JJ 'jo ).
S9
debe
102
Una vez calculadas estas derivadas las llevamos a 11-2 y con esto conocemos las funcione s u = t ( X ~ 'j) y v= ~ l."]¿) :i ) expandidas en serie de Taylor.
4(
Este problema nos permite resolver el siguiente: si )(. ~ u, 1/) Y y= ~ ( .-U, v) qué condición se debe cumplir para que podamos expresar u, v en función de ~ ~ ':Lesto es: qué se debe cumplir para encontrar u = f ("X, Ij) y V = ~ ex , 'j)? tenemos: 11-3)
f:.(u.,V,'X. JJ
¿; (u/v,
)=-
~,)J=-
c}Cu.,V)-x:::.o
J
(u J v)-l-=-o
Para que en F y G se puedan despejar cesita tener 7*0; ahora:
-
hemos vis to que
V J
se ne-
-
; la derivada parcial de una función con respecto a una de las variables se obtiene manteniendo constantes todas las variables menos aquella con respecto a la cual vamos a derivar, por lo tanto de 11-3:
aF
-
- ;;IA... )
M-
""-
~ dV
J
d 6, -=-_.
a .8. d
Á,.Áo
J
y resulta:
.d~
'
T::.
Por medio de un procedimiento completamente similar al desarrollado para el caso anterior ( dos variables en función de otras dos) podemos obtener la condición necesaria para que si: j";:. ,)t'( X',x l )" _.' ,. X""") entonces; 21.':;. 2"( 1', '11." ........ j ..... ) I i=l,2 ... n Esta condición es la misma obtenida para el caso de 4 variables es desiendo •. cir T=I O
•
103 •
~ ;:,) X
¡
~ 'jI
d'1' I
.aX1.
d:ll'
~
d '11-
,;) ~l. ,
.)l'
aXl
;a Xl
d
•
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. ..
• • •
•
. .. .
• • • • •
•
•
~
.
óX""
. .. . d'J t
a x"'" ,
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
• • •
~ óX'
El jacobiano]""
~
.?J':J ....
-a.xl.
~ a Xl
I
•
•
• • ,
J:=.
.
•
;;)" 'j
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
ó'j .....
ax""
también se puede simbolizar como
•
Como conclusión podemos afirmar que si un conjunto de variables 'j L está en función de las variable s .x"" entonces podemos garantizar que las X~' se pueden expresar en función de las J t' siempre que el determinanteI::. ~ ~ -:j:o( i I j= 1, 2 ~ .. n), en toda la región para la cual se
I ;.}
definen las funciones
'-lL: __
J
ut'( J
-..JI
........ - - -
... ,
:::L
I .
•
Podemos ahora preguntarnos por la relación que existe entre el jacobiano ,
(cuando queremos expresar
(cuando queremos expresar
y el jacobiano
ción de las:tJ
11' en función de las
1
• t..
J'
L'
)
en fun-
).
Supongamos un conjunto .de n funciones E,.) E,~ ..... E,,,,, de las n variabIes J', JL. . . . . . y supongamos que las c.. son a su vez funciones de las variables x', Xl, - __ . x""; se puede uemostrar entonces la siguiente igualdad de matrice s:
J ""
;:r
l04
dE, d 'j'
;> - El ;> j 1.
-
C):J'""
a él. ;;J 'j • 'p.
af . .
' , , ,
...
..
~
ll-4:
~'
-- ...... _. .,) E.
"Ox·
dEl:
;))
•
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...
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•
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•
•
.;) 'jl a~
.....-
•
• •
• • •
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•
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•
• • •
ti':f""
ax.. . .
\'I! }
. .. ?>i:.
..
...
,
•
<:).x •
~j""
a'j :
2lx ....
a..x"l.
d'j ....
dE",
•
•
• •
•
,
•
•
• •
•
dE,.". ,:)j'
•
• •
•
l3h'! • . C3j'Z. (:r. )
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•
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~
dj~
.x'
•
, ,
d'j I o .x•'L
-
:d.x.. ...
--
•
• •
•
•
•,
•
•
· dE.,.,., •
~ ~~ d .:t."'-
a:x .
. . .
.
-
(J 1 t )
( I) por la
esta ecuación es cierta ya que el produc to de la fila 1 de columnalde ( II ) es:
-
~' a X,'
+ '. ' " . . . . . + ~E., -::J'jrr, 9x' ;;) '1'''' d .l:. •
8~!... ~j2;
+
él'j'!.
-
e
que e s el término (l,l) en la matriz III) Y en general el producto de la fila i de ( I) por la columna j de ( Ir) es
-
2)
el'
<:)
'11.
•
es el término
~:LL.
a-x J
+- ' .
.
,
,
.
a 'j .... .
. . '+
_
a :xJ-
que
(i, j ) en la matriz ( III ) . .
En el caso de que tef'gamos los dos tipos de ecuacione s :
:¡t'= sa:
-X i '..:-
Ji' ~c"
(-;:¿ " X'
I
-- -
x'" ')0.'.= I.~ "17'1) Y su transformación inver-
('j', j2, ___ .
)
J~
')
J
J
podemos encontrar la re -
105
g,' {'J" . .;.,,) como las
lación entre sus jacobianos si consideramos a las X( -= funciones E L' de la ecuación 11-4 y por lo tanto:
•
1
, dX'
d.:t '
J'
8 ':P'
¡ ~
••
I 0-41-
,a..'l:';-.
1d
é) j'L
I
'j'
• •
•
CJ'1-"
aXl
•
.- , .
•
~x~
d ')1.. -<3 'i 1: ax.... éJX'
sJ">1 •
•
é)~:
é>'jl
d 'jt
•
•
• •
•
dX I c3X1.
at,1
a;r1.
ax'
"9:(l. é7X]..
• •
• •
..,
, '
•
•
a x'" a.::s""
,
•
.. d'f2
•
•
aY....... •
• •
,
•
~'f~ ~'j'"
s;Jx~
a.:r"">1
9x~ 0-1:."'"
•
,
o ::(.1.
, ox'
dX I
~::t-
•
•
,
d 'jI
• •
•
• •
•
dX.....
• • •
•
•
•
a '1' oX·
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<::l.)t' ,
--
.
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.
\
o
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•
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-
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,
,
•
,
•
, <31'"
,
•
•
- o o
• •
,
o
:::I
,
•
•
•
a:t.:~
a;x'
a x. "'"
,
,
,
•
2).x7..
;)2-:
•
o
OA
resulta pues que la matriz del jacobiano matriz del jacobiano
•
\
es la inversa de la
y por lo tanto como el determinante de
un producto es el producto de los determinantes obtenemos :
11-5)
_d_X_~~" d 'j J
01 J~
d X ('
)
-1 es decir el producto de los jacobianos de las J
transformaciones inversas es igual a
B-
1
•
DIFERENCIALES DE AREA Y VOLUMEN EN COORDENADAS CURVILINEAS.
En un plano sobre el cual tomamos el sistema cartesiano ( :x) 'f ) vamos a tomar unas coordenadas curvilíneas ( .-U., v') de modo que:
106
11-6)
X=-cP,lU,V)
J
-=- c1-z. ( u.. V )
Si el jacobiano
J -- \ d(U.V) ~ (x, 'j)
\ es distinto de cero en todos los puntos
·de una región dada del espacio entonces podemos obtener:
u. =-
J.
V:
h. Cx,'j)
C~. 'j )
Las ecuaciones [,( = cte, V = cte representan ¡famIlias de curvas y cada curva de la familia obtenida , para un valor distinto de la constante, por ej emplo si ..L-'l..::.-Q-. y V:::.., o sea coordenada s polare s en el plano ( XI J ) entonces --u...:: cte, V=: cte nos representan respectivamente un haz de radios con centro en el origen de coordenadas y ' un conjunto de circunferencias concéntricas de radio 'í =ete cada una. Sa remos que el diferencial de área expre sado en función de d..:t.. y ~ es simplemente : el A = d...x d d ; nos proponemos encontrar - dA (o sea el área de P, p, 7y.. '?3 en el dibujo) en términos de dl4.., Jv. •
x.
El punto p/ tiene coordenadas carte síanas (:(,::f 1) Y coordenadas curvilíneas ( ..A-<. IV) es decir r según 11-6: X
-
1-
tf¡
(U, v)
)
'f,::
cj 7.
(U,
\.1 )
107
Las coordenadas de '?z. son ( ::C"l,)l. ) Y (A.-(., V+dV) debido a que el punto P<. está sobre la curva u=. ete, por lo tanto: x~ ::
c),-
(U,II +dll)
J,-:: qz El Punto P3 son:
(u, V+dv)
e s tá sobre la curva V = cte X'3=
J3 y las coordenadas
=
4>,
[u+du... v)
c;L- (..u -+ d.lÁ.., V )
P¡¡. -:::L 'f:::. r:p /
de
por lo tanto sus coordenadas
son:
(u. -+ el v + cl. v ) ':f ~:: t}J"t. ( U. + d lA I v +d v ) I,Á. •
Podemos expandir 11 ¡ ':5 -:1.. J X 3 J :J 3 en serie de Taylor en el entorno de Ji " ':5 1 (o sea de --u.. V ) despreciando los diferenciales de orden mayor que el priímero , por lo tanto: ...J.
x-z.::. Cf,(u,v+dv) ~
~4'1_ dV av
,J,) +
y, lU.JV
)1.::: cPl ( U. V-I-cl v) = el, ~3.::: qJ (u -+.J u.. v) =- ~ /
(u/v) +
(u IV')
J3:: 4Z.(.A.J.-1-dtA..,V)= p<-
~ d
+
(u,V) +
élV
V
<:)(j 1. el 4...
~~~
du.
.;)u
El área de 7 1 P2. 'Pt.;. P3 es aproximadamente igual al área del paralelogramo 'PI -PI. P 3 ; la aproximac ión se convierte en igualdad si tomamos el área cada vez mas y mas pequeña de modo que los segmentos curvilineos PI PI) P, P3, P3 -p~ J Y "Pz. 7'}L se conviertan en segmentos de línea recta; ahora: el área A del paralelogramo "Pi ? ... P3 es igua 1 al módulo del producto v;;torial J>/~ >t P,?} pero:
'P I
--
P2
)<¡
...... L
7, 1>3 ::. [~l.-x,) 7 + (j"L-:Ü7]x[ft>-X,)L+('k1,)T]
:r
11 - 7
+ A=--
':h
\
108 •
•,
Colocamos el doble signo ± para tomar aquel que nos haga positiva el é.rea según el signo del determinante. Resulta entonces que el área ( d A )
J.
x.
dA -_4-
J'L-
:t.,:!
'13
eP,
1
::tlo
es:
41. T aq ... ,j-.¡ ;;)'1
~ + 09. J ..
- +
I
I
I
.1'1
\
dÚo ~l + -a&'.dU ~<+9lh ;)t..L
\
I
éJ<.<..
-
--t -
1)
c/;z.
OQI. dO¡
2)q?,.. d y'
d-l
.¡)V
atP¡
clt..L
I O
2>Q, d"
-- -1-
Jv'
'?Q I
.aq":du. O
é)Lt
;;)IA..
dL<.
.,)1.(.
~dv' ay d
=/
clz... el t.t
8L<.
•
dA=+-
d
d ~l.-
at};1
av d ello -
du...civ pero este determinante es
.)L-l
c;>u..
el jacobíano de las ecuacione s de transformación 11-6 por lo tanto 11-8)
' dA'"- ±.J dt-t.dv
==
Irl
du..dll
En forma semejante podemos resolver el problema de encontrar el diferencial de volumen referido a las coordenadas curvilíneas: ..A..-<- v.> uJ J
En este caso tenemos 11-9)
.J ::: cpz.
(u. I
V,
w)
I
Se puede ex pre sar
-i: =
cp,
X
LU
, ¡} J uJ)
en
==
cP,
(lÁ,
v
J
u))
)
,
función de
x'J ~ I
i
si el
jaco;)iano de 11-9 no se anula en l a región considerada Y en este caso obtenemos:
109
.AÁ-
::.
J,
(x, '),2: ) J
V:::
1'1.
(~,
'j,
~
w --
)
f;,
l'
(::t,~,~).
Y'+.!v ~.
•"
176
, •
I
,-......¡. .....' / ' - - - - -
, I
/
1'.)
/
I
'1, (U,¡/JW) (Ah
•
f, ::. ,'CJ,.
V~
b (.:r,1.i) =(:T.t..
Si colocamos ~ = cte obtenemos una superficie ( ya que x, y, z quedarían ligadas pudiéndose expresar una de las variables en función de las otras dos) y similarmente V =cte, W =cte. representan superficies; para diferentes valores de las constantes obtenemos tres familias de su• per:ficies las cuales nos ,"cuadriculan" completamente el espacio. Las coordenadas cartesianas de PI son ( xl. y;t~) y sus coordenadas curvilíneas son ( ..-U-, v, u.J );las coordenadas de ?"?. son: ( x'Z., J~J ~l. ) Ó (....u. + du, v, UJ ), las de 'P3 son ( X3, J".},~) ) o' (...u., V+dv, 0 ) ylasde 'PI¡. son: ( xv-, J<;,?:¡<) ó(..u.,v,w+"<:tt.U); el volumen del sólido :1',;b 7"PJl- .:PE -:P" :E:¡. :E e es aproximadamente igual al volumen del paralepípedo qu e ;¡asa por esos mismos puntos; esta aproximación se convierte en igualdad si tornamos el elemento de volumen lo suficientemente pequeño de modo que los segmentos curvilíneos se conviertan en segmentos de recta; pero el volumen del paralepípedo es igual al producto mixto:
Ahora:
v ::: -t
(X1..- Y I) (-. +- (1 ... -1.)T + (:z.l.-~\) lZ ( X3 -XI) i. + eh-JI.') T + ('b-'i ,) -¡( ( .tv.-~. ) T + l J' If- )') T + ( 7:. '+- 7: ,) '? Xt -x, i! z.- =t:¡ X3 -:i.¡ ;i. t¡ - :XI
~3-~J
~ '1- -=t ¡
110
Pero :
x,:::. :('L
eP,
= q, -r
;{. '3
tAl») J, =- 4'L ( u.. 11 , LV) , aq, " d Vl :h=
(lA., V,
I
ac:j,. dV' ) tj ~:::
=Q. +
.x ~ = ~ I
I
av
-t
•
•
cf'l. -+ ~ fl.
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11-10
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eJ.v =
é)1() ,
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091-1.
:a ~'Z.
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J
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a ~I el "", '1 o.;
a~, J~
:¿1.:c13+ -aq,.3,dc..L
tI \
?J.l é)w cUt. dv dMJ
TENSORES REIATIVOS
Existen cantidades cuya ley de transformación incluye el jacobiano del cambio de coordenadas elevado a una potencia entera. Un ejemplo es el determinante del tensor métrico j' ; hemos visto que es un tensor doblemente covariante,por lo tanto al pasar de las coordenadas 'j t' a las .:t lO se transforma en ~II\~ según la ley.
g.
g"J"
11-11)
Esta ecuación se puede considerar como una igualdad de matrices si hacemos variar i, j}c 1 en su rango; para realizar esto debemos colocar 11-n) matricialmente así: o
11-12)
111 -
el índice 1. corresponde a filas .y j
Si en la matriz tonces en la matriz na i) Y en
oJ'
,
I
el índice i el índice j
'"l
[ -ox.' J
~ ~~~
1
corre sponde a columna s ( la colum-
corre sponde a fila s (la fila j); por lo tanto I
es la transpuesta de
túa el producto de [
a columnas en-
r ~~~]
; en la ecuación 11-12 se efec-
por la matriz producto [~,'.,j
J.[
•
Por ejemplo en el espacio de 3 dimensiones 11-12 queda así:
I
()
áll I
d~1 I
~31
I
I
dl1- JI3 I
aU. I
~~
-
oj' a~'
j
~~ I
~33
-- ax'" ~ll
aj'
-
ax3
<>j:
a'j3
~Xl
aL'
~jlé) Xl.
•
3 0:1 •
.;>.x.'-
~)~
;)j?.
0.1)
';.x:)
~.
~I'!-
• ~\
~21
{J3 1 ~31.
di) ~l.3
~hJ
•
;} JI
a 'S ~
d ~'
c3:t I
d.l 1
d.x J
':1'-
d:J 'Z.
,;)~~
d.x...\ dj~
aX.'
-() x'~
¡;'Xl
-
~.x.")
o- :j"?> • 0;:(3
112
1
Cada término la columna ~
dIC.t
de (1) se obtiene multiplicando la fila de V por ejemplo:
dj'.
=
~2'
4-
~31
[:1
d 23
J .
.....
é)'j~
n"l. dn.
ax."L 8.x>
I
Y como dl'J :!Jt' coincide este valor de mo el término (2 I 3) se la matriz K.E
•
~j? d'1~ G).::t.1. c9xJ
k de II por
con
j 23
obtenido co-
Sabemos que el determinante de un producto de matrice s cuadradas es igual al producto de los determinantes de las matrices ¡ si aplicamos es ta regla dos veces sobre el producto matricial representado en 11-12 resulta:
Hemos dicho anteriormente que
y
son
[
matrices
transpuestas, pero el determinante de una matriz es igual al determinante de su tranpuesta por lo tanto: y resulta: I 1:>
11-13:
•
•
113
Concluirnos entonces que el determinante del tensor métrico ~~ (escrito corno matriz) se transforma como un escalar pero multiplicado por el cuadrado del jacobiano de la transformación de coordenadas; decimos entonces que (el determinante del tensor ;¡ I~_( ) es un escalar relativo de peso 2; de 11-13 obtenernos: \lW -:=.. ""J" :11-13a) es decir la raíz cuadrada del determinante de
3-
J-t
Otro ejemplo de escalar relativo lo constituye la distribución de la densidad en un cuerpo; sea un cuerpo de masa M y densidad física ( masa/ volumen) f variable de punto a punto en general; si referirnos el cuerpo a las coordenadas cartesianas (llamémoslas j L' ) , la masa del cuerpo se calcula a sí: 11-14)
Si referirnos el cuerpo al sistema curvilíneo X 1. el diferencial de volumen J v d:{' cd '1"1.. d::r"} se transforma según 11-10) en el 11' = siendo I r I e l jacobiano de la trans\:r l. d:t.'. Ax. ... clX 3 formación o sea el determinante lo tanto:
con:
la densidad física es un escalar absoluto o sea
f{'f'j"t.'j
J).= f
(-x' ~1.X3)
por lo tan-
to:
11-15)
Si en 11-15 considerarnos el producto d.::x.'. el. x'l... d. y' 3 corno un supuesto diferencial de volumen,entonces r(~'xZX3) 1.T J ~s una distribución de densidad ( no la densidad física la cual es escalar absoluta) y desde este punto de vis ta podernos decir que la dis tribución de densidad es un escalar relativo de peso - 1 ya que de 11,14 y 11-15:
114
,
Para generalizar podemos considerar ahora cantidades cuya transformaci':n (la de sus componentes) al pasar de un sistema coordenado a otro e~ similar a la de los tensores solo que introducen el jacobiano J" elevado a una potencia entera w ; estas cantidades las llamaremos tensores relativos (por oposición a los tensores absolutos) o también densidades tensoriales (por analogía al escalar relativo distribución de densidad) . o
Por ej emplo, si un conjunto de cantidades JI.: a '";L"o según la ley:
JIC.
A¡
se transforma al pasar de
decimos que las
, ~
son las componentes de un tensor relativo mixto (covariante de orden 1 y contravariante de orden 2) de peso W o
Es muy importante resaltar que toda la teoría desarrollada en 10.3 capítulos anteriores no se aplica a los tensores relativos ya que en esos capítulos supusimos que la ley de transformación de las componentes tensoriales no involucra al jacobiano; por lo tanto el tensor relativo no es un tensor en el sentido que le hemos dado a este término hasta el momento; solo cuando el peso ( uJ) es cero coincide el tensor relativo con el tensor absoluto y por lo tanto podemos con siderar los tensor ordinario.s ( d absoluto.scomo casos particulares de los tensores relativos). D-
ALGEBRA DE LOS TENSORES RELATIVOS a)
Suma y Resta: La suma de dos tensores relativos de igual número de índices covariantes y contravariantes y de igual, peso W es otro tensor relativo de peso vJ o
o
Por ejemplo, dados I A lv_
A~ l
o
/(
:r"' w :r J3'f P -
I
(}\("
8;~
entonces:
J
d x'4 3 x""'" O}'j~ - e; x. 1> d'ji 0':1" p
A~'K .
óx«¡ _ oX" ;;) 'j lO _ :i3 ~ ~ . d 'j.í
-
C>'jl<
e>X P
l
-~
11S
. A1
•
JI(
b)
B~" I
.¡.
tensor relativo de peso
Producto exterior: el producto exterior de dos tensores relativos de pesos W, y W-z.. es otro tensor relativo de peso Wl + W"l. ;por • JI. ejemplo, dados A~) B 1'"""" entonces:
Á'l'"
_ I "".
a..x ~ d'ji
f
a;-..
~~;
13~ = J~1. ax~ ~lp.. é)
:1'' ' '
'j~' A
d 2L '1" d
~ x.>
t
B;'
~/
A
Jl"
1'<
1;;> 'W\
•
-LJ
1 tensor relativo de peso tU. -t .. \..I.It Y orden
R
covariante y contravariante igual a la suma de los respectivos órdenes de i!(
A ¡' c)
"""
B!(
y
Contracción: si se iguala un índice covariante con un índice contra variante de un tensor relativo de peso LV y orden covariante..s y contravariante y- obtendremos otro tensor relativo de peso LJ y órdenes covariante y contravariante (..$- J ) Y ( y- - 1) respectivamente; por ejemplo, dado A l~' tal que "
A' tl
~
'YYI ,.,
si igualamos tendremos:
i Y k
t
A':M I
=.
w ..a::1 ~ ~ ~ J~ i1 x p. J ~ ::t 'Y'I'\ a .::C'" ¿;¡:) '"
J
Y sumamos sobre este índice mudo
:r \Al
~j
l:
~x""'"
d ':1J~
¡>
=
y
,
1
-
ob-
pero :
ox""
\'
Af'Mrn
A (~
-
~ 'W\ ::.
I
i
para m =
(
A ,-j' es un ten) por lo tanto sor relativo de peso uJ , orden covariante 2 -1 = 1 y orden contrava-
116
riante 1-1= O es decir es un vector covariante Aj'. d)
Producto interior: si efectuamos el producto exterior de dos tensores relativos de pesos uJ I Y (lj 1. Y de órdenes covariante y contravariante Y, J~ ¡ Y Yl, S 1. Y luego igualamos un índice covariante de este tensor producto con uno de sus índices contravariantes obtenemos un tensor relativo de peso wl -lo W-z. y órdenes covariante y ca travariante ( y, .... 'Í'1. -1 ) Y (5, +.h - I ) respectivamente; esto se deduce directamente de los dos puntos anteriores.
e)
Obtención de un tensor absoluto ( uJ:: o ) a partir de un tensor relativo. Dado un tensor relativo de peso uJ, si multiplicamos cada componente de este tensor por cualquier escalar relativo de peso 1 elevado a la (- w ) potencia obtendremos un tensor absoluto; demostremos esta importante propiedad. Sea B un escalar• relativo de peso 1 , esto quiere decirI que si en las • c~ordenadas JL el escalar vale B, en las :XL v':lle .13 de modo que 13:: -:r B ; elevando a la W potencia re sulta: 11-16) : :By) =- -:r\AJ 13 w ; ahora supongamos que tenemos un tensor relativo A ~f de peso uJ , esto quiere decir que sus componentes se transforman .-
aSl: ;J 'j t' -
Multiplicando ambos lados de es ta ecuación por :::r w a la izquierda del signo igual obtenemos: B~L.fJ
J-w
Pero de 11-16:
I
t
-
Ay~
J3-w •
~
.::yi.U
( 8-
w
A~j ) --
.
'1
~
a.:x t
.;> ~ )(
:JJ a.x j
C>
L'
ax""
•
K
- A I.j..
,J3~....v
y pasando
a- w
I
:B LV
-
por lo tanto:
ayt:, a 'j t
-
•
a '1"
esta ecuación nos dice que que no aparece en su ley .::r a la potencia cero).
-J3
,
•
;;; 'jJ
ax""
-uJ
A
(B-WAl~')
a.:t J
K
tJ"
es un tensor absoluto ya de transformación (o mejor aparece
Como ya conocemos (ver ecuación 11-13 a) un tensor relativo de pe-
117
so 1 podernos utilizar V1- para obtener tensores absolutos a partir de los tensores relativos; por ejemplo si A:)· es un tensor relativo de peso vJ entonces el conjunto de cantidades (Vfi. )-W Al} o sea A~<' es un tensor absoluto
f)
13;..
Propiedad fundamental de los tensores relativos: análogamente a lo visto en el capítulo VII sobre tensores absolutos podernos afirmar aquí que si un tensor relativo se anula para un sistema coordenado ~ e se anulará también para cualquier otro sistema .:z L: que se pueda relacionar con el 'j lo: por medio de ecuaciones del tipo 3-1; corno consecuencia de lo anterior se puede decir que si dos tensores relativos de igual peso y número de índices covariantes y contrava• riantes son igu~les en un sistema 'j L. serán también igu~les par~ todo sistema .x'; por ejemplo si en jL se cumple que A LJ -=- ELjo ~ '1< 't( entonces en XL se cumple A t'.{ -:.. Bc') esto es cierto ya que A~ose anula en J /.: y por lo tanto' también se anula en :Xl.. • o
13IJ
CAPITULO XII ,
TENSORES CARTESIANOS
A-
INTRODUCCION
Se ;>resenta con mucha frecuencia en ingeniería la transformación de unas coordenadas cartesianas en otras coordenadas cartesianas; cuando transformamos unas componentes cartesianas de un tensor a otro sistema también cartesiano decimos que el tensor es cartesiano; esta forma de hablar no es rigurosa porque como hemos visto anteriormente un tensor es una cantidad independiente del sistema coordenado) lo que cambia es el valor de sus componentes; al decir que un tensor es cartesia'n o no nos referimos entonces a una cualidad intrínseca del tensor sino a los dos sistemas cartesianos entre los cuales se transforman sus componentes. Si J L' es un sistema cartesiano y X C,,' es un nuevo sistema pero también cartesiano entonces la relación entre esas coordenadas es la siguiente:
(i, j= 1,2 .. n; j , índice mudo)
12-1)
En esta ex presión los coeficientes Qtj' son constantes y son los responsables de la rotación de los ejes JI. hasta convertirse en paralelos , a ;t t i a t'j' es pues el coseno del ángulo que forma el eje x. C,' con el eje 1 J ; C{c es también constante y es el responsable de la translación del origen de los ejes j l.: hasta el origen de los nuevos ejes .xL' • La ecuación que convierte los ::JJ en ~ L' es: 12 -2 : ~,j'::: aLj' :::( l.: ~~' siendo alJ el coseno del ángulo que forma el eje xc.. con el eje j' r al final de e sta introducción j us tificaremos 12-1 y 12 -2.
• l
En el capítulo VI vimos que lo que caracteriza a un tensor es el hecho de que sus componentes se transforman de un modo peculiar según una ley de transformación que involucra las derivadas parciales de las nuevas coordenadas con respecto a las viej'as coordenadas o viceversa; si tenemos un tensorcontravariante de orden 1 ( un vector) A J' sus componentes se transforman en A' t' ( AJ' expresadas en el sistema :JJ' , C,' en el sistema , :XL ) así:
A
J ,
,
Al:::. Ahora que
y X eLl~(
•
son coordenadas cartesianas obte n e rnos de 12- 1 Y por lo tanto: l
119 I
,
,
Al;::. a
12-3)
L'J ,
I
Ahora I si AJ" e s un vector , covariante en :f J Y A l ' son sus componentes en el nuevo sistema :i.. 1.. esas componentes se relacionan así:
, Al =
,
S i :~jJ y -.x. L' y por lo tanto:
son cartesianas obtenemos de 12 -2
I
a()' (12 - 3a)
12-4)
De 12 -3 Y 12 -4 observamos que la ley de transformación para las componentes contravariantes de un vector es exactamente igual a la de las componentes covariantes y por lo tanto podemos concluir que en coordenadas cartesianas no hay diferencia entre componentes covariantes y contravariantes; esto inismo también puede ser deducido del hecho de que, como vimos en el capítulo 3, en ' un sistema cartesiano coinciden la base directa ( ~: ) l' y la recíproca ( ) y por lo tanto las componentes de un vector dado según esas dos bases (componentes contravariantes y covariantes respectivamente ) también coinciden,
8
Como no hay diferencia entre componentes covariantes y contravariantes utilizaremos un subíndice para designar las componentes vectoriales y las llamaremos simplemente componentes del vector sin agregar el adjetivo covarían te o contravariante ", S} tomamos ur: tensor mixto se transformarán sus componentes' en A..e:' ( J t viejo sistema, J( L' nuevo sis tema) según: 11
11
A;
11
A;~
=
,
Si tanto :Y como J ción anterior resulta: j.
J'
son sistemas coordenados cartesianos la ecua-
'''l'\
A~'M = Si el tensor es
Al'.f Jo(
se transformará así:
I
12-4a)
AR"'YII'rt ::: QQ,'
a"""J
aMI' ALj'K
Notemos pues que la leX' ,de transÍ~rmación de A l~' es idéntica a la de ALJ'j( (y a la de A LJ K Y AL; ) es decir no hay diferencia entre el tensor mixto de orden 3 y el covariante de orden 3 o contra variante de or-
120
den 3; esto mismo se puede concluír notando nuevamente que al coincidir las bases y no hay diferencia entre componentes según l[; (componentes contravariantes), (componentes covariantes) o según y (componentes mixtas).
t
f,o
c¿c
'J;
iL"
Como resumen de todo lo anterior podemos decir que si las componentes de cualquier tensor se transforman de un sistema cartesiano a otro también cartesiano se pierde la diferencia entre covariante y contravariante y sdo necesitamos utilizar un solo tipo de índices los cuales corrientemente son subíndices. Para terminar esta introducción pasemos a justificar 12-1 y 12-2.
A
Sea un vector cualquiera en el espacio tridimensional y fijado al orígen Q de la s coordenadas cartesianas J LO (i= 1,2,3 ) i si en ese origen tomamos otro sistema carte siano x t. (i= 1, 2,3,) encontremos la expresión de las componentes AL (componentes de A según los ejes 'j LO ) y (componentes de A según los ejes ;( LO ) . 0
A("
X"l,
'\ \
\
1
\ \ \ \ \
Y-l
121
Del gráfico tenemos:
,
.
Al';:; A,
/"-
~ (~I JI)
,
+
~
A~ Goj (~'J1..1
( ::i..1- JI) +-
A lo
Á,
~
C~-;j,) + Az l.M ......... ~ (x. .. :L')
a lj'::.
Si !lamamos
Jl. ) + A3 ~ (:(.0.3) ....... ...... (:::L3:h) -+ A-:, c.os (:~3J.))
L.O S (.)[,
I
lb -
A"} c..o~(~03)
-l-
/'-
..;1.-
Az -- A,
-"'-
resulta:
I
A,
a:1.j Ai
-=
l
~ '-:::
a~J'
A3 ::..
0-3J AJ'
Af
En estas 3 ecuaciones j es un índice mudo; las 3 ecuaciones se pueden escribir en una sola así:
, Al' = aCJ A J'
12-5
j: índice mudo == 1,2 I 3
••
¡;:
sea el vector posición de un punto cualEn el caso de que el vector p (x. "X.-z. ")(.3» la ecuación anterior quequiera P e:J, j. j ) ) ó da: , Si el origen de los ejes ;L. L no coincide con el de los ejes ~ i I
(
entonces 12-6) ~ XL';::.. !ltJ 'ji + a.. L' siendo LL l' la distancia medida a lo largo de J ¡' entre los dos Drígenes y esta es precisamente la ecuación 12-1 la cual se escribió para n dimensiones. Ahora, similarmente las componentes AL del vector A'? se pueden expresar en función de las así: .........
A' (."
.......
I
Al
Al
--
A~ ~ (~:L ) -f A3 , ~ (Xl 1J + AJ ....-
A2 --
Al, I
A3
C-.lM(x,'j',) +
--
~
A/~
(x~J + A 1-
,
éX0..3 ) + A<.
I
c..tY> (X3
JI) ~h )
---
Cér; (x.)
122
y nuevamente
si
Q
lJ"
entonces:
,
I
con: i índice mudo = 1, 2, 3 ,
Estas tres ecuaciones se escriben en una sola así: 12-7)
j= 1,2,3 i i= índice mudo
A
Si
~J
es el vector posición de un punto :=.
Q..¿J
.x L."
P cualquiera obtenernos:
; si los orígenes de coordenadas no coinciden en-
tonce s:
.JJ":::
a..J
(Siendo que es pre.cisamente la ecuación 12-2 atj" y.
L
1-
definido en 12 - 6)
Es de uso frecuente escribir matricialmente las ecuaciones 12-5 y 12-7 Y en ese caso quedan así:
, 12 -5)
Al
az, Az • I
A3
~
o
B-
el"
a,!.
ti3.
alt.
-A,
Q..'3
al.)
0...;\1. Q.;?3
•
... I
12-7 1-
A3
0./1
AL -
Cl./1.
AJ
9....:>
a1.1
a.."} I
•
, 1
aH ·Al 1 Cl 23 A3
a.H.
Cl'))
y 12-9
REIACIONES ENTRE LOS DIFEREI TTE S COEFICIENTES
El tensor mas frecuente en ingeniería es el tensor de 20. orden. por ejem-
"
123
plo el tensor de inercia, el tensor de tensiones, el tensor de defonnaciones , etc; estudiaremos en las siguientes secciones algunas generalidades relativas a es te tipo de tensores. De las ecuaciones 12-8 y 12-9 obtenemos:
COI: [
1 ]
: matriz unitaria; por lo tanto concluimos que:
12-10)
Por ejemplo en el espacio tridi:nensiona11á ecuación anterior se escribe así: loo aL3
l1.:H.
Ct I Z.
•
a.)
1111
_
-
o
I
o
o
o
I
Efectuando el producto resulta: 1.
12-11
a"
'I.
all 1a3.
a.
~
ct '3
(L1I -t- /lIt
a.zz
::. J +- a..~ .... 1. ~ J + az') + an t.. 1+ a.)l +aH ::. I
" (LZI lbl eL31
1-
¡.
-t a.1~
+- Clu..lbl +-
0.11 + tbl..
Q.¡z
aZ.3
a1.)
::.-0
llJ3 :::. V
+ Q3) tu.3 "'- o
Resultan además otras tres ecuaciones pero son iguales a las tres últimas escritas; las tres primeras ecuaciones nos indican que la suma de los cuadrados de los cosenos directores de una dirección dada (ejes x,,:x.z,A.) respectivamente) es igual a 1 y las tres últimas nos dicen que los ejes de coordenadas X I ) :Xl) x") son ortogonales dos a dos. En una forma simplificadas las seis ecuaciones anteriores se pueden escribir así: 12-12) Cl
124
12-8 así;
lo tanto:
•
Expandiendo esta ecuación en el espacio tridimensional resulta:
a
QZI
JI
Q..) I a.)~
•
a"
Ct'l..
a,)
Q.1.\
an.
Q2.)
::::.
I
o
o
I
o
o
1
o -/>"
12-11a)
a
lJ
arlo
+ Lb,
aH
-t- Cl..3'
a'3 + Qzz CU3 + 0 ..11 al' + Q..2.3 all 4-
• a/lo
a:)2
==-
D
aJ"2..
tl.3.3 :=
0..33
a 3 I =-
o
o
Las tres primeras ecuaciones nos dicen que la suma de los cuadrados de los cosenos directores de las direcciones ':J, I '1-1.., J 3 respectivamente son iguale s a 1 y las tre s' últimas expresan la ortogonalidad de los ejes )'. 1z, 13 . Esas seis ecuaciones se pueden escribir resumidamente así: 12-13)
(j índice mudo)
De 12 -12 Y 12 -13 observarnos que el índice mudo j puede colocarse como primer índice en ambos factores o como segundo índice en ambos factores. Si en 12-10 tornarnos el determinante de las matrices y recordamos que el determinante de una matriz es igual al determinante de la matriz trans-
125
puesta obtendremos:
~
, o
(12 -14) ,
,
Es te mismo resultado se puede obtener a partir de la ecuación 11-10¡ Ti ,,1 son también coordenadas cartesianas entonces : ~. v J
SI
"""
dv.:: dl-(.dll ¿IAJ dv -::. l:fldu.dvdLU
pero según 11-10:
:r
pero es el jacobiano de la transformación que según 12-3a es el determinante de la matriz L o.li] ; como 1 J) -=- ' I entonces T =- ± I es decir 1 a \'j J ':". '!: I que es el mismo re sultado de 12 -14 , J
C-
TENSORES SIMETRICOS, EJES PRINCIPALES) INVARIANTES
Dado un tensor cualquiera (no necesariamente cartesiano) que tenga dos o mas índices covariantes ( o con travariante s) , decimos que este tensor es simétrico con respecto a dos de esos índices covariantes ( o contravariantes) si las componentes obtenidas al intercambiar esos índices son iguales; por ejemplo dado ALjen el sistema ~ft· dec~ll!0s que es" 1. si A f!JK = A j~i . ) dado A l J K ' ét' t e t ensor e~ Slm flen en.l..r el tensor es simétrico en i, k si A i! = A 1< J e ; si el tensor es simétrico para todos los índices covariantes ( y contravariantes) decimos que el tensor es completamente simétrico; por ejemplo A ¡~J 1( es compIe tamente simétrico si: j')(
A~,~::: A}i
J(
:::
Una propiedad fundamental de los tensores simétricos es el hecho de que si es simétrico para un sistema coordenado también lo es para cualquier otro sistema; por ejemplo si es simétrico en J l' también lo será en :t t' ya que: J
Ar
'""
A~IW\
;yr'
= dXR Á:::!J. = @J~
aX"""
f
d'.fJ
ax"n A~,
ax . . . . a'j~ ?)l' C)Xi.
lJ
?X~ A.J~ d j
1(
126
,
x
A ', 'J
Pero
por lo tanto:
,
"'" - AJ~ A,......l.
Si el tensor considerado es un tensor de segundo orden la simetría se expresa en el hecho de que la matriz que representa este tensor es una matriz simétrica"
Un problema de mucha importancia práctica en ingeniería consiste en encontrar las direcciones ( ~'J X"t¡ X ~ ) con respecto a las cuales solo l" las componentes A 11 J AH, A 3'} son diferentes de cera y las demás • componentes At'J' son nulas. Si Á tJ' es un tensor cartesiano, se transformarán sus componentes según la ley ( ver 12 -4 a).
, 12-1 S)
,
A I(! =
QJ.j
O-I
A LJ'
Esta ecuación la podemos escribir matricialmente así:
I
A"
, A,I
12 -16:
I
A"
A
• A'3
I
I
I
11.
A 21 •
(l. ..
A 1.3
A.3 t
--
a
It-
a.,>
CLZI
• G.n Qt3
(lJ'
a31..
I
A)3
aH
A" Az'
An.
AH An
A"l¡ A31.
011
Al)
AJ~
•
al' a"
D.l't CA-u
al)
a3~
(43 Q33
, A x,R
Cada término se obtiene multiplicando la fila k de.IL por la columna j del producto ( U1 ), ( Dt. ); este producto es la matriz;
(II) (III)=
Ava,. + An a,z + A2.) aJJ, },
1i3'
tljl +
A :n. a/O!
t-
J;ha 0.'/.1 -t An Q21. +
A 3) <.A-H n A,H a.v+ A}lQ.n+ 1
Anaz3,
A~")a ·n,A)lall+/hl4.3?:t-A.n/l.n
J
Entonces e l término
A
2)
A1.l Q.,I + AnQ.3HÁnQJl
por ejemplo , se obtiene así:
127 I
AH:
(AIIQ.31+Afta~1. +AI:3(l~n)+ al.t(AtlQ.:~I ... AlZ.a:>I.+-Ana.-:n)+
CL-tl
+- al~ (AJI
~
Q.31
Este valor coincide con
lll.l
t-
eL]2
Lb.)
+
a~l.
A}l
I
A z.)
An + lb.)
Q:H
+
calculado de 12 -15 así:
Q.):t
A:Y2 + Ctv
Q.)}
A k~
=0 (
;.¿ *fl. )
12 -1 7)
o o
A13
resulta : r-'
I
A"
An + CL2.2Ci.)¡}
A 3} I
Si en 12-16 hacemos
1\~:> Q.3})
o
o
I
A2.Z o
o 1
A3)
--
0.."
Q.,z
a,'J
4.z1
ÚH
o...Z3
(bl
a.3L
Al! Aa. A,)
(, A~I
a33
a~ I
a"
a.ll
Au. A'1.)
(1/t
ano
AH
a.'3
0.7.3 Ql)
A;Jl.
a:>l
Esto nos representa un sistema de 9 ecuaciones con 12 incógnitas (suponiendo conocidos 10sAc.'.l, son incógnitas los a.J/ y A/I, Fi u • ~~) ):, además de estas 9 ecuaciones tenemos otras seis que son las 12-11 (o las 12-11a) ; el sistema de 15 ecuaciones con 12 incógnitas no tiene en general solución y por lo tanto el tensor cartesiano de 20. Orden no se puede reducir en general de modo que las únicas componentes diferentes de cero sean A'll, A3>j sin embargo si el tensor es simétrico entonces el hecho deI que \ Al'J' sea igual a Af L' implica como vimos anteriormente que AI<~ = ARto( y por lo tanto en 12 -17 solo tendremos en este caso seis ecuaciones diferentes; sumadas estas 6 ecuaciones a las seis de 12-11 llegamos a un sistema de 12 ecuaciones con 12 incógnitas ; se pueden resolver primero las 9 incógnitas a,J'utilizando 12-11 y las 3 ecuaciones de 12-17 que resultan iguales a cero; una vez encontradas las a/~/ hallamos Ii /1 J ,ti H A 3) utilizando las restantes tres ecuaciones de 12-17.
"11,
I
Los ejes definidos por los nueve valores I a • I principales y los valores A " 1 A Zl I A 33 CL:J se llaman los valores principales de
IJ
,
se llaman direcciones correspondientes a esos
Al'" .
-
En el capítulo VII demostramos que la diferencia de dos tensores e s 0, tro tensor I sabemos además que el de Ha de Kroneck:.er &t es un tensor de segundo orden ( ver ecuación 4-4); si consideramos transformacio-
128
e6 J
,
nes entre coordenadas cartesianas) se pued~ escribir 6¡j' ; tol memos un tensor cartesiano cualquiera de 20. Orden, A~J' entonces la diferencia A'j - 1< ~ es también un tensor (k es un escalar absoluto) y se puede escribir matricialmente así: ,
l:J
A,,- K 12-18)
A.)
A,z-
A~.
Af.l. - )(
A~3
A31
A 31.
A3)-)( ,
Ahora si cambiamos del sistema coordenado Jl (sistema en el cual suponemos definido A.:/ - J<. Ó <1') al siste,ma también cartesiano XL' I el tensor A L')' cambia sus componentes a A 'J" y el tensor 1< ~ "J' no cambia componentes ya que supusimos que k es un escalar absoluto (en el sentido dado a este término en el capítulo 11) y ~'j' es un tensor cuyas componentes son las mismas en todo sistema coordenado ( como matriz á ti es la matriz unitaria 1) por lo tanto en el sistema xi el tensor diferencia es:
A,¡ _ ~
A '<-
I
12-19)
I
Az,
A <.'4-1<
,
, A:\I Como
A'J' -
1< ~
,
,
•
\
A31.
'j'
AI3 , A 1."3
A3J-K
,
es un tensor de 2 o. Orden se transforma según la
(APM\- ~~.e....,) -::. aiL'a~'
.ley~
-
(ALj'-KÓ'J)
Matricialmente podemos escribir esto así (ver 12-16): •
I
I
A" _ l<
A"
A 13
A;!2-K
Aa3
,
1
Al l
,
A31
A 32
I
kU-KJ
-
a.,
an_
0-, )
aZ.,
ehl
a1-)
A2f
Án.-K
A~3
11.
CL32.
a3":~
A3'
AJl.
AJ 3-t<
ct rJ
f3
1
AJI-K
A, .. A,.}
Q.'l
Q2../
a21
Q2.3
Q31
Q 3'1... a3J,
Si tomamos el determinante a ambos lados de la igualdad y recordando
129
I o..¡j r" =- I
de 12-14 que
resulta:
pandiendo y agrupando términos según potencias de k obtenemos a cada lado de la igualdad una ecuación cúbica en k a sí:
, (AI/ I
+
+
I AH
+
1) A 33 -
•
,
AII
K
+
I
•
t'
Al? A2,
Au AI3 •
A:2.1
I
A'., A,¿ A, ,~ • A21 Au A-l.3 • • IA3' A )1, A33
==
I
_X,?J+
J
I
Al, AlZo Ár) Az.. An A2.) A.31
A31. A3)
Como esta igualdad se cumple para todo valor de k entonces los coeficientes de K\ k Jo{. o deben ser iguales a la izquierda y a la derecha de la ecuación por lo tanto : j
I
I, -- AIl +
AII
3 4 - A~,
A'2"Z
A,~
AH
i-
i- A.33
--
ÁI! + A ~2.
J3 -- Al\ An A"-.3
--
, AH 412. • I
2.1 I
A}~
1
-\- 43?> I • AII A ,<-
A2.l.. A2.) Au A'J ,l\31. AJ~ + AlI A3}
AII AR A,:>
A31
I
A.3J
AJI
An • 432-
I
A~.
I
AH
,
AL"\. i-
A3l.
I
I
AZ3 I
A3:;
+
•
I
AII Ao ¡
,
A'31 A3 J
• Al.) ,
A
A33
Hemos obtenido pues que para todo tensor cartesÍé'lfio de 20. Orden existen tres cantidades (funciones de las componentes del tensor) que son invariantes, no cambian al cambiar d e sistema coordenado,. esas cantidades se acos tumbra llamarlas el primer invariante, el segundo invariante y el tercer invariante del tensor
A:;' .
•
130
D-
EJEMPLOS DE TENSORES CARTESIANOS
•
Tensot de tensiones, tensor de inercia. l.
Supongamos un cuerpo sometido a solicitaciones (fuerzas y momentos); si en su interior tornamos un punto cualquiera y en ese punto localizamos un sistema coordenado cartesiano, podemos tomar en el entorno de ese punto un plano cualquiera que corte a los ejes coorjenados quedando de esta manera definido un tetraedro de dimensiones infinitesimales : como las fuerzas de superficie que actuan sobre las caras de este tetraedro son proporcionales al cuadrado de las dimensiones infinitesimales y las fuerzas de masa (por ej: fuerzas electromagnéticas J gravitatorias) son proporcionales al volumen o sea al cubo de las dimensiones infinitesimalesI podemos entonces despreciar estas últimas ( para efectos de equilibrio estático) y tener en cuenta solamente las fuerzas sobre las caras del elemento.
,
I
.....
I
........' I
I
: I
"-, I
A.'
\ /...
' l cr~ ~.~ 1--.......4.
.,. I V : I ..... u'. I I~ • .'
; I~ ~ , I
_____ ;_..A_____________ y,
'a.)~_
fr .. J
"~n
•
•
, ,,' ¡
L a s fuerzas por unidad de área (o tensiones) que actuan sobre cada cara (OAS, 08 C) o A C. ) las podemos resolver en sus componentes según los ejes coordenados; todas esas componentes las designaremos con el símbolo genérico ~,indep end i ente de si son tensiones normales o cortantes l ; a cada ~ ]e colocamos dos subíndices, el primero indica la cara o superficie sobre la cual actúa la tensión y el segundo nos indica la dirección que tiene ese ~; sobre la cara inclinada ABe hemos tomado un nuevo sistema cartesiano de ejes X I Xl.. X.3 de modo que X, sea normal a esa cara y por lo tanto X~ y X3 están con-
131
.
.
tenidos en el plano de la cara; las tensiones actuando sobre ABe son , cr" (J'4} C). 3 ;encontremos la relación que nos liga las tensiones sobre los "nuevos" ejes X l' con las tensiones sobre los "viejos" • ejes Yi' o sea las r:!{L'j con las CS-l',j' . J
Las direcciones de los ejes )( L están definidas por los cosenos directores at'l, Q,''1. aL',. (L' = 1, '. ;.) ; si llamamos A el área del triángulo ABC entonces esta área como vector es A = A lXI siendo {XI el versor en la -;-P dirección del eje X, -:e ; el área de O,4B . es por lo tan-:-':t ~ ~ to A. L:J~ =- A l.~ , LJ3 p e ro '-x.' lb ::. Q..'3 o sea: A cA a =- A Cl.'3 ; análogamente: A 081:...= A a ,J } A oAt.. '" A lLn ~
J
.#
~
--.
Si en el tetraedro mostrado tomamos equilibrio de fuerza en la direc ción de )( I resulta:
A
(
t1./'l.
+~'3 a.¡~ ') + Ao~c.. (6"n Q n. -t~'tICLII+<:S'"'l.~a.,)
+AMa (~33 a,~ + ~31 CL It (~1I al'
.:::: AQ.II
+ AU
l
+-
~'l a'2
+
+-E;"1 3 a.,)
3L 6"33 tL'3 -+- ~>, a..'J
J+ A a.1'!. (~2'2. a./1.. +~2IalJ-}-~B a'3J
+ G':n. a,'l.)
I
1
Cf;/::
a ,L Q¡J
G ~J'
En forma similar obtenemos:
ciJ ~ = a 1/: a z.J
Q
/L'
Gt), a 3J
Estas tres ecuaciones se pueden escribir uniHcadamente así: 12 -2 O) I
,
I
I
Si construimos otro te traedro rectangular ( o A -B e ) similar al tetraedro O A a L y de modo que sus aristas triplemente ortogona les estén en la dirección de O XI, 0)( "l. OX3 entonces las tensiones "/ J ~', sobre la? caré( s O 8. e (yace en el, plano de ~BC) r O A <; y. o A. 8 son: (
I
,
Ilj
J
132
1
( 1. =- 1, l,)) D..lf ~:./ ( 1 -:. 1, ~, J) ~3..2. = ebL' C1J!J' '\S""LJ' Estas dos últirT'as ecuaciones y las 12-20 se pueden escribir así simplificadamente:
Cl.:¡t·
,
12 -21)
es- K ~
= a.
~lj'
Q.-2j"
1( "
(i, j: índices mudos: k,.l=1,2,3)
Esta ecuación nos indica como se transforman las componentes (['J' pertenecientes al sis tema coordenado :tI. 'cuando pasamos al sistema también cartesiano ~l' ; esta ecuación es la misma 12-15) lo cual nos indica que las
12 -2 2 :
I
CSI, - au: ~t
==
a,
Qt.{
t" Q2J
\)cJ'
I
Cf/3
~ a'tO
, Y 11-23:
C:::/i ,
-
\),t
--
•
~
Siendo
~LJ'
, I
a"
IL"
,1
D.. l." H
~~
QlJ
- aH.'
••
O-'J (f'J' 11
" a 2.J , ~{j'
" cr' (j
tÁ")J'
el coseno del ángulo que forma el eje el coseno de 1 ángulo que forma el eje
X t" X t....
con el eje con el eje
133
Yl,
A
La cara ABC cortada por los ejes ~, ;C't. ~~ se muestra en trazo discontínuo.
,
En este capítulo hemos tratado el tensor de tensiones corno un tensor cartesiano debido a que solo considerarnos transformaciones en coordenadas cartesianas; es posible también estudiar el tensor de tensiones en coordenadas curvilíneas: en ese caso el triángulo ABe será en general un triángulo curvilíneo, sin embargo se seguirá manteniendo constante la tensión sobre esa cara inclinada "; la ley -le transformación de las <5"'L";" en ~lJ' ya no será· 12-21 sino las leyes estudiadas en el capítulo VI para tensores en general ( exis tirán componentes doblemente covariantes
Ah
l
e
,
2.
Corno un segundo ejemplo de un tensor cartesiano consideremos en un sistema cartesla!'.o L' una masa m concentrada en el punto ? ( :J, J '1. ~., ) y una recta X, que pasa por el origen de coordenadas y definida por el versor J,.~ cuyos cosenos directores son alJ J Q,'l,. eL J} (el primer subíndice se refiere a la recta X I Y el segundo subíndice se refiere a los ejes y, Y"l, Y 3 ; encontremos el valor del producto t'rrl o\. 1... siendo ~ la distancia del punto 7 a la recta X l '
;¡
J
'l.
134
•
y,
~
l..
Tenemos:
Ahora:
d
i5P'--
1 -::.
Por lo tanto: l1"l? J 1. =-
(7Y\
o ti '- =
.'L'- +
(
- ¿a"
•
-
(.1/
)1.1.- -t
I 1
A l '1'1.. L<.".J, -
"l..
J3
Cl'3
Jll.
+
+
J31.)- ( a" J.
j; - Q./~ r,1.. - ah
QI.3J,
a 1.
De 12 -11 tenemos :
NY)
+
0./'1, +Ull j~
- ? OA -:
M
'J:J - :¿,a..,~ '1..
1- '-"- n.
+
al:'>
n""L '< 1.3:::'
L a "L"2. ll Jl -1)..,3
J
t-
Q'2
fz L - a.,~
:J.2.. I
':h + a.13..:r~)
't.
r;- -2..a..J/ CUt 1. J
1-
J.)) por lo tanto:
J
'{1.
-2A,."Q,2-J,J2.-2A."til]r.]J-?aJtct,3Jl.::h (JI"Z.a~l +)I"Z.a.~ +):.1 a,¡T +jz.' a~ +J;a.~ +j;Q,'z-z.4.lIanJ J3
a 13:J1 ).3 - ZLlrz. a/:3 J¡ J3 ) --3> f(JI1.+:fjl) a~ 4- CJ}'1-Ji-) ·a.~3 t C:f2lt-J})o.~ -0"o./21,}1.- 2.a.."
m?dl.::. rrr,
-
_ CL12
a Jz. :JI _
-a
¿l,z..]J J
13
/1
ellJ
LJ
a,) J,
~h -
a,:, a" J 3 ':S I - Cll!. Clo :1'2- J
:3
135
12-24) Llamemos: I
j , 'j ~ ::. - ,.,..,.. j ~
- rm
:1. = .I • 3
I"> 1 ,
::.
rY""'\
-
i
t
'j., :: - ~ J ~ :1 "t -:.. Iz. ~ ::. L.3 1.
• ,
~
12-25) 1-
I
+
I. 3 "'l.
ozJ Q,z.. ct .. 4aJ:)
I' 3
c:t.12.
I
Si llamamos
"M
d'1. = I
queda así 12-25:
1\
I
T,¡:: DJt a'i It.:i'
12 -2 6)
Similarmente t si trazamos por O otros dos ejes Y por los cosenos directores a.z I • Q 1 .. J Q ? 3 respectivamente entonces:
, I,'lo .: :. CLl;
12 -2 7)
I
12 -28)
133 ::
a2j'
x%. . .
X 3 definidos
Q) ,)
0_)
2)
a
3 3
I Lj'
a3t' G.3J Il-~i
Estas tres últimas expresiones son los momentos de inercia con respecto a los nuevos ejes X. )foz. X3 respectivamente dados en función de los momentos y productos de- inercia con respecto a los viejos ejes y, J
'lz.) >'3,
X l.: ; su-
Encontremos los productos de inercia referidos a los ejes ponemos que estos ejes XL' son triplemente ortogonales.
,
1
Tenemos:
x .. ;;
Irz ..... -
a.~i
rm.::t., X~
j J
1
pero de 12 - 6 (con al i = O ) :
= I.. 21
por lo tanto:
I
I.'I..:: ::. -
(Y"Y)
fn') (
(au' 'lJ') Cl '1
)' I
(Q.2.i<
'f
J( a
ZI
Cl.1I
a.n :J, j
2
C{1..J
':fl.::r,
+ a. ¡¡ 1 ~ +- a 13 j.:>
= - ".." ( al¡ a.ú 'JI't -r T a l l aH. 1,.1. r QI'Z Pero de 2-11:
J f.I.) = J' + a u'1 z. 4- a. l.) ':J 3 J + a..1/ a. 2.) 'j, '1.} + QJ2.. o~ J .':5,. J I
t- a l )
-t
U·2.I.13.J, .. al)aU. )),)z. ra'3QB'L
all L12..J '=: - c.:t/"L.a z.2. -aJ3 Cll.3 é1n an -: . - C2J1 a ·u - a 13 Q..l J a,) Q2..3:: - a" Wl - CLH Q.. 2."l.
'0
y
•
136
I
•
[(_0..1.
I;t. ""-
Q.u-a,'l
+-
Ci¡Z,ll.Z'
-+-
al3a.ll
(-Q.JI
'f,. JI +
az' - al:!> q2.~) Jz."l.+ alz.a..~:3:hj~
J3~' + a..,').QllJ.l~h r (-al.a.lJ-a"nln')J~zJ
:::.. _,...,..,.. [ ... 0-"
a...11
- ar¿
(. Ijz.l
+~] )
+ ctll a.. n J. j
~
t
a. " a.D
'j.
:::13 1- t.{llt2U.J,.
QH ['1,2.+.3';) + ana.ZJ:J2J)+t{/3Q.ZIJ3j,T-
+ a../3 a..n:h 'jz - a..,~
Cl..2.3
(:;,2.+ :fl)]
Utilizando 12-24 resulta: I
I..
I"t.::.
{lJ I eLlo' I "
+
all.
a.. 1I a Z1. I¡ 2: + tl, I + a.J2 tL2.3 I.2:3 +
+
a.z.2. .I u
Q
z."}
L, 3> +
a l ' ) aZI
a I z.. a. Z 1 .I 1.. I
I. 317- tv~
az ¿
I31..
; esta
+ a . J j a.l.3 T 33 ecuación se puede escribir así: I
aH' a z.;' II-J ; análogamente obtenemos: • I ~ L 13:: alL' a 3J .IlJ ' J .I z.'::: az,' a'J ILJ' I .L 2.3 ~ 1.31 ::. o,)l' a'...J· :L/j') Í3Z.:; o.:J¡' a l ) ' X(J' I.¡-¿ :=
Estas seis ecuaciones y las ecuaciones 12-26 den escribir unificadamente así: I
12 -2 9)
I
1<.1.
= a. J<
l'
CA....Rf
~
I
a
¡¡l'
a3J '
~".f ,
12-27 Y 12-28 se pue-
L:i
Por lo tanto las cantidades I "..1' son las componentes de un tensor de segundo orden (ver 12 -15) al cual se acostumbra llamar tensor de inercia 1. Si en vez de una partícula de masa m tenemos un cuerpo de dimensiones finitas entonces las componentes del tensor de inercia son:
III:=' i{Xl,,?+X:l)d. ITl1
I,~ -;
_
LXI
Xl
~ ::
I2.2..~
;
L
zl
J
I
i
I.J;:. -
(:i..1..t-x1)~}
í
;(,X3
I 33 ::.
d.-vn ::- I3' ) I
f~X,'2.+Xl1.)~
Z3':: -
!:l X3 J-m:= l...l
137
N otemos finalmente que el tensor de inercia se puede definir (lo mismo que todo tensor) corno una cantidad invariante cuyas componentes cambian al cambiar de sistema coordenado pero el tensor en sí permanece inalterado; esta cantidad es el cuadrado de la distancia de un punto a un eje dado ( definido por su versor ).. ) multiplicada por la masa , n: es decir rrn d'2. ; al cambiar del sistema 'j L al -tt.:, rmd ~ no puedi cambiar pero si sus componentes; por ejemplo si en '1l' los cosenos -J? directores de). son 0.'" a,z.. a.3 y las coordenadas de P son ( ':J,. '1t. J3 ) entonces según 12-25:
-
rrr,J
'2.
l
= I.J aJ~ + In 0...;;' + I;n a,,:?> + I,~ Q a IZo + I"l.J QIZ a" + L,~a" a'3 r I~I a,:?> a. +:I,~ an..aJ'3 +I~'2a./'~a,z 11
I1
--,.
Ahora I si en ~ L' los cosenos de 1 las coordenadas de P son ( "il::J ~L, J
" "
-e
son al', a,.... ~ ) entonces: tI
-t-
"
+ 'I.':3
,r
.I''L a"
11
a. l:l t l
l'
Q'l
~
I1..1
Y ,t
a./l
,.
a"
aH a
13
•J
I . K..( e
La relación entre
., I
1< R.
-
tLN~
II.j'es:
a..RJ '
Il:'(
,
¡
,
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