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• Principios de Vibraciones • Adquisición de Datos • Procesamiento de Señal • Monitoreo de Estado • Análisis de Fallas • Acciones correctivas • Conocimiento de equipos • Pruebas de aceptación • Pruebas y diagnósticos de equipos
Capítulo 1: Principio de Vibraciones ...................................................... 1 Impedancia y Movilidad Mecánica....................................................... 1 Cálculo de Z y M para componentes simples ................................. 2 Agrupación de componentes simples .............................................. 8 Torque, Potencia y velocidad de giro ................................................ 18 Apéndice A. Cálculo del módulo resistente polar.............................. 23 Capítulo 2: Adquisición de Datos ........................................................ 24 Sensores piezorresistivos................................................................. 25 Sensores piezoeléctricos. ................................................................. 26 Transformador Lineal de Voltaje Diferencial (LVDT).......................... 29 Galgas Extensométricas ................................................................... 32 Capítulo 3: Procesamiento de Señal..................................................... 55 Ventaneo. ........................................................................................ 55 Tipos de ventana y criterios de elección........................................ 55 Comparación entre ventanas......................................................... 60 Mapas de espectros. ........................................................................ 63 Promedios........................................................................................ 65 Capítulo 4: Monitoreo de estado. ........................................................ 69 Seteo de Ponderaciones ................................................................... 69 Técnicas complementarias al análisis de vibraciones........................ 69 Análisis de aceite. ......................................................................... 69 Emisión Acústica........................................................................... 77 Termografía Infrarroja. ................................................................. 83 Análisis espectral de corrientes ..................................................... 93 Capítulo 5: Conocimiento de equipos.................................................. 98 Engranajes. ...................................................................................... 98 Cajas Reductoras. .......................................................................... 109 Rodamientos.................................................................................. 111 Motores eléctricos.......................................................................... 136 Motores eléctricos asincrónicos. ................................................. 141 Compresores alternativos .............................................................. 154 Capítulo 6: Análisis de Falla. ............................................................. 169 Introducción. ................................................................................. 169 Efectos dinámicos del viento y de la circulación de fluido............... 169 Fallas en Equipos ........................................................................... 182 Motores eléctricos Asincrónicos .................................................. 182
Cajas Reductoras ........................................................................ 191 Conjunto Turbina Soplador ......................................................... 214 Apéndice: estructura de los informes ............................................. 223 Capítulo 7: Pruebas de aceptación..................................................... 225 Capítulo 8: Acciones correctivas........................................................ 239 Reemplazo de piezas ..................................................................... 239 Alineación Láser............................................................................. 255 Aislamiento y absorción de vibraciones.......................................... 262 Introducción al balanceo de rotores flexibles ................................. 274 Capítulo 9: Pruebas de Impacto y Respuesta Forzada. ....................... 287 Grados de Libertad y modos vibratorios ......................................... 288 Sistemas de un solo grado de libertad............................................ 289 Sistemas de múltiples grados de libertad ....................................... 292
En nuestros dos manuales anteriores sobre análisis de vibraciones hemos desarrollado en forma detallada el comportamiento dinámico de los modos vibratorios lineales. En ellos, utilizando modelos mecánicos simples, hallamos las relaciones entre las amplitudes de las vibraciones y las fuerzas que las generan para diferentes frecuencias de excitación. Precisamente, iniciaremos este curso de nivel 3 retomando aquellas ideas con el fin de definir y evaluar la impedancia de los sistemas mecánicos. Seguidamente, desarrollaremos una introducción a los modos vibratorios torsionales comenzando con una revisión de los conceptos de torque y su relación con la potencia transmitida y la velocidad de giro. Finalmente, analizaremos el comportamiento elástico de los aceros ante los esfuerzos de torsión a fin de vincularlos con las amplitudes de los modos vibratorios torsionales.
Con el fin de caracterizar la respuesta de un sistema mecánico a las excitaciones se definen diferentes parámetros, entre los que se encuentra la impedancia mecánica. La misma se introduce haciendo un paralelismo con circuitos eléctricos y es útil para estudiar sistemas mecánicos complejos utilizando herramientas sencillas. Formalmente, se define a la impedancia mecánica como la relación entre la fuerza armónica excitatriz, aplicada en un punto y la velocidad instantánea del mismo. En símbolos: Z =
F V
O equivalentemente F = Z ⋅ V
(1.1)
(1.2)
Vemos que Z puede interpretarse como una medida de la resistencia que opone una estructura al movimiento cuando se le aplica una fuerza armónica. 1
Un modo alternativo de establecer esta relación es a través de la movilidad, la cual se define como el cociente entre la velocidad y la fuerza. Es decir, es la inversa de la impedancia. M =
V F
=
1 Z
(1.3)
De esta forma se encuentra: V = M ⋅ F
(1.4)
Cálculo de Z y M para componentes simples Con el fin de darle operatividad a este concepto calcularemos los valores de Z correspondientes a los tres elementos mecánicos más frecuentemente encontrados en los sistemas mecánicos lineales: amortiguador, resorte y masa. Consideraremos que las masas son indeformables y que los amortiguadores y resortes son lineales y de masa despreciable. Así mismo, las fuerzas excitatrices se consideran armónicas, es decir de la forma: F (t ) = F 0 cos(ω t )
(1.5)
Amortiguador Como hemos visto en los manuales anteriores, la fuerza en los amortiguadores es proporcional a la velocidad relativa entre sus extremos. Así si se tiene que un extremo se mueve con velocidad V 1 y el otro con velocidad V 2 , según se muestra en la figura (1.1), la fuerza del amortiguador ( F a ) estará dada por:
Figura 1.1: Representación esquemática del amortiguador.
2
F a = c ⋅ ( V 1 − V 2 ) = c ⋅ V
(1.6)
donde la constante c es la constante de amortiguamiento. De este modo la impedancia correspondiente al amortiguador será: Z c =
F a V
=c
(1.7)
Resorte Como sabemos los resortes son dispositivos para los que el desplazamiento entre sus extremos es proporcional a la fuerza. La constante de proporcionalidad k se llama rigidez del resorte. La expresión matemática para la fuerza es: F a = k ⋅ ( x1 − x 2 )
(1.8)
con x1 y x 2 los desplazamientos de los extremos según se ilustra en la figura (1.2).
Figura 1.2: Representación esquemática del resorte.
Para
calcular
la
impedancia
debemos
primero
obtener
la
velocidad. Dado que la velocidad es la derivada del desplazamiento respecto del tiempo, tenemos: V =
d dt
( x1 − x2 ) =
d ⎛ F a ⎞
ω F
ω
⎜ ⎟ = − 0 sen(ω t ) = F 0 cos( ω t + 90º ) (1.9) dt ⎝ k ⎠ k k
Esto significa que la velocidad presenta un adelanto de fase de 90º respecto a la fuerza aplicada y tiene una amplitud dada por: 3
V 0 =
ω
(1.10)
F 0
k
En forma equivalente, podemos decir que la fuerza se encuentra retrazada 90º respecto a la velocidad y tiene una amplitud dada por: F 0 =
k ω
(1.11)
V 0
Comparando (1.10) con (1.2) concluimos que la impedancia del resorte debe tener una magnitud dada por: Z k =
k
(1.12)
ω
Para tomar en cuenta tanto las magnitudes como la relación de fase entre fuerza y velocidad representamos a estos parámetros por medio de vectores rotatorios, llamados fasores. Su velocidad de rotación coincide con la frecuencia de la fuerza excitatriz. La relación entre ambos fasores es precisamente la impedancia. En la figura (1.3) se representan la velocidad y la fuerza. Simultáneamente, se esquematiza la impedancia como un vector retrasado en 90º respecto de la velocidad, como corresponde para este componente. Para obtener el valor correcto de F 0 , debe multiplicarse V 0 por la impedancia. V0 Z k
F 0=Z kV 0 Figura 1.3: Diagrama de fasores para el resorte, utilizando la impedancia como parámetro de comparación.
De este modo la velocidad se representa adelantada 90º respecto de la fuerza.
4
En forma alternativa, puede describirse la relación entre V 0 y F 0 utilizando el concepto de movilidad. Comparando (1.4) con (1.11) se tiene que: M k =
ω
(1.13)
k
Luego, partiendo de la fuerza, se puede obtener la velocidad usando el siguiente diagrama de fasores. V 0 = M k F 0
M k F 0 Figura 1.4: Diagrama de fasores para el resorte, utilizando la movilidad como parámetro de comparación.
Nuevamente vemos que la velocidad queda adelantada 90º respecto a la fuerza. Para ambos diagramas, los valores instantáneos de la velocidad y de la fuerza se consiguen proyectando los fasores según cualquiera de los ejes coordenados. Masa Al aplicar una fuerza sobre un cuerpo de masa
m , éste
experimenta una aceleración (figura (1.5)). Según hemos visto, la fuerza es proporcional a la aceleración y la constante de proporcionalidad es m . Esto es:
Figura 1.5: Representación esquemática de la masa.
5
dV
..
F a = m x = m
(1.14)
dt
Podemos hallar la velocidad integrando: V =
F ( t )
∫
m
dt =
F 0
∫
cos( ω t )dt =
m
F 0 mω
sen( ω t ) =
1 mω
F 0 cos( ω t − 90º )
Esto significa que la velocidad presenta un atraso de fase de 90º respecto a la fuerza aplicada y tiene una amplitud dada por: V 0 =
1 mω
(1.15)
F 0
En forma equivalente, podemos decir que la fuerza se encuentra adelantada 90º respecto a la velocidad y tiene una amplitud dada por: F 0 = mω V 0
(1.16)
Combinando (1.2) con (1.16) tenemos que: Z m = mω
(1.17)
Nuevamente podemos representar en un diagrama de fasores la relación entre la fuerza y la velocidad, utilizando la impedancia como parámetro de comparación.
F 0 = Z mV 0
Z m V 0 Figura (1.6): Diagrama de fasores para la masa, utilizando la impedancia como parámetro de comparación.
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Alternativamente e igual que para resortes, puede recurrirse al concepto de movilidad para describir la relación entre V 0 y F 0 . En este caso tenemos: M m =
1
(1.18)
mω
Y el diagrama de fasores correspondiente es:
F 0
M m
V 0 = M m F 0
Figura (1.7): Diagrama de fasores para la masa, utilizando la movilidad como parámetro de comparación.
Los diagramas de fasores utilizados también se aplican al caso del amortiguador. En dicho caso no hay desfasaje entre la fuerza aplicada y la velocidad. De esta forma se tiene:
Z c
V 0
F 0 = Z cV 0
Figura (1.8): Diagrama de fasores para el amortiguador, utilizando la impedancia como parámetro de comparación.
7
M c
V 0 = M c F 0
F 0
Figura (1.9): Diagrama de fasores para el amortiguador, utilizando la movilidad como parámetro de comparación.
Tanto los valores de impedancias y movilidad obtenidos, como los desfasajes estudiados en los diagramas de fasores, pueden también obtenerse considerando a las fuerzas y velocidades como variable compleja. Los componentes reales de un sistema mecánico tienen pérdidas de energía inherentes a su funcionamiento (fricciones, emisión acústica, histéresis, etc.). En caso necesario, estas pérdidas se tomarán en cuenta agregando al sistema un componente resistivo.
Agrupación de componentes simples Combinando los componentes simples que acabamos de estudiar, es posible modelar distintos sistemas mecánicos. Los componentes pueden estar conectados entre sí en paralelo o bien en serie. Al estudiar los distintos sistemas mecánicos, resulta útil llevarlos a una forma simplificada, en la que sólo esté compuesto por un componente con una impedancia (o movilidad) equivalente a la que tiene todo el sistema. Para esto es necesario diferenciar componentes montados en serie y componentes montados en paralelo.
Montaje de componentes en paralelo En la figura (1.10) se muestra el montaje en paralelo de los tres componentes simples. La fuerza excitatriz se aplica a la plataforma común que vincula a los tres elementos mecánicos.
8
Figura (1.10): Representación esquemática del montaje de componentes en paralelo.
Evidentemente la velocidad del extremo móvil es común para los tres y la fuerza total aplicada es la suma de las fuerzas recibidas por cada componente. Esto es lo que define a un montaje en paralelo. Con esto en mente podemos decir que: F c = Z c ⋅V A F k = Z k ⋅V A
(1.19)
F m = Z m ⋅V A F = F c + F k + F m = Z c ⋅ V A + Z k ⋅ V A + Z m ⋅ V A =
= ( Z c + Z k + Z m ) ⋅V A = Z eq ⋅V A
Luego Z eq = Z c + Z k + Z m
(1.20)
Como hemos visto, la impedancia se representa a través de un vector, por lo tanto la suma anterior debe interpretarse como una suma vectorial (resultante). En la figura (1.11) se esquematiza cómo debe obtenerse dicha resultante.
9
Z m = mω Z eq
F
ϕ
Z c = c Z k =
V
k ω
Figura (1.11): Obtención de la impedancia equivalente
De la misma se obtiene que: k ⎞ ⎛ Z eq = c + ⎜ mω − ⎟ ω ⎠ ⎝
2
2
(1.21)
Y el adelanto de fase de la fuerza aplicada con respecto a la velocidad viene dada por: k ⎤ ⎡ m ω − ⎢ ⎥ ω ϕ = arctg ⎢ ⎥ ⎢ c ⎥ ⎣ ⎦
Cuando
del
montaje
Con − 90º ≤ ϕ ≤ 90º
combinado
(1.22)
participen
elementos
compuestos, representados por su propia impedancia, la impedancia resultante de todo el sistema será la suma de todas las impedancias parciales, entendiendo que dicha suma debe ejecutarse en forma vectorial. Ejemplo: Una zaranda, cuya masa es de 5000 kg, descansa sobre una plataforma amortiguada por resortes y amortiguadores, tal como muestra la figura (1.12)
10
Figura (1.12): Representación esquemática de la Zaranda. Vista lateral (arriba) y superior (abajo).
La rigidez equivalente de los resortes es de 10 6 N m y la constante de amortiguamiento equivalente de los amortiguadores es de 15.000
N ms
.
El sistema opera a una frecuencia de 12,5 Hz. Se ha medido una amplitud de velocidad en la plataforma de 20 mm s = 0,02 m s . Se pretende calcular la fuerza aplicada sobre la plataforma y su relación de fase con la velocidad medida. Como primera medida vamos a calcular el módulo de la impedancia 2
k ⎞ ⎛ Z eq = c + ⎜ mω − ⎟ = ω ⎠ ⎝ 2
2
2
⎛ N ⎞ ⎛ 10 6 N m ⎞ ⎟⎟ = ⎟⎟ + ⎜⎜ 5.000kg 2π 12,5 Hz − = ⎜⎜15.000 m s 2 12 , 5 π Hz ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 380.262
N ms
11
Luego:
F 0 = Z ⋅ V 0 = 380.262
N ms
⋅ 0,02 m s ≅ 7600 N ≅ 780kgf
Y la diferencia de fase es de:
⎛ 10 6 N m ⎞ ⎜ 5.000kg 2π 12,5 Hz − ⎟ 2π 12,5Hz ⎟ ⎜ ≅ 88º ϕ = arctg ⎜ ⎟ N 15.000 ⎜ ⎟ ms ⎝ ⎠ Esto significa que la velocidad presenta un atraso de 88º respecto a la fuerza aplicada. Un valor tan próximo a 90º indica que este sistema como un todo tiene un comportamiento dominado por la masa.
Montaje de componentes en serie En la figura (1.13) se muestra el montaje correspondiente. La masa se considera siempre el componente terminal de la serie y la fuerza se aplica sobre el este extremo libre opuesto. En los casos en que la masa esta en un extremo y la fuerza se aplica sobre ella o se trate de un componente intermedio el problema se resuelve como un montaje combinado de serie y paralelo.
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Figura (1.13): A: Representación esquemática del montaje de componentes en serie. B: Representación del sistema equivalente.
Para este tipo de montaje la fuerza se transmite por todos los componentes y resulta la misma en todos ellos. Así mismo, la velocidad en el extremo en donde se aplica la fuerza es la suma de las velocidades de los
nodos que separan a los componentes. Cada una de estas
velocidades puede calcularse a través de (1.4) V 1 − V 2 = M k ⋅ F V 2 − V 3 = M c ⋅ F
(1.23)
V 3 = M m ⋅ F
Sumando miembro a miembro se obtiene: V 1 = ( M m + M c + M k ) ⋅ F
(1.24)
Por otro lado, de la figura (1.13B) se obtiene que: V 1 = M eq ⋅ F
(1.25)
Comparando tenemos: M eq = M m + M c + M k
(1.26)
Es decir que la movilidad equivalente se obtiene sumando las movilidades parciales, entendiendo que dicha suma debe efectuarse vectorialmente, tal como muestra la figura (1.14)
13
M k = ω
k
M eq
V
M c = 1 c
F
ϕ
M m =
1 mω
Figura (1.14): Obtención de la impedancia equivalente.
De la figura anterior se encuentra que: 2
⎛ 1 ⎞ ⎛ ω 1 ⎞ M eq = ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ ⎝ c ⎠ ⎝ k mω ⎠
2
(1.27)
Y el ángulo de adelanto de la velocidad respecto a la fuerza aplicada viene dado por: ϕ =
⎡ ⎛ ω 1 ⎞⎤ − ⎟⎥ ⎣ ⎝ k mω ⎠⎦
arctg ⎢c ⋅ ⎜
Con − 90º ≤ ϕ ≤ 90º
(1.28)
Ejemplo: Un molino de 2000 kg de masa que opera a 600 rpm se encuentra apoyado sobre una plataforma vinculada a la fundación por cuatro resortes de constante elástica k = 630000 N m . Sobre la fundación se mide una amplitud de velocidad de 1,8 mm/s. Se pretende calcular la magnitud y relación de fase que tiene la fuerza en los apoyos de los resortes.
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El esquema del montaje se muestra en la figura siguiente.
Figura (1.15): Representación esquemática del molino.
Supondremos que la masa se distribuye uniformemente sobre los cuatro resortes de modo que cada uno soporta una masa de 500 kg. Debido a la ausencia del amortiguador la expresión (1.27) se reduce a: M eq =
=
ω
k
−
1 mω
=
2π 10 Hz 630.000 N m
−
1 500kg 2π 10 Hz
= 6,8.10 −5
ms N
La amplitud de fuerza es: V
0,0018 m s = 26,5N −5 m s M eq 6,8.10 N Debido a que M m es menor que M k y no hay amortiguador, la F =
=
velocidad adelanta 90º respecto de la fuerza. A modo de comparación calcularemos la fuerza sobre la fundación suponiendo que no se encuentran los resortes. En ese caso la movilidad viene dada solo por M m M m =
1 mω
= 3,2.10 −5
ms N
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Y la fuerza resultante sería: F =
V M m
=
0,0018 m s = 56,5N −5 m s 3,2.10 N
Con la velocidad atrasada 90º respecto de la fuerza. El montaje del sistema no determina si el mismo está en paralelo o en serie. Dado que los parámetros de análisis (impedancia y movilidad) son locales, es necesario considerar desde qué punto se quiere estudiar. Así, es posible que un mismo sistema mecánico pueda ser considerado como serie o paralelo, según desde dónde se analice. Esto se ilustra en la figura (1.15). Vemos que si bien el sistema está compuesto en ambos casos por los mismos elementos conectados igual. Sin embargo en el primer caso se considera como un sistema serie mientras que en el segundo como un sistema en paralelo.
Figura (1.16): Montaje de Masa y resorte. En la figura de arriba el montaje se toma como serie, mientras que en el segundo caso se tiene un sistema en paralelo.
Si hay masas presentes en el circuito y no se encuentran al final de la cadena, siempre impondrán la necesidad de tomar parte del sistema como paralelo, según se ilustra en la figura (1.17).
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Figura (1.17): Circuitos mecánicos equivalentes. En dichos casos se considera que, como la masa es indeformable, la velocidad a ambos extremos de la misma es igual. Como vimos esto significa que la masa y el resto del circuito están en paralelo. Es importante remarcar que tanto la impedancia como la movilidad son conceptos locales y dependientes de la frecuencia de excitación. Cuando la frecuencia de la fuerza aplicada se acerca a la frecuencia de resonancia en un punto de la estructura, la impedancia será pequeña (y su movilidad será alta). En este caso aún aplicando una fuerza de poca amplitud
se
pueden
tener
valores
elevados
de
velocidad
y
recíprocamente, aún valores pequeños de velocidad pueden implicar esfuerzos importantes.
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El torque o momento torsor es un esfuerzo que produce giro entre secciones paralelas de un pieza o componente. Para un caso estático se ilustra en la figura (1.18).
Figura (1.18): La fuerza “F” produce un torque sobre el eje. El brazo de palanca es “b”.
En forma numérica, este esfuerzo se evalúa multiplicando la fuerza aplicada por la longitud de palanca con que se aplica. A mayor palanca o mayor fuerza, mayor torque. M t = F ⋅ d
(1.29)
Las unidades de medida surgen del producto de la unidad de fuerza por la de longitud. Las usadas más frecuentemente son Nm, kgm, kgcm y lb-pie.
Ejemplo 1 El piñón de una transmisión por cadena tiene un diámetro de 200 mm. La cadena transmite una fuerza de 1800 kg. Calcular el M t que recibe el
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eje. En la figura (1.19) se ilustra el montaje.
Figura 1.19: montaje de transmisión por cadena.
Tenemos, así: M t = F ⋅ d = F t ⋅ r = 1800kg ⋅ 0,1m = 180kgm
En el caso dinámico, las fuerzas aplicadas realizan trabajo durante el tiempo que opera. Esto significa que se además de torque se transmite potencia mecánica. El torque y la potencia transmitida no son independientes sino que se relacionan a través de la velocidad de rotación del árbol según:
M t = 71620
N n
(1.30)
En la que: M t es el momento torsor, expresado en kgcm N es la potencia transmitida, expresada en CV n es la velocidad de rotación, expresada en rpm.
19
Esfuerzo de torsión sobre aceros El desarrollo que realizaremos aquí es aplicable exclusivamente a árboles de transmisión de sección circular. Cuando se somete a un árbol de transmisión a un esfuerzo de torsión las diferentes secciones transversales giran unas respecto a otras en torno al eje de la barra, tal como muestra la figura (1.20)
Figura (1.20): El momento torsor aplicado hacer girar la línea generatriz OA un ángulo γ .
Luego de aplicar el torque, la generatriz OA gira un ángulo posición OB, debido a que la sección 1 gira un ángulo
ϕ
γ ,
hasta la
con respecto a
la sección 2. Para el desarrollo se expresan los ángulos en radianes, sobre el final se hace la conversión a grados para su mejor utilización. Debido a las deformaciones que sufren las diferentes secciones transversales, surgen tensiones internas en los planos de estas secciones, denominadas tensiones tangenciales. Para deformaciones elásticas, las tensiones y las deformaciones están relacionadas por la ley de Hook: τ
= G ⋅ γ
(1.31)
En la que G es el modulo de elasticidad transversal del material; para aceros toma valores del orden de 800.000 kg/cm 2 (81 GPa). γ es el ángulo de deformación. Como puede verse en la figura (1.20),
γ
no es
constante sino que varía entre cero, para el eje de la barra, y un valor máximo en la superficie de la misma. Esto significa que las tensiones no son uniformes en toda la sección transversal, sino que crecen desde cero, en el eje de la barra, hasta un valor τ max dado por:
20
∩
τ max
= G ⋅ γ max = G ⋅
AB L
=G⋅
ϕ ⋅ R
De esta puede obtenerse el ángulo de rotación ϕ =
(1.32)
L ϕ
L τ max
(1.33)
R G
El mismo ángulo evaluado en grados se calcula como: ϕ º =
180 L τ max π R
(1.34)
G
Por otro lado, puede probarse (ver apéndice A) que la tensión máxima se relaciona con el torque aplicado a través de:
τ max
=
M t
(1.35)
W o
En la que M t es el momento torsor o torque aplicado y W o es un parámetro dependiente del tamaño y forma de la sección transversal, denominado módulo resistente polar. Para secciones circulares macizas este módulo se calcula como: W o =
π D
3
(1.36)
16
Reemplazando en (1.34) se obtiene: ϕ º =
5760 ⋅ L ⋅ M t π
2
En los casos en que
D 4 G
M t
(1.37) dependa del tiempo, también lo hará
ϕ º
. Esto
explica la aparición de vibraciones torsionales. Como veremos, estas ideas son la base del funcionamiento del Strain Gauge para medidas de torques.
21
Ejemplo: El eje de un ventilador tiene un diámetro de 40 mm y una longitud de 800 mm. El motor de impulsión está acoplado en forma directa, entregando una potencia de 200 CV a 1500 rpm. Calcular el ángulo de giro relativo entre el ventilador y el acople, causado por la deformación del eje. El primer paso es calcular el M t a partir de (1.30): M t = 71620
N n
= 71620
200 1500
= 9550kgcm
Ahora estamos en condiciones de calcular el ángulo de giro relativo entre el ventilador y el acople: ϕ º =
5760 ⋅ L ⋅ M t π
2
4
D G
=
5760 ⋅ 80cm ⋅ 9.550kgcm π
2
(4cm)4 800.000 kg
cm 2
= 2º10′
Este ángulo corresponde a una deformación estática, siempre y cuando la potencia y la velocidad de giro permanezcan constantes. Para aquellos casos en que existan fluctuaciones en estos parámetros se producirán pequeñas oscilaciones de este valor, lo cual constituye la vibración torsional.
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La tensión dentro de un cilindro macizo sobre el que actúa una fuerza tangencial no es constante. Sino que aumenta linealmente hasta alcanzar su máximo en la superficie del cilindro.
Figura (A.1):Corte del cilindro. Se observa que el torque crece linealmente hasta tomar un valor máximo en la superficie.
El anillo sombreado tiene un área d σ , así la fuerza que actúa sobre el anillo sometido a una tensión τ (r ) es: dF = τ (r )d σ
También podemos calcular el momento torsor, sobre el anillo: dM = dF .r = τ (r ).r .d σ = M =
τ max
R
τ max .r
R
.r .d σ
∫
. r 2 d σ =τ max .W 0
donde hemos introducido el módulo resistente polar W 0 . En el caso de la geometría usada podemos encontrar su valor: W 0 =
1 R
R
1
R
∫ r d σ = R ∫ r .2π .rdr = 2
0
2
0
π . R
2
3
=
π . D
3
16
23
