TEMA:
TOMA DE DECISIONES
.: CÁRDENAS SINCHE, José .:
Lic
GUILLERMO POZO, Danitza LIVIA ESTRADA, Rosalinda RAMOS VIVAR, Micaela
INTRODUCCIÓN El presente trabajo de control de inventario tiene como objetivo aplicar los modelos determinísticos y probabilísticos frente a las necesidades gerenciales para la mejor toma de decisiones y para lograr con éxito el desempeño con eficiencia y eficacia en las funciones funciones que se asumen en la gestión empresarial. Los inventarios se definen como bienes ocios almacenados, en espera de ser utilizados. Hay muchos tipos de inventarios; como por ejemplo, inventarios de materias primas, inventario de materiales en proceso, inventarios de productos terminados etc. Las decisiones básicas de inventarios comprenden cuántas unidades se deben pedir y cuando se deben pedir. pedir. Ya que el inventario es importante importante por dos razones principales: por razones razones de economía y razones de seguridad. Este trabajo se centra en el modelo determinístico de inventario, este tipo de modelo es necesario porque no ayuda determinar la cantidad fija que se debe ordenar cada vez y un punto de reorden que indique cuándo se debe hacer el pedido y cuanto se debe pedir. pedir. Una vez desarrollada el tema, se ha dispuesto problemas para resolver, esto permitirá lograr el éxito de aprendizaje que quiere lograr.
INTEGRANTES. INTEGRANTES.
CONTROL DE INVENTARIOS Los Inventarios son bienes tangibles que se tienen para la venta en el curso ordinario del negocio o para ser consumidos en la producción de bienes o servicios para su posterior comercialización. comprenden, además de las materias primas, productos en proceso y productos terminados o mercancías para la venta, los materiales, repuestos y accesorios para ser consumidos en la producción de bienes fabricados para la venta o en la prestación de servicios; empaques y envases y los inventarios en tránsito. La base de toda empresa comercial es la compra y venta de bienes o servicios; de aquí la importancia del manejo del inventario por parte de la misma. Este manejo contable permitirá a la empresa mantener el control oportunamente, así como también conocer al final del período contable un estado confiable de la situación económica de la empresa. 1.1 RAZONES: o
o
o
o
Los inventarios suavizan la brecha del tiempo que separa la oferta de la demanda. La posibilidad de obtener un inventario constituye a menudo a reducir los costos de producción, porque es más económico producir algunos artículos en grandes cantidades, aun cuando no existan pedidos inmediatos para para esos bienes. Los inventarios son un medio para almacenar trabajo. El inventario es un recurso para ofrecer servicio rápido a los clientes, en el momento en que esta necesite esos productos, y en realidad los clientes están dispuestos a pagar por esta comodidad. c omodidad.
2. MODELO DETERMINÍSTICO DE INVENTARIO En 1915 F.W. Harris desarrollo el modelo de volumen económico que en la actualidad es el más conocido y utilizados utilizados de los modelos determinísticos. Con este tipo de modelo es necesario determinar la cantidad fija que se debe ordenar cada vez y un punto de reorden que indique cuándo se debe hacer el pedido y cuanto se debe pedir. pedir. Este método utiliza una serie de procedimientos y fórmulas para sacar el nivel de inventario, los costos sobre éste, la tasa de producción y el tiempo que lleva tenerlo actualizado. También existen inconvenientes al hacer esto, ya que en algún momento puede haber faltantes, es decir, la demanda no se satisface porque el inventario se acaba por alguna situación. Con este modelo se puede saber cuánto cuesta mantener cada unidad de producto almacenado, cuantos productos nos conviene tener inventariado, etc. Este tipo se usa cuando la demanda de los productos es conocida, es algo que ya sabemos con anticipación. 2.1 CARACTERÍSTICAS DEL MODELO: MODELO:
Cuando se conoce la tasa de demanda de la unidades La cantidad ordenada para mantener el inventario
2.2 MODELO GENERAL GENER AL DE INVENTARIO La naturaleza del problema de inventario consiste en hacer y recibir pedidos de determinados volúmenes, repetidas veces y a intervalos determinados. Una política de inventario responde las siguientes preguntas. ¿Cuánto se debe ordenar? Esto determina el lote económico (EOQ) al minimizar el siguiente modelo de costo:
(Costo total del inventario) = (Costo de compra) + (costo de preparación + (Costo de almacenamiento) + (costo de faltante).
Todos estos costos se deben expresar en términos del lote económico deseado y del tiempo entre los pedidos.
El costo de compra: Se basa en el precio por unidad del artículo. Puede ser constante, o se puede ofrecer con un descuento que depende del volumen del pedido. El costo de preparación: Representa el cargo fijo en el cual se incurre cuando se hace un pedido. Este costo es independiente del volumen del pedido El costo de almacenamiento: Representa el costo de mantener suficientes existencias en el inventario. Incluye el interés sobre el capital, así como el costo de mantenimiento y manejo El costo de faltante: Es la penalidad en la cual se incurre cuando nos quedamos sin existencias. Incluye la perdida potencial de ingresos, así como el costo más subjetivo de la perdida de la buena voluntad de los clientes. ¿Cuándo se deben colocar los pedidos?
Depende del tipo de sistema de inventario que tenemos. Si el sistema requiere una revisión periódica (por ejemplo, semanal o mensual), el momento para hacer un nuevo pedido coincide con el inicio de cada periodo. De manera alternativa, si el sistema se basa en una revisión continua, los nuevos pedidos se colocan cuando el nivel del inventario desciende a un nivel previamente especificado, llamado el punto de reorden.
2.3 MODELOS ESTATICOS DE CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO ( CEP O EOQ) 2.3.1 MODELO CLASICO CLASICO DE CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO El más sencillo de los modelos de inventario implica una taza constante de demanda con el surtido instantánea del pedido y sin faltante. Se definen: Y= cantidad pedida (cantidad de unidades) D= tasa de demanda (unidades por unidad de tiempo) to= duración del siglo de pedido ( unidades de tiempo) Cuando el inventario llega al valor 0, se coloca un pedido cuyo tamaño es Y unidades y se recibe en forma instantánea.
Momentos en que se recibe
Nivel de inventario
Y Inventario promedio= y/2
. to =y/D
Después La existencia se consume uniformemente a la tasa constante de demanda D.
El siglo de pedido para este comportamiento es:
to
El modelo de costo requiere dos parámetros: K= costo de preparación correspondiente correspondiente a la colocación de un pedido ( $/pedido) h= costo de almacenamiento ($ por unidades en inventario por unidad de tiempo)
El costo total por unidad de tiempo se calcula.
TCU (y) =
El valor óptimo de la cantidad de pedido Y: se denomina minimizando TCU (y) con respecto a y suponiendo que y sea continua, una condición necesaria para determinar el valor óptimo óptimo de es.
Esta condición también también es suficiente, porque TCU (y) es convexa.
Cantidad económica de pedido: La solución de la ecuación da como resultado la siguiente cantidad económica de pedido.
Tiempo efectivo de entrega: no se necesita hacer un nuevo pedido en el instante en que se pide. En lugar de ello puede transcurrir un tiempo de entrega positivo, L. entre la colocación y la recepción de un pedido, en este caso, el punto de reorden se presenta cuando el nivel de inventario baja a LD unidades.
Se supone que el tiempo de entrega L. es menor que la longitud del ciclo t 0 lo cual en general no es el caso. Para tener en cuenta otras situaciones se definirá el tiempo efectivo de entrega como sigue: Le = L – nt0
NIVEL DE INVENTARIO
PUNTO DE REORDEN
Y*
EN EL EOQ
L
L
TIEMPO
Pedir la cantidad y siempre que la cantidad de inventario baja a L, D, unidades.
Ejemplo Se cambian repuestos de maquinarias pesadas en la empresa FERREYROS a una tasa de 100 unidades diarias. Estos repuestos se piden en forma periódica. Cuesta $100 iniciar una orden de compra. Se estima que un repuesto en el almacén cuesta unos $0,02 diarios. El tiempo de entrega, entre la colocación y la recepción de un pedido es de 12 días. Determine la política óptima para pedir los repuestos. Datos: D = 100 unidades K = $ 100 por pedido
h = $ 0.02 por unidades y por día L = 12 días Solución: cantidad optima a pedir(Y2)
Y2 =
=
√
= 1000 repuestos
duración del ciclo de pedido(t0) t0 =
√
= = 10 Días 2
Tiempo efectivo de entrega (Le)
Como L = 12 ≥ t0 (=10 días) calculamos Le. La cantidad de ciclos incluidos en L es: N
) ) = (Entero mayor ≤ = (Entero mayor ≤
=1 Entonces
Le = L – nt0 = 12 – 1 x 10 = 2 días
Entonces El punto de reorden cuando la cantidad de inventario baja es LeD = 2 x 100 = 200 repuestos La política de inventario para pedir los repuestos es Pedir 1000 unidades cuando el inventario baja a 200 unidades.
El costo total por unidad de tiempo TCU(y) = + h ( )
= + $ 0.02 ( ) = $ 20 por día
1.2.2 CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDO CON DISCONTINUIDADES DE PRECIO Este modelo es el mismo con la excepción de que el artículo en inventario se puede comprar con descuento si el tamaño del pedido y es mayor que determinado límite q, esto es, que el precio unitario de compra c es. C=
{ }
Por consiguiente
Precio de compra por unidad de tiempo =
El costo total por unidad de tiempo es:
Las funciones TCU1 y TCU2, como difieren en una cantidad constante, sus mínimos se presentan en ym
√
El valor de Q ( ym) se determina con. TCU2(Q) = TCU (Ym) O sea se reduce la ecuación de Q a
) ( Se determina la cantidad óptima y que se busca: Ym, si q esta en las zonas I O III Y*= q, si q está en la zona II Los pasos para determinar y* son: Paso1. Paso1. Determinar ym =
√
, si q está en la zona I, entonces y * = ym ; detenerse.
En caso contrario continuar en el paso 2.
) (
Paso 2. Determina Q ( ym) con la ecuación de Q:
Definir las zonas II y III si q está q está en la zona II, entonces y* = q . en casi q está q está en la zona III y y* = ym Ejemplo: La MECÁNICA LUCERO se especializa en cambios rápidos de aceite para motor de automóvil, compra aceite para motor a granel, a $3 por galón, sí la MECÁNICA LUCERO compra más de 1 obtienen un descuento de $2.50 por galón, en el servicio se atienden unos 150 automóviles, cada cambio de aceite requiere de 1.25 galones. LUCERO guarda el aceite a granel de $ 0.02 por galón y por día. También, el costo de colocar un pedido de aceite es $20. Hay un tiempo de 2 días para la entrega. Determina la política óptima del consumo. D= 150 automóviles por día x 1.25 galones por automóvil = 187.5 galones. Datos: h = $ 0.02 por galón por día K = $ 20 por pedido L = 2 días C1 = $ 3 por galón C2 = $ 2.50 por galón q = 1000 galones Paso 1. Calcular
ym
√ √
Como q = 100 ≥ ym se pasa al siguiente paso. Paso 2. Determinar Q
+ = 3 x 187.5 + +
TCU (ym) = c1D +
= 574.75 la ecuación de Q se calcula:
) Q +
Q2 + (
Q = 10564.25 ( ym) Entonces. Zona II = (612.7, 0564.25) Zona III = (10564.25, ∞)
q (=100) q (=100) cae en la zona II, la cantidad optima de pedido es y*= q=1000 galones. Como el tiempo de entrega es de 2 días, el punto de reoren es: 2D = 2 x 187.5 =375 galones. Así, la política de inventario óptimo es. Pedir 1000 galones cundo el nivel de inventario baja a 375 galones. 1.2.3 CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDO DE VARIOS ARTÍCULOS CON LIMITACIÓN DE ALMACEN. Este modelo se aplica al caso con n (
) artículo ya que no se permiten faltantes.
La diferencia está en que los artículos compiten por un espacio limitado de almacenamiento. Se definirán, para el artículo i,i =1,2,…, n:
Di = tasa de demanda Ki = Costo de preparación hi = Costo unitario de almacenamiento por unidad de tiempo
yi = Cantidad de pedido ai = Area de alamcenamiento necesaria por unidad de inventario A = área maxima disponible de alamcenamiento para los n artículos Suponiendo que hay faltantes, el modelo matemático que representada la situación del inventario es. Minimizar TCU (y1,y2,…..,yn) =
∑ Sujeta a
∑
LOS PASOS PARA RESOLVER EL PROBLEMA.
Paso 1. Calcular los valores óptimos no restringidos de las cantidades de pedido con:
Paso 2. Comprobar si los valores óptimos no restringidos y i satisfacen la restricción de almacenamiento. Si la satisfacen, detenerse; la solcuión y i i= 1,2, …, n es óptima. En caso contrario seguir en el paso 3.
satisfacer la restricción del del almacenamiento almacenamiento en forma de de Paso 3. Se debe satisfacer ecuación. Usar el método de los multiplecadores de Lagrange para determinar los valores restringidos óptimos de la cantidades de pedido. En el paso 3, la función de Lagrange se formula como sigue:
Donde X ( 0) es el multiplicador de Lagrange. Como la función de Lagrange es convexa, los valores óptimos de yi, y X se determinan con la siguiente siguiente condición necesaria:
La segunda ecuación indica que se debe satisfacer la restricción en forma de ecuación para el óptimo. De la primera ecuación
La fórmula indica que yi, depende del valor de X para X = 0, yda la solución sin restrición
El valor de X se puede determinar como sigue: como por deficinión X
0 DE
minimización, se disminuye X en forma sucesiva una cantidad razonabl; se sustituye en la fórmula para calcular la y, asocidad. La X deseada produce los y que satisfacen la restricción de almacenamiento en forma de ecuación
EJEMPLO Los datos siguientes describen tres artículos de inventario Articulo i
Ki (S)
Di(Unidades por dia)
Hi(S)
Ai(pie2)
1
20
22
0.35
1.0
2
25
34
0.15
0.8
3
30
14
0.28
1.1
4
28
21
0.30
0.5
5
35
26
0.42
1.2
Area total disponible para almacenamiento = 25 pies2
Los cálculos asociados con el modelo son sencillos, pero tedioso. Se proporsiona 1 de hoja de cálculo ch 11 1 1 constrained EQQ.xls para subsanar esta dificultad. La figura 11.6 muestra la apliación de la plantilla a los datos de este ejemplo. I datos contiene todos los parámetros necesarios para todos los artículos. El valor suele igualar a cero. Y el decremento de X se establece en un valor razonable. Estos como se explicará en breve. La plantilla manejara un maximo de 10 artículos. Tambein está diseñada para aceptar problemas de restricción tiene la forma.
∑
Esta clase de restricción puede surgir en otras situaciones, como se ve en el problema junto para usar esta opción debe poner 1 en la celda G4 de la planilla
1.3 MODELOS DINAMICOS DE CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO Los modelos que aquí se presentan difieren de los de la sección 11.2 en dos aspectos: 1) el nivel de inventario se revisa en forma periodica durante una cantidad finita de periodos iguales y 2) la demanda por periordo, aunque es determinista, es dinámica en el sentido que puede variar de un periordo al siguiente. Un caso en l que se presenta la demanda dinámica determinista es el de la planeación de los requerimientos de materiales. El concepto M1 y M2 de un producto, durante el próximo año, es de 100 y 150 unidades, respectivamenbte. las entregas de los lotes trimestrales se hacen al final de cada trimestre. El tiempo de entrega de la producción es de 2 meses para M1 y de 1 mes para M2. Cada unidad de M1 y M2 usa 2 unidades del subensaS. El tiempo de entrega de la producción de S es de 1 mes. La figura 11.7 representa los calendarios de producción de M1 y M2 comienzan con la demanda trimestral de los dos modelos (indica por la flechas llenas) al final de los meses.
3, 6, 9 y 12. Como los tiempos de retraso para M1 y M2 son de 2 y 1 meses, las flechas interrumpidas indican los inicios planeados de cada lote de producción. Para iniciar a tiempo la producción de los dos modelos, la entrega del subensamble S debe coincidir con las flechas de línea intermitente M1 y M2. Esta información se indica con las flechas de línea continua del diagrama S, donde la demanda resultante de S es 2 unidades por unidad de M1 o de M2. Con un tiempo de entrega de 1 mes, las flechas de línea intermitente del diagrama S indican los programas de producción de S. A partir de esos dos programas, la demanda combinada de S que corresponde a M1 y M2 se puede denominar entonces como se ve en la parte inferior de la figura 11.7. La demanda variable (pero conocida) que resulta para S es característica de la situación en el que se tiene cantidad económica de pedido dinámico. En esencia, dada la demanda variable indicada de S, ¿cuánto se debe producir al iniciar cada mes para reducir el costo total de producción e inventario? En esta sección se presentarán dos modelos. En el primero se supone que no hay costo de preparación (de pedido) y en el segundo que sí
hay. Este detalle aparentemente “pequeño” determina la diferencia en la
complejidad del modelo. 1.3.1 MODELO SIN COSTO DE PREPARACIÓN En este modelo interviene un horizonte de planeación con o periodos iguales. Cada periodo tiene una capacidad de producción limitada que puede incluir varios niveles de producción (por ejemplo, tiempo normal y tiempo extra representan dos niveles de producción). En determinado momento, un periodo puede producir más que la demanda inmediata del producto, apartándolo para periodos posteriores, y en ese caso se incurre en un costo de almacenamiento. Los supuestos generales del modelo son 1. No se incurre costo de preparación en ningún periodo. 2. No se permiten faltantes. 3. La función de de costo unitario de producción en cualquier periodo es constante o tiene costos marginales crecientes (es decir, es convexa). 4. El Costo unitario unitario de almacenamiento almacenamiento en cualquier cualquier periodo periodo es constante. El no permitirse faltantes significa que si la producción en el periodo actual y el inventario no satisfacen la demanda de este periodo no se podrá completar esta demanda, en un periodo futuro. Este supuesto requiere quela capacidad acumulada de producción en los periodos 1,2,… e i sea al
menos igual a la demanda acumulada, en estos mismos períodos. La figura 11.8 ilustra la función de costo unitario de producción con márgenes crecientes. Por ejemplo, la producción con tiempo normal y con
tiempo extra corresponde a dos niveles en los que el costo unitario de producción durante el tiempo extra es mayor que durante el tiempo normal. costos Nivel I
0
Nivel
Nivel
II
III
Nivel
Cantidad producida
Función convexa de costo unitario de producto El problema de n periodos se puede formular como un modelo de trasporte capítulo 5), con kn fuentes ya destinos, donde k es la cantidad de niveles de producto periodo (es decir, si cada periodo usa tiempo normal y tiempo extra, entonces k =2 capacidad de producción de cada uno de las kn fuentes de nivel de producción proporciona cantidades de oferta. Las cantidades de demanda son la demanda de cada periodo unitario de “transporte” de una fuente a un destino es la
suma de los costos aplicable deducción y almacenamiento por unidad. La solución del problema como modelo de trabajo determina las cantidades de producción con costo mínimo, en cada nivel de producción. El modelo de transporte que se obtiene se puede resolver sin recurrir a la técnica de transporte que se presentó en el capítulo 5. 5. La validez validez del nuevo
algoritmo de se basa en las suposiciones especiales de que no hay faltantes y de una función con la producción en función de costo. Ejemplo La soldadura produce compuertas de tiro para chimeneas domésticas, que se usan durante el mes de diciembre a marzo. La demanda comienza lenta, llega a un máximo a la mitad de la estación y desaparece al final. Debido a la popularidad de su producto, la soldadura pide tiempo extra para satisfacer la demanda, La tabla siguiente muestra la capacidad de producción y las demandas en los cuatro meses invernales. Capacidad Normal Extra (Unidades) (Unidades) 90 50 100 60 120 80 110 70
Mes 1 2 3 4
Demanda (Unidades) 100 190 210 160
Para asegurar que el modelo tenga una solución factible cuando no se permite faltantes, de oferta acumulada (capacidad de producción) hasta determinado mes debe ser igual cuando menos a la demanda acumulada correspondiente, como se ve en la siguiente tabla Mes
Oferta acumulada
1 2 3 4
90+50 = 140 140 + 100 + 60 = 300 300 + 120 + 80 = 500 500 + 110 + 70 = 680
Demanda acumulada 100 100 + 190 = 290 290 + 210 = 500 500 + 160 = 660
En la tabla se resume el modelo y su solución. Los símbolos R y O representan los niveles de producción en tiempo normal y en tiempo extra, en el
periodo i, i = 1,2,3,4, Como la oferta acumulada en el periodo 4 es mayor que la demanda acumulada, se agrega un destino ficticio de sobrante para balancear el modelo, como muestra la tabla. Todas las rutas de “Transporte” desde un periodo anterior al actual se bloquean, porque no se permiten faltantes. Los costos unitarios de “ transporte” son la suma de los costo s aplicables de
producción y almacenamiento. Por ejemplo, el costo unitario de R 1 al periodo 1 es igual sólo al costo de producción $ 6. El costo unitario de O 1 al periodo 4 es igual costo de producción más el costo unitario de almacenamiento desde el periodo 1 al 4, es decir, $ 9 + ($ 0.1 + $ 0.1 + $ 0.1) = $ 9.30 Por último, los costos unitarios del destino del excedente son cero. 1 R1
90
O1
10
2 6 9
3 6.1
30
R2
100
O2
60
9.1
10
6.21
6.3
0
9.2
9.3
0
6.2
0
9
9.1
9.2
0
6.
6.1
0
9.
9.1
0
6
0
9
0
O3
80
R4
110 100
190
210
50 160
↓
↓
↓
↓
90
90
↓
↓
30
10
90 50→40→10
6.1
120
10
Excedente
6
R3
O4
4
50
20 20
100 60 120 80 110 70→20
La solución óptima se obtiene en una pasada, comenzando en la columna 1 y avanza, columna por columna hacia la columna del excedente. Para cada columna, se satisface la demanda usando las rutas menos costosas de esa columna. Comenzando con la columna 1, la ruta (R1, 1) tiene el costo unitario menor, y se le asigno lo máximo posible, que son, mín{90, 100} = 90 unidades, con lo que quedan 10 unidades no satisfechas en la columna 1. La siguiente ruta menos costosa de la columna 1 es (O1, 1), a la cual se le asigna el rnín{50, 10} = 10. Queda ahora satisfecha la demanda para el periodo 1. A continuación pasamos a la columna 2. Las asignaciones en esta columna se presentan en el orden siguiente: 100 unidades a (R2, 2), 60 unidades a (O2, 2) y 30 unidades a (O1. 2). Los costos unitarios respectivos de “transporte” de esas asignaciones son $ 6, $ 9 y $ 9.10. No usamos la ruta ruta (R1, 2), cuyo costo unitario es $ 6.10, porque toda la oferta de R 1 se ha asignado al periodo 1. Al continuar de la misma manera se satisfacen las demandas de la columna 3 y después de la columna 4. La solución óptima, que se ve en negritas en la tabla, se resume como sigue:
Periodo Normal 1 Tiempo extra 1 Normal 2 Tiempo extra 2 Normal 3 Tiempo extra 3 Normal 4 Tiempo extra 4
Programa de producción Producir 90 unidades para el periodo 1. Producir 10 unidades para el periodo 1,30 para el 2 y 10 para el 3 Producir 100 unidades para el periodo 2 Producir 60 unidades para el periodo 2 Producir 120 unidades para el periodo 3 Producir 80 unidades para el periodo 3 Producir 110 unidades para el periodo 4 Producir 50 unidades para el periodo 4 con 20 unidades de
capacidad ociosa El costo total corresponde es 90 x $6 + 10 10 x $9 + 30 x $9.10 + 100 x $6 + 60 x $9 + 10 x $9.20 + 120 x $6 + 80 x $9 + 110 x $6 + 50 x $9 = $4685 1.3.2 MODELO CON PREPARACIÓN En este caso no se permiten faltantes, y se incurre en costo de preparación cada vez que se inicia un lote de producción. Se presentarán dos métodos de solución: un algoritmo general de programación dinámica exacta y uno heurístico. En la figura se resume la situación del inventario en un esquema. Los símbolos que se ven en la figura se definen para el periodo i, i = 1, 2,…n como sigue:
Z1 X1
Z2 X2
Zi Xi
Zn+
Zi+1 Xn
Xi+1
Xn+1=0 D1
Di
Dn
Zi= Cantidad del pedido Di =Demanda para el periodo i Xi=Inventario al inicio del periodo i Los elementos de costo del caso se definen como sigue: Ki = Costo de preparación en el periodo i hi = Costo unitario de almacenamiento de inventario del periodo i al La función correspondiente de costo de producción p roducción para el periodo ¡ es:
Ci(Zi)=
0,
Zi=0
Ki+ Ci(Zi),
Zi>0
La función ci(zi) es la función de costo marginal de producción para zi
Algoritmo de programación dinámica general. En ausencia de faltantes de inventario se basa en minimizar la suma de los costos de producción y almacenamiento n periodos. periodos. Para Para simplificar simplificar supondremos que el costo de almacenamiento para el r se basa en el inventado de final del periodo, que se define como sigue: Xi+1= Xi+ Zi - Di Para la ecuación recursiva de avance, el estado en la etapa (periodo) i se define xi+1, el inventario al final del periodo, en donde, como se ve en la figura. 0≤Xi+1 ≤ Di+1+…+ Dn
En esta desigualdad se reconoce que, en el caso extremo, el inventario restante xi-1, satisfacer la demanda para todos los penados restantes. Sea fi(xi+1) el mínimo costo del inventario para los periodos 1,2…, e i, dado el periodo xi+11 de fin de periodo. La ecuación recursiva en avance resulta ser: F1(x2)= min Ci(Zi)+ h i x2 0≤ Z1≤ Di+X2
fi(xi+1)= min Ci(Zi)+ hi Xi+2+ fi-1(xi+1+ Di- Zi) , i=2,3,… 0≤ Zi≤ Di+Xi+1 Ejemplo
La tabla siguiente muestra los datos de un caso de inventario con 3 periodos. Periodo i
Demanda Di (unidades)
Costo preparación
de Costo de almacenamiento
KI (S)
hi (s)
1
3
3
1
2
2
7
3
3
4
6
2
La demanda se presenta en unidades discretas, y el inventario inicial es x 1 unidad. El costo unitario de producción es de $10 para las 3 primeras unidades y de $20 por cada unida adicional, lo que se traduce matemáticamente en lo siguiente:
Ci(Zi)=
10zi,
0≤Zi≤3
30+ 20(Zi-3),
Zi≥4
Determine la política óptima de inventario. Periodo 1:D1=3-1=2,0≤ x2≤2+4=6 C1(z1)+h1 x2 Z1=2
3
4
5
6
7
8
solución optima
X2
h 1 x2 Ci(Zi)
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
33
53
73
93
113
133
f1
Z*1
=23
(x2)
23
23
2
34
3
55
4
34 55 76 97
76
5
97
6
5
5
6
6
118
118 7 139
139 8
Observe que como x1=1, el valor mínimo de z 1 es D1-x=3-1=2 Periodo 2: D2=2,0≤X3≤4 C2(z2)+h2 x3+f1 (x3+D2-z2) Z1=0
1
2
3
4
5
6
solución optima
X
h
C2(Z2)
3
2
=0
17
27
37
57
77
97
f2
Z*
(x3)
1
50
2
63
3
77
3
4
x3 0
1
0
3
0+55
17+34
27+23
=55
=51
=50
3+76
20+55
30+34
40+2
=79
=75
=64
3 =63
2
3
4
6
9
1
6+97
23+76
33+55=8
43+3
63+2
=103
=99
8
4
3
=77
=86
9+118
26+97
36+76
46+5
66+3
86+2
10
=127
=123
=112
5
4
3
0
=101
=100
=109
4 9+ 7
69+5
8 9+ 3
12+13
29+11
39+97
109+2
12
5
2
9
8
=136
=151
=147
6
5
4
3
=125
=124
=123
=132
3
C3(z3)+h3 x4+f2 (x4+D3-z3) Z3=0
1
2
3
4
solución optima
X4
0
h
3
C3(Z3)
16
26
x4
=0
0
0+123
16+100 26+77
=123
=116
36
57
f2
Z*1
(x3) 36+63=99
56+50=106
99
3
=103
Solución del modelo de inventario usando hoja de cálculo y el algoritmo general de programación dinámica. La plantilla ch11lDynamiclnventory.xls de Excel tiene por objeto resolver el problema de inventario con el algoritmo general de programación dinámica general. En particular, el modelo hace los cálculos periodo por periodo y se necesita la intervención del usuario para vincular los periodos sucesivos. Los datos se ingresan para cada periodo. Los cálculos se inician con el periodo 1. En la hoja de cálculo todos los datos que se necesitan se marcan en turquesa. Observe cómo se ingresa la función de costo ci(zi) en el renglón 3: (G3 = 10, H3 = 20, I3 = 3) quiere decir que el costo unitario es $10 para los tres primeros artículos y $20 para los posteriores. También observe que la cantidad escrita para D1 debe ser neta después de haber escrito el inventario inicial (3 – x1 = 3 – 1 = 2). Además, necesita usted crear los valores factibles de la variable zi. La hoja de cálculo revisa en forma automática si los valores que escribe son correctos, y presenta mensajes que se explican por sí mismos en el renglón 6: yes, no o de/ele (sí, no o eliminar).
Una vez ingresados todos los datos, los valores óptimos del y para el periodo aparecen en las columnas S y T. A continuación se crea un registro permanente para la solución del periodo 1 (x1, f1, z1) en la sección de resumen de solución óptima. Para eso se requiere copiar D9:D15 y S9:T15 y pegarlas a continuación usando Pegado especial + Valores (podrá tener que revisar el procedimiento correcto para crear el registro permanente. A continuación para preparar el periodo 2, necesita copiar f1 del registro permanente y pegarlo en la columna A. Ahora todo lo que se necesita es actualizar los datos para el periodo 2. Después se repite el proceso para el periodo
Problemas resueltos 1. La materia prima principal principal que requiere requiere la empresa Inversiones producto de plásticos Carbajal S.A para la creación de su producto cuesta $20 por unidad. Cada unidad del producto final requiere una unidad de esa materia prima. Si la demanda para el próximo año de 1000 unidades ¿Qué cantidad debe pedir la empresa?. Teniendo en cuenta que cada orden por unidad cuesta $ 5 y el costo de almacenaje por unidad por año es de $ 4. Solución
Respuesta: el número de unidades a pedir por orden es de 50 unidades, generando un máximo de 50 unidades de inventario, inventario , El costo total de ordenar unidades y el costo total de mantener unidades en inventario son de $100 y $100 respectivamente y El costo total de
compra equivale a $20000 por tanto El costo total de este sistema será de $20200.
2. GLOTONS pide carne molida al comenzar cada semana, para cubrir la demanda semanal de 300 lb. El costo fijo por pedido es de 20. Cuesta 0.30 por libra y por día refrigerar y almacenar la carne. Se desea determinar el costo semanal de inventario para la política actual de pedidos y el costo semanal correspondiente. 3. La empresa MULTISERVICIOS “JHOHANA” almacena un artículo que se consume a una tasa de 50 unidades diarias le Cuesta $20 colocar un pedido. Una unidad de inventario de almacén durante 1 semana le costara $0,35 diarios .el propietario desea determinar la política optima de inventario suponiendo 2 semanas de tiempo de entrega.