Investig. Operativa Tomo i

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F.

I I OBJETIVOS DEL CAPÍTULO I Al finalizar el capítulo el alumno estará en capacidad de: 1.2.3.4..

Tener una perspectiva de lo que es la Investigación Operativa Mejorar la toma de decisiones gerenciales Entender el concepto de modelo Entender los cinco cinco pasos más más importantes en I.O. a.b.c.d.e.-

Definición de un problema. Construcción de un modelo. modelo. Solución del modelo. Validación del modelo Implementación

. 5.- Ver como se construye un modelo en dos aplicaciones gerenciales en programación lineal y análisis análisis de decisiones.

LA INVESTIGA CIÓN CIÓN OPERAT IVA

INTRODUCCIÓN La Investigación Operativa es una técnica o, mejor, conjunto de técnicas que han surgido para coordinar la teoría con la práctica, para ayudar a resolver los problemas cada vez más complicados que surgen en la empresa. Muchos de los avances de la Investigación Operativa se han debido a que han encontrado nuevas técnicas matemáticas, el desarrollo de la Computación, y, sobre todo métodos más abreviados de cálculo numérico, que ha hecho factibles las soluciones a problemas que hace unos años se consideraban fuera de nuestras posibilidades. Un caso, quizá el que más se ha popularizado, es el de la PROGRAMACIÓN LINEAL. Una de las razones principales que hacen indispensable esta esta ciencia es que tiene tiene que resolver resolver cuestiones que se refieren a la empresa como totalidad. La Investigación Operativa es una ciencia considerada en formación, de ahí que no existe un concepto generalizado, y quizá por ello, están sugiriendo muchas inquietudes, pues, se puede plantear y resolver problemas en una amplia gama de actividades, originando frecuentemente más y nuevas posibilidades de acción práctica en esta materia. Estas características a la vez que va confirmando la utilidad de la Investigación Operativa, derivan interesantes oportunidades para crear modelos y aplicaciones muy subjetivas y de esta forma facilitar la "TOMA DE DECISIONES" en empresas y organizaciones. La Investigación Operativa, reúne un conjunto de ciencias como la Física, Biología, Psicología, Sociología, Economía y Matemática, que identificadas a un problema concreto contribuyen a encontrar la relación CAUSA-EFECTO, de un fenómeno y, en base a métodos métodos matemáticos, estadísticos y criterios criterio s cualitativos procura una definición del problema y una solución práctica. Mediante la aplicación de modelos se puede reunir el conjunto de variables de carácter controlable y otras no controlables, integrándolas en un contexto general y predeterminando su posible comportamiento.

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Regularmente la Investigación Operativa utiliza métodos de aproximaciones sucesivas, es decir, generando alternativas y opciones para la decisión final, tratando obviamente de MINIMIZAR los riesgos inherentes a cada posición.

ORIGEN Y EVOLUCIÓN DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La Investigación Operativa es tan antigua como la conducta humana, pues el avance científico es consecuencia de la acumulación de diferentes investigaciones en las ciencias aplicadas. A inicios de la segunda guerra mundial, los l os mandos militares, solicitaron ayuda de d e numerosos científicos para la resolución resolución de problemas problemas estratégicos y tácticos. Los científicos procedentes de diferentes disciplinas se organizaron en equipos dirigidos inicialmente a buscar la utilización óptima de los recursos. Estos fueron los primeros equipos de Investigación Operativa. Surgieron tres elementos básicos para definir una operación de ataque militar. ESTRATEGIA LOGISTICA TACTICA

: : :

(Precisión de un objetivo) (Recursos disponibles) (Forma, habilidad para cumplir el objetivo con los recursos)

Se realizaron muchos ensayos para comprobar el razonamiento científico, intensas investigaciones, procesos de observación estadística, probabilidades, llegando a precisar una nueva forma de apreciación sobre los problemas. Al pasar el tiempo surgieron nuevos modelos, ampliándose la iniciativa a la empresa, se la consideraba como un todo, integrándola en muchos aspectos: producción, tecnología, administración, tareas, personal, etc., es decir, dando importancia a todos aquellos factores que directa o indirectamente tienen que ver con la permanencia del producto y de la empresa. Los casos resueltos a través de los modelos de la Investigación Operativa realmente son numerosos y con sentido de practicidad y eficiencia. Problemas planteados y resueltos mediante programación lineal, programación dinámica, problemas de colas, Problemas de transporte, métodos GANT PERT, entre los más importantes, han despertado varias ideas de aplicación. Hoy podría decirse, que toda empresa de dimensión grande o mediana aplican los métodos de la Investigación Operativa, pues, contribuye eficazmente a optimizar una gran parte de los objetivos.

LAS FASES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La Investigación Operativa comienza describiendo algún sistema mediante un modelo que luego se lo amplía con el propósito de determinar la mejor forma de operación del sistema. Las principales fases de un estudio de Investigación de Operaciones son las siguientes:

a) b) c) d) e) f)

Formulación del problema. Construcción de un modelo representativo del sistema de estudio. Búsqueda de una solución a partir del modelo. Prueba del modelo y de la solución deducida a partir de éste. Establecimiento de controles sobre la solución. Poner la solución a tr abajar: EJECUCION.

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA En la formulación de un problema deben estar perfectamente establecidos los objetivos, los cursos alternativos de acción, las restricciones y los efectos del sistema de estudio. Debe tomarse en cuenta que es casi imposible dar solución correcta a un problema incorrectamente planteado.

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CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO El siguiente paso luego de la formulación de problema, es la construcción del modelo, las características esenciales de los modelos permiten describirlos de diferentes maneras. Los modelos pueden clasificarse por sus dimensiones, funciones, propósitos, temas o grado de abstracción. Los tipos básicos de modelos son los siguientes:

1.-

Modelos Icónicos Un modelo icónico es la presentación física de un objeto o de una situación. Esta representación puede darse en dos dimensiones como sucede con los planos, los mapas o la fotografía o, también, en tres dimensiones como sucede con las maquetas.

2.-

Modelos Analógicos Son representaciones que por analogía muestran características de una determinada situación. Se los utiliza, utiliza, especialmente, para representar representar situaciones dinámicas. dinámicas. Son ejemplos ejemplos de estos modelos las curvas de demanda, las curvas de distribución de frecuencia y los diagramas de flujo.

3.-

Modelos Simbólicos o Matemáticos Son verdaderas representaciones de la realidad y toman la forma de cifras y símbolos matemáticos. Estos son los modelos especialmente utilizados por la Investigación Operativa y un tipo de modelo simbólico es una ecuación.

DEDUCCIÓN DE LA SOLUCIÓN Una vez establecido el modelo, el siguiente paso es obtener una solución al problema a partir del modelo. Este paso se lo desarrolla determinando la solución óptima del modelo y luego aplicando esta solución al problema real. Algunas ocasiones las complejidades matemáticas del modelo impiden obtener la solución óptima, en estos casos, una “BUENA” respuesta es suficiente. En otros casos, la

solución óptima del modelo modelo es una aproximación de la situación real, sin embargo, un modelo bien formulado y probado aproxima su solución óptima verdadera.

PRUEBA DEL MODELO Y DE LA SOLUCIÓN SOLUCIÓ N Después de obtener una solución del modelo, el modelo y la solución deben probarse. Esto puede hacerse en dos pasos: 1.2.-

Usando datos pasados, haciendo una comparación entre el rendimiento real del sistema y el rendimiento indicado por el modelo. Permite operar el sistema sin cambios y comparando su rendimiento con aquel del modelo.

ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES Una vez que un modelo y su solución se consideran aceptables, deben colocarse controles sobre la solución con el objeto de detectar cualquier cambio significativo de las condiciones en las cuales se basa el modelo; obviamente, si cambian tanto que el modelo ya no es una representación precisa del sistema, el modelo debe ser invalidado.

EJECUCIÓN La ejecución es una solución obtenida a partir de un modelo, es la última fase de un estudio de investigación de Operaciones. En esta fase se explica la solución solución a la administración administ ración responsable del sistema en estudio. Es importante que la explicación de la solución se haga en función de los procedimientos usados en el sistema real.

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Después de aplicar la solución al sistema, se observa la respuesta de éste a los cambios introducidos, esto permite realizar los ajustes y modificaciones adicionales requeridas por el rendimiento del sistema.

METODOS CUANTITATIVOS CUANTITATIVOS QUE ESTUDIA LA I.O. I. O. A continuación se presenta una breve descripción de los diferentes modelos que estudia la I.O. 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.-

Teoría de probabilidades. Varias técnicas matemáticas. Modelos de secuenciación. Modelos de reemplazo. Modelos de inventario. Modelos de asignación. Modelos de programación dinámica. Modelos competitivos. Modelos de líneas de espera. Técnicas de simulación. Modelos de ruta. Métodos de búsqueda y heurísticos. Métodos combinados de investigación de operaciones. Modelo de Programación Lineal.

CAMPOS DE APLICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN OPERTIVA La I.O. tiene múltiples campos de aplicación, se utiliza en casi toda gestión que requiere la intervención de recursos para un objetivo determinado y reúna características muy bien definidas. En forma sucesiva los métodos operacionales han ido encontrado aceptación en los siguientes campos o sectores: - Industria - Agricultura - Construcción - Comercio - Transporte

- Energía - Banca - Minería - Comunicaciones - Servicios públicos o privados

Desde el punto de vista de unidades económicas, la I.O. es un valioso instrumento para resolver problemas relacionados con los siguientes aspectos: - Producción - Inventarios - Distribución - Selección de equipos - Problemas de espera - Organización y sistemas - Localización LAY-OUT - Financiamiento

- Precios - Mercados - Comercialización - Informática - Administración - Gerencia - Factor humano - Seguridad industrial

De acuerdo a lo anterior la I.O. refleja su versatilidad para plantear, analizar y sugerir la mejor solución a los diferentes problemas que por sectores económicos o factores internos de la empresa pueden presentarse.

LIMITACIONES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA Así como esta materia nos no s permite resolver muchos tipos de problemas, pro blemas, también, encontramos algunas limitaciones en la práctica, las que pueden sintetizarse en las siguientes:

a)

Capacidad del equipo investigador.- Se refiere a las restricciones en cuanto a contar con profesionales especializados en la rama.

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INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I b) c) d) e)


Costo de la investigación.- El costo es alto, pero, es necesario anotar que muchas empresas empresas lo consideran como inversión ya que les permite minimizar errores. El uso del computador.- Actualmente es necesario la utilización de los lenguajes de computación. Grado de interés de la empresa.- En los países menos menos desarrollados no dan el apoyo respectivo respectivo a estas investigaciones. Servicios de informática.- Generalmente las empresas no cuentan con unidades sistematizadas de información, capaz de dar agilidad a la obtención de datos, fundamentalmente con los necesarios para la identificación de coeficientes técnicos por unidad. Esta es una restricción que obstaculiza el proceso de la investigación. Es indudable, desde luego, para las empresas que cuentan con servicios internos de información, obtengan mejores resultados a través de los medios de la informática.

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La metodología debe pretender que el decidor, aquel que tomará el riesgo de la decisión (riesgo porque es de su responsabilidad el éxito o fracaso de la operación), puede afectar la decisión más racional posible, o sea, que se minimice el riesgo de ser equivocado. La metodología a utilizarse debe adaptarse “A fin de facilitar la decisión”, para ello contará con modelos fundamentalmente matemáticos, con la

calificación de los factores que intervienen en el proceso. Conocido el modelo matemático, cuantificados los parámetros que en él intervienen, habrá que hacer uso del juego lógico matemático para obtener soluciones.

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II OBJETIVOS DEL CAPITULO III Después de finalizar satisfactoriamente este capítulo, usted debe estar en capacidad de: 1.- Determinar las soluciones óptimas óptimas para problemas de programación lineal utilizando utilizando el criterio pesimista, el criterio optimista y el criterio del valor esperado. 2.- Utilizar técnicas de asignación de cantidades fijas de recursos a la satisfacción de varias demandas.

PROGRAMACIÓN LINEAL La PL. Es una clase de modelos de programación matemática destinados a la asignación eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas, con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (tal como maximizar beneficios o minimizar costos). La característica distintiva de los modelos modelos de P. L. es que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales o sea inecuaciones o ecuaciones de primer grado. La PL. Tuvo sus orígenes a raíz de la Segunda Guerra Mundial, cuando George Dantzin, quien realizó investigaciones y aplicaciones en distintos casos de operación aéreo-militar. Leonfiel aportó principalmente en relaciones interindustriales a través de su Matriz de Insumo - Producto. Koopmans, incursionó profundamente en aplicaciones microeconómicas resolviendo casos de producción, asignación de recursos, maximización de beneficios y minimización de costos, etc. La PL. Es un modelo sistemático y matemático de enfocar determinado problema para lograr una solución óptima o la mejor posible, empleando una ecuación objetivo (propósito del problema), un conjunto de restricciones lineales y una condición de eliminar valores negativos (condición de no negatividad).

OBJETIVOS Y APLICACIONES El objetivo básico de la PL. es encontrar soluciones mediante métodos matemáticos, utilizando sistemas lineales, a problemas de carácter técnico-económico que se presentan por la limitación de recursos. A través de la PL. se pueden resolver interesantes casos tales como: combinaci ón óptima de mezclas de producción, disposición interna de procesos, maximización de beneficios, localización, asignación de recursos, minimización de costos, transporte, entre los más sobresalientes. En cuanto al área de aplicación se resuelven casos en la industria en general y dentro de ésta con mejores opciones en la industria química, hierro y acero, papel y cartón, petróleo, farmacéuticos, alimenticios y textil. Se han realizado aplicaciones también en la agricultura, construcción, aviación, sistemas hidroeléctricos, transporte, etc.

Conceptos básicos Linealidad Todo proceso, actividad o relación lineal utilizada se identifica con la cantidad unitaria de cada uno de los factores con respecto a los demás y a las cantidades de cada uno de los productos.

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Divisibilidad Los procesos pueden utilizarse en extensiones positivas divisibles mientras se dispongan de recursos.

Finitud Tanto el número de procesos identificados cuanto los recursos disponibles, deberán corresponder a cantidades finitas, esto es, conocidas y cuantificadas en forma determinística.

Algoritmos o Iteraciones Como se dijo anteriormente la I. O. en lo que se refiere a la P. L. utiliza métodos mediante aproximaciones sucesivas, ensayos, intentos que reciben el nombre de algoritmos o iteraciones y, según los cuales se determina pasos o etapas hasta obtener el objetivo planteado.

El problema general de la PL. Los problemas de la PL. se presentan por la limitación de recursos que se tratan de distribuir en la mejor forma. Los recursos a la vez que son son

limitados en

términos “per se” (por sí mismo) mismo) pueden ser

distribuidos en tantas formas como combinaciones matemáticas permitan relacionarlos a un mismo objetivo, de allí que es necesario distribuirlos adecuadamente en forma equilibrada y armónica entre los factores que intervienen en el problema, a fin de encontrar las mejores alternativas de uso, cumpliendo con el propósito fijado. Un problema de PL. trae implícitamente el sentido de función, propósito o meta, recursos disponibles y habilidad o forma para seleccionar, comparar y decidir la mejor alternativa (decisión). Los problemas de PL. planteados y resueltos por cualquiera de los métodos deberán cumplir cuatro condiciones necesarias y suficientes:

1° Función objetivo Es la ecuación que expresa la cantidad que va a ser maximizada o minimizada según el objetivo planteado y es de la forma Z  C 1 X 1  C 2 X 2

 C 3 X 3  C 4 X 4  ......................  C n X n

Z(MAX) para los casos de maximización Z(MIN) para los de minimización. minimización.

C 1 , C 2 , C 3 , C 4 ............. C n X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ............ X n

Coeficientes de la función función objetivo pueden ser márgenes de beneficios, precios, costos unitarios, etc. Variables del problema, lo que queremos lograr.

2° Limitaciones y Restricciones Es el conjunto de inecuaciones o ecuaciones que expresan las condiciones finitas del problema, denominados también COEFICIENTES TECNICOS de producción, tecnológicos, de transporte, etc., según sea el caso de estudio.

 A12 X 2  A13 X 3  .......... .....  A1n X n T 1 b1 A21 X 1  A22 X 2  A23 X 3  .......... .....  A2 n X n T 2 b2 A31 X 1  A32 X 2  A33 X 3  .......... .....  A3 n X n T 3 b3 A11. X 1

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...... Am1 X 1

 Am 2 X 2  Am 3 X 3  .......... ....  Amn X n T n bn

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Donde

 A11 A12 A13 .......... A1n   A A A .......... A  2n   21 22 23  A31 A32 A33 .......... A3 n    Coeficientes Técnicos .......... .......... ........   ............................    A A A ......... A  mn   m1 m 2 m 3 X 1 , X 2 , X 3 .......... X n Variables o incógnitas del problema. T 1 , T 2 , T 3.............T n Signos o límites del sistema. Igual o menor que  Mayor o igual que  Igual 

3. No negatividad

En la resolución de los problemas de P. L. en ningún caso se aceptarán resultados negativos en las respuestas, pues, no se concibe producción negativa, gastos negativos, tendrán que ser por lo menos igual o mayor que cero. Xn  0

4° Condiciones de Optimización Se van obteniendo por aproximaciones sucesivas. Solución factible: Aquella que satisface las limitaciones y restricciones del problema. Solución básica factible: Es aquella que satisface tanto las limitaciones o restricciones como la función objetivo del problema (optimización).

EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

MAXIMIZACIÓN PROBLEMA N° 1.Un taller fabrica dos clases de cinturones de piel. En cada cinturón A de alta calidad gana S/4 y en cada cinturón B de baja calidad gana S/3. El taller puede producir diariamente 500 cinturones de tipo B o 250 cinturones de tipo A. Sólo se dispone de piel para 400 cinturones diarios A y B combinados, de 200 hebillas elegantes para el cinturón A y de 350 hebillas diarias para el cinturón B ¿Qué producción maximiza la ganancia?

Formulación del problema A X1 4 Recursos Piel Hebillas A Hebillas B Capacidad

B X2 3

= = =

Consumo 1 1 1 0 0 1 2 1

Productos Número producido Utilidad Disponibilidad 400 200 350 500

Función objetivo: Maximizar la utilidad total Z(MAX) = 4X1 + 3X2

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Restricciones: 1.2.3.4.5.-

X1 + X2  X1  X2  2X1 + X2  X1, X2 

400 200 350 500 0

(Consumo de piel) (Consumo de hebillas A) (Consumo de hebillas B) (Consumo de capacidad) (Restricciones de no negatividad).

Es necesario realizar la formulación algebraica ya que la multiplicidad de datos en interpelaciones hace difícil el planteamiento de los problemas de PL. Una forma de resumir la información consiste en elaborar una matriz de recursos y productos con sus respectivos coeficientes de consumo con la oferta disponible de los insumos y con la utilidad generada por cada producto. Previo a ello conviene definir con claridad el significado de las variables utilizadas. Analice detenidamente la formulación de los ejemplos.

SOLUCIÓN GRÁFICA El método gráfico permite una comprensión visual de la resolución de un problema. De acuerdo a las condiciones deberá cumplir con los cuatro requisitos básicos. 1.2.3.4.-

Función Objetivo Conjunto de limitaciones o restricciones Condición de no negatividad Condiciones u optimización 4.1.- Solución factible 4.2.- Solución básica factible 4.3.- Solución óptima factible

Mediante el método gráfico se trata de resolver por aproximaciones, o interacciones gráficas las posibilidades de mejorar las soluciones de conformidad a la función objetivo determinada.

Maximización Z ( MAX )  C 1 X 1  C 2 X 2

Cuando se trata de problemas de maximización, la solución está determinada por la región interior formada por el polígono convexo. Para este caso se utilizará las expresiones  (menor o igual) lo que indica que la empresa no podrá utilizar más recursos de los que dispone (Finitud) y los coeficientes de X 1 y X2 corresponden a las necesidades técnicas de producción. Las restricciones o limitaciones serán:

A11 X 1  A12 X 2  b1 A21 X 1  A22 X 2  b2 A31 X 1  A32 X 2  b3 X 1 , X 2  0 La función objetivo puede representarse mediante un conjunto de rectas paralelas con pendiente. M  

C 1 C 2

Donde C1 es el coeficiente de X 1 y C2 el coeficiente de X2. Cada recta indica un conjunto de puntos que proporcionan un beneficio idéntico.

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SOLUCIÓN DEL PROBLEMA N° 1. Función Objetivo Z(MAX) = 4X1 + 3X2

Restricciones

Abstracción

X1 + X2  X1  X2  2X1+ X2  X1 X2  0

400 200 350 500

X1 + X2 = X1 = X2 = 2X1 + X2 =

400 200 350 500

1° 2° 3° 4°

Graficamos las ecuaciones X1 + X2 = 400 X1 X2 0 400

2X1 +

400 0

X2 = 500 X1 X2

0 250

X1 = 200 X1 X2

500 0

X2 = 350 X1 X2

200

350

GRÁFICO N° 1

550 500

(2)

450 400 350

(3)

C

300

D

250 200 150 100

E

100

50 0 -100

-50 -50 0 -100

X1

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

-

Se ha determinado la región básica factible que sea positiva y satisfaga las condiciones o restricciones del problema. Un punto por fuera de esta región no satisface los requerimientos técnicos y nos interpretará que estamos utilizando recursos por encima de los existentes, y eso no es cierto, no podemos. Conocida la región básica factible procedemos a ensayar puntos combinados que nos den respuesta, o sea que cumplan con las restricciones del problema y con el propósito de la función objetivo (maximizar) para lo cual resolvemos las ecuaciones.

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Resolución de las ecuaciones C(Ecuaciones 1 y 3) X1 + X2 = 400 X2 = 350 D(Ecuaciones 1 y 4) X1 + X2 = 400 2X1 + X2 = 500

X1 + 350 = 400 X1 = 50 X1 + X2 = 400 -2X1 – X2 = -500

C(50, 350) 100 + X2 = 400 X2 = 400 - 100

- X1 = -100 X1 = 100

E (Ecuaciones 2 y 4) X1 = 200 2X1 + X2 = 500

X2 = 300

D(100,300)

2(200) + X2 = 500 X2 = 100

E(200,100)

Los puntos C, D y E reemplazamos en la función objetivo para determinar la solución óptima. P(X1, X2) Z(MAX) = 4X1 + 3X2 C(50, 350) = 4 (50) + 3(350) = 1.250 D(100,300) = 4 (100) + 3(300) = 1.300 Punto óptimo E(200,100) = 4 (200) + 3(100) = 1.100 La mejor alternativa se presenta cuando X1 = 100 y X2 = 300, es decir, cuando se fabrican 100 cinturones de la clase A y 300 cinturones de la clase B. En efecto, si reemplazamos en la función objetivo, tenemos. Z(MAX) = 4 X1 + 3 X2 Z(MAX) = 4 (100) + 3(300)

Z = 1.300 MAXIMA. Siempre el punto de maximización estará en un vértice de un conjunto convexo hacia adentro y habrá una curva de isobeneficio que sea tangente al punto encontrado y ésta será la función objetivo.

PROBLEMA N° 2.La Compañía ECASA está produciendo dos clases de refrigeradoras, tipo A y tipo B. De estudios hechos sobre las necesidades del país, se estima que para el próximo año los requerimientos de estos dos tipos de refrigeradoras serán: Un máximo de 80.000 unidades de A Un máximo de 120.000 unidades de B La utilidad que, cada refrigeradora le deja a la empresa es: 15 dólares por unidad de A y 30 dólares por unidad de B. Cuántas unidades de A y cuántas de B deben producirse para que ECASA alcance la máxima utilidad anual, si sólo se dispone de: 10.000 unidades de hierro 16.000 unidades de fibra de vidrio 14.000 unidades de aluminio Considerando que la composición de estas refrigeradoras debe ser la siguiente: A = 10% de hierro, 12% de fibra de vidrio, 7% de aluminio B = 5% de hierro, 10% de fibra de vidrio, 10% de aluminio

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Formulación del problema A X1 15 Recursos Hierro Fibra de vidrio Aluminio Demanda A Demanda B

B X2 30

Consumo 0.10 0.12 0.07 1 0

Producto Número producido Utilidad Disponibilidad 10.000 16.000 14.000 80.000 120.000

0.05 0.10 0.10 0 1

Función Objetivo Z(MAX) = 15X1 + 30X2

Restricciones 0,10 X1 + 0,05 X2 0,12 X1 + 0,10 X2 0,07 X1 + 0,10 X2 X1 X2



10.000 16.000  14.000  80.000  120.000 

Abstracción 0,10 X1 + 0,05 X2 = 10.000 0,12 X1 + 0,10 X2 = 16.000 0,07 X1 + 0,10 X2 = 14.000 X1 = 80.000 X2 = 120.000

1° 2° 3° 4° 5°

Graficamos las ecuaciones 0,10 X1 + 0,05 X2 = 10.000 X1 X2

0,12 X1 + 0,10 X2 = 16.000 X1 X2

0 200.000 100.000 0 0,07 X1+0,10 X2 =14.000 X1 X2 0 140.000 200.000 0

0 133333,33 X1 = 80.000

X1

X2 = 120.000 X2

160.000 0 X1

80.000

X2 120.000

Solución de las ecuaciones C(Ecuaciones 3 y 5) 0,07 X1 + 0,1X2 = 14.000 0,07X1+0,10(120.000) = 14.000 X2 = 120.000 X1 = 28.571 C(28.571; 120.000) (valores enteros) D(Ecuaciones 2 y 3) 0,12 X1 + 0,10 X2 = 16.000 0,07 X1 + 0,10 X2 = 14.000

0,12 X1+ 0,10 X2 = -0,07 X1- 0,10 X2 = 0,05X1 = X1 = 0.12 (40.000) + 0.10X2 = X2 =

16.000 -14.000 2.000 40.000 16.000 112.000 D(40.000; 112.000)

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INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I D(Ecuaciones 2 y 3) 0,12 X1+0,10 X2 = 16.000 0,07 X1+0,10 X2 = 14.000


0,12 X1+0,10 X2 = 16.000 -0,07 X1 -0,10 X2 = -14.000 0,05X1 = 2000 X1 = 40.000 0.12(40.000) + 0.10X2 = 16.000 X2 = 112.000

D(40.000; 112.000)

E(Ecuaciones 1 y 2) 0,10 X1 + 0,05 X2 = 10.000 0,12 X1 + 0,10 X2 = 16.000

0,20 X1 + 0,10 X2 = 20.000 -0,12 X1 - 0,10 X2 = -16.000 0.08X1 = 4.000 X1 = 50.000 0.10(50.000) + 0.05X2 = 10.000 X2 = 100.000

E(50.000; 100.000)

GRAFICO N° 2

220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -40

-20-20 0 -40

20

40

60

80

100 120 140 160 180 200 220 240

(Las cantidades son en miles)

F(Ecuaciones 1 y 4) 0,10X1+ 0,05 X2 = 10.000 0,10(80.000) + 0,05X2 = 10.000 X1 = 80.000 X2 = 40.000

F(80.000; 40.000)

P(X1, X2) Z(MAX) = 15 X1 + 30 X2 C(28571;120.000) Z = 15(28571) + 30(120,000) = 4.028.565 Óptimo D(40.000, 112.000) Z = 15(40.000) +30(112.000) = 3.960.000 E(50.000, 100.000) Z = 15(50.000) +30(100.000) = 3.000.000 F(80.000, 40.000) Z = 15(80.000) + 30(40.000) = 2.400.000 La solución óptima será cuando se produzca 28.571 unidades A y 120.000 unidades B. P(28.571; 120.000) X1 = 28.571 Refrigeradoras tipo A X2 = 120.000 Refrigeradoras tipo B

Z(MAX) = 4.028.565 dólares

PROBLEMA N° 3.Una fábrica produce dos tipos de muebles A y B, dispone del taller de tornamiento el mismo que puede procesar 25 unidades/tora de A o 40 unidades/hora de B, siendo el coso por hora de S/. 20, el taller de rectificación puede procesar 28 unidades / hora de A o 35 unidades / hora de B y su costo es de S/. 14,

13



el taller de pintura puede atender a 35 unidades / hora de A o 25 unidades / hora de B y su costo es de S/. 17,5. El precio de venta de A es de S/. 5 y el de B S/. 4. ¿Cuántas unidades de A y B debe producir para obtener la máxima ganancia?

Matriz de recursos A X1 Taller Torneamiento Rectificación Pintura

B X2

Tipo de muebles N° de unidades

Proceso 25 40 28 35 35 25

Capacidad 1 1 1

Costo 20 14 17,5

Cuando no hay disponible se habla de capacidad (100%) que se representa por 1, y cada taller ocupa tanto en A como en B un porcentaje de su presentación en forma de fracción que significa porcentaje. Para encontrar la utilidad hallamos el costo total de cada producto. Costo A

B

20  25 = 0,8 14  28 = 0,5 17,5  35 = 0,5 Costo = 1.8

Pv

20  40 = 0,5 14  35 = 0,4 17,5  25 = 0,7 Costo = 1.6

A=5 B=4

Utilidad UA = PVA - CTA UA = 5-1,8 = 3,2

UB = PVB - CTB UB = 4-1,6 = 2,4

Función Objetivo Z(MAX) = 3,2X1 + 2,4X2

Restricciones 1 25 1 28 1 35

X 1



X 1



X 1



1 40 1 35 1 25

X 2

1

X 2

1

X 2

1

X1 X2 0

Abstracción

Trasformamos las desigualdades fraccionarias en igualdades enteras para lo cual buscamos el mínimo común denominador. 8 X 1  5 X 2  200

1

5 X 1  4 X 2  140

2

5 X 1  7 X 2  175

3

Graficamos las ecuaciones X1

X2

X1

0 25

40 0

0 28

X2 35 0

X1

X2

0 35

25 0

14



Consideramos el punto C (Ecuaciones 1 y 2) 8X1 + 5X2 = 200 5X1 + 7X2 = 175 (7) 56X1 + 35X2 = 1400 8(16.93) + 5X2 = 200 (-5) - 25X1 - 35X2 = - 875 135.44 + 5X2 = 200 31X1 = 525 5X2 = 200 - 135,44 5X2 = 64,56 64.56 525 X 2  X 1  5 31 X1= 16,93 X2 = 12,91 C(16,93; 12,91) (Se considera valores enteros) C(17, 13) Z(MAX) = 3,2(17) + 2,4(13) = 85,60

GRAFICO N° 3

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-5

Solución óptima Z(MAX) = 85,60 X1 = 17 Muebles tipo A X2 = 13 Muebles tipo B

MINIMIZACIÒN De igual manera que en los casos de maximización, por el método gráfico, se pueden resolver problemas de minimización, se utilizará la expresión  (mayor o igual) para las desigualdades. En estos casos el problema se ajusta a encontrar un conjunto convexo hacia fuera e identificar un punto extremo (vértice) que minimice la función objetivo. Una vez determinada la región básica factible, área positiva y que satisface, las limitaciones o restricciones del problema. Un punto por debajo de esta región no satisface los requerimientos técnicos y nos interpretará que no cumplimos con las necesidades mínimas.

PROBLEMA N° 4 Una compañía química está diseñando una planta para producir dos tipos de minerales M y N. La planta debe ser capaz de producir al menos 100 unidades de M y 420 unidades de N cada día. Existen dos posibles diseños para las cámaras principales de reacción que vienen incluidas en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta 600 mil dólares y es capaz de producir 10 unidades de M y 20 unidades de N por día; el tipo B es un diseño más económico, cuesta 300 mil dólares y es capaz de producir 4 unidades de M y 30 unidades de N por día. A causa de los costos de operación, es necesario tener al menos 4

15



cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuántas cámaras de cada tipo deben ser incluidas para minimizar el costo de construcción y satisfacer el programa de producción requerido?

Función objetivo: X1 = Cámaras tipo A X2 = Cámaras tipo B Z(MIN) = 600X1 + 300X2

Restricciones: X1



4 X2  4 10X1 + 4X2  100 20X1 + 30X2  420 X1 X2  0

Cámara tipo A Cámara tipo B Producción mineral M Producción mineral N

Abstracción X1

= 4 X2 = 4 10X1 + 4X2 = 100 20X1 + 30X2 = 420

1° 2° 3° 4°

Graficamos las ecuaciones X1 = 4 1° X1 X2 4

X2 = 4 2° X1 X2 4

10X1 + 4X2 = 100 3° X1 X2 0 10

20X1 + 30X2 = 420 X1 X2

25 0

0 21

4°

14 0

GRAFICO N° 4

28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -2 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

-4

C(Ecuaciones 1 y 3) X1 = 4 10X1 + 4X2 = 100 10(4) + 4X2 = 100 X2 = 15

C(4, 15)

D(Ecuaciones 3 y 4) 10X1 + 4X2 = 100 20X1 + 30X2 = 420 (-2) -20X1 - 8X2 = -200 (1) 20X1 + 30X2 = 420 22X2 = 220

X2 = 10 10X1 + 4(10) = 100 10X2 = 60 X2 = 6

D(6, 10)

16

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I E(Ecuaciones 2 y 4) X2 = 4 20X1 + 30X2 = 420 20X1 + 30(4) = 420 X1 = 15


E(15, 4)

P(X1, X2) Z = 600 X1 + 300 X2 C(4, 15) Z = 600(4) + 300(15) = 6.900 D(6, 10) Z = 600(6) + 300(10) = 6.600 Punto óptimo E(15, 4) Z = 600(15) + 300(4) = 10.200

Solución óptima: Z(MIN) = 6.600 MIL X1 = 6 Câmaras tipo A X2 = 10 Câmaras tipo B

PROBLEMA Nº 5 Productora Cía. Lida., elabora 2 productos A y B a partir de tres componentes C1, C 2 y C3, cuyo costo unitario es de 3 dólares por Ton. el producto A y 5 dólares por Ton. el producto B. El producto A contiene un 10% de C1, un 16% de C2 y un 12% de C 3; mientras que el producto B contiene un 40% de C1 y un 10% de C3. Para satisfacer sus contratos requiere de al menos 600 Ton. de C 1 , 400 Ton. de C2 y 450 Ton. de C3. ¿Qué cantidades de A y B se debe elaborar para minimizar el costo?

Formulación del problema A X1 Componentes C1 C2 C3

B = Productos X2 = Cantidades Cantidades en Tonelada Requerimientos 0,10 0,40 600 0,16 0,00 400 0,12 0,10 450

Función Objetivo Z(MIN) = 3 X1 + 5 X2 Z(MIN) = Minimizar los costos de los insumos.

Restricciones 0,10X1 + 0,40X2  0,16X1 + 0,00X2  0,12X1 + 0,10X2  X1 ^ X2 

Abstracción 600 400 450 0

0,10X1 + 0,40X2 = 600 0,16X1 = 400 0,12X1 + 0,10X2 = 450

1° 2° 3°

Graficamos las ecuaciones 0,10X1+0,40X2=600 1° X1 X2 0 1500 6.000 0

0,16X1=400 2° X1 X2 2500

C(Ecuaciones 2 y 3) X1 = 2500 0,12 X1 + 0,10 X2 = 450

C(2500,1500)

0,12X1+ 0,10X2 = 450 3° X1 X2 0 4500 3.750 0 12 (2500) + 0,10 X2 = 450 X2 = 1500

17



GRAFICO N° 5

6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 -1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

-1000

D(Ecuaciones1 y 3) 0,10 X1 + 0,40 X2 = 600 0,12 X1 + 0,10 X2 = 450

( 1) 0,10 X1 + 0,40 X2 = 600 (-4) -0,48 X1 - 0,40 X2 = -1800 -0,38 X1 = -1200 X1 = 3157,89 0,10 (3157,89)+ 0,40 X2 = 600 315.789 X 2  0.40 X2 = 710,53

D(3157.89, 710.53)

P(X1, X2) Z(MIN) = 3 X1 + 5 X2 C(2.500,1.500) Z = 3(2.500) +5(1.500) = 15.000 D(3.157,89; 710,53) Z = 3(3.157,89)+5(710,53)=13.026,32 Punto óptimo

Solución óptima Z(MIN) = 13026,32 sucres X1 = 3157.89 Ton. del producto A X2 = 710.53 Ton. del producto B Se logrará un costo mínimo de (13026,32 dólares) cuando se produzca 3157,89 toneladas del producto A y 710,53 toneladas del producto B.

PROBLEMAS COMBINADOS DE MAXIMIZACIÓN Y MINIMIZACIÓN PROBLEMA N° 6.La Compañía Metales Lida. fabrica dos metales A y B, a través de dos minerales: cobre y aluminio. El metal A contiene 90% de cobre y 10% de aluminio y al venderlo deja una ganancia de 5 U$ por kilo. El metal B contiene 50% de cobre y 50% de aluminio y da una ganancia de 7 U$ por kilo. Cada semana debe producir 150 kilos del metal A y 100 kilos del metal B, por lo menos. Su proveedor le puede suministrar cada semana 270 kilos de cobre y 100 de aluminio. Calcular la cantidad de kilos de A y B que den la máxima ganancia.

Función Objetivo Z(MAX) = 5X1 + 7X2 X1 = A X2 = B

18



Restricciones o limitaciones 0,90 X1 + 0,5X2  270 0,10 X1 + 0,5X2  100  150 X1 + X2  100 X1  X2  0

Cobre Aluminio Demanda de A Demanda de B

Abstracción 0,90 X1 + 0,50X2 = 270 0,10 X1 + 0,50X2 = 100 X1 = 150 X2 = 100

1° 2° 3° 4°

Graficamos las ecuaciones X1

X2 1°

0 300

450 0

X1

X2 2°

0 1.000

200 0

X1

X2 3°

150

X1

X2 4° 100

GRAFICO N° 6

600 500 400 300 200 100 0 -200 - 100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000 1100 1200

-100

C(Ecuaciones 2 y 3) 0,10 X1 + 0,50X2 = X1 = 0,10(150) + 0,50X2 = X2 =

100 150 100 170

C(150, 170)

D(Ecuaciones 1 y 2) 0,90 X1 + 0,50X2 = 270 0,10 X1 + 0,50X2 = 100

E(Ecuaciones 3 y 4) X1 = 150 X2 = 100

E(150, 100)

(1) 0,90 X1 + 0,50X2 = 270 (-1) -0.10 X1 - 0,5X2 = -100 0,80 X1 = 170 X 1 = 212,5 0,90 (212,5) + 0,50X2 = 270 X2 = 157,5 D(212.5, 157.5) F(Ecuaciones 1 y 4) 0,90 X1 + 0,50X2 = 270 X2 = 100 0,90 X1 + 0,50 (100) = 270 X1 = 244,44 F(244.44;100)

19

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I P(X1, X2) Z(MAX) = 5X1 + 7X2 C(150, 170) Z = 5(150) + 7(170) = D(212,5; 157,5) Z = 5(212,5) + 7(157,5) = E(150, 100) Z = 5 (150) + 7(100) = F(244,44, 100) Z = 5(244,4) + 7(100) =

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. 1940 2.165 Óptimo 1450 1922,2

Para que se obtenga una ganancia de 2.165 se debe producir 212,5 kilos de A y 157,5 kilos de B.

Solución óptima Z(MAX) = 2.165 X1 = 212.5 Kilos de metal A X2 = 157.5 Kilos de metal B

PROBLEMA Nº 7.Un agricultor quiere cultivar maíz y trigo en un terreno de 200 hectáreas. Sabe que una hectárea puede rendir 4 quintales de maíz o 2 de trigo. Cada hectárea requiere un capital de 6 dólares si se cultiva con maíz y de 2 dólares si se cultiva con trigo. El capital disponible es al menos de 600 dólares. Las necesidades de agua de riego son de 50 m 3 por hectárea de maíz y 50 m3 por hectárea de trigo en octubre, de 200 m3 por hectárea de maíz y 100 m 3 por hectárea de trigo, en el mes de noviembre. La disponibilidad de agua en octubre es al menos de 6.250 m3 y en noviembre, cuando mucho de 25.000 m3. Si los precios de venta del maíz y el trigo son 6 dólares y 10 dólares por quintal métrico, respectivamente. Determinar la cantidad de maíz y trigo que debe producirse para obtener el beneficio máximo.

Función Objetivo. Z(MAX) = 6X1 + 10X2

Restricciones: 1 4 6

X 1 

2 2

X 2 

200

X 2  600 2 50 X 1  X 2  6.250 4 2 200 100 X 1  X 2  25.000 4 2 4 50

X 1 

1

Abstracción: X1 3X1 X1 X1

+ + + +

2X2 2X2 2X2 X2

= 800 = 1.200 = 500 = 500

1° 2° 3° 4°

Graficamos las ecuaciones X1 + 2X2 = 800 1° X1 X2 0 400 800 0 X1 + 2X2 = 500 3° X1 X2 0 250 500 0

3X1 + 2X2 = 1.200 X1 X2 0 600 400 0

2°

X1 + X2 = 500 4° X1 X2 0 500 500 0

20

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I C(Ecuaciones 2 y 4) 3X1 + 2X2 = 1.200 X1 + X2 = 500 (1) 3X1 + 2X2 = 1.200 (-2) -2X1 - 2X2 = -1.000 X1 = 200 200 + X2 = 500 X2 = 300


D(Ecuaciones 2 y 3) 3X1 + 2X2 = 1.200 X1 + 2X2 = 500 (1) 3X1 + 2X2 = 1200 (-1) -X1 - 2X2 = -500 2X1 = 700 X1 = 350 350 + 2X2 = 500 X2 = 75

C (200, 300)

D (350, 75)

F (Ecuaciones 3 y 4) X1 + 2X2 = 500 X1 + X2 = 500 (1) X1 + 2X2 = 500 (-1) -X1 - X2 = -500 X2 = 0 X1 + 2(0) = 500 X1 = 500

E(500, 0)

GRAFICO N° 7

700 600 500 400 300 200 100 0 -100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

-100

P(X1, X2) Z(MAX) = 6X1 + 10X2 C (200, 300) Z = 6(200) + 10(300) = 4.200 Punto óptimo D (350, 75) Z = 6(350) + 10(75) = 2.850 E (500, 0) Z = 6(500) + 10(0) = 3.000

Solución óptima Z(MAX) 4.200 X1 = 200 Unidades de maiz X2 = 300 Unidades de trigo

PROBLEMA N° 8.Un taller de calzado confecciona zapatos para hombre y mujer. El producir un par de zapatos de hombre requiere el doble de tiempo que para producir un par de zapatos de mujer. El taller está en capacidad de producir al menos 14 pares de zapatos. En el mercado solo se puede conseguir diariamente la cantidad de cuero y suela para 12 pares de zapatos. Los zapatos de mujer requieren de una fibra, la cual solo existe para 7 pares de zapatos diariamente. Para la confección de los zapatos de hombre se puede conseguir exactamente 6 pares de tacos de caucho diariamente. ¿Qué cantidad de zapatos de hombre y mujer debe producir diariamente dicho taller para maximizar el beneficio si se sabe que al vender un par de zapatos de hombre se obtiene 2.5 dólares de utilidad y 3 dólares al vender un par de zapatos de mujer?

21



Función Objetivo Z(MAX) = 2.5X1 + 3X2 X1 = zapatos de hombre X2 = zapatos de mujer

Restricciones

Abstracción

2X1 + X2 X1 + X2 X2 X1

14  12 7  = 6 

Capacidad Materiales Fibra Tacos

2X1 + X2 = 14 X1 + X2 = 12 X2 = 7 X1 = 6

1° 2° 3° 4°

Graficamos las ecuaciones 2X1 + X2 X1 0 7

= 14 1° X2 14 0

X1 + X2 = 12 X1 X2 0 12 12 0

X2 = 7 3° X1 X2

X1 = 6 4° X1 X2

7

-2

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -1 0 -2

2°

6

GRAFICO N° 8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Como la 4° restricción lleva el signo igual, en consecuencia la región básica factible esta formada por la recta comprendida entre los puntos C y D. C(Ecuaciones 2 y 4) X1 + X2 = 12 X1 = 6 6 + X2 = 12 X2 = 6

C(6, 6)

D(Ecuaciones 1 y 4) 2X1 +X2 = 14 X1 = 6 2(6) +X2 = 14 X2 = 2

D(6, 2)

P(X1, X2) Z(MAX) = 2.5X1 + 3X2 C(6, 6) Z = 2.5(6) + 3(6) = 33 Punto óptimo D(6, 2) Z = 2.5(6) + 3(2) = 21

22



Solución óptima Z(MAX) = 33 X1 = 6 Zapatos de hombre X2 = 6 Zapatos de mujer

PROBLEMA Nº 9.Se desea realizar una campaña de publicidad para promocionar un nuevo producto y llegar a dos tipos de clientes: amas de casa de familia con ingresos anuales superiores a 5 mil dólares y amas de casa de familia con ingresos anuales inferiores a 5 mil dólares. Consideramos que las personas del primer grupo comprarán dos veces más nuestro producto que las personas del segundo grupo, y nuestro objetivo es maximizar las compras. Podemos anunciar el producto en televisión y en una revista; una unidad de publicidad en televisión cuesta 10 mil dólares y llega aproximadamente a mil personas del primer grupo y a 4 mil del segundo grupo. Una unidad de publicidad en la revista cuesta 6 mil dólares y llega aproximadamente a 3 mil personas del primer grupo y a mil del segundo. Hay que usar al menos 3 unidades de publicidad en televisión y 6 unidades de publicidad en la revista, respectivamente, por cuestiones de política. El presupuesto para publicidad es de 90 mil dólares. Resuelva gráficamente el problema y encuentre la solución óptima que maximice las compras.

Función objetivo Z ( MAX )  2(1)  1(4) X 1  2(3)  1(1) X 2

Z(MAX)

= 6X1 + 7X2

Restricciones

Abstracción

X1

 3 Anuncio en televisión X2  6 Anuncio en revista 10X1 + 6X2  90 Presupuesto X1X2  0

X1

= 3 1° X2 = 6 2° 10X1 + 6X2 = 90 3°

Graficamos las ecuaciones X1 = 3 (1°) X1 X2 3

X2 = 6 (2°) X1 X2 6

10X1 + 6X2 = 90 (3°) X1 X2 0 15 9 0

23

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I C(Ecuaciones 1y3) X1 = 3 10X1 + 6X2 = 90 10(3) + 6X2 = 90 X2 = 10

D(Ecuaciones 1y2) X1 = 3 X2 = 6 D(3, 6)

C(3, 10)

P(X1, X2) C(3, 10) D(3, 6) E(5.4, 6)

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. E(Ecuaciones 2 y 3) X2 = 6 10X1 + 6X2 = 90 10X1 + 6(6) = 90 X1 = 5.4

E(5, 6)

ZMAX) = 6X1 + 7X2 Z = 6(3) + 7(10) = 88 mil Punto óptimo Z = 6(3) + 7(6) = 60 mil Z = 6(5) + 7(6) = 72 mil

Solución óptima Z(MAX) = 88 mil dólares X1 = 3 anuncios en televisión X2 = 10 anuncios en revista

PROBLEMA N° 10.El Ministerio de Obras Públicas ha decidido añadir exactamente 200 Km. de carretera y exactamente 100 de autopista, en el sector de la costa. El precio estándar para construcción de carretera es de un millón de dólares por Km. y de 5 millones por Km. de autopista. Solo dos contratistas, la compañía Prefabricados y la compañía Erazo Lida. pueden realizar este tipo de construcciones, así que los 300 Km. de camino deben ser construidos por estas compañías. Sin embargo, la compañía Prefabricados puede construir a lo más 200 Km. de carretera y autopista y la segunda compañía puede construir a lo más 150 Km. Por razones políticas, a cada compañía debe adjudicársele un contrato de al menos 250 millones (antes de descuento). La primera compañía ofrece un descuento de 1.000 dólares por Km. de carretera y 6.000 dólares por Km. de autopista, la segunda compañía ofrece un descuento de 2.000 dólares por Km. de carretera y 5.000 dólares por Km. de autopista.

a) Si X 1 y X2 representan el número de Km. de carretera y autopista, respectivamente adjudicados a la compañía Prefabricados, demuestre que el descuento total D recibido de ambas compañías (en miles) está dado por.

Solución

D = 900 – X1 + X2

D = X1 + 6X2 + 2 (200 – X1) + 5(100 – X2) D = X1 + 6X2 + 400 – 2X1 + 500 – 5X2 D = 900 – X1 + X2

b) El Ministerio de Obras y Comunicaciones desea maximizar el descuento total D, resuelva el problema mediante el método gráfico.

Función objetivo X1 = Km. de construcción de carretera de la Compañía Prefabricados X2 = Km. de construcción de autopista de la Compañía Prefabricados (200 – X1) = Km. de construcción de carretera de la Compañía Erazo (150 – X2) = Km. de construcción de autopista de la Compañía Erazo Z(MAX) = D = 900 – X1 + X2

Restricciones

 X 2  200 Construcción de carretera de Pr efabricado s 1( 200  X 1 )  (100  X 2 )  150 Construcción de carretera de Erazo X 1

24



 X 2  150 Construcción de carretera de Erazo X 1  5 X 2  250 Contratos de Pr efabricado s 1(200  X 1 )  5(100  X 2 )  250 Contratos de Erazo X 1  5 X 2  450 Contratos de Erazo X 1

Abstracción X1 + X2 = 200 X1 + X2 = 150 X1 + 5X2 = 250 X1 + 5X2 = 450

Graficamos las ecuaciones (1°) (2°) (3°) (4°)

X1+X2=200 (1°) X1 X2 0 200 200 0

X1+5X2=250 (3°) X1 X2 0 250

X1+X2=150 (2°) X1 X2 0 150 150 0

X1+5X2=450 (4°) X1 X2

50 0

0 450

90 0

GRAFICO N° 10

250

200

150

100

50

0 -50

0

50

100

150

200

250

-50

C(Ecuaciones 2 y 4) X1 + X2 = 150 X1 + 5X2 = 450

D(Ecuaciones 1 y 4) X1 + X2 = 200 X1 + 5X2 = 250

(1) X1 + X2 = 150 (-1) X1 - 5X2 = -450 -4X2 = -300 X2 = 75 X1 + 75 = 150 X1 = 75

(1) X1 + X2 = 200 (-1) X1 - 5X2 = -450 -4X2 = -250 X2 = 62.5 X1 + 62.5 = 200 X1 =137.5

E(Ecuaciones 2 y 3) X1 + X2 = 150 X1 + 5X2 = 250

F(Ecuaciones 1 y 3) X1 + X2 = 200 X1 + 5X2 = 450

C(75, 75)

D(137.5, 62.5)

25

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I (1) X1 + X2 = 150 (-1) X1 - 5X2 = -250 -4X2 = -100 X2 = 25 X1 + 25 = 150 X1 = 125

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. (1) X1 + X2 = 200 (-1) X1 - 5X2 = -250 -4X2 = -50 X2 = 12.5 X1 + 12.5 = 200 X1 = 187.5

C(125, 25)

D(187.5, 12.5)

P(X1, X2) Z(MAX) = D = 900 – X1 + X2 C(75, 75) D = 900 – 75 + 75 = 900 Punto óptimo D(137.5, 62.5) D = 900 – 137.5 + 62.5 = 825 E(125, 25) D = 900 – 125 + 25 = 800 F(187.5, 12.5) D = 900 – 187.5 + 12.5 = 725

Solución óptima Z(MAX) = descuento total = 900 mil dólares X1 = 75 Km. De carretera X2 = 75 Km. De autopista

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD PARA LAS RESTRICCIONES La búsqueda de la solución de un modelo de decisión es sólo el primer paso del análisis. También es importante que el gerente comprenda cuán sensible es la solución a los cambios en las suposiciones y a los factores exógenos. Esto también se aplica a los modelos de programación lineal, y una de las características agradables de los modelos de programación lineal es que gran parte de este análisis de sensibilidad proviene directamente de la solución del problema. Primero veremos estos conceptos en forma gráfica y después por medio de la interpretación de las salidas de los programas de computación que se usan para resolver problemas de programación lineal. Para entender mejor el análisis de sensibilidad, partiremos del siguiente ejemplo

.

PROBLEMA N° 11.Una empresa fabrica dos productos A y B. Cada uno requiere tiempo en dos máquinas. La primera máquina tiene 24 horas disponibles y la segunda tiene 16. Cada unidad del producto A requiere 2 horas en ambas máquinas y cada unidad del producto B necesita 3 horas en la primera máquina y una hora en la segunda. Los beneficios son de 6 dólares por unidad de A y de 7 dólares por unidad de B, y la empresa puede vender todas las unidades que fabrique de ambos productos. El objetivo es maximizar el beneficio.

Función objetivo Z(MAX) = 6X1 + 7 X2

Restricciones

Abstracción

2X1 + 3X2  24 2X1 + X2  16 X1X2  0

2X1 + 3X2 = 24 (1°) 2X1 + X2 = 16 (2°)

Graficamos las ecuaciones 2X1+3X2=24 (1°) X1 X2 0 8 12 0

2X1+X2=16 (2°) X1 X2 0 16 8 0

26



El punto C es el óptimo, para encontrar sus coordenadas resolvemos las ecuaciones 2X1 + 3X2 = 24 2X1 + X2 = 16

(1) 2X1 + 3X2 = 24 (-1) -2X1 - X2 = -16 2X2 = 8 X2 = 4

Solución óptima

2X1 + 4 = 16 X1 = 6 C(6, 4)

Z(MAX) = 6(6) + 7(4) Z(MAX) = 64 X1 = 6 Unidades del producto A X2 = 4 Unidades del producto B

GRÁFICO N° 11

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-2

Ampliemos el problema que hemos usado como e jemplo. Suponga que el límite del mercado es la venta de seis unidades del producto B. Ahora la formulación es: Z(MAX) = 6 X1 + 7 X2 Sujeto a: 2X1 + 3X2 2X1 + X2 X2

  

24 16 6

El nuevo gráfico es:

GRAFICO N° 11-1

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-2

27



La solución es la misma: Z(MAX) = 64 X1 = 6 Unidades del producto A X2 = 4 Unidades del producto B

PRECIOS DUALES Considere la ecuación de restricción para la máquina 1, que especifica un máximo de 24 horas disponibles. En términos de la programación lineal, este límite de la capacidad con frecuencia se denomina valor del o segundo miembro de la restricción (o sencillamente b i). Suponga que puede agregar una hora para que la restricción sea 2X1 + 3X2



25

Nueva solución

GRÁFICO N° 11- 2 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-2

La nueva solución óptima se mueve al punto C’, con X1 = 5.75 y X2 = 4.5. Como la solución anterior requería X1 = 6 y X2 = 4, una hora adicional disponible en la máquina 1 da como resultado una reducción de 0.25 unidades de producto A y un aumento de 0.5 unidades de producto B. El cambio neto en la función objetivo es, entonces: Z(MAX) = 6(5.75) + 7(4.5) = 66

Incremento neto = 6(-0.25) + 7(0.5) = 2 Lo cual representa un incremento de dos dólares en el beneficio. A esto se le conoce como y es el cambio incremental en los beneficios por cambio unitario en el término independiente de una restricción

28

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Gráfico para 2X1 + 3X2




23

GRÁFICO N° 11- 3 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-2

Observe que el precio dual se mantiene para una reducción en el valor del término independiente. Por ejemplo, si sólo hubiera 23 horas disponibles en la máquina 1, el punto C’’ sería la solución óptima (X 1 = 6.25 y X2 = 3.5), Z(MAX) = 6(6.25) + 7(3.5) = 62

Reducción neta = 6(0.25) + 7(-0.5) = -2 Gráfico con reducción e incremento de una hora en el término independiente de la máquina 2

GRÁFICO N° 11- 4

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-2

29



Con una reducción de dos dólares en el beneficio. Entonces, el precio dual o valor marginal representa el aumento incremental en el beneficio cuando una restricción, se amplia en una unidad y una reducción en el beneficio cuando la restricción se estrecha en una unidad. Se puede aplicar el mismo análisis a la restricción de la máquina 2. Cuando la segunda restricción se amplía agregando una hora, se convierte en: 2X1 + X2  17 y el punto óptimo es C* con X1 = 6.75 y X2 = 3.5. Esto representa un aumento de 0.75 en el número de unidades del producto A y una reducción de 0.5 unidades del producto B. El efecto neto en el beneficio Z(MAX) = 6(6.75) + 7(3.5) = 65

Incremento neto = 6(0.75) + 7(-0.5) = 1 Una reducción similar en el término independiente (es decir, en el número de horas disponibles) de la restricción 2 da como resultado una solución de X 1= 5.25 y X2 = 4.5, y una reducción de un dólar en el beneficio. Por tanto, el precio dual asociado a la restricción de la máquina 2 es un dólar. Z(MAX) = 6(5.25) + 7(4.5) = 63

Reducción neta = 6(-0.75) + 7(0.5) = -1 Ahora consideremos la tercera restricción X2  6 El aumento de una unidad en este límite, a X 2  7, y la reducción de una unidad, a X 2  5, se muestran en el gráfico N° 11.5. Observe que ninguno de los cambios afecta a la solución, ya que la restricción X2  6 no es efectiva. La solución óptima requería sólo cuatro unidades del producto B, por lo cual no importa el límite de seis unidades que impone el mercado. Por tanto, el precio dual es cero. De hecho,

GRÁFICO N° 11-5

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-2

Costos Reducidos: Precios duales para las restricciones de no negatividad. También es posible determinar los valores marginales asociados a introducir al menos una unidad de una variable de decisión en la solución. Recuerde que las restricciones de no negatividad son X 1  0 y X2  0. El incluir una unidad en la solución

30



implica modificar una restricción de no negatividad a X1  1 o X 2  1. Los valores marginales de hacer esto se denominan Considere de nuevo el problema básico que se presenta en el gráfico Nº 11.5. La solución óptima requiere X1 = 6 y X2 = 4. Los dos son valores positivos y, por lo tanto, ninguna de las restricciones de no negatividad es efectiva. Entonces, el valor marginal (es decir, el costo reducido) asociado a su modificación es cero, al igual que para las demás restricciones no efectivas Suponga ahora que la función objetivo es Z (MAX) = 10X1 + 3X2, como se muestra en el gráfico Nº 11.6. El punto extremo E es la solución óptima, con X 1 = 8 y X2 = 0 y beneficio de 80 dólares. Z (MAX) = 10(8) + 3(0) = 80

GRÁFICO N° 11- 6

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0 -2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-2

Observe que X2 = 0, por lo cual la restricción de no negatividad X2  0 es efectiva. Suponga ahora que debe producirse por lo menos una unidad del producto B, debido a un compromiso con un cliente, por lo cual se cambia la restricción de no negatividad a X 2  1. Con esto cambia la solución óptima del gráfico Nº 11.7, a E*.

GRAFICO N° 11-7

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0 -2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-2

31



Encontramos la solución entre las ecuaciones 2 y 4: 2X1 + X2  16 X2  1 2X1 + 1 = 16 2X1 = 15 X1 = 7.5 E*(7.5, 1) Z(MAX) = 10(7.5) + 3(1) = 78 Una reducción de dos dólares con respecto al nivel anterior. En este caso el costo reducido o valor marginal asociado con la restricción de no negatividad de X 2 es de dos dólares, que

Los precios duales tienen muchas aplicaciones empresariales. Aunque en el mundo existen restricciones y limitaciones, la mayoría de ellas no son absolutas. Por ejemplo, el gerente que formuló el problema de programación lineal determinó las horas disponibles en cada una de las máquinas en circunstancias normales, pero podría obtener horas adicionales con trabajo en tiempo extra, comprando equipo adicional o reprogramando otras actividades. Los precios duales indican si vale la pena hacerlo y con qué margen, y así ayudan a identificar los cuellos de botella clave. En nuestro ejemplo, el gerente sabe que vale el doble (dos dólares en lugar de uno) obtener horas adicionales para la máquina 1 que para la máquina 2.

INTERVALOS DE VARIACIÓN DEL TÉRMINO INDEPENDIENTE Los precios duales proporcionan el valor marginal de la realización de un cambio pequeño en el límite de una restricción (es decir, el valor del término independiente), pero sería un error creer que estos valores serían los mismos si la capacidad se cambiara en forma arbitrara. Se llega a un punto en el cual la capacidad adicional es excesiva y no tiene valor; por lo tanto, hay límites con respecto al intervalo de capacidad en el cual se mantienen los valores marginales. Considere de nuevo la restricción de 24 horas disponibles para la máquina 1. El gráfico Nº 11.8, muestra lo que sucede al añadir horas. Recuerde que anteriormente se mencionó que cada hora adicional daba como resultado una reducción de 0.25 unidades del producto A y un aumento de 0.5 unidades del producto B. El precio dual asociado con cada hora de variación era de dos dólares. Con 28 horas disponibles, la solución óptima pasa de C a F. En F, la solución óptima es X1 = 5 y X2 = 6. Las horas adicionales en la máquina 1 no tendrán efecto más allá de este punto, ya que la restricción X2 = 6 ahora es efectiva. Con las demás restricciones del problema, la cantidad de 28 horas en la máquina 1 es la máxima que puede usarse de manera rentable. Entonces, este incremento de cuatro horas, para llegar a 28 horas disponibles, representa el límite superior del intervalo en el cual es válido el precio dual de dos dólares. De manera análoga, al reducir las horas disponibles de la máquina 1, la solución óptima se desplaza hasta el punto F* del gráfico Nº 11.8, donde se usan 16 horas del tiempo de la máquina. Al reducir las horas, disminuye el beneficio por aumentar el número de unidades del producto A y por reducir el número de unidades del producto B, pero al llegar al punto F* no se producen unidades de B, por lo cual ya no es posible este proceso de sustitución. Entonces, el límite inferior del intervalo del precio dual de dos dólares para el tiempo de la máquina 1 es una reducción de ocho horas (de 24 a 16).

32



GRÁFICO N° 11-8

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-2

Se puede efectuar una análisis similar para la máquina 2; gráfico Nº 11.9, presenta los límites. Al añadir horas a las 16 disponibles, la solución óptima se desplaza de C a F. En este punto, se han agregado ocho horas (de 16 a 24) y las horas adicionales ya no añadirán valor. Si se reducen cuatro horas disponibles (de 16 a 12), la solución óptima pasa de C a F*. Entonces, el precio dual de un dólar se mantiene en el intervalo de 12 a 24 horas disponibles en la máquina 2. La restricción de la demanda del mercado para el producto B, X1  6, es un poco diferente. Recuerde que esta restricción no es efectiva y tiene precio dual de cero. La solución óptima requiere sólo cuatro unidades del producto B, por lo cual se puede aumentar indefinidamente el límite de la demanda sin que tenga efecto; no importaría si la restricción fuera X 2  10 o X2  100. Por otra parte, si el límite de la demanda fuera cuatro unidades, de manera que la restricción fuera X 1  4, sería efectiva. Cualquier reducción por debajo de este límite de cuatro unidades reduciría el beneficio. Entonces, el intervalo del límite de la demanda (es decir, el término independiente) de la tercera restricción es de cuatro unidades a infinito y dentro de este intervalo se mantiene el precio dual de cero.

GRÁFICO N° 11-9

26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

33



El análisis de sensibilidad ha producido los siguientes intervalos para los valores del término independiente de las tres restricciones.

Restricción

Límite Actual 24 16 6

Horas de la máquina 1 Horas de la máquina 2 Demanda del producto B

Precio dual 2 1 0

Aumento permitido 4 8 infinito

Reducción permitida 8 4 2

Los precios duales expresan el valor marginal del cambio del término independiente de una restricción, pero estos valores sólo se mantienen en ciertos intervalos. Dada una solución óptima y el valor correspondiente de la función objetivo para un modelo de programación lineal,

El precio sombra de una restricción permite verificar de inmediato cuál sería el efecto de alterar una política administrativa que cambia el lado derecho de esa restricción. Mientras el cambio no sea demasiado grande, el cambio resultante en el valor óptimo de la función objetivo sólo será este cambio en el lado derecho (positivo o negativo) multiplicando por el precio sombra.

PROBLEMA Nº 12.La fábrica SONY vende dos productos diferentes A y B, los beneficios son, para el producto A $30 y para el producto B $25. Los dos productos se fabrican en un proceso de producción común y se venden a dos mercados distintos. El proceso de producción tiene capacidad de 30 mil horas de trabajo. Se requieren 3 horas para producir una unidad de A y 1 hora para producir una unidad de B. El mercado se ha estudiado y los funcionarios de la compañía consideran que el número máximo de unidades de A que pueden vender es 8 mil; el máximo de B es 12 mil unidades. Los productos se pueden vender en cualquier combinación, con las limitaciones anteriores.

a) Resuelva el problema de programación lineal mediante el método gráfico para encontrar la combinación óptima del producto.

Función objetivo Z(MAX) = 30X1 + 25X2

Restricciones:

Abstracción

3X1 + X2  30 X1  8 X2  12 X1X2  0 3X1 + X2 = 30 (1°) X1 X2 0 30 10 0 C(Ecuaciones 1 y 3) 3X1 + X2 = 30 (1°) X2 = 12 (3°) 3X1 + 12 = 30 X1 = 6 C(6, 12)

3X1 + X2 = 30 (1°) X1 = 8 (2°) X2 = 12 (3°) X1 = 8 (2°) X1 X2 8

X2 = 12 (3°) X1 X2 12 D(Ecuaciones 1 y 2) 3X1 + X2 = 30 (1°) X1 = 8 (2°) 3(8) + X2 = 30 X2 = 6 D(8, 6)

34



P(X1, X2) Z(MAX) = 30X1 + 25X2 C(6, 12) Z = 30(6) + 25(12) = 480 mil Punto óptimo D(8, 6) Z = 30(8) + 25(6) = 390 mil

GRÁFICO N° 12

36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0 -2

0

2

4

6

8

10

12

14

-3

Solución óptima Z(MAX) = 480 MIL X1 = 6 Unidades del producto A X2 = 12 Unidades del producto B b) Suponga que el número máximo de unidades del producto A que pueden venderse es de 9 mil (en lugar de 8). ¿Cuál es el efecto en la solución? ¿Cuál es el efecto en los beneficios? ¿Cuál es el precio dual para la restricción que limita las ventas del producto A?

Restricciones:

Abstracción

3X1 + X2  30 X1  9 X2  12 X1X2  0

3X1 + X2 = 30 (1°) X1 = 9 (2°) X2 = 12 (3°)

Graficamos las ecuaciones 3X1 + X2 = 30 (1°) X1 X2 0 30 10 0

X1 = 9 (2°) X1 X2 9

X2 = 12 (3°) X1 X2 12

C(Ecuaciones 1 y 3) D(Ecuaciones 1 y 2) 3X1 + X2 = 30 (1°) 3X1 + X2 = 30 (1°) X2 = 12 (3°) X1 = 9 (2°) 3X1 + 12 = 30 3(9) + X2 = 30 X1 = 6 X2 = 3 C(6, 12) D*(9, 3) P(X1, X2) Z(MAX) = 30X1 + 25X2 C(6, 12) Z = 30(6) + 25(12) = 480 mil Punto óptimo D*(8, 6) Z = 30(9) + 25(3) = 345 mil

35



GRÁFICO N° 12-1 36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0 -2

-1

-3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Solución óptima Z(MAX) = 480 MIL X1 = 6 Unidades del producto A X2 = 12 Unidades del producto B Un aumento de una unidad en el producto A, no afecta la solución óptima ni el beneficio,

c) Suponga que el número máximo de unidades del producto B que puede venderse es 13 mil.

Restricciones:

Abstracción

3X1 + X2  30  8 X1 X2  13

3X1 + X2 = 30 (1°) X1 = 8 (2°) X2 = 13 (3°)


X1 = 8 (2°) X1 X2 8

C*(Ecuaciones 1 y 3) 3X1 + X2 = 30 (1°) X2 = 13 (3°) 3X1 + 13 = 30 X1 = 5.67 C*(5.67, 13)

X2 = 12 (3°) X1 X2 13 D(Ecuaciones 1 y 2) 3X1 + X2 = 30 (1°) X1 = 8 (2°) 3(8) + X2 = 30 X2 = 6 D(8, 6)

P(X1, X2) Z(MAX) = 30X1 + 25X2 C*(6, 12) Z = 30(5.67) + 25(13) = 495.1 mil Punto óptimo D(8, 6) Z = 30(8) + 25(6) = 390 mil

36



GRÁFICO N° 12-2 36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0 -2

-3

0

2

4

6

8

10

12

14

Solución óptima Z(MAX) = 495.1 MIL X1 = 5.67 Unidades del producto A X2 = 13 Unidades del producto B

= 495.1 – 480 = 15.1 Cada aumente de una unidad en el límite de producción de B, el beneficio aumentará 15.1 dólares.

d) Suponga que hay 31 mil horas de trabajo disponibles, en lugar de 30 mil del caso base. ¿Cuál es el efecto en el problema? ¿Cuál es el efecto en los beneficios? ¿Cuál es el precio dual de la restricción del número de horas de trabajo?

Función objetivo Z(MAX) = 30X1 + 25X2

Restricciones:

Abstracción

3X1 + X2  31  8 X1 X2  12 X1X2  0

3X1 + X2 = 31 (1°) X1 = 8 (2°) X2 = 12 (3°)


X1 = 8 (2°) X1 8

X2

X2 = 12 (3°) X1

X2 12

37



GRÁFICO N° 12-3

33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0

-2

-3

0

2

4

C(Ecuaciones 1 y 3)

6

8

10

12

D(Ecuaciones 1 y 2)

3X1 + X2 = 31 (1°) X2 = 12 (3°) 3X1 + 12 = 31 X1 = 6.33 C*(6.33, 12)

3X1 + X2 = 31 (1°) X1 = 8 (2°) 3(8) + X2 = 31 X2 = 7 D*(8, 7)

P(X1, X2) Z(MAX) = 30X1 + 25X2 C*(6, 12) Z = 30(6.33) + 25(12) = 489.9 mil Punto óptimo D*(8, 6) Z = 30(8) + 25(7) = 415 mil

Solución óptima Z(MAX) = 489.9 MIL X1 = 6.33 unidades del producto A X2 = 12 unidades del producto B = 489.9 – 480 = 9.9

9.9 e) Remítase a los literales (b), (c) y (d) anteriores. Determine en forma gráfica los intervalos del término independiente en los cuales se mantienen los precios duales de las tres restricciones.

GRÁFICO N° 12-4 36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0 -2

-3

0

2

4

6

8

10

12

38



Nos referimos a los límites de venta del producto A. De acuerdo al gráfico 12.1, el precio dual de esta restricción es cero, podemos observar que el aumento en el límite del producto A, no tendrá ningún efecto; por lo tanto, no hay límite superior. La solución óptima incluye 6 mil unidades del producto A. Una reducción en el límite de ventas por debajo de esas cifras si afectará la solución óptima. Por ello, el intervalo es de 6 mil en adelante (sin límite superior) y en este intervalo se mantiene el precio dual de cero.
GRÁFICO N° 12-5

39 36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0 -2

-3

0

2

4

6

8

10

12

14

Análisis de precios sombra para el problema de Profit & Gambit PROBLEMA Nº 13.Planeación de una campaña publicitaria La Profít & Gambit Co. fabrica productos de limpieza para uso doméstico. Éste es un mercado muy competido y la compañía lucha en forma constante para aumentar su porcentaje de mercado. La administración decidió llevar a cabo una importante campaña de publicidad que se enfocará en los siguientes tres productos clave:   

Un quitamanchas para prelavado en aerosol. Un nuevo detergente líquido para ropa. Un polvo detergente para ropa con mercado establecido.

Esta campaña utilizará televisión y medios impresos. Se desarrolló un comercial de televisión para aparecer a nivel nacional que anunciará el detergente líquido para ayudar a establecer este nuevo producto. La publicidad en medios impresos promoverá los tres productos e incluirá cupones de descuento que los consumidores

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pueden usar para comprar el producto a precios reducidos. La administración ha establecido metas mínimas para la campaña: 1) el quitamanchas debe captar 3% adicional de su mercado; 2) el nuevo detergente líquido debe captar 18% del mercado de detergentes para ropa, y 3) un aumento de 4% de este mismo mercado debe ser captado por el detergente en polvo. La tabla muestra los aumentos estimados en las participaciones de estos mercados por cada unidad de publicidad en los medios respectivos. (Una unidad es un bloque estándar de publicidad que Profít & Gambit compra, pero también se permiten otras cantidades). La razón para el -1 % para el detergente en polvo en la columna de televisión es que el comercial de TV que anuncia el nuevo detergente líquido le quitará algunas ventas al detergente en polvo. El último renglón de la tabla muestra el costo por unidad de publicidad para cada medio.

Datos para el problema de mezcla publicitaria de Profit & Gambit Co Aumento en porcentaje de mercado por unidad de publicidad Producto Televisión Medios Impresos Incremento mínimo requerido Quitamanchas 0% 1% 3% Detergente Liquido 3% 2% 18% Detergente Polvo -1% 4% 4% Costo Unitario 1 millón 2 millones El objetivo de la administración es determinar cuánta publicidad hacer en cada medio para cumplir las metas de participación de mercado a un costo total mínimo.

Función objetivo  Anuncios en televisión X 2  Anuncios en medios impresos Z ( MIN )  X 1  2 X 2 X 1

Sujeta a :

 3 3 X 1  2 X 2  18  X 1  4 X 2  4 X 2

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La solución óptima es usar 4 unidades de publicidad en televisión y 3 unidades de publicidad en medios impresos, el costo total de esta campaña de publicidad sería de $10 millones. Después de recibir esta información, la administración de Profit & Gambit ahora quiere analizar el trueque entre el costo total de publicidad y los beneficios resultantes logrados al incrementar la participación de mercado de los tres productos. El resultado del examen a este trueque puede ser que la administración altere sus decisiones de política sobre los aumentos en la participación del mercado. Para analizar el trueque, la administración necesita saber el efecto sobre el costo por unidad de incremento en la participación de mercado requerida para cada producto, esto es, cuáles son los precios sombra de las tres restricciones funcionales. Comenzando con el primer producto el quitamanchas en la participación de mercado de este producto de 3 a 4%.

Problema de Profit & Gambit revisado donde el aumento mínimo requerido en la participación de mercado para quitamanchas cambia de 3 a 4%, que resulta en un aumento de $1 1/3 millones en el costo total. Cambio en costo = $11.33 millones —$10 millones = $1 1/3 millones Este cálculo revela que:

El precio sombra para la restricción del quitamanchas = $ 1 1/3 (por 1% de participación de mercado). Este precio sombra indica que un pequeño aumento adicional en la meta de participación de mercado costaría $ 1 1 millones por 1% de aumento en la participación de mercado de 4% a 3 5%., Cambio en el costo = $12.67 millones -$11.33 millones =$ 1 1 millones 3 Como lo predice el precio sombra. Aunque el cálculo de un precio sombra como el ilustrado es directo, los precios sombra para todas las restricciones funcionales también pueden obtenerse del informe de sensibilidad. La tabla siguiente muestra la parte del informe de sensibilidad que maneja las restricciones funcionales, donde los precios sombra están dados en la tercera columna, esta columna muestra la tasa de aumento en el costo total (en millones de dólares) por el aumento de 100% en cada lado derecho en forma individual. En este caso, las participaciones del mercado sobre 100% no son significativas, por lo que se cambian las unidades dividiendo los números en la columna de precios sombra entre 100. Esto lleva a: Precio sombra para la restricción del quitamanchas = $1.33 millones

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Precio sombra para la restricción del detergente líquido = $0.33 millones Precios sombra para la restricción del detergente en polvo = $0 Donde éstos son los costos por incremento de 1% (y no de 100%) en la participación de mercado requerida. ¿Por qué es $0 el precio sombra para la restricción del detergente en polvo? La solución óptima ya proporciona un aumento de 8% en la participación de mercado para el detergente en polvo, de modo que el incremento mínimo requerido de 4 a 5% no requiere de cambios en esta solución o en el costo total. Una vez obtenidos todos los precios sombra, se verá cómo debe interpretar esta información la administración.

Nombre Quitador de mancha Detergente líquido Detergente en polvo

Último valor 3% 18% 8%

Precio sombra 133.33 33.333 0

Lado derecho 0.03 0.18 0.04

Aumento aceptable 0.06 0.12 0.04

Disminución aceptable 0.00857 0.12 1E+30

Aumentar la meta mínima por participación de mercado aumenta de 3 a 4% para el quitamanchas costará alrededor de $ 1.33 millones (por encima del costo total publicitario actual de $10 millones). Aumentar la meta mínima de 18 a 20% para detergente líquido costaría alrededor de $0.67 millones. Efectuar ambos al mismo tiempo costaría cerca de $ 2 millones que incrementará el costo publicitario total de $10 a $12 millones. Un pequeño aumento de la meta mínima de 4% para el detergente en polvo no costaría nada puesto que ya se logra 8% con la propuesta anterior para gastos publicitarios. Si deciden disminuir cualesquiera de estas metas mínimas en lugar de reducir el costo total de publicidad, estas mismas cifras en dólares muestran cuáles serían los ahorros es, cada disminución de 1% en la meta mínima de participación de mercado ahorraría alrededor de $ 1.33 millones para el quitamanchas, cerca de $0.33 millones para el detergente líquido y nada para el detergente en polvo. También puede usarse estas cantidades en dólares para verificar el efecto de aumentar en forma simultánea algunas metas mínimas y disminuir otras. Por ejemplo, aumentar la meta mínima de quitamanchas de 18 a 19% costaría alrededor de $0.33 millones y la reducción simultánea de la meta mínima para el detergente líquido de 3 a 2% ahorraría alrededor de $1.33 millones, de modo que el ahorro neto será de $1 millón.

PROBLEMA Nº 14.Aplicación al problema de Wyndor La Wyndor Glass Co. produce artículos de vidrio de alta calidad, incluidas ventanas y puertas de vidrio que incluyen trabajo manual y la mejor hechura. Aunque los productos son costosos, llenan un nicho de mercado al ofrecer la mejor calidad disponible en la industria para los clientes más exigentes. La compañía cuenta con tres plantas.   

La planta 1 fabrica marcos de aluminio y herrerías. La planta 2 fabrica marcos de madera. La planta 3 fabrica el vidrio y ensambla ventanas y puertas.

Debido a las ventas decrecientes de ciertos productos, la alta dirección decidió reorganizar la línea de productos de la compañía. Se están descontinuando las líneas de productos no rentables, disponiendo capacidad de producción para lanzar los dos nuevos productos desarrollados por el grupo de Jim Baker si la administración aprueba su lanzamiento. La puerta de 8 pies precisa alguna capacidad de producción en las plantas 1 y 3, mas no en la planta 2. La ventana de marco doble de 4 X 6 pies sólo requiere las plantas 2 y 3. . La administración quiere ahora analizar dos temas:

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Tiempo de producción usado por cada unidad producida Tiempo de Pcc Disponible Planta Puertas de ventanas por semana 1 1 hora 0 4 horas 2 0 2 horas 12 horas 3 3 horas 2 horas 18 horas Ganancias 300 500 1. ¿Debe la compañía seguir adelante con el lanzamiento de estos dos nuevos productos? 2. Si es así, ¿cuál debe ser la mezcla de productos —el número de unidades producido de cada uno por semana— para los dos nuevos productos?

Función objetivo  Ven tan as X 2  Puertas Z ( MAX )  300 X 1  500 X 2 X 1

Sujeta a :

 4 Planta 1 2 X 2  12 Planta 2 3 X 1  2 X 2  18 Planta 3 X 1

Z(MAX) = $3.600

 2 ven tan as X 2  6 puertas X 1

El análisis de qué pasa si (o en particular el análisis de sensibilidad) revela que tan cerca necesita estar cada estimación para evitar obtener una solución óptima errónea.

Pregunta: ¿qué ocurre si se hace un cambio en el número de horas de tiempo de producción semanal disponibles para los nuevos productos de Wyndor en una de las plantas?

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El precio sombra dado dice cuánto aumentaría el valor de la función objetivo si se aumentara en 1 el lado derecho de esa restricción. El precio sombra de la restricción para la planta 1 es O, puesto que esta planta ya está usando menos horas (2) que las disponibles (4) y no habría beneficio en disponer de una hora adicional. No obstante, las plantas 2 y 3 están usando todas las horas a su disposición para los dos nuevos productos. Por ello, no es sorprendente que los precios sombra indiquen que la función objetivo aumentaría si las horas disponibles en la planta 2 o en la 3, se aumentarán.

Sin embargo, esta información sólo es válida para cambios bastante pequeños en el lado derecho. Esta sección se centra en la determinación de qué tan grandes pueden ser estos cambios antes de que el precio sombra ya no sea válido. Continuando con el problema de Wyndor, primero se considera la restricción funcional con el precio sombra más grande, está es la restricción de la planta 2 con un precio sombra de 150 su lado derecho actual es: LD = 12

 Ven tan as X 2  Puertas Z ( MAX )  300 X 1  500 X 2 X 1

Sujeta a :


Es decir, 12 horas de tiempo de producción disponible para los dos nuevos productos. Entonces, este precio sombra dice que la ganancia total aumentará en $150 por un incremento de 1 en el LD (o disminuirá en $150 por disminución de 1 en LD), siempre y cuando el cambio en LD no sea muy grande.

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Se requiere determinar cuán grande puede ser este cambio en LD. Se cambiará el valor de 12 en la planta 2 por los señalados en la primera columna de la tabla.

Tiempo disponible en la planta 2 (horas) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

La proporción de la producción óptima Puertas Ventanas 4 0 4 0.5 4 1 4 1.5 4 2 4 2.5 4 3 3.667 3.5 3.333 4 3 4.5 2.667 5 2.333 5.5 2 6 1.667 6.5 1.333 7 1 7.5 0.667 8 0.333 8.5 0 9 0 9 0 9

Ganancia total $1.200 1.450 1.700 1.950 2.200 2.450 2.700 2.850 3.000 3.150 3.300 3.450 3.600 3.750 3.900 4.050 4.200 4.350 4.500 4.500 4.500

Incremento en la ganancia --250 250 250 250 250 250 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 0 0

Una forma de investigar esto es comenzar con un valor pequeño (como, 0) de LD y luego aumentar varias veces en 1 este valor para ver cómo cambia la ganancia total cada vez. La tabla anterior muestra los datos generada de esta forma se muestra el aumento en ganancia total por cada aumento de 1 en LD. Este incremento primero se vuelve $150 cuando el LD aumenta de 6 a 7 y sigue en $150 hasta que LD=18. Así, el precio sombra de 150 es válido para: 6 ≤ LD ≤ 18

Restricción de la planta1: Restricción de la planta2: Restricción de la planta3:

4-2 ≤ LD1 ≤ 4+∞, 12-6 ≤ LD2 ≤ 12+6, 18-6 ≤ LD3 ≤ 18+6,

así así así

2 ≤ LD1. Sin límite superior 6 ≤ LD2 ≤ 18 12 ≤ LD3 ≤ 24

Cambios simultáneos en los dos lados derechos ¿Qué ocurre cuando la administración quiere evaluar cambios simultáneos en los lados derechos?

Pregunta: ¿qué ocurre si se hacen cambios simultáneos en el número de horas de tiempo de producción semanal disponibles para los nuevos productos de Wyndor en todas las plantas? En particular, después de observar que la restricción de la planta 2 contiene el mayor precio sombra (150), contra un precio sombra de 100 para la restricción de la planta 3, la administración se interesa en explorar un tipo específico de cambio simultáneo en estas horas de producción. Si cambia la producción de uno de los productos actuales de la compañía de la planta 2 a la 3, es posible aumentar el número de horas de producción disponibles para los nuevos productos en la planta 2 (de 12 a 13) con la disminución del número disponible en la planta 3 por la misma cantidad (de 18 a 17). La administración se pregunta qué ocurriría si se hicieran estos cambios simultáneos en las horas de producción. Según los precios sombra, el efecto de cambiar una hora de producción por semana de la planta 3 a la planta 2 sería el siguiente.

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LD2: 12 —> 13 Cambio en ganancia total = precio sombra = $150 LD3: 18 —> 17 Cambio en ganancia total = -precio sombra = - 100 Aumento neto en ganancias totales = $50 Pero no se sabe si estos precios sombra permanecen válidos si cambian ambos lados derechos en esa cantidad. El aumento neto en la ganancia total (de $3, 600 a $3, 650) es, en efecto, $50, de modo que los precios sombra son validos para estos cambios simultáneos en los lados derechos. La tabla de datos que muestra el efecto de cambiar cada vez más horas disponibles de la planta 3 a la planta 2.

Tiempo disponible en la planta 2 (horas) 12 13 14 15 16 17 18

Tiempo disponible en la planta 3 (horas) 18 17 16 15 14 13 12

La proporción de la Ganancia producción óptima total ($) Puertas Ventanas 2 1.333 0.667 0 0 0 0

6 6.5 7 7.5 7 6.5 6

3.600 3.650 3.700 3.750 3.500 3.250 3.000

Incremento en la ganancia ($) --50 50 50 -250 -250 -250

En las horas de producción. La columna clave es la última que indica que la ganancia incremental de $50 por hora cambiada permanece válida hasta el punto donde se cambian tres horas de la planta 3 a la planta 2.

La regla de 100% Recuerde que la regla de 100% se usa para investigar cambios simultáneos en los coeficientes en lados derechos de forma similar.

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: el precio sombra sigue válido sólo para predecir el efecto de cambiar en forma simultánea los lados derechos de algunas restricciones funcionales, siempre y cuando los cambios no sean demasiados grandes. Para verificar si los cambios son suficientemente pequeños, calcule para cada cambio el porcentaje del cambio permitido (disminución o aumento) para que ese lado derecho se conserve dentro de su intervalo de factibilidad. Si la suma de los cambios porcentuales no exceda del 100%, los precios sombra definitivamente seguirán siendo válidos. (Si la suma sí excede 100%, entonces no hay seguridad). Para ilustrar esta regla, considere de nuevo los cambios simultáneos (cambio de una hora de tiempo de producción semanal de la planta 3 a la 2), los cálculos de la regla de 100% son: LD2 : 12  13

Porcentaje de aumento permitido

2  13  12   100   16 % 3  6 

LD3 : 18  17 Porcentaje de disminución permitida

 18  17  16 2 %  100  3  6  1 Suma= 33 % 3

Puesto que la suma de 33 1/3 es menor que 100%, los precios sombra definitivamente son válidos para predecir el efecto de estos cambios. El hecho de que 33 1/3 sea menor que 100% sugiere que los cambios pueden ser tres veces más grandes sin invadir los precios sombra. Para verificar esto, aplique la regla de 100% con estas cantidades más grandes. LD2 : 12  15

Porcentaje de aumento permitido

 15  12   100   50% 6  

LD3 : 18  15 Porcentaje de disminución permitida

 18  15   100   150% 6   -------------Suma = 100%

Puesto que la suma no excede 100%, los precios siguen siendo válidos, pero éstos son los cambios más grandes en los lados derechos que proporcionan esta garantía. De hecho, los precios sombra se vuelven inválidos para cambios más grandes.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD: COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Un gerente puede interesarse por lo que puede suceder con la solución de un problema de programación lineal si cambia uno de los coeficientes de la función objetivo, por ejemplo, debido a un aumento en el precio de la materia prima. Se puede efectuar un análisis gráfico similar al que se hizo para los cambios en los coeficientes del término independiente. Tomando los datos del problema 11. Suponga que el beneficio por unidad del producto A permanece fijo, en seis dólares, pero que el beneficio por unidad de B, que se espera sea siete dólares puede cambiar. Cuando el coeficiente de X2 en la función objetivo es $8 (es decir, beneficio de ocho dólares por unidad del producto B), la función beneficio es

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Función objetivo Z(MAX) = 6X1 + 8 X2

Restricciones 2X1 + 3X2  24 2X1 + X2  16 X2  6 X1X2  0 Z(MAX) = 6X1 + 8X2 C(6, 4) Z(MAX) = 6(6) + 8(4) = 68 La solución óptima es la misma. Si el coeficiente de X 2 aumenta a $9, la pendiente de la función beneficio es idéntica a la pendiente de la restricción. Por lo tanto hay varias soluciones óptimas alternativas (X1 = 6  X2 = 4) y (X1 = 3  X2 = 6) son vértices óptimos.

Suponga que el coeficiente de X 2 aumenta más, hasta 10 dólares por unidad, la solución es (X1 = 3  X2 = 6), de manera que la función de beneficio es Z(MAX) = 6X1 + 10X2 Z(MAX) = 6(3) + 10(6) = 78 El análisis es el mismo si se reduce el coeficiente de X 2. Con un coeficiente de 3, la solución es (X 1 = 6  X2 = 4), la función de beneficio es: Z(MAX) = 6X1 + 3X2 Z(MAX) = 6(6) + 3(4) = 60 Se puede aplicar el mismo análisis para los beneficios de A, manteniendo constante el coeficiente de X 2 y modificando el de X1. Aunque no se muestra el análisis gráfico, los resultados indican que el coeficiente de X1 puede disminuir de 6 a 4.67 antes de que el punto óptimo cambie a (X 1 = 3  X2 = 6). Por otra parte, el coeficiente puede aumentar de 6 a 14 antes de que el punto óptimo se desplace. Estos resultados se pueden resumir como sigue.

Intervalos de los coeficientes de la función objetivo (Intervalo en el cual no cambia la solución óptima básica) Variable Coeficiente Aumento Reducción actual permitido permitida Producto A 6 8 1.33 Producto B 7 2 4

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Intervalos del término independiente e intervalos de los coeficientes de la función objetivo:

Conceptualmente, los intervalos del análisis de sensibilidad son similares para los coeficientes de la función objetivo que se desarrollaron previamente y los correspondientes a los coeficientes del término independiente. Sin embargo, existen diferencias importantes. La solución óptima no cambia en el intervalo que se especifica para los coeficientes de la función objetivo, es decir, la empresa debe producir seis unidades del producto A y cuatro unidades del producto B. Fuera del intervalo, la solución óptima cambia abruptamente a otro vértice. Por supuesto, los beneficios totales varían de acuerda con los cambios en los coeficientes, pero, una vez más, la solución no varía dentro de los intervalos. Por otra parte, en los intervalos del término independiente la solución cambia, ya que el punto óptimo se desplaza sobre una de las líneas de restricción. En nuestro ejemplo se producen diferentes cantidades de los productos A y B al moverse el punto óptimo. Al llegar al límite del intervalo, un nuevo vértice se convierte en la solución óptima. Los intervalos, tanto para los coeficientes del término independiente como para los de la función objetivo, proporcionan información importante en la interpretación de la solución de un programa lineal. Los intervalos del término independiente determinan los límites dentro de los cuales se mantiene el precio dual para cada restricción. Los intervalos de los coeficientes de la función objetivo determinan los límites dentro de los cuales la solución es la misma.

PROBLEMA Nº 15.Tomando los datos del problema Nº 14 (La Wyndor Glass Co).

Función objetivo

 Ven tan as X 2  Puertas Z ( MAX )  300 X 1  500 X 2 X 1

Sujeta a :


Z ( MAX )

 3.600

Solución X 1  2 ven tan as X 2  6 puertas

El análisis de qué pasa si (o en particular el análisis de sensibilidad) revela que tan cerca necesita estar cada estimación para evitar obtener una solución óptima errónea. Problema de Wyndor revisado donde la estimación de la ganancia unitaria para las puertas aumentó $300 a $1000, ocurre un cambio en la solución óptima.

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Que ocurriría si la ganancia unitaria de las puertas disminuyera de $300 a $200, al comparar con la anterior no hay cambio. Problema de Wyndor revisado donde la estimación de la ganancia unitaria para las puertas aumentó de X 1 = $300 a X 1 = $500, pero no ocurre cambios en la solución óptima.

Con el nuevo valor de X 1 = $200 disminuye $200 en la ganancia total (porque cada nueva puerta producida por semana proporciona $100 menos de ganancia). Puesto que la solución óptima no cambia ahora sabemos que la estimación original de X 1 = $300 puede considerarse demasiado alta sin invalidar la solución óptima del modelo. Si X 1 aumenta a $ 500, de nuevo, no hay cambio en la solución óptima. Como el valor original de X 1 = $300 puede cambiar mucho en cualquier dirección sin cambiar la solución óptima, se dice que X 1 no es un parámetro sensible. No es necesario que esta estimación tenga una gran exactitud para tener confianza en que el modelo proporciona la solución correcta óptima. Está puede ser toda la información que se necesita de X 1 . Sin embargo, si hay una buena posibilidad de que el valor verdadero de X 1 quede fuera de este intervalo amplio de $200 a $500, sería deseable una investigación adicional. ¿Cuánto más alto más bajo puede ser X 1 antes de que cambie de solución óptima?

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La solución óptima en efecto cambiaría sI X 1 aumenta a $1000. Entonces, se sabe que este cambio ocurre en algún punto entre $500 y $1000 durante el proceso de incrementar X 1 . Para asegurar justo dónde ocurre este cambio, se seleccionará nuevos valores aleatorios de X 1 . Pero un mejor enfoque es considerar de manera sistemática un intervalo uniforme de valores de X 1 , como los mostrados en la siguiente tabla. Esta tabla de datos revela que la solución óptima es la misma desde X 1 = $100 (quizá más abajo) hasta X 1 = $700 y que ocurre un cambio en algún lugar entre $700 y $800.

Cambios en el chef. X 1 de la fun..objetivo $100 $200 $300 $400 $500 $600 $700 $800 $900 $1000

Solución óptima X 2 = ventanas X 1 = puertas 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 4 3 4 3 4 3

Valor de la func. objetivo $3.200 $3.400 $3.600 $3.800 $4.000 $4.200 $4.400 $4.700 $5.100 $5.500

Después de considerarse valores sistemáticos de X 1 entre $ 700 y $ 800 para determinar más de cerca el punto en el que cambia la solución óptima. Sin embargo, existe un atajo. El intervalo de valores de X 1 para que la solución = ( X 1  2  X 2  6 ) permanece como la solución óptima se conoce como intervalo permitido o simplemente intervalo de optimalidad. La tabla muestra la parte relevante de este informe para el problema de Wyndor. La columna de valores finales indica la solución óptima. La siguiente columna de costos reducidos. (No se analizarán estos costos reducidos porque la información que ofrecen también puede obtenerse del intervalo de optimalidad). Las tres columnas siguientes contienen la información necesaria para identificar el intervalo de optimalidad de cada coeficiente en la función objetivo. La 4ª columna de coeficiente objetivo da el valor actual de cada coeficiente y las dos columnas siguientes dan el aumento permitido y la disminución permitida de este valor para seguir dentro del intervalo de optimalidad.

Nombre Solución puertas Solución ventanas

Solución óptima 2 6

Costos reducidos 0 0

Chef. Func. objetivo 300 500

Aumento aceptable 450 1E+30

Valor actual de X 1

300

Aumento permitido en X 1

450

así, X ≤300+450=750

Disminución permitida X 1

300

así, X 1 ≥300-300=0

Intervalo de optimalidad para X 1

Disminució n aceptable 300 300

0 ≤ X 1 ≤ 750

Por lo tanto, si se cambia X 1 de su valor actual (sin otro cambio en el modelo), las solución actual = ( X 1  2  X 2  6 ) se seguirá óptima siempre y cuando el nuevo valor de X 1 esté dentro del intervalo de optimalidad.

Conclusión: el intervalo de optimalidad para X 1

es 0 ≤ X 1 ≤ 750, porque ( X 1

 2  X 2  6 )

permanece óptima en este intervalo, pero no más allá (cuando X 1 = 0 o X 1 = 750), hay múltiples soluciones óptimas pero ( X 1  2  X 2  6 ) aún es una de ellas. Con un intervalo de optimalidad amplio alrededor de la estimación original de $300 ( X 1 = 300) para la ganancia unitaria de las puertas, se

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puede tener confianza en la obtención de la solución óptima correcta para la verdadera ganancia unitaria. Este mismo enfoque puede utilizarse para encontrar el intervalo de optimalidad para la ganancia unitaria del otro nuevo producto de Wyndor. En particular, sea. X 2 = ganancia unitaria para el nuevo tipo de ventana de Wyndor

Con referencia al reglón de ventanas del informe de sensibilidad, este reglón indica que la disminución permitida en X 2 es 300 (de modelo que X 2 ≥ 500-300 = 200) y el aumento permitido es 1E+30. ¿Qué significa 1E+30? Esto es taquigrafía de Excel para 1030 (1 seguido de 30 ceros). Este número tremendamente grande se usa en Excel para representar infinito. Por lo tanto, el intervalo de optimalidad de X 2 se obtienen como sigue del informe de sensibilidad. Valor actual de X 2

500

Aumento permitido en X 2

ilimitado

así X 2 no tiene límite superior.

Disminución permitida en X 2

300

así X 2 ≥ 500 – 300 = 200

Intervalo de optimalidad

X 2 ≥200

En el intervalo de optimalidad es bastante amplio para ambos coeficientes de la función objetivo. Por ello, aunque X 2 = $300 y X 2 = $500 fueron sólo estimaciones burdas de la verdadera ganancia unitaria para puertas y ventanas, respectivamente, todavía se puede confiar en que se obtuvo la solución correcta óptima.

Cambios simultáneos en los coeficientes de la función objetivo En realidad, las estimaciones de todos los coeficientes (o al menos más de una) pueden ser inexactos al mismo tiempo. La pregunta crucial es si esto es probable que se obtenga una solución óptima equivocada. Si es así, debe de tenerse más cuidado en refinar estas estimaciones lo más posible, al menos para los coeficientes más cruciales. Por otra parte, si el análisis de sensibilidad si revela que es improbable que afecten a la solución óptima los errores anticipados en la estimación de los coeficientes, entonces la administración puede estar tranquila de que el modelo de programación lineal actual y sus resultados proporcionan una guía adecuada. Esta sección se centra en cómo determinar, sin resolver otra vez el problema, si la solución óptima podría cambiar si ocurrieran simultáneos ciertos cambios en los coeficientes de la función objetivo (debido a que sus valores verdaderos difieren de sus estimaciones).

Pregunta: ¿Qué ocurre sí las estimaciones de las ganancias unitarias de los dos nuevos productos de Wyndor son inexactas? En cada caso, la mezcla óptima de productos indicada por el modelo se inclina mucho a la producción de ventanas (6 semanales) y no de puertas (sólo 2 semanales). Debido a que existe igual entusiasmo por ambos nuevos productos, la administración está preocupada por este desequilibrio. Por ello, Ann Lester (subdirectora de comercialización) plantea unas preguntas de qué pasa si. ¿Qué ocurriría si la estimación de la ganancia unitaria para las puertas ($300) es demasiado baja y la estimación correspondiente para las ventanas ($500) es demasiado alta? Las estimaciones fácilmente podrían estar equivocadas en estas direcciones (como podría verificarse con una extensa investigación adicional). Si éste fuera el caso, ¿conduciría esto a que una mezcla de productos más balanceada fuera la más rentable? Esta pregunta puede responderse en cuestión de segundos mediante la simple sustitución de nuevas estimaciones de las ganancias unitarias, las nuevas estimaciones de $450 para puertas y de $400 para ventanas no provocan cambio alguno en la solución de la mezcla óptima de productos. (Cambia la ganancia total, pero esto ocurre sólo debido a los cambios en las ganancias unitarias) ¿Cambios incluso más grandes en las estimaciones de las ganancias unitarias conducirían a un cambio en la mezcla de productos óptima?, se mantiene una mezcla de productos relativamente balanceada de productos

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óptima? ( X 1  4  X 2  3 ) cuando se usan las estimaciones de $600 para las puertas y de $300 para las ventanas. Problema revisado de Wyndor donde las estimaciones de las ganancias unitarias para puertas y ventanas han cambiado X 1 = $450 y X 2 = $400, respectivamente, pero no hay cambio en la solución óptima.

Para tener una mejor idea de cuánto necesitan cambiar las estimaciones de las ganancias unitarias antes de que cambie la mezcla óptima de productos, se puede generar una tabla de datos mediante el cambio sistemático de las ganancias unitarias.

Cambios en el coef. X 1 $300 $300 $300 $400 $400 $400 $500 $500 $500 $600 $600 $600

Cambios en el coef. X 2 $500 $300 $100 $500 $300 $100 $500 $300 $100 $500 $300 $100

Solución óptima X 1 = puertas X 1 = puertas 2 6 2 6 4 3 2 6 2 6 4 3 2 6 4 3 4 3 2 6 4 3 4 3

Valor de la func. objetivo $3.600 $2.400 $1.500 $3.800 $2.600 $1.900 $4.000 $2.900 $2.300 $4.200 $3.300 $2.700

Regla de 100% de cambios simultáneos en los coeficientes de la función objetivo: si se hacen cambios simultáneos en los coeficientes de la función objetivo, calcule para cada cambio el porcentaje de cambio permitido (aumento o disminución) para que el coeficiente siga dentro del intervalo de optimalidad. Si la suma de los cambios porcentuales no excede 100%, la solución óptima original definitivamente seguirá siendo óptima. (si la suma sí excede 100%, entonces no hay seguridad). Para ilustrarlo, considere de nuevo el problema de Wyndor, junto con la información proporcionada por el informe de sensibilidad. Suponga que las condiciones han cambiado desde el estudio inicial y que la

53



ganancia unitaria para puertas ( X 1 ) aumentó de $300 a $450 mientras que la ganancia unitaria para ventanas X 2 disminuyó de $500 a $400. Los cálculos para la regla de 100% son entonces. X 1 : $300

$450

Porcentaje de aumento permitido X 2 : = $500

1  450  300   100 %  33 % 3  450 

$400

Porcentaje de disminución permitida

1  500  400   100 %  33 % 3  300 

2 suma  66 % 3 Puesto que la suma de los porcentajes no excede 100% definitivamente la solución original óptima ( X 1  2  X 2  6 ) aún es óptima. Suponga ahora que las condiciones cambian aún más, de modo que X 1 aumenta de $300 a $600 mientras que X 2 disminuye de $500 a $300. Los cálculos para la regla de 100% ahora son: X 1 : $300

$650

Porcentaje de aumento permitido X 2 : $500

1  600  300   100 %  66 % 3  450 

$300


 500  300 % 66 1 %  100   300 3  

1 Suma = 133 % 3 Como la suma de los porcentajes ahora excede 100%, la regla de 100% dice que no se puede garantizar que ( X 1  2  X 2  6 ) siga óptima. En efecto, se encontró que la solución óptima cambia a que ( X 1  4  X 2  3 ). Estos resultados sugieren cómo encontrar justo dónde cambia la solución óptima mientras que X 1 2 aumenta y X 2 : disminuye de esta forma. Dado que 100% está a la mitad del camino entre 66 % y 3 1 133 % , la suma de los cambios porcentuales igualará 100% cuando los valores de X 1 y X 2 estén a la 3 mitad entre sus valores en los casos anteriores. En particular, X 1 = $525 está a la mitad entre $450 y $600 y X 2 = $350 está a la mitad entre $400 y $300. Los cálculos correspondientes para la regla de 100% son: X 1 : $300

$525


 525  300 % 50%  100   450  

$350


 500  350   100 %  50% 300  

Suma = 100 %

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Aunque la suma de los porcentajes es igual a 100%, el hecho de que no excede 100% garantiza que (2,6) todavía es óptima. La figura muestra la forma gráfica que ambos ( X 1  2  X 2  6 ) y ( X 1  4  X 2  3 ) ahora son óptimos, lo mismo que todos los puntos sobre el segmento de recta que los conecta. Sin embargo, si X 1 y X 2 cambiarán todavía más de sus valores originales (de modo que la suma de los porcentajes excede 100%), la recta de la función objetivo rotaría tanto hacia la vertical que = ( X 1  4  X 2  3 ) se convertiría en la única solución óptima.

Al mismo tiempo recuerde que el hecho de que la suma de los porcentajes de cambios permitidos exceda 100% no significa en forma automática que cambiará la solución óptima. Por ejemplo, suponga que las estimaciones de ambas ganancias unitarias disminuyen a la mitad. Los cálculos resultantes de la regla de 100% son: X 1 : $300

$150


 300  150   100 %  50%  300 

$250


 500  250   100 %  83%  300 

Suma = 133 %

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD: EVALUACIÓN DE NUEVOS PRODUCTOS Los precios duales pueden servir para identificar cuellos de botella o restricciones costosas, que se pueden modificar de manera rentable. Los precios duales también pueden ser útiles para evaluar productos nuevos. Considere una ampliación de nuestro ejemplo. El departamento de investigación y desarrollo de la compañía ha creado un producto, C. Es muy rentable (10 dólares por unidad) pero requiere cuatro horas en la máquina 1 y tres horas en la máquina 2. ¿Deben producirse unidades del producto C? Por supuesto, se podría formular de nuevo todo el problema de programación lineal para añadir este producto nuevo, pero se puede obtener una respuesta rápida con los precios duales. La producción del producto C requerirá la reducción de las cantidades de los otros dos productos, ya que todos compiten por el tiempo disponible de las dos máquinas. Recuerde que los precios duales implican que una hora de la máquina 1 vale dos dólares y una hora de la máquina 2 vale un dólar. Una unidad del producto C requiere cuatro y tres horas en las dos máquinas, respectivamente. Entonces, el de una unidad de producto C es: [(Precio dual de las horas de la maquina 1)x(Horas requeridas por maquina 1)]+ [(Precio dual de las horas de la maquina 2) x (Horas requeridas por maquina 2)]

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o sea $2 x 4 + $1 x 3 = $11 Esto representa el costo de pérdida de oportunidad de la producción de A y B. El beneficio del producto C es sólo de 10 dólares, por lo cual no debe producirse, ya que el costo de oportunidad excede el beneficio unitario. La misma empresa tiene otro artículo, el producto D, que requiere una hora en cada una de las máquinas y produce un beneficio unitario de cinco dólares. ¿Debe producirse? El costo de oportunidad de este producto es: $2x1 +$1x1 = $3 Como el beneficio de cinco dólares por unidad excede el costo de oportunidad de tres dólares, hay que producir algunas unidades del producto D. Este análisis no indica cuántas unidades del producto D se deben fabricar; sólo indica que debe incluirse en la combinación de productos. El gerente formularía de nuevo el problema de programación lineal para incluir otra variable de decisión para el producto D y luego resolvería de nuevo el problema. El costo de oportunidad de un producto nuevo se calcula como la suma de

(Precio dual)x(Unidades requeridas)

. PROBLEMA Nº 16.- Problema de programación de actividades Una empresa tiene un programa estricto de compromisos de entrega de un producto para los próximos seis meses. El costo de producción varía por mes, por los cambios anticipados en costos de materiales. La capacidad de producción de la compañía es de 100 unidades por mes con tiempo normal y hasta 15 unidades adicionales por mes con tiempo extra. La tabla muestra los requerimientos de entrega y los costos de producción por mes.

Tabla I. Requerimientos y costos Mes Compromiso de entrega (unidades) Costo por unidad en tiempo normal Costo por unidad en tiempo extra

1 95 $30 $35

2 85 30 35

3 110 32 37

4 115 32 37

5 90 31 36

6 105 32 37

El costo de almacenar en inventario una unidad que no se vende es de dos dólares por mes. El problema de la compañía es determinar el número de unidades que debe producir cada mes en tiempo normal y tiempo extra para cubrir los requerimientos con el menor costo. La empresa no tiene unidades disponibles al iniciar el mes 1 y no quiere que sobren unidades al terminar el mes 6.

Formulación. Sea: X1 , X2, X3 , X4, X5 , X6, Y1 , Y2, Y3 , Y4, Y5 , Y6, I1 , I2, I3 , I4, I5 , I6,

= = =

Número de unidades producidas en tiempo normal cada mes Número de unidades producidas en tiempo extra cada mes Número de unidades en almacén (no vendidas) al final de cada mes.

El objetivo es entonces:

56



Minimizar: C = 30X 1 + 30X2 + 32X3 + 32X4 + 31X5 + 32X6 + 35Y1 + 35Y2 + 37Y3 + 37Y4 + 36X5 +37Y6 +2I1 + 2I2 + 2I3 + 2I4 + 2I5 + 2I6 La primera parte de esta expresión es el costo de la producción en tiempo normal (de la tabla 1) multiplicado por las cantidades producidas en tiempo normal cada mes. La segunda parte representa el costo de producción en tiempo extra multiplicado por las cantidades que se producen en tempo extra cada mes. La tercera parte es el costo de almacenamiento de las unidades que no se vendan, multiplicado por el número de unidades no vendidas cada mes. Las restricciones de la producción en tiempo normal son: X1 X2 X3 X4 X5 X6

< < < < < <

100 100 100 100 100 100

Las restricciones de la producción en tiempo extra son: Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6

< < < < < <

15 15 15 15 15 15

Por último, se requiere un grupo de restricciones de enlace o de equilibrio para unir los períodos y asegurar que se cumplan los compromisos de entrega. Estas restricciones tienen la siguiente forma: (Fuentes de las unidades) = (Usos de las unidades) Inventario

Producción en tiempo normal

+ inicial

+

Producción en tiempo extra

=

Compromiso de entrega

Inventario + final

Para el mes 1, esto es: 0 + X1 + Y1 = 95 + I1 Puesto que no hay inventario inicial. Al acomodar la Ecuación X1 + Y1 + I1 = 95 Para el mes 2: I1 + X2 + Y2 = 85 + I2 I1 + X2 + Y2 – I2 = 85 Para los otros meses: Mes 3 Mes 4 Mes 5 Mes 6

= = = =

I2 + X3 I3 + X4 I4 + X5 I5 + X6

+ Y3 – I3 + Y4 – I4 + Y5 – I5 + Y6 – I6

= 110 = 115 = 90 = 105

Puesto que el inventario final debe ser cero, la última restricción es:

I6 = 0

57



En resumen, la formulación es:

Minimizar:

C

=

30X1 + 30X2 + 32X3 + 32X4+31 X5 +32 X6 + 35Y1 + 35Y2 + 37Y3 + 37Y4 + 36X5 +37Y6 +2I1 + 2I2 + 2I3 2I4 + 2I5 + 2I6

Sujeto a:

X1 + Y1 – I1 = 95 I1 + X2 – Y2 + I2 = 85 I2 + X3 – Y3 + I3 = 110 I3 + X4 – Y4 + I4 = 115 I4 + X5 – Y5 + I5 = 90 I5 + X6 – Y6 + I6 = 105

X1 X2 X3 X4 X5 X6

< < < < < <

100 100 100 100 100 100

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6

< < < < < <

15 15 15 15 15 15

Restricciones de balance de inventario.

Restricciones de producción en tiempo normal

Restricciones de tiempo extra

I6 = 0 Restricción de inventario final X1 , X2 , X3 , X4, X5 , X6 ,Y1 ,Y2 , Y3 , Y4 , 36Y5 , Y6 > 0 I1 , I2 , I3 , I4 , I5 , I6 > 0

SOLUCIÓN POR COMPUTADORA MEDIANTE EL PROGRAMA TORA PROBLEMA Nº. 1.Z(MAX) = 4X1 + 3X2

Restricciones: 1.2.3.4.-

X1 + X2  X1  X2  2X1 + X2  X1, X2 

400 200 350 500 0


PASOS 1)

Click en el archivo TORA

58



2)

Click en (click here), aparece la siguiente pantalla, click en (Linear Programming)

3)

Señalamos el número de cifras de los términos independientes y las cifras decimales, para éste caso, 3 cifras y cero decimales, luego click en (G oto Imput Screen).

4)

Aparecerá la pantalla en la cual pondremos nombre al problema, el número de variables y el número de restricciones.

59



5)

Nombre del problema por ejemplo MARTIN, ENTER, dos variables, ENTER, cuatro restricciones, ENTER.

6)

Colocamos los datos del problema en la pantalla que aparece, dando ENTER cada vez que ingresemos un dato.

7)

Click en (SOLVE menú) luego (no)

8)

Click Solve Problem, luego Graphical.

9)

Tres cifras para los términos independientes y cero decimales, click en (Go to Output Screen)

60



10)

Damos click en cada restricción y en (Click here to graph PL in) y se obtiene la solución.

11)

Para grabar la pantalla de la solución, oprimimos la tecla

Im pr Pant

junto a la tecla de F12-inicio-

paint-Edición-Pegar-marcar lo que se quiere grabar-Edición-copiar-abrir Word-pegar.

61


12)


Para salir del programa click en (Exit TORA)

PROBLEMA Nº 2.Una compañía química está diseñando una planta para producir dos tipos de minerales M y N. La planta debe ser capaz de producir al menos 100 unidades de M y 420 unidades de N cada día. Existen dos posibles diseños para las cámaras principales de reacción que vienen incluidas en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta 600 mil dólares y es capaz de producir 10 unidades de M y 20 unidades de N por día; el tipo B es un diseño más económico, cuesta 300 mil dólares y es capaz de producir 4 unidades de M y 30 unidades de N por día. A causa de los costos de operación, es necesario tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuántas cámaras de cada tipo deben ser incluidas para minimizar el costo de construcción y satisfacer el programa de producción requerido?

Función objetivo: Z(MIN) = 600X1 + 300X2

Restricciones: 10X1 + 4X2  100 20X1 + 30X2  420  4 X1 X2  4 X1 X2  0

Producción mineral M Producción mineral N Cámara tipo A Cámara tipo B

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PROBLEMA Nº 3.La Compañía Metales Lida. fabrica dos metales A y B, a través de dos minerales: cobre y aluminio. El metal A contiene 90% de cobre y 10% de aluminio y al venderlo deja una ganancia de 5 U$ por kilo. El metal B contiene 50% de cobre y 50% de aluminio y da una ganancia de 7 U$ por kilo. Cada semana debe producir 150 kilos del metal A y 100 kilos del metal B, por lo menos. Su proveedor le puede suministrar cada semana 270 kilos de cobre y 100 de aluminio. Calcular la cantidad de kilos de A y B que den la máxima ganancia.


Restricciones o limitaciones El programa no acepta números decimales, de manera que las dos primeras restricciones multiplicamos por 100. 90 X1 + 50X2  27000 10 X1 + 50X2  10000 X1 150  X2  100

Cobre Alumínio Demanda de A Demanda de B

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SOLUCIÓN MEDIANTE QM PROBLEMA Nº 4.Un fabricante produce tres modelos I, II y III de cierto producto utilizando materias primas A y B. La siguiente tabla proporciona los datos para el problema.

Materia prima A B Demanda mínima Unidad por unidad ($)

Requerimientos por unidad I II III 2 3 5 4 2 7 200 200 150 30 20 50

Disponibilidad 4.000 6.000

El tiempo de mano de obra por unidad del modelo I es el doble del II y el triple del III. Todos los trabajadores de la fábrica pueden producir el equivalente de 1.500 unidades del modelo I. Los requerimientos del mercado especifican las proporciones de 3:2:5 para la producción de los tres modelos respectivos.

a) b) c)

Formule el problema como un programa lineal y encuentre la solución óptima. Supongamos que el fabricante puede comprar unidades adicionales de la materia prima A a 12 dólares por unidad. ¿Sería aconsejable hacerlo? ¿Recomendaría usted que el fabricante comprara unidades adicionales de la materia prima B a 5 dólares por unidad?

Función objetivo  N º de unidades producidas Z ( MAX )  30 X 1  20 X 2  50 X 3 X J

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Restricciones y limitaciones ORIGINALES 2 X 1  3 X 2  5 X 3  4000 4 X 1  2 X

 7 X 3  6000

1 1 X 1  X 2  X 3 2 3 1 1 X 1  X 3 2 1 1 X 2  X 3 2 5 X 1  200

 200 X 3  150 X J  0 X 2

 1500

TRANSFORMADAS 2 X 1  3 X 2  5 X 3

 4000 4 X 1  2 X  7 X 3  6000 6 X 1  3 X 2  2 X 3

 9000 2 X 1  3 X 2  0 5 X 2  2 X 3  0 X 1  200 X 2  200 X 3  150 X J  0

65



Para regresar a los datos de click en Solve

66

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I a)


Supongamos que el fabricante puede comprar unidades adicionales de la materia prima A a 12 dólares por unidad. ¿Sería aconsejable hacerlo? Veamos cómo afecta en la función objetivo el incrementar una unidad adicional al término independiente de la primera restricción, ahora será de 4001

Precio dual = 41091.35 – 41081.08 = 10.27, esto significa que frente a los $12 adicionales que va a pagar, no es aconsejable aumentar una unidad adicional.

b)

¿Recomendaría usted que el fabricante comprara unidades adicionales de la materia prima B a 5 dólares por unidad? Aumentamos una unidad al término independiente de B, ahora será 6001

67



El precio dual de B es cero, de manera que no es aconsejable aumentar una unidad al término independiente de B.

PROBLEMA 5.- (USO Y URBANIZACIÓN DEL SUELO). El Banco del Pichincha es propietaria de 800 acres de terreno no urbanizado a orillas de un lago panorámico en el corazón de una montaña. En el pasado, se aplicaban muy pocas regulaciones, o ninguna, a las nuevas urbanizaciones alrededor del lago. En la actualidad, las playas del lago están salpicadas de casas para vacacionistas. Debido a la carencia de servicios de aguas negras, se utilizan extensamente las fosas sépticas, que se instalan en forma por demás inapropiada. A lo largo de los años, las filtraciones de las fosas sépticas han dado por resultado un grave problema de contaminación del agua. Para frenar una mayor degradación en la calidad del agua, los funcionarios del condado aprobaron reglamentos muy estrictos, aplicables a todas las futuras urbanizaciones.

1. 2. 3. 4.

Sólo se pueden construir viviendas familiares individuales, dobles, triples y las viviendas de una sola familia deben sumar por lo menos 50% del total. Para limitar el número de fosas sépticas, se requieren lotes de una superficie mínima de 2, 3 y 4 acres para las viviendas familiares individuales, dobles y triples, respectivamente. Se deben establecer áreas recreativas de un acre cada una, en una proporción de un área por cada 200 familias. Para preservar la ecología del lago, las aguas freáticas no pueden bombearse para uso doméstico o de jardinería.

El presidente del Banco del Pichincha está estudiando la posibilidad de urbanizar los 800 acres de la compañía. La nueva urbanización incluirá viviendas familiares individuales, dobles y triples. Se calcula que 15% de la superficie se consumirá en abrir calles y en instalaciones para servicios públicos. El presidente calcula las utilidades de las diferentes unidades habitacionales como

Unidad habitacional Utilidad neta por unidad ($)

Individual 10.000

Doble 12.000

Triple 15.000

El costo de conectar el servicio de agua al área es proporcional al número de unidades construidas. Sin embargo, el contrato estipula que se debe cobrar un mínimo de 100 000 dólares para que el proyecto sea económicamente factible. Además, la expansión del sistema de agua, más allá de su capacidad actual, está limitada a 200 000 galones al día durante los periodos pico. Los siguientes datos resumen el costo de la conexión del servicio de agua, así como el consumo de agua, suponiendo una familia promedio:

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INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Unidad habitacional


Individual

Doble

Triple

Área recreativa

1000

1200

1400

800

400

600

840

450

Costo del servicio de agua por unidad ($) Consumo de agua Por unidad (galones/día)

Modelo matemático La compañía debe decidir el número de viviendas que va a construir junto con el número de áreas recreativas que satisfaga los reglamentos del condado. Defina X 1 = número de unidades para una sola familia X 2 = número de unidades para dos familias

X 3 = número de unidades para tres familias X 4 = número de áreas recreativas

El objetivo de la compañía es maximizar la utilidad total, es decir

Maximice z = 10.000 X 1  12.000 X 2  15.000 X 3 Las restricciones de problema incluyen 1. 2. 3. 4. 5.

Límite en el uso de suelo Límite en los requerimientos para viviendas de una sola familia, en relación con otros estilos Límite en los requerimientos concernientes a áreas recreativas Requerimiento de capital para conexión de agua potable Límite sobre el consumo diario de agua durante el periodo pico.

Estas restricciones se expresan matemáticamente como sigue: 1. Uso de suelo

2 X 1  3 X 2

 4 X 3  1 X 4  680( 0.85x800)

2. Viviendas para una sola familia

X 1 X 1  X 2

 X 3

0.5 X 1  0.5 X 2

 .50  0.5 X 3  0

3. Áreas recreativas

X 4



X 1  2 X 2

 3 X 3

200 200 X 4  X 1  2 X 2

 3 X 3  0

4. Capital

1000 X 1  1200 X 2  1400 X 3  800 X 4

 100.000

5. Consum o del agua

69



400 X 1  600 X 2  840 X 3  450 X 4  200.000

6. No negatividad X 1  0. X 2  0, X 3  0, X 4  0 En la formulación del modelo, una buena práctica es prestarle atención al impacto del redondeo de errores en el cálculo. En el modelo anterior, los coeficientes en las restricciones 4 y 5 (capital y consumo de agua) son relativamente más grandes que la mayor parte de los coeficientes en las restricciones restantes. Esta inconsistencia podría conducir a un indeseable redondeo de errores de la máquina, resultante de la manipulación mixta de coeficientes relativamente grandes y relativamente pequeños. En este ejemplo, podemos rectificar este problema potencial reduciendo en escala todos los coeficientes de las restricciones 4 y 5 por la constante 1 000. Esto reduce las restricciones a

X 1  1.2 X 2  1.4 X 3  8 X 4 0.4 X 1  0.6 X 2

 100

 0.84 X 3  0.45 X 4  200

RESÚMEN DE RESTRICCIONES

 10.000 X 1  12.000 X 2  15.000 X 3  0 X 4 2 X 1  3 X 2  4 X 3  680 X 4  5 X 1  5 X 2  5 X 3 0 (multiplicamos por 10)  X 1  2 X 2  3 X 3  200 X 4  0 10 X 1  12 X 2  14 X 3  8 X 4  1.000 (dividido por 100) 40 X 1  60 X 2  84 X 3  45 X 4  20.000 (dividido por 10)

Z ( MAX )

70



PROBLEMA Nº 6.- Problema de mezcla Se obtiene distintos tipos de gasolina mezclando ciertas gasolinas que se obtienen directamente de las operaciones de refinería. En un proceso de refinamiento real hay varias gasolinas para mezcla, varias gasolinas que son productos finales (por ejemplo, distintos grados de gasolina para aviación y para motores) y varias características de importancia para la composición química de los diversos grados de gasolina (por ejemplo, octanaje, presión de vapor, contenido de azufre, contenido de goma). En este ejemplo simplificado se supondrá que la refinería sólo tiene dos tipos de gasolina para mezcla, con las características que se presentan en la tabla 1.

Tabla 1 Características de las gasolinas para mezcla Mezclas disponibles Gasolina para mezcla, tipo1 Gasolina para mezcla, tipo2

Octanaje 104 94

Presión de vapor 5 9

Cantidad disponible 30.000 barriles 70.000 barriles

Estas gasolinas para mezcla pueden combinarse para obtener dos productos finales: gasolina para aviación y gasolina para motores. En la tabla 2 se presentan las características que requieren estos productos finales.

Tabla 2 Características de las gasolinas finales. Productos finales Gasolina para aviación Gasolina para motores

Octanaje Presión de mínimo vapor máxima 102 6 96 8

Ventas máximas 20000 barriles Cualquier cantidad

Precio de Venta (por barril) 45,1 32,4

Al mezclar las gasolinas, el octanaje y la presión de vapor de la mezcla que se obtiene están en proporción directa con el volumen de cada una de las gasolinas que se mezclan. Por ejemplo, si se mezclan 1.000 barriles de la gasolina 1 con 1.000 barriles de la gasolina 2, la gasolina que se obtendría tendría octanaje 99: (1.000)(104)

 (1.000)(94)

2.000

 99

y presión de vapor de 7: (1.000)(5)  (1.000)(9) 2.000

 7

La empresa desea maximizar los ingresos de la venta de la gasolina que se obtiene como producto final.

Formulación. Sea: X1

=

X2

=

X3

=

X4

=

Número de barriles de gasolina para la mezcla 1 utilizados en Gasolina para aviación. Número de barriles de gasolina para la mezcla 2 utilizados en Gasolina para aviación. Número de barriles de gasolina para la mezcla 1 utilizados en Gasolina para motores. Número de barriles de gasolina para la mezcla 2 utilizados en Gasolina para motores.

La función objetivo es maximizar P = Ingresos totales: Maximizar: P = 45.10(X1 + X2) + 32.40 (X3 + X4) = 45.10X1 + 45.10X2 +32.40 X3 + 32.40 X4

71



Observe que X1 + X2 es la cantidad total de gasolina para aviación mezclada (en barriles); como se vende a 45.10 dólares por barril, los ingresos por este producto son 45.10 (X 1 + X2). De manera análoga, los ingresos por la gasolina para motor son de 32.40(X 3 + X4) y la suma de estos términos representa los ingresos totales, P. Hay varios tipos de restricciones que afectan la forma en que la refinería mezclará su gasolina. La primera es el nivel de ventas o tamaño de la demanda, el hecho de que no pueden venderse más de 20.000 barriles de gasolina para aviación (véase Tabla 2). Lo anterior puede expresarse así: X1 + X2 < 20 000 Otro conjunto de restricciones se refiere a las cantidades disponibles de las gasolinas para mezcla (véase Tabla). Entonces. X1 + X3 < 30 000 Observe que X1 + X3 representa la cantidad total de gasolina para mezcla 1 (la suma de la cantidad utilizada en gasolina para aviación, X 1, y la cantidad usada en gasolina para motores, X3). La ecuación anterior establece que la cantidad de gasolina para mezcla 1 no debe exceder la cantidad disponible, 30.000 barriles. Hay una restricción similar para la gasolina para mezcla 2: X2 + X4 < 70 000 Otro conjunto de restricciones tiene que ver con el octanaje de las gasolinas finales. Recuerde que la cantidad total de la gasolina para aviación es X 1 + X2 y su octanaje estará definido por las cantidades relativas de X1 + X2, de acuerdo con la siguiente fórmula: Oc tan aje de la gasolina

para aviación 

104 X 1  94 X 2 X 1  X 2

Las cifras 104 y 94 provienen de la tabla 1 y son los octanajes de las gasolinas para mezcla 1 y 2, respectivamente. En la tabla se observa que el octanaje de la gasolina para aviación debe ser por lo menos 102, por lo cual se tiene la siguiente restricción:

 94 X 2  102 X 1  X 2

104 X 1

Al acomodar la expresión para convertirla en restricción lineal, se tiene: 104X1 + 94X2 > 102X1 + 102X2 (104X1 - 102X1) + (94X2 - 102X2) > 0 2X1 - 8X2 > 0 Análogamente, para la gasolina para motores, se tiene: 104X3 + 94X4 > 96 (X3 + X4) 8X3 - 2X4 > 0 El último conjunto de restricciones tiene que ver con los requisitos de presión de vapor de las gasolinas finales. En el caso de la gasolina para aviación, la restricción es: 5X1 + 9X2 < 6 (X1 + X2) - X1 + 3X2 < 0 y el requisito de presión de vapor de la gasolina para motores es: 5X3 + 9X4 < 8(X3 + X4) - 3X3 + X4 < 0 En resumen, la formulación total del modelo de programación lineal es:

72



Maximizar: P = 45.10X1 + 45.10X2 + 32.40X3 + 32.40X4 Sujeto a:

X1 + X2 X1

X2

< 20 000 + X3

< 30 000 + X4 < 70 000

2X1 – 8X2

>0 8X3 – 2X4 > 0 -X1 + 3X2 <0 -3X3 + X4 < 0 X1, X2, X3, X4 > 0

Restricción de la demanda Restricción de la disponibilidad de gasolina para mezclas Restricciones de octanaje Restricciones de presión de vapor

La mezcla de gasolina fue una de las primeras aplicaciones de la programación lineal en problemas empresariales. Nuestro ejemplo es, por supuesto, una simplificación del problema real, pero comprende los elementos esenciales. El problema que se formuló se denomina problema de mezcla y este tipo de problemas se presenta en varios contextos. Como muestra está la producción de alimentos para animales. Por ejemplo, una mezcla de alimentos para gallinas puede estar compuesta por distintos tipos de granos. El fabricante de alimentos quiere usar los granos más baratos: sin embargo, tiene la restricción de que el alimento debe satisfacer ciertos requisitos de nutrición (similares a las restricciones de presión de vapor y octanaje en nuestro ejemplo de gasolinas). Es más, también hay que añadir algunas restricciones estéticas, ya que las gallinas no comerán las mezclas sólo con base en las restricciones de nutrición.

Z(MAX) = 3.355.454.557

PROBLEMA Nº 7.-Problema de transporte Un fabricante de jabón y detergentes tiene tres plantas, localizadas en Cincinnati, Denber y Atlanta. Los almacenes principales se encuentran en Nueva York, Boston, Chicago, Los Ángeles y Dallas. En la tabla 1 se proporcionan los requerimientos de ventas del próximo año para cada almacén

Tabla 1. Requerimientos de los almacenes Ubicación del almacén Nueva York Boston Chicago Los Ángeles Dallas

Ventas anuales (miles de cajas) 50 10 60 30 20

total

170

73



En la compañía es necesario determinar cuál de las fábricas debe abastecer a cada almacén. La capacidad de las fábricas está limitada. Cincinnati tiene capacidad anual para 100.000 cajas; Denver para 60 000 y Atlanta para 50.000. En la tabla 2 se muestra el costo de envío del jabón de las fábricas a los almacenes. La compañía quiere determinan un programa de entregas que minimice los costos totales de transporte de la compañía (representados con C).

Tabla 2. Costos de envío de 1.000 cajas de jabón A

Nueva York $120 210 150

De Cincinnati Denver Atlanta

Boston

Chicago

$150 220 170

$80 150 150

Los Ángeles $250 100 240

Dallas $180 110 200

Formulación Sea: X1

= Número de cajas enviadas de la primera fábrica (Cincinnati) al primer almacén (Nueva York), en miles de cajas)

Análogamente: X2, X3, X4, X5

= Número de cajas enviadas de la primera fábrica (Cincinnati) al segundo, tercero, etc., almacén (Boston, Chicago, etc.)

X6, X7, X8, X9, X10

= Número de cajas enviadas de la segunda fábrica (Denver) al primero, segundo, etc., almacén.

X11, X12, X13, X14, X15 = Número de cajas enviadas de la tercera fábrica (Atlanta) al primero, segundo, etc., almacén. El objetivo es, entonces: Minimizar: C = 120X1 + 150X2 + 80X3 + 250X4 + 180X5 + 210X6 + 220X7 + 150X8 + 100X9 + 110X10 150X11 + 170X12 + 150X13 + 240X14 + 200X15 El costo total es la suma de los productos, para cada ruta de envío posible (de la fábrica al almacén), del costo de envío de la tabla 2 multiplicado por el número de millares de cajas que se envían. Hay dos conjuntos de restricciones para este problema. El primero garantiza que se cumplirán las necesidades del almacén, entonces, para Nueva York. X1 + X6 + X11 = 50 Lo anterior estipula que la suma de las cajas que se envían a Nueva York de la primera fábrica (Cincinnati), la segunda (Denver) y la tercera (Atlanta) debe ser 50 000 cajas, el requerimiento de ventas de Nueva York. Para los otros almacenes se tiene: Boston Chicago Los Ángeles Dallas

: : : :

X2 + X7 + X12 = 10 X3 + X8 + X13 = 60 X4 + X9 + X14 = 30 X5 + X10 + X15 = 20

El segundo conjunto de restricciones garantiza que las fábricas no excedan sus capacidades de producción. De esta manera, para la fábrica de Cincinnati. X1 + X2 + X3 + X4 + X5 < 100 Esta expresión indica que la cantidad que se envía de la primera fábrica al primer almacén, al segundo, al tercero, etc., no debe exceder la capacidad de 100 000 cajas de la fábrica. En forma similar:

74



Denver : X6 + X7 + X8 + X9 + X10 < 60 Atlanta : X11 + X12 + X13 + X14 + X15 < 50 Por último, todas las X deben ser mayores o iguales que cero. La solución de este problema de programación lineal ofrecerá el programa óptimo de envíos (es decir, el de menor costo) para la compañía. Es un ejemplo de un tipo de especial de problema, conocido, de manera bastante natural, como el problema de transporte. El capítulo IV se dedica a un procedimiento especial para resolver este tipo de problemas. En resumen, la formulación completa de este problema es: Minimizar

C

Sujeto a

=

120X1 + 150X2 + 80X3 + 250X4 + 180X5 + 210X6 + 220X7 + 150X8 + 100X9 + 110X10 + 150X11 + 170X12 + 150X13 + 240X14 + 200X15

:

X1 + X6 + X11 = 50 X2 + X7 + X12 = 10 X3 + X8 + X13 = 60 X4 + X9 + X14 = 30 X5 + X10 + X15 = 20

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 < 100 X6 + X7 + X8 + X9 + X10 < 60 X11 + X12 + X13 + X14 + X15 < 50

PROBLEMA Nº 8.Shale Oilm ubicada en la isla de Aruba, tiene una capacidad de 600.000 barriles de petróleo crudo al día. Los productos finales de la refinería incluyen dos tipos de gasolina sin plomo: regular y premium. El proceso de refinado abarca tres etapas: (1) una torre de destilado que produce una base concentrada, (2) una unidad de alambiques desintegradores, que produce un concentrado de gasolina utilizando una porción de la base concentrada producida en la torre de destilado y (3) una unidad mezcladora que mezcla el concentrado de gasolina de la unidad desintegradora y la base concentrada en la torre de destilado. Tanto la gasolina regular como la premium se pueden producir ya sea con la base concentrada

75



o con el concentrado de gasolina durante el proceso de mezclado, aún cuando a costos diferentes. La compañía calcula que la utilidad neta por barril de gasolina regular es de 770 y 520 dólares, dependiendo de si se mezcla de la base concentrada o de la gasolina concentrada. Los valores correspondientes de la utilidad para el grado premiun son 123 y 104 dólares. Según las especificaciones del diseño, se necesitan cinco barriles de petróleo crudo para producir un barril de base concentrada. Las unidades de alambiques desintegradores no pueden utilizar más de 40.000 barriles de base concentrada al día. Toda la base concentrada restante se utiliza directamente en la unidad mezcladora para producir el producto final, la gasolina. Los límites de la demanda para la gasolina regular y premium son de 80.000 y 50.000 barriles al día.

a) b)

Desarrolle un modelo para determinar el programa de producción óptimo para la refinería. Supongamos que la capacidad de la torre de destilado se puede incrementar a 650.000 barriles de petróleo crudo al día, a un costo inicial de 3’500.000 dólares y a un costo diario de mantenimiento de15.000 dólares. ¿Recomendaría usted la expansión? Exponga cualesquiera hipótesis sean necesarias para llegar a una decisión.

 Barriles X 2  Barriles X 3  Barriles X 4  Barriles

a ) X 1

de crudo regular de crudo premium de destilado regular de destilado premium

 77 X 1 123 X 2  52 X 3 104 X 4 5( X 1  X 2  X 3  X 4 )  600.000 X 3  X 4  40.000 X 1  X 3  80.000 X 2  X 4  50.000

Z ( MAX )

b)

Si se incrementa la capacidad de barriles de petróleo crudo a 650.000 al día, la nueva solución es.

 Barriles de crudo regular X 2  Barriles de crudo premium X 3  Barriles de destilado regular X 4  Barriles de destilado premium X 1

76



 77 X 1 123 X 2  52 X 3 104 X 4 5( X 1  X 2  X 3  X 4 )  650.000 X 3  X 4  40.000 X 1  X 3  80.000 X 2  X 4  50.000

Z ( MAX )

Precio dual = 12.310.000 – 11.540.000 = 770.000, aumenta la utilidad, de manera que se recomienda la expansión.

PROBLEMA Nº 9.Hawai Sugar Company produce azúcar morena, azúcar procesada (blanca), azúcar pulverizada y melazas con el jarabe de la caña de azúcar. La compañía compra 4.000 toneladas de jarabe a la semana y tiene un contrato para entregar un mínimo de 25 toneladas semanales de cada tipo de azúcar. El proceso de producción se inicia fabricando azúcar morena y melazas con el jarabe. Una tonelada de jarabe produce 0.3 toneladas de azúcar morena y 0.1 tonelada de azúcar de melazas. Después, el azúcar blanco se elabora procesando el azúcar morena. Se requiere 1 tonelada de azúcar morena para producir 0.8 toneladas de azúcar blanca. Finalmente, el azúcar pulverizada se fabrica de la azúcar blanca por medio de un proceso de molido especial, que tiene 95% de eficiencia de conversión (1 tonelada de azúcar blanca produce 0.95 de toneladas de azúcar pulverizada). Las utilidades por tonelada de azúcar morena, azúcar blanca, azúcar pulverizada y melazas son de 150, 200, 230 y 35 dólares, respectivamente.

a) Formule el problema como un programa lineal y determinar el programa de producción semanal. b) Investigue la factibilidad económica de ampliar la capacidad de procesamiento de la compañía a más de 4.000 toneladas de jarabe a la semana.

 Toneladas de azucar morena por semana X 2  Toneladas de azucar refinada por semana X 3  Toneladas de azucar en polvo por semana X 4  Toneladas de melaza por semana

a ) X 1

Z ( MAX )

 150 X 1  200 X 2  230 X 3  35 X 4

Sujeta a : X    X 2  3  0.95   0.3 x 4000 o 0.76 X  0.95 X  X  912 X 1   1 2 3  0. 8     

77


Z ( MAX )


 150 X 1  200 X 2  230 X 3  35 X 4

Sujeta a : X    X 2  3  0.95   0.3 x 4000 o 0.76 X  0.95 X  X  912 X 1   1 2 3  0. 8      X 4  4.000 x0.1 o X 4  400 X 1  25, X 2  25, X 3  25

b)

Modificamos el término independiente de la primera restricción con un valor de 4001.

Precio dual = 222.730 – 222.677.50 = $52.5 Ahora modificamos al término independiente de la quinta restricción por 4001

78



Precio dual = 222.681.00 – 222.677.50 = $3.5 Valor por unidad de jarabe = $52.5 + $3.5 = $56, válido en el intervalo (187.15,

)

PROBLEMA Nº 10.Fox Enterprises está considerando seis proyectos para su posible construcción, a lo largo de los próximos cuatro años. A continuación se proporcionan las utilidades esperadas (valor actual) y los desembolsos de efectivo para los proyectos. Fox está autorizada para emprender cualquiera de los proyectos parcial o totalmente. Un compromiso parcial de un proyecto prorrateará tanto la utilidad como los desembolsos de efectivo en forma proporcional.

Desembolso de efectivo (en miles de dólares) Proyecto Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Utilidad (en miles de dólares) 1 10.5 14.4 2.2 2.4 32 2 8.3 12.6 9.5 3.1 36 3 10.2 14.2 5.6 4.2 18 4 7.2 10.5 7.5 5.0 15 5 12.3 10.1 8.3 6.3 18 6 9.2 7.8 6.9 5.1 12 Fondos disponibles 60.0 70.0 35.0 20.0 (en miles de dólares) Formule el problema como un problema lineal y determine la mezcla óptima de proyectos que maximice las utilidades totales.

 proporción ejecutada del proyecto i. Z ( MAX )  32 X .1  36 X 2  18 X 3  15 X 4  18 X 5  12 X 6 Sea x J

Sujeta a : 10.5 X 1  8.3 X 2  10.2 X 3  7.2 X 4  12.3 X 5  9.2 X 6

 60 14.4 X 1  12.6 X 2  14.2 X 3  10.5 X 4  10.1 X 5  7.8 X 6  70 2.2 X 1  9.5 X 2  5.6 X 3  7.5 X 4  8.3 X 5  6.9 X 6  35 2.4 X 1  3.1 X 2  4.2 X 3  5 X 4  6.3 X 5  5.1 X 6  20 0  x J  1, j  1, 2, 3......6

Z(MAX) = 181.2248 79

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6

 2.0535  3.2087  0  0  0  0


Pr oyecto A Pr oyecto B Pr oyecto C Pr oyecto D Pr oyecto E Pr oyecto F

PROBLEMA Nº 11.Cuatro productos se procesan en secuencia en dos máquinas. La siguiente tabla proporciona los datos pertinentes al problema.

Tiempo de fabricación por unidad (hora) Máquina Costo por Producto1 Producto2 Producto 3 Producto 4 hora ($) 1 10 2 3 4 2 2 5 3 2 1 2 Precio de Venta Por unidad ($) 65 70 55 45

Capacidad (hora) 500 380

a) Formular el problema como un modelo de PL y encuentre la solución óptima

 Pr oducto 1  65  2 x10  3 x5  $30 X 2  Pr oducto 2  70  3 x10  2 x5  $30 X 3  Pr oducto 3  55  4 x10  1 x5  $10 X 4  Pr oducto 4  45  2 x10  2 x5  $15 Z / MAX )  30 X 1  30 X 2 10 X 3 15 X 4 X 1

Sujeta :

2 X 1  3 X 2  4 X 3  2 X 4

 500 3 X 1  2 X 2  X 3  2 X 4  380 X j  0

b) Supongamos que cualquier capacidad adicional de las máquinas 1 y 2 sólo se puede adquirir trabajando horas extras. ¿Cuál es el costo máximo por hora en el cual la compañía debe estar dispuesta a incurrir para cualquiera de las máquinas? Reemplazamos los términos independientes por 501 y 381 respectivamente

80



Precio dual = 5292 – 5280 = $12, es decir $6 por cada máquina, no pagar más de dicho valor en el intervalo (333.33, 750)

PROBLEMA Nº 12.- (La Compañía REDDY MIKKS). Reddy Mikks produce pinturas para interiores como para exteriores, a partir de dos materias primas, M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos básicos del problema: Toneladas de materia prima por tonelada de Pintura para Pintura para Exteriores Interiores Materia prima, M1

6

4

Disponibilidad máxima diaria (toneladas) 24

Materia prima, M2

1

2

6

Utilidad por tonelada (1000 dólares)

5

4

Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de la pintura para exteriores por más de 1 tonelada. Reddy Mikks quiere determinar la mezcla de producto óptima (mejor) de pinturas para interiores y para exteriores que maximice la utilidad total diaria total. Para el problema de Reddy Mikks, necesitamos determinar las cantidades que se van a producir de pintura para interiores y para exteriores. Por consiguiente, las variables del modelo se definen como: X 1 = Toneladas diarias producidas de pintura para exteriores. X 2 = Toneladas diarias producidas de pintura para interiores.

81


Z ( MAX )


 5 X 1  4 X 2

Sujeta a : 6 X 1  4 X 2

 24 Materia prima M 1 X 1  2 X 2  6 Materia prima M 2 X 2  2 Demanda máxima diaria de la p int ura para int eriores X 2  X 1  1 El exceso de producción diaria de p int ura para int eriores sobre la p int ura para exteriores

PROBLEMA Nº 13.- (Problema de la dieta) En Granjas Modelo se usa diariamente un mínimo de 800 libras (1b) de un alimento especial, que es una mezcla de maíz y soya, con las composiciones siguientes:

Alimento Maíz Soya

Ib por 1b de alimento proteínas fibras 0.09 0.02 0.60 0.06

Costo ($/1b) 0.30 0.90

Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteínas y un máximo de 5% de fibras. Granjas Modelo desea determinar las proporciones de alimento que produzcan un costo diario mínimo. Como la mezcla de alimentos consiste en maíz y soya, las variables de decisión del modelo se definen como sigue: X1 = 1b de maíz en la mezcla diaria X2 = 1b de soya en la mezcla diaria La función objetivo trata de minimizar el costo (en dólares) diario total de la mezcla de alimentos, y en consecuencia se expresa como sigue:

82



Minimizar z = 0.3X1 + 0.9X2 Las restricciones del modelo reflejan la cantidad diaria necesaria y los requerimientos dietéticos. Como Granjas Modelo necesita un mínimo de 800 1b diarias de alimento, la restricción correspondiente se puede expresar como sigue: X1 + X2  800 En cuanto a la restricción dietética de necesidades de proteína, la cantidad de proteína que contienen X1 1 b de maíz y X 2 1 b de soya es (0.09X 1 + 0.6X2) 1b. Esta cantidad debe ser cuando menos igual al 30% de l a mezcla total de alimentos, (X 1 + X2) 1b; esto es 0.09X1 + 0.6X 2  0.3 (X1 + X2) De manera similar, la restricción de la fibra se define como 0.02 X 1  0.06 X 2

 0.05 X 1  X 2 

Las restricciones se simplifican agrupan do todos los términos en X 1 y X 2 y pasándolos al lado izquierdo de cada desigualdad, para que sólo quede una constante en el lado derecho. Así, el modelo completo viene a ser Z(MIN) = 0.3X1 + 0.9X 2 Sujeta a

X 1 

 800 0.21 X 1  0.30 X 2  0 0.03 X 1  0.01 X 2  0 X 1 , X 2  0 X 2

La figura muestra la solución gráfica del modelo. A diferencia del modelo de (Reddy Mikks), la segunda y la tercera restricciones pasan por el origen. Para graficar las rectas correspondientes sólo se necesita un punto adicional, que se puede obtener asignando un valor a una de las variables y despejando la otra. Por ejemplo, en la segunda restricción X 1 = 200 produce 0.21 X 200 - 0.3X2 = 0, es decir, X2 = 140. Eso quiere decir que la recta 0.21X1 - 0.3X2 = O pasa por (0,0) y (200, 140). También obsérvese que no se puede usar (0,0) como punto de referencia en las restricciones 2 y 3, porque ambas rectas pasan por el origen. En lugar de ellos se puede usar cualquier otro punto, por ejemplo (100, 0) o (O, 100) para ese propósito.

Solución Z(MAX) = 437.64 Punto D  470.6 Libras de maíz X 2  329.4 Libras de soya X 1

83



1600

1400

1200

1000

a y o S

800

600

400

200

0 0

100

200

300

400

500

600

Maíz

PROBLEMA Nº 14.Problema de programación (horarios de autobuses) La ciudad de Progreso estudia la factibilidad de un sistema de autobuses para transportación masiva que reduzca el transporte urbano en coche y en consecuencia alivie el problema del esmog. El estudio busca determinar la cantidad mínima de autobuses que satisfaga las necesidades de transporte. Después de reunir la información necesaria, el ingeniero de tránsito observa que la cantidad mínima de autobuses varía con la hora del día, y que la cantidad necesaria de vehículos se puede aproximar con valores constantes durante intervalos consecutivos de 4 horas. La figura 2.21 resume las determinaciones del ingeniero. Para hacer el mantenimiento diario a cada autobús, éste puede trabajar 8 horas sucesivas diariamente.

Representación matemática. Determinar la cantidad de autobuses en funcionamiento durante cada turno (variables) que satisfaga la demanda mínima (restricciones) y minimice al mismo tiempo la cantidad de autobuses en operación (objetivo).

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El lector habrá notado ya que la definición de las variables es ambigua. Sabemos que cada autobús debe trabajar durante 8 horas, pero no sabemos cuándo debe comenzar un tumo. Si seguimos un horario normal de tres turnos (8:01 A.M. a 4:00 P.M., 4:01 P.M. a 12:00 media noche, y 12:01 A.M. a 8:00 A.M.) y suponemos que X1, X2 y X3 sean las cantidades de autobuses que inician en el primero, segundo y tercer turno, podremos ver, en la parte superior de la figura anterior, que X 1  10, X2  12 y X3  8. La cantidad mínima correspondiente de autobuses diarios es X 1 + X 2 + X 3, = 10 + 12 + 8 = 30. Esta solución sólo es aceptable si los turnos deben coincidir con el horario normal de tres turnos. Sin embargo, sería mejor dejar que el proceso de optimización elija la "mejor" hora de inicio de un tumo. Una forma razonable de hacerlo es dejar que un turno pueda comenzar cada 4 horas. La parte inferior de la figura ilustra este concepto, y se ven turnos traslapados que pueden comenzar a las 12:01 A.M., 4:01 A.M., 8:01 A.M., 12:01 P.M., 4:01 P.M. y 8:01 P.M.; cada turno abarca 8 horas consecutivas. Entonces se pueden definir las variables como sigue: X1 = cantidad de autobuses que comienzan a las 12:01 A.M. X2 = cantidad de autobuses que comienzan a las 4:01 A.M. X3 = cantidad de autobuses que comienzan a las 8:01 A.M. X4 = cantidad de autobuses que comienzan a las 12:01 P.M. X5 = cantidad de autobuses que comienzan a las 4:01 P.M. X6 = cantidad de autobuses que comienzan a las 8:01 P.M. Minimizar z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 Sujeta

a

X1 + X6  4 (12:01 A.M. - 4:00 A.M.) X1 + X2  8 ( 4:01 A.M. - 8:00 A.M.) X2 + X3  10 ( 8:01 A.M. - 12:00 medio día) X3 + X4  7 (12:01 P.M. - 4:00 P.M.) X4 + X5  12 ( 4:01 P.M. - 8:00 P.M.) X5 + X6  4 ( 8:01 P.M. - 12:00 P.M.) X j,  0, j= 1.2, …….6

El resultado que muestra la figura indica que se necesitan 26 autobuses para satisfacer la demanda. El horario óptimo indica x1 = 4 autobuses que comienzan a las 12:01 A.M., x2 = 10 a las 4:01 A.M., x4 = 8 a las 12:01 P.M. y x5 = 4 a las 4:01 P.M. Todos los costos reducidos son cero, lo cual indica que el problema tiene soluciones óptimas alternativas.

PROBLEMA Nº 15.- (Corte de rollos de papel-desperdicio por corte) La Papelera Moderna produce rollos de papel (rollos de ancho estándar; son tal como salen de la máquina de papel) de 20 pies de ancho normal útil, cada uno. Se atienden los pedidos de los clientes, con anchos distintos, cortando los rollos de ancho estándar. Los pedidos normales, que pueden variar de un día al siguiente, se resumen en la tabla siguiente:

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INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Pedido 1 2 3

Ancho deseado (pies) 5 7 9

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Cantidad deseada de rollos 150 200 300

En la práctica se surte un pedido ajustando las cuchillas a los anchos deseados. En general hay varias maneras de cortar un rollo de ancho estándar para surtir determinado pedido. La figura 2.23 muestra tres posiciones factibles de cuchillas para el rollo de 20 pies. Aunque hay otras posiciones factibles, limitaremos por el momento la descripción a considerar las posiciones 1, 2 y 3 de la figura 2.23. Se pueden combinar las posiciones dadas en varias formas, para surtir los pedidos con 5, 7 y 9 pies de ancho. A continuación vemos algunos ejemplos de combinaciones factibles: 1. 2.

Cortar 300 (rollos de ancho estándar) con la posición 1 y 75 rollos con la posición 2. Cortar 200 rollos con la posición 1 y 100 rollos con la posición 3.

¿Cuál combinación es la mejor? Esta pregunta se puede contestar teniendo en cuenta la "merma" (el desperdicio) que produce cada combinación. En la figura, la parte sombreada representa el sobrante del rollo, sin ancho suficiente para surtir los pedidos requeridos. Esos sobrantes se llaman pérdida de recorte. Se puede evaluar la "bondad" de cada combinación calculando sus pérdidas de recorte. Sin embargo, como los sobrantes pueden tener anchos distintos, la evaluación se debe basar en el área de pérdida por recorte, más que en la cantidad de sobrantes. Suponiendo que cada rollo de ancho estándar tiene L pies de longitud, se puede calcular como sigue el área de pérdida por recorte: Combinación 1: 300(4 X L) + 75(3 X L) = 1425L pies2 Combinación 2: 200 (4 X L) + 100(1 X L) = 900L pies2 Esas áreas sólo corresponden a las partes sombreadas en la figura. Toda producción sobrante de los rollos de 5, 7 y 9 pies también se debe tener en cuenta en el cálculo del área de pérdida por recorte. En la combinación 1, la posición 1 produce un sobrante de 300 - 200 = 100 sobrantes de 7 pies, y la combinación 2 produce 75 rollos sobrantes de 7 pies. Así, el área de "merma" adicional es 175(7 X L) = 1225L pies2. La combinación 2 no produce sobrantes de 7 y 9 pies, pero la posición 3 sí produce 200 150 = 50 sobrantes de 5 pies, con un área A recorte agregada de 50(5 X L) = 250L pies2. En consecuencia, se tiene que: Área total de pérdida de recorte para la combinación 1 = 1425L + 1225L = 2650L pies Área total de pérdida de recorte para la combinación 2 = 9 00L + 250L == 1150L pies2 La combinación 2 es mejor, porque produce menos área de pérdida de recorte. Para llegar a la solución óptima es necesario determinar todas las posiciones de cuchilla posibles, para entonces generar todas las combinaciones factibles. Aunque puede no ser muy difícil la determinación de todas las posiciones, también podría suceder que no sea tan fácil generar todas las combinaciones factibles. Es evidente entonces la necesidad de un método sistemático. Es lo que se logra con el modelo de programación lineal.

Representación matemática. Determinar las posiciones de cuchillas (variables) que surtan: los pedidos requeridos (restricciones) con el área mínima de pérdida de recorte (objetivo). La definición de las variables tal como se presentan se debe traducir en forma que las pueda usar el operador de una fábrica. En forma específica, las variables se definen como cantidad de rollos de ancho

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estándar a cortar con determinadas posiciones de cuchillas. Para esta definición se requiere identificar todas las posiciones de cuchillas posibles, como se ven en la siguiente tabla. Las posiciones 1, 2 y 3 se ven en la figura. El lector se debe convencer que las posiciones 4, 5 y 6 son válidas y que no se ha omitido alguna posición "prometedora". Recuerde que una posición prometedora no puede producir un rollo de desperdicio por recorte; de 5 pies de ancho o mayor.

Ancho requerido (pies) 5 7 9 Pérdida de recorte por pies de lomo.

Posiciones de cuchillas 1 2 3 4 5 6 0 1 1 4

2 1 0 3

2 0 1 1

4 0 0 0

1 2 0 1

0 0 2

Cantidad mínima de rollos 150 200 300

Para expresar matemáticamente el modelo, se definirán las variables como sigue: X1= cantidad de rollos de ancho estándar que se van a cortar de acuerdo con la posición j, j = 1, 2, .. 6. Las restricciones del modelo tienen que ver en forma directa con surtir la demanda de los rollos, Cantidad producida de rollos de 5 pies = 2X1 + 2X3 + 4X4 + X5 Cantidad producida de rollos de 7 pies = X1 + X2 + 2X5 Cantidad producida de rollos de 9 pies = X1 + X3 + + 2X6

 150  200  300

Para formar la función objetivo se observa que el área total de pérdida por recorte es la diferencia entre el área total de los rollos de ancho estándar que se usan, y el área total que representan todos los pedidos. Entonces Área total de los rollos de ancho estándar = 20L(X 1 + X2 + X3, + X4 + X5 + X6) Área total de los pedidos = L(150 X 5 + 200 X 7 + 300 X 9) = 4850L Entonces, la función objetivo es Minimizar z = (X1 + X2 + X3 + X4+ X5 + X6) – 4850L Como la longitud L del rollo de ancho estándar es constante, la función objetivo se reduce, de hecho, a minimizar la cantidad total de rollos de ancho estándar que se usan para surtir los pedidos; esto es Minimizar z = X1 + X2 + X3 + X4+ X5 + X6 Sujeta a 2X2 + 2X3 + 4X4 + X5 X1 + X2 + 2X5 X1 + X3 + 2X6 xj  0, j = 1,2, .... 6

 150 (rollos de 5 pies)  200 (rollos de 7 pies)  300 (rollos de 9 pies)

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PROBLEMA Nº 16.Investigación de marketing Management Sciences Associates (MSA) es una firma de investigación de computadoras y marketing establecida en Washington que maneja este consumo. Uno de sus clientes es un servicio de prensa nacional que periódicamente realiza sondeos políticos sobre temas de interés general una encuesta para esta firma, MSA determina que debe satisfacer varios requerimientos para obtener conclusiones estadísticamente validas sobre el delicado tema en nuevas leyes y sobre migración de Estados Unidos. 1. Encuesta a por lo menos 2300 hogares estadounidenses en total 2. Encuesta a por lo menos 2000 hogares cuyas cabezas tengan 30 anos o menos 3. Encuesta a por lo menos 600 hogares cuyas cabezas están entre31 y 50 anos. 4. Garantizar que, por lo menos, 15% de los encuestados vivan en un estado fronterizo con México 5. Garantizar que no más de20% de los encuestados de 51 anos de edad o mas vivan en un estado fronterizo con México. MSA decide que todas las encuestas deberán llevarse a cado en persona. Se estima que los costos para llegar a las personas de cada categoría de edad y región son los siguientes:

REGIÓN Estado fronterizo con México Estado no fronterizo con México

COSTO POR PERSONA ENCUESTADADO ($) Edad ≤ 30 EDAD31-50 EDAD ≥ 51 $7.5 $6.8 $5.5 $6.9 $7.25 $6.1

El objetivo de MSA es satisfacer los cinco requerimientos de muestreo al mínimo costo posible. Sean X1 = número de encuestados de 30 años o menos que viven en un estado fronterizo X2 = número de encuestados de 31 a 50 años que viven en un estado fronterizo X3 = número de encuestados de 51 años o mas que viven en un estado fronterizo X4 = número de encuestados de 30 años o menos que no viven en un estado fronterizo X5 = número de encuestados de 31 a 50 años que no viven en un estado fronterizo. X6 = número de encuestados de 51 años o más que no viven en un estado fronterizo.

Función objetivo: Minimizar los costos de las entrevistas= $7.5X1+$6.8X2+$5.5X3+$6.9X4+$7.25X5+$6.1X6 Sujeto a:

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X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ≥ 2300 (hogares totales) ≥1000 (hogares cuyos miembros tengan 30 o menos) X1 + X4 ≥ X2 + X5 600 (hogares cuyos miembros tengan 31-50 de edad) X1 + X2 + X3 ≥ 0.15(X1+X2+X3+X4+X5+X6) (estados fronterizos) X3 ≤ 0.20(X3+X6) (limite en el grupo de edad de 51+ que viven en un estado fronterizo) X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0

SOLUCIÓN MEDIANTE QM

SOLUCIÓN Z(MIN) = $15166 X1 = 0 X2 = 600 X3 = 140 X4 =1.000 X5 = X6 = S1 = S2 = S3 = S4 = S5 =

número de encuestados de 30 años o menos que viven en un estado fronterizo número de encuestados de 31 a 50 años que viven en un estado fronterizo número de encuestados de 51 años o mas que viven en un estado fronterizo número de encuestados de 30 años o menos que no viven en un estado fronterizo 0 número de encuestados de 31 a 50 años que no viven en un estado fronterizo. 560 número de encuestados de 51 años o más que no viven en un estado fronterizo. 0 (hogares totales) 0 (hogares cuyos miembros tengan 30 o menos) 0 (hogares cuyos miembros tengan 31-50 de edad) 395 (estados fronterizos) 0 (limite en el grupo de edad de 51+ que viven en un estado fronterizo)

PROBLEMA Nº 17.APLICACIONES A LA MANUFACTURA Mezcla de Producción Fifth Avenue Industries, un fabricante conocido de ropa para caballero, produce cuatro variedades de corbatas. Una es corbata de seda, una de poliéster y dos compuestas de poliéster y algodón. La tabla siguiente ilustra el costo y disponibilidad (por periodo de planeación de producción mensual) de los tres materiales que se utiliza en el proceso de producción:

Material Seda Poliéster Algodón

Costo por yarda 21.6 6.875 9

Material disponible por mes (yardas) 800 3000 1600

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La compañía firmó contratos de varias cadenas de tiendas departamentales importantes para sutirles las corbatas. Los contratos requieren que Fifth Avenue Industries surta una cantidad mínima de cada corbata pero que cubra una gran demanda de Fifth Avenue decide satisfacer dicha demanda (la mayoría de las corbatas no se envía con el nombre de Fifth Avenue en su etiqueta, sino con etiqueta de marca propia suministrada por las tiendas) La tabla resume la demanda contratada de cada uno de los cuatro estilos de corbatas el precio de venta unitario y los requerimientos de tipos de tela de cada variedad. El objetivo de Fifth Avenue es maximizar la utilidad mensual. Debe decidir sobre una política de mezcla de productos. Sean: X1 = numero de corbatas de seda producidas por mes X2 = numero de corbatas de poliéster X3 = numero de corbatas mezcla 1 de poliéster algodón X4 = numero de corbatas mezcla 2 de poliéster y algodón

Variedad de corbata

Precio de venta por corbata ($)

Contrato mínimo mensual

Demanda mensual

Totalmente de seda 6.70 6.000 7.000 Totalmente de poliéster 3.55 10.000 14.000 Mezcla 1 de poliéster6.79 13.000 16.000 algodón Mezcla 2 de poliéster4.84 6.000 8.500 algodón Sin embargo, la firma debe establece la utilidad por corbata es:

Material requerido por corbata (yardas) 0.125 0.08 0.10 0.10

Requerimientos de material 100% seda 100% poliéster 50% poliéster50% algodón 30% poliéster70% algodón

1. Cada una de las corbatas de seda (X1) requiere 0,125 yardas de seda, a un costo de $21.6 de yardas por consiguiente, el costo de corbata es de $2.62. El precio de corbata de seda es de $6.70, lo que deja una utilidad neta de ($6.70-$2.70=) $4 por unidad de X 1. 2. Cada una de las corbatas de poliéster (X2) requiere 0.08 yardas de poliéster a un costo de $ 6.875 la yarda Por consiguiente, el costo por corbata es de $0.55. La utilidad neta por unidad de X2 es $3.55$0.55=$3. 3. Cada corbata de mezcla 1 de poliéster (X3) requiere 0.05 yardas de poliéster a un costo de $6.875 la yarda y 0.05 yardas de algodón a $9 la yarda, es la que hace a un costo de 0.34+$0.45=$0.79 por corbata .La utilidad es de $6.79 - $0.79 = $5 4. Cada corbata de mezcla 2 de poliéster (X4) requiere 0.03 yardas de poliéster a un costo de $6.875 la yarda y 0.07 yardas de algodón a $9 la yarda, es la que hace a un costo de 0.21+$0.63=$0.84 por corbata .La utilidad es de $4.84 - $0.84 = $4

Función objetivo Maximizar la utilidad: $4X1+$3X2+$5X3 +$4X4 Sujeta a: 0,125X1 X1 X1

800 (yardas de seda) ≤ 0,08X2 + 0.05X3 + 0.03X4 ≤ 3.000 (yardas de poliéster) 0.05X3+ 0.07X4 ≤ 1.600 (yardas de algodón) ≥ 6.000 (contrato mínimo de totalidad de seda) ≤ 7.000 (contrato máximo) X2 ≥ 10,000 (contrato mínimo de totalidad de poliéster) ≤ 14,000 (contrato máximo) X2 ≥ 13,000 (contrato mínimo de mezcla 1) X3 X3 ≤ 16,000 (contrato máximo) X4 ≥ 6,000 (contrato mínimo de mezcla 2) X4 ≤ 8,500 (contrato máximo) X1, X2, X3, X4 ≥0

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PROBLEMA Nº 18.Planeación del trabajo Los problemas de planeación de mano de obra abordan las necesidades de personal durante un periodo específico. Son especialmente útiles cuando los administradores tienen una cierta flexibilidad al asignar trabajadores a tareas que requieren superposición o talentos intercambiables. Con frecuencia, los grandes bancos utilizan PL para resolver la programación de su fuerza de trabajo. El Hong Kong Bank of Commerce and Industry es un banco muy ocupado que requiere entre 10 y 18 cajeras, según la hora del día. El horario de tiempo o de almuerzo, de mediodía a 2 P.M., casi siempre es el más pesado. La tabla indica los empleados requeridos en las varias horas en que el banco está abierto.

PERIODO 9 A.M -10A.M 10A.M -11A.M 11A.M - Mediodía Mediodía -1P.M 1P.M - 2P.M

NUMERO DE CAJERAS 10 12 14 16 18

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INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I 2P.M - 3P.M 3P.M - 4P.M 4P.M - 5P.M

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. 17 15 10

En la actualidad el banco cuesta con 12 cajeras de tiempo completo, pero muchas personas están disponibles en su lista de empleados de tiempo parcial. Un empleado de tiempo parcial debe trabajar exactamente 4 horas al día, pero puede comenzar a cualquier hora entre 9 A.M.. y 1 P.M. Estos empleados forman un equipo de fuerza de trabajo bastante barato, puesto que no gozan de beneficios de retiro ni almuerzo. Por otra parte, los empleados de tiempo completo laboran de 9 A.M. a 5 P.M. pero se les permiten 1 hora de comida. (La mitad de ellos como a las 11 A.M. y la otra mitad al mediodía) Por lo tanto, los empleados de tiempo completo generan 35 horas por semanas de tiempo de trabajo productivo. Por política corporativa, el banco limita las horas de jordanas parciales a un máximo de 50% del requerimiento total del día. Los empleados de tiempo parcial cobran $8 por hora ($32 por día) en promedio y los de tiempo completo $100 por día en salario y beneficios, en promedio. Al banco le gustaría establecer un programa que minimice sus costos totales de personal, y despedirá a una o más de sus cajeras de tiempo completo si es rentable hacerlo. X1 X2 X3 X4 X5 X6

= cajeras de tiempo completo = empleados de tiempo parcial que entran a las 9 A.M. (y salen a las 1 P.M.) = empleados de tiempo parcial que entran a las 10 A.M. (y salen a las 2 P.M.) = empleados de tiempo parcial que entran a las 11 A.M. (y salen a las 3 P.M.) = empleados de tiempo parcial que entran al mediodía (y salen a las 4 P.M.) = empleados de tiempo parcial que entran a la 1 P.M. (y salen a las 5 P.M.)

Función objetivo: Minimizar el costo del personal diario total = $100X 1 + $32(X2 + X3 + X4 + X5 + X6)

Restricciones: En cada hora, las horas de mano disponible deben ser por lo menos iguales a las horas de mano de obra requeridas. X1 + X2  10 (necesidades de 9 A.M.-10 A.M.) X1 + X2 + X3  12 (necesidades de 10 A.M.-11A.M.) ½ X1 + X2 + X3 + X4  14 (necesidades de 11 A.M.- mediodía) ½ X1 + X2 + X3 + X4 + X5  16 (necesidades de mediodía -1 P.M.) X1 + X3 + X4 + X5 + X6  18 (necesidades de 1 P.M.- 2 P.M.) X1 + X4 + X5 + X5  17 (necesidades de 2 P.M.- 3 P.M.) X1 + X5 + X6  15 (necesidades de 3 P.M.- 4 P.M.) X1 + X6  10 (necesidades de 4 P.M - 5 P.M.) X1  12 Solo 12 cajeras de tiempo completo están disponible XJ  0 Las horas de empleados de tiempo parcial no pueden exceder de 50% del total de horas requeridas cada día, las cuales son la suma de las cajeras necesarias cada hora. 4(X2 + X3 + X4 + X5 + X6)  0.50 (10+12+14+16+18+17+15+10) o 4X2 + 4X3 + 4X4 + 4X5 + 4X6  0.50 (112)

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X1 X2 X3 X4 X5 X6

= = = = = =


10 cajeras de tiempo completo 6 empleados de tiempo parcial que entran a las 9 A.M. (y salen a las 1 P.M.) 1 empleados de tiempo parcial que entran a las 10 A.M. (y salen a las 2 P.M.) 2 empleados de tiempo parcial que entran a las 11 A.M. (y salen a las 3 P.M.) 2 empleados de tiempo parcial que entran al mediodía (y salen a las 4 P.M.) 3 empleados de tiempo parcial que entran a la 1 P.M. (y salen a las 5 P.M.)

El costo de todas estas políticas es de $ 1.448

PROBLEMA Nº 19.Selección de una cartera Un problema que frecuentemente enfrentan gerentes de bancos, fondos mutuos, servicios de inversión y compañías de seguros es seleccionar inversiones específicas de entre una amplia variedad de alternativas. Por lo general, el objetivo global del gerente es maximizar la devolución esperada de la inversión, dado un conjunto de restricciones de riesgos, políticas o legales. Por ejemplo, el Internacional City Trust (ICT) invierte en créditos comerciales a corto plazo, bonos corporativos, acciones en oro y préstamos para construcción. Para promover una cartera diversificada, la junta de directores impuso límites a la cantidad que puede ser comprometida en cualquier tipo de inversión. ICT dispone de $5 millones para inversión inmediata y desea hacer dos cosas: 1) maximizar el interés que se devenga sobre las inversiones realizadas durante los siguientes seis meses y 2) satisfacer los requerimientos de diversificación que estableció la junta de directores. Los puntos específicos de las posibilidades de inversión son los siguientes:

Inversión Crédito comercial Bonos corporativos Acciones en oro Préstamos para construcción

Interés Devengado (%) 7 11 19 15

Inversión máxima (millones $) 1.0 2.5 1.5 1.8

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Además, la junta especifica, que por lo menos, 55% de los fondos invertidos debe ser acciones en oro y préstamos para construcción y que no menos de 15% se debe invertir en crédito comercial. Para formular la decisión de inversión de ICT como un problema de PL, Sean X1 = monto invertido en crédito comercial X2 = monto invertido en bonos corporativos X3 = monto invertido en acciones en oro X4 = monto invertido en préstamos para construcción

Función Objetivo: Maximizar el monto de interés devengado = 0.07X1+0.11X2+0.19X3+0.15X4 Sujeto a: X1

X2

X3

X4 X3 + X4

X1 X1 + X2 + X3 + X4 X1, X2, X3, X4

≤ 1.000.000 ≤ 2.500.000 ≤ 1.500.000 ≤ 1.800.000 ≥ 0.55 (X1+X2+X3+X4) ≥ 0.15 (X1+X2+X3+X4) ≤ 5.000.000 0 ≥

X1 = $ 750.000 monto invertido en crédito comercial X2 = $ 950.000 monto invertido en bonos corporativos X3 = $1.500.000 monto invertido en acciones en oro X4 = $1.800.000 monto invertido en prestamos para construcción Interés total devengado $712.000

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PROBLEMA Nº 20.Problemas de dieta El problema de dieta, una de las primeras aplicaciones de PL, originalmente fue utilizado por hospitales para determinar la dieta más económica para pacientes. Conocido en aplicaciones agrícolas como problema de mezcla de alimentos, el problema de dieta implica especificar un alimento o combinación de ingredientes alimenticios que satisfaga los requerimientos nutricionales a nivel de costo minino El Whole Food Nutrition Center utilizará tres granos a granel para preparar un cereal natural que vende por libra. La tienda anuncia que cada porción de 2 onzas de cereal cuando se toma ½ taza de leche entera satisface el requerimiento diario mínimo de un adulto de proteínas, riboflavina, fósforo, magnesio. El costo de cada grano de granel y las utilidades de proteína, riboflavina, fósforo, y magnesio por libra de cada uno se muestran en la tabla.

Grano A B C

Costo por libra Proteina Riboflavina Fósforo Magnesio (centavos) (unidades/lb) (unidades/lb) (unidades/lb) (unidades/lb) 33 22 16 8 5 47 28 14 7 0 38 21 25 9 6

El requerimiento diario mínimo de un adulto (llamado Ración diaria Recomendada en Estados Unidos o USRDA, por sus siglas en ingles) de proteínas es de tres unidades de riboflavina 2 unidades de fósforo, 1 unidad de magnesio, 0.425 unidades Whole Food desea elegir la mezcla de granos que satisfaga la USRD a un costo mínimo. X1= libras del grano A en una porción de 2 onzas de cereal X2= libras del grano B es una porción de 2 onzas de cereal X3= libras del grano C en una porción de 2 onzas de cereal

Función objetivo: Minimizar el costo total de mezcla de una porción de 2 onzas = $0.33X1 + $0.47X2 + $0.38X3 Sujeta a: 22X1 + 28X2 + 21X3 ≥ 3 16X1 + !4X2 + 25X3 ≥ 2 8X1 + 7X2 + 9X3 ≥ 1 5X1 + 0X2 + 6X3 ≥ 0.425 X1 + X2 + X3 = 0.125 X1, X2, X3 ≥ 0

(unidades de proteínas) (unidades de riboflavina) (unidades de fósforo) (unidades de magnesio) (la mezcla total es de 2 onzas o 0.125 libras)

X1 = 0.025 libras del grano A en una porción de 2 onzas de cereal X2 = 0.050 libras del grano B es una porción de 2 onzas de cereal X3 = 0.050 libras del grano C en una porción de 2 onzas de cereal El costo por porción es de $0.050

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PROBLEMA Nº 21.Mezcla de ingredientes y problemas de mezclado En realidad, los problemas de alimentación y dieta son casos especiales de una clase más general de problema de PL conocidos como problema de mezclado o de ingredientes Los problemas de mezclado surgen cuando se debe decidir con respecto a la mezcla de dos o más recursos para producir uno o más productos .Los recursos en este caso, contienen uno o más ingredientes esenciales que deben ser mezclados de modo que cada producto final contenga porcentajes específicos de cada ingredientes. El ejemplo siguiente aborda una aplicación que se presenta con frecuencia en la industria petrolera: mezcla de petróleos crudos para producir gasolina que se puede refinar La Low Knock Oil Company produce dos granos de gasolina de precio reducido para distribución industrial .Estos granos, regular y económico, se produce a través de la refinación de una mezcla de los tipos de crudo, de tipo X100 y el tipo X200 Cada crudo difiere no sólo en un costo por barril, sino en su composición. La tabla siguiente indica el porcentaje de ingredientes cruciales que contiene cada uno de los crudos y el costo por barril de cada uno: Tipo de Petróleo

Ingrediente A(%)

Ingrediente B(%)

Costo / Barril ($)

X100

35

55

30.00

X220

60

25

34.80

La demanda semanal de gasolina regular de Low Knock es por lo menos de 25,000 barriles y de la economía de por lo menos 32.000 barriles de tipo regular debe ser de ingredientes A. Como máximo, cada barril de tipo económico deberá obtener 50% de Ingredientes B La administración de Low Knock debe decidir cuantos barriles de cada tipo de crudo debe comprar cada semana para realizar la mezcla y satisfacer la demanda a costo mínimo Para resolver este problema como problema PL la firma hace X1 = barriles de crudo X100 mezclado para producir la gasolina regular. X2 = barriles de crudo X100 mezclado para producir la gasolina económica. X3 = barriles de crudo X220 mezclado para producir gasolina regular. X4 = barriles de crudo X220 mezclado para producir la gasolina económica.

Función objetivo: Minimizar el costo = $30X1 + $30X2 + $34.80X3 + $34.80X4 Sujeto a: X1 + X3 ≥ 25,000 X2 + X4 ≥ 32,000

(demanda de gasolina regular) (demanda de gasolina económica)

Por lo menos, 45% de cada barril de gasolina regular deber ser ingrediente A. (X1 + X3) = cantidad total de crudo mezclado para producir la gasolina regular refinada. Por lo tanto, 0,45(X1 + X3) = cantidad mínima de ingrediente A requerido. Pero 0,35X1 + 0,60X3 = cantidad de ingrediente A en la gasolina regular refinada. De manera que

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0,35X1 + 0,60X3 ≥ 0,45X1 + 0,45X3 O - 0,10X1 + 0,15X3 ≥ 0 (ingrediente A ante restricción de regular) Asimismo, como máximo, de cada barril de gasolina económica 50% debe ser ingrediente B. X2 + X4 = cantidad total de crudo mezclado para producir la gasolina económica refinada demandada. 0,50(X2 + X4) = cantidad máxima de ingrediente B permitido. 0,55X2 + 0,25X4 = cantidad de ingrediente B en la gasolina económica refinada. De manera que 0,55X2 + 0,25X4 ≥ 0,50X2 + 0,50X4 O 0,05X2 - 0,25X4 ≤ 0 (ingrediente B ante la restricción de gasoli na económica) He aquí la formulación de PL completa: minimizar el costo = sujeto a:

30X1 X1

+

30X2 X2

-0.10X1 0.05X2

+ 34.80X3 + + X3 + + 0.15X3 -

34.80X4 X4

≥ 25,000 ≥ 32,000 ≥

0.25X4 X1,X2,X3,X4

≤ ≥

0 0 0

X1 = 15.000 barriles de X100 en la gasolina regular. X2 = 26.666,67 barriles de X100 en la gasolina económica. X3 = 10.000 barriles X220 en la gasolina regular. X4 = 5.333.33 barriles de X220 en la gasolina económica. El costo de esta mezcla es de $1.783.600.

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PROBLEMAS PROPUESTOS 1)

Para el modelo de (LA COMPAÑÍA REDDY MIKKS). produce pinturas para exteriores como para interiores, a partir de dos materias primas, M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos básicos del problema: Toneladas de materia prima por tonelada de Pintura para Pintura para Disponibilidad Exteriores Interiores máxima diaria (toneladas) Materia prima, M1 6 4 24 Materia prima, M2

1

2

Utilidad por tonelada (1000 dólares)

5

4

6

Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de la pintura para exteriores por más de 1 tonelada. Reddy Mikks quiere determinar la mezcla de producto óptima (mejor) de pinturas para interiores y para exteriores que maximice la utilidad total diaria. Construya cada una de las siguientes restricciones y expréselas con un lado derecho constante:

a) La demanda diaria de pintura para interiores excede a la de la pintura para exteriores cuando menos por 1 tonelada. b) El empleo diario de materia prima M2, es cuando mucho de 6 toneladas y cuando menos 3 toneladas. c) La demanda de pintura para interiores no puede ser menor que la demanda de pintura para exteriores. d) La cantidad mínima de pintura que debe producirse, tanto para interiores como para exteriores, es de 3 toneladas. e) La proporción de pintura para interiores con la producción total de pinturas, tanto para interiores como para exteriores, no debe exceder de 5. 2)

Para la solución factible X1 = 2, X2 = 2 del modelo de Reddy Mikks, determine.

a) La cantidad no utilizada de materia prima M1. b) La cantidad no utilizada de materia prima M2. 3)

Suponga que Reddy Mikks le vende su pintura para exteriores a un solo mayorista, con un descuento por cantidad. El resultado final es que la utilidad por tonelada será de 5.000 dólares si el contratista compra no más de 2 toneladas diarias o de lo contrario de 4.500 dólares. ¿Es posible modelar esta situación como un modelo de PL?

4)

Determine el espacio de solución y la solución óptima del modelo de Reddy Mikks para cada uno de los siguientes cambios independientes:

a) La demanda máxima diaria de pintura para exteriores es de 2.5 toneladas. b) La demanda diaria de pintura para interiores es por lo menos de 2 toneladas. c) La demanda diaria de pintura para interiores es exactamente de 1 tonelada más que la pintura para exteriores. d) La disponibilidad diaria de materia prima, M1, es de por lo menos 24 toneladas. e) La disponibilidad diaria de materia, prima M1, es de 24 toneladas como mínimo y la demanda diaria de pintura para interiores excede a la de la pintura para exteriores en por lo menos 1 tonelada. 5)

La señorita Fernanda Erazo es una estudiante emprendedora de primer año en la Pontificia Universidad Católica del Ecuador . Comprende que “sólo el trabajo y nada de diversión hac en de Fernanda una muchacha aburrida”. Como resultado, Fernanda quiere distribuir su tiempo disponible, de alrededor de 10 horas al día, entre el trabajo y la diversión. Calcula que el juego es dos veces más divertido que el trabajo. También quiere estudiar por lo menos tanto como juega.

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Sin embargo, Fernanda comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de cuatro horas al día. ¿Cómo debe distribuir Fernanda su tiempo para maximizar su satisfacción tanto en el trabajo como en el juego?

6)

Para el modelo (DE LA DIETA). Ozark Farms utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial. El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes composiciones:

Libra por libra de alimento para ganado Alimento para ganado Maíz Semilla de Soya

Proteínas 0.09 0.60

Fibra 0.02 0.06

Costo (/libra) 0.30 0.90

Los requerimientos dietéticos diarios del alimento especial estipulan por lo menos un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. Ozark Farms desea determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimento, supongamos que la disponibilidad diaria de maíz se limita a 450 libras. Identifique el nuevo espacio de solución y determine la nueva solución óptima.

7)

Para el modelo de la dieta anterior. ¿Qué tipo de solución óptima daría el modelo si la mezcla de alimento no excediera de 800 libras al día? ¿Tiene sentido esta solución?

8)

Viviana Erazo debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso mientras asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas al detalle: en la tienda 1 Viviana puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo por hora. De manera que Viviana quiere basar su decisión acerca de cuántas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio diferente: el factor del estrés en el trabajo. Basándose en entrevistas con los empleados actuales, Viviana calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores del estrés son de 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Debido a que el estrés aumenta por hora, ella supone que el estrés total al final de la semana es proporcional al número de horas que trabaja en la tienda. ¿Cuántas horas debe trabajar en cada tienda?

9)

En el modelo de Reddy Mikks (problema 1), considerar la solución factible x 1 = 3 toneladas y x2 = 1 tonelada. Determine el valor de las holguras asociadas para la materia prima M1, y M2.

10)

En el modelo de la dieta (problema 6), determine la cantidad excedente de alimento que consiste en 500 libras de maíz y 600 libras de semilla de soya.

11)

Dos productos se fabrican en un centro de maquinado. Los tiempos de producción por unidad de los productos 1 y 2 son de 10 y 12 minutos, respectivamente. El tiempo regular total de la máquina es de 2.500 minutos por día. En un día cualquiera, el fabricante vende entre 150 y 200 unidades del producto 1, pero no más de 45 unidades del producto 2. Se pueden emplear horas extras para satisfacer la demanda a un costo adicional de 0.50 de dólar por minuto.

a) Suponiendo que las utilidades por unidad de los productos 1 y 2 son.6.0 y 7.50 dólares, respectivamente, formule un modelo y determine el nivel óptimo de fabricación para cada producto, así como cualesquiera número de horas extra necesarias en el centro. b) Si el costo por minuto de horas extra se incrementa a 1.50 dólares, ¿la compañía debe utilizar horas extras? 12)

Determine gráficamente el rango óptimo, para los siguientes problemas. Observe los casos especiales donde c1 o c2 pueden asumir un valor de cero

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Maximice z


 2 x1  3 x2

Sujeta a a)

 2 x2  5  x  x2  0 x1 , x2  0 Maximice z  4 x1  3 x2 3 x1

Sujeta a b)

13)

 5 x2  5 x1  x2  0 x1 , x2  0

3 x1

En el problema de la dieta (ejercicio 6),

a) Determine la gama de optimilidad para la razón del costo por libra de maíz con el costo por libra de alimento de semilla de soya. b) Si el costo por libra de maíz se incrementa 20% y el del alimento de semilla de soya disminuye 5%, ¿la solución actual seguirá siendo óptima? c) Si el costo por libra de maíz se mantiene fijo a 30 centavos de dólar y el costo por libra de alimento de semilla de soya aumenta a 1.10 dólares, ¿la solución actual seguirá siendo óptima? 14)

La tienda de comestibles B&K vende dos tipos de bebidas no alcohólicas: la marca de sabor de cola A1 y la marca propia de la tienda, B&K de colas, más económica. El margen de utilidad en la bebida de cola A1 es de alrededor de 5 centavos de dólar por lata, mientras que la de la bebida de cola B&K suma una ganancia bruta de 7 centavos por lata. En promedio, la tienda no vende más de 500 latas de ambas bebidas de cola al día. Aún cuando A1 es una marca más conocida, los clientes tienden a comprar más latas de marca B&K, porque considerablemente es más económica. Se calcula que la venta de la marca B&K superan a las de la marca A1 en una razón de 2 a 1 por lo menos. Sin embargo, B&K vende, como mínimo, 100 latas de A1 al día.

a) ¿Cuántas latas de cada marca debe tener en existencia la tienda diariamente para maximizar su utilidad? b) Determine la razón de las utilidades por lata de A1 y B&K que mantendrá inalterada la solución en (a). 15)

Baba Furniture Company emplea a cuatro carpinteros durante 10 días para ensamblar sillas y mesas. Se requieren 30 minutos para ensamblar una silla.y 2 horas para ensamblar una mesa. Por lo común, los clientes compran entre cuatro y seis sillas con cada mesa. Las utilidades son de 13.5 dólares por mesa y 5 dólares por silla. La compañía opera un turno de 8 horas al día.

a) Determine gráficamente la mezcla de producción óptima de los 10 días. b) Determine el rango de la razón de utilidades por unidad, que mantendrá inalterada la óptima (a). c) Si las utilidades actuales por cada mesa y silla se reducen 10%, utilice la respuesta en (b) para mostrar la forma en la cual este cambio afecta la solución óptima obtenida en (a). d) Si las utilidades actuales por cada mesa y silla cambia a 12 y 2.5 dólares, utilice el resultado de sensibilidad en (b) para determinar si cambiará o no la solución en (a). 16)

El Banco del Pacífico está asignando un máximo de 200.000 dólares para préstamos personales y de automóviles durante el próximo mes. El banco cobra 14% por préstamos personales y 12% por préstamos para automóviles. Ambos tipos de préstamos se liquidan al final de un periodo de un año. La experiencia muestra que alrededor del 3% de los préstamos personales y del 2% de los préstamos para automóviles nunca se liquidan. Por lo común, el banco asigna cuando menos el doble de los préstamos personales a los préstamos para automóviles.

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a) Determine la asignación óptima de fondos para los tipos de préstamos y la tasa neta de utilidad que obtendrá el banco de todos los préstamos. b) Determine el rango de optimilidad para la razón de las tasas de interés de préstamos personales y para automóvil que mantendrá inalterada la solución en (a). c) Supongamos que el porcentaje de préstamos personales y para automóvil no liquidados cambia a 4% y 3%, respectivamente, ¿Cómo afectaría este cambio la solución óptima en (a)?. 17)

Electra produce dos tipos de motores eléctricos, cada uno en una línea de ensamble separada. Las respectivas capacidades diarias de las dos líneas son de 600 y 750 motores. El motor tipo 1 emplea 10 unidades de cierto componente electrónico y el motor tipo 2 sólo utiliza 8 unidades. El proveedor del componente puede proporcionar 8.000 piezas al día. Las utilidades por motor para los tipos 1 y 2 son de 60 y 40 dólares, respectivamente.

a) Determine la mezcla óptima para la producción diaria. b) Determine el rango de optimalidad de la razón de utilidades por unidad que mantendrá inalterada la solución en (a) 18)

Popeye Canning tiene un contrato para recibir 60.000 libras de tomates maduros a 7 centavos de dólar por libra, con las cuales produce jugo de tomate enlatado, así como pasta de tomate. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas. Una lata de jugo requiere una libra de tomates frescos y una lata de pasta sólo requiere 1/3 de libra. La participación de mercado de las compañías se limita a 2.000 cajas de jugo y 6.000 cajas de pasta. Los precios de mayoreo por caja de jugo y de pasta son de 18 y 9 dólares, respectivamente.

a) Desarrolle un programa de producción óptima para Popeye. b) Determine la razón del precio por caja con el precio por caja de pasta que permitirá que Popeye produzca más cajas de jugo que de pasta. 19)

Dean’s Furniture Company ensambla dos tipos de gabinetes de cocina de madera precortada:

regulares y de lujo. Los gabinetes regulares están pintados de blanco y los de lujo están barnizados. Tanto la pintura como el barnizado se llevan a cabo en un departamento. La capacidad diaria del departamento de ensamble puede producir un máximo de 200 gabinetes regulares y 150 gabinetes de lujo. El barnizado de un gabinete del lujo se lleva el doble de tiempo que pintar uno regular. Si el departamento de pintura /barnizado se dedica únicamente a las unidades de lujo, terminaría 180 unidades diarias. La compañía calcula que las utilidades por unidad de los gabinetes regulares y de lujo son de 100 y 140 dólares, respectivamente.

a) Formule el problema como un programa lineal y encuentre el programa de producción óptima por día. b) Supongamos que, debido a la competencia, las utilidades por unidad de las unidades regulares y de lujo deben reducirse a 80 y 110 dólares, respectivamente. Utilice el análisis de sensibilidad para determinar si la solución óptima en (a) se mantiene inalterada o no. 20)

Wild West produce dos tipos de sombreros estilo vaquero. El sombrero tipo 1 requiere el doble de tiempo de trabajo que el de tipo 2. Si todos los sombreros producidos únicamente son del tipo 2, la compañía puede producir un total de 400 sombreros al día. Los límites diarios del mercado son de 150 y 200 sombreros de los tipos 1 y 2, respectivamente. La utilidad del sombrero tipo 1 es de 8 dólares y la del sombrero tipo 2 es de 5 dólares.

a) Utilice la solución gráfica para determinar el número de sombreros de cada tipo que se debe producir. b) Determine el valor de incrementar la capacidad de producción de la compañía en un sombrero tipo 2 y el rango para la cual es aplicable este resultado. c) Si él limite de la demanda del sombrero tipo 1 disminuye a 120, determine el efecto correspondiente en la utilidad óptima, utilizando el valor unitario del recurso. d) ¿Cuál es el incremento en el valor por unidad en la participación de mercado del sombrero tipo 2? ¿En cuánto se puede incrementar la participación de mercado, al mismo tiempo que rinde el valor calculado por unidad?

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INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I 21)


Una compañía fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 100 unidades de A por día. Los dos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad máxima diaria se limita a 240 libras al día. Las proporciones de utilización de la materia prima son 2 libras para cada unidad de A y 4 libras para cada unidad de B. Los precios unitarios de A y B son de 20 y 50 dólares, respectivamente.

a) Determine la mezcla óptima de los dos productos. b) Determine el valor por cambio unitario en la disponibilidad de la materia prima y su rango de aplicabilidad. c) Utilice el análisis de sensibilidad para determinar el efecto de cambiar la demanda máxima del producto A por  10 unidades. 22)

Una compañía que opera 10 horas al día fabrica cada uno de los productos en tres procesos en secuencia. La siguiente tabla resume los datos del problema:

Producto 1 2

Proceso 1 10 5

Minutos por unidad Proceso 2 Proceso 3 6 8 20 10

Utilidad por unidad $2 $3

a) Determine la mezcla óptima de los dos productos. b) Supongamos que se está considerando los tres procesos para una expansión y usted necesita determinar su prioridad. Diseñe una forma lógica para lograr esta meta. 23)

Show & Sell puede anunciar sus productos en la radio o la televisión locales. El presupuesto para anuncios está limitado a 10.000 dólares al mes. Cada minuto de anuncios por radio cuesta 15 dólares y cada minuto de comerciales por televisión cuesta 300 dólares. A Show & Sell le agrada utilizar los anuncios por radio por lo menos el doble de los anuncios por televisión. Por lo pronto, no es práctico utilizar más de 400 minutos de anuncios por radio. La experiencia pasada muestra que se calcula que los anuncios por televisión son 25 veces más efectivos que los de la radio.

a) Determine la asignación óptima del presupuesto para los anuncios por radio y televisión. b) Determine el valor por unidad de incrementar el límite mensual en la publicidad por radio. c) Si el presupuesto mensual se aumenta a 15.000 dólares, utilice la definición de valor de la unidad para determinar la medida resultante de la efectividad publicitaria. 24)

Wyoming Electric Coop. Es propietaria de una planta generadora de energía con turbina de vapor. Debido a que Wyoming es rica en depósitos de carbón, la planta genera vapor con carbón. Sin embargo, esto crea el problema de satisfacer los estándares de emisión. Las regulaciones de la Environmetal Protection Agency (Agencia de Protección Ambiental) limitan la descarga de dióxido de azufre a 2.000 partes por millón y la descarga de humo de las chimeneas de la plante a 20 libras por hora. La Cooperativa recibe dos grados de carbones pulverizados, C 1 y C2, para ser utilizados en la planta. Por lo común, los dos grados se mezclan antes de quemarlos. Por simplicidad, supondremos que el contaminante de azufre de la mezcla (en partes por millón) es un promedio ponderado de la proporción de cada grado empleado en la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo de una tonelada por hora de cada uno de los dos grados de carbón. Grado de carbón

Descarga de azufre en partes por millón

Descarga de humo en libras por hora

Vapor generado en libras por hora

C1 C2

1 800 2 100

2.1 0.9

12 000 9 000

a) Determine la proporción óptima para mezclar los dos grados de carbón. b) Determine el efecto de relajar el límite de la descarga de humo 1 libra sobre la cantidad de vapor generado por hora. 25)

La división de Educación Continua en Ozark Community College ofrece un total de 30 cursos cada semestre. Los cursos que ofrece generalmente son de dos tipos: prácticos, como trabajos en madera, procesador de palabras y mantenimiento de automóviles; y humanísticos, como historia, música y bellas artes. Para satisfacer las demandas de la comunidad, es necesario ofrecer por lo

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menos 10 cursos de cada tipo, cada semestre. La división calcula que los ingresos por ofrecer esos cursos prácticos y humanísticos son aproximadamente 1.500 y 1.000 dólares por curso, respectivamente.

a) ¿Cómo debe asignar la escuela sus cursos? b) Determine el ingreso si se incrementa el requerimiento mínimo de los cursos prácticos con un curso más. c) Determine el ingreso si se incrementa el requerimiento mínimo de los cursos humanísticos con un curso más. 26)

Burroughs Garment Company fabrica camisas para caballero y blusas para damas para Walmark Discount Strores. Walmark aceptará toda la producción que le proporcione Burroughs. El proceso de producción que incluye corte, costura y empacado. Burroughs emplea a 25 trabajadores en el Departamento de corte, a 35 en el Departamento de costura y a 5 en el departamento de empacado. La fábrica trabaja un turno de 8 horas, sólo 5 días a la semana. La siguiente tabla proporciona los requerimientos de tiempo y las utilidades por unidad para las dos prendas: Prenda Camisas Blusas

Corte 20 60

Minutos por unidad Costura Empacado 70 12 60 4

Utilidad por unidad ($) 2.50 3.20

a) Determine el programa de producción semanal óptima para Burroughs. b) Si los requerimientos mínimos diarios de Walmark son de 2.000 camisas y 3.000 blusas, ¿es posible que Burroughs proporcione estas cantidades con su semana de trabajo actual de 5 días? De no ser así, ¿puede usted sugerir alguna forma para que Burroughs satisfaga estos requerimientos? ¿Cuál será el programa de producción óptimo en este caso? c) Determine el valor por hora de los procesos de corte, costura y empacado. d) Supongamos que se puedan trabajar horas extra en los departamentos de corte y costura, ¿cuál debe ser la tarifa máxima por hora que debe pagar Burruoghs por las horas extra? 27)

ChemLabs fabrica dos productos de limpieza para el hogar, A y B procesando dos tipos de materia prima, I y II. El procesamiento de una unidad de materia prima I cuesta 8 dólares y produce 0.5 unidad de solución A y 0.5 unidad de solución B. Además, el procesamiento de una unidad de materia prima II cuesta 5 dólares y produce 0.6 unidad de solución A y 0.4 unidad de solución B. La demanda diaria de la solución A es entre 10 y 15 unidades y la de la solución es entre 12 y 20 unidades.

a) Encuentre la mezcla óptima de A y B que debe producir ChemLabs. b) Determine el valor por cambio de unidad en los límites de la demanda de los productos A y B. 28)

Una línea de ensamble que consta de tres estaciones consecutivas produce dos modelos de radios: Hi-fi-1 y Hi-fi-2. La siguiente tabla proporciona los tiempos de ensamble para las tres estaciones de trabajo.

Minutos por unidad Edición de trabajo Hi-fi-1 1 6 2 5 3 4

Hi-fi-2 4 5 6

El mantenimiento diario de las estaciones 1, 2 y 3 consume 10%. 14% y 12% respectivamente, del máximo de 480 minutos disponibles para casa estación, cada día.

a) La compañía desea determinar la mezcla óptima de productos que minimizará los tiempos inactivos (o no utilizados) en las tres estaciones de trabajo. b) Determine el valor de disminuir 1 punto de porcentaje el tiempo diario de mantenimiento para cada estación.

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Un ejecutivo de negocios tiene la opción de invertir más dinero en dos planes; el plan A garantiza que cada dólar invertido ganará 0.70 de aquí a un año y el plan B garantiza que cada dólar invertido ganará 2 dólares después de 2 años. En el plan A, las inversiones se pueden hacer anualmente y en el plan B, las inversiones se permiten únicamente en los períodos que son múltiplos de dos.

a) ¿Cómo debe invertir el ejecutivo 100.000 dólares para maximizar las ganancias al final de 3 años? b) ¿Vale la pena que el ejecutivo invierta más dinero en los planes? 30)

OilCo construye una refinería para elaborar cuatro productos: diesel, gasolina, lubricantes y combustible para aviones. Las demandas (en barriles/día) de esos productos son 14,000, 30,000, 10,000 y 8000, respectivamente. Irán y Dubai tienen contrato para enviar crudo a OilCo. Debido a las cuotas de producción que especifica la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo) la nueva refinería puede recibir al menos el 40% de su crudo de Irán, y el resto de Dubai. OilCo pronostica que estas cuotas de demanda y de crudo permanecerán estables durante los 10 años siguientes. Las distintas especificaciones de los dos crudos determinan dos proporciones distintas de productos: un barril de crudo de Irán rinde 0.2 barril de diesel, 0.25 barril de gasolina, 0.1 barril de lubricante y 0.15 barril de combustible para avión. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0.1, 0.6, 0.15 y 0.1, respectivamente. OilCo necesita determinar la capacidad mínima de la refinería, en barriles de crudo por día.

31) Ahorros S.A. desea invertir una suma que genere un rendimiento anual mínimo de $10,000. Dispone de dos grupos accionarios: acciones selectas y alta tecnología, con un rendimiento anual promedio de 10 y 25%, respectivamente. Aunque las acciones de alta tecnología dan más rendimiento, son más arriesgadas, y Ahorros desea limitar la cantidad invertida en ellas a un máximo de 60% del total. ¿Cuál es la cantidad mínima que debe invertir Ahorros en cada grupo de acciones para alcanzar la meta de inversión?

32)

Una empresa fabrica cuatro productos: A, B, C y D. Cada unidad del producto A requiere dos horas de fresado, una hora de montaje y 10 dólares de inventario en proceso. Cada unidad del producto B necesita una hora de fresado, tres horas de montaje y un costo de cinco dólares de proceso de inventariado. Una unidad del producto C requiere 2 ½ horas de fresado, 2 ½ horas de montaje y dos dólares de proceso de inventariado. Por último, cada unidad del producto D requiere cinco horas de fresado, no necesita montaje y cuesta 12 dólares de proceso de inventariado. La empresa tiene 120 horas de fresado y 160 horas de montaje disponibles. Además, no puede disponer de más de mil dólares para proceso de inventario. Cada unidad del producto A genera un beneficio de 40 dólares; una unidad del producto B genera un beneficio de 24 dólares; las unidades del producto C generan 36 dólares y las del producto D, 23 dólares. No se pueden vender más de 20 unidades del producto A, ni más de 16 unidades del producto C; puede venderse cualquier número de unidades de los productos B y D. Sin embargo, hay que producir y vender por lo menos 10 unidades del producto D para satisfacer un requisito contractual. Formule el problema anterior como un problema de programación lineal. El objetivo de la empresa es maximizar los beneficios que resultan de la venta de los cuatro productos. Resuelva el problema en computadora.

33)

Una compañía vende dos productos diferentes, A y B. La información del precio de venta y de los costos unitarios es la siguiente: Producto A Producto B Precio de venta $ 60 $ 40 Costo unitario 30 10 Beneficios unitarios $ 30 $ 30

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Los dos productos se fabrican en un proceso de producción común y se venden a dos mercados distintos. El proceso de producción tiene capacidad de 30 000 horas de trabajo. Se requieren tres horas para producir una unidad A y una hora para producir una unidad B. El mercado se ha estudiado y los funcionarios de la compañía consideran que el número máximo de unidades de A que pueden vender es 8.000; el máximo de B es 12 000 unidades. Los productos se pueden vender en cualquier combinación, con las limitaciones anteriores. Formule el problema anterior como un problema de programación lineal; es decir, escriba las ecuaciones apropiadas y resuélvalo gráficamente.

34)

Mangus Electric Products Co. (MEPCO) produce grandes transformadores eléctricos para la industria eléctrica. La compañía tiene pedidos (Tabla) para los próximos seis meses. Se espera que el costo de manufactura de un transformador varíe un poco en los próximos meses, por cambios esperados en los costos de los materiales y en las tarifas de trabajo. La compañía puede producir hasta 50 unidades al mes con tiempo normal y hasta 20 unidades adicionales si utiliza tiempo extra. En la tabla se muestran los costos del tiempo normal y los del tiempo extra.

Pedidos (unidades) Costo por unidad con tiempo regular (miles de dólares) Costo por unidad con tiempo extra (miles de dólares)

Mes Mar. Abr. 34 69

Ene. 58

Feb. 36

18

17

17

20

19

19

Mayo 72

Jun. 43

18,5

19

19

21

22

22

El costo de almacenamiento en inventarios de los transformadores que no se vendan es 500 dólares por mes. Al 10 de enero, la compañía tiene 15 transformadores en existencias y desea tener no menos de cinco en existencias para el 30 de junio. Formule un problema de programación lineal para determinar el programa de producción óptimo para MEPCO.

35)

La compañía de diamantes Transval extrae diamantes de tres minas de Sudáfrica. Las tres difieren en cuanto a capacidad, número, peso de las gemas y costos; estos datos se presentan en la tabla.

Mina

Planta 1 Planta 2 Planta 3

Capacidad (m3 de tierra procesada)

Costos de tratamiento (rands por m 3)

83000 310000 190000

RO.60 RO.36 RO.50

Recuento de Grado gemas (número 3 (quintales m ) de piedras m 3)

0,36 0,22 0,263

0,58 0,26 0,21

Según las consideraciones de mercadotecnia, se requiere una producción mensual exacta de 148 000 gemas, mientras que otro requisito exige por lo menos 130 000 quilates (así, el tamaño promedio de las gemas es, por lo menos, de 130/148 = 0.88 quilates). El problema para el gerente de la compañía es cumplir con las exigencias de mercadotecnia al menor costo.

36)

Queremos seleccionar una estrategia de publicidad para llegar a dos tipos de clientes: amas de casa de familias con ingresos anuales superiores a 10 000 dólares y amas de casa de familias con ingresos anuales inferiores a 10 000 dólares. Consideramos que las personas del primer grupo comprarán dos veces más nuestro producto que las personas del segundo grupo, y nuestro objetivo es maximizar las compras. Podemos anunciar el producto en televisión o en una revista; una unidad de publicidad en televisión cuesta 20.000 dólares y llega a aproximadamente 2.000 personas del primer grupo y a 8.000 del segundo. Una unidad de publicidad en la revista cuesta 12. 000 dólares y llega a 6.000 personas del primer grupo y a 3.000 del segundo. Hay que usar por lo menos seis unidades de publicidad en televisión y no podemos usar más de 12 unidades de

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publicidad en la revista, por cuestiones de política. El presupuesto para publicidad es de 180 000 dólares. Formule este problema como un problema de programación lineal, definiendo todas las variables que utilice. Resuelva por el método gráfico para encontrar la estrategia de publicidad óptima.

37)

En fechas recientes, Super Sausage Company (SSC) ha experimentado cambios radicales en los precios de las materias primas, y el gerente ha dado instrucciones a una analista para que examine las proporciones de mezcla de ingredientes que se usa SSC para fabricar salchichas. La fabricación de salchichas debe cumplir con dos requisitos clave para el producto. El porcentaje de proteína en peso debe ser por lo menos del 15% y el porcentaje de grasas en peso no puede exceder el 30% (el peso restante es de relleno). SSC dispone de las cuatro materias primas siguientes para sus mezclas, con las características que se indican: Ingrediente

Porcentaje De Proteína

Porcentaje de grasas

Costo por kilogramo

A B C D

40 20 10 5

10 15 35 40

$ 1.80 0.75 0.40 0.15

Formule un modelo de programación lineal que ayude a SSC a determinar el programa de mezclas más deseable. Resuelva el problema en computadora.

38)

Remítase al problema de mezcla de productos. Una empresa de manufactura fabrica productos, A y B, cada uno de los cuales debe procesarse en dos máquinas diferentes. Una máquina tiene 24 horas de capacidad disponibles y la otra sólo tiene 16 horas. Cada unidad del producto A necesita tres horas en cada máquina, mientras que una unidad del producto B necesita tres horas en la primera máquina y una hora en la segunda. Los beneficios marginales son de seis dólares por unidad del producto A y siete dólares por unidad del producto B y la empresa puede vender todas las unidades que puede fabricar de los dos productos. El objetivo de la empresa es maximizar los beneficios. El problema es determinar cuántas unidades de los productos A y B deben producirse dentro de los límites de las capacidades disponibles de las máquinas. Resuelva el problema con los dos productos A y B Suponga que la empresa tiene un tercer producto, C, que puede producirse en la primera o en la segunda máquina. Si se produce en la primera máquina se requiere una hora; si se hace en la segunda máquina, se necesitan dos horas. El producto C tiene beneficios marginales de nueve dólares por unidad. Modifique la formulación del problema para incluir el producto C.

39)

El Consejo de Seguridad de Estados Unidos debe asignar su presupuesto para los próximos tres años. Ya se han tomado decisiones irrevocables con respecto a varias “áreas programadas” y a su financiamiento total; por ejemplo, se ha asignado un total de 110.000 dólares a la prevención de fallecimientos y a la reducción en daños a propiedades por accidentes automovilísticos. Pero hay que tomar decisiones detalladas acerca de los proyectos específicos para alcanzar los objetivos de los programas. En el caso de la prevención de fallecimientos y de la reducción en daños a propiedades, la tabla contiene los proyectos que recomendaron los analistas del consejo, junto con los datos apropiados. Los miembros del consejo quieren que usted los ayude a tomar las decisiones sobre la asignación del presupuesto (o sobre la elección y la magnitud de los proyectos). Al preguntarles cuál de los objetivos específicos es más importante, dijeron: “¡Es una pregunta difícil! Por una parte, la vida humana es sagrada y no puede comprarse con ninguna cantidad de dinero. Por otra parte, si hay dos maneras de ahorrar el mismo número de vidas, obviamente preferiríamos el proyecto que de cómo resultado la menor cantidad de daños a propiedades”.

106


Proyecto 1. Publicidad para el uso de

Límite superior de gastos para el proyecto (en dólares)


Prevención esperada de Reducción esperada en fallecimientos por cada daños a propiedades por 1.000 dólares gastados cada 1000 dólares gastados

$80 000

0.33

$0

20 000

0.25

20 000

75 000

0.15

30 000

100 000

0.27

10 000

cinturones de seguridad. 2. Investigación para mejorar el diseño de carreteras. 3. Investigación para mejorar el diseño de automóviles. 4. Dólares gastados para promover leyes estatales más severas para conductores ebrios

Al preguntarles en forma específica cuál sería la “compensación” entre vidas salvadas y daños a propiedades que les sería indiferente, su respuesta fue: “¡Esta pregunta es aún más difícil! Sin

embargo, somos conscientes de que un organismo de gobierno ha establecido, para fines internos de asignación de recursos, un valor monetario implícito de 300.000 dólares por una vida humana que se salve (creemos que otro organismo también usa esta cifra para tomar decisiones acerca de la incorporación de características de seguridad adicionales en su equipo)”.

Formule un modelo de programación lineal cuya solución represente una asignación óptima del presupuesto de 110.000 dólares, con base en la información anterior. Asegúrese de definir todas las variables que utilice, para resolver por computadora el problema formulado.

40)

Delight Dary Company (DD) produce una amplia gama de productos lácteos. Los productos se han separado en dos categorías principales, con el fin de planificar la producción: helados (varios sabores y tamaños) y especialidades (helado en palito, emparedados de helado, conos de helado, etc.) Cada clase de producto tienen su propio equipo de empaquetado, pero ambas usan una misma máquina de fabricación de helado; también emplean el mismo grupo de trabajadores para producir y empaquetar cada clase de producto. Los helados requieren dos horas de la máquina de fabricación de helados, una hora en su propia línea de empaquetado y tres horas de trabajo para producir 4.000 litros de producto terminado. Las especialidades requieren una hora de la máquina de fabricación de helado, una hora en su propia línea de empaquetado y seis de trabajo para producir el equivalente de 4.000 litros de producto terminado. DD puede vender 4.000 litros de helado en 300 dólares, y 4.000 litros de especialidades en 500 dólares. Los costos de materias primas son aproximadamente iguales para ambas clases de productos. En la actualidad, la compañía tiene un turno de trabajo (40 horas por semana) y emplea tres trabajadores de tiempo completo y un empleado de ¾ de tiempo, para un total de 120 + 30 = 150 horas de trabajo a la semana. Formule un modelo de programación lineal para la planificación de la producción de Delight Dairy y resuelva gráficamente.

41)

Empire Abrasive Company (EAC) produce polvo de óxido de alumno que utiliza en sus afiladoras y en sus abrasivos. Hay dos tipos de producto terminado: polvo fino polvo grueso. Existen además dos tipos de insumos llamados crudo de Surinam y crudo chino (según el país de donde proviene la bauxita de la cual se obtiene el crudo). Por último, hay dos modos de procesamiento, llamados rápido y lento, que pueden aplicarse a cualquiera de los materiales de entrada para producir diversos porcentajes de los productos terminados. La tabla – describe los porcentajes de cada producto terminado que se obtienen de las posibles combinaciones de los materiales de entrada y de los modos de procesamiento.

107


Porcentaje de polvo grueso Porcentaje de polvo fino Perdidas en la producción

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Entrada de crudo de Surinam Primer Segundo proceso proceso 45 25 50 70 5 5

Entrada de crudo Chino Primer Segundo proceso proceso 35 20 60 80 5 0

La tonelada de crudo de Surinam cuesta 300 dólares, mientras que la de crudo chino cuesta 350. Una tonelada de procesamiento rápido cuesta 50 dólares, y una de procesamiento lento cuesta 40 dólares. La tonelada de polvo grueso se vende a 500 dólares y la de polvo fino a 325. La planta de EAC puede procesar 1.000 toneladas de crudo por semana. No hay límites en cuanto al volumen de producto terminado que puede venderse. Formule un modelo de programación lineal para este problema que indique cómo puede llegar EAC a la situación más rentable. Nota: EAC puede usar ambos tipos de crudo y ambos tipos de procesos; es decir, puede existir soluciones fraccionarias.

42)

La compañía Consolidated ha contratado el envió de sus productos de la fábrica a los almacenes. El volumen de entregas se mide en toneladas – kilómetro (toneladas de producto multiplicadas por el número de kilómetros hasta el punto de entrega). Consolidated tiene que entregar aproximadamente 400.000 toneladas-kilómetro por mes. Actualmente, Consolidated paga a Speedie Trucking Company 50 centavos por tonelada – kilómetro para que entregue el producto, pero quiere comprar una flotilla de camiones para hacerse cargo de todo o de una parte del servicio de entrega. Se consideran tres tipos de camiones: grandes camiones remolque, camiones medianos y camionetas. En la tabla se presentan los detalles de cada tipo.

Tipo Remolque Mediano CAMIONETA

Costo de compra $15.000 8.000 5.000

Costo operativo (tonelada-kilómetro) $0.28 0.32 0.40

Capacidad (toneladasKilómetroPor mes) 10.000 8.000 5.000

Speedie Trucking ha indicado que seguiría entregando los productos que Consolidated no pueda distribuir con sus camiones, a la misma tarifa de 50 centavos por tonelada kilómetro. En Consolidated hay escasez de fondos de capital para equipo, y sólo se dispone de 380 000 dólares para las compras. Además de la limitación del presupuesto, existen otras restricciones con respecto a los tipos de camiones que se compren. El primer punto es el área de carga disponible. Debido a las limitaciones del espacio de almacenamiento y de las maniobras de carga, no caben más de 28 camiones. Un remolque o un camión mediano ocuparía un espacio; dos camionetas ocuparían un espacio. Además, como consecuencia de los tipos y tamaños de las entregas, por lo menos dos terceras partes de los vehículos que se compren tendrán que ser remolques o camiones medianos. Formule este problema como un problema de programación lineal. Resuelva en computadora. Tenga cuidado en la especificación del objetivo y en la definición de las variables.

43) Acme Skateboard Company fabrica tres modelos de patinetas: regular, especial y de lujo. En la tabla se muestran los datos de costos, precio de venta y otra información relacionada con cada modelo.

108



Modelo Regular Especial De lujo Precio de venta por unidad 7 15 25 Costo de materias primas por unidad 3 6 10 Horas de trabajo necesarias para el montaje, para 0.1 0.2 0.5 el acabado y para el empaquetado por unidad. Límite superior de la demanda para las ventas semanales. 1000 800 300 Acme tiene una fuerza de trabajo de cinco individuos asalariaos que trabajan un máximo de 40 horas por semana y que reciben una paga de 280 dólares por semana (incluyendo prestaciones) aunque no trabajen las 40 horas. Acme desea encontrar el plan óptimo de producción semanal que maximice el beneficio y la contribución al costo fijo de fuerza de trabajo. Formule un modelo de programación lineal que maximice el beneficio más la contribución a los costos fijos de fuerza de trabajo.

44)

Emory Aluminum Company fabrica rollos de papel de aluminio de distintas anchuras. Los clientes pueden pedir rollos de 60,50, 30 o 20 centímetros de ancho. El papel se fabrica con un ancho normal de 135 centímetros y las anchuras menores se cortan del rollo normal.

Anchura 60 centímetros 50 centímetros 30 centímetros 20 centímetros Desperdicio (centímetros)

1 2

15

2 1 1 1 5

3 1 1 2 5

4 1

5 1

2 1

2

15

Método de corte 6 7 8 9

3 15

5

2 1 15

1 2 1 5

1 1 2 15

10

11

12

13

4

2 3 15

6 15

1 4 5

15

Hay varias maneras de cortar las anchuras menores, como se indica en la tabla. Por ejemplo, con el método 3 se cortan del rollo normal un rollo de 60 cm. de ancho, un rollo de 30 cm de ancho y dos rollos de 20 cm. Con este método queda cinco centímetros de desperdicio [135 – 60 – 30 – 2(20) = 5]. Puesto que el método de corte genera ciertos desperdicios, hay algunas combinaciones (que no se indican) que no se pueden cortar. Todos los rollos para corte tienen anchura de 135 centímetros y todos los pedidos son par las medidas que se indican en la tabla. Además, todos los pedidos tienen una longitud determinada (la longitud del rollo). Emory ha recibido los siguientes pedidos para el mes de julio :Ancho 24 centímetros 20 centímetros 12 centímetros 8 centímetros

Rollos pedidos 330 120 480 160

¿Cómo debe cortar Emory sus rollos para satisfacer los pedidos? Formule un modelo de programación lineal para el problema, resuelva en computadora.

45)

Un fabricante ha establecido un contrato para producir 2.000 unidades de un producto en los próximos ocho meses. El programa de entregas es el siguiente: Mes Unidades Enero 100 Febrero 200 Marzo 300 Abril 400 Mayo 100 Junio 100 Julio 500 Agosto 300 Total 2.000

109



El fabricante ha estimado que le cuesta un dólar almacenar una unidad de producto durante un mes. La capacidad de su almacén es de 300 unidades. El fabricante puede producir cualquier número de unidades en un mes, ya que se producen principalmente con mano de obra temporal, fácilmente disponible. Sin embargo, existe el costo de la capacitación del nuevo personal y los costos que se relacionan con los despidos de personal. El fabricante estima que cuesta unos 785 centavos por unidad aumentar el nivel de producción de un mes al siguiente (es decir, si la producción de enero es 200 y aumenta a 300 en febrero, el costo es de 75 dólares para capacitación del personal adicional que se requiere para producir al nivel de 300 unidades). De manera análoga, cuesta 50 centavos por unidad reducir la producción de un mes al siguiente. (Al término de los ocho meses se despedirá a todos los empleados, con los costos correspondientes de la reducción de la producción). Suponga que el nivel de producción antes de enero es cero.

a) Formule lo anterior como un problema de programación lineal y resuelva en computadora. b) Suponga que hay un límite de producción de 300 unidades mensuales. Formule el problema de programación lineal con esta restricción adicional y resuelva en computadora. 46)

La compañía eléctrica Stateside planifica la construcción de nuevas instalaciones en su área para los próximos 10 años. Es posible construir cuatro tipos de instalaciones de energía eléctrica: plantas de vapor que utilizan carbón para generar energía, plantas hidroeléctricas sin represa, plantas hidroeléctricas con represa, plantas hidroeléctricas con represas pequeñas (capacidad de almacenamiento de agua suficiente para cubrir las fluctuaciones diarias) y plantas hidroeléctricas con grandes represas (suficiente capacidad de almacenamiento de agua para cubrir las fluctuaciones de flujo de agua y las de demanda de energía en la temporada. El consumo de energía eléctrica se basa en tres características. La primera es el consumo anual total; se estima que el área requerirá 4 billones de kilowatts- hora hasta el décimo año. La segunda característica es el consumo máximo de energía, que por lo general ocurre en cualquier día de verano alrededor de las 4 P.M. Todos los planes deben suministrar capacidad máxima suficiente para cubrir la necesidad máxima esperada de 3.000 millones de Kilowatts en el décimo año. La tercera característica es el suministro garantizado de energía, que se mide como el suministro diurno promedio a mediados de invierno, cuando el consumo es alto y los niveles de agua APRA las plantas hidroeléctricas son bajos. El requisito de suministro garantizado hasta el décimo año es de 2.000 millones de kilowatts. Las diversas plantas de energía posibles varían en cuanto a la forma de satisfacer estas características. Por ejemplo, las plantas hidroelécticas con represas pueden proporcionar gran capacidad máxima, mientras que las plantas de vapor y las hidroeléctricas sin represas nos funcionan muy bien en este aspecto. En la tabla se presentan las características de los distintos tipos de plantas. Cada una se mide en función de una unidad de capacidad, la cual se define como la capacidad para producir un billón de kilowatts – hora por año. Observe que los tipos de plantas varían considerablemente en sus costos de inversión, así como en sus costos operativos (de explotación) anuales. Por ejemplo, el costo del carbón eleva bastante los costos anuales de las plantas de vapor, mientras que los costos operativos anuales de las plantas hidroeléctricas son relativamente menores. La última columna de la tabla muestra los costos totales actualizados, que incluyen tanto el costo de inversión como los costos operativos anuales actualizados.

Tipo Vapor Hidroeléctrica, sin represa Hidroeléctrica, represa pequeña Hidroeléctrica, represa grande

Suministro garantizado (millones de kilowatts)

Suministro máximo (millones de kilowatts)

Costo de la inversión ( miles de dólares)

Costo total actualizado ( miles de dólares)

0.15 0.10 0.10 0.80

0.20 0.10 0.40 0.90

30 40 60 100

65 42 64 110

110



La compañía quiere desarrollar un plan de 10 años que detalle la capacidad de cada tipo de planta que debe construir. El objetivo es minimizar el costo total actualizado, pero existe la restricción de que no puede invertir más de 350 millones de dólares en plantas en los próximos diez años. Formule el problema como un modelo de programación lineal y resuelva en computadora.

47)

En los modelos de programación lineal, por lo general se supone que la demanda de un producto es algo conocido, cuando en la práctica esta demanda es incierta. Con frecuencia se puede incorporar esta demanda incierta a un modelo de programación lineal, como se ilustra en este ejercicio. Remítase al problema 32. Considere el producto A, para cuya demanda se supone que existe un límite superior de 10 unidades. Suponga ahora que el límite superior para la demanda del producto A es incierta pero se asigna una probabilidad de 0.4 de que se vendan 10 u nidades como máximo, y de 0.6 de que se vendan 20 como máximo. Suponga también que si se producen más de 10 unidades y el límite superior de la demanda resulta ser sólo 10 unidades, se puede vender el excedente a un precio reducido que solo ofrecerá un beneficio de 10 dólares por unidad. Su objetivo es maximizar el beneficio esperado. ¿Cómo modificaría la formulación del problema 32 para lograrlo? Recomendación: Defina una nueva variable como el exceso de producción del producto A, por encima de 10 unidades, y considere los ingresos esperados que se obtendrían de la venta de estas unidades y resuelva en computadora.

48)

Remítase al problema 33.

a) Resuelva el problema en forma gráfica para encontrar la combinación óptima de productos Para que los apartados (b) a (d) de este problema, considere que cada caso por separado. Convierta además a millares todas las unidades y resuelva gráficamente. b) Suponga que el número máximo de unidades del producto A que pueden venderse es 9.000 (en lugar de 8.000, como en el caso base) ¿Cuál es el efecto de la solución? ¿Cuál es el efecto de los beneficios? ¿Cuál es el precio dual para la restricción que limita las ventas del producto A? c) Suponga que el número máximo de unidades del producto B que pueden venderse es 13.000 (y no 12.000, como en el caso base). ¿Cuál es el efecto en los beneficios? ¿Cuál es el precio dual para la restricción que limita las ventas del producto B? d) Suponga que hay 31.000 horas de trabajo disponibles, en lugar de las 3.000 del caso base. ¿Cuál es el efecto en el problema? ¿Cuál es el efecto de los beneficios? ¿Cuál es el precio dual de la restricción del número de horas de trabajo? e) Remítase a los apartados (b), (c) y (d) anteriores. Determine en forma gráfica los intervalos del término independiente en los cuales se mantienen los precios duales de las tres restricciones. 49)

Remítase al problema 40 (el problema de la compañía Delight Dairy).

a) Suponga que se podrían obtener 10 horas de trabajos adicionales (convirtiendo la posición de ¾ de tiempo en tiempo completo). ¿Cuál es el efecto de la solución? Muestre el resultado de manera gráfica. Calcule el precio dual por hora de trabajo adicional. b) ¿Cuántas horas de trabajo adicional pueden añadirse antes de que cambie el precio dual que calculo en (b)? Muestre el resultado en forma gráfica. c) Suponga que la competencia ha hecho que el precio del helado baje de 300 a 200 dólares por cada 4.000 litros. ¿Cambiaría esto el plan de producción de DD? De ser así, ¿cuál sería el nuevo plan? 50)

La compañía de préstamos U-Save planifica sus operaciones para el año entrante. Ofrece cinco tipos de préstamos, descritos a continuación, junto con el rendimiento anual (porcentaje) para la compañía. Los requisitos legales y la política del a compañía imponen los siguientes límites a las cantidades que pueden entregarse en los distintos tipos de préstamos.

111

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Tipo de préstamos Préstamos personales Préstamos para muebles Préstamos para automóviles Segunda hipoteca de casa Primera hipoteca de casa

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Rendimiento anual (porcentaje) 15 12 9 10 7

Los préstamos personales no pueden exceder el 10% de la cantidad total de los préstamos. La cantidad total de los préstamos. La cantidad de préstamos personales y para muebles, en conjunto, no debe ser mayor del 20%. Las primeras hipotecas deben constituir por lo menos el 40% de todas las hipotecas y por lo menos el 20% del total de préstamos. Las segundas hipotecas no pueden exceder el 25% del total de préstamos.

51)

La compañía desea maximizar los ingresos de los intereses de los préstamos, sujetándose a las restricciones anteriores. La empresa puede prestar como máximo 1.5 millones de dólares. Formule este problema como uno de programación lineal Resuelva en computadora. . Remítase al problema 50.

a) Si la compañía pudiera juntar 1.5 millones de dólares adicionales para prestarlos, ¿cuál sería el rendimiento de cada dólar adicional? ¿En qué intervalo se mantendría el valor? b) Suponga que el rendimiento anual de las segundas hipotecas aumenta del 10 al 12%. ¿Cuál sería el efecto en la solución del problema (es decir, en la cartera de préstamos)? ¿Cuál sería el efecto en el rendimiento total? Suponga que la tasa de las segundas hipotecas fuera del 14%. ¿Cuál sería el efecto? ¿Cuánto tendría que subir la tasa de las segundas hipotecas para que tuviera efecto en la cartera de préstamos? 52)

La empresa Whitt Window tiene sólo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede terminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día. Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio, 8 pies cuadrados. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo producir al día para maximizar la ganancia total.

a) b) c) d)

Construya y llene una tabla para este problema, identifique las actividades y los recursos. Formule un modelo de programación lineal. Use el método gráfico para resolver el modelo. Un nuevo competidor en la ciudad también produce ventanas con marco de madera. Esto puede forzar a la compañía a bajar el precio y por ende la ganancia debida a este tipo de ventanas. Cómo cambiaría la solución óptima (si cambia) si la ganancia por ventana de madera disminuye de $60 a $40? ¿Y de $60 a $20? e) Doug piensa reducir sus horas de trabajo, lo cual reduciría el número de ventanas de madera que produce por día. (Cómo cambiaría la solución óptima si hace sólo 5 marcos diarios?

53)

La Apex Televisión Company debe decidir el número de televisores de 27 y 20 in producidos en una de sus fábricas. La investigación de mercado indica ventas de a lo más 40 televisores de 27 in y 10 de 20 in cada mes. El número máximo de horas-hombre disponibles es 500 por mes. Un televisor de 27 in requiere 20 horas-hombre y uno de 20 in, 10. Cada televisor de 27 in produce una ganancia de $120 y cada uno de 20 in produce $80 de ganancia. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todos los televisores producidos si el número no excede el máximo indicado por el estudio de mercado.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método gráfico para resolver el modelo. 54)

La compañía Worldlight produce dos dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricas. La administración desea determinar cuántas unidades

112



de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricas. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no tiene ganancia, por lo que fabricar más de 60 está fuera de consideración.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Utilice el método gráfico para resolver este modelo. (Cuál es la ganancia total que resulta? 55)

La compañía de seguros Primo está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es $5 por el seguro de riesgo especial y $2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes; Departamento

Suscripciones Administración Reclamaciones

56)

Horas-hombre por unidad Riesgo Hipoteca especial

3 0 2

2 1 0

Horas-hombre disponibles

2.400 800 1.200

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método gráfico para resolver el modelo . Weenies and Buns es una planta procesadora de alimentos que fabrica hotdogs y pan para hotdogs. Muelen su propia harina para el pan a una tasa máxima de 200 libras por semana. Cada pan requiere 0.1 libras. Tienen un contrato con Pigland, Inc., que especifica la entrega de 800 libras de productos de chancho cada lunes. Cada hot-dog requiere 1/4 de libra de producto de chancho. Se cuenta con suficiente cantidad del resto de los ingredientes de ambos productos. Por último, la mano de obra consiste en 5 empleados de tiempo completo (40 horas por semana). Cada hotdog requiere 3 minutos de mano de obra y cada pan de 2 minutos de mano de obra. Cada hotdog proporciona una ganancia de $0.20 y cada pan de $0.10. Weenies and Buns desea saber cuántos hotdogs y cuántos panes deben producir cada semana para lograr la ganancia más alta posible.


La compañía manufacturera Omega descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llamados productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción:

Tipo de máquina Fresadora Torno Rectificadora

Tiempo disponible (en horas-máquina por semana) 500 350 150

El número de horas-máquina requeridas para cada unidad de los productos respectivos es,

113



Coeficiente de productividad (En horas máquina por unidad) Tipo de máquina Producto 1 Producto 2 Fresadora 9 3 Torno 5 4 Rectificadora 3 0

Producto 3 5 0 2

El departamento de ventas indica que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria respectiva sería de $50, $20 y $25, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. Formule un modelo de programación lineal y resuélvalo en computadora.

58)

Hoy es su día de suerte, Acaba de ganar un premio de $10.000. Dedicará $4.000 a impuestos y diversiones, pero ha decidido invertir los otros $6.000. Al oír las nuevas, dos amigos le han ofrecido una oportunidad de convenirse en socio en dos empresas distintas, cada una planeada por uno de ellos. En ambos casos, la inversión incluye dedicar parte de su tiempo el siguiente verano y dinero en efectivo. Para ser un socio completo en el caso del primer amigo debe invertir $5 000 y 400 horas, y su ganancia estimada (sin tomar en cuenta el valor del dinero en el tiempo) sería $4.500. Las cifras correspondientes para el segundo caso son $4 000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4 500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían participar con cualquier fracción de participación que quiera. Si elige una participación parcial, todas las cifras dadas para la sociedad completa (inversión de dinero y tiempo, y la ganancia) se pueden multiplicar por esta fracción. Como de todas formas usted busca un trabajo de verano interesante (máximo 600 horas), ha decidido participar en una o ambas empresas en alguna combinación que maximice su ganancia total estimada. Usted debe resolver el problema de encontrar la mejor combinación.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método gráfico para resolver el modelo, ¿cuál es su ganancia total estimada? 59)

Carne con papas es el plato favorito de Ralph Edmund. Por eso decidió hacer una dieta continua de sólo estos dos alimentos (más algunos líquidos y suplementos de vitaminas) en todas sus comidas. Ralph sabe que no es la dieta más sana y quiere asegurarse de que toma las cantidades adecuadas de los dos alimentos para satisfacer los requerimientos nutricionales. Cuenta con la siguiente información nutricional y de costo:

Granos de ingredientes por porción Ingrediente Carbohidratos Proteínas Grasa Costo/porción

Res 5 20 15 $4

Papas 15 5 2 $2

Requerimiento diario (gramos) ≥50 ≥40 ≤60

Ralph quiere determinar el número de porciones diarias (pueden ser fraccionales) de res y papas que cumplirían con estos requerimientos a un costo mínimo.


Dwight es un maestro de primaria que también cría chanchos para tener ingresos adicionales. Intenta decidir qué alimento darles. Piensa que debe usar una combinación de los alimentos que venden los proveedores locales. Desea que tenga un costo mínimo al mismo tiempo que cada chancho reciba una cantidad adecuada de calorías y vitaminas. El costo y los contenidos de cada alimento se muestran en la tabla.

114

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Contenido Calorías (por libra) Vitaminas (por libra) Costo (por libra)

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Alimento tipo A 800 140 unidades $0.40

Alimento tipo B 1.000 70 unidades $0.80

Cada chancho requiere al menos 8 000 calorías por día y 700 unidades de vitaminas. Una restricción más es que el alimento tipo A no sea más de un tercio de la dieta (por peso), pues contiene un ingrediente tóxico si se consume en demasía.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método gráfico para resolver el modelo. ¿Cuál es el costo diario por chancho que resulta? 61)

Web Mercantile vende muchos productos para el hogar mediante un catálogo en línea. La compañía necesita un gran espacio de almacén para los productos. Ahora planea rentar espacio para los siguientes 5 meses. Se sabe cuánto espacio necesitará cada mes; pero como varía mucho, puede ser más económico rentar sólo la cantidad necesaria cada mes con contratos mensuales. Por otro lado, el costo adicional de rentar espacio para meses adicionales es menor que para el primero, y puede ser menos costoso rentar el espacio máximo los 5 meses. Otra opción es el enfoque intermedio de cambiar la cantidad total de espacio rentado (con un nuevo contrato y/o la terminación del anterior) al menos una vez pero no cada mes. El espacio requerido y los costos para los periodos de arrendamiento son los siguientes: Mes Espacio Período de Costo por ft 2 requerido (ft2) arrendamiento (meses) arrendado 1 30000 1 $ 65 2 20000 2 $100 3 40000 3 $135 4 10000 4 $160 5 50000 5 $190 El objetivo es minimizar el costo total de arrendamiento para cumplir con los requerimientos.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva este modelo en computadora 62)

La Medequip Company produce equipos de precisión de diagnóstico médico en dos fábricas. Se han recibido pedidos de tres centros médicos para la producción de este mes. La tabla a la derecha muestra el costo unitario de envío desde cada fábrica a cada centro. Además, muestra el número de unidades que se producirán en cada fábrica y el número de unidades ordenadas por cada cliente.

A De Fabrica 1 Fabrica 2 Orden

Costo unitario de envío Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 $600 $800 $700 $400 $900 $600 300 unid 200 unid 400 unid

Producción 400 unid 500 unid

Ahora debe toman la decisión sobre el plan de cuántas unidades enviar de cada fábrica a cada cliente.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva el modelo en computadora. 63)

Fagersta Steelwonks explota dos minas para obtener mineral de hierro. Este mineral de hierro se envía a una de dos instalaciones de almacenamiento. Cuando se necesita se manda a la planta de acero de la compañía. El siguiente diagrama describe la red de distribución, donde Ml y M2 son las dos minas, Si y S2, los dos almacenes y P es la planta de acero. También muestra las cantidades producidas en las minas y las necesarias en la planta, al igual que el costo de envío y la cantidad máxima que se puede enviar al mes por cada vía. La administración desea determinar el plan más

115



económico de envío del mineral de las minas a la planta.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva este modelo en computadora.

64)

Metalco Company desea hacer una nueva aleación con 40% de aluminio, 35% de zinc y 25% de plomo a partir de varias aleaciones disponibles que tienen las siguientes propiedades:

Propiedad Porcentaje de aluminio Porcentaje de zinc Porcentaje de plomo Costo ($ / libra)

1 60 10 30 22

2 25 15 60 20

Aleación 3 45 45 10 25

4 20 50 30 24

5 50 40 10 27

El objetivo es determinar las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir la nueva aleación a un costo mínimo. Formule un modelo de programación lineal y resuelva en computadora

65)

La Weigelt Corporation tienes tres plantas con exceso en su capacidad de producción. Por fortuna, la corporación tiene un nuevo producto listo para iniciar su producción y las tres plantas pueden fabricarlo, así que se podrá usar parte del exceso de este modo. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y chico; y darán una ganancia neta de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas 1, 2 y 3 tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias de este producto, respectivamente, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también limitaciones en las tasas de producción del nuevo producto. Las plantas 1, 2 y 3 tienen 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio respectivo, para material en proceso de la producción diaria. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20, 15 y 12 pies cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de venta indican que, si están disponibles, se pueden vender 900, 1200 y 750 unidades diarias de los tamaños respectivos grande, mediano y chico. Será necesario despedir algunos empleados en cada planta a menos que la mayor parte de esta capacidad en exceso se pueda usar con el nuevo producto. Para evitar despidos en lo posible, la gerencia ha decidido que las plantas deben usar el mismo porcentaje de su capacidad adicional con este nuevo producto. El gerente desea saber cuántas unidades de cada tamaño producir en cada planta para maximizar la ganancia.

116



a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva este modelo en computadora. 66)

Confortable Hands es una compañía que produce una línea de guantes de invierno para toda la familia: caballeros, damas y niños. Desean decidir qué mezcla de estos tres tipos de guantes fabricar. La fuerza de trabajo es sindicalizada. Cada empleado de tiempo completo trabaja 40 horas por semana. Por contrato, el número de empleados de tiempo completo no puede ser menor que 20. Se puede contratar trabajadores no sindicalizados con las siguientes restricciones; 1) cada uno trabaja 20 horas por semana y 2) debe haber al menos 2 de tiempo completo por cada uno de medio tiempo. Los tres tipos de guantes están hechos con el mismo porcentaje de piel de vaca. La compañía tiene un contrato a largo plazo con el proveedor de piel y recibe 5000 ft 2 de material por semana. Los requerimientos de material y mano de obra, y la ganancia bruta por guante vendido (sin considerar costo de mano de obra) son:

Guante

Material req. (ft2)

Caballero Dama Niño

2 1.5 1

Mano de obra req.(min) 30 45 40

Ganancia bruta (por parte) $8 $10 $6

Cada empleado de tiempo completo gana $13 por hora y cada uno de medio tiempo, $10 por hora. La gerencia desea saber qué mezcla de los tres tipos de guantes producir por semana, lo mismo que cuántos empleados de cada tipo contratar. Desea maximizar su ganancia neta, o sea, la ganancia bruta menos costo de mano de obra.


Slim Down fabrica una línea de bebidas nutritivas para reducción de peso. Uno de sus productos es una malteada de fresa diseñada como una comida completa. La malteada contiene varios ingredientes. En la tabla seda parte de la información de estos ingredientes.

Ingrediente Sabor fresa Crema Suplemento Vitaminas Endulzante artificial Agente p/espesar

Calorías de grasa (cuch) 1 75 0

Calorías totales (cuch) 50 100 0

Vitaminas s(mg/cuch) 20 0 50

Harinas (mg/cuch) 3 8 1

Costo ($/cuch) 10 8 25

0

120

0

2

15

30

80

2

25

6

Los requerimientos nutritivos son los siguientes. La bebida debe tener un total de 380 a 420 calorías (inclusive). No más de 20% de las calorías totales debe venir de grasas. Debe tener al menos 50 mg de contenido vitamínico. Para el sabor, debe haber al menos 2 cucharadas (cuch.) de saborizante de fresa por cada cucharada de endulzante artificial. Por último, para que esté espeso, debe haber justo 15 mg de harinas en la bebida. La gerencia desea seleccionar la cantidad de cada ingrediente para la bebida que minimice el costo al tiempo que cumpla con los requerimientos anteriores. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva el modelo en computadora.

68)

Joyce y Marvin tienen una guardería. Ellos intentan decidir qué dar a los niños de almuerzo. Desean mantener sus costos bajos, pero también deben cumplir con los requerimientos nutritivos para niños. Ya decidieron darles sándwiches de mantequilla de maní y mermelada y alguna combinación de galletas, leche y jugo de naranja. El contenido nutritivo de cada alimento y su

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costo se da en la siguiente tabla.

Alimento Pan (1 reb) Mantequilla maní (l cuch.) Mermelada (l cuch.) Galleta (l pz.) Leche (l taza) Jugo (l taza)

Calorías de grasa 10 de 75

Calorías totales 70 100

Vit. C (mg) 0 0

Prot. (g) 3 4

Costo ($) 5 4

0

50

3

0

7

20 70 0

60 150 100

0 2 120

1 8 1

8 15 35

Los requerimientos nutritivos son los siguientes. Cada niño debe recibir de 400 a 600 calorías. No más de 30% de las calorías totales deben venir de grasas. Cada niño debe consumir al menos 60 mg de vitamina C y 12 g de proteína. Todavía más, por razones prácticas, cada niño necesita justo 2 rebanadas de pan (para un sándwich), al menos el doble de mantequilla de maní que de mermelada y al menos una tasa de líquido (leche y/o jugo de naranja). Joyce y Marvin desean seleccionar las opciones de alimento para cada niño que minimice el costo mientras cumple con los requerimientos establecidos.


Se tienen los siguientes datos para un problema de programación lineal cuyo objetivo es maximizar la ganancia de asignar tres recursos a dos actividades no negativas. Recurso

Uso de recursos por unidad de cada actividad Actividad 1 Actividad 2

1 2 3 Contribución por unidad

2 3 2 $20

Cantidad de recursos disponible

1 3 4 $30

10 20 20

Contribución por unidad = ganancia por unidad de cada actividad.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método gráfico para resolver este modelo. c) Despliegue el modelo en una hoja de cálculo. 70)

Ed Butler es el gerente de producción de Bilco Corporation, que produce tres tipos de refacciones para automóviles. La manufactura de cada parte requiere procesamiento en dos máquinas, con los siguientes tiempos de procesado (en horas):

Máquina 1 2

A 0.02 0.05

Refacción B 0.03 0.02

C 0.05 0.04

Cada máquina está disponible 40 horas al mes. La ganancia unitaria de cada parte fabricada está dada por:

Ganancia

A $50

Refacción B $40

C $30

118



Ed quiere determinar la mezcla de refacciones que debe producir para maximizar la ganancia total.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Despliegue el modelo en computadora. c) Realice tres estimaciones de la solución óptima. Use la hoja de cálculo para verificar la factibilidad de cada una y, si es factible, encuentre el valor de la función objetivo. ¿Qué estimación tiene el mejor valor de la función objetivo? 71)

Usted cuenta con los siguientes datos para un problema de programación lineal cuyo objetivo es minimizar el costo de realizar dos actividades no negativas para lograr tres beneficios que no bajan de sus niveles mínimos.

Beneficio 1 2 3 Costo unitario

Contribución al beneficio por unidad de actividad Actividad 1 Actividad 2 5 3 2 2 7 9 $60 $50

Nivel mínimo aceptable 60 30 126

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Utilice el método gráfico para resolver este modelo. c) Despliegue el modelo en computadora. 72)

Fred Jonasson administra la granja de su familia. Para complementar varios alimentos que se cultivan en la granja, Fred también cría cerdos para venta y desea determinar las cantidades de los distintos tipos de alimento disponibles (maíz, grasas y alfalfa) que debe dar a cada cerdo. Como los cerdos se comerán cualquier mezcla de estos tipos de alimento, el objetivo es determinar qué mezcla cumple ciertos requisitos nutritivos a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada tipo de ingrediente nutritivo básico contenido en 1 kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos de nutrición diarios y los costos de los alimentos:

Ingrediente nutritivo Carbohidratos Proteínas Vitaminas Costo ($)

Kilogramo de maíz 90 30 10 84

Kilogramo de grasas 20 80 20 72

Kilogramo de alfalfa 40 60 60 60

Req. Mínimo diario 200 180 150

a) Formule el modelo de programación lineal. b) Despliegue el modelo en computadora. 73)

Maureen Laird es gerente de inversiones de Alva Electric Co., empresa importante en el medio oeste. La compañía ha programado la construcción de nuevas plantas hidroeléctricas a 5, 10 y 20 años para cumplir con las necesidades de la creciente población en la región que sirve. Maureen debe invertir parte del dinero de la compañía para cubrir sus necesidades de efectivo futuras. Puede comprar sólo tres tipos de acciones, cada una cuesta $1 millón por unidad. Se pueden comprar unidades fraccionarias. Las acciones producen ingresos a 5, lO y 20 años, y el ingreso se necesita para cubrir requerimientos mínimos de flujos de efectivo en esos años. (Cualquier ingreso arriba del mínimo requerido para cada periodo se usará para incrementar el pago de dividendos a los accionistas en lugar de ahorrarlo para ayudar a cumplir con los requerimientos mínimos de efectivo el siguiente periodo.) La siguiente tabla muestra la cantidad de ingreso generada por cada unidad de acciones y la cantidad mínima de ingreso requerida para cada periodo futuro en que se construirá una nueva planta.

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Años 5 10 20

Ingresos por acción (en millones) Acción 1 Acción 2 Acción 3 $2 $1 $0.5 $0.5 $0.5 $1 $0 $1.5 $2

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Flujo de efectivo mínimo requerido $400 $100 $300

Maureen desea determinar la mezcla de inversiones en estas acciones que cubrirá los requerimientos de efectivo y que minimizará la cantidad total invertida.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Despliegue el modelo en computadora. 74)

Una fábrica produce dos tipos de camisas A y B, las camisas tipo A requiere 2.5 minutos para cortarlas y 5 minutos para confeccionarlas, las de tipo B requieren 4 minutos para cortarlas y 4 minutos para confeccionarlas. Se necesita 1 hora y 40 minutos para corte y 2 horas para confeccionar. El beneficio es de 2.5 dólares por cada camisa tipo A y 3 dólares por cada camisa tipo B. ¿Cuántas camisas de cada clase debe producirse para obtener la máxima ganancia?

75)

Una empresa fábrica dos productos A y B. El beneficio para A es 25 dólares por tonelada y para B 20 dólares La planta consta de 3 departamentos de producción: Cortado, Mezclado y Enlataje. El equipo en cada departamento puede, emplearse 1.5 horas diarias en el primer departamento, 4 horas en el segundo y al menos 4 en el tercer departamento. El proceso de producción es el siguiente El producto A emplea 1/4 hora de la capacidad de cortado y mezclado, y 0.5 hora de enlataje por tonelada, El producto B requiere 0.5 hora por tonelada de la capacidad de mezclado y 1/3 de hora de la capacidad de enlataje. ¿Qué combinación de producto deberá elaborar la empresa para maximizar su beneficio?

76)

Una compañía produce dos tipos de pantalones A y B cada pantalón tipo A requiere del doble de mano de obra que el de tipo B. Se deben producir por lo menos 250 pantalones combinados. El mercado limita la venta diaria de pantalones tipo A, a un máximo de 75 y los de clase B a un total de 125 pantalones. Los beneficiados por pantalón son 6 dólares para el tipo A y 4 dólares para el tipo B. Determinar el número de pantalones de cada clase que maximice la ganancia.

77)

Dos productos tienen el siguiente proceso. Hay un taller que lo más que puede hacer es 200 productos del tipo A o 100 del tipo B por día. El taller de pintura tiene una capacidad diaria de 120 productos del tipo A o 160 del tipo B. También el tratamiento técnico puede procesar un total de 90 artículos del tipo A por día. El producto A tiene una utilidad de 4 dólares y el producto B de 6 dólares. Determinar la producción óptima que maximice los beneficios.

78)

Se producen dos artículos A y B los mismos que son procesados por tres máquinas M1, M2 y M3. La máquina 1 procesa 0.5 unidad de A y 0.5 de B, M2 procesa 1 de A, 0.5 de B, M3 procesa 0.5 de A y 2 de B. Se dispone al menos de 65 horas semanales para M1, 95 para M2 y 100 para M3. El costo de A es de 3 dólares y 5 dólares el de B ¿Cuántas unidades de A y B se deben producir para que el costo sea mínimo?

79)

Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustible A y B. El combustible A tiene 12.5% de grado 1 y 2 y 25% de gasolina grado 3. El combustible B tiene 25% de gasolina grado 2 y 3. Disponible para producción hay 25 galones/hora grado 1, 100 galones/hora grado 2 y 3. Los costos son 15 centavos por galón grado 1, el galón grado 2 cuesta 30 centavos y 45 centavos por galón grado 3. El combustible A puede venderse a 66.88 dólares por galón, mientras que el combustible B alcanza a 58.75 centavos por galón, ¿Qué cantidad debe fabricarse de cada combustible para obtener el mayor beneficio?

80)

Un laboratorio farmacéutico desea preparar un tónico de tal manera que cada frasco contenga al menos 32 unidades de vitamina A, 10 de vitamina B y 40 de vitamina C. Para suministrar estas vitaminas, el laboratorio emplea el aditivo X 1, a un costo de 2 dólares por onza, el cual contiene 15 unidades de vitamina A, 2 de B y 4 de C, un aditivo X 2 a un costo de 4 dólares por cada onza, que contiene 4 unidades de vitamina A, 2 de B y 14 de C. ¿Cuántas onzas de cada aditivo se deben incluir en el frasco para minimizar el costo?

81)

Las máquinas A y B pueden fabricar el mismo artículo, la máquina A produce 18 unidades por hora, mientras que la máquina B produce 10 unidades por hora. Se deben producir a lo mucho 600

120



unidades del artículo trabajando 40 horas semanales por lo menos; sin embargo la máquina B tiene una capacidad máxima de 35 horas semanales. Si el costo de operar la máquina A es de 25 dólares y 20 dólares la máquina B. Determinar cuántas horas por semana debe operar cada máquina para satisfacer las necesidades de producción a un costo mínimo.

82)

Una fábrica elabora dos clases de cerveza Pílsener y Club, para lo cual dispone de ingrediente para llenar por lo menos 30 botellas combinadas. Toma 1 hora llenar 20 botellas de la cerveza Pílsener y 2 horas llenar 25 botellas de cerveza Club, se dispone a lo mucho de 2 horas. La demanda de la cerveza Pílsener se estima en el mercado un total de 22 botellas y a lo mucho 10 botellas de la cerveza Club. Cada botella de Pílsener deja una utilidad de 10 centavos y 15 centavos cada botella de la cerveza Club. ¿Cuántas botellas de cada cerveza se deben llenar para alcanzar la máxima ganancia?

83)

Una fábrica elabora dos clases de champú A y B, para lo cual dispone de ingrediente para llenar a lo mucho 80 botellas combinadas de A y B. Toma 1 hora llenar 10 botellas de A y 4 horas llenar 10 botellas de B, se dispone cuando mucho de 20 horas, la demanda de A se estima a lo más en 70 botellas. La fábrica está en capacidad de llenar cuando mucho 90 botellas de A o 60 botellas de B. Cada botella de A le deja una utilidad de 80 centavos y 90 centavos la de B. ¿Cuántas botellas de A y B se deben llenar para que la fábrica obtenga Los mayores beneficios?

84)

Se fabrica dos productos A y B. Unidad de A se lleve $2 de mano de obra y $6 cada unidad de B. De materia prima se lleva $4 cada unidad de A $2 cada unidad de B. El desgaste de equipo se supone proporcional a la producción y es de $2 por cada unidad de A y $2 por unidad de B. Se dispone al menos de $36 para salarios, al menos $48 para materia prima y cuando mucho $32 para desgaste de equipo. Se estima que la demanda de A en el mercado es al menos 9 unidades. El beneficio de A es de 20 dólares cada unidad y 10 dólares cada unidad de B. ¿Cuál es la cantidad que se debe producir de cada producto para obtener las utilidades más altas posibles?

85)

Una compañía produce dos tipos de sombreros vaquero. Cada sombrero del primer tipo requiere el doble de tiempo en mano de obra que el segundo tipo. Si todos los sombreros son solamente del segundo tipo, la compañía puede producir un total de 1.000 sombreros al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 300 y 500 sombreros. Suponga que los beneficios por sombrero son $16 para el tipo A y $12 para el tipo B. Determine el número de sombreros que deben producirse de cada tipo a fin de maximizar el beneficio.

86)

Una empresa planea una campaña de publicidad para un nuevo producto. Se establecen como metas el que la publicidad llegue por lo menos a 320 mil individuos audiencia A, de los cuales al menos 120 mil tengan un ingreso mínimo anual de 5.000 dólares, y al menos 80 mil sean solteros. Se desea utilizar únicamente la radio y la televisión como medios de publicidad. Un anuncio de televisión cuesta 10 mil dólares y se estima que llegue a un promedio de 40 mil individuos audiencia A, de los cuales un 25% tienen ingresos superiores a 5.000 dólares anuales y un 20% son solteros. Un anuncio por radio FM cuesta 6 mil dólares y llega a un auditorio promedio de 10 mil oyentes clase A, de los cuales el 80% tienen ingresos superiores a los 5.000 dólares anuales y 4 mil son solteros. Hallar el número de anuncios por cada medio para minimizar el costo.

87)

Nutrientes en fertilizantes.- Un agricultor comprará fertilizantes que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los requerimientos mínimos semanales son 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos mezclas populares de fertilizante en el mercado. La mezcla I cuesta $4 por bolsa, con 2 unidades de A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $5 por bolsa, con 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. ¿Cuántas bolsas de cada mezcla debe comprar el agricultor para minimizar el costo de satisfacer sus requerimientos de nutrientes?

88)

Programa de producción.- Una compañía petrolera, que tiene dos refinerías, necesita al menos 800, 1400 y 500 barriles de petróleo de grados bajo, medio y alto, respectivamente. Cada día, la refinería I produce 200 barriles de grado bajo, 300 de medio y 100 de alto grado, mientras que la refinería II produce 100 barriles de alto grado, 100 de bajo y 200 de grado medio. Si los costos diarios son de $2.500 para operar la refinería I y de $2.000 para la refinería II, ¿cuántos días debe ser operada cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo? (Suponga que existe un costo mínimo).

89)

Control de contaminación.- A causa de reglamentaciones federales nuevas sobre la contaminación, una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso para complementar o reemplazar un proceso anterior en la producción de un químico en particular.

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El proceso anterior descarga 15 gramos de dióxido de azufre y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de químico producido. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dióxido de azufre y 20 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro producido. La compañía obtiene una utilidad de 30 y 20 centavos por litro en los procesos anterior y nuevo, respectivamente. Si el gobierno permite a la planta descargar no más de 10.500 gramos de dióxido de azufre y no más de 30.000 gramos de partículas a la atmósfera cada día, ¿cuántos litros de químico deben ser producidos diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?

90)

Producción. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio; sillas, mecedoras y tumbonas. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio como se indica en la tabla siguiente. La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 500 unidades de plástico y 1450 unidades de aluminio. Cada silla, mecedora y tumbona se venden en $7, $8 y $12 respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden ser vendidos, determine el plan de producción de modo que el ingreso total sea maximizado. ¿Cuál es el ingreso máximo? Resuelva en computadora. Silla Mecedora Tumbona

91)

Madera 1 unidad 1 unidad 1 unidad

Aluminio 2 unidades 3 unidades 5 unidades

Plástico 1 unidad 1 unidad 2 unidades


Producción. Una compañía fabrica dos tipos de estantes Estándar y Ejecutivo. Cada tipo requiere tiempos de ensamblaje y de terminado como se indica en la tabla siguiente. La utilidad sobre cada unidad también se indica. El número de horas disponibles por semana en el departamento de ensamble es de 4000 y en el departamento de acabado es de 510. A causa de un contrato sindical, al departamento de acabado se le garantizan al menos 240 horas de trabajo por semana. ¿Cuántas unidades de cada tipo debe producir la compañía semanalmente para maximizar sus utilidades?

Estándar Ejecutivo

93)


Producción. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y tumbonas. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio como se indica en la tabla que sigue. La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1500 de aluminio. Cada silla, mecedora y tumbona se vende en $6, $ 8 y $12, respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden ser vendidos. ¿cuál es el ingreso máximo total que puede ser obtenido? Determine las posibles órdenes de producción que generará ese ingreso. Resuelva en computadora Silla Mecedora Tumbona

92)


Tiempo de ensamble 1 hora 2 hora

Tiempo de acabado 2 horas 3 horas


Producción. Una compañía fabrica tres productos: X Y, Z. Cada producto requiere el uso de tiempo de máquina en las máquinas A y B como se da en la tabla siguiente. El número de hora por semana que A y B están disponibles para la producción son 40 y 30, respectivamente. La utilidad por unidad de X, Y y Z es $50, $60 y $75, respectivamente. Las siguiente semana deben producir al menos cinco para ese período de Z. ¿Cuál deber ser el plan de producción para ese período si la utilidad máxima es alcanzada? ¿Cuál es la utilidad máxima? Resuelva en computadora.

Producto X Producto Y Producto Z

Máquina A 1 hora 2 horas 2 horas

Máquina B 1 hora 1 hora 2 horas

122



94)

Inversiones. El folleto informativo de un fondo de inversiones establece que todo el dinero es invertido en bonos que están considerados como A, AA y AAA; no mas del 30% de la inversión total está en bonos A y AA, y al menos el 50% está en bonos AA y AAA. Los bonos A, AA y AAA respectivamente obtiene un 8,7 y 6% anual. Determine los porcentajes de la inversión total que serán comprometidos a cada tipo de bono de modo que el fondo maximice el rendimiento anual. ¿Cuál es ese rendimiento? Resuelva en computadora.

95)

Control de emisiones. Una planta de cemento produce 3.300.000 barriles de cemento por año. Los hornos emiten 2 libras de polvo por cada barril producido. La planta debe reducir sus emisiones a no más de 1000000, A y B libras anuales. Hay dos dispositivos de control disponibles A y B. El dispositivo A reducirá las emisiones a ½ libra por barril y el costo es de $0.22 por barril de cemento producido. Para el dispositivo B, las emisiones son reducidas a ¼ de libra por barril y el costo es de $0.40 por barril de cemento producido. Determine el plan de acción más económico que la planta debe tomar de modo que mantenga su producción anual de exactamente 3.300.000 barriles de cemento. Resuelva en computadora

96)

Programación de envíos por camión. A causa de un incremento en los negocios, un servicio de abastecimiento encuentra que debe rentar camiones de entrega adicionales. Las necesidades mínimas son de 12 unidades de espacio con refrigeración y 12 unidades de espacio sin refrigeración. En el mercado de renta hay disponibles dos tipos de camiones. El tipo A tiene 2 unidades de espacio con refrigeración y 1 unidad de espacio sin refrigeración. El tipo B tiene 2 unidades de espacio con refrigeración y 3 unidades sin refrigeración. El costo

97)

Costo de Transporte, Un comerciante tiene tiendas en Exton y Whyton, y almacenes A y B en otras dos ciudades. Cada tienda requiere de exactamente 30 refrigeradores. En el almacén A hay 50 refrigeradores y en el B hay 20. Los medios de transporte para enviar los refrigeradores desde los almacenes a las tiendas están dados en la siguiente tabla. Por ejemplo, el costo de enviar un refrigerador desde A hasta la tienda de Exton es de $ 15. ¿Cómo debe solicitar los refrigeradores el comerciante de modo que los requerimientos se satisfagan y el costo total de transporte se minimice? ¿Cuál es el costo mínimo de transporte? Resuelva en computadora. Almacén A Almacén B

Exton $ 15 $ 11

Whyton $ 13 $ 12

98)

Compra de Baterías, Un fabricante de automóviles compra baterías de dos proveedores, X y Y. El fabricante tiene dos plantas A y B, y requiere exactamente de 6000 baterías de la planta A y de exactamente 4000 a la planta B. El proveedor X carga $30 y $32 por batería (incluyendo costos de transporte) a A y B, respectivamente. Para estos precios, X requiere que el fabricante de automóviles ordene al menos un total de 2000 baterías. Sin embargo, X no puede proveer más de 4000 baterías. El proveedor Y carga $34 y $ 28 por batería a A y a B, respectivamente, y requiere una orden mínima de 6000 baterías. Determine como debe hacer los pedidos de baterías el fabricante de automóviles a fin de que su costo total sea mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo? Resuelva en computadora.

99)

Producción de papel para envoltura, una compañía de papel almacena su papel para envoltura en rollos de 48 pulgadas de ancho más pequeños dependiendo de los pedidos de los clientes. Suponga que se recibe un pedido de 50 rollos de papel de 15 pulgadas de ancho y de 60 rollos de 10 pulgadas de ancho. De un rollo de almacenamiento la compañía puede cortar tres rollos de 15 pulgadas de ancho y un rollo de 3 pulgadas de ancho. Como el rollo de 3 pulgadas de ancho no puede ser utilizado en esta orden, es llamado el recorte desperdiciado de este rollo. Del mismo modo, de un rollo de almacenamiento, se puede cortar dos rollos de 15 pulgadas de ancho, un rollo de 10 pulgadas de ancho, y otro de 8 pulgadas de ancho. La siguiente tabla indica el número de rollo de 15 y 10 pulgadas, junto con el desperdicio, que pueden cortarse de un rollo de almacenamiento. (a) Complete las últimas dos columnas de la tabla. (b) Supongamos que la compañía tienen suficientes rollos de almacenamiento para cubrir la orden y que al menos 50 rollos de 15 pulgadas y al menos 60 rollos de 10 pulgadas de ancho de papel para envoltura serán cortados. Si x1, x2, x3, x4, son los números de rollos de almacenamiento que son cortados en una de las formas descritas en las columnas de la 1 a la 4 de la tabla, respectivamente, determine los valores de las x de tal forma que el desperdicio total sea minimizado. (c) ¿Cuál es la mínima cantidad de desperdicio total? Resuelva en computadora.

123



15 pulgadas 10 pulgadas

Ancho de rollo Desperdicio

3 0 3

2 1 8

1 -

-

100) Costo de mano de obra Una compañía paga a sus trabajadores calificados y semicalificados en su departamento de ensamblado $7 y $4 por hora, respectivamente. En el departamento de embarques, a los empleados se les paga $5 por hora y a los aprendices $2 por hora. La compañía requiere al menos de 90 trabajadores en el departamento de ensamblado y al menos 60 empleados en el departamento de embarques. Debido a acuerdos sindicales, deben emplearse al menos el doble de trabajadores semicalificados que de calificados. También, deben contratarse al menos el doble de los empleados de embarques que de aprendices. Resuelva por computadora para determinar el número de trabajadores de cada tipo que la compañía debe emplear, de modo que el total de salarios por hora sea mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo en salarios por hora? Resuelva en computadora. 101) Plan de producción, Una compañía fábrica tres productos X, Y, Z. Cada producto requiere el uso de tiempo de las máquinas A y B como se indica en la tabla siguiente. El número de hora por semana que A y B están disponibles para la producción son 40 y 34, respectivamente. La utilidad por unidad sobre X, Y, y Z es $ 10, $ 15 y $ 22, respectivamente. ¿Cuál debe ser el plan de producción semanal para obtener la utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima? Resuelva en computadora, repita el problema si la compañía debe producir al menos un total de 24 unidades por semana. Producto X Producto Y Producto Z



102) Transportación de Petróleo, Una compañía petrolera tiene instalaciones de almacenamiento para combustible de calefacción en las ciudades A, B, C y D. Las ciudades C y D necesitan cada una exactamente 500.000 galones de combustible. La compañía determina que A y B puede proveer cada una un máximo de 600.000 galones para satisfacer las necesidades de C y D. La tabla que se muestra a continuación proporciona los costos por galón para transportar el combustible entre las ciudades. ¿Cómo debe distribuirse el combustible para minimizar el costo total del transporte?, ¿Cuál es el costo mínimo de transporte? Resuelva en computadora. Desde A B

Hacia C $ 0.01 $ 0.02

D $ 0.02 $ 0.04

103) Suponga que tratamientos medicinales y por radiación están disponibles para un paciente. Cada onza de medicamento contiene 500 unidades curativas y 400 unidades tóxicas. Cada minuto de radiación proporciona 1000 unidades curativas y 600 unidades tóxicas. El paciente requiere al menos de 2000 unidades curativas y puede tolerar no más de 1400 unidades tóxicas. Si cada onza de la medicina provoca el mismo malestar que cada minuto de radiación determine las dosis de medicamento y radiación de modo que el malestar en el paciente sea minimizado. 104) Suponga que el medicamento A, el B y la terapia con radiación son tratamiento disponible para un paciente. Cada onza de la medicinas A contiene 600 unidades curativas y 500 unidades tóxicas. Cada onza de la medicina B contiene 500 unidades curativas y 100 tóxicas. Cada minuto de radiación proporciona 1000 unidades curativas y 1000 tóxicas. El paciente requiere al menos de 3000 unidades curativas y puede tolerar no más de 2000 unidades tóxicas. Si cada onza de A y cada minuto de radiación provocan el mismo malestar, y cada onza de B provoca dos veces más malestar que cada onza de A, determine las dosis de medicamentos de radiación de modo que el malestar para el paciente sea minimizado. 105) Terapias con fármacos y radiación Frecuentemente existen formas alternativas de tratamiento disponibles para pacientes a los que se les diagnostica una enfermedad particular compleja. Con cada tratamiento puede haber no sólo efectos positivos en el paciente sino también efectos negativos, tales como toxicidad o malestar. Un médico debe tomar la mejor elección de estos

124



tratamientos o combinación de tratamientos. Esta elección dependerá no sólo de los efectos curativos sino también de los efectos tóxicos y malestar. Suponga que usted es un médico con un paciente de cáncer bajo su cuidado y dos posibles tratamientos disponibles: administración de medicamentos y terapia de radiación. Supongamos que la eficacia de los tratamientos está expresada en unidades comunes, digamos, unidades curativas. La medicina contiene 1000 unidades curativas por onza y la radiación proporciona 1000 unidades curativas por minuto. Sus análisis indican que el paciente debe recibir al menos 3000 unidades curativas. Sin embargo, un grado de toxicidad está implícito en cada tratamiento. Suponga que los efectos tóxicos de cada tratamiento están medidos en una unidad común de toxicidad, digamos, una unidad tóxica. La medicina contiene 400 unidades tóxicas por onzas y la radiación produce 1000 unidades tóxicas por minuto. Con base en sus estudios, usted cree que el paciente no debe recibir más de 2000 unidades tóxicas. Además, cada tratamiento implica un grado de malestar al paciente. La medicina provoca tres veces más malestar por onza que la radiación por minuto. La tabla resume la información. El problema que se le plantea es determinar las dosis de la medicina y radiación que pueden satisfacer los requerimientos curativos y de toxicidad y, al mismo tiempo, minimizar el malestar al paciente.

TABLA 7.5 Unidades curativas

Unidades Tóxicas

Malestar relativo

Medicina (por onza)

1000

400

3

Radiación (por minuto)

1000

1000

1

≥ 3000

≤ 2000

Requerimiento

106) Nutri-Jenny es un centro de control del peso. Produce una amplia variedad de platillos congelados para el consumo de su clientela. Los platillos están estrictamente vigilados por su contenido nutritivo para asegurar que los clientes coman una dieta balanceada. Un nuevo platillo será una "'comida de puntas de filete". Consistirá en puntas de filete y salsa, más alguna combinación de chícharos, zanahorias y un bollo de pan. Nutri-Jenny desea determinar qué cantidad incluir de cada producto en el platillo para cumplir con los requerimientos nutritivos al menor costo posible. En el siguiente cuadro se da la información nutricional y su costo. Los requerimientos nutritivos del platillo son como sigue: 1) debe contener entre 280 y 320 calorías, 2) las calorías originadas en grasa no deben exceder 30% del número total de calorías, y 3) debe contener al menos 600 UI de vitamina A, 10 miligramos de vitamina C y 30 gramos de proteína. Más aún, por razones prácticas debe incluir de menos 2 onzas de carne de res y contener al menos media onza de salsa por onza de res. Producto

Calorías

Calorías originadas en grasa por hors

Vitamina A (U1 por onza)

Vitamina C (Mg por onza)

Proteína (g por onza)

Costo (por onza)

Puntas de filete Salsa Chícharos Zanahorias Bollo de pan

54

19 15 0 0 10

0 0 15 350 0

0 1 3 1 0

8 0 1 1 1

40 35 15 18 10

20 15 8 40

Formule en forma algebraica. y resuelva por computadora.

107) The Learning Center opera un campamento de verano para niños de 6 a 10 años. Su gerente, Elizabeth Reed, intenta reducir los costos operativos para evitar tener que aumentar la cuota de inscripción. Por ahora,

125



Elizabeth planea qué dar de comer a los niños en el almuerzo. Desea mantener los costos

Unidad de alimento Pan ( 1 rebanada) Mantequilla de cacahuate (1 cucharada)

Calorías originadas Calorías Vitamina C (mg) en grasa totales 15 80 0 80 100 0

Fibra Costo (g) M 4 6 0 5

Jalea ( l cucharada) Manzana

0 0

70 90

4 6

3 10

8 35

Leche (1 taza)

60

120

2

0

20

Jugo de arándano ( 1 taza)

0

110

80

1

40

Al mínimo, pero también quiere estar segura de que cubre los requerimientos nutricionales de los niños. Ya decidió incluir sandwiches de mantequilla de cacahuate y jalea, y alguna combinación de manzanas, leche y jugo de arándano. En la tabla se da el contenido nutricional de cada opción de alimento y su costo. Los requerimientos nutricionales son como sigue. Cada niño debe recibir entre 300 y 500 calorías, pero no más de 30% de estas calorías deben provenir de grasa. Cada niño debe recibir al menos 60 miligramos f mg) de vitamina C y al menos 10 gramos (g) de fibra. Para asegurar sandwiches sabrosos, Elizabeth quiere dar a cada niño un mínimo de 2 rebanadas de pan, 1 cucharada de mantequilla de cacahuate, 1 cucharada de jalea, junto con al menos 1 taza de líquido {leche y jugo de arándano). Elizabeth desea seleccionar las opciones de alimentos que minimicen el costo al tiempo que cumplan todos estos requerimientos.

108) David, LaDeana y Lydia son socios únicos y trabajadores de una compañía que fabrica relojes finos. David y LaDeana, cada uno de ellos, tienen disponibilidad de trabajar un máximo de 40 horas semanales en la compañía, mientras que Lydia cuenta con un máximo de 20 horas semanales. La compañía fabrica dos tipos de relojes: un reloj de pie y uno de pared. Para fabricar uno, David (ingeniero mecánico) ensambla las partes mecánicas internas del reloj mientras que LaDeana (ebanista) fabrica las cubiertas de madera labrada a mano. Lydia es responsable de tomar órdenes y enviar los relojes. Se muestra en seguida el tiempo requerido para cada una de estas tareas. Tiempo requenido Tarea: Reloj de pie Ensamble de mecanismo de reloj 6 horas Cubierta de madera labrada. 8 horas envió 3 horas

Reloj de pared 4 horas 4 horas 3 horas

Cada reloj de pie fabricado y enviado proporciona una ganancia de $300, mientras que cada reloj de pared da una ganancia de $200. Ahora, los tres socios quieren determinar cuántos relojes de cada tipo deben producir por semana para maximizar la ganancia total.

a) b) c) d) e) f) g)

Formule un modelo de programación lineal para este problema. Use el método gráfico para resolver el problema. Despliegue el modelo en una hoja de cálculo. Usar el informe de sensibilidad para determinar si esta solución óptima sigue óptima si la estimación de la ganancia unitaria para los relojes de pie cambia de $300 a $375 (sin más cambios en el modelo). Repita la parte (d) si, además de este cambio en la ganancia unitaria de relojes de pie, la ganancia unitaria estimada para relojes de pared también cambia de $200 a $175. Use el análisis gráfico para verificar sus respuestas en las partes d y e. Para aumentar la ganancia total, los tres socios acordaron que uno de ellos aumentará ligeramente el máximo de horas de trabajo por semana. La elección de quién de ellos se basará en quién aumentaría más la ganancia total. Use el informe de sensibilidad para

126


h) i) j) k)


efectuar esta elección. (Suponga que no hay cambios en las estimaciones originales de las ganancias unitarias) Explique por qué uno de los precios unitarios es igual a cero. ¿Es válido usar los precios del informe de sensibilidad para determinar el efecto si Lydia cambiara su número máximo de horas disponibles de trabajo a la semana de 20 a 25? Si es así, ¿cuál sería el aumento en la ganancia total? Repita la parte (i) si, además del cambio para Lydia, David también cambiara su número máximo de horas disponibles semanales de 40 a 35. Use el análisis gráfico para verificar su respuesta en la parte (j).

109) La Electrocomp Corporation fabrica dos productos eléctricos: acondicionadores de aire y grandes ventiladores. El proceso de ensamble de cada uno es similar en el sentido que ambos requieren una cierta de cantidad de alambrado y taladrado. Cada acondicionador de aire requiere 3 horas de alambrado y 2 de taladrado. Cada ventilador debe pasar por 2 horas de alambrado y 1 hora de taladrado. Durante el siguiente periodo de producción, están disponibles 240 horas de tiempo de alambrado y se pueden utilizar hasta 140 horas de tiempo de taladrado. Cada acondicionador de aire vendido produce una ganancia de $25. Cada ventilador ensamblado puede ser vendido con una ganancia de $15. Formule y resuelva esta situación de mezcla de producción de programación lineal para encontrar la mejor combinación de acondicionadores de aire y ventiladores que produzcan la ganancia máxima. Use el método gráfico para hallar la solución. 110) La administración de Electrocomp se percata de que no incluyó dos restricciones críticas (vea el problema 109).En particular, la administración decide que para garantizar un suministro adecuado de acondicionadores de aire de un contrato, se deben fabricar, por lo menos, 10 de estos aparatos. Como Electrocomp incurrió en una sobreoferta de ventiladores en el periodo precedente, la administración también insiste que no se produzcan más de 80 ventiladores durante este periodo de producción. Resuelva este problema de mezcla de productos para encontrar la nueva solución óptima. 111) Un candidato a alcalde de un pequeño pueblo asignó $40,000 para publicidad de último minuto en los días previos a la elección. Se utilizarán dos tipos de anuncios: radio y televisión. Cada anuncio de radio cuesta $200 y llega a un auditorio estimado de 3000 personas. Cada anuncio de televisión, que cuesta $500, afectará a unas 7000 personas. Al planificar la campaña de publicidad, la directora de ésta desea llegar a tantas personas como sea posible, y estipuló que se deben utilizar, por lo menos, 10 anuncios de cada tipo. Además, el número de anuncios de radio debe ser por lo menos igual al número de anuncios de televisión. ¿Cuántos anuncios de cada tipo se deberán utilizar? ¿A cuántas personas llegarán? 112) La Outdoor Furniture Corporation fabrica dos productos, bancas y mesas de día de campo, que pueden ser usados en jardines de casas y parques. La firma cuenta con dos recursos principales: sus carpinteros (fuerza de mano de obra) y existencias de madera de pino para construir el mobiliario. Durante el siguiente ciclo de producción, están disponibles 1200 horas de mano de obra según un acuerdo con el sindicato. La firma también dispone de 3500 pies de madera de pino de buena calidad. Cada banca que Outdoor Furniture produce requiere 4 horas de mano de obra y 10 pies de madera; cada mesa de día de campo, 6 horas de mano de obra y 35 pies de madera. Las bancas terminadas redituarán una ganancia de $20 cada una. ¿Cuántas bancas y mesas de día de campo deberá producir Outdoor Furniture para obtener la ganancia máxima posible? Use el método gráfico de programación lineal. 113) El decano de Western College of Business debe planificar las ofertas de cursos de la escuela para el semestre de otoño. Las demandas de los estudiantes hacen necesario ofrecer por lo menos 30 cursos de licenciatura y 20 de posgrado en el semestre. Los contratos del profesorado también dictan que se ofrezcan por lo menos 60 cursos en total. Cada curso de licenciatura impartido le cuesta a la universidad un promedio de $2500 en salarios de profesores, mientras que cada curso de posgrado cuesta $3000. ¿Cuántos cursos de licenciatura y posgrado deberán ser impartidos en el otoño de modo que los salarios de los profesores se mantengan en su mínima expresión? 114) MSA Computer Corporation fabrica dos modelos de minicomputadoras, Alpha 4 y Beta 5. La firma emplea cinco técnicos, que trabajan 160 horas cada uno al mes en su línea de ensamble. La administración insiste en que se mantengan las horas de trabajo (es decir, todas las 160 horas) de cada trabajador durante las operaciones del mes siguiente. Se requieren 20 horas de mano de

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obra para ensamblar cada computadora Alpha 4 y 25 para elaborar cada modelo Beta 5. MSA desea producir por lo menos 10 Alpha 4s y por lo menos 15 Beta 5s durante el periodo de producción. Las Alpha 4s generan $1200 de utilidad por unidad y las Beta 5s producen $1800 cada una. Determine el número más rentable de cada modelo de minicomputadora que se debe producir durante el siguiente mes.

115) Un ganador de la Texas Lotto decidió invertir $50,000 al año en el mercado de valores. Piensa adquirir acciones de una firma petroquímica y una compañía de servicios públicos. Aunque una meta a largo plazo es obtener los máximos rendimientos posibles, no ha pasado por alto el riesgo que implica la compra de acciones. Se asigna un índice de riesgo de 1-10 (con 10 como el más riesgoso) a cada una de las dos acciones. El riesgo total del portafolio se encuentra multiplicando del riesgo de cada acción por los dólares invertidos en ella. La tabla siguiente proporciona un resumen de la devolución y el riesgo.

Al inversionista le gustaría maximizar el rendimiento de la inversión, pero el índice de riesgo promedio de ésta no deberá ser de más de 6. ¿Cuánto deberá invertir en cada acción? ¿Cuál es el rendimiento estimado de esta inversión?

116) Remítase a la situación de la Texas Lotto del problema 115, y suponga que el inversionista cambió de actitud sobre la inversión y desea poner mayor atención en el riesgo de la inversión. Ahora desea minimizar el riesgo de ésta mientras genere un rendimiento de por lo menos 8%. Ordene estos datos como un problema de PL y encuentre la solución óptima. ¿Cuánto deberá invertir en cada acción? ¿Cuál es el riesgo promedio de esta inversión? ¿Cuál es el rendimiento estimado de esta inversión? 117) La casa de bolsa Blank, Leibowitz y Weinberger ha analizado y recomendado dos acciones a un club de inversionistas constituido por profesores universitarios. Estos estaban interesados en factores tales como crecimiento intermedio y tasas de dividendos. Los datos sobre cada acción son los siguientes:

Cada miembro del club tiene una meta de inversión de (1) una ganancia de no menos de $720 a corto plazo, (2) una ganancia de por lo menos $5000 en los siguientes tres años y (3) un ingreso por dividendos de por lo menos $200 al año. ¿Cuál es la inversión más pequeña que un profesor puede hacer para satisfacer estas tres metas?

118) Woofer Pet Foods produce un alimento de bajas calorías para perros obesos. Este producto se elabora con productos de carne y granos. Cada libra de carne cuesta $0.90 y cada libra de grano $0.60. Una libra del alimento para perros debe contener por lo menos 9 unidades de vitamina 1 y 10 unidades de vitamina 2. Una libra de carne contiene 10 unidades de vitamina 1 y 12 unidades de vitamina 2. Una libra de granos contiene 6 unidades de vitamina 1 y 9 unidades de vitamina 2.

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Ordene estos datos como un problema de PL para minimizar el costo del alimento para perros. ¿Cuántas libras de carne y de granos deberán ser incluidas en cada libra de alimento para perros? ¿Cuál es el costo y el contenido de vitaminas del producto final?

119) Serendipity6 Los tres príncipes de Serendip, eemprendieron un viaje no podían llevar mucho peso; más de 300 libras los hicieron vacilar. Decidieron llevar pequeñas porciones. Cuando regresaron a Ceilán Descubrieron que sus provisiones estaban a punto de desaparecer cuando para su regocijo, el príncipe William encontró una pila de cocos en el sue lo “Cada uno llevará 60 rupias”, dijo el príncipe Richard con una mueca de aprobación cuando casi se tropieza con una piel de león. “Cuidado”, exclamó el príncipe Robert con alegría cuando divisó más pieles de león bajo un árbol. “Éstas valen más de 300 rupias cada una si sólo pudiéramos llevárnoslas hasta la playa.” Cada

piel pesaba 15 libras y cada coco cinco, pero cargaron con todo en un santiamén. El bote de regreso a la isla era muy pequeño 15 pies cúbicos de capacidad de carga, eso era todo, cada piel de león ocupaba un pie cúbico mientras que ocho cocos ocupaban el mismo espacio con todo estibado se hicieron a la mar, y en el trayecto debían calcular a cuánto podría ascender su nueva riqueza. “¡Eureka!” gritó el príncipe Robert, “nuestra riqueza es t an grande que no existe otra forma de regresar en este estado. Cualquier otra piel o coco que pudiéramos haber traído ahora nos harían más pobres. Y ahora que sé cuántos son cinco le escribiré a mi amigo Horace en Inglaterra y con toda seguridad sólo él podrá apreciar nuestra serendipity”. Formule y resuelva Serendipity mediante PL gráfica para calcular “cuál podría ser su nueva Riqueza”.

120) El Peed 'N Ship Ranch engorda ganado para los granjeros locales y lo envía a los mercados de carne de Kansas City y Omaha. Los propietarios del rancho desean determinar las cantidades de alimento para ganado que deben comprar de modo que se satisfagan los estándares nutricionales mínimos y, al mismo tiempo, se minimicen los costos totales de alimentación. La mezcla de alimentos se puede componer de los tres granos que contienen los siguientes ingredientes por libra de alimento: Alimento (onzas) Ingrediente Mezcla X Mezcla Y Mezcla Z A 3 2 4 B 2 3 1 C 1 0 2 D 6 8 4 El costo por libra de las mezclas X, Y y Z son $2, $4 y $2.50, respectivamente. El requerimiento mínimo por vaca por mes es de 4 libras del ingrediente A, 5 libras del B, 1 libra del C y 8 libras del D. El rancho enfrenta una restricción adicional: pese a cualquier circunstancia, sólo puede obtener 500 libras de la mezcla Z por mes del proveedor de alimentos. Como por lo general hay 100 vacas en el Feed 'N Ship Ranch en un momento dado, esto significa que no se puede contar con más de 5 libras de la mezcla Z para usarse en la alimentación de cada vaca por mes.

a) b)

Formule un problema de PL utilizando la información proporcionada. Resuelva el problema con algún programa computacional de PL.

121) Weinberger Elecronics Corporation fabrica cuatro productos altamente técnicos que vende a firmas aeroespaciales que tienen contratos con la NASA. Antes de ser embarcado, cada uno de los productos debe pasar a través de los siguientes departamentos: alambrado eléctrico, taladrado, ensamble e inspección. El requerimiento de tiempo en horas por cada unidad producida y su valor lucrativo se resumen en la tabla siguiente: Departamento Producto Alambrado Taladrado Ensamble Inspección XJ201 0.5 0.3 0.2 0.5 XM897 1.5 1 4 1 TR29 1.5 2 1 0.5 BR788 1.0 3 2 0.5

Utilidad por unidad ($) 9 12 15 11

129



La producción disponible en cada departamento cada mes y el requerimiento de producción mínima mensual para cumplir con los contratos son los siguientes:

Departamento Capacidad Producto Nivel de producción (horas) mínimo Alambrado 15.000 XJ201 150 Taladrado 17.000 XM897 100 Ensamble 26.000 TR29 300 Inspección 12.000 BR788 400 El gerente de producción tiene la responsabilidad de especificar los niveles de producción de cada producto para el mes entrante. Ayúdelo a formular (es decir, establecer las restricciones y función objetivo) el problema de Weinberger mediante PL.

122) Un fabricante de artículos deportivos que está desarrollando un programa de producción de dos nuevos tipos de raquetas para raquetbol recibió un pedido de 180 del modelo estándar y 90 del modelo profesional que debe ser entregado al final de este mes. Se recibió otro pedido de 200 unidades del modelo estándar y 120 del modelo profesional, pero éste no tiene que ser entregado sino hasta finales del mes siguiente. La producción en cada uno de los dos meses puede realizarse en tiempo normal o tiempo extra. En el mes en curso, una raqueta estándar puede ser producida a un costo de $40 con tiempo normal, y un modelo profesional se puede ser fabricar a un costo de $60 en tiempo normal. El tiempo extra eleva el costo de estos modelos a $50 y $70, respectivamente. Debido a un nuevo contrato de trabajo para el mes siguiente, todos los costos se incrementarán en 10% a fines de este mes. El número total de raquetas que puede ser producido en un mes en tiempo normal es 230 y 80 raquetas adicionales pueden ser producidas con tiempo extra cada mes. Dado que el pedido mayor se entregará a finales del mes siguiente, la compañía planea producir algunas raquetas extra este mes y almacenarlas hasta finales del mes siguiente. El costo de conservar las raquetas en el inventario durante un mes se estima en $2 por raqueta. Con estos datos formule un modelo de PL para minimizar el costo. 123) Trabajando con químicos del Virginia Tech y de la Universidad George Washington, el contratista paisajista Kenneth Golding mezcló su propio fertilizante, llamado “Holding Grow”, compuesto por

cuatro complejos químicos, C-30, C-92, D-21 y E-11. A continuación se indica el costo por libra de cada complejo.

Complejo químico C – 30 C – 92 D – 21 E - 11

Costo por libra ($) 0.12 0.09 0.11 0.04

Las especificaciones de Golding Grow son las siguientes: 1) E-11 debe constituir por lo menos 15% de la mezcla; 2) C-92 y C-30 juntos deben constituir por lo menos 45% de la mezcla; 3) D-21 y C-92 juntos pueden constituir no más de 30% de la mezcla, y 4) Golding Grow se empaca y vende en sacos de 20libras.

a) b)

Formule un problema de PL para determinar qué mezcla de los cuatro compuestos permitirá a Golding minimizar el costo de un saco de 50 libras del fertilizante. Resuélvalo con computadora para encontrar la mejor solución.

124) (Problema de producc ión ) Winkler Furniture fabrica dos tipos de vitrinas: un modelo provenzal francés y un modelo danés moderno. Cada vitrina producida debe pasar por tres departamentos: carpintería, pintura y acabado. La tabla de la página 321 contiene toda información concerniente a los tipos de producción por vitrina y capacidades de producción de cada operación por día, junto con el ingreso neto por unidad producida. La compañía firmó un contrato con un distribuidor de Indiana para producir un mínimo de 300 vitrinas de cada modelo por semana (o 60 por día). El propietario, Bob Winkler, desea determinar una mezcla de productos para maximizar su ingreso diario. a) b)

Formule como un problema de PL. Resuelva con un programa de PL u hoja de cálculo.

130



125) (Problema de d ecisión de in versión ) La compañía de intermediación financiera Heinlein and Krampf Brokerage acaba de ser instruida por uno de sus clientes para que invierta $250,000 de su dinero que obtuvo recientemente por la venta de unos terrenos en Ohio. El cliente tiene un buen grado de confianza en la casa inversora, pero también tiene sus propias ideas sobre la distribución de los fondos que se van a invertir. En particular, solicita que la firma elija las acciones y bonos que crea están bien valuados, pero dentro de los siguientes lineamientos: a) b) c)

Los bonos municipales deben constituir, por lo menos, 20% de la inversión. Por lo menos, 40% de los fondos debe ser colocado en una combinación de compañías electrónicas, aeroespaciales y farmacéuticas. No más de 50% de la suma invertida en bonos municipales debe ser colocado en acciones de alto rendimiento y alto riesgo de una casa de beneficencia.

Sujeto a estas restricciones, el objetivo del cliente es maximizar el rendimiento proyectado de las inversiones. Los analistas en Heinlein and Krampf, conscientes de estos lineamientos, preparan una lista de acciones y bonos de alta calidad y sus tasas de rendimiento correspondientes.

In versiones Bonos municipales de Los Ángeles Thompson Electronics, Inc. United Aerospace Corp. Palmer Drugs Casa de beneficiencia Happy Days

a) b)

Tasas de rendimiento proyectado (%) 5.3 6.8 4.9 8.4 11.8

Formule este problema de selección de cartera por medio de PL. Resuelva este problema.

126) (Problema de horarios de trabajo en un restaurante) El famoso restaurante Y. S. Chang está abierto las 24 horas del día. Los meseros y sus ayudantes entran a las 3 A.M., 7A.M., 11 A.M., 3 P.M. u 11 P.M. y cada uno cubre un turno de 8 horas. La tabla siguiente muestra el número mínimo de trabajadores necesarios durante los seis periodos en los que se divide el día. El problema de programación de horarios de Chang es determinar cuántos meseros y ayudantes deberán reportarse al trabajo al inicio de cada periodo para minimizar el personal total requerido durante un día de operación. (Sugerencia: Sea Xi igual al número de meseros y ayudantes que empiezan a trabajar en el periodo i, donde i = 1,2, 3, 4, 5,6)

127) (Problema de mezcla de alimentos para anim ales) El Battery Park Stable alimenta y aloja los caballos utilizados para tirar carruajes llenos de turistas por las calle del histórico distrito ribereño

131



de Charleston. El propietario del establo, un entrenador retirado de caballos de carreras, reconoce la necesidad de diseñar una dieta nutricional para los caballos a su cuidado. Al mismo tiempo, quiere mantener al mínimo el costo diario total de alimentación. Las mezclas de alimentos disponibles para la dieta de los caballos son un producto de avena, un grano altamente enriquecido y un producto mineral. Cada una de estas mezclas contiene una cierta cantidad de cinco ingredientes requeridos diariamente para mantener saludable al caballo promedio. La tabla de la página 322 muestra estos requerimientos mínimos, las unidades de cada ingrediente por libra de mezcla de alimentos y los costos de las tres mezclas. Además, el propietario del establo sabe que un caballo sobrealimentado es un trabajador perezoso. Por consiguiente, determina que 6 libras de alimento por día son lo máximo que cualquier caballo necesita para funcionar apropiadamente. Formule este problema de la mezcla diaria óptima de los tres alimentos y resuélvalo.

128) (Problema de selección de beisbolis tas) Los Dubuque Sackers, un equipo de béisbol clase D, enfrenta cuatro complicados juegos de visitante contra rivales de la liga en Des Moines, Davenport, Omaha y Peoria. El director técnico “Red” Revelle enfrenta la tarea de programar a sus

cuatro lanzadores abridores en los juegos apropiados. Como los juegos son consecutivos en menos de una semana, Revelle no puede contar con más de un lanzador que inicie en más de un juego. Revelle conoce las fortalezas y debilidades no sólo de sus lanzadores, sino también de sus oponentes. Ha desarrollado una calificación de desempeño de cada uno de sus lanzadores abridores contra cada uno de estos equipos. Las calificaciones aparecen en la tabla de esta página. ¿Qué rotación de abridores deberá establecer el director técnico Revelle para obtener el total más alto de las calificaciones de desempeño?

a) b)

Formule este problema por medio de PL. Resuélvalo.

129) (Problema de selección de medios ) El director de publicidad de Diversey Paint and Supply, una cadena de cuatro tiendas de venta al menudeo del área norte de Chicago, considera dos posibilidades de medios. Un plan contempla una serie de anuncios de media página en el periódico Chicago Tribune del domingo; el otro, tiempo de publicidad en la TV de Chicago. Las tiendas están expandiendo sus líneas de herramientas de "hágalo usted mismo" y el director de publicidad está interesado en un nivel de exposición de por lo menos 40% dentro de los vecindarios de la ciudad y de 60% en las áreas suburbanas del noroeste. El tiempo de audiencia de TV considerado tiene un "rating" de exposición por anuncio de 5% en hogares de la ciudad y de 3% en los suburbios del noroeste. El periódico dominical tiene tasas de exposición correspondientes de 4% y 3% por anuncio.

132



El costo de una media página de publicidad en el Tribune es de $925; un anuncio de televisión cuesta $2000. Diversey Paint desea seleccionar la estrategia de publicidad menos costosa que satisfaga los niveles de exposición deseados

a) b)

Formule con PL. Resuelva el problema.

130) (Problema d e arrendamiento de auto móviles) Sundown Rent-a-Car, una gran agencia de arrendamiento de automóviles que opera en el Medio Oeste, está preparando una estrategia de arrendamiento para los seis meses siguientes. Sundown renta los automóviles a un fabricante y luego los renta al público de forma diaria. A continuación se da una predicción de la demanda de los autos de Sundown en los seis meses siguientes:

Los automóviles pueden rentarse al fabricante durante tres, cuatro o cinco meses. Los vehículos se rentan el primer día del mes y se regresan el último día del mes. Cada seis meses Sundown notifica al fabricante de automóviles sobre el número de automóviles requeridos durante los seis meses siguientes. El fabricante ha estipulado que por lo menos 50% de las unidades rentadas durante un periodo de seis meses deben estar en el plan de arrendamiento de cinco meses. El costo mensual de cada uno de los tres tipos de arrendamiento es: $420 el de tres meses, $400 el de cuatro meses y $370 el de cinco meses. Actualmente, Sundown tiene 390 autos. El arrendamiento de 120 de ellos expira a finales de marzo. El de otros 140 a finales de abril y el del resto a finales de mayo. Use PL para determinar cuántos automóviles deben rentarse cada mes en cada tipo de arrendamiento para minimizar el costo de arrendamiento durante el periodo de seis meses. ¿Cuántos vehículos quedan a finales de agosto?

131) La gerencia de Sundown Rent-a-Car (vea el problema 130) ha decidido que tal vez el costo durante el periodo de seis meses no es el apropiado para minimizarlo porque la agencia aún puede estar obligada a meses adicionales en algunos arrendamientos después de ese tiempo. Por ejemplo, si Sundown entregara algunos automóviles al principio del sexto mes, aún estaría obligada durante dos meses más en un arrendamiento de tres meses. Use PL para determinar cuántos autos deben rentarse cada mes en cada tipo de arrendamiento para minimizar el costo de arrendamiento durante toda la duración de estos contratos. 132) (Problema de transporte escolar de estudiantes de preparatoria) El superintendente de educación del condado de Arden, Maryland, es el responsable de asignar estudiantes a las tres preparatorias que hay en su condado. Reconoce la necesidad de transportar a un cierto número de estudiantes, ya que varios sectores del condado están bastante alejados como para ir caminando a la escuela. El superintendente divide el condado en cinco sectores geográficos ya que intenta establecer un plan que minimice el número de millas-estudiante recorridas en autobús. También reconoce que si un estudiante vive en un cierto sector y es asignado a una preparatoria de dicho sector, no hay necesidad de transportar a ese estudiante por autobús porque él o ella puede caminar a la escuela. Las tres escuelas están localizadas en los sectores B, C y E. La tabla anexa refleja el número de estudiantes de preparatoria que viven en cada sector y la distancia en millas de cada sector a cada escuela.

133



Cada preparatoria tiene una capacidad de 900 estudiantes. Establezca la función objetivo y restricciones de este problema por medio de PL de modo que el número total de millas – estudiante recorrida por autobús se minimice. (Observe la semejanza con el problema de transporte ilustrado con anterioridad en este capítulo.) Luego resuelva el problema.

133) (Prob lema de asignación de precios y estrategia de comercialización) La I. Kruger Paint and Wallpaper Store es un gran distribuidor minorista de la marca Supertrex de papeles tapiz de vinilo. Kruger desea mejorar su imagen a nivel de toda la ciudad en Miami mediante la superación de las ventas de otros distribuidores locales en el número total de rollos de Supertrex el siguiente año. Se puede estimar la función de demanda como sigue: Número de rollos de Supertrex vendidos = 20 X dólares gastados en publicidad + 6.8 X dólares gastados en exhibidores en la tienda + 12 X dólares invertidos en el inventario de papel tapiz disponible - 650,000 X porcentaje de margen de ganancia sobre el costo de venta al mayoreo de un rollo. La tienda presupuesta un total de $17,000 para publicidad en exhibidores en la tienda y en inventario disponible de Supertrex para el año siguiente. Decide que debe gastar por lo menos $3000 en publicidad; además, por lo menos 5% de la suma invertida en inventario disponible deberá ser dedicado a exhibidores. Los márgenes de ganancia en Supertrex de otros distribuidores locales oscilan entre 20 y 45%. Kruger decide que sería mejor que su margen de ganancia estuviera también en este intervalo.

a) b) c) d)

Ordene estos datos como un problema de PL. Resuelva el problema. ¿Cuál es la dificultad con la respuesta? ¿Qué restricción agregaría?

134) (Problema de expan sión de un ho spital) El hospital Mt. Sinai en Nueva Orleans es una gran empresa privada con 600 camas que cuenta con laboratorios, quirófanos y equipo de rayos X. Para incrementar sus ingresos, la administración del Mt. Sinai ha decidido hacer una ampliación para 90 camas en una fracción del terreno adyacente que se utiliza actualmente como estacionamiento del personal. La administración considera que los laboratorios, los quirófanos y el departamento de rayos X no se utilizan en su totalidad en el presente y no necesitan ampliarse para atender a pacientes adicionales. La adición de 90 camas, sin embargo, implica decidir cuántas camas deberán ser asignadas al personal médico para pacientes médicos y cuántas al personal quirúrgico para pacientes de este tipo. Los departamentos de contabilidad y registro médico del hospital proporcionaron la siguiente información al respecto. La permanencia promedio en el hospital de un paciente médico es de 8 días, y genera ingresos por $2280. El paciente quirúrgico promedio permanece en el hospital 5 días y recibe una factura de $1515. El laboratorio puede manejar 15,000 pruebas por año más de las que manejaba. El paciente médico promedio requiere 3.1 exámenes de laboratorio, en tanto que el paciente quirúrgico promedia 2.6. Además, el paciente médico promedio requiere un estudio de rayos X, mientras que el paciente quirúrgico promedio requiere dos. Si el hospital expandiera su capacidad en 90 camas, el departamento de rayos X podría manejar hasta 7000 estudios sin un costo significativo adicional. Por último, la administración estima que podrían hacerse 2800 operaciones adicionales en los quirófanos existentes. Los pacientes médicos, desde

134



luego, no requieren cirugía, mientras que cada paciente quirúrgico, en general, es operado una vez. Formule este problema para determinar cuántas camas médicas y cuántas quirúrgicas se deberán agregar para maximizar los ingresos. Suponga que el hospital está abierto 365 días al año. Luego resuelva el problema.

135



III OBJETIVOS DEL CAPITULO Después de finalizar este capítulo usted estará en capacidad de: 1) Explicar detalladamente por qué el método simplex encuentra soluciones óptimas para problemas de programación lineal. 2) Determinar cuando un problema de programación lineal tiene múltiples soluciones óptimas. 3) Determinar cuando un problema de programación lineal no tiene solución.

INTRODUCCIÓN El método Simplex se basa en el álgebra y se lo emplea para resolver problemas de Programación Lineal tanto de Maximización o Minimización. Es un proceso repetitivo numérico que permite llegar a una solución óptima partiendo de un punto extremo conocido; es decir, partiendo de una solución básica, si esta solución básica factible tomada como punto de partida no satisface, es necesario tomar otra solución que nos da un valor para Z mayor o menor y así sucesivamente hasta llegar a la solución final. Es un método iterativo (aproximaciones sucesivas), fue ideado por George Dantrig (1947) quien realizó investigaciones basado en relaciones matemáticas de carácter lineal. Existen tres requisitos en la solución de un problema de programación lineal por el método simplex.

a) Todas las limitaciones deben estar establecidas como ecuaciones. b) El segundo miembro de una limitante, no puede ser negativo. c) Todas las variables están restringidas a valores no negativos.

PROCEDIMIENTO Cualquiera que sea el número de inecuaciones y de incógnitas de un sistema, este por sí mismo se ajusta a un tratamiento de identificación que nos dé una idea de que sea sujeto de solución. Cuando el sistema reúne a un número de ecuaciones inferior al número de incógnitas, existen muchas soluciones. Justamente este es el caso más frecuente de los problemas de programación lineal, de allí que es necesario introducir (+) variables de Holgura en los casos de la expresión  (igual o menor), restar (-) variables de holgura e introducir Variables Artificiales en los casos de  (mayor o igual) y en los casos de = se introduce variables artificiales con signo más. + VARIABLE DE HOLGURA  - VARIABLE DE HOLGURA + VARIABLE ARTIFICIAL = + VARIABLE ARTIFICIAL 

Cada caso se comprenderá con un ejemplo y así podremos establecer su similitud y diferencias.

136



MAXIMIZACIÓN MEDIANTE EL SIMPLEX En problemas de matización (Ej. Producción) se debe tomar en cuenta.

PLANTEAMIENTO Identificación de Variables

Producto I = X1 Producto II = X2 Producto III = X3 Producto IV = X4

1) Función Objetivo Z(MAX) = C1X1 + C2X2 + C3X3+ ------------ + CnXn

2) Limitaciones o Restricciones A11X1 + A12X2 + A13X3 + ----------------- + A1nXn  b1 A21X1 + A22X2 + A23X3 + ----------------- + A2nXn  b2 A31X1 + A32X2 + A33X3 + ----------------- + A3nXn  b3 ................................................................................... Am1X1 + Am2X2 + Am3X3 + ----------------- + A mnXn  bn

3) No negatividad X j



0

RESOLUCIÓN Cuando se trata de un sistema de inecuaciones, no existe solución única, si no que implica muchas posibilidades, razón por la cual, el método simplex va generando soluciones básicas.

Introducción de Variables de Holgura Como el primer miembro de la inecuación es inferior al otro, es necesario introducir una variable denominada de HOLGURA que cubra imaginariamente el valor faltante, para convertirlo en igualdad.

S1, S2, S3, ..... Sn = Variables de Holgura A11X1 + A12X2 + A13X3 + ----- + A1nXn + S1 = b1 A21X1 + A22X2 + A23X3 + ----- + A2nXn + S2 = b2 A31X1 + A32X2 + A33X3 + ----- + A3nXn + S3 = b3 ............................................................................................... Am1X1 + Am2X2 + Am3X3 + ----- + AmXn + ---------------+ Sn = bn Al convertir el sistema de desigualdades es un sistema de ecuaciones mediante la introducción de variables de holgura, se ha logrado un importante punto de partida. Estas variables en la función objetivo irán antepuestas de un coeficiente cero de beneficio.

Z(MAX) = C1X1 + C2X2 + ---- + CnXn + 0S1 + 0S2 + ---- + 0Sn

Generación de una solución básica factible En el caso de un ejemplo de producción, el primer supuesto o alternativa del método simplex es no fabricar nada de los productos reales (variables fundamentales), esto quiere decir dar respuesta al sistema manteniendo inutilizados los recursos existentes, es decir:

X1 = 0

S1 = b1

137



X2 = 0 S2 = b2 X3 = 0 S3 = b3 ...................................... Xn = 0 Sn = bn

Proceso Iterativo En función de los criterios del método simplex se van obteniendo ensayos, interacciones o algoritmos hasta lograr la respuesta ideal. El objetivo es ir eliminando las variables de holgura e irlas reemplazando por alternativas en función de variables fundamentales, propósito del problema. El proceso se lo desarrolla por cuadros o etapas. Cada uno de ellas nos representará una mejor combinación de producción y un mayor beneficio, para lo cual se necesita aplicar el método matricial de coeficientes. Cj Xj

= = * = ° = bn = Zj = Zj-Cj =

Coeficiente de la función objetivo Solución básica de cada etapa: es la base vectorial que da solución al sistema Elemento Pivote Elementos semipivotales Parámetros; datos conocidos, nos indican la cuantificación de recursos Valores que va tomando la función objetivo en cada posición. Se la conoce como el "Criterio del simplex”; permite continuar o no la generación de alternativos.

Cuando la expresión Zj - Cj corresponde en todas las posiciones a valores POSITIVOS O CEROS, habrá terminado el problema de maximización.

Pasos para formar la nueva tabla 1) 2)

3)

Se elige el elemento (Zj-Cj) de menor valor negativo, la variable que le corresponde debe entrar a la base de la nueva tabla para mejorar la solución. Para determinar que fila sale, se obtiene el elemento pivote, el mismo que es la intersección de la columna que ingresa y la fila que sale, para lo cual se divide los elementos de la columna de b n para los elementos de la columna que ingresó, se escoge el menor cociente que representará al pivote, los restantes elementos de la columna son los semipivotes. No se toma en cuenta la división para números negativos o cero. Formar los nuevos elementos de la fila de la variable de holgura que es reemplazada por la variable fundamental, basándose en el elemento PIVOTE, que se encuentra en la intersección de la columna que entra y la fila que sale. " ELEMENTOS DE LA NUEVA FILA "

4) 5)



ELEMENTOS ANTERIORES PIVOTE

Los restantes elementos de la columna que entra se denominan SEMIPIVOTES (°) Los elementos de las demás filas se obtienen restando los elementos anteriores de dicha fila menos los elementos de la nueva fila que ingresó, multiplicados por el semipivote correspondiente.

elementos de la fila que ingresó x el semipivote correspondiente

“Elementos de otra fila = elementos anteriores de dicha fila –

6) 7)

8)

Zj se obtiene multiplicando el coeficiente de la variable fundamental que ingresó por todos los elementos de dicha fila. Obtenemos la fila Zj - Cj, restando los elementos de la fila de Zj menos los elementos de la fila Cj, si todos sus elementos son positivos o ceros el proceso se ha terminado, esto quiere decir que la tabla es óptima, caso contrario construimos la nueva tabla eliminando el menor negativo que exista y realizar el mismo proceso anterior. El máximo beneficio está dado por el valor del elemento de Zj de la columna b n.

138



EJERC ICIOS RESUEL TOS

PROBLEMAS DE MAXIMIZACION PROBLEMA Nº 1.Un taller fabrica dos clases de cinturones de piel. En cada cinturón A de alta calidad gana 4 dólares y en cada cinturón B de baja calidad gana 3 dólares. El taller puede producir diariamente 500 cinturones de tipo B o 250 cinturones de tipo A. Sólo se dispone de piel para 400 cinturones diarios A y B combinados y de 200 hebillas elegantes para el cinturón A y de 350 hebillas diarias para el cinturón B ¿Qué producción maximiza la ganancia?

Función Objetivo Z(MAX) = 4X1 + 3X2 + 0 S1 +0 S2 +0 S3 + 0 S4

Restricciones X1 + X2 X1 X2 2X1 + X2

400 200 350 500

   

Cantidad de piel Hebillas elegantes Hebillas de menor calidad Capacidad

Variables de holgura X1 + X2 + S1 = 400 X1 + S2 = 200 X2 + S3 = 350 2X1 + X2 + S4 = 500

TABLA I Formamos la 1° Tabla con los coeficientes de las variables fundamentales y su holgura. En la columna de Xj, irán las variables de holgura por ser recursos no utilizados por lo tanto deben ingresar al proceso y no tienen utilidad.

C j 0 0 0 0

X j S1 S2 S3 S4 Z j Z j-C j

bn 400 200 350 500 0 ---

4 X1 1° 1* 0° 2° 0 -4

3 X2 1 0 1 1 0 -3

0 S1 1 0 0 0 0 0

0 S2 0 1 0 0 0 0

0 S3 0 0 1 0 0 0

0 S4 0 0 0 1 0 0

Al iniciarse el proceso productivo no existe utilidad por lo tanto todos los coeficientes de la fila Zj son ceros. Los elementos de la fila Zj - Cj que se denomina criterio del simplex se forma restando los coeficientes de la fila Zj menos la 1° fila Cj. 0-4

= -4

0 – 3 = -3

0-0=0

0 - 0 = 0 etc.

TABLA II Como se trata de problemas de maximización, en la fila Zj - Cj deben quedar ceros o valores positivos, esto significa que es necesario eliminar los valores negativos para lo cual tomamos el menor valor negativo, en este caso (-4), es decir, la variable que pertenece a esta columna ingresa (X 1) con una utilidad de 4.

139



Para saber cuál es la fila que sale, dividimos los coeficientes de la columna de (b n) para los coeficientes de X1. El menor cociente indica la fila que debe salir y nos señalará el PIVOTE. 400 1 20

bn

1 350

X 1

0 500 2

 400

(1 ) Semipivote

 200

(1*) Piv ote

 NO

( 0 ) Semipivote

 250

( 2 ) Semipivote

El menor cociente se obtiene al dividir 200  1 = 200 entonces en la intersección de la fila S 2 y la columna X1 queda el pivote, los demás elementos son semipivote, lo cual significa que la fila que sale es S2 y en su lugar ingresa X1 con una utilidad de 4. El pivote se lo representa por un asterisco (*) y los semipivote con un punto (°). Para obtener los coeficientes de la nueva fila dividimos los anteriores de S 2. 200 1 0 0 1 0 0

      

1 1 1 1 1 1 1

= = = = = = =

200 1 0 0 1 0 0

(pivote = 1)

Las demás filas se las obtiene de la siguiente forma: Coeficientes de S1 anterior-nueva filaxsemipivote correspondiente 400 – 200x1 = 200 1 – 1 x 1 = 0 1 – 0 x 1 = 1 1 – 0 x 1 = 1 0 – 1 x 1 = -1 0 – 0 x 1 = 0 0 – 0 x 1 = 0 Primero se realiza la multiplicación, luego se resta. Cuando el semipivote es cero (0) se copia los mismos coeficientes. Si el semipovote es uno (1) se realiza la resta directamente. Coeficientes de S1 400 – 200x1 = 200 1 – 1 x 1 = 0 1 – 0 x 1 = 1 1 – 0 x 1 = 1 0 – 1 x 1 = -1 0 – 0 x 1 = 0 0 – 0 x 1 = 0

Coeficientes de S3 350 – 200x0 = 350 0 – 1 x 0 = 0 1 – 0 x 0 = 1 0 – 0 x 0 = 0 0 – 1 x 0 = 0 1 – 0 x 0 = 1 0 – 0 x 0 = 0

Coeficientes de S4 500 – 200x2 = 100 2 – 1 x 2 = 0 1 – 0 x 2 = 1 0 – 0 x 2 = 0 0 – 1 x 2 = -2 0 – 0 x 2 = 0 1 – 0 x 2 = 1

140

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I C j X j S1 X1 S3 S4 Z j Z j-C j

0 4 0 0

bn 200 200 350 100 800 ---

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. 4 X1 0 1 0 0 4 0

3 X2 1° 0° 1° 1* 0 -3

0 S1 1 0 0 0 0 0

0 S2 -1 1 0 -2 4 4

0 S3 0 0 1 0 0 0

0 S4 0 0 0 1 0 0

Los coeficientes de la fila Zj se obtienen multiplicando 4 por cada coeficiente de esa fila. 4 x 200 = 800 4x1=4 4 x 0 = 0 etc. Zj - Cj = 80 - 80 =0 0 - 60 = -60 0 - 0 = 0 etc.

TABLA III Al tener un valor negativo (-3) en la fila Zj - Cj debemos eliminarlo, eso significa que la variable de esa columna es la que ingresa (X2), para saber que fila sale procedemos como en el caso anterior.

bn X 2

200  200 1 200  NO 0 350  350 1 100  100 1

(1) Semipivote (0*) Semipivote (1) Semipivote (1*) Pivote

El pivote nos indica que la fila que sale es (S 4) e ingresa X2 con una utilidad de 30. Coeficientes de X2 100  1 = 100 0  1 = 0 1  1 = 1 0  1 = 0 -2  1 = -2 0  1 = 0 1  1 = 1

Coeficientes de S1 200 – 100x1 = 100 0 – 0 x 1 = 0 1 – 1 x 1 = 0 1 – 0 x 1 = 1 -1 – (-2) x 1 = 1 0 – 0 x 1 = 0 0 – 1 x 1 = -1

Coeficientes de X1 200 – 100x0 = 200 1 – 0 x 0 = 1 0 – 1 x 0 = 0 0 – 0 x 0 = 0 1 – (-2) x 0 = 1 0 – 0 x 0 = 0 0 – 1 x 0 = 0

Coeficientes de S3 350 – 100x1 = 250 0 – 0 x 1 = 0 1 – 1 x 1 = 0 0 – 0 x 1 = 0 0 – (-2) x 1 = 2 1 – 0 x 1 = 1 0 – 1 x 1 = -1

C j 0 4 0 3

Zj =

X j S1 X1 S3 X2 Z j Z j-C j

bn 100 200 250 100 1.100 ---

4 X1 0 1 0 0 4 0

3 X2 0 0 0 1* 3 0

0 S1 1 0 0 0 0 0

0 S2 1* 1° 2° -2° -2 -2

0 S3 0 0 1 0 0 0

0 S4 -1 0 -1 1 3 3

4 x 200 + 3 x 100 = 800 + 300 = 1.100

141

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I 4 4 4 4 4 4

x1 x0 x0 x1 x0 x0

+3 x0 +3 x1 +3 x0 + 3(-2) +3 x0 +3 x1

= = = = = =


0+ 0 = 0 0 +3 = 3 0 +0 = 0 0 - 6 = -2 0 +0 = 0 0 +3 = 3

TABLA IV Como queda otro valor negativo (-2), se requiere hacer otro proceso, la variable que ingresa es s 2. 100 

1

bn

200

S 2

1

100 200

(1*) Semipivote

125

( 2) Semipivote

NO

( 2) Semipivote



250 

2 100  

(1*) Pivote

2

Sale S1 e ingresa S2 Coeficientes de S2 100  1 = 100 0  1 = 0 0  1 = 0 1  1 = 1 1  1 = 1 0  1 = 0 -1  1 = -1

Coeficientes de X1 200 – 100x1 = 100 1 – 0 x 1 = 1 0 – 0 x 1 = 0 0 – 1 x 1 = -1 1 – 1 x 1 = 0 0 – 0 x 1 = 0 0 – (-1) x 1 = 1

Coeficientes de S3 250 – 100x2 = 50 0 – 0 x 2 = 0 0 – 0 x 2 = 0 0 – 1 x 2 = -2 2 – 1 x 2 = 0 1 – 0 x 2 = 1 -1 – (-1) x 2 = 1

Coeficientes de X2 100 – 100x(-2) = 300 0 – 0 x (-2) = 0 1 – 0 x (-2) = 1 0 – 1 x (-2) = 2 -2 – 1 x (-2) = 0 0 – 0 x (-2) = 0 1 – (-1) x (-2) = -1

C j 0 4 0 3

X j S2 X1 S3 X2 Z j Z j-C j

bn 100 100 50 300 1.300 ---

4 X1 0 1 0 0 4 0

3 X2 0 0 0 1 3 0

0 S1 1 -1 -2 2 2 2

0 S2 1 0 0 0 0 0

0 S3 0 0 1 0 0 0

0 S4 -1 1 1 -1 1 1

En la fila Z j - C j ya no hay valores negativos, entonces el proceso ha concluido. Presentamos la solución del problema en una sola tabla

142

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I C j 0 0 0 0

0 4 0 0

0 4 0 3

0 4 0 3

X j S1 S2 S3 S4 Z j Z j-C j S1 X1 S3 S4 Z j Z j-C j S1 X1 S3 X2 Z j Z j-C j S2 X1 S3 X2 Z j Z j-C j

bn 400 200 350 500 0 --200 200 350 100 800 --100 200 250 100 1.100 --100 100 50 300 1.300 ---

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. 4 X1 1° 1* 0° 2° 0 -4 0 1 0 0 4 0 0 1 0 0 4 0 0 1 0 0 4 0

3 X2 1 0 1 1 0 -3 1° 0° 1° 1* 0 -3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 3 0

0 S1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -1 -2 2 2 2

0 S2 0 1 0 0 0 0 -1 1 0 -2 4 4 1* 1° 2° -2° -2 -2 1 0 0 0 0 0

0 S3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 S4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 0 -1 1 3 3 -1 1 1 -1 1 1

I

II

III

IV

Para encontrar la solución tomamos las variables de la última columna X j y los valores de la columna bn.

Solución óptima Z(MAX) = 1.300 Centavos X1 = 100 Cinturones de clase A X2 = 300 Cinturones de clase B S1 = 0 Se utilizó toda la piel S2 = 100 Hebillas elegantes no utilizadas S3 = 50 Hebillas de menor calidad no utilizadas S4 = 0 Se utilizó toda la capacidad

Comprobación X1 + X2 + S1 = 400 100 + 300 + 0 = 400 X1 + S2 = 200 100 + 100 = 200 2X1 + X2 + S4 = 500 2(100) + 300 + 0 = 500 200 + 300 + 0 = 500

X2 + S3 = 350 100 + 100 = 200

PROBLEMA N°2. La Compañía ECASA está produciendo dos clases de refrigeradoras, tipo A y tipo B. De estudios hechos sobre las necesidades del país, se estima que en el próximo año los requerimientos de estos dos tipos de refrigeradoras serán: Un máximo de 80 Mil unidades de A

143



Un máximo de 120 Mil unidades de B La utilidad que, cada refrigeradora le deja a la empresa es: 15 dólares por unidad de A y 30 dólares por unidad de B. Cuántas unidades de A y Cuántas de B deben producirse para que ECASA alcance la máxima utilidad anual, si sólo se dispone de: 10 Mil unidades de hierro 16 Mil unidades de fibra de vidrio 14 Mil unidades de aluminio Considerando que la composición de estas refrigeradoras debe ser la siguiente: A = 10% de hierro, 12% de fibra de vidrio, 7% de aluminio B = 5% de hierro, 10% de fibra de vidrio, 10% de aluminio


Restricciones 0,10 X1 + 0,05 X2 0,12 X1 + 0,10 X2 0,07 X1 + 0,10 X2 X1 X2 X1, X2

10 mil (Hierro) 16 mil (Fibra de vidrio)  14 mil (Aluminio)   80 mil (Demanda de A)  120 mil (Demanda de B)  0 

Variables de holgura Z(MAX) = 15X1 + 30X2 + 0 S1 +0 S2 +0 S3 + 0 S4 + 0 S5 0,10 X1 + 0,05 X2 + S1 = 10 mil 1° 0,12 X1 + 0,10 X2 + S2 = 16 mil 2° 0,07 X1 + 0,10 X2 + S3 = 14 mil 3° X1 + S4 = 80 mil 4° X2 + S5 = 120 mil 5°

TABLA I La tabla I se forma con los datos originales: C j 15 30 X j bn X1 X2 0 S1 10 0.10 0.05° 0 S2 16 0.12 0.10° 0 S3 14 0.07 0.10° 0 S4 80 1 0° 0 S5 120 0 1* Z j 0 0 0 Z j-C j ---15 -30

0 S1 1 0 0 0 0 0 0

0 S2 0 1 0 0 0 0 0

0 S3 0 0 1 0 0 0 0

0 S4 0 0 0 1 0 0 0

0 S5 0 0 0 0 1 0 0

I

TABLA II Eliminamos (-30), la columna que ingresa es X 2, para saber cuál fila sale, dividimos los coeficientes de b n para los coeficientes de X2.

144

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I 10 0.05 16 0.10 14

bn X 2

0.10 80 0 120 1


 200 (0.05) Semipivote  160 (0.10) Semipivote  140 (0.10) Semipivote  NO (0)

Semipivote

 120 (1*)

Piv ote

Coeficientes de X2 de la nueva fila. Se divide los anteriores de S 5 para el pivote 1 120 1

 120

0 1

0

1 1

1

0 1

0

0 1

0

0 1

0

0 1

0

1 1

1

Coeficientes de S1 10 – 120x0.05 = 4 0.10 – 0 x 0.05 = 0.10 0.05 – 1 x 0.05 = 0 1 – 0 x 0.05 = 1 0 – 0 x 0.05 = 0 0 – 0 x 0.05 = 0 0 – 0 x 0.05 = 0 0 – 1 x 0.05 = -0.05



Coeficientes de S4 Son los mismos anteriores porque el semipivote es cero

C j 0 0 0 0 30

X j S1 S2 S3 S4 X2 Z j Z j-C j

bn 4 4 2 80 120 3.600 ---

15 X1 0.10° 0.12° 0.07* 1° 0° 0 -15

30 X2 0 0 0 0 1 30 0

0 S1 1 0 0 0 0 0 0

0 S2 0 1 0 0 0 0 0

0 S3 0 0 1 0 0 0 0

0 S4 0 0 0 1 0 0 0

0 S5 -0.05 -0.10 -0.10 0 1 30 30

II

TABLA III Eliminamos el negativo (-15), es decir, ingresa la columna de X 1 con una utilidad de 15, veamos que fila sale. bn

4

X 1

0.10 2 0.07 120 0

 40 Semipivote

4 0.12

 33.33 Semipivote

 28.57 Pivot e (Menor cociente)

80 1

 80 Semipivote

 NO (Semipivote)

Ingresa X1 y sale S 3

145



Coeficientes de la nueva fila X 1 2 0.07

0 0.07

 28.57

0

0.07 0.07

1 0.07

0

1

 14.28

Coeficientes de S1 4 – 28.57 x 0.10 = 1.14 0.10 – 1 x 0.10 = 0 0 – 0 x 0.10 = 0 1 – 0 x 0.10 = 1 0 – 0 x 0.10 = 0 0 – 14.28 x 0.10 =-1.43 0 – 0 x 0.10 = 0 -0.05 –(-1.43) x 0.10 = 0.09 Coeficientes de S4 80 – 28.57 x 1 = 51.43 1 – 1 x 1 = 0 0 – 0 x 1 = 0 0 – 0 x 1 = 0 0 – 0 x 1 = 0 0 – 14.28 x 1 =-14.28 1 – 0 x 1 = 1 0 –(-1.43) x 1 = 1.43

C j 0 0 15 0 30

X j S1 S2 X1 S4 X2 Z j Z j-C j

bn 1.14 0.57 28.57 51.43 120 4.028.5 ---

0.7 0

0

0.07

0 0.07

0

 0  0.10  1.43 0.07

Coeficientes de S2 4 – 28.57 x 0.12 = 0.57 0.12 – 1 x 0.12 = 0 0 – 0 x 0.12 = 0 0 – 0 x 0.12 = 0 1 – 0 x 0.12 = 1 0 – 14.28 x 0.12 = -1.71 0 – 0 x 0.12 = 0 -0.10 –(-1.43) x 0.12 = 0.07 Coeficientes de X2 Son los mismos anteriores porque el semipivote es cero

15 X1 0 0 1 0 0 15 0

30 X2 0 0 0 0 1 30 0

0 S1 1 0 0 0 0 0 0

0 S2 0 1 0 0 0 0 0

0 S3 -1.43 -1.71 14.28 -14.28 0 214.2 214.2

0 S4 0 0 0 1 0 0 0

0 S5 0.09 0.07 -1.43 1.43 1 8.55 8.55

III

Solución óptima Z(MAX) = 4.028.571.38 X1 = 28.571.00 Unidades de refrigeradoras tipo A X2 = 120.000.00 Unidades de refrigeradoras tipo B S1 = 1.142.85 Unidades de hierro no utilizadas S2 = 571.43 Unidades de fibra de vidrio no utilizadas S3 = 0 Se ha utilizado todo el aluminio S4 = 51.428.57 No se ha cubierto toda la demanda de A S5 = 0 Se ha cubierto toda la demanda de B

Comprobación: 0,10 X1 + 0,05 X2 + S1 = 10 mil 1° 0.10(28.57) + 0.05(120) + 1.14 = 9.99 0,12 X1 + 0,10 X2 + S2 = 16 mil 2° 0.12(28.57) + 0.10(120) + 0.57 = 15.99 0,07 X1 + 0,10 X2 + S3 = 14 mil 3° 0.07(28.57) + 0.10(120) + 0 = 13.99

146



Reunimos todos los resultados en una sola tabla.

C j 0 0 0 0 0

0 0 0 0 30

0 0 15 0 30

X j S1 S2 S3 S4 S5 Z j Z j-C j S1 S2 S3 S4 X2 Z j Z j-C j S1 S2 X1 S4 X2 Z j Z j-C j

bn 10 16 14 80 120 0 --4 4 2 80 120 3.600 --1.14 0.57 28.57 51.43 120 4.028.5 ---

15 X1 0.10 0.12 0.07 1 0 0 -15 0.10° 0.12° 0.07* 1° 0° 0 -15 0 0 1 0 0 15 0

30 X2 0.05° 0.10° 0.10° 0° 1* 0 -30 0 0 0 0 1 30 0 0 0 0 0 1 30 0

0 S1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 S2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 S3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1.43 -1.71 14.28 -14.28 0 214.2 214.2

0 S4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 S5 0 0 0 0 1 0 0 -0.05 -0.10 -0.10 0 1 30 30 0.09 0.07 -1.43 1.43 1 8.55 8.55

I

II

III

PROBLEMA N° 3 Una fábrica produce dos tipos de muebles A y B, dispone del taller de torneamiento el mismo que puede procesar 25 unidades/tora de A y 40 unidades/hora de B, siendo el coso por hora de 20 dólares, el taller de rectificación que puede procesar 28 un/h de A y 35 un/h de B y su costo es de 14 dólares, el taller de pintura puede atender a 35 un/h de A y 25 un/h de B y su costo es de 17,5 dólares. El precio de venta de A es de 5 dólares y el de B, 4 dólares. ¿Cuántas unidades de A y B debe producir para obtener la máxima ganancia?

Matriz de recursos

Taller Tornamiento Rectificación Pintura

A B X1 X2 Proceso 25 40 28 35 35 25

Tipo de muebles N° de unidades Capacidad 1 1 1

Costo 20 14 17,5

Cuando no hay disponible, se habla de capacidad que es el 100%, se representa por 1, y cada taller ocupa tanto en A como en B un porcentaje de su presentación en forma de fracción que significa porcentaje. Para encontrar la utilidad hallamos el costo total de cada producto. Costo A B 20  25 = 0,8 14  28 = 0,5 17,5  35 = 0,5 Costo = 1.8

20  40 = 0,5 14  35 = 0,4 17,5  25 = 0,7 Costo = 1.6

Pv A=5 B=4

147



Utilidad UA = PVA - CTA UA = 5-1,8 = 3,2

UB = PVB - CTB UB = 4-1,6 = 2,4

Función Objetivo

Z(MAX) = 3,2X1 + 2,4X2

Restricciones 1 25 1 28 1 35

X 1  X 1  X 1 

1 40 1 35 1 25

X 2  1 X 2  1 X 2  1

X1 X2  0

Variables de holgura Trasformamos las desigualdades fraccionarias en igualdades enteras para lo cual buscamos el mínimo común denominador e introducimos las variables de holgura. Z(MAX) = 3.2X1 + 2.4X2 +0S1 + 0S2 + 0S3 8X1 + 5X2 + S1 = 200 5X1 + 4X2 + S2 = 140 5X1 + 7X2 + S3 = 175

C j 0 0 0

3.2 0 0

3.2 0 2.4

X j S1 S3 S5 Z j Z j-C j X1 S2 S3 Z j Z j-C j X1 S2 X2 Z j Z j-C j

bn 200 140 175 0 --25 15 50 80 --17 3.71 13 85.6 ---

3.2 X1 8* 5° 5° 0 -3.2 1 0 0 3.2 0 1 0 0 3.2 0

2.4 X2 5 4 7 0 -2.4 0.625° 0.875° 3.875* 2 -0.4 0 0 1 2.4 0

0 S1 1 0 0 0 0 0.125 -0.625 -0.625 0.4 0.4 0.226 -0.484 -0.161 0.337 0.337

0 S2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 S3 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 -0.161 -0.225 0.258 0.104 0.104

I

II

III

Solución óptima Z(MAX) = 85.6 X1 = 17 Muebles tipo A X2 = 13 Muebles tipo B S1 = 0 Se utilizó toda la capacidad del departamento de torneamiento S2 = 3.71 No se ha utilizado toda la capacidad del departamento de rectificación S3 = 0 Se utilizó toda la capacidad del departamento de pintura

148



EL MÉTODO SIMPLEX EN LOS CASOS DE MINIMIZACIÓN Los casos de minimización se resuelven empleado también la metodología conocida del “Simplex”, con

algunas variaciones. En los problemas de minimización se introduce variables de holgura con signo negativo y las variables artificiales con signo positivo. Sj = Variables de holgura mj = Variables artificiales Las variables artificiales tienen un coeficiente (M) que es un valor indeterminado. Cuando hay variables de holgura y artificiales, primero se eliminan las artificiales, luego las de holgura. Si la restricción es una igualdad, entonces se introduce solamente variables artificiales con signo positivo. Maximización Minimización Igualdad

() + SJ () – Sj + mj (=) + mj

Para resolver un problema de minimización, se empieza eliminando los mayores valores positivos de la fila Zj – Cj. El proceso habrá concluido cuando en la fila Zj – Cj queden valores negativos o ceros. La función objetivos se representará por Z(MIN) y las variables artificiales llevarán en esta función un coeficiente M. Z(MIN) = ?X1 + ?X2 ---- + 0S1 + 0S2 + ------ + Mn1 + Mm2 --- Mmn

Restricciones, variables de holgura y artificiales A11X1 + A12X2 - S1 + m1 = b1 A21X1 + A22X2 - S2 + m2 = b2 A31X1 + A32X2 -S3 + m3 = b 3 -----------------------------------------------------------------Xj  0

PROBLEMA N° 4.-

Se producen dos artículos A y B los mismos que son procesados por 3 máquinas M 1, M2 y M3 que disponen de 130, 190, 200 horas semanales al menos, la M 1 procesa 1 unidad de A y 1 de B, M 2 procesa 2 de A y 1 de B, M3 procesa 1 de A y 4 de B. El costo de procesar es 2 dólares por cada unidad del artículo A y 3 dólares por cada unidad del artículo B. Cuántas unidades de A y B se deben procesar para que el costo sea mínimo.

Función Objetivo Z(MIN) = 2X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2 + OS3 + Mn1 + Mn2 + Mn3 X1 = Artículo A X2 = Artículo B

Restricciones X1 + X2  130 Capacidad de procesar de M1 2X1 + X2  190 Capacidad de procesar de M2 X1 + 4X2  200 Capacidad de procesar de M3 Xj  0

149



Variables de holgura y Artificiales X1 + X2 – S1 + m1 = 130 2X1 + X2 -- S2 + m2 = 190 X1 + 4X2 -- S3 + m3 = 200

TABLA I Para formar la tabla I utilizamos todos los coeficientes de las variables fundamentales, de holgura y artificiales. Primero eliminamos las variables artificiales, las mismas que en la función objetivo irán con un coeficiente (M) que representa un valor indeterminado.

Cj Xj m1 m2 m3 Zj Zj-Cj

M M M

2 X1 1 2 1 4M 4M

bn 130 190 200 520M ...

3 X2 1° 1° 4* 6M 6M

0 S1 -1 0 0 -M -M

0 S2 0 -1 0 -M -M

0 S3 0 0 -1 -M -M

M m1 1 0 0 M 0

M m2 0 1 0 M 0

M m3 0 0 1 M 0

Zj = M x 130 + Mx190 + Mx200 130M + 190M + 200M = 520M 1 x M + 2 x M + 1 x M = 4M 1xM + 1 x M + 4M = 6M etc. Zj - Cj = Quedan los mismos valores que Zj excepto las 3 columnas últimas porque si se pueden restar.

TABLA II Cuando la función objetivo es de minimización, de la fila Zj - Cj se debe eliminar los valores positivos, empezando por el mayor, en este caso 6M, de modo que ingresa X2 con un costo de 3, para saber que fila sale procedemos como en los problemas de maximización. bn X 2

,

130 

1

130,

Semipivote

190 

1

190,

Semipivote

200 

4

50

(menor cociente)

Pivote

Sale m3 e ingresa X2 Coef. X2 (nueva fila) Anteriores  Pivote 2004 = 50 1  4 = 0,25 4 4= 1 0 4= 0 0 4= 0 -1  4 = -0,25 0 4= 0 0 4= 0 1  4 = 0,25

Coef. m1 Anter-Nueva fila x Semip 130 - 50 x 1 = 80 1 - 0,25 x 1 = 0.75 1 - 1 x1= 0 -1 - 0 x 1 = -1 0 - 0 x1= 0 0 - (-0,25)x 1 = 0.25 1 0 x1= 1 0 0 x1= 0 0 - 0,25 x 1 = -0.25

Coef. m2 Anter-Nueva fila x Semip 190 - 50 x 1 = 140 2 - 0,25 x 1 = 1,75 1 - 1x1 = 0 0 - 0x1 = 0 -1 - 0 x 1 = -1 0 - (-0,25) x 1 = 0,25 0- 0 x1= 0 1- 0 x1= 1 1 - 0,25 x 1 =-0,75

150

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Cj Xj m1 m2 X2 Zj Zj-Cj

M M 3

bn 80 140 50 220M ...

2 X1 0.75° 1.75* 0.25° 2,5M 2,5M

3 X2 0 0 1 0M 0M

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. 0 S1 -1 0 0 -M -M

0 S2 0 -1 0 -M -M

0 S3 0,25 0,25 -0,25 0,5 M 0,5M

M m1 1 0 0 M 0

M m2 0 1 0 M 0

M m3 -0,25 -0,25 0,25 -0,5M -1,5M

Zj = 80M + 140M = 220M 0,75M + 1,75M = 2,5M 0M + 0M = 0M etc. Zj – Cj = los mismos valores de Zj, con excepción de las 3 últimas columnas. Para los valores de Zj no se toma en cuenta la fila X2 por tener coeficiente numérico.

TABLA II De la fila Zj - Cj tomamos el valor positivo 2,5M, es decir, ingreso X 1 con un costo de 2, veamos que fila sale. bn 80 , X 1 0.75

140 1.75

 106.66,

Semipivote

 80( menor ),

Pivote

50 0.25

 200

Semipivote

Sale la fila m2 e ingresa X1 Coef. X1 140  1,75 = 80 1,75  1,75 = 1 0  1,75 = 0 0  1,75 = 0 -1  1,75 = - 057 0,25  1,75 = 0,14 0  1,75 = 0 1  1,75 = 0,57 -0,25  1,75 = -0,14 Coef X2 50 - 80 x 0,25 = 30 0,25 1 x 0,25 = 0 1 0 x 0,25 = 1 0 0 x 0,25 = 0 0 - (-0,57) x 0,25 = 0,14

Cj M 2 3

Xj m1 X1 X2 Zj Zj-Cj

bn 20 80 30 20M ...

2 X1 0 1 0 0M 0M

3 X2 0 0 1 0M 0M

Coef. m1 80 - 80 x 0,75 = 20 0,75 - 1 x 0,75 = 0 0 - 0 x 0,75 = 0 -1 - 0 x 0,75 = 1 0 - (-0,57)x 0,75 = 0,43 0,25 - 0,14 x 0,75 = 0,15 1 - 0 x 0,75 = 1 0 - 0,57 x 0,75 = -043 -0,25 - (-0,14)x 0,75 =-0,15 -0,25 - 0,14 x 0,25 = -0,28 0 - 0 x 0,25 = 0 0 - 0,57 x 0,25 = -0,14 0,25 - (-0,14)x 0,25 = 0,28

0 S1 -1 0 0 -M -M

0 S2 0,43* -0,57° 0,14° 0,43M 0,43M

0 S3 0,15 0,14 -0,29 0,15 M 0,15M

M m1 1 0 0 M 0

M m2 -0,43 0,57 -0,14 -0,43M -1,43M

M m3 -0,15 -0,14 0,29 -0,15M -1,15M

TABLA IV De la fila Zj - Cj tomamos el valor positivo O,43M, es decir que ingresa S2 bn 80 20 30 ,  46.51(menor ) pivote,  NO semip,  214.29 semip. S 2 0.43 0.14  0.57

151



Sale m1 y en su lugar ingresa S 2, al desaparecer las variables artificiales, entonces las 3 últimas columnas no intervienen en el proceso. 20 0 0 -1 0,43 0,15

Coef. X2 0,43 = 46,51 0  0,43 =  0,43 = 0  0,43 = -2,33 1  0,43 =  0,43 = 0,35 

Coef. X2 - 46,51 - 0 - 0 - (-2,33) - 1 - 0,35

30 0 1 0 0,14 -0,28

80 1 0 0 -0,57 0,14

Coef. X1 - 46,51 x (-057) = 106.51 - 0 x (-057) = 1 - 0 x (-057) = 0 - (-2,33) x (-057) = -1,33 - 1 x (-057) = 0 - 0,35 x (-057) = 0,34

x 0,14 = 23,5 x 0,14 = 0 x 0,14 = 1 x 0,14 = 0,33 x 0,14 = 0 x 0,14 = 0,33

Cj 0 2 3

Zj =

Cj M M M

M M 3

M 2 3

0 2 3

Xj S2 X1 X2 Zj Zj-Cj

bn 46,51 106,51 23,49 283,5 ...

2 x 106,51 + 3 x 23,5 2x1+3x0 2x0+3x1 2 x (-1,33) + 3(0,33) 2x0+3x0 2 x (0,334) + 3 (-0,33) 2 Xj bn X1 m1 130 1 m2 190 2 m3 200 1 Zj 520M 4M Zj-Cj ... 4M m1 80 0,75° m2 140 1,75* X2 50 0,25° Zj 220M 2,5M Zj-Cj --2,5M m1 20 0 X1 80 1 X2 30 0 Zj 20M 0M Zj-Cj --0M S2 46,51 0 X1 106,51 1 X2 23,49 0 Zj 283,49 2 Zj-Cj --0

= 283,5 = 2 = 3 = -1,67 = 0 = -0,31 3 X2 1° 1° 4* 6M 6M 0 0 1 0M 0M 0 0 1 0M 0M 0 0 1 3 0

2 X1 0 1 0 2 0

0 S1 -1 0 0 -M -M -1 0 0 -M -M -1 0 0 -M -M -2,33 -1,33 0,33 -1,67 -1,67

3 X2 0 0 1 3 0

0 S1 -2,33 -1,33 0.33 -1,67 - 1,67

0 S2 0 -1 0 -M -M 0 -1 0 -M -M 0.43* -0,57° 0.14° 0,43M 0,43M 1 0 0 0 0

0 S2 1 0 0 0 0

0 S3 0 0 -1 -M -M 0,25 0,25 -0,25 0,5M 0,5M 0,15 0,14 -0,29 0,15M 0,15M 0,35 0,34 -0,34 -0,34 -0.34

0 S3 0,35 0,34 -0,34 -0,34 -0,34

M m1 1 0 0 M 0 1 0 0 M 0 1 0 0 M 0

M m2 0 1 0 M 0 0 1 0 M 0 -0,43 0,57 -0,14 -0.43 -1,43

M m3 0 0 1 M 0 -0,25 -0,25 0,25 -0.5M -1,5M -0,15 -0,14 0,29 -0,15M -1,15M

152



En la fila Zj - Cj que se denomina criterio del simplex, tenemos valores negativos o ceros entonces el proceso ha terminado.

Solución óptima Z(MIN) = 283,49 X1 = 106,51 Unidades del artículo A X2 = 23,49 Unidades del artículo B S1 = 0 Se utilizó toda la capacidad de M1 S2 = 46,51 Capacidad no utilizada de M2 S3 = 0 Se utilizó toda la capacidad de M3

PROBLEMA 5 Una compañía química está diseñando una planta para producir dos tipos de minerales M y N. La planta debe ser capaz de producir al menos 100 unidades de M y 420 unidades de N cada día. Existen dos posibles diseños para las cámaras principales de reacción que vienen incluidas en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta 600 mil dólares y es capaz de producir 10 unidades de M y 20 unidades de N por día; el tipo B es un diseño más económico, cuesta 300 mil dólares y es capaz de producir 4 unidades de M y 30 unidades de N por día. A causa de los costos de operación, es necesario tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuántas cámaras de cada tipo deben ser incluidas para minimizar el costo de construcción y satisfacer el programa de producción requerido?

Función objetivo: X1 = Cámaras tipo A X2 = Cámaras tipo B Z(MIN) = 600X1 + 300X2

Restricciones: X1

4 X2  4 10X1 + 4X2  100 20X1 + 30X2  420 


Variables de holgura y artificiales Z(MIN)= 600X1+300X2+0S1+0S2+0S3+0S4+Mn1+Mm2+Mn3+Mn4 X1 - S1 + m1 = 4 X2 - S2 + m2 = 4 10X1 + 4X2 - S3 + m3 = 100 20X1 + 30X2 - S4 + m4 = 420

TABLA I La primera tabla se forma con los coeficientes originales de la función objetivo, las variables fundamentales, las variables de holgura y las variables artificiales. Los coeficientes de la fila ZJ – CJ, se obtienen sumando los productos de los coeficientes de cada columna con los coeficientes M de cada variable artificial. Mx4 + Mx4 + Mx100 + Mx420 = 528M El resto de valores se obtienen aplicando el mismo procedimiento.

TABLA II Eliminamos el mayor valor positivo de la fila del criterio simplex (35M), de manera que la columna que ingresa es X2 con un costo de 300, veamos que fila sale, para lo cual buscamos el menor cociente de dividir:

153


bn X 2

,

4 0

 NO,

4 1

 4,


100 4

 25,

420 30

 14

El menor cocientes es 4, el pivote es 1, el resto son semipivote, la fila que sale es m2. Los coeficientes de la nueva fila X2, se obtienen dividiendo los anteriores para el pivote 1. Los coeficientes de m1 son los mismos anteriores porque el semipivote correspondiente a esa fila es cero (0). Coeficientes de m3 Coeficientes de S2 100 – 4 x 4 = 84 420 – 4. x 30 = 300 10 – 0 x 4 = 10 20 – 0 x 30 = 20 4 – 1 x 4 = 0 30 – 1 x 30 = 0 0 – 0 x 4 = 0 0 – 0 x 30 = 0 0 – (-1) x 4 = 4 0 – (-1) x 30 = 30 -1 – 0 x 4 = -1 0 – 0 x 30 = 0 0 – 0 x 4 = 0 -1 – 0 x 30 = -1 0 – 0 x 4 = 0 0 – 0 x 30 = 0 0 – 1 x 4 = -4 0 – 1 x 30 = -30 1 – 0 x 4 = 1 0 – 0 x 30 = 0 0 – 0 x 4 = 0 1 – 0 x 30 = 1

TABLA III

Eliminamos el mayor valor positivo de la fila del criterio simplex (34M), de manera que la columna que ingresa es S2 con un costo de 0, veamos que fila sale, para lo cual buscamos el menor cociente de dividir:

bn 4 , S 2 0

 NO,

4 1

 NO,

84 4

 21,

300 30

 10

El menor cocientes es 10, el pivote es 30, el resto son semipivote, la fila que sale es m4. Los coeficientes de la nueva fila S2, se obtienen dividiendo los anteriores para el pivote 30. Los coeficientes de m1 son los mismos anteriores porque el semipivote correspondiente a esa fila es cero (0). Coeficientes de X2 Coeficientes de m3 4 – 10 x (-1) = 14 84 – 10. x 4 = 44 0 – 0.66 x (-1) = 0.66 10 – 0.66 x 4 = 7.36 1 – 0 x (-1) = 1 0 – 0 x 4 = 0 0 – 0 x (-1) = 0 0 – 0 x 4 = 0 -1 – 1 x (-1) = 0 4 – 1 x 4 = 0 0 – 0 x (-1) = 0 -1 – 0 x 4 = -1 0 – (-0.03)x (-1) = -0.03 0 – (-0.03)x 4 = 0.12 0 – 0 x (-1) = 0 0 – 0 x 4= 0 1 – (-1) x (-1) = 0 -4 – (-1) x 4 = 0 0 – 0 x (-1) = 0 1 – 0 x 4= 1 0 – 0.03 x (-1) = 0.03 0 – 0.03 x 4 = -0.12

TABLA IV Eliminamos el mayor valor positivo de la fila del criterio simplex (8.36M), de manera que la columna que ingresa es X1 con un costo de 600, veamos que fila sale, para lo cual buscamos el menor cociente de dividir: 4 14 44 10 bn ,  4,  21.21,  6,  15.15 1 0 . 66 7 . 36 0 . 66 X 1 El menor cocientes es 4, el pivote es 1, el resto son semipivote, la fila que sale es m1. Los coeficientes de la nueva fila X1, se obtienen dividiendo los anteriores para el pivote 1. Coeficientes de X2 14 – 4 x 0.66 = 11.36 0.66 – 1 x 0.66 = 0 1 – 0 x 0.66 = 1

Coeficientes de m3 44 – 4 x 7.36 = 14.56 7.36 – 1 x 7.36 = 0 0 – 0 x 7.36 = 0

154

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I 0 – 0 – 0 – -0.03 – 0 – 0 – 0 – 0.03 –

(-1) x 0.66 = 0.66 0 x 0.66 = 0 0 x 0.66 = 0 0 x 0.66 = -0.03 1 x 0.66 = -0.66 0 x 0.66 = 0 0 x 0.66 = 0 0 x 0.66 = 0.03

10 – 0.66 – 0 – 0 – 1 – 0 –

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. 0 – (-1)x 7.36 = 7.36 0 – 0 x 7.36 = 0 -1 – 0 x 7.36 = -1 0.12 – 0 x 7.36 = 0.12 0 – 1 x 7.36 = -7.36 0 – 0 x 7.36 = 0 1 – 0 x 7.36 = 1 -0.12 – 0 x 7.36 = -0.12

Coeficientes de S2 4 x 0.66 = 7.36 -0.03 – 0 1 x 0.66 = 0 0 – 1 0 x 0.66 = 0 -1 – 0 (-1) x 0.66 = 0.66 0 – 0 0 x 0.66 = 1 0.03 – 0 0 x 0.66 = 0

x x x x x

0.66 0.66 0.66 0.66 0.66

= -0.03 = -0.66 = -1 = 0 = 0.03

TABLA V Eliminamos el mayor valor positivo de la fila del criterio simplex (7.36M), de manera que la columna que ingresa es S1 con un costo de 0, veamos que fila sale, para lo cual buscamos el menor cociente de dividir: bn 4 11.36 14.56 7.36  NO,  17.21,  2,  11.15 , S 1  1 0.66 7.36 0.66 El menor cocientes es 2, el pivote es 7.36, el resto son semipivote, la fila que sale es m3. Al eliminarse todas las variables artificiales, entonces en la tabla V, no tomamos en cuenta las cuatro últimas columnas. Coeficientes de S1 14.56 7.36

 2,

0 7.36

 0,

0 7.36

 0,

Coeficientes de X1 4 – 2 x (-1) = 6 1 – 0 x (-1) = 1 0 – 0 x (-1) = 0 -1 – 1 x (-1) = 0 0 – 0 x (-1) = 0 0 – (-0.13)x (-1) = -0.13 0 – 0.01 x (-1) = 0.01

7.36 7.36

 1,

0 7.36

 0,

1 7.36

 0.13,

0.12 7.36

 0.01

Coeficientes de X2 11.36 – 2 x 0.66 = 10 0 – 0 x 0.66 = 0 1 – 0 x 0.66 = 1 0.66 – 1 x 0.66 = 0 0 – 0 x 0.66 = 0 0 – (-0.13)x 0.66 = 0.08 -0.03 – 0.01 x 0.66 =-0.03

Coeficientes de S2 7.36 – 2 x 0.66 = 6 0 – 0 x 0.66 = 0 0 – 0 x 0.66 = 0 0.66 – 1 x 0.66 = 0 1 – 0 x 0.66 = 1 0 – (-0.13) x 0.66 = 0.08 -0.03 – 0.01 x 0.66 = -0.03 Como en la fila del criterio simplex (Z J – CJ), quedó valores negativos y ceros, entonces el proceso ha concluido Formamos la tabla total.

155

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I C j M M M M

M 300 M M

M 300 M 0

600 300 M 0

600 300 0 0

X j bn m1 4 m2 4 m3 100 m4 420 Z j 528M Z j-C j m1 4 X2 4 m3 84 m4 300 Z j 388M Z j-C j m1 4 X2 14 m3 44 S2 10 Z j 48M Z j-C j X1 4 X2 11.33 m3 14.66 S2 7.33 Z j 14.6M Z j-C j X1 6 X2 10 S1 2 S2 6 Z j 6.600 Z j-C j ---

600 X1 1 0 10 20 31M 31M 1 0 10 20 31M 31M 1* 0.66° 7.33° 0.66° 8.33M 8.36M 1 0 0 0 0M 0M 1 0 0 0 600 0

300 X2 0° 1* 4° 30° 35M 35M 0 1 0 0 0M 0M 0 1 0 0 0M 0M 0 1 0 0 0M 0M 0 1 0 0 300 0

0 S1 -1 0 0 0 -M -M -1 0 0 0 -M -M -1 0 0 0 -M -M -1° 0.66° 7.33* 0.66° 7.33M 7.33M 0 0 1 0 0 0

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. 0 0 S2 S3 0 0 -1 0 0 -1 0 0 -M -M -M -M 0° 0 -1° 0 4° -1 30* 0 34M -M 34M -M 0 0 0 0 0 -1 1 0 0M -M 0M -M 0 0 0 0 0 -1 1 0 0M -M 0M -M 0 -0.13 0 0.09 0 -0.13 1 0.09 0 -51 0 -51

0 S4 0 0 0 -1 -M -M 0 0 0 -1 -M -M 0 -0.03 0.12 -0.03 0.12M 0.12M 0 -0.03 0.13 -0.03 0.13M 0.13M 0.01 -0.04 0.01 -0.04 -6 -6

M m1 1 0 0 0 M 0 1 0 0 0 M 0 1 0 0 0 M 0 1 -0.63 -7.33 -0.66 -7.3M -8.3M

M M M m2 m3 m4 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 M M M 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -4 1 0 -30 0 1 -34M M M -35M 0 0 0 0 0 0 0 0.03 0 1 -0.13 -1 0 0.03 0M M -012M -M 0 -1.12M 0 0 0 0 0 0.03 0 1 -0.13 -1 0 0.03 0M M -0.13M -M 0 -1.13M

Solución óptima Z(MIN) = 6.600 X1 = 6 Cámaras tipo A X2 = 10 Cámaras tipo B S1 = 2 Se tiene 2 cámaras más de límite S2 = 6 Se tiene 6 cámaras más del límite S3 = 0 Se ha cubierto la producción de P1 S4 = 0 Se ha cubierto la producción de P2

PROBLEMA 6 Se fabrican dos clases de muebles A y B, se dispone de madera para 80 muebles por lo menos, toma 2 horas preparar 10 muebles tipo A y 4 horas preparar 10 muebles tipo B, se dispone hasta de 20 horas. La demanda de A es de un total de 70. Cada mueble tipo A deja una utilidad de 10 dólares y 8 dólares cada mueble tipo B. ¿Cuántos muebles tipo A y B se deben fabricar para obtener la máxima ganancia?


156



Restricciones X 1 2



X 1 

10 X 1

4 10

X 2

 80 Cantidad de madera

X 2

 20 Tiempo

 70 Demanda de A X J  0

Variables de Holgura y Artificiales.X1 + X2 - S1 + m1 = 80 X1 + 2X2 + S2 = 100 X1 + m3 = 70 En la 2° restricción hemos buscado el mínimo común denominador y se ha eliminado un 2. Cj M 0 M

M M 10

 8

0 10

8 0 10

Xj m1 S2 M2 Zj Zj-Cj m1 S2 X1 Zj Zj-Cj X2 S2 X1 Zj Zj-Cj X2 S1 X1 Zj Zj-Cj

bn 80 100 70 150M --10 30 70 10M --10 10 70 780 --15 5 70 820 ---

10 X1 1° 1° 1* 2M 2M 0 0 1 0M 0M 0 0 1 10 0 0 0 1 10 0

8 X2 1 2 0 M M 1* 2° 0° M M 1 0 0 8 0 1 0 0 8 0

0 S1 -1 0 0 -M -M -1 0 0 -M -M -1° 2* 0° -8 -8 0 1 0 0 0

0 S2 0 1 0 0M 0M 0 1 0 0M 0M 0 1 0 0 0 0,5 0.5 0 4 4

M m1 1 0 0 M 0 1 0 0 M 0

M m3 0 0 1 M 0 -1 -1 1 -M -2M

TABLA I A pesar de que la función objetivo es de maximización, el problema se empieza a resolver como un problema de minimización por haber variables artificiales, sin embargo al final del proceso en la fila Zj Cj deben quedar valores positivos o ceros.

Solución óptima Z (MAX) = 820 X1 = 70 X2 = 15 S1 = 5 significa que se está utilizando 5 más de lo previsto que tiene como límite mínimo 80. S2 = 0

157



PROBLEMAS RESUELTOS 1)

Se producen tres productos a través de tres operaciones diferentes, los tiempos requeridos (en minutos) por unidad de cada producto son: Operación I, 1 por producto A, 2 por producto B y 1 por producto C. Operación II, 3 por A y 2 por C. Operación III, 1 por A y 4 por B, la capacidad diaria de las operaciones es 430, 460 y 420 minutos respectivamente. El producto A da una utilidad de 3 dólares, el producto B 2 dólares y el C 5 dólares. Determinar la producción diaria óptima para los tres productos que maximice el beneficio.

Función Objetivo Z(MAX) = 3X1 + 2X2 + 5X3 A = X1 B = X2 C = X3

Restricciones o Limitaciones X1 + 2X2 + X3  430 operación I 3X1 + 2X3  460 operación II X1 + 4X2  420 operación III Xj  0

Variables de holgura Z(MAX) = 3X1 + 2X2 + 5X3 + 0S1+ 0S2+0S3 X1 + 2X2 + X3 + S1 = 430 3X1 + 2X3 + S2 = 460 X1 + 4X2 + S3 = 430

Cj 0 0 0 0 5 0 2 5 0

Xj S1 S2 S3 Zj Zj-Cj S1 X3 S3 Zj Zj-Cj X2 X3 S3 Zj Zj-Cj

bn 430 460 420 0 --200 230 420 1150 --100 230 20 1350 ---

3 X1 1 3 1 0 -3 -0,5 1.5 1 7,5 4,5 -0,25 1,5 2 7 4

2 X2 2 0 4 0 -2 2* 0° 4° 0 -2 1 0 0 2 0

5 X3 1° 2* 0° 0 -5 0 1 0 5 0 0 1 0 5 0

0 S1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0,5 0 -2 1 1

0 S2 0 1 0 0 0 -0,5 0,5 0 2.5 2.5 -0,25 0,5 1 2 2

0 S3 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

Solución óptima Z(MAX) = 1350 X1 = 0 S1 = 0 X2 = 100 S2 = 0 X3 = 230 S3 = 20 El valor de S3 significa que existe 20 minutos de la operación III que no han sido utilizados. 2)

Una empresa puede fabricar con determinada máquina trabajando 45 horas semanales tres productos diferentes A. B y C. El artículo A deja un beneficio neto de 4 dólares, B un beneficio de

158



12 dólares y C un beneficio de 3 dólares. La producción por hora de la máquina es para cada uno de Los tres productos de 50, 25 y 75 sucres respectivamente. Por último las ventas posibles ascienden a 1.000 unidades de A, 500 unidades de B y 1.500 unidades de C. ¿Cómo se deberá repartir la producción de manera que se maximice el beneficio de la empresa?

Función Objetivo Z(MAX) = 4X1 + 12X2 + 3X3 X1 = A, X2 = B y X 3 = C

Restricciones o Limitaciones X1 1 50

X 1

 1.000

X2 1



25

X 2



500 X3  1.500



1 75

VENTAS

 45 Tiempo

X 3

Variables de holgura X1

X2

+ S1

X3 3X1 + 6X2 + 2X3

+ S2

+ S3

Cj 0 0 0 0 0 12 0 0 4 12 0 0 4 12 0 3 4 12 0 3

Xj S1 S2 S3 S4 Zj Zj-Cj S1 X2 S3 S4 Zj Zj-Cj X1 X2 S3 S4 Zj Zj-Cj X1 X2 S3 X3 Zj Zj-Cj X1 X2 S1 X3 Zj Zj-Cj

bn 1.000 500 1.500 6.750 0 --1.000 500 1.500 3.700 6.000 --1.000 500 1.500 750 10000 --1.000 500 1.125 375 11250 --250 500 750 1.500 11500 ---

4 X1 1 0 0 3 0 -4 1* 0° 0° 3° 0 -4 1 0 0 0 4 0 1 0 0 0 4 0 1 0 0 0 4 0

= 1.000 = 500 = 1.500 + S4 = 6.750

12 X2 0° 1* 0° 6 0 -12 0 1 0 0 12 0 0 1 0 0 12 0 0 1 0 0 12 0 0 1 0 0 12 0

3 X3 0 0 1 2 0 -3 0 0 1 2 0 -3 0° 0° 1° 2* 0 -3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 3 0

0 S1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 -3 4 4 1° 0° 1.5* -1.5° -0.5 -0.5 0 0 1 0 0 0

0 S2 0 1 0 0 0 0 0 1 0 -6 12 12 0 1 0 -6 12 12 0 1 3 -3 3 3 -2 1 2 0 4 4

0 S3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -0.66 0 0.66 1 0.33 0.33

0 S4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -0.5 0.5 1.5 1.5 0.33 0 -0.33 0 1.33 1.33

I

II

III

IV

V

159



Solución óptima Z(MAX) = 11.500 A = X1 = 250 B = X2 = 500 C = X3 = 1.500 S1 = 750 S2 = 0 S3 = 0 S4 = 0 El valor de S1 = 750 significa que no se ha vendido lo previsto del producto A, es decir se ha vendido 250 unidades de las 1.000 unidades. 3)

Un comerciante de frutas transporta sus productos en un camión que tiene capacidad de 800 cajas de frutas. El debe transportar al menos 200 cajas de naranjas que le rendirán 20 dólares por caja, al menos 100 de toronjas que le rendirán una ganancia de 10 dólares por caja y cuando mucho 200 de mandarinas con 30 dólares de ganancia por caja. ¿Cómo debe distribuirse el cargamento del camión para obtener la máxima ganancia?

Función Objetivo Z(MAX) = 20X1 + 10X2 + 30X3 X1 = Cajas de naranjas X2 = Cajas de toronjas X3 = Cajas de mandarinas

Restricciones o limitaciones X1 + X1

X2 +

X3

 

X2



X3 Xj

 

800 Capacidad 200 Cajas de naranjas 100 Cajas de toronjas 200 Cajas de mandarinas 0 No negatividad

Variables de holguras y artificiales X1 + X2 + X3 + S1 X1 - S2 + m2 X2 -S3 +m3 X3 +S4

= 800 = 200 = 100 = 200

Solución óptima Z(MAX)= X1 = X2 = X3 = S2 =

17.000 500 Cajas de naranjas 100 Cajas de toronjas 200 Cajas de mandarinas 300

El valor S2 = 300 significa que el camión está llevando 300 cajas de naranjas más de lo previsto. Cj 0 M M 0 0 20 M

Xj S1 M2 M3 S4 Zj Zj-Cj S1 X1 M3

bn 800 200 100 200 300M --600 200 100

20 X1 1° 1* 0° 0° M M 0 1 0

10 X2 1 0 1 0 M M 1° 0° 1*

30 X3 1 0 0 1 0M 0M 1 0 0

0 S1 1 0 0 0 0M 0M 1 0 0

0 S2 0 -1 0 0 -M -M 1 -1 0

0 S3 0 0 -1 0 -M -M 0 0 -1

0 S4 0 0 0 1 0M 0M 0 0 0

0 m2 0 1 0 0 M 0 -1 1 0

0 m3 0 0 1 0 M 0 0 0 1

160

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I 0

S4 Zj Zj-Cj S1 X1 X2 S4 Zj Zj-Cj S1 X1 X2 X3 Zj Zj-Cj S2 X1 X2 X3 Zj Zj-Cj

0 20 10 0

0 20 10 30

0 20 10 30

4)

200 100M --500 200 100 200 5000 --300 200 100 200 11000 --300 500 100 200 17000 ---

0 0M 0M 0 1 0 0 20 0 0 1 0 0 20 0 0 1 0 0 20 0

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. 0° M M 0 0 1 0 10 0 0 0 1 0 10 0 0 0 1 0 10 0

1 0M 0M 1° 0° 0° 1* 0 -30 0 0 0 1 30 0 0 0 0 1 30 0

0 0M 0M 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 20 20

0 0M 0M 1 -1 0 0 -20 -20 1* -1° 0° 0° -20 -20 1 0 0 0 0 0

0 -M -M 1 0 -1 0 -10 -10 1 0 -1 0 -10 -10 1 1 -1 0 10 10

1 0M 0M 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 1 20 20 -1 -1 0 1 10 10

0 0M -M

0 M 0

Una empresa desea preparar dos productos A y B, se dispone de materia prima para llenar 60 botellas de los dos productos por lo menos. Toma una hora llenar 10 botellas del producto A, y tres horas llenar 10 botellas del producto B, se dispone de 12 horas cuando mucho. Se estima que la demanda en el mercado es de 50 botellas del producto A cuando mucho. La capacidad de la empresa le permite llenar 80 botellas de A o 55 botellas de B. Cada botella de A deja una utilidad de $ 10 y $6 cada botella de B. ¿Cuántas botellas de A y B se deben llenar para que la empresa alcance la máxima utilidad?

a) Resolver gráficamente b) Por el método simplex. a)

SOLUCIÓN GRÁFICA Función Objetiva Z(MAX) = 10X1 + 6X2

X1 = A X2 = B

Restricciones o Limitaciones. 1 10 X 1 1 80

X 1



X 1



X 2

 60 Cantidad de botellas

X 2

 12 Tiempo

3 10

 50 Demanda de A X 1



1 55

X 2

 1 Capacidad

Abstracción X1 + X2 = 60 X1 + 3X2 = 120 MCD = 10 X1 = 50 11X1 +16X2 = 880 MCD = 880

161



X1

X2

X1

X2

X1

0 60

60 0

0 120

40 0

50

X2

X1

X2

0 80

55 0

X1 + X2 = 60; X1 + 3X2 = 120; X1=50 11X1 +16X2= 880; X1 X2 X2 X2 X1 -20 80 46.666666 68.75 50 -10 70 43.333333 61.875 50 0 60 40 55 50 10 50 36.666666 48.125 50 20 40 33.333333 41.25 50 30 30 30 34.375 50 40 20 26.666666 27.5 50 50 10 23.333333 20.625 50 60 0 20 13.75 50 70 -10 16.666666 6.875 50 80 -20 13.333333 0 50 90 -30 10 -6.875 50 100 -40 6.666666 -13.75 50 110 -50 3.333333 -20.625 50 120 -60 0 -27.5 50 130 -70 -3.333333 -34.375 50

SOLUCIÓN GRÁFICA ÓPTIMA Punto C (Ecuaciones 1° y 2°) X1 + X2 = 60 X1 + 3X2 = 120 (1) X1 + X2 = 60 (-1) -X1- 3X2 = -120 -2X2 = - 60 X2 = 30 X1 + 30 = 60 X1 = 30 C(30, 30) Punto D (Ecuaciones 2° y 4°) X1 + 3X2 = 120 11X1 + 16X2 = 880

GRAFICO N° 13

70 60 50 40

30 20 10 0 -20

0

20

40

60

80

10 0

12 0

14 0

-10

162



(-11) – 11X1 – 33X2 = -1320 X1 + 3(26) = 120 (1) 11X1 + 16X2 = 990 X1 + 78 = 120 17X2 = -440 X1 = 42 X2 = 25.9 X2 = 26 D(42, 26) Punto E (Ecuaciones 3° y 4°) X1 = 50 11(50) + 16X2 = 880 11X1 + 16x2 = 880 550 + 16X2 = 880 X1 = 50 16X2 = 330 X2 = 20,625 X2 = 21 E(50, 21) Punto F (Ecuaciones 1° y 3°) X1 + X2 = 60 50 + X2 = 60 X1 = 50 X2 = 10 F(50, 10) P(X1, X2) C(30,30) D(42,26) E(50,21) F(50,10)

Z(MAX) = 10X1 + 6X2 Z = 10(30) + 6(30) = 480 Z = 10(42) + 6(26) = 576 Z = 10(50) + 6(21) = 626 óptimo Z = 10(50) + 6(10) = 560

Z = (MAX) = 626 X1 = 50 Botellas de A X2 = 21 Botellas de B Para que la empresa obtenga una utilidad de $. 626 debe llenar 50 botellas de A y 21 botellas de B. b)

METODO SIMPLEX: Función Objetivo Z(MAX) = 10X1 + 6X2

Restricciones o Limitaciones  X 2  60 N de botellas de A y B X 1  3 X 2  120 Tiempo  50 Demanda de A X 1 11 X 1  16 X 2  880 Capacidad X 1

Variables de holgura y artificiales X1 + X2 - S1 + m1 X1 + 3X2 + S2 X1 + S3 11X1 + 16X2 + S4

= 60 = 120 = 50 = 200

S1 = N° de botellas de A y B S2 = N° de horas no utilizadas S3 = Demanda de A no satisfecha S4 = Capacidad de la empresa no utilizada

Solución óptima por el método simplex Z(MAX) = 626 X1 = 50 Botellas de A

163



X2 = 21 Botellas de B s1 = 10.625 s2 = 8.125 El valor S1 = 11 nos indica que se han llenado 11 botellas más de lo mínimo (60) El valor S2 = 7 significa que no se han utilizado 7 horas de un total de 12.

Cj M 0 0 0 M 0 10 0

6 0 10 0

6 0 10 0

5)

X j m1 S2 S3 S4 Zj Zj-Cj m1 S2 X1 S4 Zj Zj-Cj X2 S2 X1 S4 Zj Zj-Cj X2 S2 X1 S1 Zj Zj-Cj

bn 60 120 50 880 60M --10 70 50 330 10M --10 40 50 170 560 --20.625 8.125 50 10.625 626 ---

10 X1 1° 1° 1* 11° M M 0 0 1 0 0M 0M 0 0 1 0 10 0 0 0 1 0 10 0

6 X2 1 3 0 16 M M 1* 3° 0° 16° M M 1 0 0 0 6 0 1 0 0 0 6 0

0 S1 -1 0 0 0 -M -M -1 0 0 0 -M -M -1° 3° 0° 16* -6 -6 0 0 0 1 0 0

0 S2 0 1 0 0 0M 0M 0 1 0 0 0M 0M 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 S3 S4 0 0 0 0 1 0 0 1 0M 0M 0M 0M -1 0 -1 0 1 0 -11 1 -M 0M -M 0M -1 0 2 0 1 0 5 1 4 0 4 0 -0.6875 0.0625 1.0625 -0.1875 1 0 0.3125 0.0625 10 0 10 0

M m1 1 0 0 0 M 0 1 0 0 0 M 0

La Compañía ECASA fabrica dos modelos de refrigeración tipo normal y doble puerta. El mercado puede absorber toda la producción a precios competitivos de 200 dólares y 260 dólares respectivamente. Los costos variables unitarios se estiman en 170 dólares y 200 dólares respectivamente. Los insumos incluidos en los costos variables se encuentran en cantidad ilimitada y a un costo constante, excepto los compresores. Los dos tipos de refrigeradoras llevan el mismo compresor y la compañía tiene un cupo limitado de 100 compresores mensualmente. El sistema doble puerta requiere de una línea especial de montaje y prueba con unas 5 horas para cada refrigeradora de las 350 horas disponibles cada mes. Adicionalmente ambos tipos pasan por una línea común de montaje y pintura e n la que el tipo normal consume el doble de tiempo que el de doble puerta, la capacidad de esta línea común permite completar mensualmente hasta 80 refrigeradoras de tipo normal. Hallar la producción óptima que permita obtener la máxima utilidad.

a) Por el método gráfico b) Por el método simplex c) Si la capacidad de la línea común de pintura y montaje se incrementa en un 20%. ¿Aumentaría o disminuiría la producción de refrigeradoras normales? d) Asuma que la demanda creciente del mercado pe rmite incrementar en $.20 el precio de venta de las refrigeradoras de doble puerta. Tendría eso algún efecto en la producción.

164



SOLUCIÓN a)

POR EL MÉTODO GRÁFICO Función Objetivo X1 = N° de refrigeradoras normales X2 = N° de refrigeradoras de doble puerta UTILIDAD = PRECIO DE VENTA – COSTO UX1 = 200 – 170 = 30 UX2 = 260 – 200 = 60 Z(MAX) = 30X1 + 60X2

Restricciones o Limitaciones X1 +

X2  100 Comprensores 5X2  350 Línea especial X1 + 0.5X2  80 Línea común Xj  0 No negatividad

Gráfico X1 0 100

X2 100 0

X1

X2 70

X1 0 80

X2 160 0

GRAFICO N ° 14

170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -20

-10 0

20

Punto C (Ecuaciones 1° y 2°) X1 + X2 = 100 5X2 = 350 X2 = 70 C(30, 70)

40

60

80

100

120

X1 + 70 = 100 X1 = 30

165



Punto D (Ecuaciones 1° y 3°) X1 + X2 = 100 X1 + X2 = 100 X1 + 0.5X2 = 80 (-1) –X1 – 0.5X2 = -80 0.5X2 = 20 X2 = 40 X1 + 40 = 100 X2 = 60 D(40, 60)

Solución Óptima por el método gráfico P(Xj, X2) Z(MAX) = 30X1 + 60X2 C(30,70) Z = 30(30) + 60(70) = 5.100 óptimo D(60,40) Z = 30(60) + 60(40) = 4.200

Z(MAX) = 5.100 X1 = 30 Refrigeradoras normales X2 = 70 Refrigeradoras doble puerta b) MÉTODO SIMPLEX:


Restricciones o Limitaciones X1 +

X2  100 Compresores 5X2  350 Línea especial X1 – 0,5X2  80 Línea común

Variables de Holgura X1+

X2 + S1 = 100 5X2 + S2 = 350 X1+ 0.5X2 + S3 = 80 S1 = N° de compresores no utilizados S2 = N° de horas no utilizadas S3 = Capacidad de la línea común no utilizada

Cj 0 0 0 0 60 0 30 60 0

X j S1 S2 S3 Zj Zj-Cj S1 X2 S3 Zj Zj-Cj X1 X2 S3 Zj Zj-Cj

bn 100 350 80 0 --30 70 45 4200 --30 70 15 5100 ---

30 X1 1 0 1 0 -30 1* 0° 1° 0 -30 1 0 0 30 0

60 X2 1° 5* 0.5° 0 -60 0 1 0 60 0 0 1 0 60 0

0 S1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 30 30

0 S2 0 1 0 0 0 -0.2 0.2 -0.1 12 12 -0.2 0.2 0.1 6 6

0 S3 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

166



Z(MAX) = 5.100 X1 = 30 Refrigeradoras normales X2 = 70 Refrigeradoras tipo doble puerta s3 = 15 El valor S3 = 15 nos indica que existe un sobrante de

c) El aumento de la capacidad de la línea común no afectará a la producción ya que existe un exceso de capacidad actualmente (S3 = 15), un incremento del 20% sólo aumentaría el exceso de capacidad. d) Al incrementarse el precio de las refrigeradoras de doble puerta en 20 dólares, la producción hallada sigue siendo la ÓPTIMA. 6)

La Empresa SONY del Ecuador Cia. Ltda. Ensambla televisores a color y en blanco y negro. Puede importar mensualmente hasta 500 tubos pantalla de los cuales hasta la mitad de ellos puede ser a color. La capacidad del taller y de la mano de obra le permite ensamblar mensualmente hasta a lo más 600 televisores en blanco-negro. El ensamble de un televisor a color requiere un 50% más de tiempo que el de un televisor en blanco-negro. No existe a la fecha limitaciones de mercado sobre los televisores a color, sin embargo las ventas de televisores en blanco-negro se estima en 150 mensuales. Contratos previamente establecidos con algunos hoteles requieren la entrega de 300 televisores en blanco-negro en los próximos DOS meses. La utilidad estimada es de $. 150 por cada televisor a color y de $. 60 por cada televisor blanconegro.

a) Resuelva por el método gráfico y establezca cuántos televisores de cada tipo debe producir en los próximos dos meses y cuál es la utilidad esperada. b) Resolver por el método simplex. c) ¿Cuáles son los recursos que se agotan y cuáles sobran? d) Si puede obtener en un plazo de 3 meses un incremento de la cuota de importación. Solicitaría Ud. Aumentar el cupo global o mantener éste y aumentar el de los televisores a color. ¿Por qué? e) Si el incrementar la cuota mensual de importación requiere el pago adicional cada mes. Hasta qué cantidad máxima debiera pagarse por incrementar esa cuota. f) Pagaría Ud. Publicidad para incrementar la venta de televisores en blanco-negro. a)

MÉTODO GRÁFICO: Función objetivo Z (MAX) = 150X1 + 60 X2 X1 = Televisores a color X2 = Televisores blanco-negro

Restricciones o Limitaciones X1+ X2 X1 1.5X1+ X2 X2 X2 X j

     

500 250 600 150 300 0

Tubos de pantalla importados Tubos de pantalla a color Capacidad de ensamblaje Demanda de TV blanco-negro Contratos TV blanco-negro No negatividad

Las restricciones tienen que duplicarse porque las preguntas están hechas para dos meses. X1 + X2  1.000  X1 500 1.5X1 + X2  1.200 X2  300 X2  600

X1 + X2 = 1.000 (1°) X1 = 500 (2°) 1.5X1 + X2 = 1.200 (3°) X2 = 300 (4°) X2 = 600 (5°)

167

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Gráfico X1

X2

0 1000

X1

1000 0

X2

500

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. X1

X2

0 800

X1

1200 0

X2

X1

300

X2 600

GRAFICO N° 15

1400

1200

1000

800

600

400

200

0 -200

0

200

400

600

800

1000

1200

-200

Punto C (Ecuaciones 1° y 5°) X1 + X2 = 1.000 X1 + 600 = 1.000 X2 = 600 X1 = 400 C(400, 600) Punto D (Ecuaciones 2° y 3°) 1.5X1 + X2 = 1.200 X1 = 500 1.5 (500) + X2 = 1.200 X2 = 450 D(500, 450) Punto E (ecuaciones 2° y 4°) X1 = 500 X2 = 300 E(500, 300) P (X1, X2) Z (MAX) = 60X1 + 150X2 C(400, 600) Z = 150(400) + 60(600) = 96.000 D(500, 450) Z = 150(500) + 60(450) = 102.000 Óptimo E(500, 300) Z = 150(500) + 60(300) = 93.000

Solución por el método gráfico Z(MAX) = 102.000 X1 = 500 Televisores a color X2 = 450 Televisores blanco-negro b)

EL MÉTODO SIMPLEX: Función Objetivo Z(MAX) = 150X1+ 60X2

Restricciones o limitaciones X1+ X2  1.000 Tubos de pantalla importados  X1 500 Tubos de pantalla a color 1.5X1 + X2  1.200 Capacidad de ensamblaje

168



X2  300 Demanda de TV blanco-negro X2  600 Contratos de TV blanco-negro X j  0 No negatividad

Variables de Holgura y Artificiales X1+ X2 + S1 = 1.000 X1 +S2 = 500 1.5X1+ X2 +S3 = 1.200 X2 -S4 + m4 = 300 X2 +S5 = 600 S1 = Nº de tubos de pantalla no utilizadas S2 = Tubos de pantalla a color no utilizados S3 = Capacidad de ensamblaje no utilizada S4 = Demanda de TV blanco-negro (EN EXCESO) S5 = Contratos de TV blanco-negro no satisfechos.

Solución óptima por el método simplex. Z(MAX) = 10200.000 X1 = 500 Televisores a color X2 = 450 Televisores blanco- negro S1 = 100 Existe 100 tubos de pantalla no utilizadas S4 = 300 Hay un exceso de 300 TV. Blanco-negro en el mercado S5 = 300 Falta cubrir TV. Blanco-negro de los contratos Cj 0 0 0 M 0

0 0 0 60 0

0 150 0 60 0

0 150 0 60 0

X j S1 S2 S3 m4 S5 ZJ Zj - Cj S1 S2 S3 X2 S5 Zj Zj-Cj S1 X1 S3 X2 S5 Zj Zj-Cj S1 X1 S4 X2 S5 Zj Zj-Cj

bn 1.000 500 1.200 300 600 300M ---700 500 900 300 300 18.000 -----200 500 150 300 300 93000 ----50 500 150 450 150 102.000 -------

150 X1 1 1 1.5 0 0 0M 0M 1º 1* 1.5º 0º 0º 0 -150 0 1 0 0 0 150 0 0 1 0 0 0 150 0

60 X2 1º 0º 1º 1* 1º M. M 0 0 0 1 0 60 0 0 0 0 1 0 60 0 0 0 0 1 0 60 0

0 S1 1 0 0 0 0 0M 0M 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 S2 0 1 0 0 0 0M 0M 0 1 0 0 0 0 0 -1 1 -1.5 0 0 150 150 0.5 1 -1.5 -1.5 1.5 60 60

0 S3 0 0 1 0 0 0M 0M 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 1 1 -1 60 60

0 S4 0 0 0 -1 0 -M -M 1 0 1 -1 1 -60 -60 1º 0º 1* -1º 1º -60 -60 0 0 1 0 0 0 0

0 S5 0 0 0 0 1 0M 0M 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

M m4 0 0 0 1 0 M 0

169



c) S2 = 0 Se agota el cupo de importación de los tubos de color S3 = 0 Se agota la capacidad de ensamblaje S1 = 100 Existe en stock 100 tubos para televisores blanco-negro S4 = 300 Hay un exceso de 300 televisores blanco-negro en el mercado S5 = 300 Falta cubrir 300 televisores blanco-negro de los contratos. d) Aumentar el cupo global no interesa porque hay un exceso de 50 tubos para televisor blanco negro, pero convendrá aumentar el cupo de tubos de pantalla a color que se agotó. e) El pago debe ser menos a $60 que es el valor que deja utilidad los televisores blanco-negro, caso contrario no tendría sentido. f) No pagaría publicidad puesto que hay un exceso de mercado tanto en la demanda como en los contratos.

OBJETIVOS Formular e interpretar modelos de programación dual. Explicar la importancia de usar en problemas propios de los negocios, soluciones de programación lineal usando el dual.

DUALIDAD Un problema de maximización en programación lineal puede ser asociado con otro problema lineal pero de minimización, y viceversa. Esta asociación de los dos problemas se conoce como "DUALIDAD" o "PROBLEMA DUAL". El estudio del problema dual tiene un interés matemático - económico porque:  

 

Nos permite entender mejor el método de la programación lineal. Puede ayudar a disminuir el tamaño de un modelo lineal; con el consiguiente ahorro de trabajo al resolverlo a través del dual. Es una herramienta adicional para realizar los análisis post-optímales Complementa y da una fácil interpretación económica de las variables, coeficientes de la función objetiva y términos independientes de las restricciones.

Empezaremos estableciendo las características duales, luego la expresión matemática de ellas, para pasar luego a las aplicaciones más sobresalientes. Definiremos como problema "PRIMAL o PRIMARIO" al modelo matemático que tenemos como punto de partida; y problema "DUAL" al que surge por asociación con el anterior.

CARACTERISTICAS PRINCIPALES DE LA DUALIDAD a) Si el primal implica maximización, el dual es minimización, y viceversa. b) Los coeficientes de la función objetivo del dual están formados por los términos independientes de las restricciones del primal. c) El dual tiene restricciones como variables tiene el primal. d) Si las restricciones del primal son tipo , las restricciones del dual serán del tipo  y viceversa. e) Los términos independientes del dual están formados por los coeficientes de la función objetivo del primal. f) El coeficiente de la variable j.-exima en la restricción j-exima del primal se transforma en el coeficiente de la variable j-exima de la restricción j-exima de la restricción j-exima del dual .

" Por lo tanto el primal puede ser un caso de maximización o de minimización y el dual de un dual no es otra cosa que su primal.

170



PRIMAL FUNCION OBJETIVO

DUAL FUN CION OBJETIVO n

p

MAX : Z   C J X J

MIN : Z   bi Y i

RESTRICCIO NES

RESTRICCIO NES

j 1

j 1

n

p



 A Y  C

Aij X J  bi

ji I

j

j 1

j 1

j  (1, 2, 3,......... . p )

i  (1, 2, 3,..........n)

Y i  0

X J  0 j  (1, 2, 3,......... p )

i  (1, 2, 3,......... ...n )

p  Número de var iables

n  Núm ero de var iables

principale s

principale s

X j = Variables primales Y j = Variables duales

EJERCICIOS ILUSTRATIVOS Dados los siguientes primales escribir sus duales, respectivos: 1)

PROBLEMA PRIMAL: Z(MAX) = 4X1 + 5X2 + 9X3

Restricciones X1 + X2 + 2X3 7X1 + 5X2 + 3X3 X j  0

 16  25

El dual será: Siendo la función objetivo del primal de maximización, entonces la del dual

será minimización.

Los términos independientes del primal pasan a ser los coeficientes de la función objetivo del dual: Z(MIN) = 16Y1 + 25Y2 Para formar las restricciones del dual tomamos los coeficientes de las restricciones del primal en sentido vertical: Y1 + 7Y2 Y1 + 5Y2 2Y1 + 3Y2 Los términos independientes de las restricciones del dual son los coeficientes de la función objetivo del primal:

Restricciones del dual: Y1 + 7Y2 Y1 + 5Y2 2Y1 + 3Y2 Y j

   

4 5 9 0

171



Se ha planteado el problema dual pero no se ha resuelto, para hallar el valor de las variables del dual, es necesario el método simplex Nota: Para encontrar el dual es necesario que todas las restricciones del primal tengan el mismo sentido, es decir que el signo de las desigualdades sea el mismo.

2)

PRIMAL;

EL DUAL SERÁ:

Z(MIN) = 2X1 = 3X2

Restricciones:

Restricciones

X1 + X2  130 2X1 + X2  190 X1 + 3X2  200 X j  0

3)

ZMAX) = 130Y1 + 190Y2 + 200Y3 Y1 + 2Y2 + Y3  2 Y1 + Y2 + 3Y3  3 Y j  0

PROBLEMA PRIMAL: Z(MAX) = 8X1 + 5X2

Restricciones: 4X1 + 3X2  120 2X1 + 8X2  160 X1 + 2X2 = 60 X j  0 Siendo el primal un problema de maximización, todas las restricciones deben ser puestas en la forma . La primera se multiplica por (-1) para que cambie de sentido. -4X1 - 3X2

 -120

La tercera restricción por ser igualdad se remplazará por dos, una con signo  y la otra con signo . X1 + 2X2  60 X1 + 2X2  60 De las dos últimas la segunda cambiamos de signo para igualar al resto. -X1 - 2X2  - 60 Por lo tanto, el primal transformado a su forma canónica de maximización es: Z(MAX) = 8X1 + 5X1

Restricciones: -4X1 - 3X2  -120 2X1 + 8X2  160 X1 + 2X2  60 - X1 - 2X2  -60 X j  0

El problema dual será: Z (MIN) = -120Y1 + 160Y2 + 60Y3 - 60Y4

172



Restricciones: -4Y1 + 2Y2 + Y3 - Y4  8 -3Y1 + 8Y2 + 2 Y3 - 2 Y4  6 Y j  0

SOLUCIÓN DEL DUAL A TRÁVES DEL PRIMAL.Una de las aplicaciones de la dualidad existente en programación lineal es la posibilidad de obtener la solución de un modelo lineal a partir o por inspección de la solución de su dual o de su primal. Esto significa que habiendo resuelto un problema, implícitamente está resuelto el otro. Entonces, esto da la posibilidad de trabajar con aquel modelo que tenga menor número de restricciones, disminuyendo por tanto el tiempo de solución. Con un análisis sencillo estableceremos las relaciones entre la solución óptima del primal y la solución óptima de su dual.

RELACIÓN ENTRE LAS FUNCIONES OBJETIVAS ÓPTIMAS Utilizando la notación matricial podremos expresar un modelo de maximización, como: PRIMAL En donde; Ci = Xi = A = B=

Z (MAX) = Ci Xi RESTRICCIONES: AX  b

matriz de una sola fila. matriz de una sola columna (variables primales). matriz de los coeficientes tecnológicos. matriz de una sola columna que representa a los término independientes.

A este corresponde un dual: DUAL

Z (MIN) = bty RESTRICCIONES ATY  CT

Donde: bT = traspuesta de b Y = matriz de una sola columna (variables duales) AT = es la traspuesta de A CT = traspuesta de C Supongamos que X sea una solución factible cualquiera, reemplazando en el primal tenemos CX = XTCT  XT (ATY), porque CT  ATY Pero, XT (ATY) = (AX) TY Luego: CX  (AX) TY A su vez: AX  b  (AX)T  b T O lo que es lo mismo: Z(MAX)  Z(MIN) Lo que significa que Z(MAX) no puede sobrepasar el valor de Z(MIN), y esta a su vez no puede ser menor que Z(MAX). Una vez desarrollado el problema primal podemos obtener los valores de las variables principales y de holgura del dual de la siguiente manera:

173



Las variables óptimas principales del dual son numéricamente iguales al valor absoluto de los correspondientes elementos de las variables de holgura que se encuentran en la fila del criterio simplex en la tabla óptima del primal. Las variables óptimas de holgura del dual son numéricamente iguales al valor absoluto de los correspondientes valores de las variables principales del primal que se encuentran en la columna de bn en la tabla óptima del primal:

INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL DUAL Ya se analizó como un problema de maximización está asociado matemáticamente a otros de minimización, y como matemáticamente el problema dual puede extraerse del primal. Los dos problemas: PRIMAL Y DUAL; son en realidad modelos de alguna situación física de uso óptimo de recursos. Por tanto es natural que estos problemas deban también estar asociados en su interpretación económica. La interpretación económica nos permite: - Explica por qué las desigualdades de las restricciones se invierten. - Da una interpretación del papel de los Cj y bi en uno y otro problema La interpretación económica de la dualidad se basa directamente en la interpretación más frecuente del problema primal (problema de programación lineal en nuestra forma estándar

Interpretación del problema dual Para ver cómo esta interpretación del problema primal conduce a una interpretación económica del problema dual, observe que W es el valor de Z (ganancia total) en la iteración actual. Como W  b1 y1  b2 y 2 ...  bm y m, Cada bi y i puede interpretarse como la contribución a la ganancia por disponer de b, unidades del recurso i en el problema primal. Así, La variable y, se interpreta como la contribución a la ganancia por unidad del recurso i i  1,2,..., m , cuando se usa el conjunto actual de variables básicas para obtener la solución primal. * En otras palabras, los valores de y i los valores de y i en la solución óptima no son otra cosa que los precios sombra.

EJEMPLO DE LA WYNDOR GLASS CO PROBLEMA PRIMAL

PROBLEMA DUAL

 3 X 1  5 X 2 Sujeta a : X 1  4 2 X 2  12 3 X 1  2 X 2  18

Z ( MIN )

Z ( MAX )

 4Y 1  12Y 2  18Y 3 Sujeta a : Y 1  3Y 3  3 2Y 2  2Y 3  5

Variables de ho lg ura

 3 X 1  5 X 2 X 1  S 1  4  S 2  12 2 X 2  S 3  18 3 X 1  2 X 2

Z ( MAX )

174

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I C j X j S1 S2 S3 Z j Z j-C j S1 X2 s3 Z j Z j-C j S1 X2 X1 Z j Z j-C j

0 0 0

0 5 0

0 5 3

bn 4 12 18 0 --4 6 6 30 ---2 6 2 36 ---

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. 3 X1 1 0 3 0 -3 1° 0° 3* 0 -3 0 0 1 3 8

Solución del primal

0 S1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 S2 0 1 0 0 0 0 0.5 -1 2.5 2.5 0.33 0.5 -0.33 1.5 1.5

0 S3 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 -0.33 0 0.33 1 1

Solución del dual

 36

Z ( MAX )

5 X2 0° 2* 2° 0 -5 0 1 0 5 0 0 1 0 5 0

Z ( MIN )

 2 X 2  6 S 1  2

 36

 0 Y 2  1.5 Y 3  1

X 1

Y 1

El método símplex encuentra la solución óptima para el problema de la Wyndor, también encuentra que los valores óptimos de las variables duales (como se muestra en el último renglón de la solución) son 





y 1  0, y 2  1.5 y y 3  1 Estos son precisamente los precios sombra para este problema. Recuerde que los recursos son las capacidades de producción en las tres plantas disponibles para los dos nuevos productos bajo consideración, de modo que b, es el número de horas semanales de producción disponibles en la planta i para estos nuevos productos, donde i = 1, 2, 3, los precios sombra 

indican que un incremento individual de 1 en cualquier bi aumentará en y i el valor óptimo de la función 

objetivo (ganancia total semanal en miles de dólares). Así, y i se puede interpretar como la contribución a la ganancia por unidad del recurso i al usar la solución óptima.

Cantidad

Interpretación

 1, 2, 3,.......n)

x j

Nivel de la actividad j ( j

c j

Ganancia unitaria debido a la actividad j

Z

Ganancia total debido a todas las actividade s

bi

Cantidad disponible del recurso i (i

a ij

Cantidad del recurso i consumida por cada unidad de la actividad j

 1, 2,........m)

En realidad se han propuesto varias interpretaciones, con ligeras diferencias. La que se presenta aquí pareció la más útil, ya que también interpreta directamente lo que hace el método símplex en el problema primal. Esta interpretación de las variables duales lleva a la interpretación del problema dual completo. En especial, como cada unidad de la actividad j en el problema primal consume a ij unidades del recurso i,

175




m i 1


a ij y i se interpreta como la contribución actual a la ganancia de esa mezcla de recursos que se

consumiría si se usara 1 unidad de la actividad j (j=1,2,...,n). Para el problema de Wyndor, 1 unidad de la actividad j corresponde a producir 1 lote del producto j por semana, donde j = 1, 2. la mezcla de recursos consumida al producir 1 lote del producto 1 es 1 hora de producción en la planta 1 y 3 horas en la planta 3. la mezcla correspondiente por lote del producto 2 es 2 horas en cada una de las plantas (en miles de dólares semanales) de estas mezclas respectivas de recursos por lote producido por semana de los respectivos productos. Para cada actividad j, esta misma mezcla de recursos (y más) quizá se pueda usar de otra manera, pero no debe considerarse ningún otro uso si es menos redituable que 1 unidad de la actividad j. Al interpretar c j como la ganancia unitaria debida a la actividad j, cada restricción funcional en el problema dual se interpreta como sigue:



m

i 1

aij yi

 c j dice que la contribución actual a la ganancia de la mezcla anterior de recursos debe ser,

por lo menos, tan grande como si 1 unidad de la actividad j la utilizara; de otra manera no se estaría llevando a cabo la mejor utilización de estos recursos. Para el problema de la Wyndor, las ganancias unitarias (en miles de dólares por semana) son c1  3 y c2  5 de manera que las restricciones funcionales duales obtenidas con esta interpretación son y1  y3

 3 y 2 y3  5 . De igual manera, la interpretación de las restricciones de no negatividad es la siguiente: yi  0 dice que la contribución a la ganancia por parte del recurso ii  1,2,..., m debe ser no negativa, de lo contrario sería mejor no usar este recurso en absoluto. El objeto Minimizar W 

m

 b y i

i

i 1

Puede verse como minimizar el valor total implícito de los recursos consumidos por las actividades, para el problema de la Wyndor, el valor implícito total (en miles de dólares por semana) de los recursos consumidos por los dos productos es W  4 y1  12 y 2

 18y3.

Esta interpretación se puede afinar un poco si se toma en cuenta la diferencia entre las variables básicas y las no básicas en el problema primal para cualquier solución BF dada  x1 , x2 ,, xn m . Recuerde que las variables básicas (las únicas que pueden tomar valores distintos de cero) siempre tienen un coeficiente de cero en el renglón 0. entonces, si nos referimos de nuevo a la ecuación correspondiente para z j , se ve que m

 a y ij

i

 c j

si x j

0

 j  1,2,..., n,

i 1

y i

 0,

six n 1

0

i  1,2,..., m

(Ésta es una versión de la propiedad de holgura complementaria que se estudiará en la siguiente sección). La interpretación económica de la primera afirmación es que siempre que una actividad j opere a un nivel estrictamente positivo, el valor marginal de los recursos que consume debe ser igual (en contraposición a exceder) a la ganancia unitaria de esta actividad. La segunda afirmación indica que el valor marginal del recurso i es cero  yi  0 económica, un recurso de este tipo es un “bien gratis”; el precio de los bienes que tienen una sobre disponibilidades debe ser cero por la ley de la oferta y la demanda. Este hecho justifica la interpretación de la función objetivo para el problema dual como la minimización del valor de los recursos consumidos, el lugar de los asignados.

176

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I 

: y 1





 0, y 2  1.5, y 3  1 ,


 z   c   0 y z   c   0. Como x  0, las dos variables de  1 1  2 2 2     







superávit y los cálculos directos indican que y 1  3 y3  c1  3 y 2 y 2  2 y 3  c2  5. por lo tanto, el valor de los recursos consumidos por lote de los respectivos productos sin duda es igual a las ganancias unitarias respectivas. La variable de holgura para la restricción sobre la capacidad usada en la planta 1 es x3  0, por lo que el valor marginal de agregar cualquier capacidad en la planta 2 sería cero

 Y   0 .  1   

INTERPRETACIÓN DEL MÉTODO SÍMPLEX La interpretación del problema dual proporciona también una interpretación económica de lo que hace el método símplex en el problema dual. La meta del símplex es encontrar cómo usar los recursos disponibles en la forma más redituable sobre el uso provechoso de los recursos (las restricciones del problema dual). Estos requisitos comprende la condición de optimalidad en el algoritmo. Para cualquier solución BF dada, los requisitos (restricciones duales) asociados con las variables básicas se satisfacen automáticamente (con igualdad). Sin embargo, los asociados con las variables no básicas pueden o no quedar satisfechos. En particular, sin una variable no básica y por ende la actividad j no se usa, la contribución actual a la ganancia debida a esos recursos, que se requiere para emprender cada unidad de la actividad j m

 a y ij

i

i 1

Puede ser más pequeña, más grande, o igual que la ganancia unitaria c j que puede obtenerse de dicha actividad. Si es menor, de manera que z j actividad j.

 c j  0 , habrá cambio en el rendimiento al iniciar la

De igual manera, si la variable de holgura xni es no básica, es decir, si se usa la asignación total bi del recurso i, entonces y i es la contribución actual a la ganancia por parte de este recurso sobre una base

 0 , la ganancia se puede aumentar al disminuir el uso de este recurso (es decir, al aumentar xni ). Si yi  0 , vale la pena continuar con el uso total de este recurso, dado que esta decisión no afecta el rendimiento si yi  0 marginal. Así, si yi

Por lo tanto, lo que hace el método símplex es examinar todas las variables básicas en la solución BF actual para ver cuáles pueden proporcionar un uso más ventajoso de los recursos al incrementarlas. Si ninguna puede, es decir, sin ningún cambio o reducción factible en la asignación actual propuesta de los recursos pueden aumentar la ganancia, entonces la solución actual será óptima. Si una o más variables pueden aumentarla, el método símplex selecciona aquella que, si se aumenta en una unidad, proporciona el mayor incremento a la ganancia. Después, el valor de esta variable (la variable básica entrante) realmente aumenta tanto como puede hasta que los valores marginales de los recursos cambian. El resultado de este incremento es una nueva solución BF con un nuevo renglón 0 (solución dual) y se repite el proceso completo. La interpretación económica del problema dual expande en forma considerable la habilidad para analizar el problema primal. Sin embargo, ya se vio que esta interpretación es sólo una ramificación de las relaciones entre los dos problemas. En la sección siguiente se profundizará en estas relaciones.

177



PAPEL DE LA TEORÍA DE DUALIDAD EN EL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Como se describe en las dos secciones siguientes, el análisis de sensibilidad consiste., en esencia, en la investigación del efecto que tiene sobre la solución óptima el hecho de hacer cambios en los valores de los parámetros del modelo aij , bi y c j . Sin embargo, cambiar los valores de los parámetros en el problema primal cambia también los valores correspondientes en el problema dual. Por lo tanto, se puede elegir qué problema se va a usar para investigar cada cambio. Gracias a las relaciones primaldual (en especial la propiedad de soluciones básicas complementarías), es fácil ir de un problema a Otro según se desee. En algunos casos es más conveniente analizar el problema dual directamente con objeto de determinar el efecto complementario sobre el problema primal. Se comenzará por considerar dos casos.

Cambios en los coeficientes de una variable no básica Suponga que los cambios que se hacen en el modelo original ocurren en los coeficientes de una variable que era no básica en la solución óptima original. < ¿Cuál es e! efecto de estos cambios sobre esta solución? ¿Es todavía factible? ¿Es todavía óptima? En vista de que la variable en cuestión es no básica (vale cero), el cambio en sus coeficientes no puede afectar la factibilidad de la solución, por lo cual, la pregunta que queda abierta en este caso es si todavía es óptima, una pregunta equivalente es si la solución básica complementaria para el problema dual todavía es factible después de hacer estos cambios. Dado que los cambios afectan al problema dual nada más en una restricción, la pregunta se puede responder sencillamente verificando si esta solución básica complementaria satisface la restricción revisada.

Introducción de una nueva variable Como se indicó, las variables de decisión del modelo suelen representar los niveles de las distintas actividades bajo consideración. En algunas situaciones) estas actividades se seleccionan entre un, grupo grande de actividades posibles en el que las actividades restantes no se eligieron por parecer menos atractivas. O quizá estas otras actividades no salieron a relucir hasta después de formular y resolver el modelo original. De cualquier manera, la pregunta en este caso es si vale la pena alguna de estas actividades no consideradas antes como para justificar su inclusión. En otras palabras, ¿cambiará la solución óptima original si se agrega cualquiera de estas actividades? Agregar otra actividad equivale a introducir en el modelo una nueva variable, con los coeficientes apropiados en las restricciones funcionales y en la función objetivo. El único cambio que resulta en el problema dual es la introducción de una nueva restricción. Una vez hechos estos cambios, ¿será la solución óptima original, junto con la nueva variable igual a cero (no básica), todavía óptima para el problema primal? Igual que en el caso anterior, una pregunta equivalente es si todavía es factible la solución básica complementaria para el problema dual, e igual que antes, esta pregunta se puede contestar con sólo verificar si esta solución básica complementaria satisface una restricción que en este caso se trata de la nueva restricción para el problema dual. Para ver un ejemplo, suponga que en el problema de la Wyndor Glass, se planea incluir en la línea de producción un tercer producto nuevo. Si xnueva representa la tasa de producción de este artículo, el modelo revisado que resulta es: Maximizar Z  3 x1  5 x2 Sujeta a

 4 xnuevas

178

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I x1

2 x2 3 x1

2 x2


2 xnueva  4 3 xnueva  12 2 xnueva  18

y x1

 0,

x2

 0,

xnueva

 0.

Después de introducir las variables de holgura, la solución óptima original para este problema sin. xnueva (Vea la tabla 4.8) era  x1 , x2 , x3 , x4 , x5  = ¿Es todavía óptima la solución?

2,6,2,0,0 Si se incluye x

nueva

= 0,

Para responder esta pregunta se verifica la solución básica complementaria para el problema dual, esta solución está dada en el renglón O de la tabla símplex final para el problema primal. Por lo tanto, la solución es 3   y1 , y 2 , y 3 , z 1  c1 , z 2  c 2     0, , 1, 0, 0 .  2  Como esta solución era óptima para el problema dual original, sin duda satisface las restricciones duales originales. Pero, ¿satisface la nueva restricción dual?

2 y1  3 y2  y3  4 Al sustituir esta solución se ve que

20  3 y 2

 y3  4

Se satisface, por lo que esta solución dual sigue siendo factible (es decir, óptima). En consecuencia, la solución primal original (2, 6, 2, 0, 0) Junto con xnueva = O todavía es óptima, y se concluye que no debe incluirse este nuevo producto en la producción. Este enfoque hace que también sea muy sencillo llevar a cabo un análisis de sensibilidad sobre los coeficientes de la nueva variable agregada al problema original. Con sólo verificar la nueva restricción dual se puede saber cuánto pueden cambiar los valores de estos parámetros antes de que afecten la factibilidad de la solución dual y la optimalidad de la solución primal.

Otras aplicaciones Se han presentado Otras dos aplicaciones importantes de la teoría de dualidad al análisis de 





sensibilidad: los precios sombra y el método símplex dual, la solución óptima dual y 1 , y 2 ,..., y m proporciona los precios sombra para los recursos respectivos que indican cuánto puede cambiar Z si se hacen cambios (pequeños) en las bi (cantidad de recursos). En términos más generales, la interpretación económica del problema dual y el método símplex da algunas ideas útiles para el análisis de sensibilidad, Cuando se investigan los efectos de los cambios en las bi , o en las ai J , (para las variables básicas), la solución óptima original puede convertirse en una solución básica superóptima . Si se desea reoptimizar para identificar la nueva solución óptima, se debe aplicar el método símplex dual comenzando con esta solución básica. Se mencionó que a veces es más eficiente resolver el problema dual mediante el método símplex con el fin de identificar una solución oprima para el problema primal. Cuando la solución se encuentra de esta manera, el análisis de sensibilidad para el problema primal se lleva a cabo con la aplicación del procedimiento que se describe en las dos secciones siguientes directamente al problema dual y después infiriendo los efectos complementarios sobre el problema primal (por ejemplo, Este enfoque al análisis de sensibilidad es casi directo gracias a las estrechas relaciones primal-dual descritas.

179



ESENCIA DEL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD El trabajo del equipo de investigación de operaciones apenas comienza una vez que se aplica con éxito el método símplex para identificar una solución óptima del modelo, una suposición de programación lineal es que todos los parámetros del modelo (a,., h, y c.) son constantes conocidas. En realidad, los valores de los parámetros que se usan en el modelo casi siempre son sólo estimaciones basadas en una predicción de las condiciones futuras. Los datos obtenidos para desarrollar estas estimaciones con frecuencia son bastante burdos o no existen, así que los parámetros de la formulación original pueden representar poco más que algunas reglas cortas proporcionadas por el personal de línea al que tal vez presionaron para dar su opinión- Los datos pueden incluso representar estimaciones optimistas o pesimistas que protegen los intereses de los estimadores. Por todo esto, un gerente razonable y el personal de investigación de operaciones mantendrán cierto escepticismo saludable respecto a los números originales que salen de la computadora y, en muchos casos, los tomarán nada más como un punto de partida para el análisis posterior del problema. Una solución "óptima" es óptima sólo en lo que se refiere al modelo específico que se usa para representar el problema real, y esa solución no se convierte en una guía confiable para la acción hasta verificar que su comportamiento es bueno también para Otras representaciones razonables del problema. Aún más, algunas veces los parámetros del modelo (en particular las b¿) se establecen como resultado de decisiones por políticas administrativas (por ejemplo, la cantidad de ciertos recursos que se ponen a disposición de las actividades), y estas decisiones deben revisarse después de detectar sus consecuencias potenciales. Por estas razones es importante llevar a cabo un análisis de sensibilidad, para investigar el efecto que tendría sobre la solución óptima proporcionada por el método símplex el hecho de que los parámetros tomaran otros valores posibles. En general, habrá algunos parámetros a los que se les pueda asignar cualquier valor razonable sin que afecten la optimalidad de esta solución. Sin embargo, también habrá parámetros con valores probables que lleven a una nueva solución óptima. Esta situación es seria, en particular, si la solución original adquiere valores sustancialmente inferiores en la función objetivo, ¡o tal vez no factibles! Entonces, un objetivo fundamental del análisis de sensibilidad es identificar los parámetros sensibles (es decir, los parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima). Para ciertos parámetros que no están clasificados como sensibles, también puede resultar de gran utilidad determinar el intervalo de valores del parámetro para el que la solución óptima no cambia. (Este intervalo de valores se conoce como intervalo permisible para permanecer óptimo.} En algunos casos, cambiar el valor de un parámetro puede afectar la factibilidad de la solución BF óptima. Para tales parámetros, es útil determinar el intervalo de valores para el que la solución BF óptima (con los valores ajustados de las variables básicas) seguirá siendo factible. (Este intervalo recibe el nombre de intervalo permisible para permanecer factible.} En la siguiente sección se describirán los procedimientos específicos para obtener este tipo de información. Esta información es invaluable en dos sentidos. Primero., identifica los parámetros más importantes, con lo que se puede poner un cuidado especial para hacer estimaciones cercanas y seleccionar una solución que tenga un buen desempeño para la mayoría de los valores posibles. Segundo, identifica los parámetros que será necesario controlar muy de cerca cuando el estudio se ponga en marcha. Si se descubre que el valor real de un parámetro está fuera de su intervalo de valores permisibles, ésta es una señal inminente de que es necesario cambiar la solución. Para problemas pequeños, la verificación del efecto de una variedad de cambios en los valores de los parámetros es directa con sólo aplicar de nuevo el método símplex para ver si cambia la solución óptima. Esto es en especial conveniente cuando se usa una formulación en hoja de cálculo. Una vez establecido el Solver para obtener una solución óptima, sólo se hacen los cambios deseados y se elige Solver otra vez. Sin embargo, en problema más grande como los encontrados en la práctica, el análisis de sensibilidad requeriría un esfuerzo computacional exorbitante si fuera necesario volver a aplicar el método símplex desde el principio para investigar cada cambio en el valor de un pará6 Teoría de dualidad y análisis de sensibilidad metro. Por fortuna., la idea fundamental presentada en la sección 5.3 casi elimina el esfuerzo computacional, En esencia, la idea fundamental revela de inmediato la forma en que los cambios al modelo original alterarían los números de la tabla símplex final (si se supone que se duplica la misma secuencia de operaciones algebraicas que realizó el método símplex la primera vez). Entonces, después de hacer unos cuantos cálculos para actualizar esta tabla símplex, se puede verificar con

180



facilidad si la solución EF óptima original ahora es no óptima (o no factible). Si es así, esta solución se usará como solución básica inicial para comenzar de nuevo el símplex (o el símplex dual) y encontrar una nueva solución óptima, si se desea. Si los cambios en el modelo no son cambios mayores, sólo se requerirán unas cuantas iteraciones para obtener la nueva solución óptima a partir de esta solución básica inicial "avanzada". Para describir este procedimiento con más detalle, considere la siguiente situación. Se ha empleado el método símplex para obtener una solución óptima para un modelo de programación lineal con valores específicos para los parámetros bi , c j y aij . Para iniciar el análisis de sensibilidad se cambian uno o más 





parámetros. Después de hacer los cambios, sean b i , c j y a ij . Los valores de los distintos parámetros. Entonces, en notación matricial, 





b  b, c  c, , A  A, para el modelo revisado. El primer paso es actualizar la tabla símplex final para que refleje estos cambios. Si se usa la notación presentada en la tabla 5.10,- al igual que las fórmulas que la acompañan para la idea fundamental 1)t *  t  y * Ty 2)T *  S * T  se ve que la tabla símplex final revisada se calcula a partir de y* y S* (que no han cambiado) y la nueva tabla símplex in icial.

Ejemplo (Variación I del modelo Wyndor). A manera de ilustración, suponga que se revisa el modelo original del problema de la Wyndor Glass Co. Así, los cambios al modelo original son c1  3  4, a31  3  2 y b2  12  24. El gráfico muestra el efecto de estos cambios. Para el modelo original, el método símplex ya identificó la solución FEV óptima en el vértice (2, 6), que se encuentra en la intersección de las dos fronteras de restricción que se muestran como líneas punteadas, 2 x2  12 y 3 x1  2 x2  18 . Ahora, la revisión del modelo ha cambiado ambas fronteras por las que se muestran con líneas oscuras, 2 x2  24 y 2 x1  2 x2  18 . En consecuencia, la solución FEV anterior (2, 6) cambia ahora a la nueva intersección (-3,12) que es una solución no factible en un vértice para el modelo revisado. El procedimiento descrito en los párrafos anteriores encuentra este cambio de manera algebraica (en la forma aumentada). Más aún, lo hace de modo eficiente aunque se trace de problemas grandes donde el análisis gráfico es imposible. 14

12

10

8

6

4

2

0 -4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2

Cambio de la solución final en un vértice de (2,6) a (-3,12) para la revisión del problema de la Wyndor Glass Co., donde c1

 3  4, a31  3  2 y b2  12  24. 181



Coeficiente de Variable básica

Ec. Núm. (0)

Z x3

Z

x1

x2

x3

1

2

0

0

0

1

1

0

0

0

(1)

0

(2)

0

1 3

Tabla revisada fional x 2

0 2

x1

(3)

0

Z

(0)

1

0

0

0

x3

(1)

0

0

0

1

x 2

(2)

0

0

1

0

x1

(3)

0

1

0

0

3

x4

3

1

2 1



3 1



2 1

54 6

3

12

1

3

-2

3 2

2 1



2 1



Lado derecho

1

0

1

Convertida a la forma apropiada

x5

1

7

2 0

2 1

48

12

1

2

-3

2

Para llevar a cabo este procedimiento, se comienza por escribir los parámetros del modelo revisado en forma matricial: 

c  4,5,

1  A  0   2

0



4    b  24   18  

 2 ,  2

los coeficientes de las variables de holgura tanto en el renglón O (y*) como en el resto de los renglones (S*). Así, 1    3  y*  0, ,1 , S *  0   2   0 

1 3 1



2 1 3

1   3  0   1 3 

Obtención de la tabla símplex final revisada para la variación I del modelo de la Wyndor Glass Co. Coeficiente de

Variable Ec. básica Núm. Z Tabla inicial nueva

x 3 x 4 x 5

0  1 2  3 

x1

x2

x3

x4

x5

Lado Derecho

1

-4

-5

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

4

0

0

2

0

1

0

24

0

2

2

0

0

1

18

Z

182


Z

(0)


1

0

0

0

EMBED

Equation.3

x3

(1)

0

0

0

Tabla fional para el

mod elo original

x 2 x1

(2)

0

0

1

0

1

2 1

1

3

x 3 Tabla revisada fional

(0)

1

(1)

0

(2)

0

(3)

0

x 2 x1

1 3

0 2 3

0

0

0

1

1

0

0

0

3

2

1

1

33

3

1

2 1 3 1 2



6

0

2

0

-2

1



1

 Z

2

1

0

(3)

36

3



1 3

0

1

1

3

3

54 6 12 -2

Estos coeficientes de las variables de holgura quedan necesariamente sin cambiar cuando se realizan las mismas operaciones algebraicas que originalmente realizó el método símplex porque los coeficientes de estas mismas variables en la tabla símplex inicial no cambiaron. Sin embargo, como otras partes de la tabla símplex inicial cambiaron, habrá modificaciones en la tabla símplex final, los números actualizados en el resto de la tabla símplex final se calculan como sigue: 1  3  z *  c  0, ,1 0  2   2

0

4   3    2  4,5   2,0 , Z *  0, ,1 24  54     2    2 18   



 1  A*  0   0  

1   b*  0   0 

1



3 1 2



1 3

1 3 1 2



1 3

1  1 3 

 0   1   3

 0    2

0

1  3   2  0  2   3 2 



0



1 ,



0



1    4  6    3       0   24   12         1    18    2  3 

En realidad, estos cálculos para obtener la tabla símplex final revisada se pueden simplificar de manera sustancial. Como ninguno de los coeficientes de A:2 cambió en el modelo (o tabla símplex) original. a11 , a21 , b1 , b3 , ninguno de ellos puede cambiar en la tabla final, así se puede eliminar su cálculo. Algunos otros parámetros originales tampoco cambiaron, entonces Otro atajo consiste en calcular nada más los cambios increméntales en la tabla símplex final en términos de los cambios increméntales en la tabla inicial e ignorar aquellos términos en la multiplicación de vectores o matrices

183



que no tuvieron cambio en la tabla inicial. En particular, los únicos cambios increméntales en la tabla símplex inicial son c1  1, a31  1 yb2  12 por lo tanto, éstos son los únicos términos que deben considerarse. Esta simplificación se muestra con un cero o un guión en el lugar de los elementos no calculados.  0  3     1,    2, .  z * c   y * A  c  0, ,1 0  2     1

0  3    Z *  y * b  0, ,1 12  18  2    0  1 1  0 1   3 3   1  A*  S * A  0 0  0   2   1 1  0   3 3   1   1  b*  S * b  0   0 

1 3 1 2



1 3

  1    3    0    1    3

      

1   0   4   3        0  12  6           1  0    4      3 

Al agregar estos incrementos a las cantidades originales en la tabla símplex final, se obtiene la tabla símplex revisada final. Este análisis incrementa proporciona también una idea general útil que dice que los cambios en la tabla símplex final deben ser proporcionales a cada cambio en la tabla símplex inicial.

APLICACIÓN DEL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD El análisis de sensibilidad casi siempre comienza con la investigación de los cambios en los valores de las bi , la cantidad del recurso i (i = 1,2.,..., m) que se encuentra disponible para las actividades bajo consideración. La razón es que en general existe mayor flexibilidad al establecer y ajustar estos valores que los otros parámetros del modelo, la interpretación económica de las variables duales (las y¡) como precios sombra es extremadamente útil para decidir cuáles son los cambios que deben estudiarse.

Caso I: cambios en las bi Suponga que los únicos cambios al modelo actual consisten en el cambio de uno o más parámetros bi (i = 1,2,... i m). En este caso, los únicos cambios que resultan en la tabla símplex final se encuentran en la columna del lado derecho. En consecuencia, la tabla símplex está en la forma apropiada de eliminación de Gauss y todos los coeficientes de las variables no básicas en el renglón O aún son no negativos. Entonces, se pueden omitir los pasos de conversión a la forma apropiada de eliminación de Gauss y prueba de optimalidad del procedimiento general, después de revisar la columna del lado derecho, la única pregunta es si las variables básicas son no negativas (prueba de factibilidad). Cuando el vector de valores h, se cambia de b a b, las fórmulas para calcular la nueva columna del lado derecho en la tabla símplex final son: -

Lado derecho del renglón O final: Lado derecho de los renglones 1,2,..., m:

Z *  y * b, -

b*  S * b.

184



La localización del vector y* y la matriz S* que no cambiaron, en la tabla símplex final.)

Ejemplo (variación 2 del modelo Wyndor). El análisis de sensibilidad para el problema original de la Wyndor Glass Co. comienza por examinar los valores óptimos de las variables duales * * 3 *   yi  y i  0, y 2  , y 3  1 . Estos precios sombra indican el valor marginal de cada recurso i para las 2   actividades (dos nuevos productos) en estudio, donde el valor marginal se expresa en las unidades de Z (miles de dólares de ganancia por semana), se puede aumentar la ganancia total debida a estas *

actividades en $1 500 semanales ( y 2 multiplicado por S 1000 por semana) por cada unidad adicional del recurso 2 (hora de producción a la semana en la planta 2) que quede disponible. Este aumento en la ganancia es válido para cambios relativamente pequeños que no afecten la factibilidad de la solución *

básica actual (y que no afecten los valores de y i ). En consecuencia, el equipo de I0 ha investigado la ganancia marginal posible debida a los otros usos actuales de este recurso para determinar si alguna es menor que $1 500 semanales. Esta investigación puso de manifiesto que uno de los productos antiguos es mucho menos redituable. La tasa de producción para este producto ya se redujo a la cantidad mínima que justifica sus gastos de comercialización, pero se puede descontinuar, lo que proporcionaría 12 unidades adicionales del recurso 2 para los nuevos productos. Entonces, el siguiente paso es determinar la ganancia que se podría obtener de los nuevos productos si se hiciera esta transferencia. Esto cambia b2 de 12 a 24 en el modelo de programación lineal. El gráfico muestra este cambio, junto con el cambio de la solución en un vértice final de (2, 6) a (-2,12). (Observe que esta figura es distinta a la que muestra la variación 1 del modelo Wyndor, porque la restricción 3 x1  2 x2  18, , no cambió en este caso.) Así, para la variación 2 del modelo de la Wyndor, la única revisión al modelo original es el siguiente cambio en el vector de valores de las bi :

4   4      b  12  b  24 .     18 18  entonces, sólo b2 tiene nuevo valor. Región factible para la variación 2 del modelo de la Wyndor Glass Co. Donde b2  12  24 14

12

10

8

6

4

2

0 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-2

185



Análisis de la variación 2. Al aplicar la idea fundamental, se encuentra que el efecto de este cambio en b2 en la tabla símplex final original es que los elementos de la columna del lado derecho cambian a los siguientes valores: 4   3   Z *  y * b  0, ,1 24  54,  2   18  

 1   b*  S * b  0   0 

1 3 1



2 1 3

1      3  4  6   x3  6          0  24  12  de mod o que  x2   12          18 2 x   1   2 1         3     

De manera similar, como el único cambio en el modelo original es b2  24  12  12, puede usar el análisis incremental para calcular estos mismos valores con mayor rapidez. El análisis incremental involucra el cálculo de los incrementos en los valores de la tabla causados por el cambio (o cambios) en el modelo original, y después la suma de estos incrementos a los valores originales. En este caso, los incrementos en Z* y b* son

b1  0   Z *  y * b  y * b2   y * 12, b3  0  b1  0  b*  S *  b  S * b2   S * 12, b3  0  Por lo tanto, si se usa la segunda componente de y* y la segunda columna de S*, los únicos cálculos necesarios son 3  Z *  12  18, así Z *  36  18  54, 2 * * 1 b1  12  4, así b1  2  4  6, 3 * * 1 b 3  12  4 así b 3  2  4  2, 3 En donde los valores originales de estas cantidades se encuentran en la columna del lado derecho en la tabla símplex final original. La tabla símplex final revisada corresponde por completo a la tabla símplex final original, excepto por la columna del lado derecho que tiene estos nuevos valores. Por lo tanto, la solución básica actual (antes óptima) se ha convertido en x1 , x2 , x3 . x4 , x5 = (-2, 12, 6, O, 0),

Que no pasa la prueba de optimalidad porque tiene un valor negativo. Ahora se puede aplicar el método símplex dual, comenzando con esta tabla símplex revisada, para encontrar la nueva solución óptima. Este método conduce, en una sola iteración, a la nueva tabla símplex final. (En forma alternativa., se pudo haber aplicado el método símplex desde el principio y, en este caso, también se hubiera llegado a esta tabla final en una sola iteración.) Esta tabla símplex Índica que la nueva solución óptima es

 x1 , x2 , x3 . x4 , x5   0,9,4,6,0, 186



con Z = 45, que proporciona un incremento en la ganancia de 9 unidades ($9 000 semanales) sobre el valor anterior Z = 36. El hecho de que x 4 = 6 indica que 6 de las 12 unidades adicionales del recurso 2 quedan sin usarse con esta solución. Datos para la variación 2 del modelo de la Wyndor Glass Co. Tabla símplex final después de la reoptimización Coeficiente de Variable Ec. Z x1 x2 x3 x4 x5 Básica Núm. 9 5 Z 1 ( 0) 0 0 0 2 2 x 3 0 1 (1) 0 1 0 0 3 1 x 2 0 ( 2) 1 0 0 2 2 0 3 x 4 (3) 0 0 1 1 n  2 c1  3, c 2  5,

 1, a31  3, a11

 0, a32  2, a12

Lado derecho

45 4 9 6

4 b3  18 b1

Según estos resultados con = 24, el producto antiguo relativamente no redituable se descontinuará y las 6 unidades del recurso 2 quedarán para algún uso futuro. Como y 3* aún es positivo, se realiza un estudio similar sobre la posibilidad de cambiar la asignación del recurso 3, pero la decisión resultante es conservar la asignación actual. Entonces, el modelo de programación lineal actual en este punto (variación 2) tiene los valores de los parámetros y la solución óptima. Este modelo se usará como punió de partida para investigar otros tipos de cambios en el modelo, más adelante en esta sección- Sin embargo, antes de estudiar otros casos, se dará un panorama más amplio del actual.

Intervalo permisible para seguir factible . Aunque b2 = 12 resultó ser un incremento de b2 demasiado grande para mantener la factibilidad (y por ende la optimalidad) con la solución básica donde x1 , x2 , y x3 son las variables básicas, el análisis incremental anterior muestra qué tan grande puede ser el incremento para seguir factible. En particular, observe que 1 b2 , 3 * 1 b 2  6  b2 , 2 * 1 b 3  2   b2 , 3 *

b1  2 

en donde estas tres cantidades son los valores respectivos de x3 , x2 yx1 , para esta solución básica. La solución sigue factible y, por lo tanto, óptima, siempre que las tres cantidades sigan no negativas. 2 6 2

1 3 1 2 1 3

1

b2  0  b2  2  b2  6, 3 1

b2  0  b2  6  b2  12, 2

1

b2  0  2  b2  2  b2  6, 3

Por lo tamo., como b2  12  b2 , la solución sigue factible sólo si

 6  b2  6,

es decir ,

6  b2  18.

Este intervalo de valores para b2 se conoce como su intervalo permisible para seguir factible,

187



Para cualquier bi , su intervalo permisible para seguir factible es el intervalo de valores en el que la solución BF óptima1 (con los valores ajustados para las variables básicas) es factible. Así, el precio sombra de bi , sigue siendo válido para evaluar el efecto del cambio en sobre Z sólo si bi , sigue dentro de este intervalo permisible. (Se supone que el cambio en el valor de esta bi , es el único cambio en el modelo.) Los valores ajustados para las variables básicas se obtienen a partir de la fórmula b*=S* b . El cálculo del intervalo permisible para seguir factibles está basado en el hecho de encontrar el intervalo de valores de bi , tales que b*  0 . Muchos paquetes de software de programación lineal, utilizan esta técnica para generar de manera automática el intervalo permisible para seguir factible para cada bi , (También se usa una técnica similar, presentada en los casos 2a y 3, para generar un intervalo de valores permisibles para seguir factibles para cada c j ) La tabla resume estos mismos resultados respecto a b, para el modelo original de la Wyndor. Por ejemplo, tanto el incremento como el decremento permisibles para b 2 , son 6, es decir

 6  b2  6 . El análisis anterior muestra cómo se calculan estas dos cantidades. Salida típica de un software para análisis de sensibilidad de los lados derechos en el modelo de la Wyndor Glass Co.

Restricción

Precio sombra LD actual


0 1.5 1

incremento permisible



4 12 18

6 6

Decremento permisible 2 6 6

Regla del 100% para cambios simultáneos en los lados derechos: los precios sombra permanecen válidos para predecir el efecto de cambiar al mismo tiempo los lados derechos de algunas restricciones funcionales cuando los cambios no son muy grandes. Para verificar si son suficientemente pequeños, para cada cambio se calcula el porcentaje del cambio permitido (aumento o disminución) para que ese lado derecho siga dentro de su intervalo permisible y factible. Si la suma de los porcentajes de cambios no excede 100%, es definitivo que los precios sombra todavía serán válidos. (Si la suma excede 100%, entonces no hay certeza.)

Ejemplo (variación 3 del modelo de la Wyndor). Para ilustrar esta regla, considere la variación 3 del modelo de la Wyndor Glass Co., que revisa el modelo original con los siguientes cambios en el vector del lado derecho:

4   4      b  12  b  15 .     18 15 Los cálculos para la regla del 100% en este caso son b2 : 12  15 Porcentaje de incremento permisible

15  12   100    50%  6  18  15 

 b2 : 18  15 Porcentaje de incremento permisible  100 

suma

6

  50%   100 %

Como el resultado de la suma de 100% es justo la cantidad para no exceder el 100%, los precios sombra son definitivamente válidos para predecir el efecto de estos cambios en Z. En particular, como los precios sombra respectivos de b2 yb3 son 1.5 y 1, el cambio que resulta en Z sería

188



 Z  1.53  1 3  1.5, entonces, Z* se incrementará de 36 a 37.5. La figura muestra la región factible para este modelo revisado (las líneas punteadas son las localizaciones originales de las fronteras de restricción revisadas). La solución óptima ahora es la solución FEV (O, 7.5), y se obtiene Z  3 x1

 5x2  0  5(7.5)  37.5,

justo como lo pronosticaron los precios sombra- Sin embargo, observe lo que pasaría si se aumentara b2 hasta más de 15 o se disminuyera b3 a menos de 15; de modo que la suma de los porcentajes de los cambios permisibles excede 100%. Esto causaría que la solución en un vértice, antes óptima, se deslice a la izquierda del eje x 2  x1  0  , por lo que esta solución no factible ya no es óptima. En consecuencia, los precios sombra anteriores ya no son válidos para pronosticar el nuevo valor de Z*. Región factible para la variación 3 del modelo de la Wyndor Glass Co. Donde

 12  15 y b3  18  15. b2

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1 -2

Caso 2a: cambios en los coeficientes de una variable no básica Considere una variable específica x. (J fija) que sea no básica en la solución óptima dada en la tabla, símplex final. En el caso 2a, el único cambio al modelo actual es que uno o más coeficientes de esta 



variable c j , a1 j , a 2 j ,..., amj cambiaron. Entonces, sí c j y a ij denotan los nuevos valores de estos 

parámetros con A,- (columna j de la matriz A) como el vector que contiene a ij , se tiene 

c j

 c,



A j

A

para el modelo revisado. Como se describió anteriormente, la teoría de dualidad proporciona una manera muy conveniente de verificar estos cambios. En particular, si la solución básica complementaria y* en el problema dual todavía satisface la restricción dual que cambió, entonces la solución óptima original en el problema

189



primal sigue óptima como está. Por el contrario, si y* viola esta restricción dual, entonces esta solución primal ya no es óptima. Sí la solución óptima cambió y se desea encontrar la nueva, se puede hacer en forma bastante sencilla. Sólo debe aplicarse la idea fundamental a la columna x. revisada (la única que cambia) en la tabla símplex final. En particular, las fórmulas se reducen de la siguiente manera: *

Coeficiente de x. en el renglón O final:

*

Coeficiente de x - en los renglones 1 a m finales:



z j  c j A j





 y * A j  c j

 S * A j .

Con la solución básica actual que ya no es óptima, el nuevo valor de z *. - c. será ahora el que tiene coeficiente negativo en el renglón 0; así, se inicia el método símplex con x. como variable básica entrante inicial. Observe que este procedimiento es una versión simplificada del general, ya que la única columna que cambia en la revisión de la tabla símplex final (antes de reoptimizar) es la de la variable no básica x j El paso 5 (prueba de optimalidad) se sustituyó por una prueba más rápida que debe realizarse después del paso 1 (revisión del modelo). Sólo cuando esta prueba revele que la solución óptima cambia, y se desee encontrar la nueva solución, tendrán que aplicarse tos pasos 2 y 6 (revisión de la tabla símplex final y reoptimización).

Ejemplo (variación 4 del modelo de la Wyndor ). Como x. es no básica en la solución óptima actual para la variación 2 del problema de la Wyndor Glass Co., el siguiente paso en el análisis de sensibilidad es comprobar si cualquier cambio razonable en la estimación de los coeficientes de x1 puede aconsejar que se introduzca el producto 1. El conjunto de cambios que pueden ser realistas para hacer el producto 1 más atractivo sería restablecer c1  4 ya31  2 . En lugar de explorar cada uno de estos cambios en forma independiente (como se hace con frecuencia en el análisis de sensibilidad), se considerarán juntos. Entonces, los cambios bajo consideración son 

c1

 3  c1  4,

1   1      A1  0  A1  0     3 2

Estos dos cambios en la variación 2 dan la variación 4 del modelo de la Wyndor. En realidad, la variación 4 es equivalente a la variación 1, ya que la variación 1 combina estos dos cambios con el cambio en el modelo original ( b2 = 12 —> 24) que da la variación 2. Sin embargo, la diferencia clave respecto al tratamiento de la variación 1 es que el análisis de la variación 4 trata a la variación 2 como si fuera el modelo original; así, el punto de partida es la tabla símplex donde ahora es una variable no básica. El cambio en a31 hace que la región factible cambie. El cambio en c1 hace que la función objetivo Z  45  4 x1  5x2 , cambie a Z  4 x1  5 x2 La figura 6.5 muestra la recta de la función objetivo Z  45  4 x1  5x2 , que pasa por la solución oprima actual (0,9), se puede verificar que este punto

sigue siendo óptimo después de los cambios en a31 yc1 Para emplear la teoría de dualidad y llegar a esta misma conclusión, observe que los cambios en ci ya31 llevan a una sola restricción revisada para el problema dual, que es, la restricción a11 y1  a21 y 2  a31 y3  a31 y3  c1 Tanto esta restricción revisada como la y* actual (coeficientes de las variables de holgura en el renglón 0 son;

190

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I *

Y 1

 0, Y 2*  0, Y 3* 


5

2 Y 1  3Y 3  3  Y 1  2Y 3  4,

 5    4  2 

0  2

Como Y* todavía satisface la restricción revisada, la solución primal actual todavía es óptima. Debido a que esta solución todavía es óptima, no existe necesidad de revisar la columna de X J en la tabla simplex final. De todas maneras se hará para ilustrarlo.

Z  c1 * j

1   Y * A1  c1  0, 0, 52 0  4  1 2

1 0 0  1  1    0    1  * A1  S * A1  0 0 12      0 1  1 2  2

El hecho de que Z 1*  c 1  0 confirma de nuevo la optimalidad de la solución actual. Como Z 1*  c1 es la variable de superávit para la restricción revisada del problema dual, esta prueba de optimalidad es equivalente a la que se usó antes. Esto completa el análisis del efecto de los cambios del modelo actual (variación 2) a la variación 4. Debido a que otros cambios más grandes en las estimaciones originales de los coeficientes de x1 serían poco realistas, se concluye que estos coeficientes son parámetros no sensibles del modelo actual. Por lo tanto, se mantendrán fijos con el valor de sus mejores estimaciones  c1  3 y a31  3  para el resto del análisis de sensibilidad. Región factible para la variación 4 del modelo de la Wyndor donde la variación 2 se ha modificado a a31  3  2 y c1  3  4 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Salida de software típica para el análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo para la variación 2 de modelo de la W yndor Glass Co.

191


Variable


Valor

Costo Reducido

Coeficiente Aumento actual permisible

Disminución permisible

x1

0

4.5

3

4. 5



x 2

9

0

5



3

Región factible para la variación 5 del modelo de la Wyndor donde la variación 2 se ha modificado de modo que

 5  3, a 22  2  3 y a32  2  4

c2

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

-1

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Procedimiento del análisis de sensibilidad aplicado a la variación 5 del modelo de la Wyndor Glass Co. Lado Variable Coeficientes de derecho básica Ec. x1 x2 x 3 x 4 x 5 núm Z 9

Z

(0)

1

Tabla simples final

x3

(1)

0

I

revisada

x 2

(2)

0

3

x 4

(3)

2

2

0

-3

7

0

0

0

1

0

2

0

0

-1

0

1

5 2

0 1 2

-1

45 4 9 6

192


Convertida a la forma apropiada

Z

(0)

x3

(1)


1

3



0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

4

0

3

x 2

(2)

0

x 4

(3)

0



0

Z

(0)

1

0

0

x1

(1)

0

1

0

x 2

(2)

0

0

1

x 4

(3)

4 9

4

Nueva tabla simples final después de reoptimizar (sólo se requirió una iteración del método simples en este caso)

0

0

0

(De manera equivalente, se puede usar el análisis incrementar con en la misma forma para obtener esta columna.)

3 4

1 -

3 4 9 4

3 4



0 0 0 1

-

27 2

0

4

1

9

4 3

2 21

4

2

3

33

4

2

0

4

1

3

4 3

2 39

4

2

c2  2, a22  1 y a32  2 con

El se muestra en la parte superior de la tabla. Note que los nuevos coeficientes de esta variable básica x 2 no tienen los valores requeridos y se tiene que aplicar la conversión a la forma apropiada con

eliminación de Gauss. Este paso exige dividir el renglón 2 entre 2, restar el nuevo renglón 2 multiplicado por 7 del renglón O y sumar el nuevo renglón 2 al renglón 3.

La segunda tabla símplex de la tabla 6.24 da los nuevos valores de la solución básica actual, a saber, 9 21 x3  4, x2  , x4  ( x1  0, x5  0) Como todas estas variables son no negativas, la solución 2 2 todavía es factible. Sin embargo, el coeficiente negativo de x 1 en el renglón 0 indica que la solución va no es óptima. Se aplicará el método símplex a esta tabla, con esta solución como solución BF inicial, para encontrar la nueva solución óptima. La variable entrante básica inicial es x 1 con x¡ como la variable básica que sale. Se necesita sólo una iteración en este caso para llegar a la nueva solución óptima: 3 39 x1  4, x2  , x4  ( x3  0, x5  0), 2 2 Este análisis sugiere que c2 , a22 y a32 son parámetros relativamente sensibles. Sin embargo, los daros adicionales para estimarlos con más cuidado sólo pueden obtenerse si se realiza una prueba piloto. Por lo tanto, el equipo de lO recomienda que se inicie de inmediato la producción del producto 2 en pequeña 3 escala ( x2  ) y que se use esta experiencia como guía para la decisión acerca de si la capacidad de 2 producción restante debe asignarse al producto 2 o al producto 1.

Intervalo permitido para permanecer óptima . Se describió para el caso 2 a cómo encontrar el intervalo permisible para que siguiera óptima cualquier c j tal que x j es una variable no básico para la solución oprima actual (antes de cambiar c j ). Cuando x j es una variable básica, el procedimiento se complica un poco por la necesidad de convertir a la forma apropiada de eliminación de Gauss antes de probar la optimalidad. Para ilustrar el procedimiento, considere la variación 5 del modelo de la Wyndor Glass Co. (con c2  3, a22  3, a23  4) cuya gráfica se muestra en la figura (6.6) y que se resuelve en la tabla 6.24. Como x 2 es una variable básica para la solución óptima dada al final de la tabla (con c 2 = 3), los pasos necesarios para encontrar el intervalo de valores permitidos para seguir óptima para c¡ son los siguientes:

193



1)

Como x 2 es una variable básica, observe que su coeficiente en el nuevo renglón 0 final automáticamente es z 2 * -c 2 = 0 antes de cambiar el valor actual 3 de c 2.

2)

Ahora se incrementa c 2 = 3 en

c2 (de manera que c2 = 3 +. Esto cambia el coeficiente indicado

en el paso 1 a z *2 – c2 = - c2 , lo que cambia el renglón 0 a

3)

3 3 33  Renglón 0 = 0,  c2 , ,0, 4 4 2   Con este coeficiente ahora diferente de cero, deben realizarse operaciones elementales para restaurar la forma apropiada de eliminación de Gauss. En particular, se suma al renglón O el renglón 2 multiplicado por, lo que da el nuevo renglón cero, como aparece a continuación. 3 3 33     , , 0 , O c 2  4 4 2  3 1   0, c2 , c2 0, c2 4 4 

 c2  2  3 3 3 1 33 3   Nuevo renglón 0 = 0, 0,  c2 0,  c2  c2  4 4 4 4 2 2   3

4)

Usando este nuevo renglón 0, se calcula el intervalo de valores de  c2 que mantiene no negativos a los coeficientes de las variables no básicas x 3 y x 5. 3 3 3 3  c2  0   c 2  c2  1. 4 4 4 4 3 1 1 3  c 2  0  c2   c2  3 4 4 4 4 Entonces, el intervalo de valores es -3  c2  1.

5)

Como c c2  3  c2 se suma 3 a este intervalo de valores, lo que da 0  c 2 como el intervalo de valores permitido para permanecer óptima para c 2.

4

Con sólo dos variables de decisión, este intervalo permitido se puede verificar en una gráfica usando la figura 6.6 con una función objetivo Z = 3x 1 + c 2 x 2 . Con el valor actual c 2 = 3, la 3 solución óptima es (4, ). Cuando se incrementa c 2, esta solución sigue óptima sólo para 2 9 c2  4 .Para c2  4, (0, ) se convierte en óptima (con un empate en c 2 =4), debido a la frontera 2 3 de restricción 3 x 1 + 4x 2 = 18. Cuando por el contrario, c 2 disminuye, (4, ) sigue óptima sólo 2 para c2  0. Si c2  0(4,0) , se vuelve óptima debido a la frontera de restricción x 1 = 4. De manera similar, el intervalo de valores permitidos para permanecer óptima para c j (con c 2 fijo 9 en 3) se puede obtener algebraica o gráficamente como c1  . (El problema 6.7-13 le pide que 4 verifique esto de ambas formas.) 3 Así, la disminución permisible para c 1 a partir del valor actual de 3 es sólo . Sin embargo, es 4 posible disminuir c 1 una cantidad mayor sin cambiar la solución óptima si c 2 también disminuye lo suficiente. Por ejemplo, suponga que ambos, c 1 y c 2, se disminuyen 1 unidad a partir de su valor actual de 3, de manera que la función objetivo cambia de Z = 3x 1 + 3x 2 a Z = 2x 1 + 2 x 2 . De acuerdo con la regla de 100% para los cambios simultáneos en los coeficientes de la función 1 1 objetivo, los porcentajes de cambios permisibles son 133 % y 33 y 33 y, respectivamente, 3 3%

194



que suman mucho más que 100%. No obstante, la pendiente de la recta de la función objetivo no 3 cambió en absoluto, por lo tanto, (4, ) todavía es óptima. 2

Caso 4: introducción de una nueva restricción El último caso es aquel en el que debe introducirse al modelo una nueva restricción, después de obtener la solución. Este caso puede ocurrir porque se pasó por alto la restricción en un principio o porque surgieron nuevas consideraciones después de formular el modelo. Otra posibilidad es que se haya eliminado, a propósito, la restricción para disminuir el esfuerzo computacional por parecer menos restrictiva que otras ya planteadas en el modelo, pero ahora es necesario verificar esta impresión con la solución óptima que se obtuvo. Para ver si la nueva restricción afecta a la solución óptima actual, todo lo que debe hacerse es verificar directamente si esa solución óptima satisface la restricción. Si es así, todavía sería la mejor solución básica factible (es decir, la solución óptima), aun cuando se agregara la restricción al modelo. La razón es que una nueva restricción sólo puede eliminar algunas de las soluciones factibles anteriores sin agregar una nueva. Si la nueva restricción elimina la solución óptima actual, y si se quiere encontrar la nueva solución, se introduce esta restricción a la tabla símplex final (como un renglón adicional) justo como si fuera la tabla inicial, en la que se designa la variable usual (de holgura o artificial) como la variable básica que corresponde a este nuevo renglón. Como éste tal vez tenga coeficientes distintos de cero para algunas otras variables básicas, se debe aplicar la conversión a la forma apropiada de eliminación de Gauss y después el paso de reoptimización en la forma usual. Igual que para algunos de los casos anteriores, este procedimiento para el caso 4 es una versión simplificada del procedimiento general. La única pregunta que hay que hacerse en este caso es si la solución óptima anterior es todavía factible así que debe eliminarse el paso 5 (prueba de optimalidad). El paso 4 (prueba de factibilidad) se reemplaza por una prueba de factibilidad mucho más rápida ( ¿la solución óptima anterior satisface la nueva restricción?) Que se realiza justo después del paso 1 (revisión del modelo). Sólo cuando la respuesta a esta prueba es negativa y se quiere reoptimizar, se usan los pasos 2, 3 y 6 (revisión de la tabla símplex final, conversión a la forma apropiada de eliminación de Gauss, y reoptimización).

Ejemplo (variación 6 del modelo de la Wyndor). Para ilustrar este caso, se considera la variación 6 del modelo de la Wyndor Glass Co., que introduce la nueva restricción, 2 x1  3 x2

 24

en la variación 2 del modelo. El efecto gráfico se muestra en la figura. La solución óptima anterior (0,9) viola la nueva restricción, por lo que la solución óptima cambia a (O, 8). Para analizar este ejemplo en forma algebraica, observe que (0,9) lleva a 2x 1 + 3x 2 = 27 > 24, entonces esta solución óptima anterior ya no es factible. Para encontrar la nueva solución óptima, se agrega esta restricción a la tabla símplex final actual como se describió, con la variable de holgura x 6 como su variable básica inicial. Este paso lleva a la primera tabla que se muestra en la tabla 6.25. El paso de conversión a la forma apropiada de eliminación de Gauss requiere restar el renglón 2 multiplicado por 3, del nuevo renglón, con lo que se identifica la solución básica actual: x3  4, x2  9, x4  6, x6  3( x1  x5  0) , como se muestra en la segunda tabla símplex. Cuando se aplica el método dual símplex se obtiene en una sola iteración.

195



14

12

10

8

6

4

2

0 -2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2

Procedimiento del análisis de sensibilidad aplicado a la variación 6 del modelo de la Wyndor Glass Co. Variable básica

Z Tabla simples final revisada

x 3 x 2 x 4

Ec. núm.

Z

(0)

1

(1)

0

(2)

0

(3)

0

Nueva

0

Coeficientes de x 1 x2 x 3 x 4 x 5 x6 9 2

I 0 3 1 2

Z Convertida a la forma apropiada

1

(1)

0

(2)

0

(3)

0

x 4 x 65

0

5

0

1

0

0

0

0

2

0 1

0 0

2

0

1

-1

0

2

3

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

9 2

1 3 2

-3

Nueva



5 2

0

0

5 2

0 1 2

-1

0 

3 2

45 4 9 6

0

x 3 x 2

0

-3

x 6 (0)

0

Lado derecho

0 0 0 0

24

45 4 9 6 -3

1

196


Z

Nueva tabla simples final después de

x 3

reoptimizar (sólo se necesitó una operación del método dual

x 2

en éste caso)

x 4

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. 1

(0)

1

(1)

0

(2)

0

(3)

0

3

0



0

3

1 2

Nueva

0

0

0 1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

4 3

5

x 5

0

3

0

0

0

1

5

40

3

4

0

8

1

-



8

3 2

2

3 2

3

EJERCICIOS RESUELTOS SOLUCIONES DEL DUAL A TRAVES DEL PRIMAL 1)

PROBLEMA PRIMAL

Función Objetivo Z(MAX) = 4X1 + 3 X2 + 0 S1 +0 S2 +0 S3 + 0 S4

Restricciones X1 + X2 X1 X2 2X1 + X2

   

400 200 350 500

Cantidad de piel Hebillas elegantes Hebillas de menor calidad Capacidad

Variables de holgura X1 + X2 + S1 = X1 + S2 = X2 + S3 = 2X1 + X2 + S4 =

400 200 350 500

Solución óptima Z(MAX) = 1.300 X1 = 100 Cinturones de clase A X2 = 300 Cinturones de clase B S1 = 0 Se utilizó toda la piel S2 = 100 Hebillas elegantes no utilizadas S3 = 50 Hebillas de menor calidad no utilizadas S4 = 0 Se utilizó toda la capacidad C j 0 0 0 0

X j S1 S2 S3 S4 Z j

bn 400 200 350 500 0

4 X1 1° 1* 0° 2° 0

3 X2 1 0 1 1 0

0 S1 1 0 0 0 0

0 S2 0 1 0 0 0

0 S3 0 0 1 0 0

0 S4 0 0 0 1 0

I

197


0 4 0 0

0 4 0 3

0 4 0 3

Z j-C j S1 X1 S3 S4 Z j Z j-C j S1 X1 S3 X2 Z j Z j-C j S2 X1 S3 X2 Z j Z j-C j

--200 200 350 100 8.000 --100 200 250 100 1.100 --100 100 50 300 1.300 ---

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. -40 0 1 0 0 4 0 0 1 0 0 4 0 0 1 0 0 4 0

-30 1° 0° 1° 1* 0 -30 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 3 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -1 -2 2 2 2

0 -1 1 0 -2 4 4 1* 1° 2° -2° -2 -2 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 -1 0 -1 1 3 3 -1 1 1 -1 1 1

II

III

IV

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DUAL Función objetivo Z(MIN) = 400Y1 + 200 Y2 + 350 Y3+ 500 Y4

Restricciones o limitaciones: Y1 + Y2 + 2Y4  4 Costo incorporado a A Y1 + Y3 + Y4  3 Costo incorporado a B Y j  0 Para encontrar el valor de las variables principales del dual acudimos a la fila del criterio simplex (Zj Cj) de la tabla óptima y tomada los valores de las tres últimas columnas.

Y1 = S1 = 2 Y2 = S2 = 0 Y3 = S3 = 0 Y4 = S4 = 1 Z(MIN) = 400(2) + 200(0) + 350 (0) + 500 (1) Z(MIN) = 1.300 Z(MAX) = Z(MIN) UTILIDAD = COSTO 1.300 = 1.300 Esta interpretación o análisis económico del primal y de su dual pude servir para que el empresario tome decisiones en el caso de ampliación sin pecar de timorato o de excesivo optimismo.

SOLUCIÓN DIRECTA DEL DUAL: A través del primal hemos encontrado la solución del problema dual, los mismos resultados obtendremos resolviendo directamente el problema dual.

198



Función Objetivo: Z(MIN) = 400Y1 + 200Y2 + 350Y3 + 500Y4

Restricciones o limitaciones: Y1 + Y2 + 2Y4 Y1 + Y3 + Y4 Y j

  

4 3 0

Variables de holgura y Artificiales: Y1 + Y2 + 2Y4 - S1 + m1 =4 Y1 + Y3 + Y4 - S2 + m2 = 3

C j M M 500 M

500 350

500 400

YJ m1 m2 Z j Z j-CJ Y4 m2 Z j Z j-CJ Y4 Y3 ZJ Z j-C j Y4 Y1 Z j Z-C

bn 4 3 7M -2 1 10M -- -2 1 1.350 -1 2 1.300 --

400 Y1 1* 1 2M 2M 0.5 0.5 0.5M 0M 0.5° 0.5* 425 25 0 1 400 0

200 Y2 1 0 M M 0.5 -0.5 -0.5M M 0.5 -0.5 75 -125 1 -1 100 -100

350 Y3 0 1 M M 0° 1* M M 0 1 350 0 -1 2 300 -50

500 Y4 2* 1° 3M 3M 1 0 0M M 1 0 500 0 1 0 500 0

0 S1 -1 0 -M -M --0.5 0.5 0.5M -M -0.5 0.5 -75 -75 -1 1 -100 -100

0 S2 0 -1 -M -M 0 -1 -M M 0 -1 -350 -350 1 -2 -300 -300

M m1 1 0 M 0 0.5 -0.5 -0.5M -1.5M

M m2 0 1 M 0 0 1 M 0

Solución óptima Z(MIN) = 1.300 Y1 = 2 Y3 = 0 Y2 = 0 Y4 = 1 2)

Son los mismos valores

PROBLEMA PRIMAL Se producen dos artículos A y B los mismos que son procesados por 3 máquinas M1, M2 y M3 que disponen de 130, 190, 200, horas semanales al menos, la M1 procesa 1 unidad de A y 1 de B, M2 procesa 2 de A y 1 de B, M3 procesa 1 de A y 4 de B. El costo de procesar es S/.2 por cada unidad del artículo A y S/. 3 por cada unidad del artículo B. Cuántas unidades de A y B de deben procesar para que el costo sea mínimo.

Función Objetivo Z(MIN) = 2X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2 + OS3 + Mm1 + Mm2 + Mm3 X1 = Artículo A X2 = Artículo B

199



Restricciones X1 + X2  130 Capacidad de procesar de M1 2X1 + X2  190 Capacidad de procesar de M2 X1 + 4X2  200 Capacidad de procesar de M3 Xj  0

Variables de holgura y Artificiales X1 + X2 – S1 + m1 2X1 + X2 -- S2 + m2 X1 + 4X2 -- S3

Cj M M M

M M 3

M 2 3

0 2 3

Xj m1 m2 m3 Zj Zj-Cj m1 m2 X2 Zj Zj-Cj m1 X1 X2 Zj Zj-Cj S2 X1 X2 Zj Zj-Cj

bn 130 190 200 520M ... 80 140 50 220M --20 80 30 20M --46,5 106,5 23,5 283,5 ---

2 X1 1 2 1 4M 4M 0,75° 1,75* 0,25° 2,5M 2,5M 0 1 0 0M 0M 0 1 0 2 0

3 X2 1° 1° 4* 6M 6M 0 0 1 0M 0M 0 0 1 0M 0M 0 0 1 3 0

= 130 = 190 + m3 = 200

0 S1 -1 0 0 -M -M -1 0 0 -M -M -1 0 0 -M -M -2,33 -1,33 0,33 -1,67 -1,67

0 S2 0 -1 0 -M -M 0 -1 0 -M -M 0.43* -0,57° 0.14° 0,43M 0,43M 1 0 0 0 0

0 S3 0 0 -1 -M -M 0,25 0,25 -0,25 0,5M 0,5M 0,15 0,14 -0,28 0,15M 0,15M 0,35 0,34 -0,33 -0,31 -0.31

M m1 1 0 0 M 0 1 0 0 M 0 1 0 0 M 0

M m2 0 1 0 M 0 0 1 0 M 0 -0,43 0,57 -0,14 -0.43 -1,43

M m3 0 0 1 M 0 -0,25 -0,25 0,25 -0.5M -1,5M -0,15 -0,14 0,28 -0,15M -1,15M

Solución óptima del problema primal Z(MIN) = 283,5 X1 = 106,51 Unidades del artículo A X2 = 23,5 Unidades del artículo B S1 = 0 Se utilizó toda la capacidad de M1 S2 = 46,5 Capacidad no utilizada de M2 S3 = 0

Se utilizó toda la capacidad de M

Solución el problema dual Función Objetivo: Z(MAX) = 130Y1 + 190Y 2 + 200Y3

Restricciones o limitaciones: Y1 + 2Y2 + Y3 Y1 + Y2 + 4Y3

 

2 Utilidad incorporada a A 3 Utilidad incorporada a B

200



De la fila Zj -Cj de la tabla óptima extraemos los valores de las variables de holgura corresponde a los valores de las variables principales del dual.

del primal que

Y1 = S1 =  1.67 = 1.7 Y2 = S2 = 0 Y3 = S3 =  0.31 = 0.31 Z(MAX) = 130(1.7) + 190(0) + 200(0.31) Z(MAX) = 283

3)

PROBLEMA PRIMAL Se fabrican dos clases de muebles A y B, se dispone de madera para 80 muebles por lo menos, toma 2 horas preparar 10 muebles tipo A y 4 horas preparar 10 muebles tipo B, se dispone hasta 20 horas. La demanda de A es de un total de 70. Cada mueble tipo A deja una utilidad de S/. 10 y S/. 8 cada mueble tipo B. ¿Cuántos muebles tipo A y B se deben fabricar para obtener la máxima ganancia?.


Restricciones X 1

2



X 1 

10 X 1

4 10

X 2

 80 Cantidad de madera

X 2

 20 Tiempo

 70 Demanda de A X J  0

SOLUCION DEL PROBLEMA DUAL El presente problema primal tiene restricciones de diferente sentido, para encontrar el dual es necesario que todas las limitaciones estén en el mismo sentido para lo cual la primera multiplicamos por (-1) y la tercera la reemplazamos por dos, una  y la otra . -X1 - X1  - 80 2 X1 + 4 X1  200  X1 70  X1 70

Multiplicamos la última por (-1). -X1 - X2  - 80 2 X1 + 4 X2  200 X1 70   -70 - X1

Función objetivo del dual Z(MIN) = -80Y1 + 200Y2 + 70Y3 - 70Y4

Restricciones o limitaciones: -Y1 + 2Y2 + Y3 - Y4  10 Costo incorporado a A  8 Costo incorporado a B -Y1 + 4Y2

201



Variables de Holgura: -Y1 + 2Y2 + Y3 - Y4 - S1 + m1 = 10 -Y1 + 4Y2 - S2 + m2 = 8

Solución optima Z(MIN) = 820 Y1 = 0 Y3 = 6 Y2 = 2 Y4 = 0

SOLUCION DEL PROBLEMA PRIMAL Z(MAX) = 820 X1 = S1 =  70 = 70 (Valor absoluto) X2 = S2 =  15 = 15 Cj M M

M 200 3 70 200

4)

Yj m1 m2 Zj Zj-Cj m1 Y2 Zj Zj-Cj Y3 Y2 Zj Zj-Cj

-80 200 bn Y1 Y2 10 -1 2° 8 -1 4* 18M -2M 6M ---2M 6M 6 -0.5 0 2 -0.25 1 6M -0.5M 0M --- -0.5M 0M 6 -0.5 0 2 -0.25 1 820 -85 200 ---5 0

70 Y3 1 0 M M 1* 0° M M 1 0 70 0

-70 Y4 -1 0 -M -M -1 0 -M -M -1 0 -70 0

0 S1 -1 0 -M -M -1 0 -M -M -1 0 -70 -70

0 S2 0 -1 -M -M 0.5 -0.25 0.5M 0.5M 0.5 -0.25 -15 -15

M m1 1 0 M 0 1 0 M 0

M m2 0 1 M 0 -0.5 0,25 -0,5M -1.5M

Un comerciante de frutas transporta sus productos en un camión que tiene una capacidad de 800 cajas de frutas. El debe transportar al menos 200 cajas de naranjas que le rendirán $.20 por caja, al menos 100 de toronjas que le rendirán una ganancia de $.10 por caja y cuando mucho 200 de mandarinas con $.30 de ganancia por caja. ¿Cómo debe distribuirse el cargamento del camión para obtener la máxima ganancia?.

Función Objetivo: Z(MAX) = 20X1 + 10X2 + 30X3 X1 = Cajas de naranja X2 = Cajas de toronja X3 = Cajas de mandarinas

Restricciones o limitaciones X1 + X2 + X3  800 Capacidad X1  200 Cajas de naranjas X2  100 Cajas de toronjas X3  200 Cajas de mandarinas X j  0 No negatividad X1 + X2 + X3  800 Capacidad  -200 Cajas de naranjas -X1 - X2  -100 Cajas de toronjas X3  200 Cajas de mandarinas

202



Variable de Holgura y Artificiales: X1 + X2 + X3 + S1 -X1 + S2 - X2 + S3 X3 + S4 Cj 0 0 0 0 0 0 0 30 20 0 0 30

X j S1 S2 S3 S4 Z j Z j - C j S1 S2 S3 X3 ZJ Z j - C j X1 S2 S3 X3 Z J ZJ - CJ

bn 800 -200 -100 200 0 --600 -200 -100 200 6.000 --600 400 -100 200 18000 ---

= 800 = -200 = -100 = 200

20 X1 1 -1 0 0 0 -20 1* -1° 0° 0° 0 -20 1 0 0 0 20 0

10 X2 1 0 -1 0 0 -10 1 0 -1 0 0 -10 1 1 -1 0 20 10

30 X3 1° 0° 0° 1* 0 -30 0 0 0 1 30 0 0 0 0 1 30 0

0 S1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 20 20

0 S2 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 S3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 S4 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 1 30 30 -1 -1 0 1 10 10

Solución del problema primal Z(MAX) = 18.000 X1 = 600 S1 = 0 X2 = 0 S2 = 400 X3 = 200

S3 = -100 S4 = 0

Solución del problema dual Función objetivo Z(MIN) = 800Y1 - 200Y2 - 100Y3 + 200Y4

Restricciones: Y1 - Y2  20  10 Y1 - Y3 Y1 +Y4  30

Solución óptima: Y1 = S1 = 20 Y2 = S2 = 0 Y3 = S3 = 0 Y4 = S4 = 10 Z(MIN) = 800(20) - 200(0) - 100(0) + 200(10) Z(MIN) = 18.000

203



SOLUCIÓN EN COMPUTADORA MEDIANTE QM FOR WINDOWS Se instala el programa QM for Windows que se encuentra en el CD al final del texto, luego seguimos los mismos pasos para resolver gráficamente.

1)

Para resolver por el método simplex, damos click en Solve

2) .

Señalamos iterations

3)

Aparecerá la tabla del simplex.

PROBLEMA Nº 1.Un taller fabrica dos clases de cinturones de piel. En cada cinturón A de alta calidad gana S/4 y en cada cinturón B de baja calidad gana S/3. El taller puede producir diariamente 500 cinturones de tipo B o 250 cinturones de tipo A. Sólo se dispone de piel para 400 cinturones diarios A y B combinados, de 200 hebillas elegantes para el cinturón A y de 350 hebillas diarias para el cinturón B ¿Qué producción maximiza la ganancia?

Formulación del problema Función objetivo: Maximizar la utilidad total Z(MAX) = 4X1 + 3X2

204



Restricciones: 1.2.3.4.-

X1 + X2  X1  X2  2X1 + X2  X1, X2 

400 200 350 500 0


205



Utilizamos Paint para pegar la imagen.

Los resultados se encuentran al final de la tabla en le última columna.

X1 = 100 cinturones tipo A X2 = 300 cinturones tipo B Slack 1 representa S1 = 0 se utilizo toda la piel Slack 2 representa S2 = 100 queda um saldo de 100 hebillas elegantes Slack 3 representa S3 = 50 queda um saldo de 50 hebillas de menor calidad Slack 4 representa S4 = 0 se utilizo toda la capacidad de la fábrica Z(MAX) = 1300

PROBLEMA Nº 2.Una compañía química está diseñando una planta para producir dos tipos de minerales M y N. La planta debe ser capaz de producir al menos 100 unidades de M y 420 unidades de N cada día. Existen dos posibles diseños para las cámaras principales de reacción que vienen incluidas en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta 600 mil dólares y es capaz de producir 10 unidades de M y 20 unidades de N por día; el tipo B es un diseño más económico, cuesta 300 mil dólares y es capaz de producir 4 unidades de M y 30 unidades de N por día. A causa de los costos de operación, es necesario tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuántas cámaras de cada tipo deben ser incluidas para minimizar el costo de construcción y satisfacer el programa de producción requerido?

Función objetivo: Z(MIN) = 600X1 + 300X2

Restricciones: X1



4 X2  4 10X1 + 4X2  100 20X1 + 30X2  420 X1 X2  0


Mediante Paint pegamos la última tabla.

Solución X1 = 6 cámaras tipo A X2 = 10 cámaras tipo B Surplus 1 = S1 = 2 se incluyó 2 cámaras tipo A del límite establecido Surplus 2 = S2 = 6 se incluyó 6 cámaras tipo B del límite establecido Surplus 3 = S3 = 0 se utilizo toda el mineral M

206



Surplus 4 = S4 = 0 se utilizó todo el mineral N Z(MIN) = 6.600

PROBLEMA N° 3.La Compañía Metales Lida. fabrica dos metales A y B, a través de dos minerales: cobre y aluminio. El metal A contiene 90% de cobre y 10% de aluminio y al venderlo deja una ganancia de 5 U$ por kilo. El metal B contiene 50% de cobre y 50% de aluminio y da una ganancia de 7 U$ por kilo. Cada semana debe producir 150 kilos del metal A y 100 kilos del metal B, por lo menos. Su proveedor le puede suministrar cada semana 270 kilos de cobre y 100 de aluminio. Calcular la cantidad de kilos de A y B que den la máxima ganancia.


Restricciones o limitaciones 0,90 X1 + 0,5X2  270 Cobre 0,10 X1 + 0,5X2  100 Alumínio X1 +  150 Demanda de A X2  100 Demanda de B

Z(MIN) = 2165 X1 = 212.50 kilos de metal A X2 = 157.50 kilos de metal B Surplus 1 = S1 = 0 se utilizo toda el mineral M Surplus 2 = S2 = 0 se utilizó todo el mineral N Surplus 3 = S3 = 62.50 Demanda no cubierta del metal A Surplus 4 = S4 = 57.50 Demanda no cubierta del metal B

PROBLEMA Nº 4.Un fabricante produce tres modelos I, II y III de cierto producto utilizando materias primas A y B. La siguiente tabla proporciona los datos para el problema.

Materia prima A B

Requerimientos por unidad I II III 2 3 5 4 2 7

Disponibilidad 4.000 6.000

207

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Demanda mínima Unidad por unidad ($)

200 30

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. 200 20

150 50

El tiempo de mano de obra por unidad del modelo I es el doble del II y el triple del III. Todos los trabajadores de la fábrica pueden producir el equivalente de 1.500 unidades del modelo I. Los requerimientos del mercado especifican las proporciones de 3:2:5 para la producción de los tres modelos respectivos. Formule el problema como un programa lineal y encuentre la solución óptima.

Función objetivo  N º de unidades producidas Z ( MAX )  30 X 1  20 X 2  50 X 3 X J

Restricciones y limitaciones Variables de holgura y artificiales 2 X 1  3 X 2

 5 X 3  4.000 4 X 1  2 X  7 X 3  6.000 6 X 1  3 X 2

 2 X 3  9.000 2 X 1  3 X 2  0 5 X 2  2 X 3  0 X 1  200 X 2  200 X 3  150 X J  0

Solución 208



Z ( MAX )  41.081.08,

 324.3243 Modelo I X 2  216.2162 Modelo II X 3  540.5405 Modelo III S 1  0  Slack 1 Se utilizó toda la materia prima A S 2  1.135.1352  Slack 2 Saldo de la materia prima B S 3  5.324.3243  Slack 3 Saldo de mano de obra S 6  124.3243  Surplus 6 Valor utilizado del límite establecid o S 7  16.1622  Surplus 7 Valor utilizado del límite establecid o S 8  390.5405  Surplus 8 Valor utilizado del límite establecid o X 1

PROBLEMA 5.(USO Y URBANIZACIÓN DEL SUELO). El Banco del Pichincha es propietaria de 800 acres de terreno no urbanizado a orillas de un lago panorámico en el corazón de una montaña. En el pasado, se aplicaban muy pocas regulaciones, o ninguna, a las nuevas urbanizaciones alrededor del lago. En la actualidad, las playas del lago están salpicadas de casas para vacacionistas. Debido a la carencia de servicios de aguas negras, se utilizan extensamente las fosas sépticas, que se instalan en forma por demás inapropiada. A lo largo de los años, las filtraciones de las fosas sépticas han dado por resultado un grave problema de contaminación del agua. Para frenar una mayor degradación en la calidad del agua, los funcionarios del condado aprobaron reglamentos muy estrictos, aplicables a todas las futuras urbanizaciones.

5. 6. 7. 8.

Sólo se pueden construir viviendas familiares individuales, dobles y triples y las viviendas de una sola familia deben sumar por lo menos 50% del total. Para limitar el número de fosas sépticas, se requieren lotes de una superficie mínima de 2, 3 y 4 acres para las viviendas familiares individuales, dobles y triples, respectivamente. Se deben establecer áreas recreativas de un acre cada una, en una proporción de un área por cada 200 familias. Para preservar la ecología del lago, las aguas freáticas no pueden bombearse para uso doméstico o de jardinería.

El presidente del Banco del Pichincha está estudiando la posibilidad de urbanizar los 800 acres de la compañía. La nueva urbanización incluirá viviendas familiares individuales, dobles y triples. Se calcula que 15% de la superficie se consumirá en abrir calles y en instalaciones para servicios públicos. Birdeyes calcula las utilidades de las diferentes unidades habitacionales como

Unidad habitacional Utilidad neta por unidad ($)

Individual 10.000

Doble 12.000

Triple 15.000

El costo de conectar el servicio de agua al área es proporcional al número de unidades construidas. Sin embargo, el contrato estipula que se debe cobrar un mínimo de 100 000 dólares para que el proyecto sea económicamente factible. Además, la expansión del sistema de agua, más allá de su capacidad actual, está limitada a 200 000 galones al día durante los periodos pico. Los siguientes datos resumen el costo de la conexión del servicio de agua, así como el consumo de agua, suponiendo una familia promedio:

209

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Unidad habitacional


Individual

Doble

Triple

Área recreativa

1000

1200

1400

800

400

600

840

450

Costo del servicio de agua por unidad ($) Consumo de agua Por unidad (galones/día)

Modelo matemático La compañía debe decidir el número de viviendas que va a construir junto con el número de áreas recreativas que satisfaga los reglamentos del condado. Defina X 1 = número de unidades para una sola familia

X 2 = número de unidades para dos familias X 3 = número de unidades para tres familias X 4 = número de áreas recreativas

El objetivo de la compañía es maximizar la utilidad total, es decir Maximice z = 10.000 X 1  12.000 X 2  15.000 X 3 Las restricciones de problema incluyen 1. 2. 3. 4. 5.

Límite en el uso de suelo Límite en los requerimientos para viviendas de una sola familia, en relación con otros estilos Límite en los requerimientos concernientes a áreas recreativas Requerimiento de capital para conexión de agua potable Límite sobre el consumo diario de agua durante el periodo pico.

Estas restricciones se expresan matemáticamente como sigue: 6. Uso de suelo

2 X 1  3 X 2  4 X 3  1 x4

 680( 0.85x800)

7. Viviendas para una sola familia

X 1 X 1  X 2

 X 3

0.5 X 1  0.5 X 2

 .50  0.5 X 3  0

8. Áreas recreativas

X 4



X 1  2 X 2

 3 X 3

200 200 X 4  X 1  2 X 2

 3 X 3  0

9. Capital

1000 X 1  1200 X 2  1400 X 3  800X 4

 100.000

10. Consum o del agua

210



400 X 1  600 X 2  840 X 3  450 X 4  200.000 6. No negatividad X 1  0. X 2  0, X 3  0, X 4  0 En la formulación del modelo, una buena práctica es prestarle atención al impacto del redondeo de errores en el cálculo. En el modelo anterior, los coeficientes en las restricciones 4 y 5 (capital y consumo de agua) son relativamente más grandes que la mayor parte de los coeficientes en las restricciones restantes. Esta inconsistencia podría conducir a un indeseable redondeo de errores de la máquina, resultante de la manipulación mixta de coeficientes relativamente grandes y relativamente pequeños. En este ejemplo, podemos rectificar este problema potencial reduciendo en escala todos los coeficientes de las restricciones 4 y 5 por la constante 1 000. Esto reduce las restricciones a

X 1  1.2 X 2

 1.4 X 3  8 X 4  100 0.4 X 1  0.6 X 2  0.84 X 3  0.45 X 4  200

RESÚMEN DE RESTRICCIONES Z ( MAX ) 2 X 1  0.5 X 1  X 1  10 X 1  40 X 1 

 10.000 X 12.000 X 2  15.000 X 3  0 X 4 3 X 2  4 X 3  X 4  680 0.5 X 2  0.5 X 3  0 2 X 2  3 X 3  200 X 4  0 12 X 2  14 X 3  8 X 4  1.000 ( dividido por 100 ) 60 X 2  84 X 3  45 X 4  20.000 ( dividido por 10)

Solución Z(MAX) = 3.391.521.1824 X 1 = 339.1521 Número de unidades para una sola familia

X 2 =

0

Número de unidades para dos familias

211

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I X 3 =

0


Número de unidades para tres familias

X 4 = 1.6950

Número de áreas recreativas

S 1 =

Se utilizó todo lo disponible para suelo

0

S 2 = 169.5761

Valor que sobre pasa el límite de viviendas para una sola familia

S 3 =

Se estableció con todo el límite de áreas recreativas

0

S 4 = 2.405.0873 Valor utilizado adicional del límite señalado para capital

S 5 = 6.357.6062 Saldo del consumo del agua

PROBLEMA Nº 6.Problema de mezcla Se obtiene distintos tipos de gasolina mezclando ciertas gasolinas que se obtienen directamente de las operaciones de refinería. En un proceso de refinamiento real hay varias gasolinas para mezcla, varias gasolinas que son productos finales (por ejemplo, distintos grados de gasolina para aviación y para motores) y varias características de importancia para la composición química de los diversos grados de gasolina (por ejemplo, octanaje, presión de vapor, contenido de azufre, contenido de goma). En este ejemplo simplificado se supondrá que la refinería sólo tiene dos tipos de gasolina para mezcla, con las características que se presentan en la tabla 1.

Tabla 1 Características de las gasolinas para mezcla Mezclas disponibles Gasolina para mezcla, tipo1 Gasolina para mezcla, tipo2

Octanaje 104 94

Presión de vapor 5 9

Cantidad disponible 30.000 barriles 70.000 barriles

Estas gasolinas para mezcla pueden combinarse para obtener dos productos finales: gasolina para aviación y gasolina para motores. En la tabla 2 se presentan las características que requieren estos productos finales.

Tabla 2 Características de las gasolinas finales. Productos finales Gasolina para aviación Gasolina para motores

Octanaje Presión de mínimo vapor máxima 102 6 96 8

Ventas máximas 20000 barriles Cualquier cantidad

Precio de Venta (por barril) 45,1 32,4

Al mezclar las gasolinas, el octanaje y la presión de vapor de la mezcla que se obtiene están en proporción directa con el volumen de cada una de las gasolinas que se mezclan. Por ejemplo, si se mezclan 1.000 barriles de la gasolina 1 con 1.000 barriles de la gasolina 2, la gasolina que se obtendría tendría octanaje 99: (1.000)(104)

 (1.000)(94)

2.000

 99

y presión de vapor de 7: (1.000)(5)  (1.000)(9) 2.000

 7

La empresa desea maximizar los ingresos de la venta de la gasolina que se obtiene como producto final.

212



Formulación. Sea: X1

=

X2

=

X3

=

X4

=

Número de barriles de gasolina para la mezcla 1 utilizados en gasolina para aviación. Número de barriles de gasolina para la mezcla 2 utilizados en gasolina para aviación. Número de barriles de gasolina para la mezcla 1 utilizados en gasolina para motores. Número de barriles de gasolina para la mezcla 2 utilizados en gasolina para motores.

La función objetivo es maximizar P = Ingresos totales: Maximizar: P = 45.10(X1 + X2) + 32.40 (X3 + X4) = 45.10X1 + 45.10X2 +32.40 X3 + 32.40 X4 Observe que X1 + X2 es la cantidad total de gasolina para aviación mezclada (en barriles); como se vende a 45.10 dólares por barril, los ingresos por este producto son 45.10 (X 1 + X2). De manera análoga, los ingresos por la gasolina para motor son de 32.40(X 3 + X4) y la suma de estos términos representa los ingresos totales, P. Hay varios tipos de restricciones que afectan la forma en que la refinería mezclará su gasolina. La primera es el nivel de ventas o tamaño de la demanda, el hecho de que no pueden venderse más de 20. 000 barriles de gasolina para aviación (véase Tabla 2). Lo anterior puede expresarse así: X1 + X2 < 20 000 Otro conjunto de restricciones se refiere a las cantidades disponibles de las gasolinas para mezcla (véase Tabla). Entonces. X1 + X3 < 30 000 Observe que X1 + X3 representa la cantidad total de gasolina para mezcla 1 (la suma de la cantidad utilizada en gasolina para aviación, X 1, y la cantidad usada en gasolina para motores, X3). La ecuación anterior establece que la cantidad de gasolina para mezcla 1 no debe exceder la cantidad disponible, 30.000 barriles. Hay una restricción similar para la gasolina para mezcla 2: X2 + X4 < 70 000 Otro conjunto de restricciones tiene que ver con el octanaje de las gasolinas finales. Recuerde que la cantidad total de la gasolina para aviación es X 1 + X2 y su octanaje estará definido por las cantidades relativas de X1 + X2, de acuerdo con la siguiente fórmula: Oc tan aje de la gasolina

para aviación



 94 X 2 X 1  X 2

104 X 1

Las cifras 104 y 94 provienen de la tabla 1 y son los octanajes de las gasolinas para mezcla 1 y 2, respectivamente. En la tabla se observa que el octanaje de la gasolina para aviación debe ser por lo menos 102, por lo cual se tiene la siguiente restricción:

 94 X 2  102 X 1  X 2

104 X 1

Al acomodar la expresión para convertirla en restricción lineal, se tiene: 104X1 + 94X2 > 102X1 + 102X2 (104X1 - 102X1) + (94X2 - 102X2) > 0 2X1 - 8X2 > 0

213



Análogamente, para la gasolina para motores, se tiene: 104X3 + 94X4 > 96 (X3 + X4) 8X3 - 2X4 > 0 El último conjunto de restricciones tiene que ver con los requisitos de presión de vapor de las gasolinas finales. En el caso de la gasolina para aviación, la restricción es: 5X1 + 9X2 < 6 (X1 + X2) - X1 + 3X2 < 0 y el requisito de presión de vapor de la gasolina para motores es: 5X3 + 9X4 < 8(X3 + X4) - 3X3 + X4 < 0 Maximizar: P = 45.10X1 + 45.10X2 + 32.40X3 + 32.40X4 Sujeto a:

X1 + X2 < 20 000 Restricción de la demanda X1 + X3 < 30 000 Restricción de la disponibilidad X2 + X4 < 70 000 Gasolina para mezclas 2X1 – 8X2 > 0 Restricciones de octanaje 8X3 – 2X4 > 0 -X1 + 3X2 < 0 Restricciones de presión de vapor -3X3 + X4 < 0

Solución Z/MAX) = 45.10x7272.73 + 45.10x1818.18 + 32.40x22727.27 + 32.40x68181.82 Z(MAX) = $3.355.454.662 (El valor del programa es diferente porque no toma en cuenta los decimales de la función objetivo) X1 = 7.272.7271 Número de barriles de gasolina para la mezcla 1 utilizados en gasolina para aviación. X2 = 1.818.1818 Número de barriles de gasolina para la mezcla 2 utilizados en gasolina para aviación.

214



X3 = 22.727.2729 Número de barriles de gasolina para la mezcla 1 utilizados en gasolina para motores. X4 = 68.181.8192 Número de barriles de gasolina para la mezcla 2 utilizados en gasolina para motores. S 1  10.909.09 Demanda no satisfecha S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7

0 Se agotó la disponibil idad de gasolina para mezcla  0 Se agotó la disponibil idad de gasolina para mezcla  0 Re stricción de oc tan aje   45.454.55 Re stricción de oc tan aje  1818.18 Re stricción de presión de vapor  0 Re stricción de presión de vapor

PROBLEMA Nº 7.Shale Oilm ubicada en la isla de Aruba, tiene una capacidad de 600.000 barriles de petróleo crudo al día. Los productos finales de la refinería incluyen dos tipos de gasolina sin plomo: regular y premium. El proceso de refinado abarca tres etapas: (1) una torre de destilado que produce una base concentrada, (2) una unidad de alambiques desintegradores, que produce un concentrado de gasolina utilizando una porción de la base concentrada producida en la torre de destilado y (3) una unidad mezcladora que mezcla el concentrado de gasolina de la unidad desintegradora y la base concentrada en la torre de destilado. Tanto la gasolina regular como la premium se pueden producir ya sea con la base concentrada o con el concentrado de gasolina durante el proceso de mezclado, aún cuando a costos diferentes. La compañía calcula que la utilidad neta por barril de gasolina regular es de 770 y 520 dólares, dependiendo de si se mezcla de la base concentrada o de la gasolina concentrada. Los valores correspondientes de la utilidad para el grado premiun son 123 y 104 dólares. Según las especificaciones del diseño, se necesitan cinco barriles de petróleo crudo para producir un barril de base concentrada. Las unidades de alambiques desintegradores no pueden utilizar más de 40.000 barriles de base concentrada al día. Toda la base concentrada restante se utiliza directamente en la unidad mezcladora para producir el producto final, la gasolina. Los límites de la demanda para la gasolina regular y premium son de 80.000 y 50.000 barriles al día.

a) b)

Desarrolle un modelo para determinar el programa de producción óptimo para la refinería. Supongamos que la capacidad de la torre de destilado se puede incrementar a 650.000 barriles de petróleo crudo al día, a un costo inicial de 3’500.000 dólares y a un costo diario de mantenimiento de 15.000 dólares. ¿Recomendaría usted la expansión? Exponga cualesquiera hipótesis sean necesarias para llegar a una decisión.

 X 2  X 3  X 4 

a ) X 1

Barriles de crudo regular Barriles de crudo premium Barriles de destilado regular Barriles de destilado premium

 77 X 1  123 X 2  52 X 3  104 X 4 5( X 1  X 2  X 3  X 4 )  600.000 Barriles de petróleo crudo al día / 5 X 3  X 4  40.000 Barriles de base concentrad a X 1  X 3  80.000 Demanda de gasolina regular X 2  X 4  50.000 Demanda de gasolina premium

Z ( MAX )

215



Z(MAX) = 11.540.000

 70.000 Barriles de crudo regular X 2  50.000 Barriles de crudo premium X 3  Barriles de destilado regular 0 0 X 4  Barriles de destilado premium 0 S 1  Se utilizó todos los barriles de petróleo crudo S 2  40.000 Saldo de barriles de base concentrad a S 3  10.000 Demanda insatisfecha de gasolina regular S 4  Se cubrió toda la demanda de gasolina premium 0 X 1

b)

Si se incrementa la capacidad de barriles de petróleo crudo a 650.000 al día, la nueva solución es.

 77 x1  123 x 2  52 x3  104 x4 5( x1  x 2  x3  x 4 )  650.000 Barriles de petróleo crudo al día / 5 x3  x 4  40.000 Barriles de base concentrad a x1  x3  80.000 Demanda de gasolina regular x 2  x4  50.000 Demanda de gasolina premium

Z ( MAX )

216



Solución. Z(MAX) = 12.310.000.00

 80.000 Barriles de crudo regular X 2  50.000 Barriles de crudo premium X 3  Barriles de destilado regular 0 0 X 4  Barriles de destilado premium S 1  Se utilizó todos los barriles de petróleo crudo 0 S 2  40.000 Saldo de barriles de base concentrad a S 3  Demanda insatisfecha de gasolina regular 0 S 4  Se cubrió toda la demanda de gasolina premium 0 X 1

Precio dual = 12.310.000 – 11.540.000 = 770.000, aumenta la utilidad, de manera que se recomienda la expansión.

PROBLEMA Nº 8.Hawai Sugar Company produce azúcar morena, azúcar procesada (blanca), azúcar pulverizada y melazas con el jarabe de la caña de azúcar. La compañía compra 4.000 toneladas de jarabe a la semana y tiene un contrato para entregar un mínimo de 25 toneladas semanales de cada tipo de azúcar. El proceso de producción se inicia fabricando azúcar morena y melazas con el jarabe. Una tonelada de jarabe produce 0.3 toneladas de azúcar morena y 0.1 tonelada de azúcar de melazas. Después, el azúcar blanco se elabora procesando el azúcar morena. Se requiere 1 tonelada de azúcar morena para producir 0.8 toneladas de azúcar blanca. Finalmente, el azúcar pulverizada se fabrica de la azúcar blanca por medio de un proceso de molido especial, que tiene 95% de eficiencia de conversión (1 tonelada de azúcar blanca produce 0.95 de toneladas de azúcar pulverizada). Las utilidades por tonelada de azúcar morena, azúcar blanca, azúcar pulverizada y melazas son de 150, 200, 230 y 35 dólares, respectivamente. Formule el problema como un programa lineal y determinar el programa de producción semanal.

 Toneladas de azucar morena por semana X 2  Toneladas de azucar refinada por semana X 3  Toneladas de azucar en polvo por semana X 4  Toneladas de melaza por semana X 1

217


Z ( MAX )


 150 X 1  200 X 2  230 X 3  35 X 4

Sujeta a : X    X 2  3  0.95   0.3 x 4000 o 0.76 X  0.95 X  X  912 X 1   1 2 3   0.8     X 4  4.000 x0.1 o X 4  400 X 1  25, X 2  25, X 3  25

Z ( MAX )

 150 X 1  200 X 2  230 X 3  35 X 4

Sujeta a :

0.76 X 1  0.95 X 2  X 3 X 1

 912 Toneladas de jarabe  25 Contrato de azúczr morena  25 Contrato de azúczr blanca X 2  25 Contrato de azúcar pulverizad a X 3 X 4  400 Contrato de melaza

Solución: Z(MAX) = 222.677.50 X 1  Azúcar morena 25 X 2  Azucar blanca 25 X 3  869.25 Azúcar pulverizad a X 4  400 Melasa 0 S 1  Se utilizó todo el jarabe 0 S 2  Se atendió todo el contrato de azúcar morena 0 S 3  Se atendió todo el contrato de azúcar blanca S 4  844.50 Valor adicional del contrato de azúcar pulverizad a 0 S 5  Se cubrió todo lo de melaza 218



PROBLEMA Nº 9.Fox Enterprises está considerando seis proyectos para su posible construcción, a lo largo de los próximos cuatro años. A continuación se proporcionan las utilidades esperadas (valor actual) y los desembolsos de efectivo para los proyectos. Fox está autorizada para emprender cualquiera de los proyectos parcial o totalmente. Un compromiso parcial de un proyecto prorrateará tanto la utilidad como los desembolsos de efectivo en forma proporcional.

Desembolso de efectivo (en miles de dólares) Proyecto Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Utilidad (en miles de dólares) 1 10.5 14.4 2.2 2.4 32 2 8.3 12.6 9.5 3.1 36 3 10.2 14.2 5.6 4.2 18 4 7.2 10.5 7.5 5.0 15 5 12.3 10.1 8.3 6.3 18 6 9.2 7.8 6.9 5.1 12 Fondos disponibles 60.0 70.0 35.0 20.0 (en miles de dólares) Formule el problema como un problema lineal y determine la mezcla óptima de proyectos que maximice las utilidades totales.

 proporción ejecutada del proyecto i. Z ( MAX )  32. X 1  36 X 2 18 X 3 15 X 4  18 X 5 12 X 6 Sea x J

Sujeta a :

10.5 X 1  8.3 X 2  10.2 X 3  7.2 X 4  12.3 X 5  9.2 X 6

 60 14.4 X 1  12.6 X 2  14.2 X 3  10.5 X 4  10.1 X 5  7.8 X 6  70 2.2 X 1  9.5 X 2  5.6 X 3  7.5 X 4  8.3 X 5  6.9 X 6  35 2.4 X 1  3.1 X 2  4.2 X 3  5 X 4  6.3 X 5  5.1 X 6  20 0  X J  1, j  1, 2, 3......6

Solución Z(MAX) = 181.22

 2.05 Pr oyecto A X 2  3.21 Pr oyecto B X 3  0 Pr oyecto C X 4  0 Pr oyecto D X 5  0 Pr oyecto E X 6  0 Pr oyecto F S 1  11.81 Fondos disponible s año 1 S 2  0 Fondos disponible s año 2 S 3  0 Fondos disponible s año 3 S 4  5.12 Fondos disponible s año 4 X 1

219



PROBLEMA Nº 10.Cuatro productos se procesan en secuencia en dos máquinas. La siguiente tabla proporciona los datos pertinentes al problema.

Tiempo de fabricación por unidad (hora) Máquina Costo por Producto1 Producto2 Producto 3 Producto 4 hora ($) 1 10 2 3 4 2 2 5 3 2 1 2 Precio de Venta Por unidad ($) 65 70 55 45

Capacidad (hora) 500 380

a) Formular el problema como un modelo de PL y encuentre la solución óptima

 Pr oducto 1  65  2 x10  3 x5  $30 X 2  Pr oducto 2  70  3 x10  2 x5  $30 X 3  Pr oducto 3  55  4 x10  1 x5  $10 X 4  Pr oducto 4  45  2 x10  2 x5  $15 Z / MAX )  30 X 1  30 X 2 10 X 3 15 X 4 X 1

Sujeta :

2 X 1  3 X 2  4 X 3  2 X 4  500 Capacidad máquina 1 3 X 1  2 X 2  X 3  2 X 4  380 Capacidad máquina 2 X j

0

220



Solución: Z(MAX) = 5.280  28 Pr oyecto 1 X 2  148 Pr oyecto 2 X 3  0 Pr oyecto 3 X 4  0 Pr oyecto 4 S 1  0 Se utilizó toda la capacidad de la máquina 1 S 2  0 Se utilizó toda la capacidad de la máquina 2 X 1

b) Supongamos que cualquier capacidad adicional de las máquinas 1 y 2 sólo se puede adquirir trabajando horas extras. ¿Cuál es el costo máximo por hora en el cual la compañía debe estar dispuesta a incurrir para cualquiera de las máquinas? Reemplazamos los términos independientes por 501 y 381 respectivamente

221



Precio dual = 5292 – 5280 = $12, es decir $6 por cada máquina, no pagar más de dicho valor en el intervalo (333.33, 750)

PROBLEMA 11.- POLÍTICA DE PRÉSTAMOS BANCARIOS. El Thriftem Bank, una institución de servicio completo, está en proceso de formular una política de préstamos que incluye un máximo de 12 millones de dólares. La siguiente tabla proporciona los datos pertinentes acerca de los diferentes tipos de préstamos que ofrece el banco:

Tipo de préstamo

Tasa de interés

Probabilidad de un mal crédito

Personal Automóvil Vivienda Agrícola Comercial

.140 .130 .120 .125 .100

.10 .07 .03 .05 .02

Los malos créditos son irrecuperables y, por tanto, no producen ningún ingreso por intereses. La competencia con otras instituciones financieras en el área requiere que el banco asigne por lo menos 40% de los fondos a préstamos agrícolas y comerciales. Para ayudar a la industria de la vivienda en la región, los préstamos para viviendas deben ser equivalentes por lo menos a 50% de los préstamos personales, para automóvil y para viviendas. El banco también ha declarado una política de que la razón total de los malos créditos en todos los préstamos no puede exceder de 0.04.

Modelo matemático Las variables del modelo se pueden definir como sigue: x1 = préstamos personales (en millones de dólares) x 2 = préstamos para automóvil

x3 = préstamos para vivienda x 4 = préstamos agrícolas

222



x5 = préstamos comerciales El objetivo de Thriftem Bank es maximizar su utilidad neta, que se compone de la diferencia entre el ingreso de los intereses y los fondos perdidos por los malos créditos. Debido a que estos últimos no son recuperables, ni el capital ni los intereses, la función objetivo se da como

Maximice z = .14(0.9x 1) + .13(0.93x2) + .12(0.97x3) + .125(0.95x4) + 0.1 (0.98x5) - 0.1x1 - 0.07x2 - 0.03x3 - 0.05x4 - 0.02x5 Esta función se simplifica a

Maximice z = 0.026x1 + 0.0509x2 + 0.0864x3 + 0.06875x4 + 0.078x5 El problema tiene cinco restricciones:

1. Fondos totales x1  x2  x3  x4

 x5  12

2. Préstamos comerciales y agrícolas

 x5  0.4 x12 o x4  x5  4.8 x4

3. Préstamos para vivienda

 .5( x1  x2  x3 ) o 5 x1  5 x 2  4 x3  0

x3

4. Límite en los malos créditos

 0.07 x 2  0.03 x3  0.05 x 4  0.02 x5  0.04 x1  x 2  x3  x4  x5 0.06 x1  0.03 x2  0.01 x3  0.01 x4  0.02 x5  0 0.1 x1

5. No negatividad x1

 0, x2  0, x3  0, x4  0, x5  0

Una suposición sutil en la formulación anterior es que todos los préstamos se hacen aproximadamente al mismo tiempo. Esta suposición nos permite no tener en cuenta las diferencias en los valores de tiempo de los fondos asignados a los diferentes préstamos. Resumiendo las restricciones tenemos: Z ( MAX )

 0.026 X 1  0.051 X 2  0.086 X 3  0.069 X 4  0.078 X 5

Sujeta a : X 1 

X 2 

X 3 

X 4 

 X 4  X 5   5 X 1  5 X 2  4 X 3 0.06 X 1  0.03 X 2  0.01 X 3  0.01 X 4  0.02 X 5  X 5

12 Disponibil idad de fondos (en millones ) 4.8 Pr éstamos comerciale s y agrícolas 0 Pr éstamos para vivienda 0 Límite en los malos créditos

223



Solución: Z(MAX) = 0.9936 (en millones) X 1 =

0

X 2 = 0

Préstamos personales (en millones de dólares) Préstamos para automóvil

X 3 = 7.20 Prestamos para vivienda

X 4 = 0

Prestamos agrícolas

X 5 = 4.80 Prestamos comerciales

 0 Se utilizó todo lo disponible para fondos S 2  0 Se atendió todos los contratos comerciale s y agrícolas S 3  3.6 Valor que falta completar los préstamos para vivienda S 4  0.168 Límite de errores de los créditos S 1

PROBLEMA Nº 12.- Reducción de emisiones de polvo Una planta de cemento produce 2.500,000 barriles de cemento por año. Los hornos emiten 2 libras de polvo por cada barril producido. Una agencia gubernamental para protección del ambiente requiere que la planta reduzca sus emisiones de polvo a no más de 800.000 libras anuales. Existen dos dispositivos de control de emisiones disponibles, Ay B. El dispositivo A reduce las emisiones a1/2 libra por barril y su costo es de $0.20 por barril y su costo es de $0.20 por barril de cemento producido. Para el dispositivo de B, las emisiones son reducidas a 1/5 libra por barril y el costo es de $0.25 por barril de cemento producido. Determine el plan de acción mas económico que la planta debe tomar de modo que cumpla el requerimiento de la agencia y también mantenga su producción anual de 2.500.000 barriles de cemento.5

224

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Z ( NIN )

1


1

 X 1  X 2  0 X 3

5 4 X 1 , X 2 y X 3  Número anual de barriles de cemento producidos en los hornos Sujeta a : X 1  X 2  X 3

 2.500.000 Barriles de cemento producidos cada año

1

1 X 1  X 2  2 X 3  800.000 Libras de polvo 2 5 E lim inando deno min adores X 1  X 2  X 3

 2.500.000 Barriles de cemento producidos cada año 5 X 1  2 X 2  20 X 3  8.000.000 Libras de polvo

Solución: Z(MIN) = $575.000

 1.000.000 X 2  1.500.000 X 3  0 0 S 1  Se utilizaron todos los barriles de cemento 0 S 2  Se utilizó todas las libras de polvo X 1

PROBLEMA Nº 13 Investigación de marketing Management Sciences Associates (MSA) es una firma de investigación de computadoras y marketing establecida en Washington que maneja este consumo. Uno de sus clientes es un servicio de prensa nacional que periódicamente realiza sondeos políticos o sobre temas de interés general una encuesta para esta firma, MSA determina que debe satisfacer varios requerimientos para obtener conclusiones estadísticamente validas sobre el delicado tema en nuevas leyes y sobre migración de Estados Unidos. 1. Encuesta a por lo menos 2300 hogares estadounidenses en total 2. Encuesta a por lo menos 2000 hogares cuyas cabezas tengan 30 anos o menos 3. Encuesta a por lo menos 600 hogares cuyas cabezas están entre31 y 50 anos. 4. Garantizar que, por lo menos, 15% de los encuestados vivan en un estado fronterizo con México 5. Garantizar que no más de20% de los encuestados de 51 anos de edad o mas vivan en un estado fronterizo con México. MSA decide que todas las encuestas deberán llevarse a cado en persona. Se estima que los costos para llegar a las personas de cada categoría de edad y región son los siguientes:

225


REGIÓN Estado fronterizo con México Estado no fronterizo con México

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. COSTO POR PERSONA ENCUESTADADO ($) Edad ≤ 30 EDAD31-50 EDAD ≥ 51 $7.5 $6.8 $5.5 $6.9 $7.25 $6.1

El objetivo de MSA es satisfacer los cinco requerimientos de muestreo al mínimo costo posible. Sean X1 = número de encuestados de 30 años o menos que viven en un estado fronterizo X2 = número de encuestados de 31 a 50 años que viven en un estado fronterizo X3 = número de encuestados de 51 años o mas que viven en un estado fronterizo X4 = número de encuestados de 30 años o menos que no viven en un estado fronterizo X5 = número de encuestados de 31 a 50 años que no viven en un estado fronterizo. X6 = número de encuestados de 51 años o más que no viven en un estado fronterizo.

Función objetivo: Minimizar los costos de las entrevistas= $7.5X1+$6.8X2+$5.5X3+$6.9X4+$7.25X5+$6.1X6 Sujeto a: X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ≥ 2300 (hogares totales) X1 + X4 ≥1000 (hogares cuyos miembros tengan 30 o menos) X2 + X5 ≥ 600 (hogares cuyos miembros tengan 31-50 de edad) X1 + X2 + X3 ≥ 0.15(X1+X2+X3+X4+X5+X6) (estados fronterizos) X3 ≤ 0.20(X3+X6) (limite en el grupo de edad de 51+ que viven en un estado fronterizo) X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0

226



X1 = 0 número de encuestados de 30 años o menos que viven en un estado fronterizo X2 = 600 número de encuestados de 31 a 50 años que viven en un estado fronterizo X3 = 140 número de encuestados de 51 años o mas que viven en un estado fronterizo X4 = 1000 número de encuestados de 30 años o menos que no viven en un estado fronterizo X5 = 0 número de encuestados de 31 a 50 años que no viven en un estado fronterizo. X6 = 560 número de encuestados de 51 años o más que no viven en un estado fronterizo. S1 = 0 (hogares totales) S2 = 0 (hogares cuyos miembros tengan 30 o menos) S3 = 0 (hogares cuyos miembros tengan 31-50 de edad) S4 = 395 (estados fronterizos) S5 = 0 (limite en el grupo de edad de 51+ que viven en un estado fronterizo) Z(MAX) = 15.16

227



PROBLEMA Nº 14.Planeación del trabajo Los problemas de planeación de mano de obra abordan las necesidades de personal durante un periodo específico. Son especialmente útiles cuando los administradores tienen una cierta flexibilidad al asignar trabajadores a tareas que requieren superposición o talentos intercambiables. Con frecuencia, los grandes bancos utilizan PL para resolver la programación de su fuerza de trabajo. El Hong Kong Bank of Commerce and Industry es un banco muy ocupado que requiere entre 10 y 18 cajeras, según la hora del día. El horario de tiempo o de almuerzo, de mediodía a 2 P.M., casi siempre es el más pesado. La tabla indica los empleados requeridos en las varias horas en que el banco está abierto.

PERIODO 9 A.M -10A.M 10A.M -11A.M 11A.M - Mediodía Mediodía -1P.M 1P.M - 2P.M 2P.M - 3P.M 3P.M - 4P.M 4P.M - 5P.M

NUMERO DE CAJERAS 10 12 14 16 18 17 15 10

En la actualidad el banco cuesta con 12 cajeras de tiempo completo, pero muchas personas están disponibles en su lista de empleados de tiempo parcial. Un empleado de tiempo parcial debe trabajar exactamente 4 horas al día, pero puede comenzar a cualquier hora entre 9 A.M.. y 1 P.M. Estos empleados forman un equipo de fuerza de trabajo bastante barato, puesto que no gozan de beneficios de retiro ni almuerzo. Por otra parte, los empleados de tiempo completo laboran de 9 A.M. a 5 P.M. pero se les permiten 1 hora de comida. (La mitad de ellos como a las 11 A.M. y la otra mitad al mediodía) Por lo tanto, los empleados de tiempo completo generan 35 horas por semanas de tiempo de trabajo productivo. Por política corporativa, el banco limita las horas de jordanas parciales a un máximo de 50% del requerimiento total del día. Los empleados de tiempo parcial cobran $8 por hora ($32 por día) en promedio y los de tiempo completo $100 por día en salario y beneficios, en promedio. Al banco le gustaría establecer un programa que minimice sus costos totales de personal, y despedirá a una o más de sus cajeras de tiempo completo si es rentable hacerlo. X1 X2 X3 X4 X5 X6

= cajeras de tiempo completo = empleados de tiempo parcial que entran a las 9 A.M. (y salen a las 1 P.M.) = empleados de tiempo parcial que entran a las 10 A.M. (y salen a las 2 P.M.) = empleados de tiempo parcial que entran a las 11 A.M. (y salen a las 3 P.M.) = empleados de tiempo parcial que entran al mediodía (y salen a las 4 P.M.) = empleados de tiempo parcial que entran a la 1 P.M. (y salen a las 5 P.M.)

Función objetivo: Minimizar el costo del personal diario total = $100X 1 + $32(X2 + X3 + X4 + X5 + X6)

Restricciones: En cada hora, las horas de mano disponible deben ser por lo menos iguales a las horas de mano de obra requeridas. X1 + X2 X1 + X2 + X3

 10 (necesidades de 9 A.M.-10 A.M.)  12 (necesidades de 10 A.M.-11A.M.) 228



½ X1 + X2 + X3 + X4  14 (necesidades de 11 A.M.- mediodía) ½ X1 + X2 + X3 + X4 + X5  16 (necesidades de mediodía -1 P.M.) X1 + X3 + X4 + X5 + X6  18 (necesidades de 1 P.M.- 2 P.M.) X1 + X4 + X5 + X5  17 (necesidades de 2 P.M.- 3 P.M.) X1 + X5 + X6  15 (necesidades de 3 P.M.- 4 P.M.) X1 + X6  10 (necesidades 4 P.M - 5 P.M.) X1  12 Solo 12 cajeras de tiempo completo están disponible XJ  0 Las horas de empleados de tiempo parcial no pueden exceder de 50% del total de horas requeridas cada día, las cuales son la suma de las cajeras necesarias cada hora. 4(X2 + X3 + X4 + X5 + X6)  0.50 (10+12+14+16+18+17+15+10) o 4X2 + 4X3 + 4X4 + 4X5 + 4X6  0.50 (112)

229



X1 = 10 cajeras de tiempo completo X2 = 6 empleados de tiempo parcial que entran a las 9 A.M. (y salen a la 1 P.M.) X3 = 1 empleados de tiempo parcial que entran a las 10 A.M. (y salen a las 2 P.M.) X4 = 2 empleados de tiempo parcial que entran a las 11 A.M. (y salen a las 3 P.M.) X5 = 2 empleados de tiempo parcial que entran al mediodía (y salen a las 4 P.M.) X6 = 3 empleados de tiempo parcial que entran a la 1 P.M. (y salen a las 5 P.M.) S1 = 6 (necesidades de 9 A.M.-10 A.M.) S2 = 5 (necesidades de 10 A.M.-11A.M.) S3 = 0 (necesidades de 11 A.M.- mediodía) S4 = 0 (necesidades de mediodía -1 P.M.) S5 = 0 (necesidades de 1 P.M.- 2 P.M.) S6 = 0 (necesidades de 2 P.M.- 3 P.M.) S7 = 0 (necesidades de 3 P.M.- 4 P.M.) X8 = 3 (necesidades 4 P.M - 5 P.M.) S9 = 2 Solo 12 cajeras de tiempo completo están disponible S10= 0 Las horas de empleados de tiempo parcial no pueden exceder de 50% del total de horas requeridas cada día, las cuales son la suma de las cajeras necesarias cada hora. Z(MAX) = 1.448 Costo de cualquiera de las políticas

PROBLEMA Nº 15.APLICACIONES A LAS MEZCLAS DE INGREDIENTES

Problemas de dieta El problema de dieta, una de las primeras aplicaciones de PL, originalmente fue utilizado por hospitales para determinar la dieta más económica para pacientes. Conocido en aplicaciones agrícolas como problema de mezcla de alimentos, el problema de dieta implica especificar un alimento o combinación de ingredientes alimenticios que satisfaga los requerimientos nutricionales a nivel de costo minino El Whole Food Nutrition Center utilizará tres granos a granel para preparar un cereal natural que vende por libra. La tienda anuncia que cada porción de 2 onzas de cereal cuando se toma ½ taza de leche entera satisface el requerimiento diario mínimo de un adulto de proteínas, riboflavina, fósforo, magnesio. El costo de cada grano de granel y las utilidades de proteína, riboflavina, fósforo, y magnesio por libra de cada uno se muestran en la tabla.

Grano A B C

Costo por libra Proteina Riboflavina Fósforo Magnesio (centavos) (unidades/lb) (unidades/lb) (unidades/lb) (unidades/lb) 33 22 16 8 5 47 28 14 7 0 38 21 25 9 6

El requerimiento diario mínimo de un adulto (llamado Ración diaria Recomendada en Estados Unidos o USRDA, por sus siglas en ingles) de proteínas es de tres unidades:de riboflavina 2 unidades de fósforo,

230



1 unidad de magnesio, 0.425 unidades Whole Food desea elegir la mezcla de granos que satisfaga la USRD a un costo mínimo. X1= libras del grano A en una porción de 2 onzas de cereal X2= libras del grano B es una porción de 2 onzas de cereal X3= libras del grano C en una porción de 2 onzas de cereal

Función objetivo: Minimizar el costo total de mezcla de una porción de 2 onzas = $0.33X1 + $0.47X2 + $0.38X3 Sujeta a: 22X1 + 28X2 + 21X3 ≥ 3 16X1 + !4X2 + 25X3 ≥ 2 8X1 + 7X2 + 9X3 ≥ 1 5X1 + 0X2 + 6X3 ≥ 0.425 X1 + X2 + X3 = 0.125 X1, X2, X3 ≥ 0

(unidades de proteínas) (unidades de riboflavina) (unidades de fósforo) (unidades de magnesio) (la mezcla total es de 2 onzas o 0.125 libras)

X1 = 0.025 libras del grano A en una porción de 2 onzas de cereal X2 = 0.050 libras del grano B es una porción de 2 onzas de cereal X3 = 0.050 libras del grano C en una porción de 2 onzas de cereal S1 = 0 (unidades de proteínas) S2 = 0.350 (unidades de riboflavina) S3 = 0 (unidades de fósforo) S4 = 0 (unidades de magnesio) S5 = 0 (la mezcla total es de 2 onzas o 0.125 libras) El costo por porción es de $0.0507

PROBLEMA Nº 16.Mezcla de ingredientes y problemas de mezclado En realidad, los problemas de alimentación y dieta son casos especiales de una clase más general de problema de PL conocidos como problema de mezclado o de ingredientes Los problemas de mezclado surgen cuando se debe decidir con respecto a la mezcla de dos o más recursos para producir uno o más productos .Los recursos en este caso, contienen uno o más ingredientes esenciales que deben ser mezclados de modo que cada producto final contenga porcentajes específicos de cada ingredientes. El

231



ejemplo siguiendo aborda una aplicación que se presenta con frecuencia en la industria petrolera: mezcla de petróleos crudos para producir gasolina que se puede refinar La Low Knock Oil Company produce dos granos de gasolina de precio reducido para distribución industrial .Estos granos, regular y económico, se produce a través de la refinación de una mezcla de los tipos de crudo, de tipo X100 y el tipo X200 Cada crudo difiere no sólo en un costo por barril, sino en su composición. La tabla siguiente indica el porcentaje de ingredientes cruciales que contiene cada uno de los crudos y el costo por barril de cada uno: Tipo de Petróleo

Ingrediente A(%)

Ingrediente B(%)

Costo / Barril ($)

X100

35

55

30.00

X220

60

25

34.80

La demanda semanal de gasolina regular de Low Knock es por lo menos de 25,000 barriles y de la economía de por lo menos 32.000 barriles de tipo regular debe ser de ingredientes A. Como máximo, cada barril de tipo económico deberá obtener 50% de Ingredientes B La administración de Low Knock debe decidir cuantos barriles de cada tipo de crudo debe comprar cada semana para realizar la mezcla y satisfacer la demanda a costo mínimo Para resolver este problema como problema PL la firma hace X1 = barriles de crudo X100 mezclado para producir la gasolina regular. X2 = barriles de crudo X100 mezclado para producir la gasolina económica. X3 = barriles de crudo X220 mezclado para producir gasolina regular. X4 = barriles de crudo X220 mezclado para producir la gasolina económica.

Función objetivo: Minimizar el costo = $30X1 + $30X2 + $34.80X3 + $34.80X4 Sujeto a: X1 + X3 ≥ 25,000 X2 + X4 ≥ 32,000

(demanda de gasolina regular) (demanda de gasolina económica)

Por lo menos, 45% de cada barril de gasolina regular deber ser ingrediente A. (X1 + X3) = cantidad total de crudo mezclado para producir la gasolina regular refinada. Por lo tanto, 0,45(X1 + X3) = cantidad mínima de ingrediente A requerido. Pero 0,35X1 + 0,60X3 = cantidad de ingrediente A en la gasolina regular refinada. De manera que 0,35X1 + 0,60X3 ≥ 0,45X1 + 0,45X3 O - 0,10X1 + 0,15X3 ≥ 0 (ingrediente A ante restricción de regular) Asimismo, como máximo, de cada barril de gasolina económica 50% debe ser ingrediente B. X2 + X4 = cantidad total de crudo mezclado para producir la gasolina económica refinada demandada. Por lo tanto

232



0,50(X2 + X4) = cantidad máxima de ingrediente B permitido. 0,55X2 + 0,25X4 = cantidad de ingrediente B en la gasolina económica refinada. De manera que 0,55X2 + 0,25X4 ≥ 0,50X2 + 0,50X4 O 0,05X2 - 0,25X4 ≤ 0 (ingrediente B ante la restric ción de gasolina económica) He aquí la formulación de PL completa: minimizar el costo = sujeto a:

30X1 X1

+

30X2 X2

-0.10X1 0.05X2

+ 34.80X3 + + X3 + + 0.15X3 -

34.80X4 X4

≥ 25,000 ≥ 32,000 ≥

0.25X4 X1,X2,X3,X4

≤ ≥

0 0 0

X1 = 15.000 barriles de X100 en la gasolina regular. X2 = 26.666,67 barriles de X100 en la gasolina económica. X3 = 10.000 barriles X220 en la gasolina regular. X4 = 5.333.33 barriles de X220 en la gasolina económica. S1 = 0 (demanda de gasolina regular) S2 = 0 (demanda de gasolina económica) S3 = 0 (ingrediente A ante restricción de regular) S4 = 0 (ingrediente B ante la restricción de gasolina económica)

El costo de esta mezcla es de $1.783.600.

PROBLEMA Nº 17.Selección de una cartera Un problema que frecuentemente enfrentan gerentes de bancos, fondos mutuos, servicios de inversión y compañías de seguros es seleccionar inversiones específicas de entre una amplia variedad de alternativas. Por lo general, el objetivo global del gerente es maximizar la devolución esperada de la inversión, dado un conjunto de restricciones de riesgos, políticas o legales. Por ejemplo, el Internacional City Trust (ICT) invierte en créditos comerciales a corto plazo, bonos corporativos, acciones en oro y préstamos para construcción. Para promover una cartera diversificada, la junta de directores impuso límites a la cantidad que puede ser comprometida en cualquier tipo de inversión. ICT dispone de $5 millones para inversión inmediata y desea hacer dos cosas: 1) maximizar el interés que se devenga sobre las inversiones realizadas durante los siguientes seis meses y 2) satisfacer los requerimientos de diversificación que estableció la junta de directores. Los puntos específicos de las posibilidades de inversión son los siguientes:

233

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Inversión Crédito comercial Bonos corporativos Acciones en oro Préstamos para construcción

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Interés devengado (%) 7 11 19 15

Inversión máxima (millones $) 1.00 2.5 1.5 1.8

Además, la junta especifica, que por lo menos, 55% de los fondos invertidos debe ser acciones en oro y préstamos para construcción y que no menos de 15% se debe invertir en crédito comercial. Para formular la decisión de inversión de ICT como un problema de PL, Sean X1 = monto invertido en crédito comercial X2 = monto invertido en bonos corporativos X3 = monto invertido en acciones en oro X4 = monto invertido en préstamos para construcción

Función Objetivo: Maximizar el monto de interés devengado = 0.07X1+0.11X2+0.19X3+0.15X4 Sujeto a: X1

X2

X3

X4 X3 + X4

X1 X1 + X2 + X3 + X4 X1, X2, X3, X4

≤ 1,000,000 ≤ 2,500,000 ≤ 1,500,000 ≤ 1,800,000 ≥ 0.55 (X1+X2+X3+X4) ≥ 0.15 (X1+X2+X3+X4) ≤ 5,000,000 0 ≥

234



X1 = $750.000 monto invertido en crédito comercial X2 = $950.000 monto invertido en bonos corporativos X3 = $1.500.000 monto invertido en acciones en oro X4 = $1.800.000 monto invertido en prestamos para construcción S1 = $250.000 Crédito comercial S2 = $1.550.000 Bonos corporativos S3 = 0 Acciones en oro S4 = 0 Préstamos para construcción S5 = 0 55% invertidos debe ser acciones en oro y préstamos para construcción S6 = 0 15% se debe invertir en crédito comercial. S7 = 0 límites a la cantidad que puede ser comprometida en cualquier tipo de inversión. ICT dispone de $5 millones Interés total devengado $712.000

235



PROBLEMA Nº 18.Problema de envió El problema de transporte o envió implica determinar la cantidad de artículos o productos que deben ser transportados de varios orígenes a varios destinados. El objetivo en general es minimizar los costos y distancias de envió totales. Las restricciones en este tipo de problema se relacionan con las capacidades en cada origen y los requerimientos en cada destino. El problema de transporte es un caso muy específico de PL, por lo cual se desarrollo un algoritmo especial para resolverlo. El procedimiento de solución es uno de los temas del capitulo V. La TOP Speed Bicycle Co. fabrica y comercializa una línea de bicicletas de 10 velocidades a nivel nacional. La firma cuenta con plantas de ensamble en dos ciudades en las que los costos de mano de obra son bajos, Nueva Orleáns y Omaha. Sus tres almacenes principales están ubicados cerca de los grandes mercados de Nueva Cork, Chicago y Los Ángeles. Los requerimientos de ventas para el año siguientes en el almacén de Nueva Cork son de 10,000 bicicletas, en el de Chicago 8.000 y en el de Los Ángeles 15,000. La capacidad de la fábrica en cada ciudad es limitada. Nueva Orleáns puede armar y enviar 20,000 bicicletas; Omaha puede producir 15,000 bicicletas al año. El costos de envió de una fabrica desde cada fabrica a cada almacén difiere. Estos costos unitarios de envió son los siguientes:

A DE Nueva Orleáns Omaha

NUEVA YORK $2 3

CHICAGO $3 1

LOS ANGELES $5 4

La compañía desea desarrollar un programa de envió que minimice sus costos de transporte anuales. Para formular este problema con PL, de nuevo se emplea el concepto de variables de doble subíndice. El primer subíndice representa el origen (fabrica) y el segundo el destino (almacén). Por lo tanto, en general Xij se refiere al número de bicicletas enviadas del origen i al destino j. En su lugar se podría denotar X6 como la variable del origen 2 al destino 3, pero en general la mayoría encuentra que los subíndices dobles son más descriptivos y fáciles de utilizar. Por lo tanto, sean X1 = número de bicicletas enviadas de Nueva Orleáns a Nueva York X2 = número de bicicletas enviadas de Nueva Orleáns a Chicago X3 = número de bicicletas enviadas de Nueva Orleáns a Los Ángeles X4 = número de bicicletas enviadas de Omaha a Nueva Cork X5 = número de bicicletas enviadas de Omaha a Chicago X6 = número de bicicletas enviadas de Omaha a Los Ángeles Este problema se formula como sigue:

Función objetivo Minimizar los costos totales de envió = 2X 1 + 3X2 + 5X3 + 3X4 + 1X5 + 4X6 Sujeto a: X1

+ X4

= 10,000 X2 + X5 = 8,000 X3 + X6 = 15,000 X1 + X2 + X3 ≤ 20,000 X4 + X5 + X6 ≤ 15,000 Totales las variables ≥ 0

(Demanda de Nueva York) (Demanda de Chicago) (Demanda de Los Ángeles) (Demanda en la fabrica de Nueva Orleáns) (Existencia en la fabrica de Omaha)

¿Por qué los problemas de trasporte son una clase especial de problemas de PL? La respuesta es que cada coeficiente enfrente de una variable en las ecuaciones de restricción siempre es igual a 1. Esta

236



cualidad especial también se encuentra en otra categoría especial de problemas de PL, el problema de asignación. (El problema de asignación puede ser considerado como un caso especial del problema de transporte en la cual el abasto de cada fuente y la demanda de cada destino es uno)

X1 = 10.000 número de bicicletas enviadas de Nueva Orleáns a Nueva York X2 = 0 número de bicicletas enviadas de Nueva Orleáns a Chicago X3 = 8.000 número de bicicletas enviadas de Nueva Orleáns a Los Ángeles X4 = 0 número de bicicletas enviadas de Omaha a Nueva Cork X5 = 8.000 número de bicicletas enviadas de Omaha a Chicago X6 = 7.000 número de bicicletas enviadas de Omaha a Los Ángeles S4 = 2.000 (Demanda en la fabrica de Nueva Orleáns) Costo total de envío es de $96.000

PROBLEMA Nº 19.APLICACIONES AL TRANSBORDO En realidad, el problema de transporte es un caso especial de problema de trasbordo. Si los artículos se transportan desde el origen a través de un punto intermedio (llamado punto de trasbordo) antes de llegar a su destino final, entonces el problema recibe el nombre de problema de trasbordo. Por ejemplo, una compañía podría fabricar un producto en varias plantas para ser enviado a varios centros de distribución regionales. Desde estos centros los artículos son enviados a tiendas de ventas al menudeo que son los destinos finales. A continuación se da un ejemplo.

Centros de distribución Frosty Machines fabrica barredoras de nieve en plantas localizadas en Toronto y Detroit. Luego, las maquinas son enviadas a centros de distribución regionales ubicadas en Chicago y Búfalo, desde donde son reenviadas a tiendas en Nueva York, Philadelphia y St. Louis. La figura ilustra la representación en forma de red de esta situación básica. Los costos de envió varían, como se muestra en la siguiente tabla. Las demandas pronosticadas de Nueva York, Philadelphia y St. Louis también aparecen en esta tabla, lo mismo que las existencias disponible de barredoras de nieve en las dos fabricas. Observe que las barredoras de nieve no pueden ser enviadas directamente desde Toronto yo Detroit a cualesquiera de estos destinos finales. Por eso, Chicago y Búfalo aparecen no solo como destino sino también como orígenes.

A DE Toronto Detroit Chicago Buffalo Demanda

Chicago

Buffalo

$4 $5 -------

$7 $7 -------

Nueva York ----$5 $2 450

Philadelphia ----$4 $3 350

ST. Louis ----$5 $4 300

Existencia 800 700 -----

237



Frosty desea minimizar los costos de transporte asociados con los envió de suficientes barredoras de nieve para satisfacer las demandas en los tres destinos sin que se excedan las existencia de cada fabrica. Por lo tanto, se tienen restricciones de existencias y demandas similares a los problemas de trasporte. Como no se producen unidades en Chicago o Búfalo, cualquiera cantidad enviada desde estos puntos de trasbordo deben haber arribado a Toronto o Detroit. Por consiguiente, Chicago y Búfalo tendrán una restricción que indique esta situación. El enunciado verbal de este problema seria como sigue: Minimizar el costo Sujeto a: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

El número de unidades enviadas desde Toronto no es más de 800. El número de unidades enviadas desde Detroit no es más de 700. El número de unidades enviadas a Nueva York es de 450. El número de unidades enviadas a Philadelphia es de 350. El número de unidades enviadas a St. Louis es de 300. El número de unidades enviadas desde Chicago es igual al número de unidades enviadas a Chicago. 7. El número de unidades enviadas desde Buffalo es igual al número de unidades enviadas a Buffalo. Las variables de decisión representaran el número de unidades enviadas desde cada origen a cada punto de trasbordo y el número de unidades enviadas desde cada punto de trasbordo a cada destino final, ya que estas son las decisiones que la administración deben tomar. Las variables de decisión son: X1 = número de unidades enviadas de Toronto a Chicago X2 = número de unidades enviadas de Toronto a Buffalo X3 = número de unidades enviadas de Detroit s Chicago X4 = número de unidades enviadas de Detroit a Buffala X5 = número de unidades enviadas de Chicago a Nueva York X6 = número de unidades enviadas de Chicago a Philadelphia X7 = número de unidades enviadas de Chicago a St. Louis X8 = número de unidades enviadas de Buffalo a Nueva York X9 = número de unidades enviadas de Buffalo a Philadelphia X10 = número de unidades enviadas de Buffalo a St. Louis

Función objetivo Minimizar el costo = 4X1 + 7X2 + 5X3 + 7X4 + 6X5 + 4X6 + 5X7 + 2X8 + 3X9 + 4X10 Sujeto a: XI + X2  800 Existencias en Toronto X3 + X4  700 Existencias en Detroit X5 + X8 = 450 Demanda en Nueva York X6 + X9 = 350 Demanda en Philadelphia X7 + X10 = 300 demanda en St. Louis X1 + X3 = X5+X6+X7 envió a través de Chicago X2 + X4 = X8+X9+X10 envió a través de Buffalo XJ ≥ 0 restricciones de no negatividad

238



X1 = 650 número de unidades enviadas de Toronto a Chicago X2 = 150 número de unidades enviadas de Toronto a Buffalo X3 = 0 número de unidades enviadas de Detroit s Chicago X4 = 300 número de unidades enviadas de Detroit a Buffala X5 = 0 número de unidades enviadas de Chicago a Nueva York X6 = 350 número de unidades enviadas de Chicago a Philadelphia X7 = 300 número de unidades enviadas de Chicago a St. Louis X8 = 450 número de unidades enviadas de Buffalo a Nueva York X9 = 0 número de unidades enviadas de Buffalo a Philadelphia X10 = 0 número de unidades enviadas de Buffalo a St. Louis S2 = 400 Existencias en Detroit El costo total será de $9.550

239



PROBLEMAS PROPUESTOS

1)

La señorita Fernanda Erazo es una estudiante emprendedora de primer año en la Pontificia Universidad Católica del Ecuador. Comprende que “sólo el trabajo y nada de diversión hacen de Fernanda una muchacha aburrida”. Como resultado, Fernanda quiere distribuir su tiempo

disponible, de alrededor de 10 horas al día, entre el trabajo y la diversión. Calcula que el juego es dos veces más divertido que el trabajo. También quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Fernanda comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de cuatro horas al día. ¿Cómo debe distribuir Fernanda su tiempo para maximizar su satisfacción tanto en el trabajo como en el juego?

2)

Viviana Erazo debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso mientras asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas al detalle: en la tienda 1 Viviana puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo por hora. De manera que Viviana quiere basar su decisión acerca de cuántas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio diferente: el factor del estrés en el trabajo. Basándose en entrevistas con los empleados actuales, Viviana calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores del estrés son de 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Debido a que el estrés aumenta por hora, ella supone que el estrés total al final de la semana es proporcional al número de horas que trabaja en la tienda. ¿Cuántas horas debe trabajar en cada tienda?

3)

Dos productos se fabrican en un centro de maquinado. Los tiempos de producción por unidad de los productos 1 y 2 son de 10 y 12 minutos, respectivamente. El tiempo regular total de la máquina es de 2.500 minutos por día. En un día cualquiera, el fabricante vende entre 150 y 200 unidades del producto 1, pero no más de 45 unidades del producto 2. Se pueden emplear horas extras para satisfacer la demanda a un costo adicional de 0.50 de dólar por minuto.

a) Suponiendo que las utilidades por unidad de los productos 1 y 2 son.6.0 y 7.50 dólares, respectivamente, formule un modelo y determine el nivel óptimo de fabricación para cada producto, así como cualesquiera número de horas extra necesarias en el centro. b) Si el costo por minuto de horas extra se incrementa a 1.50 dólares, ¿la compañía debe utilizar horas extras? 4)

La tienda de comestibles B&K vende dos tipos de bebidas no alcohólicas: la marca de sabor de cola A1 y la marca propia de la tienda, B&K de colas, más económica. El margen de utilidad en la bebida de cola A1 es de alrededor de 5 centavos de dólar por lata, mientras que la de la bebida de cola B&K suma una ganancia bruta de 7 centavos por lata. En promedio, la tienda no vende más de 500 latas de ambas bebidas de cola al día. Aún cuando A1 es una marca más conocida, los clientes tienden a comprar más latas de marca B&K, porque considerablemente es más económica. Se calcula que la venta de la marca B&K superan a las de la marca A1 en una razón de 2 a 1 por lo menos. Sin embargo, B&K vende, como mínimo, 100 latas de A1 al día.

a) ¿Cuántas latas de cada marca debe tener en existencia la tienda diariamente para maximizar su utilidad? b) Determine la razón de las utilidades por lata de A1 y B&K que mantendrá inalterada la solución en (a). 5)

Baba Furniture Company emplea a cuatro carpinteros durante 10 días para ensamblar sillas y mesas. Se requieren 30 minutos para ensamblar una silla.y 2 horas para ensamblar una mesa. Por lo común, los clientes compran entre cuatro y seis sillas con cada mesa. Las utilidades son de 13 dólares por mesa y 5 dólares por silla. La compañía opera un turno de 8 horas al día.

a) Determine la mezcla de producción óptima de los 10 días. b) Determine el rango de la razón de utilidades por unidad, que mantendrá inalterada la óptima (a).

240



c) Si las utilidades actuales por cada mesa y silla se reducen 10%, utilice la respuesta en (b) para mostrar la forma en la cual este cambio afecta la solución óptima obtenida en (a). d) Si las utilidades actuales por cada mesa y silla cambia a 12 y 2.5 dólares, utilice el resultado de sensibilidad en (b) para determinar si cambiará o no la solución en (a). 6)

El Banco del Pacífico está asignando un máximo de 200.000 dólares para préstamos personales y de automóviles durante el próximo mes. El banco cobra 14% por préstamos personales y 12% por préstamos para automóviles. Ambos tipos de préstamos se liquidan al final de un periodo de un año. La experiencia muestra que alrededor del 3% de los préstamos personales y del 2% de los préstamos para automóviles nunca se liquidan. Por lo común, el banco asigna cuando menos el doble de los préstamos personales a los préstamos para automóviles.

a) Determine la asignación óptima de fondos para los tipos de préstamos y la tasa neta de utilidad que obtendrá el banco de todos los préstamos. b) Determine el rango de optimilidad para la razón de las tasas de interés de préstamos personales y para automóvil que mantendrá inalterada la solución en (a). c) Supongamos que el porcentaje de préstamos personales y para automóvil no liquidados cambia a 4% y 3%, respectivamente, ¿Cómo afectaría este cambio la solución óptima en (a)?. 7)

Electra produce dos tipos de motores eléctricos, cada uno en una línea de ensamble separada. Las respectivas capacidades diarias de las dos líneas son de 600 y 750 motores. El motor tipo 1 emplea 10 unidades de cierto componente electrónico y el motor tipo 2 sólo utiliza 8 unidades. El proveedor del componente puede proporcionar 8.000 piezas al día. Las utilidades por motor para los tipos 1 y 2 son de 60 y 40 dólares, respectivamente.

a) Determine la mezcla óptima para la producción diaria. b) Determine el rango de optimalidad de la razón de utilidades por unidad que mantendrá inalterada la solución en (a) 8)

Dean’s Furniture Company ensambla dos tipos de gabinetes de cocina de madera precortada:

regulares y de lujo. Los gabinetes regulares están pintados de blanco y los de lujo están barnizados. Tanto la pintura como el barnizado se llevan a cabo en un departamento. La capacidad diaria del departamento de ensamble puede producir un máximo de 200 gabinetes regulares y 150 gabinetes de lujo. El barnizado de un gabinete del lujo se lleva el doble de tiempo que pintar uno regular. Si el departamento de pintura /barnizado se dedica únicamente a las unidades de lujo, terminaría 180 unidades diarias. La compañía calcula que las utilidades por unidad de los gabinetes regulares y de lujo son de 100 y 140 dólares, respectivamente.

a) Formule el problema como un programa lineal y encuentre el programa de producción óptima por día. b) Supongamos que, debido a la competencia, las utilidades por unidad de las unidades regulares y de lujo deben reducirse a 80 y 110 dólares, respectivamente. Utilice el análisis de sensibilidad para determinar si la solución óptima en (a) se mantiene inalterada o no. 9)

Una compañía fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 100 unidades de A por día. Los dos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad máxima diaria se limita a 240 libras al día. Las proporciones de utilización de la materia prima son 2 libras para cada unidad de A y 4 libras para cada unidad de B. Los precios unitarios de A y B son de 20 y 50 dólares, respectivamente.

a) Determine la mezcla óptima de los dos productos. b) Determine el valor por cambio unitario en la disponibilidad de la materia prima y su rango de aplicabilidad. c) Utilice el análisis de sensibilidad para determinar el efecto de cambiar la demanda máxima del producto A por  10 unidades. 10)

Una compañía que opera 10 horas al día fabrica cada uno de los productos en tres procesos en secuencia. La siguiente tabla resume los datos del problema:

241

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Producto 1 2

Proceso 1 10 5


Minutos por unidad Proceso 2 Proceso 3 6 8 20 10


a) Determine la mezcla óptima de los dos productos. b) Supongamos que se está considerando los tres procesos para una expansión y usted necesita determinar su prioridad. Diseñe una forma lógica para lograr esta meta. 11)

Show & Sell puede anunciar sus productos en la radio o la televisión locales. El presupuesto para anuncios está limitado a 10.000 dólares al mes. Cada minuto de anuncios por radio cuesta 15 dólares y cada minuto de comerciales por televisión cuesta 300 dólares. A Show & Sell le agrada utilizar los anuncios por radio por lo menos el doble de los anuncios por televisión. Por lo pronto, no es práctico utilizar más de 400 minutos de anuncios por radio. La experiencia pasada muestra que se calcula que los anuncios por televisión son 25 veces más efectivos que los de la radio.

a) Determine la asignación óptima del presupuesto para los anuncios por radio y televisión. b) Determine el valor por unidad de incrementar el límite mensual en la publicidad por radio. c) Si el presupuesto mensual se aumenta a 15.000 dólares, utilice la definición de valor de la unidad para determinar la medida resultante de la efectividad publicitaria. 12)

Wyoming Electric Coop. Es propietaria de una planta generadora de energía con turbina de vapor. Debido a que Wyoming es rica en depósitos de carbón, la planta genera vapor con carbón. Sin embargo, esto crea el problema de satisfacer los estándares de emisión. Las regulaciones de la Environmetal Protection Agency (Agencia de Protección Ambiental) limitan la descarga de dióxido de azufre a 2.000 partes por millón y la descarga de humo de las chimeneas de la plante a 20 libras por hora. La Cooperativa recibe dos grados de carbones pulverizados, C 1 y C2, para ser utilizados en la planta. Por lo común, los dos grados se mezclan antes de quemarlos. Por simplicidad, supondremos que el contaminante de azufre de la mezcla (en partes por millón) es un promedio ponderado de la proporción de cada grado empleado en la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo de una tonelada por hora de cada uno de los dos grados de carbón. Grado de carbón

Descarga de azufre en partes por millón

Descarga de humo en libras por hora

Vapor generado en libras por hora

C1 C2

1 800 2 100

2.1 0.9

12 000 9 000

a) Determine la proporción óptima para mezclar los dos grados de carbón. b) Determine el efecto de relajar el límite de la descarga de humo 1 libra sobre al cantidad de vapor generado por hora. 13)

La división de Educación Continua en Ozark Community College ofrece un total de 30 cursos cada semestre. Los cursos que ofrece generalmente son de dos tipos: prácticos, como trabajos en madera, procesador de palabras y mantenimiento de automóviles; y humanísticos, como historia, música y bellas artes. Para satisfacer las demandas de la comunidad, es necesario ofrecer por lo menos 10 cursos de cada tipo, cada semestre. La división calcula que los ingresos por ofrecer esos cursos prácticos y humanísticos son aproximadamente 1.500 y 1.000 dólares por curso, respectivamente.

a) ¿Cómo debe asignar la escuela sus cursos? b) Determine el ingreso si se incrementa el requerimiento mínimo de los cursos prácticos con un curso más. c) Determine el ingreso si se incrementa el requerimiento mínimo de los cursos humanísticos con un curso más. 14)

ChemLabs fabrica dos productos de limpieza para el hogar, A y B procesando dos tipos de materia prima, I y II. El procesamiento de una unidad de materia prima I cuesta 8 dólares y produce 0.5 unidad de solución A y 0.5 unidad de solución B. Además, el procesamiento de una unidad de materia prima II cuesta 5 dólares y produce 0.6 unidad de solución A y 0.4 unidad de solución B. La demanda diaria de la solución A es entre 10 y 15 unidades y la de la solución es entre 12 y 20 unidades.

242



c) Encuentre la mezcla óptima de A y B que debe producir ChemLabs. d) Determine el valor por cambio de unidad en los límites de la demanda de los productos A y B. 15)

Una línea de ensamble que consta de tres estaciones consecutivas produce dos modelos de radios: Hi-fi-1 y Hi-fi-2. La siguiente tabla proporciona los tiempos de ensamble para las tres estaciones de trabajo.

Minutos por unidad Edición de trabajo Hi-fi-1 1 6 2 5 3 4

Hi-fi-2 4 5 6

El mantenimiento diario de las estaciones 1, 2 y 3 consume 10%. 14% y 12% respectivamente, del máximo de 480 minutos disponibles para casa estación, cada día.

a) La compañía desea determinar la mezcla óptima de productos que minimizará los tiempos inactivos (o no utilizados) en las tres estaciones de trabajo. b) Determine el valor de disminuir 1 punto de porcentaje el tiempo diario de mantenimiento para cada estación. 16)

Un ejecutivo de negocios tiene la opción de invertir más dinero en dos planes; el plan A garantiza que cada dólar invertido ganará 0.70 de aquí a un año y el plan B garantiza que cada dólar invertido ganará 2 dólares después de 2 años. En el plan A, las inversiones se pueden hacer anualmente y en el plan B, las inversiones se permiten únicamente en los períodos que son múltiplos de dos.

a) ¿Cómo debe invertir el ejecutivo 100.000 dólares para maximizar las ganancias al final de 3 años? b) ¿Vale la pena que el ejecutivo invierta más dinero en los planes? 17)

OilCo construye una refinería para elaborar cuatro productos: diesel, gasolina, lubricantes y combustible para aviones. Las demandas (en barriles/día) de esos productos son 14,000,30,000, 10,000 y 8000, respectivamente. Irán y Dubai tienen contrato para enviar crudo a OilCo. Debido a las cuotas de producción que especifica la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo) la nueva refinería puede recibir al menos el 40% de su crudo de Irán, y el resto de Dubai. OilCo pronostica que estas cuotas de demanda y de crudo permanecerán estables durante los 10 años siguientes. Las distintas especificaciones de los dos crudos determinan dos proporciones distintas de productos: un barril de crudo de Irán rinde 0.2 barril de diesel, 0.25 barril de gasolina, 0.1 barril de lubricante y 0.15 barril de combustible para avión. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0.1, 0.6, 0.15 y 0.1, respectivamente. OilCo necesita determinar la capacidad mínima de la refinería, en barriles de crudo por día.

18) Ahorros S.A. desea invertir una suma que genere un rendimiento anual mínimo de $10,000. Dispone de dos grupos accionarios: acciones selectas y alta tecnología, con un rendimiento anual promedio de 10 y 25%, respectivamente. Aunque las acciones de alta tecnología dan más rendimiento, son más arriesgadas, y Ahorros desea limitar la cantidad invertida en ellas a un máximo de 60% del total. ¿Cuál es la cantidad mínima que debe invertir Ahorros en cada grupo de acciones para alcanzar la meta de inversión?

19)

Considere el modelo de Uso de Suelo (problema 5 resuelto por computadora, capítulo II). Supongamos que el Banco Pichincha puede comprar 100 acres adicionales de terreno virgen a un precio de 450.000 dólares. Utilice los resultados del modelo para proporcionarle al banco una decisión concerniente a esta compra.

20)

Considere la Programación de Autobuses (problema 14 resuelto por computadora, capítulo II).

243



a) Utilice los resultados de la salida para determinar el número total óptimo de autobuses, suponiendo que el número mínimo de autobuses para los seis periodos sucesivos se da como (i) (4, 12, 10, 7, 12, 4) y (ii) (4, 8, 7, 7, 12, 4). b) Supongamos que los requerimientos mínimos se cambian a (6, 9, 12, 7, 15, 6). c) Utilice el análisis de sensibilidad para determinar si la solución actual sigue siendo factible. Si es factible, determines los nuevos valores de las variables. 21)

Considere el modelo de desperdicio en el corte (problema 15 resuelto por computadora, capítulo II).

a) Si cortamos 20 rollos utilizando la posición 1 y 100 rollos utilizando la posición 3, calcule el área de desperdicio asociada en el corte. b) Supongamos que el único rollo estándar disponible es de 15 pies de ancho. Genere todas las posiciones posibles de las cuchillas para producir rollos de 5, 7, y 9 pies y calcule el desperdicio en el recorte asociado por cada pie de largo. c) En el modelo original, si la demanda de rollos estándar de 7 pies de ancho disminuye en 80, ¿cuál es el número total de rollos estándar de 20 pies que se necesitará para satisfacer la demanda de los tres tipos de rollos? d) En el modelo original, si la demanda de rollos de 9 pies sé camba a 400, ¿Cuántos rollos estándar adicionales de 20 pies se necesitarán para satisfacer la nueva demanda? 22)


23)



Mes Mar. Abr. 34 69

Ene. 58

Feb. 36

18

17

17

20

19

19

Mayo 72

Jun. 43

18,5

19

19

21

22

22

El costo de almacenamiento en inventarios de los transformadores que no se vendan es 500 dólares por mes. Al 10 de enero, la compañía tiene 15 transformadores en existencias y desea tener no menos de cinco en existencias para el 30 de junio.

244



Formule un problema de programación lineal para determinar el programa de producción óptimo para MEPCO.

24)


Mina




83000 310000 190000

RO.60 RO.36 RO.50

Recuento de Grado gemas (número (quintales m 3) de piedras m 3)

0,36 0,22 0,263

0,58 0,26 0,21

Según las consideraciones de mercadotecnia, se requiere una producción mensual exacta de 148 000 gemas, mientras que otro requisito exige por lo menos 130 000 quilates (así, el tamaño promedio de las gemas es, por lo menos, de 130/148 = 0.88 quilates). El problema para el gerente de la compañía es cumplir con las exigencias de mercadotecnia al menor costo.

25)

Queremos seleccionar una estrategia de publicidad para llegar a dos tipos de clientes: amas de casa de familias con ingresos anuales superiores a 10 000 dólares y amas de casa de familias con ingresos anuales inferiores a 10 000 dólares. Consideramos que las personas del primer grupo comprarán dos veces más nuestro producto que las personas del segundo grupo, y nuestro objetivo es maximizar las compras. Podemos anunciar el producto en televisión o en una revista; una unidad de publicidad en televisión cuesta 20.000 dólares y llega a aproximadamente 2.000 personas del primer grupo y a 8.000 del segundo. Una unidad de publicidad en la revista cuesta 12. 000 dólares y llega a 6.000 personas del primer grupo y a 3.000 del segundo. Hay que usar por lo menos seis unidades de publicidad en televisión y no podemos usar más de 12 unidades de publicidad en la revista, por cuestiones de política. El presupuesto para publicidad es de 180 000 dólares. Formule este problema como un problema de programación lineal, definiendo todas las variables que utilice. Resuelva por el método gráfico para encontrar la estrategia de publicidad óptima.

26)




Costo por kilogramo

A 40 10 $ 1.80 B 20 15 0.75 C 10 35 0.40 D 5 40 0.15 Formule un modelo de programación lineal que ayude a SSC a determinar el programa de mezclas más deseable. Resuelva por el método simplex.

27)

Remítase al problema de mezcla de productos. Una empresa de manufactura fabrica productos, A y B, cada uno de los cuales debe procesarse en dos máquinas diferentes. Una máquina tiene 24 horas de capacidad disponibles y la otra sólo tiene 16 horas. Cada unidad del producto A necesita tres horas en cada máquina, mientras que una unidad del producto B necesita tres horas en la primera máquina y una hora en la segunda. Los beneficios marginales son de seis dólares por unidad del producto A y siete dólares por unidad del producto B y la empresa puede vender todas las unidades que puede fabricar de los dos productos.

245



El objetivo de la empresa es maximizar los beneficios. El problema es determinar cuántas unidades de los productos A y B deben producirse dentro de los límites de las capacidades disponibles de las máquinas. Resuelva el problema con los dos productos A y B Suponga que la empresa tiene un tercer producto, C, que puede producirse en la primera o en la segunda máquina. Si se produce en la primera máquina se requiere una hora; si se hace en la segunda máquina, se necesitan dos horas. El producto C tiene beneficios marginales de nueve dólares por unidad. Modifique la formulación del problema para incluir el producto C.

28)

El Consejo de Seguridad de Estados Unidos debe asignar su presupuesto para los próximos tres años. Ya se han tomado decisiones irrevocables con respecto a varias “áreas programadas” y a su

financiamiento total; por ejemplo, se ha asignado un total de 110.000 dólares a la prevención de fallecimientos y a la reducción en daños a propiedades por accidentes automovilísticos. Pero hay que tomar decisiones detalladas acerca de los proyectos específicos para alcanzar los objetivos de los programas. En el caso de la prevención de fallecimientos y de la reducción en daños a propiedades, la tabla contiene los proyectos que recomendaron los analistas del consejo, junto con los datos apropiados. Los miembros del consejo quieren que usted los ayude a tomar las decisiones sobre la asignación del presupuesto (o sobre la elección y la magnitud de los proyectos). Al preguntarles cuál de los objetivos específicos es más importante, di jeron: “¡Es una pregunta difícil! Por una parte, la vida humana es sagrada y no puede comprarse con ninguna cantidad de dinero. Por otra parte, si hay dos maneras de ahorrar el mismo número de vidas, obviamente preferiríamos el proyecto que de cómo resultado la menor cantidad de daños a propiedades”.

Proyecto 1. Publicidad para el uso de

Límite superior de gastos para el proyecto (en dólares)

Prevención esperada de Reducción esperada en fallecimientos por cada daños a propiedades por 1.000 dólares gastados cada 1000 dólares gastados

$80 000

0.33

$0

20 000

0.25

20 000

75 000

0.15

30 000

100 000

0.27

10 000

cinturones de seguridad. 2. Investigación para mejorar el diseño de carreteras. 3. Investigación para mejorar el diseño de automóviles. 4. Dólares gastados para promover leyes estatales más severas para conductores ebrios

Al preguntarles en forma específica cuál sería la “compensación” entre vidas salvadas y daños a propiedades que les sería indiferente, su respuesta fue: “¡Esta pregunta es aún más difícil! Sin

embargo, somos conscientes de que un organismo de gobierno ha establecido, para fines internos de asignación de recursos, un valor monetario implícito de 300.000 dólares por una vida humana que se salve (creemos que otro organismo también usa esta cifra para tomar decisiones acerca de la incorporación de características de seguridad adicionales en su equipo)”.

Formule un modelo de programación lineal cuya solución represente una asignación óptima del presupuesto de 110.000 dólares, con base en la información anterior. Asegúrese de definir todas las variables que utilice, para resolver por el método simplex el problema formulado.

29)

Delight Dary Company (DD) produce una amplia gama de productos lácteos. Los productos se han separado en dos categorías principales, con el fin de planificar la producción: helados (varios sabores y tamaños) y especialidades (helado en palito, emparedados de helado, conos de helado, etc.) Cada clase de producto tienen su propio equipo de empaquetado, pero ambas usan una misma máquina de fabricación de helado; también emplean el mismo grupo de trabajadores para producir y empaquetar cada clase de producto. Los helados requieren dos horas de la máquina de fabricación de helados, una hora en su propia línea de empaquetado y tres horas de trabajo para producir 4.000 litros de producto terminado.

246



Las especialidades requieren una hora de la máquina de fabricación de helado, una hora en su propia línea de empaquetado y seis de trabajo para producir el equivalente de 4.000 litros de producto terminado. DD puede vender 4.000 litros de helado en 300 dólares, y 4.000 litros de especialidades en 500 dólares. Los costos de materias primas son aproximadamente iguales para ambas clases de productos. En la actualidad, la compañía tiene un turno de trabajo (40 horas por semana) y emplea tres trabajadores de tiempo completo y un empleado de ¾ de tiempo, para un total de 120 + 30 = 150 horas de trabajo a la semana. Formule un modelo de programación lineal para la planificación de la producción de Delight Dairy y resuelva por el método simplex.

30)



Entrada de crudo de Surinam Primer Segundo proceso proceso 45 25 50 70 5 5



31)


Tipo

Remolque Mediano CAMIONETA

Costo de compra $15.000 8.000 5.000

Costo operativo (toneladakilómetro) $0.28 0.32 0.40

Capacidad (toneladasKilómetro Por mes) 10.000 8.000 5.000

247



Speedie Trucking ha indicado que seguiría entregando los productos que Consolidated no pueda distribuir con sus camiones, a la misma tarifa de 50 centavos por tonelada kilómetro. En Consolidated hay escasez de fondos de capital para equipo, y sólo se dispone de 380 000 dólares para las compras. Además de la limitación del presupuesto, existen otras restricciones con respecto a los tipos de camiones que se compren. El primer punto es el área de carga disponible. Debido a las limitaciones del espacio de almacenamiento y de las maniobras de carga, no caben más de 28 camiones. Un remolque o un camión mediano ocuparía un espacio; dos camionetas ocuparían un espacio. Además, como consecuencia de los tipos y tamaños de las entregas, por lo menos dos terceras partes de los vehículos que se compren tendrán que ser remolques o camiones medianos. Formule este problema como un problema de programación lineal. Resuelva por el método simplex. Tenga cuidado en la especificación del objetivo y en la definición de las variables.

32) Acme Skateboard Company fabrica tres modelos de patinetas: regular, especial y de lujo. En la tabla se muestran los datos de costos, precio de venta y otra información relacionada con cada modelo. Modelo Precio de venta por unidad Costo de materias primas por unidad Horas de trabajo necesarias para el montaje, para el acabado y para el empaquetado por unidad. Límite superior de la demanda para las ventas semanales.

Regular 7 3

Especial 15 6

De lujo 25 10

0.1 1000

0.2 800

0.5 300

Acme tiene una fuerza de trabajo de cinco individuos asalariaos que trabajan un máximo de 40 horas por semana y que reciben una paga de 280 dólares por semana (incluyendo prestaciones) aunque no trabajen las 40 horas. Acme desea encontrar el plan óptimo de producción semanal que maximice el beneficio y la contribución al costo fijo de fuerza de trabajo. Formule un modelo de programación lineal que maximice el beneficio más la contribución a los costos fijos de fuerza de trabajo.

33)

Emory Aluminum Company fabrica rollos de papel de aluminio de distintas anchuras. Los clientes pueden pedir rollos de 60,50, 30 o 20 centímetros de ancho. El papel se fabrica con un ancho normal de 135 centímetros y las anchuras menores se cortan del rollo normal.

Anchura 60 centímetros 50 centímetros 30 centímetros 20 centímetros Desperdicio (centímetros)

1 2

15

2 1 1 1 5

3 1 1 2 5

4 1

5 1

2 1

2

15

Método de corte 6 7 8 9

3 15

5

2 1 15

1 2 1 5

1 1 2 15

10

11

12

13

4

2 3 15

6 15

1 4 5

15

Hay varias maneras de cortar las anchuras menores, como se indica en la tabla. Por ejemplo, con el método 3 se cortan del rollo normal un rollo de 60 cm. de ancho, un rollo de 30 cm de ancho y dos rollos de 20 cm. Con este método queda cinco centímetros de desperdicio [135 – 60 – 30 – 2(20) = 5]. Puesto que el método de corte genera ciertos desperdicios, hay algunas combinaciones (que no se indican) que no se pueden cortar. Todos los rollos para corte tienen anchura de 135 centímetros y todos los pedidos son par las medidas que se indican en la tabla. Además, todos los pedidos tienen una longitud determinada (la longitud del rollo). Emory ha recibido los siguientes pedidos para el mes de julio

248

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I :Ancho 24 centímetros 20 centímetros 12 centímetros 8 centímetros

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Rollos pedidos 330 120 480 160

¿Cómo debe cortar Emory sus rollos para satisfacer los pedidos? Formule un modelo de programación lineal para el problema, resuelva por el método simplex.

34)

Un fabricante ha establecido un contrato para producir 2.000 unidades de un producto en los próximos ocho meses. El programa de entregas es el siguiente:

Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Total

Unidades 100 200 300 400 100 100 500 300 2.000

El fabricante ha estimado que le cuesta un dólar almacenar una unidad de producto durante un mes. La capacidad de su almacén es de 300 unidades. El fabricante puede producir cualquier número de unidades en un mes, ya que se producen principalmente con mano de obra temporal, fácilmente disponible. Sin embargo, existe el costo de la capacitación del nuevo personal y los costos que se relacionan con los despidos de personal. El fabricante estima que cuesta unos 785 centavos por unidad aumentar el nivel de producción de un mes al siguiente (es decir, si la producción de enero es 200 y aumenta a 300 en febrero, el costo es de 75 dólares para capacitación del personal adicional que se requiere para producir al nivel de 300 unidades). De manera análoga, cuesta 50 centavos por unidad reducir la producción de un mes al siguiente. (Al término de los ocho meses se despedirá a todos los empleados, con los costos correspondientes de la reducción de la producción). Suponga que el nivel de producción antes de enero es cero.

a) Formule lo anterior como un problema de programación lineal y resuelva en computadora. b) Suponga que hay un límite de producción de 300 unidades mensuales. Formule el problema de programación lineal con esta restricción adicional y resuelva por el método simplex. 35)

La compañía eléctrica Stateside planifica la construcción de nuevas instalaciones en su área para los próximos 10 años. Es posible construir cuatro tipos de instalaciones de energía eléctrica: plantas de vapor que utilizan carbón para generar energía, plantas hidroeléctricas sin represa, plantas hidroeléctricas con represa, plantas hidroeléctricas con represas pequeñas (capacidad de almacenamiento de agua suficiente para cubrir las fluctuaciones diarias) y plantas hidroeléctricas con grandes represas (suficiente capacidad de almacenamiento de agua para cubrir las fluctuaciones de flujo de agua y las de demanda de energía en la temporada. El consumo de energía eléctrica se basa en tres características. La primera es el consumo anual total; se estima que el área requerirá 4 billones de kilowatts- hora hasta el décimo año. La segunda característica es el consumo máximo de energía, que por lo general ocurre en cualquier día de verano alrededor de las 4 P.M. Todos los planes deben suministrar capacidad máxima suficiente para cubrir la necesidad máxima esperada de 3.000 millones de Kilowatts en el décimo año. La tercera característica es el suministro garantizado de energía, que se mide como el suministro diurno promedio a mediados de invierno, cuando el consumo es alto y los niveles de agua APRA las plantas hidroeléctricas son bajos. El requisito de suministro garantizado hasta el décimo año es de 2.000 millones de kilowatts.

249



Las diversas plantas de energía posibles varían en cuanto a la forma de satisfacer estas características. Por ejemplo, las plantas hidroelécticas con represas pueden proporcionar gran capacidad máxima, mientras que las plantas de vapor y las hidroeléctricas sin represas nos funcionan muy bien en este aspecto. En la tabla se presentan las características de los distintos tipos de plantas. Cada una se mide en función de una unidad de capacidad, la cual se define como la capacidad para producir un billón de kilowatts – hora por año. Observe que los tipos de plantas varían considerablemente en sus costos de inversión, así como en sus costos operativos (de explotación) anuales. Por ejemplo, el costo del carbón eleva bastante los costos anuales de las plantas de vapor, mientras que los costos operativos anuales de las plantas hidroeléctricas son relativamente menores. La última columna de la tabla muestra los costos totales actualizados, que incluyen tanto el costo de inversión como los costos operativos anuales actualizados.

Tipo Vapor Hidroeléctrica, sin represa Hidroeléctrica, represa pequeña Hidroeléctrica, represa grande

Suministro garantizado (millones de kilowatts)

Suministro máximo (millones de kilowatts)

Costo de la inversión ( miles de dólares)

Costo total actualizado ( miles de dólares)

0.15 0.10 0.10 0.80

0.20 0.10 0.40 0.90

30 40 60 100

65 42 64 110

La compañía quiere desarrollar un plan de 10 años que detalle la capacidad de cada tipo de planta que debe construir. El objetivo es minimizar el costo total actualizado, pero existe la restricción de que no puede invertir más de 350 millones de dólares en plantas en los próximos diez años. Formule el problema como un modelo de programación lineal y resuelva por el método simplex.

36)

En los modelos de programación lineal, por lo general se supone que la demanda de un producto es algo conocido, cuando en la práctica esta demanda es incierta. Con frecuencia se puede incorporar esta demanda incierta a un modelo de programación lineal. Remítase al problema 22. Considere el producto A, para cuya demanda se supone que existe un límite superior de 10 unidades. Suponga ahora que el límite superior para la demanda del producto A es incierta pero se asigna una probabilidad de 0.4 de que se vendan 10 u nidades como máximo, y de 0.6 de que se vendan 20 como máximo. Suponga también que si se producen más de 10 unidades y el límite superior de la demanda resulta ser sólo 10 unidades, se puede vender el excedente a un precio reducido que solo ofrecerá un beneficio de 10 dólares por unidad. Su objetivo es maximizar el beneficio esperado. ¿Cómo modificaría la formulación del problema 22 para lograrlo? Recomendación: Defina una nueva variable como el exceso de producción del producto A, por encima de 10 unidades, y considere los ingresos esperados que se obtendrían de la venta de estas unidades y resuelva por el método simplex.

37)

La compañía de préstamos U-Save planifica sus operaciones para el año entrante. Ofrece cinco tipos de préstamos, descritos a continuación, junto con el rendimiento anual (porcentaje) para la compañía. Los requisitos legales y la política del a compañía imponen los siguientes límites a las cantidades que pueden entregarse en los distintos tipos de préstamos.

Tipo de préstamos Préstamos personales Préstamos para muebles Préstamos para automóviles Segunda hipoteca de casa Primera hipoteca de casa

Rendimiento anual (porcentaje) 15 12 9 10 7

250



Los préstamos personales no pueden exceder el 10% de la cantidad total de los préstamos. La cantidad total de los préstamos. La cantidad de préstamos personales y para muebles, en conjunto, no debe ser mayor del 20%. Las primeras hipotecas deben constituir por lo menos el 40% de todas las hipotecas y por lo menos el 20% del total de préstamos. Las segundas hipotecas no pueden exceder el 25% del total de préstamos.

38)

La compañía desea maximizar los ingresos de los intereses de los préstamos, sujetándose a las restricciones anteriores. La empresa puede prestar como máximo 1.5 millones de dólares. Formule este problema como uno de programación lineal Resuelva por el método simplex. . La empresa Whitt Window tiene sólo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede terminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día. Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio, 8 pies cuadrados. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo producir al día para maximizar la ganancia total.

a) Describa la analogía entre este problema y el de Wyndor Glass Co.Después construya y llene una tabla para este problema, identifique las actividades y los recursos. b) Formule un modelo de programación lineal. c) Use el método gráfico para resolver el modelo. d) Un nuevo competidor en la ciudad también produce ventanas con marco de madera. Esto puede forzar a la compañía a bajar el precio y por ende la ganancia debida a este tipo de ventanas. Cómo cambiaría la solución óptima (si cambia) si la ganancia por ventana de madera disminuye de $60 a $40? ¿Y de $60 a $20? e) Doug piensa reducir sus horas de trabajo, lo cual reduciría el número de ventanas de madera que produce por día. (Cómo cambiaría la solución óptima si hace sólo 5 marcos diarios? 39)

La Apex Televisión Company debe decidir el número de televisores de 27 y 20 in producidos en una de sus fábricas. La investigación de mercado indica ventas de a lo más 40 televisores de 27 in y 10 de 20 in cada mes. El número máximo de horas-hombre disponibles es 500 por mes. Un televisor de 27 in requiere 20 horas-hombre y uno de 20 in, 10. Cada televisor de 27 in produce una ganancia de $120 y cada uno de 20 in produce $80 de ganancia. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todos los televisores producidos si el número no excede el máximo indicado por el estudio de mercado.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método simplex para resolver el modelo. 40)

La compañía Worldlight produce dos dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricas. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricas. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no tiene ganancia, por lo que fabricar más de 60 está fuera de consideración.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Utilice el método simplex para resolver este modelo. (Cuál es la ganancia total que resulta? 41)

La compañía de seguros Primo está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es $5 por el seguro de riesgo especial y $2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes;

251

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Departamento

Suscripciones Administración Reclamaciones

42)


Horas-hombre por unidad Riesgo Hipoteca especial

3 0 2

2 1 0

Horas-hombre disponibles

2.400 800 1.200

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método simplex para resolver el modelo . Weenies and Buns es una planta procesadora de alimentos que fabrica hotdogs y pan para hotdogs. Muelen su propia harina para el pan a una tasa máxima de 200 libras por semana. Cada pan requiere 0.1 libras. Tienen un contrato con Pigland, Inc., que especifica la entrega de 800 libras de productos de chancho cada lunes. Cada hot-dog requiere 1/4 de libra de producto de chancho. Se cuenta con suficiente cantidad del resto de los ingredientes de ambos productos. Por último, la mano de obra consiste en 5 empleados de tiempo completo (40 horas por semana). Cada hotdog requiere 3 minutos de mano de obra y cada pan de 2 minutos de mano de obra. Cada hotdog proporciona una ganancia de $0.20 y cada pan de $0.10. Weenies and Buns desea saber cuántos hotdogs y cuántos panes deben producir cada semana para lograr la ganancia más alta posible.


La compañía manufacturera Omega descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llamados productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción:

Tipo de máquina Fresadora Torno Rectificadora

Tiempo disponible (en horas-máquina por semana) 500 350 150

El número de horas-máquina requeridas para cada unidad de los productos respectivos es, Coeficiente de productividad (en horas máquina por unidad) Tipo de máquina Producto 1 Producto 2 Producto 3 Fresadora 9 3 5 Torno 5 4 0 Rectificadora 3 0 2 El departamento de ventas indica que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria respectiva sería de $50, $20 y $25, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. Formule un modelo de programación lineal y resuélvalo por el método simplex.

44)

Hoy es su día de suerte, Acaba de ganar un premio de $10.000. Dedicará $4.000 a impuestos y diversiones, pero ha decidido invertir los otros $6.000. Al oír las nuevas, dos amigos le han ofrecido una oportunidad de convenirse en socio en dos empresas distintas, cada una planeada por uno de ellos. En ambos casos, la inversión incluye dedicar parte de su tiempo el siguiente verano y dinero en efectivo. Para ser un socio completo en el caso del primer amigo debe invertir $5 000 y 400 horas, y su ganancia estimada (sin tomar en cuenta el valor del dinero en el tiempo) sería $4.500. Las cifras correspondientes para el segundo caso son $4 000 y 500 horas, con una

252



ganancia estimada de $4 500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían participar con cualquier fracción de participación que quiera. Si elige una participación parcial, todas las cifras dadas para la sociedad completa (inversión de dinero y tiempo, y la ganancia) se pueden multiplicar por esta fracción. Como de todas formas usted busca un trabajo de verano interesante (máximo 600 horas), ha decidido participar en una o ambas empresas en alguna combinación que maximice su ganancia total estimada. Usted debe resolver el problema de encontrar la mejor combinación.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método simplex para resolver el modelo, ¿cuál es su ganancia total estimada? 45)

Carne con papas es el plato favorito de Ralph Edmund. Por eso decidió hacer una dieta continua de sólo estos dos alimentos (más algunos líquidos y suplementos de vitaminas) en todas sus comidas. Ralph sabe que no es la dieta más sana y quiere asegurarse de que toma las cantidades adecuadas de los dos alimentos para satisfacer los requerimientos nutricionales. Cuenta con la siguiente información nutricional y de costo:

Granos de ingredientes por porción Ingrediente Carbohidratos Proteínas Grasa Costo/porción

Res 5 20 15 $4

Papas 15 5 2 $2

Requerimiento diario (gramos) ≥50 ≥40 ≤60

Ralph quiere determinar el número de porciones diarias (pueden ser fraccionales) de res y papas que cumplirían con estos requerimientos a un costo mínimo.


Dwight es un maestro de primaria que también cría chanchos para tener ingresos adicionales. Intenta decidir qué alimento darles. Piensa que debe usar una combinación de los alimentos que venden los proveedores locales. Desea que tenga un costo mínimo al mismo tiempo que cada chancho reciba una cantidad adecuada de calorías y vitaminas. El costo y los contenidos de cada alimento se muestran en la tabla.

Contenido Calorías (por libra) Vitaminas (por libra) Costo (por libra)

Alimento tipo A 800 140 unidades $0.40

Alimento tipo B 1.000 70 unidades $0.80

Cada chancho requiere al menos 8 000 calorías por día y 700 unidades de vitaminas. Una restricción más es que el alimento tipo A no sea más de un tercio de la dieta (por peso), pues contiene un ingrediente tóxico si se consume en demasía.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método simplex para resolver el modelo. ¿Cuál es el costo diario por chancho que resulta? 47)

Web Mercantile vende muchos productos para el hogar mediante un catálogo en línea. La compañía necesita un gran espacio de almacén para los productos. Ahora planea rentar espacio para los siguientes 5 meses. Se sabe cuánto espacio necesitará cada mes; pero como varía mucho, puede ser más económico rentar sólo la cantidad necesaria cada mes con contratos mensuales. Por otro lado, el costo adicional de rentar espacio para meses adicionales es menor que para el primero, y puede ser menos costoso rentar el espacio máximo los 5 meses. Otra opción es el enfoque intermedio de cambiar la cantidad total de espacio rentado (con un nuevo contrato y/o la terminación del anterior) al menos una vez pero no cada mes.

253



El espacio requerido y los costos para los periodos de arrendamiento son los siguientes:

Mes 1 2 3 4 5

Espacio requerido (ft2) 30000 20000 40000 10000 50000

Período de arrendamiento (meses) 1 2 3 4 5

Costo por ft 2 arrendado $ 65 $100 $135 $160 $190

El objetivo es minimizar el costo total de arrendamiento para cumplir con los requerimientos.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva este modelo por el método simplex 48)

La Medequip Company produce equipos de precisión de diagnóstico médico en dos fábricas. Se han recibido pedidos de tres centros médicos para la producción de este mes. La tabla a la derecha muestra el costo unitario de envío desde cada fábrica a cada centro. Además, muestra el número de unidades que se producirán en cada fábrica y el número de unidades ordenadas por cada cliente.




Ahora debe toman la decisión sobre el plan de cuántas unidades enviar de cada fábrica a cada cliente.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva el modelo por el método simplex. 49)

Fagersta Steelwonks explota dos minas para obtener mineral de hierro. Este mineral de hierro se envía a una de dos instalaciones de almacenamiento. Cuando se necesita se manda a la planta de acero de la compañía. El siguiente diagrama describe la red de distribución, donde Ml y M2 son las dos minas, Si y S2, los dos almacenes y P es la planta de acero. También muestra las cantidades producidas en las minas y las necesarias en la planta, al igual que el costo de envío y la cantidad máxima que se puede enviar al mes por cada vía. La administración desea determinar el plan más económico de envío del mineral de las minas a la planta.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva este modelo por el método simplex.

254



Metalco Company desea hacer una nueva aleación con 40% de aluminio, 35% de zinc y 25% de plomo a partir de varias aleaciones disponibles que tienen las siguientes propiedades:

Propiedad Porcentaje de aluminio Porcentaje de zinc Porcentaje de plomo Costo ($ / libra)

1 60 10 30 22

2 25 15 60 20

Aleación 3 45 45 10 25

4 20 50 30 24

5 50 40 10 27

El objetivo es determinar las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir la nueva aleación a un costo mínimo. Formule un modelo de programación lineal y resuelva por el método simplex

51)

La Weigelt Corporation tienes tres plantas con exceso en su capacidad de producción. Por fortuna, la corporación tiene un nuevo producto listo para iniciar su producción y las tres plantas pueden fabricarlo, así que se podrá usar parte del exceso de este modo. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y chico; y darán una ganancia neta de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas 1, 2 y 3 tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias de este producto, respectivamente, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también limitaciones en las tasas de producción del nuevo producto. Las plantas 1, 2 y 3 tienen 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio respectivo, para material en proceso de la producción diaria. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20, 15 y 12 pies cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de venta indican que, si están disponibles, se pueden vender 900, 1200 y 750 unidades diarias de los tamaños respectivos grande, mediano y chico. Será necesario despedir algunos empleados en cada planta a menos que la mayor parte de esta capacidad en exceso se pueda usar con el nuevo producto. Para evitar despidos en lo posible, la gerencia ha decidido que las plantas deben usar el mismo porcentaje de su capacidad adicional con este nuevo producto. El gerente desea saber cuántas unidades de cada tamaño producir en cada planta para maximizar la ganancia.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva este modelo por el método simplex. 52)

Confortable Hands es una compañía que produce una línea de guantes de invierno para toda la familia: caballeros, damas y niños. Desean decidir qué mezcla de estos tres tipos de guantes fabricar. La fuerza de trabajo es sindicalizada. Cada empleado de tiempo completo trabaja 40 horas por semana. Por contrato, el número de empleados de tiempo completo no puede ser menor que 20. Se puede contratar trabajadores no sindicalizados con las siguientes restricciones; 1) cada uno trabaja 20 horas por semana y 2) debe haber al menos 2 de tiempo completo por cada uno de medio tiempo. Los tres tipos de guantes están hechos con el mismo porcentaje de piel de vaca. La compañía tiene un contrato a largo plazo con el proveedor de piel y recibe 5000 ft 2 de material por semana. Los requerimientos de material y mano de obra, y la ganancia bruta por guante vendido (sin considerar costo de mano de obra) son:

255

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Guante


Material req. (ft2)

Caballero Dama Niño

Mano de obra req.(min) 30 45 40

2 1.5 1

Ganancia bruta (por parte) $8 $10 $6

Cada empleado de tiempo completo gana $13 por hora y cada uno de medio tiempo, $10 por hora. La gerencia desea saber qué mezcla de los tres tipos de guantes producir por semana, lo mismo que cuántos empleados de cada tipo contratar. Desea maximizar su ganancia neta, o sea, la ganancia bruta menos costo de mano de obra.


Slim Down fabrica una línea de bebidas nutritivas para reducción de peso. Uno de sus productos es una malteada de fresa diseñada como una comida completa. La malteada contiene varios ingredientes. En la tabla seda parte de la información de estos ingredientes.

Ingrediente Sabor fresa Crema Suplemento Vitaminas Endulzante artificial Agente p/espesar

Calorías de grasa (cuch) 1 75 0

Calorías totales (cuch) 50 100 0

Vitaminas s(mg/cuch) 20 0 50

Harinas (mg/cuch) 3 8 1

Costo ($/cuch) 10 8 25

0

120

0

2

15

30

80

2

25

6

Los requerimientos nutritivos son los siguientes. La bebida debe tener un total de 380 a 420 calorías (inclusive). No más de 20% de las calorías totales debe venir de grasas. Debe tener al menos 50 mg de contenido vitamínico. Para el sabor, debe haber al menos 2 cucharadas (cuch.) de saborizante de fresa por cada cucharada de endulzante artificial. Por último, para que esté espeso, debe haber justo 15 mg de harinas en la bebida. La gerencia desea seleccionar la cantidad de cada ingrediente para la bebida que minimice el costo al tiempo que cumpla con los requerimientos anteriores.


Joyce y Marvin tienen una guardería. Ellos intentan decidir qué dar a los niños de almuerzo. Desean mantener sus costos bajos, pero también deben cumplir con los requerimientos nutritivos para niños. Ya decidieron darles sándwiches de mantequilla de maní y mermelada y alguna combinación de galletas, leche y jugo de naranja. El contenido nutritivo de cada alimento y su costo se da en la siguiente tabla.

Alimento Pan (1 reb) Mantequilla maní (l cuch.) Mermelada (l cuch.) Galleta (l pz.) Leche (l taza) Jugo (l taza)

Calorías de grasa 10 de 75

Calorías totales 70 100

Vit. C (mg) 0 0

Prot. (g) 3 4

Costo ($) 5 4

0

50

3

0

7

20 70 0

60 150 100

0 2 120

1 8 1

8 15 35

Los requerimientos nutritivos son los siguientes. Cada niño debe recibir de 400 a 600 calorías. No más de 30% de las calorías totales deben venir de grasas. Cada niño debe consumir al menos 60 mg de vitamina C y 12 g de proteína. Todavía más, por razones prácticas, cada niño necesita justo 2 rebanadas de pan (para un sándwich), al menos el doble de mantequilla de maní

256



que de mermelada y al menos una tasa de líquido (leche y/o jugo de naranja). Joyce y Marvin desean seleccionar las opciones de alimento para cada niño que minimice el costo mientras cumple con los requerimientos establecidos.


Se tienen los siguientes datos para un problema de programación lineal cuyo objetivo es maximizar la ganancia de asignar tres recursos a dos actividades no negativas. Recurso

Uso de recursos por unidad de cada actividad Actividad 1 Actividad 2

1 2 3 Contribución por unidad

2 3 2 $20

Cantidad de recursos disponible

1 3 4 $30

10 20 20

Contribución por unidad = ganancia por unidad de cada actividad.

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método simplex para resolver este modelo. 56)

Ed Butler es el gerente de producción de Bilco Corporation, que produce tres tipos de refacciones para automóviles. La manufactura de cada parte requiere procesamiento en dos máquinas, con los siguientes tiempos de procesado (en horas):

Máquina 1 2

A 0.02 0.05

Refacción B 0.03 0.02

C 0.05 0.04

Cada máquina está disponible 40 horas al mes. La ganancia unitaria de cada parte fabricada está dada por:

Ganancia

A $50

Refacción B $40

C $30

Ed quiere determinar la mezcla de refacciones que debe producir para maximizar la ganancia total. Formule un modelo de programación lineal y resuelva por el método simplex.

57)

Usted cuenta con los siguientes datos para un problema de programación lineal cuyo objetivo es minimizar el costo de realizar dos actividades no negativas para lograr tres beneficios que no bajan de sus niveles mínimos.

Beneficio 1 2 3 Costo unitario

Contribución al beneficio por unidad de actividad Actividad 1 Actividad 2 5 3 2 2 7 9 $60 $50

Nivel mínimo aceptable 60 30 126

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Utilice el método simplex para resolver este modelo.

257



Fred Jonasson administra la granja de su familia. Para complementar varios alimentos que se cultivan en la granja, Fred también cría cerdos para venta y desea determinar las cantidades de los distintos tipos de alimento disponibles (maíz, grasas y alfalfa) que debe dar a cada cerdo. Como los cerdos se comerán cualquier mezcla de estos tipos de alimento, el objetivo es determinar qué mezcla cumple ciertos requisitos nutritivos a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada tipo de ingrediente nutritivo básico contenido en 1 kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos de nutrición diarios y los costos de los alimentos:

Ingrediente nutritivo Carbohidratos Proteínas Vitaminas Costo ($)

Kilogramo de maíz 90 30 10 84

Kilogramo de grasas 20 80 20 72

Kilogramo de alfalfa 40 60 60 60

Req. Mínimo diario 200 180 150

a) Formule el modelo de programación lineal. b) Resuelva por el método simplex. 59)

Maureen Laird es gerente de inversiones de Alva Electric Co., empresa importante en el medio oeste. La compañía ha programado la construcción de nuevas plantas hidroeléctricas a 5, 10 y 20 años para cumplir con las necesidades de la creciente población en la región que sirve. Maureen debe invertir parte del dinero de la compañía para cubrir sus necesidades de efectivo futuras. Puede comprar sólo tres tipos de acciones, cada una cuesta $1 millón por unidad. Se pueden comprar unidades fraccionarias. Las acciones producen ingresos a 5, lO y 20 años, y el ingreso se necesita para cubrir requerimientos mínimos de flujos de efectivo en esos años. (Cualquier ingreso arriba del mínimo requerido para cada periodo se usará para incrementar el pago de dividendos a los accionistas en lugar de ahorrarlo para ayudar a cumplir con los requerimientos mínimos de efectivo el siguiente periodo.) La siguiente tabla muestra la cantidad de ingreso generada por cada unidad de acciones y la cantidad mínima de ingreso requerida para cada periodo futuro en que se construirá una nueva planta.

Años 5 10 20

Ingresos por acción(en millones) Acción 1 Acción 2 Acción 3 $2 $1 $0.5 $0.5 $0.5 $1 $0 $1.5 $2

Flujo de efectivo mínimo requerido $400 $100 $300

Maureen desea determinar la mezcla de inversiones en estas acciones que cubrirá los requerimientos de efectivo y que minimizará la cantidad total invertida. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva por el método simplex.

60)

Una fábrica elabora dos clases de cerveza Pílsener y Club, para lo cual dispone de ingrediente para llenar por lo menos 30 botellas combinadas. Toma 1 hora llenar 20 botellas de la cerveza Pílsener y 2 horas llenar 25 botellas de cerveza Club, se dispone a lo mucho de 2 horas. La demanda de la cerveza Pílsener se estima en el mercado un total de 22 botellas y a lo mucho 10 botellas de la cerveza Club. Cada botella de Pílsener deja una utilidad de 10 centavos y 15 centavos cada botella de la cerveza Club. ¿Cuántas botellas de cada cerveza se deben llenar para alcanzar la máxima ganancia?

61)

Una fábrica elabora dos clases de champú A y B, para lo cual dispone de ingrediente para llenar a lo mucho 80 botellas combinadas de A y B. Toma 1 hora llenar 10 botellas de A y 4 horas llenar 10 botellas de B, se dispone cuando mucho de 20 horas, la demanda de A se estima a lo más en 70 botellas. La fábrica está en capacidad de llenar cuando mucho 90 botellas de A o 60 botellas de B. Cada botella de A le deja una utilidad de 80 centavos y 90 centavos la de B. ¿Cuántas botellas de A y B se deben llenar para que la fábrica obtenga Los mayores beneficios?

62)

Una empresa planea una campaña de publicidad para un nuevo producto. Se establecen como metas el que la publicidad llegue por lo menos a 320 mil individuos audiencia A, de los cuales al menos 120 mil tengan un ingreso mínimo anual de 5.000 dólares, y al menos 80 mil sean solteros.

258



Se desea utilizar únicamente la radio y la televisión como medios de publicidad. Un anuncio de televisión cuesta 10 mil dólares y se estima que llegue a un promedio de 40 mil individuos audiencia A, de los cuales un 25% tienen ingresos superiores a 5.000 dólares anuales y un 20% son solteros. Un anuncio por radio FM cuesta 6 mil dólares y llega a un auditorio promedio de 10 mil oyentes clase A, de los cuales el 80% tienen ingresos superiores a los 5.000 dólares anuales y 4 mil son solteros. Hallar el número de anuncios por cada medio para minimizar el costo.

63)

Control de contaminación.- A causa de reglamentaciones federales nuevas sobre la contaminación, una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso para complementar o reemplazar un proceso anterior en la producción de un químico en particular. El proceso anterior descarga 15 gramos de dióxido de azufre y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de químico producido. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dióxido de azufre y 20 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro producido. La compañía obtiene una utilidad de 30 y 20 centavos por litro en los procesos anterior y nuevo, respectivamente. Si el gobierno permite a la planta descargar no más de 10.500 gramos de dióxido de azufre y no más de 30.000 gramos de partículas a la atmósfera cada día, ¿cuántos litros de químico deben ser producidos diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?.

64)

Producción. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio; sillas, mecedoras y tumbonas. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio como se indica en la tabla siguiente. La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 5000 unidades de plástico y 1450 unidades de aluminio. Cada silla, mecedora y tumbona se venden en $7,58 y $12 respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden ser vendidos, determine el plan de producción de modo que el ingreso total sea maximizado. ¿Cuál es el ingreso máximo?. Resuelva por el método simplex. Silla Mecedora Tumbona




65)

Producción. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y tumbonas. Cada uno requiere madera, plástico yaluminio como se indica en la tabla que sigue. La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1500 de aluminio. Cada silla, mecedora y tumbona se vende en $6, $ 8 y $12, respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden ser vendidos.¿cuál es el ingreso máximo total que puede ser obtenido?. Determine las posibles órdenes de producción que generará ese ingreso. Resuelva por el método simples. Madera Plástico Aluminio Silla 1 unidad 1 unidad 2 unidades Mecedora 1 unidad 1 unidad 3 unidades Tumbona 1 unidad 2 unidades 5 unidades

66)

Producción. Una compañía fabrica tres productos: X Y, Z. Cada producto requiere el uso de tiempo de máquina en las máquinas A y B como se da en la tabla siguiente. El número de hora por semana que A y B están disponibles para la producción son 40 y 30, respectivamente. La utilidad por unidad de X, Y y Z es $50, $60 y $75, respectivamente. Las siguiente semana deben producir al menos cinco para ese período d Z. ¿Cuál deber ser el plan de producción para ese período si la utilidad máxima es alcanzada? ¿Cuál es la utilidad máxima?. Resuelva en computadora.

Producto X Producto Y Producto Z

67)



Inversiones. El folleto informativo de un fondo de inversiones establece que todo el dinero es invertido en bonos que están cosiderados como A, AA y AAA; no mas del 30% de la inversión total está en bonos A y AA, y al menos el 50% está en bonos AA y AAA. Los bonos A, AA y AAA respectivamente obtiene un 8,7 y 6% anual. Determine los porcentajes de la inversión total que

259



serán comprometidos a cada tipo de bono de modo que el fondo maximice el rendimiento anual. ¿Cuál es ese rendimiento?. Resuelva por el método simplex.

68)

Control de emisiones. Una planta de cemento produce 3.300.000 barriles de cemento por año. Los hornos emiten 2 libras de polvo por cada barril producido. La planta debe reducir sus emisiones a no más de 1000000, A y B libras anuales. Hay dos dispositivos de control disponibles A y B. El dispositivo A reducirá las emisiones a ½ libra por barril y el costo es de $0.22 por barril de cemento producido. Para el dispositivo B, las emisiones son reducidas a ¼ de libra por barril y el costo es de $0.40 por barril de c cemento producido. Determine el plan de acción más económico que la planta debe tomar de modo que mantenga su producción anual de exactamente 3.300.000 barriles de cemento. Resuelva por el método simplex.

69)

Costo de Transporte, Un comerciante tiene tiendas en Exton y Whyton, y almacenes A y B en otras dos ciudades. Cada tienda requiere de exactamente 30 refrigeradores. En el almacén A hay 50 refrigeradores y en el B hay 20. Los medios de transporte para enviar los refrigeradores desde los almacenes a las tiendas están dados en la siguiente tabla. Por ejemplo, el costo de enviar un refrigerador desde A hasta la tienda de Exton es de $ 15. ¿Cómo debe solicitar los refrigeradores el comerciante de modo que los requerimientos se satisfagan y el costo total de transporte se minimice? ¿Cuál es el costo mínimo de transporte?. Resuelva por el método simplex. Almacén A Almacén B

Exton $ 15 $ 11

Whyton $ 13 $ 12

70)

Compra de Baterías, Un fabricante de automóviles compra baterías de dos proveedores, X y Y. El fabricante tiene dos planta A y B, y requiere exactamente de 6000 baterías de la planta A y de exactamente 400 a la planta B. El proveedor X carga $30 y 4 32 por batería (incluyendo costos de transporte) a A y B, respectivamente. Para estos precios, X requiere que el fabricante de automóviles ordene al menos un total de 2000 baterías. Sin embargo, X no puede proveer más de 4000 baterías. El proveedor Y carga $34 y $ 28 por batería a A y a B, respectivamente, y requiere una orden mínima de 6000 baterías. Determine como debe hacer los pedidos de baterías el fabricante de automóviles a fin de que su costo total sea mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo?. Resuelva por el método simplex.

71)

Producción de papel para envoltura, una compañía de papel almacena su papel para envoltura en rollos de 48 pulgadas de ancho más pequeños dependiendo de los pedidos de los clientes. Suponga que se recibe un pedido de 50 rollos de papel de 15 pulgadas de ancho y de 60 rollos de 10 pulgadas de ancho. De un rollo de almacenamiento la compañía puede cortar tres rollos de 15 pulgadas de ancho y un rollo de 3 pulgadas de ancho. Como el rollo de 3 pulgadas de ancho no puede ser utilizado en esta orden, es llamado el recorte desperdiciado de este rollo. Del mismo modo, de un rollo de almacenamiento, se puede cortar dos rollos de 15 pulgadas de ancho, un rollo de 10 pulgadas de ancho, y otro de 8 pulgadas de ancho. La siguiente tabla indica el número de rollo de 15 y 10 pulgadas, junto con el desperdicio, que pueden cortarse de un rollo de almacenamiento. (a) Complete las últimas dos columnas de la tabla. (b) Supongamos que la compañía tienen suficientes rollos de almacenamiento para cubrir la orden y que al menos 50 rollos de 15 pulgadas y al menos 60 rollos de 10 pulgadas de ancho de papel para envoltura serán cortados. Si x1, x2, x3, x4, son los números de rollos de almacenamiento que son cortados en una de las formas descritas en las columnas de la 1 a la 4 de la tabla, respectivamente, determine los valores de las x de tal forma que el desperdicio total sea minimizado. (c) ¿Cuál es la mínima cantidad de desperdicio total?. Resuelva por el método simplex. Ancho de rollo Desperdicio

72)

15 pulgadas 10 pulgadas

3 0 3

2 1 8

1 -

-

Costo de mano de obra Una compañía paga a sus trabajadores calificados y semicalificados en su departamento de ensamblado $14 y $ 8 por hora, respectivamente. En el departamento de embarques, a los empleados se les paga $ 9 por hora y a los aprendices $ 6 por hora. La compañía requiere al menos de 90 trabajadores en el departamento de ensamblado y 60 empleados en el departamento de embarques. Debido a acuerdos sindicales, deben emplearse al menos el doble de trabajadores semicalificados que de calificados. También, deben contratarse al

260



menos el doble de los empleados de embarques que de aprendices. Utilice el dual y el método simples para determinar el número de trabajadores de cada tipo que la compañía debe emplear, de modo que el total de salarios por hora sea mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo en salarios por hora?. Resuelva por el método simplex.

73)

Transportación de Petróleo, Una compañía petrolera tiene instalaciones de almacenamiento para combustible de calefacción en las ciudades A, B, C y D. Las ciudades C y D necesitan cada una exactamente 500.000 galones de combustible. La compañía determina que A y B puede proveer cada una un máximo de 600.000 galones para satisfacer las necesidades de C y D. La tabla que se muestra a continuación proporciona los costos por galón para transportar el combustible entre las ciudades. ¿Cómo debe distribuirse el combustible para minimizar el costo total del transporte?, ¿Cuál es el costo mínimo de transporte?. Resuelva por el método simplex. Desde A B

74)

Hacia C $ 0.01 $ 0.02

D $ 0.02 $ 0.04

Terapias con fármacos y radiacion Frecuentemente existen formas alternativas de tratamiento disponibles para pacientes a los que se les diagnostica una enfermedad particular compleja. Con cada tratamiento puede haber no sólo efectos positivos en el paciente sino también efectos negativos, tales como toxicidad o malestar. Un médico debe tomar la mejor elección de estos tratamientos o combinación de tratamientos. Esta elección dependerá no sólo de los efectos curativos sino también de los efectos tóxicos y malestar. Suponga que usted es un médico con un paciente de cáncer bajo su cuidado y dos posibles tratamientos disponibles: administración de medicamentos y terapia de radiación. Supongamos que la eficacia de los tratamientos está expresada en unidades comunes, digamos, unidades curativas. La medicina contiene 1000 unidades curativas por onza y la radiación proporciona 1000 unidades curativas por minuto. Sus análisis indican que el paciente debe recibir al menos 3000 unidades curativas. Sin embargo, un grado de toxicidad está implícito en cada tratamiento. Suponga que los efectos tóxicos de cada tratamiento están medidos en una unidad común de toxicidad, digamos, una unidad tóxica. La medicina contiene 400 unidades tóxicas por onzas y la radiación produce 1000 unidades tóxicas por minuto. Con base en sus estudios, usted cree que el paciente no debe recibir más de 2000 unidades tóxicas. Además, cada tratamiento implica un grado de malestar al paciente. La medicina provoca tres veces más malestar por onza que la radiación por minuto. La tabla resume la información. El problema que se le plantea es determinar las dosis de la medicina y radiación que pueden satisfacer los requerimientos curativos y de toxicidad y, al mismo tiempo, minimizar el malestar al paciente.

TABLA 7.5 Unidades curativas

Unidades tóxicas

Malestar relativo

Medicina (por onza)

1000

400

3

Radiación (por minuto)

1000

1000

1

≥ 3000

≤ 2000

Requerimiento

75)

Una compañía enlatadora ha formulado un modelo de programación lineal como auxiliar para la planificación del proceso enlatado de cosecha de melocotones (duraznos), Hay dos productos (mitades y rebanadas de melocotón) y dos categorías, (A y B). Las mitades se obtienen de melocotones de categoría A y las rebanadas se pueden obtener de una mezcla de melocotones de categoría A y las rebanadas se pueden obtener de una mezcla de melocotones de categoría A y B.

261



Las variables de decisión son: X1 = X2 = X3 =

Número de kilogramos de melocotones de categoría A que se usan en las mitades. Número de kilogramos de melocotones de categoría A que se usan en las rebanadas. Número de kilogramos de melocotones de categoría B que se usan en las rebanadas.

Todas las unidades se expresan en miles de kilogramos. El objetivo es maximizar la contribución al beneficio del enlatado de la cosecha de melocotones. El problema de programación lineal se ha formulado como sigue: Z(MAX) = 0.15X1 + 0.12X2 + 0.12X3 Sujeto a: Demanda de mitades: X1  180 Demanda de rebanadas: X2 + X3  125 Categoría A disponible: X1 + X2  225 Categoría B disponible: X3  75 Mezcla de categorías para -4X2 + X3  0 rebanadas: X1  0 X2  0 X3  0 a) Calcule la tabla simplex. b) ¿Existen soluciones óptimas alternativas? ¿Cómo lo sabe?

76)

Remítase al problema 76. Responda a cada una de las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es el precio máximo que estaría dispuesta a pagar la enlatadora por melocotones adicionales de categoría A? ¿Cuánto compraría a ese precio? b) ¿Cuál es el valor marginal de los melocotones adicionales de categoría B? ¿En qué intervalo es válido este valor marginal? c) El gerente de mercadotecnia de la enlatadora ha modificado la demanda estimada de las mitades, de 180.000 a 200.000 kilogramos. ¿Afectará este cambio de solución del problema de enlatado? ¿Cuál será el incremento de beneficio asociado por el cambio? d) Suponga que el gerente de mercadotecnia ha modificado su estimación de la demanda de las rebanadas, de 125.000 a 145.000 kilogramos. ¿Afectaría a la solución del problema de enlatado? ¿Cuál será el incremento de beneficio asociado por el cambio? e) ¿Cuánto tendría que variar el precio de las mitades de melocotón para que cambiara la solución óptima? f) La enlatadora considera un nuevo producto, rebanadas de lujo, con contribución de 0.14 dólares por kilogramo. un kilogramo de rebanadas de lujo está compuesto por medio kilogramo de melocotones de categoría A y medio kilogramo de categoría B. ¿Debe fabricarse este producto? 77)

La compañía ABC tiene la opción de fabricar dos productos durante los períodos de poca actividad. La producción de la próxima semana se ha programado de manera que la máquina fresadora este libre durante 10 horas y la fuerza de trabajo calificada tenga ocho horas disponibles. El producto A requiere cuatro horas de tiempo de máquinas dos horas de trabajo por unidad. El producto B requiere dos horas de tiempo de máquina y dos horas de trabajo. El producto A contribuye con cinco dólares por unidad a los beneficios y el producto B aporta tres dólares por unidad (sin incluir el costo de tiempo de máquina o de mano de obra). Use el método simplex para encontrar las cantidades de los productos A y B que deben producirse.

78)

El departamento de publicidad de una empresa quiere planificar su estrategia publicitaria para llegar a ciertos porcentajes mínimos de los grupos de altos y bajos ingresos. Se consideran dos alternativas: televisión y revistas. La publicidad en revistas tiene un factor de exposición del 2% por página para el grupo de altos ingresos, pero sólo del 1% para el grupo de ingresos bajos. La

262



televisión, por otra parte, tiene un factor de exposición del 3% por programa para el grupo de ingresos bajos y el 1% para el de ingresos altos. La publicidad en revistas cuesta 1.000 dólares por página; la televisión, 4.000 dólares por programa. Si la empresa quiere una exposición mínima del 50% del grupo de ingresos altos y del 30% del grupo de ingresos bajos, ¿qué estrategia debe usar para minimizar el costo de la publicidad? Nota: Si una persona ve dos veces un programa o lee dos veces un anuncio, se considera que hay doble exposición; por lo tanto, es posible obtener una exposición mayor del 100%. Formule el caso anterior como un problema de programación lineal y obtenga la solución con el método simplex.

79)

La compañía de madera contrachapada Ajax revisa el programa de producción para el próximo mes. Ajax produce tres tipos de tableros de madera contrachapada. Los tableros A y B se pueden producir en dos formas, las cuales requieren distintas cantidades de pino, abeto y picea. Las cantidades disponibles de estas maderas son limitadas para secar el recubrimiento de los tableros. Existe una limitación de 10.000 tableros como capacidad máxima del aserradero Ajax. Estos requisitos se presentan en la tabla. Requisitos

Producto Variable A-1 X1 A-2 X2 B-1 X3 B-2 X4 C X5 Total disponible (miles) (000)

Pino (unidades) 2 0 2 1 1

Abeto (unidades) 0 2 1 2 1

Picea (unidades) 1 1 0 0 1

Tiempo de secado (minutos) 5 7 4 5 6

12

15

6

60

Capacidad global (cada uno) 1 1 1 1 1 10

Contribución al beneficio (dólares por unidad) 1,00 1,00 1,20 1,20 0,80

Ajax quiere maximizar la contribución total al beneficio. Se añaden las siguientes variables de holgura:

80)

S 1 =

Pino no utilizado (miles de unidades)

S 2 =

Abeto no utilizado (miles de unidades)

S 3 =

Picea no utilizada (miles de unidades)

S 4 =

Tiempo de secado no utilizado (miles de minutos)

S 5 =

Capacidad total no utilizada (miles de tableros)

Remítase al problema 80. Responda las siguientes preguntas en forma independiente.

a) ¿Cuál es el valor marginal (precio dual) de una unidad adicional de pino? ¿En qué intervalo es válido este valor marginal? b) ¿Cuál es el valor marginal de una unidad de abeto adicional? ¿En qué intervalo es válido este valor marginal? c) ¿Cuál es el valor marginal de una unidad adicional de picea? ¿En qué intervalo es válido este valor marginal? d) Suponga que la empresa quiere agregar tiempo de secado? ¿Sería rentable? ¿Cuál es el valor marginal de un minuto adicional de tiempo de secado? ¿En qué intervalo es válido este valor? e) ¿Cuál es el valor marginal de una unidad adicional de capacidad global? ¿En qué intervalo es válido este valor? f) ¿Cuánto tendría que aumentar la contribución de un tablero tipo C para que Ajax considerara su producción? g) Considere el producto B-1 (variable X3). ¿Cuáles son los límites del aumento y de la reducción del beneficio por unidad antes de que cambie la solución?

263



h) Suponga que se considera un nuevo tipo de tablero, D, que requiere una unidad de pino y 10 minutos de secado. Su contribución al beneficio es de 1.10 dólares. ¿Debe fabricarse este tablero? 81)

La compañía de nueces Ajax vende mezclas de nueces de dos niveles de calidad. La mezcla más costosa tiene mayor proporción de almendras, y la más barata contiene maní (cacahuate). El precio de las nueces que compra Ajax es: avellanas, un dólar por kilogramo, maní 40 centavos por kilogramo. Las dos mezclas que vende Ajax y sus precios son: mezcla B, 80 centavos por kilogramo. Ajax puede vender cualquier cantidad de estas mezclas pero, debido a la escasez de nueces, no puede obtener más de 100 kilogramos de avellana ni más de 200 kilogramos de maní. La gerencia ha decidido que la mezcla A no debe contener más del 25% anual de maní ni menos del 40% de avellanas. La mezcla B no debe tener más del 60% de maní ni menos del 20% de avellanas. ¿Cómo deben mezclarse las nueces? Es decir, ¿cuántos kilogramos de la mezcla A deben producir (y cual debe ser su composición) y cuántos kilogramos de la mezcla B (y su composición)? Formule la tabla simplex y resuelva.

82)

Paul Bunyan Lumber Company produce tablas de madera de pino y abeto y dos tipos de madera contrachapada. La compañía tiene una contribución al beneficio de cuatro centavos por metro de tabla (m) de pino y de seis centavos por m de abeto. La madera contrachapada de tipo 1 contribuye con 1.20 dólares por tablero y la del tipo 2 obtiene 1.50 dólares por tablero. La compañía tiene 2.580 millares de metros de tabla (MMT) de pino para el mes de diciembre, los cuales pueden usar para tablas o madera contachapada; también hay 2.040 MMT de abeto. Un tablero de madera contrachapada de tipo 1 requiere 16 m de pino y 8 m de abeto. Un tablero de tipo 2 requiere 12 m de cada especie. Las tablas de madera están limitadas solo por la capacidad de la sierra maestra. Esta sierra puede manejar 400 MMT de cualquier especie en un mes. El aserradero de madera contrachapada puede estar restringido por la máquina descortezadora o por la secadora. En un mes no se pueden descortezar más de 250.000 tableros y hay sólo 920.000 minutos de tiempo de secado disponible. Cada tablero de tipo 1 requiere cuatro minutos de secado; los tableros de tipo 2 requieren seis minutos cada uno. Las condiciones del mercado limitan el número de tablero tipo 1 que se pueden vender a un máximo de 120 000; para el tipo 2 el límite es de 100 000 tableros. Se puede vender cualquier cantidad de tablas de madera. La compañía formuló un modelo de programación lineal para sus operaciones, de la siguiente manera: Sea: Z = Contribución al beneficio, en miles de dólares. X1 = Ventas de MMT de madera de pino. X2 = Ventas de MMT de madera de abeto. X3 = Ventas de millares de tableros de madera contrachapada de tipo 1. X4 = Ventas de millares de tableros de madera contrachapada de tipo 2. Z(MAX) = 0.04X1 + 0.06X2 + 1.20X3 + 1.50X4. Sujeto a: X1

+ 16X3 + 12X4  2580 X2 + 18X3 + 12X4  2040 X1 + X2  400 X3 + X4  250 4X3 + 6X4  920 X3  120 X4  100

(disponibilidad de pino) (disponibilidad de abeto) (capacidad de aserradero) (capacidad de la descortezadora) (capacidad de secad (demanda del mercado, madera contrachapada de tipo1) (demanda del mercado, madera contrachapada de tipo 2)

a) Encuentre la solución óptima por el método simplex.

264



b) Suponga que se puede disponer de una unidad más (miles de minutos) de tiempo de secado. ¿Qué efecto tendría en la solución (es decir, cuáles serían los nuevos valores de X 1, X 2, X3 y X4)? c) ¿Cuál es el beneficio adicional asociado con la adición de una unidad (miles de minutos) de tiempo de secado? ¿En qué intervalo es válido este incremento de beneficio? d) ¿Cuál es el valor de la capacidad adicional en la sierra maestra del aserradero? ¿Cuál es el aumento o la reducción de la capacidad antes de que ocurra un cambio básico en las variables de solución? e) Suponga que se pudiera aumentar la demanda de la madera contrachapada de tipo 2 en una unidad (mil tableros) ¿Cuál sería el incremento de beneficio? ¿En qué intervalo sería válido? f) Se propone un tercer tipo de madera contrachapada, con contribución de 1.60 dólares al beneficio. Para ello se requerirán 8 m de pino y 16 m de abeto. Además, el tiempo de secado sería de ocho minutos. ¿Debe producirse este tipo de tablero? ¿Cuál sería su beneficio marginal? 83)

Dos productos diferentes, PI y P2, se pueden fabricar en cualquiera de dos máquinas diferentes, MI y M2. El tiempo de procesamiento por unidad de cualquiera de los productos en cualesquiera de las máquinas, es el mismo. La capacidad diaria de la máquina, M1, es de 200 unidades (ya sea de P1 o de P2 o de la mezcla de ambos) y la capacidad diaria de la máquina. M2, es de 250 unidades. El supervisor del taller quiere balancear el programa de producción de las dos máquinas, de tal manera que el número de unidades producidas en máquina esté dentro de 5 unidades del número producido en la otra. La utilidad por unidad de P1 es de 10 dólares y la P2 es de 15 dólares. Prepare el problema en la forma estándar de PL.

84)

JoShop fabrica tres productos, cuyas utilidades por unidad son de 2, 5 y 3 dólares, respectivamente. La compañía ha presupuestado 80 horas de tiempo de mano de obra y 65 horas de tiempo máquina para la fabricación de los tres productos. Los requerimientos de mano de obra por unidad de los productos 1, 2 y 3 son de 2, 1 y 2 horas, respectivamente. Los correspondientes requerimientos de tiempo máquina por unidad son de 0.1 y 0.5 horas JoShop considera la mano de obra y las horas presupuestadas como metas que puede exceder, si es necesario pero a un costo adicional de 15 dólares por hora e mano de mano de obra y de 10 dólares por hora máquina. Las respectivas utilidades por unidad para los tres productos son 2, 5 y 3 dólares.

a) Formule el problema como una PL y determine todas sus soluciones básicas factibles b) Utilice los resultados en (a) para determinar la solución óptima. 85)

Nutri-Jenny es un centro de control del peso. Produce una amplia variedad de platillos congelados para el consumo de su clientela. Los platillos están estrictamente vigilados por su contenido nutritivo para asegurar que los clientes coman una dieta balanceada. Un nuevo platillo será una "'comida de puntas de filete". Consistirá en puntas de filete y salsa, más alguna combinación de chícharos, zanahorias y un bollo de pan. Nutri-Jenny desea determinar qué cantidad incluir de cada producto en el platillo para cumplir con los requerimientos nutritivos al menor costo posible. En el siguiente cuadro se da la información nutricional y su costo. Los requerimientos nutritivos del platillo son como sigue: 1) debe contener entre 280 y 320 calorías, 2) las calorías originadas en grasa no deben exceder 30% del número total de calorías, y 3) debe contener al menos 600 UI de vitamina A, 10 miligramos de vitamina C y 30 gramos de proteína. Más aún, por razones prácticas debe incluir de menos 2 onzas de carne de res y contener al menos media onza de salsa por onza de res.

Producto

Calorías

Calorías originadas en grasa por hors

Vitamina A (U1 por onza)

Vitamina C (Mg por onza)

Proteína (g por onza)

Costo (por onza)

Puntas de filete Salsa Chícharos Zanahorias Bollo de pan

54

19 15 0 0 10

0 0 15 350 0

0 1 3 1 0

8 0 1 1 1

40 35 15 18 10

20 15 8 40

Formule en forma algebraica.

86)

The Learning Center opera un campamento de verano para niños de 6 a 10 años. Su gerente, Elizabeth

265



Reed, intenta reducir los costos operativos para evitar tener que aumentar la cuota de inscripción. Por ahora, Elizabeth planea qué dar de comer a los niños en el almuerzo. Desea mantener los costos

Unidad de alimento Pan ( 1 rebanada) Mantequilla de cacahuate (1 cucharada)

Calorías originadas Calorías Vitamina C (mg) en grasa totales 15 80 0 80 100 0

Fibra Costo (g) M 4 6 0 D

Jalea ( l cucharada) Manzana

0 0

70 90

4 6

3 10

8 35

Leche (1 taza)

60

120

2

0

20

Jugo de arándano ( 1 taza)

0

110

80

1

40

Al mínimo, pero también quiere estar segura de que cubre los requerimientos nutricionales de los niños. Ya decidió incluir sandwiches de mantequilla de cacahuate y jalea, y alguna combinación de manzanas, leche y jugo de arándano. En la tabla se da el contenido nutricional de cada opción de alimento y su costo. Los requerimientos nutricionales son como sigue. Cada niño debe recibir entre 300 y 500 calorías, pero no más de 30% de estas calorías deben provenir de grasa. Cada niño debe recibir al menos 60 miligramos f mg) de vitamina C y al menos 10 gramos (g) de fibra. Para asegurar sandwiches sabrosos, Elizabeth quiere dar a cada niño un mínimo de 2 rebanadas de pan, 1 cucharada de mantequilla de cacahuate, 1 cucharada de jalea, junto con al menos 1 taza de líquido {leche y jugo de arándano). Elizabeth desea seleccionar las opciones de alimentos que minimicen el costo al tiempo que cumplan todos estos requerimientos.

87)

David, LaDeana y Lydia son socios únicos y trabajadores de una compañía que fabrica relojes finos. David y LaDeana, cada uno de ellos, tienen disponibilidad de trabajar un máximo de 40 horas semanales en la compañía, mientras que Lydia cuenta con un máximo de 20 horas semanales. La compañía fabrica dos tipos de relojes: un reloj de pie y uno de pared. Para fabricar uno, David (ingeniero mecánico) ensambla las partes mecánicas internas del reloj mientras que LaDeana (ebanista) fabrica las cubiertas de madera labrada a mano. Lydia es responsable de tomar órdenes y enviar los relojes. Se muestra en seguida el tiempo requerido para cada una de estas tareas.

Tiempo retenido Tarea: Reloj de pie Ensamble de mecanismo de reloj 6 horas Cubierta de madera labrada. 8 horas envió 3 horas

Reloj de pared 4 horas 4 horas 3 horas

Cada reloj de pie fabricado y enviado proporciona una ganancia de $300, mientras que cada reloj de pared da una ganancia de $200. Ahora, los tres socios quieren determinar cuántos relojes de cada tipo deben producir por semana para maximizar la ganancia total.

a) b) c) d) e) f)

Formule un modelo de programación lineal para este problema. Use el método gráfico para resolver el problema. Despliegue el modelo en una hoja de cálculo. Usar el informe de sensibilidad para determinar si esta solución óptima sigue óptima si la estimación de la ganancia unitaria para los relojes de pie cambia de $300 a $375 (sin más cambios en el modelo). Repita la parte d si, además de este cambio en la ganancia unitaria de relojes de pie, la ganancia unitaria estimada para relojes de pared también cambia de $200 a $175. Use el análisis gráfico para verificar sus respuestas en las partes d y e.

266

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I g)

h) i) j) k)


Para aumentar la ganancia total, los tres socios acordaron que uno de ellos aumentará ligeramente el máximo de horas de trabajo por semana. La elección de quién de ellos se basará en quién aumentaría más la ganancia total. Use el informe de sensibilidad para efectuar esta elección. (Suponga que no hay cambios en las estimaciones originales de las ganancias unitarias.) Explique por qué uno de los precios unitarios es igual a cero. ¿Es válido usar los precios del informe de sensibilidad para determinar el efecto si Lydia cambiara su número máximo de horas disponibles de trabajo a la semana de 20 a 25? Si es así, ¿cuál sería el aumento en la ganancia total? Repita la parte j si, además del cambio para Lydia, David también cambiara su número máximo de horas disponibles semanales de 40 a 35. Use el análisis gráfico para verificar su respuesta en la parte k.

88) La Electrocomp Corporation fabrica dos productos eléctricos: acondicionadores de aire y grandes ventiladores. El proceso de ensamble de cada uno es similar en el sentido que ambos requieren una cierta de cantidad de alambrado y taladrado. Cada acondicionador de aire requiere 3 horas de alambrado y 2 de taladrado. Cada ventilador debe pasar por 2 horas de alambrado y 1 hora de taladrado. Durante el siguiente periodo de producción, están disponibles 240 horas de tiempo de alambrado y se pueden utilizar hasta 140 horas de tiempo de taladrado. Cada acondicionador de aire vendido produce una ganancia de $25. Cada ventilador ensamblado puede ser vendido con una ganancia de $15. Formule y resuelve esta situación de mezcla de producción de programación lineal para encontrar la mejor combinación de acondicionadores de aire y ventiladores que produzcan la ganancia máxima. Use el método gráfico para hallar la solución. 89)

La administración de Electrocomp se percata de que no incluyó dos restricciones críticas (vea el problema 88).En particular, la administración decide que para garantizar un suministro adecuado de acondicionadores de aire de un contrato, se deben fabricar, por lo menos, 10 de estos aparatos. Como Electrocomp incurrió en una sobreoferta de ventiladores en el periodo precedente, la administración también insiste que no se produzcan más de 80 ventiladores durante este periodo de producción. Resuelva este problema de mezcla de productos para encontrar la nueva solución óptima.

90)

Un candidato a alcalde de un pequeño pueblo asignó $40,000 para publicidad de último minuto en los días previos a la elección. Se utilizarán dos tipos de anuncios: radio y televisión. Cada anuncio de radio cuesta $200 y llega a un auditorio estimado de 3000 personas. Cada anuncio de televisión, que cuesta $500, afectará a unas 7000 personas. Al planificar la campaña de publicidad, la directora de ésta desea llegar a tantas personas como sea posible, y estipuló que se deben utilizar, por lo menos, 10 anuncios de cada tipo. Además, el número de anuncios de radio debe ser por lo menos igual al número de anuncios de televisión. ¿Cuántos anuncios de cada tipo se deberán utilizar? ¿A cuántas personas llegarán?

91)

La Outdoor Furniture Corporation fabrica dos productos, bancas y mesas de día de campo, que pueden ser usados en jardines de casas y parques. La firma cuenta con dos recursos principales: sus carpinteros (fuerza de mano de obra) y existencias de madera de pino para construir el mobiliario. Durante el siguiente ciclo de producción, están disponibles 1200 horas de mano de obra según un acuerdo con el sindicato. La firma también dispone de 3500 pies de madera de pino de buena calidad. Cada banca que Outdoor Furniture produce requiere 4 horas de mano de obra y 10 pies de madera; cada mesa de día de campo, 6 horas de mano de obra y 35 pies de madera. Las bancas terminadas redituarán una ganancia de $20 cada una. ¿Cuántas bancas y mesas de día de campo deberá producir Outdoor Furniture para obtener la ganancia máxima posible? Use el método gráfico de programación lineal.

92)

El decano de Western College of Business debe planificar las ofertas de cursos de la escuela para el semestre de otoño. Las demandas de los estudiantes hacen necesario ofrecer por lo menos 30 cursos de licenciatura y 20 de posgrado en el semestre. Los contratos del profesorado también dictan que se ofrezcan por lo menos 60 cursos en total. Cada curso de licenciatura impartido le cuesta a la universidad un promedio de $2500 en salarios de profesores, mientras que cada curso de posgrado cuesta $3000. ¿Cuántos cursos de licenciatura y posgrado deberán ser impartidos en el otoño de modo que los salarios de los profesores se mantengan en su mínima expresión?

267



93)

MSA Computer Corporation fabrica dos modelos de minicomputadoras, Alpha 4 y Beta 5. La firma emplea cinco técnicos, que trabajan 160 horas cada uno al mes en su línea de ensamble. La administración insiste en que se mantengan las horas de trabajo (es decir, todas las 160 horas) de cada trabajador durante las operaciones del mes siguiente. Se requieren 20 horas de mano de obra para ensamblar cada computadora Alpha 4 y 25 para elaborar cada modelo Beta 5. MSA desea producir por lo menos 10 Alpha 4s y por lo menos 15 Beta 5s durante el periodo de producción. Las Alpha 4s generan $1200 de utilidad por unidad y las Beta 5s producen $1800 cada una. Determine el número más rentable de cada modelo de minicomputadora que se debe producir durante el siguiente mes.

94)

Un ganador de la Texas Lotto decidió invertir $50,000 al año en el mercado de valores. Piensa adquirir acciones de una firma petroquímica y una compañía de servicios públicos. Aunque una meta a largo plazo es obtener los máximos rendimientos posibles, no ha pasado por alto el riesgo que implica la compra de acciones. Se asigna un índice de riesgo de 1-10 (con 10 como el más riesgoso) a cada una de las dos acciones. El riesgo total del portafolio se encuentra multiplicando del riesgo de cada acción por los dólares invertidos en ella. La tabla siguiente proporciona un resumen de la devolución y el riesgo.

Al inversionista le gustaría maximizar el rendimiento de la inversión, pero el índice de riesgo promedio de ésta no deberá ser de más de 6. ¿Cuánto deberá invertir en cada acción? ¿Cuál es el rendimiento estimado de esta inversión?

95)

Remítase a la situación de la Texas Lotto del problema 94, y suponga que el inversionista cambió de actitud sobre la inversión y desea poner mayor atención en el riesgo de la inversión. Ahora desea minimizar el riesgo de ésta mientras genere un rendimiento de por lo menos 8%. Ordene estos datos como un problema de PL y encuentre la solución óptima. ¿Cuánto deberá invertir en cada acción? ¿Cuál es el riesgo promedio de esta inversión? ¿Cuál es el rendimiento estimado de esta inversión?

96)

La casa de bolsa Blank, Leibowitz y Weinberger ha analizado y recomendado dos acciones a un club de inversionistas constituido por profesores universitarios. Estos estaban interesados en factores tales como crecimiento intermedio y tasas de dividendos. Los datos sobre cada acción son los siguientes:

Cada miembro del club tiene una meta de inversión de (1) una ganancia de no menos de $720 a corto plazo, (2) una ganancia de por lo menos $5000 en los siguientes tres años y (3) un ingreso por dividendos de por lo menos $200 al año. ¿Cuál es la inversión más pequeña que un profesor puede hacer para satisfacer estas tres metas?

97)

Woofer Pet Foods produce un alimento de bajas calorías para perros obesos. Este producto se elabora con productos de carne y granos. Cada libra de carne cuesta $0.90 y cada libra de grano

268



$0.60. Una libra del alimento para perros debe contener por lo menos 9 unidades de vitamina 1 y 10 unidades de vitamina 2. Una libra de carne contiene 10 unidades de vitamina 1 y 12 unidades de vitamina 2. Una libra de granos contiene 6 unidades de vitamina 1 y 9 unidades de vitamina 2. Ordene estos datos como un problema de PL para minimizar el costo del alimento para perros. ¿Cuántas libras de carne y de granos deberán ser incluidas en cada libra de alimento para perros? ¿Cuál es el costo y el contenido de vitaminas del producto final?

98)

Serendipity6 Los tres príncipes de Serendip, eemprendieron un viaje no podían llevar mucho peso; más de 300 libras los hicieron vacilar. Decidieron llevar pequeñas porciones. Cuando regresaron a Ceilán Descubrieron que sus provisiones estaban a punto de desaparecer cuando, para su regocijo, el príncipe William encontró una pila de cocos en el suelo “Cada uno llevará 60 rupias”, dijo el

príncipe Richard con una mueca de aprobación cuando casi se tropieza con una piel de león. “Cuidado”, exclamó el príncipe Robert con alegría cuando divisó más pieles de león bajo un árbol. “Éstas valen más de 300 rupias cada una si sólo pudiéramos llevárnos las hasta la playa.” Cada

piel pesaba 15 libras y cada coco cinco, pero cargaron con todo en un santiamén. El bote de regreso a la isla era muy pequeño 15 pies cúbicos de capacidad de carga, eso era todo, cada piel de león ocupaba un pie cúbico mientras que ocho cocos ocupaban el mismo espacio con todo estibado se hicieron a la mar, y en el trayecto debían calcular a cuánto podría ascender su nueva riqueza. “¡Eureka!” gritó el príncipe Robert, “nuestra riqueza es tan grande que no existe otra forma de regresar en este estado. Cualquier otra piel o coco que pudiéramos haber traído ahora nos harían más pobres. Y ahora que sé cuántos son cinco le escribiré a mi amigo Horace en Inglaterra y con toda seguridad sólo él podrá apreciar nuestra serendipity”. Formule y resuelva Serendipity mediante PL gráfica para calcular “cuál podría ser su nueva Riqueza”.

99)

El Peed 'N Ship Ranch engorda ganado para los granjeros locales y lo envía a los mercados de carne de Kansas City y Omaha. Los propietarios del rancho desean determinar las cantidades de alimento para ganado que deben comprar de modo que se satisfagan los estándares nutricionales mínimos y, al mismo tiempo, se minimicen los costos totales de alimentación. La mezcla de alimentos se puede componer de los tres granos que contienen los siguientes ingredientes por libra de alimento:

Ingrediente A B C D

Alimento (onzas) Mezcla X Mezcla Y Mezcla Z 3 2 4 2 3 1 1 0 2 6 8 4

El costo por libra de las mezclas X, Y y Z son $2, $4 y $2.50, respectivamente. El requerimiento mínimo por vaca por mes es de 4 libras del ingrediente A, 5 libras del B, 1 libra del C y 8 libras del D. El rancho enfrenta una restricción adicional: pese a cualquier circunstancia, sólo puede obtener 500 libras de la mezcla Z por mes del proveedor de alimentos. Como por lo general hay 100 vacas en el Feed 'N Ship Ranch en un momento dado, esto significa que no se puede contar con más de 5 libras de la mezcla Z para usarse en la alimentación de cada vaca por mes.

a) b)

Formule un problema de PL utilizando la información proporcionada. Resuelva el problema con algún programa computacional de PL.

100) Weinberger Elecronics Corporation fabrica cuatro productos altamente técnicos que vende a firmas aeroespaciales que tienen contratos con la NASA. Antes de ser embarcado, cada uno de los productos debe pasar a través de los siguientes departamentos: alambrado eléctrico, taladrado, ensamble e inspección. El requerimiento de tiempo en horas por cada unidad producida y su valor lucrativo se resumen en la tabla siguiente:

269



Departamento Producto Alambrado Taladrado Ensamble Inspección XJ201 0.5 0.3 0.2 0.5 XM897 1.5 1 4 1 TR29 1.5 2 1 0.5 BR788 1.0 3 2 0.5

Utilidad por unidad ($) 9 12 15 11

La producción disponible en cada departamento cada mes y el requerimiento de producción mínima mensual para cumplir con los contratos son los siguientes:

Departamento Capacidad Producto Nivel de producción (horas) mínimo Alambrado 15.000 XJ201 150 Taladrado 17.000 XM897 100 Ensamble 26.000 TR29 300 Inspección 12.000 BR788 400 El gerente de producción tiene la responsabilidad de especificar los niveles de producción de cada producto para el mes entrante. Ayúdelo a formular (es decir, establecer las restricciones y función objetivo) el problema de Weinberger mediante PL.

101) Un fabricante de artículos deportivos que está desarrollando un programa de producción de dos nuevos tipos de raquetas para raquetbol recibió un pedido de 180 del modelo estándar y 90 del modelo profesional que debe ser entregado al final de este mes. Se recibió otro pedido de 200 unidades del modelo estándar y 120 del modelo profesional, pero éste no tiene que ser entregado sino hasta finales del mes siguiente. La producción en cada uno de los dos meses puede realizarse en tiempo normal o tiempo extra. En el mes en curso, una raqueta estándar puede ser producida a un costo de $40 con tiempo normal, y un modelo profesional se puede ser fabricar a un costo de $60 en tiempo normal. El tiempo extra eleva el costo de estos modelos a $50 y $70, respectivamente. Debido a un nuevo contrato de trabajo para el mes siguiente, todos los costos se incrementarán en 10% a fines de este mes. El número total de raquetas que puede ser producido en un mes en tiempo normal es 230 y 80 raquetas adicionales pueden ser producidas con tiempo extra cada mes. Dado que el pedido mayor se entregará a finales del mes siguiente, la compañía planea producir algunas raquetas extra este mes y almacenarlas hasta finales del mes siguiente. El costo de conservar las raquetas en el inventario durante un mes se estima en $2 por raqueta. Con estos datos formule un modelo de PL para minimizar el costo. 102) Trabajando con químicos del Virginia Tech y de la Universidad George Washington, el contratista paisajista Kenneth Golding mezcló s u propio fertilizante, llamado “Holding Grow”, compuesto por cuatro complejos químicos, C-30, C-92, D-21 y E-11. A continuación se indica el costo por libra de cada complejo. Complejo químico C – 30 C – 92 D – 21 E - 11

Costo por libra ($) 0.12 0.09 0.11 0.04

L as especificaciones de Golding Grow son las siguientes: 1) E-11 debe constituir por lo menos 15% de la mezcla; 2) C-92 y C-30 juntos deben constituir por lo menos 45% de la mezcla; 3) D-21 y C-92 juntos pueden constituir no más de 30% de la mezcla, y 4) Golding Grow se empaca y vende en sacos de 20libras.

a) b)

Formule un problema de PL para determinar qué mezcla de los cuatro compuestos permitirá a Golding minimizar el costo de un saco de 50 libras del fertilizante. Resuélvalo con computadora para encontrar la mejor solución.

103) (Problema de producc ión ) Winkler Furniture fabrica dos tipos de vitrinas: un modelo provenzal francés y un modelo danés moderno. Cada vitrina producida debe pasar por tres departamentos: carpintería, pintura y acabado. La tabla de la página 321 contiene toda información concerniente a los tipos de producción por vitrina y capacidades de producción de cada operación por día, junto

270



con el ingreso neto por unidad producida. La compañía firmó un contrato con un distribuidor de Indiana para producir un mínimo de 300 vitrinas de cada modelo por semana (o 60 por día). El propietario, Bob Winkler, desea determinar una mezcla de productos para maximizar su ingreso diario.

a) b)

Formule como un problema de PL. Resuelva con un programa de PL u hoja de cálculo.

104) (Problema de d ecisión d e inversión ) La compañía de intermediación financiera Heinlein and Krampf Brokerage acaba de ser instruida por uno de sus clientes para que invierta $250,000 de su dinero que obtuvo recientemente por la venta de unos terrenos en Ohio. El cliente tiene un buen grado de confianza en la casa inversora, pero también tiene sus propias ideas sobre la distribución de los fondos que se van a invertir. En particular, solicita que la firma elija las acciones y bonos que crea están bien valuados, pero dentro de los siguientes lineamientos: a) b) c)

Los bonos municipales deben constituir, por lo menos, 20% de la inversión. Por lo menos, 40% de los fondos debe ser colocado en una combinación de compañías electrónicas, aeroespaciales y farmacéuticas. No más de 50% de la suma invertida en bonos municipales debe ser colocado en acciones de alto rendimiento y alto riesgo de una casa de beneficencia.

Sujeto a estas restricciones, el objetivo del cliente es maximizar el rendimiento proyectado de las inversiones. Los analistas en Heinlein and Krampf, conscientes de estos lineamientos, preparan una lista de acciones y bonos de alta calidad y sus tasas de rendimiento correspondientes.

In versiones Bonos municipales de Los Ángeles Thompson Electronics, Inc. United Aerospace Corp. Palmer Drugs Casa de beneficiencia Happy Days

a) b)

Tasas de rendimiento proyectada (%) 5.3 6.8 4.9 8.4 11.8

Formule este problema de selección de cartera por medio de PL. Resuelva este problema.

105) (Problema de horarios de trabajo en un restaurante) El famoso restaurante Y. S. Chang está abierto las 24 horas del día. Los meseros y sus ayudantes entran a las 3 A.M., 7A.M., 11 A.M., 3 P.M. u 11 P.M. y cada uno cubre un turno de 8 horas. La tabla siguiente muestra el número mínimo de trabajadores necesarios durante los seis periodos en los que se divide el día. El problema de programación de horarios de Chang es determinar cuántos meseros y ayudantes deberán reportarse al trabajo al inicio de cada periodo para minimizar el personal total requerido durante un día de operación. (Sugerencia: Sea Xi igual al número de meseros y ayudantes que empiezan a trabajar en el periodo i, donde i = 1,2, 3, 4, 5,6)

271



106) (Problema de mezcla de alimentos p ara anim ales) El Battery Park Stable alimenta y aloja los caballos utilizados para tirar carruajes llenos de turistas por las calle del histórico distrito ribereño de Charleston. El propietario del establo, un entrenador retirado de caballos de carreras, reconoce la necesidad de diseñar una dieta nutricional para los caballos a su cuidado. Al mismo tiempo, quiere mantener al mínimo el costo diario total de alimentación. Las mezclas de alimentos disponibles para la dieta de los caballos son un producto de avena, un grano altamente enriquecido y un producto mineral. Cada una de estas mezclas contiene una cierta cantidad de cinco ingredientes requeridos diariamente para mantener saludable al caballo promedio. La tabla de la página 322 muestra estos requerimientos mínimos, las unidades de cada ingrediente por libra de mezcla de alimentos y los costos de las tres mezclas. Además, el propietario del establo sabe que un caballo sobrealimentado es un trabajador perezoso. Por consiguiente, determina que 6 libras de alimento por día son lo máximo que cualquier caballo necesita para funcionar apropiadamente. Formule este problema de la mezcla diaria óptima de los tres alimentos y resuélvalo.

107) (Problema de selección de beisbolis tas) Los Dubuque Sackers, un equipo de béisbol clase D, enfrenta cuatro complicados juegos de visitante contra rivales de la liga en Des Moines, Davenport, Omaha y Peoria. El director técnico “Red” Revelle enfrenta la tarea de programar a sus


a) b)


272



108) (Problema de selección de medios ) El director de publicidad de Diversey Paint and Supply, una cadena de cuatro tiendas de venta al menudeo del área norte de Chicago, considera dos posibilidades de medios. Un plan contempla una serie de anuncios de media página en el periódico Chicago Tribune del domingo; el otro, tiempo de publicidad en la TV de Chicago. Las tiendas están expandiendo sus líneas de herramientas de "hágalo usted mismo" y el director de publicidad está interesado en un nivel de exposición de por lo menos 40% dentro de los vecindarios de la ciudad y de 60% en las áreas suburbanas del noroeste. El tiempo de audiencia de TV considerado tiene un "rating" de exposición por anuncio de 5% en hogares de la ciudad y de 3% en los suburbios del noroeste. El periódico dominical tiene tasas de exposición correspondientes de 4% y 3% por anuncio. El costo de una media página de publicidad en el Tribune es de $925; un anuncio de televisión cuesta $2000. Diversey Paint desea seleccionar la estrategia de publicidad menos costosa que satisfaga los niveles de exposición deseados

a) b)

Formule con PL. Resuelva el problema.

109) (Problema de arrendamiento de automóviles) Sundown Rent-a-Car, una gran agencia de arrendamiento de automóviles que opera en el Medio Oeste, está preparando una estrategia de arrendamiento para los seis meses siguientes. Sundown renta los automóviles a un fabricante y luego los renta al público de forma diaria. A continuación se da una predicción de la demanda de los autos de Sundown en los seis meses siguientes:

Los automóviles pueden rentarse al fabricante durante tres, cuatro o cinco meses. Los vehículos se rentan el primer día del mes y se regresan el último día del mes. Cada seis meses Sundown notifica al fabricante de automóviles sobre el número de automóviles requeridos durante los seis meses siguientes. El fabricante ha estipulado que por lo menos 50% de las unidades rentadas durante un periodo de seis meses deben estar en el plan de arrendamiento de cinco meses. El costo mensual de cada uno de los tres tipos de arrendamiento es: $420 el de tres meses, $400 el de cuatro meses y $370 el de cinco meses. Actualmente, Sundown tiene 390 autos. El arrendamiento de 120 de ellos expira a finales de marzo. El de otros 140 a finales de abril y el del resto a finales de mayo. Use PL para determinar cuántos automóviles deben rentarse cada mes en cada tipo de arrendamiento para minimizar el costo de arrendamiento durante el periodo de seis meses. ¿Cuántos vehículos quedan a finales de agosto?

110) La gerencia de Sundown Rent-a-Car (vea el problema 8-7) ha decidido que tal vez el costo durante el periodo de seis meses no es el apropiado para minimizarlo porque la agencia aún puede estar obligada a meses adicionales en algunos arrendamientos después de ese tiempo. Por ejemplo, si Sundown entregara algunos automóviles al principio del sexto mes, aún estaría obligada durante dos meses más en un arrendamiento de tres meses. Use PL para determinar cuántos autos deben rentarse cada mes en cada tipo de arrendamiento para minimizar el costo de arrendamiento durante toda la duración de estos contratos. 111) (Problema de transporte escolar de estudiantes de preparatoria) El superintendente de educación del condado de Arden, Maryland, es el responsable de asignar estudiantes a las tres preparatorias que hay en su condado. Reconoce la necesidad de transportar a un cierto número de estudiantes, ya que varios sectores del condado están bastante alejados como para ir caminando a la escuela. El superintendente divide el condado en cinco sectores geográficos ya que intenta establecer un plan que minimice el número de millas-estudiante recorridas en autobús. También reconoce que si un estudiante vive en un cierto sector y es asignado a una preparatoria

273



de dicho sector, no hay necesidad de transportar a ese estudiante por autobús porque él o ella puede caminar a la escuela. Las tres escuelas están localizadas en los sectores B, C y E. La tabla anexa refleja el número de estudiantes de preparatoria que viven en cada sector y la distancia en millas de cada sector a cada escuela.

Cada preparatoria tiene una capacidad de 900 estudiantes. Establezca la función objetivo y restricciones de este problema por medio de PL de modo que el número total de millas – estudiante recorridas por autobús se minimice. (Observe la semejanza con el problema de transporte ilustrado con anterioridad en este capítulo.) Luego resuelva el problema.

112) (Prob lema de asignación de precios y estrategia de comercialización) La I. Kruger Paint and Wallpaper Store es un gran distribuidor minorista de la marca Supertrex de papeles tapiz de vinilo. Kruger desea mejorar su imagen a nivel de toda la ciudad en Miami mediante la superación de las ventas de otros distribuidores locales en el número total de rollos de Supertrex el siguiente año. Se puede estimar la función de demanda como sigue: Número de rollos de Supertrex vendidos = 20 X dólares gastados en publicidad + 6.8 X dólares gastados en exhibidores en la tienda + 12 X dólares invertidos en el inventario de papel tapiz disponible - 650,000 X porcentaje de margen de ganancia sobre el costo de venta al mayoreo de un rollo. La tienda presupuesta un total de $17,000 para publicidad en exhibidores en la tienda y en inventario disponible de Supertrex para el año siguiente. Decide que debe gastar por lo menos $3000 en publicidad; además, por lo menos 5% de la suma invertida en inventario disponible deberá ser dedicado a exhibido-res. Los márgenes de ganancia en Supertrex de otros distribuidores locales oscilan entre 20 y 45%. Kruger decide que sería mejor que su margen de ganancia estuviera también en este intervalo.

a) b) c) d)

Ordene estos datos como un problema de PL. Resuelva el problema. ¿Cuál es la dificultad con la respuesta? ¿Qué restricción agregaría?

113) (Problema de expan sión de un ho spital) El hospital Mt. Sinai en Nueva Orleans es una gran empresa privada con 600 camas que cuenta con laboratorios, quirófanos y equipo de rayos X. Para incrementar sus ingresos, la administración del Mt. Sinai ha decidido hacer una ampliación para 90 camas en una fracción del terreno adyacente que se utiliza actualmente como estacionamiento del personal. La administración considera que los laboratorios, los quirófanos y el departamento de rayos X no se utilizan en su totalidad en el presente y no necesitan ampliarse para atender a pacientes adicionales. La adición de 90 camas, sin embargo, implica decidir cuántas camas deberán ser asignadas al personal médico para pacientes médicos y cuántas al personal quirúrgico para pacientes de este tipo. Los departamentos de contabilidad y registro médico del hospital proporcionaron la siguiente información al respecto. La permanencia promedio en el hospital de un paciente médico es de 8 días, y genera ingresos por $2280. El paciente quirúrgico promedio permanece en el hospital 5 días y recibe una factura de $1515. El laboratorio puede manejar 15,000 pruebas por año más de las que manejaba. El paciente médico promedio requiere 3.1 exámenes de laboratorio, en tanto

274



que el paciente quirúrgico promedia 2.6. Además, el paciente médico promedio requiere un estudio de rayos X, mientras que el paciente quirúrgico promedio requiere dos. Si el hospital expandiera su capacidad en 90 camas, el departamento de rayos X podría manejar hasta 7000 estudios sin un costo significativo adicional. Por último, la administración estima que podrían hacerse 2800 operaciones adicionales en los quirófanos existentes. Los pacientes médicos, desde luego, no requieren cirugía, mientras que cada paciente quirúrgico, en general, es operado una vez. Formule este problema para determinar cuántas camas médicas y cuántas quirúrgicas se deberán agregar para maximizar los ingresos. Suponga que el hospital está abierto 365 días al año. Luego resuelva el problema.

1)

BagCo produce chaquetas y bolsos de piel. Una chaqueta requiere 8m2 de piel y bolso de sólo utiliza 2 m2. Los requerimientos de mano de obra para dos productos son de 12 y 5 horas, respectivamente. Los suministros semanales actuales de los dos productos se limitan a 1200 m2 y 1850 horas, respectivamente. La compañía vende las chaquetas y los bolsos a 350 y 120 dólares, respectivamente. El objetivo es determinar el programa de producción que maximice la utilidad neta. BagCo está considerado una expansión de la producción.¿Cuál es el máximo precio de compra que la compañía debe pagar por la piel adicional? ¿Por la mano de obra adicional?.

2)

Gutchi Company fabrica bolsos, estuches para afeitar y mochilas. La fabricación de los tres productos requiere piel y material sintético y la piel es la materia prima limitante. El proceso de fabricación utiliza dos tipos de mano de obra calificada: costura y acabado. La siguiente tabla proporciona la disponibilidad de los recursos, su utilización en los tres productos y las utilidades por unidad.

Recurso

Piel (pies2) Costura (horas) Acabado (horas) Precio de venta (dólares)

Requerimientos de recursos por unidad Bolso Mochila Estuche para afeitar 2 1 3 2 1 2 1 .5 1 24

22

Disponibilidad diaria 42 40 45

45

Formule el problema como un programa lineal y encuentre la solución óptima utilizando TORA. Después indique si los siguientes cambios en los recursos mantendrán factible la solución actual. Para los casos se mantiene la factibilidad, determine la nueva solución óptima (valores de las variables y de la función objetivo). A continuación plantee el problema dual y resuélvalo.

a) b) c) d) e) f) g) 3)

La piel disponible se incrementa a 45 pies 2 La pies disponible se disminuye en 1 pies 2 Las horas de costura disponible se cambian a 38 horas. Las horas de costura disponibles se cambian a 46 horas. Las horas de acabado disponibles se disminuyen a 15 horas. Las horas de acabado disponibles se incrementan a 50 horas ¿Recomendaría usted la contratación de un trabajador adicional de costura, a 15 dólares la hora?

Gapco tiene un presupuesto diario de 320 horas de mano de obra y 350 unidades de materia prima para fabricar do productos. De ser necesario, la compañía puede emplear hasta 10 horas diarias de tiempo extra de mano de obra a un costo adicional de 2 dólares por hora. Se necesitan una hora de mano de obra y tres unidades de materia prima para producir una unidad del producto 1, y dos horas de mano de obra y una unidad de materia para producir una unidad del producto 2. La utilidad por unidad del producto 1 es de 10 dólares y la del producto 2 es de 12 dólares. Sea

275



que x1 y x2 definan el número diario de unidades producidas de los productos 1 y 2 y que x3 sea las horas extra diarias utilizadas.

4)


5)



Mes Mar. Abr. 34 69

Ene. 58

Feb. 36

18

17

17

20

19

19

Mayo 72

Jun. 43

18,5

19

19

21

22

22

El costo de almacenamiento en inventarios de los transformadores que no se vendan es 500 dólares por mes. Al 10 de enero, la compañía tiene 15 transformadores en existencias y desea tener no menos de cinco en existencias para el 30 de junio. Formule un problema de programación lineal para determinar el programa de producción óptimo para MEPCO.

6)


Mina




83000 310000 190000

RO.60 RO.36 RO.50

Recuento de Grado gemas (número 3 (quintales m ) de piedras m 3)

0,36 0,22 0,263

0,58 0,26 0,21

Según las consideraciones de mercadotecnia, se requiere una producción mensual exacta de 148 000 gemas, mientras que otro requisito exige por lo menos 130 000 quilates (así, el tamaño promedio de las gemas es, por lo menos, de 130/148 = 0.88 quilates).

276



El problema para el gerente de la compañía es cumplir con las exigencias de mercadotecnia al menor costo.

7)

Queremos seleccionar una estrategia de publicidad para llegar a dos tipos de clientes: amas de casa de familias con ingresos anuales superiores a 10 000 dólares y amas de casa de familias con ingresos anuales inferiores a 10 000 dólares. Consideramos que las personas del primer grupo comprarán dos veces más nuestro producto que las personas del segundo grupo, y nuestro objetivo es maximizar las compras. Podemos anunciar el producto en televisión o en una revista; una unidad de publicidad en televisión cuesta 20.000 dólares y llega a aproximadamente 2.000 personas del primer grupo y a 8.000 del segundo. Una unidad de publicidad en la revista cuesta 12. 000 dólares y llega a 6.000 personas del primer grupo y a 3.000 del segundo. Hay que usar por lo menos seis unidades de publicidad en televisión y no podemos usar más de 12 unidades de publicidad en la revista, por cuestiones de política. El presupuesto para publicidad es de 180 000 dólares. Formule este problema como un problema de programación lineal, definiendo todas las variables que utilice. Resuelva por el método simplex para encontrar la estrategia de publicidad óptima.

8)




Costo por kilogramo

A B C D

40 20 10 5

10 15 35 40

$ 1.80 0.75 0.40 0.15

Formule un modelo de programación lineal que ayude a SSC a determinar el programa de mezclas más deseable. Resuelva por el método simplex.

9)

Remítase al problema de mezcla de productos. Una empresa de manufactura fabrica productos, A y B, cada uno de los cuales debe procesarse en dos máquinas diferentes. Una máquina tiene 24 horas de capacidad disponibles y la otra sólo tiene 16 horas. Cada unidad del producto A necesita tres horas en cada máquina, mientras que una unidad del producto B necesita tres horas en la primera máquina y una hora en la segunda. Los beneficios marginales son de seis dólares por unidad del producto A y siete dólares por unidad del producto B y la empresa puede vender todas las unidades que puede fabricar de los dos productos. El objetivo de la empresa es maximizar los beneficios. El problema es determinar cuántas unidades de los productos A y B deben producirse dentro de los límites de las capacidades disponibles de las máquinas. Resuelva el problema con los dos productos A y B Suponga que la empresa tiene un tercer producto, C, que puede producirse en la primera o en la segunda máquina. Si se produce en la primera máquina se requiere una hora; si se hace en la segunda máquina, se necesitan dos horas. El producto C tiene beneficios marginales de nueve dólares por unidad. Modifique la formulación del problema para incluir el producto C.

10)

Delight Dary Company (DD) produce una amplia gama de productos lácteos. Los productos se han separado en dos categorías principales, con el fin de planificar la producción: helados (varios sabores y tamaños) y especialidades (helado en palito, emparedados de helado, conos de helado, etc.) Cada clase de producto tienen su propio equipo de empaquetado, pero ambas usan una

277



misma máquina de fabricación de helado; también emplean el mismo grupo de trabajadores para producir y empaquetar cada clase de producto. Los helados requieren dos horas de la máquina de fabricación de helados, una hora en su propia línea de empaquetado y tres horas de trabajo para producir 4.000 litros de producto terminado. Las especialidades requieren una hora de la máquina de fabricación de helado, una hora en su propia línea de empaquetado y seis de trabajo para producir el equivalente de 4.000 litros de producto terminado. DD puede vender 4.000 litros de helado en 300 dólares, y 4.000 litros de especialidades en 500 dólares. Los costos de materias primas son aproximadamente iguales para ambas clases de productos. En la actualidad, la compañía tiene un turno de trabajo (40 horas por semana) y emplea tres trabajadores de tiempo completo y un empleado de ¾ de tiempo, para un total de 120 + 30 = 150 horas de trabajo a la semana. Formule un modelo de programación lineal para la planificación de la producción de Delight Dairy y resuelva por el método simplex.

11)



Entrada de crudo de Surinam Primer Segundo proceso proceso 45 25 50 70 5 5



12)


278

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Tipo

Remolque Mediano CAMIONETA

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Costo de compra $15.000 8.000 5.000

Costo operativo (toneladakilómetro) $0.28 0.32 0.40

Capacidad (toneladasKilómetro Por mes) 10.000 8.000 5.000

Speedie Trucking ha indicado que seguiría entregando los productos que Consolidated no pueda distribuir con sus camiones, a la misma tarifa de 50 centavos por tonelada kilómetro. En Consolidated hay escasez de fondos de capital para equipo, y sólo se dispone de 380 000 dólares para las compras. Además de la limitación del presupuesto, existen otras restricciones con respecto a los tipos de camiones que se compren. El primer punto es el área de carga disponible. Debido a las limitaciones del espacio de almacenamiento y de las maniobras de carga, no caben más de 28 camiones. Un remolque o un camión mediano ocuparía un espacio; dos camionetas ocuparían un espacio. Además, como consecuencia de los tipos y tamaños de las entregas, por lo menos dos terceras partes de los vehículos que se compren tendrán que ser remolques o camiones medianos. Formule este problema como un problema de programación lineal. Resuelva por el método simplex. Tenga cuidado en la especificación del objetivo y en la definición de las variables.

13) Acme Skateboard Company fabrica tres modelos de patinetas: regular, especial y de lujo. En la tabla se muestran los datos de costos, precio de venta y otra información relacionada con cada modelo. Modelo Precio de venta por unidad Costo de materias primas por unidad Horas de trabajo necesarias para el montaje, para el acabado y para el empaquetado por unidad. Límite superior de la demanda para las ventas semanales.

Regular 7 3

Especial 15 6

De lujo 25 10

0.1 1000

0.2 800

0.5 300

Acme tiene una fuerza de trabajo de cinco individuos asalariaos que trabajan un máximo de 40 horas por semana y que reciben una paga de 280 dólares por semana (incluyendo prestaciones) aunque no trabajen las 40 horas. Acme desea encontrar el plan óptimo de producción semanal que maximice el beneficio y la contribución al costo fijo de fuerza de trabajo. Formule un modelo de programación lineal que maximice el beneficio más la contribución a los costos fijos de fuerza de trabajo.

279



IV OBJETIVOS DEL CAPITULO VII 1.-

Formular problemas de distribución como modelo de transporte

2.-

Hallar planes factibles de envío con el mínimo de transporte

3.-

Resolver planes óptimos de envío para problemas de transporte.

INTRODUCCIOÓN Una de las primeras aplicaciones de las técnicas de programación lineal ha sido la formulación y solución del problema de transporte. El problema de transporte básico fue planteado originalmente por Hutcholky y posteriormente presentado en detalle por Koopmans. La formulación de programación lineal y el método sistemático asociado de solución fue dada por primera vez por Dantring. El modelo de transporte (o modelo de distribución) es un conjunto importante de un problema de optimización de redes. Ha sido aplicado a algunos problemas de negocios, tales como el control y diseño de plantas de fabricación, determinación de territorios de ventas, y localización de centros de distribución de territorios de ventas, y localización de centros de distribución y almacenaje. Tremendos ahorros de tiempo y costos se han logrado a través de la eficiente ruta de envío de mercancías desde los puntos de existencia hasta los puntos de demanda.

LA META Y DISTRIBUCIONES DEL MODELO DE TRANSPORTE La meta de un modelo de transporte en MINIMIZAR el costo total de envío de un producto desde los puntos de existencia hasta los puntos de demanda bajo las siguientes restricciones:

Función Objetivo.n

n

i 1

j 1

  C X ij

ij

Restricciones.n

 X

ij

 ai i  (1, 2, ..........., n)

j 1 n

 X

ij

 b j j  (1, 2,.........., n)

i 1

X ij X ij Cij ai b j

 0 Para todos los i y j

es la cantidad asignada desde el origen (i) hasta el destino (j) es el costo o ganancia de asignar una unidad desde el origen (i) hasta el destino (j). son las cantidades disponibles en cada origen. son las cantidades requeridas en cada destino.

Con frecuencia se hace referencia a estos valores como requerimientos de contorno. El problema de transporte puede enunciarse de la siguiente manera: Tiene un número (m) de orígenes y (n) destinos, se trata de transportar al menor costo posible determinadas cantidades de artículos, mercaderías, etc., entre dichos orígenes y destinos.

280

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I ORIGEN


Xij

DESTINO

O1

D1

O2

D2

O3

D3

O4

D4

O5

D5

MÉTODOS DE SOLUCIÓN: REGLA DEL NOROESTE.PROBLEMAS DE MINIMIZACIÓN (DEMANDA = OFERTA) Para conocer mejor la metodología de la aplicación de la regla partiremos del ejercicio.

EJERCICIO 1.Una empresa industrial cuenta con 3 centros de distribución de sus productos, el C 1 dispone de 12 toneladas, el C2 dispone de 17 Tn. y el C3 de 9 Tn. Con estas existencias (38 Tn.) se debe abastecer a 4 centros de consumo ubicados a diferentes distancias, los mismos que requieren de las siguientes cantidades: el CC A demanda 6 Tn, el CCB demanda 7 Tn., el CCC demanda 11 Tn. y el CCD demanda 14 Tn. Los costos originales por unidad son los siguientes:

Centro de consumo. Centro de destino C1 C2 C3

A

B

C

D

4 3 6

6 7 5

5 4 2

2 5 7

Se trata de encontrar el plan óptimo de distribución al menor costo.

FORMULACION DEL PROBLEMA: 1) Función Objetivo.Las variables de la función objetivo son las siguientes: X1 + X2 + X3 + X4 X5 + X6 + X7 + X8 X9 + X10 + X11 + X12 Donde Xij representa la cantidad que debe enviar el centro de distribución (i) al centro de consumo (j). Los coeficientes de la función objetivo corresponden a los costos originales unitarios conocidos: (Matriz de costos). Z(MIN) = COSTO TOTAL Z(MIN) = 4X1 + 6X2 + 5X3 + 2X4 + 3X5 + 7X6 + 4X7 + 5X8 + 6X9 + 5X10 + 2X11 + 7X12

281



2) Restricciones o limitaciones.Para formar las restricciones o limitaciones nos guiamos por la oferta de los centros de distribución (12, 7 y 9) y la demanda de cada centro de consumo (6, 7, 11 y 14) . X1+X2+X3+X4

= 12 X5+X6+X7+X8 = 17 X9+X10+X11+X12 = 9 X1 +X5 +X9 = 6 X2 +X6 +X10 = 7 X3 +X7 +X11 = 11 X4 +X8 +X12 = 14 No negatividad XJ ≥ 0 Hemos obtenido un sistema de 7 ecuaciones con 12 incógnitas, el mismo que puede resolverse mediante el método simplex, aunque resulta muy extenso y complejo, más aún cuando si se trata de mayor participación de ecuaciones o incógnitas. Geoge Dantring plantea la solución a este problema aplicando el método de la Regla de Noroeste, la misma que consiste en lo siguiente:

a) Iniciamos las asignaciones en la esquina Noroeste o sea la superior izquierda de la matriz, calculando o comparando los mínimos (aj) y (bj) (cantidades ofrecidas por los centros de producción y los requerimientos por los consumidores). b) Se debe asignar el máximo posible de unidades desde el centro de distribución 1 al centro de consumo A, luego si quedan disponibilidades se va asignando al centro de consumo B y así sucesivamente hasta agotar las existencias. Número de Envíos.Para determinar el número de envíos aplicamos la fórmula siguiente: N° DE ENVIOS = M + N - 1 M = Número de filas N = Número de columnas En el caso que nos ocupa el número de envíos es igual a: ENVIOS: = 3 + 4 – 1 ENVIOS = 6 En el presente problema la DEMANDA es igual a la OFERTA es decir las existencias son iguales a los requerimientos. DEMANDA = OFERTA

PRIMERA SOLUCION MATRIZ DE EXISTENCIA.Esta matriz se forma con las asignaciones que se van a enviar (6 en total) 6 6

6 1

11

7

11

5 9 14

12 17 9

282



El centro de distribución 1 envía al centro de consumo A, 6 unidades que es lo que requiere, de las 12 le quedan 6 que las envía al centro de consumo B que necesita 7, por lo tanto el centro de distribución 2 asigna 1 unidad al centro de consumo B para completar su demanda y le quedan a CD 2, 16 unidades, de las cuales 11 envía al centro de consumo C que es lo que requiere y las 5 restantes asigna al centro de consumo D que necesita 14, para completar su demanda recibe 9 del centro de distribución 3. Esta primera distribución es ya una respuesta, pero no necesariamente la óptima. Si a estas cantidades asignadas las multiplicamos por sus correspondientes costos unitarios de envío obtenemos la función de costo total 1. COSTO TOTAL = Z (MIN) CT1= 4x6 + 6x6 + 7x1 + 4x11 + 5x5 + 7x9 CT1 = 199

SEGUNDA SOLUCIÓN.Para encontrar una nueva solución es necesario emplear la metodología de carácter iterativo, esto es, encontrar aproximaciones sucesivas mediante el algoritmo de la .

MATRIZ DE COSTOS INDIRECTOS.Debemos obtener la matriz de costos indirectos partiendo de los costos unitarios originales correspondientes a las cantidades ya asignadas en la matriz de existencia de la primera solución. 4 6 7 4 5 7

(PIVOTE) (SEMIPIVOTE) (SEMIPIVOTE)

En lugar de la cantidad enviada 6 del centro de distribución 1 al centro de consumo A colocamos su correspondiente costo unitario original 4, lo mismo hacemos con las restantes. De los costos unitarios originales reemplazados escogemos el menor (4) que actuará de pivote el mismo que irá siempre en la parte superior esquinera sin importar donde se encuentre el menor costo original, debemos encontrar los semipivotes, luego por sumatorias en correspondencia a la fila y columna respectiva hallamos los restantes. Partimos de la siguiente igualdad: A = B + C A = Valores de las filas y columnas interiores B = Resultado de las columnas C = Resultado de las filas A11 A21 A31 B1

A12 A22 A32 B2

A13 A23 A33 B3

A14 A24 A34 B4

C1 C2 C3 C4

A11 = 4 A12 = 6 A13 = 3 A14 = 4 A21 = 5 A22 = 7 A23 = 4 A24 = 5 A31 = 7 A32 = 9 A33 = 6 A43 = 7 B1 = 0 B2 = 2 B3 = 1 B4 = 0 Operaciones para llenar la matriz de costos indirectos: A11 = B1 + C1 4 = B1 + 4 B1 = 0

C1 = 4 PIVOTE C2 = 5 SEMIPIVOTE C3 = 7 SEMIPIVOTE

A12 = B2 + C1 6 = B2 + 4 B2 = 2

283



A22 = B2 + C2 7 = 2 + C2 C2 = 5

A23 = B3 + C2 4 = B3 + 5 B3 = -1

A24 = B4 + C2 5 = B4 + 5 B4 = 0

A34 = B4 + C3 7 = 0 + C3 C3 = 7

A13 = B3 + C1 A13 = -1 + 4 A13 = 3

A14 = B4 + C1 A14 = 0 + 4 A14 = 4

A21 = B1 + C2 A21 = 0 + 5 A21 = 5

A31 = B1 + C3 A31 = 0 + 7 A31 = 7

A32 = B2 + C3 A32 = 2 + 7 A32 = 9

A34 = B3 + C3 A34 = -1 + 7 A34 = 6 4 5 7 0

Matriz de costos indirectos 6 3 4 7 4 5 9 6 7 2 -1 0

(4*) 5° 7°

MATRIZ DE ELECCIÓN.La matriz de elección nos permite ir seleccionando alternativas, se la obtiene de la diferencia entre la

ME = MCI - MCO Matriz costos indirectos

4 5 7

6 7 9

3 4 6

4 5 7

Matriz costos originales

4 3 6

-

6 7 5

5 4 2

2 5 7

Matriz de elección

=

0 2 1

0 0 4

-2 0 (4)

2 0 0

De la matriz de elección seleccionamos el mayor valor positivo de las cifras obtenidas, en este caso (4) (el de menor costo). Esto implica que debe asignarse una cantidad alfa ( ) desde el centro de distribución 3 al centro de consumo C. Al asignar la cantidad  en la casilla A33 (nuevo envío), se alteran las sumas del renglón y columna al cuál pertenece, por tanto es necesario restar, a fin de que no altere el esquema general. Para encontrar el valor de alfa y arribar a una nueva solución, obviamente el valor será 9, pues no podemos restar una cantidad mayor a 9, es decir, se toma la menor de las restas. Matriz de existencia (nueva) 6 6 1 11 5 9  El valor de alfa altera a 11, 5 y 9 6

6 1

11-

5+ 9-



9 -  = 0

 =

9

284



Matriz de existencia. 6 1 2 14 9 7 11 14

6 6

12 17 9

Las cantidades asignadas multiplicamos por los costos originales y obtenemos la segunda función objetivo de costo total que será menor que el primer costo. CT2 = 4x6 + 6x6 + 7x1 + 4x2 + 5x14 + 2x9 CT2 = 163

TERCERA SOLUCION: El procedimiento se repite hasta que en la matriz de elección negativos. Matriz de costos indirectos 4 6 3 4 5 7 4 5 3 5 2 3 2 4 1 2 Matriz costos indirectos

4 5 3

6 7 5

3 4 2

todos los valores sean CEROS y/o (2*) PIVOTE 3 1

Matriz costos originales

4 5 3

-

4 3 6

6 7 5

5 4 2

2 5 7

Matriz de elección

=

0 2 -3

0 0 0

-2 0 0

2 0 -4

De la matriz de elección elegimos el valor positivo 2, esto significa que el centro de distribución 2 debe asignar una cantidad alfa al centro de consumo A. 6-

Matriz de existencia 5 7 14 1

6+ 1-

12 2 14 17 9 9 11 14

2 9 1- = 0 Menor Resta 6 7  = 1 CT3 = 4X5 + 6X7 + 3X1 + 4X2 + 5X14 + 2X9 CT3 = 161



CUARTA SOLUCION.-

Matriz de costos indirectos

4 3 1

6 5 3 2

5 4 2 4

3

6 5 3 4

(2*) 1 -1

MCI 4 3 1

6 5 3

5 4 2

6 5 3

-

4 3 6

MCI = Matriz de costos indirectos MCO = Matriz de costos originales ME = Matriz de elección MEX = Matriz de existencia MCO 6 5 7 4 5 2

ME 2 5 7

=

0 0 -5

0 -2 -2

0 0 0

(4) 0 -4

Tomamos el valor positivo 4, es decir el centro de distribución 1, asigna una cantidad alfa al centro de consumo D. Matriz de existencia 7 7 5 12 5-  2 6 2 9 17 1+ 14. 9 9 9 5-=0 6 7 11 14  = 5 CT4 = 6x7 + 2x5 + 3x6 + 4x2 + 5x9 + 2x9 CT4 = 141

285



QUINTA SOLUCION.MCI MCO ME 0 6 1 2 (2*) 4 6 5 2 -4 0 -4 0 3 9 4 5 5 3 7 4 5 = 0 (2) -3 0 1 7 2 3 3 6 5 2 7 -5 2 0 -4 -2 4 -3 0 A pesar de haber dos valores positivos y por razones de formación de la matriz de existencia, elegimos el ubicado en A 22, lo cual significa que el centro de distribución 2 asigna una cantidad alfa al centro de consumo B. MATRIZ DE EXISTENCIA

7- 6

12 2

5 + 9-

2 6 7 2 9 9 7-=0 6 7 11  = 7 CT5 = 2x12 + 3x6 + 7x7 + 4x2 + 5x2 + 2x9 CT5 = 127



12 17 9

14

SEXTA SOLUCION.MCI 0 3 1

4 7 5 -2

1 4 2 2

2 5 3 -1

(2*) 5 3

-

4 3 6

6 7 5

MCO 5 4 2

2 5 7

=

-4 0 -5

-2 0 0

ME -4 0 0

0 0 -4

0

En vista de que en la , todos los elementos son ceros y/o negativos, entonces el esquema óptimo de envío, es la matriz de existencia de la solución quinta y el costo mínimo total es de 127.

CT (MINIMO) = 127 MATRIZ DE EXISTENCIA 12 6 7 2 2 9

SOLUCION FINAL: CD = CENTRO DE DISTRIBUCION CC = CENTRO DE CONSUMO CD CC CANTI. COSTO TOTAL ----- ---- --------------------------C1 D 12 2 24 A 6 3 18 B 7 7 49 C2 C 2 4 8 D 2 5 10 C3 C 9 2 18 ----------------------38 Tn. COSTO TOTAL127 -------------------------

SOLUCION ALTERNATIVA.En la matriz de elección de la solución quinta hubo dos valores positivos, fue elegido el valor 2 que corresponde a A22, sin embargo el otro valor también puede ser tomado en cuenta, denominándose solución alternativa, el valor del costo total final tiene que ser el mismo.

286


ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. MEX

7- 6

CD C1 C2 C3

2+  9- 7-=0  = 7 CC D A C D B C

5+ 9-

6 7 7

6

CANT. 12 6 9 2 7 2 --------38 Tn.

12 2

9 2 11

12 17 9

14

COSTO 2 3 4 5 5 2

TOTAL 24 18 36 10 35 4 -----------COSTO FINAL. 127

EJERCICIO No. 2.La empresa “X” tiene cuartos fríos en sus almace nes ubicados en Esmeraldas, Guayaquil y Manta, en

cada almacén la empresa procesa y distribuye langosta para vendedores de pescado localizados en varias ciudades del país. Demanda de langostas de la próxima semana CIUDAD No DE CAJAS AMBATO CUENCA QUITO TULCAN

30 50 65 55 ----------------------200 Los costos de transporte aéreo por caja entre las plantas y los vendedores son como sigue: Costos de transporte por caja de langosta AMBATO CUENCA QUITO TULCÁN ESMERALDAS 14 16 12 20 GUAYQUIL 12 14 10 18 MANTA 10 16 8 15 En la próxima próxima semana se espera tener el siguiente suministro suministro de langostas:

Suministro de langostas de la próxima semana PLANTA SUMINISTRO ESMERALDAS 100 GUAYAQUIL 40 MANTA 60 --------200 El problema problema de administración de de la empresa se muestra muestra cómo construir un plan de envío de mínimo costo entre los almacenes y los vendedores de pescado.

HACIA DESDE ESMERALDAS GUAYAQUIL MANTA DEMANDA

DEMANDA = OFERTA El problema está balanceado. AMBATO CUENCA QUITO 14 12 10 30

16 14 16 50

12 10 8 65

TULCAN

SUMIN.

20 18 15 55

100 40 60 200 200

287



PRIMERA SOLUCION: ENVIOS = 3 + 4 - 1 = 6 Matriz de existencia 30 50 20 100 40 40 5 55 60 30 50 65 55 CT1 = 14x30 + 16x50+12x20+10x40+8x5+15x55 CT1 = 2725

SEGUNDA SOLUCION: MCI

MCO

ME

14 16 12 19 (8*) 14 16 12 20 0 0 0 -1 12 14 10 17 6 12 14 10 18 = 0 0 0 -1 10 12 8 15 4 10 16 8 15 0 -4 0 0 6 8 4 11 Como en la matriz de elección todos los elementos son ceros o negativos, entonces la primera solución es la óptima.

ALMACEN

CIUDADES

CANTIDAD

AMBATO 30 ESMERAL. CUENCA 50 QUITO 20 GUAYAQUIL QUITO 40 QUITO 5 MANTA TULCAN 55 CAJAS DE LANG. 200

COSTO COSTO

TOTAL

14 420 16 800 12 240 10 400 8 40 15 825 COSTO TOTAL 2.725

CASOS ESPECIALES: En la resolución de los problemas anteriores, la condición fijada previamente es que todo lo disponible es igual a los requerimientos, es decir la demanda es igual a la oferta. Esta condición no siempre se cumple en la práctica, así puede ocurrir que la producción exceda a los requerimientos, esto significa que la oferta es mayor que la demanda.

OFERTA MAYOR DE LA DEMANDA.Partiremos del siguiente ejemplo: Matriz de costos originales HACIA CLIENTES DISPO. DESDE R1 R2 R3

A B 4 1 6 4 5 2 50 70

C 2 3 6 90

D 6 5 4 90

100 120 120 340

REQUER. 300 Como la oferta es mayor que la demanda se debe crear un destino o cliente imaginario E´, al cual destinaremos el exceso de la producción o cantidades no absorbidas por los lugares de destino o consumidores, lógicamente los costos asignados a este destino imaginario, serán de cero, la nueva matriz AGREGA ese destino imaginario:

288



Matriz de costos originales HACIA CLIENTES DESDE A 4 6 5

R1 R2 R3

REQUE.

B 1 4 2

C 2 3 6

D 6 5 4

DISPONI BLE

E! 0 0 0

100 120 120 340

50 70 90 90 40 340

La diferencia entre la oferta y demanda es de 40 unidades, por consiguiente ese valor debemos asignar al centro o cliente imaginario para que la oferta sea igual a la demanda. Una vez equilibrada tanto la oferta como la demanda, para la resolución de este problema de transporte, se procede en idéntica forma a la ya estudiada, los resultados a las diferentes iteraciones son las siguientes:

PRIMER SOLUCIÓN: ENVIOS = 3 + 5 – 1 = 7 Matriz de existencia 50 50 100 20 90 10 120 80 40 120 50 70 90 90 40 CT1 = 50x4 + 50x1 + 20x4 + 90x3 + 10x5 + 80x4 + 40x0 CT1 = 970

SEGUNDA SOLUCIÓN: MCI MCO M.E. 4 1 0 2 0 (0*) 4 1 2 6 0 0 0 -2 -4 0 7 4 3 5 3 3 -- 6 4 3 5 0 = 1 0 0 0 (3) 6 3 2 4 0 2 5 2 6 4 0 1 1 -4 0 0 4 1 0 2 0 De la matriz de elección seleccionamos el mayor valor positivo 3, esto significa que R 2 debe enviar al centro de destino imaginario (E) una cantidad alfa. 50

Matriz de existencia 50 50 50 20 90 10 -  20 90  90 80+  40- 10 -  = 0 50 70 90 90  = 10 CT2 = 50x4+50x1+20x4+90x3+10x0+90x4+30x0

10 30 40

100 120 120

CT2 = 960

TERCERA SOLUCIÓN: MCI 4 1 0 1 -3 (0*) 7 4 3 4 0 3 7 4 3 4 0 3 4 1 0 1 -3

-

4 6 5

MCO 1 2 6 4 3 5 2 6 4

0 0 0

=

0 1 (2)

M.E 0 -2 -5 0 0 -1 2 -3 0

-3 0 0

De la matriz de elección seleccionamos el valor 2, lo cual significa que R 3 debe asignar una cantidad alfa al centro de destino A.

289



Matriz de existencia

50 -  

50 +  20 - 

30 90

70 90

10 +  30 - 

30 10 40

90 20 90 20 -  = 0  = 20 50 70 90 90 CT3 = 30x4+70x1+90x3+30x0+20x5+90x4+10x0

100 120 120

CT3 = 920

CUARTA SOLUCIÓN: MCI 4 1 2 3 -1 (0*) 5 2 3 4 0 1 5 2 3 4 0 1 4 1 2 3 -1

4 6 5

-

MCO 1 2 6 4 3 5 2 6 4

0 0 0

=

M.E. 0 0 -3 -2 0 -1 0 -3 0

0 -1 0

-1 0 0

Los elementos de la matriz de elección se han transformado en ceros y/o negativos, en consecuencia la solución anterior es la óptima.

REFINERIA

CENTRO DE DESTINO

CANTIDAD

COSTO

TOTAL

A

30

4

120

B C

70 90

1 3

70 270

E”

30 20 90 10 340

0 5 4 0 COST. MIN.

0 100 360 0 920

R1 R2

A D E´

R3

El mismo costo mínimo se hubiera tenido si seleccionábamos el valor 2 que corresponde a R 3 y al centro de destino B. Las 30 unidades de la refinería 2, enviadas al centro de destino imaginario E´ y las 10 unidades de la refinería 3 enviadas al mismo centro de destino imaginario, constituyen STOCK.

OFERTA MENOR QUE DEMANDA: Otro caso que se presenta en los problemas de transporte es aquel en el cual la demanda (requerimientos de los clientes) supera a la oferta (Oferta menor que demanda), de ocurrir esto se deberá nivelar el problema mediante la creación de un centro de distribución imaginario que satisfaga el exceso de la demanda. Partiremos del siguiente ejemplo: Matriz de costos originales

A

CLIENTE B C

D

DISPONIBLE

4 6 5 70

1 4 2 90

6 5 4 70

80 100 120

HACIA

DESDE R1 R2 R3 REQUERIMIENTOS

2 3 6 110

300 340

290



Los requerimientos (DEMANDA) superan a las disponibilidades (OFERTA), creamos un origen o centro de distribución imaginario que satisfaga la demanda R4! , obteniéndose de esta manera manera una nueva matriz, Los costos son iguales a cero. Matriz de costos originales DESTINO CONSUMO DISPONIB. A B C D ORIGEN R1 4 1 2 6 80 R2 6 4 3 5 100 R3 5 2 6 4 120 R4 0 0 0 0 40 REQUERIM. 70 90 110 70 340 340

PRIMERA SOLUCION: ENVIOS = 4 + 4 –1 = 7 Matriz de existencia 70 10 80 80 20 100 90 30 120 40 40 70 90 110 70 CT1 = 4x70+1x10+4x80+3x20+6x90+4x30+0x40 CT1 = 1330

SEGUNDA SOLUCIÓN: MCI 4 1 0 7 4 3 10 7 6 6 3 2 4 1 0 70-



-2 1 4 0 -2

10+ 80 - 

(0*) 3 6 2

--

4 6 5 0

MCO 1 2 4 3 2 6 0 0

6 5 4 0

Matriz de existencia 30 20 +  90 - 

M.E 0 -2 0 0 5 0 3 2

0 1 5 (6)

=

50 40

60 50

30 +  40 - 

70

40 40 -  = 0  = 40 70 90 110 70 CT3 = 3x30 + 1x50 + 4x40 + 3x60 + 6x60 + 6x50 + 4x70 + 0x40

-8 -4 0 0 80 100 120 40

CT2 = 1060

TERCERA SOLUCI{ÓN MCI MCO 4 1 0 -2 (0*) 4 1 2 6 7 4 3 1 3 -- 6 4 3 5 = 10 7 6 4 6 5 2 6 4 0 -3 -4 -6 -4 0 0 0 0 4 1 0 -2 De la matriz de elección seleccionamos el mayor valor positivo 5. Matriz de existencia 30 50 30 50 40- 60 +  70 40 50 -   40 40 40 -  = 0  = 40 70 90

M.E 0 1 5 0

0 0 (5) -3

100 10

70

110

70

-2 0 0 -4

-8 -4 0 -6

80 100 120 40

291



CT3 = 4x30 + 1x50 + 3x100 + 2x40 + 6x10 + 4x70 + 0x40

CT2 = 890

CUARTA SOLUCIÓN: MCI 4 2 5 0

1 -1 2 -3 4

5 3 6 1 1

3 1 4 -1 5

30

(0*) -2 1 -4

MCO 1 2 4 3 2 6 0 0

4 6 5 0

--

M.E 6 5 4 0

0 -4 0 0

=

0 -5 0 -3

(3) 0 0 1

-3 -4 0 -1

3 Matriz de existencia 30 40

50-



40-

100 10 - 

70

50

40 10 +  = 0



10 100

40 70

= 10

70

90

110

80 100 120 30

70

CT4 = 4x30 + 1x40 + 2x10 + 3x100 + 2x50 + 4x70 + 0x40 CT2 = 860

QUINTA SOLUCIÓN: MCI 4 5 5 0

1 2 2 -3

2 3 3 -2

3 4 4 -1

(0*) 1 1 -4

--

MCO 1 2 4 3 2 6 0 0

4 6 5 0

M.E 6 5 4 0

0 = -1 0 0

0 -2 0 -3

0 0 -3 -2

-3 -1 0 -1

4 1 2 3 En la matriz de elección todos sus elementos son ceros y/o negativos, entonces la solución cuarta es la óptima. REFINERÍA CLIENTE CANTI. COSTO TOTAL A 30 4 120 R1 B 40 1 40 C 10 2 20 R2 C 100 3 300 B 50 2 100 R3 D 70 4 280 ! A 40 0 0 R4 340 COST. MI 860

METODO DEL MINIMO COSTO.Se selecciona la celda que tiene el menor menor costo. En la celda seleccionada haga un envío igual al mínimo del suministro y demanda para la fila y columna que contiene la celda seleccionada.

EJERCICIO N° 1: Resolvemos Los mismos problemas anteriores para poder comparar los resultados. Matriz de costos originales DESTINO A

B

C

D

DISPONIB.

4 3 5 6

6 7 5 7

5 4 2 11

2 5 7 14

12 17 9

ORIGEN C1

C2 C3 DEMANDA

38 38

292



DEMANDA = OFERTA PRIMERA SOLUCIÓN: ENVIOS = 3 + 4 – 1 = 6 Para formar la matriz de existencia procedemos de la siguiente manera: En la primera columna el menor costo es 3, por tanto C 2 envía a 6 unidades que cubren su requerimiento. En la segunda columna el menor costo es 5, lo cual significa que C 3 envía a B 7 unidades y se cubre la demanda de B. En la tercera columna el menor costo es 2, C 3 debe enviar únicamente 2 unidades a C porque sus disponibilidades son 9, de esa tercera fila. Para cubrir la demanda de C faltan faltan 9 unidades que reciben de C2 en el costo 4 de la tercera columna. En la cuarta columna el menor menor costo es 2, C1 envía a D, 12 unidades que cubre las disponibilidades de esa fila pero no completa la demanda de D, para lo cual C 2 debe enviar 2 unidades a D, de esta manera completa también las disponibilidades de la segunda fila. 4

6

5

2 12 12

3

7

4

5 17

6 6

9 5

2

2 7 9

6

7 7

2 11

14

CT (MINIMO) = 3x6 + 5x7+ 4x9 + 2x2 + 2x12 + 5x2 CT (MININO) = 127 Para saber si la matriz de existencia es la óptima, debemos encontrar la matriz de elección, que es la indicadora si la solución es o no válida, previamente encontramos la matriz de costos indirectos. MCI 0 3 1

MCO 6 5 7 4 5 2

4 7 5

M.E -2 -4 0 0 0 0

1 2 (2*) 4 2 -4 0 4 5 5 -3 5 = 0 0 2 3 3 6 7 -5 -4 -2 2 -1 0 Efectivamente los elementos de la matriz de elección son todos ceros y/o negativos, en consecuencia la solución obtenida sobre la base de los costos mínimos es óptima.

COSTO TOTAL MINIMO = 127 EJERCICIO N° 2.Matriz de costos originales HACIA A

B

C

D

DISPONIB.

4 6 5 70

1 4 2 90

2 3 6 110

6 5 4 70

80 100 120 300

DESDE R1 R2 R3 REQUER.

340

293



OFERTA MENOR QUE DEMANDA Equilibramos los requerimientos y las disponibilidades creando un centro de origen R4!

R 1

R2 R3 ! R4 REQUERI.

Matriz de costos originales A B C D 4 1 2 6 6 4 3 5 5 2 6 4 0 0 0 0 70

90

110

DISPONIB. 80 100 120 40

70

340 340

SOLUCIÓN.ENVIOS = 4 + 4 – 1 ENVIOS = 7 Matriz de existencia 1 2 6

4

80 30 6

40 4

10 3

5 100 100

5

2

6

4 120

50 0

0

70 0

0 40

40 70

90

110

70

Para formar la matriz de existencia para este caso, si se to ma en cuenta el costo mínimo de cero (0)

CT4 = 4x30 + 1x40 + 2x10 + 3x100 + 2x50 + 4x70 + 0x40

CT2 = 860 El costo total mínimo obtenido, es el mismo que el costo mínimo cuando se aplicó el método de la esquina del noreste.

PROBLEMAS DE MAXIMIZACIÓN: El procedimiento utilizando en los casos de minimización, también puede usarse para maximización si se hace una ligera modificación. Puesto que minimizar el negativo de una función, equivale a maximizar la función. La modificación requerida cosiste en hacer negativos todos los coeficientes de la ganancia. Después de esta modificación, el procedimiento es igual al empleado en la minimización.

EJERCICIO Nª 3.Cuatro expendedores de gasolina A, B, C y D, requieren 50 mil, 40 mil, 60 mil y 40 mil galones respectivamente. Es posible satisfacer estas demandas a partir de las localidades I, II y III que disponen de 80 mil, 100 mil y 50 mil galones respectivamente. Las ganancias obtenidas por el transporte de 1.000 galones se indican en la siguiente tabla.

294



Ganancia por 1.000 galones A B C D I 80 70 60 60 II 50 70 80 70 III 70 50 80 60 Obtener el esquema óptimo de envío que permita maximizar las utilidades.

SOLUCIÓN.DEMANDA --------------------50 40 60 40 ----------190

OFERTA -----------------80 100 50 ----------230 DEMANDA  OFERTA

Como la demanda es menor que la oferta, tenemos que crear un centro de requerimiento ficticio (E’) para

que cubra Los 40 mil galones que representa la diferencia con beneficios igual a cero, de modo que se cumpla: DEMANDA = OFERTA

Matriz de beneficios (en miles) DEST. A

B

C

D

E’

80 50 70 50

70 70 50 40

60 80 80 60

60 70 60 40

0 0 0 40

DISPON.

ORIG. I II IV REQUERIMIENTO

80 100 50 300 340

Una vez que se ha igualado la demanda y la oferta procedemos a minimizar la matriz de beneficios multiplicando por (-1) cada coeficiente. DEST. A

B

C

D

E’

-80 -50 -70 50

-70 -70 -50 40

-60 -80 -80 60

-60 -70 -60 40

0 0 0 40

SUMIN.

ORIG. I II II REQUER.

80 100 50 230 230

ENVIOS = 3 + 5 – 1 = 7

PRIMERA SOLUCIÓN.Matriz de existencia 50 30 80 10 60 30 100 10 40 50 50 40 60 40 40 TG = GANANCIA TOTAL

TG = 80x50 + 70x30 + 70x10 + 80x60 + 70x30 + 60x10+ 0x40 TG = 14.300 (MILES)

295



SEGUNDA SOLUCIÓN.MCI -80 -70 -80 -80 -70 -80 -70 -60 -70 0 10 0

-70 -70 -60 10

-10 (-80*) -10 -80 0 -70 70 0 -30 0

0 0 -10

M.E -20 0 (10)

-80 -50 -70 -10 0 0

MCO -60 -60 -80 -70 -80 -60

-70 -70 -50

0 0 0

=

-10 -10 0

En la matriz de elección tenemos un valor positivo (10), el campo III debe enviar una cantidad alfa al centro C. Matriz de existencia 50 30 50 30 80 10 10 50 40 100 60- 30+ 40 10 40 50 10-  10 -  = 0 50 40 60 40 40  = 10 GT2 = 80x50+70x30+70x10+80x50+70x40+80x10+0x40 GT = 14.400 miles

TERCERA SOLUCIÓN.-80 -70 -80 -70 -80 -70 0 10 -80 -70 -80 -70 -80 -70 0 10

MCI -80 -80 -80 0

CENTRO EXPEND. -------------

-70 0 (-80*) -70 0 -80 --70 0 -80 10 80 CENTRO DE REQUERIM. ----------------- A

-80 -50 -70

M.E -80 -70 0 (-80)* -80 -70 0 -80 -80 -80 -70 0 0 10 80 MCO -70 -60 -60 0 0 -70 -80 -70 0 = -30 -50 -80 -60 0 -10

M.E 0 -20 0 0 -20 0

-10 0 -10

0 0 0

CANTIDAD BENEF. TOTAL ---------------- -----------50 80

---------4.000

I II

B B C D C

30 10 50 40 10

70 70 80 70 80

2.100 700 4.000 2.800 800

40 ---------230

0

0 ----------14.400

III E’

SEGUNDO MÉTODO.Los problemas de maximización también se pueden resolver aplicando el siguiente método: 1.

Se escoge el mayor coeficiente, en el ejemplo propuesto es (80) y se van restando de él los demás.

2.

Se procede como en los casos de minimización.

Haciendo las restas respectivas la matriz de beneficios se transforma en la siguiente:

296

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I I

II II REQUER.

A 80 - 80 80 - 50 80 - 70 50

B 80 - 70 80 - 70 80 - 50 40

1 II II REQUER.

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. C 80 - 60 80 - 80 80 - 80 60

A 0 30 10 50

B 10 10 30 40

D 80 - 60 80 - 70 80 - 60 40 C 20 0 0 60

D 20 10 20 40

E’

80 - 0 80 - 0 80 - 0 40 E’

80 80 80 40

SUMI. 80 100 50 230 230

SUMIN. 80 100 50 230 230

DEMANDA = OFERTA

SOLUCIÓN: ENVIOS = 5 + 3 – 1 = 7

50 50

Matriz de existencia 30 80 10 50 40 100 10 40 50 40 60 40 40

GT(MÁXIMA) = 80x50 + 70x30 + 70x10 + 80x50 + 70x40 + 80x10 + 0x40 GT (MAXIMA) = 14.400 MILES

EJERCICIO Nª 4.Suponga que hay tres fábricas (F 1, F 2 y F 3) que abastecen a tres almacenes (W 1, W 2, W 3). En las tablas siguientes se proporcionan las capacidades de las fábricas, los requisitos de los almacenes y los costos de envío de cada fábrica a cada destino. En los márgenes de esta tabla están las cantidades disponibles en las fábricas y los requerimientos de los almacenes. Capacidades de las fábricas y requerimientos de los almacenes. Fábricas Cantidad disponible Almacenes Cantidad requerida F1 20 W1 5 F2 15 W2 20 F3 10 W3 20 Total 45 Total 45 Costos de envío y datos de suministro y demanda Destino W1 W2 W3 Unidades Fuente disponibles F1 $ 0.90 $ 1.00 $ 1.30 20 F2 $ 1.00 $ 1.40 $ 1.00 15 F3 $ 1.00 $ 0.80 $ 0.80 10 Unidades demandadas 5 20 20 45 El razonamiento que se aplica en este caso es que cada una de las fábricas debe enviar su producto y que el menor costo de cada fila representa el envío más barato desde cada fábrica. Análogamente, el costo menor de una columna es la manera menos costosa de enviar el producto a un almacén. Este método por lo general no producirá la solución óptima, pero generalmente en un buen punto de partida. El costo de 80 centavos de F 3 W2, es igual a los 80 centavos de F 3 W3. Se podría tomar cualquiera de los dos valores, pero escogeremos arbitrariamente F 3W2. Como la fábrica (F 3) sólo puede suministrar 10 unidades, aunque el almacén (W 2) requiere 20 unidades, se coloca un 10 en la casilla F 3 W2 de la tabla de la solución, los costos se colocan en la esquina superior izquierda de la casilla, y las unidades enviadas en la esquina inferior derecha (en negrilla y subrayadas).

297

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Destino


W1

W2

W3

Unidades disponibles

Fuente $ 0.90

$ 1.00

$ 1.30

F1

20 5 $ 1.00

10 $ 1.40

5 $ 1.00

F2

15 0 $ 1.00

0 $ 0.80

15 $ 0.80

F3

10 0

Unidades demandadas

5

10 20

0 20

45

Ya se ha agotado la capacidad de la fábrica 3, por lo que se pueden colocar ceros en las demás casillas de la fila 3. De la misma manera los 90 centavos de la casilla F 1 W1 representan la menor cantidad de la fila y la menor de su columna. La fábrica puede suministrar 20 unidades, pero el almacén sólo requiere cinco; por lo tanto, se coloca un 5 en la casilla F1 W1. Ya están satisfechas las necesidades del almacén 1, por lo cual se pueden colocar ceros en las demás casillas de la columna 1. Al llegar a este punto no hay más casillas que sean el mínimo de su fila y su columna (por esto el procedimiento generalmente no llega a una solución óptima). Para colocar las unidades restantes se aplica el sentido común: nos aseguramos que no se tome de una fábrica más de lo que puede producir y de que no se envíe a un almacén más de lo que requiere. Sobran 15 unidades de F 2; asignaremos 10 unidades a F1 W 2 y 5 a F 1W 3. Las necesidades del almacén 2 se satisfacen con esta asignación, pues ya se habían asignado 10 unidades de F 3 a W2. Las 15 unidades de F 2 se asignan a F2 W3, ya que el almacén 3 es el único cuyas necesidades no se han cubierto. Con este paso se ha asignado la producción de todas las fábricas y en esta primera solución se cumplen los requerimientos de todos los almacenes. CF(MINIMO) = 5(0.90)+10(1.00)+10(0.80)+5(1.30)+15(1.00)

CFM = $44

EVALUACIÓN DE RUTAS ALTERNATIVAS. Ahora tenemos que probar si es posible reducir los costos con un reacomodo de las rutas. A partir de la solución anterior. Procederemos a evaluar la ventaja relativa de las rutas alternativas en cuanto a costo. Considere una ruta que no se usa, por ejemplo, el envío de la fábrica 1 al almacén 2 (es decir, la casilla F 2 W1 tiene cero en l a esquina inferior derecha). El costo “directo” de usar esta ruta es la cantidad de la esquina superior izquierda de la casilla: un dólar; esta cantidad se compara con los costos actuales de una ruta indirecta de F2 a W 1. La ruta indirecta es la que tendría que seguir una unidad de una fábrica a un almacén únicamente por canales establecidos (es decir, el envío debe evitar las casillas con ceros; de lo contrario, se hace un envío de una casilla que no tiene unidades o se introducen dos casillas en la solución en lugar de una). Los costos indirectos se obtienen trazando una ruta indirecta y sumando los costos. Si se considera la casilla F2 W 1, la ruta indirecta es: + F 2W3 – F 1W3 + F1W 1. Esto significa que se podría enviar una unidad de F 2 a W 3, reducir en una unidad el envío actual de F 1 a W 3 y enviar la unidad F1 que no se utiliza de F 1 a W 3. El resultado neto de estas transacciones es que aún se cumplen todos los suministros y requerimientos. El costo indirecto es:

298



Cargo por envío de F2 a W3 Cada unidad que envía F2 a W 3 ahorra el costo de suministro desde F1 a W3 Cargo por envío de F1 a W3 Costo indirecto

+ $ 1.00 - 1.30 + +

0.90 0.60

El costo de evitar la casilla F 2W1, es de 60 centavos (el costo inicial de un dólar por usar F 2W3, el ahorro de 1.30 dólares por no usar F 1W3 en la medida de lo posible y el costo de 90 centavos por usar la casilla F1W1)- En comparación con este costo indirecto total de 60 centavos está un costo de un dólar, resultado de usar la ruta directa F 2W3; por lo tanto, es preferible la ruta indirecta. Sólo puede existir una ruta indirecta para cada casilla cero, excepto si la solución de prueba anterior contenía más de M + N rutas directas. Las otras casillas cero se pueden evaluar en forma similar. Por ejemplo, el envío indirecto de F 2 a W 2 es el cargo de F2 a W 3 (un dólar) menos el cargo F 1W3 (1.30 dólares) más el cargo F 1W2, (un dólar) = 70 centavos. Una vez más, esta cantidad es menor que el costo del envío directo (1.40 dólares) y se seguiría la ruta indirecta. La casilla F 3W1 también tiene un costo de 70 centavos para el envío indirecto y, una vez más, es menor que el costo de la ruta directa (un dólar). Sin embargo, al evaluar la última ruta no utilizada, F3W3, el costo que se obtiene para la ruta indirecta es: $ 0.80 - $ 1.00 + $ 1.30 = $ 1.10 Lo cual es mayor que el costo de 80 centavos de la ruta directa. En este caso hay que usar la ruta directa F3W 3, en lugar de la ruta indirecta. Ya que se puede obtener un ahorro de

F3W 2 – G1W 2 + F1W 3.

$ 1.10 - $ 0.80 = $ 0.30. por unidad con la ruta directa (véase Tabla). Ruta no utilizada F2W1 F3W1 F2W2 F3W3

Costo de la ruta directa $ 1.00 1.00 1.40 0.80

Costo de la ruta indirecta $ 0.60 0.70 0.70 1.10

¿Cuántas unidades pueden desplazarse de la ruta indirecta a la ruta directa F 3W 3? La respuesta es el número mínimo que aparezca en las conexiones de la ruta indirecta que debe proporcionar unidades para la transferencia. En este caso son cinco unidades, de la casilla F 1W3. Por lo tanto, se envían cinco unidades por la ruta directa F2W3; como F3 solo produce 10 unidades, esto obliga a reducir a cinco la casilla F3W 2 y ahora se requieren cinco unidades adicionales en el almacén 2. Esta deficiencia se compensa sin problemas con la fábrica 1, la cual se vio obligada a reducir precisamente en cinco unidades su envío a W 3, como resultado de la nueva fuente de suministro de W 3. El nuevo patrón se muestra en la tabla siguiente. Destino

W1

W2

W3

$ 1.00

$ 1.30

Unidades disponibles

Fuente $ 0.90 F1

20 5 $ 1.00

F2

$ 1.40

0 $ 1.00 15

0 $ 1.00

F3 Unidades demandadas

15 0 $ 0.80

15 $ 0.80 10

0 5

5 20

5 20

45

299



Todas las rutas que no se utilizan, identificadas con las casillas cero de la tabla anterior deben evaluarse de nuevo para ver si es posible una reducción adicional en el costo. Este paso se puede efectuar como se describió previamente; los resultados se muestran en la tabla siguiente. Ruta no utilizada F1W 3 F2W 1 F2W 2 F3W 1

Costo de usar la ruta directa $ 1.30 1.00 1.40 1.00

Costo de usar la ruta indirecta $ 1.00 0.90 1.00 0.70

En cada uno de los casos el costo de la ruta indirecta es menor que el de la ruta directa, lo cual indica que se ha obtenido una solución óptima que minimiza los costos de envío. A partir de la solución anterior, el costo total de envío de las fábricas a los almacenes es: (5) ($0.90) + (15) ($ 1.00) + (15) ($ 1.00) + (5) ($0.80) + (5) ($0.80) = $ 42.50 Observe que la solución final usa cinco rutas directas, donde: M + N – 1 = 5 Se puede generalizar M + N y denominarse “suma de números de requisitos marginales”, ya que se

puede tratar con otras entidades que no sean almacenes o fábricas.

PROBLEMA DE ASIGNACIÓN El problema de asignación es en un tipo especial de problema de programación lineal en el que los asignados son recursos destinados a la realización de tareas. Por ejemplo, los asignados pueden ser empleados a quienes se tiene que dar trabajo. La asignación de personas a trabajos es una aplicación común del problema de asignación. Sin embargo, los asignados no tienen que ser personas. También pueden ser máquinas, vehículos o plantas, o incluso periodos a los que se asignan tareas. El primero de los siguientes ejemplos se refiere a máquinas que se asignan a lugares, de manera que la tarea en este caso es sencillamente tener una máquina. Un ejemplo posterior se refiere a plantas a las que se asignan productos que deben fabricar. Para que se ajuste a la definición de un problema de asignación, es necesario que este tipo de aplicaciones se formule de manera tal que se cumplan las siguientes suposiciones.

1. 2. 3. 4. 5.

El número de asignados es igual al número de tareas. (Este número se denota por n.) Cada asignado se asigna exactamente a una tarea. Cada tarea debe realizarla exactamente un asignado. Existe un costo c¡. asociado con el asignado i (i =1,2,...,n ) que realiza la tarea j (j =!, 2, ...,n). El objetivo es determinar cómo deben hacerse las n asignaciones para minimizar los costos totales.

Cualquier problema que satisface todas estas suposiciones se puede resolver en forma extremadamente eficiente mediante los algoritmos diseñados especialmente para los problemas de asignación. Las primeras tres suposiciones son bastante restrictivas. Muchas aplicaciones potenciales no las satisfacen por completo. Sin embargo, con frecuencia es posible reformular el problema para hacerlo que se ajuste. Por ejemplo, muchas veces se pueden usar asignados ficticios o tareas ficticias con este fin. En los ejemplos se ilustran estas técnicas de formulación.

Ejemplo prototipo La JOB SHOP COMPANY compró tres máquinas nuevas de diferentes tipos. Existen cuatro sitios disponibles dentro del taller en donde se podría instalar una máquina. Algunos de ellos son más adecuados que otros para ciertas máquinas en particular por su cercanía a los centros de trabajo que tendrían un flujo intenso de trabajo hacia y desde estas máquinas. (No habrá flujo de trabajos entre las nuevas máquinas.) Por lo tanto, el objetivo es asignar las nuevas máquinas a los lugares disponibles de manera que se minimice el costo total del manejo de materiales. En la tabla 1 se proporciona el costo estimado por unidad de tiempo del manejo de los materiales en cuestión, con cada una de las máquinas

300



en los sitios respectivos. El lugar 2 no se considera adecuado para la máquina 2 por lo que no se da un costo para este caso. Para formular éste como un problema de asignación, debe introducirse una máquina ficticia para el lugar adicional. Además debe asignarse un costo muy grande M a la asignación de la máquina 2 en el lugar 2 para evitarla en la solución óptima. En la tabla 2 se muestra la tabla de costos que resulta para este problema de asignación. Esta tabla de costos contiene todos los datos necesarios para resolver el problema. La solución óptima es asignar la máquina 1 al lugar 4, la máquina 2 al lugar 3 y la máquina 3 al lugar 1 con un costo total de $29 por hora. La máquina ficticia se asigna al lugar 2, con lo que esta localidad queda disponible para alguna asignación real futura. Se formulará el modelo matemático para el problema general de asignación y después se analizará cómo se obtiene esta solución. Tabla 1 Costos de manejo de materiales para la Job Shop Co. ($) Localidad 1 2 3 4 1 13 16 12 11 Máquina 2 15 13 20 — 3 5 7 10 6 Tabla 2 de costos para el problema de asignación de la Job Shop Co. Asignación (localidad) 1 2 3 4 1 13 16 12 11 Asignado 2 15 M 13 20 (máquina) 3 5 7 10 6 4(F) 0 0 0 0 Modelo del problema de asignación y procedimientos de solución El modelo matemático para el problema de asignación usa las variables de decisión: X ij

1 si el asignado i realiza la asignación j   0 en caso contrario,

para i = 1,2,..., n y j = 1,2,..., n. Entonces, cada x ij. es una variable binaria (toma valores 0 o 1). Las variables binarias son importantes en investigación de operaciones para representar las decisiones de sí o no, como se verá en detalle en el capítulo de programación entera. En este caso, las decisiones de si o no son: ¿debe el asignado i realizar la tarea j ? Sea Z el costo total, el modelo del problema de asignación es Minimizar Z 

n

n

i 1

j 1

  c x , ij

ij

sujeta a n

 x

ij

 1 para i  1,2,..., n

j 1

n

 x

ij

 1 para j  1,2,..., n,

i 1

xij

 0, para toda i y j

( xij binarias , para toda i y j )

301



El primer conjunto de restricciones funcionales especifica que cada asignado realiza exactamente una asignación, mientras que el segundo conjunto requiere que cada asignación sea realizada exactamente por un asignado. Si se elimina la restricción entre paréntesis de que x ij sean binarias, resulta claro que el modelo es un tipo especial de problema de programación lineal, por lo que se puede resolver de inmediato. Por fortuna, debido a las razones que se expondrán enseguida, se puede eliminar esta restricción. (Precisamente, el que se pueda eliminar es la razón por la que el problema de asignación se incluye en este capítulo y no en el de programación entera.) Ahora se hará una comparación de este modelo ( sin la restricción binaria) con el modelo del problema de transporte que se presentó anteriormente. Observe que sus estructuras son similares. De hecho, el problema de asignación es sólo un caso especial de los problemas de transporte en donde los orígenes son ahora los asignados y los destinos son las asignaciones o tareas, y donde número de orígenes (m) = número de destinos (n), cada recurso si =1, cada demanda d j = 1. Ahora se centrará la atención en [a. propiedad de soluciones enteras de la subsección sobre el modelo de transporte. Como ahora toda si y d j. son enteros (= 1), esta propiedad significa que toda solución BF (incluso la óptima) es una solución entera para un problema de asignación. Las restricciones funcionales del modelo de asignación evitan que las variables sean mayores que 1, y las restricciones de no negatividad evitan valores menores que cero. Por lo tanto, al eliminar la restricción binaria para poder resolver el problema de asignación como un problema de programación lineal, las soluciones BF que se obtienen (incluyendo la solución óptima final) automáticamente satisfarán la restricción binaria. Se dispone de procedimientos alternativos de solución para resolver problemas de asignación. Los problemas que no son mucho más grandes que el de Job Shop Co. se pueden resolver con rapidez con el método símplex general, y quizá sea conveniente usar un paquete básico (como Excel y Solver) que use este método. Si se hiciera esto para el problema de la Job Shop Co., no habría sido necesario agregar la máquina ficticia en la tabla anterior para ajustar el modelo de asignación. Las restricciones sobre el número de máquinas asignadas a cada lugar se expresarían como 3

 x

ij

 1 para j  1,2,3,4.

i 1

Como se muestra en el archivo de Excel para este capítulo, una formulación en hoja de cálculo sería muy similar a la del problema de transporte descrito en la figura 1 excepto que ahora rodos los suministros y demandas serían 1 y las restricciones de demanda serían del tipo  1 en lugar de =1. Sin embargo, los problemas de asignación grandes se pueden resolver mucho más rápido si se usan procedimientos de solución más específicos, por lo que en ese caso se recomienda usarlos en lugar del método símplex general. Debido a que el problema de asignación es un tipo especial de problema de transporte, una forma conveniente de resolverlo es aplicar el método símplex de transporte descrito. Este enfoque requiere que se convierta la tabla de costos a una tabla de parámetros para el problema de transporte equivalente, como se muestra en la tabla 3. Tabla 3 de parámetros para el problema de asignación formulado como un problema de transporte, ilustrado para el ejemplo de la Job Shop Co. Ejemplo de la Job Shop Co

Origen (máquina) Demanda

1 2 3 4(F)

Costo por unidad distribuida Destino (localidad) 1 2 3 4 13 16 12 11 15 M 13 20 5 7 10 6 0 0 0 0 1 1 1 1

Recursos 1 1 1 1

302



Por ejemplo, la tabla 3 de parámetros para el problema de la Job Shop Co. obtenida a partir de la tabla 2 de costos. Cuando se aplica el método símplex de transporte a esta formulación, la solución óptima tiene las variables básicas: X 13

 0, X 14  1, X 23  1, X 31  1, X 41  0, X 42  1, X 43  0 .

Las variables básicas degeneradas (x ij. = 0) y la asignación para la máquina ficticia (x 42 = 1) no tienen significado para el problema original, de esta manera, las asignaciones reales son la máquina 1 al lugar 4, la 2 al lugar 3 y la 3 al lugar 1. No es coincidencia que esta solución óptima proporcionada por el método símplex de transporte tenga tantas variables básicas degeneradas. Para cualquier problema de asignación en el que se tienen que hacer n asignaciones, la formulación del problema de transporte que se muestra en la tabla 3 tiene m = n, es decir, el número de orígenes (m) y el número de destinos (n) en esta formulación son iguales al número de asignaciones (n). Los problemas de transporte tienen m + n -1 variables básicas (asignaciones); así, toda solución BF para este tipo de problema de transporte tiene 2n -1 variables básicas, pero exactamente n de estas xij son iguales a 1 (correspondientes a las n asignaciones que se hacen). Por lo tanto, como todas las variables son binarias, siempre habrá n -1 variables básicas degeneradas (xij = 0) las variables básicas degeneradas no causan mayor complicación en la ejecución del algoritmo. No obstante, a menudo ocasionan que se realicen iteraciones de balde, en las que nada cambia (las mismas asignaciones) excepto la etiqueta de qué asignaciones de cero corresponden a variables básicas degeneradas en lugar de a variables no básicas. Estas iteraciones desperdiciadas son un gran inconveniente al aplicar el método símplex de transporte a estas situaciones en las que siempre hay tantas variables básicas degeneradas. Otro inconveniente del método símplex de transporte es que se trata meramente de un algoritmo con fines generales para resolver todos los problemas de transporte. Por esto, no aprovecha la estructura especial adicional en este tipo especial de problemas (m=n, toda s i = 1 y toda d j.= 1). Aunque no se describirán aquí,1 se han desarrollado algoritmos especiales que simplifican el procedimiento para la solución exclusiva de los problemas de asignación. Estos algoritmos operan directamente sobre la tabla de costos y no se preocupan por las variables básicas degeneradas. Si se dispone de un paquete de computadora para alguno de estos algoritmos, será preferible usarlo en lugar del método símplex de transporte, en especial en problemas muy grandes. (El suplemento de este capítulo en la página de Internet, www.mhhe.com/hillier, describe un algoritmo de este tipo.)

Ejemplo: asignación de productos a plantas La BETTER PRODUCTS COMPANY ha decidido iniciar la fabricación de cuatro nuevos productos utilizando tres plantas que por el momento tienen exceso de capacidad de producción. Los productos requieren un esfuerzo productivo comparable por unidad, por lo que la capacidad de producción disponible en las plantas se mide por el número de unidades de cualquier producto que se pueden fabricar por día, como se muestra en la última columna de la tabla 4. El último renglón da la producción diaria requerida para satisfacer las ventas proyectadas. Cada planta puede producir cualquiera de estos productos, excepto la planta 2 que no puede fabricar el producto 3. Sin embargo, el costo variable por unidad de cada producto difiere entre una planta y otra, como se muestra en el cuerpo de la tabla 4. 1

Un artículo que compara varios algoritmos para el problema de asignación es J. L. Kennington y Z. Wang, "An Empirical Analysis of the Dense Assignment Problem: Sequenrial and Parallel Implemencations", ORSA Joumal on Computing, 3: 299-306, 1991. Tabla 4 Datos para el problema de la Better Producís Co Costo unitario por producto ($) 1 2 3 4 1 41 27 28 24 Planta 2 40 29 --23 3 37 30 27 21 Tipo de 20 30 30 40 producción

Capacidad disponible 75 75 45

303



La gerencia necesita tomar la decisión de cómo dividir la producción entre las plantas. Tiene dos opciones: Opción 1: permitir la separación de productos de tal manera que el mismo producto se pueda fabricar en más de una planta. Opción 2: no autorizar la separación de productos. La segunda opción impone una restricción que sólo puede aumentar el costo de una solución óptima según la tabla.4 Por otro lado, la ventaja clave de la opción 2 es que elimina algunos costos ocultos asociados con la separación de productos que no se reflejan en la tabla 4, incluyendo costos adicionales de preparación, distribución y administración. Así, la gerencia quiere que se analicen ambas opciones antes de tomar la decisión final. Para la opción 2 se ha especificado además que debe asignarse al menos uno de los productos a cada planta. Se formulará y resolverá el modelo para cada opción, donde la opción 1 lleva al problema de transporte y la opción 2 al problema de asignación. Formulación de la opción I. Al permitir la separación de productos, la tabla 4 se puede convertir directamente a una tabla de parámetros para un problema de transporte. Las plantas se convierten en orígenes y los productos en destinos (o viceversa); de este modo, los recursos se interpretan como las capacidades de producción y las demandas como las tasas de producción requeridas. Sólo se tienen que hacer dos cambios en la tabla 4. Primero, como la planta 2 no puede fabricar el producto 3, se evita esa asignación dándole un costo unitario muy grande, M. Segundo, la capacidad total (75 + 75 + 45 = 195) excede la producción total requerida (20 +30+30+40 =120), entonces se necesita un destino ficticio con una demanda de 75 para balancear estas dos cantidades. La tabla de parámetros que resulta se muestra en la tabla. La solución óptima de este problema de transporte tiene variables básicas (asignaciones) x12

 31, x13  30, x15  15, x24  15, x25  60, x31  20yx34  25, ,

de manera que La planta 1 produce rodos los productos 2 y 3. La planta 2 produce 37.5% del producto 4. La planta 3 produce 62.5% del producto 4 y todo el producto 1. El cosco total es Z= S3 260 diarios. Formulación de la opción 2. Sin la separación de productos, cada producto debe asignarse a una sola planta. Entonces, la fabricación de productos se pueden interpretar como las tareas en un problema de asignación y las plantas como los asignados. Tabla 5 de parámetros para la formulación del problema de transporte de la opción I del problema de la Better Producís Co. Costo por unidad distribuida Capacidad Destino producto disponible 1 2 3 4 5(F) 1 41 27 28 24 0 75 Planta 2 40 29 M 23 0 75 3 37 30 27 21 0 45 Tipo de 20 30 30 40 75 producción La gerencia ha especificado que debe asignarse al menos uno de los productos a cada planta. Se tienen más productos (cuatro) que plantas (tres), por lo que se tendrá que asignar dos productos a una de las plantas. La planta 3 tiene apenas la capacidad adicional para fabricar un producto (vea la tabla), así, la planta 1 o bien la 2 fabricará el otro producto. Para hacer posible la asignación de este producto adicional dentro de la formulación de un problema de asignación, las plantas 1 y 2 se dividen en dos asignados cada una, como se muestra en la tabla.

304



El número de asignados (ahora cinco) debe ser igual al número de tareas (ahora cuatro), así que se introduce una asignación ficticia (producto) como 5(F) en la tabla 6. El papel de esta asignación ficticia es proporcionar un segundo producto ficticio a cualquiera de las plantas 1 o 2, que recibe sólo un producto real. No se incurre en costos por fabricar un producto ficticio así que, como siempre, los costos de la tarea ficticia son cero. La excepción es el costo M en el último renglón de la tabla 6. La razón es que se debe asignar un producto real a la planta 3 (elegido entre los productos 1,2, 3 o 4) y se necesita el método de la M para evitar que se asigne el producto ficticio a esta planta. (Igual que en la tabla M se usa con el fin de evitar la asignación no factible del producto 3 de la planta 2.) El resto de los costos en la tabla 6 no son los costos unitarios que se muestran en la tabla 8.27 u 8.28. La tabla 5 da una formulación para el problema de transporte (para la opción 1), de manera que los costos unitarios son apropiados aquí, pero ahora se quiere formular un problema de asignación (para la opción 2). Para un problema de asignación, el costo c,. es el costo total asociado al hecho de que el asignado i realiza la tarea y. En la tabla 6, el costo total (por día) para que la planta» fabrique el productor es el costo de producción multiplicado por el número de unidades producidas (por día), donde estas dos cantidades a multiplicar se dan por separado en la tabla 4. Por ejemplo, considere la asignación de la planta 1 al producto 1. Si se usa el costo unitario de la tabla 5 ($41) y la demanda (número de unidades producidas por día) de la misma tabla (20), se obtiene, Tabla 6 de costos para la formulación del problema de asignación de la opción 2 del problema de la Better Producís Co. Tarea (producto) 1 2 3 4 5(F) 1a 820 810 840 960 0 Asignado 1b 820 810 840 960 0 (planta) 2a 800 870 M 920 0 2b 800 870 M 920 0 3 740 900 810 840 M Costo de fabricar una unidad del producto 1 en la planta 1 = $41 Producción (diaria) requerida del producto 1 = 20 unidades Costo total (diario) de asignar la planta 1 al producto 1 =20($41) = $820 de forma que 820 es el elemento de la tabla 6 para el costo del asignado l a o 1b si realiza la tarea 1. La solución óptima para este problema de asignación es la siguiente: La planta 1 fabrica los productos 2 v 3. La planta 2 fabrica el producto 1. La planta 3 fabrica el producto 4. En este caso, la asignación ficticia se da a la planta 2. El costo total es Z = $3 290 por día. Como es usual, una manera de obtener esta solución óptima es convertir la tabla de costos de la tabla 6 en una tabla de parámetros equivalente para el problema de transporte (vea la tabla 3) y después aplicar el método símplex de transporte. Debido a que la tabla 8.29 contiene dos renglones idénticos, este enfoque se puede simplificar combinando los cinco asignados en tres orígenes con costos 2, 2 y 1, respectivamente. Esta simplificación también disminuirá el número de variables básicas degeneradas en codas las soluciones BE Por lo tanto, aunque esta formulación simplificada ya no se ajusta al formato presentado en la tabla 3 para un problema de asignación, es una formulación más eficiente para aplicar el método símplex de transporte.

EL MODELO DE TRANSBORDO El modelo de transbordo reconoce que, en la vida real, tal vez resulte más económico enviar a través de nodos intermedios o transitorios antes de llegar al punto de destino final. Este concepto es más general que el propuesto por el modelo del transporte regular, donde los envíos directos sólo están permitidos entre un punto de origen y un punto de destino. Esta sección muestra cómo es posible convertir un modelo de trasbordo en un modelo de transporte regular (y resolverse como tal), utilizando la idea de un amortiguador.

305



Ejemplo. Dos fábricas de automóviles, P1 y P2, están conectadas a tres distribuidores, D1, D2 y D3, por medio de dos centros de tránsito, T1 y T2 de acuerdo con la red que se muestra en la figura. Las cantidades de la oferta en las fábricas P1 y P2 son de 1000 y 1200 automóviles y las cantidades de la demanda en las distribuidoras D1, D2 y D3 son de 800, 900 y 300 automóviles. El costo de envío por automóvil (en cientos de dólares) entre los pares de nodos se muestra en los eslabones (arcos) de conexión de la red.

D1

800

8 3 1.000

P1

T1

5

4

6

2 1.200

P2

7

5

D2

T2

900

3 9 D3

500

El transbordo ocurre en la red en la figura porque toda la cantidad de la oferta de 2.200 (=1000 + 1200) automóviles en los nodos P1 y P2 podrían imaginablemente pasar a través de cualquier nodo de la red antes de llegar por último a sus puntos de destino en los nodos D1, D2 y D3. A este respecto, los nodos de la red, con arcos tanto de entrada como de salida (por ejemplo, T1, R2, D1 y D2), actúan tanto como puntos de origen y de destino y se conocen como nodos de transbordo. Los nodos restantes son nodos puros de oferta (por ejemplo, P1 y P2) o bien nodos puros de demanda (por ejemplo D3). El modelo de transbordo se puede convertir en un modelo de transporte regular, con seis puntos de origen (P1, P2, T1, T2, D1 y D2) y cinco puntos de destino (T1, T2 y D1, D2 y D3). Las cantidades de la oferta y la demanda en los diferentes nodos se calculan como: Oferta en un nodo puro de oferta = oferta original Oferta en un nodo de transbordo = oferta original + amortiguador Demanda en un nodo puro de demanda = demanda original Demanda en un nodo de transbordo = demanda original + amortiguador. La cantidad de amortiguador debe ser suficientemente grande para permitir que todas las ofertas de la demanda original pasen por cualquiera de los nodos de transbordo. Digamos que B es la cantidad deseada del amortiguador, entonces: B = Oferta (o demanda) total B = 1000 + 1200 (u 800 + 900 + 500) = 2200 automóviles. Utilizando la información anterior y los costos de envío por unidad que se proporcionan en la red, el modelo de transporte regular equivalente se construye como en la tabla adjunta. P1

T1 3

T2 4

D1 M

D2 M

D3 M 1000

P2

2

5

M

M

M 1200

T1

0

7

8

6

M

T2

M

0

M

4

9

B B D1

M

M

0

5

M B

D2

M

M

M

0

3 B

B

B

800 + B 900 + B

500

306



La solución del modelo de transporte resultante (determinado por TORA) se muestra en la figura siguiente. Observe el efecto del transbordo: el distribuidor D2 recibe 1400 automóviles, conserva 900 para satisfacer su demanda y envía los 500 automóviles restantes al distribuidor D3. D1

800

D2

900

800 1.000

P1

T1 1.200

400

1.200 1.000 1.200

P2

T2 500 D3

500

INTERPRETACIONES ECONOMICAS. Costos de rutas indirectas. Los costos de las rutas indirectas son equivalentes a los valores Zj (véase Capítulo II) de la programación lineal normal y se pueden usar de la misma manera. Suponga por ejemplo, que después de concluir el análisis del ejemplo anterior se nos informa que las necesidades de W 2 aumentaron en una unidad y que se ampliaría la capacidad de F 2 para manejar este aumento. ¿Cuál sería el costo incremental de los costos de envío? Destino Fuente F1 F2 F3 Unidades demandadas.

W1

W2

5

15

5

5+1 20+1

W3 15+1 5 -1 20

Unidades disponibles 20 15+1 10 45+1

El costo de la ruta indirecta F 2W2 nos proporciona la respuesta de inmediato. La ruta directa costaría 1.40 dólares y la indirecta sólo representa un dólar. Por consiguiente, el costo incremental del envío de esta unidad es un dólar. La tabla anterior muestra como se modificaría la solución original. Observe que se pueden enviar hasta cinco unidades con esta ruta indirecta.

CAMBIOS EN LOS COSTOS DE ENVIO También se puede examinar la sensibilidad de la solución ante cambios en los costos de envío. Por ejemplo, si cambiara el costo de enviar F 1 a W1 (que en este momento es de 1.30 dólares), ¿variaría la solución? Observe que el costo de la ruta indirecta para F1W3 es de un dólar. El costo de envío tendría que ser menor que esta cantidad para que se usara la ruta directa, es decir, antes de que cambie la solución obtenida.

VENTAJAS DE LA UBICACIÓN Suponga que se agrega una unidad a la demanda de W 1 (de cinco unidades a seis). ¿Qué fábrica debe ampliarse para satisfacer esta necesidad? Utilizando el método que se presentó antes, se puede determinar el costo de cada fábrica para entregar una unidad a W 1. Fábrica F1 F2 F3

Ruta utilizada Directa Indirecta Indirecta

Costo $ 0.90 0.90 0.70

307



Observe que cuesta 20 centavos menos (considerando sólo los costos de envío) enviar la unidad adicional desde F 3 en lugar de F 1 o F2. Existe una ventaja de ubicación de 20 centavos para F 3. De hecho, esta ventaja se mantiene incluso si se requiere la unidad adicional para W2 o W3. El mismo método se puede aplicar para revisar las ventajas de ubicación de los almacenes. Suponga que la fábrica F1 contará con una unidad más de capacidad y que se realizará una campaña de ventas en una de las regiones de los almacenes para aumentar la demanda en una unidad. Si solo se consideran los costos de transporte, ¿e qué región debe realizarse la campaña? Los costos para suministrar a los almacenes desde F1 son: Almacén W1 W2 W3

Ruta utilizada Directa Directa Indirecta

Costo $ 0.90 1.00 1.00

Esto demuestra que W 1 tiene una ventaja de ubicación de 10 centavos con respecto a los otros dos almacenes, lo cual significa que costaría 10 centavos menos cubrir la demanda de una unidad adicional en la región W 1 que en las demás. El conocimiento de estas ventajas de la ubicación puede ser muy útil para decisiones empresariales acerca de la expansión de una planta o de las regiones donde debe intentarse aumentar las ventas.

OBJETIVOS MULTIPLES Y PROGRAMACION POR METAS. En la programación lineal se maximiza o se minimiza un objetivo sujeto a restricciones. Pero en muchos problemas importantes, sobre todo en el sector público, el decisor trata de lograr varios objetivos. Aquí se tratarán los objetivos múltiples en el contexto de los problemas de programación lineal. Considere como ejemplo el gerente de un bosque provincial. Las leyes de la provincia pueden especificar que el gerente debe administrar el bosque de manera que se estimule el crecimiento de los árboles, que aumenten los refugios y los alimentos para los animales y que, por supuesto, lo haga con el menor costo posible. Suponga que hay dos actividades que puede poner en marcha el gerente: limpiar el bosque (cortar los arbustos) y abrir brechas contra incendio. Sea: X1 = Hectáreas de tierra limpiada X2 = Kilómetros de brechas contra incendio. Cada una de estas actividades tiene un costo y requiere mano de obra. Además, cada una produce beneficios (quizás negativos) en función del crecimiento de árboles y del refugio para animales. Como se presenta en la tabla siguiente, la limpieza cuesta 500 dólares por hectárea, requiere 150 horas de trabajo por hectárea y el resultado es 10 unidades de crecimiento de árboles, pero reduce el refugio para animales en 10 unidades por cada hectárea que se limpie. Las brechas contra incendio cuentan 500 dólares por kilómetro, se requieren 50 horas de trabajo por kilómetro, que se corte y el refugio para animales aumenta en 60 unidades por kilómetro de brecha. Costos y beneficios para las actividades forestales. Actividad Limpieza (variable Brechas contra incendio X1, por hectárea) (variable X2 por kilómetro) Costos: Costo (dólares) Fuerza de trabajo requerido (horas) Beneficios: Crecimiento de árboles (unidades) Refugio para animales (unidades)

$ 500 150

$ 500 50

10 -10

-5 60

308



El problema de decisión para el gerente del bosque es determinar X 1 y X2, es decir, cuántas hectáreas limpiar y cuántos kilómetros de brechas cortar. El gerente solo dispone de 90.000 horas de trabajo. Además, las condiciones del bosque limitan la apertura de brechas contra incendio a un máximo de 300 kilómetros. El gerente tiene una restricción de presupuesto de 350.000 dólares. Las restricciones de este problema se pueden expresar de la siguiente manera: 150X1 + 50 X2  X2  500X1 + 500X2 

90.000 300 350.000

(horas de trabajo) (límite de brechas contra incendio) (presupuesto)

Hay que cumplir con tres objetivos al mismo tiempo. El gerente debe lograr el mayor crecimiento posible de los árboles, proporcionar todo el refugio que pueda a los animales y reducir los costos todo lo posible dentro del presupuesto. Hay varias estrategias para incorporar estos objetivos múltiples, que se describen a continuación.

METODO 1: UN OBJETIVO CON OTROS COMO RESTRICCIONES El gerente puede decidir que un objetivo tiene tanta importancia que se impone a los demás. Estos se pueden incorporar como restricciones con un nivel mínimo. Así, el caso se convierte en un problema normal de programación lineal de maximización de una función objetivo sujeta a las restricciones. El gerente puede decidir, por ejemplo, que lo más importante es el crecimiento de los árboles. Entonces, el objetivo se convierte en: Maximizar: 10X1 - 5X2. Donde los coeficientes 10 y –5 de la tabla anterior son el efecto de la limpieza y de las brechas contra incendio en el crecimiento de la madera. Aquí se aplicarían las restricciones de horas de trabajo, de brechas contra incendio y de presupuesto que se mencionaron antes. El gerente también podría especificar que deben existir por lo menos mil unidades de refugio para animales, con la restricción adicional: - 10 X1 + 60X2  1.000 donde los coeficientes de – 10 y 60 representan el efecto de la limpieza y de las brechas contra incendio en el refugio para animales (véase Tabla anterior). 150X1 + 50 X2  90.000 300 X2  500X1 + 500X2  350.000 1.000 -10X1 + 60X2 

X1

150X1 + 50 X2 = 90.000 X2 = 300 500X1 + 500X2 = 350.000 -10X1 + 60X2 = X2 X1 X2

0 1800 600 0

(horas de trabajo) (límite de brechas contra incendio) (presupuesto) (refugio para animales) (1°) (2°) (3°)

300

X1

X2

X1

X2

0 700

700 0

100 -100

33 0

309



800 700

a r 600 t n o c 500 s a h s c o 400 e r i d b n e e d c 300 n s i o r t 200 e m ó l 100 i K 0 -100

0

100

200

-100

300

400

500

600

700

800

900

Hectáreas limpiadas

Punto C(Ecuaciones 2° y 3°) X2 = 300 500X1 + 500X2 = 350.000 500X1 + 500(300) = 350.000 X1 = 400 C(400, 300)

Punto D(Ecuaciones 1° y 3°) 150X1 + 50X2 = 90.000 500X1 + 500X2 = 350.000 (-10) –1500X1-500X2 = -900.000 (1) 500X1+500X2 = 350.000 -1000X1 = -550.000 X1 = 550 150(550)+50X2 = 90.000 X2 = 150 D(550, 150)

Punto E(Ecuaciones1° y 4°) 150X1 + 50X2 = 90.000 -10X1 + 60X2 = 1.000 (1) 150X1 + 50X2 = 90.000 (15) –150X1 + 900X2 = 15.000 950X2 = 105.000 X2 = 111 150X1 + 50(111) = 90.000 X1 = 563 E(563, 111) P(X1,X2) Z(MAX) = 10X1 – 5X2 C(400,300) Z = 10(400) – 5(300) = 2.500 D(550,150) Z = 10(550) – 5(150) = 4.750 E(563,111) Z = 10(563) – 5(111) = 5.075 La región sombreada es la región factible que satisface todas las restricciones, incluyendo la del refugio para animales. El objetivo de maximizar el crecimiento de árboles se obtiene en el punto X1 = 563 y X2 = 111, con crecimiento de 5.075 unidades de árboles (véase el punto D del gráfico). También sería posible que el gerente prefiriera maximizar el refugio para animales y establecer como restricción un nivel mínimo para el crecimiento de árboles. Otra posibilidad sería especificar niveles mínimos para el refugio de animales y el crecimiento de árboles y minimizar el costo. La mayor dificultad de este método es que no incorpora un equilibrio o compensación entre los diversos objetivos. El gerente puede estar más satisfecho si hubiera más refugio para animales y menos crecimiento de árboles, pero no hay manera directa de lograrlo. Podría probar diferentes conjuntos de restricciones hasta obtener una solución satisfactoria, pero éste sería un método muy poco práctico.

310



METODO 2: DEFINICION DE COMPENSACIONES ENTRE OBJETIVOS. En este ejemplo se especificaría cuánto vale una unidad de crecimiento de madera y cuánto una unidad de refugio de animales, los dos en términos monetarios. Después se establecerían compensaciones entre estos objetivos y los dólares del costo. Con este proceso se podrían maximizar los beneficios monetarios netos totales. Suponga, por ejemplo, que el gerente decide que una unidad de crecimiento de madera vale 600 dólares y que una unidad de refugio para animales vale 100 dólares. Esto implica que le sería indiferente obtener una unidad adicional de crecimiento de madera, seis unidades de refugio de animales o un ahorro de 600 dólares. Con base en estos valores se puede calcular el beneficio neto de cada una de las variables de decisión, X1 y X 2, Recuerde que cada unidad de X1 (hectárea limpiada) produce 10 unidades de árboles (con valor de 600 dólares cada una), elimina 10 unidades de refugio para animales (a 100 dólares cada unidad) y cuestan 500 dólares. Entonces, el beneficio neto de una unidad de X 1 es: 10 ($600) – 10 ($100) - $ 500 = $ 4.500 Así mismo, el cálculo del beneficio neto de un kilómetro de brecha contra incendio es – 5 ($600) + 60 ($100) - $500 = $ 2.500. Entonces, el problema de programación lineal para maximizar los beneficios netos es: Maximizar = 4.500X1 + 2.500X2 Sujeto a:

150X1 + 50X2  90.000 300 X2  500X1 + 500X2  350.000

800 700

a r t 600 n o c s 500 a h s c o 400 e r i b d n e e d c 300 n s i o r 200 t e m 100 ó l i K 0 -100

0 -100

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Hectáreas limpiadas

La solución óptima de este problema de programación lineal genera valores de X1 = 550 y X2 = 150 (véase el punto D). Esto puede convertirse en unidades de árboles y de refugio para animales: 3750 unidades de árboles y 3500 unidades de refugio. El secreto del éxito de este método es definir las compensaciones necesarias. Para el gerente podría ser muy difícil asignar un valor monetario a una unidad de refugio para animales e incluso algunas personas rehusarán a tratar de hacerlo.

METODO 3: PROGRAMACION POR METAS. Un tercer método es el de la programación por metas. El decisor especifica metas deseables para cada objetivo y después formula el problema de manera que se minimice la variación con respecto a las metas. Lo más común es que se especifiquen las metas en niveles deseables (altos), por lo que no es posible satisfacer todas al mismo tiempo.

311



Suponga que el gerente del ejemplo establece como metas deseables la producción de 5.000 unidades de árboles y 6.000 unidades de refugio para animales. Las restricciones serían entonces: Árboles Refugio para animales Costo Fuerza de trabajo Brechas contra incendio:

10X1 - 5X2 + U1 – E1 = - 10X1 + 60X2 + U2 -- E2 = 500X1 + 500X2 + U3 – E3 =  150X1 + 50X2  X2

5.000 6.000 350.000 90.000 300

Las variables U1 y U 2 representan las diferencias entre el plan y el logro de la meta de 5000 unidades de árboles y la meta de 6000 unidades de refugio para animales. Por lo tanto, se pueden considerar como la carencia (o faltante). La variable U3, representa los ahorros, en dólares, por debajo del nivel del presupuesto. Las variables E1, E 2 y E3 representan las cantidades en que se exceden las metas específicas, es decir, el excedente. Un método para formar la función objetivo en la programación por metas es minimizar las carencias. De esta manera, el objetivo sería minimizar (U 1 + U2 – U3), con lo cual se minimizarían las cantidades que faltan para cumplir con las metas de árboles y refugio para animales y maximizar la carencia de costo (por medio de la minimización del negativo de U 3), todo ello sujeto a las restricciones antes mencionadas. La sencillez de este método es muy atractiva, pero existe una hipótesis fundamental, un ahorro unitario en dólares tiene el mismo valor que la carencia de una unidad de árboles y de una unidad de refugio para animales. La función objetivo otorga el mismo peso a todos. Un método, más apropiado, consiste en definir específicamente las compensaciones entre los objetivos. Suponga que el gerente decide que la carencia de una unidad de árboles vale 600 veces más que un dólar de ahorro y que la carencia de una unidad de refugio para animales vale 100 veces el ahorro de un dólar. En este caso la función objetivo sería: Minimizar: 600 U1 + 100U2 – U3. Sujeta, una vez más a las restricciones. Árboles 10X1 - 5X2 + U1 – E1 = Refugio para animales - 10X1 + 60X2 + U2 -- E2 = Costo 500X1 + 500X2 + U3 – E3 = Fuerza de trabajo  150X1 + 50X2 Brechas contra incendio: X2 

5.000 6.000 350.000 90.000 300

Esta función objetivo alcanza el valor cero si se excede alguna de las metas de crecimiento de árboles o refugio para animales. El gerente puede decidir que estos excedentes tienen valor y asignar también pesos a las variables E. Por ejemplo, el valor de un excedente de una unidad de árboles puede ser de 50 dólares, y el de una unidad excedente de refugio para animales puede ser de 25 dólares. Así mismo, un dólar por encima del presupuesto (E3) puede ser cinco veces más importante que el ahorro de un dólar (U3). Ahora, la función objetivo se convierte en: Minimizar: 600 U1 + 100U2 – U3 – 50E1 – 25E2 – 5E3 La minimización de los valores negativos de U 3, E1 y E2 equivale a la maximización. Una solución óptima para este problema de programación lineal requiere la limpieza de 550 hectáreas y el corte de 150 kilómetros de brechas contra incendio, con lo cual se cubre exactamente el presupuesto. Con esta solución faltan 250 unidades para alcanzar la meta de los árboles y 2.500 unidades para la meta de refugio de animales. Hay otra solución básica óptima, la cual requiere la limpieza de 537 hectáreas y 189 kilómetros de brechas contra incendio, lo que representa una carencia de 579 unidades con respecto a la meta de los árboles pero si se alcanza la meta del refugio para animales. Sin embargo, para ello hay que exceder el presupuesto en 13 160 dólares.

312



Ahora se puede observar que la programación por metas difiere del segundo método (definición directa de las compensaciones) en dos aspectos: 1.

Se incorporan metas específicas y se asigna un valor diferente a la carencia y al excedente con respecto a la meta. En el método 2 se asignaba un solo peso a cada objetivo y se aplicaba a toda la gama de valores posibles.

2.

La función objetivo se define en función de los propios objetivos. En el segundo método había que calcular los beneficios netos de cada actividad y luego se incluían los beneficios en la función objetivo. Con el método de programación de metas es más sencillo ver el valor relativo que se asigna a cada uno de los objetivos.

SOLUCIÓN MEDIANTE EL PROGRAMA TORA PROBLEMA Nº 1.Una empresa industrial cuenta con 3 centros de distribución de sus productos, el C 1 dispone de 12 toneladas, el C2 dispone de 17 Tn. y el C3 de 9 Tn. Con estas existencias (38 Tn.) se debe abastecer a 4 centros de consumo ubicados a diferentes distancias, los mismos que requieren de las siguientes cantidades: el CC A demanda 6 Tn, el CCB demanda 7 Tn., el CCC demanda 11 Tn. y el CCD demanda 14 Tn. Los costos originales por unidad son los siguientes:

Centro de consumo. Centro de destino C1 C2 C3

A

B

C

D

4 3 6

6 7 5

5 4 2

2 5 7

Se trata de encontrar el plan óptimo de distribución al menor costo. Resumiendo los datos tenemos:

MATRIZ DE COSTOS ORIGINALES DEMANDA = OFERTA

Centro de consumo. Centro de destino C1 C2 C3 Demanda

Disponible A

B

C

D

4 3 6 6

6 7 5 7

5 4 2 11

2 5 7 14

12 17 9 34 34

PASOS 1)

Click en el archivo TORA

313



2)

Damos click en (click Here)

3)

Aparecerá el siguiente menú.

4)

Señalamos Transportation model, indicando el número de cifras que tendrán las cantidades de oferta y demanda y el número de cifras decimales.

314



5)

Para el presente ejercicio utilizaremos tres cifras para la oferta, demanda y cero decimales, damos click en (Go to Imput Screen)

6)

En el siguiente menú ponemos nombre al problema y señalamos el número de centros de distribución y centros de consumo.

7)

El nombre del problema es MARTIN, ENTER 3 centros de distribución, ENTER 4 centros de consumo, ENTER para pasar a la nueva pantalla.

315



.

8)

Colocamos las cantidades en cada casilla dando ENTER después de cada valor, luego click en SOLVER menú

9)

En la siguiente pantalla señalamos (No)

316



10)

Señalamos (Solve Problem) a continuación (Iterations) , luego (Vogel”s standing solution)

11)

Para grabar la solución final oprima la tecla (Impr-Pant), luego Inicio-paint-edición-pegar-click cuadro parte superior izquierda, señalamos la parte que nos interese-edición copiar-word-pegar

12)

La solución final es.

317


13) .


CD = CENTRO DE DISTRIBUCION DISTRIBUCION CC = CENTRO DE CONSUMO CD CC CANTI. COSTO TOTAL ----- ---- --------------------------C1 D 12 2 24 A 6 3 18 B 7 7 49 C2 C 2 4 8 D 2 5 10 C3 C 9 2 18 ----------------------38 Tn. COSTO TOTAL127 ------------------------Para salir del sistema Exit TORA

OFERTA MAYOR DE LA MEMANDA.-

PROBLEMA Nº 2.Partiremos del siguiente ejemplo: Matriz de costos originales HACIA CLIENTES DISPO. DESDE R1 R2 R3

A B 4 1 6 4 5 2 50 70

C 2 3 6 90

D 6 5 4 90

100 120 120 340

REQUER. 300 Como la oferta es mayor que la demanda se debe crear un destino o cliente imaginario E´, al cual destinaremos el exceso de la producción o cantidades no absorbidas por los lugares de destino o consumidores, lógicamente los costos asignados a este destino imaginario, serán de cero, la nueva matriz AGREGA ese destino imaginario: Matriz de costos originales HACIA CLIENTES DISPONI DESDE BLE ! A B C D E R1 4 1 2 6 0 100 R2 6 4 3 5 0 120 R3 5 2 6 4 0 120 340 REQUE. 50 70 90 90 40 340 La diferencia entre la oferta y demanda es de 40 unidades, por consiguiente ese valor debemos asignar al centro o cliente imaginario para que la oferta sea igual a la demanda.

318



OFERTA MENOR QUE DEMANDA: Otro caso que se presenta en los problemas de transporte es aquel en el cual la demanda (requerimientos de los clientes) supera a la oferta (Oferta menor que demanda), de ocurrir esto se deberá nivelar el problema mediante la creación de un centro de distribución imaginario que satisfaga el exceso de la demanda. Partiremos del siguiente ejemplo:

PROBLEMA Nº 3.Matriz de costos originales

A

CLIENTE B C

D

DISPONIBLE

4 6 5 70

1 4 2 90

6 5 4 70

80 100 120

HACIA

DESDE R1 R2 R3 REQUERIMIENTOS

2 3 6 110

300 340

Los requerimientos (DEMANDA) superan a las disponibilidades (OFERTA), creamos un origen o centro de distribución imaginario que satisfaga la demanda  R4!  , obteniéndose de esta manera manera una nueva matriz, Los costos son iguales a cero.

319



Matriz de costos originales DESTINO CONSUMO A B C D ORIGEN R1 4 1 2 6 R2 6 4 3 5 R3 5 2 6 4 R4 0 0 0 0 REQUERIM. 70 90 110 70

DISPONIB. 80 100 120 40 340 340

PROBLEMA Nº 4.MG Auto tiene tres plantas en Los Angeles, Detroit y Nueva Orléans y dos centros centros de distribución principales en Denver y Miami. Las capacidades de las tres plantas durante el próximo trimestre son de 1000, 1500 y 1200 automóviles. La demanda trimestral en los dos centros de distribución es de 2300 y 1400 automóviles. En la tabla 5-1 se proporciona la gráfica del millaje entre las plantas y los centros de distribución. Los Angeles Detroit Nueva Orléans

Denver 1000 1250 1275

Miami 2690 1350 850

320



La compañía de camiones encargada del transporte de los automóviles cobra 8 centavos por milla por automóvil. El costo de transporte por automóvil en las diferentes rutas, redondeados al dólar más cercano, se calcula como se indica en la tabla. Denver (1) $ 80 $ 100 $ 102

Los Angeles (1) Detroit (2) Nueva Orléans (3)

Miami (2) $ 215 $ 108 $ 68

El modelo de programación lineal del problema es:

 80 X 1  215 X 2  100 X 3  108 X 4  102 X 5  68 X 6

Z ( MIN ) Sujetaa : X 1

X 1

 X 2

 1.000 ( Los ángeles ) X 3  X 4 Detroit )  1.500 ( Detroit X 5  X 6  1.200 ( Nueva Orléans ) X 3 X 5 Denver )  2.300 ( Denver X 2 X 4 X 6  1.400 ( Miami Miami ) X j  0

Estas restricciones son todas ecuaciones debido a que la oferta total de los tres puntos de origen (= 1000 + 1500 + 1200 = 3700 automóviles) iguala la demanda total en los dos puntos de destino (= 2300 + 1400 = 3700 automóviles). El modelo de PL se puede resolver con el método símplex. Sin embargo, la estructura especial de las restricciones nos permite resolver el problema de una manera más conveniente, utilizando la tabla símplex de transporte que se muestra en la tabla. Denver Los Angeles

80

X1 Detroit

100

X3 Nueva Orléans Demanda

102

X5 2300

Miami 215 X2 108 X4 68 X6 1400

Oferta 1000 1500 1200

321



La solución óptima (obtenida por TORA). Requiere el envío de 1000 automóviles de los Angeles a Denver, de 1300 de Detroit a Denver, de 200 de Detroit a Miami y de 1200 de Nueva Orléans a Miami. El costo mínimo asociado del transporte es de 313200 dólares. Cuando la oferta total no es igual a la demanda total, se dice que el modelo de transporte está Más adelante mostraremos la forma en la que siempre es posible equilibrar un modelo desequilibrado, añadiendo un punto de origen o de destino ficticios. La razón por la cual nos interesa equilibrar el modelo de transporte es que permite el desarrollo de un algoritmo de la solución que se basa directamente en el ejemplo de la tabla símplex del transporte.

PROBLEMA Nº 5.En el modelo de MG, supongamos que la capacidad de la planta de Detroit es de 1300 automóviles (en vez de 1500). Esto significa que la oferta total (= 3500 automóviles) es menor que la demanda total (= 3700 automóviles), una situación que dicta que no se podrá satisfacer parte de la demanda en Denver y Miami. Debido a que la demanda excede a la oferta, se añade un punto de origen (planta) ficticio, con una capacidad de 200 automóviles (=3700 – 3500) para equilibrar el modelo de transporte. En este caso, el costo de transporte por unidad de la planta ficticia a los dos puntos de destino es cero porque la planta no existe. El costo del transporte por unidad del punto de origen ficticio a los puntos de destino también puede asumir valores positivos. Por ejemplo, para asegurarnos de que Miami recibirá toda su demanda, le asignamos un costo elevado de transporte por unidad (penalidad) a la entrada del punto de origen ficticio a Miami. La tabla proporciona el modelo equilibrado, junto con su solución óptima. La solución muestra que la planta ficticia envía 200 automóviles a Miami, lo que significa que a Miami le faltarán 200 automóviles para satisfacer su demanda de 1400 automóviles. Denver Los Angeles

80

Miami 215

100 Detroit

1000 100

108

1300 Nueva Orléans

1300 102

68

1200 Planta ficticia Demanda

0

2300

Oferta

1200 0

200 1400

200

También podemos demostrar el caso en el cual la oferta excede a la demanda, suponiendo que la demanda en Denver es de sólo 1900 automóviles. En este caso, necesitamos añadir un centro de distribución ficticio para que “reciba” el excedente de la oferta. Una vez más, los costos de transporte por

unidad atribuidos al centro de distribución ficticio son cero, a menos que deseemos imponer otras condiciones. Por ejemplo, podemos requerir que una fábrica haga un “envío total” asignado un elevado

costo de transporte de la fábrica designada al punto de destino ficticio. La tabla proporciona el nuevo modelo y su solución óptima (obtenida por TORA). La solución muestra que la planta de Detroit tendrá un excedente de 400 automóviles. Denver Los Angeles

80

100 Detroit

900 Demanda

102

2300

Ficticio 0 1000

100

Nueva Orléans

Miami 215

108 0 200 400 1500 68 0 1200 1200 1400 400

PROBLEMA Nº 6.- (CONTROL DE PRODUCCION - INVENTARIO). 322



Boralis fábrica mochilas para excursionistas dedicados. La demanda de su producto ocurre durante los meses de marzo a junio de cada año. Boralis calcula que la demanda para los 4 meses es de 100, 200, 180 y 300 unidades, respectivamente. La compañía utiliza horas extra de mano de obra para fabricar las mochilas y, debido a eso, su capacidad de producción y la demanda para los diferentes meses no es igual, la demanda del mes actual se satisface en una de tres formas: 1. Producción del mes actual 2. Producción excedente de un mes anterior 3. Producción excedente de un mes posterior. En el primer caso, el costo de producción por mochila es de 40 dólares. El segundo caso incurre en un costo adicional de almacenamiento de 0.50 de dólar por mochila, por mes. En el tercer caso, se incurre en un costo adicional de 2 dólares de penalidad por cada mes de demora. Boralis desea determinar el programa de producción óptima para los 4 meses. La situación se puede modelar como un modelo de transporte, al reconocer los siguientes paralelos entre los elementos del problema de producción – inventario y el modelo de transporte: 1. 2. 3. 4. 5.

Transporte Punto de origen i Punto de destino f Cantidad de la oferta en el punto de origen i Demanda en el punto de destino f Costo de transporte por unidad del punto de origen i al punto de destino f

Producción – inventario 1. Período de producción i 2. Período de demanda f 3. Capacidad de producción del período i 4. Demanda para el período f 5. Costo por unidad (producción + inventario + penalidad) en el período i para el período f

El modelo de transporte resultante se proporciona en la Tabla. C1 C2 C3 C4 Demanda

A $ 40.00 $ 42.00 $ 44.00 $ 46.00 100

B $ 0.50 $ 40.00 $ 42.00 $ 44.00 200

C $ 41.00 $ 40.50 $ 40.00 $ 42.00 180

D $ 41.50 $ 41.00 $ 40.50 $ 40.00 300

Capacidad 50 180 280 270

El costo de “transporte” del período i al período j se calcula como

ci j

Costo de producción en i, i  j   Costo de producción en i  cos to de almacén de i a j, i  j Costo de producción en i  cos to de penalidad de i a j, i  j 

323



PROBLEMA Nº 7.- (MANTENIMIENTO DE EQUIPO). Arkansas Pacífic opera un aserradero de mediano tamaño. El aserradero prepara diferentes maderas, que varían desde pinto suave hasta roble duro, conforme a un programa semanal. Dependiendo del tipo de madera que se esté aserrando, la demanda de cuchillas afiliadas varía de día a día, según los siguientes datos de una semana (7 días): Días Demanda (cuchillas)

Lun. 24

Mar. 12

Mier. 14

Juev. 20

Viern. 18

Sab. 14

Dom. 22

El aserradero puede satisfacer la demanda diaria de la siguiente manera: 1. Comprar cuchillas nuevas a un costo de 12 dólares por cuchilla. 2. Utilizar un servicio de afiliado de la noche a la mañana, a un costo de 6 dólares por cuchilla, o retrasar dos días el servicio, a un costo de 3 dólares por cuchillas. El modelo completo se proporciona en la tabla. 1 Lun. $ 12

2. Mar. $12

3 Mié. $12

4 Jue. $12

5. Vie $12

6. Sab. $12

7 Dom. Eliminación $12 $0

1 Nue

124 24

2

98

M

$6

$6

$3

$3

$3

$3

$0

2 Lun

24 10

8

M

6

M

$6

$6

$3

$3

$3

$0

3 Mar

12 6 M

6

M

M

$6

$3

$3

$0

4 Mie

14 14 M

M

M

M

$6

$6

$3

$0

5 Juev

20 12 M

M

M

8

M

M

$6

$6

$0

6 Vie

18 14 M

M

M

M

4

M

M

$6

$0

7 Sab

14 14 M

M

M

M

M

M

M

$0

8 Dom

22 22 24

12

14

20

18

14

22

124

La solución óptima (obtenida por medio de TORA) se resume como sigue Período Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado domingo

Cuchillas nuevas 24 (lun.) 2 (mar.) 0 0 0 0 0

Servicio de afiliado De la noche a la mañana 10 (mar.) + 8 (miér.) 6 (miér.) 14 (jue.) 12 (vier.) 14 (sáb.) 14 (dom.) 0

Dos días 6 (jue.) 6 (vier.) 0 8 (dom.) 0 0 0

Pendientes 0 0 0 0 0 0 0

324



PROBLEMA Nº8.Ejemplo prototipo Uno de los productos más importantes de la P & T COMPANY es el chícharo enlatado. Los chícharos se preparan en tres enlatadoras Washington, Oregon y Minnesota, después se envían por camión a cuatro almacenes de distribución California; Rapíd City, Dakota, y Alburquerque, Nuevo México) en el oeste de Estados Unidos. Como los costos de embarque constituyen un gasto importante, la gerencia ha iniciado un estudio para reducirlos lo más que se pueda. Se ha hecho una estimación de la producción de cada enlatadora para la próxima temporada y se ha asignado a cada almacén cierta cantidad de la producción total de chícharos. En la tabla se proporciona esta información (en unidades de carga de camión), junto con el costo de transporte por camión cargado para cada combinación de enlatadora - almacén. Como se ve, hay un total de 300 cargas de camión que se deben transportar. El problema es determinar el plan de asignación de estos embarques a las distintas combinaciones de enlatadora - almacén que minimice el costo total de transporte. Si se ignora la distribución geográfica de las enlatadoras y los almacenes se puede proporcionar una sencilla representación en red del problema, alineando las enlatadoras en una columna a la izquierda y los almacenes en otra a la derecha. Las flechas indican las rutas posibles para los camiones, donde el número junto a cada flecha es el costo de envío por carga de camión para esa ruta. Los números en los paréntesis cuadrados junto a cada localidad son las cargas de camión que deben enviarse desde ese lugar (la asignación que debe llegar a cada almacén está dada como números negativos). El problema descrito, de hecho, es un problema de programación lineal del tipo de los problemas de x (i  1, 2,3; j  1,2,3,4) transporte. Para formularlo, sea Z el costo total de transporte y sea ij el número de cargas de camión enviadas de la enlatadora í al almacén j. El objetivo es seleccionar valores de estas 12 variables de decisión (las xij) para

Minimizar Z=

464 X 1  513 X 2

 654 X 3  867 X 4  352 X 5  416 X 6  690 X 7  791 X 8  99 X 9  682 X 10  388 X 11  685 X 12,

1 Enlatadora 2 3 Asignación

Datos de transporte par P &T Co. Costo de embarque ($) por carga Almacén 1 2 3 4 464 513 654 867 351 416 690 791 995 682 388 685 80 65 70 85

Producción 75 125 100

325



Sujeta a las restricciones

X 1  X 2

X 1 X 2

 X 3  X 4

 75  125 X 5  X 6  X 7  X 8 X 9  X 10  X 11  X 12  100  X 5  X 9  80  X 6  X 10  65 X 3  X 7  X 11  70 X 4  X 8  X 12  85 X ij  0

(i  1,2,3;

j  1,2,3,4).

SOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO SIMPLEX

X1 X2 X3 X4 X5

= 0 Envío desde W a C = 20 Envío desde W a R = 0 Envío desde W a D = 55 Envío desde W a A = 80 Envío desde O a C

326



X6 = 45 Envío desde O a R X7 = 0 Envío desde O a D X8 = 0 Envío desde O a A X9 = 0 Envío desde M a C X10 = 0 Envío desde M a R X11 = 70 Envío desde M a D X12 = 20 Envío desde M a A Costo total mínimo = 152.455

SOLUCIÓN MEDIANTE TRANSPORTE DEMANDA = OFERTA

327



OBLEMA Nº 9.Problema de envió El problema de transporte o envió implica determinar la cantidad de artículos o productos que deben ser transportados de varios orígenes a varios destinados. El objetivo en general es minimizar los costos y distancias de envió totales. Las restricciones en este tipo de problema se relacionan con las capacidades en cada origen y los requerimientos en cada destino. El problema de transporte es un caso muy específico de PL, por lo cual se desarrollo un algoritmo especial para resolverlo. El procedimiento de solución es uno de los temas del capitulo V. La TOP Speed Bicycle Co. fabrica y comercializa una línea de bicicletas de 10 velocidades a nivel nacional. La firma cuenta con plantas de ensamble en dos ciudades en las que los costos de mano de obra son bajos, Nueva Orleáns y Omaha. Sus tres almacenes principales están ubicados cerca de los grandes mercados de Nueva Cork, Chicago y Los Ángeles.

328



Los requerimientos de ventas para el año siguientes en el almacén de Nueva York son de 10,000 bicicletas, en el de Chicago 8.000 y en el de Los Ángeles 15,000. La capacidad de la fábrica en cada ciudad es limitada. Nueva Orleáns puede armar y enviar 20,000 bicicletas; Omaha puede producir 15,000 bicicletas al año. El costos de envió de una fabrica desde cada fabrica a cada almacén difiere. Estos costos unitarios de envió son los siguientes:

A DE Nueva Orleáns Omaha

NUEVA YORK $2 3

CHICAGO $3 1

LOS ÁNGELES $5 4

La compañía desea desarrollar un programa de envió que minimice sus costos de transporte anuales. Para formular este problema con PL, de nuevo se emplea el concepto de variables de doble subíndice. El primer subíndice representa el origen (fabrica) y el segundo el destino (almacén). Por lo tanto, en general Xij se refiere al número de bicicletas enviadas del origen i al destino j. En su lugar se podría denotar X6 como la variable del origen 2 al destino 3, pero en general la mayoría encuentra que los subíndices dobles son más descriptivos y fáciles de utilizar. Por lo tanto, sean X1 = número de bicicletas enviadas de Nueva Orleáns a Nueva York X2 = número de bicicletas enviadas de Nueva Orleáns a Chicago X3 = número de bicicletas enviadas de Nueva Orleáns a Los Ángeles X4 = número de bicicletas enviadas de Omaha a Nueva Cork X5 = número de bicicletas enviadas de Omaha a Chicago X6 = número de bicicletas enviadas de Omaha a Los Ángeles

SOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO SIMPLEX Función objetivo Minimizar los costos totales de envió = 2X 1 + 3X2 + 5X3 + 3X4 + 1X5 + 4X6 Sujeto a: X1

X2

X3 X1 + X2 + X3

+ X4

= 10,000 (Demanda de Nueva York) + X5 = 8,000 (Demanda de Chicago) + X6 = 15,000 (Demanda de Los Ángeles)

≤ 20,000 (Demanda en la fabrica de Nueva Orleáns) X4 + X5 + X6 ≤ 15,000 (Existencia en la fabrica fabrica de Omaha) Totales las variables ≥ 0

¿Por qué los problemas de trasporte son una clase especial de problemas de PL? La respuesta es que cada coeficiente enfrente de una variable en las ecuaciones de restricción siempre es igual a 1. Esta cualidad especial también se encuentra en otra categoría especial de problemas de PL, el problema de asignación. (El problema de asignación puede ser considerado como un caso especial del problema de transporte en la cual el abasto de cada fuente y la demanda de cada destino es uno)

329



X1 = 10.000 número de bicicletas enviadas de Nueva Orleáns a Nueva York X2 = 0 número de bicicletas enviadas de Nueva Orleáns a Chicago X3 = 8.000 número de bicicletas enviadas enviadas de Nueva Orleáns Orleáns a Los Los Ángeles Ángeles X4 = 0 número de bicicletas enviadas de Omaha a Nueva Cork X5 = 8.000 número número de bicicletas enviadas enviadas de Omaha a Chicago X6 = 7.000 número número de bicicletas enviadas de Omaha a Los Ángeles S4 = 2.000 (Demanda en la fabrica de Nueva Orleáns) Costo total de envío es de $96.000

MEDIANTE EL PROBLEMA DE TRANSPORTE DEMANDA < OFERTA A DE Nueva Orleáns Omaha

NUEVA YORK $2 3

CHICAGO $3 1

LOS ÁNGELES $5 4

DEMANDA = OFERTA A DE Nueva Orleáns Omaha REQUERIMIENTOS

NUEVA YORK $2 3 10.000

LOS FICTICIO CAPACIDAD CHICAGO ÁNGELES $3 $5 0 20.000 1 4 0 15.000 8.000 15.000 2.000

PROBLEMA Nº 10.- Fabricantes de jabón y detergentes Un fabricante de jabón y detergentes tiene tres plantas, localizadas en Cincinnati, Denber y Atlanta. Los almacenes principales se encuentran en Nueva York, Boston, Chicago, Los Ángeles y Dallas. En la tabla 1 se proporcionan los requerimientos de ventas del próximo año para cada almacén

Tabla 1. Requerimientos de los almacenes Ubicación del almacén Nueva York Boston Chicago Los Ángeles Dallas

Ventas anuales (miles de cajas) 50 10 60 30 20

total

170

En la compañía es necesario determinar cuál de las fábricas debe abastecer a cada almacén. La capacidad de las fábricas está limitada. Cincinnati tiene capacidad anual para 100 000 cajas; Denver para 60 000 y Atlanta para 50.000. En la tabla 2 se muestra el costo de envío del jabón de las fábricas a los almacenes. La compañía quiere determinan un programa de entregas que minimice los costos totales de transporte de la compañía (representados con C).

330



Tabla 2. Costos de envío de 1.000 cajas de jabón A

Nueva York $120 210 150

De Cincinnati Denver Atlanta

Boston

Chicago

$150 220 170

$80 150 150

Los Ángeles $250 100 240

Dallas $180 110 200

Formulación Sea: X1

= Número de cajas enviadas de la primera fábrica (Cincinnati) al primer almacén (Nueva York), en miles de cajas)

Análogamente: X2, X3, X4, X5

= Número de cajas enviadas de la primera fábrica (Cincinnati) al segundo, tercero, etc., almacén (Boston, Chicago, etc.)

X6, X7, X8, X9, X10

= Número de cajas enviadas de la segunda fábrica (Denver) al primero, segundo, etc., almacén.

X11, X12, X13, X14, X15 = Número de cajas enviadas de la tercera fábrica (Atlanta) al primero, segundo, etc., almacén. El objetivo es, entonces: Minimizar: C = 120X1 + 150X2 + 80X3 + 250X4 + 180X5 + 210X6 + 220X7 + 150X8 + 100X9 + 110X10 150X11 + 170X12 + 150X13 + 240X14 + 200X15 El costo total es la suma de los productos, para cada ruta de envío posible (de la fábrica al almacén), del costo de envío de la tabla 2 multiplicado por el número de millares de cajas que se envían. Hay dos conjuntos de restricciones para este problema. El primero garantiza que se cumplirán las necesidades del almacén, entonces, para Nueva York. X1 + X6 + X11 = 50 Lo anterior estipula que la suma de las cajas que se envían a Nueva York de la primera fábrica (Cincinnati), la segunda (Denver) y la tercera (Atlanta) debe ser 50 000 cajas, el requerimiento de ventas de Nueva York. Para los otros almacenes se tiene: Boston Chicago Los Ángeles Dallas

: : : :

X2 + X7 + X12 = 10 X3 + X8 + X13 = 60 X4 + X9 + X14 = 30 X5 + X10 + X15 = 20

El segundo conjunto de restricciones garantiza que las fábricas no excedan sus capacidades de producción. De esta manera, para la fábrica de Cincinnati. X1 + X2 + X3 + X4 + X5 < 100 Esta expresión indica que la cantidad que se envía de la primera fábrica al primer almacén, al segundo, al tercero, etc., no debe exceder la capacidad de 100 000 cajas de la fábrica. En forma similar: Denver : X6 + X7 + X8 + X9 + X10 < 60 Atlanta : X11 + X12 + X13 + X14 + X15 < 50 Por último, todas las X deben ser mayores o iguales que cero. La solución de este problema problema de programación lineal ofrecerá el programa óptimo de envíos (es decir, el de menor costo) para la compañía. Es un ejemplo de un tipo de especial de problema, conocido, de

331



manera bastante natural, como el problema de transporte. El capítulo IV se dedica a un procedimiento especial para resolver este tipo de problemas. En resumen, la formulación completa de este problema es: Minimizar

C

Sujeto a

=

120X1 + 150X2 + 80X3 + 250X4 + 180X5 + 210X6 + 220X7 + 150X8 + 100X9 + 110X10 + 150X11 + 170X12 + 150X13 + 240X14 + 200X15

:

X1 + X6 + X11 = 50 X2 + X7 + X12 = 10 X3 + X8 + X13 = 60 X4 + X9 + X14 = 30 X5 + X10 + X15 = 20

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 < 100 X6 + X7 + X8 + X9 + X10 < 60 X11 + X12 + X13 + X14 + X15 < 50

SOLUCIÓN MEDIANTE QM.

MEDIANTE EL PROBLEMA DE TRANSPORTE DEMANDA = OFERTA Tabla 2. Costos de envío de 1.000 cajas de jabón A De Cincinnati Denver Atlanta DEMANDA

Nueva Boston Chicago Los Dallas York Ángeles $120 $150 $80 $250 $180 210 220 150 100 110 150 170 150 240 200 50 10 60 30 20

Fícticio

OFERTA

0 0 0 40

100 60 50

332



PROBLEMAS PROPUESTOS 1)

Tres plantas de energía eléctrica, con capacidades de 25, 40 y 30 millones de kilovatios/hora, proporcionan electricidad a tres ciudades. La demanda máxima en las tres ciudades se calcula en 30, 35 y 25 millones de kilovatios/hora. En la tabla 4-1 se proporciona el precio por millón de kilovatios/hora en las tres ciudades. TABLA 4 - 1 Ciudad 1 2 3 1 $ 600 $ 700 $ 400 Planta 2 $ 320 $ 300 $ 350 3 $ 500 $ 480 $ 450 Durante el mes de agosto hay un incremento de 20% en la demanda en cada una de las tres ciudades, que se puede satisfacer comprándole electricidad a otra red, a un precio más elevado de 1.000 dólares por millón de kilovatios/hora. Sin embargo la red no está conectada con la ciudad 3. La compañía de servicios públicos quiere determinar el plan más económico para la distribución y la compra de la energía eléctrica adicional.

a) Formule el problema como un modelo de transporte. b) Resuelva el problema con TORA y determine un plan de distribución óptima para la compañía de servicios públicos. c) Determine el costo de la energía adicional comprada por cada una de las tres ciudades 2)

Resuelva el problema 1 suponiendo que hay una pérdida de 10% en la transmisión de la energía a todo lo largo de la red.

3)

El Servicio de Parques Nacionales está recibiendo cuatro licitaciones para talar tres bosques de pinos en Arkansas. Las tres ubicaciones ubicaciones incluyen 10.000, 20.000 y 30.000 acres. Un solo licitador licitador puede licitar cuando mucho por 50% del total de acres disponibles. En la tabla 4 - 2 se proporcionan las licitaciones por acre en las tres ubicaciones. TABLA 4 - 2 Ubicación 1 2 3 1 $ 520 $ 210 $ 570 Licitador 2 $ 510 $ 495 3 $ 650 $ 240 4 $ 180 $ 430 $ 710 En la situación actual, necesitamos maximizar el ingreso total de las licitaciones para el Servicio de Parques. Muestre cómo formular el problema como un modelo de transporte. Utilice TORA para determinar la superficie en acres que debe asignarse a cada uno de los cuatro licitadores.

4)

Tres refinerías, con capacidades diarias de 6, 5 y 8 millones de galones, respectivamente, abastecen a tres áreas de distribución con demandas diarias de 4, 8 y 7 millones de galones, respectivamente. La gasolina se transporta a las tres áreas de distribución a través de una red de ductos. El costo de transporte es de 10 centavos de dólar por cada 1.000 galones por milla de ducto. La tabla 4 - 3 proporciona el millaje entre las refinerías y las áreas de distribución. La refinería 1 no está conectada al área de distribución 3.

Planta

1 2 3

ABLA 4 – 3 Tabla de distribución dist ribución 1 2 3 120 180 300 100 80 200 250 120

a) Construya el modelo de transporte asociado. b) Utilice TORA para determinar el programa de envío óptimo en la red.

333



En el problema 4, supongamos que la capacidad de la refinería 3 es de sólo 6 millones de galones y que el área de distribución 1 debe recibir toda su demanda. Además, cualquier faltante en las áreas 2 y 3 incurrirá en una penalidad de 5 centavos de dólar por galón.

a) Formule el problema como un modelo de transporte. b) Resuelva el modelo resultante con TORA y determine el programa de envío óptimo. 6)

En el problema 4, supongamos que la demanda diaria en el área 3 desciende a 4 millones de galones. La producción excedente en las refinerías 1 y 2 se desvía por camión a otras áreas de distribución. El costo de transporte por 100 galones es de 1.50 dólares desde la refinería 1 y 2.30 dólares desde la refinería 2. La refinería 3 puede desviar su producción excedente a otros procesos químicos dentro de la planta.

a) Formule el problema como un modelo de transporte. b) Resuelva el modelo por medio de TORA y determine el programa de envío óptimo. 7)

JoShop quiere asignar cuatro categorías diferentes de máquinas a cinco tipos de tareas. El número de máquinas disponibles en las cuatro categorías es de 25, 30, 20 y 30. El número de trabajos en las cinco tareas es de 20, 20, 30, 10 y 25. La categoría de máquina 4 no se puede asignar al tipo de tarea 4. La tabla 4 - 4 proporciona el costo por unidad (en dólares) de asignar una categoría de máquina a un tipo de tarea. El objetivo de problema es determinar el número óptimo de máquinas en cada categoría que va a asignarse a cada tipo de tarea. Resuelva el problema por medio de TORA e interprete la solución.

Categoría de máquina

1 2 3 4

TABLA 4 - 4 Tipo de tarea 1 2 3 4 10 2 3 15 5 10 15 2 15 5 14 7 20 15 13 22

5 9 4 15 8

8)

La demanda de un artículo perecedero a lo largo de los próximos 4 meses es de 400, 300, 420 y 380 toneladas, respectivamente. Las capacidades de oferta para los mismos meses son de 500, 600, 200 y 300 toneladas. El precio de compra por tonelada varía de mes a mes y se calcula en 100, 140, 120 y 150 dólares, respectivamente. Debido a que el artículo es perecedero, la oferta de un mes actual debe comunicarse en el transcurso de 3 meses (incluyendo el mes actual). El costo mensual de almacenamiento por tonelada es de 3 dólares. La naturaleza del artículo no permite tener pedidos pendientes. Resuelva el problema como un modelo de transporte, por medio de TORA y determine el programa de entrega óptimo para el artículo durante los próximos 4 meses.

9)

La demanda de un pequeño motor especial a lo largo de los siguientes cinco trimestres es de 200, 150, 300, 250 y 400 unidades. El fabricante que suministra el motor tiene diferentes capacidades de producción, calculadas en 180, 230, 430, 300 y 300 para los mismos cinco períodos. Los pedidos pendientes no están permitidos, pero el fabricante puede utilizar horas extra de producción para satisfacer la demanda, si es necesario. La capacidad de horas extra para cada período es igual a la mitad de la capacidad de la producción regular. Los costos de producción por unidad de capacidad de la producción regular. Los costos de producción por unidad para los cinco períodos son de 100, 96, 116, 102 y 106 dólares, respectivamente. El costo de las horas extra de producción por motor es 50% más alto que el costo de la producción regular. Si un motor se fabrica ahora para utilizarlo en períodos posteriores, se incurre en un costo adicional de almacenamiento de 4 dólares por motor, por período. Formule el problema como un modelo de transporte. Utilice TORA para determinar el número óptimo de motores que deben fabricarse durante las horas regulares y las horas extra de cada período.

10)

En el problema de transporte en la tabla 4 - 5, la demanda total excedente a la oferta total. Supongamos que los costos de penalidad por unidad de demanda no satisfecha son de 5, 3 y 2 dólares para los puntos de destino 1, 2 y 3, respectivamente. Determine la solución óptima.

334


ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. TABLA 4-5 $1 $7 $4 $6 $2 $5 20 50

$5 $6 $3 75

10 80 15

11)

En el problema 10, supongamos que no hay costos de penalidad, pero que la demanda en el punto de destino 3 debe satisfacerse en su totalidad. Encuentre la solución óptima.

12)

En el problema de transporte no equilibrado en la tabla 4 - 6, si una unidad de un punto de origen no se envía (a cualquiera de los puntos de destino), se incurre en un costo de almacenamiento en una proporción de 5, 4 y 3 dólares por unidad para los puntos de origen 1, 2 y 3, respectivamente. Si además, toda la oferta en el punto de origen 2 debe enviarse en su totalidad, para dejar espacio para un nuevo producto, determine el programa de envío óptimo.

TABLA 4-6

$1 $3 $2 30 13)

20 40 30

$1 $5 $3 20

Resuelva los modelos de asignación en la tabla. $3 $8 $6 $8 $9

14)

$2 $4 $3 20

(a) $8 $2 $10 $3 $7 $2 $9 $7 $4 $2 $7 $5 $4 $2 $3 $5 $10 $6 $9 $10

$3 $6 $9 $2 $9

$9 $1 $4 $5 $6

(b) $2 $3 $5 $6 $7 $10 $4 $2 $2 $4

$7 $6 $3 $1 $5

JoShop necesita asignar cuatro trabajos que recibió a cuatro empleados. Las diversas habilidades de éstos dan origen a costos variados por el desempeño de los trabajos. La tabla resume los datos del costo de las asignaciones. Los datos indican que el empleado 1 no puede trabajar en el trabajo 3 y que el empleado 3 no puede trabajar en el trabajo 4. Determine la asignación óptima.

Trabajador

1 2 3 4

1 $50 $70 $90 $70

Trabajo 2 3 $50 $40 $20 $30 $50 $20 $60

4 $20 $30 $70

15)

En el modelo de JoShop del problema 15, supongamos que hay disponible un empleado adicional (el quinto) para desempeñar los cuatro trabajos, a los costos respectivos de 60, 45, 30 y 80 dólares. ¿Es económico reemplazar a uno de los cuatro trabajadores actuales con el nuevo?

16)

En el modelo del problema 15, supongamos que JoShop acaba de recibir un quinto trabajo y que los costos respectivos de que los desempeñen los cuatro empleados son 20, 10, 20 y 80 dólares. ¿Debe tener prioridad el nuevo trabajo por encima de cualquiera de los cuatro trabajos que ya tiene JoShop?

17)

Un ejecutivo de negocios debe hacer los cuatro viajes redondos que se enumeran en la tabla, entre la oficina matriz en Dallas y una sucursal en Atlanta.

335



Fecha de salida de Dallas Lunes, 3 de junio Lunes 10 de junio Lunes 17 de junio Martes 25 de junio

Fecha de regreso a Dallas Viernes 7 de junio Miércoles 12 de junio Viernes 21 de junio Viernes 21 de junio

El precio de un boleto de viaje redondo desde Dallas es de 400 dólares. Se concede un descuento de 25% si las fechas de llegada y salida de un boleto incluyen un fin de semana (sábado y domingo). Si la estancia en Atlanta es de más de 21 días, el descuento aumenta 30%. Un boleto de viaje sencillo entre Dallas y Atlanta (en cualquier dirección) cuesta 250 dólares ¿Cómo debe el ejecutivo comprar sus boletos?

19)

La figura 4 – 11 proporciona un trazo esquemático de un taller mecánico con sus centros de trabajo existentes, designados por los cuadros 1, 2, 3 y 4. Se van a añadir cuatro nuevos centros de trabajo al taller, en las ubicaciones designadas por los círculos a, b, c y d. El objetivo es asignar los nuevos centros a las ubicaciones propuestas de tal manera que se minimice el tráfico total del manejo de materiales entre los centros existentes y los propuestos. La tabla 4 - 7 resume la frecuencia de los viajes entre los nuevos centros y los antiguos. El equipo de manejo de materiales viaja a lo largo de los pasillos rectangulares que se intersecan en las ubicaciones de los centros. Por ejemplo, la distancia de recorrido en un sentido (en metros) entre el centro 1 y el centro b es 30 + 20 = 50 metros. FIGURA 4 - 11

70 60

a

c

50

3

2

40 30

b

20 10 0

d

1 10

20

30

40

50

60

TABLA 4 - 7 Centro Nuevo a b c 1 10 2 4 Centro existente 2 7 1 9 3 0 8 6 4 11 4 0 20)

70

80

d 3 5 2 7

La red en la figura 4 – 12 proporciona las rutas de envío de los nodos 1 a los nodos 5 y 6 a través de los nodos 3 y 4. Los costos de envío por unidad se muestran en los respectivos arcos.

a) Desarrolle el modelo de transbordo correspondiente. b) Resuelva el problema por medio de TORA y muestre cómo los envíos se dirigen por las rutas de los puntos de origen a los puntos de destino.

336


ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. FIGURA 4 - 12 6 3

1 100

1 4 1

5

3

5

3

1 2

200

150

8

2

4

6

150

21)

En el problema 20, supongamos que el nodo del punto de origen 1 se puede unir con el nodo del punto de origen 2, con un costo de envío por unidad de 1 dólar. El costo de envío por unidad del nodo 1 al nodo 3 se incrementa a 5 dólares. Formule el problema como un modelo de transbordo y encuentre el programa de envío óptimo.

22)

La red en la figura 4 – 13 muestra las rutas para enviar los automóviles de las tres fábricas (nodos 1, 2 y 3) a los tres distribuidores (nodos 6 al 8) a través de dos centros de distribución (nodos 4 y 5). Los costos de envío por automóvil (en 100 dólares) se muestran en los arcos.

FIGURA 4 – 13 900

1

6 1

0.2

3 0.8 1.400

2 4.3

1.100

4 0.5

4.5 3

6

7

1.000

2.1 2

5 4.6

1.000

1.9

3

8

1.200

a) Resuelva el problema como un modelo de transbordo y encuentre la solución óptima por medio de TORA. b) Supongamos que el centro de distribución 4 puede vender 240 automóviles directamente a los clientes. Encuentre la nueva solución óptima. 23)

Considere el problema de transporte en el cual dos fábricas surten cierto artículo a tres tiendas. El número de unidades de oferta disponibles en las fuentes 1 y 2 es de 200 y 300; la demanda en las tiendas 1, 2 y 3 es de 100, 200 y 50, respectivamente. Las unidades se pueden transbordar entre las fábricas y las tiendas antes de que lleguen a su punto de destino final. Se desea encontrar el programa de envío óptimo (utilice TORA) basado en los costos por unidad en la tabla 4 - 18.

Fábrica Tienda 24)

1 2 1 2 3

TABLA 4 - 8 Fábrica 1 2 $0 $6 $6 $0 $7 $2 $1 $5 $8 $9

1 $7 $5 $0 $1 $7

Tienda 2 $8 $4 $5 $0 $6

3 $9 $3 $1 $4 $0

Considere la red de ductos de petróleo que se muestra en la figura 4 – 14. Loa diferentes nodos representan las estaciones de bombeo y de recibo. Las distancias en millas entre las diferentes estaciones se muestran en la red. El costo de transporte por galón entre dos nodos es directamente proporcional al largo del ducto. Desarrolle el modelo de transbordo asociado y encuentre la solución óptima utilizando TORA.

337



FIGURA 4 - 14 50.000 60.000 (galones) 1

3

20

3

9

30

40 2

7

4

90.000

20.000 8

10

2

6

5 4

25)

Problema de la ruta más corta. Encuentre la ruta más corta entre los nodos 1 y 7 de la red en la figura 4 - 15 formulando el problema como un modelo de transbordo. La distancia entre los diferentes nodos se muestra en la red. (Sugerencia: supongamos que el nodo 1 tiene una oferta neta de una unidad y que el nodo 7 tiene una demanda neta también de 1 unidad). FIGURA 4 - 15 1

4

2

4 7

5

9

2

5 1

4

6

5

3

7

1 3

5 7

3

2 3 6

26)

Use el método de transporte para elaborar una tabla de asignación óptima de envíos de las fábricas a los almacenes: Fáb ri c as

F1 F2 F3 Total Almacenes

W1 W2 W3 Total

Cantidad disponible

10 20 30 60 Cantidad requerida

15 28 17 60

Los costos unitarios de envío son:

F1 F2 F3

W1 $0.90 1.00 1.05

W2 $0.95 1.40 0.85

W3 $1.30 0.95 1.10

338



Use el método de transporte para elaborar una tabla de asignación óptima de envíos de las fábricas a los almacenes: Fábricas

Cantidad disponible

Almacenes

Cantidad requerida

F1 F2 F3 Total

20 15 30 65

W1 W2 W3 Total

10 26 29 65

Los costos unitarios de envío son:

F1 F2 F3 28)

W1 $1.10 1.20 1.10

W2 $1.12 1.00 0.90

W3 $1.20 1.05 0.95

Use el método de transporte para tratar de elaborar una tabla de asignación óptima de envíos de las fábricas a los almacenes. Use los datos y la solución inicial que se presentan a continuación. Costos unitarios y unidades suministradas y requeridas Des t in o Fu en t e

U n id ad es W1

W2

W3

F1 F2 F3

$0.80 $0.90 $1.00

$0.85 $0.70 $0.60

$1.45 $1.05 $0.60

Unidades requeridas

10

28

22

d is p o n ib les

10 20 30 60

Primera solución Des t in o Fu en te

29)

Un id ad es W1

F1 F2 F3

10

Unidades requeridas

10

W2

W3

20 8

22

28

22

d is p o n ib les

10 20 30 60

Una empresa fabrica dos productos, A y B. La contribución al beneficio y la utilización de recursos por unidad de producto se presentan a continuación. Contribución al beneficio (dólares por unidad) Utilización de recursos: Tiempo de máquina (horas por unidad) Materia prima (toneladas por unidad) Mano de obra calificada (horas por unidad) Mano de obra no calificada (horas por unidad)

Producto A

Producto B

4

5

5

4

1

5

2

0

15

10

La empresa dispone de un máximo de 100 horas de tiempo de máquina y 30 horas de mano de obra no calificada. Hay escasez de materia prima. Las oficinas centrales asignaron 100 toneladas, con iteraciones de usar lo menos posible y devolver todo el excelente para usarlo en otras divisiones. Se puede obtener más de las 100 toneladas asignadas, pero sólo si es “absolutamente necesario”. La empresa tiene mano de obra calificada con 75 horas disponibles en tiempo regular. A estos trabajadores calificados no les gusta trabajar tiempo extra, pero lo harán si se requiere. La

339



gerencia quiere aprovechar al máximo el tiempo regular de estos trabajadores calificados. La empresa tiene un objetivo de beneficios de 300 dólares, meta que espera alcanzar o superar.

a) Defina las variables de decisión y las restricciones de tiempo de máquina y mano de obra no calificada. b) Formule las restricciones de metas de la mano de obra calificada, las materias primas y los beneficios. Tome en cuenta las carencias y los excelentes es estas restricciones. c) Suponga que la gerencia asigna los costos de 15 dólares por tonelada que se usa por encima de la asignación, 10 dólares por hora de tiempo extra de los trabajadores calificados y cinco dólares por hora de tiempo de inactividad de los trabajadores calificados. Además, la materia prima que no se use (por debajo de la asignación) tiene un valor de cinco dólares por tonelada. Un dólar de beneficio tiene el mismo valor, sin importar si se excede o no la meta de beneficios. Formule la función objetivo de programación por metas. d) Antes de proseguir con esta parte, verifique que su formulación esté correcta. e) Represente gráficamente el problema de decisión. Primero incluya las restricciones de mano de obra no calificada y tiempo de máquina. Luego incluya las líneas que representan las metas de mano de obra calificada y materia prima. Por último, dibuje la meta de los beneficios. f) Evalúe los siguientes puntos de soluciones posibles. Encuentre cada punto en su gráfico y sustituya en las ecuaciones de metas para determinar la carencia o el excedente. Luego sustituya estos valores en las funciones objetivo de (c). Encuentre la solución óptima (con el menor valor). Los puntos son: 1. 2. 3. 4. 30)

Producto A = 8.33 unidades; producto B = 13.33 unidades. Producto A = 11.11 unidades; producto B = 11.11 unidades. Producto A = 15 unidades; producto B = 8 unidades. Producto A = 15 unidades; producto B = 6.25 unidades.

En lugar de usar la primera solución que se presenta con el problema 38, resuelva el problema 38 a partir de la solución que se muestra en la tabla siguiente. Primera solución alternativa Destino Fuente

W1

F1 F2 F3 Unidades demandadas

31)

W2 5 5

10

W3 5

23 28

15 7 22

Unidades disponibles 10 20 30 60

Hay tres clasificaciones de trabajadores (P1, P2 y P3) que se pueden usar en tres trabajos (J1, J2 y J3). Cada trabajador tiene costo diferente para cada trabajo, como se indica en la tabla siguiente. El número de trabajadores que se requiere para cada trabajo también se incluye en dicha tabla. Costos directos Trabajo Trabajador J1 P1 $1.00 P2 $0.90 P3 $0.80 Trabajadores requeridos

J2 $1.10 $0.80 $0.85 10

Trabajadores J3 disponibles $1.20 10 $1.10 15 $1.15 20 30 45

Use el método de transporte para encontrar la asignación óptima.

32)

Una empresa tiene dos fábricas que abastecen a tres almacenes regionales. Los costos unitarios de transporte son:

340



Costos unitarios de transporte Fábrica

W 1

F1 F2

$2 4

Almacén W 2 2

$2 1

W 3

$5 1

La fábrica 2 es vieja y tiene costo variable de manufactura de dos labores por unidad. La fábrica 1 es moderna y su producción cuesta un dólar por unidad. La fábrica 2 tiene capacidad de 25 unidades y la fábrica 1 tiene capacidad de 40 unidades. Las necesidades de los almacenes son: Almacenes

Unidades requeridas

W1 W2 W3

20 10 25

¿Cuánto debe enviar cada fábrica a cada almacén? Recomendación: Sume el costo de manufactura al costo de transporte para obtener un costo por “unidad entregada”. entregada”. Minimice esta cantidad. Establezca también un almacén ficticio par a manejar

el exceso de capacidad.

33)

La compañía ABC ABC tiene cuatro cuatro fábricas que abastecen a cinco almacenes. Los costos de envío, los requerimientos y las capacidades se indican en las tablas siguientes: Costos de envío (dólares por caja) W1 W2 W3 W4 W5 1 3 4 5 6 2 2 1 4 5 1 5 1 3 1 5 2 4 5 4

F1 F2 F3 F4

Requerimientos (miles de cajas)

W1 W2 W3 W4 W5

80 50 50 30 40

Capacidades de la fábrica (miles de cajas)

F1 F2 F3 F4

100 60 60 50

La compañía consideraba el cierre de la cuarta fábrica (F4) por sus altos costos operativos. Si lo hubiera, se agregarían 30 unidades de capacidad a la fábrica 3. El gerente de transporte se preocupaba por el efecto de esta acción sobre los costos de transporte de la compañía. El había observado que el almacén 2 (w”9 recibía cerca de 30 000 cajas de F4. Como el costo de envío

de F3 a W2 era de cinco dólares (comparado con dos dólares de F4 a W2), el gerente estimaba que el efecto de cerrar F4 sería un aumento de 90 000 dólares en los costos de transporte. ¿Está usted de acuerdo con el gerente de transporte? ¿Qué efecto cree que tendría el cierre de F4 sobre los costos de transporte?

34)

La compañía de transporte Genesee tiene cuatro terminales, A, B, C y D. Al comenzar cada día hay ocho, seis, cuatro y siete tractores en las terminales respectivas. Durante la noche anterior se cargaron los remolques en las plantas E, F, G, H e Y con las siguientes cantidades: tres, seis, cinco, seis y cinco, respectivamente. La distancia entre las terminales y las plantas se indica en la tabla “Kilómetros entre las terminales y las plantas”.

341



Kilometros entre las terminales y las plantas Plantas Terminales A B C D

E 20 74 60 39

F 47 13 31 41

G 17 52 51 37

H 41 40 71 21

I 62 32 68 38

¿De que terminales a que plantas hay que enviar los tractores si debe minimizarse la distancia total que recorran todos los tractores para recoger los remolques?

35)

El director de una escuela de administración planifica las inscripciones a los dos programas principales de la escuela: un curso de licenciatura y un curso de nivel master. El director cuenta con 36 profesores titulares y 42 adjuntos. Para impartir los cursos de licenciatura se requieren 0.02 profesores titulares y 0.03 adjuntos. En otras palabras, por cada 100 estudiantes de licenciatura, la escuela necesita dos profesores titulares y tres adjuntos. Para cada cien estudiantes de grados master se requieren seis profesores titulares y cuatro adjuntos. El problema del director es determinar cuantos estudiantes de licenciatura y de grado master pueden inscribirse. Las cuotas de un estudiante de master ascienden a 15 000 dólares por año; para la licenciatura son 12 000 dólares por año. El director de la universidad ha decretado que el número de inscripciones en el programa master no puede ser superior al número de inscritos en el programa de licenciatura. El director tiene tres objetivos. El primero corresponde a los ingresos por cuotas y ha establecido una meta de 15 millones de dólares. Otro objetivo es satisfacer las necesidades de licenciados en administración que tienen las empresas locales, por lo que se ha fijado un nivel de inscripciones de 1.000 licenciados. El tercer objetivo es satisfacer la demanda de masters y ha establecido una meta de 400. Suponga que el director quiere cumplir lo mejor que se puede con la demanda de licenciados y masters, evitando, de ser posible, las carencias y excedentes. También quiere obtener todos los ingresos posibles por concepto de cuotas.

a) Formule las restricciones para el problema del director como un problema de programación por metas. Tome en cuenta las restricciones de las metas. b) Formule la función objetivo, suponiendo que se han asignado las siguientes ponderaciones a las carencias y a los excedentes. Producción (equivalente en dólares) 15 30 000 24 000 3 9 000 6 000

Objetivo Carencia de cuotas Carencias para cubrir la demanda de licenciados, Carencias para cubrir la demanda de masters. Excedente de cuotas. Excedente de la meta de licenciados. Excedente de la meta de masters.

c) Represente gráficamente el problema. Represente primero las restricciones que no se apliquen a las metas. Luego dibuje las ecuaciones en las medidas. Encuentre la solución óptima. Considere los puntos que sean intersecciones de las restricciones y las ecuaciones de metas. d) Suponga que el director desea asignar prioridad a las metas, en el orden que se especifica en (b). La prioridad más alta es minimizar la carencia de datos, la siguiente es minimizar la carencia de la demanda de licenciados, etc. Use el método de programación por prioridades y resuelva este problema en forma gráfica. 36)

La compañía de productos Zeta tiene cuatro fábricas que abastecer a cinco cinco almacenes. Los costos variables de manufactura y envío de una tonelada de producto de las fábricas a los almacenes se indican como números en la esquina superior izquierda de las casillas de la tabla anexa. Las capacidades de las fábricas y los requerimientos de los almacenes se expresan en

342



miles de toneladas en los márgenes de la tabla. Observe que hay un almacén ficticio (llamado holgura) para tener en cuenta la diferencia entre la capacidad total y el total de los requerimientos.

Después de varias iteraciones se obtiene una solución (los números en círculo con pantalla en la tabla). Responda a las siguientes preguntas en forma independiente.

a) ¿Es la solución óptima? De ser así, ¿Cuál es el costo total? b) ¿Hay una solución óptima alternativa? De ser así, ¿cuál es? Destinos Fuentes

W1

17

W2

W3

9

14

10

25

F1 13

6

10

F2 8

11

20 17

Holg Holgur ura a

W5

14

0

30 11

12

0

12

12

0

15 9

Capa Capaci cida dade des s

20

75

10

45

30

F3 15 F4 Requerimientos

W4

30 20 11

40

14

10 50

20

30

6

0

40 40

20

50 200

c) Suponga que se instala un nuevo equipo que reduce el costo operativo variable en dos dólares por tonelada en la segunda fábrica (F2). ¿Es aún óptima la solución? De no ser así, ¿cuál es la nueva solución óptima? d) Suponga que el costo de transporte de F1 a W1 se reduce en dos dólares ¿Cambia el programa de envíos? De ser así, ¿cuál sería la nueva solución óptima? e) ¿Cuánto tendría que bajar el costo de manufactura de la fábrica 1 antes de que la producción pueda aumentar a más de 55 000 toneladas? f) Suponga que las nuevas estimaciones indican que los requerimientos de W2 serán 25, en lugar de los 20 que se estimaron originalmente. Diga cual sería el costo adicional total si: 1. No se ampliara ninguna de las plantas. 2. Se ampliara F3 en cinco unidades para cumplir con los requerimientos adicionales. g) Se va a iniciar un programa para aumentar las ventas en uno de los distritos de los almacenes. Si la efectividad del programa fuera la misma en todos los distritos. ¿cuál propondría para llevar a cabo el programa? ¿Por qué? Suponga que el precio de venta es el mismo en todos los distritos. 37)

Una compañía tiene tres plantas que fabrican carriolas de bebé que deben mandarse a cuatro centros de distribución. Las plantas 1, 2 y 3 producen 12, 17 y 11 cargas mensuales, respectivamente. Cada centro de distribución necesita recibir lO cargas al mes. La distancia desde cada planta a los respectivos centros de distribución es la siguiente:

Planta

1 2 3

Distancia (millas) Centro de distribución 1 2 3 4 800 1300 400 700 1100 1400 600 1000 600 1200 800 900

El costo del flete por embarque es $100 más $0.50/milla. ¿Cuántas cargas deben mandarse desde cada planta a cada centro de distribución para minimizar minimizar el costo total: de transporte?

a) Formule este problema como un problema de transporte construyendo la tabla de parámetros apropiada. b) Dibuje la representación de red para este problema. c) Obtenga una solución óptima. 38)

Tomás desearía comprar exactamente 31itros de cerveza casera hoy y al menos 4 litros mañana. Ricardo quiere vender un máximo de 5 litros en total a un precio de $3.00 por litro hoy y de $2.70 por litro mañana. Enrique está dispuesto a vender máximo 41itros en total, a un precio de $2.90 por litro hoy y $2.80 por litro mañana.

343



Tomás quiere saber cuánto debe comprar a cada uno para minimizar su costo y a la vez cumplir con los requerimientos mínimos para satisfacer su sed.

a) Formule el modelo de programación lineal y dé la tabla símplex inicial. b) Formule este problema como un problema de transporte construyendo la tabla de parámetros apropiada. c) Obtenga una solución óptima para este problema. 39)

La corporación Versatech producirá tres productos nuevos. En este momento, cinco de sus plantas tienen exceso de capacidad de producción. El costo unitario respectivo de fabricación del primer producto será de $31, $29, $32, $28 y $29, en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5. El El costo unitario de fabricación del segundo producto será de $45, $41, $46, $42 y $43 en las plantas respectivas 1,2, 3,4 y 5; y para el tercer producto será de $38, $35 y $40 en las plantas respectivas 1,2 y 3, pero las plantas 4 y 5 no pueden fabricar este producto. Los pronósticos de ventas indican que la producción diaria debe ser 600, I.000 y 800 unidades de los productos 1, 2 y 3, respectivamente. Las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen capacidades para producir 400, 600, 400, 600 y I 000 unidades diarias, sin importar el producto o combinación de productos. Suponga que cualquier planta que tiene capacidad y posibilidad de fabricarlos podrá producir cualquier combinación de productos en cualquier cantidad. La gerencia desea asignar los nuevos productos a las plantas con el mínimo costo total de fabricación.

a) Formule este problema como un problema de transporte construyendo la tabla de parámetros adecuada. b) Obtenga una solución óptima para este problema. 40)

Suponga que Inglaterra, Francia y España producen todo el trigo, cebada y avena en el mundo. La demanda mundial de trigo requiere que se dediquen 125 millones de acres a la producción de ese cereal. De igual manera, se necesitan 60 millones de acres para cebada y 75 millones de acres para avena. La cantidad total de tierra disponible en Inglaterra, Francia y España es 70, 110 y 80 millones de acres. El número de horas de mano de obra necesarias para producir un acre de trigo en los respectivos países es 18, 13 y 16 horas. La producción de un acre de cebada requiere 15,12 y 12 horas de mano de obra y la producción de un acre de avena requiere 12, 10 y 16 horas de mano de obra en Inglaterra, Francia y España. El costo de mano de obra por hora en cada país es $9.00, $7.20 y $9.90 para la producción de trigo, $8.10, $9.00 y $8.40 para la de cebada y $6.90, $7.50 y $6.30 para la de avena. El problema es asignar de la tierra en cada país de manera que se cumpla con los requerimientos de alimentación en el mundo y se minimice el costo total de mano de obra.

a) Formule este problema como un problema de transporte construyendo la tabla de parámetros apropiada. b) Dibuje la representación de red de este problema. c) Obtenga una solución óptima para este problema. 41)

La compañía Move-It tiene dos plantas que producen montacargas que se mandan a tres centros de distribución. Los costos de producción unitarios son son los mismos mismos para las dos plantas plantas y los costos de transporte (en cientos de dólares) en unidad para todas las combinaciones de la planta y centro de distribución son los siguientes:

Planta

A B

Centro de distribución 1 2 3 $800 $700 $400 $600 $800 $500

Se debe producir y mandar mandar un total de 60 unidades por semana. Cada planta puede producir y mandar cualquier cantidad hasta un máximo de 50 unidades a la semana, de manera que hay una gran flexibilidad para dividir la producción total entre las dos plantas y reducir los costos de transporte. El objetivo de la gerencia es determinar cuánto se debe producir cada planta y después, cuál debe ser el patrón de embarque de manera que se minimice el costo total de transporte.

344



a) Formule este problema, como un problema de transporte construyendo la tabla de parámetros apropiada. b) Presente el problema en una hoja de Excel. c) Use Excel Solver para obtener una solución óptima. 42)

La compañía MKJ debe producir una cantidad suficiente de dos artículos para cumplir con las ventas contratadas para los próximos tres meses. Los dos productos comparten las mismas instalaciones de producción y cada unidad de ambos requieren la misma capacidad de producción. Las capacidades de producción y almacenamiento disponibles cambian cada mes, por lo tanto, puede valer la pena producir más de alguno o ambos artículos en ciertos meses y almacenarlos hasta que se necesiten. Para cada uno de los tres meses, la segunda columna de la siguiente tabla da el número máximo de unidades de los dos artículos combinados que se pueden producir en horas normales (HN) y en horas extras (HE). Para cada producto, las columnas subsecuentes dan (1) el número de unidades necesarias para la venta contratada, (2) el costo en miles de dólares por unidad en horas normales, (3) el costo por unidad en horas extras, (4) el costo de almacenar cada unidad adicional que se guarda para el siguiente mes. En cada caso, las cifras para los dos productos se separaron con una diagonal, con el valor del artículo (1) a la izquierda y el artículo (2) a la derecha.

Producción combinada máxima HN HE Ventas 10 3 5/3 8 2 3/5 3 3 4/4

Mes 1 2 3

Artículo 1 / Artículo 2 Costo unitario de Costo unitario producción (miles $) de almacén (miles $) HN HE ½ 15/16 18/20 2/1 17/15 20/18 19/17 22/22

El gerente de producción quiere desarrollar un programa para el número de unidades de cada producto que debe fabricarse en horas normales y en horas extras (si se usa toda la capacidad de producción normal) para los tres meses. El objetivo es minimizar el costo total de producción y almacenaje, cumpliendo con las ventas contratadas para cada mes. No se tiene un inventario inicial y no se desea inventario final después de los tres meses.

a) Formule este problema como un problema de transporte construyendo la tabla de parámetros apropiada. b) Obtenga una solución óptima para este problema. 43)

Considere el problema de transporte que tiene la siguiente tabla de parámetros:

Origen Demanda

1 2 3 4

1 2 7 8 0 4

2 4 6 7 0 4

Destino 3 6 3 5 0 2

4 5 M 2 0 5

5 7 4 5 0 5

Recursos 4 6 6 4

Utilice cada uno de los siguientes criterios para obtener una solución inicial BF. Compare los valores de la función objetivo para estas soluciones.

a) Regla de la esquina noroeste. b) Método de aproximación de Vogel. c) Método de aproximación de Russell. 44)

Considere el problema de transporte con la tabla de parámetros que se muestra en seguida:

345


origen

1 13 14 3 18 30 3

1 2 3 4 5

Demanda

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Destino 3 4 22 29 16 21 M 11 19 23 34 36 4 5

2 10 13 0 9 24 5

5 18 M 6 11 28 6

6 0 0 0 0 0 2

Recursos 5 6 7 4 3

Utilice cada uno de los siguientes criterios para obtener una solución inicial BF. Compare los valores de la función objetivo para estas soluciones.

a) Regla de la esquina noroeste. b) Método de aproximación de Vogel. c) Método de aproximación de Russell. 45)

Considere el problema de transporte cuya tabla de parámetros es:

1 2 3 4

Origen Demanda

1 7 4 8 6 1

Destino 2 3 4 1 6 7 5 4 7 6 1 1

4 4 2 6 3 1

Recursos 1 1 1 1

a) Observe que este problema tiene tres características especiales: 1) número de orígenes = número de destinos; 2) cada recurso =1, y 3) cada demanda demanda =1. Los problemas de transporte con estas características son del tipo especial de problemas de asignación (descritos en la sección 8.3). Utilice la propiedad de soluciones enteras enteras para explicar por por qué este tipo de problemas de transporte se puede interpretar como la asignación de orígenes a destinos en una correspondencia uno a uno. b) ¿cuántas variables básicas hay en cada solución BF? ¿Cuántas son variables básicas degeneradas (=0)? c) Utilice la regla de la esquina noroeste para obtener la solución inicial BF. d) IConstruya una solución inicial BF aplicando el procedimiento general del paso inicial del método símplex de transporte. Ahora bien, en lugar de usar uno de los tres criterios para el paso 1 presentados en la sección 8.2, utilice el criterio del costo mínimo que se da en seguida para seleccionar la siguiente variable variable básica. [Con la rutina interactica correspondiente del OR Courseware, elija la regla de la esquina noroeste (Nortwest Corner Rule) ya que esta elección permite, de hecho, utilizar cualquier criterio]. Criterio de cómo mínimo : entre los renglones y columnas consideradas, se elige la variable xij con el menor costo unitario cij como la siguiente variable básica (los empates se rompen arbitrariamente). e) A partir de la solución inicial BF del inciso c, aplique el método símplex de transporte en forma interactiva para obtener una solución óptima. 46)

Considere el problema de transporte que tiene la siguiente tabla de parámetros:

Origen Demanda

1 2 3 4(F)

1 8 5 6 0 25

2 6 M 3 0 25

Destino 3 3 8 9 0 20

4 7 4 6 0 10

5 5 7 8 0 20

Recursos 20 30 30 20

346



Después de varias iteraciones el método símplex de transporte, se obtienen las siguientes variables básicas x13 = 20, x2l = 25, x24 = 5, x32 = 25, x34 = 5, x42 = 0, x43= 0, x45 = 20. Continúe con el método símplex de transporte a mano dos iteraciones más. Después de las dos iteraciones establezca si la solución obtenida es óptima y por qué.

47)

Considere el problema de transporte que tiene la siguiente tabla de costos y requerimientos:

Destino 1 3 2 4 3

1 2 3

Origen Demanda

2 7 4 3 3

3 6 3 8 2

4 4 2 5 2

Recursos 5 2 3

Utilice cada uno de los criterios que siguen para obtener una solución inicial BF. En cada caso aplique en forma interactiva el método símplex de transporte, comenzando con la solución inicial correspondiente, para obtener una solución óptima. Compare el número de interacciones que se llevan a cabo.

a) Regla de la esquina noroeste, b) Método de aproximación de Vogell, c) Método de aproximación de Russell, 48)

La Cost-Less Corp. surte sus cuatro tiendas desde sus cuatro plantas. El costo de envío de cada planta a cada tienda se da en la siguiente tabla

:

Origen

1 2 3 4

Costo unitario de envío a cada tienda 1 2 3 4 $ 500 $ 600 $ 400 $ 200 $ 200 $ 900 $ 100 $ 300 $ 300 $ 400 $ 200 $ 100 $ 200 $ 100 $ 300 $ 200

Las plantas respectivas 1, 2, 3 y 4 realizan 10, 20, 20 y 10 envíos al mes. Las tiendas 1, 2, 3 y 4 deben recibir 20, l0, l0 y 20 envíos respectivos por mes. El El gerente de distribución, distribución, Randy Smith Smith desea determinar el mejor plan de cuántos envíos mandar de cada planta a cada tienda cada mes. El objetivo de Randy es minimizar el costo total de envío.

a) Formule este problema como un problema de transporte construyendo la tabla de parámetros adecuada. b) Use a regla de la esquina noroeste para desarrollar una solución BF inicial. c) A partir par tir de la solución básica inicial del inciso b, aplique el método símplex de transporte tr ansporte en forma interactiva para obtener una solución óptima. 49)

La compañía Energetic debe planear el sistema de energía de un nuevo edificio. Las necesidades de energía caen en las siguientes categorías: 1) electricidad, 2) calentadores de agua y 3) calefactores de ambiente. Los requerimientos diarios de energía ( medidos en las mismas unidades) en el edificio son: Electricidad Calentadores de agua Calefactores de ambiente

20 unidades 10 unidades 30 unidades

Las tres fuentes posibles de energía son electricidad natural y una unidad de celdas solares que se puede instalar en el techo. El tamaño del techo limita la unidad de celdas solares a 30 unidades, pero no hay límite en la disponibilidad de electricidad y gas natural. Las necesidades de luz se pueden satisfacer sólo comprando la energía eléctrica (a un costo de $ 50 dólares por unidad). Las otras dos necesidades se pueden cumplir mediante cualquier fuente o combinación de fuentes. Los costos unitarios son:

347



Electricidad Gas Natural Calentadores de agua $ 90 $ 60 Calefactores de ambiente $ 80 $ 50

Celdas Solares $ 30 $ 40

El objetivo es minimizar el costo total de cumplir con las necesidades de energía.

a) Formule éste problema como un problema de transporte, construyendo la tabla de parámetros apropiada. b) Utilice la regla de la esquina noroeste para obtener una solución BF inicial para este problema. c) A partir de la solución inicial BF del inciso b, aplique en forma interactiva el método símplex de transporte para obtener una solución óptima. d) Utilice el método de aproximación de Vogel para obtener una solución BF inicial para este problema. e) Comenzando con la solución BF inicial obtenida en d, aplique en forma interactiva el método símplex de transporte para obtener una solución óptima. f) Utilice el método de aproximación de Russell para obtener una solución BF inicial para este problema g) Comenzando con la solución obtenida en el inciso f aplique en forma interactiva el método símplex de transporte para obtener una solución óptima. Compare el número de iteraciones requeridas por este algoritmo en éste y en los incisos c y e. 50)

Considere el problema de transporte que tiene la siguiente tabla de parámetros :

Destino Origen Demanda

1 2

1 8 6 3

2 5 4 3

Recursos 4 2

a) Elija un criterio para obtener una solución BF inicial y resuelva el problema a mano por el método símplex de transporte. (tome el tiempo). b) Formule de nuevo este problema como un problema general de programación lineal y resuélvalo a mano con el método símplex. (tome el tiempo que le lleva resolverlo y compárelo con el tiempo que le tomó el inciso a) 51)

Una contratista tiene que acarrear grava a tres construcciones. Puede comprar hasta 18 toneladas en un foso de grava al norte de la ciudad y 14 toneladas en uno al sur. Necesita 10, 5 y 10 toneladas en las respectivas construcciones 1, 2 y 3. el precio de compra por tonelada en cada foso y los costos de acarreo son los siguientes:

Foso Norte Sur

Costo por tonelada acarreada 1 2 3 $ 30 $ 60 $ 50 $ 60 $ 30 $ 40

Precio por tonelada $ 100 $ 120

La contratista debe determinar cuanto acarrea de cada foso a cada construcción de manera que se minimice el costo total de compra y acarreo de la grava.

a) Formule el modelo de programación lineal. Use el método de la M para construir la tabla símplex inicial lista para aplicar el método símplex pero no lo resuelva. b) Ahora formule éste problema como uno de transporte construyendo la tabla de parámetros adecuada. Compare el tamaño de esta tabla (y de la tabla símplex de transporte correspondiente) usado por el método símplex de transporte, con el tamaño de la tabla símplex del inciso a necesaria para aplicar el método símplex. c) La contratista ha observado que puede abastecer por completo las construcciones 1 y 2 del foso norte y la construcción 3 del foso sur. Utilice una prueba de optimalidad del método símplex de transporte para verificar si la solución BF correspondiente es óptima. d) Con la regla de la esquina noroeste, use la rutina interactiva del método símplex de transporte para resolver el problema formulado en el inciso b.

348



e) Como siempre, sea cij, el costo unitario asociado con el origen i y el destino j dado en la tabla de parámetros construida en el inciso b. Para la solución óptima que se obtuvo en el inciso d, suponga que el valor de cij para cada variable básica xij se fija en el valor dado en la tabla de parámetros, pero que el valor de cij para cada variable no básica xij talvez se pueda alterar regateando porque el género de la construcción quiere aumentar sus negocios. Use análisis de sensibilidad para determinar el intervalo permisible para seguir óptimo para cada valor cij anterior y explique en qué puede ser útil esta información para la contratista. 52)

(Probl ema d e com bu stib le de una aero línea) Coast-to-Coast Airlines está investigando la

posibilidad de reducir el costo de compras de combustible mediante el aprovechamiento de los costos de combustible más bajos en ciertas ciudades. Como las compras de gasolina representan una parte sustancial de los gastos de operación de una aerolínea, es importante que estos costos se supervisen con cuidado. No obstante, el combustible agrega peso a los aviones y, por consiguiente, el combustible excesivo eleva el costo de ir de una ciudad a otra. Al evaluar una rotación de vuelo particular, un avión despega de Atlanta hacia Los Ángeles, de esta ciudad a Houston, de aquí a Nueva Orleans y de ahí a Atlanta. Cuando el avión arriba a esta ciudad, se dice que la rotación de vuelo ha sido completada, y entonces comienza de nuevo. Por lo tanto, el combustible a bordo cuando la aeronave llega a Atlanta debe ser tomado en cuenta cuando se inicia el vuelo. A lo largo de cada trayecto de esta ruta existe una cantidad mínima y una máxima de combustible que puede ser cargado. Esta información y otra adicional se dan en la tabla de esta página. El consumo regular de combustible está basado en el avión que lleva la cantidad mínima de combustible. Si se carga más, la cantidad de combustible consumido es mayor. Específicamente, por cada 1000 galones de combustible por encima del mínimo, se pierde 5% (esto es, 50 galones por cada 1000 galones de combustible extra) a causa del consumo excesivo. Por ejemplo, si 25,000 galones de combustible estuvieran a bordo cuando el avión despega de Atlanta, el combustible consumido en esta ruta sería 12 + 0.05 = 12.05 miles de galones. Si estuvieran a bordo 26,000 galones, el combustible consumido se incrementaría en otro 0.05 de 1000, para un total de 12.1 miles de galones. Ordene estos datos como un problema de PL para minimizar el costo. ¡Cuántos galones se deben adquirir en cada ciudad? ¿Cuál es el costo total de esta operación?

Trayecto

Atlanta-Los Ángeles Los Ángeles-Houston Houston- Nueva Orleáns Nueva Orleáns-Atlanta

53)

Combustible mínimo requerido (1.000 galones 24 15 9 11

Combustible mínimo permitido (1.000 galones) 36 23 17 20

Consumo regular de combustible (1.000 galones) 12 7 3 5

Precio del combustibl e por galón $1.15 $1.25 $1.10 $1.18

La Childfair Company tiene 3 plantas que fabrican carriolas para niños y debe enviarlas a cuatro centro de distribución. Las plantas 1, 2 y 3 fabrican 12, 17 y 11 envíos mensuales, respectivamente. Cada centro de distribución necesita recibir 10 envíos mensuales. En la tabla se da la distancia desde cada planta a los centros de distribución respectivos.

Distancia al centro de distribución (millas) Planta Distancia al centro de distribución (millas) 1 2 3 4 1 800 1.300 400 700 2 1.000 1.400 600 1.000 3 600 1.200 800 900 El costo del flete por cada envío es $100 más 50 centavos/milla. ¿Cuánto debe enviarse desde cada planta a cada uno de los centros de distribución para minimizar el costo total de embarque?

a)

Formule este problema como uno de transporte construyendo la tabla de parámetros apropiada.

349

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I b)


Use TORA para obtener la solución óptima.

54)

Tom requiere para hoy 3 pintas de cerveza casera y mañana 4 pintas adicionales de cerveza casera. Dick está dispuesto a vender hoy un máximo de 5 pintas en total a un precio de $3.00/pinta y mañana a $2.70/pinta. Harry está dispuesto a vender hoy un máximo de 4 pintas a un precio de $2.90/pinta y mañana a $2.80/pinta. Tom desea saber cuáles deberían ser sus compras con el fin de minimizar su costo al mismo tiempo que satisfacer sus requerimientos. Formule y resuelva el modelo en una hoja de cálculo.

55)

La Versatech Corporation decidió producir tres productos nuevos. Cinco plantas sucursales cuentan ahora con capacidad de producción excedente. El costo unitario de fabricación del primer producto sería $31, $29, $32, $28 y $29 en las respectivas plantas 1, 2, 3, 4 y 5. El costo unitario de fabricación del segundo producto sería $45, $41, $46, $42 y $43 en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. El costo unitario de fabricación del tercer producto sería $38, $35 y $40 en las respectivas plantas 1, 2 y 3 las plantas 4 y 5 no cuentan con la capacidad para fabricar este producto. Los pronósticos de ventas indican que se deben producir al día 800 unidades de los productos 1, 2 y 3, respectivamente. Las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen capacidad para producir 400, 600, 400, 600 y 1000 unidades diarias, respectivamente, sin importar el producto o combinación de productos. Suponga que cualquier planta que cuenta con la posibilidad y capacidad de producción puede fabricar cualquier combinación de los productos en cualquier cantidad. La administración desea saber cómo asignar los nuevos productos a las plantas para minimizar el costo total de fabricación. Formule y resuelva el modelo en una hoja de cálculo.

56)

Una contratista, Susan Meyer, tiene que acarrear grava a tres sitios de construcción. Puede comprar hasta 18 toneladas en una mina de grava en el norte de la ciudad y 14 toneladas en una en el sur. Necesita 10, 5 y 10 en los sitios 1, 2 y 3, respectivamente. En la tabla siguiente se dan el precio de compra por tonelada en cada mina de grava y los costos de acarreo.

Costo de acarreo por tonelada al sitio Mina

1

Norte Sur

$30 60

2 $60 30

3

Precio po r tonelada

$50 40

$100 120

Susan desea determinar cuánto acarrear desde cada mina a cada sitio para minimizar el costo total de comprar y acarrear grava. Formule y resuelva el modelo en una hoja de cálculo.

57)

La Ouenote Co., fabrica un producto único en tres plantas para cuatro clientes. Las tres plantas producirán 60, 80 y 40 unidades, respectivamente, durante la semana próxima. La empresa se comprometió a vender 40 unidades al cliente 1, 60 unidades al cliente 2 y al menos 20 unidades al cliente 3. Los clientes 3 y 4 también quieren comprar cuantas unidades restantes sea posible. La ganancia neta asociada con enviar una unidad de la planta i al cliente j está dada en la siguiente tabla: Cliente Planta 7 1 3 4 1 $800 $700 $500 $200 2 500 200 100 300 3 600 400 300 500 La administración quiere saber cuántas unidades vender j los clientes 3 y 4 y cuántas unidades enviar de cada plantas cada cliente para maximizar la ganancia. Formule y resuelva un modelo en hoja de cálculo para este problema.

58)

La Build-Em-Fast Company acordó surtir a su mejor cliente tres artefactos durante cada una de las tres semanas siguientes, aunque fabricarlos requerirá cierto tiempo extra-Los datos relevantes de producción son como sigue

350

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I Semana 1 2 3


Producción máxima Tiempo Tiempo Costo unitario de normal extra producción en tiempo normal 2 3 $300 3 2 $500 1 2 $400

El costo por unidad producida en tiempo extra para cada semana es $100 más que para el tiempo normal. El costo de almacenaje es $50 por unidad por cada semana que se almacena. Ya existe un inventario disponible de dos artefactos, pero la compañía no quiere tener artefactos en inventario después de tres semanas. La administración desea saber cuántas unidades debe producir cada semana para minimizar el costo total de cumplir con e! programa de entregas. Formule y resuelva un modelo en hoja de cálculo para este problema.

59)

La MJK Manutacturing Company debe fabricar dos productos en cantidad suficiente para cubrir ventas contratadas durante cada uno de los próximos tres meses. Los dos productos comparten las mismas instalaciones de producción y cada unidad de ambos productos requiere la misma capacidad de producción. La producción disponible y las instalaciones de almacenaje cambian de un mes a otro de modo que las capacidades de producción, los costos unitarios de producción y los costos unitarios de almacenaje varían cada mes. Por lo tanto, puede valer la pena producir uno o ambos productos en exceso algunos meses y almacenarlos hasta que se necesiten. Para cada uno de los tres meses, las columnas iniciales de la siguiente tabla dan el número máximo de unidades de los dos productos combinados que pueden producirse en tiempo normal (RT) y en tiempo extra (OT). Para cada producto, las columnas subsecuentes dan (1) el número de unidades necesarias para las ventas contratadas, (2) el costo (en miles de dólares) por unidad producida en tiempo normal, (3) el costo (en miles de dólares) por unidad producida en tiempo extra y (4) el costo (en miles de dólares) de almacenar cada unidad adicional hasta el siguiente mes. En cada caso, los números para los dos productos existen separados por una diagonal /, con el número del producto 1 en el lado izquierdo y el número del producto 2 en el derecho.

Mes 1 2 3

Producción combinada máxima RT OT 10 3 8 2 10 3

Producto 1 / Producto 2 Costo unitario de Costo unitario producción ($1 000s) de almacenaje Ventas RT OT ($1 000s) 5/3 15/16 18/20 1/2 3/5 17/15 20/18 2/1 4/4 19/17 22/22

El gerente de producción pide que se desarrolle una programación para el número de unidades de cada producto que debe fabricarse en tiempo normal y, si se agota el tiempo de producción normal, en tiempo extra para cada uno de los tres meses. El objetivo es minimizar el total de los costos de producción y almacenaje al mismo tiempo que satisfacer las ventas contratadas para cada mes. No hay inventario inicial ni se desea un inventario final después de los tres meses. Formule y resuelva un modelo en hoja de cálculo para este problema.

60)

Considere un problema de asignación con la siguiente tabla de costos.

PERSONA A B C

1 $5 3 2

Trabajo 2 $7 6 3

3 $4 5 4

La solución óptima es A-3, B-l, C-2, con un costo total de $10.

a)

Trace la representación de redes para este problema.

351

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I b) 61)


Use TORA para obtener la solución óptima identificada.

Se usarán cuatro barcos de carga para embarcar bienes de un puerto a otros cuatro puertos (etiquetados 1, 2, 3, 4). Puede usarse cualquier barco para hacer cualquiera de estos cuatro viajes Sin embargo, como se ve en la siguiente tabla, debido a las diferencias en los barcos y las cargas, el costo total de cargar, transportar y descargar los bienes varía considerablemente en las diferentes combinaciones barco-puerto:

Planta Banco 1 2 3 4

1 $500 600 700 500

2 $400 600 500 400

3 $600 700 700 600

4 $700 500 600 600

El objetivo es asignar los cuatro barcos a los cuatro puertos diferentes de modo que se minimice el costo total de los cuatro embarques.

a) b) 62)

Describa cómo se ajusta este problema al formato de un problema de asignación. Formule y resuelva este problema mediante TORA.

El entrenador de una categoría de un equipo de natación necesita asignar nadadores a un equipo de relevos combinado de 200 yardas para enviarlos a las olimpiadas juveniles. Como la mayoría de los mejores nadadores son muy rápidos en más de un estilo, no está claro qué nadador debe asignar a cada uno de los cuatro estilos. Los cinco nadado res más rápidos y sus mejores tiempos (en segundos) logrados en cada estilo (para 50 yardas) son

Estilo Dorso Pecho Mariposa Libre

Cari 37.7 43.4 33.3 29.2

Chris 32.9 33.1 28.5 26.4

David 33.8 42.2 38.9 29.6

Tony 37.0 34.7 30.4 28.5

Ken 35.4 41.8 33.6 31.1

El entrenador quiere determinar cómo asignar cuatro nadadores a los cuatro estilos para minimizar la suma de los mejores tiempos correspondientes.

a) b) 63)

Describa cómo se ajusta este problema al formato de una variante del problema de asignación aunque no involucre costos. ¿Qué desempeña el papel de los costos? Formule y resuelva este problema en una hoja de cálculo.

La gerencia de la Executive Furniture Corporation decidió expandir la capacidad de producción en su fábrica de Des Moines y reducirla en las demás fábricas. También reconoce que el mercado para sus escritorios está en permanente cambio y revisa los requerimientos de sus tres almacenes.

a) b)

Utilice la regla de la esquina noroeste para establecer un programa de envíos factible inicial y calcule su costo. Explique el significado e implicaciones de un índice de mejora que es igual a cero. ¿Qué decisiones podría tomar la administración con esta información? Exactamente, ¿cómo se ve afectada la solución final?

NUEVOS REQUERIMIENTOS DE LOS ALMACENES Albuquerque (A) 200 escritorios Boston (B) 200 escritorios Cleveland (C) 300 escritorios

NUEVAS CAPACIDADES DE FABRICA Des Moines (D) 300 escritorios Envansville (E) 150 escritorios Fort Lauderdale (F) 250 escritorios

352



A ALBUQUERQUE DE DES MOINES EVANSVILLE FORT LAUDERDALE 64)

BOSTON

CLEVELAND

4 4 7

3 3 5

5 8 9

La Hardrock Concrete Company tiene tres plantas en tres lugares y en la actualidad trabaja en tres importantes proyectos de construcción, cada uno localizado en un sitio diferente. El costo de envío por cada camión cargado de concreto, las capacidades de planta diarias y los requerimientos diarios del proyecto se dan en la tabla anterior.

a) b)

Resuelva mediante la regla de la esquina noroeste. Luego evalúe cada ruta de envió no utilizada calculando los índices de mejora. ¿Es esta solución óptima? ¿Por qué? ¿Existe más de una solución óptima para este problema? ¿Por qué?

A DE PLANTA 1 PLANTA 2 PLANTA 3 REQUERIMIENTOS DE PROYECTOS

PROYECTO A

PROYECTO B

PROYECTO C

$10 12 9 40

$4 5 7 50

$11 8 6 60

CAPACIDAD DE PLANTA 70 50 30 150

65)

El propietario de Hardrock Concrete ha decidido incrementar la capacidad de su planta más pequeña (vea e! problema 66). En lugar de producir 30 cargas de concreto por día en la planta 3, la capacidad de esa planta se duplica a 60 cargas. Encuentre la nueva solución óptima utilizando la regla de la esquina noroeste. ¿De qué forma el cambio de la capacidad de la tercera planta ha modificado la asignación de envíos original? Exponga los conceptos de degeneración y soluciones óptimas múltiples con respecto a este problema.

66)

La Krampf Lines Railway Company se especializa en el manejo de carbón. El viernes 13 de abril, Krampf tenía carros vacíos en las siguientes localidades en las cantidades indicadas.

POBLACION OFERTA DE CARROS Morgantown 35 Youngstown 60 Pittsburg 25 -------------------------------------------------------------Para el lunes 16 de abril, las siguientes localidades necesitarán carros de carbón, según el orden siguiente: POBLACION OFERTA DE CARROS Coal Valley 30 Coaltown 45 Coal Juction 25 Coalsburg 20 -----------------------------------------------------------------------A DE MORGANTOWN YOUNGSTOWN PITTSBURGH

COAL VALLEY 50 20 100

COALTOWN COAL JUCTION 30 80 40

60 10 80

COALSBURG 70 90 30

Con base en la tabla de distancias entre ciudades por ferrocarril, el despachador construye una tabla de millaje para las localidades anteriores. El resultado se muestra en la tabla. Minimizando las millas totales que los carros recorren para llegar a las nuevas localidades, calcule e! mejor envío de carros de carbón. Use la regla de la esquina noroeste y el método MODI.

67)

Una empresa fabrica acondicionadores de aire para habitaciones en plantas localizadas en Houston, Phoenix y Memphis. Los aparatos se envían a distribuidores regionales localizados en

353



Dallas, Atlanta y Denver. Los costos de envío varían y a la compañía le gustaría encontrar la forma de minimizar sus costos para satisfacer las demandas de cada uno de los centros de distribución. Dallas requiere 800 acondicionadores al mes, Atlanta 600 y Denver 200. Houston tiene 850 acondicionadores de aire disponibles al mes, Phoenix 650 y Memphis 300. El costo de envío por unidad de Houston a Dallas es de $8, a Atlanta de $12 ya Denver de $10. El costo por unidad de Phoenix a Dallas es de $10, a Atlanta de $14 ya Denver de $9. El costo por unidad de Memphis a Dallas es de $11, a Atlanta de $8 ya Denver de $12. ¿Cuántas unidades deberán ser enviadas de cada planta a cada centro de distribución regional? ¿Cuál es e! costo total de esta operación?

68)

En el estado de Missouri operan tres importantes compañías generadoras de energía (A, B Y C). Durante los meses de demanda pico, la Missouri Power Authority permite a estas compañías reunir sus existencias excedentes y distribuidas a empresas similares independientes más pequeñas que no cuentan con generadores suficientemente grandes para satisfacer la demanda. La distribución de existencias excedentes se basa en el costo por kilowatt hora transmitido. La tabla siguiente muestra la demanda y existencias en millones de kilowatts horas y el costo por kílowatt hora de transmisión de energía eléctrica a cuatro compañías en las ciudades W, X, Y y Z.

A

W

X

Y

Z

12¢ 8¢ 1¢ 40

4¢ 1¢ 12¢ 20

9¢ 6¢ 4¢ 50

5¢ 6¢ 7¢ 20

DE A B C DEMANDA DE ENERGIA NO SATISFECHA

OFERTA EXCEDENTE 55 45 30

Use VAM para encontrar una asignación inicial para distribuir las existencias de energía excedentes. Luego aplique la técnica MODl, para determinar e! sistema de distribución de menor costo.

69)

Considere la tabla de transporte que se presenta a continuación. Encuentre una solución inicial con base en la regla de la esquina noroeste. ¿Qué condición especial existe? Explique cómo resolverá el problema.

A DE ORIGEN 1 ORIGEN 2 ORIGEN 3 ORIGEN 4 DEMANDA 70)

DESTINO A 8 5 7 5 110

DESTINO B 9 6 9 3 34

DESTINO C 4 8 6 7 31

OFERTA 72 38 46 19 175

Los tres bancos de sangre del condado de Franklin son coordinados por una oficina central que suministra sangre a cuatro hospitales de la región. El costo de envío de un recipiente estándar de sangre de cada banco a cada hospital se muestra en la tabla anterior. También se da el número bisemanal de recipientes disponibles en cada banco y el número bisemanal de recipientes que se necesitan en cada hospital. ¿Cuántos envíos deberán hacerse bisemanalmente de cada banco de sangre a cada hospital de modo que los costos de envío totales se reduzcan al mínimo?

A DE BANCO 1 BANCO 2 BANCO 3 DEMANDA 71)

HOSPITAL 1

HOSPITAL 2

HOSPITAL 3

HOSPITAL 4

OFERTA

8 12 14 90

9 7 10 70

11 5 6 40

16 8 7 50

50 80 120 250

La Medequip Company produce equipos de precisión de diagnóstico médico en dos fábricas. Se han recibido pedidos de tres centros médicos para la producción de este mes. La tabla a la derecha muestra el costo unitario de envío desde cada fábrica a cada centro. Además, muestra el número de unidades que se producirán en cada fábrica y el número de unidades ordenadas por

354



cada cliente.




Ahora debe toman la decisión sobre el plan de cuántas unidades enviar de cada fábrica a cada cliente. Encuentre el esquema óptimo de envío al menor costo

72)

Costo de Transporte, Un comerciante tiene tiendas en Exton y Whyton, y almacenes A y B en otras dos ciudades. Cada tienda requiere de exactamente 30 refrigeradores. En el almacén A hay 50 refrigeradores y en el B hay 20. Los medios de transporte para enviar los refrigeradores desde los almacenes a las tiendas están dados en la siguiente tabla. Por ejemplo, el costo de enviar un refrigerador desde A hasta la tienda de Exton es de $ 15. ¿Cómo debe solicitar los refrigeradores el comerciante de modo que los requerimientos se satisfagan y el costo total de transporte se minimice? ¿Cuál es el costo mínimo de transporte?. Almacén A Almacén B

Exton $ 15 $ 11

Whyton $ 13 $ 12

73) (Prob lema de selección de beisbolist as) Los Dubuque Sackers, un equipo de béisbol clase D, enfrenta cuatro complicados juegos de visitante contra rivales de la liga en Des Moines, Davenport, Omaha y Peoria. El director técnico “Red” Revelle enfrenta la tarea de programar a sus


c) d)


74) (Problema de transporte escolar de estudiantes de preparatoria) El superintendente de educación del condado de Arden, Maryland, es el responsable de asignar estudiantes a las tres preparatorias que hay en su condado. Reconoce la necesidad de transportar a un cierto número de estudiantes, ya que varios sectores del condado están bastante alejados como para ir caminando a la escuela. El superintendente divide el condado en cinco sectores geográficos ya que intenta establecer un plan que minimice el número de millas-estudiante recorridas en autobús. También reconoce que si un estudiante vive en un cierto sector y es asignado a una preparatoria de dicho sector, no hay necesidad de transportar a ese estudiante por autobús porque él o ella puede caminar a la escuela. Las tres escuelas están localizadas en los sectores B, C y E. La tabla anexa refleja el número de estudiantes de preparatoria que viven en cada sector y la distancia en millas de cada sector a cada escuela.

355

Investig. Operativa Tomo i

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