Índice INTRODUÇÃO ............................................................. ................................................................................................................................ ................................................................... 1 Objectivo geral .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 1 Objectivos específicos ............................................................................................................... ............................................................................................................... 1 Justificativa ................................................................................................................................ ................................................................................................................................ 1 REVISÃO DE LITERATURA .............................................................................................................. 2 Considerações Iniciais ................................................................... ............................................................................................................... ............................................ 2 Investigação Operacional (ou Pesquisa Operacional) ............................................................... 2 Restrições ................................................................................................. ................................................................................................................................ ............................... 14 Restrição de demanda............................................................... ......................................................................................................... .......................................... 14 Restrição de Farinha de Trigo ............................................................... .............................................................................................. ............................... 14 ........................................................................................ ............................... 15 Restrição de Tempo de produção .........................................................
Restrição de Fermento seco.................................................................. ................................................................................................. ............................... 15 Considerações ..................................................................................................................... ............................................................................................................... ...... 16
RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................................. ................................................................................................ ............................... 19 Conclusões e Recomendações .................................................................................................... .................................................................................................... 20 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................... .............................................................................................................................. ............................... 21
1
INTRODUÇÃO Com o mercado exposto a diversos factores económicos aliados a velocidade do desenvolvimento tecnológico dos últimos anos, os empreendedores defrontam-se com a forte concorrência existente no mercado. Assim, para que eles possam garantir seu espaço no mercado e alcançar os seus objectivos, devem se preocupar com as diversas limitações, de produção e de venda, com objectivo de atender com eficiência as necessidades do mercado. Convicto que diversos factores influenciam na produção, o empreendedor tem que desenvolver um modelo que vai desde a programação da produção até a colocação do produto no mercado, a fim de maximizar o seu lucro e minimizar minimiz ar os gastos de produção, tendo em conta a procura do seu produto no mercado.
Objectivo geral O objectivo principal deste trabalho é empregar a Investigação Operacional como um instrumento racional de tomada de decisão, na maximização do lucro, no que se refere à produção de pães de uma padaria.
Objectivos específicos
Construir o modelo matemático referente ao problema;
Usar a Programação Linear Inteira para encontrar a melhor combinação de recursos disponíveis a fim de maximizar o lucro da padaria da polana caniço A.
Justificativa A Investigação Operacional é um instrumento poderoso e eficaz na resolução de problemas ligados gerência e refere-se ao acompanhamento contínuo das actividades do quotidiano de uma empresa. A Programação Linear é uma das técnicas da Investigação Operacional das mais utilizadas, quando se trata de problemas de optimização, pois os seus métodos de resolução de problemas levam em conta a distribuição eficiente de recursos, dado que
2 são limitados, para atender um determinado objectivo, em geral, maximizar lucros ou minimizar custos. A adopção da Investigação Operacional para uma tomada de decisão em substituição a intuição pessoal do gerente, garante consistentemente a melhor solução, dado que a aplicação da Investigação Operacional é essencial não somente para as grandes empresas e problemas complexos, mas também para as pequenas empresas que fizerem uso verdadeiramente certo desta abordagem.
REVISÃO DE LITERATURA Considerações Iniciais Este capítulo apresenta os conceitos essenciais de Investigação Operacional, desde a sua aplicação como um instrumento matemático até a sua aplicação como ferramenta importante para a gerência na resolução de problemas enfrentados no seu dia-a-dia. Portanto, nesta secção, abordam-se definições, métodos, formulação do problema, modelo matemático, programação linear, solução óptima, e métodos para soluções de problemas de programação linear Inteira.
Investigação Operacional (ou Pesquisa Operacional) Segundo Hillier e Lieberman (2000), as origens da Investigação Operacional (IO) podem ser observadas muitas décadas atrás, quando foram feitas tentativas primitivas para usar uma aproximação científica na administração de organizações. Porém, o começo da actividade chamada “ Investigação Operacional” Operacional” foi atribuído, geralmente,
aos serviços militares nos princípios da Segunda Guerra Mundial. Por causa do esforço de guerra, havia uma necessidade urgente para alocar recursos escassos para as diversas operações militares e para as actividades dentro de cada operação de uma maneira efectiva.
3 Como sugere o nome, Investigação Operacional envolve “investigação em operações.”
Assim, Investigação operacional é aplicada a problemas que dizem respeito à como administrar e coordenar as operações (isto (is to é, as actividades) dentro de uma organização. Para Andrade (2009), a Investigação Operacional é o ramo da ciência administrativa que fornece instrumentos para análise de decisões. “Pesquisa Operacional é a aplicação de métodos científicos a problemas complexos para
auxiliar no processo de tomadas de decisão, tais como projectar, planejar e operar sistemas em situações que requerem alocações eficientes de recursos escassos” (Arenales et al., 2007). Investigação Operacional é o método científico de tomada de decisões, que consiste na descrição de um sistema organizado com auxílio de um modelo para encontrar a melhor maneira de operar o sistema. Ackoff e Sasieni (1974, p.8) afirmam que são várias as definições de Investigação Operacional, que entre estas diferentes definições, três pontos são destacados:
Aplicação do método científico
Por equipas interdisciplinares
Os problemas de controlo de sistemas organizados (homem máquina) com a finalidade de obter soluções que melhor satisfaçam aos objectivos da organização, como um todo
Estes mesmos três pontos levantados por Ackoff e Sasieni Sasi eni também são apoiados pelo Montevechi (2006, p. 3) onde diz que “ Investigação
Operacional é a aplicação
do método científico, por equipas interdisciplinares, a problemas de controlo de sistemas organizados (homem máquina) com a finalidade de obter soluções que melhor satisfazem aos objectivos da organização”. Ainda, para sustentar esta ideia, Andrade (2009, p.) diz: “Outra característica importante da Investigação Operacional, que facilita muito o processo de análise de decisões, é a utilização de modelos. Essa abordagem permite a experimentação, ou seja, a possibilidade de uma tomada de decisão ser mais bem avaliada e testada antes de ser efectivamente implementada.”
4 A Investigação Operacional pode ser usada para ajudar nos processos de tomada de decisões como:
Problemas de Optimização de Recursos;
Problemas de Localização;
Problemas de Alocação de Pessoas;
Problemas de Previsão e Planeamento de produção.
Para Bronson e Naadimuthu ( p. 1), em um problema de optimização procura-se maximizar ou minimizar uma quantidade específica, chamada Função Objectivo, que depende de um número finito de variáveis de decisão. Essas variáveis podem ser independentes uma da outra, ou elas podem estar relacionadas por uma ou mais restrições. No que se refere às fases de implementação prática de Investigação Operacional, Taha() e Andrade(2009) concordam que as principais fases são: 1. Formulação do problema. 2. Construção do modelo. 3. Solução do modelo. 4. Validação do modelo. 5. Implementação da solução. (1) Formulação do problema
(2)
(5) Implementação da solução
Construção do modelo
(4)
(3)
Validação do modelo
Solução do modelo
5 Em Investigação Operacional não se tem uma única técnica geral para resolver todos modelos matemáticos que possam surgir na prática. Pelo contrário, o tipo e a complexidade do modelo matemático são o que ditam a natureza do método a usar para a obtenção de solução. A técnica de investigação operacional mais proeminente é programação linear.
Ela é projectada para modelos com funções objectivo e de
restrição lineares. Outras técnicas incluem a Programação Inteira, Programação Dinâmica , Programação de Rede , Programação não - linear .
Estas são só algumas
dentre muitas ferramentas de investigação operacional (Taha, p.4-5).
Programação Linear (PL) Antes de introduzir-se o conceito de PL, começar-se-á por dar um dos conceitos básicos, na compreensão da mesma, o modelo matemático. Bronson e Naadimuthu (p. 1) definem o modelo matemático como sendo um problema de optimização em que o objectivo e as restrições estão dadas como funções matemáticas e relações funcionais. Optimizar
Sujeito à
Onde Z é a Função Objectivo, e restrições.
são as
Partindo do conceito de modelo matemático apresentado acima, pode-se, então, definirse-á Programação linear como a técnica usada para a resolução de problemas que podem ser apresentados em forma de um modelo matemático Linear, isto é, se são lineares os argumentos da Função Objectivo bem como todas as restrições, de tal forma
que
e cada uma das restrições
onde
são constantes (Bronson e Naadimuthu, p. 1).
6 Assim, a PL é uma das técnicas mais usadas na abordagem de problemas de Investigação Operacional. As aplicações mais conhecidas são feitas em sistemas estruturados, como de produção, finanças e controle de stock. Silva (2009) também afirma que o modelo de PL é formado por um conjunto de equações e inequações lineares (restrições), que descrevem as limitações técnicas do sistema e a função objectiva (FO), também linear que serve para medir a eficiência do sistema para cada solução proposta (no caso a capacidade de gerar lucro). As variáveis não negativas que compõem as inequações são de dois tipos:
Variáveis de decisão ou controladas
Variáveis não controladas
Segundo Lachtermacer (2004, p.27) falamos que um problema de Programação Linear está em sua forma padrão se “tivermos uma Maxi mização da função objectiva e se todas
as restrições forem do tipo menor ou igual, bem como os termos constantes e variáveis de decisão não negativos”. De forma matemática podemos re presentar
padrão:
Maximizar: Z =
Sujeito a
Onde:
um problema
7 Z- é a função objectiva
- Representa a contribuição de cada variável controlada na
função objectiva
– Representa
a quantidade disponível de recursos, obrigações a
serem cumpridas, etc.
- São as variáveis controladas
Técnicas de resolução para modelos de Programação Linear Método Gráfico; Método Simplex; Método de Grande M; Método de função objectiva auxiliar (duas fases); Método Dual Simplex; Método De Bifurcação e Limite (só para PLI); P LI); Método De Corte De Gomory (só para PLI).
Programação Linear Inteira (PLI) Um problema de Programação Linear Inteira é um problema de programação linear com restrição de que algumas ou todas variáveis são inteiras. No entanto, a primeira aproximação à solução de qualquer problema de PLI deve ser obtida ignorando as restrições de variáveis inteiras, e resolve-lo como simples problema de programação linear (Bronson, p.57). Aplica-se nos casos em que o modelo contempla exclusivamente variáveis inteiras (programação linear inteira pura). A situação mais frequente nos problemas de programação linear é a inclusão de variáveis contínuas e inteiras, dando origem a programação linear inteira mista (PLIM).
8
São vários os problemas cuja solução só faz sentido com variáveis inteiras: o número de máquinas a adquirir, os projectos a implementar ou a mobilização de alguns recursos em quantidades inteiras, entre outros. Existem contudo outras situações que embora exijam variáveis inteiras, podem ser resolvidos através de programação linear contínua, arredondando os valores obtidos para inteiros mais próximo, sem comprometer significativamente o objectivo a atingir (Silva, (Sil va, et al, 2009). Para além das aplicações já referidas, existe muitas outras menos óbvias que ilustram a importância da PLI:
Representação de decisões do tipo «não ou sim»,
Selecção entre restrições disjuntas;
Combinação de custos fixos e variáveis;
Selecção sequencial de variáveis;
Representação de situações não lineares.
Bronson (p. 57) explica que, a resolução de um problema de programação inteira, deve seguir os seguintes processos:
1ª Aproximação. Onde o problema é resolvido, como um problema de Programação Linear (PL), ignorando todas as restrições variáveis inteiras. Se a solução do PL for inteira, então, esta solução é tida como Óptima. Caso contrário (o mais usual), deve-se arredondar os componentes da 1ª aproximação e obter a segunda aproximação.
2ª Aproximação . Esta pode ser feita através de um dos dois principais processos de resolução de um problema de PI:
Algoritmo Branch and Bound
Algoritmo de Gomory
Bronson (p. 57) acrescenta que no algoritmo Branch and Bound (que se pode traduzir em “Ramificação e Limite”) cada variável não inteira com valor
não inteiro, estando
9
entre dois inteiros consecutivos “ a” e “b”
seja ramificado em dois, com restrição processo elimina a solução não inteira
(
), faz com que o problema
para um, e
para outro. Este
, e vai encolhendo a região de soluções
possíveis, sem deixar de preservar todas possíveis soluções inteiras do programa original.
Considerações Finais Para a aplicação de Programação Linear em uma decisão de gerência são necessários definir quais os recursos e o quanto desses recursos são consumidos, em todas as actividades envolvidas, para a distribuição eficiente dos recursos limitados, para atender o objectivo de maximização de lucro. Portanto, não é suficiente o conhecimento das “técnicas” de
investigação operacional.
Faz-se necessário o conhecimento dos custos incorridos no processo.
Metodologia Formulação do Problema Nesta fase, colocar-se-á o problema de forma clara e coerente, definindo os objectivos a alcançar e quais os possíveis caminhos alternativos para que isso ocorra. Além disso serrão levantadas limitações técnicas do sistema e as respectivas relações do sistema com o meio externo e interno da padaria, com finalidade de criticar a validade de possíveis soluções em face aos obstáculos.
Recolha de Dados
A formulação anterior leva a uma identificação dos elementos do problema, que incluem as variáveis de decisão, as restrições sobre estas variáveis e os objectivos para definir uma solução óptima. Neste caso, a recolha de dados abrangeu:
10 - Quantidades vendidas em vinte dias consecutivos, para os dois tipos de pães; - Os custos marginais de produção; - A disponibilidade de matéria-prima; - A limitação de tempo das actividades realizadas.
Construção do Modelo Os modelos que interessam em Investigação Operacional são modelos matemáticos, isto é, modelos formados por conjunto de equações e inequações. Uma das equações do modelo é a função objectiva, que serve para medir a eficiência do sistema para cada solução proposta. As outras equações são as restrições técnicas do sistema em função das variáveis de decisão (controladas) e não controladas.
Variáveis de decisão (controladas) -são aquelas cujo valor está sob o controlo do gerente. Para o caso da padaria será a quantidade dos dois tipos de pães a produzir por dia.
Variáveis não controladas s ão aquelas cujo valor é determinado pelo sistema, fora do controlo do gerente. Para este caso, custos de produção do pão, demanda e preço do mercado.
Cálculo da solução através do modelo É feito através de técnicas matemáticas específicas. A elaboração do modelo é de levar em consideração a disponibilidade de uma técnica para o cálculo da solução. Nesta secção usar-se-á o método Branch and Bound.
Teste do modelo e da solução Esse teste é realizado com dados empíricos do sistema. Se houver dados históricos, eles serão aplicados no modelo, gerando um desempenho que pode ser comparado ao desempenho observado no sistema. É nesta secção que vai ocorrer a simulação. Simulação é uma das técnicas mais usada em Investigação Operacional. Simular significa, reproduzir o funcionamento do sistema com auxílio do modelo, o que nos permitirá testar algumas hipóteses sob o valor das variáveis de decisão.
11 Se o desvio verificado não for aceitável (por ser maior) a reformulação ou o abandono do modelo é inevitável. Caso não haja dados históricos, os dados empíricos serão anotados com o sistema em funcionamento sem interferência, até que o teste possa ser realizado.
Estabelecimento de controlos da solução A construção e experimentação com o modelo identificam parâmetros fundamentais para a solução do problema. Qualquer mudança nesses parâmetros deverá ser controlada para garantir a validade da solução adoptada. Caso alguns desses parâmetros apresentarem desvios além do permitido, o cálculo de nova solução ou mesmo a reformulação do modelo poderá ser necessária.
Implementação e acompanhamento da solução Nesta fase, a solução será apresentada ao gerente, evitando o uso da linguagem técnica do modelo. O uso da linguagem do sistema em estudo facilita a compreensão e gera boa vontade para a implantação que está sendo sugerida. Essa implantação deve ser acompanhada para se observar o comportamento do sistema com a solução adoptada.
Problema de Programação Linear A padaria da polana caniço A dedica se na produção de dois tipos de pão, de 300g e 250g. A produção do pão requer os seguintes ingredientes: farinha de trigo, água, sal, fermento seco e melhorante (MC). A padaria dispõe, por dia, uma média de 800kg de farinha trigo,
quilogramas de
fermento seco. A disponibilidade da água, sal, e melhorante (aditivo) optou-se melhor em considerá-las irrestritas (não limitadas). A produção de um pão requer fermento seco para pão de 300g e 250g respectivamente.
ge
g de
Uma consideração importante feita foi, através dos custos totais diários em factores de produção, estimar os custos unitários de cada tipo de pão, isto é. Assim, os resultados obtidos foram de 3,50 Meticais e 3,00 Meticais para o pão de 300 e 250 gramas, respectivamente. Achou-se, portanto, importante sublinhar que os valores dos custos
12 acima apresentados são valores arredondados dos verdadeiros custos, que são de 3,4973 e2,970123, para o pão de 300 e 250 gramas, respectivamente. Em 50kg de farinha trigo pode produzir cerca de 220 pães de 300g ou 270 pães de 250g. Segundo dados do gerente a procura de pães de 300g e 250g registada nos últimos 20 dias esta nas tabelas a seguir:
Pão de 300 gramas Dia
1
Quantidade vendida Receita Dia
2
4
5
6
7
8
9
10
2172
2107
1926
1824
2164
1988
2031
2197
1936
11.901,50
14.118,00
14.859,00
12.519,00
11.856,00
14.716,00
12.922,00
13.201,50
14.345,50
12.584,00
11
Quantidade vendida Receita
3
1831
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2029
2133
2200
2002
2200
2197
2200
2082
2108
2099
13.188,50
13.864,50
14.300,00
13.013,00
14.313,00
14.670,50
14.319,50
13.533,00
13.702,00
13.643,50
Quantidade
Receita
2200 1824
14.300,00 11.856,00
Máximo Mínimo
2071,3
Média
2072
13.468
Pão de 250 gramas Dia
1
Quantidade vendida Receita Dia
2
4
5
6
7
8
9
10
1574
1546
1304
1364
1374
1593
1330
1344
1362
8.662,50
8.657,00
8.503,00
7.172,00
7.502,00
7.557,00
8.761,50
7.315,00
7.392,00
7.491,00
11
Quantidade vendida Receita
3
1575
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1391
1540
1386
1447
1275
1531
1245
1568
1270
1380
7.650,50
8.470,00
7.623,00
7.958,50
7.012,50
8.420,50
6.847,50
8.624,00
6.985,00
7.590,00
Quantidade
Receita
Média
1419,95
7809,725
Máximo
1593
8.761,50
Mínimo
1245
6.847,50
13
Assim, o lucro médio (total) diário é de 7755,50 Meticais
Procura se elaborar um modelo matemático da situação actual da padaria, com objectivo de maximizar a lucro diária da mesma.
Quadro resumo Factores de Produção Farinha Trigo (kg) Tempo de Produção (horas)
Fermento seco (g) Sal (gramas) Água (litros) Melhorante (gramas)
Pão de 300g
Pão de 250g
Recursos 800 kg 8 Horas
Gramas
Ilimitados Ilimitados Ilimitados
Variáveis de decisão O que deve ser decidido é o plano de produção, isto é, quais quantidades produzir de pão de 300g e de 250g. Portanto as variáveis de decisão serão
Quantidade diária a produzir do pão de 300g Quantidade diária a produzir do pão de 250g
Objectivo O objectivo é maximizar o lucro total que pode ser calculado como soma dos lucros parciais da venda de cada tipo de pão.
14 Lucro correspondente ao pão de 300g: ( lucro por unidade de pão x quantidade produzida )
= 6,5
Lucro correspondente ao pão de 250g: ( lucro por unidade de pão x quantidade produzida ) =
Lucro total: L=
Restrições Restrição de demanda
Uma das fases que gera inquietações quando se deseja marcar um valor que corresponderá a demanda, principalmente em empresas como as de panificação, por razões de existirem inúmeros factores que intervêm na procura do pão, como por exemplo, a temperatura do dia. Neste caso, a demanda foi fixada no valor médio das observações verificadas durante 20 dias consecutivos. Demanda para o pão de 300g: 2072 pães (uma aproximação em excesso de 2071,3)
Quantidade a produzir ( ); Restrição descrita:
.
Demanda para o pão de 250g: 1420 pães (uma aproximação em excesso de 1419,95). Quantidade a produzir ( ); Restrição descrita: Restrição de Farinha de Trigo
.
A padaria dispõe de 16 sacos (de 50 kg) de farinha de trigo para o uso diário, correspondente a 800 kg por dia. Destes, 10 sacos são usados para a produção do pão de 300 gramas, e 6 para o de 250 gramas. Assim, segundo os dados fornecidos, para um saco de trigo de 50 kg corresponde a uma produção de 220 pães de 300g ou de 270g pães de 250g. Quantidade necessária em kg para pão de 300g: Quantidade necessária em kg para pão de 250g:
15 Quantidade total de farinha trigo:
; Restrição descrita:
Restrição de Tempo de produção A empresa preocupa-se bastante em não alterar os períodos de produção, para ter o pão pronto nas horas em que mais se procura. São, no total, 4 fases de produção, nomeadamente: antes das 6 horas, antes das 9horas, antes das 15 horas e, por último, antes das 18 horas . No que se refere ao tempo total, tem-se que a soma total de tempo de produção de cada fase é de 8 horas, com 2 horas para cada fase. Em cada fase são usados 4 sacos de trigo, o que corresponde a 8800 (=4×220) pães de 300gramas, ou a 1080 (=4×270) pães de 250gamas. Tempo médio de produção de uma unidade de pão de 300g: Tempo médio de produção de uma unidade de pão de 250g: Tempo total de produção:
; Restrição descrita:
Restrição de Fermento seco A padaria usa para a fermentação da massa, um fermento seco (empacotado), que é comprado semanalmente em caixas de 60 kg, contendo 120 pacotes de 500g. Para um saco de farinha, é usada uma quantidade de 500 gramas de fermento, o que corresponde a uma média de gramas para cada unidade de pão de 330g, e de
gramas para cada unidade de pão de 250g.
Disponibilidade média diária deste fermento é de
kg (=
).
Quantidade média necessária para a produção de uma unidade de pão de 300g: Quantidade média necessária para a produção uma unidade de pão de 250g: Quantidade diária total necessária:
Restrição descrita:
16
Considerações
Além dos factores de produção em que as limitações estão apresentadas acima, existem outros, como é o caso da água, sal e aditivos, que optou-se melhor apresentá-los como ilimitados, por seus preços e quantidades usadas serem muito baixos.
Resumo do Modelo Maximizar L Sujeito á
Resolução do modelo de Programação Inteira (pelo algoritmo Branch and Bound).
1) 1ª Aproximação
Vamos usar o método simplex para obtenção da d a primeira aproximação da solução do modelo, caso a solução encontrada for inteira, então essa solução é óptima.
17 Base
L
L
L
5/22
5/27
1
0
0
0
0
800
50/22
50/27
0
1
0
0
0
60000/7
1/440
1/540
0
0
1
0
0
8
1
0
0
0
0
1
0
2072
0
1
0
0
0
0
1
1420
-3
-5/2
0
0
0
0
0
0
0
5/27
1
0
0
-5/22
0
7240/22
0
50/27
0
1
0
-50/22
0
297400/77
0
1/540
0
0
1
-1/440
0
181/55
1
0
0
0
0
1
0
2072
0
1
0
0
0
0
1
1420
0
-5/2
0
0
0
3
0
6216
0
0
1
0
0
-5/22
-5/27
19640/297
0
0
0
1
0
-50/22
-50/27
2562800/2079
0
0
0
0
1
-1/440
-1/540
982/1485
1
0
0
0
0
1
0
2072
0
1
0
0
0
0
1
1420
0
0
0
0
0
3
5/2
9766
Solução:
2072
1420
66,1279
1.232,71 0,661279 0
0
L 9766
18 NB: A solução encontrada é inteira, portanto aqui termina te rmina o nosso processo da resolução, não sendo necessário prosseguir pós a solução s olução é óptima.
Intervalo óptimo de variação dos coeficientes da função objectiva
Variação do coeficiente de
Variação do coeficiente de
Intervalo óptimo da variação dos recursos Variação de quantidades de trigo
=19640/297
733,8721
Variação de quantidades de fermento seco
=2562800/2079
7338,721
Variação de horas de trabalho
19
7,338721
=982/1485
RESULTADOS E DISCUSSÃO Com base nos dados de venda fornecidos pela empresa, o lucro médio total de 5.768,00 e 1.987,50 meticais para o pão de 300g e 250g. Estes lucros foram calculados tendo em conta que a produção diária é de 2200 unidades para o pão de 300g e 1620 unidades do pão de 250g. Isso leva a supor que os custos diários são constantes, pois a produção é constante. Um facto importante a esclarecer é o de considerar-se o custo de factores de produção variáveis, como o da farinha, fermento, aditivos e sal. Porém, custos em energia eléctrica, agua canalizada, mão-de-obra não foram incluídos. Outro facto é o de uso das quantidades médias vendidas nos 20 na construção do modelo matemático. Isso fez-se com o intuito de reduzir custos causados pela quantidade de pães não vendidos. É claro que isso inclui falta de pão em alguns dias em que a procura é maior que a média, porém a finalidade primordial é a de maximizar os lucros.
O modelo de programação linear usado sugeriu a seguinte solução:
2072 1420
66,1279 1.232,71 0,661279 0
0
Lucro total 9766
As quantidades sugeridas foram de 2070 unidades para o pão de 300g e 1420 unidades para o pão de250gramas. A seguir apresenta-se a comparação entre a solução do modelo aproximado e o lucro médio.
20 7000 6000
6216
5768
5000 3550
4000 3000 1987,5
2000 1000 0 Pao 300 gramas Lucro Actual
Pao 250 gramas Lucro Óptimo
Grafico1. Comparação entre os lucros actual e óptimo para cada tipo de pão.
Conclusões e Recomendaç Recomendações ões Com o auxílio do modelo de programação linear determinou se quantidade óptima de cada tipo de pão a ser produzida de modo a maximizar os lucros da padaria. Onde o lucro marcado pelo modelo supera o lucro que a padaria vem tendo com a sua racionalização na produção. De forma geral, percebe-se que com o conhecimento de Investigação Operacional, e solução por programação linear, os empresários terão uma grande ferramenta gerencial em suas mãos para tomada de decisão.
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BIBLIOGRAFIA HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J.. Introduction to Operations Research, 7th edition, 2000. ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à Pesquisa Operacional: Métodos e modelos para análise de decisões. 4 Edição. Rio de Janeiro. Editora LTC. 2009. 202p. TAHA, Hamdy A.. Operations Research: An Introduction. 8 th edition. New Jersey, USA. ARENALES, M.; ARMENTANO, V.; MORABITO, R.; YANASSE, H. Pesquisa Operacional para cursos de engenharia. Editora Campus, 2007. BRONSON, Richard; NAADIMUTHU, Govindasami. S chaum’s Outline of Theory and Problems of Operations Research. 2nd edition, McGraw-Hill. SILVA, Ermes Medeiros de; SILVA Élio de; GONÇALVES, Valter; MUROLO, Afranio Carlos. Pesquisa Operacional para Cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. Editora Atlas; São Paulo; 2009.
