MODELO DE TRANSPORTE El Modelo de transporte es una clase especial de problema de Programación Lineal. Trata la situación en la cual se envía un bien de los puntos de origen (fábricas), a los puntos de destino (almacenes, bodegas, depósitos). El objetivo es d eterminar las cantidades a enviar desde cada punto de origen hasta cada punto de destino, que minimicen el costo total de envío, al mismo tiempo que satisfagan tanto los límites de la oferta como los requerimientos de la demanda.
El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:
Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda demanda en cada destino. mercancía a cada cada destino. El costo de transporte unitario de la mercancía Tenemos una red de carreteras. Hay varios puntos donde se va a producir algo y otros puntos donde se va a demandar algo. Conociendo los costes de transporte, hay que elegir el camino para que el coste sea el mínimo posible. Elegir desde que centro de producción atenderemos a cada centro de demanda.
Solución: Lo primero que haremos será definir las variables:
Pi Producción máxima de cada centro i Cij Coste de transporte de un centro i a un centro de demanda j dj demanda máxima en cada centro j Función Objetivo: (Minimizar) (Minimizar)
Σ Xij * Cij
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Siendo Xij lo que producido en el centro i vamos a mandarlo al centro j. S.a.:
Para todo i: Σ Xij ≤ Pi Para todo j: Σ Xij ≥ dj Para todo i,j: Xij ≥ 0 Este problema se podría complicar dando nuevas restricciones como podrían ser el tener una demanda máxima y otra mínima. Lo mismo se podría aplicar a la producción. Otro tipo de restricciones que se podrían podrían introducir vendrían vendrían dadas por la aparición de almacenes intermedios. En ellos podríamos almacenar lo que hiciese falta, para repartirlo en otro momento por otros vehículos. Esto sería un modelo de transbordo. También se puede dar una capacidad máxima a cada almacén.
TÉCNICAS DE SOLUCIÓN DEL MODELO DE TRANSPORTE
MetodoVogel
En el método de vogel jugamos con los costos más pequeños de cada fila y de cada columna
PLANTA_1:2
T_1:8 8
T_2:0 T_3:2 8 10
T_4:6 6
T_5:2 10
19
12
14
28
14
12
25
17 PLANTA_2:6,2,6 PLANTA_2:6,2,6
0
8
6 10
PLANTA_3:2
12
10 11
11
7 8
1 13
24 7
17
24
72
Por ejemplo en la columna 1 se restan los costos menores menores en este caso (80=8) y así sucesivamente con cada fila y con cada columna.
Método Costo Mínimo
En el método del costo mínimo buscamos saturar las filas y columnas con el menor coste de envió con el fin de encontrar una solución optima.
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T_1 8
PLANTA_1
T_2 8
T_3 10
T_4 6
T_5 10
19
12
14
28
14
12
25
2 PLANTA_2
0
8 11
PLANTA_3
12
17 6
10 10
7 8
1 11
13
24 7
17
24
72
Por ejemplo en la columna 1 fila 2 el 2 el costo de envio es cero por lo tanto es el menor coste y por el comenzamos, luego tenemos dos opciones, fila 2 columna 3 y fila 1 columna 4; Donde el coste minimo es 6, en este caso podemos escoger cualquiera de los dos, y asi seguir saturando las filas y columnas teniendo en cuenta el menor coste.
Método Solución Optima
En este método partimos de la solución de la esquina Noroeste, teniendo en cuenta las variables de decisión X, Y. en donde cada iteración o movimiento forma una ecuación. Así, las variables X y Y representan filas y columnas. columnas. X_1 + Y_a =8 X_1 + Y_b = 8 X_2 + Y_b = 8 X_2 + Y_c = 6 X_2 + Y_d = 12 X_3+ Y_d = 14 X_3 + Y_e = 12 Igualando a cero x_2
X_1 0 X_2 0 X_3
Y_a:8 8 0 12
Y_b:8 8 11 8 8 5 10
Y_c:6 10
Y_d:12 6
Y_e:10 10
19
6
12
14
28
12
25
7 8
16 14
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ALGORITMO HUNGARO El Algoritmo Húngaro sirve para reemplazar los métodos tradicionales de la Programación Binaria, que implican muchos cálculos, aprovechando la forma especial que tienen los problemas de Asignación. Los siguientes pasos que se presentan a continuación son para minimizar, pero con algunas modificaciones se puede emplear también para maximizar.
Si la matriz no está balanceada, balancearla incluyendo las filas o columnas ficticias necesarias. restar el mínimo valor valor de cada cada fila. De cada elemento de la matriz restar restar el mínimo valor valor de cada cada columna. De cada elemento de la matriz restar Realizar la Asignación de la siguiente manera:
Cada cero que se se encuentre en la matriz significa que se se puede asignar asignar esa fila a esa columna, pero una vez hecha esta asignación, ya no se tendrá en cuenta todos los demás ceros de esa misma fila y esa misma columna, debido a que sólo se puede asignar asignar una fila a una columna. que tenga menos ceros, pero que mínimo Buscar de arriba a abajo la fila que tenga uno. (Pues si no tiene ninguno significa que esa fila no se puede asignar a ninguna columna) y asignar esa fila a la columna donde está el cero (puede ser el primer cero que encuentre de izquierda a derecha). Tachar esa fila y esa columna para indicar que ya fueron asignados, para que los demás ceros de esa fila y esa columna no se tengan en cuenta. Repetir este paso hasta que haga todas las asignaciones que más pueda. Si todas las filas quedaron asignadas a todas las columnas el problema ha finalizado y esa es la solución óptima, sino será necesario utilizar el método de Flood (también se llama condición de Köning). Ejemplo:
OPERARIOS
MAQUINAS 1
2
3
4
Antonio
10
14
16
13
Bernardo
12
13
15
12
Carlos
9
12
12
11
Diego
14
13
18
16
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MIN W = 10 X11+ 14 X12+ 16 X13+ 13 X14+ 12 X21+ 13 X22+ 15 X23+ 12 X24+ + 9 X31+ 12 X32+ 12 X33+ 11 X34+ 14 X41+ 16 X42+ 18 X43+ 16 X44 Sujeto a las siguientes restricciones:
Aplicando el método Húngaro Húngaro tenemos:
1
2
3
4
A
10
14
16
13
B
12
13
15
12
C
9
12
12
11
D
14
16
18
16
Restamos 10, 12, 9 y 14 (costos mínimos de cada fila) de cada elemento en cada una de las filas f ilas correspondientes:
1
2
3
4
A
0
3
6
3
B
0
1
3
0
C
0
3
3
2
D
0
2
4
2
En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal que cubran todos los ceros (Método de Flood):
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C
0
2
0
2
D
0
1
1
2
En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal que cubran todos los ceros (Método de Flood):
1
2
3
4
A
0
2
3
2
B
1
0
1
0
C
0
1
0
1
D
0
0
1
1
Solución Optima Unica:A-1, B-4, C-3 y D-2.Lo anterior quiere decir que Antonio va a laborar en la máquina 1 (10 horas), Bernardo en la máquina 4 (12 horas), Carlos va a trabajar en la máquina 3 (12 horas) y Diego en la máquina 2 (16 horas). La combinación óptima de los recursos para este problema de minimización de asignación es de 50 horas, resultantes de adicionar las asignadas a cada uno de los operarios en cada una de las máquinas. Dicho valor corresponde al valor óptimo de la función objetivo.
MODELO DE LA RUTA MÁS CORTA Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al destino. Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del procedimiento del procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino. Algoritmo de la ruta más corta:
Objetivo de la n-ésima iteración: encontrar el n-ésimo nodo más cercano cercano al origen. (Este paso se repetirá para n=1,2,… hasta que el n-ésimo n-ésimo nodo más cercano sea el nodo destino.)
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distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos.) r esueltos.) Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano: Cada nodo resuelto que tiene conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un candidato, y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales.) cada nodo resuelto y sus Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: para cada candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-ésimo nodo más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta más corta es la que genera esta distancia.
MODELO DE FLUJO MÁXIMO Se trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a través de una red de arcos dirigidos. Cada arco tiene una capacidad máxima de flujo admisible. El objetivo es el de obtener la máxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino. Características:
Todo flujo a través de una red conexa dirigida dirigida se origina en un nodo, nodo, llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino. Los nodos nodos restantes restantes son son nodos de trasbordo. trasbordo. la dirección indicada por Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dad por la capacidad del arco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia fuera. En el destino, todos señalan hacia el nodo. El objetivo es maximizar la cantidad cantidad total de flujo de la fuente fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino.
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existe una, los flujos netos asignados constituyen un patrón del flujo óptimo). residual c* de esta trayectoria trayectoria de aumento Se identifica la capacidad residual encontrando el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. Se aumenta en c* el flujo de esta trayectoria. Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en esta trayectoria. Se regresa la paso 1.
ADAPTACION DEL METODO SIMPLEX A PROBLEMAS DE TRANSPORTE El problema de transporte es una de las primeras aplicaciones importantes de la programación lineal. Se puede representar con un modelo lineal y utilizar el método simplex para resolverlo. Sin embargo, dada la estructura especial de este modelo lineal, se puede construir un método m ás eficaz para su resolución. Ejemplo: Supongamos que una empresa productora de barras de pan tiene dos almacenes A1 y A2 desde los cuales debe enviar pan a tres panaderías P1, P2 y P3. Las
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Para plantear un modelo lineal que represente el problema definimos rij: cantidad de barras de pan que se envían desde cada origen Ah i = 1, 2, a cada destino Pj, j = 1, 2,3. El modelo lineal para este problema es el siguiente:
En este caso las restricciones se pueden escribir con igualdad porque la suma de ofertas es igual a la suma de demandas. Para observar la estructura de la matriz A escribimos el modelo de la siguiente forma:
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En este ejemplo hay 2 orígenes, m = 2, y 3 destinos, n = 3. La matriz A tiene 2 + 3 filas y 2 x 3 columnas. Se puede comprobar que el rango de la matriz eso. Por otra parte, todos los vectores columna tienen solamente 2 componentes iguales a 1 y las demás son O. Si denotamos los vectores columna de la matriz A con dos subíndices, es decir, a11, a12, a13, a21, a22, a23, podemos observar en qué posiciones aparece un 1 y en que posiciones aparece un O. Por ejemplo, el vector a11 tiene un 1 en la primera posición y otro 1 en la posición in + 1; el vector a21 tiene un 1 en las posiciones 2 y en la m + 1; el vector an tiene un 1 en las posiciones 2 y m + 3. En general, podemos decir que un vector Ni de la matriz A tiene un 1 en las posiciones i y m+ j. o En general, la matriz A y su estructura dependen del número de orígenes y destinos. Cualquier problema de transporte de m orígenes y n destinos tiene la misma matriz A. Esta matriz tiene m + n filas y m x n columnas. El rango deA es m + n — 1, es decir, las bases están formadas por m + n — 1 vectores. Los vectores columna de la matriz A tienen solamente 2 componentes con valor 1 y el resto son O. Para un vector de la matriz A los unos están en las posiciones i y m + j. Por tanto, los datos importantes de un problema de transporte son el número de orígenes, el número de destinos, las ofertas, las demandas y los costes de transporte. Esta información es la que se recoge en la que llamaremos forma matricial para el problema de transporte.