Lebih dari dari 3000 3000 tahun tahun yang lalu lalu pada pada zama zaman n sert serta a pe pera rada daba ban n
Kuno dan
adal ad alah ah awal awal trig trigon onom omet etri ri da dapa patt dila dilaca cak. k.
Matema Matematik tikaw awan an India India ada adalah lah per perint intis is penghi penghitun tungan gan varia variabel bel digunakan untuk menghitung
yang
dan juga trigonometri.
Sekita Sekitarr 150 SM matem matemati atikaw kawan an Yunan Yunanii Hipparchus menyusun menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga. Dan dilanjutkan oleh Ptolemy yang juga
merupakan merupakan
matemati matematikawan kawan
yunani yunani
sekitar sekitar
tahun
100
yang
mengemb mengembangka angkan n penghitung penghitungan an trigonome trigonometri tri lebih lanjut. lanjut. Kemudian Kemudian pada tahun tahun 1595 matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis. Perancis. Hingga saat ini trigonometri telah digunakan oleh pembuat jalan, pembuat jembatan, dan mereka yang menghasilkan bangunan.
Apa saja saja yang yang akan akan kita kita bahas bahas dalam dalam makalah makalah ini? ini? •
Sinus, Cosinus, dan Tangen
•
Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi
•
Identitas Trigonometri Sederhana
•
Persamaan Trigonometri Sederhana
Tujuan saya menyusun makalah ini adalah untuk menambah wawasan dan pengetahuan tentang seluk beluk trigonometri, baik bagi saya selaku penyusun pada khususnya dan bagi para pembaca pada umumnya, sehingga kita dapat menggunakan dan memanfaatkan memanfaatkan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari.
Page 1 of 18
Metode yang saya gunakan dalam pembuatan makalah ini adalah metode studi pustaka. Metode studi pustaka adalah sebuah metode dalam pembuatan makalah yang sumber informasinya didapatkan dari buku dan internet ditambah dengan pengetahuan dan wawasan yang saya miliki.
1. KELENGKAPAN AWAL a. Halaman Judul (Cover) b. Lembar Pengesahan c. Kata Pengantar d. Daftar Isi
2. BAB I PENDAHULUAN a. Latar Belakang b. Perumusan Masalah c. Tujuan Penyusunan Makalah d. Metode Penyusunan Makalah e. Sistematika Makalah 3. BAB II ISI MAKALAH
a. Sinus, Cosinus, dan Tangen b. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi c. Identitas dan Persamaan Trigonometri Sederhana 4. BAB III PENUTUP a. Rangkuman dan Kesimpulan 5.
DAFTAR PUSTAKA
Page 2 of 18
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen. Ada banyak aplikasi trigonometri, salah satunya adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit. Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk termasuk ,
(dan
, di laut, udara, dan angkasa),
analisis
pasar
,
finansial,
,
,
,
, pencitraan medis/ ,
dalam ilmu
,
, ,
,
, berbagai cabang
darat dan
,
,
, ,
, dan
,
,
,
, ,
.
Fungsi trigonometri adalah hal yang sangat penting dalam sains, teknik, arsitektur dan bahkan farmasi Fungsi trigonometri pada bidang x-y :
Untuk sudut dalam posisi standar, kita definisikan rasio trigonometri menggunakan x, y dan r. Page 3 of 18
Sin theta = y/r
Cos theta = x/r
Tan theta = y/x Bisa diliihat jika kita tetap menggunakan sin theta sebagai de/mi
(depan/miring), cos theta sebagai sa/mi (samping/mirin), dan tangen theta sebagai de/sa (depan/samping). Namun kita menggunakan nilai x-, y- dan r- yang ditentukan oleh titik (x,y) yang dilewati sisi terminal. Untuk mencari r, kita gunakan teorema phytagoras, karena segitiga berbentuk siku-siku:
Tidak heran kalau rasio resiprokalnya sama juga didefinisikan dengan x, y dan r:
Melakukan survey adalah salah satu penerapannya. Contohnya pembuatan jalan, pembuatan jembatan dan mendirikan
bangunan, semua itu memakai
trigonometri dalam pekerjaannya sehari-hari.
Page 4 of 18
Sinus dalam
adalah perbandingan sisi
yang ada di
depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 o). Perhatikan segitiga di bawah berdasarkan definisi sinus di atas maka nilai sinus adalah :
Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan IV.
Page 5 of 18
Kosinus atau cosinus (simbol: cos) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 o). Berdasarkan definisi kosinus di atas maka nilai kosinus adalah :
Nilai cosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.
Tangen (bahasa Belanda tangens; lambang tg, tan) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga sikusiku atau salah satu sudut segitiga itu 90 o). Berdasarkan definisi di atas maka nilai tangen adalah :
Page 6 of 18
Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV.
Kemudian ada lagi cosecan ,secan, dan cotangen yang merupakan invers dari sin, cos, dan tangen yang mana rumusnya sebagai berikut:
Untuk memperjelas mari kita ambil 1 contoh segitiga berikut :
Dari segitiga tersebut kita dapatkan bahwa :
Sin
= sisi depan / sisi miring (demi)
Page 7 of 18
Cos
= sisi samping / sisi miring (sami)
Tan
= sisi depan / sisi samping (desa)
Cosec
= sisi miring / sisi depan (mide)
Sec
= sisi miring / sisi samping (misa)
Cot
= sisi samping / sisi depan (sade)
Y
y=x
Dari gambar diketahui :
P1( x 1,y 1)
Titik P1(x r 1 1,y 1)y bayangan 1 P( x,y ) dari P( x,y ) r
akibat pencerminan garis y
(90-α)
α
O
y = x ,
x
1
sehingga diperoleh:
a. X
x
Sudut (90° - α) di kuadran I
∠ XOP
∠ YOP
b.
=
∠ YOP
= 90° -
=
α
dan
∠ XOP1
= 90° -
α
x 1 = x , y 1= y dan r 1
= r
Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh : sin ( 90° − α ) =
y 1
cos ( 90° − α ) =
x 1
tan ( 90° − α ) =
y 1
=
x
r 1 =
r 1
x 1
= cos α
r y
= sin α
r =
x
= cot α
y
Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut
α
dengan (90° - α) dapat dituliskan sebagai berikut : a. sin ( 90° − α ) = cos α
d. csc ( 90° − α ) = sec α
b. cos ( 90° − α ) = sin α
e. sec ( 90° − α ) = cos ec α
c. tan ( 90° − α ) = cot α
f. cot ( 90° − α ) = tan α :
Page 8 of 18
2.2.2
Titik P1(x 1 ,y 1) adalah bayangan dari titik
Y
P(x,y ) akibat pencerminan terhadap sumbu y, P1( x 1,y 1)
sehingga : a. ∠ XOP = α dan ∠ XOP1 = 180° -
r
r
α
1
P( x,y )
(180°-α)
y
y
1
b.
x 1 = −x , y 1= y dan r 1
= r
cos (180° − α ) =
x 1
tan (180° − α ) =
y 1
=
r 1
y
X
Perbandingan trigonometri di kuadran II
maka diperoleh hubungan : y 1
x
O
1
sin (180° − α ) =
α
α
x
= sin α
r =
r 1
− x
= − cos α
r =
x 1
y
= − tan α
− x
Dari hubungan di atas diperoleh rumus: a. sin (180° − α ) = sin α
d. csc (180° − α ) = csc α
b. cos (180° − α ) = − cos α
e. sec (180° − α ) = −sec α
c.
tan ( 180 ° − α ) = − tan α
f. cot (180° − α ) = −cot α
2.2.3 Y
Dari gambar 2.9 titik P 1(x 1 ,y 1) adalah r
P( x,y )
bayangan dari titik P(x,y ) akibat pencerminan (180°+α)
terhadap garis
y =− x ,
sehingga :
a. ∠ XOP = α dan ∠ XOP1 = 180°+α x 1 = −x , y 1= −y dan r 1
= r
α
x
α
1
O
x
y
1
b.
y
X
r
1
P1( x 1,y ) 1 Perbandingan trigonometri di Page 9 of 18 kuadran III
maka diperoleh hubungan: sin (180 ° + α ) =
y 1
cos (180° + α ) =
x 1
tan (180° + α ) =
y 1
− y
=
r 1
= − sin α
r =
r 1
− x
= − cos α
r =
− y − x
x 1
y
=
= tan α
x
Dari hubungan di atas diperoleh rumus: a. sin (180° + α ) = − sin α
d. csc (180° + α ) = −csc α
b. cos (180° + α ) = − cos α
e. sec (180° + α ) = −sec α
tan ( 180° + α ) = tan α
c.
f. cot (180° + α ) = cot α
2.2.4
Dari gambar 2.10 diketahui titik P 1(x 1 ,y 1) bayangan
dari
P(x,y )
akibat
terhadap sumbu x , sehingga : a.
∠ XOP
= α dan ∠ XOP1 = - α
b.
x 1 = x , y 1= −y dan r 1
= r
Y
pencerminan (360°α
1
r
)
y α
O
P( x,y )
x x
-α 1
r
1
y
X
1
P1( x 1,y 1)
maka diperoleh hubungan : sin ( − α ) =
y 1
cos ( − α ) =
x 1
tan ( − α ) =
y 1
=
r 1
= − sin α
r =
r 1
x 1
− y
Perbandingan trigonometri di kuadran IV
x
= cos α
r =
− y
= − tan α
x
Page 10 of 18
Dari hubungan di atas diperoleh rumus: a. sin ( − α ) = − sin α
d. csc ( − α ) = −csc α
b. cos ( − α ) = cos α
e. sec ( − α ) = sec α
c.
tan ( − α ) = − tan α
f. cot ( − α ) = −cot α
2.2.5
Dengan menggunakan rumus perbandingan sudut trigonometri sudut (90 ° α)
dan sudut - α°, perbandingan trigonometri sudut
α
dan (90° + α) dirumuskan
sebagai berikut :
Sin (90 + α)° = Sin (90 - (- α))° = Cos -
α° =
Cos (90 + α)° = Cos (90 – (- α))° = Sin Tan (90 + α)° = Tan (90 – (-α))° = Cot -
Cos
α° = α° =
α°
- Sin
α°
- Cot
α°
Secara ringkas, perhitungan di atas dapat dirangkum sebagai berikut : a. Sin (90° +
α°)
= Cos
d. Cot (90° + α°) = - Tan
α°
b. Cos (90° + α°) = - Sin
α°
c. Tan (90° + α°) = - Tan
α°
e. Sec (90° +
α°)
α°
= - Cosec
f. Cosec (90° + α°) = Sec
α°
α°
2.2.6
Dari gambar di samping didapatkan rumus :
Y
P
α
(270° -
Sin (270° - α°) = - Cos α Cos (270° - α°) = - Sin α
α
P1
)
α°
X
Page 11 of 18
Tan (270° - α°) = Cot α
2.2.7
Dari gambar di samping didapatkan rumus :
Y
P
α
Sin (270° + α) = Sin (270° - (-α)) = - Cos α ° Cos (270° + α) = Cos (270 ° - (-α)) = Sin α °
-
Tan (270° + α) = Tan (270 ° - (-α)) = - Cot α °
X
α
P1
2.2.8 Y
Dengan memperhatikan bahwa sudut 360° adalah sudut satu putaran penuh, maka perbandingan trigonometri sudut (n x 360 + α)°
dengan n
∈
P(x,y ) y
r α
36 0°
x
X
B sama dengan perbandingan
trigonometri sudut
α°.
Dengan demikian, kita peroleh rumus – rumus berikut : a. Sin (n x 360 + α)° = Sin α°
d. Cot (n x 360 + α)° = Cot
α°
b. Cos (n x 360 + α)° = Cos
e. Sec (n x 360 + α)° = Sec
α°
f.
α°
α°
c. Tan (n x 360 + α)° = Tan α°
Csc (n x 360 + α)° = Csc
Page 12 of 18
2.3
A.
Rumus Dasar yang merupakan Kebalikan 1
cos
•
sin
sec
•
1 α =
cos
cot
•
B.
= e c α
1 α =
tan
α
Rumus Dasar yang merupakan hubungan perbandingan :
tan
∗
cot
∗
C.
α
α =
α =
sin
α
cos
α
cos
α
sin
α
Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras :
⊗ Cos
2
+ Sin
α
⊗ 1 + tan
2
α
2
⊗ 1 + Cot
α
2
α
= sec
=1 2
α
= Co sec
2
α
Contoh 1 : Buktikan identitas berikut:
Page 13 of 18
a. Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α) Jawab: Ruas kiri
= Sin α . Cos α . Tan α Sinα
= Sin α . Cos α .
Cosα
= Sin2 α = 1 – Cos 2 α = (1 – Cos α) (1 + Cos α) = Ruas Kanan Terbukti! b. Sin β . Tan β + Cos β = Sec β Jawab: Ruas Kiri
= Sin β . Tan β + Cos β = Sin β .
Sinβ Cosβ
+ Cos β
β Cos 2 β + = Cosβ Cosβ Sin
2
1
=
A.
Cosβ
= Sec
β = Ruas Kanan Terbukti
Persamaan Trigonometri Sederhana :
Page 14 of 18
•
Jika Sin x = Sin α X1 = α + k . 360o X2 = (180o – α) + k . 360o
•
Jika Cos x = Cos α X1 = α + k . 360o X2 = -
•
α
+ k . 360o
Jika Tan x = Tan α
Contoh 2 : Tentukan himpunan Penyelesaian dari Persamaan Sin x =
1 2
, 0o ≤ x ≤ 360 o !!
Jawab: Sin x =
1 2
Sin x = Sin 30o x
= 30o + k . 360 o
untuk k= 1
↔x
untuk k = 2 ↔ x
= 30o = (180o – 30o) + k . 360o = 150o
HP : {30o, 150o}
B.
Persamaan Trigonometri dalam bentuk a cos x + b sin x = c
Cara penyelesaian persamaan tersebut di atas sebagai berikut:
Page 15 of 18
k Cos x (x - α) = c dengan
k=
α
a
2
+b
2
b
= arc tan
a
Contoh 3 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan : Cos y – Sin y = 1, jika 0 o ≤ y ≤ 360 o!! Jawab: Cos y – Sin y = 1
Sehingga diperoleh k =
Tan α =
a b
=
1
−1
a=1;b= -1
↔ a
2
+b
2
=
2
(
;
)
1 + −1
2
=
c=1 2
= - 1 ↔ α dikuadran IV
α = 315o jadi Cos y – Sin y = 1 ↔
2
Cos (x – 315o) = 1 1
↔
Cos (x – 315o) =
↔
Cos (x – 315o) = Cos 45o
↔
(x – 315o)
2
2
= 45o + k . 360o
↔
x = 360o + k . 360o
↔
x = 360o
Atau
(x – 315o)
= - 45o + 360o
Page 16 of 18
x = 270o + k . 360o x = 270o HP :{270o, 360o}
Dari penjelasan di atas, maka dapat kita simpulkan bahwa trigonometri itu sangat menyenangkan. Mulai dari sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan, cotangen, perbandingan sudut berelasi, identitas, hingga persamaan trigonometri semuanya cukup mudah dipelajari. Dan lagi, segudang manfaat dalam trigonometri dapat kita aplikasikan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya mencari ketinggian jalan yang miring pada bidang datar hanya dengan mengetahui sudut kemiringan jalan dan panjang jalan. Trigonometri juga sering digunakan pada bidang sains, pemetaan, listrik, statistik, optik, dan lain sebagainya. Akhir kata, harus kita akui bahwa, TRIGONOMETRY IS FUN.
Page 17 of 18
Johanes.2006.Kompetisi Matematika 2A.Jakarta:Yudhistira.
Johanes.2006.Kompetisi Matematika 1B.Jakarta:Yudhistira.
cak-umam.blogspot.com/2011/11/makalah-rumus-perbandingantrigonometri.html
faktailmiah.com
google.co.id
marisanita.files.wordpress.com/2009/01/identitas-trigonometri.doc
scribd.com/doc/41532214/MAKALAH-TRIGONOMETRI
Page 18 of 18
