IV EXAMEN PARCIAL DE CONTROL Y ASEGURAMIENTO DE LA CALIDAD 1. Los datos siguientes siguientes son los valores valores de
X
y R para 24 muestras de tamaño n=5 obtenidas de un proceso de fabricación de envases de hojalata. Las mediciones se realian para el di!metro interior "
uestr a 2 4 5 6 7 8 / 2
X
-4.5 -4.2 -.6 -.5 -5./ -4. -2.6 --. -4. --.6 -.8 -.6
R 4 4 4 5 6 4 7 8
uestr a 4 5 6 7 8 2/ 2 22 224
X
-5.4 -4./ -7. -4.8 --.5 -.7 -4./ -5. --.7 -2. --.5 -4.2
#btenga los diagramas de control R 6 5 7 4 4 2 2
X
de y R para este proceso. $i es nece necesar sario io revi revise se los los l%mi l%mite tess de control si e&iste alg'n punto fuera de especifi especificaci cación( ón( consid consideran erando do )ue )ue la caus causaa )ue )ue lo orig origin inaa es asignable y determine los l%mites de control revisados. * pág. 218 de las !p"as !p"as e# $!%!!p $!%!!p"ad "ad!&a !&a +
Re'"s"(# de l!s l)*"%es de !#%&!l + las las l)#e l)#eas as e#% e#%&a &ale less , $i la
especificación del cliente es -5 /.5( cuales son las conclusiones acerca de la capacidad del proceso.
SOLUCI,N 1- EMPEAMOS POR CON LA CARTA R 24
´= R
R ∑ = i
1
24
i
=
113 24
= 4.7083
2-0ara muestras con n = 5( usamos valores de
D 3=0 y
D 4 =2.115 . 0or lo tanto
los l%mites de control para la carta R son" LCL = R D 3 =4.7083 ( 0 ) = 0 UCL= R D 4 =4.7083 ( 2.115 )=9.9581
/- 1n la figura se muestra la carta R. 3uando los 24 rangos muestrales se grafican en esta carta( no hay indicios de una condición fuera de control.
12 10 8 6
R
93L = 8.85 L3L = /
4
R *0romedio,
2 0
0
5
10
15
20
25
30
35
:'mero :'m ero de mues muestra tra
0"g&a 1. 3arta R.
- 0uesto )ue la carta R indica )ue la variabilidad del proceso est! bajo control( puede construirse ahora la carta x´ . La l%nea central es" 24
x´ ∑ =
i
x´ =
i
1
24
=
816.1 24
=34.0042
3- 0ara encontra encontrarr los l%mites l%mites de contro controll de la carta carta
x ´ ( se usa
A 2=0.577 valor
fijado para muestras de tamaño n = 5 y la ecuación para encontrar el 93L y L3L es" ´ =34.0042 + ( 0.577 ) ( 4.7083 )=36.7209 ´ + A2 R UCL= x ´ =34.0042−( 0.577 ) ( 4.7083 ) =31.2875 ´ − A 2 R LCL = x
4- La carta
x ´ se muestra en la ;igura 2.
39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29
%
UCL = 36.7209
0
5
LCL = 312875
10
15
X( Promedio del promedio x)
20
25
30
35
Número de me!"r#
0"g&a 2. 3arta
´ x .
7< 3uando los promedios muestrales preliminares se grafican en esta carta( se puede apreciar un indicio de condición fuera de control( en el n'mero de muestra 2 y 5.
8- $i las especificaciones del cliente es -5 ± /./5( cuales son las conclusiones acerca de la capacidad del proceso. σ =
´ R d2
=
4.7083 2.326
=2.0242
$e puede e&presar la capacidad del proceso en trminos del %ndice de capacidad del proceso *03R( por sus siglas en ingles,
C p ( )ue para una caracter%stica de la calidad
con l%mites tanto superior como inferior de la especificación *9$L y L$L( respectivamente, es"
C p =
USL− LSL 35.5 − 34.5 = =0.0823 6 σ 6 ( 2.0242 )
1sto implica )ue los l%mites de tolerancia >natural? en el proceso est!n muy dentro de los l%mites inferior y superior de la especificación.
2. 1n una f!brica de botones durante una semana se programó una inspección por atributos *roturas de los bordes, y la producción diaria es del orden de /(/// unidades. 1n la siguiente tabla se ven los resultados obtenidos en la
inspección de botones en una de las l%neas de producción cuando el tamaño p
del lote es de 2// unidades. $e solicita realiar el grafico n
:< lote np
2
-
2-
5
7
6
7
8
/
2
5
4
/
25
-
28
/
6
N° LOTE
np
p
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
23 15 17 15 41 0 25 31 29 0 8 16
0.115 0.075 0.085 0.075 0.205 0 0.125 0.155 0.145 0 0.04 0.08
TOTAL
220
1.1
12
i
1
12
=
1.1 12
.
5
P&!p!&"(# *ed"a de #"dades #! !#$!&*es p´ 7
´= p
y
4
A5 DIAGRAMA DE INSPECCION POR ATRI6UTOS DE
p ∑ =
p
= 0.092
L)*"%es de !#%&!l de p7
p ´
7
´ +3 LSCp= p
(√
´ −3 LICp= p
(√
´ p ( 1 − p´ ) n
´ p ( 1− p´ ) n
=0.092 +3
)
(√
)
(√
=0.092 − 3
( −0.092 )
0.092 1
12
)
( − 0.092 )
0.092 1
12
=0.34
)
=−0.16
Figure 3. Gráfica de inspección por atributos de
p ´ .
I#%e&p&e%a"(# de g&á$"a7 1n la figura -( se observa )ue la proporción de unidades defectuosas de una de las l%neas de la f!brica de botones si est! dentro de los limites( esto se debe a )ue se trabaja en orden y cumpliendo con los re)uisitos )ue se les pide( por lo )ue se puede seguir realiando la actividad con normalidad.
/. $e presenta abajo el n'mero de interruptores disconformes en muestras de tamaño 5/. 3onstruir una carta de control para la fracción disconforme de estos datos. @1l proceso parece estar bajo controlA Be no ser as%( detalle cuales pueden ser las posibles causas asignables de todos los puntos fuera de los l%mites de control y calcular los l%mites de control revisados.
:< muestra
:< interruptores
:< muestra
:< interruptores
disconforme / 2 4 / / 6
2 4 5 6 7 8 /
2 4 5 6 7 8 2/
disconformes 6 / 4 / 5 2 /
Cáll! de $&a"(# d"s!#$!&*e p59 l)*"%e spe&"!& UCL5 + l)*"%e "#$e&"!& LCL5 3!lculo del promedio de la fracción disconforme *p, ´= p
D n Bonde" n =5/ y B= nC interruptores disconformesD determinamos fracción disconforme muestral para cada muestra( luego hallamos el promedio. p ´ =0.02
3alculo del l%mite superior *93L, ´ +3 UCL= p UCL= 0.02 + 3
√
√
´ p ( 1− p´ ) n
( −0.02 )
0.02 1
150
UCL=0.0543
3alculo del l%mite inferior *L3L,
√ − √
´ −3 UCL= p UCL= 0.02
3
UCL=−0.0143
´ p ( 1− p´ ) n
( − 0.02)
0.02 1
150
0.12 0.10 0.08 0.06
Fraccion disconforme muestral
0.04 UCL=0.0543
0.02
LCL=&0.0143 0.00 0
5 10 15 20 25
&0.02 &0.04
Número de muestra
;igura 4. Be disconformidades vs n'mero de muestras de interruptores 3omo se observa en la ;igura 4 .1n la muestra 8 y 7( e&ceden el l%mite 93L=/./54de disconformidades( lo cual debe deberse a )ue hubo un cambia del operador o el e)uipo no estuvo en buen estado y necesita mantenimiento( o puede deberse a diferentes factores. 0or lo cual se dice )ue el proceso no est! bajo control( y es necesario aplicar medidas correctivas.
. $e toman muestras de n= art%culos de un proceso de manufactura en intervalos regulares. $e mide una caracter%stica de la calidad y se calcula los valores de tiene"
X
y R para cada muestra. Bespus de 5o muestras se
n
n
∑ i =
xi
=
2///
∑ R = 25/ i =
$uponer )ue la caracter%stica de la calidad tiene una distribución normal.
a, 3alcule los l%mites de control para
X
y R.
b, Eodos los puntos de ambas cartas de control se localian entre los l%mites de control calculados en el inciso @3u!les son los l%mites de tolerancia natural del procesoA c, $i los l%mites de especificación son 45./ @F )u conclusiones puede llegarse respecto de la habilidad del proceso para producir art%culos dentro de estas especificacionesA
Desa&&!ll! 0ara entender mejor los datos( se ha diseñado la Eabla /( en la cual se muestran cómo se ha determinado el valor promedio para cada muestra( y as% de la misma manera para con los rangos. Eabla /. #rdenamiento de los datos para resolución del problema
L)*"%es de !#%&!l pa&a
X
X 0ara graficar las cartas de control para 9 se ubican los coeficientes D3. D4. A2 y d 2 *ver tabla /2, en la Ap:#d"e VI7 0a%!&es pa&a !#s%&"& a&%as de !#%&!l pa&a 'a&"a;les .
L)*"%es de !#%&!l pa&a R
L)*"%es de !#%&!l pa&a
X
a5 0ara graficar las cartas de control para
X
9 se ubican los coeficientes D3. D4. A2 y d 2 *ver tabla /2, en la Ap:#d"e VI7 0a%!&es pa&a !#s%&"& a&%as de !#%&!l pa&a 'a&"a;les .
Eabla /2. 3oeficientes necesarios para el c!lculo respectivo.
´ + A2 R´ … ( 01 ) UCL X ´ = X ´ − A2 R´ … ( 02 ) LCL X ´ = X Be las ecuaciones */, y */2,D y( al considerar los coeficientes de la Eabla /2( se determinan los l%mites de control superior e inferior para la media"
UCL X ´
= 4/ G */.-7-,*5, =
1.843
LCL X ´
= 4/ + */.-7-,*5, =
/8.1/3
L)*"%es de !#%&!l pa&a R Be igual manera )ue en el caso anterior( se determinan los coeficientes para hallar los l%mites de control superior e inferior para R *ver tabla /2,.
UCL R´ = R D3 … ( 03 ) LCL R´ = R D4 … ( 04 )
Be las ecuaciones */-, y */4,D y( al considerar los coeficientes de la Eabla /2( se determinan los l%mites de control superior e inferior para el rango"
UCL R´
= *5,*/.-6, = <.48
LCL R´
= *5,*.64, =
=./2
;5 Pa&a >alla& l!s l)*"%es de %!le&a#"a9 se sa# las s"g"e#%es ea"!#es7
´ + 3 σ … ( 05 ) LRS= X ´ −3 σ … ( 06 ) LRI = X 1ntonces( para hallar el valor de
σ =
σ ( se usa la siguiente forma"
5 R = =1.756 d2 2.847
Luego( entonces se calculan los l%mites de tolerancia superior e inferior" LR$ = 4/ G *-,*.756, = 45.26
L)*"%e "#$e&"!& de %!le&a#"a5
LRH = 4/ + *-,*.756, = -4.7-2
L)*"%e spe&"!& de %!le&a#"a5
5 Bado )ue la especificación dada es" 4 5./D se usa la siguiente ecuación" Cp =
USL− LSL 46−36 = =0.949 6 σ 6 ( 1.756 )
C!#ls"(#7 1l proceso de manufactura evaluado carece de habilidad para producir art%culos dentro de las especificaciones dadas. Be ah%( )ue es necesario )ue el !rea encargado de la calibración de instrumentos yIo e)uipos dentro de la empresa los eval'e y pueda hallar la causa al respecto para s% poder cumplir con las especificaciones re)ueridas.
3. Los siguientes datos fueron tomados por un operador durante un estudio de capacidad de instrumentos de medición " :umero de parte 2 4 5 6 7 8 /
ediciones 2/ 8 2 24 2 25 6 2/ 2-
2 2/ 2/ 2 2/ 2 6 7 5 2/ 22
2 4 5
2 8 2 2/
22 25 2/ 2
a, 1stimar la capacidad del instrumento de medición b, @1l an!lisis de la carta de control de estos datos indica alg'n problema potencial al utiliar el instrumentoA
SOLUCI,N N! pa&%e s 1 2 / 3 4 ? 8 = 1< 11 12 1/ 1 13
Med""!#es 1
2
X
R
2/ 8 2 24 2 25 6 2/ 22 8 2 2/
2/ 2/ 2 2/ 2 6 7 5 2/ 22 22 25 2/ 2
2/./ 8.5 2./ 22./ 2./ 2/.5 7.5 5.5 2/./ 22.5 25./ 22./ 2/.5 2/.5 ./
/ / 4 / 8 / 6 6 /
Be donde" ´ =¿ 2/.-67 X
´ = 2./67 R De %a;las #@25 d2 = B4 = B- = F2 =
.2 -.267 / ./
a, 1stimar la capacidad del instrumento de medición.
UCL X ´ 20.367 + ( 1.88 ) ( 2.067 ) =24.252 LCL X ´ =20.367 −( 1.88 ) ( 2.067 )
C#r"# de 'o"rol X 28 23
X 18 13
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Número de p#r"e
UCL R´ 3.267 ( 2.067 ) =6 .753 LCL R´ ( 0 ) (2.067 ) =0
Carta de Control de Rangos 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
DE "#s%&*e#%!
.-22
4 DE
/.88-
b, @1l an!lisis de la carta de control de estos datos indica alg'n problema potencial al utiliar el instrumentoA
La carta de medias nos indica )ue hay unos puntos fuera de control por el l%mite superior e inferior. La carta de rangos nos indica problemas ya )ue hay puntos fuera de control y se tiene la mayor parte de los datos por debajo de la media.
4. 9n producto se surte en lotes de tamaño : = /(///. 1l FJL se ha especificado en /./ K. 1ncontrar los planes de muestreo 'nico con inspección normal( rigurosa y reducida para esta situación a partir de la HL $EB /51( suponiendo )ue se usa el nivel HH de inspección general.
SOLUCI,N7 0ara :=/ /// FJL=/.K Erabajamos con la tabla /- *2.6, verificando las letras códigos para el tamaño de muestra( obtenindose( para nivel HH de inspección general " L
0ara inspección normal( para la letra L seg'n la tabla /4 *2.7, el plan de muestreo indica )ue"
− Eamaño de la muestra" 25 − $e acepta lote" / − $e rechaa lote"
0ara inspección rigurosa o severa( para la letra L seg'n la tabla /5 *2., el plan de muestreo indica )ue"
− Eamaño de la muestra" 2// − $e acepta lote" / − $e rechaa lote"
0ara inspección reducida( para la letra L seg'n la tabla /6 *2.8, el plan de muestreo indica )ue"
− Eamaño de la muestra" 5/ − $e acepta lote" / − $e rechaa lote"
?. 9n inspector de una agencia militar )uiere un plan de muestreo por variables para usarlo para un FJL de .5 K( suponiendo )ue los lotes son de tamaño 7///. Berivar un plan de muestreo utiliando la HL $EB 44.
SOLUCI,N7 0ara := 7/// FJL=.5K
Be la tabla... con el nivel de inspección H normal la letra código es M. 3on la tabla /7 *inspección normal,( para " − Eamaño de muestra" 5/ − M para inspección normal" .K
3on la tabla / para inspección reducida( para " − Eamaño de la muestra = 2/ − M= (5K
3on la tabla /7 para inspección rigurosa( para " − Eamaño de muestra = 5/ − M = .8- K
8. @3u!l es el resultado de la comparación del tamaño de muestra encontrado en el ejercicio 7 con el )ue se hubiera utiliado con la HL $EB /5 1A Be sus comentarios al respecto.
1l tamaño de muestra encontrado con la HL $EB 44 es mucho mayor )ue el )ue se halló con la HL $EB /5 1( por ejemplo en el caso de la inspección normal la primera arrojó una muestra de 25 elementos( mientras )ue la segunda 5/. Los tamaños de lotes no distan mucho de //// a 7/// por lo )ue podemos decir )ue el uso de la HL $EB 44 es mucho m!s riguroso.
ANEXOS Ta;la
Ta;la < Eabla para inspección normal HL $EB /51.
Ta;la <3 Eabla para inspección rigurosa HL $EB /51.
Ta;la <4 Eabla para inspección reducida HL $EB /51.
Ta;la
Ta;la <8 Eabla muestra de inspeccion normal y rigurosa N HL $EB 44
Ta;la <= Eabla muestra de inspeccion reducida N2 HL $EB 44
