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J.- D. Nasio

TOPOLOGERíA Introducción a la topología de Jacques Lacan

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Thpologería

De Juan David Nasio en esta biblioteca El silencio en psicoanálisis (comp.) Los ojos de Laura. El concepto de objeto a en la teoría de J. Lacan

La primera versión en castellano de esta obra apareció como

tercera parte de Los ojos de Laura. El concepto de objeto a en la teoría de J. Lacan, de Juan David Nasio, publicada por nuestro sello editorial en 1988 y reimpresa en 1997 y 2006.

Topologería Introducción a la topología de Jacques Lacan

Juan David Nasio Amorrortu editores Buenos Aires - Madrid

Biblioteca de psicología y psicoanálisis Directores: Jorge Colapinto y David Maldavsky Topologerie. Introduction a la topologie psychanalytique, extraído de Les yeu:c de Laure. Le concept d'objet a dans la théorie de J. Lacan, Juan David Nasio © Les yeu:c de Laure, Aubier, París, 1987 Traducción: José Luis Etcheverry © 'Ibdos los derechos de la edición en castellano reservados por

Amorrortu editores S.A., Paraguay 1225, 7" piso - C1057AAS Buenos Aires Amorrortu editores España S.L., C/San Andrés, 28 - 28004 Madrid www.amorrortueditores.com La reproducción total o parcial de este libro en forma idéntica o modificada por cualquier medio mecánico, electrónico o informático, incluyendo fotocopia, grabación, digitalización o cualquier sistema de almacenamiento y recuperación de información, no autorizada por los editores, viola derechos reservados. Queda hecho el depósito que previene la ley nO 11.723 Industria argentina. Made in Argentina ISBN 978-950-518-117-9

Nasio, Juan David Topologería. Introducción a la topología de Jacques Lacan. - 18 ed. - Buenos Aires : Amorrortu, 2007. 96 p. ; 23x14 cm.- (Biblioteca de psicología y psicoanálisis / dirigida por Jorge Colapinto y David Maldavsky) Traducción de: José Luis Etcheverry ISBN 978-950-518-117-9 1. Psicoanálisis Lacaniano. 1. Etcheverry, José Luis, trad. 11. Título CDD 150.1957

Impreso en los Talleres Gráficos Color Efe, Paso 192, Avellaneda, provincia de Buenos Aires, en enero de 2007. Tirada de esta edición: 2.000 ejemplares.

Índice general

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1. Topología y psicoanálisis

2. Construcción visualizada del crosscap Lema, 25. 1. Tres nociones previas a la construcción del cross-cap: homomorfismo, inyección/ inmersión y recta proyectiva, 27. 2. Construcción de la esfera provista de un cross-cap, o inmersión del plano proyectivo en el espacio de tres dimensiones, 33. Modelo intuitivo del crosscap: una pelota pinzada, 51. 3. Lectura tridimensional del cross-cap, 52.

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3. Pensar el objeto a con el cross-cap Lema, 60. 1. Adentro/afuera, 65. 2. El corte lacaniano del «ocho interior», 72. 3. Pensar el objeto a con el disco, 83. a. La caracola marina y el punto fálico, 84. b. El objeto a se reduce a un punto, 87. c. El objeto a es no especular, 89. Referencias bibliográficas de los textos de Jacques Lacan sobre el cross-cap, 93.

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Índice topológico

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1. Topología y psicoanálisis

A Swann y a su alegría de vivir. «Me atormento con el problema de averiguar cómo es posible representar de manera plana, bidimensional, algo tan corporal como nuestra teoría de la histeria».

s. Freud, Carla a Breuer del 29 de junio

de 1892.

La interdicción de lo imaginario ha hecho mucho mal a los psicoanalistas en su trabajo de pensar lo real. No es seguro que uno deba pronunciarse contra la imagen en favor del decir o del número. Tratándose de lo real psíquico, la cuestión sigue siendo: ¿qué diferencia hay entre pretender decir eso real con conceptos, escribirlo con números y mostrarlo con artificios imaginarios? La introducción de la topología por Lacan en la década de 1960, en particular las elaboraciones recientes sobre los nudos, constituye en mi opinión una tentativa de aprehender lo real con recursos imaginarios y -lo veremos-, más que imaginarios, fantasmáticos; recursos que llama9

ré artificios topológicos. Esta manera de abordar la topología, que tiene más relación con el dibujo que con el cálculo, con la pizarra que con el papel, con la mostración que con la demostración, contraría la creencia según la cual hacer topología es, para los analistas, hacer ciencia. Para trazar una línea de demarcación entre la topología clásica y la nuestra habría que proceder como en el caso de la lingüística e inventar un nombre, por ejemplo topologería (estoy convencido de que la invención del término ((lingüistería» ha sido benéfica para disipar muchos malentendidos). Dicho esto, queda por saber si el interés de los psicoanalistas por la topología corresponde a una especie de refinamiento excesivo, de preocupación por problemas ultramenores, fragmentarios y sin consecuencias, lo que sería propio del período final, agonizante, de una teoría, o bien si al contrario este interés corresponde a la reconstitución, abierta por Lacan, de una nueva estética trascendental conforme a la experiencia, no del sujeto del conocimiento, sino del sujeto del inconsciente. Pero, ¿qué es esto real que exige disponer de una topología para abordarlo, y de qué topología se trata? Respondamos en dos lenguas ligeramente diferentes, una freudiana, lacaniana la otra. Freud suponía dos mundos reales e ignotos, uno exterior, e interior, psíquico, el otro. Apoyán-

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dos e en Kant se congratulaba con la conclusión de que, de los dos, sólo lo real interior tema posibilidades de ser cognoscible. 1 Una doble observación complicará esta simple división de mundos. En primer lugar, si es que uno puede aprehender lo real interno, para ello hace falta un dispositivo exterior, aun cuando dependiente de las condiciones de eso mismo real interno. Este dispositivo técnico no es para Freud el concepto, el pensamiento o el conocimiento, sino la experiencia psicoanalítica misma. Ahora bien, estos dos mundos aparentemente separados se interpenetran en la relación analítica en la forma cruzada de un quiasmo que liga el deseo del paciente con el del psicoanalista. La frontera es tan dilatada que absorbe a los dos mundos que ella separa. y después, segunda observación: al final de su vida, Freud llegó a concebir de otra manera la división interior-exterior. Sin desarrollarlo verdaderamente, admitió que el aparato psíquico tema extensión en el espacio, y que el espacio a su vez era la proyección de este aparato. 2 1 «No obstante, nos dispondremos satisfechos a experimentar que la enmienda de la percepción interior no ofrece dificultades tan grandes como la de la percepción exterior, y que el objeto interior es menos incognoscible que el mundo exterior .. (S. Freud, «Lo inconciente .. , en Obras completas, Buenos Aires: Amorrortu, vol. 14, 1979, pág. 167). 2 «N uestro supuesto de un aparato psíquico extendido en el

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Sin embargo, a pesar de estos últimos cuestionarnientos, la obra freudiana y, en general, los psicoanalistas cuando practican el análisis siguen escombrados con esa intuición indesarraigable según la cual el psiquismo es un adentro limitado por una superficie (la piel) vuelta hacia lo real exterior. A la dualidad de los reales freudianos sucede una topología lacaniana que pone en juego relaciones más precisas. En lugar de dos reales se trata de uno solo, UIÚVOCO, sin división, definido esencialmente por su modalidad de ser imposible de representar, y en el cual el psicoanálisis sitúa la dimensión del sexo de agotamiento imposible. Frente a lo real está el sujeto; y entre los dos, el conjunto de los recursos con que el sujeto aborda eso real del sexo: recursos referidos a los significantes y recursos referidos al objeto a. Los primeros recursos son denominados síntomas; los segundos, fantasmas. Así, entre el sujeto y el sexo se encuentra una serie de relaciones causales, en general paradójicas, constitutivas de lo que el psicoanálisis llama la realidad. De esta espacio ... » (S. Freud, Esquema del psicoanálisis, en op. cit., vol. 23, 1980, pág. 198). «La espacialidad acaso sea la proyección del carácter extenso del aparato psíquico. Ninguna otra derivación es verosímil. En lugar de las condiciones a priori de Kant, nuestro aparato psíquico. 'Psique es extensa, nada sabe de eso» (S. Freud, .. Conclusiones, ideas, problemas», en op. cit., pág. 302).

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realidad psicoanalítica procura dar razón la topología. Cuatro relaciones, más bien cuatro parejas paradójicas de conceptos que definen la realidad son recreadas, puestas en escena por nuestros artificios topológicos. He aquí brevemente cada una de esas parejas, y el ser topológico que las figura: 1.la demanda y el deseo, figurados por el toro; 2. el sujeto dividido y su decir-un decir significante--, figurados por la banda de Moebius; 3. un significante y los otros, figurados por la botella de Klein, y 4. por último, el sujeto en su relación con el objeto (fantasma), figurado por el cross-cap (esfera provista de un cross-cap). Retomemos cada una de esas parejas puntualmente, en la forma de una pregunta: 1. La primera pareja atañe a la cuestión de la repetición. ¿Cómo aceptar que sea preciso repetir dos vueltas para regresar al punto de partida y comprobar que algo se ha perdido, cuando en apariencia no se ha hecho más que renovar el mismo gesto? Sin embargo, para perder verdaderamente hace falta en efecto dar dos veces la vuelta. Me explico: la primera vuelta correspon-

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de al trazado de una repetición local llamada demanda, mientras que la segunda comprende la serie continua de esas repeticiones. De esas dos vueltas resulta el deseo. La demanda, en su expresión más simple (figura 1), es un mensaje dirigido al Otro, que vuelve al sujeto en su forma

Figura 1. Una demanda local.

invertida, pero sin que el cuerpo resulte afectado, es decir, sin que nada se desprenda de la pulsión. Hace falta que la primera vuelta de una demanda local se encuentre con la vuelta de una segunda demanda para que haya en efecto separación; o también, no habrá deseo mientras no hayan sido enlazadas demandas (al menos dos) que formen una serie continua. El toro nos permite pensar el trazado de dos vueltas continuas (<
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Figura 2. Serie de demandas en un toro: 1, 2, 3, n . ..

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2. La segunda pareja atañe a la cuestión del sujeto. ¿Cómo ocurre que seamos sujeto en el momento en que no somos más que un decir y, simultáneamente, que seamos el sustento ausente de las futuras repeticiones? O también, ¿cómo ocurre que seamos otro, que cambiemos por el solo hecho de decir? El ser topológico introducido desde hace tiempo en la teoría lacaniana y que figura esta antinomia del sujeto es la banda de Moebius. En lugar de definir el sujeto, la banda

línea del ocho interior

Figura 3. Ocho interior o plano de la serie de demandas en el toro.

de Moebius nos lo muestra. Pero sería falso identificar directamente el sujeto con la banda y decir, señalándola: he aquí el sujeto. No; lo que nos interesa en la banda de Moebius es que su propiedad de tener un solo borde cambia si se opera en ella un corte mediano (al menos es el caso para una cinta que tiene una sola semitorsión). En ese momento, es decir en el momento de cortar siguiendo la línea mediana de la banda y describiendo con las tijeras una curva cerrada (que

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vuelve a su punto de partida), la banda propiamente dicha desaparece; el resultado es una cinta que ya no es una banda de Moebius (figuras 4y5).

Figura 4. Banda de Moebius.

Figura 5. Cinta no moebiusiana, obtenida tras el corte.

No basta entonces con representar el sujeto en el espacio; es menester también el acto de cortar, de trazar una curva cerrada. El acto de decir es del mismo orden porque el significante determina, hiende al sujeto en dos: lo representa y, representándolo, lo hace desaparecer. Es cortando la banda como se puede decir: he aquí el sujeto. 3. La tercera pareja atañe a la cuestión del nexo, que es tan dificil imaginar, entre un significante y el resto de la cadena significante. Es difícil imaginarlo porque se trata de aprehender cómo un conjunto de elementos significantes sólo tiene consistencia a condición de que en él falte uno y, sobre todo, de que ese uno faltante se en-

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cuentre en el exterior del conjunto o bien constituya su borde. La cadena significante consiste si, y sólo si, un significante le ((ex-siste» como su borde. Y no obstante, cuando uno intenta acotar esta lógica del par significante --SI (el Uno) y S2 (el conjunto)-, en el momento de la aparición de un síntoma en el curso de la cura por ejemplo, se impone enseguida el problema de la relación entre esta formación del inconsciente (el síntoma) y el inconsciente mismo. La buena respuesta, aunque mal formulada, sería: no hay inconsciente salvo ahí donde hay síntoma, ni antes, ni después. Se habría podido utilizar la expresión ((inmanencia» y formular también: el inconsciente es inmanente al significante-síntoma. Ni una ni otra de estas fórmulas es adecuada para figurar la lógica de la relación entre un significante y los otros. Recurramos entonces a la topología. La referencia aquí no es el corte, sino lo que se llama la circunferencia de retroceso de la botella de Klein. La familia de curvas constitutivas de la trama de esta superficie sigue un movimiento tal que, replegándose sobre ella misma, toma en determinado lugar la forma del gollete de una botella. A primera vista, esa circunferencia de retroceso correspondería entonces al gollete, es decir al contorno de un agujero. En verdad, topológicamente esta circunferencia es parametrizable, por toda la superficie, como si el gollete fuera pa-

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rametrizable así en la base, en el cuello, como en cualquier otro punto del cuerpo de la botella. Para nosotros, la circunferencia de retroceso representa la excepción, 8 1, que puede aparecer en cualquier punto de la superficie y que condiciona su sostenimiento.

Figura 6. Botella de Klein.

4. Por último, la cuarta pareja atañe a la cuestión de la relación del sujeto con el objeto (cuestión esta la más cercana a los dos reales freudiabanda de Moebius

Figura 7. Recorte de la esfera provista de un cross-cap.

nos). ¿Cómo comprender que el sujeto pueda incluir en él un objeto -y al mismo tiempo incluirse en un objeto- que le es, no obstante, radical-

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mente exterior y heterogéneo? En otras palabras: ¿Cómo comprender que eso que llamamos fantasma no sea una imagen en el interior de la economía psíquica del sujeto, sino un aparato, una edificación que se distribuye, se extiende en la realidad confundiéndose con ella? Es el hecho de mostramos que el adentro y el afuera son una sola y misma cosa lo que confiere su valor al cross-cap. Sigamos a una hormiga que parta de un punto de la cara anterior del lóbulo izquierdo, por ejemplo; ella pasa por la línea de falsa intersección y repentinamente se encuentra sobre la cara posterior e interior del lóbulo derecho, hasta encontrar nuevamente, siempre sobre la cara interior, pero por delante, la línea de falsa intersección. Entonces sale hacia atrás del lóbulo izquierdo, sobre su cara exterior, recorre esa cara posterior y después la anterior hasta llegar a su punto de partida. De esta manera habrá pasado del exterior al interior y del interior al exterior sin haber comprobado límite alguno, sin haber atravesado ninguna frontera. Para la hormiga no habrá habido diferencia entre un supuesto interior y un supuesto exterior de nuestra superficie. 3 Si ahora consideramos este trayecto de la honniga como el trazado de un corte en doble la:3 En nuestro capítulo 3, infra, pág. 68, retomaremos este ejemplo de la hormiga, así como la indistinción entre interior y exterior.

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zo, habrá recortado el cross-cap en dos partes: una banda unilátera de Moebius, que representa al sujeto, y un disco bilátero, que representa al objeto a. De esta manera se obtienen los tres elementos de la articulación del fantasma, propuestos por Lacan: el sujeto ($), el corte (O) y el objetoa. Cada uno de estos seres geométricos (salvo el toro y en cierta medida la banda) que acabamos de mostrar es el resultado de cierto forzamiento operado por la subsunción de una superficie abstracta en el espacio ambiente euclidiano. La superficie abstracta es en sí irrepresentable en nuestras dimensiones intuitivas habituales,4 como no sea forzándola y produciendo una representación no regular, bastarda, de una superficie que sólo existe como variedad de un espacio abstracto. Lo vemos bien: la topología con la cual los psicoanalistas piensan y trabajan no es ni la topología general, ni la algebraica. Aunque afin a la topología combinatoria, es en última instancia una topología particularísima, que caracterizaré como mostrativa y fantasmática. No trabajamos 4 Como lo escribe J. Petitot en una introducción esclarecedora sobre la geometría hiperbólica: «La superficie es abstracta en la medida en que no existe inyección regular de ella en el espacio» (prefacio al libro de 1. Hermann, Parallélisme, París: Denoel, 1980, pág. XXXIV).

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con ecuaciones, números y letras, sino con tijeras, tizas y caucho. Ahora bien, estos seres, estos lugares, ¿son reales o ficticios? Ni lo uno ni lo otro. Son artificios singulares, efectuaciones espaciotemporales que, a la manera de un teatro especial, dramatizan la paradoja: la separación del deseo pasa a ser un agujero, el itinerario repetitivo de las demandas sigue el trazado de un ocho (doble lazo), o aún, el significante de la excepción (SI) toma la forma del gollete de una botella. Son como elementos intermediarios entre el dominio topológico estricto, del que proceden, y las parejas de conceptos paradójicos de la teoría analítica. No constituyen verdaderas superficies porque, en virtud de su inmersión en el espacio ambiente, son representaciones no regulares; tampoco son conceptos, según la acepción usual, puesto que su sentido ni se explica ni se demuestra: sólo se muestra. Se muestra dibujando, cortando o pegando. Pero sería un error creer que esta superficie que no es tal, y que este concepto efectuado singularmente en el espacio, estos mixtos, como los llamaría Albert Lautman, 5 son la metáfora, buena o mala, de la paradoja. No ilustran la paradoja, 5 A. Lautman, Structure et existence en mathématiques, París: Hennann, 1938, pág. 107.

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sino que son su mismo ser. No se dirá que el concepto del sujeto es ilustrado por la banda de Moebius, sino, insisto, se mostrará la banda y, cortándola por el medio, se dirá: este es el sujeto. El artificio no designa el ser del sujeto: lo es. 6 N o se lee tampoco la representación, sino que se la practica, y es esta práctica la que le da su sentido. El sentido está en el uso de la representación. Ahora bien, cuando uno dice uso, dice también malogro y fuga. Lo que escapa cuando uno trabaja con esos mixtos topológicos es el cuerpo. Entendámonos: no el cuerpo como extensión ni como imagen, sino como lugar parcial de goce: goce de la mirada y del tacto. Practicar la topología significa tratar con el cuerpo la representación y, en ese mismo acto, inscribir esa práctica en el conjunto de nuestras producciones fantasmáticas. ¿Qué es, en efecto, el fantasma, si no una acción, un obrar hasta confundirnos con lo poco de cuerpo que perdemos? A pesar de las objeciones que pudiera plantear este abordaje «clínico» 7 de la topologería, tengo dos razones para persistir. La primera: ¿por qué no aplicar a nuestra práctica de la topo6 En este sentido, y en una fórmula general, diríamos que el ser de lo psíquico, el estatuto ontológico del psiquismo, es precisamente la topologería analítica. 7 Término con el cual Pierre Soury había calificado nuestro proyecto en ocasión de un debate sobre este texto.

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logía el concepto de goce que empleamos en el trabajo con nuestros pacientes, y decirnos que la parte de goce que esta práctica conlleva (mirada y tacto) es sólo la transformación del goce presente en la cura bajo la forma del fantasma? Es como si uno pudiera hablar de transmisión fantasmática de una práctica a otra. La topología que nosotros trabajamos no escapa al apotegma lacaniano: «No existe metalenguaje». En otros términos, no hay lenguaje (aunque sea el del manejo de los seres topológicos) que no sea desbaratado por el goce. La segunda razón que me lleva a persistir en la topología atañe a lo imaginario de los psicoanalistas. ¿En qué puede la práctica con los objetos topológicos transformar en los psicoanalistas que a ella se entregan las condiciones de su imaginario? ¿Yen qué medida eso imaginario modificado, adaptado a las exigencias de la topología, llevará al psicoanalista a escuchar de otra manera a sus analizados y a su propia experiencia? Parto de la suposición de que, en el analista que maneja con frecuencia estos artificios, la familiaridad que llega a adquirir con ellos puede habituarlo poco a poco, si no a apercibir, al menos a imaginar hasta cierto punto un espacio otro, más próximo a la representación topológica de lo real psíquico. Ya no se trataría de pretender eliminar la intuición en beneficio de un supuesto formalis-

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roo topológico, sino de transfonnarla. Acaso entonces el ejercicio de la topología pennita abrir el campo de un nuevo imaginario, ligado a la experiencia del inconsciente.

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2. Construcción visualizada del cross-capl

Lema. Nuestro punto de partida ha sido el estudio de las elaboraciones topológicas de Lacan. Trabajando en detalle el origen y la construcción del objeto topológico acaso más importante de la teoría lacaniana, a saber, el cross-cap o, más exactamente, la esfera provista de un cross-cap,2 hemos hecho la experiencia de que era posible hacer formalmente de ello una presentación clara. 3 La exposición que sigue está destinada a un lector en quien no se supone conocimientos matemáticos. 4 1 Este capítulo fue realizado en colaboración con F. Tingry, en tanto que B. Hatry tuvo a bien participar en la prepara· ción del texto. 2 Por el momento no distinguiremos entre el «cross-cap» y la «esfera provista de wi cross-cap». Aunque se trate de dos objetos muy diferentes, provisionalmente emplearemos por comodidad uno u otro de manera indistinta. 3 Un primer esbozo esquemático de esta presentación se encuentra en F. Tingry, Nom propre et topologie des surfaces, tesis, 1983. 4 Para el lector deseoso de dar sus primeros pasos en la ropología, recomendamos un excelente libro de iniciación: M. Fréchet y K Fan, Introduction a la topologie combinatoire, París: Librairie Vuibert, 1946.

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Según veremos, el cross-cap es el objeto que resulta de la transformación de otro objeto topológico más general y más conocido por los matemáticos, llamado plano proyectivo. En un primer abordaje, su diferencia reside en el hecho de que el cross-cap es visible, en tanto que el plano proyectivo no lo es. Nuestra exposición consistirá, precisamente, en seguir paso a paso esta transformación de un objeto invisible en un objeto visible. En una fonnulación más rigurosa, debemos decir que la esfera provista de un cross-cap constituye la representación, en el espacio de tres dimensiones, de una superficie abstracta de dos dimensiones, llamada plano proyectivo. Esta representación tridimensional es por así decir defectuosa, y resulta de la inmersión del plano proyectivo en el espacio ambiente usual. Para comprender mejor los diversos momentos de esta inmersión, en una primera parte expondremos algunas nociones previas. Después seguiremos paso a paso las cuatro etapas que, del plano proyectivo, conducen al cross-cap.

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1. Tres nociones previas a la construcción del cross-cap: homomorfismo, inyección/inmersión y recta proyectiva Para seguir las cuatro etapas de la inmersión del plano proyectivo, hay que tener presentes tres nociones indispensables para comprender el paso de una etapa a la siguiente: la noción de homomorfismo, la de inyección/inmersión y la noción de lo que es una recta en un plano proyectivo. En topología, dos objetos son homomorfos si cumplen dos propiedades notables: a todo punto de uno de los objetos corresponde un punto y sólo uno del otro, y recíprocamente. y a dos puntos vecinos de uno corresponden dos puntos vecinos del otro, y recíprocamente. Estas dos propiedades, llamadas respectivamente biyección y bicontinuidad, hacen del homomorfismo una transformación reversible entre dos objetos. Tomemos un disco de caucho, deformémoslo hasta convertirlo en una elipse o un cuadrado; diremos entonces que estas superficies que tan diferentes parecen por su forma, son sin embargo estrictamente homomorfas porque cumplen las dos propiedades que definen al homomorfismo, la biyeccÍón y la bicontinuidad. En ese caso se dirá que esas superficies (disco y cuadrado) son equivalentes porque son homomorfas. HOMOMORFISMO.

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La inyección, lo mismo que la inmersión, es una transformación de un objeto inicial en un objeto final que se obtiene introduciendo el primero en un medio específico. Puede ocurrir que el objeto final sea equivalente al objeto inicial, y que entre ellos se cumpla el homomorfismo como lo hemos definido. Pero puede ocurrir también que las condiciones del espacio en que se desarrolla la transformación produzcan un objeto final que no sea completamente equivalente al objeto inicial. El primer caso, en que los dos objetos son por entero equivalentes, se llama inyección. En el segundo caso, llamado inmersión ,5 la equivalencia sólo se verifica parcialmente. Si retomamos lo dicho acerca de las dos propiedades del homomorfismo, la biyección y la bicontinuidad, comprobamos que en el caso de la inmersión la primera propiedad no se cumple, que no hay biyección entre el objeto inicial y el objeto final. INYECCIÓN E INMERSIÓN.

5 El término inmersión no es exclusivo de los topólogos. También hablan de inmersión los poetas. He aquí lo que dice R. Char: ..Lo que advendrá conoce -eomo conoce lo pasadouna suerte de inmersión». Comentando este poema, M. Blanchot escribe: ..Esta inmensidad de la inmersión que es el espacio mismo del canto en que vive el todo». Otro poema de Char, Partage formel, lo esclarece así: «En poesía, es solamente a partir de la comunicación y de la libre disposición de la totalidad de las cosas entre ellas a través de nosotros como alcanzamos a ser comprometidos y definidos, en condiciones de obtener nuestra forma original. .. » (R. Char, Quures completes, París: Gallimard, 1983, pág. 1144).

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Las dos transformaciones, aquella en que la biyección se cumple y que se llama inyección, y la otra, la inmersión, en que la biyección no se cumple, son ambas aplicables al caso del plano proyectivo. 6 El plano proyectivo se dirá inyectado o inmerso según el medio en que se haya producido esa transformación y según el resultado final de esta. Si la transformación se ha desarrollado en un medio-espacio de más de tres dimensiones, el objeto final será por entero equivalente al plano proyectivo. Hablaremos entonces de inyección del plano proyectivo. Si en cambio se desarrolla en un espacio euclidiano de tres dimensiones, el objeto final no será equivalente al plano proyectivo. Hablaremos en este caso de inmersión del plano proyectivo. Como veremos después, la esfera provista de un cross-cap es el resultado final de la inmersión del plano proyectivo en.un espacio euclidiano de tres dimensiones. Definidas estas nociones de homomorfismo, de inyección y de inmersión, veamos ahora qué es una recta en un plano proyectivo. Comencemos por considerar el plano orRECTA PROYECTIVA.

6 Para profundizar esta diferencia entre inyección e inmersión se puede consultar M. Spivak, A Comprehensive Introductwn to Differential Geometry, Publish or Perish (segunda edición), 1979, vol. 1, págs. 13-8. Y también Encyclopedic Dietionary of Mathematics (de fuente japonesa), MIT Press, 1977, vol. 1, págs. 679 y 681.

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dinario (figura 1): sabemos que dos rectas pertenecientes a este plano son paralelas cuando no tienen punto común, cuando no se cortan.

Figura 1. Rectas paralelas en el plano ordinario.

A diferencia del plano ordinario, el plano proyectivo es aquel en que las rectas paralelas se cortan en un punto del infinito. Veremos que el dibujo global de este plano es imposible. Intuitivamente, una idea aproximada nos la proporcionan las trayectorias paralelas de varios barcos que se alejan de la costa y parece que se fueran a encontrar en un punto del horizonte (figura 2). horizonte

Figura 2. Rectas paralelas en el plano proyectivo.

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Una de las características topológicas de una recta perteneciente al plano proyectivo es tener un punto del infinito. Destaco el hecho de que la recta proyectiva posee un punto del infinito, en tanto que la recta del plano ordinario es infinita sin punto del infinito. He aquí ahora la otra característica de la recta proyectiva: toda recta proyectiva es una recta cerrada. Esto significa que para pensar una recta del plano proyectivo debemos concebirla cerrándose en su punto del infinito, es decir, como una circunferencia. Para demostrar esta propiedad fundamental que la recta proyectiva tiene de ser homomorfa a una circunferencia, habrá que hacer corresponder un punto de la recta proyectiva a un punto de la circunferencia. He aquí la presentación, muy intuitiva, que hemos elegido: tracemos una circunferencia C y después una recta Ll, que se supone perteneciente al plano proyectivo. Tomemos sobre la circunferencia el punto más cercano a la recta Ll y llamémoslo B. Proyectando sobre el punto B todos los puntos de la recta Ll, por ejemplo, los puntos Ll(l)' Ll(2)' Ll(3)' Ll(4)' etc., obtenemos un haz de líneas 4, ~,~, ~, etc., que pasan por B y cortan la circunferencia C en los puntos C(1)' C(2)' C(3)' C(4)' etc. Vemos que los puntos de Ll tienen su correspondiente en los puntos de la circunferencia. Sin embargo, hay

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Figura 3. La recta proyectiva (tJJ es homomorfa a una circunferencia (e).

un problema. Cuando queremos trazar una línea t para hallar la correspondencia del punto B de la circunferencia con un punto de !l, comprobamos que esta recta tes paralela a !l, y por lo tanto no la corta. La recta t no puede cortar a !l, salvo si agregamos a !l un punto del infinito. Marquemos entonces a la derecha del dibujo el punto del infinito oo!l (figura 3). Podremos afirmar así que tes la recta de proyección de 00 !l sobre el punto B de la circunferencia C. Ahora podemos enunciar que existe biyección porque todos los puntos de la recta proyectiva !l, incluido oo!l, tienen un correspondiente sobre la circunferencia C; y que existe bicontinuidad, porque a dos puntos vecinos en !l corresponden dos puntos vecinos en C, y recíprocamente. Que exista biyección y bicontinuidad entre !l y C nos permite decir que, efectivamente, !l es homomorfa a C; por lo tanto, que la recta proyectiva es homomorfa a una circunferencia.

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Si la recta proyectiva es homomorfa a una circunferencia, podemos afinnar que toda recta proyectiva es una recta cerrada que tiene un punto del infinito . ... ............. ¡iWiiO ii~¡,i~·iiO·¿; ii·· ............ .

.'

... '.

recta proyectiva

~

Figura 4. Una recta proyectiua es una recta cerrada; por lo tanto, una circunferencia.

2. Construcción de la esfera provista de un cross-cap, o inmersión del plano proyectivo en el espacio de tres dimensiones Ahora, si la recta proyectiva es homomorfa a la circunferencia, ¿cómo dibujar un plano llamado proyectivo que contuviera a todas esas rectas, es decir, a todas esas circunferencias? El problema se complica porque esas circunferencias no se incluyen en un solo grupo, sino que se distribuyen en diferentes grupos. Cada uno de estos grupos se compone de una infinitud de circunferencias que pasan por un solo punto del infinito que les es común. Así, el dibujo de un plano proyectivo se complica en extremo porque haría falta representar un número infinito de grupos de

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circunferencias, referidos cada uno a un punto del infinito. Tendríamos que dibujar un plano que tuviera por límite una línea compuesta de todos los puntos del infinito que sirven de punto de referencia a cada uno de esos grupos. La principal dificultad para concretar el dibujo es precisamente la representación del límite del plano proyectivo, es decir, de esa línea compuesta por los puntos del infinito. Para mostrar la imposibilidad de semejante dibujo, ofrecemos un esquema muy simplificado (figura 5). Con respecto a esta imposibilidad, reparemos, con Pierre Soury, en la curiosidad histórica de que «la dificultad de dibujar el plano proyectivo sólo se reconoció explícitamente un siglo después que el plano proyectivo se imaginó».7 Un p1lDto del inJinito por donde p88IlD ~ una inJinidad de cizcunferencias

Línea - - - compuesta por los p1lDtos del inJinito

Figura 5. Esquema que muestra la imposibilidad de dibujar el plano proyectivo. 7

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Pierre Soury, Chaínes et noeuds, París, 1986, texto 142.

Si verdaderamente nos empeñamos en obtener una representación visible de ese plano proyectivo, es decir, una representación en el espacio de tres dimensiones, debemos desembarazarnos poco a poco de esas rectas proyectivas-circunferencias, que tan difícil resulta imaginar juntas. Transformaremos para ello, con auxilio de la noción de homomorfismo, esas circunferencias y el plano que las contiene en elementos más manejables. A través de una serie de transformaciones sustituiremos el plano proyectivo por un objeto llamado cross-cap o, más exactamente, esfera provista de un cross-cap. Una y otro son superficies, pero mientras que el plano proyectivo es una superficie abstracta, la esfera provista de un cross-cap es una superficie concreta. Esta última consiste en una representación irregular, bastarda, que aparece cuando uno hace inmersión del plano proyectivo en el espacio habitual. Para llegar a esta esfera provista de un crosscap tenemos que pasar por cuatro etapas. En primer lugar transformaremos por homomorfismo el plano proyectivo en un objeto más manejable: el haz de rectas. Una vez construido el haz de rectas, intentaremos reemplazarlo por un objeto equivalente, más manejable aún, llamado hemisferio. Tropezaremos entonces con una dificul35

tad para realizar esta sustitución, y ella nos inducirá en un primer tiempo a transformar el haz de rectas no en un hemisferio regular, sino en un hemisferio mal pegado. Pero como este hemisferio extravagante tampoco habrá de satisfacernos, nos veremos obligados en un segundo tiemEn resumen: lra. etapa

El plano proyectivo es homomorfo al haz de rectas (a un punto del plano proyectivo corresponde una recta del haz).

2da. etapa

Una dificultad: no existe biyección entre el haz de rectas y el hemisferio.

3ra. etapa

Una mala solución: hemisferio mal pegado.

4ta. etapa

: Una solución mejor que la precedente, pero todavía defectuosa: la esfera provista de un cross-cap. Obtenemos una mejor representación, pero la dificultad no queda resuelta: no hay todavía biyección entre el haz de rectas y esta nueva representación.

Conclusión: _ _ _ _••~ esfera provista plano proyectivo _inmersión de un cross-cap.

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po a transformar por fin el haz de rectas en una esfera provista de un cross-cap.

Primera etapa. Demostremos que el plano proyectivo es homomorfo al haz de rectas. Ante todo recordemos que un haz de rectas (figura 6) es el conjunto de las rectas del espacio que pasan por un punto dado, O; estas rectas son tanto horizontales (por ejemplo, d', N, M ... ) como verticales (por ejemplo, dI' d 2, d3, d 4... ).

Figura 6. Un haz de rectas.

Ahora pongamos el haz en correspondencia con nuestro plano proyectivo, que el dibujo de la figura 7 se limita a evocar: solamente lo evoca, puesto que ya dijimos que es imposible figurar exactamente ese plano. Para establecer el homomorfismo entre el plano proyectivo y el haz de rectas debemos hacer

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corresponder puntos con rectas: los puntos del plano proyectivo con las rectas del haz. Pero, ¿qué puntos del plano proyectivo? Todos los puntos, desde luego: quiero decir los puntos ordinarios, pero también los puntos del infinito. Ahora bien, estos puntos del infinito son los que verdaderamente nos interesan y los que nos opondrán dificultades cuando intentemos realizar el homomorfismo. ·~e;deI infinito común alJ.ylJ.·

Figura 7. Homomorfismo entre el plano proyectivo y el haz de rectas.

Comencemos entonces por colocar simplemente el plano proyectivo sobre el haz de rectas de manera que estas lo atraviesen. Los puntos 1, 2, 3, 4, 5, etc., por los cuales el plano es atravesado, corresponden a las rectas dI' d 2 • d 3 , d 4 , d 5 , etc., que lo atraviesan. A cada punto corresponde una recta, y recíprocamente. Pero nos encontramos con un problema: ¿a qué recta del haz corresponde el punto del infinito (00 ~ ~') común a las rectas ~ y ~' del plano proyectivo? A primera vista no disponemos de rama 38

alguna del haz que correspondiera a ese punto. La solución consiste en elegir una recta horizontal d' del haz y del plano Q, que pase por O y que sea paralela a las dos rectas 11 y 11' del plano proyectivo. Podemos imaginar que esta recta escogida sea la que pasa por el punto del infinito (00 11 11') del plano proyectivo, común a las dos rectas 11 y 11'. Así hemos establecido la biyección: a cada punto del plano proyectivo, incluidos sus puntos del infinito, corresponde una sola recta del haz, y recíprocamente. Hemos obtenido también la bicontinuidad: a dos puntos vecinos en el plano proyectivo corresponden dos rectas vecinas en el haz, y recíprocamente. Cumplidas estas dos condiciones, podemos afinnar que el plano proyectivo es homomorfo al haz. Por consiguiente, en lo sucesivo podemos dejar de hablar del plano proyectivo y referimos, en cambio, a su equivalente, más manejable, que es el haz de rectas.

Segunda etapa. Dificultad para establecer una biyección entre el haz de rectas y un hemisferio. Ahora queremos desembarazarnos del haz de rectas y trabajar con un objeto más manejable aún, el hemisferio. Veamos pues si son equivalentes, es decir, si se cumple la operación de biyección entre las rectas del haz y los puntos del hellÚsferio. 39

Comencemos trazando el haz de las rectas horizontales y verticales que pasa por el centro O (figura 8), y recubrámoslo con una calota (hemisferio) de centro O. El borde de esta calota se apoya sobre el plano ordinario Q. .....--_..... .----- hemisferio (calota)

Plano Q

emisferio

Figura 8. Haz y hemisferio. La recta horizontal d' corta el borde del hemisferio en dos puntos opuestos A y A'.

¿Existe biyección entre el haz de rectas y el hemisferio? Si examinamos el dibujo (figura 8) es evidente que las rectas verticales del haz (dI' d 2 ... ) atraviesan la calota en un solo punto cada una de ellas, y que en este caso la biyección se cumple: a una recta vertical del haz corresponde un punto de la calota. Pero la biyección no se cumple en el caso de las rectas horizontales, como d' y d", porque estas rectas cortan dos veces, cada una de ellas, el hemisferio en su borde. Para cada recta horizontal tenemos más de un punto de intersección: precisamente tenemos dos. Por ejemplo, la recta d' corta el borde del hemis40

ferio en dos puntos, Ay N. Estos puntos diametralmente opuestos se llaman puntos antipódicos. Estamos entonces frente a un problema: no existe homomorfismo entre el haz de rectas y el hemisferio; para ello, en efecto, habria sido preciso que a cada recta del haz correspondiera un punto y sólo uno del hemisferio, lo que no se cumple en el caso de las rectas horizontales como d'. A estas les corresponden, en el borde, dos puntos, y no uno solo. Para conseguir la biyección que buscamos, que ponga en correspondencia una recta horizontal del haz, por ejemplo d', con un punto y sólo uno del borde del hemisferio, es preciso eliminar el hecho de que existan dos puntos. En verdad, si quisiéramos, podríamos establecer esta biyección sin dificultad alguna y de manera inmediata, recurriendo a determinado cálculo matemático. Por esta vía teórica obtendriamos enseguida el homomorfismo deseado entre el haz de rectas y un hemisferio, condensando los dos puntos opuestos del borde, en uno solo. Un matemático habria procedido de ese modo y se habria conformado con ello. Pero nosotros preferimos otro camino. Queremos permanecer en el espacio de tres dimensiones y saber si manipulando el hemisferio como lo hariamos con un objeto real alcanza-

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remos la biyección buscada: una recta del haz para un punto del borde del hemisferio. Nos empeñamos en perseverar en el registro de los dibujos y de las cosas manipulables hasta tropezar con una imposibilidad infranqueable. Haremos en consecuencia un primer ensayo de manipulación del hemisferio. Resultará un fracaso, y esto nos obligará a adoptar otro procedimiento: conseguiremos por fin nuestro cross-cap. Tercera etapa. Una mala solución: el hemisferio mal pegado. Imaginemos que pegamos uno con otro los dos puntos opuestos Ay A', del borde del hemisferio, para convertirlos en uno solo. Entonces, a la recta d' corresponderá un solo punto. Para que todas las rectas horizontales del haz tengan como correspondiente un solo punto cada una de ellas, tendríamos que pegar, además, todas las otras parejas de puntos diametrahnente opuestos del borde del hemisferio. Ahora bien, ¿qué ocurre? En el afán de conseguir la biyección, y queriendo pegar de manera cruzada los puntos opuestos del borde del hemisferio, pronto advertimos la imposibilidad de realizar semejante sutura. Esto se debe a que hemos intentado pegar torpemente el borde manteniendo el hemisferio apoyado sobre un plano. Mientras persistamos en pegar el hemisferio sin 42

abandonar el plano, la sutura resultará imposible, no la podremos efectuar correctamente. El dibujo de la figura 9 es la mejor aproximación que pudimos encontrar para evocar hasta qué punto es imposible poner en práctica y aun representar este modo de sutura.

Figura 9. Hemisferio mal pegado.

No hemos entonces encontrado la biyección que procurábamos, y en consecuencia no obtuvimos un objeto más manejable, que fuera equivalente al haz de rectas. Nuestro interrogante era: ¿es o no es el haz de rectas homomorfo al hemisferio? Ahora, tras nuestra tentativa de pegadura, podemos responder: el haz de rectas no es homomorfo al hemisferio con borde (calota) de la figura 8, ni al hemisferio mal pegado de la figura 9. Acaso la sutura no se puede realizar porque operamos una pegadura demasiado rudimentaria y sin método. ¿Hay otra manera de pegar dos a dos los puntos opuestos del borde del hemisferio? Sí, a condición de hacer esa pegadura sin apoyar el hemisferio sobre un plano, como lo es43

taban la calota (figura 8) y el hemisferio mal pegado (figura 9). Librado del plano, el borde del hemisferio se volverá flexible y manejable.

Cuarta etapa. Una solución mejor que la precedente, pero defectuosa todavía: hemisferio mejor pegado y obtención de una esfera provista de un cross-cap; mas no por ello habremos obtenido la biyección entre el haz de rectas y esta esfera coronada por un cross-cap. Volvamos a nuestra segunda etapa, al momento de la calota apoyada sobre el plano. Queríamos conseguir la biyección entre una recta horizontal cualquiera del haz y un punto y sólo uno del borde del hemisferio. Habíamos intentado pegar el borde de manera de reducir a un punto solo cada pareja de puntos opuestos. Ahora peguemos ese borde sin que el hemisferio esté obligado a permanecer apoyado sobre un plano y siguiendo un procedimiento metódico. Veremos que esta vez reduciremos a un punto cada par de puntos opuestos, y que la sutura se realiza por fin. Esta nueva pegadura nos conducirá al cabo al objeto llamado esfera provista de un cross-cap. y sin embargo, no quedaremos satisfechos. Una nueva e inesperada dificultad no nos permitirá establecer la biyección deseada. Habremos hecho bien la pegadura, pero, como lo hemos de ex44

plicar después, la sutura resultante no responderá a nuestra expectativa: habremos pegado demasiado. Antes la pegadura pecaba por defecto porque era imposible (hemisferio mal pegado) reunir dos puntos en uno solo; ahora, según veremos, pecará por exceso porque reunirá cuatro puntos en uno solo. Volveremos sobre esta nueva dificultad. Pero procedamos antes a la pegadura que nos lleva al cross-cap. En primer lugar volvamos a nuestro hellÚsferio con forma de calota, pero no lo apoyemos esta vez en un plano (figura 10). Hundámoslo hasta que se convierta en una especie de cuenco (figura 11). Ahora tomemos sobre el borde del cuenco dos parejas de puntos antipódicos: por ejemplo (A, N) y (B, B'). Tirando ligeramente hacia arriba los puntos A, A' y hacia abajo los puntos B, B' (figura 12), deformamos el cuenco hasta obtener el objeto de la figura 13. bundlr pon. trBDolarmar

en.....,..,

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A

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Figura 10. Hemisferio no apoyado en un plano.

45

Figura 11. Cuenco.

Para construir la esfera provista de un crosscap, no nos queda más que pegar de manera cruzada los cuatro segmentos siguientes del borde ....-- ,-.... del hemisferio: AB con el segmento A'B' y AB' con el segmento A'B (figura 14). Insistamos en seña-

-

Figura 12. Cuenco.

Figura 13.

lar que se trata de una pegadura cruzada. Cerramos entonces el hemisferio haciendo coincidir así todos los puntos constituyentes de uno de los

46

Modelo intuitivo del cross-cap: una pelota de tripa pinzada en su parte superior.

47

segmentos del borde con todos los puntos constituyentes del segmento opuesto del borde, y lo mismo en el caso de los puntos de los otros dos segmentos. Por ejemplo, el punto 1 quedará pegado de manera cruzada con el punto 4, y el punto 2 quedará pegado con el punto 3 (figura 14). La representación topológica así obtenida es una esfera pinzada cuya parte superior muestra claramente la sutura en tanto es una línea vertical trazada entre los puntos A yA', que ahora se han convertido en un solo punto (extremidad superior de la línea), y los puntos B y B', que se han convertido ellos también en un solo punto (extremidad inferior de la línea) (figura 15). Observación: es esta superficie global la que Lacan llama en general «cross-cap». En realidad el nombre cross-cap designa solamente la parte superior pinzada que corona a la parte inferior esférica, en tanto que el conjunto de la superficie se llama esfera provista de un cross-cap (figura 16). Precisemos que el cross-cap propiamente dicho es una superficie abierta porque tiene un borde, mientras que la esfera provista de un cross-cap es una superficie cerrada porque no tiene borde.

49

Figura 14~adura cruzada del segmento~onÑE"y del segmento AB' con lfñ:'

LInea de I-~~~-----~.u~a

Figura 15. Esfera provista de un cross-cap. croaa-cap ~

...--

EsCera proviate de un croea-<:ap

Figura 16.

50

propiamente cIiclw

parte _ _ _ eaférica

Modelo intuitivo del cross-cap: una pelota pinzada (fotografia) Hemos hecho la experiencia de que una vez aprendida y adquirida esta demostración formal, se hacía necesario volver visible y, por qué no, palpable el cross-cap. No podíamos conformarnos con demostrar el cross-cap, necesitábamos efectuarlo también en una dimensión espaciotemporal. En un primer momento habíamos pensado en darle forma manipulando pasta de modelar. Pero tras algunas tentativas intentamos con diferentes materiales (hilos metálicos, por ejemplo), hasta que por fin tuvimos la idea de utilizar una pelota inflada, tan liviana como el aire, pinzándola en su parte superior. Enseguida nos sorprendió ver lo bien que esta simple pelota pinzada evocaba el resultado al que habíamos llegado con una demostración rigurosa. La esfera provista de un crosscap resulta de la inmersión del plano proyectivo en un espacio tridimensional. CONCLUSIÓN.

Hemos llegado, por fin, a la esfera provista de un cross-cap. Pero, ¿cumple la pegadura así efectuada la biyección que buscábamos, entre las rectas horizontales del haz y los puntos del borde

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del hemisferio, es decir, los puntos de la línea de sutura? No; la sutura así constituida no pennite la biyección. Explicaremos por qué. Pero desde ahora podemos concluir que no habiéndose cumplido la biyección, la esfera provista de un crosscap, que acabamos de construir, no es un objeto equivalente al plano proyectivo. Si retomamos el distingo entre inmersión e inyección, diremos entonces que el plano proyectivo está inmerso, y no inyectado en tres dimensiones. Lo que entonces vemos en un espacio de tres dimensiones, es decir la esfera provista de un cross-cap, es una representación visible, pero defectuosa, del plano proyectivo; no es, por lo tanto, su equivalente. El defecto se sitúa, muy precisamente, en la línea de la sutura.

3. Lectura tridimensional del cross-cap

a. La línea de sutura tal como la vemos en un espacio de tres dimensiones: una línea vertical ordinaria ¿Por qué la sutura así obtenida no pennite la biyección? Para comprender por qué la biyección no se cumple es preciso ante todo distinguir dos clases de rectas horizontales en el haz; una clase

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compuesta solamente por dos rectas horizontales, d' y su perpendicular d" (figura 17), y otra clase compuesta por todas las demás rectas horizontales oblicuas, como N y M. Para las dos rectas perpendiculares de la primera clase, la biyección se confirma plenamente; en efecto, a cada una de ellas corresponde un solo punto, y reCÍprocamente. Ejemplo: a d' corresponderá el punto único (A, A'), Ya su perpendicular d" corresponderá el punto único (B, B'). O sea que las dos rectas horizontales perpendiculares del haz tienen su correspondiente respectivo en los dos extremos, superior e inferior, de la línea de sutura. N o ocurre lo mismo en el caso de las rectas horizontales oblicuas del haz. La biyección no se cumple para ellas porque no tenemos una correspondencia de una recta a un punto --como logradamente sucede con las rectas horizontales perpendiculares-, sino de dos rectas a un punto. En una palabra: la biyección entre el haz y la esfera provista de un cross-cap no se cumple para las rectas horizontales oblicuas. Consideremos bien la figura 14. Ella muestra el instante previo a la pegadura del borde. Los puntos A y A' arriba, y B Y B' abajo, se harán respectivamente, en el momento de la pegadura efectiva, un solo punto. Un solo punto arriba, para el que estableceremos la notación AA', y un solo punto abajo, cuya notación será BB' (figura 15). 53

En el nivel de A y A' hay sólo dos puntos por pegar, y lo mismo en el caso de B y B'. Ahora bien, en cualquier otro nivel del borde, intermedio entre esos extremos, advertimos que no hay dos puntos por pegar, sino cuatro: un punto por cada uno de los cuatro segmentos del borde plegado. Es evidente que la diferencia entre los extremos del borde, en que sólo hay dos puntos por pegar, y los niveles intermedios, en que hay cuatro, se debe al hecho de haber plegado nosotros el borde en cuatro. Consideremos por ejemplo los cuatro puntos que numeramos 1,2,3,4 (figura 14). ¿Cómo pegaremos estos cuatro puntos? Recordemos que se trataba de pegar dos a dos todos los puntos opuestos diametralmente del borde del hemisferio; buscábamos con ello que cada pareja de puntos se asociara a una recta horizontal del haz. Así, los puntos 1 y 4 corresponden a la recta horizontal oblicua M del haz, y los puntos 2 y 3, a la recta horizontal oblicua N del haz (figura 18). El punto 1 quedará pegado a su opuesto, el punto 4; yel punto 2, a su opuesto, el 3. ¿Qué resulta de esto? Queríamos pegar estos puntos dos a dos, pero dada su situación, a saber, en el mismo nivel sobre el borde, en el momento de la pegadura se confunden los cuatro en un solo punto de la línea de sutura (figura 18). 54

Ahora que está pegado el borde plegado en cuatro, tenemos de la sutura una visión mejor que en el caso del hemisferio mal pegado; ella se

~ •••••.•.•.. PiaDoQ

Dos rectas horizontales perpendiculares del haz

dos puntos de la linea de sutura

corresponden a

Figura 17. Aquí la biyección se cumple: a cada recta un punto.

· · · . . . . . . : . : . , / x ~

1.2.3.41

forman un unto

N

o

.................. ~......................... .

M······· PI"""Q

Dos rectas horizontales oblic/J4B del haz

............... ..

corresponden a

un punto de la linea de sutura

Figura 18. Aquí la biyección no se cumple: dos rectas por un punto.

muestra en un espacio de tres dimensiones como una simple línea vertical ordinaria. Pero, ¿qué se ha hecho de la biyección que procurábamos entre las rectas del haz y los puntos del borde del hemisferio, es decir los puntos de la línea de sutu-

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ra? Y bien, tampoco ahora la hemos obtenido. Antes de la pegadura, nuestro problema era que teníamos una recta horizontal del haz para dos puntos del borde del hemisferio. Ahora que hemos pegado los cuatro segmentos del borde plegado del hemisferio, advertimos que nuestro objetivo de tener un punto para cada recta, y conseguir así la biyección, se ha alcanzado en el caso de las rectas horizontales perpendiculares d' y d", relacionadas con los puntos de los extremos de la línea de sutura, (AA') y (BB'); en cambio, no se alcanzó para todas las demás rectas horizontales oblicuas N y M, relacionadas con los puntos intennedios de la línea, como son 1, 2, 3, 4. Comprobamos entonces que en lugar de tener una recta por un punto, tenemos dos rectas por un punto. ¿Por qué? Porque esos cuatro puntos 1, 2, 3, 4, en el momento de la pegadura se convierten en un solo punto. Y como esos cuatro puntos están en correspondencia con dos rectas horizontales oblicuas del haz, es decir, 1 y 4 con la recta M, y 2 Y 3 con la recta N, concluimos que esas dos rectas tendrán por referente un único punto. En consecuencia la biyección no se cumple. Para realizar efectivamente esta habríamos debido obtener una relación simple de un elemento a un elemento, de una recta a un punto. Es en efecto el caso de las dos rectas horizontales perpendiculares d' y d", puesto que a cada una le corres pon56

de un punto y sólo uno, situados en sendos extremos de la línea de sutura: a una recta, un punto. En cambio, las rectas horizontales oblicuas del haz, como M y N, tienen dos a dos el mismo punto por correspondiente: a dos rectas, un punto. Si retomamos el comienzo de nuestra demostración donde habíamos concluido en la equivalencia entre una recta cualquiera del haz y un punto del infinito del plano proyectivo, ahora podemos afinnar lo siguiente:

a. Como el punto del extremo superior y el punto del extremo inferior de la línea de sutura equivalen, cada uno, a una recta del haz, cada uno equivale también a un punto del infinito del plano proyectivo. Concretamente, los dos puntos, superior e inferior, de la Unea de sutura representan dos puntos del infinito. La biyección aquí se cumple. b. Como cualquier punto intennedio de la línea de sutura equivale a dos rectas del haz, equivale también a dos puntos del infinito del plano proyectivo. Concretamente, todo punto intermedio de esta Unea representa dos puntos del infinito. La biyección no se cumple.

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b. Interpretación de la línea de sutura en un espacio de tres dimensiones ¿Qué evoca la línea de sutura? Vemos un trazo negro vertical ahí donde logramos pegar los cuatro segmentos del borde plegado, y donde, como acabamos de demostrar, la biyección no se cumple. Contemplando el trazo, el lector puede extraer dos interpretaciones sucesivas ligadas al hecho de que vive en un espacio tridimensional. Primero, con toda simplicidad, puede pensar que la línea es el lugar de encuentro convergente de los cuatro segmentos del hemisferio. Después, que en virtud de la pegadura cruzada, dos a dos, de esos cuatro segmentos, la línea es la marca de la intersección de las dos componentes conexas resultantes de la sutura: una estriada, punteada la otra (figura 20). Pero como esas componentes no recta horizontal oblicua

dos puntos por pegar

•

(M)

(1-4)

•

(N)

(2-3)

recta horiwntal oblicua

dos puntos por pegar

Punto del infinito OOM

ooN

Punto del infinito

~

~

[1,2,3,4] un solopunto

Figura 19. Esquema general de correspondencias; muestra que la biyeccwn no se cumple: a dos puntos del infinito corresponde un solo punto; en consecuencia no existe biyeccwn_

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son, de por sí, otra cosa que las dos extremidades de una misma superficie, su intersección debe denominarse autointersección. En efecto, en el nivel de la línea de sutura, la esfera provista de un cross-cap se penetra ella misma o se autopenetra.

Figura 20. Intersección de las dos áreas, o autointersección de la superficie.

En tres dimensiones siempre, esta línea de la sutura o línea de autointersección hace de esta una superficie cerrada con un adentro y un afuera, y que en consecuencia tiene una cara interna y una cara externa. Dado que esta superficie tiene dos caras, se la llama bilátera.

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3. Pensar el objeto a con el cross-cap

«Volver visible lo que TW lo es, haciendo sufrir alojo».

Paul Klee

Lema. Hasta aquí nos hemos impuesto trabajar en tres dimensiones. Hemos operado la inmersión de una superficie abstracta, el plano proyectivo, en el espacio ambiente euclidiano, y así obtuvimos una superficie concreta no regular: la esfera provista de un cross-cap. La no regularidad de la superficie concreta, recordémoslo, se localiza precisamente en la línea de sutura que pinza la parte superior de nuestra pelota (véase la fotografía, pág. 47). Insistamos en que esta superficie imperfecta es un objeto de dos dimensiones que resulta de la inmersión de otra superficie igualmente de dos dimensiones, pero abstracta (plano proyectivo), en el espacio ambiente de tres dimensiones. Terminamos el capítulo anterior con una lectura tridimensional del cross-cap sin ver otra cosa que aquello que se nos dio de manera evidente. Esta lectura, de algún 60

modo limitada, nos lo mostró como una superficie cerrada y bilátera, es decir, que tiene dos caras, una interior, exterior la otra. Ahora bien, el cross-cap que interesa al psicoanalista es sin duda este mismo que acabamos de construir, pero pensado de manera abstracta. Se trata de ver la esfera provista de un cross-cap con su defecto de la línea y con sus dos caras, pensándola empero sin ese defecto y con una sola cara. ¿Qué queremos decir? Que ahí donde, en tres dimensiones, vemos las dos componentes conexas cruzarse en el nivel de la línea de la sutura (figura 20), debemos esforzarnos mentalmente por aceptar, no obstante las apariencias, que esas componentes no se cruzan. Es imposible representar en tres dimensiones, con un dibujo, un cross-cap que no muestre la intersección de las dos componentes. Tenemos entonces dos clases de cross-cap: el que pacientemente hemos construido, con su defecto de la línea, superficie bilátera y tal como se ofrece a nuestra vista, y después otro cross-cap, unilátero, engendrado puramente por reglas algebraicas, sin el defecto de la línea, y que no vemos. ¿Por qué el defecto de la línea aparece s610 en el caso del cross-cap visible? Porque este defecto es inherente a los constreñimiento s propios de una construcción que hemos debido realizar en tres dimensiones. El defecto de la línea es un defecto normal mientras queramos permanecer dentro

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de nuestro espacio de tres dimensiones y obtener una representación visual del plano proyectivo. Así, cuando hacemos inmersión del plano proyectivo en un espacio tridimensional, obtenemos una representación visible, que es nuestra esfera provista de un cross-cap, pero no conseguimos la biyección. Si por el contrario abandonamos el espacio de tres dimensiones en favor de una elaboración estrictamente algebraica, obtenemos un objeto teórico sin defecto, pero entonces perdemos la posibilidad de una representación visible. En suma, el cross-cap visible no es equivalente al plano proyectivo, mientras que el cross-cap abstracto, es decir engendrado teóricamente y sin impureza, le es equivalente. En el esquema de la pág. 63 presentamos la articulación entre el plano proyectivo y las dos esferas provistas de un cross-cap: una, concreta, inmersa en nuestro espacio ordinario de tres dimensiones, y abstracta la otra. Tenemos entonces dos clases de cross-cap, uno concreto con defecto, y abstracto y sin defecto el otro. Veremos que el cross-cap de que habla Lacan y con el cual el psicoanalista piensa determinados problemas ligados a su práctica no es ni uno ni el otro, sino los dos a la vez. El cross-cap que nos interesa es ciertamente el que vemos, pero al que atribuimos las propiedades de otro que no vemos. Por ejemplo, registramos clara-

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mente la línea de autointersección de las dos componentes, que pinza la parte superior de nuestra pelota, y sin embargo debemos hacer como si esta línea no existiera. Examinaremos después cómo otra característica del cross-cap, la de ser una superficie divisible por un corte, sólo se podrá aprehender, también ella, por medio de este esfuerzo de abstracción.

Espacio de tres

El ojo del psicoanalista que mira el cross-cap concreto como si fuera abstracto.

Reparemos en que este abordaje que trata las cosas concretas como si fueran abstractas, el

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cross-cap concreto como si fuera el cross-cap abstracto, se asemeja a la manera en que, según Freud, funciona el pensamiento de los esquizofrénicos. «Cuando pensamos en abstracto nos exponemos al peligro de descuidar los vínculos de las palabras con las representaciones-cosa inconscientes, y es innegable que entonces nuestro filosofar cobra una indeseada semejanza, en su expresión y en su contenido, con la modalidad de trabajo de los esquizofrénicos. [... ] puede ensayarse esta caracterización del modo de pensamiento de los esquizofrénicos: ellos tratan cosas concretas como si fueran abstractas». 1 Siguiendo este abordaje de un cross-cap concreto al que atribuimos cualidades abstractas, se abren tres problemáticas en el campo del psicoanálisis: la relación adentro / afuera; el corte y lo que este significa en tanto línea que separa y reúne dos partes heterogéneas, y por último la especialísima problemática de una de esas partes recortadas que Lacan identifica con el objeto a. Prácticamente el cross-cap materializa, o mejor todavía piensa materialmente, tres conceptos psicoanalíticos: la indistinción adentro/afuera, el corte entre el sujeto dividido del inconsciente y el objeto a, y por último las propiedades particu1 S. Freud, "Lo inconciente», en Obras completas, Buenos Aires: Amorrortu, vol. 14, 1979, págs. 200-1.

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lares de este objeto. El elemento común a estos tres conceptos es el de falo o de significante fálico, figurado en el cross-cap justamente por un punto singular de esta línea llamada de autointersección. 2

1.i\dentro/afUera Hemos establecido que la esfera provista de un cross-cap en su versión concreta y visible es una superficie cerrada con un interior y un exterior. Es exactamente lo que muestra la fotografía. Señalemos que «cerrada» es el nombre que se da a una superficie que no tiene borde. El toro (cámara de aire) es otro ejemplo de superficie que, no teniendo borde, es cerrada, y cuyo interior no se confunde con el exterior. En efecto, si pintarnos la cara exterior del toro, su cara interior permanecerá virgen, a menos que para pintarla abramos el toro con unas tijeras. En un espacio de tres dimensiones, tanto el toro como nuestra esfera provista de un cross-cap son superficies cerradas y biláteras, es decir que poseen dos caras, una hacia afuera, y hacia adentro 2 Al fmal

de este capítulo enumeramos los diferentes textos

y seminarios de J. Lacan en los que él trata de estas tres pro-

blemáticas psicoanalíticas del cross-cap.

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la otra. Ahora bien, a diferencia del toro, la esfera provista de un cross-cap presenta esa tan particular anomalía que hemos llamado línea de sutura y que ahora podemos denominar línea de autointersección. Autointersección en la medida en que las dos componentes conexas que se cruzan, puesto que pertenecen a la misma superficie, se pueden considerar como un cuerpo que entra en contacto consigo mismo. Ciertos textos de topología la llaman también línea de aUtocontacto o de autocruzamiento. Insistamos: esta línea es verdadera en el cross-cap concreto y es falsa en el cross-cap abstracto. Veremos que según la manera de considerar esta línea atribuiremos al cross-cap la propiedad de ser una superficie bilátera o bien de ser una superficie unilátera. 3 Expliquémonos. Si consi3 En topología, una superficie tiene dos clases de propiedades. Por una parte, propiedades intrínsecas que dependen sólo de la naturaleza misma de la superficie y que están fundadas en reglas y cálculos teóricos: es el caso de la propiedad que una superficie tiene de ser orientable o no orientable. Por otra parte, propiedades extrínsecas que dependen del espacio en que la superficie está situada: es el caso de la propiedad de ser unilátera o bilátera (tener una cara o dos caras). La misma superficie, unilátera en cierto espacio, puede ser bilátera en otro (cfr. H. Seifert y W. Threlfall, A Textbook ofTopology, Nueva York: Academic Press, 1980, y también D. W. Blackett, Elementary Topology, Nueva York: Academic Press, 1978). Observemos que el estudio de estas propiedades se vuelve más delicado cuando la superficie entra en alguna parte en contacto con ella misma, como ocurre en el caso de nuestra esfera provista de un cross-cap que, situada en un espacio de

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deramos la línea como el lugar en que las dos componentes se encuentran (figura 20), diremos que el cross-cap es cerrado y que tiene dos caras que se mantienen distintas, sin continuidad entre una y otra: el interior está separado del exterior, y la superficie es bilátera. Si por el contrario atribuimos a este mismo cross-cap concreto la propiedad teórica de no tener línea de autointersección, partiendo del supuesto de que las componentes no se cruzan, diremos entonces que el cross-cap tiene una sola cara, que podemos recorrer entera sin discontinuidad: el interior no está separado del exterior y la superficie es en consecuencia unilátera. En este último caso afirmaremos que no existe frontera alguna entre el supuesto interior y el supuesto exterior de la superficie. En una palabra: a condición de reconocerle una propiedad estrictamente teórica, el crosscap no tiene adentro ni afuera. La particularidad del cross-cap de no poseer ni interior ni exterior no es, por lo tanto, directamente aprehensible por el ojo; es preciso hacer un esfuerzo de abstracción tal que, aun mirando la línea que pinza nuestra pelota, podamos empero pensarla como algo que no está ahí o, simplemente, como algo inexistente.

tres dimensiones, entra en contacto con ella misma a lo largo de toda la línea de autointersección.

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Vemos que el cross-cap que interesa al psicoanalista no es el cross-cap concreto que hemos construido en tres dimensiones, ni el abstracto que existe en fórmulas algebraicas, sino la conjunción de los dos. Para comprender esta propiedad teórica de llil cross-cap que no tuviera ni adentro ni afuera, retomemos el ejemplo de la hormiga que recorría la superficie. Ella no encontraría nunca la línea llamada de autointersección. Si la hormiga parte de llil plliltO de la cara exterior y anterior dellóbulo derecho del cross-cap para dirigirse hacia el lugar llamado de la línea, se sorprenderá llegando a la cara interior y posterior del lóbulo izquierdo sin haber traspuesto ningún límite ni frontera. Es decir que habrá pasado de llil supuesto exterior a llil supuesto interior sin hallar obstáculo algllilo. El obstáculo que habria podido hallar si nos situáramos en un abordaje concreto tridimensional, y estrictamente tridimensional, del cross-cap habria sido, por ejemplo, otra hormiga que cumpliera un itinerario simétrico: que hubiera partido de la cara exterior y anterior dellóbulo izquierdo, y hubiera llegado a la cara interior y posterior del lóbulo derecho. En resumen, para reconocer la propiedad teórica que deja al cross-cap sin adentro ni afuera, aplicariamos 68

una regla que enunciara: dos honnigas que pasaran simétricamente en el mismo tiempo y lugar no se encontrarían, y una no podría representar un obstáculo para la otra. Observemos que esta propiedad teórica de unilateralidad del cross-cap es asimilable a la unilateralidad de la célebre banda de Moebius. En efecto, si uno recorre esta banda, se mantendrá siempre sobre su única cara. Dicho esto, la unilateralidad del cross-cap es mucho más interesante que en el caso de la banda de Moebius, porque esta es una superficie abierta, en tanto que el cross-cap es una superficie cerrada; es mucho más curioso e interesante pensar la unilateralidad en una pelota cerrada que en una cinta abierta. ¿Por qué? Porque si admitimos -desde cierto ángulo teórico, recordémoslo-- que las supuestas dos caras de un cuerpo voluminoso cerrado forman una sola cara, inmediatamente es preciso aceptar también que el orden llamado interior del cuerpo está en perfecta continuidad con el medio ambiente. El cuerpo está cerrado y no obstante el medio que lo rodea está ahí adentro. O, a la inversa, el medio rodea un cuerpo cerrado del cual es, empero, el núcleo más íntimo. Desarreglar la frontera adentro/afuera: he ahí lo que el cross-cap enseña al psicoanálisis y con lo cual el psicoanálisis piensa el espacio. Hay tres maneras de tratar la frontera adentro/afue-

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ra. La manera intuitiva la reconoce como una divisoria o una piel que separa el adentro del afuera de un cuerpo cerrado. La manera topológica -cross-cap abstracto- la considera directamente como una frontera inexistente porque el adentro está en continuidad con el afuera; en este caso, desde luego, los términos «adentro» y «afuera» ya no tienen razón de ser porque no están más en oposición, sino en continuidad. Y, por último, la manera «psicoanalítica», que si considera la frontera como inexistente, mantiene empero el empleo de estos dos términos, adentro (interior) y afuera (exterior), pero invirtiendo por completo su sentido ordinario. La utilización psicoanalítica de expresiones como «afuera», «exterior», «adentro» e «interior» en relación con problemas bien determinados condensa, en definitiva, tres tiempos de un procedimiento mental: reconocer primero que el adentro no es el afuera, anular después esta oposición y restaurar por último estos mismos términos subvirtiendo radicalmente su sentido inicial. Concretamente: es mucho más ceñido pensar en términos de adentro y de afuera subvirtiendo su relación, que afirmar simplemente su inexistencia. Por ejemplo, la relación entre el psicoanálisis en intensión y el psicoanálisis en extensión sólo recibe su verdadero alcance si se emplea la pareja «interior/exterior» de manera subvertida. Hay que identifi70

car el horizonte más lejano de la extensión del campo analítico con el borde del agujero más interior de la experiencia analítica. 4 Pero el problema psicoanalítico principal para el cual es absolutamente indispensable distorsionar la partición adentro/afuera es el de la relación del sujeto con las dos instancias psíquicas fundamentales que son el inconsciente y el goce. En lo que a esto respecta, es suficiente aquí recordar lo esencial: el inconsciente y el goce son exteriores al sujeto, que, a través del acontecimiento de un dicho o de un hacer, los actualiza. Basta con un dicho o un hacer para reconocer que en ese momento -y sólo en ese momento, el del acontecimiento--- el inconsciente y el goce se extienden en el espacio supuesto afuera del sujeto portador de ese dicho o de ese hacer. Toda la dificultad reside en esto: llegar a concebir el goce y el inconsciente como instancias exteriores, parásitas y que rodean al sujeto en el momento en que ocurre un acontecimiento en la cura. En otros términos, es con el cross-cap como pensamos esta figura inaudita de un psiquismo exterior al sujeto, cuando en principio constituye su instancia más íntima. 4 Cfr. J. Lacan: «Conforme a la topología del plano proyectivo, es en el horizonte mismo del psicoanálisis en extensión donde se anuda el círculo interior que trazamos como hiancia del psicoanálisis en intensión» (J. Lacan, «Proposition du 9 octobre 1967 sur le psychanalyste de l'École», en Annuaire de l'École Freudienne de Paris, pág. 15).

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2. El corte lacaniano del «ocho interior» «Aquel [el psicoanalista] que sabe abrir diestramente, con un par de tijeras, el objeto a. ese es el amo del deseo». J. Lacan

La otra propiedad del cross-cap que nos interesa se revela en el acto de recortar. Todos los mixtos de nuestra topologería, y en particular la superficie esférica provista de un cross-cap, únicamente a condición de sufrir cierto tipo de corte demuestran su potencia como maternas psicoanalíticos, es decir, su potencia como medios de transmisión. Nuestras superficies sólo se actualizan por medio del recorte, y sólo existen por los bordes que las tijeras confirman o engendran. 5 Precisemos desde ahora que los cortes de que trataremos en lo que sigue se tienen que imaginar como secciones hechas con tijeras sobre el cross-cap llamado «concreto», pero a condición de respetar la regla teórica siguiente: cuando las ti5 «Se llama corte a una sección hecha con tijeras en la superficie, partiendo de un punto de un borde para llegar a un punto de un borde l... J El corte quedará terminado cuando hayamos llegado -a un punto del borde, sea un punto de los bordes primitivos o un punto de los bordes nuevos determinados por el pasaje de las tijeras» (cfr. P. Appel, Théorie des fonctions algébriques, Nueva York: Chelsea, 1929, vol. 1, pág. 100).

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jeras encuentren la línea llamada de autointersección, haremos como si esta línea no existiera, como si el cross-cap que vamos a recortar no poseyera espesor ni línea por la cual estuviera en contacto consigo mismo. Por consiguiente, si fijamos esta regla, debemos aceptar que recortaremos con tijeras concretas un cross-cap concreto, pero siguiendo un trazado teórico. Los cortes que nos interesan, practicados sobre la esfera provista de un cross-cap, son simples curvas cerradas, llamadas curvas de J ordan. Estas se pueden clasificar en dos tipos: las que separan la superficie en dos trozos y las que la dejan continua. Las que verdaderamente nos importan son las primeras y, en particular, aquella de que Lacan se valió para dar razón de la lógica de la repetición significante y sus efectos, llamada ((corte del ocho interior» (figura 1).6 El corte del ocho interior divide nuestro crosscap en dos: una superficie no orientable -la banda de Moebius- identificada con el sujeto del inconsciente y una superficie orientable -un 6 Esta expresión de «ocho interior'» o de «ocho invertido» es mala porque no indica claramente a qué deformación de la figura del número ocho se refiere. En realidad, se trata de una simple plegadura o doblez: el lazo superior del ocho se repliega sobre el interior del lazo inferior. Si hiciera falta rebautizar este ocho lo habríamos llamado «ocho plegado». Observemos que los dos lazos se superponen pero que no se tocan en un punto que les fuera común.

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disco- identificada con el objeto a. Agreguemos que la diferencia entre los cortes que separan la superficie en dos trozos y los que no la separan reside en el hecho de que los cortes separadores atraviesan la línea de autointersección un número par de veces, en tanto que los no separadores la atraviesan un número impar de veces. Co.....

.....

1:. . . . _ . . "-._::::::"--~ . ./\

plegadura

Figura 1. Ocho interior y ocho plegado.

mo veremos, el ocho interior atraviesa dos veces esa línea. Descomponiendo la superficie en dos partes absolutamente heterogéneas, el ocho interior confinua en acto que esas partes, aunque heterogéneas, no por ello dejaban de componer esa única pieza que es la esfera provista de un cross-cap. Dicho de otro modo, es preciso cortar el cross-cap para comprobar que la porción orien-

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table y la porción no orientable que de ello resulta, es decir el objeto a y el sujeto del inconsciente, han podido coexistir juntas y en continuidad en una superficie ininterrumpida. Ahora bien, ¿por qué elegir ese trazado en forma de ocho interior para dividir el cross-cap, siendo que con otras secciones cerradas, que tuvieran otro contorno y atravesaran también la línea de autointersección un número par de veces, obtendríamos una separación idéntica?7 Ello obedece a que el trazado en dos lazos del corte llamado del ocho interior materializa como ningún otro los diferentes momentos de la repetición del significante. La importancia que en la teoría lacaniana tiene este trazado en dos lazos, de los que uno engloba al otro, rebasa la problemática del crosscap. Independientemente de los contextos teóricos en que interviene, el ocho interior responde a una articulación definida: en todos los casos, soporta la función del dicho en su relación con el sujeto. Existe un término para designar esa relación fundamental, y es el de repetición. El ocho interior u ocho plegado representa gráficamente 7 Adviértase que si recortamos una ventanita en nuestra pelota cross-cap en un lugar bien alejado de la línea de autointersección, obtendremos los mismos dos trozos que resultan del corte del ocho interior. Así, un corte que no atraviesa la línea de autointersección divide también al cross-cap en dos partes distintas.

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la lógica de la repetición de los significantes y su efecto de sujeto. Así, cuando operamos una incisión en el cross-cap siguiendo un corte de este tipo, hacemos algo más que materializar la incidencia de las palabras (no importa cuáles) sobre una superficie que las preexiste: inscribimos en lo real el efecto que esas palabras provocan una vez que han sido dichas. Expliquémonos. Tomemos el ocho plegado, pensemos con él la repetición, apliquémoslo sobre nuestra superficie esferoide, verifiquemos que atraviesa dos veces la línea de autointersección y reconozcamos que los efectos producidos han sido los efectos de la repetición. Concretamente, el corte de la repetición en forma de ocho plegado incluye tres aspectos: el despliegue de la curva en dos lazos, su cierre final y sus efectos registrables en la transformación del cross-cap. Comencemos por describir los dos lazos. La unidad núnima del movimiento repetitivo está dada por un vector de orientación progresiva y por otro de orientación retroactiva. 8 .-... El vector AB muestra los dos estados de un acontecimiento: antes de repetirse, en A, y cuando se repite, en B. Ahora bien, nada nos autoriza a ha8 Este esquema del apres·coup retoma el esquema del primer estadio del Grafo, construido por Lacan en el curso de los seminarios Las formaciones del inconsciente y El deseo y su interpretación (1957, 1958, 1959), para figurar los dos estados del significante. El «padre .. del ocho plegado parece ser ese núcleo mínimo del Grafo del deseo.

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blar de repetición si no introducimos un tercer elemento, trivial, pero decisivo: el simple hecho de contar. Si no contamos un antes y un después, o, más bien, una primera, una segunda y una enésima vez, nunca habrá repetición. En otros términos, el estado del acontecimiento antes de ser repetido pasa al estado repetido a condición de que exista una cuenta y alguien que cuente,

A Figura 2. Esquema del apres-coup.

entendiéndose que esta cuenta sólo se verifica una vez cumplida la repetición en B. Antes de la repetición, y en consecuencia antes de contar, A no existía; A no será primero si un segundo, B, no lo repite. Debemos trazar entonces el vector HA de orientación retroactiva y significar así que B consagra a A como acontecimiento original. Este primer lazo esquematiza simplemente el movimiento que conocemos con la expresión aprescoup. A sólo se vuelve primero apres-coup, después que hemos contado a B como su repetición.

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El lazo grande que engloba al pequeño representa la operación de contar como talo, más exactamente, el elemento que hace posible el cálculo, a saber, el trazo de escritura. Este elemento -el trazo del escrito-- no es, empero, él mismo reductible a un número. Se sitúa fuera de la serie o, si se quiere, fuera de la sucesión repetitiva. En esta calidad de elemento exterior lleva el nombre, que le ha dado Lacan, del Uno en más. Hemos dicho que en el horizonte de la cuenta hay siempre uno que cuenta y calcula. Pero cuenta y calcula sin poder contarse a sí mismo. La impotencia radical del ser hablante y gozante es no poder reconocerse en las repeticiones sucesivas. El sujeto cuenta, pero él no se cuenta, o más bien es contado como un sujeto en menos. El enlace final de esta curva doble que tiene la forma de un ocho interior significa que la repetición se ha cumplido y hace nacer un sujeto nuevo que acabamos de calificar como sujeto en menos. El punto e de la figura 3 marca entonces tres aspectos: la clausura del movimiento de repetición, la clausura de la operación de cuenta y el surgimiento de un sujeto nuevo. Si ahora, siguiendo el movimiento y la orientación de esta curva del ocho interior, hacemos incisión en la esfera provista de un cross-cap (figura 4), obtendremos al final del corte dos superficies: una equivalente a una banda de Moebius, 78

que Lacan identifica con ese sujeto nuevo, y la otra equivalente a un disco, que identifica con el objeto a. En definitiva, recortar el cross-cap con \JnO en más

Figura 3. Constituyentes del ocho interior. Línea del corte del «ocho interior»

Parte equivalente a una banda de Moebius: $

Parte equivalente a un disco: a

Figura 4.

tijeras que siguieran el trazado del ocho interior constituiría el gesto que materializa espacialmente el hecho de que la repetición produce un sujeto y deja caer un residuo.

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Observemos dos cosas, una de ellas referida a los detalles del recorte de la superficie, y la otra, atinente a los efectos que se producen. Trasladémonos a la figura 4 y miremos el trayecto que efectúan las tijeras. Las tijeras significantes comienzan su recorrido en un punto de la línea de autointersección, para volver a pasar por ella en un punto ligeramente más bajo, después de haber hecho incisión en la cara anterior de la pelota siguiendo el trazado de un giro. Una vez que han llegado a este segundo nivel de la línea, prosiguen su recorte (representado en nuestro dibujo por un vector en línea de puntos), pero esta vez sobre la cara posterior. Por último, volverán a encontrarse con la línea en el punto en que comenzaron su trayecto. En este momento preciso en que el lazo se cierra, la superficie se separa en dos trozos. Pasemos ahora a esas dos partes recortadas. Para comprender cabalmente su naturaleza, es indispensable -otra vez- evitar el error de confundir el cross-cap concreto con el cross-cap abstracto. Debernos ser, entonces, claros. La incisión efectiva hecha con unas tijeras metálicas en una superficie espesa (nuestra pelota, por ejemplo, pero realizada en yeso) no es otra cosa que la alegoría o la mostración espaciotemporal de un corte teórico trazado sobre una superficie sin espesor, ni línea, ni puntos en que entrara en con-

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tacto consigo misma (esta última superficie abstracta no tiene, en consecuencia, línea de autointersección). Si respetamos este distingo concreto/abstracto en el caso del corte, no nos resultará dificil respetarlo también en cuanto a los productos del corte. En efecto, los dos trozos separados tras la incisión espaciotemporal de una pelota cross-cap de yeso arrastran consigo, cada uno, la porción de línea de autointersección que originariamente los pinzaba cuando formaban parte de la superficie global. Entonces, cada uno de los dos trozos lleva la huella de la anomalía, que es la autointersección. Ahora bien, se trata de considerar estos dos trozos haciendo abstracción de nuevo de esas porciones de línea en que cada uno de ellos entraría en contacto consigo mismo. Con esta condición, es decir, pensarlos sin esa línea de autocontacto, se los podrá legítimamente considerar equivalentes a una banda no orientable el uno y a un disco orientable el otro. Siempre a través de esta perspectiva teórica, señalemos que la esfera provista de un cross-cap es globalmente una superficie no orientable. Desde el punto de vista topológico, en la coexistencia continua de lo orientable y lo no orientable en una única superficie, es lo no orientable lo que imprime su sello: es la banda la que prevalece sobre el disco. Si nos limitáramos a considerar simplemente y sin a

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priori topológico la pelota cross-cap, sería al contrario lo orientable, es decir la esfericidad, la que privaría. En nuestra opinión, Lacan sostiene este contraste entre el cross-cap abstracto y el cross-cap concreto cuando habla de la asfera 9 para designar el carácter abstracto de una superficie que la banda de Moebius ha vuelto no orientable, y de la infla,lO para designar el aspecto esferoide y cerrado del cross-cap concreto. Desde luego que la asfera únicamente nos parecerá asfera con posterioridad, es decir, después de haber comprobado nosotros que en la infla estaba contenida la banda de Moebius, después, por consiguiente, de que se haya producido el corte y se haya desprendido el trozo equivalente a la banda. Hace falta cortar la infla, desprender el trozo equivalente a la banda y reconocer entonces, y sólo entonces, que la infla concreta que veíamos en tres dimensiones representaba una asfera en cuatro dimensiones. Es necesario cortar para percatarse de la estructura. A fin de que la infla ~oss-cap concreto- devenga asfera --cross-cap abstracto-hace falta un corte separador que finalmente desprenda una banda de Moebius y muestre que la superficie de la infla era una superficie domi9 J. Lacan, «L'étourdit», en Scilicet, n° 4, Seuil, 1973, págs. 27-30, 39 Y 41-2. 10 ¡bid., pág. 30.

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nada por el carácter no orientable de esta ban-

da.!l De los dos trozos disjuntos producidos por el corte, ya hemos examinado el caso de la banda de Moebius y su relación con el sujeto del inconsciente. 12 N os resta considerar ahora el otro trozo -orientable- donde Lacan sitúa al objeto a.

3. Pensar el objeto a con el disco Consideremos ahora una propiedad particular de esta parte central de la pelota cross-cap (dibujada en puntillado en la figura 4) que el corte del ocho interior acaba de enuclear. A la vista, este trozo desprendido tiene la forma de una caracola marina y lleva la marca de una pequeña porción de la línea de autointersección. Esta superficie parece seguir un movimiento en espiral ascendente, a la manera, si se quiere, de una pequeña construcción para guardar automóviles, de rampas circulares con dos plataformas (figura 5). 11 En esta misma perspectiva, pero con un sentido ligeramente diferente, Lacan escribe: « ••• pero con su doble lazo [es decir, el doble lazo que es el corte en forma de ocho interior], que haga de la esfera una asfera o cross-cap" (ibid., pág. 39). 12 Véase supra, capítulo 1, págs. 9-24.

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Pero recordemos otra vez que si consideramos este mismo trozo desde el punto de vista teórico, no habrá residuo de la línea de autointersección y por consiguiente tampoco tendrá la forma de una caracola; sólo presenta esta forma en tres dimensiones. Desde este punto de vista teórico, en que ya nos hemos situado varias veces, la superficie caracola marina equivale, y sólo en ese caso equivale, a un disco orientable. Pero lo que llevó a Lacan a identificar ese disco con el objeto a no fue sólo su índole orientable, con su valor de contraste frente a la banda no orientable que materializaba al sujeto del inconsciente. En efecto, el disco posee otras dos características igualmente importantes. residuo de la línea \ de autointersección

Figura 5. Superficie de caracola marina que materializa al objeto a.

a. La caracola marina y el punto fálico. En primer lugar, así como el disco orientable cae tras el 84

corte arrastrando consigo el residuo de la línea de autointersección, el objeto a cae marcado por el trazo de la función fálica. Lacan confiere gran importancia no tanto a la pequeña porción de la línea de intersección que dibuja la caracola, cuanto al punto singular en que termina esta porción de línea. Este punto, que a veces es también un agujero o también un punto-agujero, es según Lacan el organizador que otorga consistencia a esta superficie que es la esfera provista de un cross-cap, yel punto en torno del cual giran los dos lazos del corte del ocho interior. Su papel es tal que permite especificar las dos partes separadas por este corte: una -la caracola marina- conservará el punto en su seno, mientras que la otra -la banda de Moebius- no lo tendrá. Pero, ¿qué significa en psicoanálisis realzar el valor de este punto singular situado en el extremo inferior de la línea de autointersección? Decimos bien en psicoanálisis, porque, topológicamente hablando, este punto a que se refiere Lacan no es más privilegiado que el otro punto singular situado en el extremo superior de la línea. Desde este ángulo estrictamente topológico, este punto no merece entonces ser realzado. Más aún, esos dos puntos privilegiados, uno situado en lo alto y el otro en lo bajo de aquella línea, sólo existen porque la línea de autointersección existe, es decir, existe en tres dimensiones. 85

Fuera de nuestro espacio usual, en el cross-cap abstracto, no hay ni línea ni punto privilegiado. Señalado esto, intentemos ahora comprender el valor psicoanalítico del punto singular que está en el centro de la superficie ---cross-cap concreUr-- y de la caracola cuando ha sido enucleada por el corte. Este punto central representa el significante fálico surgido de la experiencia de castración entendida como la transformación en un significante, de ese órgano particular que es el pene. Lacan enunciaría: el falo es lo que resulta de la elevación del pene a la dignidad de significante. Pero ¿significante de qué? Puesto que el deseo que pone en juego al órgano peniano es sin duda el deseo sexual o, más exactamente, el deseo del Otro, el falo será el significante de este deseo. Un proceso así de transformación, que el psicoanálisis llama pues castración, constituye la matriz siguiendo la cual se separarán todas las demás partes del cuerpo, aun si ninguna de estas partes llega, como el pene, a devenir significante. En suma, hablar de significante fálico equivale a afirmar la primacía de la castración y, correlativamente, del deseo del Otro que le es implícito, sobre cualquier otra experiencia de separación. He ahí, brevemente, la premisa que era indispensable recordar para justificar el interés que dedicamos al hecho de que el punto terminal de la línea marca con su sello el trozo enu-

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cleado llamado caracola marina, con el cual pensamos al objeto a. De este modo el falo marca con su significación al objeto a para promoverlo corno objeto de deseo. b. El objeto a se reduce a un punto. La otra propiedad notable que asimila el objeto a a la caracola marina o disco consiste en su capacidad de deformación. Para mayor claridad llamaremos en lo sucesivo «disco» a lo que hemos denominado caracola marina. Entre las deformaciones posibles del disco, hay dos para retener: una ligada al espejo, la otra intrínseca a la naturaleza misma del disco. Comencemos por esta última. Podernos deformar este disco hasta reducirlo a un punto y, así retraído, relocalizarlo junto a la banda de Moebius. En efecto, si querernos repegar mentalmente la banda con el disco ahora vuelto puntiforrne, es decir, si complementarnos la banda con un punto, alcanzaremos la singular coyuntura en que la banda de Moebius se apoya en un punto y en torno de este se despliega. Si cabe imaginar esa pegadura abstracta, concebiremos entonces la banda ligada a un punto exterior por intermedio de un conjunto de rectas que unen ese punto con cada uno de los puntos del borde de la banda. Precisemos que ese punto suplementario no sólo es exterior a la banda, sino exterior también al espacio usual, corno si ese

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punto fuera un punto de fuga evanescente, por donde se aspirara la banda hacia la cuarta dimensión. 13 Lacan se valió de esta propiedad de deformación puntiforme del disco para mostrar que en efecto el sujeto del inconsciente no se apoya más que en su objeto --el objeto a- devenido un punto excéntrico y evanescente. Si quisiéramos señalar la diferencia entre la relación del yo con el mundo y la relación del sujeto del inconciente con el mundo, concluiríamos que el mundo yoico es esférico y concéntrico, mientras que el mundo del sujeto dividido es puntual y excéntrico. Recordemos brevemente cómo trata Lacan en su texto «L'étourdit» esta relación de la banda con el disco. 1. La banda de Moebius se compone de una familia de líneas, cada una de las cuales se compone a su vez de puntos, que tienen, todos, la particularidad de ser un lugar donde el derecho es también el revés. En todo punto de la superficie de la banda se verifica esta anomalía de un derecho que se confunde con el revés. Así las cosas, toda línea de la familia es una línea de puntos «torsionados» o, como dice Lacan, una ((línea sin puntos». 14 Señalemos que es posible reducir toda 13 Este 14

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punto debe ser situado en una cuarta dimensión. Op. cit., pág. 27.

la superficie de la banda a una sola línea sin puntos y calificar entonces la banda de Moebius con esta expresión: línea sin puntos. Comprobemos también que así condensada en una línea, la banda corresponde exactamente a la línea del corte del ocho interior. De donde el corolario: si la banda reducida a una línea equivale al corte del ocho interior, entonces el corte y la banda son una sola cosa y la misma. 2. En cuanto al disco puntual exterior a la banda, es decir a la línea, está justificado entonces considerarlo, con Lacan, como un punto extra-línea. 15 3. En suma, el cross-cap es la conjuncióndisjunción de una línea sin puntos y de un punto extra-línea. c. El objeto a es no especular. La otra propiedad más curiosa por la cual el objeto se asirrúla al disco consiste en la capacidad que este último tiene de deformarse de suerte de hacer desaparecer su imagen en el espejo. El disco puede deformarse sin desgarradura ni adherencias hasta adoptar exactamente la misma disposición espacial que la imagen en el espejo. En ese momento no hay más imagen. Imaginemos un hombre de 15 Ibid., pág. 27. La asimilación del objeto a a este punto extra-línea hace eco al calificativo de extra-cuerpo con el que Lacan caracteriza al a.

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caucho puesto delante de un espejo y que tenga un lunar en la mejilla izquierda. Imaginemos además que su imagen reflejada -esta tiene el lunar en la mejilla derecha- permanezca fijada como una fotografia. Supongamos ahora que por medio de una deformación continua nuestro hombre consiga llegar a la misma disposición corporal que la imagen fijada frente a él y a superponérsele. 16 Para ello debe primero dar medio giro sobre sí mismo de manera que presentando su espalda al espejo entre en él retrocediendo. Así incluso en el espejo, seguirá teniendo su rostro señalado por el lunar en la mejilla izquierda, en tanto la imagen que permaneció fijada seguirá teniéndolo en la mejilla derecha. Para que la superposición de nuestro hombre con su imagen sea perfecta, hace falta que consiga además deformar su rostro de caucho hasta hacer pasar su lunar de la mejilla izquierda a la mejilla derecha. En ese momento, y merced a esa curiosa mueca, corresponderá exactamente punto por punto a la figura fijada de su imagen; el lunar desplazado ahora sobre su mejilla derecha se corresponderá al fin con el lunar que aparecía en la mejilla derecha de la imagen reflejada. Al precio de una extravagante deformación de su ros16 En cuadro muy hennoso, Magritte pinta a un hombre de espaldas que se contempla en un espejo que asombrosamente devuelve la imagen de este hombre, pero de espaldas.

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tro, el hombre ha terminado por superponerse a su imagen como si esta lo hubiera absorbido. Se dirá entonces que entre el ser y la imagen no existe ya relación de alteridad o, sencillamente, que el ser ya no tiene imagen. Llamamos ser no especular a este que ya no tiene imagen porque se ha fusionado en ella. Es precisamente el resultado que Lacan obtiene manipulando el trozo llamado disco o caracola marina. Tratando de justificar la no especularidad del objeto a, maltrata y deforma este trozo de superficie orientable a fin de hacerlo coincidir con su propia imagen en el espejo. En el caso de la otra parte recortada del cross-cap, la cinta de Moebius, una operación así es imposible. Porque no se puede superponer la banda a su imagen reflejada sin producir un desgarramiento. La banda conserva la alteridad de su imagen y en consecuencia es especularizable. En el vocabulario topológico se dirá que el disco es homotópico a su imagen ---o, en nuestros términos, que el objeto a es no especular-, mientras que en cambio la banda de Moebius no lo es. La tesis lacaniana que afirma la no especularidad del objeto a se encamina de este modo a definir la naturaleza no imaginaria de la pulsión. La pulsión no es imagen y ella no tiene imagen, aun si es a través de la imagen y merced a esta como despliega su actividad. En este sentido el 91

objeto a nos evoca de manera divertida y extraña a la mujer del filme de Polanski, La danza de los vampiros, que descubre de repente su metamorfosis en vampiro en el momento en que el espejo ya no le devuelve su imagen. Como el vampiro de la pantalla, el objeto a es una suerte de vampiro pulsional sin imagen.

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Referencias bibliográficas de los textos de Jacques Lacan sobre el cross-cap

Écrits, Seuil, 1966, págs. 366-7, 553-4 (nota). Les quatre concepts fondamentaux de la psychanalyse, Seuil, 1973, pág. 143. «L'étourdit», en Scüicet, n° 4, Seuil, 1973, págs. 2644. Seminario La identificación (inédito): reunión del 6 de junio de 1962, para nuestro tema «Corte de la esfera provista de un cross-cap»; reuniones del 16 y del 23 de mayo de 1962, para «Adentro/afuera», y del 30 de mayo de 1962, y el 6, el 13, el 20 y el 27 de junio de ese mismo año, para «No especularidad del objeto a». Seminario La angustia (inédito): reuniones del 28 de noviembre de 1962 y del 9 de enero de 1963, para «No especularidad del objeto a». Seminario El objeto del psicoanálisis (inédito): reuniones del 8 de diciembre de 1965 (cross-cap y esquema R) y del 15 del mismo mes; y además, las del 5 de enero, 9 de febrero y 30 de marzo de 1966, todas para «Corte de la esfera provista de un cross-cap». Y las reuniones del 12 de enero y del 30 de marzo de 1966, para «No especularidad del objeto a». Seminario La lógica del fantasma (inédito): reuniones del 16 de noviembre de 1966 y del 15 de febrero de 1967, para nuestros temas «Adentro/afuera» y «Corte de la esfera provista de un cross-cap». Seminario De otro al Otro (inédito): para nuestro tema «Adentro/afuera», reuniones del 26 de marzo y del 30 de abril de 1969.

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Índice topológico

adentro/afuera, 12, 19,64-5,68-71 artificios topológicos, 9-10, 21-2 asfera,82 banda de Moebius, 13, 15-6,69,87-9 botella de Klein, 13, 17-8 caracola marina (disco), 83-7, 91 cross-cap abstracto, 66-7, 70 cross-cap concreto, 13,25-6,35,49-51,71-3 curvas de Jordan, 73 homomorfismo, 27 homotopía,91 inmersión/inyección, 21, 26-9, 33, 35-6, 51-2 línea de autointersección (o línea de la sutura), 52-9 línea del horizonte, 30 línea sin puntos, 89 objeto a no especular, 89-92 ocho interior (u ocho plegado), 72-3 corte, 16-7 trazado de la repetición, 13-4 pelota (pinzada), 47, 51-2, 82 plano proyectivo, 26-7, 29-39 punto de la cuarta dimensión, 87-8 punto extra-línea, 89 punto fálico, 86 recta proyectiva, 29-33 toro, 13-15

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Otros títulos de esta biblioteca

Paul-Laurent Assoun, Lacan Roland Chemama y Bernard Vandermersch (bajo la dirección de), Diccionario del psicoanálisis Jael Dor, Estructuras clínicas y psicoanálisis Jean-Baptiste Fages, Para comprender a Lacan Sándor Ferenczi, Sin simpatía no hay curación_ El diario clínico de 1932 Sigmund Freud, Cartas a Wilhelm FlieB (1887-1904). Nueva edición completa Roberto Harari, ¿Cómo se llama James Joyce? A partir de «El Sinthoma», de Lacan Roberto Harari, El Seminario «La angustia», de Lacan: una introducción Roberto Harari, Las disipaciones de lo inconciente Philippe Julien, Psicosis, perversión, neurosis. La lectura de Jacques Lacan Sylvie Le Poulichet, Toxicomanías y psicoanálisis. Las narcosis del deseo Octave Mannoni, La otra escena. Claves de lo imaginario Juan David Nasio, Los ojos de Laura. El concepto de objeto a en la teoría de J. Lacan Juan David Nasio, comp., El silencio en psicoanálisis Gérard Pommier, El amor al revés. Ensayo sobre la transferencia en psicoanálisis Gérard Pommier, El orden sexual Gérard Pommier, Louis de la Nada. La melancolía de Althusser Denis Vasse, El ombligo y la voz. Psicoanálisis de dos niños

J - o Naslc

TOPOLOGERíA «Tratandose de lo real psíqUIco, la cuestlon sigue siendo' (,que diferenCia hay entre pretender decir eso real con conceptos. escnbirlo con numeras lj mo~ trarlo con artificIos Imaglnario~ > »La introducción de la topologla pOI lacan en la decada de 1960, en particular las elaboraciones recientes ~obre los nudo!>, constituye, en mi Opl nlón, una tentativa de aprehender lo real con recursos Imaglnanoo; y. mas que imaglnanos, fantasmatlcos, recul ':005 que llamare artifiCiOS topológicos Esta manera de abordar la lopologla, que llene mas relaclon con el dibUJO que con el calculo, con la pizarra que con el papel, con la mostraclon que con la demostración, contraría la creencia segun la cu~1 hacel WpOIOgld e~. para los analistas, hacer cienCia. Para trazal una linea de demarcaclon entre la topo logía claslca y la nuestra habna que procedel como

PI) el CJ~O

de la IIngulsll

ca e Inventar un nombre, por ejemplo, lopologeno» Esta obra qUiere ser una contribución a la leona lacanlana del objeto y se em· peña en responder a eSla pregunta' (Como se presenta en una cura de amilisls el gozar, es deCir, el objeto o';) Ha Sido redactada con el proposlto de diSipar en el lector la tradicionJl averSlon por la miltemjllca y de mo<;,trarle el mteres clíniCO que la topologla tiene pala el pSlcoanalisls Modelos geomctrl cos, entonces, que concurren a explicar e Ilustlar aquel fenomeno la percep clon Inconsciente de un dolor o de Ull placer.

y pSiquiatra argentino reSidente en Pano; desde hace muchos años, ha Sido docente de la Sorban a, UniverSidad de Parls VII, lj

JUAN DAVID NASIO. PSicoanalista

director de Seminarios Psicoanalltlcos de París Fue Invitado por Jacques Lacan para intervenir en su seminario parrsmo (19191 Y por Rene Thom (Premio Nobel de Matematica) a fin de dlttal un Ciclo de conferenCia'; !'obll' pSltOilllil liSIS y matemallca Entre sus obr~~ podemos CIta I EnSrllll/l/o rlt' " W/l1 ep ros cruciales del pSicoanáliSIS, El dalol de la hlSle/lo lj (//leo Icu.lol1l's .,ab,f' lo leoría de

J. Lacan. Este sello rdltonal ha publicado Lo,

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canceplo de objelo a en lo leona de J l.ncoll y, baJO ~u dllecclon, El 511enCl0

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ISBN 950-518-117-5

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