A. Latar Belakang Selama ini untuk mengitung !uatu nilai atau arga tertentu dari !uatu "aringan li!trik !ering menggunakan peritungan rumu!#rumu! $!ika. Mungkin "aringan li!trik %ang di&erikan !angat !ederana ma!i &i!a diitung dengan peritungan %ang !ederana' namun "ika ada !uatu "aringan li!trik %ang mempun%ai "aringan li!trik %ang rumit maka ilmu integral akan dapat dipergunakan pada kondi!i itu. B. Tu"uan Tu"uan dari penuli!an kar%a ilmia ini adala untuk mengetaui &agaimana !uatu rangkaian li!trik dapat ditentukan nilain%a menggunakan integral.
2. PEMBAHASAN
Integral !e(ara )undamental le&i ma"u dan rumit dari pada kon!ep %ang ditemukan di al"a&ar. *onto dalam al"a&ar' !eorang murid mempela"ari !e&ua )ung!i dengan input !e&uat angka dan output !e&ua angka. Tetapi input turunan adala !e&ua )ung!i dan outputn%a "uga adala !e&ua )ung!i "uga. +ntuk memaami turunan' !eorang murid aru! mempela"ari nota!i
matematika. Dalam nota!i matematika' Sim&ol dari integral adala
'
&erupa S %ang dipan"angkan ,!ingkatan dari -!um/. Integral tertentu dituli! !e&agai
0
dan di&a(a -Integral dari a ke b dari f(x) teradap x . Integral tak tentu' atau anti deriati)' dituli!2
. 3le karena turunan dari )ung!i y 4 x 0 5 C adala y 6 4 0 x ,di mana C adala kon!tanta/'
. Teorema da!ar kalkulu! men%atakan &a7a turunan dan integral adala dua opera!i %ang !aling &erla7anan. Le&i tepatn%a' teorema ini mengu&ungkan nilai dari anti deriati) dengan integral tertentu. Karena le&i muda mengitung !e&ua anti deriati) daripada mengaplika!ikan de$ni!i dari integral' teorema da!ar kalkulu! mem&erikan (ara %ang prakti! dalam mengitung integral tertentu.
Teorema da!ar kalkulu! men%atakan2 8ika !e&ua )ung!i f adala kontinu pada interal 9a'b: dan "ika F adala )ung!i %ang mana turunann%a
adala f pada interal ,a'b/' maka
Le&i lan"ut' untuk !etiap x di interal ,a'b/'
untuk itu turunan par!ial &an%ak di gunakan dalam keidupan !eari#ari .
Pem&aa!an di ata! ter)oku! pada pengitungan lua! &idang di &a7a !uatu kura. Demikian "uga di &a& !e&elumn%a. Hal ter!e&ut dilakukan untuk memudakan i!uali!a!i. Dalam praktek kita tidak !elalu mengitung lua!
;
melainkan mengitung &er&agai &e!aran $!i! %ang &eru&a teradap 7aktu mi!aln%a. Peru&aan &e!aran $!i! ini dapat pula dii!uali!a!i dengan mem&uat a&!i! dengan !atuan 7aktu dan ordinat dengan !atuan &e!aran $!i! %ang dimak!ud. Dengan demikian !eolaola kita mengitung lua! &idang di &a7a kura. Berikut ini dua (onto dalam keli!trikan.
*onto 12 Se&ua piranti men%erap da%a 1<< = pada tegangan kon!tan 0<<>. Berapaka energi %ang di!erap ole piranti ini !elama ? "am @ Da%a adala la"u peru&aan energi. 8ika da%a di&eri !im&ol p dan energi di&eri !im&ol 7' maka
p=
dw dt %ang mem&erikan
w =∫ pdt
Peratikan &a7a peu&a &e&a! di !ini adala 7aktu' t. Kalau &ata! &a7a dari 7aktu kita &uat <' maka &ata! ata!n%a adala ?' dengan !atuan "am. Dengan demikian maka energi %ang di!erap !elama ? "am adala 8
pdt = ¿∫ 100 dt = 100 t 0 8
w =∫ ¿ 0
4 ?<< =att.our9=: 4 <'? kilo =att our 9k=:
*onto 02 Aru! %ang melalui !uatu piranti &eru&a teradap 7aktu !e&agai i,t/ 4 <'< t ampere. Berapaka "umla muatan %ang dipindakan melalui piranti ini antara t 4 < !ampai t 4 detik @ Aru! i adala la"u peru&aan tran!)er muatan' .
C
i=
dq dt !eingga
q =∫ i dt
8umla muatan %ang dipindakan dalam detik adala 5
idt =¿ ∫ 0,05 dt = 0
0,05 2
2
t
1,25
4
5
q =∫ ¿
2
= 0,625 coloumb
0
*onto ;2 Se&ua peralatan li!trik men%erap da%a !e&e!ar C = pada tegangan kon!tan 00<>. Berapaka energi %ang di!erap ole piranti ini !elama 0 "am @ Da%a adala la"u peru&aan energi. 8ika da%a di&eri !im&ol p dan energi di&eri !im&ol 7' maka
p=
dw dt %ang mem&erikan
w =∫ pdt
Peu&a &e&a!n%a adala 7aktu' t. Kalau &ata! &a7a dari 7aktu kita &uat <' maka &ata! ata!n%a adala 0C' dengan !atuan "am. Dengan demikian maka energi %ang dipakai !elama 0C "am adala 24
pdt = ¿∫ 45 dt =1080 t 0 24
w =∫ ¿ 0
4 ?<< =att.our9=: 4 <'? kilo =att our 9k=:
Pendekatan umerik
Dalam
pem&aa!an
mengenai
integral
tentu'
kita
)aami
&a7a
langkalangka dalam mengitung !uatu integral adala2 1. Mem&agi rentang ),/ ke dalam n !egmenF agar pro!e! peritungan men"adi !ederana &uat !egmen %ang !ama le&ar' ∆. 0. Integral dalam rentang p G G dari ),/ diitung !e&agai
dengan ),k/ adala nilai ),/ dalam interal k %ang &e!arn%a akan !ama dengan nilai terenda dan tertinggi dalam !egmen k "ika menu"u nol. Dalam aplika!i prakti!' kita tentu &i!a menetapkan !uatu nilai !edemikian rupa !eingga "ika kita mengam&il ),k/ !ama dengan nilai terenda ataupun tertinggi dalam k' a!il peritungan akan le&i renda ataupun le&i tinggi dari nilai %ang diarapkan. amun error %ang ter"adi ma!i &erada dalam &ata!#&ata! toleran!i %ang dapat kita terima. Dengan (ara ini kita mendekati !e(ara numerik peritungan !uatu integral' dan kita dapat mengitung dengan &antuan komputer. Se&agai ilu!tra!i kita akan mengitung kem&ali lua! &idang %ang di&ata!i ole kura % 10 4 ; dengan !um&u# antara 4 ; dan 4 5;. Laua! ini tela diitung dan menga!ilkan 4 J' Ap . Kali ini kita melakukan peritungan pendekatan !e(ara numerik dengan &antuan komputer.
Karena %ang akan kita itung adala lua! antara kura dan !um&u#' maka &agian kura %ang &erada di &a7a !um&u# aru! diitung !e&agai po!iti). 8ika kita mengam&il nilai 4 <'1 maka rentang ; G G ; akan ter&agi dalam C< !egmen. Peritungan menga!ilkan
Error %ang ter"adi adala !ekitar <'1. 8ika kita mengam&il 4 <'< maka rentang ; G G ; akan ter&agi dalam 10< !egmen. Peritungan menga!ilkan
Error %ang ter"adi adala !ekitar <'<0. 8ika kita ma!i mau menerima a!il peritungan dengan error <'0' maka a!il pendekatan numerik !e&e!ar J'C (ukup memadai. Peritungan numerik di ata! dilakukan dengan mengitung lua! !etiap !egmen !e&agai a!ilkali nilai minimum ataupun nilai mak!imum ma!ing#ma!ing !egmen dengan . Satu alternati) lain untuk mengitung lua! !egmen adala dengan meliatn%a !e&agai !e&ua trape!ium. Lua! !etiap !egmen men"adi Asegmen = ( f (xk min ) f (xkmaks)) ∆ x / 2 Peritungan pendekatan numerik ini kita lakukan dengan &antuan komputer. Kita &i!a meman)aatkan program aplika!i %ang ada' ataupun menggunakan !pread !eet "ika )ung!i %ang kita adapi (ukup !ederana.
