TUGAS MODUL 1 KB 2 KOMBINATORIKA
NAMA: MUNAJIB
USERNAME: 18106018010058
PPG DALAM JABATAN FKIP UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA
KOMBINATORIKA
1. Ekspansikan dengan teori Binomial Newton: a)
(1)− Jawab:
∞
b)
(1,). = ∞ (1)(11,). = ∞ (1)(,). = 1 ⋯ (1)− Jawab:
∞
c)
(2,). = ∞ (1)(21,). = ∞ (1)(1,). = 123 4 5 ⋯ (1)− Jawab:
∞
(3,). = ∞ (1)(31,). ∞= (1)(2,). = 136 10 15 ⋯
2. Tentukan Koefisien
dalam ekspansi
(23)
.
Jawab:
(23) − (−)− −(−)− −(−)− −− diketahui n =150
Rumus suku ke-k
sehingga sama dengan
Sehingga k-1 = 49, maka k =50.
Dari persamaan diketahui bahwa nilai k = 50 sehingga bentuk
(23) −(−)− (2)−(−)(3)− − (2)(3) 2(3) 2(3) 2(3) 150! 2(3) 101!49! ke 50. Maka suku ke 50 dari
adalah suku
. Diperoleh dengan:
= = =
Dari bentuk di atas dapat diketahui bahwa keofiesien dari
adalah:
3. Diketahui multiset A={4.a, 3.b, 2.c} dan B={2.a, 3.b, 4.c}. Tentukan
∩ {4.,3.,4.} ∪ {2.,3.,2.} {2.} − .
Jawab:
a.
b. c.
∪
, ∩ ,
4. Tentukan solusi relasi rekursif:
32
2− − 2−
dengan
9, 10,
Jawab:
2− − 2− 2 20
, persamaan karakteristiknya adalah:
Dicari akar-akar persamaan karakteristik dengan cara faktorisasi:
2 20 ( 2).(1)0 (2).(1).(1)0 1, 1, 2 .(1) .(1) .(2)
Dengan demikian bentuk solusinya sebagai berikut:
Dengan kondisi awal yang diberikan diperoleh:
.(1) .(1) .(2) 9 .1.1.19 9 .(1) .(1) .(2) 10 .(1).1.210 2 10 .(1) .(1) .(2) 32 .1.1.432 4 32 .(1) .(1) .(2) 103 .(1) (2).(1) 233 .(2)
……………... (1)
………….. (2)
…………… (3)
maka
Maka solusi homogennya adalah
.(1) 2.(1) .(2)
5. Tentukan solusi relasi rekursif:
− −
dengan
0, 1
Jawab:
− −
, persamaan karakteristiknya adalah:
10
Dicari akar-akar persamaan karakteristik dengan menggunakan rumus abc sehingga hasilnya adalah:
5 1√ 5 1√ 2 2
Dengan demikian bentuk solusinya sebagai berikut:
1√ 5 1√ 5 . 2 . 2
Dengan kondisi awal yang diberikan diperoleh:
+ − √ √ . . 0
. 1.10 0
………. (1)
+ − √ √ . . 1
5 . 1√ 5 1…………(2) . 1√ 2 2
diperoleh
√ 5 √ 5 dan
, disubstitusi ke persamaan solusi:
1√ 5 1√ 5 . 2 . 2 1 1 1√ 5 1√ 5 5 √ 5. 2 ( 5 √ 5). 2 Maka persamaan solusinya adalah:
1 1√ 5 1 1√ 5 5 √ 5. 2 5 √ 5. 2
6. Tentukan fungsi pembangkit dari barisan: 0,2,2,2,2,2,2,0,0,0,0,0,... dan sederhanakan. Jawab:
() 022 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2(1 ) 1 () 2 1 7. Tentukan barisan dari fungsi pembangkit berikut ini: a. b.
(13)− (1)−
Jawab:
a.
(13)− ∑∞= (1,).(3) ∞ (1) (11,).(3) = 13(3) (3) (3) … 139 27 81 … 1,3,9,27,81,… (1)− ∑∞= (1,). ∞ (1). (1,). = 123 4 5 … 1,2,3,4,5,… Maka barisan dari fungsi pembangkit ini adalah :
b.
Maka barisan dari fungsi pembangkit ini adalah :
