1. SUB RING dari dar i suatu suat u RING Definisi 13.1.1:
Suatu himpunan bagian tak kosong S dari suatu gelanggang R dikatakan sub ring dari R jika S adalah suatu ring relatif terhadap kedua operasi biner yang didefinisikan didefinisikan atas R.
Teorema 13.1.2:
Suatu himpunan bagian tak kosong S dari suatu ring R adalah subring dari R jika dan hanya jika S memenuhi tiga aksioma: (1) 0 ∈ S (2) ∀ x,y ∈ S, maka x – y ∈ S (3) ∀ x,y ∈ S, maka xy ∈ S Bukti: I. Akan dibuktikan jika suatu himpunan bagian tak kosong S dari suatu ring R adalah subring dari R, maka memenuhi aksioma: (1) 0 ∈ S (2) ∀ x,y ∈ S, maka x – y ∈ S (3) ∀ x,y ∈ S, maka xy ∈ S S merupakan subring dari R, berarti S memenuhi sifat-sifat ring. 1. Pada Pada sifa sifatt ident identita itass berla berlaku ku (∀a ∈ S )(∃e ∈ S ) ∋ a + e = e + a = a Dari sifat diatas, dipenuhi e ∈ S dan karena e = 0 → 0 ∈ S 2. Pada Pada sifa sifatt inve invers rs berl berlak aku, u, (∀ x, y ∈ S )(∃ − x,− y ∈ S ) ∋ x + ( − x) = ( − x ) + x = e dan y + ( − y ) = (− y ) + y = e
Dari sifat diatas, diperoleh x,− y ∈ S , maka menurut sifat tertutup berlaku x + ( − y ) = x − y ∈ S
3. Karena Karena subr subring ing biner biner terha terhadap dap perk perkalia alian, n, maka maka (∀ xy ∈ S ) berlaku xy = yx ∈ S (∀ xy ∈ S ) maka xy ∈ S
II. Jika S merupakan himpunan bagian tak kosong dari R dan memenuhi ketiga aksioma diatas, maka S adalah subring dari R. 1. 0 ∈ S, karena 0 = e, maka e ∈ S Sehingga didapat ∀ x ∈ S , ∃e ∈ S ∋ x + e = e + x = x (sifat identitas terpenuhi) 2. S ⊆ R, artinya setiap anggota S merupakan anggota R. Jika a,b,c ∈ S, maka a,b,c ∈ R. Karena R merupakan ring, maka a,b,c pastilah memenuhi sifat ring. Maka berlaku: - ∀a, b, c ∈ S berlaku (a+b)+c=a+(b+c) Sifat assosiatif terpenuhi - ∀a, b ∈ S berlaku a+b=b+a Sifat komutatif terpenuhi - ∀a, b, c ∈ S berlaku (a.b)c=a(b.c)
Sifat
assosiatif perkalian terpenuhi
- ∀a, b ∈ S berlaku a(b+c)=ab+bc dan (a+b)c=ac+bc
sifat distributif
terpenuhi 3. ∀0, a ∈ S, maka menurut aksioma (2) 0 – a = -a ∈ S sifat invers terpenuhi 4. Karena sifat invers terpenuhi, maka ∀ a,b ∈ S, ∃ (-a)(-b) ∈ S. Dari uraian diatas (a),(-b) ∈ S, maka menurut aksioma (2), a-(-b)=a+b ∈ S (sifat tertutup terpenuhi) Dari 1,2,3,4, disimpulkan S merupakan subring dari R.
Contoh: Diketahui
a c ; a , b , c , d R ∈ . b d
R =
bahwa
Buktikan
bahwa
a 0 ; a , b R ∈ merupakan subring dari R. 0 b
S =
Jawab: S merupakan himpunan bagian tak kosong dari R dan S memiliki unsur identitas
0 0 . 0 0
relatif terhadap operasi penjumlahan, yaitu
a1
0
a2
0
0
b1
0
b2
Ambil unsur A1 =
a1
A1 – A2 =
0
0 a 2 - b1 0
dan A2 = 0
a1 − a 2
b2
=
0
∈ S, maka
∈S b1 − b2 0
Dan
a1 0 A1. A2 = 0 b1
0 a 2 0 a1 .a 2 0 b = 0 ∈S b . b 2 1 2
Jadi, S adalah subring dari R.
2. IDEAL dari suatu RING Definisi 13.2.1:
Suatu subring N dari suatu ring R dikatakan ideal kiri dari R jika untuk setiap r ∈ R dan setiap n∈ N, berlaku rn∈ N. Sebaliknya subring N dari ring R dikatakan ideal kanan dari R jika untuk setiap r ∈ R dan n ∈ N, berlaku nr ∈ N. Selanjutnya subring N dikatakan ideal dari R bila N adalah ideal kiri dan sekaligus ideal kanan dari R, artinya untuk setiap r ∈ R dan setiap n∈ N, rn dan nr keduanya berada di N
Teorema 13.2.2:
Andaikan R adalah suatu ring. Suatu himpunan bagian tak kosong N dari R dikatakan ideal dari R jika N memenuhi: (1) ∀ a,b ∈ N, diperoleh a – b ∈ N (2) ∀ n ∈ N dan ∀ r ∈ R, rn dan nr berada di N
Bukti: Andaikan N adalah himpunan bagian tak kosong dari ring R yang memenuhi aksioma (1) dan (2), maka akan ditunjukkan N adalah subring dari R. N merupakan himpunan tak kosong artinya N memiliki minimal 1 anggota, misalkan x. Maka x ∈ N (*) x ∈ N , maka x – x ∈ N (sesuai dengan teorema 13.1.2 aksioma (2)) (**) x ∈ N , maka x – x = 0∈ N (sesuai dengan teorema 13.1.2 aksioma (1)) (***) ∀ x, y ∈ N , artinya 1. x ∈ N 2. y ∈ N , karena N ⊆ R maka y ∈ R Dari x ∈ N dan y ∈ R sesuai teorema 13.2.2, xy dan yx berada di N . Sama artinya xy ∈ N . Maka disimpulkan x,y ∈ N dan xy ∈ N (sesuai teorema 13.1.2 aksioma (3)).
Dari (*), (**), (***) disimpulkan N merupakan subring dari R. Karena N subring dari R dan untuk setiap n ∈ N, r ∈ R, berlaku rn dan nr berada di N . Disimpulkan bahwa N ideal dari R. Catatan: Ideal kiri dan ideal kanan dari suatu ring akan sama bila ring tersebut adalah ring komutatif. Contoh: Diketahui
bahwa
p q ∈ ; , , , R = p q r s Z . r s
Buktikan
bahwa
a 0 ; a , b Z ∈ merupakan ideal dari N . 0 b
N = Jawab:
0 N merupakan himpunan tak kosong dari R, berarti 0
a1 0
0 a 2 - b1 0
0
a1
0
a 2
0
0
b1
0
b2
0
a1 − a 2
b2
Ambil unsur sebarang A1 =
A1 – A2 =
0
dan A2 =
=
0
∈ N
∈ N , maka
∈ N b1 − b2 0
p q a Selanjutnya, ambil sebarang unsur B = dan A = R ∈ 0 r s sebarang unsur di N , maka
p q a B.A = r s 0
0
pa qb = ra sb b
∉ N
Berarti N bukan ideal kiri dari R.
a 0 p q ap aq = 0 b r s br bs
A.B =
Berarti N bukan ideal kanan dari R. Maka, N bukan ideal dari R.
Teorema 13.2.6:
∉ N
0
adalah
b
Andaikan a adalah satu unsur di dalam ring komutatif R. Himpunan N = {ra :r ∈ R} adalah suatu ideal dari R. Selanjutnya, bila M adalah suatu ideal yang memuat unsur a, maka N ⊆ M . Bukti: N merupakan himpunan tak kosong. Untuk sebarang r 1a, r 2a ∈ N , diperoleh r 1a - r 2a = (r 1 - r 2 )a. Karena r 1 ,r 2 ∈ R, maka r 1- r 2 ∈ R. Hal ini berakibat r 1a- r 2a = (r 1-r 2 )a ∈ N. Selanjutnya, N = {ra :r ∈ R}, dari himpunan ini diperoleh ra ∈ N dimana r ∈ R. Ambil sebarang x ∈ R dan r ∈ R, maka xr ∈ R sehingga x(ra) = (xr)a ∈ N ( ra ∈ N). Maka N merupakan ideal kiri dari R. Karena R adalah suatu ring komutatif, maka N juga ideal kanan dari R. Jadi, N adalah suatu ideal dari R. Andaikan M adalah sebarang ideal dari R dan memuat unsur a, maka a ∈ M . Karena r ∈ R dan a ∈ M sehingga diperoleh ra∈ M . Karena ra∈ N dan ra∈ M , maka disimpulkan N ⊆ M .
Definisi 13.2.7:
Ideal N yang disefinisikan pada teorema 13.2.6 disebut sebagai ideal prinsipal yang dibangun oleh unsur a. Suatu ring demikian sehingga semua idealnya adalah ideal prinsipal disebut sebagai ring ideal prinsipal.
Contoh: Ring R adalah Z 6 = {0,1,2,3,4,5}, dengan N = {ra :r ∈ R}. N 0 = {r.0 :r ∈ R}={0} N 1 = Z 6 = {r.1 :r ∈ R}={0,1,2,3,4,5} N 2 = {r.2 :r ∈ R}={0,2,4} N 3 = {r.3 :r ∈ R}={0,3} Hal ini berarti, N 0 , Z 6 , N 2 , dan N 3 adalah ideal dari Z 6 . Maka Z 6 adalah ring ideal prinsipil.
Definisi 13.2.10:
Suatu ideal sejati N dari ring R dikatakan ideal prima jika untuk semua x,y∈ R dengan xy∈ N, maka x ∈ N atau y ∈ N. Selanjutnya suatu ideal sejati N dari R dikatakan ideal maksimal dari ring R, bila untuk setiap ideal M di R berlaku hubungan M ⊆ N ⊆ R .
Contoh: Suatu ring R adalah ring bilangan bulat modulo Z 12 . Ideal sejati dari Z 12 adalah {0,2,4,6,8,10}, {0,3,6,9}, {0,4,8}, {0,6}. Sehingga {0,2,4,6,8,10} dan {0,3,6,9} adalah ideal maksimal dari Z 12. Ideal N ={0,2,4,6,8,10} dan N 1 ={0,3,6,9} adalah suatu ideal prima, karena untuk setiap x,y ∈ Z 12 dengan xy ∈ N , maka
x ∈ N
atau y ∈ N . Tetapi
N 2 = {0,4,8} dan N 3 ={0,6} bukan ideal prima karena 2.2 = 4 tetapi 2 ∉ N 2 , dan 2.3 = 6 tetapi 2 ∉ N 3 dan 3 ∉ N 3
Teorema 13.2.13:
Andaikan R adalah suatu ring dengan unsur kesatuan 1. Jika N adalah suatu ideal dari R yang mengandung unsur satuan, maka N = R. Bukti: Misalkan a ∈ N , karena N adalah ideal dari R yang mengandung unsur kesatuan, maka terdapat a −1 ∈ N . N ⊆ R , artinya setiap anggota N merupakan anggota R, maka a −1 ∈ R . Karena N adalah suatu ideal, maka a −1 .a = 1∈ N . 1 ∈ N
dan r ∈ R , maka sesuai definisi 13.2.1, diperoleh bahwa r .1 = r ∈ N. Karena r ∈
R dan r ∈ N, artinya N dan R adalah ring dengan unsur kesatuan yang sama. N = R.
Sebagai akibat langsung dari teorema 13.2.13, kita peroleh sebagai berikut: Akibat 13.2.14:
Jika F adalah suatu field, maka F tidak mempunyai ideal sejati. Bukti: (*) Misalkan N adalah sebarang ideal dari field F . Jika N = {0}, maka N adalah ideal tak sejati dari F . (**) Misalkan N ≠ {0}, karena F adalah suatu field dan N adalah sebarang ideal dari F , maka setiap n ∈ N dengan n ≠ 0 adalah suatu unsur satuan. Berdasarkan teorema 13.2.13, maka N = F. Dari (*) dan (**) diperoleh bahwa F tidak mempunyai ideal sejati.
