Makalah matakuliah Matematika Matematika Ekonomi APLIKASI HITUNGAN DIFERENSIAL LANJUTAN DALAM ILMU EKONOMI
Dosen Pembimbing : Dr. Mulyono, Mulyono, M.Si
Oleh :
KELOMPOK 4 Rosmawaty Simatupang
8176171027
Siti Rukmana Yus
8176171030
Novia Eka Putri
8156171055
KELAS A2
PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN (UNIMED) 2017
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim….
Alhamdulillahirrabbil’alamin, puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan inayah Nya kami dapat menyelesaikan makalah mata kuliah “Matematika Ekonomi” ini dengan judul “Aplikasi Hitungan Diferensial Lnjutan Dalam Ilmu Ekonomi”. Sholawat dan salam penulis haturkan kepada junjungan Nabi besar kita, Muhammad SAW, beserta keluarga dan tabi’an sekalian. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dosen Dr. Mulyono, M.SI selaku pembimbing kuliah Matematika Ekonomi yang telah membimbingdalam mata kuliah ini. Terima kasih tak terhingga penulis sampaikan kepada pihak yang telah membantu dan memberi dukungan hingga makalah ini terselesaikan. Juga kepada semua rekan dan sahabat yang tidak dapat kami sebutkan secara langsung. Hadirnya makalah ini, besar harapan kami dapat memberi kontribusi untuk semua pihak, terutama para pendidik sehingga dapat memberikan manfaat dalam aplikasi di lapangan. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan dan masih bergelimang kekurangan, baik dalam tulisan maupun materi yang tercantum di dalamnya. Untuk itu kritik dan saran demi perbaikan dan kesempurnaan hasil makalah ini sangat kami harapkan. Semoga hasil makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan penulis khususnya.
Medan, 4 November 2017 Penulis,
Kelompok 4
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .............................................. ...................................................................... i DAFTAR ISI .................................................................................................................................. ii BAB I PENDAHULUAN
Latar Belakang Masalah ...............................................................................................................1 Permasalahan ................................................. ...............................................................................1 Tujuan Penulisan ..........................................................................................................................1 Manfaat Penulisan ........................................................................................................................2 BAB II PEMBAHASAN
1. Permintaan marjinal dan Elastisitas Permintaan Parsial .......................................................... 3 2. Perusahaan dengan Dua Macam Produk dan Biaya Produksi Gabungan ............................. 5 3. Utilitas Marjinal Parsial dan Keseimbangan Konsumsi ........................................................... 7 4. Produk Marjinal Parsial dan Keseimbangan Produksi ........................................................... 10 BAB III KESIMPULAN
Kesimpulan.................................................................................................................................14 DAFTAR PUSTAKA ............................................... ....................................................................15
ii
BAB I PENDAHULUAN
1. Latar Belakang Masalah
Analisis tingkat perubahan ini sangatlah diperlukan dalam penerapan ekonomi dan bisnis, karena nilai dari variabel-variabel ekonomi dan bisnis ini setiap saat dapat berubah-ubah dan/ atau dapat berubah-ubah oleh analis (ekonom) sesuai dengan situasi yang diperlukan. Kalkulus terdiri dari dua bidang studi yaitu kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Kalkulus diferensial mempelajari tingkat perubahan rata-rata atau tingkat perubahan seketika dari suatu fungsi. Penerapan konsep kalkulus diferensial dalam bidang ekonomi dan bisnis biasanya untuk membandingkan perubahan dari suatu keseimbangan lama ke suatu keseimbangan baru. Pada analisis perubahan keseimbangan ini dalam ilmu ekonomi dana bisnis sering kita sebut sebagai “analisis statis komparatif”. Berdasarkan penjelasan tersebut dapat kita ketahui bahwa kalkulus sangat berperan dalam bidang ekonomi. Pada saat ini akan dibahas materi kalkulus mengenai fungsi dua peubah atau lebih, turunan parsial fungsi dua dan tiga peubah, turunan parsial, nilai ekstrim maksimum, nilai ekstrim minimum, titik belok dan elastisitas parsial. Materi kalkulus tersebut nantinya sangat berperan dalam penerapan bidang ekonomi. Maka dari itu materi ini akan dibahas oleh penulis.
2. Permasalahan
Berdasarkan permasalahan yang telah dipaparkan, maka dalam makalah ini penulis akan mengangkat tentang: 1. Bagaimana fungsi dua peubah atau lebih? 2. Bagaimana turunan parsial, turunan parsial fungsi dua dan tiga peubah? 3. Bagaimana nilai ekstrim maksimum, nilai ekstrim minimum, titik belok dan elastisitas parsial?
3. Tujuan Penulisan
Penulisan makalah ini bertujuan untuk untuk mengetahui bagaimana memahami penerapan/aplikasi hitungan diferensial lanjutan di dalam ilmu ekonomi.
1
4. Manfaat Penulisan
Adapun yang menjadi manfaat penulisan makalah ini adalah untuk menambah wawasan pengetahuan tentang aplikasi hitungan diferensial lanjutan dalam ilmu ekonomi.
2
BAB II ISI
Pendekatan diferensiasi parsial sangat bermanfaat untuk diterapkan dalam model-model ekonomi yang mengandung lebih dari salah satu variabel bebas terhadap variabel terikatnya.
1. Permintaan marjinal dan Elastisitas Permintaan Parsial
Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaanya, maka permintaan akan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua macam barang tersebut. Dengan perkataan lain jika barang A dan barang B mempunyai hubungan penggunaan, maka : Qda = ƒ(Pa, Pb) dan Qdb = ƒ(Pa, Pb)
Derivatif pertama dari Qda dan Qdb adalah fungsi-fungsi permintaan marjinalnya, di mana :
adalah Permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pa
adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan P b
adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pa
adalah permintaan marjinal akan berkenaan B dengan P b Dengan dapat diturunkannya fungsi permintaan marjinal tersebut, dapatlah dihitung
elastisitas permintaan parsialnya. Dalam hal ini terdapat dua macam elastisitas permintaan, yaitu elastisitas yang mengukur kepekaan perubahna permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga barang itu sendiri (elastisitas harga-permintaan), dan elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaaan perubahan harga barang lain (elastisitas silang permintaan). η = η = η = η =
% ∆ Qda % ∆ Pa % ∆ Qdb % ∆ Pb % ∆ Qda % ∆ Pb % ∆ Qdb % ∆ Pa
= = = =
Qda Pa
=
Qdb Pb Qda Pb Qdb Pa
Qda
= = =
Pa
.
Qdb Pb Qda Pb Qdb Pa
Pa Qda
.
Pb Qdb
.
Pb Qda
.
Pa Qdb
3
ηda dan ηdb keduanya merupakan elastisitas harga-permintaan. Sedangkan ηab dan η ba keduanya adalah elastisitas silang permintaan. Jika baik ηab maupun η ba keduanya negatif (ηab < 0 dan η ba
< 0 ) untuk Pa dan P b tertentu, berarti hubungan antara barang A dan barang B adalah komplementer atau saling melengkapi ; sebab penurunan harga salh satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas keduanya. Sedangkan jika baik ηab maupun η ba keduanya positif (ηab >
0 dan η ba > 0) untuk Pa dan P b tertentu, berarti hubungan antara barang A dan barang B adalah kompetitif/ substitusif atau saling menggantikan; sebab penurunan harga salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan penurunan permintaan atas barang lainnya.
Contoh Soal :
fungsi permintaan akan barang A dan barang B masing-masing ditunjukkan oleh Qda . .
– 1 = 0 Qdb . .P b – 1 = 0.Berapa elastisitas permintaan masing-masing barang dan bagaimana hubungan antara kedua barang tersebut ?
Qda . . - 1 = 0 Qda =
. .
Qda =P
Qdb . . P b – 1 = 0 Qdb =
− .
P
−
Qdb = P
= -2 P − . P − = -3 P
η =
η = η = η =
− .
.
. . .
.
P
−
− = -2 P − .P
− = - P − . P . − = -3 P − .P .
=
-3 P
− .
P
.
.
− .
P
=P
− − . P −
= 3 P − .P = -2
= 1
.
= 3
.
− . .
= 3
4
−
Barang A adalah barang elastis karena ηda > 1. Sedangkan B adalah barang yang unitaryelastic karena ηdb = 1. Adapun hubungan antara A dan B adalah bersifat komplementer karena ηab < 0 dan η ba < 0.
2. Perusahaan dengan Dua Macam Produk dan Biaya Produksi Gabungan.
Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan
biaya yang
dikeluarkannya untuk memproduksi kedua macam produk itu merupakan biaya produksi gabungan (joint production cost), maka penghitungan keuntungan maksimum yang diperolehnya dapat diselesaikan dengan pendekatan differensiasi parsial. Dengan metode serupa, pendekatan ini dapat pula digunakan untuk menganalisis kasus perusahaan yang menghasilkan lebih dari dua macam produk dan biaya produksinya juga merupakan biaya produksi gabungan. Andaikan sebuah perusahaan memproduksi dua macam barang, A dan B, dimana fungsi permintaan akan masing-masing barang dicerminkan oleh Qa dan Q b , serta biaya produksinya C = f (Qa , Q b ), maka Penerimaan dari memproduksi A : R a = Qa , Pa = f(Qa ) Penerimaan dari memproduksi B : R b = Q b . P b = f(Q b) Penerimaan total : R = R a + R b = f(Qa ) + f(Q b) Dengan biaya total C = f(Qa , Q b), fungsi keuntungannya:
= R – C = f(Qa ) + f(Q b) - f(Qa , Q b) = g(Qa , Q b) maksimum bila ′ = 0. (1) Qa = (2) Qb =
=0 =0
Dari (1) dan (2) nilai Qa dan nilai Q b dapat diperoleh. Selanjutnya nilai maksimum bisa dihitung.
5
Contoh Soal :
Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam barang, A dan B, ditunjukkan oleh C = Qa2 + 3 Q b2 + Q a . Q b .Harga jual masing-masing barang perunit adalah Pa = 7 sedangkan P b = 20.Hitunglah berapa unit masing-masing barang harus diproduksi agar keuntungannya maksimum dan besarnya keuntungan maksimum tersebut. R a = Qa.Pa =7 Qa
R = R a + R b = 7 Qa + 20 Q b
R b = Q b.P b =20 Q b
= R – C = 7 Qa + 20 Q b – Qa2 - 3 Q b2 - Qa - Q b Agar maksimum, ′ = 0 (1) (2)
= 0→ 7 – 2 Qa - Q b = 0 = 0 → 20 – 6 Q b – Qa = 0
Dari (1) dan (2) diperoleh Qa = 2 dan Q b = 3
maksimum = 7 Qa + 20 Q b – Qa2 - 3 Q b2 - Qa . Q b = 7 (2) + 20(3) - (2) 2 – 3 (3)2 – (2)(3) =37 Jadi agar keuntungan maksimum, perusahaan harus memproduksi 2 unit A dan 3 unit B dengan keuntungan sebesar 37. Kasus dimana perusahaan memproduksi lebih dari satu macam barang dengan biaya produksi gabungan,
dapat
pula
diselesaikan
melalui
nilai-nilai
marjinalnya;
yakni
dengan
memformulasikan penerimaan marjinal amsing-masing barang sama dengan biaya marjinal barang yang bersangkutan, MR = MC. Berkenaan dengan soal tadi, maksimum akan diperoleh bila: MR a = MCa dan MR b = MCb
R = 7 Qa + 20 Q b
C = Qa2 + 3 Q b2 + Qa . Q b
MR a = R a’ = 7
MCa= Ca’ = 2 Qa + Q b
MR b = R b’ = 20
MC b= C b’ = 6 Q b + Qa
6
MR b = MCa → 7 = 2 Qa + Q b → 7 - 2 Qa - Q b = 0
………………………..(1)
MR b = MC b → 20 = 6 Q b + Qa → 20 - 6 Q b - Qa = 0
………………………..(2)
Dari (1) dan (2), Qa = 2 dan Q b = 3, selanjutnya = 37.
3. Utilitas Marjinal Parsial dan Keseimbangan Konsumsi
Dalam kenyataan sehari-hari, seorang konsumen tidak hanya mengkonsumsi satu macam barang tetapi berbagai macam.Jika kepuasan konsumen dilambangkan dengan U dan barang barang yang dikonsumsinya dilambangkan dengan q1 (i = , 2, ....., n), mak fungsi utilitas dapat dituliskan dengan notasi U = f(q1, q2, q3, ......qn). Seandainya untuk penyederhanaan dianggap bahwa seorang konsumen hanya mengkonsumsi dua macam barang, katakanlah X Dan Y , maka fungsi utilitasnya adalah : U = f(x,y)
Derivatif pertama dari U merupakan utilitas marjinal parsialnya.
adalah utilitas marjinal berkenaan dengan barang X adalah utilitas marjinal berkenaan dengan barang Y
Untuk U = konstanta tertentu, fungsi utilita U = f(x,y) merupakan suatu persamaan kurva indiferensi, yaitu kurva yang menunjukkan berbagai kombinasi konsumsi barang X dan Y yang memberikan tingkat – tingkat kepuasan yang sama. Keseimbangan konsumsi .
Keseimbangan konsumsi maksudnya dalah suatu keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa macam barang yang memberikan kepuasan optimum. Secara geometri, Keseimbangan konsumsi terjadi pada persinggungan kurva indiferensi dengan garis anggaran konsumen. Garis anggaran adalah garis yang mencerminkan kemampuan konsumen membeli berbagai amcam abrang berkenaan dengan harganya masing-masing dan pendapatan konsumen. Jika pendapatan konsumen berjumlah M serta harga barang X dan barang Y masing-masing Px dan Py per unit, Persamaan budget line-nya dapat dituliskan dengan notasi M = x.Px + y.Py .
7
Tingkat kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum atau keseimabangan konsumsi dapat dicari dengan Metoda Lagrange. Dalam hal ini, fungsi utilitas U = f(x,y) dimaksimumkan terhadap fungsi anggaran M = x.Px + y.Py. Analog dengan penyelesaian keseimbangan produksi sebagaimana diuraikan pada seksi sesudah ini, diperoleh fungsi baru Lagrange: F(x,y) = F(x,y) + (x.Px + y.Py – M) Agar F maksimum : Fx (x,y) = 0 → Fx (x,y) + Px = 0……………………………………(1) Fy (x,y) = 0 → Fy (x,y) + Py = 0……………………………………(2) Selanjutnya Utilitas total
: U = f(X,Y)
Utilitas marjinal
: MU =U’ = f’(X,Y)
(i) Utilitas marjinal barang X : MUx = f x(X,Y) (ii) Utilitas marjinal barang Y : MUy = f y(X,Y) (,)
Menurut (1) : f x(X,Y) + λ Px = 0 →λ =
(,)
Menurut (2) : f y(X,Y) + λ Py = 0 →λ =
Dari (1) dan (2),
(,)
=
=
(, )
Jadi dalam rumusan lain dapat pula dinyatakan, bahwa keseimbangan konsumsi akan tercapai apabila hasil bagi utilitas marjinal masing-masing barang terhadap harganya b ernilai sama.
8
Contoh Soal :
Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi barang X dan Y ditunjukkan oleh persamaan: U = x2y3 Jumlah pendapatan konsumen Rp 1000 dan harga barang X dan Y adalah Rp 25 dan Rp 50 a.
Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang
b.
Berapakah utilitas marjinal jika konsumen mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?
c.
Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y konsumen memaksimumkan utilitasnya? Jika tidak, carilah kombinasi barang X dan Y akan memberikan tingkat kepuasan
d.
optimum Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang a. U = x2y3 MUx = Ux =
=2xy3
MUy = Uy =
=3x2 y2
b. Jika x = 14 dan y = 13, MUx = 2(14)(13)2 = 61.516 MUy = 3 (14)2(13)2 = 99.372
25
=
c.
61.516
=
99.372 50
≠
= 2.460,64 = 1.98744
Maka kombinasi konsumsi 14 unit X dan 13 unit Y tidak memberikan kepuasan
optimum, sehingga tidak terjadi keseimbangan konsumsi. d.
MU x
MU y
P x
y
2
3
3 x
2
3 x y
2
4 x
3
3 x
25
P y
2 2 xy
y 3
2 xy
2
4 xy
2
y
2
50 3
2
3 x y
2
3
y x 4
9
Kombinasi X dan Y yang memaksimumkan utilitas Subtitusi nilai y = ¾ x kedalam persamaan λ : x = 16, maka
3 y
4
L
25 x 50 y 1000 0
3 x 1000 0 x 16 4
25 x 50
16 y 12
Utilitas maksimum :
u
2
x y
16 12 2
3
3
442368
4. Produk Marjinal Parsial dan Keseimbangan Produksi
Untuk memproduksi suatu barang pada dasarnya diperlukan beberapa macam faktor produksi seperti tanah, modal, tenaga kerja, bahan baku, mesin-mesin dan sebagainya. Jika jumlah keluaran yang dihasilkan dilambangkan dengan P dan masukan yang digunakan dilambangkan dengan x j/ (I = 1,2,…., n), maka fungsi produksinya dapat dituliskan dengan notasi P = f(x1,x2,x3,……,xn). Sebagian dari masukan yang digunakan sudah barang tertentu merupakan masukan tetap, sementara sebagian lainnya adalah masukan variabel. Selanjutnya jika untuk memproduksi suatu barang dianggap hanya ada dua macam masukan variabel (katakanalah K dan L), maka fungsi produksinya secara pasti dapat dinyatakan dengan
U = f(k,l)
Derivatif pertama dari P merupakan produk marjinal parsialnya.
adalah produk marjinal berkenaan dengan masukan K adalah produk marjinal berkenaan dengan masukan L
Untuk P = konstanta tertentu, fungsi produksi P = f(k,l) merupakan suatu persamaan isoquant, yaitu kurva yang menunjukkan berbagai kombinasi penggunaan masukan K dan L yang menghasilkan keluaran dalam jumlah sama. Keseimbngan Produksi
Keseimbangan produksi maksudnya ialah suatu keadaan atau tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktor produksi secara optimum, yaitu suatu tingkat pencapaian produksi 10
dengan kombinasi biaya terendah (least cost combination). Secara geometri , keseimbangan produksi terjadi pada persinggungan isocost dengan isoquant . Isocost adalah kurva yang mencerminkan kemampuan produsen membeli berbagai macam masukan berkenaan dengan harga masing-masing masukan dan jumlah dana yang dimilikinya. Jika jumlah dana yang dianggarkan untuk membeli masukan K dan L adalah sebesar M , serta harga masukan K dan masukan L masing-masing Pk dan Pl, Persamaan isocot-nya dapat ditulis dengan notasi M=k. P k + l. P l Tingkat kombinasi penggunaan masukan yang optimum atau “least cost combination” dapat dicari dengan metoda Lagrange. Dalam hal ini fungsi produksi P=f(k,l) dimaksimumkan terhadap fungsi isocost M=k. P k + l. P l Fungsi tujuan yang hendak dioptimumkan
: P = f(k,l)
Fungsi kendala yang dihadapi
: M=k. P k + l. P l k. P k + l. P l - M = 0
Funsi baru lagrang : F(k,l) = f(k,l) + (k. P k + l. P l - M) Syarat yang diperlukan agar F(k,l) maksimum : Fk (k,l) = 0 → Fk (k,l) + Pk = 0……………………………………(1) Fl (k,l) = 0 → Fl (k,l) + Pl = 0……..………………………………(2) Dari (1) dan (2) nilai k dan l dapat diperoleh. Selanjutnya nilai P maksimum bsa di hitung. Sekarang perhatikan : Produksitotal : P = f(k , l)
(i) produk marjinal masukan K: MPk = f(k , l) =
(ii) produk marjinal masukan L: MPL = f(k , l) =
Pengembangan lebih lanjut persamaan (1) dan (2) diatas akan menghasilkan : (,)
1. f k (k,l) + λ Pk = 0 → f k (k,l) = - λ Pk
λ =
2. f l (k,l) + λ Pl = 0 → f l (k,l) = - λ Pl
λ =
(,)
11
Dengan demikian, syarat keseimbangan produksi dapat dirumuskan :
(,) (,) =
=
Jadi dalam rumusan lain dapat pula dinyatakan, bahwa produksi optimum dengan kombinasi biaya terendah akan tercapai apabila hasil bagi produk marjinal masing-masing masukan terhadap harganya bernilai sama.
Contoh Soal : Seorang produsen mencadangkan 96 rupiah untuk membeli masukan K dan masukan L. Harga per unit masukan K adalah 4 rupiah dan masukan L adalah 3 rupiah. Fungsi produksinya P=12kl. Berapa unit masing-masing masukan seharusnya ia gunakan agar produksinya otptimum, dan berapa unit keluaran yang dihasilkan dari kombinasi tersebut? Fungsi produksi yang hendak di optimumkan
: P = f(k,l) = 12 kl
Fungsi isocost yang menjadi kendala
: M = k.Pk + l.Pl 96 = 4k + 3l 96 – 4k – 3l = 0
Fungsi Lagrange : f (k,l) = 12 kl + (96 – 4k – 3l ) = 12 kl + 96 - 4 - 3 Agar F maksimum, Fk = 0 dan Fl = 0 Fk (k,l) = 12l - 4 = 0 → = 3
3l = 4l
Fl (k,l) = 12k - 3 = 0 → = 4
96 = 4k + 3l 96 = 4k + 4k – 96 = 8k → k =12 L = 4/3 (12) = 16 12
P = 12 l = 12(12)(16) = 2304 Jadi agar produksinya optimum seharusnya digunakan kombinasi 12 unit K da 16 unit L dengan hasil produksi 2304 unit.
13
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan Matematika adalah satu alat untuk menyerdehanakan penyajian dan pemahaman suatu masalah
dengan menggunakan bahasa matematika, penyajian suatu maslah menjadi lebih
sederhana sehingga mudah untuk dipahami, dianalisis serta di pecahkan. Didalam ilmu ekonomi yang berkembang dengan pesat, berbagai konsep matematika digunakan sebagai alat analisis salah satu konsepnya diantaranya diferensial lanjutan. Aplikasi hitungan diferensial lanjutan dalam ilmu ekonomi seperti: 1. Permintaan marjinal dan elastisitas permintaan parsial 2. Perusahaan dengan dua macam produk dan biaya produksi gabungan 3. Utilitas marjinal parsial dan keseimbangan konsumsi 4. Produk marjinal parsial dan keseimbangan produksi
14
DAFTAR PUSTAKA
Dumairy. (2010) Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFEYogyakarta
15
