Kelompok II 1. B. Rahmay Rahmayanti anti Masruri Masruri (15.1.14. (15.1.14.4.01 4.01!! ". #iti $aslin%a $aslin%a Amini Amini De&i (15.1.14.4 (15.1.14.4.0""! .0""! '. $u%ae $u%aen n (15. (15.1.1 1.14.4 4.4.00 .00! ! 4. #u%ir #u%irman man (15.1. (15.1.14. 14.4.0 4.0 5. )u )ulk lki* i*ii (15. (15.1. 1.14 14.4 .4..
SIFAT KETERTUTUPAN TRANSLASI
Pada sub bab terdahulu telah diketahui bahwa suatu translasi dapat dinyatakan sebagai komposisi dua refleksi garis. sekarang dibahas suatu translasi yang diuraikan menjadi suatu pasangan setengah putaran. Teorema 2.17
´ Jika SAB menyatakan suatu translasi, C dan D adalah titik sedemikian hingga AB ´ ! CD , maka SAB "D"C
s
B D C
v A
u
Gambar 2.26 Bukti
Jika dengan
s
´ CD dan
u serta serta
v adalah garis#garis yang tegak lurus
s berturut#turut di C dan D,maka
yang tegak lurus dari u ke $. karena
´ CD adalah sebuah segmen berarah
´ ´ AB ! CD , maka menurut teorema !.%&
berlaku SAB '$'u Dengan kata lain,
"D '$'s dan "( 's'u
Akibatnya,
"D"C )'$'s* ) 's'u* '$ )'s's*'u
'$ 'u +arena itu, SAB "D"C Jadi, suatu hasil kali dua buah setengah putaran adalah suatu translasi. Contoh Jika A)-,#%*, B)%,* dan C)/,!* maka (arilah D sedemikian hingga SAb "D"C Penyelesaian
´ ´ CE AB menurut (orollary !.%-A
Andaikan 0 suatu titik sedemikian hingga 0 )/12%#-3,!121%3* )!,%4* Jika D adalah titik tengah dari maka menurut sifat transitif,
´ AB
´ CE dimana D)-,&* dan
´ CE !
´ CD ,
´ ! CD . 5eorema !.% menetapkan bahwa
SAB "D"C, sehingga D adalah titik yang di (ari yaitu D)-,&*. 5eorema !.%, se(ara khusus merupakan teorema yang dapat di kali untuk menunjukkan bahwa hasil kali suatu translasi dengan setengah putaran adalah sebuah setengah putaran. 6ntuk membuktikan hal ini, asumsikan bahwa SAB adalah translasi dan C adalah suatu titik, kemudian perlihatkan bahwa ada suatu titik D sedemikian hingga SAB"C "D.
C
A
D
B
Gambar2.27
+
Andaikan 0 adalah sebuah titik yang unik sedemikian hingga
´ AB , kemudian D menjadi titik tengah
´ CE , maka
´ CE !
´ CE
´ CD , sehingga
´ ´ AB ! CD .
'enurut teorema !.% SAB "D"C +arena itu,
SAB"C )"D"C *"C "D)"C "C* "D
Corollary 2.17
Jika diberikan suatu translasi S AB dan suatu setengah putaran "C, maka SAB"C
´ ´ "D, dimana D adalah suatu titik sedemikian hingga ! CD AB . Jika teoema !.% dan (orollary !.%A kita susun dalam suatu rangkaian, maka mengandung arti hasil kali tiga buah setengah putaran menghasilkan sebuah setengah putaran. Corollary 2.17B
Jika
H A
putaran. 'aka
´ hingga AD
,
H B
H C H B H A
, dan
H C H D
adalah masing#masing sebagi setengah
. Dimana D adalah suatu titik sedemikian
´ BC .
Pemakaian lainnya dari teorema !.%. perhatikan gambar !.!7 berikut, tentang hasil kali dua translasi. S BC S A
B)A* C
B + A
+0 C
Gambar 2.28
Dengan menggunakan jajar genjang, hal ini dapat di tunjukkan bahwa untuk suatu titik 0, maka
´ EE
0
´ AC .. E
Dimana
0
"al ini menunjukkan bahwa
S BC S A S BC S AB
B)0*
S AC
'isalkan kita membuat generalisai bahwa untuk translasi "asil kali
S DE S FG
S DE
dan
S FG
.
adalah suatu translasi8 Jawabannya adalah ya bisa. 5entunya
kembali menggunakan teorema !.%. hal ini memperlihatkan bahwa himpunan translasi#translasi tertutup operasi komposisi. Se(ara umum, s suatu himpunan S dikatakan tertutup dibawah suatu operasi yang dinotasikan 9 jika suatu pasangan unsur a dan b anggota S, maka unsur )a 9 b* adalah juga anggota S. Corollary 2.17C
"asil kali dua translasi adalah suatu translasi untuk membuktikan teorema di atas tentang ketertutupan translasi akan dibiarkan sebagai latihan, dengan menerapkan teorema !.% berikut ini, akan diuraikan suatu pembuktian dengan (ara menggunakan dan menyusun suatu sistem koordinat untuk pembuktian teorema berikut ini. Teorema 2.18
Jika
S OA
adalah suatu translasi titik#titik :)4,4* dan A)a,b* serta 5 sebagai
pemetaan yang didefinisikan untuk semua titik#titik P);,y* oleh 5)P* ¿( x + a , y + b ) , maka
¿ 5.
S OA
Bukti 6ntuk suatu titik P);,y* 5)P* Andaikan P
0
¿( x , + a , y + b )
¿ S OA )P*, maka PP0
'enurut teorema !.%-A,
¿ OA
P ¿( x + a , y + b −0 )
¿( x + a , y + b ) +arena itu, 5)P* S OA
S OA
)P* untuk setiap titik P sehingga disimpulkan bahwa
5.
5eorema !.%7 se(ara tidak langsung menyatakan bahwa suatu translasi dapat dinyatakan untuk semua titik P);,y* oleh persamaan dari bentuk S)P* );1a, y1b*.
S EF
6ntuk membuktikan ketertutupan translasi, perhatikan dua translasi, yaitu ´ S GH dan , andaikan A)a,b* dan B)(,d* dua titik sedemikian hingga OA
´ EF . Dan
´ OB
´ GH , maka untuk suatu titik P);,y* berlaku
S EF
)P*
S OA
)P* );1a, y1b* dan
S GH
)P*
S OB
)P* );1(, y1d*
y
,
A(a-! (a/- /%! #oB#oA(2! + $ B(-%! 0
3
Gambar 2.29
S GH S EF
)P*
S OB S OA
)P*
S OB
2);1a, <1b*3
)2;1a31(, 2, <1b31d* );12a1(3, <12b1d3* 'enurut teorema !.%7
S GH S EF
adalah translasi yang memetakan titik awal
onto titik berkoordinat )a 1 (, b 1d*.
Contoh soal dan penyelesaiannya Soal 1
Jika A ( 4,− 2 ) , B (2,8 ) dan
C ( 5,3 ) maka (arilah D sedemikian hingga
S AB= H D H C
Penyelesaian Andaikan F suatu titik sedemikian hingga
CF = AB
'enurut Corollary !.%-A 8 — 2 5 + [ ( 2− 4 ) ] , 3 + [ ¿ )
F =¿
¿ [ ( 5−2 ) , ( 3 + 10 ) ] ¿ ( 3,13 ) Jika
G adalah titik tengah CF ( 4,8 ) dan
'aka sifat transitif S AB= H D H C
AB =2 CD
CF = 2 CD
. 5eorema !.% menetapkan bahwa
. Sehingga D adalah titik yang di(ari yaitu D adalah titik yang
di(ari yaitu D ( 4,8 ) Soal 2
Berdasarkan S PQ = H K H L
Corollary
!.%-A,
tentukan
C
sedemikian
Jika P (−2,2 ) ,Q ( 4,8 ) dan K ( 2,6 ) Penyelesaian Andaikan F suatu titik sedemikian hingga 'enurut Corollary !.%-A 8 — 2 2 +[ ( 4 + 2 ) ] , 6 + [ ¿ )
D=¿
¿ [ ( 2+ 6 ) , ( 6 + 6 ) ]
CD = PQ
sehingga
¿ ( 8,12 ) Jika M adalah titik tengah CD ( 4,6 ) dan
CF = 2 CD
'aka sifat transitif AB =2 CD . Dimana 5eorema !.% menetapkan bahwa S PQ = H C H L
. Sehingga C adalah titik yang di(ari yaitu
C ( 4,6 )
Soal
'isalkan S CD
S AB
suatu translasi yang memetakan A ( 7,8 ) onto
suatu translasi yang memetakan
C (− 6,7 ) onto
B ( 9,4 )
D ( 0,9 ) untuk titik
( x , y ) . 5entukan koordinat S CD S AB ( P ) . Penyelesaian I
Andaikan
O
Akibatnya
O
I
O
0
⃗
=[ ( 0 + 9 −7 ) , ( 0 + 4 −8 ) ] =( 2,− 4 )
=[ ( 0 + 0 + 6 ) , ( 0 + 9 −7 ) ]=( 6, 2 )
Sehingga
S AB ( P )=[ ( x + 2 ) , ( y −4 ) ]
S CD ( P )=[ ( x + 6 ) , ( y + 2 ) ]
+arena itu
S AB ( P )=[ ( x + 2 )+ 6, ( y − 4 )+ 2 ]
¿ ( x + 8, y −2 ) Soal !
⃗
=S AB ( O ) dan O0 , maka OO I = AB dan OO I =CD
'isalkan S CD
suatu translasi yang memetakan A ( 3,4 ) onto
S AB
suatu translasi yang memetakan
C (−4,5 ) onto
B ( 5,2)
D ( 0,3 ) untuk titik
( x , y ) . 5entukan koordinat S CD S AB ( P ) . Penyelesaian I
Andaikan
O
Akibatnya
O
I
O
0
⃗
=S AB ( O ) dan O0 , maka OO I = AB dan OO I =CD
⃗
=[ ( 0 + 5− 3 ) , ( 0 + 2−4 ) ] =( 2, −2 )
=[ ( 0 + 0 + 4 ) , ( 0 + 3−5 ) ]=( 4,− 2 )
Sehingga
S AB ( P )=[ ( x + 2 ) , ( y −2 ) ]
S CD ( P )=[ ( x + 4 ) , ( y −2 ) ]
+arena itu
S AB ( P )=[ ( x + 2 )+ 4, ( y −2 )−2 ]
¿ ( x + 6, y − 4 )
Soal "
Andaikan B ( 4,2 ) dan
G AB GCD
suatu translasi yang membawa titik suatu translasi yang membawa titik
D ( 0,4 ) . Jika P ( x , y ) , tentukan
Penyelesaian
G CD G AB ( P )
A ( 2,4 ) ke titik C ( 3,−5 ) ke titik
O=G AB
Andaikan
II
):*
dan
O
=GCD (O)
maka
OO = AB dan OO =CD
=[ ( 0 + 4 −2 ) , ( 0 + 2 −4 ) ] =( 2,−2 )
I
O
Jadi
=[ ( 0 + 0 + 3 ) , ( 0 + 4 −5 ) ] = (3, −1 )
II
O
Begitu pula Jadi
G AB ( P ) =( x + 2, y − 2 ) danGCD ( P ) = ( x + 3, y −1 )
Sehingga
GCD G AB ( P )=G CD [ ( x + 2, y −2 ) ] =( x + 2 + 3, y −2−1 ) =( x + 5, y −3 )
Soal 6
Dari teorema %4.=
´ =2 CD ´ ,%aka G AB= S D S C Jika G AB sebua !ese"an sedan!kanC dan D ada#adua $i$ik sein!!a AB . Buktikan jika suatu komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah putaran. Penyelesaian 'isalkan
G AB
suatu geseran dan
´ CE maka
D titik tengah
C
sebuah titik smebarang . Andaikan
´ =2 CD ´ & CE Berdasarkan teorema %4.=
G AB= S D S C
S
Jadi
(¿ ¿ D S C ) S C = S D ( S C SC ) S D I = S D maka G AB S C =¿
Akibatnya, andaikan S C S B S A =S D
S A , S B , S C
G AB SC =S D
.
masing > masing setengah putaran, maka
´ ´ dengan D sebuah titik sehingga AD =2 BC
Soal 7
5entukan koordinat memetakan
A ( 6,4 ) onto
S CD S AB ( P ) B ( 3,2)
, jika S CD
S AB
suatu translasi yang
suatu translasi yang memetakan
C (−4,5 ) onto D ( 0,3 ) untuk titik P ( x , y ) .
Penyelesaian I
⃗
=S AB ( O ) dan O0 , maka OO I = AB dan OO I =CD
⃗
Andaikan
O
Akibatnya
O =[ ( 0 + 3 −6 ) , ( 0 + 2− 4 ) ] = (−3,− 2 ) I
O
0
=[ ( 0 + 0− 4 ) , ( 0 + 3 −5 ) ] =(−4, −2 )
Sehingga
S AB ( P )=[ ( x −3 ) , ( y −2 ) ]
S CD ( P )=[ ( x −4 ) , ( y −2 ) ]
+arena itu
S AB ( P )=[ ( x − 3 )− 4, ( y −2 )−2 ]
¿ ( x −7, y −4 ) Soal 8
Diketahui tiga titik
A , B , C
tak segaris. ?ukislah sebuah segitiga
´ , LM ´ , KM ´ K , L , M sehingga A , B , C adalah titik tengah KL . Penyelesaian III 'isalkan P adalah sebuah titik, dan P = SC S B S A ( P)
S C S B S A
Berdasarkan teorema %4.&
adalah setengah putaran mengelilingi
III ´ III titik K sehingga P = S K ( P ) dengan K titik tengah PP
+emudian lukislah
) = S C S B S A ( K )
Jadi
´ LM ,
' = S A ( K ) , ( =S B ( L ) ,) = SC ( M )
C
) = S K ( K ) = K &
Jadi
titik tengah Artinya
´ KM
A
titik tengah . :leh karena
´ LK ,
B titik tengah
S C S B S A =S K
maka
) = K .
Jadi gambar segitiganya adalah Soal 9
Perhatikan soal 7. Apakah ada segitiga lain yang dapat memenuhi persyaratan tersebut8 Penyelesaian Andaikan
* +S
´ ,B +S titik tengah
juga suatu jawaban yang lain, maka A titik tengah
´ & S Jadi
S C S B S A ( + )
@, ini berarti @ titik tetap
teteapi satu > satunya titik tetap sebuah setengah putaran aalah +. Jadi sehingga
S = L , oleh karena
A titik tengah
´ +S . Begitupula
* KLM =*+S, maka satu > satunya jawaban adalah
¿ M
S K
,
+= K . Jadi
* KLM
Soal 1#
Bagaimana konsep ketertutupan dalam translasi8 Se(ara umum, s suatu himpunan S dikatakan tertutup dibawah suatu operasi yang dinotasikan 9 jika suatu pasangan unsur a dan b anggota S, maka unsur )a 9 b* adalah juga anggota S. Jika dianalogikan dalam aljabar kita mengenal bahwa suatu himpunan suatu bilangan tertutup pada suatu operasi. Sebagai (ontoh, himpunan
semua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil juga. Sehingga, translasi juga dikatakan tertutup pada operasinya jika anggotanya massih dalam satu himpunan itu juga.
