Bilangan Bulat
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai beberapa aktivitas yang berhubungan dengan bilangan bulat diantaranya, mengukur ketinggian diatas dan dibawah permukaan laut atau temperatu/suhu didaerah kutub (0°C), atau neraca kesetimbangan dalam kerit dan debit. Hal ini tentunya memerlukan angka untuk mepresentassikan keadaan tersebut. Tidak hanya bentuk dan besaran tetapi juga tanda atau simbol (kita harus mengetahui keadaan diatas atau diantara nol). Seperti halnya lambang bilangan dalam sistem bilangan asli diatara atau disebelah kiri nol. Tanda dari sisi nol dapat diindikasikan dengan sebuah simbol. Simbolnya adalah + dan – yang biasanya ditulis dekat didepan bilangan. Bilangan negatif diurutkan disebelah kiri dari 0 dan bilangan postif diurutkan disebelah kanan nol. Diagram berikutmengilustrasikan bilangan negatif sebagai “cerminan gambar” dari bilangan positif.
Jika kita menggunakan garis bilangan dengan beberapa anak panah yang menunjukan besar dari bilangan yang ditunjukan maka siswa akan hal ini terlihat terlalu abstrak bagi siswa.
Gambar 2. 3 Model lainnya dari bilangan bulat dapat ditunjukan dengan gerakan langkah maju dan mundur diatas sebuah garis bilangan dengan nol sebagai titik pusat pergerakan.
Gambar 2.1 Hal ini nampak bahwa jarak dari 0 ke − 1 memiliki jarak yang sama antara 0 − + dengan 1 dan juga 3 memiliki jarak yang + − sama dari 0 ke 3. Hal ini berarti 3 dapat didefenisikan sebagai suatu bilangan ketika + dijumlahkan dengan 3 menghasilkan nol − + atau dalam simbol ditulis 3 + 3 = 0 = − 3
+
+ 3
Model-model untuk Bilangan Bulat.
merepresentasikan
Dalam kehidupan sehari-hari, bilangan bulat dapat digambarkan secara langsung lewat bilangan pada termometer maupun sebuah tangga atau lift pada sebuah tempat perbelanjaan.
Christi Matitaputty-BIMPOME 2011
Gambar 2.4 Selanjutnya, model bilangan bulat ini dapat digambarkan dengan sebuah lapangan yang gunung-gunung kecil diatas permukaan tanah yang merepresentasikan merepresentasikan bilangan bulat positif dan lubang di dalam tanah yang dapat merepresentasikan bilangan negatif. Sebagai contoh : + 5 dapat digambarkan dengan: − 3 dapat digambarkan dengan : Model kepingan/tutup botol dapat digunakan dalam mengajarkan bilangan bulat dengan membuat kesepakatan warna dari kepingan tersebut. Misalkan warna
Page 1
hitam menunjukan bilangan bulat positif dan warna putih menunjukan bilangan bulat negatif. Melambangkan
+ 5
Melambangkan
− 3
Gambar 2.5 Konsep dari perubahan tanda atau arah dari bilangan adalah abstrak, untuk itulah siswa harus diberikan beberapa model agar mereka dapat memahami bagaimana letak bilangan bulat dan bagaimana operasinya dalam suatu garis bilangan. Memahami definisi dari bilangan bulat dan menemukan beberapa situasi yang dapat menggambarkan bilangan bulat sangat penting agar siswa dapar menemukan cara memanipulasi bilangan bulat dalam melakukan operasi bilangan. Sebagaimana bilangan bulat positif memiliki hubungan dekat dengan bilangan asli maka bilangan bulat positif memiliki sifat-sifat operasi (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian) yang sama dengan bilangan asli. + 2
+
+ 3
= 5 Dan jika jika 5 – 2 = 3 maka +5 − +2 = 3 Jadi, jika 2 + 3 = 5 maka
Penggunaan Model dalam penjumlahan bilangan bulat.
Menggunakan model kepingan dapat menjelasakan penjumlahan dua bilangan bulat positif dan dua bilangan bulat negatif sebagai sebuah penggabungan. Sebagaimana disepakati bahwa kepingan hitam sebagai bilangan bulat positif dan kepingan berwarna putih sebagai bilangan bulat negatif maka model dalam penjumlahan bilangan bulat ini dapat digambarkan sebagai perikut:
dan
menghasilkan
positif 4 ditambah positif 3 sama dengan positif tujuh Gambar 2.6 Hal ini dapat pula terjadi pada bilangan bulat negatif dengan mengabaikan pengertian pengurangan sebagai selisih. Model ini menjumlahkan atau menggabungkan bilangan negatif 4 dengan negatif tiga dengan memperhatikan warna kepingan yang merepresentasikan nilai dari banyaknya kepingan tersebut. Perhatikan contoh berikut:
dan
menghasilkan
negatif 4 ditambah dengan negatif 3 sama dengan negatif tujuh. Gambar 2.7 Untuk menjumlahkan dua bilangan bulat yang memiliki tanda yang berbeda, maka hal ini dapat dihubungkan dengan onsep kehidupan sehari-hari yaitu uang. Jika kamu memperoleh 1 dolar dari seseorang kemudian kamu membelanjakan 1 dolar itu maka hasilnya adalah 0 dolar ( $0.00). hal ini dapat ditulis : +1 + −1 = 0 . dalam model kepingan, kombinasi anatara kepingan hitam dan kepingan putih akan menghasilkan 0 kepingan. Sebuah korespondensi satu-satu antara kepingan hitam dan kepingan putih akan benilai nol atau dapat dihilangkan. Contoh berikut dapat menggambarkan penjelasan diatas.
dan
menghasilkan
positif 4 ditambah negatif tiga sama dengan positif 1.
Christi Matitaputty-BIMPOME 2011
Page 2
Gambar 2.8 Model
yang mempresentasikan 4+ 3= 1 menjelasakan bahwa kumpulan tiga kepingan hitam adalah dapat dikorespondensikan dengan kumpulan tiga kepingan putih dan menghasilakan nol, sehingga meninggalkan satu kepingan hitam. +
−
+
Menemukan aturan untuk penjumlahan bilangan bulat.
Penggunaan garis bilangan adalah cara yang efektif dan dapat membantu dalam mengemukan aturan dari penjumlahan bilangan bulat. Gambar berikut ini akan menunjukan penjumlahan bilangan bulat pada garis bilangan.
Pada gambar 2.11 dapat diperhatikan bahwa penjumlahan dua bilangan bulat negatif haruslah sejalan dengan pemahaman sebelumnya pada penjumlahan bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan. Model garis bilangan ini menggambarkan arah dari anak panah bergerak pada bilangan negatif. Hal ini menunjukan bahwa model + tergantung pada 7 + −6 = −13 memasukan bilangan yang bernilai negatif pada garis bilangan. Setelah kita memodelkan penjumlahan bilangan bulat dengan tanda yang sama menggunakan garis bilangan, selanjutnya kita akan memodelkan penjumlahan bilangan bulat dengan tanda yang berbeda.
Gambar 2.9 Gambar 2.12 Gamabr
2.12 diatas menunjukan + 7 + 3 = 4 pada garis bilangan. Perhatikan bahwa pertama-tama kita menjumlahkan +7 (bergerak sejauh 7 satuan ke arah bilangan positif) selanjutnya menjumlahkan bilangan −3 (bergerak sejauh 3 satuan ke arah bilangan negatif). Posisi terakhir dari langkah kedua menunjukan angka +4. Hasil dari penjumlahan kedua bilangan bulat diatas adalah dengan diperoleh dengan bergerak ke kiri dari titik nol akan berakhir + 4. +
Gambar 2.10 Gambar 2.10 menunjukan masalah yang sama pada gambar 2.9 akan tetapi ketika kita membandingkan kedua gambar ini, maka yang menjadi perhatian kita adalah proses dalam manyelesaikan masalah penjumlahan bilangan bulat pada garis bilangan adalah sama untuk semua bilangan bulat. Gambar 2.11 berikut ini akan menjelaskan letak dari +7 + −6 = −13 pada garis bilangan.
Gambar 2.11
Christi Matitaputty-BIMPOME 2011
−
Masalah diatas sangat dekat − 7 + +3 = −4 , yang masalah dimodelkan sebagai berikut:
dengan dapat
Gambar 2.13
Page 3
Dalam kasus ini pertama-tama kita melangkah sejauh 7 kearah bilangan negatif sehinggan nilai dari arah ini menunjukan −7 selanjutnya dari −7 bergerak kearah arah bilangan positif sejauh 3 yang menunjukan nilai dari +3. Penjumlahan dari kedua bilangan ini menghasilakan −4. Kita dapat menyimpulkan bahwa jika kita bergerak dari 0 dan bergerak sejauh 4 satuan ke kiri atau kearah bilangan bulat negatif, kita akan bertemu di titik −4 seperti yang ditunjukan pada gambar gambar 2.13 diatas.
+
4 + +6 =
+
−
−
4 + −6 =
+
10 10
4 + −6 =
−
4 + +6 =
+
−
Sebelumnya,
kita
penggunaan
garis
2 2
telah
menjelaskan
bilangan
merepresentasikan
dengan
penjumlahan
dua
bilangan bulat yang memiliki tanda yang sama. Salah satu cara untuk generalisasi ide-
Aturan-aturan bilangan bulat.
dalam
menjumlahkan
Operasi hitung yang melibatkan dua operasi bilangan merupakan operasi bilangan yang melibatkan dua nilai. Pada penjumlahan bilangan bulat ini berlaku sifat asosiatif yang dapat dilakukan dengan terlebih dahulu mengoperasikan dua bilangan bulat setelah itu hasilnya diperasikan dengan bilangan bulat yang lain. Seperti contoh: +4 + +3 + +6 . pertamatama kita menjumlahkan +4 + +3 = +7. Selanjutnya hasil dari penjumlahan kedua bilangan positif ini dijumlahkan dengan bilangan ketiga( +6) sehingga diperoleh + + + 7 + 6 = 13 . Oleh karena penjumlahan bilangan ini dapat terjadi pada dua bilangan maka kita juga dapat memilih untuk melakukan penjumlahan +4 + +6 = +10 kemudian +10 + +3 = +13.
ide tentang penjumlahan bilangan bulat dari tanda
yang
sama
adalah
dengan
menambahkan nilai-nilai mutlak dari angka dan kemudian memberikan jawaban dengan tanda yang banyak digunakan dalam operasi bilangan tersebut. Definisi nilai mutlak adalah sama dengan "jarak dari nol". Ini berarti
bahwa
kita
mempertimbangkan
dua
dapat
penjumlahan
bilangan bulat yang memiliki tanda yang sama sebagai penggabungan dari dua jarak. Dengan memperhatikan garis bilangan, maka −
3 letaknya tidak jauh
jelas terlihat bahwa dari nol daripada
−
5. Fokus kita akan nilai
mutlak hanya menyatakan pada seberapa jauh jumlahnya dari nol, atau berapa jauh garis itu bergerak dari nol. Kita akan mengabaikan arah dari nol jika bilangan bulat itu memiliki tanda yang sama. Hal ini
Dengan mengerjakan beberapa latihan yang melibatkan penjumlahan bilangan bulat maka akan diperoleh maka kita dapat melihat pola yang terbentuk dan kita dapat menggeneralisasikan aturan yang berlaku untuk semua penjumlahan bilangan bulat dengan tanda yang sama. Aturan ini dapat membuat kita dengan mudah menentukan hasil dari penjumlahan.
akan digeneralisasikan dengan pernyataan, ketika menjumlahkan bilangan bulat yang memiliki tanda yang sama dapat dilakukan dilakukan dengan terlebih dahulu menjumlahkan nilai mutlaknya dan hasil akhirnya mengikuti tanda yang lebih banyak digunakan dalam penjumlahan
Setelah menyelesaikan pekerjaan di mana tanda-tanda
Ada empat jenis masalah yang terlibat dalam penambahan bilangan bulat:
Christi Matitaputty-BIMPOME 2011
tadi .
bilangan
operasi
penjumlahan
yang
sama, maka kita akan diperkenalkan dengan masalah dimana penjumlahan
bilangan
bulat yang memiliki tanda-tanda yang
Page 4
berlawanan.
Aturannya
kita
dapat
lebih kecil dari nilai absolut lebih besar dan
memodelkan masalah penjumlahan bilangan
memberikan penjumlahan tanda nomor
bulat dengan tanda yang berlawanan ini
dengan
nilai
absolut
lebih
besar.
dengan di mana nilai-nilai absolut dari addends relatif kecil sehingga ada sedikit kesempatan untuk gangguan. Ketika Anda melakukan latihan seperti +5 + ~ = 3 +2, fokus pada bilangan yang terlibat dan bertanya bagaimana dua dapat menjadi jumlah lima dan tiga. Hal ini tampaknya melibatkan dua jarak dari nol, tetapi dalam arah
yang
berlawanan.
menyimpulkan
bahwa
Anda
mungkin
masalah
dapat
disajikan kembali sebagai 5 - 3 = 2, atau perbedaan antara jarak. Maka Anda mungkin menduga bahwa 5 - 3 = 2 dan +5 + ~ = 3 +2 dua cara berbeda dalam melakukan masalah yang
sama.
Fokus
pada
bagaimana
seseorang dapat diubah ke yang lain. Anda akan menyimpulkan bahwa tanda angka kedua asi
berubah,
berubah
dari
dan penjumlahan
operuntuk
pengurangan. Akhirnya, Anda harus berurusan dengan masalah seperti ~ 5 + +3 = ~ 2. Di sini, sekali lagi, Anda mungkin melihat ini sebagai yang berkaitan dengan 5 - 3 = 2, namun operasi penambahan
dan
tanda-tanda
semua
bergegas sekitar. Kembali ke diskusi kita nilai absolut, jumlah mendapat tanda nomor dengan
yang
lebih
besar
nilai absolut. Sedangkan ini mungkin tidak segera jelas sebagai contoh terakhir, konsep yang sama dalam bermain dua jarak dari nol yang berada di arah yang berlawanan. Fokuskan
pikiran
Anda
pada
+5 + ~ = 3 +2 dan ~ 5 + +3 = ~ 2, dan bagaimana,di setiap kasus, dua cara berbeda dalam
melakukan
masalah
dapat
Kesimpulan Penjumlahan bilangan bulat, yang memiliki tanda yang sama. Dapat dilakukan dengan telebih dahulu menjumlahkan nilai mutlak dari kedua bilangan setelah itu jawaban mengikuti tanda yang lebih banyak melekat pada bilangan yang dioperasikan. Untuk menjumlahan
bilangan
bulat
dengan
berlawanan tanda, guru dapat menggunakan operasi invers untuk dapat menyelesaikan penjumlahan bilangan dengan tanda-tanda yang berlawanan. Mengembangkan operasi penjumlahan
dengan
harus
berhati-hati
dalam menggunakan manipulatif, kalkulator, garis bilangan, atau ketiganya mengurangi yang
berkaitan
dengan
pemahaman
mendalam tentang bilangan bulat. Praktek tambahan
diperlukan
nyaman
dengan
jika
Anda
kedua
belum
generalisasi
kesepakatan bahwa dengan menambahkan bilangan
bulat:
1. Ketika penjumlahan bilangan bulat dengan tanda yang sama pada setiap bilangan yang dioperasikan
dapat
menjumlahkan
nilai
dilakukan mutlak
dengan kemudian
hasilnya diberikan tanda dengan mengikuti tanda yang lebih banyak digunakan dalam operasi bilangan. 2. Ketika menambahkan bilangan
bulat
dengan
seperti
tanda-tanda, kurangi nilai multak lebih kecil dari nilai multak yang lebih besar, hasilnya dituliskan dalam nilai mutlak kemudian memberikan tanda sesuai dengan bilangan yang lebih besar nilai mutlaknya.
dipertukarkan. Pada akhirnya, Anda akan menyimpulkan bahwa, ketika penjumlahan bilangan
yang memiliki tanda-tanda yang
berlawanan, Anda mengurangi nilai absolut
Christi Matitaputty-BIMPOME 2011
Page 5
Pengurangan Bilangan Bulat Model. Terlebih dahulu kita akan mengembangkan algoritma
pengurangan
dengan
menggunakan model kepingan hitam dan putih. Penggunaan model kepingan ini didasari
ide
mengurangkan
sebagai
mengambil bilangan positif. Contoh : +
6 − +2 =
+
4,
dengan
menggunakan
kepingan ditunjukan pada gambar 2. 14 berikut ini.
Gambar 2.14 Gambar
2.14
diatas
bilangan
positif
yang
menunjukan diambil
ada
sebagai
pengurangan dan menghasilkan bilangan positif pula. Selanjutnya, −
6 − −2 =
dalam
merepresentasikan
−
4, menggunakan kepingan
Christi Matitaputty-BIMPOME 2011
Page 6
Opersi Hitung Pada Bilangan Bulat 1. Operasi Penjumlahan a. Operasi penjumlahan pada bilangan bulat Penjumlahan pada bilangan bulat dapat diartikan sebagai jarak berarah yang ditempuh oleh seseorang. Pada garis bilangan, bilangan bulat positif menyatakan pergerakan ke kanan, sedangkan bilangan bulat negarif menyatakan arah pergerakan ke kiri . Misalkan bilangan bulat, maka: 1) Operasi penjumlahan + + ( −) tepat sama dengan − , yaitu bergerak ke kanan dari titik 0 sejauh , kemudian bergerak ke kiri sejauh . 2) Operasi penjumlahan − + ( −) tepat sama dengan −( − ), yaitu berherak ke kiri sejauh + . b. Sifat-sifat operasi penjumlahan pada bilangan bulat. Sifat-sifat pada operasi bilangan bulat adalah sebagai berikut: 1) Komutatif Untuk setiap bilangan bulat, berlaku + = + .
Contoh :
5 + ( −7) = −7 + 5 =
( −2) 2) Asosiatif Untuk setiap , bilangan bulat, berlaku + + = + ( + ) Contoh : [7 + −2 + 8 = 7 +
[( −2) + 5) 3) Terdapat unsur identitas Pada bilangan bulat, terdapat unsur identitas 0 sehingga + 0 = 0 + = Contoh : 8 + 0 = 0 + 8 = 8 4) Tertutup Untuk setiap bilangan bulat, + juga bilangan bulat. Contoh. 2 + 7 = 9 2 dan 7 bilangan bulat 9 juga bilangan bulat
Christi Matitaputty-BIMPOME 2011
5) Lawan dari invers penjumlahan Untuk setiap bilangan bulat , terdapat suatu bilangan bulat sedemikian sehingga + = 0. Adapun dinamakan lawan (invers) dari . Contoh : 2 + −2 = 0 − 2 dinamakan invers dari 2.
2. Operasi Pengurangan a. Operasi pengurangan pada bilangan bulat adalah mencari selisih antara kedua bilangan tersebut. Pengurangan pada bilangan bulat juga dapat dilakukan dengan menggunakan garis bilangan. Caranya dapat dilakukan seperti apda penjumlahan bilangan bulat. Bilangan bulat positif sepadan dengan langkah ke kanan dan bilangan negatif sepadan dengan langkah ke kiri. Secara umum, operasi-operasi yang melibatkan bilangan bulat dapat dituliskan sebagai berikut: 1. − = + ( −) 2. − ( −) = + 3. − − − = − + 4. − − = − + − = − + b. Sifat-sifat pengurangan bilangan bulat
pada
Pada operasi pengurangan bilangan bulat hanya berlaku sifat tertutup, yaitu untuk setiap bilangan bulat, − juga bilangan bulat. Pada operasi pengurangan ini tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif, sebab , bilangan bulat. − ≠ − − − ≠ − ( − )
Page 7
Christi Matitaputty-BIMPOME 2011
Page 8
Referensi: Masalah yang berhubungan dengan penjumlahan bilangan bulat dapat dijumpai dalam kehidupan sehari-hari melalui keadaan suhu dibawah nol, kedalaman dibawah permukaan laut, lantai dasar bawah dan masalah hutang
Mathematics for Junior High School Marsigit Yudhistira Yudhistira Ghalia Indonesia http://books.google.co.id/books?id=ddXjaPr KZboC&pg=PA16&lpg=PA16&dq=sifatsifat+dan+operasi+penjumlahan+dan+pengu rangan+bilangan+bulat&source=bl&ots=eoHjCBrCt&sig=9OoIcXjLpq1Cnpz08Hs1fPkEgVE &hl=en&sa=X&ei=BdiyULDUCcWtrAfAoCAAg&ved=0CHoQ6AEwCQ#v=onepage&q =sifatsifat%20dan%20operasi%20penjumlahan%2 0dan%20pengurangan%20bilangan%20bulat &f=true
Christi Matitaputty-BIMPOME 2011
Page 9