8. KRIGING 8 1 Kriging dan Automatik Contouring 8.1 Kriging Istilah kriging g g diambil dari nama seorang g ahli,, yaitu y D.G. Krige, g , yang y g perper p tama kali menggunakan korelasi spasial dan estimator yang tidak bias. Istilah kriging diperkenalkan oleh G. Matheron untuk menonjolkan metometode khusus dalam moving average terbobot (weighted moving average) yang meminimalkan varians dari hasil estimasi. Metode kriging menghasilkan estimator tidak bias terbaik (the best unbiased estimator, BLUE) dari variabel yang ingin diketahui nilainya.
Automatic contouring Sampel data dalam geosains biasanya diambil di tempat yang tidak beraturan. beraturan Komputer akan bekerja hanya dengan data digital yang teratur (misal kalau akan menggambar konturnya). Untuk itu perlu dibuat jejala (grid) yang teratur teratur, dimana sampel data harus ditempatkan untuk bisa diproses oleh komputer.
Automatic Contouring (lanjutan) Masalahnya adalah bagaimana memperkirakan (mengestimasikan) sampel data pada titik titik--titik grid yang ada dari data sampel yang tersebar secara tidak teratur. Banyak cara untuk mengestimasi nilai data di titik grid tersebut, yang pada umumnya menggunakan korelasi spasial, antara lain adalah kriging. Bila di semua titik telah diestimasi nilai datanya (teratur), berarti data untuk automatic contouring dengan computer sudah siap pakai.
Moving average (perata (perata--ratan bergerak) Kriging menggunakan metode khusus dalam proses perataperata-rataan berjalan terbobot (weighted moving average). Metode moving average biasanya digunakan pada proses penghalusan sinyal (data) untuk mengecilkan peranan gangguan (noise). (noise) Dalam bahasa penyaringan / penapisan (filtering), penghalusan termasuk tapis lolos rendah. Prinsip moving average adalah meratamerata-ratakan nilai data yang berada pada jendela (window) yang berjalan. Jendela tsb mempunyai lebar tertentu dan tingginya =1 (tak terbobot).
Moving average (lanjutan) Rumus umus estimasi st mas untuk untu moving mo ng average a rag adalah: a a ah Dengan xj = deret data input yi = deretan data output W n w : fung Window fungsi kotak tinggi=1 berjalan kekanan
Contoh: x:
Y:
5
7
5.3 53
(5+7+4) / 3=5.3
4
3
2
3
4 4.7 7
3 3.0 0
2 2.7 7
3 3.0 0
4
5
7
2
4 4.0 0 (3+4+5) / 3 = 4
Kalau windownya bukan fungsi kotak, tetapi sembarang, pererataan harus dikalikan dengan tinggi window (terboboti) ⇒ weighted moving average
6
Estimasi nilai variabel teregionalisasi ) Kita Andaikan kita mempunyai data teregionalisasi (tak teratur) z(xi). akan mengestimasi nilai data teregionalisasi lain (teratur) pada titik grid tertentu, yaitu z(vi). Bila nilai estimasinya atau estimatornya adalah z* z (vi), ) maka ralat estimasinya adalah: (8.1) Karena variabel teregionalisasi dianggap sebagai variabel random, maka baik Z (xi) maupun R(vi) dianggap pula sebagai variabel random. ♣ Varians ralat estimasi (estimation variance) nya adalah: (8.2) ♣ Estimator z* (vi) dihitung dengan memakai kombinasi linear dari variabel yang diketahui z(xi), yang harus memenuhi prinsip: sederhana (perhitungan mudah) dan tidak bias, bias dalam arti expected value ralatnya = 0, 0 atau: (8.3)
Estimasi nilai variabel teregionalisasi (lanjutan) Persamaan y yang paling sederhana untuk memenuhi prinsip p p p tersebut adalah combinasi linear rerata terbobot (weighted average linear combination), yaitu: (8.4) (8 4) Dengan aj ( j = 1, N) adalah faktor bobot yang membuat varians estimasi ) (estimation variance) nya minimum. minimum Faktor bobot tersebut secara teoritis dapat dihitung dari persamaan: (8.5) Dgn: Kovarians dari data pada titik vi dan data pada titik xi Kovarians dari data pada lokasi xi dan xj
Estimasi nilai variabel teregionalisasi (lanjutan) Penerapan prinsip optimasi pada persamaan (8.5) menghasilkan persamaan lain yang lebih praktis, yaitu: (8.6)
Adalah Covarians antara 2 variabel random adalahFaktor bobot yang dicari. yaitu titik rata dan Adalah Covarians antara 2 titik, y titik yang ingin dihitung nilai estimasinya.
μ
adalah pengali Lagrange yang harus dicari
8.2. MacamMacam-macam kriging Berdasarkan cara estimasi dan p proses perhitungannya, p y kriging dapat p dibedakan menjadi beberapa macam, yaitu: Point kriging, Block kriging, CoCo-kriging, Universal kriging, dsb
8.2.1. Point kriging Ini adalah kriging yang paling sederhana, sehingga disebut sbg simple kriging Ini juga sering disebut sbg ordinary kriging atau punctual kriging. kriging. Point kriging memungkinkan kita untuk menghitung nilai harapan data di suatu titik yang tidak ada data pengukurannya berdasarkan nilai nilai--nilai data disekitarnya yang diketahui. Besarnya pengaruh titiktitik-titik data disekitarnya terhadap nilai estimasi dinyatakan dalam bentuk nilai bobotnya bobotnya. Dalam menghitung nilai bobot ini menggunakan norma MVUE (minimum variance unbiased estimate). Nilai bobot tersebut adalah ai , dengan i = 1, n. Nilai ini harus memenuhi persamaan: (8.7) ai = fungsi peluang
Contoh perhitungan point kriging Andaikan nilai variabel di 2 titik x1 dan x2 diketahui. Hitunglah nilai estimasi di titik x0 , yang berada di antara x1 dan x2 , bila posisinya adalah sbb: x1
x0
•
x2
•
30 ft
•
50 ft
Nilai variabel di x1, Z(x1)=10, Nilai di x2, Z(x2)=20 Nilai variabel di x0 akan dicari dengan menggunakan point kriging. Rumus yang dipakai estimasi nilai variabel di titik x0 adalah:
Nilai--nilai komponen matrix tsb dapat dicari sbb: Nilai yang cocok untuk combinasi data tersebut variogram Andaikan variogram y model exponensial: Nilai h yang mungkin adalah: 30, 30 50, 50 dan 80 ft. ft Nilai variogramnya adalah:
Nilai komponen p matrix, C dapat p dihitung g dengan g menggunakan gg rumus C(0) = nilai sill variogram, yaitu = 100 (nilai max variogram exponensial). Hasil perhitungan nilai komponen matrix, C mendapatkan: C(x1,x1) = C(0) = 100
C(x1, x2) = C(80) = C(0)-γ(80) = 100−90.93 = 9.07
C(x2,x2) = C(0) = 100
C(x1,x0) = C(30) = C(0)-γ(30) = 100-58.34 = 40.66 C(x2,x0) = C(50) = C(0)-γ(50) = 100-77.69 = 22.31
Bila komponen komponen--komponen matrix dimasukkan dalam persamaan matrixnya akan diperoleh:
Apabila persamaan matrix ini diselesaikan akan diperoleh: a2 = 0.3991, dan a1 = 0.6009, Jadi nilai estimasi data di titik x0 adalah:
μ = 23.05
Ralat varians yang merupakan indikator derajad ketidakpastian dari hasil estimasi adalah:
C t t Catatan: Nilai Nil i estimasi ti i data d t di x0, kalau k l dihitung dihit d dengan iinterpolasi t l i akan k diperoleh: V*(x0) = 10 + (30/80) × (20-10) = 13.76
8. 2. 2. Block kriging Block kriging: Estimasi nilai data di titiktitik-titik x0jj dlm suatu blok berdaberdasar set data di titiktitik-titik xi yang berada disekitar blok (neighborhood). Jadi dalam block kriging, yg dicari adalah estimasi nilai di suatu blok. Dalam gambar diperlihatkan blok dgn ukuran V yang didalamnya ada 16 titik grid yang akan dicari nilai estimasinya. x01 •
xi2
x04
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
x013
•
x016
♣ Perhitungan g dalam block kriging g g mimirip dg perhitungan pd point kriging. ♣ Kovarians antara titik xi dan x0jj yang ada di dalam blok dapat didituliskan sbb:
•
•
xi3
xi1 Dgn
Dg C(xi, x0j) = Kovarians antara titik xi dan x0j nb = banyak b k titik di dalam d l blok bl k CV(xi, x0) = mean (perhitungan arithmatik ratarata) dari semua kovarians terhitung.
Block kriging (lanjutan) Jumlah titik yang dianggap sepadan di dalam blok untuk mewakili CV adalah: nb = 16 untuk blok 2 D, dan nb = 64 untuk blok 3D. Block kriging g g dipakai p untuk mencari nilai estimasi suatu blok. Ini sangat g bermanfaat untuk memperkirakan sifatsifat-sifat statis suatu blok, misalnya porositas dan saturasi. Untuk sifat dinamis seperti permeabilitas, block kriging g g tidak dianjurkan j untuk dipakai, p , karena adanya y perhitungan p g rataratarata.
8. 2. 3. CoCo-kriging Co-kriging Coco-kriging) cog g (point (p g g) adalah teknik khusus dalam interpolasi p dengan memakai 2 variabel yang berbeda, tetapi secara spasial berhubungan. Dengan memanfaatkan hubungan spasial ini, nilai nilai--nilai suatu variabel dapat diestimasi dari variabel lain yang sampelnya diketahui. diketahui Dalam hal p posisi sample p yang y g tersebar terserak (sparse), ( p ) coco-kriging g g dianggap dapat mengurangi ketidakpastian hasil estimasi Dalam l co-kriging, cok variabel b l yang akan k diestimasi d nilainya l dinamakan d k variabel utama (principal variable), sedang variabel yang dipakai untuk mengestimasi g disebut coco-variabel. Kita dpt menambahkan coco-variabel baru (selain yang sudah ada) selama h b hubungan spasiall antara coco-variabel b lb baru d dengan variabel b l utama cukup k kuat
Proses perhitungan dalam coco-kriging Andaikan kita ingin mengestimasi nilai suatu variabel di titik x0 dari variabel lain xi yang diketahui, maka hasil estimasinya adalah:
Dengan ai = faktor bobot, V(xi) = nilai-nilai sampel di titik xi , ak = faktor bobot untuk variabel Vk(xj), Vk(xj) = nilai-nilai sampel variabel Vk pada posisi xj, k = jumlah total co-variabel, dan m = jumlah sampel. Selanjudnya diambil keadaan khusus dalam bentuk hubungan antara satu covariabel i b ld dan satu t prncipal i l variabel, i b l sehingga hi pers di diatas t b berubah b h menjadi: j di
Dengan ai = faktor bobot untuk variabel V(x), b = faktor bobot untuk variabel W(x), V(xi) = principal variabel, W(xj) = co-variabel, V*(x0) = estimator i d darii V di titik i ik x0, m adalah d l h jumlah j l h titik i ik sampell covariai bel, dan n = jumlah titik sampel principal variabel.
Co--kriging (lanjutan) Co Hubungan antara ai dan bi sesuai dengan persyaratan MVUE (minimum variance unbiased estimate) adalah:
Selanjutnya dengan menggunakan pengali Lagrange (Lagrange multiplier) dapat dihasilkan persamaan matrix:
Dgn
Co-kriging Co(lanjutan)
dan
dan
Dalam hal ini: x1, x2, …., xn =lokasi l k i titik-titik i ik i ik sampell principal i i l variabel i b l x1’, x2’, …., xm’ = lokasi titik-titik sampel co-variabel CV(xi, xj) = kovarians antara xi dan xj dari variabel V CV(xi’, xj’) = kovarians antara xi’ dan xj’ dari variabel W CVW(xi, xj’)) = kovarians silang (cross covariance) dari variabel V dan W
8.2.4. Universal kriging Universal kriging adalah kriging dari data yang mempunyai kecenderu kecenderu-ngan (trend) tertentu, misalnya nilai permeabilitas yang berkurang karena lokasinya yang menjauh dari channel sand. gg p bahwa fungsi g teregionalisasi g Bila ada trend, maka anggapan adalah random tidak berlaku lagi, sehingga pendekatan untuk melakukan kriging perlu diubah. Dalam hal ini variabel regionalisasi ybs perlu diubah menjadi: j
Dengan V(x) = nilai variabel teregionalisasi terukur, D(x) = Drift atau nilai harapan dari V(x) yaitu nilai trend nya, dan R(x) = Residual (tanpa trend, random). Jadi variabel yang harus dikriging adalah yang residual, yaitu:
Salah satu cara yang mudah untuk mencari nilai variabel D(x) adalah dengan memakai moving window atau moving average
