Kumpulan Rumus Cepat Matematika

http://meetabied.wordpress.com SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel Bergaullah dengan para pemenang karena pemenang memberi pengaruh baik kepada Anda. Sedangkan pecundang dapat meracuni Anda. (John D. Rockefeller)

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] ================================================================================ Materi ini dapat disebarluaskan secara bebas, untuk tujuan bukan komersial, dengan atau tanpa menyertakan sumber. Hak Cipta selamanya pada Allah Swt. Salam hangat selalu … Muhammad Zainal Abidin | admin of http://meetabied.wordpress.com

1. UMPTN 1991 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan 2x2-3x +5 = 0 adalah.. A. 2x2 -5x +3 = 0 B. 2x2 +3x +5 = 0 C. 3x2 -2x +5 = 0 D. 3x2 -5x +2 = 0 E. 5x2 -3x +2 = 0

Jawaban : E

r Missal akar-akar 2x2 -3x +5 = 0 x1 dan x2 . maka Persamaan baru akar-akarnya

1 1 dan x1 x2

1 1 dan β = x1 x2 1 1 x1 + x 2 a +β = + = x1 x 2 x1 .x 2 b b 3 = a =- = c c 5 a 1 1 a.β= . = x1 x 2 1 a 2 = = x1 .x 2 c 5

r α=

1 Persamaan kuadrat yang akarakarnya kebalikan dari akar-akar ax2+bx +c = 0 Adalah : cx2 +bx +a = 0 (Kunchi : posisi a dan c di tukar )

1 Jika akar-akar yang diketahui x1 dan x2 maka, kebalikan akarakarnya berbentuk : 1 dan 1 x1

@

r Gunakan Rumus : x2 –(a +β)x + a .β = 0 3 2 x2 - x + = 0 5 5 5x2 -3x +2 = 0

http://meetabied.wordpress.com

x2

Perhatikan terobosannya

2x2 -3x +5 = 0 di tuker ..aja..OK !

2

5x -3x +2 = 0

2

2. Prediksi UAN/SPMB Persamaan kuadrat yang akar-akarnya berlawanan dengan akarakar persamaan 5x2-8x +6 = 0 adalah.. A. 2x2 -5x +3 = 0 B. 2x2 +3x +5 = 0 C. 5x2 -6x +8 = 0 D. 5x2 +8x +6 = 0 E. 5x2 -8x -6 = 0 Jawaban : D

r Missal akar-akar : 5x2 -8x +6 = 0 , x1 dan x2 . maka Persamaan baru akarakarnya –x1 dan –x2 r α = -x1 dan β = -x2 a +β = -x1 –x2 = -(x1 +x2) -b b -8 == = a a 5 a . β = -x1 .(-x2) = x1 .x2 c 6 = = a 5 r Gunakan Rumus : x2 –(a +β)x + a .β = 0 -8 6 x2 x+ =0 5 5 5x2 +8x +6 = 0

1 Persamaan kuadrat yang akarakarnya BERLAWANAN dari akar-akar ax2+bx +c = 0 adalah : ax2 -bx +c = 0 (Kunchi : Tanda b berubah) 1 Jika akar-akar yang diketahui x1 dan x2 maka, Lawan akarakarnya berbntuk –x1 dan -x2

@ Perhatikan terobosannya : 5x2 -8x +6 = 0 berubah tanda...! 2

5x +8x +6 = 0


3

3. UMPTN 2001/B Persamaan kuadrat yang masing-masing akarnya tiga kali dari akarakar persamaan kuadrat x2 +px+q = 0 adalah…. A. 2x2+3px +9q = 0 B. 2x2-3px +18q = 0 C. x2-3px+9q = 0 D. x2+3px -9q = 0 E. x2+3px +9q = 0

r Missal akar-akar : x2 +px +q = 0 x1 dan x2 . maka Persamaan baru akar-akarnya 3x1 dan 3x2 r Misal : α = 3x1 dan β = 3x2 a +β = 3x1 +3x2 = 3(x1 +x2) = - b - 3p 3. = = -3 p a 1 a . β = 3x1 .3x2 =9( x1 .x2) c 9q = 9. = = 9q a 1 r Gunakan Rumus : x2 –(a +β)x + a .β = 0 x2 –(-3p)x + 9q= 0 x2 +3px +9q = 0

1 Persamaan kuadrat yang akarakarnya n kali (artinya : nx1 dan nx2) akar-akar persamaan ax2+bx +c = 0 adalah : ax2 +n.bx +n2.c = 0

@

Tiga kali, maksudnya : 3x1 dan 3x2

@

Perhatikan terobosannya x 2 +px +q =0

n=3 kalikan

Jawaban : E


3

2

3

x 2 +3px +9q =0

4

4. UMPTN 1997 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua lebih besar dari akarakar persamaan kuadrat 3x2 -12x+2=0 adalah…. A. 3x2-24x+38=0 B. 3x2+24x+38=0 C. 3x2-24x-38=0 D.3x2-24x+24=0 E. 3x2-24x-24=0

r Missal akar-akar : 3x2 -12x +2 = 0 adalah x1 dan x2 . maka Persamaan baru akar-akarnya x1+2 dan x2+2 r α = x1+2 dan β = x2+2 a +β = x1+2 +x2+2 = (x1 +x2) +4 = -

b -12 +4= +4 =8 a 3

@

@

Persamaan kuadrat yang akarakarnya k lebihnya (x1 +k) dan (x2 +k) dari akar-akar persamaan ax2+bx +c = 0 adalah : a(x-k)2 +b(x-k) +c = 0 Dua lebih besar, maksudnya : x1+2 dan x2 +2

a . β = (x1+2)(x2+2) = (x1.x2) +2(x1+x2) +4 c b + 2( - ) + 4 a a 2 24 38 = + +4= 3 3 3

=

r Gunakan Rumus : x2 –(a +β)x + a .β = 0 x2 –8x + 3x2

38 =0 3

-24x +38 = 0

@

Perhatikan terobosannya :

3(x -2)2 -12(x -2) +2 = 0 3(x2 -4x +4) -12x +24 +2 = 0

3x2 -24x +38 = 0

Jawaban : A


5

5. PREDIKSI UAN/SPMB Persamaan kuadrat 2x2 -3x+5=0 akar-akarnya a dan β, maka 1 persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya - dan a 1 - adalah…... b A. x2-24x+3 = 0 B. x2+24x+3 = 0 C. 5x2+3x +2 = 0 D. 5x2-3x +2 = 0 E. 5x2-2x-2 = 0

r Persamaan 2x2 -3x +5 = 0 b -3 3 a +β = - = - = a 2 2 c 5 a.β = = a 2 1 1 J = Jumlah = - a b

æa + b = - çç è a .b

@ akar-akar

Ditulis :

-

1 1 dan a a

-

1 x

Berlawanan

3

ö 3 ÷÷ = - 2 = 5 5 ø 2

1 1 )( - ) b a 1 a 2 = = = a .b c 5

Berkebalikan

K = Kali = ( -

r Gunakan Rumus : x2 –Jx + K = 0 3 5

x2 + x +

2 =0 5

5x2 +3x +2 = 0

@

Perhatikan terobosannya :

2x2 -3x +5 = 0 Berkebalikan : 5x2 -3x +2 = 0 Berlawanan : 5x2 +3x +2 = 0

Jawaban : C


6

6. EBTANAS 2002/P1/No.1 Persamaan kuadrat x2 +(m -2)x +9 = 0 akar-akarnya nyata. Nilai m yang memenuhi adalah… A. m £ -4 atau m ³ 8 B. m £ -8 atau m ³ 4 C. m £ -4 atau m ³ 10 D. -4 £ m £ 8 E. -8 £ m £ 4

1 Persamaan kuadrat : x2 +(m -2)x +9 = 0 a =1 b = m -2 c=9 mempunyai dua akar nyata, maka D ≥ 0 b2-4ac ≥ 0 (m -2)2 -4.1.9 ³0 m2 -4m -32 ³ 0 (m -8)(m +4) ³ 0 Pembuat nol : m = 8 atau m =-4 Garis Bilangan :

+

-

2

1 ax +bx +c = 0

D ³ 0 à syarat kedua akarnya Nyata, D = b2 -4.a.c

1 ³ 0 ,artinya : bil.kecil “atau”

bil.besar

+

-4 8 Jadi : m £ -4 atau m ³ 8

Jawaban : A

1 x2 +(m -2)x +9 = 0 D ≥ 0 Þ b2-4ac ≥ 0 (m -2)2 -4.1.9 ³0 m2 -4m -32 ³ 0 (m -8)(m +4) ³ 0 Karena Pertidaksamaannya ≥ 0, maka : Jadi : m ≤ -4 atau m ≥ 8


7

7. EBTANAS 2003/P2/No.1 Persamaan kuadrat (k +2)x2 -(2k -1)x +k -1 = 0 akar-akarnya nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah… 9 A. 8 2 8 B. D. 9 5 5 1 C. E. 2 5

1

(k +2)x2 -(2k -1)x +k -1 = 0

a = k+2 b = -(2k-1) c =k-1 D = 0 , syarat

b2-4.a.c = 0 (2k-1)2-4(k +2)(k -1) = 0

1 ax2 +bx +c = 0 D = 0 à syarat kedua akarnya Nyata dan sama 1 Jumlah akar-akarnya :

x1 + x 2 = -

4k2 -4k +1 -4k2-4k +8 = 0

ðk=

1

b a

9 8

x1 + x 2 = -

b 2k - 1 = = a k +1

9 4 9 8

-1 +1

=

10 2 = 25 5

JAWABAN : D


8

8. EBTANAS 1995 Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x2-9x +4= 0 adalah…. A. - 94 B. - 34 C. - 94 D.

9 4

E. ¾

1

3x2-9x +4= 0, missal akarakarnya x1 dan x2 maka :

1

Jika akar-akar x1 dan x2 , maka yang dimaksud “ Jumlah Kebalikan “ adalah 1 1 b + =x1 x 2 c

1

3x2 -9x +4 = 0

x + x2 1 1 + = 1 x1 x 2 x1 .x 2 =

=

= =

b a c a -9 3 4 3 9 3 ´ 3 4 9 4 -

JAWABAN : D

1 1 b + =x1 x 2 c -9 9 == 4 4


9

9. PREDIKSI UAN/SPMB Bila jumlah kuadrat akar-akar persamaan : x2- (2m +4)x +8m = 0 sama dengan 52 maka salah satu nilai m adalah…. A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 E. 9

x2- (2m +4)x +8m = 0 x1 +x2 = 2m +4 x1x2 = 8m Jika akar-akar x1 dan x2 , maka yang dimaksud “ Jumlah kuadrat “ adalah x12+x22 = (x1 +x2)2 -2x1x2

1

1

2

1

Jumlah Kuadrat b 2 - 2ac x12 + x 22 = a2

2

1 x1 +x2 = 52

(x1 +x2)2 -2x1x2 = 52 (2m +4)2 -2(8m) = 52 4m2 +16m +16 -16m = 52 4m2 = 36 m2 = 9 m = 3 atau m = -3 x12 + x 22 = 52 =

b 2 - 2ac

a2 (2m + 4) 2 - 2.1.8m

12 4m + 16m + 16 - 16m = 52 4m 2 = 36 Þ m 2 = 9 m = ±3 2

JAWABAN : B


10

10. EBTANAS 2000 Persamaan x2 -8x +k = 0 mempunyai akar-akar yang berbanding seperti 3 : 1, harga k adalah… A. 10 B. 12 C. 16 D. 8 E. -8

Persamaan x2 -8x +k = 0 x1 : x2 = 3 : 1 atau x1 = 3x2 …….(i) b @ x1 + x 2 = - = 8 a 3x2+x2 = 8 4x2 = 8 berarti x2 = 2 1

1

Jika Persamaan : ax2 +bx +c = 0, mempunyai perban -dingan m : n, maka ; b 2 (m.n) c= a ( m + n) 2

@ x2 = 2 substitusi ke (i) x1 = 3.2 = 6 c =k a 6.2 = k berarti k = 12

@ x1 .x 2 =

1

k=

JAWABAN : B

x2 -8x +k = 0 .Perbandingan 3 : 1 (-8) 2 .(3.1) 64.3 = = 12 16 1.(3 + 1) 2


11

11. PREDIKSI UAN/SPMB Akar-akar persamaan 2x2 -6x –p = 0 adalah x1 dan x2, jika x1– x2 = 5, maka nilai p2 -2p adalah… A. 42 B. 46 C. 48 D. 64 E. 72

2

1 2x -6x –p = 0

x1– x2 = 5 x1+x2 = 3 x1.x2 = -

2

1 Jika akar-akar persamaan ax

+bx +c = 0, x1 dan x2 maka : D x1 - x 2 = atau a

p 2

( x1 - x 2 ) 2 = x 12 - 2 x1 x 2 + x 22 p 5 2 = x 12 + x 22 - 2.(- ) 2 25 = ( x1 + x 2 ) 2 - 2 x1 x 2 + p p 25 = 3 2 - 2(- ) + p 2 25 = 9 + p + p 2 p = 16 p =8

1 x1 - x 2 =

1 2 1 2x -6x –p = 0

2

1 p -2p = 64 -2.8

= 64 -16 = 48

JAWABAN : C

b 2 - 4ac a

x1 –x2 = 5 5=

( -6 ) 2 - 4.2( - p ) 2

10 = 36 + 8 p 100= 36 +8p ,berarti p = 8 p2 -2p = 64 -2.8 = 64 -16 = 48


12

12. PREDIKSI UAN/SPMB Supaya persamaan x2 +ax +a = 0 mempunyai dua akar berlainan, harga a harus memenuhi… A. a £ 0 atau a ³ 4 B. 0 £ a £ 4 C. a < 0 atau a > 4 D. 0 < a < 4 E. 0 < a < 1

2

1 x +ax +a = 0

kedua akar berlainan, syarat D > 0 atau : b2 -4ac > 0 a2 -4a > 0 a(a -4) >0 Karena > 0 artinya terpisah. Jadi : a < 0 atau a > 4

2

1 Jika ax +bx +c = 0, Kedua

akarnya berlainan maka : D > 0 atau b2 -4ac > 0 1 ≥0

> 0, artinya terpisah Jadi : kecil “atau”besar

Mudeh……. .!

JAWABAN : C


13

13. PREDIKSI SPMB Jika akar-akar persamaan kuadrat x2 -2ax +a -2 = 0 tidak sama tandanya, maka…. A. a < -1 atau a > 2 B. -1 < a < 2 C. -2 < a < 2 D. -2 < a < 1 E. a < -2

2

1 x -2ax +a +2 = 0

berlainan tanda, syaratnya : ( i ) x1 .x2 < 0 a +2 < 0 , berarti a < -2 ( ii ) D > 0 4a2-4.1.(a +2) > 0 4a2 -4a -8 >0 a2 –a -2 > 0 (a -2)(a +1) > 0 a < -1 atau a > 2

1 Jika akar-akar :

ax2 +bx +c = 0, tidak sama tandanya , maka : ( i ) x1 .x2 < 0 dan ( ii ) D > 0

(i)

-2 -1

2

(ii)

Jadi : a < -2

JAWABAN : E


14

14. PREDIKSI UAN/SPMB Agar supaya kedua akar dari x2+(m +1)x +2m -1= 0 tidak real, maka haruslah… A. m < 1 atau m > 5 B. m £ 1 atau m ³ 5 C. m > 1 D. 1 £ m £ 5 E. 1 < m < 5

1 x +(m +1)x +2m -1 = 0

1

D<0 (m +1)2 -4.1.(2m -1) < 0 m2 +2m +1 -8m +4 < 0 m2 -6m +5 < 0 (m -1)(m -5) < 0 < 0, artinya terpadu Jadi : 1 < m < 5

Supaya kedua akar ax2+bx +c = 0 imajiner atau tidak real ,maka : D < 0

1

D = b2-4ac

2

kecil

besar

<0 ≤ 0 , artinya terpadu

Jadi : kecil “tengahnya” besar

tengahnya

JAWABAN : E


15

15. PREDIKSI SPMB Jika salah satu akar x2 +px +q = 0 adalah dua kali akar yang lain, maka antara p dan q terdapat hubungan… A. p = 2q2 B. p2 = 2q C. 2p2 = 9q D. 9p2 = 2q E. p2 = 4q

x2 +px +q = 0, akarakarnya dua kali akar yang lain, artinya : x1 = 2x2 b 1 x1 + x 2 = - = - p a 2x2 +x2 = -p p 3x2 = -p atau x2 = 3 c 1 x1 .x 2 = = q a 2x2.x2 = q p p 2(- )(- ) = q 3 3 2 2p =q 9 2p2 = 9q 1

JAWABAN : C

1 Jika akar-akarPersamaan ax

2

+bx +c = 0, mempunyai perbandingan m : n, maka b 2 (m.n) c= a ( m + n) 2

1 2 1 x +px +q = 0

x1 = 2x2 atau x1 : x 2 = 2 : 1 p 2 (2.1) 1 q= 1.(2 + 1) 2 9q = 2p2


16

16. PREDIKSI UAN/SPMB Jika salah satu akar persamaan ax2+5x -12 = 0 adalah 2, maka …. A. a = ½ , akar yang lain -12 B. a = ¼ , akar yang lain 12 C. a = 1/3 , akar yang lain -12 D. a = 2/3, akar yang lain 10 E. a = ½ , akar yang lain -10

2

1 Persamaan ax +5x -12 = 0

salah satu akarnya x1 = 2, maka : a(2)2 +5.2 -12 = 0 4a +10 -12 = 0 1 a= 2 1 x1.x2 = - 12 e 2x2 = -24 1

1

ax2 +bx +c = 0, maka c x1 .x2 = a

2

x2 = -12

JAWABAN : A


17

17. Persamaan kuadrat x2 -5x +2 = 0 mempunyai akar p dan q. Persamaan kuadrat dengan akarr-akar p2 dan q2 adalah… A. x2 +21x +4 = 0 B. x2 -21x +4 = 0 C. x2 -21x -4 = 0 D. x2 +x -4 = 0 E. x2 +25x +4 = 0

1

1

1

x2 -5x +2 = 0, akar p dan q b p +q = - = 5 a c p.q = = 2 a missal akar-akar baru a dan β

1 Jika akar-akar :

ax2 +bx +c = 0, x1 dan x2 maka Persamaan baru yang akar-akarnya x12 dan x22 adalah : a2x2 –(b2-2ac)x + c2 = 0

a = p2 dan β = q2 a +β = p2 +q2 = (p +q)2 -2pq = 25-2.2 = 21 a.β = p2.q2 = (p.q)2 = 22 = 4 Gunakan Rumus : x2 –(a+β)x +a.β = 0 x2 -21x +4 = 0

JAWABAN : B

2

1 x -5x +2 = 0

a = 1, b = -5, c = 2 1 Persamaan K.Baru :

12x2 –(25-2.1.2)x +22 = 0 x2 -21x +4 = 0


18

18. PREDIKSI UAN/SPMB Jika selisih akar-akar persamaan x2-nx +24 = 0 sama dengan 5, maka jumlah akar-akar persamaan adalah…. A. 11 atau -11 B. 9 atau -9 C. 7 atau -8 D. 7 atau -7 E. 6 atau -6

2

1 x -nx +24 = 0

x1+x2 = n x1.x2= 24 diketahui x1-x2 = 5 ( x1 - x 2 ) 2 = x 12 - 2 x1 x 2 + x 22 5 2 = x 12 + x 22 - 2.24

1 Selisih akar-akar persa-

maan ax2 +bx +c = 0 D adalah : x1 - x 2 = a D atau ( x1 - x 2 ) 2 = 2 a

25 = ( x1 + x 2 ) 2 - 2 x1 x 2 - 48 25 = n 2 - 2.24 - 48 25 = n 2 - 48 - 48 25 = n 2 - 96 n 2 = 121 n = ±11 1

Jumlah akar-akar : x1+x2 = n = ! 11

2

1 x -nx +24 = 0

52 =

n 2 - 4.1.24

12 25 = n -96 n2 = 121 n = ! 11 1 x1+x2 = n = ! 11 2

JAWABAN : A


19

19. PREDIKSI UAN/SPMB Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan x2+kx+k=0 maka x12+x22 mencapai nilai minimum untuk k sama dengan…. A. -1 B. 0 C. ½ D. 2 E. 1

1

x2+kx+k = 0 x1 +x2 = -k x1.x2 = k

1

Misal : z = x12 + x 22

Ingat... “ Nilai Max/min “ arahkan pikiran anda ke “TURUNAN = 0” Ingat juga : b 2 - 2ac x12 + x 22 = a2

1

1

z = x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) 2 - 2 x1 .x 2 b c = (- ) 2 - 2 a a - k 2 2k =( ) 1 1 2 = k - 2k 1 z’ = 2k -2

0 = 2k -2 e k = 1

x2+kx+k = 0 b 2 - 2ac z = x12 + x 22 = a2

1

=

k 2 - 2.1.k 1

JAWABAN : E

2

= k 2 - 2k

1 z’ = 2k -2

0 = 2k -2 e k = 1


20

20. PREDIKSI UAN/SPMB a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat : x2+4x+a-4=0, jika a =3b, maka nilai a yang memenuhi adalah…. A. 1 B. 4 C. 6 D. 7 E. 8

1

1

x2+4x+a-4=0, akarakarnya mempunyai perbandingan : a = 3β b a + b = - = -4 a 3β +β = -4 4β = -4 atau β = -1 c a .b = = a - 4 a 3β.β = a -4 3(-1)(-1) = a - 4 3 = a -4 , berarti a = 7

ax2+bx +c =0, akar-akar mempunyai perbandingan : na = mb , maka :

1

c=

b 2 (m.n) a.(m + n) 2

2

1 x +4x+a-4=0

a-4=

JAWABAN : D

4 2 (1.3)

1.(1 + 3) a = 3+4 =7


2

=

3.16 =3 16

21

21. PREDIKSI UAN/SPMB Jika jumlah kedua akar persamaan : x2+(2p-3)x +4p2-25 = 0, sama dengan nol, maka akar-akar itu adalah…. A. 3/2 dan – 3/2 B. 5/2 dan – 5/2 C. 3 dan 3 D. 4 dan -4 E. 5 dan -5

@ x2+(2p-3)x +4p2-25 = 0 diketahui : x1 +x2 = 0 b - =0 a 2p - 3 = 0 , berarti : 1 3 2p -3 = 0 atau p = 2 3 @ untuk p = substitusi keper 2 samaan kuadrat , di dapat : x2 + 0.x +4(3/2)2-25 = 0 x2 +9 -25 = 0 x2 = 16 x=!4

JAWABAN : D

p

Jumlah akar-akar = 0, maksudnya adalah : x1 +x2 = 0, berarti : b - =0 a Sehingga b = 0

1

x2+(2p-3)x +4p2-25 = 0 b =0 (syarat jumlah = 0) 2p -3 = 0 e p = 3/2 x2 +0.x+4(3/2)2-25 = 0 x2 +9 -25 = 0 x2 = 16 e x = ! 4


22

22. PREDIKSI UAN/SPMB Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua lebih besar dari akarakar persamaan : 3x2 -12x +2 = 0 adalah….. A. 3x2 -24x +38 = 0 B. 3x2 +24x +38 = 0 C. 3x2 -24x -38 = 0 D. 3x2 -24x +24 = 0 E. 3x2 -24x -24 = 0

2

1 3x -12x +2 = 0

b - 12 ==4 a 3 c 2 x1.x2 = = a 3

x1 +x2 = -

1 Persamaan baru yg akarakarnya dua lebih besar, artinya : x1 +2 dan x2 +2 missal a = x1 +2 dan β = x2 +2 a +β = x1 +x2 +4 =4+4=8 a .β = (x1 +2)( x2 +2) = x1.x2 +2(x1+x2) +4

2 2 +2.4 +4 = 12+ 3 3 38 = 3

p

p

Jika akar-akar persaman x1 dan x2 ,maka akar-akar yang n lebih besar maksudnya x1+n dan x2+n Persamaan kuadrat yang akarakarnya n lebih besar (x1+n dan x2+n) dari akar-akar persamaan : ax2 +bx +c = 0 adalah : a(x-n)2 +b(x-n) +c = 0

=

1 Gunakan Rumus : x2 –(a +β)x +a.β = 0 x2 -8x +

38 = 0 --- kali 3 3

3x2 -24x +38 = 0

JAWABAN : A

1 Perhatikan terobosannya n = 2 à 3x2 -12x +2 = 0 3(x 2)2-12(x -2) +2 = 0 3(x2-4x+4) 2 12x+24 +2 = 0 3x -12x +12 12x + 26 = 0 3x2 -24x +38 = 0


23

23. PREDIKSI UAN/SPMB Salah satu akar persamaan x2+ax -4 = 0 adalah lima lebih besar dari akar yang lain. Nilai a adalah…. A. -1 atau 1 B. -2 atau 2 C. -3 atau 3 D. -4 atau 4 E. -5 atau 5

2

1x

+ax -4 = 0

b a = - = -a a 1 c -4 x1.x2 = = = -4 a 1 diketahui salah satu akarnya 5 lebih besardari akar yang lain,maksudnya x1 = x2 +5 1 x1 +x2 = -a x2 +5 +x2 = -a 2x2 = -a -5 sehingga -a-5 x2 = berarti : 2 -a-5 -a+5 x1 = +5= 2 2 1 x1.x2 = -4 (-a - 5) (- a + 5) . = -4 2 2 a 2 - 25 = -16 a2 = 9 a = ±3 JAWABAN : C

x1 +x2 = -

2

1 Salah satu akar ax +bx+c = 0

adalah k lebih besar dari akar yang lain, maksudnya : x1 = x2 +k, di dapat : D = a2k2

1 Perhatikan terobosannya

x2+ax -4 = 0 D = a2.k2 b2 -4ac = a2.k2 a2 -4.1.(-4) = 12.52 a2 +16 = 25 a2 = 9 e a = ! 3


24

24.PREDIKSI UAN/SPMB Akar persamaan x2+ax -4 = 0 adalah x1 dan x2, jika x12-2x1x2 +x22 = 8a, maka nilai a adalah…. A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10

2 x2 +ax -4 = 0 x1+x2 = -a x1.x2 = -4 2 x12-2x1x2 +x22 = 8a (x1+x2)2 -4x1x2 = 8a a2 -4.(-4) = 8a a2 +16 = 8a a2 -8a +16 = 0 (a -4)(a -4) = 0 a=4

2 (a +b)2=a2 +2ab +b2 2 (a -b)2 = a2 -2ab +b2 = (a +b)2-4ab

JAWABAN : B


25

25. PREDIKSI UAN/SPMB Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat : x2 -5x +k +3 = 0, dan x12+x22 = 13, maka k adalah…. A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 E. 18

2 x2 -5x +k +3 = 0 b -5 x1 +x2 = - = =5 a 1 c k +3 x1.x2 = = =k +3 a 1 2 x12+x22 = 13 (x1+x2)2 -2x1.x2 = 13 52 -2(k +3) = 13 25 -2k -6 = 13 2k = 19 -13 2k = 6 k=3

Ingat...!

1

x12

1

+

x 22

=

b 2 - 2ac a2

x2 -5x +k +3 = 0 x12+x22 = 13 b 2 - 2ac a2

= 13

25 - 2.1.(k + 3) 12

JAWABAN : B

= 13

25 -2k -6 = 13 -2k = -6 e k = 3


26

26. PREDIKSI UAN/SPMB Jika x1 dan x2 merupakan akar persamaan : x2 –(a -1)x + a = 0. Nilai stasioner dari x13+3x1x2 + x23 dicapai untuk a = …. A. 1 dan 2 B. 1 dan 3 C. 3 dan 2 D. -1 E. 0, -1 dan 1

x2 –(a -1)x + a = 0 b x1 +x2 = - = a - 1 a c a x1.x2 = = = a a 1 1 missal : z = x13+ x23+3x1x2 = (x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)+3x1x2 = (a -1)3-3a(a -1) +3a = (a -1)3 -3a2 +6a z’ = 3(a -1)2-6a +6 = 3(a2-2a+1) -6a +6 = 3a2 -12a +9 0 = 3a2-12a +9 a2 -4a + 3 = 0 (a -3)(a -1) = 0 a = 3 atau a = 1 1

1

Ingat....! - b 3 + 3abc x13 + x 23 = a3 atau

x13 + x23 = ( x1 + x2 ) 3 - 3x1 x 2 ( x1 + x 2 )

Stasioner e TURUNAN = NOL

JAWABAN : B


27

27. PREDIKSI UAN/SPMB Kedua akar persamaan p2x2-4px +1 = 0 berkebalikan, maka nilai p adalah…. A. -1 atau 2 B. -1 atau -2 C. 1 atau -2 D. 1 atau 2 E. -1 atau 1

p2x2-4px +1 = 0 kedua akarnya saling berkebalikan, artinya : 1 atau x1 = x2 x1 .x2 = 1 c =1 a 1 =1 p2 p2 =1 p = ±1

1

1

1

Jika kedua akar : ax2+bx +c = 0 saling berkebalikan, maka : a=c

Jadi p = -1 atau p = 1

p2x2-4px +1 = 0 a=c p2 = 1 p = -1 atau p = 1

1

JAWABAN : E


28

28. Akar-akar persamaan x2 +6x -12 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan baru yang akar-akarnya

3 3 + dan x1.x2 adalah…. x1 x 2

A. x2 +9x -18 = 0 B. x2 -21x -18 = 0 C. x2 +21x -18 = 0 D. 2x2 +21x -36 = 0 E. 2x2 +18x -18 = 0

1

x2 +6x -12 = 0 x2 –( x3 + x3 + x1.x 2 ) x + x3 + x3 .x1.x 2 = 0 1 2 1 2 3( x + x )

3( x + x )

x2 –( x1. x 2 + x1 .x 2 ) x + ( x1. x 2 ).x1.x 2 = 0 1 2 1 2 x2 –(3(- bc ) + ac )x+3(- ba ) = 0 x2 –( 32 -12)x -18= 0 ….Kalikan 2 x2 +21x -36 = 0

1

Persamaan kuadrat Baru : x2 + Jx + K = 0 J = Jumlah akar-akarnya K = Hasil kali akar-akarnya


29

29. SPMB 2003//420-IPA/No.11 Akar-akar persamaan kuadrat x2 +6x +c = 0 adalah x1 dan x2. Akarakar persamaan kuadrat x 2 + ( x12 + x22 ) x + 4 = 0 adalah u dan v.Jika u+v = -u.v, maka x13 x 2 + x1 x23 = …. A. -64 B. 4 C. 16 D. 32 E. 64

1 x 2 + ( x12 + x 22 ) x + 4 = 0

akar-akarnya u dan v u+v = -u.v , artinya : - ( x12 + x 22 ) = x12 + x 22 = 4

-4

2

1 x +6x +c = 0,

1

x 2 + ( x12 + x22 ) x + 4 = 0 a = 1

b = x12 + x 22 c=4 b 2 - 2ac 1 x12 + x 22 = a2

x12 + x 22 = 4 36 - 2.1.c =4 12 36 - 2c = 4 2c = 32 c = 16 1 x13 x2 + x1x23 = x1.x2 ( x12 + x12 )

= c. 4 = 4c = 4.16 = 64

JAWABAN : E


30

30. UAN 2003/P-1/No.1 Bilangan bulat m terkecil yang memenuhi persamaan 2x(mx -4) = x2 -8 agar tidak mempunyai akar real adalah…. A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 E. 3

O 2x(mx -4) = x2 -8

2mx2 -8x = x2 -8 atau (1-2m)x2 +8x -8 = 0 D < 0 (syarat ) b2 -4ac < 0 82 -4(1-2m)(-8) < 0 64 +32(1-2m) < 0 2 + 1 -2m <0 3 < 2m 3 m> . 2 berarti m bulat adalah : 2,3,4,5,…..

1

ax2 +bx +c = 0, tidak mempunyai akar real artinya : b2 -4ac < 0

Jadi m bulat terkecil adalah : 2

Jawaban : D


31

31. UAN 2004/P-1/No.1 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah… A. x2 +7x +10 = 0 B. x2 -7x +10 = 0 C. x2 +3x +10 = 0 D. x2 +3x -10 = 0 E. x2 -3x -10 = 0

1

Diketahui akar-akarnya 5 dan -2, berarti : x1 = 5 dan x2 = -2

1

x1 +x2 = 5 +(-2) = 3 x1 .x2 = 5.(-2) = -10

1

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 rumusnya adalah : x2 –(x1+x2)x +x1.x2 = 0 x2 -3x -10 = 0

1 Persamaan kuadrat, dapat di

susun menggunakan rumus : x2 –Jx +K = 0 dengan : J = Jumlah akar K = hasil kali akar

1 Akar-akar 5 dan -2, maka :

JAWABAN : E

x2 –Jx +K = 0 x2 –(-2+5)x +(-2).5 = 0 x2 -3x -10 = 0


32

1. UAN 2004/P-1/No.2 Tinggi h meter dari suatu peluru yang ditembakan vertical ke atas dalam waktu t detik dinyatakan sebagai h(t ) = 10t - t 2 . Tinggi maksimum peluru tersebut adalah… A. 15 meter B. 25 meter C. 50 meter D. 75 meter E. 100 meter

1

Pandang h(t ) = 10t - t 2

sebagai fungsi kuadrat dalam t. maka : a = -1 b = 10 c=0 1

Tinggi maksimum, didapat dengan rumus : D h(t ) max = - 4a b 2 - 4ac = - 4a 10 2 - 4.(-1).0 = - 4(-1) 100 - 0 = 4 = 25 JAWABAN : B

1 Fungsi kuadrat : F(x) = ax2 +bx +c memPunyai nilai max/min

f ( x) max/ min =

D - 4a

1 Soal yang berkaitan dengan nilai maksimum atau minimum diselesaikan dengan : “Turunan = 0”

1 h(t ) = 10t - t 2

h' (t ) = 10 - 2t 0 = 10 - 2t t =5 h(5) =10.5 - 52 = 50 - 25 = 25


33

2. Nilai minimum fungsi yang ditentukan oleh rumus f(x) = 2x2-8x +p adalah 20. Nilai f(2) adalah…. A. -28 B. -20 C. 12 D. 20 E. 28

2

1 f(x) = 2x -8x +p

a=2 b = -8 c=p Nilai maksimum = 12, D f ( x) max = - 4a 2 b - 4ac 12 = - 4a (-8) 2 - 4.2. p 12 = - 4 .2 64 - 8 p - 8 + p 12 = = -8 1 12 = -8 + p p = 12 + 8 = 20

JAWABAN : D

1 1 Nilai minimum dari

f(x) =ax2+bx +c adalah

f (- 2ba ) = a(- 2ba ) 2 + b(- 2ba ) + c

2

1 f(x) = 2x -8x +p

x = -2 ab = - 2( -.28) = 2 2 1 20 = 2(2) -8(2) +p 20 = -8 + p → p = 28 2 1 f(2) = 2.2 -8.2 + 28 = 8 -16 +28 = 20


34

3. Ebtanas 1999 Grafik dari f(x) = x2 –x –2 adalah… A.

Y

X B.

Y D.

Y

X

X C.

E.

Y

Y X

X

2

1 f(x) = x –x –2

· Titik potong dengan sumbu X, yaitu y = 0 x2 –x –2 = 0 (x +1)(x –2) = 0 di dapat x = -1 atau x = 2, maka koordinat titik potongnya dengan sumbu X adalah (1,0) dan (2,0) · Titik potong dengan sumbu Y, yaitu x = 0 Maka y = 02-0-2 = -2 Jadi titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0, -2).

§

Titik Puncaknya : 2 æ b D ö æç -1 (-1) - 4.1.(-2) ö÷ ç- , ÷ = ç- , ÷ - 4.1 è 2a - 4a ø è 2 ø

æ 1 1+8ö =ç , ÷ è 2 -4 ø æ 1 9ö =ç ,- ÷ è 2 4ø

Y

· Puncak : æç - b , D ö÷ è

2a - 4a ø

Dari fungsi di atas : a=1 b = -1 c = -2

-1


2

X

1 9 ( ,- ) 2 4

35

4. Ebtanas 1999 Grafik dari f(x) = x2 –x –2 adalah… A.

Y

X B.

Y D.

Y

X

X C.

E.

Y

Y X

X

1 2 1 f(x) = x –x –2

a = 1 > 0 ,berarti grafik membuka ke atas. C dan E salah b = -1 < 0,grafik berat ke Kanan, B dan D salah. Jadi hanya sisa pilihan A

v Pada grafik y = ax2+bx+c § a terkait dengan “bukabukaan “grafiknya. a > 0, grafik membuka ke atas. a < 0, grafik membuka ke bawah.

§ §

c terkait dengan titikpotong grafik dengan sumbu Y. c > 0, grafik memotong grafik di Y + c = 0, grafik memotong titik asal (0,0) c < 0, grafik memotong sumbu Y negatif (-)

b terkait dengan posisi grafik terhadap sumbu Y. b > 0, grafik berat ke Kiri jika a > 0, dan berat ke Kanan jika a<0 b = 0, grafik dalam keadaan Seimbang. b < 0, grafik berat ke Kanan jika a > 0, dan berat ke Kiri, jika a < 0.


36

5. Garis y =x -10 memotong parabol y =x2 –ax +6 di dua titik berlainan jika….. A. a ≥ -9 B. a ≤ -9 atau a ≥ 7 C. a < -9 atau a > 7 D. -9 ≤ a ≤ 7 E. -9 < a < 7

1 Garis y = x- 10 memotong

@ @

Garis y = mx +n Parabol y = ax2 +bx c, maka : D = (m-b)2 -4a(c –n)

y = x2 –ax +6, didua titik. Berarti : x –10 = x2 –ax +6 x2 –ax –x +6 +10 = 0 x2-(a +1)x +16 = 0 1 Memotong di dua titik, maka D>0 (a +1)2 -4.1.16 > 0 a2 +2a -63 > 0 (a +9)(a -7) > 0 Uji ke garis bilangan : Missal nilai a = 0 (0 +9)(0 –7) = -63 (negatif)

+

+

-9

7

Padahal nilai a > 0 atau positif Jadi : a < -9 atau a > 7

JAWABAN : C

@ @

@ @

Memotong di dua titik artinya : (m-b)2 -4a(c –n) > 0 > 0 artinya “terpisah” oleh atau

y = x- 10, y = x2 –ax +6 (m-b)2 -4a(c –n) > 0 (1 +a)2-4.1(6 +10) >0 (1 +a)2 –64 > 0 (1 +a+8)(1 +a-8) >0 (a +9)(a –7) > 0 Jadi : a < -9 atau a > 7


37

6. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x = 1 dan mempunyai nilai 3 untuk x = 2 adalah…. A. y = x2 -2x +1 B. y = x2 -2x +3 C. y = x2 +2x -1 D. y = x2 +2x +1 E. y = x2 +2x +3

v Misal fungsi kuadrat : y = ax2 +bx +c x = 1, merupakan sumbu simetri, rumusnya

x=-

b b atau 1 = 2a 2a

2a = -b atau 2a +b = 0 …(i) v Grafik melalui (1 ,2) berarti : 2 = a +b +c atau a+b +c = 2..(ii) v Grafik melalui (2 ,3) berarti : 3 = 4a +2b +c atau 4a+2b+c=3 …(iii) v Pers(iii)-Pers(ii) di dapat: 3a +b = 1 ….(iv) v Pers (iv)-pers(i) di dapat : a = 1, substitusi ke pers (i) di dapat b = -2 untuk a = 1 dan b = -2 substitusi kepersamaan (ii) di dapat : c = 3 v Substitusikan nilai-nilai a,b dan c ke persamaan umum di dapat : y = x2 –2x +3 JAWABAN : B

v y = a(x –p)2 +q q = nilai max/min untuk x = p v Mempunyai nilai a untuk x = b , maksudnya y = a , x=b

v v y = a(x –p)2 +q

y = a(x -1)2 +2 y = 3 untuk x = 2 3 = a(2 -1)2 +2 didapat a = 1 v y = 1.(x -1)2 +2 = x2 -2x + 3


38

7. Prediksi UAN/SPMB Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x = 1 dan mempunyai nilai 3 untuk x = 2 adalah…. A. y = x2 -2x +1 B. y = x2 -2x +3 C. y = x2 +2x -1 D. y = x2 +2x +1 E. y = x2 +2x +3

v Misal fungsi kuadrat : y = ax2 +bx +c x = 1, merupakan sumbu simetri, rumusnya

x=-

b b atau 1 = 2a 2a

2a = -b atau 2a +b = 0 …(i) v Grafik melalui (1 ,2) berarti : 2 = a +b +c atau a+b +c = 2..(ii) v Grafik melalui (2 ,3) berarti : 3 = 4a +2b +c atau 4a+2b+c=3 …(iii) v Pers(iii)-Pers(ii) di dapat: 3a +b = 1 ….(iv) v Pers (iv)-pers(i) di dapat : a = 1, substitusi ke pers (i) di dapat b = -2 untuk a = 1 dan b = -2 substitusi kepersamaan (ii) di dapat : c = 3 v Substitusikan nilai-nilai a,b dan c ke persamaan umum di dapat: y = x2 –2x +3 JAWABAN : B

v Nilai minimum 2 untuk x = 1,artinya puncaknya di (1, 2) dan grafik pasti melalui puncak. v Nilai 3 untuk x = 2,artinya grafik tersebut melalui tutik (2 ,3)

1 Grafik melalui (1 ,2), uji

x = 1 harus di dapat nilai y = 2 pada pilihan 1 Pilihan A : y = 12 –2.1+1 = 0 ¹ 2 berarti pilihan A salah 1 Pilihan B y = 12 –2.1+3 = 2 Jadi Pilihan B benar


39

8. Prediksi UAN/SPMB Garis y = x +n akan menyinggung parabola : y = 2x2 +3x -5, jika nilai n sama dengan… A. 4,5 B. -4,5 C. 5,5 D. -5,5 E. 6,5

1 Garis

y = x +n akan menyinggung parabola : y = 2x2 +3x –5 , berarti : x +n = 2x2 +3x –5 2x2 +3x –x –5 –n =0 2x2 +2x –5 –n =0 a = 2, b= 2 dan c = -5-n

1 Ada garis : y = mx +n

Parabol : y = ax2 +bx +c maka : D = (b –m)2 -4.a(c –n)

1 Menyinggung,maka D = 0 b2-4ac = 0 22 –4.2(-5-n) = 0 4 –8(-5-n) = 0 4 +40 +8n =0 8n = -44

44 8 = -5,5

n=-

1 1 y = x +n , menyinggung

parabol : 2

1 y =2x +3x -5 2

(3 -1) -4.2(-5-n) = 0 4 +40 +8n = 0 JAWABAN : D


8n = -44 n = -5,5

40

9. Prediksi UAN/SPMB Nilai tertinggi fungsi f(x) = ax2+4x+a ialah 3, sumbu simetrinya adalah x = …. A. -2 B. -1 C. – ½ D. 2 E. 4

Gunakan info smart : 1

2

1 F(x) = ax +bx +c

F(x) = ax2 +4x +a a = a, b = 4 dan c = a Nilai tertinggi = 3=

16 - 4.a.a - 4a

b 2 - 4ac - 4a

Nilai tertinggi atau nilai b 2 - 4ac terendah = - 4a Perhatikan rumusnya SAMA

16 -4a2 = -12a a2 -3a -4 = 0 (a -4)(a +1) = 0 a = -1 (sebab nilai tertinggi/max , a < 0) x=

b 4 = =2 - 2a - 2( -1)

JAWABAN : D


41

10. Prediksi UAN/SPMB Garis y = 6x -5 memotong kurva y =x2-kx +11 di titik puncak P. Koordinat titik P adalah….. A. (2, 7) B. (1, -1) C. (-2, -17) D. (-1, -11) E. (2, 13)

2

1 y = x –kx +11

a = 1, b = -k dan c = 11 æ b b 2 - 4ac ö ÷ Puncak çç , - 4a ÷ø è - 2a

2

1 y = ax +bx +c

æ b b 2 - 4ac ö ÷ Puncak çç , - 4a ÷ø è - 2a

æ - k (-k) 2 - 4.1.11ö æ k k 2 - 44ö ç ÷ =ç , ÷ ç - 2.1 , ÷ ç2 -4 ÷ - 4.1 ø è ø è

k k 2 - 44 dan y = 2 -4 diSusi-susi ke y = 6x-5 k 2 - 44 k =6. -5 = 3k -5 -4 2 2 k -44 = -4(3k -5) k2 +12k -64 = 0 (k -4)(k +16) = 0 k = 4 atau k= -16 1 untuk k = 4 Maka Puncak nya :

disini : x =

æ k k2 - 44ö æ 4 16- 44ö ç , ÷ ç 2 - 4 ÷ = çè 2 , - 4 ÷ø = (2,7) è ø JAWABAN : A

1 1 Perhatikan , kita asum

sikan semua pilihan A –E adalah Puncak Parabola. Dan Puncak tersebut melalui garis

y = 6x-5 1 Uji pilihan A.

Ganti x = 2 harus di dapat y = 7. x = 2 ,maka y = 6.2 –5 = 7 berarti pilihan A benar.


42

11. Prediksi UAN/SPMB Jika fungsi kuadrat y = 2ax2-4x +3a mempunyai nilai maksimum 1, maka 27a2-9a = ..... A. -2 B. -1 C. 6 D. 8 E. 18


1

2

1 y = ax +bx +c

y = 2ax2 -4x +3a Nilai maksimum = 1 16 - 4.2a.3a =1 - 4 .2 a 16 -24a2 = -8a 3a2 –a -2 = 0 (3a +2)(a -1) = 0 a = -2/3 (ambil nilai a < 0) 4 9

Nilai max/min =

b 2 - 4ac - 4a

2

1 y = ax +bx +c

maksimum , berarti a negative.

2 3

27a2-9a = 27. - 9(- ) = 12 +6 = 18

JAWABAN : E


43

12. Prediksi UAN/SPMB Fungsi y = f(x) yang grafiknya melalui titik (2,5) dan (7,40) serta mempunyai sumbu simetri x = 1, mempunyai nilai ekstrim….. A. minimum 2 B. minimum 3 C. minimum 4 D. maksimum 3 E. maksimum 4

Gunakan info smart :

1 Sumbu simetri x = p 2

1 Fungsi y = a(x -1) +q

x = 1 melalui (2,5) 5 = a + q ..... (i) melalui (7,40) 40 = 36a + q .... (ii)

Persamaman umum : y = a(x –p)2 +q Nilai maks/min = q

1 Dari (i) dan (ii) didapat :

a+q=5 ü ý(-) 36a + q = 40þ -35a = -35 , a = 1 substitusi ke pers (i) berarti q = 4 1 Karena a = 1 > 0 berarti

minimum , dan q = 4 Jadi Nilai ekstrimnya : minimum = 4 JAWABAN : C


44

13. Prediksi UAN/SPMB Ordinat titik balik maksimum grafik fungsi : y = -x2-(p -2)x +(p -4) adalah 6. Absis titik balik maksimum adalah… A. -4 B. -2 C. – 1/6 D. 1 E. 5


2

1 Y = ax +bx +c

y = -x2 –(p -2)x +(p -4) Ordinat = y = 6

6=

( p - 2 ) 2 - 4 ( -1)( p - 4 ) - 4 ( - 1)

6=

p 2 - 4 p + 4 + 4 p -16 4

Absis titik balik : x = -

b 2a

Ordinat titik balik : b 2 - 4ac y= - 4a

p 2 -12

6= à p2 -36 = 0 4 p2 = 36,maka p = 6 Absis =

p -2 -2

=

6- 2 -2

= -2

JAWABAN : B


45

14. Jika fungsi kuadrat y = ax2+6x +(a +1) mempunyai sumbu simetri x = 3, maka nilai maksimum fungsi itu adalah… A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 E. 18

gunakan Info Smart : 1

y = ax2+6x +(a +1) Sumbu simetri :

6 2a 6a = -6 à a = -1 3= -

2

1 y = ax +bx +c

b 2a 2 b - 4ac Nilai max: y = - 4a Sumbu Simetri : x = -

1 Nilai max

=

36 - 4.(-1)(-1 + 1) =9 - 4(-1)

Jawaban : D


46

15. Grafik fungsi kuadrat y = 2x2 +5x -12 dan fungsi linier y = mx -14 berpotongan pada dua titik jika…. A. m < 9 B. 1 < m < 9 C. m > 9 atau m < 1 D. m > 1 E. m < -9 atau m > -1

1 Ada garis : 1 Titik potong antara :

y = mx -14 dan y = 2x2 +5x -12 adalah : mx -14 = 2x2 +5x -12 2x2 +5x –mx -12 +14 = 0 2x2 +(5 –m)x +2 = 0 1 D > 0 (syarat berpotongan) b2 -4.a.c > 0 (5-m)2 -4.2.2 > 0 25 -10m +m2 -16 > 0 m2 -10m +9 > 0 (m -1)(m -9) > 0 Pembuat nol : m = 1 atau m = 9 1 Gunakan garis bilangan : + + 1

9

y = mx +n 1 Ada parabol :

y = ax2 +bx +c Berpotongan di dua titik, maka : (b –m)2 -4a(c –n) > 0

1

y = mx -14 y = 2x2 +5x -12 1 Berpotongan di dua titik :

Arah positif : Jadi : m < 1 atau m > 9

(5 –m)2 -4.2(-12 +14) > 0

(5 –m)2 -16 > 0 (9 –m)(1 –m) > 0 m < 1 atau m > 9

Jawaban : C


47

16. Garis yang sejajar dengan garis 2x +y = 15 memotong kurva y = 6 +x –x2 di titik (4,-6) dan .. A. (-4,14) B. (1, 4) C. (-1, 4) D. (2, 4) E. (1, 6)

Gunakan info smart : 1 Persamaan garis yang

sejajar dengan 2x +y = 15 melalui titik (4,-6) adalah : 2x +y = 2(4) + (-6) = 2 2x +y = 2 y = -2x +2

1

Persamaan garis melalui (a,b) sejajar Ax+By +C = 0 adalah : Ax +By = Aa +Bb

1 Titik potong garis y = -2x

+2 Dengan parabol y = 6 +x – x2 adalah : 6 +x –x2 = -2x +2 x2 -3x -4 = 0 (x -4)(x +1) = 0 x = -1 atau x = 4 untuk x = -1, di dapat : y = -2(-1) +2 = 4 jadi memotong di (4,-6) dan di (-1,4) Jawaban : C

1 Asumsikan y = 6 +x –x2 melalui semua titik pada pilihan, uji : A. (-4,14)ð14= 6-4+16 =18(S) B. (1, 4)ð 4 = 6+1-1= 6(S) C. (-1,4)ð 4 = 6-1-1 = 4 (B) Jadi jawaban benar : C


48

17. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1 ,3) dan titik terendahnya sama dengan puncak grafik f(x) = x2 +4x +3 adalah…. A. y =4x2 +x +3 B. y = x2 –x -3 C. y =4x2 +16x +15 D. y = 4x2 +15x +16 E. y = x2 +16x +18


f(x) = x2 +4x +3 -b -4 x= = = -2 2 a 2 .1

f(-2) = (-2)2 +4(-2) +3 = -1 Puncaknya : (-2, -1)

1 Pers.Kuadrat dengan puncak P(p, q) adalah y = a(x –p)2 +q 1 f(x) = ax2+bx +c sumbu simetrinya :

x=-

b 2a

P(-2,-1) → y = a(x +2)2 -1 Mel (-1 ,3) → 3 = a(-1 +2)2 -1 →a=4 2 1 Jadi y = 4(x +2) -1 2 = 4(x +4x +4) -1 = 4x2 +16x +15 1

1 Substitusikan aja titik (-1, 3) kepilihan, yang mana yg cocok. Ke A : 3 = 4 -1 +3 = 6 (tdk cocok) B : 3 = 1 +1 -3 = -1 (tdk cocok) C : 3 = 4 -16 +15 = 3 (cocok)

Jawab : C

Jadi jawaban benar : C


49

18. Misalkan :

ì 2 x - 1 untuk 0 < x < 1 f ( x) = í 2 îx + 1 untuk x yang lain maka f(-2).f(-4) +f( ½ ).f(3) = …. A. 52 B. 55 C. 85 D. 105 E. 210


1 F(-2) = (-2) +1 = 5

F(-4) = (-4)2 +1 = 17 F( ½ ) = 2. ½ -1 = 0 F(3) = 32 + 1 = 10 1 F(-2).f(-4) +f( ½ ).f(3)

5. 17 + 0.10 = 85 + 0 = 85

1 -2 tidak terletak pada : 0
Jawaban : C


50

19. UAN 2003/P-1/No.2 Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum 3 untuk x = 1 dan grafiknya melalui titik (3 ,1), memotong sumbu Y di titik…. B. (0, 72 ) C. (0 ,3) D. (0 , 52 ) E. (0 ,2) F. (0 , 32 )

Gunakan iinfo smart :

O

O

O

O

2

y = a(x –p) +q y = a(x -1)2 +3, melalui titik (3 ,1) 1 = a(3-1)2 +3 -2 = 4a , maka a = - ½ Kepersamaan awal : y = - ½ (x -1)2 +3, memotong sumbu Y, berarti : x = 0 ,maka y = - ½ (0 -1)2 +3 =

O

Nilai maksimum 3 untuk x = 1, artinya Puncak di (1 ,3) Gunakan rumus : y = a(x –p)2 +q Dengan p = 4 dan q = 3

5 2

Jadi titik potongnya : (0 , 52 )

Jawaban : C


51

20. UAN 2002/P-1/No.5 Suatu Fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai maksimum 5 untuk x = 2 sedang f(4) = 3. Fungsi kuadrat tersebut adalah…... A. f(x) = - 12 x2 +2x +3 B. f(x) = - 12 x2 -2x +3 C. f(x) = - 12 x2 -2x -3 D. f(x) = -2x2 +2x +3 E. f(x) = -2x2 +8x -3


O

O 2

f(x) = a(x –p) +q f(4) = a(4 -2)2 +5, 3 = 4a + 5 maka a =

O

O -

1 2

Kepersamaan awal : f(x) = - 12 (x -2)2 +5 = - 12 (x2 -4x+4) +5 = - 12 x2 +2x +3

Nilai maksimum 5 untuk x = 2, artinya Puncak di (2 ,5) Gunakan rumus : y = a(x –p)2 +q Dengan p = 2 dan q = 5


52

1.

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : x2 £ 2x +3 adalah…. A. {x|x < -2 atau x > 3} B. {x|x £ -2 atau x ³ 3} C. {x| -2< x > 3} D. {x| -1 £ x £ 3} E. {x| -3 £ x £ 2} Jawaban : D

1 x2 -2x -3 £ 0 (x -3)(x +1) £ 0

1

1

1

< 0ü ý è KECIL “ tengahnya” £ 0þ BESAR (Terpadu)

Pembuat Nol : x = 3 atau x = -1

> 0ü ý è BESAR “ atau “KECIL ³ 0þ (Terpisah)

Garis bilangan : Uji x = 0 , (0-3)(0+1)=-3(-)

+

+

3

-1

@

x=0 Jadi : -1 £ x £ 3

@


x2 - 2x - 3 £ 0 ( x + 1 )( x - 3 ) £ 0

- 1£ x £ 3 kecil

besar

besar

tengahnya


53

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : (3 –x)(x -2)(4 –x)2 ³ 0 adalah…. A. {x|x £ -2 atau 3 £ x £ 4} B. {x|x £ -2 atau x ³ 3} C. {x| 2 £ x £ 3} D. {x|x £ -2 atau x ³ 4} E. {x|x < -2 atau x > 3}

1 (3 –x)(x -2)(4 –x)2 ³ 0

p

Pembuat Nol : (3 –x)(x -2)(4 –x)2 = 0 3–x=0,x=3 x–2=0,x=2 4 – x = 0 , x = 4 (ada 2 buah)

Jawaban : C

Pada garis bilangan : Jumlah Suku ganjil : tanda “ Selang seling +-“ Jumlah Suku genap: tanda “ Tetap “ : - atau + +

Garis bilangan :

-

-

+ 2

3

4

-

Uji x = 0 ð(3-0)(0-2)(4-0)2 = x = 2,5ð(3-2,5)(2,5-2)(4-2,5)2=+ x = 3,5ð(3-3,5)(3,5-2)(4-3,5)2= x = 5ð(3-5)(5-2)(4-5)2= Padahal yang diminta soal ≥ 0 (positif) Jadi : {x| 2 £ x £ 3}


@


(3 –x)(x -2)(4 –x)2 = 0

-

-

+ 2

3

4

-

(genap) Uji x = 0 (hanya satu titik) (3-0)(0-2)(4-0)2 = Jadi : 2 £ x £ 3

54

3. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan : A. {x| -3 < x < 3} B. {x| -3 £ x £ 3} C. {x|x < -3 atau x > 3} D. {x|x £ -3 atau x ³ 3 atau x = 0} E. {x|x < -3 atau x = 0 atau x > 3}

x2 £ 0 adalah….. 9 - x2

Jawaban : E

x2 £0 9 - x2 Perhatikan ruas kanan sudah 0, Maka langsung dikerjakan dengan cara memfaktorkan suku-sukunya : x.x £0 (3 + x)(3 - x) x = 0 (atas, ada dua suku ; genap) 3 +x = 0 , x = -3 3 –x = 0 , x = 3 Garis bilangan :

a2 –b2 = (a +b)(a –b)

1

+

-3

+ 0 (genap)

3

16 =9 - 16 4 x = -2ð =+ 9-4 1 x = 1ð =+ 9 -1 16 x = 4ð =9 - 16 Jadi : x < -3 atau x = 0 atau x > 3

Uji x = -4ð

@


x2 9- x2

£ 0

§

9-x2 artinya x ≠ 3, maka pilihan B dan D pasti salah (karena memuat x = 3) § x=4 16 16 ð = £ 0 (B) 9 - 16 - 7 Jadi A pasti salah (karena tidak memuat 4) 0 = 0 ≤ 0 (B) 9-0 Jadi C juga salah, berarti Jawaban benar A

§


x=0ð

55

4. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan : Î R adalah…. A. {x|x < -1 atau x < -2} B. {x|x £ 1 atau x > -2} C. {x|x > 3 atau x < -2} D. {x| -2 < x < 3} E. {x|x £ 3 atau x ³ -2}

x 2 - 2x + 1 £0 x2 - x - 6 ( x - 1)( x - 1) £0 ( x - 3)( x + 2) x -1 = 0, x = 1 (suku genap) x -3 = 0, x = 3 x +2 = 0, x = -2 16 Uji x = -3ð = + 6 1 x = 0ð =-6 1 .1 x = 2ð =-4 9 x=4ð =-6

1

-

+ -2

1

+

3

(genap)

Jadi : -2 < x < 3 Perhatikan tanda pertidaksa maan (sama atau tidak)

x2 - 2 x + 1 £ 0 untuk x x2 - x - 6

Jawaban : D

p

Penyebut pecahan tidak boleh ada “ = “

@


x2 -2x +1 = (x -1)2 , ini nilainya selalu positif untuk setiap harga x, supaya hasil ≤ 0 (negative) maka : x2 –x -6 harus < 0 atau (x -3)(x +2) < 0 Jadi : -2 < x < 3


56

5. Pertidaksamaan 2x –a >

x - 1 ax + 2 3

mempunyai penyelesaian x > 5.

Nilai a adalah…. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

@ 2x –a >

x -1 2

+

Jawaban : B

ax 3

x - 1 ax + 2 3 6(2 x - a ) > 3( x - 1) + 2ax 2x - a >

12 x - 6a > 3 x - 3 + 2ax 9 x - 2ax > 6a - 3 x(9 - 2a ) > 6a - 3 6a - 3 x> 9 - 2a

Padahal x > 5 (diketahui) 6a - 3 =5 9 - 2a 6a - 3 = 45 - 10a 16a = 48 a=3

x -1

+

ax

1 2x –a > 2 3 Pertidaksamaan >, syarat >5 Maka ambil x = 5 Options A.:

x = 5ü 5 12 ý10 - 2 = + ( S ) a = 2þ 2 3 Options B

x = 5ü 4 15 ý10 - 3 = + a = 3þ 2 3 7 = 7(benar ) Jadi pilihan B benar.


57

6.

Jika

2 5 > , maka …. x -3 x+6

A. x < -6 atau 3 < x < 9 B. -6 < x < 3 atau x > 9 C. x < -6 atau x > 9 D. -6 < x < 9 atau x g 3 E. -3 < x < 9

Jawaban : A

1

2 5 > x-3 x+6 2 5 >0 x-3 x+6 2( x + 6) - 5( x - 3) >0 ( x - 3)( x + 6) 27 - 3 x >0 ( x - 3)( x + 6) 3(9 - x) >0 ( x - 3)( x + 6) 9-x = 0, x = 9 x -3 = 0, x = 3 x +6 = 0, x = -6

titik-titik tersebut jadikan titik terminal dan uji x = 0 misalnya untuk mendapatkan tanda(-) atau (+) :

x=0

1

2 5 > x-3 x+ 6

2 5 > (S) 0-3 0+6 Jadi pilihan yang memuat x = 0 pasti bukan jawaban. Jadi B, D dan E salah. 2 5 Coba x = 4ð > 4-3 4+6 5 2 > (benar) 11 Jadi pilihannya harus memuat 4. Pilihan C salah(sebab C tidak memuat x = 4)

coba x = 0 ð

Kesimpulan Jawaban A +

-

+

3 9 -6 Jadi : x < -6 atau 3 < x < 9


58

7. Nilai terbesar x agar x - 34x ³ 38x + 12 adalah…. A. 1 B. -1 C. -2 D. -3 E. -4

Jawaban : E

1 x-

3x 3 x 1 ³ + 4 8 2

(kali 16)

3x 3x 1 ) ³ 16( + ) 4 8 2 16 x - 12 x ³ 6 x + 8 4x ³ 6x + 8 16( x -

- 2x ³ 8 x £ -4 Perhatikan perubahan tanda, saat membagi dengan bilangan negative (8 : -2)

Jadi nilai terbesar x adalah : -4

@



59

8. Nilai x yang memenuhi ketaksamaan : |x -2|2 > 4|x -2| +12 adalah… A. -4 < x < 8 B. -2 < x < 6 C. x < -2 atau x > 8 D. x < -4 atau x > 8 E. x < -2 atau x > 6 Jawaban : D

1 |x -2|2 > 4|x -2| +12 misal : y = |x -2| y2 -4y -12 > 0 (y +2)(y -6) > 0 (terpisah “atau”) y < -2 atau y > 6 1 y < -2 à |x -2| < -2 (tak ada tuh.) y > 6 à |x -2| > 6 (x -2)2 > 62 x2 -4x +4 -36 > 0 x2 -4x -32 > 0 (x – 8)(x +4) > 0, terpisah Jadi : x < -4 atau x > 8

1 |x -2|2 > 4|x -2| +12 coba x = 0 ð|0 -2|2 > 4|0 -2| +12 4 > 8+12 (salah) berarti A dan B salah (karena memuat x = 0) coba x =7ð|7 -2|2 > 4|7 -2| +12 25 > 20+12 (salah) berarti E salah (karena memuat x =7) coba x

=-3ð|-3 -2|2 > 4|-3 -2| +12 25 > 20+12 (salah)

berarti C salah (karena memuat x =-3) Kesimpulan : Jawaban benar : D

Catatan : Setiap akhir pengujian, sebaiknya pilihan yang salah dicoret agar mudah menguji titik uji yang lain.


60

9. Nilai-nilai x yang memenuhi |x +3| £ |2x| adalah… A. x £ -1 atau x ³ 3 B. x £ -1 atau x ³ 1 C. x £ -3 atau x ³ -1 D. x £ 1 atau x ³ 3 E. x £ -3 atau x ³ 1 Jawaban : A

1 |x +3| ≤ |2x| kuadratkan : (x +3)2 ≤ (2x)2 (x +3)(x +3) ≤ 4x2 x2 +3x +3x +9 ≤ 4x2 3x2 -6x -9 ≥ 0 x2 -2x -3 ≥ 0 (x -3)(x +1) ≥ 0 (terpisah) x ≤ -1 atau x ≥ 3

1 |x +3| ≤ |2x| baca dari kanan, karena koefisien x nya lebih besar dari koefisien x sebelah kiri. Jadi :

2x ³ +

x + 3

3x +3=0 x -3=0 x = -1 x=3

-

Jadi : x < -1 atau x > 3


61

10. Pertaksamaan A. B. C. D. E.

2x - 1 £ 3 mempunyai penyelesaan ….. x +5

x £ -16 atau x ³ -14/5 x £ -14/5 atau x > 16 x £ -14/5 x ³ -14/5 -16 £ x £ -14/5 Jawaban : A

1

2x - 1 £ 3 (kali silang) x +5

| 2x -1 | £ | 3x +15 | ------ kuadratkan

(2x-1)2£ (3x +15)2 4x2-4x +1 £ 9x2+90x +225 5x2+94x +224 ³ 0 (5x +14)(x +16) ³ 0 +

-16

+ -14 5

Jadi : x £ -16 atau x ³ -

14 5

1

2x - 1 £3 x +5

0 -1 £3 0`+5 1 £ 3 (benar) 5 berarti B, C dan E salah (karena tidak memuat x = 0)

coba x = 0 ð

coba x =-16ð

berarti D salah x =-16)

- 16 - 1 £3 - 16 + 5 17 £ 3 (benar) 11 (karenatidak memuat

Kesimpulan : Jawaban benar : A


62

11. Agar pecahan

x 2 + 3x - 10 x2 - x + 2

bernilai positif , maka x anggota

himpunan….. A. {x|x < -5 atau x > 2} B. {x| -5 < x < 2} C. {x|x £ -5} D. {x| x < 2 } E. {x| -5 £ x £ 2}

1

x 2 + 3x - 10 x2 - x + 2

Jawaban : A

bernilai positif,

artinya :

x 2 + 3 x - 10 >0 x2 - x + 2 maka :

( x + 5)( x - 2) >0 x2 - x + 2 Uji x = -6

36 - 18 - 10 8 = =+ 36 + 6 + 2 44

@ @

Uji x = 0

0 - 0 - 10 - 10 = =0+0+2 2 Uji x =3

@

+ -5 Ø Ø

Supaya

x 2 + 3x - 10 x2 - x + 2

bernilai

positif maka : x2 +3x -10 positif,sebab + : + = +

9 + 9 - 10 8 = =+ 9-3+ 2 8

-

Perhatikan terobosannya x2-x +2 à definite positif (selalu bernilai positif untuk setiap x)

+ 2

0, artinya daerah + Jadi : x < -5 atau x > 2

@

Jadi : x2 +3x -10 > 0 (x +5)(x -2) > 0à besar nol (penyelesaian terpisah) Maka : x < -5 atau x > 2


63

12. Nilai-nilai x yang memenuhi x2 +3x-4 ³ 2 adalah…. A. x < -4 B. x < -4 atau -3 £ x < 1 atau x ³ 2 C. x £ -4 atau -3 £ x < 1 atau x ³ 2 D. -10 £ x < -4 atau -3 £ x < 1 E. -10 £ x < -4 atau -3 £ x <1 atau x ³ 2 3x2 +7x-14

@

3 x 2 + 7 x - 14 ³2 x 2 + 3x - 4 3x 2 + 7x - 14 - 2(x 2 + 3x - 4)

³0 x 2 + 3x - 4 x2 + x - 6 ³0 x 2 + 3x - 4 ( x + 3)( x - 2) ³0 ( x + 4)( x - 1) Setelah melakukan pengujian, untuk x = 0, di dapat +, selanjutnya bagian daerah yang lain diberi tanda selang seling (sebab semua merupakan suku ganjil)

++

-4

+ -3

1

2

++

Jadi : x < -4 atau -3 £ x < 1 atau x ³ 2

Jawaban : B

2 1 3 x + 7 x - 14 ³ 2 2

x

+ 3x - 4

coba x =2

ð

12 + 14 - 14 ³2 4+6-4 12 ³ 2 (benar) 6

berarti A dan D salah (karena tidak memuat x = 2) coba x = - 4

ð

48 - 28 - 14 6 = ³ 2 (Sal 16 - 12 - 4 0

ah, penyebut tidak boleh 0) berarti C salah coba x = - 11

ð

363 - 77 - 14 272 = ³2 121 - 33 - 4 84

(Benar,) E salah, sebab tidak memuat x = -11 Kesimpulan : Jawaban benar : B


64

13. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan : A. {x|x < - 32 atau x > B. {x|x < -

3 2

dan x >

C. {x| - 32 < x < D. {x|

7 3

7 3

}

3 2

}

}

}

3 2

> x >- }

E. {x|x < - 23 atau x >

1

7 3 7 3

2x + 3 > 0 adalah…. 3x - 7

Jawaban :A

2x + 3 >0 3x - 7

Pertidaksamaannya sudah mateng, maka langsung uji titik : 2 .0 + 3 3 x = 0ð = =3 .0 - 7 - 7 Selanjutnya beri tanda daerah yang lain, selang seling.

-

+ 3 2

+ 7 3

> 0, artinya daerah positif (+) 3 7 Jadi : x < - atau x > 2 3

@


2x + 3 > 0 Uji demngan 3x - 7

mencoba nilai : x=0ð

0+3 = - (Salah) 0 -7

berarti : C dan D salah x=1

2 .1 + 3 5 = (salah) 3.1 - 7 - 4

berarti E salah (sebab memuat 1) B Salah menggunakan kata hubung dan. Jadi Jawaban benar : A


65

14. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan A. {x| -1 £ x £ 0 atau 3 £ x £ 4} B. {x| -1 < x £ 0 atau 3 £ x < 4} C. {x| 0 £ x £ 3} D. {x| -1 < x < 4} E. {x|x < -1 atau x > 4}

x 2 - 3 x < 2 adalah….

Jawaban :B

@ @

x 2 - 3x < 2 à Kuadratkan : x2 -3x < 4 à x2 -3x -4 < 0 (x -4)(x +1) < 0 syarat : x2 -3x ³ 0 x(x -3) ³ 0 4

-1

0

f ( x) < c ,maka :

p

( i ) kuadratkan (ii) f(x) ≥ 0

@

Penyelesaian : Irisan ( i) dan ( ii)

3

Jadi : -1 < x £ 0 atau 3 £ x < 4

@



66

15. Harga x dari pertidaksamaan

x +1 x + 5 < adalah…. x-2 x-3

A. x < -1/6 atau 2 < x < 3 B. x > 1/3 atau – ¼ < x < 0 C. x > ½ atau 0 < x < ¼ D. x > 3 atau 7/5 < x < 2 E. x < 1 atau 2 < x < 3 Jawaban : D

@

x +1 x + 5 < x-2 x-3

p

(x +1)(x - 3) - (x - 2)(x + 5) <0 (x - 2)(x - 3)

p

a c ad - bc < ® <0 b d bd a c ad - bc > ® >0 b d bd

x2 - 2x - 3 - x2 - 3x +10 <0 (x - 2)(x - 3) - 5x + 7 <0 ( x 2 )( x 3 ) zdasdfhhhhhhhhhhhh

+

7

2

3

5

Jadi :

7 < x < 2 atau x > 3 5

@



67

16. Himpunan

penyelesaian

pertaksamaan

:

( x - 1)(2 x + 4) <1 x2 + 4

adalah… A. {x|x > 2} B. {x|x < -4} C. {x|x < 2} D. {x|x > -4} E. {x|-4 < x < 2}

Jawaban : E

1

x2 +4 selalu positif untuk semua nilai x, makanya disebut Definite positif

@

( x - 1)(2 x + 4) <1 x2 + 4 2 x 2 + 2 x - 4 - ( x 2 + 4) <0 x2 + 4 x 2 + 2x - 8 <0 +

berarti : x2 +2x -8 : (-) x2 +2x -8 < 0 (x +4)(x -2) < 0

@ Jadi : -4 < x < 2

@

( x - 1)(2 x + 4) <1 x2 + 4 Uji nilai : - 1 .4 x = 0ð = -1 < 1 (B) 4 berarti A dan B salah (karena pilihan trs tidak memuat x = 0) 2.10 20 x = 3ð = < 1 (S) 9 + 4 13 berarti D salah (karena D memuat x =3)

- 6.( -6 ) 36 = < 1 (S) 25 + 4 29 berarti C salah (karena C memuat x = -5)

x = -5ð

Jadi pilihan benar : E


68

17. Grafik yang diperlihatkan pada gambar berikut : -1

A. B. C. D. E.

5

adalah penyelesaian dari pertidaksamaan ..

x -4x – 5 £ 0 x2 -4x + 5 £ 0 x2 +x – 5 ³ 0 x2 -4x – 5 < 0 x2 -4x – 5 > 0 2

Jawaban : A

1 Perhatikan ujung daerah penyelesaian pada gambar tertutup, berarti pertidaksamaannya memuat tanda SAMA 1 Perhatikan pula, daerah yang diarsir, menyatu. Maka pertidaksamaannya KECIL. Jadi : (x +1)(x -5) £ 0 x2 -5x +x -5 £ 0 x2 -4x -5 £ 0

@



69

18. Jika a, b, c dan d bilangan real dengan a > b dan c > d, maka berlakulah…. A. ac > bd dan ac +bd < ad +bc B. a +c > b +d dan ac +bd > ad + bc C. ad > bc dan ac –bd > ad -bc D. a +d > b +c dan ac –bd = ad +bd E. a –d > b –c dan ac –bd = ad -bd Jawaban : B

1 a > b berarti a –b > 0 c > d berarti c –d > 0 + a +c > b +d 1 a –b > 0 c –d > 0 kalikan : (a –b)(c –d) > 0 ac –ad –bc +bd > 0 ac +bd > ad +bc

Jadi jawaban benar : B

@



70

19. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan A. x £ -4 atau -3 < x £ 1 atau x > 2 B. x £ -4 atau -2 £ x £ -1 atau x ³ 2 C. x £ -4 atau -2 < x £ -1 atau x > 2 D. x ³ -4 atau -2 £ x £ -1 atau x > 2 E. x ³ -4 atau -2 £ x £ -1 atau x ³ 2

1

3 x 2 + 5 x - 16 ³ 2 adalah… x2 + x - 6

3 x 2 + 5 x - 16 ³2 x2 + x - 6 3 x 2 + 5 x - 16 2( x 2 + x - 6 ) ³0 x2 + x - 6 x2 + x - 6 3 x 2 + 5 x - 16 - 2 x 2 - 2 x + 12 ³0 x2 + x - 6 x 2 + 3x - 4 ³0 x2 + x - 6 ( x + 4 )( x - 1 ) ³0 ( x + 3 )( x - 2 )

Uji x = 0ð

4( -1 ) =+ 3( -2 )

-

++ -4

-

++ -3 bawah

1

++ 2 bawah

Jadi : x £ -4 atau -3 < x £ 1 atau x > 2 Jawaban benar : A


Jawaban : A

2 1 3x 2 + 5 x - 16 ³ 2

x + x -6

Dengan mencoba nilai x = 0ð 0 + 0 - 16 8 = > 2 (B) 0 +0 -6 3 berarti pilihan harus memuat nol. Jadi : B, dan C salah. x = 2ð 12 + 10 - 16 6 = > 2 (S) 4 + 2-6 0 berarti pilihan harus tidak memuat 2. Jadi : D, dan E salah. Jadi pilihan yg tersisa hanya A

71

x 2 - 4 x + 4 - | 2 x + 3 |³ 0 maka… 1 A. -3 £ x £ 5 1 1 B. -5 £ x £ D. x £ -5 atau x ³ 3 3 1 C. x ³ -5 E. x £ -3 atau x ³ 5

20. Jika

Jawaban : B

1 x 2 - 4 x + 4 - | 2 x + 3 |³ 0 x 2 - 4 x + 4 ³| 2 x + 3 | Kedua ruas dikuadratkan x2 -4x +4 ³ (2x +3)2 x2 -4x +4 ³ 4x2 +12x +9 3x2 +16x +5 £ 0 (3x +1)(x +5) £ 0 …(i)

1 Syarat di bawah akar harus positif. x2 -4x +4 ³ 0 (x -2)(x -2) ³ 0 , ini berlaku saja untuk setiap harga x Berarti penyelesaiannya adalah (i), yakni : 1 -5 £ x £ 3 (ingat : £ 0, terpadu)

1 x 2 - 4 x + 4 - | 2 x + 3 |³ 0 Coba nilai :

x = 0ðÖ4-3=2-3=-1³ 0 (salah) berarti pilihan yg memuat nol, salah. Jadi : C, D dan E salah x = -4ð Ö36 -5= 6 -5= -5³ 0 (B) berarti penyelesaian harus memuat x = 4. Jadi A salah. Maka jawaban yang tersisa hanya pilihan B


72

1. Prediksi SPMB x0 adalah rata-rata dari data : x1, x2 ,x3,......x10 Jika data bertambah mengikuti pola : x1 x x + 2 , 22 + 4 , 23 + 6 , ... dan seterusnya, maka nilai rata-ratanya 2 menjadi.... A. x0 +11 B. x0 +12 C. ½ x0 +11 D. ½ x0 +12 E. ½ x0 +20


x0 =

@

x1 + x2 + x3 + ... + x10 10

x x1 x + 2 + 2 + 4 + ...+ 10 + 20 2 2 x= 2 10 x1 x2 x ( + + ... 10 ) +( 2 + 4 + ...+ 20) 2 = 2 2 10 1 x + x + ...+ x10 12 .10( 2 + 20) = ( 1 2 )+ 2 10 10 5( 22) 1 1 = x0 + = x0 +11 2 10 2

Data : x1 , x2 ,x3,…xn. Rata-ratanya :

x=

@

x1 + x 2 + ... + x n n

Barisan aritmatik : U1,U2,U3,….Un Jumlahnya :

S=

1 n( U 1 + U n ) 2

Jawaban : C


73

2. EBTANAS 1999 Dari 10 data mempunyai rata-rata 110. Jika kemudian ditambah satu data baru, maka rata-rata data menjadi 125, maka data tersebut adalah : A. 200 B. 275 C. 300 D. 325 E. 350

Gunakan info smart : n( x1 - x 0 ) x1 = x1 + m 10( 125 - 110 ) = 110 + 1 = 275

x1 = nilai data baru

1 x1 = x1 +

n ( x1 - x 0 ) m

x1 =rata sekarang

n = banyak data lama x 0 =rata lama m = banyak data baru

Jawaban : B


74

3. Prediksi SPMB Dari data distribusi frekuensi di bawah diperoleh rata-rata.... Interval f 2–6 3 7 – 11 2 12 – 16 2 17 – 21 4 22 - 26 5 7 A. 13 8 B. 14 87

D. 16 87

C. 15 87

E. 17 87

Gunakan info smart : p=5 -----------------------------------------Interval f c f.c 2–6 3 -2 -6 7 – 11 2 -1 -2 12 – 16 17 – 21 22 – 26

2 à xs = 14 0 4 1 5 2

= 14 + 5 .

x = xs + p

@

xs

@

å f .c åf

=rataan

sementara p = panjang interval kelas

6

16

x = xs + p

0 4 10

@

å f .c å f 6 7 = 15 16 8

Jawaban : C


75

4. UMPTN 1997 Jika 30 siswa kelas IIIA1 mempunyai nilai rata-rata 6,5 ; 25 siswa kelas IIIA2 mempunyai nilai rata-rata 7 dan 20 siswa kelas IIIA3 mempunyai nilai rata-rata 8, maka rata-rata nilai ke-75 siswa kelas III tersebut adalah.... A. 7,16 B. 7,10 C. 7,07 D. 7,04 E. 7,01


@

30 siswa rata-rata 6,5 30(6,5) = 195

@

25 siswa rata-rata 7,0 25(7,0) = 175

@

20 siswa rata-rata 8,0 20(8,0) = 160

x=

Rata-rata gabungan :3 kategori

@

x=

f 1 x1 + f 2 x 2 + f 3 x3 f1 + f 2 + f 3

195 + 175 + 160 530 = = 7,07 30 + 25 + 20 75

Jawaban : C


76

5. UMPTN 1998 Diketahui x1 = 2,0 ; x2 = 3,5; x3 = 5,0 ; x4 = 7,0 dan x5 = 7,5. Jika deviasi rata-rata nilai tersebut dinyatakan dengan rumus : dengan x = A. B. C. D. E.

n x å i

i =1 n

| xi - x | n i =1 n

å

, maka deviasi rata-rata nilai di atas adalah....

0 1,0 1,8 2,6 5,0


1 Rata-rata dari data : x1 ,x2, x3 ,....xn adalah :

1

x=

Rata-rata : x + x 2 + x3 + x 4 + x5 x= 1 5

x=

x1 + x 2 + ... + x n n

2,0 + 3,5 + 5,0 + 7,0 + 7,5 =5 5

1 Deviasi rata-rata : Sr =

| xi - x | n i =1 n

å

| 2 - 5| + | 3,5 - 5| + | 5 - 5| + | 7 - 5| + | 7,5 - 5| 5 = 1,8

Sr =

Jawaban : C


77

6. UMPTN 1999 Suatu data dengan rata-rata 16 dan jangkauan 6. Jika setiap nilai dalam data dikalikan p kemudian dikurangi q di dapat data baru dengan rata-rata 20 dan jangkauan 9. Nilai dari 2p +q = .... A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 E. 9


1 Rata-rata : terpengaruh

1

1 Jangkauan :

Rata-rata lama :16 16p –q = 20...........( i ) 1 Jangkauan lama: 6 6p = 9 , 2p =3 2p = 3 susupkan ke ( i ) : 24 – q = 20, berarti q = 4.

oleh setiap operasi. tidak berpengaruh oleh operasi ( + ) atau ( - )

1 Jadi : 2p +q = 3 +4 = 7

Jawaban : C


78

7. UMPTN 2002 Median dari data nilai di bawah adalah.... Nilai Frekuensi A. B. C. D. E.

4 5 3 -7

6 7 8 8 12 10 6 2

6,0 6,5 7,0 10,0 12,0


1 Median data genap :

1

Jumlah data : 3 +7 +12 +10 +6 +2 = 40 1 n = genap

Me = 12 ( x 1 n + x 1 n +1 ) 2

2

Me = 12 ( x 20 + x 21 )

= 12 ( 6 + 6 ) = 6

Jawaban : A


79

8. Prediksi SPMB Jangkauan dan median dari data : 22 ,21 ,20 ,19 ,18 ,23 ,23 ,19 ,18 ,24 ,25 ,26 berturut-turut adalah.... A. 8 dan 21 B. 8 dan 21,5 C. 18 dan 22 D. 26 dan 21 E. 26 dan 22


data di urut sbb: 18 18 19 19 20 21 22 23 23 24 25 26

Me =

21 + 22 = 21,5 2

1 Median adalah nilai

tengah setelah data diurutkan 1 Jangkauan adalah nilai terbesar dikurangi nilai terkecil

1 Jangkauan = 26 – 18 = 8

Jawaban : B


80

9. Ebtanas ’98 No.10 f Rataan hitung data dari r Histogram disamping adalah p 59. Nilai p =.... A. 12 7 B. 11 6 4 C. 10 3 D. 9 45,5 50,5 55,5 60,5 65,5 70,5 E. 8


Perhatikan gambar

Jawaban : C

1 Titik tengah dari interval : 45,5-50,5 adalah : 48 50,5-55,5 adalah : 53 55,5-60,5 adalah : 58 60,5-65,5 adalah : 63 65,5-70,5 adalah : 68 1 Masing-masing titik tengahnya dikalikan frekuensi.Gunakan rumus :

x=

1

å f i .xi å fi

3.48 + 6.53 + 7.58 + p .63 + 4.68 3+ 6+ 7 + p + 4 144 + 318 + 406 + 63 p + 272 59 = 20 + p 1180 + 59 p = 1140 + 63 p x=

4 p = 1180 - 1140 = 40 p = 10


81

10. Ebtanas 1997 No.12 Ragam (varians) dari data : 6 ,8 ,6 ,7, 8,7, 9, 7,7,6, 7,8,6,5,8, 7 Adalah..... A. 1 7 B. 1 8 D. 8 3 1 5 C. 1 E. 8 8


1 Rataan :

x=

Rataannya :

1

5.1 + 6.4 + 7.6 + 8.4 + 9.1 x= 1+ 4 + 6 + 4 +1 112 = =7 16

1

å f i .xi å fi

Ragam (varians) å f i | x i - x |2 s2 = å fi

Ragamnya :

1

1.2 2 + 4.12 + 6.0 2 + 4.12 + 1.2 2 16 4+4+0+4+4 = 16 16 = =1 16

s2 =

Jawaban : A


82

11.Ebtanas 1996/No.11 Rata-rata nilai ulangan Matematika dari 40 orang siswa adalah 5,1. Jika seorang siswa tidak disertakan dalam perhitungan, maka nilai rata-ratanya menjadi 5,0. Nilai siswa tersebut adalah... A. 9,0 B. 8,0 C. 7,5 D. 6,0 E. 5,5

1 Rataan RumusUmum : å xi x= n n = banyak data


x1 =

å x1 n1

å x1 = n1 .x1

1

= 40.( 5 ,1 ) = 204 å x2 x2 = n2

å x 2 = n 2 .x 2

= 39.( 5 ,0 ) = 195

1 40 orang rataan 5,1 40(5,1) = 204 1 39 orang rataan 5,0 39(5,0) = 195

1 Nilai siswa yang tidak diikutkan adalah : 204 – 195 = 9,0

Jadi : Nilai siswa = 204-195 = 9,0 Jawaban : A


83

12. Ebtanas 1996/No.12 Berat Badan 50 - 52 53 – 55 56 – 58 59 – 61 62 - 64

f 4 5 3 2 6

åf

= 20 ð n = 20 Letak Median : 1 1 n = .20 = 10 ,berarti 2 2 Kelas Median : 56 – 58 Tb = 55,5 p=3 F=4+5=9 f=3 1 n-F 2 1 Me = Tb + p f 10 - 9 Me = 55 ,5 + 3 3 = 55 ,5 + 1 = 56 ,5

1

Median dari distribusi frekuensi di atas adalah… A. 52,5 B. 54,5 C. 55,25 D. 55,5 E. 56,5

1

Rumus Median data Kelompok : 1 n-F Me = Tb + p 2 f Me = Median Tb = Tepi bawah kelas median. p =panjang interval kls n = Jumlah frekuensi Jumlah seluruh data F = Jumlah frekuensi sebelum kelas median f = frekuensi kelas median

Catatan : Tb diambil dari batas bawah kelas Median dikurangi 0,5 (jika data interval bulat)

Jawaban : E


84

13.Ebtanas 1995/No. 12 Simpangan kuartil dari data : 6, 4, 5, 6, 8, 5, 6, 7, 4, 5, 7, 8, 3, 4, 6 adalah... 1 A. 5 2 B. 3 C. 2 1 D. 1 2 E. 1

Gunakan info smart : 3 ,4 ,4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 Q2 (median)

Q1

Q3

1 Rumus Simpangan kuartil atau Jangkauan semi inter kuartil adalah : 1 Qd = ( Q3 - Q1 ) 2

1 Qd = 1 (7 -4) = 1 2 2

Jawaban : D


85

14. Ebtanas 1990/No.17 Data yang disajikan pada diagram di bawah, mempunyai modus =... 20

f

17 13

12

8

7 3

u k u ra n 3 0 ,5 3 5 ,5 4 0 ,5 4 5 ,5 5 0 ,5 5 5 ,5 6 0 ,5 6 5 ,5

A. B. C. D. E.

45,5 46 47 48 50,5


Perhatikan gambar : Balok tertinggi berada pada rentang : 45,5 – 50,5, ini disebut kelas modus. Tb = 45,5 p = 50,5 -45,5 = 5 S1 = 20 -17 = 3 S2 = 20 -13 = 7 S1 Mo = Tb + p S1 + S 2 3 = 45 ,5 + 5 3 +7 = 45 ,5 + 1,5 = 47

1 Rumus Modus data kelompok : S1 Mo = Tb + p S1 + S 2 Dengan : Mo = Modus Tb = Tepi bawah kelas Modus p = panjang interval kelas S1 = selisih frekuensi kelas Modus dgn frekuensi se belumnya.(selisih ke atas) S2 = selisih frekuensi kelas Modus dgn frekuensi se Sudahnya(selisih ke ba wah)

Jawaban : C


86

15. Uan 2003/P5/No.14 Nilai rata-rata ulangan matematika dari 39 siswa disuatu kelas adalah 65. Bila nilai seorang siswa yang mengikuti ulangan susulan digabungkan, maka nilai rata-ratanya menjadi 65,5. Nilai siswa tersebut adalah... A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 E. 85

Gunakan info smart : Misal anak tersebut A Nilai rata-rata 39 siswa 65 å x1 ð x = n .x x1 = å 1 1 n = 39.65 = 2535 Banyak siswa setelah A bergabung , n = 40 å x 2 ð x = n .x x2 = å 2 2 n = 40.(65,5) = 2620 1 Nilai A = å x 2 - å x1 = 2620 – 2535 = 85 1

1 Rumus Umum Rataan åx x= n

1 Nilai A: rataan awal

banyak siswa sekarang selisih rataan

A = 65 +(65,5 -65).40 = 65 +20 = 85

Jawaban : E


87

16. Uan 2003/P-1/No.12 Nilai rata-rata ujian bahasa inggris 40 siswa suatu SMU yang diambil secara acak adalah 5,5. data nilai yang diperoleh sebagai berikut : Frekuensi nilai Jadi x =.... A. 6 B. 5,9 C. 5,8 D. 5,7 E. 5,6

17 4

10 x

6 6,5


7 8

1

Rataan diperoleh sbb : å f i .xi x= å fi 17.4 + 10.x + 6 ( 6 ,5 ) + 7.8 5 ,5 = 17 + 10 + 6 + 7 68 + 10 x + 39 + 56 5 ,5 = 40 220 = 163 + 10 x 10 x = 57 x = 5 ,7


Rumus umum rataan : å f i .xi x= å fi

88

17. Uan 2003/P-1/No.14 Histogram pada gambar menunjukan nilai tes matematika disuatu kelas. Nilai rata-ratanya adalah… f 15 18 A. 69 14 B. 69,5 12 C. 70 D. 70,5 E. 71 4 2

Nilai 57 62 67 72 77

Gunakan info smart : 1 x=

å f i .xi å fi

57.2 + 62.4 + 67.18 + 72.14 + 77.12 2 + 4 + 18 + 14 + 12 3500 = 50 = 70

1

Rumus umum rataan : å f i .xi x= å fi

x=


89

18 Tes terhadap suatu pelajaran dari 50 siawa diperoleh nilai rata-rata 50, median 40 dan simpangan bakunya 10. Karena rata-rata nilai terlalu rendah maka semua nilai dikalikan 2 kemudian dikurangi 15, akibatnya... A. rata-rata menjadi 70 B. rata-rata menjadi 65 C. simpangan baku menjadi 20 D. simpangan baku menjadi 5 E. median menjadi 80


1

1

Rataan awal : 35 Dilakukan operasi kali 2 dikurangi 15, maka : Rataan menjadi : 2.35 -15 = 70 – 15 = 55 Median awal : 40 Dilakukan operasi kali 2 dikurangi 15, maka : Median menjadi : 2.40 -15 = 80 -15 = 65 Simpangan baku awal : 10 Dilakukan operasi kali 2 dikurangi 15, maka : Sim.baku menjadi : 2.10 = 20

1 Ukuran Pemusatan : (rataan,median,modus, kuarti dan lainnya) Jika dilakukan suatu operasi, akan berubah mengikuti pola operas yang bersangkutan. 1 Ukuran Penyebaran : (Jangkauan, simpangan kuartil, simpangan baku, dan lainnya) Jika dilakukan operasi penjumlahan dan pengurangan tidak merubah ukuran yg bersangkutan, tetapi dengan perkalian dan pembagian maka akan berubah mengikuti operasi yang bersangkutan.

Jawaban : C


90

19. Prediksi Uan 2005 Berat Badan 51 - 52 53 – 55 56 – 58 59 – 61 62 - 64

f 4 5 3 2 6

Kuartil bawah dari distribusi frekuensi di atas adalah… F. 52,5 G. 53,1 H. 55,25 I. 55,5 J. 56,5

åf

= 20 ð n = 20 Letak kuartil bawah : 1 1 n = .20 = 5 ,berarti 4 4 Kelas Q1 : 53 – 55 Tb = 52,5 p=3 F=4 f=5 1 n-F 4 1 Q1 = Tb + p f 5-4 Me = 52 ,5 + 3 5 = 52 ,5 + 0 ,6 = 53 ,1

1

1

Rumus Median data Kelompok : 1 n-F Q1 = Tb + p 4 f Q1 = Kuartil bawah Tb = Tepi bawah kelas Kuartil bawah p =panjang interval kls n = Jumlah frekuensi Jumlah seluruh data F = Jumlah frekuensi sebelum kelas Q1 f = frekuensi kelas Q1

Catatan : Tb diambil dari batas bawah kelas Q1 dikurangi 0,5 (jika data interval bulat)

Jawaban : B


91

20. SPMB 2002 Jika perbandingan 10800 mahasiswa yang diterima pada enam perguruan tinggi digambarkan sebagai diagram lingkaran , Banyak mahasiswa diterima di I o perguruan tinggi VI adalah… VIVI 50 o II A. 2700 27 B. 2640 o III o C. 2550 88 70 o V D. 2250 40 E. 2100 IV


1

1 Besar Sudut Perguruan tinggi

1

ke VI = (360-50-27-88-40-70)o = 85o

1 Banyak mahasiswa diterima di

Lingkaran mempunyai sudut keliling sebesar 360o Bagian VI mempunyai sudut 360odikurangi sudut-sudut yang diketahui.

perguruan tinggi VI adalah : 85 ´ 10800 = 2550 360

Jawaban : C


92

1. EBTANAS 2002/P-1/No.23 Nilai minimum fungsi objektif x+3y yang memenuhi pertidaaksamaan 3x +2y ≥ 12, x +2y ≥ 8 , x+y ≤ 8, x≥ 0 adalah…. A. 8 B. 9 C. 11 D. 18 E. 24

@ @

@ Objektif Z = x +3y

Objektif Z = AX +By Misal berat ke y ( B > A) Maka Zmin = AX Zmaks = By

(berat ke y) berarti hanya dibaca : minimumkan Z = x minimum, PP harus “Besar” , maksudnya pilih pertidaksamaan yang besar “ ≥ “ ambil nilai Peubah yang “Besar” 3x +2y ≥ 12 …. x = 4 x+2y ≥ 8 ……...x = 8, terlihat peubah besar = 8 maka Zmin = x = 8


93

2x

2. EBTANAS 2001/P-1/No.10 Untuk daerah yang diarsir, nilai maksimum dari fungsi objektif T = 3x+4y terjadi di titik… A. O B. P C. Q D. R E. S = +y

8

S

R

x+ 2y =8 Q x +y 5

P

=

O

g adalah garis selidik 3x +4y = 12.Perhatikan garis g’ berada di R, artinya maksimum fungsi T beradadi R

S 3 O

m em otong R di paling kanan

R Q

P4

g' (digeser sejajar ke kanan) g (garis selidik)


94

3. UAN 2003/P-1/No.23 Nilai maksimum bentuk objektif (4x +10y) yang memenuhi himpunan penyelesaian system pertidaksamaan linier x ≥ 0, y ≥ 0 , x +y ≥ 0, x +2y ≥ 16 adalah…. A. 104 B. 80 C. 72 D. 48 E. 24

p

@

@ Objektif Z = 4x +10y

Objektif Z = AX +By Misal berat ke y ( B > A) Maka Zmin = AX Zmaks = By

(berat ke y) berarti hanya dibaca : maksimumkan Z = 10y Maksimum, PP harus “Kecil” , maksudnya pilih pertidaksamaan yang kecil “ ≤ “ ambil nilai Peubah yang “kecil” x +y ≤ 12 …. y = 12 x+2y ≤ 16 … y = 8, terlihat peubah kecil = 8 maka Zmaks = 10y = 10.8 = 80


95

4. Nilai maksimum dari z = 30x +20y untuk (x ,y) yang terletak dalam daerah x +y £ 6, x +y ³ 3, 2 £ x £ 4 dan y ³ 0 adalah… A. 100 B. 120 C. 140 D. 160 E. 180

p p

@ @ @

Sasaran Max, berarti pilih pertidaksamaan dan peubah (PP) “Kecil”

Z = 30x +20y à ambil nilai x pertidaksamaan kecil pada interval 2 £ x £ 4, berarti x = 4 x = 4 substitusi ke x + y = 6 di dapat y=2. Dengan demikian nilai z maksimum akan di capai pada titik (4 ,2) zmax = 30.4 +20.2 = 120 + 40 = 160


96

5. Seorang anak diharuskan makan dua jenis vitamin tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 4 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 3 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B. Dalam satu hari ibu memerlukan 24 unit vitamin A dan 7 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp 50,00/biji dan tablet kedua Rp 100,00/biji, maka pengeluaran minimum untuk membeli tablet perhari…. A. Rp 200,00 B. Rp 250,00 C. Rp 300,00 D. Rp 350,00 E. Rp 400,00

p p

p

p

Min, Sasaran “besar” dan PP “kecil”

x = unit vitamin A y = unit vitamin B, berarti : 4x +3y ³ 24 3x +2y ³ 7 z = 50x +100y, koefisien y besar, berarti pilih nilai y yang “ kecil” saja (minimum) dari : 4x +3y =24 dan 3x +2y = 7. Dari 3x +2y = 7 di dapat y = 7/2. Zmin = 7/2 . 100 = 350


97

6. SPMB 2002/610/No.10 Nilai maksimum dari x +y -6 yang memenuhi x≥ 0, y ≥ 0, 3x +8y ≤ 340, dan 7x +4y ≤ 280 adalah…. A. 52 B. 51 C. 50 D. 49 E. 48

p

@ @ Fungsi Objektif

Objektif Z = Ax +By+C Misal Seimbang ( A =B) Maka Zmin = Ax+By+C Zmaks= Ax+ By+C

Z= x +y -6 Perhatikan Koefisien xdan y …Seimbang Berarti penyelesaian ada di titik potong P “kecil” X2

7x +4y = 280 3x +8y = 340 14x +8y = 560

- -11x = -220

x = 20 x = 20 susupkan ke : 7x +4y = 280 7(20) +4y = 280 y = 35 Z maks = 20 +35 -6 = 49


98

7. Nilai maksimum f(x ,y) = 5x +10y di daerah yang diarsir adalah…. 6 A. 60 B. 40 4 C. 36 D. 20 E. 16 4

p

6 4 p

Penyelesaian terletak pada titik potong y = x dengan 6x +4y = 24 4 6x +4x = 24 à x =

12 5

karena y = x maka y = p

Fmax= 5.

12 5

+10.

12 5

12 5

= 12 + 24 = 36


99

8. Nilai maksimum dari x +y yang memenuhi syaratsyarat x ³ 0, y ³ 0, x +2y -6 ³ 0, 2x +3y-19 £ 0 dan 3x +2y -21 £ 0 adalah…. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10

p p 6

Sasaran Max, berarti pilih pertidaksamaan dan peubah (PP) “Kecil”

4 p

p

p

z = x +y di cari maksimum, maka pilih pertidaksamaannya yang “kecil” 4 yakni 2x +3y -19 ≤ 0 dan 3x +2y -21 ≤ 0, dipotongkan 2x +3y = 19 .3à 6x +9y = 57 3x +2y = 21 .2à 6x +4y = 42 – 5y = 15 y = 3, x = 5 zmax = 5 + 3 = 8


100

9. Nilai minimum P = 30x +10y dengan syarat : 2x +2y ³ 4 6x +4y £ 36 2x –y £ 10 x³0 y ³ 0 adalah…. A. 5 B. 20 C. 50 D. 100 E. 150

p p

6 4

Sasaran Min, berarti pilih pertidaksamaan dan peubah (PP) “Besar”

4

@

@

P = 30x +10y di cari minimum, maka pilih pertidaksamaannya yang “besar” yakni 2x +2y ³ 4 , berarti : y = 2 (sasaran berat ke-x) Jadi Pmax= 10.2 =20


101

10. Pedagang buah akan membeli apel dan jeruk. Harga setiap kg apel dan setiap kg jeruk berturut-turut adalah Rp 6.000,00 dan Rp 4.000,00. Pedagang itu memiliki uang Rp 500.000,00 dan hanya ingin membeli buah paling banyak 200 kg. Misalnya banyak apel x kg dan banyaknya jeruk y kg, maka system pertidaksamaan yang harus dipenuhi adalah… A. 3x +2y £ 250, x +y £ 200, x ³ 0 , y ³ 0 B. 3x +2y ³ 250, x +y £ 200, x ³ 0 , y ³ 0 C. 3x +2y ³ 250, x +y ³ 200, x ³ 0 , y ³ 0 D. 2x +3y £ 250, x +y £ 200, x ³ 0 , y ³ 0 E. 2x +3y ³ 250, x +y ³ 200, x ³ 0 , y ³ 0

6 4

@ @

@ @

Misal x = apel y = jeruk Harga buah 4 : 6000x + 4000y £ 500.000 disederhanakan menjadi : 3x +2y £ 250………( i ) Kapasitas : x + y £ 200 ……….( ii ) Syarat : x £ 0 dan y ³ 0……. (A)


102

11. Rokok A yang harga belinya Rp 1.000 dijual dengan harga Rp 1.100 per bungkus sedangkan rokok B yang harga belinya Rp 1.500 dijual dengan harga Rp 1.700 per bungkus. Seorang pedagang rokok yang mempunyai modal Rp 300.000 dan kiosnya dapat menampung paling banyak 250 bungkus rokok akan mendapat keuntungan maksimum jika ia membeli…. A. 150 bungkus rokok A dan 100 bungkus rokok B B. 100 bungkus rokok A dan 150 bungkus rokok B C. 250 bungkus rokok A dan 200 bungkus rokok B D. 250 bungkus rokok A saja E. 200 bungkus rokok B saja

p

p p

p

6 Sistem pertidaksamaannya : 1000x +1500y £ 300.000 (harga beli) 4 disederhanakan : 2x +3y £ 600 ....( i ) Kapasitas : x + y £ 250 ...........( ii ) Fungsi sasarannya : z = 1100x +1700y Terlihat berat4 ke “posisi y”, berarti cari nilai y yang kecil dari ( i ) dan ( ii ) 2x +3y = 600 à x = 0, y = 200 x + y = 250 à x = 0, y = 250 Kelihatan y yang kecil adalah 200 Jadi keuntungan maksimum pasti pada saat ia membeli 200 bunkus rokok B saja


103

12. UAN 2003/P-2/No.23 Daerah yang di arsir merupakan penyelesaian dari system pertidaksamaan …. Y (0 ,8 ) (0 ,6 )

(0 ,2 ) O

A. B. C. D. E.

(2 ,0 )

(8 ,0 )

(1 2 ,0 )

X

4x +y ≥ 8, 3x +4y ≥ 24, x + 6y ≥ 12 4x +y ≥ 8, 3x +4y ≤ 24, x + 6y ≤ 12 4x +y ≥ 8, 3x +4y ≤ 24, x + 6y ≥ 12 4x +y ≤ 8, 3x +4y ≥ 24, x + 6y ≤ 12 4x +y ≥ 8, 3x +4y ≥ 24, x + 6y ≤ 12

Terlihat : Jawaban : C

8

atas " Besar " 8 x + 2 y ³ 16 atau 4 x + y ³ 8

6

bawah " Kecil " 6 x + 8 y £ 48 atau 3x + 4 y £ 24 atas " Besar " 2 x + 12 y ³ 24 atau

2

x + 6 y ³ 12

2

8


12

104

1. Jika f ( x ) =

1 x

dan g(x) = 2x -1, maka (f og)-1(x)

adalah…. A. B. C.

2x - 1 x x 2x - 1 x +1 2x

D. E.

2x + 1 2x 2x - 1 2x

p p

ax + b , maka cx + d - dx + b f -1 ( x) = cx - a f ( x) =

1 dan g(x) = 2x-1 x 1 0. x + 1 (f og)(x) = = 2x -1 2x -1 x +1 (f og)-1(x) = 2x

@ f ( x) =


105

2. Jika (g of)(x) = 4x2 +4x, dan g(x) = x2 -1, maka f(x -2) adalah… A. 2x +1 B. 2x -1 C. 2x -3 D. 2x +3 E. 2x -5

p

p f(x ) = ax +b maka : f(x -k) = a(x -k) +b p sebaliknya : f(x-k) = ax+b, maka : f(x) = a(x +k) +b

@ (g of)(x) = 4x2 +4x, g(x) = x2 -1

g(f(x)) = 4x2 +4x f2(x)-1 = 4x2 +4x f2(x) = 4x2 +4x +1 = (2x+1)2 f(x) = 2x +1 @ f(x -2) = 2(x -2) +1 = 2x -3


106

3. Jika f ( x ) = x + 1 dan g(x) = x2 -1, maka (g of)(x) adalah…. A. x B. x -1 C. x +1 D. 2x -1 E. x2 +1

p p

a 2 = a , tapi :

( a 2 )2 = a 2

jadi : ( f ( x ) ) 2 = f ( x ) p

@ f(x) =

x +1

, g(x) = x2 -1

(g of)(x) = g( f ) = ( ( x + 1) 2 - 1 =x+1–1 =x


107

1 x dan ( fog )( x) = , maka g(x) 2x -1 3x - 2 sama dengan….

4. Jika f ( x) = 1 x 2 1+ x 1 2x

A. 2 + B. C.

2 x 1 22x

D. 1E.

p

@ (f og) = @ f=

x , 3x - 2

1 2x - 1

x 3x - 2 1 x 3x - 2 = → 2g -1 = x 2 g - 1 3x - 2 3x - 2 1 6 x + 4 + 2 x 8 x + 4 1 g = + = = =2+ x 2x 2 4x 4x

f(g)=


108

5. Fungsi f : R à R dan g : R à R ditentukan oleh f(x) = 2x -1 dan g(x) = x2 +6x +9, maka (g of)(x) adalah…. A. 2x2 +12x +17 B. 2x2 +12x +8 C. 4x2 +12x +4 D. 4x2 +8x +4 E. 4x2 -8x -4

p

p (g of)(x) = g(f(x))

@ f(x) = 2x -1,

g(x) = x2 +6x +9 (g of)(x) = g(f(x)) = (2x -1)2+6(2x -1) +9 = 4x2-4x +1 +12x -6 +9 = 4x2 +8x +4


109

6. Jika ( fog )( x) = 1 x -5 1 B. x +1 1 C. x -1

f ( x) = x 2 + 1

dan

1 x 2 - 4 x + 5 , maka g(x -3) =… x-2

A.

p

1 x -3 1 E. x+3

D.

1 x 2 - 4x + 5 x-2 1 g 2 +1 = x 2 - 4x + 5 x-2 1 g 2 +1 = ( x 2 - 4 x + 5) 2 ( x - 2)

f og)(x) =

x 2 - 4 x + 5 - ( x - 2) 2 1 = 2 ( x - 2) 2 ( x - 2) 1 1 1 g= è g ( x - 3) = = x-2 x -3-2 x -5 g2 =


110

7. Diketahui fungsi f ( x) = 3 1 - x 3 + 2 . Invers dari f(x) adalah…. A. 1 - 3 ( x - 2) 3 B. (1 –(x -2)3)3 C. (2 –(x -1)3)3 D. (1 –(x -2)3)1/3 E. (2 –(x -1)3)1/3

p

p

f ( x) = 3 1 - x 3 + 2 f - 2 = 3 1- x 3 (f -2)3 = 1 –x3 x3 = 1 –(f -2)3 1

x = 3 1 - ( f - 2) 3 = (1 - ( f - 2) 3 ) 3 -1

f (x) = (1-(x - 2) ) 3

1 3


111

8. Jika f(x) = Åx , x ≥ 0 dan g( x ) = -1

x ; x ¹ -1 , x +1

maka

(g of) (2) = … A. ¼ B. ½ C. 1 D. 2 E. 4

p

f(x) =Öx

è f-1(x) = x2

x è x +1 x g -1 ( x ) = 1- x g( x ) =

p

(g of)-1(x) = (f-1og-1)(x) æ x ö =ç ÷ è1- x ø

2

2

æ 2 ö (g of) ( 2 ) = ç ÷ =4 è1- 2 ø -1


112

9. Jika f(x) = 2x -3 dan (g of)(x) = 2x +1, maka g(x) = …. A. x +4 B. 2x +3 C. 2x +5 D. x +7 E. 3x +2

p

Jika f(x) = ax +b dan (g of)(x) = u(x)

æ x -bö ÷ è a ø

Maka : g(x) = u ç

@ f(x) = 2x -3 , (g of)(x) = 2x +1 æ x +3ö g(x) = 2ç ÷ +1 = x + 4 è 2 ø


113

10. Jika (f og)(x) = 4x2 +8x -3 dan g(x) = 2x +4, maka f -1(x) = … A. x +9 B. 2 +Åx C. x2 -4x -3 D. 2 + x + 1 E. 2 + x + 7

p

g(x) = 2x +4 , (f og)(x) = 4x2+8x -3 2

x-4 æ x-4ö f(x) = 4ç )-3 ÷ + 8( 2 è 2 ø = x2 -8x +16 +4x -16 -3 = x2 -4x -3 = (x -2)2 -7 f-1(x) = 2 + x + 7


114

11. Prediksi UAN/SPMB Jika f(x) = 2x +3 dan (f o g)(x) = 4x2 +12x +7. Nilai dari g(1) =... A. 10 B. -12 C. 9 D. -9 E. 8

1

f ( x) = ax + b dan ( fog )( x) = px 2 + qx + r

px 2 + qx + r - b a 2 4 x + 12 x + 7 - 3 = 2 2 4.1 + 12.1 + 7 - 3 = 2 = 10

g ( x) = maka :


115

12. Prediksi UAN/SPMB f ( x) = 34 x maka invers dari f(x) adalah.... A. 3log 4x B. 4log 3x C. 3log x4 D. 4log x3 E. 3log 4 x

1

Jika f ( x ) = a

px

maka f

-1

1

( x ) = a log x p 1

-1 3 3 f ( x) = 34 x maka f ( x)= log x 4 = log 4 x


116

13. UAN 2003/P-2/No.16 Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x +p dan g(x) = 3x +120, maka nilai p =…. A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 E. 150

1

g(f(x)) = f(g(x)) ¸ g(2x +p) = f(3x +120) 3(2x +p) +120 = 2(3x +120) +p 6x +2p +120 = 6x +240 +p 2p –p = 240 -120 p = 120


117

14. UAN 2003/P-1/No.16 f-1(x)

Jika

adalah

invers

dari

fungsi

2x + 5 4 f ( x) = , x ¹ . Maka nilai f-1(2) sama dengan 3x - 4 3

A. B. C. D. E.

2,75 3 3,25 3,50 3,75

ax + b , maka cx + d - dx + b f -1 ( x) = cx - a

O f ( x) =

1

f ( x) =

2x + 5 4x + 5 ¸ f -1 ( x) = 3x - 4 3x - 2 4.2 + 5 13 f -1 (2) = = = 3,25 3 .2 - 2 4


118

15. UAN 2003/P-2/No.17 Fungsi

f ( x) =

f

:

÷R

didefinisikan

sebagai

2x - 1 -4 ,x ¹ .Invers dari fungsi f adalah 3x + 4 3

f-1(x) = …

4x - 1 ,x ¹ 3x + 2 4x + 1 B. ,x ¹ 3x - 2 4x + 1 C. ,x ¹ 2 - 3x A.

R

-2 3 2 3 2 3

4x - 1 2 ,x ¹ 3x - 2 3 4x + 1 -2 E. ,x ¹ 3x + 2 3 D.

ax + b , maka cx + d - dx + b f -1 ( x) = cx - a

O f ( x) =

1

f ( x) =

2x - 1 - 4x - 1 ¸ f -1 ( x) = …(kali : -1) 3x + 4 3x - 2 4x + 1 f -1 ( x) = 2 - 3x


119

16. UAN 2003/P-1/No.17 Diketahui f(x) = x +2 dan g(x) =

15 untuk x ≠ 0. Jika x

f-1(x) = fungsi invers dari f(x) dan g-1(x) = fungsi invers dari g(x), maka nilai (f-1 o g-1)(x) = 1 dipenuhi untuk x = …. A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 E. 10

O O -1

-1

1 (f o g )(x) = 1

f = x +2 ,maka : f-1 = x -2 g=

15 15 , maka g-1 = x x

15 )=1 x 15 -2 = 1 atau 3x = 15 x

f-1(g-1)(x) = 1 ¸ f-1(

O

Jadi : x = 5


120

1. Jika x di kuadran II dan tan x = a, maka sin x adalah…. a A. (1 + a 2 ) a 1 B. D. (1 + a 2 ) (1 + a 2 ) C.

1

E.

(1 + a 2 )

- (a - a 2 ) a

sin x = p

p

Tan x = a =

tan x =

p q

cos x =

p p + q2 q 2

p2 + q2

a a → sin x = -1 a2 +1


121

2. Jika cos x =

5 5

, maka ctg ( p2 - x ) =…

A. 2 B. -3 C. 4 D. 5 E. 6

p p p

p

p

p è sin x = q ctg ( p2 - x) = tan x sin x tan x = cos x cos x =

q2 - p2 q

5 25 - 5 20 è sin x = = 5 5 5 20 sin x 20 tan x = = 55 = = 4=2 cos x 5 5

cos x =


122

3.

cos q = ... 1 - sin q cosq A. 1 + sin q 1+ sin q B. cos q 1 + cos q C. sin q

1- cos q sin q 1+ sin q E. sin q

D.

JAWABAN : B

cosq 1 + sin q = 1 - sin q cosq

Dituker, tanda penyebut berubah…OK ?


123

p < x < p dan tan x = a, maka (sinx +cosx)2 sama 2 dengan…. a 2 + 2a + 1 A. a 2 +1 a 2 - 2a + 1 a - 2a + 1 B. D. 2 a +1 a 2 -1 a 2 + a +1 a 2 - 2a - 1 C. E. a 2 +1 a 2 -1

4. Jika

JAWABAN : A

p

tan x = a =

a 1

sin x = cos x =

a a 2 +1 1 a 2 +1

æ a 1 ö÷ (sin x + cos x) = çç + ÷ 2 a 2 +1 ø è a +1 a 2 + 2a + 1 = a 2 +1

2

2


124

5. (1 –sin2A) tan2A = … A. 2 sin2A -1 B. sin2A +cos2A C. 1 – cos2A D. 1 –sin2A E. cos2A +2

p

p

p

Sin2 x+cos2 x = 1

ìsin 2 x = 1 - cos 2 x í 2 2 îcos x = 1 - sin x sin x sin 2 x tan x = è tan 2 x = cos x cos 2 x sin 2 A cos 2 A 2 = sin A = 1 – cos2A

(1 –sin2A).tan2A = cos 2 A.


125

6. Diketahui segitiga ABC dengan sudut B = 45o dan CT garis tinggi dari titik sudut C. jika BC = a dan AT = 3 a 2 2

maka AC = ….

A. aÅ2 B. aÅ3 C. aÅ5 D. aÅ7 E. aÅ11

C

C

a

A

p

A 3 a 2

3 a 22

2 T

45o T

45o B

B

CT = a sin 45o = ½ aÅ2 AC2 = AT2 +CT2 = (3/2 aÅ2)2 + ( ½ aÅ2)2 9 1 = a 2 + a 2 = 5a 2 2 2 Jadi : AC = aÅ5


126

7. Diberikan segitiga ABC siku-siku di C. Jika cos(A –C) = k, maka sin A +cos B = …. A. – ½k B. –k C. -2k D. ½ k E. 2k

C

JAWABAN : C 45o A

3 a 2

2

T

B

Cos(A +C) = k → cos(A +90o) = k - sin A = k → sin A = -k o o p 90 –B = A → sin(90 –B) = sin A cos B = sin A = -k Jadi : sin A + cos B = -k –k = -2k p


127

8. Dari segitiga ABC diketahui a = 30o dan b = 60o, jika a +c = 6, maka panjang sisi b adalah…. A. Å2 B. Å3 C. 2Å2 D. 2Å3 E. 3Å2

C

c A

A

30o

3 a 2 2 b

B

60o

T

p

a +c = 6 → c = 6 –a a a sin 30 o = = c 6-a ì a=2 1 a = Þí 2 6-a îc = 6 - 2 = 4

p

b = c 2 - a 2 = 4 2 - 2 2 = 12 = 2 3


a

45o

C

B

128

9. Jika 0o < x < 90o diketahui tan x 1 - sin 2 x = 0,6 . Maka tan x = … A. 2,25 B. 1,8 C. 1,25 D. 0,8 E. 0,75

C

Jika tan x = A

3

a

2

sin ox 45 maka : cos x T

cos x =2 1 - sin 2 x p

B

tan x 1 - sin 2 x = 0,6 sin x 3 . cos x = 0,6 = cos x 5 3 3 3 sin x = → tan x = = 5 5 2 - 32 4


129

10. Jika

tan 2 x = 1, 1 + sec x

0o < x < 90o maka sudut x adalah….

A. 0o B. 30o C. 45o D. 60o E. 75o

C

p p

tan 2 x = sec 2 x -45 1

o

T –y) x2A– y2 3= a(x +y)(x 2

B

2

p

tan 2 x =1 1 + sec x (sec x + 1)(sec x - 1) sec 2 x - 1 =1→ =1 1 + sec x 1 + sec x sec x -1 = 1 → sec x = 2 x = 60o


130

11. Sebuah tiang bendera tingginya 3 m mempunyai bayangan ditengah sepanjang 2 m. Pada saat yang sama pohon cemara mempunyai bayangan di tanah sepanjang 10 m. Maka tinggi pohon cemara tersebut adalah…. A. 15 m B. 16 m C. 20 m D. 25 m E. 30 m C 45o

3 A

3 a 2

2 p

2

T

x B

10

x 10 = è x = 15 3 2


131

12. Dalam segitiga siku-siku ABC, diketahui panjang Sisi BC = a dan ÐABC = b Panjang garis tinggi AD=…. A. a sin2b cos b B. a sin b cos b C. a sin2b D. a sin b cos2b E. sin b

C C

45o A

3 a 2

2

T

A

p

D

B b

B

AD = BC sin C cos C = BC sin B cos B = a sin b cos b


132

13. Pada segitiga ABC diketahui a +b = 10, sudut A = 30o dan sudut B = 45o, maka panjang sisi b = A. 5(Å2 -1) B. 5(2 -Å2) C. 10(2 -Å2) D. 10(Å2 +2) E. 10(Å2 +1)

C p

Aturan Sinus : A

p p

3 a 2

2

a b =o 45 sin A sin B T

B

a +b = 10 → a = 10 –b a b = o sin 30 sin 45 o 10 - b 1 2

=

b 1 2

→ 10Å2 - Å2 b = b 2

b + Å2 b = 10Å2 → (1 +Å2)b = 10Å2 10 2 b= = 10(2 -Å2) 1+ 2


133

14. Jika p +tg2 x = 1, maka sec x sama dengan…. A. 1 - p B.

p -1

C.

2- p

D.

p-2

E.

3- p

C

b ì cos x45=o ï 2 aï a + b2 tan A x3= í T B a 2 a 2 + b2 2 bï sec x = ïî b

o p +tan2x = 1 → tan2 x = 1 -p 1- p tan x = 1 - p = 1 1- p +1 o sec x = = 2- p 1


134

15. Nilai maksimum dan minimum dari : f(x) = 4 -3cos x adalah a dan b, maka nilai dari a2 +b2 = …. A. 40 B. 42 C. 44 D. 45 E. 50

C

ì fo = A + k f ( x) = - A cos x + k í45 max 3 A Tî f min B= - A + k a 2 2

p

f(x) = 4 -3 cos x = -3 cos x +4 a = 3 +4 = 7 b = -3 +4 = 1 → a2 +b2 = 49 +1 = 50


135

16. Nilai dari 8 sin 18o sin 54o =…. A. ½ B. 1 C. 2 D. 4 E. 8

C 45o2x @ 2 sin x cos x = sin @ cos A x 3= sin(90 T–x) B a 2

2

@ 8 sin 18 sin 54 = 8 sin 18 cos 36 4(2 sin 18 cos18) cos 36 cos18 4 sin 36 cos 36 = cos18 2 sin 72 = =2 sin 72 =


136

17. Perhatikan gambar di bawah ini : Jika DC = 2p, maka BC = A. p sin2 a E B. p cos2 a C. 2p sin a D. 2p cos a E. p sin 2a A

D

a C

B

C o

45sudut sisi depan @ sinA a =3 T miring B a sisi 2 2 sisi apit sudut @ cos a = sisi miring p p

BCE = a → Ð CDE = a (kesetaraan) BC sin a = → CE = 2p sin a CE BC cos a = → BC = 2p sin a cos a CE = p sin 2a

Ð


137

18. Perhatikan gambar di bawah ini Nilai dari tg x adalah… A. 1/8 B. 3/11 C. 5/8 x D. 7/8 y E. 1

C 1 1 B

3

A

C o

tan45A + tan B @ tan( A + B) = 3 A T B a 2 1 - tan A tan B 2

@ Tg y = 1/3 1+1 2 tan x + tan y 2 = maka : = 3 3 1 - tan x tan y 3 3 tan x +1 = 2 -2/3 tan x 11/3 tan x = 1 → tan x = 3/11 tan( x + y ) =


138

19. Persamaan grafik ini adalah…. A. y = 2 sin 32 x Y 3 B. y = -2 sin 2 x 2 2 C. y = -2 cos 3 x p D. y = 2 cos 32 x O 3 3 E. y = -2 cos 2 x

2p 3

p

X

-2

C

p p

p

o Grafik tersebut adalah 45 cosinus terbalik. ( amplitude negative) 3 A T B a 2 Umum : y = 2 A cos nx

A = -2 n = 4p / 3 = y = -2 cos 32 x 2p

3 2


139

20. Nilai dari sin A. ½ Å3 B. 1/3 Å3 C. ¼ Å3 D. ¾ E. ½

p p cos =….. 3 6

C o

p

p

sin

o p 18045 p = 180 → = = 60Bo 3 A T 3 a3 2 2 p 180 o → = = 30 o 6 6 o

p p cos = sin 60o cos 30o 3 6 = ½ Å3. ½ Å3 = ¾


140

tan 2 x = 1, 0o < x < 90o , maka sec x adalah… 1 + sec x A. -1 B. 0 C. 1/3 D. ½ E. 1

21. Jika

C

p

45o Identitas tan2x = sec2 -1 à Rumus A

p

3 a 2

2

T

B

tan 2 x = 1 è tan2x =1 +sec x 1 + sec x sec2x -1 = 1 +sec x sec2x –sec x -2 = 0 (sec x -2)(sec x +1) = 0 sec x = 2 atau sec x = -1


141

22. Dari segitiga ABC diketahui bahwa a = 30o dan b = 60o. Jika a +c = 6, maka panjang sisi b adalah… A. Å2 B. Å3 C. 2Å2 D. 2Å3 E. 3Å2

C

Aturan sinus à jika diketahui 1 sisi o 2 45 sudut A

p

p

p

3 a 2

sin A sin B sin C T= B= 2 a b c

a = 30o, b = 60o berarti c = 90o sin 30o sin 90o = →a=½c a c Padahal : a + c = 6 ½ c + c = 6 à c = 4, a = 2 o sin 60 sin 90o = → b = 2Ö3 b 4


142

23. Jika 0 < x < 90o diketahui tan x 1 - sin 2 x = 0,6 maka tan x =…. A. 2,25 B. 1,8 C. 1,25 D. 0,8 E. 0,75

C p

Cos2x +sin2x = 1 trigonometri) 3 A

p p

p

a

2

o (identitas 45

T

B

cos x = 12- sin 2 x sin x tan x = cos x a a sin x = → tan x = 2 b b - a2

tan x 1 - sin 2 x = 0,6 sin x . cos x = 35 → sin x = 53 cos x 3 3 tan x = = = 0,75 52 - 32 4


143

24. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AB = 10 cm, sisi AC = 12 cm dan sin B = ¼ , nilai cos C adalah…. A. 13 5 B. ¾ C. 25 5 D. 109 E.

39 8

C

C A

3 a 2

A

p

45o

12 2

T

10

B

B

3 sin B sin C sin C = → 4 = 12 10 12 10 5 82 - 52 39 sin C = à cos C = = 8 8 8


144

25. Diketahui segitiga ABC dengan AC = 8Å3 cm, ÐB = 120o, ÐC = 30o. Luas segitiga ABC adalah… A. 8Å3 cm2 B. 16Å2 cm2 C. 16Å3 cm2 D. 32 cm2 E. 48 cm2

C

C A

o

3 a 2

A

p

p

45o

30 T a

B

2

120

o

10

B

1 1 3 sin 30o sin120o 2 = è = 2 a a 8 3 8 3 ½ a = 8. ½ = 4 à a = 8 L = ½ .AC.BC sin C ( Rumus standart) = ½ .8Å3. 8 sin 30o = 32Å3 . ½ = 16Å3


145

26. Diketahui cos(A –B) =

8 2 dan cos A cos B = , nilai 9 3

tan A.tan B = …. A. -3 B. -1/3 C. ¼ D. 1/3 E. 3

C

p

o

p

45 + sin A sin B cos(A –B) = cos A cosB

p

tan A. tan B a=

A

3 2

sin AT. sin B 2 cos A. cos B

B

cos(A –B) = cos A cosB + sin A sin B 8 = 23 + sin A sin B 9 sin A sin B =

tan A. tan B =

8 9

- 23 =

2 9

2 sin A.sin B 1 = 9 = cos A. cos B 2 3 3


146

27. Diketahui cos2A = Nilai tan 2A = …. A. 43 B. 108 C. ¾ D. 106 E.

8 10

untuk 0 ≤ 2A ≤ ½p .

5 10

C 45o

p A

3 a 2

2

T

p

Diketahui cos2A = 108 Cos 2A = 2cos2A -1 ( sudut rangkap) = 2. 108 -1 = 53

p

tan 2 A =

B

52 - 32 4 = 3 3


147

28. Persamaan grafik fungsi trigonometri pada gambar adalah…. A. y = -2 sin(2x -30)o B. y = 2 cos(2x -30)o 2 C. y = -2 cos(2x -30)o D. y = 2 cos(2x -60)o E. y = 2 sin(2x -30)o 15o 60o -2

C 45o

p A

p p

3 a 2

2

T

B

Susupkan saja x = 15o ke pilihan jawaban, mana yang menghasilkan y = 2 Pilihan B : 2 cos(2.15o-30o) = 2.cos 0o = 2 Sesuai dengan nilai y


148

1. UMPTN 1995 1 3 x-2 y = dan 2 x - y - 16 = 0 , maka nilai x +y =... 81 A. 21 B. 20 C. 18 D. 16 E. 14

1

1 3x - 2 y =

1 =3-4 81

a f ( x ) = a p maka f(x) = p

→ x -2y = -4

2 x - y = 16 = 24

→ x –y = 4 -y = -8 à y = 8 x -8 = 4 à x = 12 Jadi : x + y = 12 +8 = 20


149

2. UMPTN 1995 Diketahui 2.4 x + 2 3- 2 x = 17 . Nilai dari 22x =... A. ½ atau 8 B. ½ atau 4 C. 1 atau 4 D. ½ atau -4 E. ½ atau -8

1

2.4 x + 2 3- 2 x = 17 , misal : 22x = a 8 2.2 2 x + 2 x = 17 à 2a + 8 = 17 a 2 2 2a -17a +8 = 0 (2a -1)(a -8) = 0 à a = ½ atau a = 8


150

3. UMPTN 1995 Penyelesaian persamaan : 2(25) x +1 + 5 x + 2 - 3 = 0 adalah x =.... A. 1 -2log 5 B. -1 -5log 3 C. -1 +5log 3 D. -1 -5log 3 E. 1 +5log 3

1

a f ( x ) = p maka f ( x) = a log p

1 2( 25) x +1 + 5x + 2 - 3 = 0 à

5x = a

50.52x +25.5x -3 = 0 50a2+25a -3 = 0 (10a -1)(5a +3) = 0 à a = 1/10 x = 5 log 101 = 5 log10-1 1

5 x = 101 à

=-5 log10 = -(5 log 5+ 5 log 2) = -1-5 log 2


151

4. UMPTN 1996 Untuk x dan y yng memenuhi sistem persamaan 5 x - 2 y +1 = 25 x - 2 y dan 4 x - y + 2 = 32 x - 2 y +1 , maka nilai x.y =.... A. 6 B. 8 C. 10 D. 15 E. 20

1 a

f (x )

= a p maka f(x) = p

5 x - 2 y +1 = 25 x - 2 y 5 x - 2 y +1 = 5 2 x - 4 y à x -2y = 1 x- y+2 x - 2 y +1 1 4 = 32 3x -6y = 3 2 x -2 y + 4 5 x -10 y + 5 2 =2 à 3x -8y = -1 2y = 4 y = 2 dan x -4 = 1 à x = 5 Jadi : x.y = 5.2 = 10 1

-


152

5. UMPTN 1996 3 x -1 - y -2 Bentuk x - 2 + 2 y -1 negatif menjadi.... A. B. C.

dapat ditulis tanpa eksponen

x (3 y - x ) y( y+2x2 ) y ( x+2 x2 )

D.

x (3 y 2 - x ) y(y+ 2x 2 )

x (3 y 2 - x ) y( y -2x 2 )

E.

x (3 y 2 - x ) y(x -2x 2 )

x (3 y 2 - x )

x - y12 3xy 2 - x 2 3 3x -1 - y -2 x(3 y 2 - x) @ -2 = = = x + 2 y -1 x12 + 2y y 2 + 2 yx 2 y ( y + 2 x 2 )

@ Dikalikan dgn :

x 2 .y 2


153

6. UMPTN 1998 æ x 3 .y -3 Bentuk ç 2 ç y 3 .x 2 è 2

4

ö ÷ ÷ ø

- 34

dapat disederhanakan menjadi....

A. x.y 2 B. xÅy C. x 2 . y D. x.yÅy E. y.xÅx

æ x .y ç @ ç 23 2 è y .x 2 3

-43

-34

-2 ö 3 ÷ = x .y = x.y 2 = xy y -12 -32 ÷ y .x ø 1


154

7. UMPTN 1999 -2

1 æa+bö ( a - b) - 3 ç =...... ÷ -3 è b - a ø ( a + b) A. a2 –b2 B. a2 +b2 1 C. a+b a+b D. ( a - b) 2 a+b E. a-b

+bö ÷ 1 (a - b ) ç èb-a ø -3 æ a

=

-2

1 (a + b ) - 3

1 (a - b) 2 a+b . .( a + b ) 3 = 3 2 (a - b) (a + b) a -b


155

8. UMPTN 1999 Nilai x yang memenuhi persamaan : ì5 x + y = 49 adalah..... í îx- y =6 A. 3 + ½ 5log 7 B. ½ (3 +5log 7) C. 6 5log 49 D. 49 +5log 6 E. 3 + 5log 7

1

a f ( x ) = p maka f ( x)= a log p

1

5 x + y = 49 x + y = 5 log 49 = 25 log 7

1

x –y = 6 + 2 x = 25 log 7 + 6 à x = 5log 7 +3


156

9. EBTANAS 1996 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan : 2.92x-1 -5.32x +18 = 0, maka x1 +x2 = .... A. 0 B. 2 C. 3log 2 D. 2 -3log 2 E. 2 + 3log 2

1

1

a. p 2 x + b. p x + c = 0 ,maka c p x1 + x2 = a

2.92x-1 -5.32x +18 = 0 à basis 9x 2.92x.9-1-5.9x +18 = 0 x9 2.92x-45.9x +18.9 = 0 18.9 9 x1 + x2 = = 92 2 Berarti : x1 +x2 = 2


157

10. SPMB 2002/No.20 Akar dari persamaan 3 5 x -1 = 27 x + 3 adalah.... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

1

3 5 x -1 = 27 x + 3 à 3 5 x -1 = 3 3 x + 9 5x -1 = 3x +9 à 2x = 10 x=5


158

11. SPMB 2002/No.16 1

1

1

Jika x > 0 dan x ¹ 1 memenuhi x p .x q = x pq , p dan q bilangan rasional,maka hubungan antara p dan q adalah.... A. p +q = -1 B. p +q = 1 C. 1 + 1 = 1 p

q

D. p.q = 1 E. p.q =-1

1

1

1

1

1 1 + p q

x .x = x à x p+q 1 = à p +q = 1 pq pq p

q

pq

=x

1 pq


159

12. EBTANAS 2002/No.21 2 Jika 6 x -1 = ( ) x +1 , maka x =.... 3 A. 2log 3 B. 3log 2 C. 1/2 log 3 D. 3log 6 E. 1/3log 2

1

2 6 x -1 = ( ) x +1 à (3.2) x -1 = ( 2 ) x +1 3 3 3 Berarti : x = log 2


160

1. UMPTN 1996 Jika 4log(4x.4) = 2 –x, maka x = …. A. -1 B. – ½ C. ½ D. 1 E. 2

1 1

1

a m .a n = a m + n a log u = v Û u = a v

4

log(4x.4) = 2 –x 4 log 4x+1 = 2 –x 4x+1 = 42 –x à x +1 = 2 –x x=½


161

2. UMPTN 1996 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan log(x2 +7x +20) = 1, maka (x1 +x2)2 -4x1.x2 adalah…. A. 49 B. 29 C. 20 D. 19 E. 9

1

Akar-akar ax2 +bx +c = 0 , x1 dan x2 Maka : b 1 x1 + x 2 = a c 1 x1 .x 2 = a

@ log(x2 +7x +20) = 1 =log 10

x2 +7x +20 = 10 à x2 +7x +10 = 0 (x1 +x2)2 -4x1.x2 = (-7)2 -4.10 = 9


162

3. UMPTN 1996 Jika a log(1-3 log 271 ) = 2 , maka nilai a yang memenuhi adalah…. A. 1/8 B. ¼ C. 2 D. 3 E. 4

@ a log u = v Û u = a v

1

a

log(1-3 log 271 ) = 2 à 1-3log 271 = a 2 1 – 3log 3-3 = a2 1 – (-3) = a2 a2 = 4 à a = 2


163

4. UMPTN 1997 Jika 2 log x + log 6x –log 2x –log 27 = 0, maka x sama dengan.... A. 3 B. -3 C. 3 atau -3 D. 9 E. 9 atau -9

log x +alog y = alog x.y x a a a 1 log x - log y = log 1

a

y

1

2 log x + log 6x –log 2x –log 27 = 0 2 x 2 .6 x log = log1 à x = 1 9 2 x.27 2 x = 9 , berarti x = 3


164

5. UMPTN 1997 Jika b = a4 , a dan b positif, maka alog b –blog a adalah…. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ¾ E. 4 ¼

1

1

a

Jika x = yn maka

1

y = xn

1

log b - b log a = a log a 4 - b log b 4 =4–¼=3¾


165

6. UMPTN 1997 Jumlah dari penyelesaian persamaan : 2 log2x +52log x +6 = 0 sama dengan…. A. ¼ B. ¾ C. 1/8 D. 3/8 E. -5/8

1

a

log f(x) = p maka : f(x) = ap

@ 2log2x +52log x +6 = 0

(2log x +2)(2log +3) =0 2 log x = -2 atau 2log x = -3 x = 2-2 = ¼ atau x = 2-3 = 1/8 @ Maka : x1 + x 2 = 1 + 1 = 3 4

8

8


166

7. UMPTN 1997 Jika 9log 8 = p, maka 4log 13 sama dengan.... 3 A. 2p 3 4 B. D. 4p 3p 2 6 C. E. 3p 4p

@ Posisi basis terbalik : 3 -1

23 32 9

22

log 8 = pÞ 4 log

1 - 13 . 3 = = 3 2.2. p 4p


167

8. UMPTN 1998 Dari sistem persamaan 5log x +5log y = 5 dan 5log x3 5 log y4 = 1, nilai x +y adalah.... A. 50 B. 75 C. 100 D. 150 E. 200

1

5

log x + 5 log y = 5 à 35 log x +35 log y = 15

log x3 -5 log y 4 = 1 à 35 log x -45 log y = 1 ------------------- 5 7 log y = 14 5 log y = 2 à y = 52 = 25 5 log x = 3 à x = 53 = 125 Jadi : x + y = 25 +125 = 150 5


168

9. UMPTN 1998 Nilai x yang memenuhi ketaksamaan 2 log(2x+7) > 2 adalah….. A. x > - 7 B. C.

2 3 x>2 7 3 -
D. E.

7
-

1 Jika a log f ( x ) > p ,maka :

( i ) f(x) > ap ( ii ) f(x) > 0

1

2

log(2x+7) > 2 à ( i ) 2x +7 > 4 x>-

3 2

( ii ) 2x +7 > 0 x> -7 2

Gabungan ( i ) dan ( ii ) di dapat : x > -


3 2

169

10. UMPTN 1999 Nilai x yang memenuhi persamaan : (3 x + 5) log 27 =3 log 3 adalah.... A. 42 B. 41 C. 39 D. 7 23

1

E.

7 13

3x+5

log 27 = 1 à 27 = 3x +5 3x =22 x=

22 1 =7 3 3


170

11. UMPTN 1999 Diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka log(3 2 . 3 ) =.... A. 0,1505 B. 0,1590 C. 0,2007 D. 0,3389 E. 0,3891

1

log(3 2 . 3 ) = log 21/3 + log 3 1/2 = 1/3 log 2 + ½ log 3 = 1/3(0,3010) + ½ (0,4771) = 0,3389


171

12. Prediksi SPMB Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan : 1 (2 log x - 1) x = log10 , maka x1.x2 = .... log10 A. 5Å10 B. 4Å10 C. 3Å10 D. 2Å10 E. Å10

1

1 = log10 log10 (2log x -1) log x = 1 2log2x –log x -1 = 0 1 b 1 log x1.x2 = - = à x 1 . x 2 = 10 2 = 10 a 2 (2 log x - 1)

x


172

13. Prediksi SPMB Jumlah dari nilai x yang memenuhi persamaan 3 log x(3 log x + 4) + 3 = 0 adalah.... A. 274 B. 278 C.

10 27

D.

13 27 16 27

E.

1

3

log x (3 log x + 4) + 3 = 0

3

log2x +43log x +3 = 0 ( log x +1)(3log x +3) = 0 3 log x = -1 atau 3log x = -3 1 x = 3-1 = 13 atau x = 3-3 = 27 3

@ Jadi : 13 + 271 = 1027


173

14. Prediksi SPMB 1 3 1 Jika 2 log = dan 16log b = 5, maka a log 3 =.. a 2 b A. 40 B. -40 C. 40 D.

3 40 3

E. 20

1

-3 1 3 = à a=2 2 a 2 16 log b = 5 à b = 165 2

log

1 a log

1

= -3 log b = - 3 a

b3

= - 15

-3

2 2

-3

2 2

log 16 5

log 2 4 = -15.

4 2 log 2 -3 2

= -15.

8 = 40 -3


174

15. Prediksi SPMB Nilai x yang memenuhi (b log x) 2 + 10 < 7.b log x dengan b > 1 adalah.... A. 2 < x < 5 B. x < 2 atau x > 5 C. b2 < x < b5 D. x < b2 atau x > b5 E. 2b < x < 5b

(b log x) 2 + 10 < 7.b log x b log2x -7log x +10 < 0 b ( log x -2)(blog x -5) < 0 Pembuat Nol : x = b2 atau x = b5 Pert. “Kecil” jawaban pasti terpadu @ Jadi : b2 < x < b5 1


175

16. Jika log(y +7) +2log x = 2, maka .... A. B. C. D.

100x 2 7 7 y= - x2 100 100 y= 7x 2 100 y = 2 -7 x y=

E.

y = 100 - x 2

1

Log(y +7) +2log x = 2 Log(y +7) +log x2 = log 102 x2(y +7) = 102 à y +7 = 100 2 y=

x 100 -7 x2


176

1. Jika C5n + 2 = 2C4n +1 dan n > 5, maka n = .... A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 E. 12

1

1

Jika Cnn + p = kCnn-+1p -1 n+ p Maka : =k n

C5n + 2 = 2C4n +1 n+2 =2 àn=8 5


177

2. UMPTN 1997 Dari angka 3 ,5 ,6 ,7 dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Diantara bilangan-bilangan tersebut yang kurang dari 400, banyaknya adalah.... A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 E. 6

1 Angka-angka : 3 ,5 ,6 ,7 dan 9

Disusun atas 3 angka, nilainya < 400 1

4

3

Kotak I hanya bisa diisi angka 3 (1 cara) Kotak II dapat diisi 5, 6,7 atau 9 (4 cara) Kotak III dapat diisi (4 -1) cara = 3 cara Jadi : banyaknya ada : 1 . 4 . 3 = 12 cara


178

3. UMPTN 1998 Seorang murid diminta mengerjakan 5 dari 7 soal ulangan, tapi soal nomor 1 dan 2 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah.... A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 10

1 No. 1 dan 2 harus dikerjakan, maka sisa nomor yang

dipilih : 3 ,4 ,5 ,6 ,7 Dipilih 3 soal lagi,maka : Banyaknya ada : C35 =

5 .4 = 10 2 .1


179

4. UMPTN 1999 Jika Cnr menyatakan banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen, dan C3n = 2n ,maka C72n =.. A. B. C. D. E.

160 120 116 90 80

n= 1

3+ 7 =5 2

C3n = 2n à C72n = C710 =

10.9.8 = 120 3 .2


180

5. Prediksi SPMB Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set lengkap kartu bridge. Peluang bahwa yang terambil adalah kartu merah atau kartu AS adalah.... 2 A. 52

B. C.

26 52 28 52

D. 30 52 E. 32 52

1 Jumlah kartu : 50

Jumlah kartu merah : 25 Jumlah Kartu AS : 4 1 P(M atau A) = P(M) +P(A) =

26 4 30 + = 52 52 52


181

6. Prediksi SPMB Dari sekelompok remaja terdiri atas 10 pria dan 7 wanita, dipilih 2 pria dan 3 wanita, maka banyaknya cara pemilihan adalah.... A. 1557 B. 1575 C. 1595 D. 5175 E. 5715

1 10 Pria, 7 wanita

dipilih 2 pria dan 3 wanita,maka :

C210 .C37 =

10.9 7.6.5 . = 45.35 = 1575 2 .1 3 .2 .1


182

7. Prediksi SPMB Di suatu perkumppulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 6 calon. Calon yang tersedia terdiri dari 5 pria dan 4 wanita. Banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 3 pria adalah... A. 84 B. 82 C. 76 D. 74 E. 66

1

Dipilih 6 calon, dari 5 pria dan 4 wanita.(sekurang-kurangnya 3 pria)

1

C35 .C34 + C45 .C24 + C55 .C14 = 10.4 +5.6 +1.4 = 74


183

8. Prediksi SPMB Dari 9 orang siswa terdiri dari 6 orang putra dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 6 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, maka banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah.... A. 48 B. 52 C. 54 D. 58 E. 64

1 Dari 9 siswa dipilih 6 orang paling banyak 2 orang

putri :

1 6 putra 0 putri à

C66 .C03 = 1 .1 = 1

5 putra 1 putri à C56 .C13 = 6.3 = 18 4 putra 2 putri à C46 .C23 = 15.3 = 45 Jadi banyaknya : 1 +18 +45 = 64


184

1. UMPTN 1997 Jika x dan y memenuhi hubungan : æ 2 - 3 öæ x ö æ 8 ö çç ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ , maka nilai x +y =... è - 1 2 øè y ø è - 5 ø A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 E. 2

1

1

æ a b öæ x ö æ p ö çç ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ à è c d øè y ø è q ø ( a - b ) q - (c - d ) p x+ y = ad - bc

æ 2 - 3 öæ x ö æ 8 ö çç ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ è - 1 2 øè y ø è - 5 ø (2 + 3)(-5) - (-1 - 2).8 x+ y = 2.2 - (-1)(-3) - 25 + 24 = = -1 4-3


185

2. UMPTN 1997 æ1 2 0ö ÷÷ dan At adalah transpos dari Jika A = çç è3 -1 4ø matriks A, maka baris pertama dari At.A adalah.... A. (10 1 12) B. (10 1 -12) C. (10 -1 14) D. (10 -1 12) E. (10 -1 -12)

1

Jawab : D

æa b ö ÷÷ trasposenya A = çç èc d ø æa c ö ÷÷ AT = çç èb d ø

1 Baris jadikan

kolom,kolom jadikan baris

æ1 3 ö æ1.1 + 3.3 1.2 + 3(-1) 1.0 + 3.4ö ç ÷æ1 2 0ö ç ÷ ÷÷ = ç ç 2 - 1÷çç ÷ ç 0 4 ÷è 3 - 1 4ø ç ÷ è ø è ø æ10 - 1 12 ö ç ÷ T A . A = ç ÷


186

3. UMPTN 1996 Diketahui : x ö æx + y B=ç ÷, 1 x - yø è

æ 1 - x2 ö÷ C = çç ÷ è - 2y 3 ø

dan matriks A

merupakan transpos matriks B. Jika A = C, maka x 2xy +y sama dengan.... A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

æ x + y - 1ö æ 1 - 2x ö ÷ ÷÷ = çç A = C à çç ÷ è - 2y 3 ø è- 2y 3 ø 1 Pilih elemen seletak : -1 = - 2x à x = 2 1

x + y = 1 à y = -1 @ Jadi : x -2xy +y = 2 -2.2(-1) -1 = 5


187

4. UMPTN 1996 Titik potong dari dua garis yang disajikan sebagai persamaan matriks : æ - 2 3 öæ x ö æ 4 ö çç ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ adalah.... è 1 2 øè y ø è 5 ø A. (1 ,-2) B. (-1 ,2) C. (-1 ,-2) D. (1 ,2) E. (2 ,1)

1

æ a b öæ x ö æ p ö çç ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ c d è øè y ø è q ø 1 æ d - bö æ pö æ xö ç ÷ = ç ÷ç ÷ è yø ad - bc è - c a ø è qø

1

æ xö 1 æ 2 - 3 öæ 4 ö æ 1 ö çç ÷÷ = çç ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ y 1 2 7 è ø è øè 5 ø è 2 ø = (1 ,2)


188

5. UMPTN 1996 Nilai a yang memenuhi :

æ a b öæ 1 2 ö æ 2 1 ö æ 0 0 ö çç ÷÷çç ÷÷ - çç ÷÷ = çç ÷÷ adalah.... è c d øè 2 1 ø è 4 3 ø è 1 2 ø A. B. C. D. E.

1

-2 -1 0 1 2

æ a b öæ 1 2 ö æ 2 1 ö çç ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ c d 2 1 5 5 è øè ø è ø

1 a + 2b = 2 à a +2b = 2

2a +b = 1

à 4a +2b = 2 – -3a = 0, berarti a = 0


189

6. UMPTN 1998

æ u1 u3 ö ÷÷ dan un adalah suku è u2 u4 ø

Diketahui matriks A = çç

ke-n barisan aritmetik. Jika u6 = 18 dan u10 = 30, maka diterminan matriks A sama dengan... A. -30 B. -18 C. -12 D. 12 E. 18

1 U6 = 18 à a +5b = 18

U10= 30 à a +9b = 30 -4b = -12 à b = 3 a + 15 = 18 à a = 3 U1 = a = 3 U3 = a +2b = 9 U2 = a +b = 6 U4 = a +3b = 12

æ3

9ö

÷÷ @ A = çç è 6 12 ø

à det(A) = 3.12-6.9 = -18


190

7. UMPTN 1998

z ö æ 4 - 1öæ 1 2 ö æ 7 ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ maka x +y+z x y 3 5 13 4 è øè ø è ø

Jika çç

adalah.... A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 E. 4

1

z ö æ 4 - 1öæ 1 2 ö æ 7 çç ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ è x y øè - 3 5 ø è - 13 - 4 ø 3 ù é 7 z ù é 7 ê x - 3 y 2 x = 5 y ú = ê- 13 - 4ú ë û ë û

1 x – 3y = -13 à 2x -6y = -26

2x +5y = -4

@

2x +5y = -4 – -11y = -22 à y = 2 x = -7 Jadi : x + y +z = -7 +2 +3 = -2


191

8. UMPTN 1998

æ m n öæ 1 2 ö æ 24 23 ö ÷ç ÷=ç ÷ maka nilai 3 ÷øçè 4 3 ÷ø çè 14 13 ÷ø

Jika diketahui çç è2

m dan n masing-masing adalah.... A. 4 dan 6 B. 5 dan 4 C. 5 dan 3 D. 4 dan 5 E. 3 dan 7

1

æ m n öæ 1 2 ö æ 24 23 ö çç ÷÷çç ÷÷ = çç ÷÷ è 2 3 øè 4 3 ø è 14 13 ø æ m + 4n 2m + 3n ö æ 24 23 ö çç ÷÷ = çç ÷÷ è ø è ø

m +4n = 24 à 2m +8n = 48 2m +3n = 23 à 2m +3n = 23 5n = 25 à n = 5 2m +3.5 = 23 à m = 4 …..(D)


192

9. UMPTN 1998 Jika diketahui :

æ 4 x - 2ö æ - 6 8 ö æ 3 1 öæ 0 3 ö çç ÷÷ + çç ÷÷ = 2çç ÷÷çç ÷÷ 2 ø è - 11 - 6 ø è3 è - 2 4 øè - 1 1 ø

maka

nilai x adalah.... A. 0 B. 10 C. 13 D. 14 E. 25

1

æ 4 x - 2 ö æ - 6 8 ö æ 3 1 öæ 0 3ö çç ÷+ç ÷ = 2ç ÷ç ÷ 2 ÷ø çè - 11 - 6 ÷ø çè - 2 4 ÷øçè - 1 1 ÷ø è3 æ D x + 6ö æ D 3 .3 + 1 .1 ö æ 10 ö çç ÷÷ = 2çç ÷÷ = 2çç ÷÷ , è ø è ø è ø Perhatikan elemen-elemen seletak. Jadi : x +6 = 2.10 = 20 à x = 14


193

10. UMPTN 1999

æ 2 ö ç ÷ Diketahui persamaan : xç 5 ÷ + ç - 2÷ è ø

æ -1ö æ - 7 ö ç ÷ ç ÷ yç - 6 ÷ = ç - 21 ÷ ç 5 ÷ ç 2 z - 1÷ è ø è ø

maka nilai x =..... A. -2 B. -3 C. 0 D. 6 E. 30

æ 2 ö ç ÷ 1 xç 5 ÷ + ç - 2÷ è ø

æ -1ö æ -1 ö ç ÷ ç ÷ yç - 6 ÷ = ç - 21 ÷ ç 5 ÷ ç 2 z - 1÷ è ø è ø

1 2x –y = -7

à 12x -6y =-42 5x -6y = -21 à 5x -6y = -21 – 7x = -21à x = -3


194

æ5 + x x ö æ9 - xö ÷÷ dan B = çç ÷÷ Jika 3x ø è 5 è7 4 ø

11. Diketahui A = çç

determinan A dan determinan B sama, maka harga x yang memenuhi adalah.... A. 3 atau 4 B. -3 atau 4 C. 3 atau -4 D. -4 atau -5 E. 3 atau -5

1 det(A) = det(B)

3x(5 +x)-5.x = 36 -7(-x) 15x +3x2 -5x = 36 +7x 3x2 +x -12 = 0 x2 +x -12 = 0 à (x +4)(x -3) = 0 x = -4 atau x = 3


195

12. UMPTN 1998

æ- 2

Jika M = çç è 1

5 ö æ 0 - 1ö ÷÷ dan K .M = çç ÷÷ , maka - 3ø è- 2 3 ø

matriks K =....

3ö æ 4 ÷÷ è - 2 - 1ø æ1 - 2ö ÷÷ B. çç è3 4 ø A. çç

æ - 1 - 2ö ÷ 4 ÷ø è3

C. çç

1

æ3 - 4ö ÷÷ è1 - 2ø æ1 2ö ÷÷ E. çç è3 4ø D. çç

æ 0 - 1ö æ 0 - 1ö -1 ÷÷ à K = çç ÷÷.M K .M = çç è- 2 3 ø è- 2 3 ø æ 0 - 1ö 1 æ - 3 - 5 ö ÷÷. çç ÷÷ K = çç è - 2 3 ø - 2 + 3 è -1 - 2ø æ 0 - 1ö æ - 3 - 5 ö æ 1 2 ö ÷÷.çç ÷÷ = çç ÷÷ K = çç è - 2 3 ø è -1 - 2ø è3 4ø


196

13. EBTANAS 1998 Diketahui matriks

æ 2 4ö ÷÷ dan A = çç è3 1ø

æ1 0ö ÷÷ , I = çç è0 1ø

Matriks (A –kI) adalah matriks singular untuk nilai k =.... A. -2 atau 5 B. -5 atau 2 C. 2 atau 5 D. 3 atau 4 E. 1 atau 2

1

4 ö æ 2 4ö æ k 0 ö æ 2 - k ÷÷ - çç ÷÷ = çç ÷ A - kI = çç 1 - k ÷ø è3 1ø è 0 k ø è 3 Matriks singular,berarti determinan =0 det(A-kI) =0 (2 –k)(1 –k)- 3.4 = 0 k2 -3k -10 =0 à (k -5)(k +2) = 0 k = 5 atau k = -2


197

14. Prediksi SPMB Diketahui B = æç 32 -01ö÷ , C = æç 03 -26ö÷ dan determinan è ø è ø dari matriks B.C adalah K. Jika garis 2x –y = 5 dan x +y = 1 berpotongan di titik A, maka persamaan garis yang melalui A dan bergradien K adalah.... A. x -12y +25 = 0 B. y -12x +25 = 0 C. x +12y -23 = 0 D. y -12x -11 = 0 E. y -12x +11 = 0

3 -1ö æ 0 2 ö æ -3 12ö ÷ç ÷ =ç ÷ è 2 0 ø è 3 - 6ø è 0 4 ø

1 BC = æç

det(BC) = -12-0 = -12 = K = gradient

1 2x –y = 5

x+y=1 + 3x = 6 à x = 2 dan y = -1 1 Pers.Garis : y –(-1) = -12(x -2) y +12x -23 = 0


198

15. Prediksi SPMB Diketahui æ 2x B=ç è 2

3ö ÷ xø

.

matriks

æ 3 2ö ÷÷ A = çç è2 xø

Jika

dan

x1

x2

dan

adalah

matriks akar-akar

persamaan det(A) = det(B), maka x12+x22 = ..... A. 1 ¼ B. 2 C. 4 D. 4 ¼ E. 5

1 det(A) = det(B)

3x-4 = 2x2-6 à 2x2 -3x -2 = 0

x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2.x1x2 = (- -23 )2 - 2. -22 = 94 + 2 = 4 14


199

16. Prediksi SPMB Diketahui matriks-matriks : æ 2 1ö A=ç ÷ è 3 4ø

,

æ -1 2ö B=ç ÷ è 5 6ø

dan

æ a -1ö C=ç ÷. è2 3 ø

Jika

determinan dari 2A –B +3C adalah 10,maka nilai a adalah.... A. -5 B. -3 C. -2 D. 2 E. 5

1 2A –B +3C =

æ 4 2 ö æ - 1 2 ö æ 3a - 3ö æ 5 + 3a - 3 ö çç ÷÷ - çç ÷÷ + çç ÷÷ = çç ÷ 11 ÷ø è 6 8ø è 5 6ø è 6 9 ø è 7 1 det(2A –B+3C) = 55+33a +21

10 = 76 +33a à 33a = -66 a = -2


200

1. SPMB 2002/Mat.Das/No.12 2 x2 - x + 4 lim = ... x ®¥ 3 x 2 - 5 A. - 54 B. 23 C. D.

3 2 - 54

E. ~

@

@

“ ~ “ ucapkan BE >>SAR berarti : pilih koefisien variable pangkat be…sar

Perhatikan Triksnya ...

lim

x® ~

2x 2 - x + 4 3x 2 - 5

=

2 3


201

2. SPMB 2002/Mat.IPA/No.5

lim

sin 2 3x tan 2 x - x3 x tan 2 3x

x ®0 23 A. 9 19 B. 9 17 C. 9

D.

=....

8 9

E. 0

@ lim

x ®0

@

lim

x®0

sin2 3x.tg2x - x3 2

x.tg 3x

= lim x®0

sin2 3x.tg2x 2

x.tg 3x

a º n bx p º n qx

a.b n

=

p.q n

º di isi x, tg x atau sin x

-

x3 2

=

x.tg 3x


32.2 2

3

-

1

1 17 =2- = 9 9 3 2

202

3. UMPTN ‘97

lim x d0 A. B. C. D. E.

(2x 3 +3x) 3 =..... (5x 2 -2x)(3x 2)

-1 ½ -2 ½ -3 ½ -4 ½ -5 ½

@

“ x→0 “ ucapkan KE <
@ Perhatikan Triksnya : lim

x®0

(2 x 3 + 3 x) 3 (5 x 2 - 2 x )(3 x 2 )

=

33 27 1 = = -4 - 2 .3 - 6 2


203

æ

2

1 ö

4. lim ç 2 ÷ =.... x ®1è x - 1 x - 1 ø A. – ¾ B. – ½ C. – ¼ D. ½ E. ¾

2 1 2 1 = x -1 x -1 (x -1)(x +1) (x -1) 2 - (x +1) - x +1 = = (x -1)(x +1) x2 -1 2

@

Bisa Anda Bayangkan Betapa mudehnya… tu r u n k e n

æ 2 1 ö - x +1 -1 -1 1 lim ç = = =÷ = lim 2 2 x ® 1è x - 1 x - 1 ø x ®1 x - 1 2x 2 .1 2 tu ru n k e n


1

204

6.

tan 2 x - 2 tan x

lim

x3

x ®0

=....

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

@ tg 2ax -2tg ax = 2a3

@

Perhatiken, betapa mudehnya…

@ lim

x ®0

tan 2 x - 2 tan x x3

2.13 = =2 1


205

7.

x- 3 =.... x-3

lim

x ®3

A.

1 6

3

B.

1 3

3

C. 1 D. Å3 E. 3

1 lim x®a

1

lim

x ®3

f (x) - p f '(a) = g(x) - q g'(a).2 p

x- 3 1 1 = = 3 x-3 1..2 3 6

Mudeh…Khan…?


206

7.

x-7 x- 7

lim

x ®7

=....

A. 7Å7 B. 3Å7 C. 2Å7 D. E.

1 2 7 1 7

1

1

lim

x ®7

lim

x®a

f (x) - p = g(x) - q

x-7 1 .2 7 = =2 7 1 x- 7

Mudeh…Khan…?


207

9. UMPTN 1997

2 x2 + x = .... x ®0 sin x lim

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 E. -1

@

@

Perhatikan Triksnya :

lim

x® 0

2 x 2 + 1 .x 1 = =1 1 . sin x 1


208

10. UMPTN 1997

lim

x ®0

A. 2 B. 1 C. 0 D. ½ E. ¼

tan x x2 + 2 x

=...

@

@


lim

x® o

1 . tan 1 . x x

2

+ 2x

=

1 .1 1 = 2 2


209

1 - cos ax = 8 , maka nilai dari 2a +3 = .... x®0 x tan x

12. Jika lim A. B. C. D. E.

5 7 9 11 13

@

Dalam limit : 1 – cos ax =

1 2 a 2

1 - cos ax =8 x®0 x tan x 1 2 a 2 = 8 Þ a 2 = 16 .Jadi : a = 4 1. 1

@ lim

@

Maka 2a +3 = 8 + 3 = 11


210

11. UMPTN 1998

x3 - 8

Nilai lim 2 adalah... x®2 x - 2 x A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 E. ~

1

lim

x ®a

f ( x) f ' (a ) = à g ( x) g ' (a)

L’Hospital

1

lim

x3 - 8

x®2 x2

- 2x

=

3(2) 2 12 = =6 2( 2) - 2 2

Mudeh……..!?


211

12. UMPTN 1998

lim

sin( x - 2)

x®2

A. – ¼ B. – ½ C. 0 D. ½ E. ¼

x2 - 4

=....

1

lim

x ®a

f ( x) f ' (a ) = à g ( x) g ' (a)

L’Hospital

1

lim

x®2

sin( x - 2) x -4 2

=

cos(2 - 2) 1 = 2( 2) 4

Terlalu Mudeh……..!?


212

13. UMPTN 1998

æ tan 2 x. tan 3x ö ÷ adalah... x ®0è 5x2 ø

Nilai lim ç A. 1 B. 15

E. 35

C. 52

D. 65

1

tan a ºº a = x ®0 b ºº b lim

ºº di isi “variabel apa saja”

1

æ tan 2 x. tan 3x ö 2.3 6 = lim ç ÷ x ®0è 5 5x2 ø 5

Mudeh Sekali…..


213

14. UMPTN 1999 lim

x - 27

x ® 27 3

x -3

=....

A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 E. 45

1

1

f ( x) - p f ' (a).3q2 = x®a 3 g ( x) - q g ' (a) lim

x - 27 1.3.32 = = 27 x ® 27 3 x - 3 1 lim


214

15. UMPTN 1999

x-k =... x ® k sin( x - k ) + 2k - -2 x lim

A. -1 B. 0 C. 13 D. ½ E. 1

1

lim

x ®a

f ( x) f ' (a ) = à g ( x) g ' (a)

L’Hospital

@ Turunken atas -bawah

x-k 1 = x ® k sin( x - k ) + 2k - 2 x cos( x - k ) - 2 1 = cos 0 - 2 1 = = -1 1- 2 lim


215

16. UMPTN 1999

lim

x(cos 2 6 x - 1)

x ®0 sin 3 x. tan 2 2 x

A. B. C. D. E.

=....

3 -3 2 -2 -1

1

lim

x ®0

sin n a ºº tan n b ºº

=

an bn

ºº di isi “variabel apa saja”

1

lim

x(cos2 6 x - 1)

x ®0 sin 3 x. tan 2 2 x 2

=

- 1.(6) 3.(2)

2

=

=

x(- sin 2 6 x) sin 3 x. tan 2 2 x

- 36 = -3 12


216

17. UMPTN 1999 Jika f(x) = x2 maka lim

x ®3

A. B. C. D. E.

~ 0 3 6 9

@ @ @

@

f ( x) - f (3) =... x-3

f(x) = ax +b, maka : f(p) = ap +b f(x) = ax2 +bx, maka : f(p) = ap2 +bp


f ( x) - f (3) x 2 - 9 ( x + 3)( x - 3) lim = = x ®3 x -3 x-3 x-3 = x+3 = 3+3 =6


217

18. UMPTN 2000

cot x =.... x ®0 cot 2 x lim

A. 0 B. ½ C. ½ Å2 D. 1 E. 2

cot ax b = x®0 cot bx a

@ lim

1 1

cot x 2 = =2 x ®0 cot 2 x 1 lim

Hanya membalik bil.yang menemani x Sangat Mudeh bukan….?


218

3x 2 + 8x - 3 - 4 x 2 + 9 x-2

19. lim

x ®2

=...

A. - 45 B. 0 C. 25 D.

5 2

E. ~

1 lim

f (x) - g(x) h(x)-q

x®a

@

=

f ' (a)-g' (a) h' (a).2 g(a)

Perhatikan Triksnya

lim

x®2

3 x 2 + 8 x - 3 - 4 x 2 + 9 ( 6 .2 + 8 - 8 .2 ) = x-2 1 .2 . 4 ( 2 ) 2 + 9 =

4 4 2 = = 2 25 10 5


219

20. lim

sin(1 - 1x ) cos(1 - 1x ) x -1

x ®1

A. -1 B. – ½ C. 0 D. ½ E. 1

=....

Sin 2A = 2 sin A cos A, à berarti : Sin A cos A = ½ sin 2A

1

1

lim

x ®1 =

1 x

sin(1 - 1x ) cos(1 - 1x ) x -1

sin 2(1 - 1x ) 1 .2( x - 1) x

=

1 x

=

sin 2(1 - 1x ) 2( x - 1)

sin 2(1 - 1x ) 2(1 -

1) x

=

1 1 .1 = = 1 x 1


220

21. lim ( x(4 x + 5) - 4 x 2 - 3 ) =... x ®¥

A. ~ B. 8 C. 54

D. ½ E. 0

lim ( ax 2 + bx + c - ax 2 + px + q )

x®¥

=

b- p 2 a

@ lim ( x(4 x + 5) - 4 x 2 - 3 ) x ®¥

lim ( 4 x 2 + 5 x) - 4 x 2 - 3 ) =

x ®¥


5-0 5 = 2 4 4

221

22. EBTANAS 2002/No.17

lim 3 x sin

x ®¥

A. B. C. D. E.

~ 0 1 2 3

1 = .... x

@

Missal : y =

1 x

x→~ »y→0

@ lim 3x sin x ®¥

1 x

à

3 sin y = 3 y ®0 y lim


222

23. EBTANAS 2003/P-1/No.18 Nilai dari lim x ®9

A. B. C. D. E.

x -9 = ..... x -3

6 4 3 1 0

@

pangkat akar

lim

x® 9 2

@

Akar di atas, tulis di “bawah” Akar di bawah, tulis di atas

k o e fis ie n v a ria b e l

1 .x - 9 1 .x - 3

=

1 2 .3 = 6 1

p e n d a m p in g a k a r


223

23. EBTANAS 2003/P-2/No.18 Nilai dari lim ((2 x + 1) - 4 x 2 - 3 x + 6 = ...... x ®¥

B.

4 3

B. 1

7 4

C.

D. 2 E.

5 2

lim ax 2 + bx + c - ax 2 + px + q = x ®¥

b- p 2 a

lim ((2 x + 1) - 4 x 2 - 3 x + 6 x ®¥

@ lim ( (2 x + 1) 2 - 4 x 2 - 3x + 6 x ®¥ lim 4 x 2 + 4 x + 1 - 4 x 2 - 3 x + 6 = x ®¥


4 - (-3) 7 = 4 2 4

224

1. UAN 2003/P-1/No.21 Grafik fungsi f(x) = x3+ax2+bx +c hanya turun pada interval -1 < x < 5 . Nilai a +b =.... A. -21 B. -9 C. 9 D. 21 E. 24

Gabungkan dengan info smart : 1

@ @

f(x) = x3+ax2+bx +c f ‘(x) = 3x2 +2ax +b , TURUNAN : f ‘(x) < 0 (syarat turun) 3x2 +2ax +b < 0 .... ( ii )

1 Interval : -1 < x < 5 artinya : (x +1)(x -5) < 0

x2 -4x -5 < 0 ….kali 3 3x2 -12x-15 < 0 … ( i )

Bandingkan ( i ) dan ( ii ) :

2a = -12 , berarti a = -6 b = -15 Jadi a +b = -6 -15 = -21

Jawaban : A


225

2. SPMB 2002/No.8 Fungsi f(x) = 2x3-9x2+12x naik untuk nilai x yang memenuhi.... A. 1 < x < 2 B. -2 < x < -1 C. -1 < x < 2 D. x < -2 atau x > -1 E. x < 1 atau x > 2


1

f(x) = 2x3-9x2+12x 6x2-18x +12 > 0 x2 -3x +2 > 0 (x -1)(x -2) >0 Jadi : x < 1 atau x > 2 Kecil

1

Jika y = f(x) Naik , maka f ’(x) > 0

> 0, artinya “kecil atau besar “

Besar


226

3. UAN 2003/P-2/No.22 Koordinat titik maksimum grafik fungsi

y = x 3 - 3x + 4 adalah.... A. B. C. D. E.

(-1 ,6) (1 ,2) (1 ,0) (-1 ,0) (2 ,6)


@ @

1

3

y = x -3x +4 y’ = 3x2 -3 0 = 3x2 -3 , berarti x = ± 1 untuk x = -1 maka : y = (-1)3 -3(-1) + 4 = 6

1

Jika y = f(x) maksimum atau minimum, maka f ’(x) = y’ = 0

Jadi titik balik maksimumnya : (-1 ,6)

Jawaban : A


227

4. Ebtanas 2002/No.18 Jika f ( x ) = A. B. C.

x 2 - 3x

maka f’(2) =...

x 2 + 2x + 1

2 9

1 9 1 6

D. E.

7 27 7 4

1 Jika

f ( x) =

ax 2 + bx + c px 2 + qx + r

,

Maka :

f '(x) =

(aq-bp)x2 + 2(ar-cp)x + (br- cq) ( px2 + qx+ r)2


f ( x) =

x 2 - 3x + 0

,

x2 + 2 x + 1 ( 2 + 3 )x2 + 2(1 - 0 )x + ( -3 - 0 ) f'( x) = ( x2 + 2x +1)2 5.2 2 + 2.2 - 3 ( 2 2 + 2 .2 + 1 ) 2 21 7 = = 81 27 Jawaban : D

f'(2) =


228

5. Ebtanas 2002/No.19 Ditentukan f(x) = 2x3 -9x2 +12x. Fungsi f naik dalam interval.... A. -1 < x < 2 B. 1 < x < 2 C. -2 < x < -1 D. x < -2 atau x > -1 E. x < 1 atau x > 2


f(x) = 2x3-9x2+12x 6x2-18x +12 > 0 x2 -3x +2 > 0 à (x -1)(x -2) >0 Jadi : x < 1 atau x > 2

1

@

Jika y = f(x) Naik , maka f ’(x) > 0 Perhatikan : Soal UAN 2002 Sama dengan soal SPMB 2002

Jawaban : E http://meetabied.wordpress.com

229

6. Nilai maksimum dari fungsi f ( x) =

1 3 3 2 x - x + 2 x + 9 pada 3 2

interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah.... A. 9 23 B. 9 56

D. 10 ½

C. 10

E. 10 23

Gunakan info smart : 1 3

3 2

1 f ( x ) = x - x + 2x + 9

@ @ @ @

3

2

f’(x) = x2 -3x +2 = 0 (x -1)(x -2) = 0 x = 1 atau x = 2

1 Setiap Soal yang

menanyakan nilai “Maximum atau Minimum” arahkan pikiran ke “TURUNAN = 0”

Uji x = 0 (interval bawah) f(0) = 0 – 0 +0 + 9 = 9 x = 1 (nilai stasioner) f(1) = 1/3 -2/3 +2 +9 = 11-1/3 = 10 23 x = 2 (nilai stasioner) f(2) = 8/3 -6 +4 + 9 = 7 +8/3 =9 23 x = 3 (interval atas) f(3) = 9 –27/2 +6 +9 = 24 – 13 ½ = 10 ½

@

Jadi : fmax = 10 23

Jawaban : E


230

7. UMPTN 1996 Kurva f(x) = x3 +3x2 -9x +7 naik untuk x dengan... A. x > 0 B. -3 < x < 1 C. -1 < x < 3 D. x < -3 atau x > 1 E. x < -1 atau x > 3


f(x) = x3 +3x2 -9x +7 3x2 +6x -9 > 0 x2 +2x -3 > 0 (x +3)(x -1) >0 x < -3 atau x > 1

1

1

Jika y = f(x) Naik , maka f ’(x) > 0

> 0, artinya “kecil atau besar “

Jawaban : D http://meetabied.wordpress.com

231

8. UMPTN 1997 Garis singgung melalui titik dengan absis 3 pada kurva y = x + 1 adalah.... A. y -4x +5 = 0 B. y -3x -5 = 0 C. 4y –x -5 = 0 D. 3y -4x -5 =0 E. y –x -5 = 0


1 Turunan y = f(x) adalah

y = x + 1 , absis (x)

f’(x) = m 1 Persamaan Garis yang

melalui (a ,b) dengan gradient m adalah : y –b = m(x –a)

= 3 , y =Ö3+1 = 2 1

y = ( x + 1) 2 y’ =

1 2

( x + 1)

-1 2

m = y’x=3= ½ (4)-1/2= ¼

@

Persamaan Garis Singung :

y – 2 = ¼ (x -3) 4y –x -5 = 0

@

absis = x = 3 maka

@

Jawaban : C

y = 3 +1 = 2

(3,2) uji kepilihan : A. y -4x+5 = 2-8+5 ≠ 0 (salah) C. 4y-x-5=8-3+5 = 0 (benar) Berarti Jawaban : C


232

9. UMPTN 1997 Diketahui f(x) = 3x2 -5x +2 dan g(x) = x2+3x -3 Jika h(x) = f(x) -2g(x), maka h’(x) adalah... A. 4x -8 B. 4x -2 C. 10x-11 D. 2x -11 E. 2x +1

Gunakan info smart : 1 h(x) = f(x) -2g(x)

= 3x2 -5x +2 -2x2-6x +6 = x2 -11x +8 h’(x) = 2x -11

@

Jika g(x) = x2+3x -3 maka : 2g(x) = 2(x2+3x -3) = 2x2 +6x -6


233

10. UMPTN 1997 Jika f ( x ) = A. B. C.

@

3x - 2 x+4

, maka turunan dari f-1(x) adalah....

8x - 10 ( x - 3)2 10

D.

( x - 3)2 8x

E.

(3 - x )2

f (x) =

3x - 2 x+4

14 - 8x ( x - 3)2 14 (3 - x )2

inversnya

- 4x - 2 f -1 ( x ) = x-3 Missal y = f-1(x), maka :

- 4x - 2 y= x-3 u' v - u .v' y' = v2 - 4( x - 3 ) - ( -4 x - 2 ).1 = ( x - 3 )2 - 4 x + 12 + 4 x + 2 = ( x - 3 )2 14 = ( x - 3 )2

f ( x) =

ax + b à Turunan cx + d

dari inversnya :

( f -1( x))' =

(ad - bc) (cx - a)2

3x - 2 x+4 Turunan inversnya : ( 3.4 - ( -2 ).1 ( f -1 ( x ))' = ( x - 3 )2 14 = ( 3 - x )2

@ f ( x) =


234

11. UMPTN 1997 Jika f ( x ) =

2x 3x - 2

,maka f’(2) =...

A. 18 B.

1 4

C. –

D. - 18 1 4

E. – 12


f ( x) = f ' (x) =

2x , 3x - 2 2 (3x - 2) - 2x.(3)

f ' ( x) =

2 2x

f'(2) =

u v u '.v - u.v'

1 Diketahui f(x) =

v2

(3x - 2)2 1 ( 4 ) - 2.( 3 ) 2

=-

( 4 )2 4 1 =16 4

Jawaban : C


235

12. UMPTN 1997 grafik dari y =

1 3 3 2 x - x + 2 x mempunyai garis singgung 3 2

mendatar pada titik singgung.... A. (2, 23 ) B. ( 23 ,2) C. (1 , 58 ) dan ( 23 ,2) D. ( 58 ,1) dan (2 , E. (2,

2 3

) dan (1 ,

2 3

) 5 6

)


@

y=

1 3 3 2 x - x + 2x 3 2

y’ = x2 -3x +2, mendatar y’ = 0 x2 -3x +2 = 0 (x -2)(x -1) = 0 x = 2 atau x = 1 Pilihan yang terlihat untuk nilai x saja : E


236

13. UMPTN 1998 Jika f(x) = a tan x +bx dan f ' ( p4 ) = 3 , f ' ( p3 ) = 9 Maka a +b =... A. 0 B. 1 C. ½ p D. 2 E. p


f(x) = a tan x +bx f’(x) = a sec2x +b f’( p4 ) = 3 à 2a +b = 3 f’( p ) = 9 à 4a +b = 9 3

2a = 6 a=3 b = -3 Jadi : a + b = 3 -3 = 0

Jawaban : A


237

14. UMPTN 1999 Jika f ( x) =

sin x + cos x , sin x ≠ 0 dan f’ adalah turunan f, sin x

maka f’( ½p) =... A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2

Gabungkan dengan info smart : sin x + cos x sin x = 1 + cot x 1 f'( x) = sin 2 x 1 1 f ' ( p2 ) = = - 2 = -1 2 p (sin 2 ) 1 f(x)=

@

Jika y = 1 +cot x, maka : 1 y' = - 2 sin x

Jawaban : B


238

15. UMPTN 1999/16 Jika nilai stasioner dari f(x) = x3 –px2 –px -1 adalah x = p, maka p =.... A. 0 atau 1 B. 0 atau 1/5 C. 0 atau -1 D. 1 E. 1/5


1

f(x) = x3 –px2 –px -1 3x2 -2px –p =0 à x = p 3p2 -2p2 –p = 0 p2-p =0 p(p -1) = 0 p = 0 atau p = 1

Stasioner à arahkan pikiran ke : “TURUNAN = 0”

Jawaban : A http://meetabied.wordpress.com

239

16. UMPTN 1999/15 Grafik dari y = 5x3 -3x2 memotong sumbu x di titik P. Jika gradien garis singgung di titik P sama dengan m, maka nilai 2m +1 =... A. 2 15 B. 3 35

D. 4 54

C. 4 35

E. 8 15


1

y = 5x3 -3x2 5x3 -3x2 = 0 x (5x -3) = 0, à x = 2

1 3 5

Memotong sumbu X, berarti : y =0 y = f(x) ,maka gradient m = y’

y’ = m = 15x2-6x = 15( 35 )2-3( 35 )= 95 1

2m +1 = 2( 95 )+1 = 23 = 4 53 5

Jawaban : C http://meetabied.wordpress.com

240

17. UMPTN 1999/42 Diberikan suatu kurva dengan persamaan y = f(x) dengan f(x) = 4 +3x –x3 untuk x ≠ 0. Nilai maksimum dari f(x) adalah.... A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8


1

@

f(x) = 4 +3x –x3 f’(x) = 3 -3x2 0 = 3-3x2 x2 = 1 à x = ± 1 f(1) = 4 +3.1-13 = 6 f(-1) = 4 -3 –(-1)3 = 2 Jadi f(x) maksimum = 6

Jawaban : C http://meetabied.wordpress.com

241

18. Prediksi SPMB Jika nilai maksimum fungsi y = x + maka p = .... A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 E. 8

p - 2 x adalah 4,


y = x+

p - 2x 2 y' = 1 2 p - 2x 2 2 p - 2x

= 1 Kuadratken

@ Jika y = √u , maka y' =

u'

2 u @ Maksimum = 4 ,maksudnya : y = 4

4 =1 4( p - 2x )

p -2x = 1 2x = p -1 → x = ½ (p -1) 1 Susupkan ke y = x + p - 2x

4 = ½ (p -1) + 1 8 = p -1 + 2 p=7


242

19. Prediksi SPMB Garis singgung di titik (2 ,8) pada kurva f ( x) = 2 x x + 2 memotong sumbu x dan sumbu y di titik (a ,0) dan (0 ,b). Nilai a +b =.... 1 A. - 1 10

B. - 1 15

3 D. - 1 10

3 C. - 1 10

E. - 1 53


@ Jika y = u.v,maka

f ( x) = 2 x x + 2

y = u’.v +u.v’

f ' ( x ) = 2 x + 2 + 2x.

1 2 x+2

2 2

m = f’(x) = 4 + = 5 1 PG : melalui (2 ,8) dengan

gradient 5 y -8 = 5(x -2) x = 0 à y = -2 à b = -2 y = 0 à x = 2/5 à a = 2/5 1 a + b = 2/5 +(-2) =

-1

@ f ( x) = 2 x x + 2 , u = 2x dan v = u’ = 2 dan

v' =

x+2

1 2 x+2

3 5


243

20. Prediksi SPMB Turunan fungsi y = 3 (3x 2 - 5) 4 adalah.... A. 8x 3 3x 2 - 5 B. 8x 3 (3x 2 - 5) 2 C. 12x 3 (3x 2 - 5)2 D. 12x 3 (3x 2 - 5)4 E. 16x 3 (3x 2 - 5)2

4 3 2 @ y = (3x -5) , misal u = 3x2 -5 u’ = 6x

@ y = 3 u4 = u

4 3

1

1

4 4 y' = u 3 .u' = ( 3x 2 - 5 ) 3 .6 x 3 3 1

= 8 x( 3x 2 - 5 ) 3

Jawaban : A

= 8 x3 3x 2 - 5

@


y=

3

(3 x 2 - 5 ) 4 =

4 .6 x 3 (3 x 2 - 5 ) 4 - 3 3

= 8 x3 3x 2 - 5 http://meetabied.wordpress.com

244

1. Uan 2004/P-7/No.13 10

Nilai dari

å ( 2 n + 10 ) = .... n =1

A. B. C. D. E.

180 190 200 210 220

1 Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah


n S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2

10

1

å ( 2n + 10 )

Atau

n =1

n =1

n =2

n Sn = ( a + U n ) 2

n =10

= (2.1+10)+2.2+10)+.....+(2.10+10) = 12 + 14 + ....+30

1 Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a = 12 b = 14 – 12 = 2 n = 10 n 1 S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 10 = ( 2.12 + ( 10 - 1 ). 2 ) 2 = 5( 24 + 9 .2 ) = 5( 24 + 18 ) = 5( 42 ) = 210 Jawaban : D

Keterangan : n = banyaknya suku a = suku pertama (awal) b. = beda Un = suku ke-n (terakhir)

akhir 10

å ( 2n + 10 ) = n =1

angka tetap

10 ( 12 + 30 ) 2

awal

= 5 (42) = 210

Awal = ganti n dengan 1 Akhir = ganti n dengan 10


245

100

100

k =1

k =1

å 2k + å ( 3k + 2 ) = ...

2. Nilai dari A. 25450 B. 25520 C. 25700 D. 50500 E. 50750

1 Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah


100

100

100

k =1

k =1

k =1

n S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2

å 2k + å( 3k + 2 ) = å( 5k + 2 ) n=1

n=2

Atau

n Sn = ( a + U n ) 2

n = 100

= (5.1+2) + (5.2 +2) + ... +(5.100 +2) = 7 + 12 + ... + 502

1 Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a=7 b = 12 – 7 = 5 n = 100 (k=1 sampai 100) n 1 S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 100 = ( 2 .7 + ( 100 - 1 ). 5 ) 2 = 50 ( 14 + 99 .5 ) = 50 ( 14 + 495 ) = 50 ( 509 ) = 25450 Jawaban : A


akhir 100

å ( 5k + 2 ) = k =1

angka tetap

100 ( 7 + 502 ) 2

awal

= 50(509)=25450 Awal = ganti n dengan 1 Akhir = ganti n dengan 100


246

100

100

k =1

k =1

å ( k + 1 ) 2 - å k 2 = ...

3. Nilai dari A. 5050 B. 10100 C. 10200 D. 100100 E. 100200


100

100

k =1 100

k =1

å ( k + 1 )2 - å k 2 = å ( k 2 + 2k + 1 - k 2 ) k =1 100

= å ( 2k + 1 ) k =1

n=1

n=2

n = 100

1 Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah n S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 n Sn = (a + U n ) 2


= (2.1+1) + (2.2 +1) + ... +(2.100 +1) = 3 + 5 + ... + 201

1 Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a=3 b=5–3=2 n = 100 (k=1 sampai 100) n 1 S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 100 = ( 2 .3 + 99 .2 ) 2 = 50 ( 6 + 99 .2 ) = 50 ( 6 + 198 ) = 10200 Jawaban : C

akhir 100

å ( 2k k =1

angka tetap

+ 1)=

100 ( 3 + 201 ) 2

awal = 50 (204) = 10200

Awal = ganti n dengan 1 Akhir = ganti n dengan 100


247

4. Ebtanas 2000 Diketahui A. B. C. D. E.

35

35

i =5

i =5

å ki = 25 .Nilai å ( 4 + ki ) = ....

190 180 150 149 145

1 Jumlah dari suatu bilangan asli k


1

å ( 4 + ki ) = i=5

n

35

35

i=5

i =5

å 4 + å ki

= 4.35-4.4+25 = 140-16+25 = 140+9 = 149

1

å k = kn i =1 n

1

å k = kn - kp

i =1 + p

Keterangan : k = bilangan asli n = bilangan asli > 1 p = penambahan dari bil. 1

Jawaban : D


248

5. Uan 2004/P-1/No.13 n

n

n

k =1

i =1

a =1

å ( 3k + 1 )( k - 2 ) + 4 å ( 2i + 2 ) - å 3a 2 = ...... 1 n( n + 3 ) 2 1 B. n( n + 3 ) 2 1 C. n( n + 3 ) 2 D. 149

A.

1 n( n + 3 ) 2 1 E. n( n + 3 ) 2

D.

1 Batas atas sigma semuanya n, berarti batas bawah sigma dapat kita anggap k atau i = a = k, sehingga : n

n

n

k =1

i i =1

a =1

å ( 3k + 1 )( k - 2 ) + 4 å ( 2i + 2 ) - å 3a 2 n

n

n

= å ( 3k + 1 )( k - 2 ) + 4 å ( 2 k + 2 ) - å 3k 2 k =1 n

k =1

k =1

= å ( 3k - 5 k - 2 + 8 k + 8 - 3k ) 2

2

k =1 n

= å ( 3k + 6 ) k =1

n ( 9 + 3n + 6 ) 2 n = ( 3n + 15 ) 2 3 = n( n + 5 ) 2 =

Jawaban : E


249

6. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n = n 2 +

5 n . Beda 2

dari deret aritmetika terseut adalah... 1 A. -5 2 B. -2 C. 2 1 D. 2 2 1 E. 5 2

Gunakan info smart : 1 Sn = n2 +

5 n 2

5 ( n - 1) 2 5 5 = n 2 - 2n + 1 + n 2 2 1 3 2 =n + n2 2 1 U n = S n - S n -1 5 1 3 = n 2 + n - n2 - n + 2 2 2 3 = 2n + 2 3 11 U2 = 2.2 + = 2 2 3 7 U1 = 2.1 + = 2 2 11 7 b = U2 –U1 = - = 2 2 2 S n -1 = ( n - 1 ) 2 +

1 S n = pn 2 + qn suatu deret aritmetika, maka beda = 2p

1 Sn = n2 +


5 n 2

S n = 1 .n 2 +

5 n 2

b = 2.1 = 2 Sangat mudeh ....ya...

Jawaban : C

250

7. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n = 3n 2 - 4 n . Suku ke-n dari deret aritmetika terseut adalah... A. 6n +2 B. 6n -2 C. 6n -5 D. 6n -7 E. 3n -8

Gunakan info smart : 1 S n = 3n 2 - 4 n S n -1 = 3( n - 1 ) 2 - 4( n - 1 ) = 3( n 2 - 2 n + 1 ) - 4 n + 4 = 3n 2 - 6 n + 3 - 4 n + 4 = 3n 2 - 10 n + 7 U n = S n - S n -1 = 3n 2 - 4 n - 3n 2 + 10 n - 7 = -4 n + 10 n - 7 = 6n - 7

Jawaban : D

1 Jumlah koefisien variable untuk jumlah n suku pertama sama dengan jumlah koefisien variabel untuk suku ke-n

1 S n = 3n 2 - 4 n Jumlah koefisien : 3+(-4) = -1 1 Pada pilihan dicari jumlah koefisiennya yang -1, A. 6 + 2 = 8 (S) B. 6+(-2) = 4 (S) C. 6 +(-5) = 1 (S) D. 6 +(-7) = -1 (B) Jadi jawaban : D


251

8.. UAN 2003/P-1/No.10 Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usai anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah... A. 48,5 tahun B. 49,0 tahun C. 49,5 tahun D. 50,0 tahun E. 50,5 tahun

@ @ @

Suku ke-n deret aritika : Un = a +(n-a)b Jumlah n suku pertama Sn = ½ n(2a +(n -1)b)

U3 = 7 …….. a +2b = 7 U5 = 12 …….. a +4b = 12 – -2b = -5 → b = 52 a + 2. 52 = 7 , berarti a = 2

@

S6 = 12 .6(2.2 + (6 - 1). 52 ) = 3(4 + 12,5) = 49,5


252

9. SPMB 2002/Reg-II/No.19 Suku ke-n suatu deret adalah Un = 4n +1. Jumlah sepuluh suku pertama adalah.... A. 250 B. 240 C. 230 D. 220 E. 210

p p

Jika Un = an +b, maka

Sn = 12 an 2 + (b + 12 a )n

1

Un = 4n +1 4 4 S10 = .10 2 + ( 1 + ).10 2 2 = 2.100 + ( 1 + 2 ).10 = 200 + 30 = 230


253

10. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 20 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah.... A. 120 m B. 140 m C. 160 m D. 180 m E. 200 m

1 Bola jatuh di ketinggian t,

dan memantul sebesar

a b

kali tinggi sebelumnya, dst….maka Jumlah seluruh lintasan bola sampai berhenti adalah : J= 1

J=

b+a t b-a

b+a 4+3 t= .20 = 140 b-a 4-3


254

11. SMPB 2002/No. 17 Agar deret geometri

x -1 1 1 , , ,.... x x x ( x - 1)

jumlahnya mempunyai limit,

nilai x harus memenuhi.... A. x > 0 B. x < 1 C. 0 < x < 1 D. x > 2 E. x < 0 atau x > 2

1

1 1

Konvergen , syarat : -1 < r < 1

x -1 1 1 1 , , ,.... r = x x x( x - 1) x -1 Konvergen, maksudnya : -1 < r < 1 -1 <

1 <1 x -1

-1 > x -1 > 1 , berarti : x – 1 < -1 atau x -1 > 1 Jadi : x < 0 atau x > 2


255

12. Jika suku pertama dari deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 10,maka.... A. -10 < a < 0 B. -16 < a < 0 C. 0 < a < 0 D. 0 < a < 20 E. -8 < a < 20

1 Deret geometri tak

hingga,diketahui Suku pertama : a Jumlah tak hingga : S Maka : 0 < a < 2S 1

0 < a < 2S 0 < a < 2.10 0 < a < 20


256

13. UMPTN 1996 Dalam suatu barisan geometri,U1 +U3 = p, dan U2 +U4 = q, maka U4 =.... A. B. C.

p3 p2 + q2 q3 p +q 2

2

p3 + q 3 p +q 2

2

D.

q2 p + q2 2

p2 + q3

E.

p2 + q2

1

1

Deret Geometri : Jumlah 2 suku ganjil : U1 +U3 = x Jumlah 2 suku genap : U2 +U4 =y Maka : U1 = U2 =

1

x3 x +y 2

2

x2y x 2 + y2

à U4 = à U3 =

y3 x + y2 2

xy 2 x 2 + y2

U1 +U3 = p U2 +U4 = q à U 4 =

q3 p2 + q2


257

14. UMPTN 1996 Sn adalah jumlah n suku pertama deret aritmetik. Jika a adalah suku pertama dan b beda deret itu, maka nilai Sn+2 –Sn adalah... A. 2(a +nb) +1 B. 2a +nb +1 C. 2a +b(2n +1) D. a +b(n +1) E. a +nb +1

1

1

Jumlah n suku pertama deret Aritmetika adalah : Sn = ½ n(2a +(n -1)b)

Sn+2 = ½ (n +2)(2a +(n +1)b) Sn = ½ n(2a +(n -1)b) Sn+2-Sn = 2a +(2n +1)b Mudeh….aja !


258

15. UMPTN 1996 Diketahui barisan aritmetik log 2, log 4, log 8,... Jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah.... A. 8log 2 B. 20 log 2 C. 28 log 2 D. 36 log 2 E. 40 log 2

1

1

Jumlah n suku pertama deret Aritmetika adalah : Sn = ½ n(2a +(n -1)b)

S8 = ½ 8(2log2 +(8 -1)log2) = 4 (9 log 2) = 36 log 2


259

16. UMPTN 1997 Suku ke n barisan aritmetika adalah Un = 6n +4 disetiap antara 2 sukunya disisipkan 2 suku yang baru, sehingga terbentuk deret aritmetika. Jumlah n suku pertama deret yang terjadi adalah.... A. Sn = n2 +9n B. Sn = n2 -9n C. Sn = n2 +8n D. Sn = n2 -6n E. Sn = n2 +6n

1 1

Jika Un = pn +q à beda b=p Beda setelah deret disisipi dengan k suku ,adalah : b' =

1

b k +1

Un = 6n +4 à b = 6

b' =

6 =2 2 +1

Sn = ½ n(2.10+(n -1).2) = n2 +9n


260

17. UMPTN 1997 Antara dua suku yang berurutan pada barisan : 3 ,18 ,33,....disisipkan 4 buah bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang terbentuk adalah.... A. 78 B. 81 C. 84 D. 87 E. 91

1 1

Jika Un = pn +q à beda b=p Beda setelah deret disisipi dengan k suku ,adalah : b' =

1

b k +1

3 ,18 ,33 ,…. b = 18 -3 = 15

b' =

15 =3 4 +1

S7 = ½ 7(2.3+(7 -1).3) = 7(3 +9) = 84


261

18. UMPTN 1997 Diberikan deret geometri tak hingga dengan U1 = 1 dan rasio r = x2 –x. Jika deret tersebut konvergen,maka x memenuhi.... A. ( ½ -Å2) < x < ( ½ +Å2) B. ½ (1 -Å3) < x < ½ (1 +Å3) C. ( ½ -Å3) < x < (1 +Å3) D. ½ (1 -Å5) < x < ½ (1 +Å3) E. ( ½ -Å5) < x < (1 +Å5)

1

1

1

Syarat Konvergen : -1 < r < 1

Konvergen : -1 < x2-x < 1 x2 –x < 1 à x2 –x -1 < 0 Pemb.Nol : x2-x +(- ½ )2 = 1 +( ½ )2 (x – ½ )2 = 54 di dapat : x = ½ (1+Ö5) atau Jadi ½ (1-Ö5) < x < ½ (1+Å5)


x = ½ (1 -Ö5)

262

19. UMPTN 1997 Jika deret geometri konvergen dengan limit

-8 3

dan suku ke-2 serta

suku ke-4 berturut-turut 2 dan ½ , maka suku pertamanya adalah... A. 4 B. 1 C. ½ D. -4 E. -8

1

Limit S~ =

1

1 1

-8 3 -8 3

, maksudnya

Deret geometri : Un = arn-1 U4 = ar3 , dst...

U 4 ar 3 1 = Þ = r2 , r = - ½ U2 ar 4 a -8 a S¥ = ® = 1- r 3 1 + 12 didapat a = -4


263

20. UMPTN 1998 Kota Subur setiap tahun penduduknya bertambah dengan 10 % dari tahun sebelumnya, bila pada tahun 1987 penduduk kota tersebut berjumlah 4 juta, maka pada tahun 1990 jumlah penduduknya adalah.... A. 4,551 juta B. 5,269 juta C. 5,324 juta D. 5,610 juta E. 5,936 juta

1 Pertumbuhan dalam waktu n

periode dan p % , dengan data awal M adalah : Mn = M(1 + p%)n

1

Periode 1987 – 1990 à n = 4 Mn = 4(1 + 10 %)4 = 4(1 + 0,1)4 = 5,324

]


264

14. UMPTN 1998 Jika r rasio (pembanding) suatu deret geometrik tak hingga yang konvergen dan S jumlah deret geometrik tak hingga :

1 1 1 + + + .... ,maka...... 2 3 + r (3 + r ) (3 + r ) 2 A. ¼ < S < ½ B. 83 < S < 34

D.

3 4

4 5

C.

E.

1 5

4 5

1 3

< S <1

1 1

Syarat Konvergen : -1 < r < 1 Jumlah deret tak hingga : S¥ =

1

a 1- r

1/ 2 =1 1 - 1/ 2 1/ 4 S¥ = = 1/ 3 1 - 1/ 4

r = -1 à S¥ = r=1 à

Jsdi : 1/3 < S < 1


265

15. EBTANAS 1999 Sebuah deret hitung diketahui U3 = 9, dan U5 +U7 = 36, maka beda deret tersebut .... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

1

Jika : Um1 = k1 , dan Um2 = k2 , maka :

b=

@ b=

2 k1 - k 2 2m1 - m 2

2k1 - k2 2.9 - 36 = =3 2m1 - m2 2.3 - (5 + 7)


266

16. UMPTN 1992 Sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika sisi miringnya 40, maka siku-siku terpendek sama dengan.... A. 8 B. 20 C. 22 D. 24 E. 32

@

Tripel utama Pythagoras : 3 ,4 ,5 dan 5, 12, 13 kelipatannya : 6 ,8 ,10 dan 10, 24, 26 dan seterusnya.......

1

Sisi siku-siku yang membentuk deret aritmetika kelipatan :

1

Sisi miring 5x = 40 à x = 8 Sisi terpendek : 3x = 3.8 = 24

3 ,4 ,5 1


267

17. UMPTN 1999 Jika u1 + u3 +u5 +u7 +u9 +u11 = 72, maka u1 + u6 +u11 =.... A. 12 B. 18 C. 36 D. 48 E. 54

1 u1 + u3 +u5 +u7 +u9 +u11 = 72

6a +30b = 72 à 3a +15b = 36 1 u1 + u6 +u11 = 3a +15b = 36


268

18. UMPTN 1999 Dari deret geometri diketahui U4 : U6 = p dan U2 X U8 = 1 p

,maka U1 = ....

A. p B.

D.

1 p

C. Åp

1 p

E. pÅp

1 U4 :U6 = p à

r2 =

1 p

U2 x U8 =

1 1 à a 2r 8 = p p

1

a 2 = 1p .

Þ a 2 = 1p .

1

a= p

1 r8

3/ 2

1 2 4

(r )

= p3

= p p


269

19. UMPTN 1999 Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat 2x2 +x –a =0. Jika p ,q dan a sama dengan... A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 E. -2

pq merupakan deret geometri,maka 2

1 Syarat : deret geometri D > 0

1-8a > 0 à dipenuhi jika a negative terlihat hanya option D atau E di cek nilai a = -1 2x2 +x -1 = 0 à (2x -1)(x +1) = 0 p = -1 atau q = ½ Barisannya : -1 , ½ , - ¼ betul geometri


270

20. UMPTN 1999 Jika dari suatu deret geometri diketahui u1 = 2 dan S10 = 33 S5 , maka U6 =.... A. 12 B. 16 C. 32 D. 64 E. 66

1 S10 = 33 S5 à

a (r10 - 1) a (r 5 - 1) = 33 r -1 r -1

(r5-1)(r5 +1) = r5 -1 r5 = 32 , r = 2 1 U6 = ar5 = 2.25 = 2.32 = 64


271

21. UMPTN 1999 Jumlah deret tak hingga : 1–tan230o+tan430o–tan630o+.... +(-1)n tan2n30o+... A. 1 B. ½ C. ¾ D. 3/2 E. 2

2

o

4

o

6

o

1 1–tan 30 +tan 30 –tan 30 +....

a = 1 , r = -tan230o =-

S¥ =

1 3

a 1 1 3 = = = 1 - r 1 + 13 4 / 3 4


272

22. Prediksi SPMB Jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 6 sama dengan.... A. 668 B. 736 C. 768 D. 868 E. 1200

1

Habis dibagi 4: 4 ,8 ,12,....96à n = 96 = 24 4

1

J1 = 24 (4 + 96) = 1200 2 Habis dibagi 4 dan 6 : 96 12 ,24 ,36 ,..96à n = 12 =8

1

J2 = 82 (12 + 96) = 432 Habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 6 adalah : J = J1 –J2 = 1200 -432 = 768


273

23. Prediksi SPMB Sebuah bola pingpong dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 2 meter. Setiap kali setelah bola itu memantul ia mencapai ketinggian tiga per empat dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Panjang lintasan bola tersebut dari pantulan ketiga sampai ia berhenti adalah.... A. 3,38 meter B. 3,75 meter C. 4,25 meter D. 6,75 meter E. 7,75 meter

1 S¥ =

2. 27 2a = 323 = 6 ,75 m 1- r 1- 4


274

24. Prediksi UAN/SPMB Suku tengah barisan aritmetika adalah 25. Jika beda dan suku ke-5 adalah 4 dan 21,maka jumlah semua suku barisan tersebut sama dengan.... A. 175 B. 225 C. 275 D. 295 E. 375

@

1

Suku Tengah : Sn = n. Ut

U5 = a +4b à 21 = a +4.4 didapat a = 5 Sn = n.Ut à ½ n(2a +(n-1)b) = n.Ut 2.5 +(n-1).4 = 2.25 4n -4 = 50 -10 n=9 Sn = 9.25 = 225


275

25. Prediksi SPMB Ditentukan rasio deret geometri tak hingga adalah 7log(4x 1). Jika deret ini mempunyai jumlah (konvergen),maka nilai x yang memenuhi adalah.... A. 72 < x < 32 B.

3 2

C.

2 7

D. ¼ < x < ½ E. ¼ < x < 2

7

1 r = log(4x -1) ,Konvergen à -1 < r < 1

-1 < 7log(4x -1) < 1 7-1 < 4x -1 < 71 1 +1 < 4x < 7 +1 à 2 < x < 2 7 7


276

26. Prediksi SPMB Jika (a +2) ,(a -1),(a -7),..... membentuk barisan geometri, maka rasionya sama dengan.... A. -5 B. -2 C. – ½ D. ½ E. 2

2

1 (a -1) = (a +2)(a -7) karena geometri

a2 -2a +1 = a2 -5a -14 3a = -15 à a = -5 rasio =

a -1 - 6 = =2 a + 2 -3


277

27. Ebtanas 2002 /No.9 Sn = 2n +1 adalah jumlah n buah suku pertama dari suatu deret, dan Un adalah suku ke-n deret tersebut.Jadi Un =.... A. 2n B. 2n-1 C. 3n D. 3n-1 E. 3n-2

@

1

Hubungan Intim antara Un , Sn dan Sn-1 adalah : Un = Sn –Sn-1

U n = S n - S n -1 = 2n +1 - 2n = 2n


278

28. Ebtanas 2002 /No.10 Pada sebuah bidang datar terdapat 15 titik yang berbeda. Melalui setiap dua titik yang berbeda dibuat sebuah garis lurus. Jumlah garis lurus yang dapat dibuat adalah..... A. 210 B. 105 C. 90 D. 75 E. 65

1 2 titik 1 garis

@

3 titik 3 garis 4 titik 6 garis dst... Un = ½ n(n-1) U15 = ½ .14.15 = 105


279

Kumpulan Rumus Cepat Matematika

Recommend Documents