1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x 2 – 3x – 3x + 1 = 0 adalah … A. imajiner B. kompleks C. nyata, rasional dan sama D. nyata dan rasional E. nyata, rasional dan berlainan. PEMBAHASAN : NOTE : D > 0, memiliki akar-akar riil dan berbeda
D < 0, memiliki akar-akar imajiner D = 0, memiliki akar-akar riil dan kembar D = b2 – 4ac 4ac = (-3)2 – 4.5.1 4.5.1 = 9 – 9 – 20 20 = -11 JAWABAN : A
– 2x + 3 = 0 adalah … 2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 6x 2 – 2x A. 3 B. 2 C. 1/2 D. – D. – 1/2 1/2 E. -2 PEMBAHASAN :
6x2 – 2x 2x + 3 = 0
x1.x2 =
=
=
JAWABAN : C
3x – 2 2 = 0 adalah x 1 dan x 2. Nilai 3. Akar-akar persamaan kuadrat x 2 + 3x –
+
=…
A. – A. – 2/3 2/3 B. – B. – 3/2 3/2 C. 2/3 D. 3/2 E. 5/2 PEMBAHASAN :
+
=
=
=
=-
=-
= JAWABAN : D
4. Akar-akar persamaan kuadrat x 2 – x x + 3 = 0 adalah x 1 dan x 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (x 1 + 2) dan (x 2 + 2)adalah … A. x2 – x x + 9 = 0 2
B. x + 5x + 9 = 0 C. x2 – 5x – 5x – 9 9 = 0 D. x2 – 5x 5x + 5 = 0 2
E. x – 5x 5x + 9 = 0 PEMBAHASAN :
PK Baru : x 2 – (y (y1 + y2)x + y1.y2 = 0 y1 + y2 = (x1 + 2) + (x2 + 2)
= (x1 + x2) + 4
=-
+4
=-
+4
=5 y1 . y2 = (x1 + 2)(x2 + 2) = x1.x2 + 2x1 + 2x2 + 4 = x1.x2 + 2(x1 + x2) + 4
= – 2 2
+4
= – 2 2
+4
=3+2+4 =9 PK Baru : x 2 – 3x 3x + 8 = 0 JAWABAN : E
5. Sumbu simetri parabola y = x 2 - 5x + 3 diperoleh pada garis … A. x = 3/2 B. x = 3/2 C. x = 5/2 D. x = 5/2 E. x = 3 PEMBAHASAN :
Karena sumbu simetri parabola pasti dilewati oleh titik puncak parabola, maka kita bisa peroleh dengan y’ = 0 Y’ = 2x – 5 5 0 = 2x – 2x – 5 5 x = 5/2 jadi sumbu simetri parabola y = x2 - 5x + 3 adalah x = 5/2 JAWABAN : D
6. Ordinat titik balik maksimum grafik fungsi y = - x2 – (p – (p – 2)x 2)x + (p – (p – 4) 4) adalah 6. Absis titik balik maksimum adalah …
A. – A. – 4 B. – B. – 2 C. – C. – 1/6 1/6 D. 1 E. 5 PEMBAHASAN : NOTE : ordinat = sumbu-y, absis = sumbu-x
Karena berbicara titik balik maksimum, maka kita manfaatkan turunan pertama yaitu y’ = 0 -2x – -2x – (p – (p – 2) 2) = 0 -2x = p – p – 2 2
x=
sehing sehingga ga dipe diperole roleh h titik titik balik balik maks maksimu imum m=(
6 = -(
)2 – (p – (p – 2) 2)
6 = -(
) –
, 6), substi substitus tusii titik titik bali balik k maksim maksimum um ke ke fungs fungsii y.
+ (p – 4) 4)
+
+ (p – (p – 4) 4) [kalikan 4 kedua ruas]
24 = -(4 – -(4 – 4p 4p + p 2) – (4p – (4p – 2p 2p2) + (8 – (8 – 4p) 4p) + (4p – (4p – 16) 16) 2
2
24 = -4 + 4p – 4p – p p – 4p 4p + 2p + 8 – 8 – 4p 4p + 4p – 4p – 16 16 0 = p2 – 36 36 p2 = 36 p1 = 6 atau p 2 = -6
unutk p = 6
x=
unutk p = -6
x=
= -2
=4
JAWABAN : B
7. Nilai minimum fungsi f(x) = x2 – 5x – 5x + 4 adalah …. A. – A. – 9/4 9/4 B. 9/4
C. 5/2 D. -5/2 E. 4 PEMBAHASAN :
Perlu dicatat bahwa nilai maksimum atau minimum suatu fungsi pasti berhubungan dengan turunan pertama yaitu f'(x) =0 2x – 2x – 5 5 = 0
x=
f(
) = ( )2 – 5. 5.
=
–
+4
=
–
+
+4
=JAWABAN : A
8. Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak dititik (2, 3) dan melalui titik ( - 2, 1) adalah … A. y = -1/8(x – -1/8(x – 2) 2)2 + 3 B. y = -1/8(x – -1/8(x – 2) 2)2 – 3 3 2
C. y = 1/8(x + 2) – 3 3 D. y = 1/8(x + 2) 2 + 3 E. y = 1/8(x – 1/8(x – 2) 2)2 + 3 PEMBAHASAN : 2
f(x) = ax + bx + c f'(x) = 2ax + b 0 = 2a.2 + b 0 = 4a + b - b b = 4a … (i) nilai fungsi pada titik puncak 2
f(2) = a(2) + b.2 + c
3 = 4a + 2b + c 3 = -b + 2b + c 3 = b + c … (ii) f(-2) = a(-2)2 + b(-2) + c 1 = 4a – 4a – 2b 2b + c 1 = -b – -b – 2b 2b + c 1 = -3b -3b + c … (iii) eliminasi persamaan (ii) dan (iii) b + c = 3 -3b + c = 1 4b = 2 b = 1/2 substitusi b = 1/2 ke persamaan (ii) 1/2 + c = 3 c = 5/2 substitusi b = 1/2 ke persamaan (i) -1/2 = 4a a = -1/8 f(x) = (-1/8)x2 + 1/2 x + 5/2 = (-1/8)x2 + 4/8 x + 5/2 2
= -1/8(x – 4x) 4x) + 5/2 = -1/8(x – -1/8(x – 2) 2)2 + 4/8 + 5/2 = -1/8(x – -1/8(x – 2) 2)2 + 4/8 + 20/8 = -1/8(x – -1/8(x – 2) 2)2 + 3 JAWABAN : A
9. Akar-akar persamaan kuadrat 2x 2 – 13x – 13x + 15 = 0 adalah … A. 3/2 dan 6 B. 3/2 dan 5 C. 1 dan 6
D. 2 dan 3 E. 2 dan 3/2 PEMBAHASAN :
gunakan Rumus Kecap
x1,2 =
=
=
=
=
x1 =
=5
x2 =
=
JAWABAN : B
3x – 2 2 = 0 adalah x 1 dan x 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (x 1 + 2) dan (x 2 + 10. Akar-akar persamaan kuadrat x 2 – 3x 2) adalah … A. x2 + 2x + 7 = 0 B. x2 – 2x – 2x – 7 7 = 0 2
C. x – 2x – 2x – 5 5 = 0 2
D. x – 7x 7x + 8 = 0 E. x2 + 7x + 8 = 0 PEMBAHASAN :
PK Baru : x 2 – (y (y1 + y2)x + y1.y2 = 0 y1 + y2 = (x1 + 2) + (x2 + 2) = (x1 + x2) + 4
=-
+4
=-
+4
=7 y1 . y2 = (x1 + 2)(x2 + 2) = x1.x2 + 2x1 + 2x2 + 4 = x1.x2 + 2(x1 + x2) + 4
= – 2 2
=
+4
– 2 2
+4
= -2 + 6 + 4 =8 PK Baru : x 2 – 7x 7x + 8 = 0 JAWABAN : D
11. Diketahui x 1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 + 4x + (a – 4) = 0. Jika x 1 = 3x2, maka nilai a yang memenuhi adalah … A. 1 B. 3 C. 4 D. 7 E. 8 PEMBAHASAN :
x1 + x2 = -4 3x2 + x2 = -4 4x2 = -4 x2 = -1 x1 + (-1) = -4 x1 = -3 PK : x2 – (x (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 x2 – (-3 – (-3 – 1)x 1)x + (-3)(-1) = 0 x2 + 4x + 3 = 0
a – 4 4 = 3 a=7 JAWABAN : D 2
5x + 6 = 0 mempunyai akar – akar – akar akar x 1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar – akarnya akarnya x 1 – 3 3 dan 12. Persamaan kuadrat x – 5x x2 – 3 – 3 adalah … A. x2 – 2x 2x = 0 B. x2 – 2x 2x + 30 = 0 2
C. x + x = 0 D. x2 + x – x – 30 30 = 0 E. x2 + x + 30 = 0 PEMBAHASAN :
akar – akar – akarnya akarnya : x1 – 3 – 3 = y
x1 = y + 3
x2 – 3 – 3 = y
x2 = y + 3
13. substitusi nilai “x 1” atau “x2” kepersamaan kuadrat dalam soal, sehingga menjadi : 2
x – 5x 5x + 6 = 0 PK Baru : (y + 3) 2 – 5(y 5(y + 3) + 6 = 0 y2 + 6y + 9 – 9 – 5y – 5y – 15 15 + 6 = 0 2
y + y = 0 JAWABAN : C
14. Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang luasnya 72 m 2. Jika panjangnya tiga kali lebarnya, maka panjang diagonal bidang tersebut adalah … m. A. B. C. D. E. PEMBAHASAN :
p = 3l
p x l = 72 3l x l = 72 2
3l = 72 l2 = 24 l= p = 3l = 3.
=
Diagonal =
= = = = = JAWABAN : C [Sudah Dikoreksi ]
15. Pak Musa mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan luas 192 m 2. Selisih panjang dan lebarnya adalah 4 m. Apabila disekeliling kebun dibuat jalan dengan lebar 2 m, maka luas jalan tersebut adalah … m 2.
A. 96 B. 128 C. 144 D. 156 E. 168 PEMBAHASAN :
p – p – l l = 4 p x l = 192 (4 + l) x l = 192 4l + l 2 = 192 l2 + 4l – 4l – 192 192 = 0 (l – (l – 12)(l 12)(l + 16) = 0
l = 12 atau l = -16 (tidak memenuhi) p = 4 + l = 4 + 12 = 16 Untuk menentukan luas jalan, kita partisi-partisi menjadi 8 yaitu : 4 luas jalan yang berada di pojok-pojok kebun berbentuk persegi dengan panjang sisi 2cm : 4 x 2 2 = 16cm2 2 luas jalan yang berada pada panjang kebun dengan panjang sisi 12cm dan lebar 2cm : 2 x (12 x 2) = 48cm 2 2 luas jalan yang berada pada lebar kebun dengan panjang sisi 8cm dan lebar 2cm : 2 x (8 x 2) = 32cm
2
Jadi luas jalan yang dibangun adalah 16 + 48 + 32 = 96cm 2 JAWABAN : A
akar – akar akar persamaan kuadrat 2x 2 – 4x 4x + 1 = 0 adalah m dan n. Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya akarnya 16. Diketahui akar – dan
adalah …
A. x2 – 6x 6x + 1 = 0 B. x2 + 6x + 1 = 0 2
C. x – 3x 3x + 1 = 0 D. x2 + 6x – 6x – 1 1 = 0 E. x2 – 8x – 8x – 1 1 = 0 PEMBAHASAN :
y1 + y2 =
+
= = =
=
= = y1.y2 =
=6 .
= =1 2
PK Baru : y – (y (y1 + y2)y + (y1.y2) = 0
y2 – 6y 6y + 1 = 0 JAWABAN : A
17. Persamaan 2x2 + qx + (q – (q – 1) 1) = 0 mempunyai akar – akar – akar akar x1 dan x2. Jika x12 + x22 = 4, maka nilai q = … A. -6 dan 2 B. -6 dan -2 C. -4 dan 4 D. -3 dan 5 E. -2 dan 6 PEMBAHASAN :
x12 + x22 = 4 2
(x1 + x2) – 2x 2x1x2 = 4 (-b/a)2 – 2(c/a) 2(c/a) = 4 (-q/2)2 – 2((q – 2((q – 1)/2) 1)/2) = 4 2
q /4 – /4 – q q + 1 = 4 (kalikan 4) q2 – 4q 4q + 4 = 16 q2 – 4q – 4q – 12 12 = 0 (q – (q – 6)(q 6)(q + 2) = 0 q = 6 atau q = -2 JAWABAN : E
18. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x 2 – 9x – 9x + c = 0 adalah 121, maka c = … A. -8 B. -5 C. 2 D. 5 E. 8 PEMBAHASAN :
D = 121 2
b – 4ac 4ac = 121
(-9)2 – 4(2)(c) 4(2)(c) = 121 81 – 81 – 8c 8c = 121 81 – 81 – 121 121 = 8c -40 = 8c -5 = c JAWABAN : B
19. Persamaan (1 – (1 – m)x m)x2 + (8 – (8 – 2m)x 2m)x + 12 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai m = … A. -2 B. -3/2 C. 0 D. 3/2 E. 2 PEMBAHASAN :
Akar kembar jika D = 0 b2 – 4ac 4ac = 0 (8 – (8 – 2m) 2m)2 – 4(1 – 4(1 – m)(12) m)(12) = 0 2
64 – 64 – 32m 32m + 4m – 48 48 + 48m = 0 4m2 + 16m + 16 = 0 4(m2 + 4m + 4) = 0 (m + 2)(m + 2) = 0 m1,2 = -2 JAWABAN : A [Sudah Dikoreksi ]
20. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat x 2 + px + 1 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar – akarnya dan x1 + x2 adalah … A. x2 – 2p 2p2x + 3p = 0 B. x2 + 2px + 3p 2 = 0 2
2
C. x + 3px + 2p = 0 D. x2 – 3px 3px + 2p2 = 0 E. x2 + p2x + p = 0
PEMBAHASAN :
misal : y1 = y2 = x1 + x2 y1 + y2 = (
) + (x1 + x2)
=(
) + (x1 + x2)
=(
) + (-b/a)
=
+ (-b/a)
=
+ (-p/1)
= -3p y1.y2 = (
).(x1 + x2)
=(
) + (x1 + x2)
=(
).(-b/a)
=
.(-b/a)
=
.(-p/1)
= 2p2 PK Baru : y 2 + (y1 + y2)y + (y1.y2) = 0 y2 + (-3p)y + (2p 2) = 0 y2 – 3py 3py + 2p 2 = 0 JAWABAN : D
21. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum – 2 untuk x = 3 dan untuk x = 0 nilai fungsi 16. Fungsi kuadrat itu adalah … PEMBAHASAN :
misal : f(x) = ax 2 + bx + c substitusi x = 0 untuk nilai fungsi 16, sehingga : f(0) = a(0) 2 + b(0) + c
16 = c … (i) Substitusi x = 3 untuk nilai minimum -2, sehingga : 2
f(3) = a(3) + b(3) + c -2 = 9a + 3b + c … (ii) f'(x) = 2ax + b substitusi titik x = 3 (titik minimum) untuk f'(x) = 0, sehingga : 0 = 2a(3) + b b = -6a -6a … (iii) substitusi (i) dan (iii) ke (ii), sehingga diperoleh : -2 = 9a + 3b + c -2 = 9a + 3(-6a) + 16 -2 = 9a – 9a – 18a 18a + 16 -18 = -9a 2=a b = -12 f(x) = ax2 + bx + c substitusi a = 2 , b = -12 dan c = 16 2
f(x) = 2x – 12x 12x + 16
22. Nilai maksimum dari fungsi f(x) = – = – 2x 2x2 + (k+5)x + 1 – 1 – 2k 2k adalah 5. Nilai k yang positif adalah … PEMBAHASAN :
f(x) = – = – 2x 2x2 + (k + 5)x + 1 – 2k 2k f'(x) = -4x + k + 5 = 0 -4x = -(k + 5) x = (k + 5)/4 substitusi nilai “x” ke fungsi : 2
f(x) = – = – 2x 2x + (k+5)x + 1 – 1 – 2k 2k 5 = – = – 2( 2( 5 = – = – 2(
)2 + (k+5)( ) + 4(
) + 1 – 2k 2k )+
5.16 = -2k 2 – 20k – 20k – 50 50 + 4k 2 + 40k + 100 + 16 – 32k 32k 80 = 2k 2 – 12k 12k + 66 2
2k – 12k – 12k – 14 14 = 0 2(k 2 – 6k – 6k – 7) 7) = 0 2(k – 2(k – 7)(k 7)(k + 1) = 0 k = 7 atau k = -1
23. Absis titk balik grafik fungsi f(x) = px 2 + ( p – p – 3 3 )x + 2 adalah p. Nilai p = … PEMBAHASAN :
Titik balik = titik minimum. f(x) = px2 + ( p – p – 3 3 )x + 2 f'(x) = 2px + p – p – 3 3 = 0 substitusi x = p, sehingga diperoleh : 2p2 + p – p – 3 3 = 0 (2p + 3)(p – 3)(p – 1) 1) = 0 p = -3/2 atau p = 1
24. Memfaktorkan Contoh soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat di bawah ini dengan pemfaktoran; a. b.
x
x
2
8x 15
2
6x
0
0
PEMBAHASAN :
a.
2
8x 15
=0 ( x 3)( x 5) = 0
x
( x 3) = 0 = 3
x
atau atau
( x 5) = 0 x
=5
Jadi, HP = {3, 5}
b.
x
2
6 x
=0 x( x 6) = 0 x
=0
atau
( x 6) = 0
x
=
6
Jadi, HP = { 6 , 0}
x
60
3
x
kalikan kedua ruas dengan ( x 1)
1
( x 1)( x 3) 60
x
( x 7)( x 9) 0
( x 7)
2
2 x 63
x
0
=0
atau ( x 9) = 0
=7
atau
=
x
9
Jadi, HP = { 9 , 7}
25. Gunakan rumus untuk menentukan akar -akar persamaan x PEMBAHASAN :
x
2
8x 15
0
Maka, a=1 b = – 8 c = 15 Substitusi nilai a, b, c ke rumus abc Sehingga, (8)
1, 2
(8)
2
4(1)(15)
x
1, 2
x
1
x
1
x
2(1) 8 64 60
82 2
5
2 atau
x
2
atau
82 2 x
2
3
2
8 x 15
0