Kunci Jawaban Intan Pariwara Kelas 12 Matematika Peminatan

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. mendeskripsikan dan menganalisis konsep matriks dalam sistem persamaan linear dan transformasi geometri; 2. menerapkan konsep matriks dalam sistem persamaan linear dan transformasi geometri; Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik diharapkan cermat dan jeli dalam memilih cara yang tepat untuk mencari solusi suatu permasalahan.

Penerapan Matriks

Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear (SPL)

• • • •

Menjelaskan konsep invers matriks dalam menentukan penyelesaian SPL. Mencari penyelesaian SPL menggunakan invers matriks. Menjelaskan konsep determinan matriks dalam menentukan penyelesaian SPL. Mencari penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.

Penerapan Matriks dalam Transformasi Geometri

• • • • • •

• •

Menjelaskan konsep transformasi titik oleh matriks. Menentukan koordinat bayangan titik setelah ditransformasi oleh suatu matriks. Menjelaskan konsep transformasi kurva oleh matriks. Menentukan persamaan bayangan kurva setelah ditransformasi oleh suatu matriks. Menjelaskan konsep transformasi bangun datar segi-n oleh matriks. Menentukan bentuk dan luas bayangan bangun datar segi-n setelah ditransformasi oleh suatu matriks.

Bersikap cermat dan jeli dalam memilih cara yang tepat untuk mencari solusi suatu permasalahan. Mampu menerapkan konsep matriks dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan penyelesaian SPL dan transformasi geometri.

Matematika Kelas XII

1

A. Pilihan Ganda 1.

Nilai

Jawaban: b Diketahui SPLDV: x = 3y ⇔ x – 3y = 0 2y + 3 = 4x ⇔ –4x + 2y = –3 Matriks koefisien SPLDV tersebut adalah

2.

–

4.

–

–

+

+

= ,

Oleh karena

−

= = – , dan

≠

=

, maka SPLDV memiliki

satu penyelesaian. b.

 − = − SPLDV  memiliki nilai a1 = 2,  − + = a2 = –1, b1 = –6, b2 = 3, c1 = –4, dan c2 = 2.

Nilai

=

−

=

2 −

= –2,

Dx =

=

−

= –2, dan

= –2.

Oleh karena

=

=

, maka SPLDV

memiliki tak hingga penyelesaian. c.

2

 + = − SPLDV  memiliki nilai a1 = 1,  − − = a2 = –2, b1 = 2, b2 = –4, c1 = –3, dan c2 = 5.

Penerapan Matriks

−

.

, maka SPLDV

− − − −

= 18 × 3 – (–2) × (–27) = 54 – 54 = 0

x = = = 0 Jadi, nilai x = 0. 5.

Jawaban: d Diketahui (m, n) merupakan penyelesaian SPLDV, maka: 3m + 2n = –17 2m + 3n = –8 Mencari nilai m dan n menggunakan determinan matriks.   Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien  .   D =

=3×3–2×2 = 9 – 4 =5 Dm =

≠

=

 − = SPLDV  memiliki nilai a1 = 1,  + = a2 = 2, b1 = –2, b2 = 4, c1 = 1, dan c2 = 2.

Nilai

= 3 × 3 – (–2) × (–2) = 9 – 4 = 5

+

Jawaban: c a.

=

= – , dan

Jawaban: c Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien

D =

= 0 × (–3) × (–1) + 3 × (–7) × 1 + 8 × 1 × (–2) – 8 × (–3) × 1 – 0 × (–7) × (–2) – 3 × 1 × (–1) = 0 – 21 – 16 + 24 – 0 + 3 = –10 3.

−

=

 −   .  − 

tidak memiliki penyelesaian. Jadi, SPLDV pilihan c tidak memiliki penyelesaian.

Dz = − − − − − −

=– ,

Oleh karena

 −   .  −  Jawaban: d Nilai determinan variabel z:

− −

= –17 × 3 – 2 × (–8) = –51 + 16 = –35 Dn =

− −

= 3 × (–8) – (–17) × 2 = –24 + 34 = 10

Dengan demikian, diperoleh: n= m=

= =

−

= –7 =2

Nilai m + n = –7 + 2 = –5. Jadi, nilai m + n = –5. 6. Jawaban: a x1 dan y1 memenuhi sistem persamaan linear  + = maka 3x1 + 4y1 = 0 dan x1 + 2y1 = 2   + = SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.          =        

     Misalkan A =   , X =   , dan B =   ,       maka diperoleh persamaan matriks AX = B. det A = =3×2–4×1=6–4=2  −  Adj A =    −   −  Adj A =    −  Dengan demikian, diperoleh : X = A–1B    −    ⇔   =       −     × + ( − ) ×   =   ( −) × + ×   −  =    + 

A–1 =

 −   −  =   =      Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai x1 = –4 dan y1 = 3.

Nilai x1 + 2y1 = × (–4) + 2 × 3 = –2 + 6 = 4

Jadi, nilai x1 + 2y1 = 4. 7. Jawaban: a Diketahui SPLTV:

 −   + − −  + 

Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien

 −     −  .     − − D = − –

–

+

–

+

+

= 2 × 1 × 4 + (–1) × (–2) × 3 + 0 × 1 × 0 – 0 × 1 × 3 – 2 × (–2) × 0 – (–1) × 1 × 4 = 8 + 6 + 0 – 0 – 0 + 4 = 18 − − D x = − − − –

–

+

–

+

+

= 16 × 1 × 4 + (–1) × (–2) × 19 + 0 × (–3) × 0 – 0 × 1 × 19 – 16 × (–2) × 0 – (–1) × (–3) × 4 = 64 + 38 + 0 – 0 – 0 – 12 = 90 D y = − − − –

–

–

+

+

+

= 2 × (–3) × 4 + 16 × (–2) × 3 + 0 × 1 × 19 – 0 × (–3) × 3 – 2 × (–2) × 19 – 16 × 1 × 4 = –24 – 96 + 0 – 0 + 76 – 64 = –108 − − Dz = − –

–

–

+

+

+

= 2 × 1 × 19 + (–1) × (–3) × 3 + 16 × 1 × 0 – 16 × 1 × 3 – 2 × (–3) × 0 – (–1) × 1 × 19 = 38 + 9 + 0 – 48 – 0 + 19 = 18 Dengan demikian, diperoleh :

−

x = = = 5 y = = = –6 z = = = 1 Jadi, HP = {(5, –6, 1)}. 8. Jawaban: c Misalkan: x = harga sebuah buku y = harga sebuah bolpoin Harga 4 buku dan 2 bolpoin Rp11.400,00, maka 4x + 2y = 11.400.


3

Harga 3 buku dan 4 bolpoin Rp11.300,00, maka 3x + 4y = 11.300. Dengan demikian, diperoleh SPLDV: 4x + 2y = 11.400 3x + 4y = 11.300   Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien  .   = 4 × 4 – 2 × 3 = 16 – 6 = 10 D=

Dx =

= 4 × 11.300 – 11.400 × 3 = 45.200 – 34.200 = 11.000 Dengan demikian, diperoleh : =

= 2.300

y= =

= 1.100

x=

Hal ini berarti, harga sebuah buku Rp2.300,00 dan harga sebuah bolpoin Rp 1.100,00. Harga sebuah buku dan sebuah bolpoin = x + y = Rp2.300,00 + Rp1.100,00 = Rp3.400,00 Uang kembalian Arman = Rp5.000 – Rp3.400,00 = Rp1.600,00 Jadi, uang kembalian yang diterima Arman sebesar Rp1.600,00. 9. Jawaban: b Misalkan: x = usia Ali sekarang y = usia Doni sekarang Empat tahun lalu usia Ali

kali usia Doni, maka

diperoleh persamaan: (x – 4) =

(y

– 4) ⇔ 3(x – 4) = y – 4

⇔ 3x – 12 = y – 4 ⇔ 3x – y = 8 Empat tahun yang akan datang jumlah usia Ali dan Doni 24 tahun, maka diperoleh persamaan: (x + 4) + (y + 4) = 24 ⇔ x + y = 16 Dengan demikian, diperoleh SPLDV: 3x – y = 8 x + y = 16

4

 −        =          −   Misalkan A =   , X =   , dan B =   ,       maka diperoleh kesamaan matriks AX = B.

det A =

− = 3 × 1 – (–1) × 1 = 3 + 1 = 4

  Adj A =    − 

= 11.400 × 4 – 2 × 11.300 = 45.600 – 22.600 = 23.000 Dy =

SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.

Penerapan Matriks

  Adj A =    −  Dengan demikian, diperoleh : X = A–1B      ⇔   =    −       × + ×  =    −× + × 

A–1 =

 +  =    − +      =   =      

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai x = 6 dan y = 10. Hal ini berarti, usia Ali sekarang 6 tahun dan usia Doni sekarang 10 tahun. Jadi, usia Doni sekarang 10 tahun. 10. Jawaban: d Himpunan penyelesaian SPLDV {(–1, 2)}, berarti x = –1 dan y = 2. Substitusikan x = –1 dan y = 2 ke persamaan SPLDV.

⇔

+

−

+

+

=2 =2

⇔ 3(a – 1) + 2(2 + b) = 12 ⇔ 3a – 3 + 4 + 2b = 12 ⇔ 3a + 2b = 11

⇔

−

− −

+ +

− + − +

. . . (1) = –2 = –2

⇔ 3(–1 – a) + 4(2 – (4b + 1)) = –24 ⇔ –3 – 3a + 8 – 16b – 4 = –24 ⇔ –3a – 16b = –25

. . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV baru dalam variabel a dan b sebagai berikut. 3a + 2b = 11 –3a – 16b = –25 Mencari nilai a dan b menggunakan determinan matriks.   Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien  .  − −  D = − −

 − −  Adj A =    

 − −  Adj A =     Dengan demikian, diperoleh : X = A–1B

  − −   −   =          − × ( −) + ( − ) ×   =   × ( −) + ×   −   −  −  =   =  =    − +      Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai x = –3 dan y = 1. Jadi, HP = {(–3, 1)}.

⇔

= 3 × (–16) – 2 × (–3) = –48 + 6 = –42 Da =

− −

= 11 × (–16) – 2 × (–25) = –176 + 50 = –126 Db =

3 − −

b.

= 3 × ( – 25) – 11 × (–3) = –75 + 33 = –42 Dengan demikian, diperoleh: a=

=

− −

b=

=

− −

=3 =1

Diperoleh a = 3 dan b = 1. Nilai a + b = 3 + 1 = 4. Jadi, nilai a + b = 4. B. Uraian 1.

a.

Menentukan penyelesaian SPLDV menggunakan invers matriks. SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.     −     =    − −        Misalkan A =   , X =   , dan    − −   − B =   , maka diperoleh kesamaan matriks  AX = B. = 2 × (–4) – 5 × (–3) det A = − −

= –8 + 15 = 7

A–1 =

Menentukan penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks. Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien

 −     D = –

  −  .  − − −

–

+

–

+

+

= 2 × 0 × 4 + (–1) × (–3) × 0 + 2 × 4 × 3 – 2 × 0 × 0 – 2 × (–3) × 3 – (–1) × 4 × 4 = 0 + 0 + 24 – 0 + 18 + 16 = 58 Dx = –

− − − − − –

–

+

+

+

= 6 × 0 × 4 + (–1) × (–3) × 5 + 2 × (–4) × 3 – 2 × 0 × 5 – 6 × (–3) × 3 – (–1) × (–4) × 4 = 0 + 15 – 24 – 0 + 54 – 16 = 29 Dy = –

− − − –

–

+

+

+

= 2 × (–4) × 4 + 6 × (–3) × 0 + 2 × 4 × 5 – 2 × (–4) × 0 – 2 × (–3) × 5 – 6 × 4 × 4 = –32 – 0 + 40 – 0 + 30 – 96 = –58


5

− − −

Dz = –

–

+

–

− Dx =

+

–

+

= 2 × 0 × 5 + (–1) × (–4) × 0 + 6 × 4 × 3 – 6 × 0 × 0 – 2 × (–4) × 3 – (–1) × 4 × 5 = 0 + 0 + 72 – 0 + 24 + 20 = 116 Dengan demikian, diperoleh : x=

=

−

y = = = –1

–

Jadi, HP = {( , –1, 2)}. a.

− + = − SPLDV  − = memiliki nilai a1 = –1,  a2 = 4, b1 = 3, b2 = –1, c1 = –1, dan c2 = 4. Nilai

=

–,

Oleh karena

= –3, dan

≠

=

–

–

a2 = –2, b1 = –1, b2 = , c1 = 3, dan c2 = 2.

= –,

Oleh karena

=

−

=

= – , dan ≠

= .

, maka SPLDV

tak memiliki penyelesaian. c.

 −  .  −     

–

–

+

+

+

= 2 × 2 × 1 + 0 × 4 × 0 + (–1) × (–4) × 1 – (–1) × 2 × 0 – 2 × 4 × 1 – 0 × (–4) × 1 = 4+0+4–0–8–0 = 0

6

Penerapan Matriks

–

–

+

+

+

–

–

+

+

+


 −   

.  −  − −    − − − − − −

D =

–

–

+

+

+

= 0 × 3 × (–2) + 6 × 6 × 2 + (–1) × (–6) × (–1) – (–1) × 3 × 2 – 0 × 6 × (–1) – 6 × (–6) × (–2) = 0 + 72 – 6 + 6 – 0 – 72 = 0

− Dx = − − − − −

− − − –

d.

–


D =

+

= 2 × 2 × 2 + 0 × 1 × 0 + 1 × (–4) × 1 – 1 × 2 × 0 – 2 × 1 × 1 – 0 × (–4) × 2 = 8+0–4–0–2–0 = 2 Oleh karena D = 0, Dx ≠ 0, Dy ≠ 0, dan Dz ≠ 0, maka SPLTV tidak memiliki penyelesaian.

, maka SPLDV memiliki

 − = SPLDV  memiliki nilai a1 = 3, − + =

Nilai

+

Dz = − −

satu penyelesaian. b.

+

= 2 × 1 × 1 + 1 × 4 × 0 + (–1) × (–4) × 2 – (–1) × 1 × 0 – 2 × 4 × 2 – 1 × (–4) × 1 = 2 + 0 + 8 – 0 – 16 + 4 = –2

z = = = 2

2.

–

− D y = − −

=

–

= 1 × 2 × 1 + 0 × 4 × 2 + (–1) × 1 × 1 – (–1) × 2 × 2 – 1 × 4 × 1 – 0 × 1 × 1 = 2+0–1+4–4–0 = 1

–

–

–

+

+

+

= 6 × 3 × (–2) + 6 × 6 × 1 + (–1) × (–3) × (–1) – (–1) × 3 × 1 – 6 × 6 × (–1) – 6 × (–3) × (–2) = –36 + 36 – 3 + 3 + 36 – 36 = 0

Dengan demkian, diperoleh SPLDV: p–A=4 p + A = 18 Menentukan nilai p dan A menggunakan invers matriks. SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.  −      A =       

Dy = –

–

+

–

+

− 0

0 −6 − − 6 − 2 1 − 2 1 +

= 0 × (–3) × (–2) + 6 × 6 × 2 + (–1) × (–6) × 1 – (–1) × (–3) × 2 – 0 × 6 × 1 – 6 × (–6) × (–2) = 0 + 72 + 6 – 6 – 0 – 72 = 0

  −  Misalkan A =   , X =  A  , dan B =   ,       maka diperoleh kesamaan matriks AX = B.

0 0 − 6 − − 6 2 −1 2 −1

Dz = –

–

–

+

+

+

= 0 × 3 × 1 + 6 × (–3) × 2 + 6 × (–6) × (–1) – 6 × 3 × 2 – 0 × (–3) × (–1) – 6 × (–6) × 1 = 0 – 36 + 36 – 36 – 0 + 36 = 0 Oleh karena D = Dx = Dy = Dz = 0, maka SPLTV memiliki tak berhingga penyelesaian. 3.

det A =

  Adj A =    −    Adj A =    −  Dengan demikian, diperoleh : X = A–1B

 + = + SPLDV  memiliki nilai a1 = p,  + =

A–1 =

a2 = q, b1 = 6, b2 = 8, c1 = 2q + 1, dan c2 = 4p. SPLDV memiliki tak hingga penyelesaian jika

=

=

⇔

.

Dengan demikian, diperoleh:

=

=

⇔

=

=

4.

Misalkan: p = panjang potongan papan A = lebar potongan papan Lebar potongan papan 4 cm kurang dari panjangnya, maka diperoleh: A=p–4 ⇔ p–A=4 . . . (1) Keliling potongan papan = 36, maka: K = 2(p + A) ⇔ 36 = 2(p + A) ⇔ p + A = 18 . . . (2)

      =    A    −   

 +  =    − + 

    =   =       Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai p = 11 dan l = 7. Luas potongan papan = p × A = 11 × 7 = 77 cm2. Jadi, luas potongan papan 77 cm2.

⇔ 9q = 4(2q + 1) ⇔ 9q = 8q + 4 ⇔ q=4 4p = 3q ⇔ 4p = 3 × 4 ⇔ p = 3 Jadi, nilai p = 3 dan q = 4. Selesaikan permasalahan pada soal nomor 4 dan 5 berikut menggunakan invers matriks atau determinan matriks.

 × + ×  =    − × + × 

⇔ = ⇔ = ⇔ 4p = 3q ⇔

− = 1 × 1 – (–1) × 1 = 1 + 1 = 2

5.

Misalkan: x = banyak pesawat jenis A y = banyak pesawat jenis B z = banyak pesawat jenis C Jumlah penumpang kelas bisnis = 305 maka: 50x + 75y + 40z = 305 ⇔ 10x + 15y + 8z = 61 . . . (1) Jumlah penumpang kelas ekonomi = 185 maka: 30x + 45y + 25z = 185 ⇔ 6x + 9y + 5z = 37 . . . (2)


7

Jumlah penumpang kelas VIP = 206 maka: 32x + 50y + 30z = 206 ⇔ 16x + 25y + 15z = 103 . . . (3) Dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh SPLTV sebagai berikut. 10x + 15y + 8z = 61 . . . (1) 6x + 9y + 5z = 37 . . . (2) 16x + 25y + 15z = 103 . . . (3) Menentukan nilai x, y, dan z menggunakan determinan matriks. Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien

Dy = –

–

–

+

–

+

–

–

+

+

+

+

–

+

–

+

+

−

−

−

x = = − = 3 y = = − = 1 z = = − = 2 Jadi, perusahaan penerbangan tersebut harus menyiapkan 3 unit pesawat jenis A, 1 unit pesawat jenis B, dan 2 unit pesawat jenis C.

–

+

= 10 × 9 × 103 + 15 × 37 × 16 + 61 × 6 × 25 – 61 × 9 × 16 – 10 × 37 × 25 – 15 × 6 × 103 = 9.270 + 8.880 + 9.150 – 8.784 – 9.250 – 9.270 = –4 Dengan demikian, diperoleh:

= 10 × 9 × 15 + 15 × 5 × 16 + 8 × 6 × 25 – 8 × 9 × 16 – 10 × 5 × 25 – 15 × 6 × 15 = 1.350 + 1.200 + 1.200 – 1.152 – 1.250 – 1.350 = –2 Dx =

+

–

Dz =

–

–

= 10 × 37 × 15 + 61 × 5 × 16 + 8 × 6 × 103 – 8 × 37 × 16 – 10 × 5 × 103 – 61 × 6 × 15 = 5.550 + 4.880 + 4.944 – 4.736 – 5.150 – 5.490 = –2

   .       D =

+

= 61 × 9 × 15 + 15 × 5 × 103 + 8 × 37 × 25 – 8 × 9 × 103 – 61 × 5 × 25 – 15 × 37 × 15 = 8.235 + 7.725 + 7.400 – 7.416 – 7.625 – 8.325 = –6

A. Pilihan Ganda

Jadi, bayangan titik P(3, –1) setelah ditransformasi

1.

 −  oleh matriks M =   adalah P′(5, –4).  

Jawaban: e Misalkan bayangan titik P(3, –1) setelah  −  ditransformasi oleh matriks M =   adalah   P′(x′, y′), maka:  ′   −     ′ =         −  × + − × −  =    × + × −   +    =   =    −   − 

8

Penerapan Matriks

2.

Jawaban: b Bayangan titik A setelah ditransformasi oleh  matriks M =    ′    =   ′  

⇔

  adalah A′(5, 6), maka:    

     

−      ′    =          ′ 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

   −      =–     −         × + − ×    =–    − × + ×       −    =–    − +          = –      − 

   − ⇔   =      Jadi, Koordinat titik A(–1, 2).

3. Jawaban: d Bayangan titik K(–3, 2) setelah ditransformasi oleh  matriks M =    ′    =  ′ 

⇔

  adalah K′(a – 2b, b + 1), maka: 

             −     −    =     +      

 −   −    =   +    − +  Dari kesamaan matriks diperoleh: a – 2b = –3a ⇔ 4a = 2b . . . (1) b + 1 = –3 + 2b ⇔ b = 4 . . . (2) Substitusikan nilai b = 4 ke dalam persamaan (1). 4a = 2b ⇔ 4a = 2 × 4 ⇔ a=2 Nilai 2a + b = 2 × 2 + 4 = 4 + 4 = 8 Jadi, nilai 2a + b = 8.

⇔

4. Jawaban: d Misalkan titik (x, y) pada garis x – 2y = 4 dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh  − matriks M =   adalah (x′, y′), maka   diperoleh kesamaan matriks:  ′   −    ′ =         

⇔ ⇔

−

  −  ′    =          ′     ′     =  −   ′       

′      =      −′ + ′  Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:

⇔

x = y′

. . . (1)

y = (–3x′ + y′) . . . (2) Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan garis x – 2y = 4 sehingga diperoleh: x – 2y = 4 ⇔ ⇔ ⇔

y′ – (–3x′ + y′) y′ + 2x′ – y′ 2x′ – y′

=4 =4 =4

⇔ 6x′ – y′ = 12 Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′) dan (x′, y′) memenuhi persamaan 6x′ – y′ = 12, maka persamaan bayangan garis x – 2y = 4 adalah 6x – y = 12. Jadi, persamaan bayangan garis x – 2y = 4  − setelah ditransformasi oleh matriks M =     adalah 6x – y = 12.

5. Jawaban: a

Misalkan titik (x, y) pada elips + = 1 dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh   matriks M =   adalah (x′, y′), maka diper −  oleh kesamaan matriks:

⇔

 ′    ′ =     −     =     −     =    

  

     −   ′       ′ 

  ′     ′   ′   ⇔   =      ′ ′  Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:

⇔

x = × 4x′ = x′

. . . (1)

y = (x′ + 2y′) . . . (2) Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke per

samaan elips + = 1 sehingga diperoleh:


9

′

⇔

+

+

′ + ′

=1 =1

⇔ 6x′2 + (x′ + 2y′)2 = 48 2 ⇔ 6x′ + x′2 + 4x′y′ + 4y′2 = 48 ⇔ 7x′2 + 4x′y′ + 4y′2 = 48 Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)

dan (x′, y′) memenuhi persamaan + = 1,

maka persamaan bayangan elips + = 1 adalah 7x2 + 4xy + 4y2 = 48.

Jadi, persamaan bayangan elips + = 1   setelah ditransformasi oleh matriks M =    −  2 2 adalah 7x + 4xy + 4y = 48.

6. Jawaban: d Misalkan titik (x, y) pada parabola 5y + x2 = 1 dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh   matriks M =   adalah (x′, y′), maka diperoleh   kesamaan matriks:

⇔ ⇔ ⇔

 ′       ′ =          −     ′  =            ′ 

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan parabola 5y + x2 = 1 sehingga diperoleh: 5y + x2 = 1

⇔

(–x′

+ 2y′) + ( (3x′ – y′))2 + 2y′) + (3x′ – y′)2

=1 =1

⇔ 25(–x′ + 2y′) + (3x′ – y′)2 = 25 ⇔ –25x′ + 50y′ + 9x′2 – 6x′y′ + y′2 = 25 ⇔ 9x′2 + y′2 – 25x′ + 50y′ – 6x′y′ = 25

10

Penerapan Matriks

⇔

⇔

. . . (2)

5×

⇔

  − −   ′    = –  −   ′          −′ − ′    =–   − ′     – (–x′)

=

(3x′

+ 4y′)

x′

. . . (1) . . . (2)

x2 – 2y2 = 1

(–x′

⇔

⇔

 ′      ′ =       −    −     ′    =        −   ′ 

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan hiperbola x2 – 2y2 = 1 sehingga diperoleh:

. . . (1)

(–x′

  matriks M =   adalah (x′, y′), maka diper −  oleh kesamaan matriks:

y=

x = (3x′ – y′) + 2y′)

7. Jawaban: a Misalkan titik (x, y) pada hiperbola x2 – 2y2 = 1 dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh

x = – (–3x′ – 4y′) =

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:

y=

  setelah ditransformasi oleh matriks M =     2 2 adalah 9x + y – 25x + 50y – 6xy = 25.


 −  ′     =  −   ′         ′ − ′     =  ′     − + ′ 

Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′) dan (x′, y′) memenuhi persamaan 5y + x2 = 1, maka persamaan bayangan parabola 5y + x2 = 1 adalah 9x2 + y2 – 25x + 50y – 6xy = 25. Jadi, persamaan bayangan parabola 5y + x2 = 1

⇔

2 x′

( (3x′ + 4y′))2 – 2( x′)2 = 1 (3x′

+ 4y′)2 –

=1

(3x′ + 4y′)2 – 2x′2 = 16 ⇔ ⇔ 9x′2 + 24x′y′ + 16y′2 – 2x′2 = 16 ⇔ 7x′2 + 16y′2 + 24x′y′ = 16 Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′) dan (x′, y′) memenuhi persamaan x2 – 2y2 = 1, maka persamaan bayangan hiperbola x2 – 2y2 = 1 adalah 7x2 + 16y2 + 24xy = 16. Jadi, persamaan bayangan hiperbola x2 – 2y2 = 1   setelah ditransformasi oleh matriks M =    −  adalah 7x2 + 16y2 + 24xy = 16.

8. Jawaban: b Misalkan bayangan PQRS oleh transformasi  − matriks M =   adalah P′Q′R′S′ dengan   koordinat titik P′(xP′, yP′), Q′(xQ′, yQ′), C′(xR′, yR′), dan D′(xS′, yS′), maka:

 ′ ′ ′   ′ ′ ′

′   ′ 

 −  =      

 −  − =      

 − − =   − +  − =   −

− +

−   − 

′ ′   ′ ′ ′   −   =    −   Sehingga diperoleh:   

−   

−

  

  

 ′   ′

′

′ ′   ′ ′ 

′

  − −    

−   

 − + − + + − +  =    − + − + + − + 

− +   − − 

 − −  =    − − 

−   − 

Dengan demikian, diperoleh koordinat titik P′(–6, –2), Q′(4, 4), R′(5, 3), dan S′(–3, –5). Gambar P′Q′R′S′ pada koordinat kartesius sebagai berikut. 5

′

 =   −  =  

  

+ +

 ′   ′

 − −   =  −  − 



Dengan demikian, diperoleh koordinat titik K(–5, – ),

L(–4, –1), M(3, 1 ), dan N(2, 2).

Y

Gambar KLMN pada koordinat kartesius sebagai berikut.

Q′

4 3

Y 4

R′

2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

5

3

X

M

–2

P′

N

2 1

–3 –4 S′

–5

–6

–5 K

–4 L

–3

–2

–1 0 –1

1

2

3

4

X

–2

Dari gambar di atas terlihat, P′S′ sejajar dengan Q′R′. Dengan demikian, P′Q′R′S′ berbentuk trapesium. Jadi, bayangan PQRS berbentuk trapesium. 9. Jawaban: c Bangun datar KLMN ditransformasi oleh  −  matriks M =   menghasilkan bayangan  −  K′L′M′N′ dengan koordinat titik K′(–4, 3), L′(–2, 0), M′(0, 3), dan N′(–2, 6), maka:

–3

Dari gambar terlihat, KL sejajar dengan NM dan KN sejajar dengan LM. Dengan demikian, KLMN berbentuk jajargenjang. Jadi, bangun datar KLMN berbentuk jajargenjang. 10. Jawaban: c Diketahui segi empat ABCD dengan koordinat titik A(–2, 2), B(–2, –2), C(4, 2), dan D(3, 4). Gambar segi empat ABCD pada koordinat kartesius sebagai berikut.


11

5

Y

–26 = a(1 – a) + 4 ⇔ a – a2 + 30 = 0 ⇔ a2 – a – 30 = 0 ⇔ (a – 6)(a + 5) = 0 ⇔ (a – 6) = 0 atau (a + 5) = 0 ⇔ a = 6 atau a = –5 Oleh karena a < 0, maka nilai a = –5. Substitusikan nilai a = –5 ke dalam persamaan (2). 4a – 2 = b(1 – a) + 2 ⇔ 4 × (–5) – 2 = b(1 – (–5)) + 2 ⇔ –20 – 2 = b × 6 + 2 ⇔ –22 = 6b + 2 ⇔ 6b = –24 ⇔ b = –4 Dengan demikian, diperoleh:

D

4 3 A

C

2

E

1 –4 –3 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

5

6

X

–2

B

Dari gambar dapat diketahui: LABCD = LABC + LACD

= × AB × AC + × AC × DE

= ×4×6+ ×6×2 =2×6+3×2 = 12 + 6 = 18 satuan luas Misalkan bayangan ABCD setelah ditransformasi   matriks M =   adalah A′B′C′D′, maka:   LA′B′C′D = | det M| LABCD

=

b.

 × 18

 −  ditransformasi oleh matriks M =    −  adalah P′(x′, y′), maka:

= 1 × 5 – 3 × 3 × 18 = 5 – 9 × 18 = – 4 × 18 = 4 × 18 = 72 satuan luas Jadi, luas bayangan ABCD adalah 72 satuan luas.

 ′   −     ′ =       −     −   −  =     −   −  − × − + × −  =    − × − + × − 

B. Uraian 1.

a.

Bayangan titik K(1 – a, 2) setelah   ditransformasi oleh matriks M =     adalah K′(–26, 4a – 2), maka:

 ′        =         ′ 

⇔

 −     −    =     −     

⇔

 −   − +    =   −    − + 

Dari kesamaan matriks diperoleh: –26 = a(1 – a) + 4 . . . (1) 4a – 2 = b(1 – a) + 2 . . . (2)

12

Penerapan Matriks

   −  M=   =      −   −  Jadi, matriks M =  .  −  Menentukan bayangan titik P(b, a – b). Titik P(b, a – b) = P(–4, –5 – (–4)) = P(–4, –1) Misalkan bayangan titik P(–4, –1) setelah

 −    =   =    −   

Jadi, bayangan titik P(–4, –1) setelah ditransformasi oleh matriks M adalah P′(18, 15). 2.

Menentukan persamaan garis. Bayangan titik B(p, q) setelah ditransformasi oleh   matriks M =   adalah B′(5, 11), maka:  

 ′        =      ′     

⇔

    −  ′    =          ′ 

⇔

  −     =        −   

⇔

  × + − ×    =      − × + × 

⇔

  −    =      − + 

⇔

    =      − 

3.

  matriks M =   adalah (x′, y′), maka diper −  oleh kesamaan matriks:      ′     ′ =   −     

⇔

Dari kesamaan matriks diperoleh nilai p = 4 dan q = –3. Dengan demikian, diperoleh persamaan garis: 4x – (–3)y = 4 ⇔ 4x + 3y = 4 Menentukan persamaan bayangan garis. Misalkan titik (x, y) pada garis 4x + 3y = 4 dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh

⇔ ⇔

x = – y′ y

⇔

  ′ − ′    =     −′ + ′ 

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: x = 3x′ – y′ . . . (1) y = –5x′ + 2y′ . . . (2) Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan garis 4x + 3y = 4 sehingga diperoleh: 4x + 3y = 4 ⇔ 4(3x′ – y′) + 3(–5x′ + 2y′) = 4 ⇔ 12x′ – 4y′ – 15x′ + 6y′ = 4 ⇔ –3x′ + 2y′ = 4 Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′) dan (x′, y′) memenuhi persamaan 4x + 3y = 4, maka persamaan bayangan garis 4x + 3y = 4 adalah –3x + 2y = 4. Jadi, persamaan bayangan garis 4x + 3y = 4   setelah ditransformasi oleh matriks M =     adalah –3x + 2y = 4.

. . . (1)

× 5x′ = x′

. . . (2)

samaan elips + y2 = 1 sehingga diperoleh:

−     ′  =           ′ 

 −  ′       =   −   ′  

=

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke per-

 ′       ′ =          

⇔

−     ′    =       −   ′    −  ′       =     ′     − ′    =  ′    


  matriks M =   adalah (x′, y′), maka diper  oleh kesamaan matriks:

⇔

Misalkan titik (x, y) pada elips + y2 = 1 dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh

⇔ ⇔

′ ′

+ y2 = 1 + x′2 = 1 + x′2 = 1

Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)

dan (x′, y′) memenuhi persamaan + y2 = 1,

maka persamaan bayangan elips + y2 = 1

adalah + x2 = 1.

Jadi, persamaan bayangan elips + y2 = 1   setelah ditransformasi oleh matriks M =    −  adalah + x2 = 1. 4.

Lingkaran x2 + y2 = 5 memiliki jari-jari r = Luas lingkaran :

.

L = πr2 = π( )2 = 5π | det M | = | | =|3×5–1×6| = | 15 – 6 | = 9


13

Misalkan luas bayangan lingkaran adalah L′, maka: L′ = | det M | × L = 9 × 5π = 45π Jadi, luas bayangan lingkaran adalah 45π satuan luas. 5.

a.

 # ′ $ ′     # $    =     −   # $   # ′ $ ′      =     −     + +  =    + − 

Bayangan titik A(–4, 0) dan B(0, –2) setelah  !  ditransformasi oleh matriks M =    " adalah A′(0, –4) dan B′(–4, 8), maka:

 ′ ′   !     =     ′ ′   "  

⇔

  

 ′ ′    !    =  ′ ′      "

  

−

−

  =    −  Dengan demikian, diperoleh koordinat titik C′(0, 4) dan D′(4, –8).

c.

Gambarkan bangun datar A′B′C′D′ pada koordinat kartesius sebagai berikut. 9

⇔

 −   −   !    =  −       −   "

6

⇔

 −   −   !    =  −  ×  −       "

⇔

−   −    !    =  −   −      "

3

⇔

 + +   !    =  + −     "

⇔

   !    =  −     "

⇔

B′

5 4 C′ 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

  ditransformasi oleh matriks M =    −  adalah C′ dan D′, maka:

A. Pilihan Ganda 1.

Jawaban: d

 + + =  Matriks koefisien SPLTV  + + =  + + = 

14

Penerapan Matriks

1

2

3

4

5

6

X

–2 –3 –4

   !    =  −     "

Menentukan koordinat titik C′ dan D′. Bayangan titik C(4, 0) dan D(0, 2) setelah

8 7

A′

–5 –6 –7

  Jadi, matriks M =  .  − 

b.

Y

–8

D′

–9

Dari gambar di atas terlihat bahwa A′D′ sejajar dengan B′C′ dan B′A′ sejajar dengan C′D′. Dengan demikian, A′B′C′D′ berbentuk jajargenjang.

  adalah   

   . 

=   SPLTV  − = dapat dituliskan dalam bentuk  + = 

 + + =   + − = .  + + =  Dengan demikian, matriks koefisien SPLTV tersebut

  adalah   

  − . 

2. Jawaban: a Nilai determinan utama: − D = − − = 3 × (–1) – (–2) × (–5) = –3 – 10 = –13 Jadi, nilai determinan utama adalah –13. 3. Jawaban: e Nilai determinan variabel x: − % Dx = & − = –12 × (–4) – 9 × 7 = 48 – 63 = –15 Jadi, nilai determinan variabel x adalah –15. 4. Jawaban: c Nilai determinan variabel y: Dy =

'

' + = –4

⇔ 8 × 1 – k(k +1) = –4 ⇔ 8 – k2 – k + 4 = 0 ⇔ k2 + k – 12 = 0 ⇔ (k + 4)(k – 3) = 0 ⇔ (k + 4) = 0 atau (k – 3) = 0 ⇔ k = –4 atau k=3 Nilai k > 0, maka k = 3. Nilai determinan utama:

D = = ' =8×1–2×3 =8–6 =2 Jadi, nilai determinan utama adalah 2.

5. Jawaban: e Nilai determinan variabel y: − − −

Dy = –

–

–

+

+

+

= 1 × 3 × 0 + 1 × 1 × (–1) + (–1) × 2 × 0 – (–1) × 3 × (–1) – 1 × 1 × 0 – 1 × 2 × 0 = 0–1+0–3–0–0 = –4 Jadi, nilai determinan variabel y adalah –4. 6. Jawaban: d Nilai determinan variabel z: − Dz = − − − − –

–

–

+

+

+

= 1 × (–1) × 3 + 0 × 4 × 2 + (–6) × 2 × (–3) – (–6) × (–1) × 2 – 1 × 4 × (–3) – 0 × 2 × 3 = –3 + 0 + 36 – 12 + 12 – 0 = 33 Jadi, nilai determinan variabel z adalah 33. 7. Jawaban: b Nilai determinan variabel x: Dx =

− − − − − − − − –

–

–

+

+

+

= (4p –1) × 0 × 0 + (–2) × p × (–1) + 1 × (–16) × 2 – 1 × 0 × (–1) – (4p –1) × p × 2 – (–2) × (–16) × 0 = 0 + 2p – 32 – 0 – 2p(4p –1) – 0 = 2p – 32 – 8p2 + 2p = – 8p2 + 4p – 32 Nilai Dx = –72, maka: –8p2 + 4p – 32 = –72 ⇔ –8p2 + 4p + 40 = 0 ⇔ 2p2 – p – 10 = 0 ⇔ (2p – 5)(p + 2) = 0 ⇔ 2p – 5 = 0 atau p + 2 = 0 ⇔

p=2

atau

p = –2

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 2 atau –2.


15

8. Jawaban: c  + = tidak memiliki penyelesaian SPLDV   + =

jika a.

=

≠

.

Nilai

−

=

=– ,

Diperoleh nilai b.

= –2, dan

≠

=

.

.

−

= − = –2,

=

Nilai

= − = – ,

−

penyelesaian jika a.

=

≠

b.

= = – , dan

sehingga SPLDV

tidak memiliki penyelesaian. c.

9. Jawaban: b  + = SPLDV  + = memiliki satu penyelesaian 

jika a.

≠

.

 − + = SPLDV  memiliki nilai a1 = –3,  − = a2 = 2, b1 = 3, b2 = –2, c1 = 3, dan c2 = 2.

Nilai

=

−

Diperoleh nilai

16

=–

dan

=

Penerapan Matriks

.

=

−

=– .

≠

=– .

sehingga SPLDV

Nilai

=

= 2.

=

−

=

.

= –2,

=

=

≠

−

= –2, dan

.

 − = − SPLDV  memiliki nilai a1 = 2,  + = a2 = 4, b1 = –3, b2 = 6, c1 = –3, dan c2 = 6.

Nilai

−

=

=

=

,

=

−

= – , dan

=– .

≠

=

.

 − = SPLDV  memiliki nilai a1 = 2,  − = − a2 = 4, b1 = –3, b2 = –6, c1 = 2, dan c2 = –4.

Nilai

−

=

=

=

,

=

=

− −

=

,

dan

=– .

Diperoleh nilai d.

=

 − = SPLDV  memiliki nilai a1 = 4, − + = a2 = –2, b1 = –6, b2 = 3, c1 = 4, dan c2 = 2.

Diperoleh nilai

Jadi, SPLDV pilihan c tidak memiliki penyelesaian.

Diperoleh nilai

−

=

 + = SPLDV  memiliki tak berhingga  + =

= .

Diperoleh nilai

dan

10. Jawaban: d

.

− =  SPLDV  memiliki nilai a1 = 1,  − + = a2 = –2, b1 = –1, b2 = 2, c1 = 1, dan c2 = 2.

=

Jadi, SPLDV pilihan b memiliki satu penyelesaian.

= = –2, dan

=

=

memiliki satu penyelesaian.

−

Diperoleh nilai

= = –2.

Diperoleh nilai c.

=

≠

−

 − = − memiliki nilai a1 = 2, SPLDV   − + = a2 = –1, b1 = –2, b2 = 1, c1 = –6, dan c2 = 3.

Nilai

 − = memiliki nilai a1 = 2, SPLDV   + = a2 = 4, b1 = –1, b2 = 2, c1 = 3, dan c2 = 6.

Nilai

 − + = SPLDV  memiliki nilai a1 = –1,  − = a2 = 2, b1 = 2, b2 = –1, c1 = 1, dan c2 = 2.

b.

≠

.

 − + = SPLDV  memiliki nilai a1 = –2,  − = − a2 = 4, b1 = 3, b2 = –6, c1 = 2, dan c2 = –4. −

Nilai

=

−

=– .

=

= – ,

=

−

= – , dan

Diperoleh nilai

=

=

sehingga

SPLDV memiliki tak berhingga penyelesaian. Jadi, SPLDV pilihan d memiliki tak berhingga penyelesaian. 11. Jawaban: e  Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien  .  −  D = −

= 4 × (–3) – 6 × 2 = –12 – 12 = –24 − Dy =

y =

$ $

=

−

= –6

Jadi, nilai y = –6.

12. Jawaban: b Diketahui (p, q) merupakan penyelesaian SPLDV, maka: –5p + 3q = –10 4p – 2q = 12 Mencari nilai p dan q menggunakan determinan matriks.  −5  Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien  .  −  − D = − = –5 × (–2) – 3 × 4 = 10 – 12 = –2 Dp =

− −

= –10 × (–2) – 3 × 12 = 20 – 36 = –16 Dq =

− −

= –5 × 12 – (–10) × 4 = –60 + 40 = –20

$

−

$

−

p = $ = − = 8 q = $ = − = 10 Nilai 2q – 4p = 2 × 10 – 4 × 8 = 20 – 32 = –12. Jadi, nilai 2q – 4p = –12. 13. Jawaban: c −+ +

⇔ ⇔ ⇔

=4

x – y + 4 = 4(2x + 3y) x – y + 4 = 8x + 12y 7x + 13y = 4 + + +

. . . (1)

= –1

⇔ x + 2y + 1 = –(x + y) ⇔ x + 2y + 1 = –x – y ⇔ 2x + 3y = –1 . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV: 7x + 13y = 4 2x + 3y = –1 Menentukan nilai x dan y menggunakan invers matriks. SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.

= 4 × 28 – (–16) × 2 = 112 + 32 = 144


 &        =        −   &   Misalkan A =   , X =   , dan B =   ,      −

maka diperoleh persamaan matriks AX = B. det A =

&

= 7 × 3 – 13 × 2 = 21 – 26 = –5  −  Adj A =   &   −

A–1 =

*/;

Adj A = –

 −    &   −

Sehingga diperoleh: X = A–1B −      ⇔   = –  − &         −    ( − ) −   ⇔  = –     − & −   1  +  ⇔   = –  − − &  = –    

   −    =    −   


17

Dengan demikian, diperoleh x = –5 dan y = 3. Nilai x + 3y = –5 + 3 × 3 = –5 + 9 = 4 Jadi, nilai x + 3y = 4. 14. Jawaban: d Menentukan titik potong antara garis 7x + 2y = –13 dan 8x – 3y = –36 sama dengan menentukan & + = − penyelesaian SPLDV  .  − = − Menentukan penyelesaian SPLDV menggunakan determinan matriks. &  Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien  .  −  & D =

−

= 7 × (–3) – 2 × 8 = –21 – 16 = –37

= (–13) × (–3) – 2 × (–36) = 39 + 72 = 111 & −

−

Dy =

= 7 × (–36) – (–13) × 8 = –252 + 104 = –148 Dengan demikian, diperoleh: $

$

−

x = $ = −& = –3 y = $ = −& = 4 Kedua garis berpotongan di titik (p, q + 1), maka: p = x = –3 q + 1 = 4 ⇔ q = 3. Nilai p – q = –3 – 3 = –6 Jadi, nilai p – q = –6. 15. Jawaban: e Terlebih dahulu dicari nilai m dan n menggunakan invers matriks.

det A =

Penerapan Matriks

−

= 4 × (–2) – 2 × 3 = –8 – 6 = –14  − −  Adj A =    − 

A–1 =

*/;

Adj A = –

1

 − −     − 

Sehingga diperoleh: X = A–1B  ? ⇔   = – @  

=–

=–

 − −   −      −   −   − − ( − ) −     − − −   +     − 

   −   =    −    Dengan demikian, diperoleh nilai m = –2 dan n = 3. Diketahui (m, n) merupakan penyelesaian sistem

=–

+ = , maka: persamaan   + = 4m + 3n = a ⇔ a = 4 × (–2) + 3 × 3 ⇔ a = –8 + 9 = 1 5m + 2n = b ⇔ b = 5 × (–2) + 2 × 3 ⇔ b = –10 + 6 = –4 Nilai a + b = 1 – 4 = –3 Jadi, nilai a + b = –3.

16. Jawaban: d Misalkan: banyak gula aren = x bungkus banyak gula pasir = y bungkus Berat seluruh gula aren = 0,5x. Berat seluruh gula pasir = y. Berat seluruh gula aren dikurangi berat seluruh gula pasir sama dengan 2 kg, maka 0,5x – y = 2 ⇔ x – 2y = 4 . . . (1) Jumlah berat seluruh gula 18 kg, maka 0,5x + y = 18 ⇔ x + 2y = 36 . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV sebagai berikut. x – 2y = 4 x + 2y = 36

 ? + @ = − Diketahui SPLDV  . ? − @ = − SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.    ?   −      =    −   @   − 

 −   ,  − 

maka diperoleh persamaan matriks AX = B.

− − −

Dx =

18

?   Misalkan A =   , X =  @  , dan B =    − 

Menentukan nilai x dan y menggunakan determinan matriks.  −  Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien  .   − D= = 1 × 2 – (–2) × 1 = 2 + 2 = 4 Dx =

−

= 4 × 2 – (–2) × 36 = 8 + 72 = 80 Dy =

 − Adj A = –1   */;  −  Sehingga diperoleh: X = A–1B

A–1 =

  −   ⇔   = –1        −     ( −)   = –  −   −  = –   − % + 

 −    = –  =    −   

= 1 × 36 – 4 × 1 = 36 – 4 = 32 Dengan demikian, diperoleh: $

$

Dengan demikian, diperoleh nilai x = 28 dan y = 35. Hasil penjualan jeruk = 28 × Rp15.000,00 = Rp420.000,00. Jadi, hasil penjualan jeruk Rp420.000,00.

x = $ = = 20 y= $ = =8 Banyak gula = x + y = 20 + 8 = 28 Jadi, banyak gula dalam kardus 28 bungkus.

   ,  

maka diperoleh persamaan matriks AX = B. det A =

=1×2–1×3 = 2 – 3 = –1  − Adj A =    − 

18. Jawaban: a Misalkan bilangan tersebut ab, a = angka pertama dan b = angka kedua. Dua kali angka pertama ditambah 2 hasilnya merupakan angka kedua, maka 2a + 2 = b ⇔ 2a – b = –2 . . . (1) Angka pertama ditambah angka kedua hasilnya 11, maka a + b = 11 . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV sebagai berikut. 2a – b = –2 a + b = 11 Menentukan nilai a dan b menggunakan determinan matriks. − Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien  .   − D =

17. Jawaban: b Misalkan: x = banyak jeruk yang terjual (kg) y = banyak salak yang terjual (kg) Jumlah jeruk dan salak yang terjual selama seminggu = 63 kg, maka x + y = 63 . . . (1) Hasil penjualan jeruk dan salak selama seminggu = Rp770.000,00, maka 15.000x + 10.000y = 770.000 ⇔ 3x + 2y = 154 . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV: x + y = 63 3x + 2y = 154 Menentukan nilai x dan y menggunakan invers matriks. SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.          =            Misalkan A =   , X =   , dan B =    

= 2 × 1 – (–1) × 1 =2+1 =3 Da =

− −

= (–2) × 1 – (–1) × 11 = –2 + 11 =9 Db =

−

= 2 × 11 – (–2) × 1 = 22 + 2 = 24 Matematika Kelas XII

19

Dengan demikian, diperoleh: a=

$ $

b=

$ $

=

%

=

=3 =8

Bilangan = ab = 38 Jadi, bilangan tersebut 38.

21. Jawaban: e Bayangan titik K(m, –1) setelah ditransformasi   oleh matriks M =   adalah K′(11, m), maka:  ?  ′       ′ =       ?   

19. Jawaban: d Misalkan bayangan titik Q(–3, 7) setelah

⇔

 −  ditransformasi oleh matriks M =   adalah   Q′(x′, y′), maka:

     ?    =    ?  ?   −

⇔

 ? −       =   ? − ?  ?

 ′   −   −   ′  =          &   − × − + × &  =    × − + × &   % +  =    − +    =   

Jadi, bayangan titik Q(–3, 7) setelah ditransformasi  −  oleh matriks M =   adalah Q′(44, 2).  

20. Jawaban: c Bayangan titik P setelah ditransformasi oleh  −  matriks M =   adalah P′(–5, 20), maka:    ′   −     ′ =          

⇔

−    −   ′  =            ′     −  =      −   

=

 × − + ×     − × − + × 

=

 +     + 

=

     % 

  =   %

Jadi, koordinat titik P(10, 9).

20

Penerapan Matriks

Dari kesamaan matriks diperoleh: 11 = 4m – 1 ⇔ 4m = 12 ⇔ m=3 Jadi, nilai m = 3. 22. Jawaban: a Bayangan titik A(p, 2q) setelah ditransformasi oleh −   matriks M =   adalah A′(20, 54) maka:  −  −     ′    ′ =       −    −       ⇔   =       −   

 −       =     −  Dari kesamaan matriks diperoleh: 20 = pq – 4q . . . (1) 2 54 = p – 3p ⇔ p2 – 3p – 54 = 0 ⇔ (p – 9)(p + 6) = 0 ⇔ (p – 9) = 0 atau (p + 6) = 0 ⇔ p = 9 atau p = –6 Nilai p > 0, maka p = 9. . . . (2) Substitusikan nilai p = 9 ke dalam persamaan (1). 20 = pq – 4q ⇔ 20 = 9q – 4q ⇔ 5q = 20 ⇔ q=4 Nilai p + q = 9 + 4 = 13 Jadi, nilai p + q = 13.

⇔

23. Jawaban: c Misalkan titik (x, y) pada garis 3x + y = 1 dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh  −  matriks M =   adalah (x′, y′), maka  −  diperoleh kesamaan matriks:  ′   −     ′  =        −    −   −   ′  ⇔   =       −   ′    −   ′  ⇔   =      −   ′  

′      = –      − ′ − ′  Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:

⇔

. . . (1)

. . . (2)

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan garis 3x + y = 1 sehingga diperoleh: 3x + y = 1 ⇔ ⇔

3( (8x′ – 5y′)) (8x′ – 5y′)

y = – (–6x′ – 10y′)

= (3x′ + 5y′) . . . (2) Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan parabola y = x2 + 4 sehingga diperoleh: y = x2 + 4

⇔

y = (6x′ – 4y′) = 3x′ – 2y′

. . . (1)

  ′ − ′   =  ′     − ′  Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:

x = – × 2x′ = – x′

⇔

x = (8x′ – 5y′)

 ′   −     ′  =          −   −   ′  ⇔   =         ′    ′    ⇔   = –     − −   ′  

+ 3x′ – 2y′ = 1 + 3x′ – 2y′ = 1

⇔ 3(8x′ – 5y′) + 6x′ – 4y′ = 2 ⇔ 24x′ – 15y′ + 6x′ – 4y′ = 2 ⇔ 30x′ – 19y′ = 2 Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′) dan (x′, y′) memenuhi persamaan 30x′ – 19y′ = 2, maka persamaan bayangan garis 3x + y = 1 adalah 30x – 19y = 2. Jadi, persamaan bayangan garis 3x + y = 1  −  setelah ditransformasi oleh matriks M =    −  adalah 30x – 19y = 2.

24. Jawaban: e Misalkan titik (x, y) pada parabola y = x2 + 4 dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh  −  matriks M =   adalah (x′, y′), maka   diperoleh kesamaan matriks:

⇔

(3x′ (3x′

+ 5y′) = (– x′)2 + 4

⇔

+ 5y′) = x′2 + 4 10(3x′ + 5y′) = x′2 + 400

⇔

30x′ + 50y′ = x′2 + 400

⇔ x′2 – 30x′ – 50y′ = –400 Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′) dan (x′, y′) memenuhi persamaan y = x2 + 4, maka persamaan bayangan parabola y = x2 + 4 adalah x2 – 30x – 50y = –400. Jadi, persamaan bayangan parabola y = x2 + 4  −  setelah ditransformasi oleh matriks M =     2 adalah x – 30x – 50y = –400. 25. Jawaban: c Misalkan titik (x, y) pada hiperbola

– y2 = 1

dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh   matriks M =   adalah (x′, y′), maka  − − diperoleh kesamaan matriks:  ′       ′  =       − −   −     ′  ⇔   =       − −   ′   − −   ′   ⇔   = –      ′  

⇔

  − ′ − ′   = – ′     + ′  Matematika Kelas XII

21

Dari kesamaan matriks di depan diperoleh: x = –(–3x′ – 5y′) = 3x′ + 5y′ . . . (1) y = –(x′ + 2y′) . . . (2) Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke dalam persamaan hiperbola

– y 2 = 1 sehingga

diperoleh:

⇔ ⇔

–

y2

=1

(3x′ + 5y′)2 – (–(x′ + 2y′))2 = 1

(9x′2 + 30x′y′ + 25y′2) – (x′2 + 4x′y′ + y′2) = 1

9x′2 + 30x′y′ + 25y′2 – 4(x′2 + 4x′y′ + y′2) = 4 ⇔ 9x′2 + 30x′y′ + 25y′2 – 4x′2 – 16x′y′ – 4y′2 = 4 ⇔ 5x′2 + 21y′2 + 14x′y′ = 4 ⇔ Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)

dan (x′, y′) memenuhi persamaan

maka persamaan bayangan hiperbola

– y2 = 1,

–

– y2 = 1

y2

=1

adalah 5x2 + 21y2 + 14xy = 4. Jadi, persamaan bayangan hiperbola

  setelah ditransformasi oleh matriks M =    − − adalah 5x2 + 21y2 + 14xy = 4.

26. Jawaban: d Misalkan titik (x, y) pada elips x2 +

= 1 dan

bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh &  matriks M =   adalah (x′, y′), maka   diperoleh kesamaan matriks:  ′   &     ′  =          −   &   ′  ⇔   =         ′   −   ′   ⇔   =     − &   ′     ′ − ′   =      − ′ + & ′  Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: x = x′ – 3y′ . . . (1) y = –2x′ + 7y′ . . . (2)

⇔

22

Penerapan Matriks

persamaan elips x2 +

= 1 sehingga diperoleh: x2 +

⇔

(x′ – 3y′)2 +

⇔ (x′2 – 6x′y′ + 9y′2) +

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke dalam

=1

(–2x′ + 7y′)2 = 1

(4x′2 – 28x′y′ + 49y′2) = 1

⇔ 2(x′2 – 6x′y′ + 9y′2) + (4x′2 – 28x′y′ + 49y′2) = 2 ⇔ 2x′2 – 12x′y′ + 18y′2 + 4x′2 – 28x′y′ + 49y′2 = 2 6x′2 + 67y′2 – 40x′y′ = 2 ⇔ Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′) dan (x′, y′) memenuhi persamaan x2 + maka persamaan bayangan elips x2 + adalah

6x2

+

67y2

= 1, = 1

+ 40xy = 2.

Jadi, persamaan bayangan elips x2 +

= 1

&  setelah ditransformasi oleh matriks M =     2 2 adalah 6x + 67y – 40xy = 2.

27. Jawaban: e Misalkan bayangan segitiga KLM setelah   ditransformasi oleh matriks M =   adalah   K′L′M′ dengan koordinat titik K′(xK′, yK′), L′(xL′, yL′), dan M′(xM′, yM′), maka:

 ′   ′

′ ′   ′ ′ 

 =  

    

 =  

  −  

−

 − + =   − +  − =   − −

− −

 ′  −    − +   − + 

  

Dengan demikian, diperoleh koordinat titik K′(–2, –2), L′(2, –2), dan M′(0, 2).

Gambar K′L′M′ pada koordinat kartesius sebagai berikut.

5

Y

Y 4 A′

3 2

3

M′

2

1

1

D′ –2

–1

1

0

X

2

–3

–2

–1

–1

–3 –4

Dari gambar di atas terlihat panjang K′M′ = L′M′. Hal ini berarti K′L′M′ berbentuk segitiga sama kaki. Jadi, bayangan segitiga KLM hasil transformasi   berbentuk segitiga sama 

28. Jawaban: e Misalkan bayangan ABCD oleh transformasi   matriks M =   adalah A′B′C′D′ dengan  −  koordinat titik A′(xA′, yA′), B′(xA′, yA′), C′(xC′, yC′), dan D′(xD′, yD′), maka:

 ′ ′ # ′ $ ′     ′ ′ # ′ $ ′     =     −      − =     −   −  − + =   −  − =  

+

# #

$   $  −   − 

+ − +   − + − 

−   −  Dengan demikian, diperoleh koordinat titik A′(–2, 3), B′(0, 3), C′(2, –1), dan D′(–2, 1). Gambar A′B′C′D′ pada koordinat kartesius sebagai berikut.

1

2

3

X

C′

–2

L′

 matriks M =   kaki.

0 –1

–2

K′

B′

Dari gambar tersebut terlihat, A′C′ tegak lurus B′D′, panjang A′D′ = panjang A′B′, dan panjang C′D′ = panjang C′B′. Hali ini berarti A′B′C′D′ berbentuk layang-layang. Jadi, bayangan ABCD hasil transformasi matriks   M=   berbentuk layang-layang.  − 

29. Jawaban: c Misalkan bayangan PQRS oleh transformasi  −  matriks M =   adalah P′Q′R′S′ dengan  −  koordinat titik P′(–2, 2), Q′(–2, –1), R′(3, –1), dan S′(0, 2), maka:

 ′ ′ ′ ′    =  ′ ′ ′ ′  sehingga diperoleh:   

 −       −   

   −  −   ′ ′ ′ =     −   ′ ′ ′

   − − =       − −  − + − − =  − −  − +

′   ′ 

  

− % −

+   + 

  − − =  

  − −&  − −%   =    − − 




23

Dengan demikian, diperoleh koordinat titik P(–9, –2), Q(–9,

–3 ),

B. Uraian 1.

R(11, 4), dan S(2, 1).

a.

Jadi, koordinat titik sudut bangun PQRS adalah pilihan c.

Menentukan penyelesaian SPLDV menggunakan invers matriks. SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.

     Misalkan A =   , X =   , dan B =   ,  −    maka diperoleh kesamaan matriks AX = B.

Y

det A =

D

6

4

–3

–2

3

 − −  Adj A =    − 

2

A–1 =

0

 − −     −  Dengan demikian, diperoleh: X = A–1B

C

1 –1

1

2

3

4

5

6

7

X

–1 –2

*/;

=

× AC × BF +

| × 32

= |5 × 2 – 6 × 2| × 32 = |10 – 12| × 32 = |–2| × 32 = 2 × 32 = 64 satuan luas Jadi, bayangan ABCD adalah 64 satuan luas.

24

Penerapan Matriks

 − −     − + 

 −     =    −    Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai x = 2 dan y = 3. Jadi, HP = {(2, 3)}.

  matriks M =   adalah A′B′C′D′, maka:   LA′B′C′D′ = */ #$

=|

=–

× AC × DE

×8×3+ ×8×5 =4×3+4×5 = 12 + 20 = 32 satuan luas Misalkan bayangan ABCD setelah ditransformasi =

 − −        −     − × + ( − ) ×  =–  − × + ×   

B

Adj A = –

   = – 

⇔

Dari gambar dapat diketahui: LABCD = LABC + LACD

−

= 3 × (–2) – 5 × 2 = –6 – 10 = –16

5

A

      =     

     − 

30. Jawaban: c Diketahui segi empat ABCD dengan koordinat titik A(–2, 1), B(1, –2), C(6, 1), dan D(3, 6). Gambar segi empat ABCD pada koordinat kartesius sebagai berikut.

=–

b.

Menentukan penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks. Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien

 −   .       − − D = –

–

–

+

+

+

= 3 × 2 × 6 + (–2) × 5 × 1 + 0 × 0 × 0 – 0 × 2 × 1 – 3 × 5 × 0 – (–2) × 0 × 6 = 36 – 10 + 0 – 0 – 0 – 0 = 26

− − Dx = –

–

+

–

+

–

+

+

–

+

+

–

− − Dz = –

+

–

x=

=

+

−&

$

SPLDV a2 = –2, Nilai =

–

=–,

=

−

=

memiliki nilai a1 = 3, 3. , c1 = 2, dan c2 = –4.

= – , dan

= −

–

+

+

+

–

–

+

+

+

SPLDV memiliki tak hingga penyelesaian jika

≠

, maka SPLDV

=

=

.



−     .  −  − −%   

+

 ? − = @ − SPLDV  memiliki nilai a1 = m,  − + @ = − a2 = –4, b1 = –3, b2 = n, c1 = n – 2, dan c2 = –8.

tidak memiliki penyelesaian. b.

+

= 2 × 8 × 3 + (–4) × (–2) × 6 + 1 × (–4) × (–12) – 1 × 8 × 6 – 2 × (–2) × (–12) – (–4) × (–4) × 3 = 48 + 48 + 48 – 48 – 48 – 48 = 0 Oleh karena D = Dx = Dy = Dz = 0, maka SPLTV memiliki tak berhingga penyelesaian.

.

Oleh karena

–

–

 − =   − + = − b1 = –2, b2 =

+

–

− − − Dz = − − − −

z = $ = = 2 Jadi, HP = {(0, –3, 2)}. a.

+

= 2 × (–2) × (–9) + 1 × 6 × 6 + 0 × (–4) × 3 – 0 × (–2) × 6 – 2 × 6 × 3 – 1 × (–4) × (–9) = 36 + 36 + 0 – 0 – 36 – 36 =0

y = $ = = –3

2.

–

–

+

=0

$

+

Dy = − − − − −%

= 3 × 2 × 12 + (–2) × 4 × 1 + 6 × 0 × 0 – 6 × 2 × 1 – 3 × 4 × 0 – (–2) × 0 × 12 = 72 – 8 + 0 – 12 – 0 – 0 = 52 Dengan demikian, diperoleh : $ $

+

= 1 × 8 × (–9) + (–4) × 6 × 3 + 0 × (–2) × (–12) – 0 × 8 × 3 – 1 × 6 × (–12) – (–4) × (–2) × (–9) = –72 – 72 + 0 – 0 + 72 + 72 =0

= 3 × 4 × 6 + 6 × 5 × 1 + 0 × 0 × 12 – 0 × 4 × 1 – 3 × 5 × 12 – 6 × 0 × 6 = 72 + 30 + 0 – 0 – 180 – 0 = –78

–

–

− − − Dx = − − −% −

Dy = –

–

= 2 × 8 × (–9) + (–4) × 6 × 6 + 0 × (–4) × (–12) – 0 × 8 × 6 – 2 × 6 × (–12) – (–4) × (–4) × (–9) = –144 – 144 + 0 – 0 + 144 + 144 = 0

= 6 × 2 × 6 + (–2) × 5 × 12 + 0 × 4 × 0 – 0 × 2 × 12 – 6 × 5 × 0 – (–2) × 4 × 6 = 72 – 120 + 0 – 0 – 0 + 48 =0

–

− − −

−

− −% −

D =

⇔ ⇔ ⇔

=

⇔

? −

= − ⇔ mn = 12 @

=

− @

= @− −

n(n – 2) = 24 n2 – 2n – 24 = 0


25

⇔ (n – 6)(n + 4) = 0 ⇔ (n – 6) = 0 atau (n + 4) = 0 ⇔ n = 6 atau n = –4 Oleh karena n > 0, maka nilai n = 6. Substitusikan nilai n = 6 ke dalam persamaan mn = 12. mn = 12 ⇔ 6m = 12 ⇔ m = 2 Dengan demikian, diperoleh: 4m – 2n = 4 × 2 – 2 × 6 = 8 – 12 = –4 Jadi, nilai 4m – 2n = –4.

 × − ×  =    − × + ×   −  =    − +    =    &  Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai x = 30 dan y = 70. Jadi, banyak pengunjung dewasa dan anak-anak pada hari itu berturut-turut 30 orang dan 70 orang.

Selesaikan permasalahan pada soal nomor 4 dan 5 berikut menggunakan invers matriks atau determinan matriks. 4.

Misalkan: x = banyak pengunjung dewasa y = banyak pengunjung anak-anak Hasil penjualan tiket Rp2.300.000,00, maka 30.000x + 20.000y = 2.300.000 ⇔ 3x + 2y = 230 . . . (1) Jumlah tiket yang terjual 100 lembar, maka x + y = 100 . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV: 3x + 2y = 230 x + y = 100 Menentukan nilai x dan y menggunakan invers matriks. SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.   

        =     

     Misalkan A =  ,  , X =   , dan B =       maka diperoleh kesamaan matriks AX = B.

det A =

=3×1–1×2 =3–2 =1  −  Adj A =    − 

A–1 =

*/;

Adj A

 −   −    =    −   −  Dengan demikian, diperoleh: X = A–1B

=

26

Penerapan Matriks

   −      =  −      

⇔

5.

Misalkan: x = banyak kemasan beras 20 kg y = banyak kemasan beras 10 kg z = banyak kemasan beras 5 kg Jumlah kemasan beras dalam gudang 150, maka: x + y + z = 150 . . . (1)

Banyak kemasan beras 20 kg adalah banyak kemasan beras 5 kg, maka:

x= z ⇔ 3x = 2z ⇔ 3x – 2z = 0 . . . (2) Total beras dalam gudang 1,6 kuintal (1.600 kg), maka: 20x + 10y + 5z = 1.600 ⇔ 4x + 2y + z = 320 . . . (3) Dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh SPLTV sebagai berikut. x + y + z = 150 3x – 2z =0 4x + 2y + z = 320 Menentukan nilai x, y, dan z menggunakan determinan matriks. Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien

    

  − .  

D = –

–

–

−

+

+

+

= 1 × 0 × 1 + 1 × (–2) × 4 + 1 × 3 × 2 – 1 × 0 × 4 – 1 × (–2) × 2 – 1 × 3 × 1 =0–8+6–0+4–3 = –1

⇔ (p – 2) = 0 atau (p + 1) = 0 ⇔ p = 2 atau p = –1 Oleh karena p > 0, maka nilai p = 2. Dengan demikian, diperoleh:

Dx = − –

–

–

+

+

+

    M=  =     −   

= 150 × 0 × 1 + 1 × (–2) × 320 + 1 × 0 × 2 – 1 × 0 × 320 – 150 × (–2) × 2 – 1 × 0 × 1 = 0 – 640 + 0 – 0 + 600 – 0 = –40 Dy = –

–

−

–

+

+

  Jadi, matriks M =  .  

b.

+

  ditransformasi oleh matriks M =    1 adalah B′(x′, y′), maka:

= 1 × 0 × 1 + 150 × (–2) × 4 + 1 × 3 × 320 – 1 × 0 × 4 – 1 × (–2) × 320 – 150 × 3 × 1 = 0 – 1.200 + 960 – 0 + 640 – 450 = –50

 ′     =   ′    =  

Dz = –

–

–

+

+

+

x= y= z=

$ $ $

= = =

− − − − − −

 1 

       −    

= 50

 −  =     Jadi, bayangan titik B(–2, 4) setelah ditransformasi oleh matriks M adalah B′(–4, 0).

= 60

7. Bayangan titik P(a, b) setelah ditransformasi oleh

= 40

Jadi, banyak kemasan beras 20 kg, 10 kg, dan 5 kg berturut-turut 40, 50, dan 60. 6. a.

 1 

 × −;+; ×  =    × −;+;×   − +  =    − + 

= 1 × 0 × 320 + 1 × 0 × 4 + 150 × 3 × 2 – 150 × 0 × 4 – 1 × 0 × 2 – 1 × 3 × 320 = 0 – 0 + 900 – 0 + 0 – 960 = –60 Dengan demikian, diperoleh: $ $ $

Menentukan bayangan titik B(–p, 2p). Titik B(–p, 2p) = B(–2, 2 × 2) = B(–2, 4) Misalkan bayangan titik B(–2, 4) setelah

Bayangan titik A(–4, p) setelah ditransformasi oleh matriks M = A′(p – 22, –6), maka:

   −   

  ′    ′  =  −     

adalah

     

  matriks M =   adalah P′(–9, –5), maka:  

 ′        =     ′       −      ′  ⇔   =          ′    −  −%  ⇔  =        −   − 

⇔

  −   −    −  =  −        

⇔

⇔

 −   −  =    −     − − 

⇔

Dari kesamaan matriks diperoleh: p – 22 = –24 + p2 ⇔ p2 – p – 2 = 0 ⇔ (p – 2)(p + 1) = 0

⇔ ⇔

  × −% + − × −   =      − × −% + × −    −% +   =      −    −   =          −   =     


27

5 Y

Dari kesamaan matriks diperoleh nilai a = –2 dan b = 3. Jadi, kooordinat titik P(–2, 3).

4

A

  matriks M =   adalah (x′, y′), maka   diperoleh kesamaan matriks:

⇔ ⇔

–4 –3

–2 –1

0 –1

1

2

X

3

–2

= × AE × BF + AE × DE

. . . (1)

⇔ 3(–3x′ + y′) – 2 × (4x′ – y′) = 0 ⇔ –9x′ + 3y′ – 4x′ + y′ = 0 ⇔ –13x′ + 4y′ = 0 ⇔ 4y′ = 13x′ Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′) dan (x′, y′) memenuhi persamaan 3y = 2x, maka persamaan bayangan garis 3y = 2x adalah 4y = 13x . Jadi, persamaan bayangan garis 3y = 2x setelah   ditransformasi oleh matriks M =   adalah   4y = 13x .

9. Diketahui segi empat ABCD dengan koordinat titik A(–3, 2), B(–6, –2), C(3, 4), dan D(0, 4). Gambar segi empat ABCD pada koordinat kartesius sebagai berikut.

Penerapan Matriks

E

Dari gambar dapat diketahui: LABCD = LABE + LAECD

y = (–6x′ + 2y′) = –3x′ + y′ . . . (2) Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke dalam persamaan garis 3y = 2x sehingga diperoleh: 3y = 2x ⇔ 3y – 2x = 0

28

2 1

B

  ′ − ′  ⇔   =     − ′ ′  Dari kesamaan matriks tersebut diperoleh:

x = (4x′ – y′)

C

3

8. Misalkan titik (x, y) pada garis 3y = 2x dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh

 ′       ′  =           −     ′  =           ′  −  ′     =        −   ′ 

D

= ×3×4+3×2 = 6 + 6 = 12 satuan luas Misalkan bayangan ABCD setelah ditransformasi  −  matriks M =   adalah A′B′C′D′, maka:   LA′B′C′D′ = | det M| LABCD

=|

− | × 12

= |–3 × 5 – 1 × 8| × 12 = |–15 – 8| × 12 = |–23| × 12 = 23 × 12 = 276 satuan luas Jadi, luas bayangan ABCD adalah 276 satuan luas. 10. a.

Bayangan titik R(–1, 0) dan S(6, 8) setelah    ditransformasi oleh matriks M =    adalah R′(2, –1) dan S′(0, 2), maka:

 ′ ′        =     ′ ′      −  ′ ′      ⇔  =       ′ ′       ⇔    ⇔  

−     −  =       −           =   × −     −    

−   − 

     ⇔   =–      −  

⇔

     

 ⇔    ⇔  

−   − 

 × + ×

=–

× − + × −     −× + × −× − + × − 

Jadi, matriks M =

c.



  −    

  −  

−   − 

Dengan demikian, diperoleh koordinat titik P′(–5, 2) dan Q′(–5, –1). Gambarkan bangun datar P′Q′R′S′ pada koordinat kartesius sebagai berikut.

  . −  

4

Y

3 P′

Menentukan koordinat titik P′ dan Q′. Bayangan titik P(1, –2) dan Q(–8, –14) setelah ditransformasi oleh matriks M=

 − =  

  −    =–     −



  −    

 − − −  =    + − + & 

  + − +    =–  −    − +

   −     ⇔   =      − 

b.

=

  − × − + × −   − × + × −          × +  −  × − × − +  −  × −       

adalah P′ dan Q′, maka:

2

S′

1 –6

–5 Q′

–4

–3

–2

–1 0 –1

1

X

2 R′

–2 –3

 ′ ′   =  ′ ′ 

  −    

  −  

  

=

  −    

  −  

 −     − − 

  

Dari gambar di atas terlihat P′Q′R′S′ memiliki sepasang sisi sejajar, yaitu P′S′ sejajar dengan Q′R′. Bangun datar yang memiliki sepasang sisi sejajar dinamakan trapesium. Oleh karena P′Q′ tegak lurus dengan Q′R′, maka P′Q′R′S′ berbentuk trapesium sikusiku.


29

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. mendeskripsikan dan menganalisis konsep skalar dan vektor; 2. mendeskripsikan dan menyelesaikan operasi aljabar vektor; 3. mendeskripsikan dan menyelesaikan masalah jarak dan sudut dua vektor; 4. memecahkan masalah dengan menggunakan kaidah-kaidah vektor. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik: 1. menunjukkan perilaku disiplin, sikap kerja sama, sikap kritis, dan cermat dalam bekerja menyelesaikan masalah kontekstual; 2. memiliki dan menunjukkan sikap ingin tahu, motivasi internal, rasa senang dan tertarik, dan percaya diri dalam melakukan kegiatan belajar ataupun memecahkan masalah nyata.

Vektor

Operasi Aljabar Vektor

• • • • • •

Perkalian Skalar Dua Vektor

Mendeskripsikan konsep vektor. Menjelaskan penjumlahan dan pengurangan dua vektor. Menjelaskan perkalian skalar dengan vektor. Mendeskripsikan panjang dua vektor. Mendeskripsikan jarak antara dua vektor. Menjelaskan perbandingan dua vektor.

• • • • •

Menjelaskan hasil perkalian skalar dua vektor. Mendeskripsikan sudut antara dua vektor. Menjelaskan kedudukan dua vektor yang saling tegak lurus. Menjelaskan sifat perkalian skalar dua vektor. Menentukan hasil perkalian skalar dua vektor.

Proyeksi Vektor

• • • • •

Memiliki sikap logis, kritis, kreatif, disiplin, dan rasa ingin tahu, serta memiliki rasa percaya diri dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor.

30

Vektor

Mendeskripsikan proyeksi skalar. Menjelaskan proyeksi skalar ortogonal. Menjelaskan proyeksi vektor ortogonal. Menentukan proyeksi skalar ortogonal. Menentukan proyeksi vektor ortogonal.

A. Pilihan Ganda 1.

Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan 3x – y = 7. 3x – y = 7 ⇒ 3 × 2 – y = 7 ⇔ 6–y=7 ⇔ y = –1 Jadi, nilai x – y = 2 – (–1) = 3.

Jawaban: b D

C

G A

G

5. B

JJJG JJJG JJJG JJJG + + + JJJG JJJG JJJG JJJG = + ( + ) + JJJG JJJG JJJG JJJG = + ( + ) + G G G G G = + ( + ) + + ( – G G G G G G = + + + + – G G = + 3 2.

 −   G G G ⇔ = 3 – 2 = 3  – 2       −   −     −  =   –   =    −   − 

JJJG JJJG + ( + ) JJJG JJJG + ( – ) G )

6.

Jawaban: c G = 6 – 5 + 4 G = + 3 – 2 G G + 3 = (6 – 5 + 4 ) + 3( + 3 – 2 ) = 6 – 5 + 4 + 3 + 9 – 6

Jawaban: a JJJG G G   G

= = – =   –   JJJG G G  G = = ! – =  −   

     − =          –   =  −      G         G  

+ =   +  −  =   +  −  =  −           

4.

Jawaban: b G G G = x + y ⇒ 7 – 8 = x(3 – 2 ) + y(– + 4 ) ⇔ 7 – 8 = 3x – 2x – y + 4y ⇔ 7 – 8 = (3x – y) + (–2x + 4y) Dari kesamaan vektor di atas diperoleh persamaan 3x – y = 7 dan –2x + 4y = –8. Eliminasi y dari kedua persamaan. 3x – y = 7 |× 4| 12x – 4y = 28 –2x + 4y = –8 |× 1| –2x + 4y = –8 ––––––––––– + 10x = 20 ⇔ x=2

   −    

Jawaban: a G G 2 – = 2( – 2 + 3 ) – (2 + – 4 ) = (2 – 4 + 6 ) – (2 + – 4 ) = (2 – 2) + (–4 – 1) + (6 + 4) = 0 – 5 + 10 G G |2 – | =

= 9 + 4 – 2 3.

Jawaban: a G G G 3 – = 2

=

+ − + + +

= G G Jadi, panjang vektor (2 – ) adalah .

=

7.

Jawaban: e JJJG JJJJG JJJG = –            =  −  –   =  −             JJJG   = 3 ⇒

+ − + = 3

⇔

+ + = 3

⇔

+ = 3

⇔ 4x2 + 5 = 9 ⇔ 4x2 = 4 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = – 1 atau x = 1 Oleh karena x > 0 maka x = 1. Jadi, nilai x = 1.


31

8. Jawaban: a G = − −

yP =

G B(–2, 3, 4) ⇔ = − + + G JJJG = –( ) G G G ⇒ − = – G G G ⇔

= +

# + # +

zP =

$ + $ +

× − + ×

=

− + %

B. Uraian

     −  JJJG G G       = − =  −  –   =  −       −       G G  +     JJJG = " − =    –   =   −     − − 

Titik A, B, dan C segaris sehingga diperoleh hubungan berikut. JJJG JJJG k =  −     −    k  =    −   − − 

S

1.

P

T

JJJG JJJG G G = dan & = JJJG JJJG JJJG a. & = + & JJJG JJJG = – + & G G = – + JJJG JJJG b. =

Q

JJJG JJJG = ( + ) JJJG JJJG = ( + & )

Dari kesamaan vektor diperoleh: –2k = 4 ⇔ k = –2 –4k = p ⇒ p = –4 × (–2) = 8 (1 – q)k = –8 – q ⇒ (1 – q) × (–2) = –8 – q ⇔ –2 + 2q = –8 – q ⇔ 3q = –6 ⇔ q = –2 Jadi, nilai p + q = 8 + (–2) = 6.

G G = ( + ) G G = +

c.

JJJG JJJG JJJG '& = ' + &

JJJG JJJG = – ' + & JJJG JJJG = – + & G G =– +

10. Jawaban: b 5 3 A(11, 3, –2)

R

O

 −     −    ⇔    =   −   − − 

d.

–2 P

JJJG JJJG : = 5 : –2 ⇔

Vektor

=

9. Jawaban: c

32

+

= =1 Jadi, koordinat titik P(8, 6, 1).

G Diperoleh vektor posisi titik A adalah = − − . Jadi, koordinat titik A(5, –3, –1).

+ +

=

= − −

xP =

× + ×

= =6

= ( − + + ) + ( − − )

⇒

=

B(6, 8, 3)

JJJG JJJG : = 3 : 2

=

× + ×

=

+

=

=8

JJJG JJJG JJJG ' = + ' JJJG JJJG = – + (– ' ) JJJG JJJG = – & – G G = – –

2.

 G

= 2 – 4 – 2 =  −     − 

b.

 − G = – + 6 – 2 =      −  G G G a. " = 3 +

⇒

 −     = 3 − +        −   − 

=

b.

+ + =

adalah

G G G G 4 – 2" + 3 = G G G ⇔ 2" = 3 + 4

a.

Menentukan koordinat titik A.

Q

A

Titik A membagi PQ di dalam dengan perbandingan 1 : 2 maka PA : AQ = 1 : 2. =

× + ×

= =2

yA =

× # + × # +

=

× + ×

= =1

zA =

× $ + × $ +

=

× − + ×

+ + −

xB =

+

=

+

=2

=

+ + %

yB =

# + #

=

+

=0

=

zB =

$ + $

=

−

=1

       − 

G "

%

= =3 Diperoleh koordinat titik A(2, 1, 3). Titik B merupakan titik tengah PR maka koordinat titik B:

    G " =   =        −   − 

Jadi, vektor satuan dari

adalah

( + 6 – 7 ).

Diperoleh koordinat titik B(2, 0, 1). Menentukan koordinat titik C.

A(–4, 5, 2); B(2, –1, 3); C(3, –2, 1) a.

2

1 P

× + × +

G |" | =

4.

xA =

⇔

3.

G "

(5 – 6 – 8 ).

 −   = 3  −  + 4        −   −     −  =  −  +   =      −   − 

       −           #  =  −  –  −  +    $   −   −          

   −         =  − +   =  −            Jadi, koordinat titik D(7, –6, 6).

+ − + −

Jadi, vektor satuan dari

   −              #  –   = 2  −  – 3  −  −  −  $          

⇔

   −   =  −  +   =  −         −   −   −  G |" | =

Misalkan koordinat titik D(x, y, z). JJJG JJJG JJJG = − G G JJJG JJJG ⇔ * − = −

   −   JJJG G G     = " − =  −  –   =  −      −           JJJG G G = " − =  −  –  − =  −      −       

2 1 Q

R

C

Titik C membagi QR di luar dengan perbandingan 2 : 1 maka QC : CR = 2 : (–1). xC =

× − × −

=

× − ×

=2

yC =

× # − × # −

=

× − ×

= –3


33

zC =

× $ − × $ −

= × − − × − − +

= –5

Diperoleh koordinat titik C(2, –3, –5). Titik A, B, dan C kolinear jika memenuhi JJJG JJJG = k .

P

a.

   JJJG G G       = − =   −   =  −      −        G G JJJG = " −

c.

       JJJG  −  −   =  −  =  −  =       = 4    −     −   −  Jadi, terbukti titik A, B, dan C kolinear dengan k = 4. JJJG JJJG Perbandingan panjang :

     JJJG G G       = " − =  −  −   =  −   −     −        JJJG | | = + − + − = JJJG | | =

Q

U

=

b.

5.

+ + =

+ − + −

=

+ % +

=

= 3

B

Gerakan pesawat mainan dinyatakan JJJG sebagai . JJJG Gerakan angin dinyatakan sebagai / . Gerakan pesawat mainan akibat tertiup angin JJJG dinyatakan sebagai . JJJG   = 30 JJJG JJJG   = / = 16 JJJG JJJG JJJG  2 =  2 +  2 = 302 + 162 = 900 + 256 = 1.156

JJJG  2 = 1.156 JJJG ⇔   = 34

Jadi, kecepatan pesawat mainan akibat tertiup angin 34 km/jam. JJJG

b.

? / ? JJJG = = 0,8824 sin ∠QPU = ? ? ∠QPU = arc sin 0,8824 ≈ 61,93° Jadi, besar sudut arah lintasan pesawat mainan terhadap arah angin kurang lebih 61,93°.

JJJG JJJG Jadi, perbandingan panjang :

=

: 3 = 1 : 3.

A. Pilihan Ganda 1.

Jawaban: b JJJG G      −  G = – =   –  −  =         JJJG G  −     −  G = " – =   –   =  −       JJJG JJJG  −   −  · =   ·  −     = –3 × (–4) + 5 × (–1) = 12 – 5 =7 34

Vektor

2. Jawaban: c   G G  −   

=   dan =      −    G G    

· =  −  ·  −     

= 4 × 4 + (–2) × (–2) + 1 × 1 = 16 + 4 + 1 = 21

  G G     · =  −  ·      − 

= 4 × 3 + (–2) × 2 + 1 × (–2) = 12 – 4 – 2 =6 G G G G G G G · ( + ) = · + · = 21 + 6 = 27 3. Jawaban: d G = 2 + 3 – 2 G = a – 2 + 4

G G · = –4 ⇒ 2 × a + 3 × (–2) + (–2) × 4 = –4 ⇔ 2a – 6 – 8 = –4 ⇔ 2a = 10 ⇔ a=5 G Diperoleh = 5 – 2 + 4 , sehingga: G G + = (2 + 3 – 2 ) + (5 – 2 + 4 )

JJJG JJJG

· = 3 × 2 + 2 × 3 + 4 × (–3) = 6 + 6 – 12 =0 JJJG | | = + + = JJJG | | =

=

    JJJG G G      

= – =   –  − =      −      JJJG G G      

= – =   –  − =    −   −  − 

+ + − ++ =

JJJG JJJG

⋅ cos α = JJJG JJJG =

×

=0

π

⇒ α=

π

Jadi, besar sudut ABC = . 6. Jawaban: a

G G Misalkan α = sudut antara vektor a dan b .

cos α = =

4. Jawaban: c G G Oleh karena vektor a tegak lurus dengan vektor c , G G berlaku a · c = 0.

5. Jawaban: b

Misalkan sudut ABC = α, maka:

= 7 + + 2

⇒ 1 × 2 + 2 × 1 + (–x) × 2 = 0 ⇔ 2 + 2 – 2x = 0 ⇔ –2x = –4 ⇔ x=2 G a

Diperoleh = + 2 – x = + 2 – 2 . G G a · a = 1 × 1 + 2 × 2 + (–2) × (–2) = 1 + 4 + 4 = 9 G G b · a = 3 × 1 + (–2) × 2 + 1 × (–2) = 3 – 4 – 2 = –3 G G a · c = 1 × 2 + 2 × 1 + (–2) × 2 = 2 + 2 – 4 = 0 G G b · c = 3 × 2 + (–2) × 1 + 1 × 2 = 6 – 2 + 2 = 6 G G G G G G G G G G G G ( a + b )( a – c ) = a · a + b · a – a · c – b · c = 9 + (–3) – 0 – 6 =0 G G G G Jadi, ( a + b )( a – c ) = 0.

+ + =

G G G G

× × × ×

=

×

=

=

×

=

×

=

Oleh karena cos α =

maka α = 30°. G G Jadi, besar sudut antara vektor a dan b adalah 30°.

7. Jawaban: a G G Oleh karena vektor dan saling tegak lurus, G G berlaku · = 0. ⇒

    −  ·  − = 0      −   

⇔ 3 × 2 + (–6) × (–1) + (–4) × x = 0 ⇔ 6 + 6 – 4x = 0 ⇔ 12 – 4x = 0 ⇔ 4x = 12 ⇔ x=3  G Diperoleh vektor =  − .    Matematika Kelas XII

35

   −  JJJG JJJG     ! · =   ·           = 4 × (–4) + 0 × 6 + 0 × 0 = –16 JJJG | | = − + +

  G   G G – 2 + 3 =  −  – 2  − + 3  −         −          =  −  –  −  +  −         −      =  −     − 

!

1.

   −   G G =   dan =  −    − 

a.

      G G · =  − ·  −     − 

= 4 × 2 + (–1) × (–3) + 2 × (–2) =8+3–4 =7

b.

      G G · =  − ·  −  

= 4 × 4 + (–1) × (–1) + 2 × 2 = 16 + 1 + 4 = 21 G G G G G G G · (2 + ) = 2 · + · = 2 × 7 + 21 = 35

a=±

Vektor

=–

B. Uraian

.

c.

10. Jawaban: d

36

− ×

2(–1 + a2) = 3 + a2 –2 + 2a2 = 3 + a2 a2 = 5

         

     −        =   –   =              

=

JJJG Jadi, nilai kosinus sudut antara vektor ! dengan JJJG vektor adalah – .

        π ⇒   ·  −  = + + + + cos         ⇔ 1 – 2 + a2 = (1 + 2 + a2) ×

  JJJG   JJJG ! =   , ! =     JJJG JJJG JJJG = ! – !

=

JJJG JJJG

9. Jawaban: d G G G G G G · = | | | | cos ∠( , )

Jadi, nilai a adalah – atau

=

! ⋅ cos α = JJJG JJJG

=2×0–0 =0

⇔

+ +

JJJG Misalkan sudut antara vektor ! dengan vektor JJJG adalah α.

8. Jawaban: b G G G G ⊥ ⇔ · =0 G G G ⊥ ( + 2 ) = 0 G G G ⇔ · ( + 2 ) = 0 G G G G ⇔ · + 2 · = 0 G G ⇒ 0 + 2 · = 0 G G ⇔ 2 · = 0 G G ⇔ · =0 G G G G G G G ⋅ − = ⋅ − ⋅

⇔ ⇔ ⇔

=

d.

      G G · =  −  ·  −   −   − 

= 2 × 2 + (–3) × (–3) + (–2) × (–2) = 4 + 9 + 4 = 17 G G G G G G G G ( + ) · ( – ) = · – · = 17 – 21 = –4 G G G G (2 + ) · ( – 3 ) G G G G G G G G = 2 · – 6 · + · – 3 · G G G G G G = 2 · – 5 · – 3 · = 2 × 17 – 5 × 7 – 3 × 21 = 34 – 35 – 63 = –64

2.

a.

G G Vektor tegak lurus dengan maka: G G · = 0

c.

 −        ⇒   ·  − = 0        ⇔ –2 × 3 + x × (–1) + 5 × 2 = 0 ⇔ –6 – x + 10 = 0 ⇔ –x + 4 = 0 ⇔ x=4 G G Vektor sejajar dengan maka: G G = m

⇒

  "     − = m    −        

⇔

  "      − = m  −       

⇔

   "#       − =  −#     #     

d.

4.

–1 = –2m ⇔ m =

ym = 3 ⇒ y × = 3 ⇔ y=3×2=6 Jadi, nilai x = 4 dan y = 6.

 −     "  G G G       + – =   +  − −  −              −      =   +  − −  −  =                  G G G Jadi, hasil operasi ( + – ) –5 + 5 + 3 .

3.

 −         adalah

G G | | = 13 dan | | = 8

A(4, 3, 2), B(2, 4, 2), dan C(3, 1, 2)      −  JJJG G G = – =   –   =                  − JJJG G G = – =   –   =  −            JJJG JJJG · = –2 × (–1) + 1 × (–2) + 0 × 0 =2–2+0 =0 JJJG | | = − + +

Dari kesamaan vektor diperoleh:

b.

G G G G | + |2 = ( + )2 G G G G = ( + ) · ( + ) G G G G G G G G = · + · + · + · G G G G = | |2 + 2 · + | | 2 = 132 + 2 × 40 + 82 = 169 + 80 + 64 = 313 G G 2 | + | = 313 G G ⇔ | + | = G G G G | – |2 = ( – )2 G G G G = ( – ) · ( – ) G G G G G G G G = · – · – · + · G G G G = | |2 – 2 · + | |2 = 132 – 2 × 40 + 82 = 169 – 80 + 64 = 153 G G | – |2 = 153 G G ⇔ | – | = = 3

=

+ +

=

JJJG | | =

=

− + − + + +

= Misalkan sudut BAC = α, maka: JJJG JJJG

⋅ cos α = JJJG JJJG =

tan α = ⇔ cos α = G G G G a. · = | | | | cos α = 13 × 8 × = 40 G G G G G G G b. · ( + ) = · + · G G G = | |2 + · = 132 + 40 = 169 + 40 = 209

×

=0

⇒ α = 90° Diperoleh besar ∠BAC = 90°. JJJG JJJG Oleh karena | | = | | maka segitiga ABC sama kaki, sehingga:

∠ABC = ∠ACB = (180° – 90°) = 45° Jadi, ∠BAC = 90° dan ∠ABC = ∠ACB = 45°.


37

5.

G G G G G Vektor , , dan segaris maka = n dan G G = m .

Dari kesamaan vektor diperoleh: x=m×1⇔m=x –4 = m × (–x) ⇒ –4 = x × (–x) ⇔ 4 = x2 ⇔ x = ±2 Oleh karena x bilangan bulat positif maka x = 2. 6 = mz ⇒ 6 = xz ⇔ 6 = 2z ⇔ z=3 Dengan demikian diperoleh: G = x – 4 + × y = 2 – 4 + × 12

   $    G G = n ⇒  −  = n  − "         "  


–4 = –ny ⇔ n = " y

= 18n ⇒ y = " × 18 ⇔ y2 = 4 × 36 ⇔ y = ±2 × 6 = ±12 Oleh karena y bilangan bulat positif maka y = 12. G G = m

⇒

⇔

⇔

     −  = m  −        $ 

A. Pilihan Ganda 1.

Jawaban: d

  G G # =  − dan % =  −     

G G Proyeksi skalar ortogonal # pada %

= = =

G G #⋅% G % × + − × − + −

+ +

= =2

38

Vektor

      G G G · ( – ) =  −  ·   −  −  −                  

       −  = m  −       $   "          −  = m  −       $   ⋅   

= 2 – 4 + 6 G = 2z – y + 18 = 2 × 3 – 12 + 18 = 6 – 12 + 18 G = – x + z = – 2 + 3

    =  −  ·  −         

= 2 × 5 + (–4) × (–10) + 6 × 15 = 10 + 40 + 90 = 140 G G G Jadi, nilai · ( – ) = 140.

2.

Jawaban: d

   −  G G   + = 4   +    −          −      =   +    −            =    −     −   −  G = 2   =        

G G G Proyeksi skalar ortogonal ( + ) pada =

=

G G G + ⋅ G

   −        ⋅    −        − + − + +

=

−

+ +

=

.

G G Proyeksi vektor ortogonal pada G G

⋅ G = G

=

3. Jawaban: c

=1 ⇒

+ − × + − × − + + − − +

⇔ ⇔

⇔ ⇔ Jadi, nilai m adalah 2.

=

=

= 2m = 4 m=2

=

G G Proyeksi skalar ortogonal pada = . G G ⋅ G

× + × + × + +

⇔

+

⇔

+ +

+

× + ×

   +    (2 + )

(2 + )

= 4 + 2 6. Jawaban: d G G Proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b G G

= G

=

4. Jawaban: a

⇒

=

5. Jawaban: d G

= 3 + 4 G = 2 +

=– =– G G

⋅ G

+ +

G G Jadi, panjang ( – ) =

− + +

=

G G | – | =

=

G b

× − × ×

(

(2

)

+ 2 + )

=

= 2(2 + 2 + )

=

= 4 + 4 + 2

= =4×6

⇔ 16 + 32a + 16a2 = 24(2 + a2) ⇔

4 + 8a + 4a2 = 6(2 + a2)

⇔

4 + 8a + 4a2 = 12 + 6a2

⇔ 2a2 – 8a + 8 = 0 ⇔ a – 4a + 4 = 0 ⇔ (a – 2)2 = 0 ⇔ a–2=0 ⇔ a=2 Dengan demikian diperoleh: G = 4 + a + 3 = 4 + 2 + 3 G = + + a = + + 2 G G – = (4 – 1) + (2 – 1) + (3 – 2) = 3 + +

(2 + 2 + )

G G Jadi, proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b adalah 4 + 4 + 2 .

7. Jawaban: c

 −    −  JJJG G G       = – =

  −  − =    −   −  −            JJJG G G       = –

=   −  − =    −   −  −        −  JJJG JJJG     · =   ·    −   −     = –3 × 3 + 5 × 1 + (–1) × (–2) = –9 + 5 + 2 = –2


39

JJJG JJJG Proyeksi vektor ortogonal pada JJJG JJJG ⋅ JJJG = JJJG

= =

(

− + + −

− + +

)

⇔

(3 + – 2 )

Dengan demikian,

8. Jawaban: e G G G G π · = | || | cos

(– )

= 12 × 4 × = –24 G G Proyeksi vektor pada G G ⋅ G G G − G = G = = – = –

9. Jawaban: e

 −     −  JJJG G G       ! = – =   −  − =  +   −  −   −              JJJG G G       " = # – =  −  −  − =  −   −   −           −    JJJG JJJG     ! · " =  +  ·  −   −        = –3 × 2 + (a + 1) × (–2) + (–8) × 1 = –6 – 2a – 2 – 8 = –2a – 16 JJJG JJJG Proyeksi vektor ortogonal ! pada " adalah –4 + 4 – 2  −  JJJG   " =    −       −   =    −       −     

JJJG JJJG ! ⋅ " JJJG "

⇒

− − + − +

   −  − −     −  =   + +     −     

⇔

40

⇔

(3 + – 2 )

= – (3 + – 2 )

⇔

   −    =    −       −          − −   = –2    −   −          − −

Vektor

− −

=–2

⇔ –2a – 16 = –18 ⇔ –2a = –2 ⇔ a=1 Jadi, nilai a = 1. 10. Jawaban: b G G G G G merupakan proyeksi pada maka dan

 −    G G   kolinear sehingga = n diperoleh  −  = n   .   −     

–4 = na ⇔ n = –

. . . (1)

4 = nb ⇔ n = –

. . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh a = –b. cos θ =

GG G G

− −

⇒

=

⇔

=

⇔

=

⇔

=

⇔

48 = 3 +

⇔

16 =

+ + + + − + + + + + +

+

⇔ 256 = 2b2 + 144 ⇔ b2 = 56 ⇔

b = ±

⇔

b = 2 atau b = –2 (tidak memenuhi)

Jadi, nilai b = 2 .

G G Proyeksi vektor ortogonal pada = –2 + – 2

B. Uraian 1.

G   −  G

=   dan =      

a.

G G Proyeksi skalar ortogonal pada :

=

b.

G G

⋅ G

=

   −   ⋅     

G G

⋅ G

=

− +

= = 2 − + G G Proyeksi vektor ortogonal pada : G =

2.

G G ⋅ G

G  −  =   =  

⇒

   −         

     

  =    

⇔

  =    

b.

3.

G

   −       −  =      −     

    −      

 −  − 

    −    × (–2)    −     −  

    −    −

⇔

⇔

  −      − =       −     

− + +

⇔

JJJG G    −   G = – =  − –  − =         JJJG JJJG a. Proyeksi vektor pada : JJJG JJJG JJJG ⋅ JJJG JJJG $ = × + × +

+ − +

⇔

A(2, 3), B(–1, –1), dan C(5, –1) JJJG G    −   G = – =   –  − =        

=

−

−

 −  G   =    −   

 −    =    −     −    =    −     −    =    −     −    =    −   


 =     JJJG G G $ = % – JJJG G G    −   ⇔ % = $ + =   +  − =  −       Jadi, koordinat titik D(2, –1).      JJJG G G       = ! = – =   −   =    −     −       

     JJJG G G G       − − = " = # – =     =  −               G G     · =   ⋅  −  = 4 × 4 + a × (–2) + (–4) × 4  −        = 16 – 2a – 16

=1⇔ a =9

Jadi, nilai a = 9. 4.

G G Proyeksi skalar ortogonal pada = − G G ⋅ G

⇒

× + − × + − × − + + −

= − = −

⇔

− + + +

= −

⇔

−

= −

⇔ 4a – 22 = − × ⇔ 4a – 22 = –10 ⇔ 4a = 12 ⇔ a=3 G Dengan demikian, diperoleh = – 5 – 3 .

= –2a


41

G G Proyeksi vektor ortogonal pada : G G ⋅ G

G =

× + × − + − × −

( + − + − )

JJJG JJJG JJJG Proyeksi vektor ortogonal pada = $ JJJG JJJG JJJG ⋅ JJJG $ = JJJG

G

− +

= + + ( – 5 – 3 ) = =

=

− ( – 5 – 3 ) – ( – 5 – 3 )

 −   −      =  =          JJJG JJJG Jadi, proyeksi vektor pada adalah

– ( – 5 – 3 ).

B(1, 1, 1)

A(5, –3, –6)

a.

D

− + +

 −        

 −   −      = + +   =          

G G Jadi, proyeksi vektor ortogonal pada adalah

5.

C(–2, 4, –6)

b.

     −  JJJG G G       = – =   −  −  =      −         

 −      atau –4 + 4 .     JJJG $ merupakan garis tinggi segitiga ABC JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG $ = + $ = $ –  −   −        =   −   =        −       

 −     −  JJJG G G     = – =   −  −  =    −   −         

JJJG | $ | =

 −   −  JJJG JJJG     · =   ·          = –4 × (–7) + 4 × 7 + 7 × 0 = 28 + 28 + 0 = 56

c.

+ + − = = 7 Jadi, tinggi segitiga ABC = 7. JJJG | | = − + + =

+ + =

= JJJG JJJG Luas segitiga ABC = × | | × | $ |

= × ×7=

JJJG JJJG JJJG = $ + $ G G = + ' JJJG JJJG JJJG G G G G G G G – $ + = – + ' – (– + ) + + ' G G G G G G G = – + ' + – + + ' G G = + 2'

A. Pilihan Ganda 1.

Jawaban: e JJJG JJJG JJJG = & + & JJJG JJJG JJJG = $ + ( &$ + $ ) JJJG JJJG JJJG = $ – $& + $ G G G A = – + ' JJJG JJJG JJJG G $ = + $ JJJG JJJG = – + $ G G = – + B

42

Vektor

G

D

G

G

E

2.

G '

C

Jawaban: d G = 4 – 2 + G = 3 + 2 – 5

G G 2 – 3 = 2(4 – 2 + ) – 3(3 + 2 – 5 ) = (8 – 4 + 2 ) – (9 + 6 – 15 ) = – – 10 + 17

3. Jawaban: e G G G 3( – 2 + ) = –9 – 15 + 6 G G G ⇔ 3 – 6 + 3 = –9 – 15 + 6 ⇒

⇔

*      −          3   – 6   + 3  −  =  −    -               *       −          – +  −  =  −            -         

 *   −      ⇔  −  =  −  −-        Dari kesamaan vektor diperoleh: 3x = –9 ⇔ x = – 3

–12y = 6 ⇔ y = –

Nilai x – y = –3 – (– ) = –2

4. Jawaban: b G G JJJG G   −   −   = = ( – ) =    −        −   −  =   

− =    Jadi, koordinat titik P(–1, 2). 5. Jawaban: d      JJJG G G ! = – =   –   =          −    −  JJJG | ! | = + + −

=

++

=

=

JJJG Vektor satuan dari ! : JJJG ! JJJG !

= (3 + 3 – 3 ) =

( + – )

6. Jawaban: b G G G G G G 5% + 3 + 2 = 2 + 3% – 2 G G G G G ⇔ 2% = 2 – 2 – 3 – 2 G G G = 2 – 4 – 3

    −        =   −   −  −   −   −               −        =   −   −  −   −   −           − +    =  − +   − + −     −    =    −     −   −        =    −   −     G Jadi, vektor % = –4 + 8 – . G ⇔ % =

7. Jawaban: b  JJJG G G = – =   –   *

 −      =  −       * +   − 

 −      JJJG G G = – =   –   =  −       −       

Titik A, B, dan C segaris maka: JJJG JJJG k = ⇒

 −   −  k  −  =  −         * + 

 −   −  ⇔  −  =  −         * + 

Dari kesamaan vektor diperoleh: –2k = –6 ⇔ k = 3 (x + 2)k = 12 ⇒ (x + 2) × 3 = 12 ⇔ x+2=4 ⇔ x=2 Jadi, nilai x = 2.


43

8. Jawaban: a

Panjang ST: JJJG | ;< | = * < − * ; + - < − - ; + / < − /;

G  −    G

=   dan =       Oleh karena AC : CB = 1 : 3 maka: G G G G + G = + = ( + 3 )  −     =    + 3       

=

     +  

A

+

yP =

- + - +

=

× − + ×

=

− +

zP =

/ + / +

=

× + × −

=

−

=

=2

- + -!

=

+

=2

/ + /!

=

+

=3

Diperoleh koordinat titik S(2, 2, 3). Titik T merupakan titik tengah QR maka: xT = yT = zT =

*! + *" -! + -" /! + /"

= = =

+ + +

=4 =1 =2

Diperoleh koordinat titik T(4, 1, 2).

44

Vektor

C

    =   =      

=2

10. Jawaban: d Titik S merupakan titik tengah PQ maka: =2

1

    −   =   −     

= –2

 −     −  JJJG G G = − =   –  −  =            JJJG Jadi, = –4 + 7 + 2 .

=

B

    −   =    −       

Diperoleh koordinat titik P(2, –2, 2).

+

2

G G G G G − = = (3 – ) −

× + ×

* + * +

.

Titik C membagi garis yang melalui titik A dan B di luar dengan perbandingan 3 : 1 sehingga AC : CB = 3 : –1. Oleh karena AC : CB = 3 : –1 maka:

=

xP =

–1

9. Jawaban: c A(2, 1, –4) dan B(2, –4, 6) AP : PB = 3 : 2

zS =

+ + =

3

Jadi, koordinat titik C(0, 10).

yS =

=

11. Jawaban: c

 −       

  =    

xS =

− + − + −

Jadi, panjang ST =

  =    

* + *!

=

Jadi, koordinat titik C(2, 3). 12. Jawaban: c V

U

G

G

S

G

T

5

R

Q

G

G

O

3

2 P

JJJG JJJG JJJJG G >! = > + >" = + JJJJG JJJJG ?@ : !@ = 5 : 2 maka

W

G JJJG JJJJG ?! : !@ = 3 : 2

Dengan demikian, JJJG JJJJG G JJJG G !@ = ?! = (– >; ) = (– ) = – JJJJG JJJJG JJJJG >@ = >! + !@ G G G = ( + ) – G G G = + –

13. Jawaban: b A(1, –4), B(4, 3), dan C(2, –5)   G   G G

=  −  , =   , dan =  −        JJJG      G G = – =  −  –  −  =  −       JJJG G      −  G = – =  −  –   =  −        JJJG JJJG    −  · =  − ·  −      = 1 × (–2) + (–1) × (–8) = –2 + 8 =6 14. Jawaban: c G G G G

· = | | | | cos 45°

=4×3× =6 15. Jawaban: a G G    − 

⋅ = 12 ⇒  F  ·  −  = 12     ⇔ –6 – 3n = 12 ⇔ –3n = 18 ⇔ n = –6 Jadi, nilai n = –6. 16. Jawaban: e G G ( )· =7 ⇒

⇔

17. Jawaban: e G G G

· = | |2 G G G G ⇔

· = · ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

      −  ·   =  −  ·  −           *     *   *  36 – 6 + 3x = 16 + 4 + x2 x2 – 3x – 10 = 0 (x – 5)(x + 2) = 0 x – 5 = 0 atau x + 2 = 0 x = 5 atau x = –2

 G   Oleh karena x < 0, maka x = –2 diperoleh =  −  .  −      −  G G      −  −

– =   –   =   −      −  G G | – | = − + − + −

+ + = × = G G Jadi, panjang ( – ) adalah .

=

18. Jawaban: a G G = + 2 dan = 4 + 2 G G ⋅

cos θ = G G

   −     −  ·  −  = 7             −      −  ·  −  = 7       

⇔ 2 × (–1) + (–3) × (–2) + 3 × a = 7 ⇔ –2 + 6 + 3a = 7 ⇔ 4 + 3a = 7 ⇔ 3a = 3 ⇔ a=1  − G   Dengan demikian, =  −      G G + 2 = (4 – 6 + 6 ) + 2(– – 2 + ) = 4 – 6 + 6 – 2 – 4 + 2 = 2 – 10 + 8

× + ×

=

5

+ × + +

=

3 θ

×

4

= =

cos θ = ⇔ sin θ =

Jadi, nilai sin θ = . 19. Jawaban: c G G

· = (4 – 2 + 2 ) · ( + + 2 ) = 4 × 1 + (–2) × 1 + 2 × 2 =4–2+4=6 G | | = + − + = G | | =

+ + =

= 2

+ + =

+ + =

G G Misalkan sudut yang dibentuk oleh vektor dan adalah α.

cos α =

G G

⋅ G G

=

×

= =


45

Oleh karena cos α = , diperoleh α = 60°. G G Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh vektor dan adalah 60°. 20. Jawaban: b Posisi balok dapat digambarkan sebagai berikut. Z

H(0, 4, 4)

E G

F

A(0, 0, 0)

B(2, 0, 0)

D(0, 4, 0)

Y

C(2, 4, 0)

X

JJJG G G = –

= (2 – 0) + (0 – 0) + (0 – 0) = 2 + 0 + 0 G JJJG G H = I – = (0 – 2) + (4 – 0) + (4 – 0) = –2 + 4 + 4 JJJG JJJG · H = 2 × (–2) + 0 × 4 + 0 × 4 = –4 + 0 + 0 = –4 JJJG | | = + + =

JJJG | H | = = =

=2

− + +

G G | + |2 = 82 G G G G ⇔ ( + ) · ( + ) = 64 G G G G G G ⇔ · + 2 · + · = 64 G G ⇔ 16 + 2 · + 36 = 64 G G ⇔ 2 · = 12 G G

· =6 ⇔ G G G G G G | – |2 = ( – ) · ( – ) G G G G G G = · – 2 · + · = 16 – 2 × 6 + 36 = 52 – 12 = 40 G G Jadi, hasil | – | = = 2 .

23. Jawaban: b  −      JJJG G G ! = – =   –  −  =                   JJJG G G !" = # – =   –   =            −  JJJG JJJG ! tegak lurus !" berarti: JJJG JJJG ! · !" = 0 ⇒ –2a + 6 + 2(c – 5) = 0 ⇔ –2a + 6 + 2c – 10 = 0 ⇔ –2(a – c) = 4 ⇔ a – c = –2 Jadi, hasil a – c = –2.

24. Jawaban: e Cara 1:

+ +

H

E

⋅ H JJJG JJJG H

−

4 cm

JJJG JJJG Jadi, nilai kosinus sudut antara dan H

adalah – .

D

= 22 + 2 × 5 × =4+5=9

C

G A

21. Jawaban: d G G G G G G G

⋅ + = ⋅ + ⋅ G G G π = | |2 + | || | cos

Vektor

F

G

= × = –

46

G

= 6

JJJG JJJG Misalkan θ = sudut antara dengan H . JJJG JJJG cos θ =

22. Jawaban: d G G G

· = | |2 = 42 = 16 G G G · = | |2 = 62 = 36 G G | + | = 8 ⇔

2 cm

3 cm B

Cara 2: JJJG JJJG JJJG G = = $ + $ JJJG JJJG = $ – $

     −        =   −   =              

JJJG JJJG G & = $H = Dengan demikian, sudut antara vektor G G dan sama dengan ∠EAC = 90°

G G G ( + ) · = (5 – 5 – ) · (4 – 3 + 5 ) = 5 × 4 + (–5) × (–3) + (–1) × 5 = 20 + 15 – 5 = 30 G G G Proyeksi skalar ortogonal ( + ) pada

  JJJG G   = $H =        −    G G     · =   ⋅          

=

G G G + ⋅ G

= –3 × 0 + 2 × 0 + 0 × 4 = 0 G G Misalkan sudut antara vektor dan adalah θ.

=

cos θ = G G

=

=

=

=

G G ⋅

= G G = 0 cos θ = 0 ⇒ θ = 90° G G Jadi, sudut antara vektor dan adalah 90°. 25. Jawaban: d

G G Misalkan θ = sudut antara dan .

tan θ = =

2

⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

G G ⋅ G

+ × + × − + + − +

+ +

=

3

cos θ =

=3

θ

maka cos θ =

=

+ − +

27. Jawaban: b P(1, –3), Q(2, –1), dan R(4, 1) JJJG G G ! = –

   =  − –  −     

=

  =   

= =

JJJG G G " = # –    =   –  −     

=1

2a + 6 = 2 2a = –4 a = –2

 −  G Dengan demikian, diperoleh =   .      −      G G + =   +   =            −    G G Jadi, vektor posisi dari ( + ) adalah 2 + 11 + 6 .

26. Jawaban: a G G

+ = (3 – 4 – 4 ) + (2 – + 3 ) = 5 – 5 –

 =   

JJJG JJJG Proyeksi skalar ortogonal ! pada " = =

JJJG JJJG ! ⋅ " JJJG "

× + × +

= =2

28. Jawaban: e G

= –3 – + x G = 3 – 2 + 6


47

G G

· = –3 × 3 + (–1) × (–2) + x × 6

⇔

= –9 + 2 + 6x = –7 + 6x G | | =

+ +

=

= 7

− *

G G Proyeksi skalar ortogonal pada adalah 5, berarti: G G

⋅ G

=5 ⇒

− + *

− *

= –

B. Uraian 1.

G

a.

29. Jawaban: d

G G G Proyeksi vektor ortogonal pada adalah # . G # =

=

(

+ − +

++

E

G

G

)

F

G

A

G G Jadi, proyeksi vektor ortogonal pada adalah G . 30. Jawaban: c G G

· = (2 + x + ) · (3 – 2 + ) = 2 × 3 + x × (–2) + 1 × 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x G = (–3 + 2 – ) G G

⋅ G

− * + − +

Vektor

b.

G

 −  G   =    −  

 −        −  =    −  −    

C B

H

E

G '

JJJG JJJG JJJG H = & + &H JJJG JJJG = Z + &H JJJG JJJG = – Z + &H G G = –' + JJJG JJJG JJJG $[ = $H + H[ JJJG JJJG JJJG = Z + ( HZ + Z[ ) JJJG JJJG JJJG = – Z + $ + H& JJJG JJJG JJJG = – Z + $ – &H G G G = –' + – JJJG JJJG G = &H = JJJG JJJG JJJG G G G G G G H + $[ + = – ' + – ' + – + G G G = + – 2'

G =

48

G

D

= + + G =

⇒

H

G

× + − × − + ×

    −   −  

⇔ 7 – 2x = –1 ⇔ 2x = 8 ⇔ x=4 Jadi, nilai x = 4.

=5

⇔ –7 + 6x = 35 ⇔ 6x = 42 ⇔ x=7 Jadi, nilai x = 7.

G G ⋅ G

       −  = –  −   −  −    

   ⇔  −  = –  −   Dari kesamaan vektor diperoleh:

+ − +

=

− * + +

G F

G

D A

JJJG JJJG JJJG = $ + $ JJJG JJJG = &H + $ G G = +

G '

B

C

JJJG JJJG JJJG $& = $H + H& JJJG JJJG = Z – &H JJJG JJJG = – Z – &H G G = –' – JJJG JJJG JJJG H = [ + [H JJG JJJG JJJG = Z + ( [& + &H ) JJJG JJJG JJJG = – Z + $ + &H JJJG JJJG JJJG = – Z – $ + &H G G G = –' – + JJJG JJJG JJJG + $& – H G G G G G G G = + – ' – – (– ' – + ) G G G G G G G = + –' – + ' + – G G = 2 – 2. a.

b.

b.

=

× + − ×

zC =

/ + − × / −

=

× + − ×

=0

Jadi, koordinat titik C(5, 0, 1). JJJG G G = –

   =  −   −    JJJG  =

+ − + −

  − = 3  −  + 4      

=

+ +

   −  =  −  +      

=

=

JJJG Jadi, panjang vektor adalah .

  =  −    G G G G G 6 – 5 + 2 = 3 + 4 G G G ⇔ 2 = 3 – 5

4. A(2, 4, –1), B(–4, 7, 5), dan C(2, 4, –5)   −   G G  G   

=   , =   , dan =    −   − 

  − = 3  −  – 5      

a.

  G   =  −  =  −      2 –1 B(3, 1, 2)

C(xC, yC, zC)

JJJG JJJG JJJG JJJG : = 2 : 1 ⇔ : = 2 : –1

xC =

* + − × * −

=

× + − ×

5

G G + +

G G = (2 + )

  =  −   

A(1, 2, 3)

AP : PB = 2 : 1 G =

   −  =  −  –      

3. a.

=1

        =   –          

G G G G 2 + 4 = – G G G ⇔ = 3 + 4

⇔

- + − × - −

yC =

  −     =    +        −         −      =  +          −     −    =   

 −    =    Jadi, koordinat titik P(–2, 6, 3).


49

b.

JJJG G G G = = –

   G   G   Dengan demikian, diperoleh =   dan =    −  −      JJJG JJJG G G G G · = ( – ) · ( – )

 −    =   –         −  −  =      JJJG G G G = = –

    −                 =   −   ·   −     −      −   −                =  ·   −   −     

 −    =   –         − 

= 4 × 4 + 3 × 3 + (–2) × (–2) = 16 + 9 + 4 = 29 JJJG JJJG Jadi, nilai · = 29.

 −  =       −   −  G G · =   ·          

A

6.

θ

= 24 + 6 + 48 = 78 G G Jadi, hasil · = 78.

 −  *   G G   G     5. =   , =   , dan =  * + -   −     −       Titik A, B, dan C segaris jika AB = k AC. G G G G AB = k AC ⇒ – = k( – )

 *   −      ⇒   –  =k  −      

    −       * + - −     −        

 * +        ⇔   = k * + -  −   −      Dari kesamaan vektor diperoleh:

B

C

JJJG JJJG JJJG = +    −   =  −  +   =  −            JJJG JJJG

⋅ cos ∠BAC = JJJG JJJG

=

= =

–2 = k(–4) ⇔ k =

x+2=k×8 ⇒ x+2=

×8

⇔ x+2=4 ⇔ x=2 3 = k(x + y)

50

Vektor

(2

= =

⇒

3=

⇔ ⇔

6=2+y y=4

+ y)

=

 −     −  ⋅  −         − + − + × + − +

− × + − × − + × + + × + + + + ×

×

=

=

Oleh karena cos ∠BAC = maka ∠BAC = 30°. Jadi, besar ∠BAC = 30°.

7.

b. G

G

30° 90°

G '

=

G G \ G

G

90°

G

G G Dari gambar di atas terlihat bahwa ∠( , ' ) = 30°. G G G G Vektor dan saling tegak lurus maka · = 0. G G G G G G · ' = | | | ' | cos ∠( , ' ) = 8 × 6 cos 120°

=


=4×6×

(

= 68 + 24 G G G Jadi, | + + ' | = 68 + 24 .  G   =    −  G

– 2 – ).

G G 9. Proyeksi skalar ortogonal pada = – G G

⋅ G

G '

⇒ G '

⇔

= 42 + 82 + 62 + 2 × 0 + 2 × 12 + 2 × (–24) = 16 + 64 + 36 + 0 + 24 – 48

   −     −

 

=  −     −

= –24 G G G G G G · ' = | | | ' | cos ∠( , ' ) = 4 × 6 cos 30°

= 12 G G G | + + ' |2 G G G G G G = ( + + ' ) · ( + + ' ) G G G G G G G G G G G = · + · + ·' + · + · + · G G G G G G + · ' + · ' + ' · ' G G G G G G G G = | |2 + | |2 + | ' |2 + 2 · + 2 · ' + 2 ·

× + − × − + − × − + − + −

  =  −     −

= 8 × 6 × (– )

    G 8. =  −  dan  − G G a. = 2 +

G G Proyeksi vektor ortogonal pada

⇔

*− + - + − − + + − −* + - −

+ + −* + - −

=–

=–

=–

=– ⇔ –2x + 4y – 48 = –38 ⇔ –2x + 4y = 10 ⇔ x = 2y – 5 G Panjang vektor = 13 ⇒ ⇔ ⇔

. . . (1)

* + - + = 13 x2 + y2 + 144 = 169 x2 + y2 = 25

. . . (2)

    −    = 2  +    −  − 

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2) diperoleh:

   −    =   +    −   − 

(2y – 5)2 + y2 = 25 ⇔ 4y2 – 20y + 25 + y2 = 25 ⇔

5y2 – 20y = 0

   =  −   − 

⇔

y2 – 4y = 0

⇔

y(y – 4) = 0

⇔

y = 0 atau y = 4

Untuk y = 0 ⇒ x = 2(0) – 5 = –5 Untuk y = 4 ⇒ x = 2(4) – 5 = 3 Jadi, nilai x = –5 dan y = 0 atau x = 3 dan y = 4.


51

G G 10. Proyeksi vektor ortogonal pada G G ⋅

=

G G

G

= G

⋅ G = G

× + × − + − × + − +

G

=

− − = + + (2 – 2 + )

=

− (2

– 2 + )

– 8 + 4 ).

⇔

(2 – 2 + ) =

−

(8

– 8 + 4 )

(2 – 2 + ) = (2 – 2 + )

Dari kesamaan vektor diperoleh: −

= ⇔ 2a – 4 = 4 ⇔ 2a = 8 ⇔ a=4

G Dengan demikian, diperoleh = 4 + – 2 .

52

Vektor

G

= (4 + – 2 )

= + –


Diperoleh hubungan seperti berikut. −

× + − × + × − + + −

−− = + + (4 + – 2 )

G G Proyeksi vektor ortogonal pada adalah (8

G G Proyeksi vektor pada

+

–

.

A. Pilihlan Ganda 1. Jawaban: a Nilai determinan utama: D =

2

Nilai Dz = –60, maka: – 12k2 + 12k – 36 = –60 ⇔ – 12k2 + 12k + 24 = 0 ⇔ k2 – k – 2 = 0 ⇔ (k – 2)(k + 1) = 0 ⇔ (k – 2) = 0 atau (k + 1) = 0 ⇔ k = 2 atau k = –1 Jadi, nilai k yang memenuhi adalah –1 atau 2.

3

−4 1

= 2 × 1 – 3 × (–4) = 2 + 12 = 14 2. Jawaban: e Nilai determinan variabel x: Dx = 13 3

⇔

n

n+5 3

= 13

⇔ 9 – n(n + 5) = 13 ⇔ –n 2 – 5n = 4 2 ⇔ n + 5n + 4 = 0 ⇔ (n + 1)(n + 4) = 0 ⇔ (n + 1) = 0 atau (n + 4) = 0 ⇔ n = –1 atau n = –4 Jadi, nilai n adalah –1 atau –4.

5. Jawaban: d ⎧ a1x + b1y = c1 SPLDV ⎨ memiliki tak berhingga ⎩a 2 x + b2 y = c 2

a.

c1 c2

4 3

–

–

2

–

b.

4 3 +

+

+

= 0 × 2 × 2 + 0 × (–1) × 4 + 2 × 3 × 3 – 2 × 2 × 4 – 0 × (–1) × 3 – 0 × 3 × 2 = 0 + 0 + 18 – 16 – 0 – 0 = 2 Jadi, nilai determinan variabel x adalah 2.

Dz =

3 3k 2 0

2k + 1 1 –

–

3 –

3 2

2k + 1 +

+

= k × 2 × 3 + 3 × 0 × (2k + 1) + 3k × 4 × 1 – 3k × 2 × (2k + 1) – k × 0 × 1 – 3 × 4 × 3 = 6k + 0 + 12k – 6k(2k + 1) – 0 – 36 = 18k – 12k2 – 6k – 36 = – 12k2 + 12k – 36

.

1

b1 b2

1

−3

−2

= 1 = –2, dan

1

a1 a2

≠

b1 b2

,

b1 b2

≠

c1 c2

, dan

a1 a2

=

c1 c2

.

⎧ 6x − 4y = 1 SPLDV ⎨ memiliki nilai a1 = 6, ⎩ 3x + 2y = −2 a2 = 3, b1 = –4, b2 = 2, c1 = 1, dan c2 = –2. a1 a2

b1 b2

6

= 3 = 2,

1

−4

= 2 = –2, dan

c1 c2

1

= −2 = – 2 .

c.

1 +

c1 c2

=

= −2 = – 2 ,

Diperoleh nilai

k 4

b1 b2

= 6 = –2.

Nilai

4. Jawaban: c Nilai determinan variabel z:

k 4

a1 a2

Diperoleh nilai

0 0 2 0 0 3 2 −1 3 2

=

⎧ x − 2y = −3 SPLDV ⎨ memiliki nilai a1 = 1, ⎩ −2x + y = 6 a2 = –2, b1 = –2, b2 = 1, c1 = –3, dan c2 = 6.

Nilai

3. Jawaban: b Nilai determinan variabel x:

Dx =

a1 a2

penyelesaian jika

a1 a2

b1 b2

≠

c1 c2

≠

.

⎧ 6x − 2y = 9 memiliki nilai a1 = 6, SPLDV ⎨ ⎩4x − 3y = 6 a2 = 4, b1 = –2, b2 = –3, c1 = 9, dan c2 = 6.

Nilai 9

a1 a2

6

3

= 4 = 2,

b1 b2

−2

2

= −3 = 3 , dan

c1 c2

3

= 6 = 2. Diperoleh nilai

a1 a2

≠

b1 b2

,

b1 b2

≠

c1 c2

, dan


a1 a2

=

c1 c2

53

.

d.

⎧ −4x + 8y = 2 SPLDV ⎨ memiliki nilai a1 = –4, ⎩ 2x − 4y = −1 a2 = 2, b1 = 8, b2 = –4, c1 = 2, dan c2 = –1. a1 a2

Nilai c1 c2

−4

= 2 = –2,

b1 b2

8

= −4 = –2, dan

a1 a2

=

b1 b2

=

c1 c2

sehingga

SPLDV memiliki tak berhingga penyelesaian. Jadi, SPLDV pilihan d memiliki tak berhingga penyelesaian. 6. Jawaban: c ⎛ 2 −1⎞ ⎟. Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien ⎜ ⎝−3 p ⎠

D= Dy =

2

−1

−3

p p2

2

−3 −3

= 2p – (–1) × (–3) = 2p – 3 = 2 × (–3) – p2 × (–3) = –6 + 3p2

Nilai y = 6 merupakan penyelesaian sistem persamaan, maka: Dy D −6 + 3p 2p − 3

⇔

2

=6

⇔ –6 + = 6(2p – 3) ⇔ –6 + 3p2 = 12p – 18 ⇔ 3p2 – 12p + 12 = 0 ⇔ p2 – 4p + 4 = 0 ⇔ (p – 2)2 = 0 ⇔ p– 2 = 0 ⇔ p=2 Jadi, nilai p = 2.

7. Jawaban: b Diketahui (m, n) merupakan penyelesaian SPLDV, maka: m + 2n = –2 2m + 3n = 1 Mencari nilai m dan n menggunakan determinan matriks. ⎛ 1 2⎞ Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien A = ⎜ ⎟. ⎝2 3⎠

D= Dm =

54

2 3

= 1 × 3 – 2 × 2 = 3 – 4 = –1

−2 2 1

3

1

= –2 × 3 – 2 × 1 = –6 – 2 = –8

Ulangan Tengah Semester 1

= 1 × 1 – (–2) × 2 = 1 + 4 = 5

Dengan demikian, diperoleh: −8

D

m = Dm = −1 = 8 5

n = Dn = −1 = –5 Nilai m + n = 8 + (–5) = 3 Jadi, nilai m + n = 3. 8. Jawaban: c Garis –x + py = 4 dan 5x + qy = 4 berpotongan di titik (p, 3), maka (p, 3) merupakan penyelesaian − x + py = 4 SPLDV ⎧⎨ . ⎩5x + qy = 4 Menentukan penyelesaian SPLDV menggunakan determinan matriks. −1 p ⎞ Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien ⎛⎜ ⎟. ⎝ 5 q⎠

D=

Dx =

=6

3p2

1 2

2

D

2

= −1 = –2.

Diperoleh nilai

1 −2

Dn =

Dy =

−1 p 5

q

4 p 4 q −1 4 5

4

= –q – 5p

= 4q – 4p

= –1 × 4 – 4 × 5 = –4 – 20 = –24

(p, 3) merupakan penyelesaian SPLDV sehingga berlaku: D

x = Dx ⇔ p = y=

Dy D

4q − 4p −q − 5p

. . . (1)

⇔

3=

−24 −q − 5p

⇔

1=

−8 −q − 5p

. . . 2) ⇔ –q – 5p = –8 Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). p=

4q − 4p −q − 5p

⇔

p=

4(8 − 5p) − 4p −8

⇔

p=

32 − 20p − 4p −8

⇔

p=

32 − 24p −8

⇔ –8p = 32 – 24p ⇔ 16p = 32 p=2 ⇔

Substitusikan p = 2 ke dalam persamaan (2). –q – 5p = –8 ⇔ –q – 5 × 2 = –8 –q – 10 = –8 ⇔ –q = 2 ⇔ q = –2 ⇔ Nilai 2p + q = 2 × 2 + (–2) = 4 – 2 = 2 Jadi, nilai 2p + q = 2. 9. Jawaban: b Dari a + b = 5 dan 2a + 5b = 7 dapat dibentuk

Terlebih dahulu dicari nilai a dan b menggunakan invers matriks. SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut. ⎛ 1 1⎞ ⎛ a ⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝2 5⎠ ⎝b⎠ ⎝7⎠ ⎛ 1 1⎞ ⎛5⎞ ⎛a⎞ Misalkan A = ⎜ ⎟ , X = ⎜ ⎟ , dan B = ⎜ ⎟ , ⎝2 5⎠ ⎝7⎠ ⎝b⎠ maka diperoleh persamaan matriks AX = B.

det A =

1 1 2 5

=1×5–1×2=5–2=3

⎛ 5 −1⎞ ⎜ ⎟ det A 3 ⎝ −2 1 ⎠ Dengan demikian, diperoleh : X = A–1B 1

⎛a⎞ ⇔⎜ ⎟ = ⎝b⎠

=

=

Adj A =

1

⎛ 5 −1⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝ −2 1 ⎠ ⎝ 7 ⎠ 1

⎛ 5 × 5 + (−1) × 7 ⎞ ⎜ ⎟ 3 ⎝ ( −2) × 5 + 1× 7 ⎠ 1

1 3

1⎞ ⎛ 1 Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien ⎜ ⎟. ⎝ 30 35 ⎠ 1 1 D= = 1 × 35 – 1 × 30 = 35 – 30 = 5 30 35

Dy =

⎛ 25 − 7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ −10 + 7 ⎠

1

7

30 225

= 1 × 225 – 7 × 30 = 225 – 210 = 15

Dengan demikian, diperoleh: y=

⎛ 5 −1⎞ ⎟ Adj A = ⎜ ⎝ −2 1 ⎠

A–1 =

10. Jawaban: a Misalkan: x = jam kerja pekerja pertama y = jam kerja pekerja kedua Jumlah jam kerja pekerja pertama dan pekerja kedua = 7 jam, maka x + y = 7 . . . (1) Jumlah baju yang telah disetrika kedua pekerja adalah 225 potong, maka 30x + 35y = 225 . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh SPLDV: x+y=7 30x + 35y = 225 Menentukan nilai x dan y menggunakan determinan matriks.

⎧ a+b = 5 SPLDV ⎨ . ⎩2a + 5b = 7

a + 2b = n ⇔ n = 6 + 2 × (–1) ⇔ n=6–2=4 Nilai m – n = 9 – 4 = 5 Jadi, nilai m – n = 5.

Dy D

15

= 5 =3

Hal ini berarti, pekerja kedua bekerja selama 3 jam. Banyak baju yang disetrika pekerja kedua = 3 × 35 = 105 potong. Jadi, baju yang disetrika pekerja kedua sebanyak 105 potong. 11. Jawaban: b Misalkan: x = harga 1 kg telur y = harga 1 kg beras z = harga 1 liter minyak goreng Harga 1 kg telur, 5 kg beras, dan 1 liter minyak goreng = Rp70.000,00, maka: x + 5y + z = 70.000 . . . (1) Harga 6 kg beras dan 2 liter minyak goreng = Rp72.000,00, maka: 6y + 2z = 72.000 ⇔ 3y + z = 36.000 . . . (2) 1

⎛ 18 ⎞ ⎛6⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 3 ⎝ −3 ⎠ ⎝ −1⎠ Dengan demikian, diperoleh nilai a = 6 dan b = –1. Diketahui (a, b) merupakan penyelesaian sistem

Harga 2 kg telur dan 10 kg beras = Rp89.000,00, maka:

2x + 3y = m persamaan ⎧⎨ , maka: ⎩ x + 2y = n 2a + 3b = m ⇔ m = 2 × 6 + 3 × (–1) ⇔ m = 12 – 3 = 9

Dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh SPLTV sebagai berikut. x + 5y + z = 70.000 3y + z = 36.000 x + 20y = 178.000

1

1 2

x + 10y = 89.000 ⇔ x + 20y = 178.000 . . . (3)


55

Terlebih dahulu dicari nilai x, y, dan z menggunakan determinan matriks.

12. Jawaban: d Misalkan bayangan titik R(–5, 6) setelah

⎛ 1 5 1⎞ Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien ⎜ 0 3 1 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ 1 20 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 5 1 1 5 D= 0 3 1 0 3 1 20 0 1 20

⎛4 5⎞ ditransformasi oleh matriks M = ⎜ ⎟ adalah ⎝3 3⎠ R′(x′, y′), maka:

–

–

–

+

+

+

= 1 × 3 × 0 + 5 × 1 × 1 + 1 × 0 × 20 – 1 × 3 × 1 – 1 × 1 × 20 – 5 × 0 × 0 = 0 + 5 + 0 – 3 – 20 – 0 = –18 70.000 5 1 70.000 5 Dx = 36.000 3 1 36.000 3 178.000 20 0 178.000 20 –

–

–

+

+

+

1 70.000 1 1 70.000 0 36.000 1 0 36.000 1 178.000 0 1 178.000

–

–

–

+

+

+

= 1 × 36.000 × 0 + 70.000 × 1 × 1 + 1 × 0 × 178.000 – 1 × 36.000 × 1 – 1 × 1 × 178.000 – 70.000 × 0 × 0 = 0 + 70.000 + 0 – 36.000 – 178.000 – 0 = –144.000 1 5 70.000 1 5 Dz = 0 3 36.000 0 3 1 20 178.000 1 20 –

–

–

+

+

+

= 1 × 3 × 178.000 + 5 × 36.000 × 1 + 70.000 × 0 × 20 – 70.000 × 3 × 1 – 1 × 36.000 × 20 – 5 × 0 × 178.000 = 534.000 + 180.000 + 0 – 210.000 – 720.000 – 0 = –216.000 Dengan demikian, diperoleh: x= y= y=

Dx D Dy D

Dz D

=

−324.000 −18

= 18.000

=

−144.000 −18

= 8.000

=

−216.000 −18

= 12.000

Harga 1 kg telur, 4 kg beras, dan 2 liter minyak goreng = x + 4y + 2z = 18.000 + 4 × 8.000 + 2 × 12.000 = 18.000 + 32.000 + 24.000 = 74.000 Jadi, Bu Ida harus membayar Rp74.000,00 untuk 1 kg telur, 4 kg beras, dan 2 liter minyak goreng. 56


⎛ 4 × ( −5) + 5 × 6 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 3 × ( −5) + 3 × 6 ⎠ ⎛ −20 + 30 ⎞ ⎛ 10 ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −15 + 18 ⎠ ⎝3⎠

Jadi, bayangan titik R(–5, 6) setelah ditransformasi ⎛4 5⎞ oleh matriks M = ⎜ ⎟ adalah R′(10, 3). ⎝3 3⎠

= 70.000 × 3 × 0 + 5 × 1 × 178.000 + 1 × 36.000 × 20 – 1 × 3 × 178.000 – 70.000 × 1 × 20 – 5 × 36.000 × 0 = 0 + 890.000 + 720.000 – 534.000 – 1.400.000 – 0 = –324.000 Dy =

⎛ x′ ⎞ ⎛ 4 5 ⎞ ⎛ −5 ⎞ ⎜ y′ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝3 3⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ ⎠

13. Jawaban: e Bayangan titik K setelah ditransformasi oleh ⎛ 6 2⎞ matriks M = ⎜ ⎟ adalah K′(8, 16), maka: ⎝ 10 3 ⎠

⎛ xK ′ ⎞ ⎛ 6 2 ⎞ ⎛ xK ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 10 3 ⎠ ⎝ yK ⎠ ⎝ yK ′ ⎠ −1 ⎛ xK ⎞ ⎛ 6 2 ⎞ ⎛ xK ′ ⎞ ⇔⎜ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ yK ⎠ ⎝ 10 3 ⎠ ⎝ yK ′ ⎠ 1 ⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ 8 ⎞ =– ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 ⎝ −10 6 ⎠ ⎝ 16 ⎠

=–

⎛ 3 × 8 + ( −2) × 16 ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ −10 × 8 + 6 × 16 ⎠

=–

⎛ 24 − 32 ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ −80 + 96 ⎠

1

1

⎛ −8 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 16 ⎝ ⎠ ⎝8⎠ Jadi, koordinat titik K(–4, 8).

=–

1

2

14. Jawaban: a Bayangan titik A(10, k) setelah ditransformasi oleh 7⎞ ⎛ 4 matriks M = ⎜ ⎟ adalah A′(4 – 2k, 40), maka: ⎝2 − k 5⎠

⎛ xA ′ ⎞ ⎛ 4 7 ⎞ ⎛ xA ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ yA ′ ⎠ ⎝ 2 − k 5 ⎠ ⎝ yA ⎠ 7 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎛ 4 − 2k ⎞ ⎛ 4 ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 40 ⎠ ⎝2 − k 5⎠ ⎝ k ⎠

⎛ x′ ⎞ ⎛ 3 0⎞ ⎛x⎞ ⎜ ′⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝y ⎠ ⎝ −2 1 ⎠ ⎝ y ⎠

⎛ 4 − 2k ⎞ ⎛ 4 × 10 + 7k ⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 40 ⎠ ⎝ (2 − k) × 10 + 5k ⎠ ⎛ 4 − 2k ⎞ ⎛ 40 + 7k ⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 40 ⎝ ⎠ ⎝ 20 − 10k + 5k ⎠ ⎛ 4 − 2k ⎞ ⎛ 40 + 7k ⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 40 ⎠ ⎝ 20 − 5k ⎠ Dari kesamaan matriks diperoleh: 40 = 20 – 5k ⇔ 5k = –20 ⇔ k = –4 Jadi, nilai k = –4.

15. Jawaban: e Bayangan titik B(m, n) setelah ditransformasi oleh ⎛ 2n 1 − n ⎞ matriks M = ⎜ ⎟ adalah B′(–18, –1) maka: 1 ⎠ ⎝2

⎛ xB ′ ⎞ ⎛ 2n 1 − n ⎞ ⎛ xB ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝ yB ⎠ ⎝2 ⎝ yB ′ ⎠ ⎛ −18 ⎞ ⎛ 2n 1 − n ⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎝ 2

⎛m⎞ ⎜ ⎟ ⎝n⎠

⎛ −18 ⎞ ⎛ 2mn + n(1 − n) ⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ − 1 2m + n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Dari kesamaan matriks diperoleh: –18 = 2mn + n(1 – n) . . . (1) –1 = 2m + n ⇔ 2m = –1 – n . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). –18 = 2mn + n(1 – n) ⇔ –18 = n(–1 – n) + n – n2 ⇔ –18 = –n – n2 + n – n2 ⇔ –18 = –2n2 ⇔ n2 = 9 ⇔ n = ±3 Nilai n > 0, maka n = 3. Substitusikan n = 3 ke dalam persamaan (2). 2m = –1 – n ⇔ 2m = –1 – 3 ⇔ 2m = –4 ⇔ m = –2 Nilai m – n = –2 – 3 = –5 Jadi, nilai m – n = –5.

16. Jawaban: c Misalkan titik (x, y) pada garis x – 2y = –1 dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh ⎛ 3 0⎞ matriks M = ⎜ ⎟ adalah (x′, y′), maka ⎝ −2 1 ⎠ diperoleh kesamaan matriks:

⎛x⎞ ⎛ 3 0⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝y⎠ ⎝ −2 1 ⎠

−1

⎛ x′ ⎞ ⎜ ′⎟ ⎝y ⎠

⎛x⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎝y⎠

⎛ 1 0 ⎞ ⎛ x′ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 3 ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ y′ ⎠

⎛x⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎝y⎠

x′ ⎛ ⎞ ⎜ ′ ⎟ ′ 3 ⎝ 2x + 3y ⎠

1

1

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: x= y=

1 3 1 3

x′

. . . (1)

(2x′ + 3y′)

. . . (2)

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke dalam persamaan garis x – 2y = –1 sehingga diperoleh: x – 2y = –1

⇔ ⇔

1 3

1

x′ – 2( (2x′ + 3y′))= –1 1 3

x′ –

3 2 3

(2x′ + 3y′) = –1

x′ – 2(2x′ + 3y′) = –3 ⇔ x′ – 4x′ – 6y′ = –3 ⇔ –3x′ – 6y′ = –3 ⇔ x′ + 2y′ = 1 ⇔ Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′) dan (x′, y′) memenuhi persamaan x – 2y = –1, maka persamaan bayangan garis x – 2y = –1 adalah x + 2y = 1. Jadi, persamaan bayangan garis x – 2y = –1 ⎛ 3 0⎞ setelah ditransformasi oleh matriks M = ⎜ ⎟ ⎝ −2 1 ⎠ adalah x + 2y = 1.

17. Jawaban: b Misalkan titik (x, y) pada parabola x = 2y2 – 1 dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh ⎛2 3 ⎞ matriks M = ⎜ ⎟ adalah (x′, y′), maka ⎝ 0 −1⎠ diperoleh kesamaan matriks: ⎛ x′ ⎞ ⎛ 2 3 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ′⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ y ⎠ ⎝ 0 −1⎠ ⎝ y ⎠ ⎛x⎞ ⎛2 ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎝y⎠ ⎝0 ⎛x⎞ 1 ⇔ ⎜ ⎟ =– y 2 ⎝ ⎠

3⎞ ⎟ −1⎠

−1

⎛ x′ ⎞ ⎜ ′⎟ ⎝y ⎠

⎛ − 1 −3 ⎞ ⎛ x ′ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ y′ ⎠ ⎛x⎞ 1 ⎛ − x ′ − 3y ′ ⎞ ⇔ ⎜ ⎟ =– ⎜ ⎟ 2y ′ ⎠ 2 ⎝ ⎝y⎠


57

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: 1

1

2 1

2

x = – (–x′ – 3y′) =

(x′ + 3y′)

y = – × 2y′ = –y′

. . . (1) . . . (2)

2

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke dalam persamaan parabola x = 2y2 – 1 sehingga diperoleh: x = 2y2 – 1

⇔ ⇔

1 2 1 2

(x′ + 3y′) = 2(y′)2 – 1 (x′ + 3y′) = 2y′2 – 1

(x′ + 3y′) = 4y′2 – 2 ⇔ 2 ⇔ –4y′ + x′ + 3y′ = –2 4y′2 – 3y′ – x′ = 2 ⇔ Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′) dan (x′, y′) memenuhi persamaan x = 2y2 – 1, maka persamaan bayangan parabola x = 2y2 – 1 adalah 4y2 – 3y – x = 2. Jadi, persamaan bayangan parabola x = 2y2 – 1 ⎛2 3 ⎞ setelah ditransformasi oleh matriks M = ⎜ ⎟ ⎝ 0 −1⎠ 2 adalah 4y – 3y – x = 2.

18. Jawaban: d Misalkan bayangan ABCD oleh transformasi ⎛8 6⎞ matriks M = ⎜ ⎟ adalah A′B′C′D′ dengan ⎝ 1 1⎠ koordinat titik A′(xA′, yA′), B′(xA′, yA′), C′(xC′, yC′),

Y

4

3 D′ 2 A′

C′

1

–4 –3

–2 –1 0 –1 –2

1

⎛8 6⎞ M= ⎜ ⎟ berbentuk belah ketupat. ⎝ 1 1⎠

19. Jawaban: c Diketahui bayangan PQRS oleh transformasi ⎛ 1 4⎞ matriks M = ⎜ ⎟ adalah P′Q′R′S′ dengan ⎝2 3⎠ koordinat titik P′(–8, –6), Q′(–5, 0), R′(1, 2), dan

S′(–2, –4), maka: ⎛ xP ′ ⎜ ⎝ yP ′

xQ ′

xR ′

yQ ′

yR ′

xS ′ ⎞ ⎟ yS ′ ⎠

⎛ x A ′ xB ′ x C ′ xD ′ ⎞ ⎜ y ′ y ′ y ′ y ′⎟ B C D ⎠ ⎝ A

⎛ xP ⎜ ⎝ yP

xC

yB

yC

⎛ 8 6 ⎞ ⎛ −5 3 = ⎜ ⎟⎜ ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ 6 −4 ⎛ −40 + 36 = ⎜ ⎝ −5 + 6

xD ⎞ yD ⎟⎠

24 − 24

−8 + 12

3−4

−1 + 2

−72 + 72 ⎞ ⎟ −9 + 12 ⎠

4 0 ⎞ ⎛ −4 0 = ⎜ ⎟ 1 − 1 1 3 ⎠ ⎝ Dengan demikian, diperoleh koordinat titik A′(–4, 1), B′(0, –1), C′(4, 1), dan D′(0, 3). Gambar A′B′C′D′ pada koordinat kartesius sebagai berikut.

58


xQ yQ

= ⎛⎜ 1 4 ⎞⎟ ⎝2 3⎠

−1 −9 ⎞ ⎟ 2 12 ⎠

X

4

Dari gambar di atas terlihat A′B′C′D′ memiliki dua pasang sisi sejajar, yaitu A′B′ sejajar dengan D′B′ dan A′D′ sejajar dengan B′C′, dan memiliki empat sisi sama panjang, yaitu panjang A′B′ = B′C′ = C′D′ = A′D′. Hali ini berarti A′B′C′D′ berbentuk belah ketupat. Jadi, bayangan ABCD hasil transformasi matriks

sehingga diperoleh:

xB

3

B′

dan D′(xD′, yD′), maka:

⎛ 8 6 ⎞ ⎛ xA = ⎜ ⎟⎜ ⎝ 1 1⎠ ⎝ yA

2

xQ

xR

yQ

yR

xS ⎞ ⎟ yS ⎠

xS ⎞ ⎟ yS ⎠

xR yR −1

1 4 ⎞ ⎛ xP = ⎛⎜ ⎟⎜ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ yP

⎛ xP ′ x Q ′ xR ′ ⎜ ⎝ yP ′ y Q ′ yR ′

1 ⎛ 3 −4 ⎞ ⎛ −8 −5 =– 5 ⎜ ⎟⎜ ⎝ −2 1 ⎠ ⎝ − 6 0 1 ⎛ −24 + 24 =–5 ⎜ ⎝ 16 − 6

1 2

−2 ⎞ ⎟ −4 ⎠

−15 + 0

3−8

10 + 0

−2 + 2

1 ⎛ 0 =–5 ⎜ ⎝ 10

−15

−5

10

0

3 ⎛ 0 = ⎜ ⎝ −2 −2

1 0

xS ′ ⎞ ⎟ yS ′ ⎠

−2 ⎞ ⎟ 0 ⎠

10 ⎞ ⎟ 0 ⎠

−6 + 16 ⎞ ⎟ 4−4 ⎠

Dengan demikian, diperoleh koordinat titik P(0, –2), Q(3, –2), R(1, 0), dan S(–2, 0). Gambar PQRS pada koordinat kartesius sebagai berikut. 2

Y

1 S –2 –1

R 1

0 –1 –2

2

X

3

Q

P

–3 –4

Dari gambar di atas terlihat PQRS memiliki dua pasang sisi sejajar, yaitu PQ sejajar dengan SR dan PS sejajar dengan QR. Hali ini berarti PQRS berbentuk jajargenjang. Jadi, bangun PQRS berbentuk jajargenjang. 20. Jawaban: c Diketahui segi empat ABCD dengan koordinat titik A(1, 2), B(3, –1), C(9, 2), dan D(3, 4). Gambar segi empat ABCD pada koordinat kartesius sebagai berikut. 5

Y D

4 3 2

E

A

C

1 0 –1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

X

B

–2

Dari gambar dapat diketahui: LABCD = LABC + LACD 1

1

= 2 × AC × BE + 2 × AC × DE 1

1

= 2 ×8×3+ 2 ×8×2 =4×3+4×2 = 12 + 8 = 20 satuan luas Misalkan bayangan ABCD setelah ditransformasi ⎛5 6⎞ matriks M = ⎜ ⎟ adalah A′B′C′D′, maka: ⎝ 1 2⎠ LA′B′C′D′ = | det M| LABCD

=⏐

5 6

⏐ × 20

1 2 = ⏐5 × 2 – 6 × 1⏐ × 20 = ⏐10 – 6⏐ × 20 = ⏐4⏐ × 20 = 4 × 20 = 80 satuan luas Jadi, bayangan ABCD adalah 80 satuan luas.

21. Jawaban: b G p = 4 î + 2 ˆj – 3 kˆ G q = 3 î – 5 ˆj + kˆ G G p – 2 q = (4 î + 2 ˆj – 3 kˆ ) – 2(3 î – 5 ˆj + kˆ ) = (4 î + 2 ˆj – 3 kˆ ) – (6 î – 10 ˆj + 2 kˆ ) = (4 – 6) î + (2 – (–10)) ˆj + (–3 – 2) kˆ = –2 î + 12 ˆj – 5 kˆ G G Jadi, hasil p – 2 q = –2 î + 12 ˆj – 5 kˆ . 22. Jawaban: e G G G G 3( a – 2 b ) + 2( b + c ) G G G G = 3a – 6b + 2b + 2c G G G = 3a – 4b + 2c = 3(3 î + 4 ˆj – kˆ ) – 4( î – 3 ˆj – 3 kˆ ) + 2(2 î – 3 ˆj – 5 kˆ ) = (9 î + 12 ˆj – 3 kˆ ) – (4 î – 12 ˆj – 12 kˆ ) + (4 î – 6 ˆj – 10 kˆ ) = (9 – 4 + 4) î + (12 + 12 – 6) ˆj + (–3 + 12 – 10) kˆ = 9 î + 18 ˆj – kˆ G G G G Jadi, hasil 3( a – 2 b ) + 2( b + c ) = 9 î + 18 ˆj – kˆ . 23. Jawaban: a G G G 2u – 3 w = v G G G ⇔ 2u – v = 3 w G G G ⇔ 3w = 2u – v ⎛2⎞ ⎛7⎞ = 2 ⎜⎜ −1⎟⎟ – ⎜⎜ −5 ⎟⎟ ⎜3⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛4⎞ ⎛7⎞ = ⎜⎜ −2 ⎟⎟ – ⎜⎜ −5 ⎟⎟ = ⎜6⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠

⎛ −3 ⎞ G ⇔ 3 w = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1⎞ G ⎜ ⎟ w = ⎜ 1⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ 24. Jawaban: b AD : DB = 2 : 1 ⇔

⇔ D =

2B + A 3

= 2(4, 5, 2) + (1, − 1, 2) = =

3 (8, 10, 4) + (1, − 1, 2) 3 (9, 9, 6) 3

= (3, 3, 2)


59

G G JJJG CD = d – c = (3, 3, 2) – (1, 0, 4) = (2, 3, –2) JJJG | CD | =

22 + 32 + (−2)2

=

4+9+4

=

17

Jadi, panjang CD =

17 .

25. Jawaban: d

⎛ 3 ⎞ ⎛2⎞ G G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u · v = ⎜ −4 ⎟ · ⎜ 4 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 3 × 2 + (–4) × 4 + (–3) × 2 = 6 – 16 – 6 = –16 G G Jadi, nilai u · v = –16. 27. Jawaban: b G G G G a ⋅b cos ( a , b ) = G G

| a ||b |

⎛ 1 ⎞ ⎛0⎞ ⎛ 1⎞ JJJG G G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = b – a = ⎜ 3 ⎟ – ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

⎛ x ⎞ ⎛0⎞ ⎛ x ⎞ JJJG G G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AC = c – a = ⎜ y ⎟ – ⎜ 1 ⎟ = ⎜ y − 1⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎜2⎟ ⎜ −9 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

(−1) × (−1) + 1× (−2) + 0 × 2 1+ 1+ 0 × 1+ 4 + 4 1− 2 + 0

=

2 ×3 −1 3 2

=

⎛ 1⎞ ⎛ x ⎞ JJJG JJJG ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = k AC ⇒ ⎜ 2 ⎟ = k ⎜ y − 1⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜ −9 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

–3 = k × (–9) ⇔ k = 3

(−1)2 + 12 + 02 × (−1)2 + (−2)2 + 22

=

Oleh karena titik A, B, dan C kolinear (segaris) berlaku:


⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⋅ ⎜ −2 ⎟ ⎜0⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=– =

1 3 2

1 –6

2 2

2

Jadi, nilai kosinus sudut antara kedua vektor 1

adalah – 6

2.

28. Jawaban: a G Oleh karena vektor p tegak lurus dengan vektor G q , berlaku:

1

1 = kx ⇒ 1 = 3 x ⇔ x=3 1

2 = k(y – 1) ⇒ 2 = 3 (y – 1) ⇔ 6=y–1 ⇔ y=7 Jadi, nilai x dan y berturut-turut adalah 3 dan 7. 26. Jawaban: a

⎛ 4 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛3⎞ JJJG G G G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u = AB = b – a = ⎜ −1⎟ – ⎜ 3 ⎟ = ⎜ −4 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜5⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛6⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛2⎞ JJJG G G G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ v = BC = c – b = ⎜ 3 ⎟ – ⎜ −1⎟ = ⎜ 4 ⎟ ⎜4⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔ 2 × x + (–5) × (–2) + 1 × 4 = 0 ⇔ 2x + 10 + 4 = 0 ⇔ 2x + 14 = 0 ⇔ x = –7 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah –7. 29. Jawaban: b G G cos ( u , v ) =

⇔


⎛2⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −5 ⎟ · ⎜ −2 ⎟ = 0 ⎜ 1⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

G G p · q =0 ⇒

⇒ cos 60° =

60

×

1 2

=

G G u⋅v G G |u|| v | ⎛ 3⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⋅ ⎜ p ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 32 + (−5)2 + 42 × 42 + p2 + (−3)2

3 × 4 + (−5) × p + 4 × (−3) 9 + 25 + 16 × 16 + p2 + 9

⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ ⇔ ⇔

1 2 1 2

= =

9 + 25 + 16 × 16 + p2 + 9

50 × 25 + p2

50 ×

=

12 + 02 + 12 11 + 0 − 11 2

=0

50 ×

30. Jawaban: b G G G |3 a + 2 b |2 = (3 a )2 + 2(3 ) · (2 ) + (2 )2 G G G G G G = 9 a · a + 12 a · b + 4 b · b G G G G = 9| a |2 + 12| a | | b | cos 120° + 4| b |2 = 9 × 4 + 12 × 2 × 3 ×

(11, 8, − 11) ⋅ (1, 0, 1)

=

2

25 + p2 selalu positif maka nilai –5p juga harus positif sehingga nilai p yang memenuhi adalah –5. Oleh karena nilai

G G G G (a + b) ⋅ (a − b) G G |a −b|

=

−5p

25 + p 100p2 = 50 × (25 + p2) 2p2 = 25 + p2 p2 = 25 p = ±5 –10p =

G G G G Proyeksi skalar ortogonal ( a + b ) pada ( a – b ):

12 − 5p − 12

1 (– 2

G G Jadi, proyeksi skalar ortogonal ( a + b ) pada G G ( a – b ) adalah 0. 33. Jawaban: c

G G Proyeksi skalar vektor a pada b adalah 2, diperoleh: G G a ⋅b G |b|

=2 ⇒

= 36 – 36 + 36 = 36

31. Jawaban: d G G G G G G G G | a – b |2 = a · a – 2 a · b + b · b G G G G G G ⇔ | a – b |2 = | a |2 – 2 a · b + | b |2 G G ⇒ ( 2 19 )2 = 42 – 2 a · b + 62 G G ⇔ 76 = 16 – 2 a · b + 36 G G ⇔ 2 a · b = –24 G G G G G G | a + b |2 = | a |2 + 2 a · b + | b |2 = 42 – 24 + 62 = 16 – 24 + 36 = 28 G G | a + b |2 = 28 G G ⇔ | a + b | = 28 = 2 7 G G Jadi, nilai | a + b | = 2 7 . 32. Jawaban: e G G a + b = (6 î + 4 ˆj – 5 kˆ ) + (5 î + 4 ˆj – 6 kˆ ) = 11 î + 8 ˆj – 11 kˆ G G a – b = (6 î + 4 ˆj – 5 kˆ ) – (5 î + 4 ˆj – 6 kˆ ) = î + kˆ

2

2

=2

4 +2 +4

)+4×9

G G |3 a + 2 b |2 = 36 G G ⇔ |3 a + 2 b | = 36 = 6 G G Jadi, nilai |3 a + 2 b | = 6.

⎛ x ⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜8⎟ ⋅ ⎜2⎟ ⎜2⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

⇔

x×4 + 8×2 + 2×4 16 + 4 + 16

=2

⇔

4x + 16 + 8 6

=2

⇔ 4x + 24 = 12 ⇔ 4x = –12 ⇔ x = –3 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah –3. 34. Jawaban: c G G Misalkan r merupakan proyeksi vektor q pada G p sehingga: G G

q⋅p G G r = | pG |2 p

=

(1, 0, 2) ⋅ (2, − 5, 1) 22 + (−5)2 + 12

(2 î – 5 ˆj + kˆ )

=

1× 2 + 0 × (−5) + 2 × 1 ˆ (2 i 4 + 25 + 1

=

2+0+2 30

– 5 ˆj + kˆ )

(2 î – 5 ˆj + kˆ )

2 = 15 (2 î – 5 ˆj + kˆ )

Jadi, proyeksi vektor 2 15

G G q pada p adalah

(2 î – 5 ˆj + kˆ ).

35. Jawaban: c G G Misalkan p merupakan proyeksi vektor a pada G b sehingga:


61

G p =

=

G G a ⋅b G | b |2

Dengan demikian, diperoleh: X = A–1B

G b

⎛ 1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⋅ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 + 12 + (−1)2

(2 î + ˆj – kˆ )

=

1× 2 + 2 × 1 + 2 × (−1) 4 + 1+ 1

=

2+2−2 6

= – (2 î + ˆj – kˆ )

2 1 1 = 3 î + 3 ˆj – 3 kˆ

G G 2 1 Jadi, proyeksi vektor a pada b adalah 3 î + 3 ˆj 1 – 3 kˆ .

⎛ 2.600.000 ⎞ ⎛2 5⎞ ⎛x⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ y 2 2 ⎝ 1.400.000 ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛x⎞ ⎛2 5⎞ Misalkan A = ⎜ ⎟ , X = ⎜ ⎟ , dan B = ⎝y⎠ ⎝2 2⎠ ⎛ 2.600.000 ⎞ ⎜ ⎟ , maka diperoleh kesamaan matriks ⎝ 1.400.000 ⎠ AX = B. 2 5 2 2

= 2 × 2 – 5 × 2 = 4 – 10 = –6

⎛ 2 −5 ⎞ ⎟ Adj A = ⎜ ⎝ −2 2 ⎠ −5 ⎞ 1 1 ⎛ 2 ⎟ A–1 = Adj A = – ⎜ 2⎠ 6 ⎝ −2 det A

62


1 6

1 6

⎛ 2 × 2.600.000 − 5 × 1.400.000 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ −2 × 2.600.000 + 2 × 1.400.000 ⎠ ⎛ 5.200.000 − 7.000.000 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ −5.200.000 + 2.800.000 ⎠

⎛ −1.800.000 ⎞ ⎛ 300.000 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −2.400.000 ⎠ ⎝ 400.000 ⎠ Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai x = 300.000 dan y = 400.000. Tarif sewa 3 kamar tipe standar dan 1 kamar tipe VIP per hari = 3x + y = 3 × 300.000 + 400.000 = 900.000 + 400.000 = 1.300.000 Jadi, tarif sewa 3 kamar tipe standar dan 1 kamar tipe VIP per hari adalah Rp1.300.000,00.

=–

1 6

2. Misalkan: x = lama selang air A mengalirkan air (menit) y = lama selang air B mengalirkan air (menit) Wadah diisi selama 25 menit, maka: x + y = 25 . . . (1) Volume air dalam wadah 248 liter, maka: 8x + 14y = 248 . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV: x + y = 25 8x + 14y = 248 Menentukan penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.

B. Uraian 1. Misalkan: x = tarif sewa satu kamar standar y = tarif sewa kamar tipe superior Tarif sewa 2 kamar tipe standar dan 5 kamar tipe VIP adalah Rp2.600.000,00, maka: 2x + 5y = 2.600.000 . . . (1) Tarif sewa 2 kamar tipe standar dan 2 kamar tipe VIPadalah Rp1.400.000,00, maka: 2x + 2y = 1.400.000 . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV: 2x + 5y = 2.600.000 2x + 2y = 1.400.000 Menentukan nilai x dan y menggunakan invers matriks. SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.

det A =

=–

(2 î + ˆj – kˆ )

1 = 3 (2 î + ˆj – kˆ )

⎛ 2 −5 ⎞ ⎛ 2.600.000 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ −2 2 ⎠ ⎝ 1.400.000 ⎠

⎛x⎞ 1 ⇔ ⎜ ⎟ =–6 y ⎝ ⎠

⎛1 1 ⎞ Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien ⎜ ⎟. ⎝ 8 14 ⎠ 1

D=

1

= 1 × 14 – 1 × 8 = 14 – 8 = 6

8 14 25

Dx =

1

248 14

Dy =

1

25

8 248

= 25 × 14 – 1 × 248 = 350 – 248 = 102 = 1 × 248 – 25 × 8 = 248 – 200 = 48

Dengan demikian, diperoleh: D

102

x = Dx = 6 = 17 y=

Dy D

48

= 6 =8

Hal ini berarti, selang air A mengalirkan air selama 17 menit dan selang air B mengalirkan air selama 8 menit Banyak air yang dialirkan selang air A = 17 × 8 liter = 136 liter Jadi, banyak air yang dialirkan selang air A adalah 136 liter. 3. Misalkan panjang = p, lebar = l, dan tinggi = t. Jumlah panjang semua rusuk balok sama dengan panjang kawat, maka: 4p + 4AA + 4t = 68 ⇔ p + A + t = 17 . . . (1) Keliling alas balok adalah 22 cm, maka: 2(p + A) = 22 ⇔ p + A = 11 . . . (2) Panjang balok 1 cm lebih dari tingginya, maka: p=1+t ⇔ p–t=1

. . . (3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh SPLTV sebagai berikut. p + A + t = 17 p + A = 11 p–t=1 Terlebih dahulu dicari nilai p, A, dan t menggunakan determinan matriks. Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien

1 1 17 1 1 Dt = 1 1 11 1 1 1 0 1 1 0 –

–

–

–

+

+

p=

–

+

t=

Dt D

–

+

+

+

=

−7 = −1

7

=

−4 = −1

4

=

−6 = −1

6

4. a.

Bayangan titik P(k – 1, –8) setelah ⎛ 2k + 2 3 ⎞ ditransformasi oleh matriks M = ⎜ ⎟ 1⎠ ⎝ k adalah P′(k + 2, 4), maka:

⎛ xP ′ ⎞ ⎛ 2k + 2 3 ⎞ ⎛ xP ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝ yP ⎠ ⎝ k ⎝ yP ′ ⎠ ⎛k + 2⎞ ⎛ 2k + 2 3 ⎞ ⎛ k − 1⎞ ⇔⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎟⎜ 1 ⎠ ⎝ −8 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ k

+

+

⎛k + 2⎞ ⎛ (2k + 2)(k − 1) − 24 ⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 4 k(k − 1) − 8 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Dari kesamaan matriks diperoleh: 4 = k(k – 1) – 8 ⇔ k2 – k – 12 = 0 ⇔ (k – 4)(k + 3) = 0 ⇔ (k – 4) = 0 atau (k + 3) = 0 ⇔ k = 4 atau k = –3 Oleh karena k > 0, maka nilai k = 4. Dengan demikian, diperoleh:

+

1 17 1 1 17 DA = 1 11 0 1 11 1 1 −1 1 1 –

+

Luas permukaan balok = 2(pA + pt + At) = 2(7 × 4 + 7 × 6 + 4 × 6) = 2(28 + 42 + 24) = 2 × 94 = 188 Jadi, luas permukaan balok yang terbentuk 188 cm2.

= 17 × 1 × (–1) + 1 × 0 × 1 + 1 × 11 × 0 – 1 × 1 × 1 – 17 × 0 × 0 – 1 × 11 × (–1) = –17 + 0 + 0 – 1 – 0 + 11 = –7

–

D

DA D

17 1 1 17 1 Dp = 11 1 0 11 1 1 0 −1 1 0 –

Dp

A=

= 1 × 1 × (–1) + 1 × 0 × 1 + 1 × 1 × 0 – 1 × 1 × 1 – 1 × 0 × 0 – 1 × 1 × (–1) = –1 + 0 + 0 – 1 – 0 + 1 = –1

–

–

= 1 × 1 × 1 + 1 × 11 × 1 + 17 × 1 × 0 – 17 × 1 × 1 – 1 × 11 × 0 – 1 × 1 × 1 = 1 + 11 + 0 – 17 – 0 – 1 = –6 Dengan demikian, diperoleh:

⎛1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟. ⎜1 1 0 ⎟ ⎜ 1 0 −1⎟ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 1 D= 1 1 0 1 1 1 0 −1 1 0

–

+

b. +

= 1 × 11 × (–1) + 17 × 0 × 1 + 1 × 1 × 1 – 1 × 11 × 1 – 1 × 0 × 1 – 17 × 1 × (–1) = –11 + 0 + 1 – 11 – 0 + 17 = –4

⎛ 2k + 2 3 ⎞ ⎛ 2 × 4 + 2 3 ⎞ ⎛ 10 3 ⎞ M= ⎜ ⎟ =⎜ ⎟=⎜ ⎟ 1⎠ ⎝ 4 1⎠ ⎝ 4 1⎠ ⎝ k ⎛ 10 3 ⎞ Jadi, matriks M = ⎜ ⎟. ⎝ 4 1⎠ Menentukan bayangan titik Q(k + 1, k). Titik Q(k + 1, k) = Q(4 + 1, 4) = Q(5, 4) Misalkan bayangan titik Q(5, 4) setelah ⎛ 10 3 ⎞ ditransformasi oleh matriks M = ⎜ ⎟ ⎝ 4 1⎠ adalah Q′(x′, y′), maka:


63

Jadi, persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 2

⎛ x′ ⎞ ⎛ 10 3 ⎞ ⎛ x Q ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ y ′ ⎝ ⎠ ⎝ 4 1 ⎠ ⎝ yQ ⎠

⎛0 4⎞ setelah ditransformasi oleh matriks M = ⎜ ⎟ ⎝ 1 2⎠ adalah 5x2 + 16y2 – 16xy = 32. G G G G 6. a. 2 p – 3 q = r + p G G G ⇔ r = p – 3q

⎛ 10 3 ⎞ ⎛ 5 ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 4 1⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎛ 10 × 5 + 3 × 4 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 4 × 5 + 1× 4 ⎠

⎛2⎞ ⎛3⎞ = ⎜ ⎟ – 3⎜ ⎟ − 1 ⎝ ⎠ ⎝4⎠

⎛ 50 + 12 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 20 + 4 ⎠

⎛2⎞ ⎛9⎞ ⎛ −7 ⎞ = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −1⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ −13 ⎠

⎛ 62 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 24 ⎠ Jadi, bayangan titik Q(5, 4) setelah ditransformasi oleh matriks M adalah Q′(62, 24).

x2

b.

y2

5. Misalkan titik (x, y) pada lingkaran + = 2 dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh

G ⎛ −7 ⎞ Jadi, vektor r = ⎜ ⎟. ⎝G−13 ⎠ G G G 2 r + p = 2q – 3p G G G ⇔ 2 r = 2q – 4p G G G ⇔ r = q – 2p

⎛0 4⎞ matriks M = ⎜ ⎟ adalah (x′, y′), maka: ⎝ 1 2⎠

⎛3⎞ ⎛2⎞ = ⎜ ⎟ – 2⎜ ⎟ 4 ⎝ ⎠ ⎝ −1⎠

⎛ x′ ⎞ ⎛0 4⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ y′ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 1 2⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ ⎠ ⎛x⎞ ⎛0 4⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ y ⎝ ⎠ ⎝ 1 2⎠ ⎛x⎞ 1 ⇔ ⎜ ⎟ =–4 y ⎝ ⎠

−1

⎛3⎞ ⎛4⎞ ⎛ −1⎞ = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝ −2 ⎠ ⎝6⎠

⎛ x′ ⎞ ⎜ y′ ⎟ ⎝ ⎠

G ⎛ −1⎞ Jadi, vektor r = ⎜ ⎟ . ⎝6⎠

⎛ 2 −4 ⎞ ⎛ x ′ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝ y ′ ⎠

7.

⎛x⎞ 1 ⎛ 2x ′ − 4y ′ ⎞ ⇔ ⎜ ⎟ =–4 ⎜ ⎟ ⎝y⎠ ⎝ −x′ ⎠ Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: 1

x = – 4 (2x′ – 4y′) 1

. . . (1)

1

y = – 4 (–x′) = 4 x′ . . . (2) Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 2 sehingga diperoleh: x2 + y2 = 2

⇔ ⇔

1

1

(– 4 (2x′ – 4y′))2 + ( 4 x′)2 = 2 1 16

(2x′ –

4y′)2

+

1 16

x′2

=2

4x′2 – 16x′y′ + 16y′2 + x′2 = 32 ⇔ 5x′2 + 16y′2 – 16x′y′ = 32 ⇔ Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′) dan (x′, y′) memenuhi persamaan x2 + y2 = 2, maka persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 2 adalah 5x2 + 16y2 – 16xy = 32 .

64


JJJG MB JJJG MA

1

= 2 ⇔

G G b−m G G a −m

1

= 2 G G G G ⇔ 2( b – m ) = a – m G G G G ⇔ 2b – 2m = a – m G G G ⇔ m = 2b – a = 2(1, 0, –1) – (–2, –2, –2) = (2, 0, –2) – (–2, –2, –2) = (4, 2, 0) Panjang vektor posisi M: G | m | = 42 + 22 + 02 =

16 + 4 + 0

=

20

= 2 5 Jadi, panjang vektor posisi M adalah 2 5 . JJJG JJJG 8. Sudut QPR terbentuk dari vektor PQ dan PR , sehingga:

⎛5⎞ ⎛3⎞ ⎛2⎞ JJJG G G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ PQ = q – p = ⎜ 1 ⎟ – ⎜ 2 ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎜5⎟ ⎜4⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛4⎞ ⎛3⎞ ⎛ 1⎞ JJJG G G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ PR = r – p = ⎜ 3 ⎟ – ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ ⎜6⎟ ⎜4⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Misalkan θ merupakan sudut QPR, diperoleh: cos θ =

JJJG JJJG PQ ⋅ PR JJJG JJJG | PQ | | PR |

⎛ 2 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ −1 ⎟ ⋅ ⎜ 1 ⎜ 1 ⎟ ⎜2 ⎝ ⎠ ⎝

=

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

22 + (−1)2 + 12 × 12 + 12 + 22 2 × 1 + (−1) × 1 + 1× 2

=

4 + 1+ 1× 1+ 1+ 4

= =

1 2

cos θ =

1 2

⎛− 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟⋅⎜ p ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( 3)2 + p2 + 32

G ( 3 i + p ˆj + 3 kˆ )

2

3+p +9

G ( 3 i + p ˆj + 3 kˆ )

G = −3 + 3p + 3 ( 3 i + p ˆj + 3 kˆ ) 2 p + 12 3p

G ( 3 i + p ˆj + 3 kˆ )

G Oleh karena panjang proyeksi vektor u pada vektor

=

(4, − 2, 2) ⋅ (2, − 6, 4)

=

4 × 2 + (−2) × (−6) + 2 × 4 4 + 36 + 16

22 + (−6)2 + 42

(2 î – 6 ˆj + 4 kˆ )

1 = 2 (2 î – 6 ˆj + 4 kˆ ) = î – 3 ˆj + 2 kˆ

G G Jadi, proyeksi vektor ortogonal u pada v

adalah î – 3 ˆj + 2 kˆ .

G G Proyeksi vektor ortogonal v pada u G Misalkan q merupakan proyeksi vektor G G ortogonal v pada u G G G v ⋅u G q = G2 u |u|

=

(2, − 6, 4) ⋅ (4, − 2, 2)

=

2 × 4 + (−6) × (−2) + 4 × 2 16 + 4 + 4

=

8 + 12 + 8 16 + 4 + 4

42 + (−2)2 + 22

(4 î – 2 ˆj + 2 kˆ ) (4 î – 2 ˆj + 2 kˆ )

(4 î – 2 ˆj + 2 kˆ )

28

G 3 v adalah 2 , diperoleh:

= 24 (4 î – 2 ˆj + 2 kˆ )

G 3 |r | = 2

= 6 (4 î – 2 ˆj + 2 kˆ )

7

G G Jadi, proyeksi vektor ortogonal v pada u 2

⇒

(2 î – 6 ˆj + 4 kˆ )

56

b.

− 3 × 3 + 3 × p + 1× 3

p2 + 12

9

= 4

= 8 + 12 + 8 (2 î – 6 ˆj + 4 kˆ )

|v|

=

p + 12

|v|

1

=

9p2 2

G G G u⋅v G p = G2 v

⇔ θ = arc cos 2 = 60° Jadi, besar sudut QPR adalah 60°. G G 9. Misalkan r merupakan proyeksi vektor u pada G vektor v , diperoleh: G G G u⋅v G r = G2 v

=

9

(p2 + 12) = 4

⇔ 36p2 = 9p2 + 108 ⇔ 27p2 = 108 ⇔ p2 = 4 ⇔ p = ±2 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 2 atau –2. G G 10. a. Proyeksi vektor ortogonal u pada v G Misalkan p merupakan proyeksi vektor G G ortogonal u pada v

6× 6

3 6

2

⇔

2 − 1+ 2

=

⎛ 3p ⎞ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p + 12 ⎠

⇔

(

)

⎛ 3p ⎞ 3 2 2 2 ⎜ p2 + 12 ⎟ ( 3) + p + 3 = 2 ⎝ ⎠

7 adalah 6 (4 î – 2 ˆj + 2 kˆ ).


65

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. mendeskripsikan dan merancang model matematika dari permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan bunga majemuk; 2. menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan bunga majemuk; 3. mendeskripsikan dan merancang model matematika dari permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan angsuran anuitas; 4. menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan angsuran anuitas. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik: 1. menunjukkan perilaku disiplin, sikap kerja sama, sikap kritis, dan cermat dalam bekerja menyelesaikan masalah kontekstual; 2. memiliki dan menunjukkan sikap ingin tahu, motivasi internal, rasa senang dan tertarik, dan percaya diri dalam melakukan kegiatan belajar ataupun memecahkan masalah nyata.

Bunga Majemuk dan Angsuran Anuitas

Bunga Majemuk

• • • • •

Menjelaskan konsep bunga majemuk. Menentukan rumusan umum bunga majemuk. Menentukan nilai akhir bunga majemuk. Menentukan nilai akhir bunga majemuk dengan suku bunga pecahan. Menyelesaikan model matematika dari permasalahan yang berkaitan dengan bunga majemuk.

Angsuran Anuitas

• • • • • •

Menjelaskan konsep angsuran anuitas. Menentukan rumusan umum angsuran anuitas. Menentukan rencana angsuran. Menentukan hubungan antarangsuran. Menjelaskan sisa pinjaman. Menyelesaikan model matematika dari permasalahan yang berkaitan dengan angsuran anuitas.

Memiliki sikap logis, kritis, kreatif, disiplin, dan rasa ingin tahu, serta memiliki rasa percaya diri dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bunga majemuk dan angsuran anuitas.

66


A.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: b Modal awal = M = 20.000.000 Suku bunga = i = 10% = 0,1 per tahun Periode = t = 8 tahun Modal akhir setelah 8 tahun: M8 = M (1 + i)8 = 20.000.000 (1 + 0,1)8 = 20.000.000 (1,1)8 = 20.000.000 × 2,1436 = 42.872.000 Jadi, modal akhir setelah 8 tahun sebesar Rp42.872.000,00. 2. Jawaban: c Modal awal = M = 15.000.000 Suku bunga = i = 5% = 0,05 per caturwulan Periode = t = 3 tahun 4 bulan = 10 caturwulan Modal yang harus dikembalikan: M10 = M (1 + i)10 = 15.000.000 (1 + 0,05)10 = 15.000.000 (1,05)10 = 15.000.000 × 1,6289 = 24.433.500 Jadi, modal yang harus dikembalikan Pak Joni sebesar Rp24.433.500,00. 3. Jawaban: c Modal awal = M = 12.000.000 Suku bunga = i = 7% = 0,07 per semester Modal akhir = Mt = 22.062.000 Periode pembungaan: Mt = M (1 + i)t ⇒ 22.062.000 = 12.000.000 (1 + 0,07)t ⇔ 22.062.000 = 12.000.000 (1,07)t ⇔ 1,07t = 1,8385 ⇔ log 1,07t = log 1,8385 ⇔ t × log 1,07 = log 1,8385 ⇔ t × 0,0294 = 0,2645 ⇔ t=9 Jadi, periode pembungaan pinjaman tersebut selama 9 semester. 4. Jawaban: d Suku bunga = i = 10% = 0,1 per tahun Periode = t = 4 tahun Modal akhir = M4 = 6.588.450 Besar modal semula: M4 = M (1 + i)4 ⇒ 6.588.450 = M (1 + 0,1)4 ⇔ 6.588.450 = M (1,1)4

⇔ 6.588.450 = M × 1,4641 ⇔ M = 4.500.000 Jadi, uang semula yang ditabungkan sebesar Rp4.500.000,00. 5. Jawaban: a Modal awal = M = 9.000.000 Suku bunga = i = 6% = 0,06 per semester

Periode = t = 3 tahun 2 bulan = 6 semester Modal akhir:

Mt = M (1 + i)6 (1 + i × )

= 9.000.000 (1 + 0,06)6 (1 + 0,06 × ) = 9.000.000 (1,06)6 (1 + 0,02) = 9.000.000 × 1,4185 × 1,02 = 13.022.100 Jadi, besarnya modal setelah ditabungkan dalam periode tersebut adalah Rp13.022.100,00. 6. Jawaban: c Modal awal = M = 35.000.000 Suku bunga = i = 1,5% = 0,015 per triwulan Modal akhir = Mt = 39.427.500 Periode investasi: Mt = M (1 + i)t ⇒ 39.427.500 = 35.000.000 (1 + 0,015)t ⇔ 39.427.500 = 35.000.000 (1,015)t ⇔ 1,015t = 1,1265 ⇔ log 1,015t = log 1,1265 ⇔ t × log 1,015 = log 1,1265 ⇔ t × 0,0065 = 0,0517 ⇔ t = 8 triwulan ⇔ t = 8 × 3 bulan ⇔ t = 24 bulan Jadi, uang tersebut harus diinvestasikan selama 24 bulan. 7. Jawaban: e Suku bunga = i = 4% = 0,04 per semester Periode = t = 5 tahun = 10 semester Modal akhir = M10 = 13.321.800 Besar pinjaman semula: M10 = M (1 + i)10 ⇒ 13.321.800 = M (1 + 0,04)10 ⇔ 13.321.800 = M (1,04)10 ⇔ 13.321.800 = M × 1,4802 ⇔ M = 9.000.000 Jadi, pinjaman Pak Wawan semula sebesar Rp9.000.000,00.


67

8. Jawaban: b Modal awal = M = 5.000.000 Suku bunga = i = 1,2% = 0,012 per bulan Modal akhir = Mt = 5.371.000 Periode pembungaan: Mt = M (1 + i)t ⇒ 5.371.000 = 5.000.000 (1 + 0,012)t ⇔ 5.371.000 = 5.000.000 (1,012)t ⇔ 1,012t = 1,0742 ⇔ log 1,012t = log 1,0742 ⇔ t × log 1,012 = log 1,0742 ⇔ t × 0,0052 = 0,0311 ⇔ t=6 Jadi, modal tersebut dibungakan selama 6 bulan. 9. Jawaban: e Modal awal = M = 6.500.000 Periode = t = 2,5 tahun = 5 semester Modal akhir = M5 = 8.698.300 Besar suku bunga: M5 = M (1 + i)5 ⇒ 8.698.300 = 6.500.000 × (1 + i)5 ⇔ (1 + i)5 = 1,3382 ⇔ 1 + i = ⇔ 1 + i = 1,06 ⇔ i = 1,06 – 1 ⇔ i = 0,06 ⇔ i = 6% Jadi, suku bunga yang dibebankan kepada Bu Rita sebesar 6% per semester. 10. Jawaban: e Modal akhir = Mt = 21.866.400 Suku bunga = i = 6% = 0,06 per semester

Besar uang yang diinvestasikan: Mt = M (1 +

(1 + i ×

)

⇒

21.866.400 = M (1 + 0,06)3 (1 + 0,06 × ) ⇔ 21.866.400 = M (1,06)3 (1 + 0,02) ⇔ 21.866.400 = M × 1,191 × 1,02 M = 18.000.000 ⇔ Jadi, uang yang diinvestasikan sebesar Rp18.000.000,00. B.

Uraian

1. Modal awal = M = 6.000.000 Suku bunga = i = 1,8% = 0,018 per bulan Periode = t = 1 tahun = 12 bulan

68


b.

Jumlah tabungan Jumlah tabungan setelah 1 tahun: M12 = M (1 + i)12 = 6.000.000 (1 + 0,018)12 = 6.000.000 (1,018)12 = 6.000.000 × 1,2387 = 7.432.200 Jadi, jumlah tabungan Denada setelah satu tahun sebesar Rp7.432.200,00. Besar bunga Bunga merupakan selisih antara modal akhir dengan moda awal, diperoleh: B = M12 – M = 7.432.200 – 6.000.000 = 1.432.200 Jadi, besar bunga yang diterima Denada selama satu tahun adalah Rp1.432.200,00.

2. Modal awal = M = 20.000.000 Suku bunga = i = 4% = 0,04 per semester Modal akhir = Mt = 27.372.000 Periode pembungaan: Mt = M (1 + i)t ⇒ 27.372.000 = 20.000.000 (1 + 0,04)t ⇔ 27.372.000 = 20.000.000 (1,04)t 1,04t = 1,3686 ⇔ log 1,04t = log 1,3686 ⇔ ⇔ t × log 1,04 = log 1,3686 t × 0,017 = 0,1363 ⇔ t = 8 semester ⇔

⇔

Periode = t = 1 tahun 8 bulan = 3 semester i)3

a.

t = tahun t = 4 tahun ⇔ Jadi, Pak Junaidi menginvestasikan modalnya selama 4 tahun. 3. Suku bunga = i = 5% = 0,05 per caturwulan Periode = t = 4 tahun = 12 caturwulan Modal akhir = M12 = 21.550.800 Besar pinjaman semula: M12 = M (1 + i)12 ⇒ 21.550.800 = M (1 + 0,05)12 ⇔ 21.550.800 = M (1,05)12 ⇔ 21.550.800 = M × 1,7959 M = 12.000.000 ⇔ Jadi, pinjaman Pak Ali semula sebesar Rp12.000.000,00. 4. Modal awal = M = 8.000.000 Suku bunga = i = 15% per tahun = 5% per caturwulan = 0,05 per caturwulan Modal akhir = Mt = 14.367.200

Periode pembungaan: Mt = M (1 + i)t ⇒ 14.367.200 = 8.000.000 (1 + 0,05)t ⇔ 14.367.200 = 8.000.000 (1,05)t 1,05t = 1,7959 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

log 1,05t = log 1,7959 t × log 1,05 = log 1,7959 t × 0,0212 = 0,2543 t = 12 caturwulan

⇔

t = tahun t = 3 tahun ⇔ Jadi, modal tersebut dipinjamkan selama 3 tahun.

A.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: e Anuitas = A = 850.000 Bunga pertama = b1 = 275.000 Besar angsuran pertama: Anuitas merupakan jumlahan antara angsuran pertama dan bunga pertama, diperoleh: A = a1 + b1 ⇒ 850.00 = a1 + 275.000 ⇔ a1 = 850.000 – 275.000 ⇔ a1 = 575.000 Jadi, besar angsuran pertamanya adalah Rp575.000,00. 2. Jawaban: a Anuitas = A = 928.000 Angsuran ke-8 = a8 = 768.500 Beban bunga ke-8: Anuitas merupakan jumlahan antara angsuran ke-8 dan bunga ke-8, diperoleh: A = a8 + b8 ⇒ 928.000 = 768.500 + b8 ⇔ b8 = 928.000 – 768.500 ⇔ b8 = 159.500 Jadi, besar bunga ke-8 yang dibebankan adalah adalah Rp159.500,00. 3. Jawaban: d Pinjaman = M = 9.500.000 Anuitas = A = 850.000 Suku bunga = i = 4% = 0,04 per bulan Anuitas merupakan jumlahan antara angsuran pertama dan bunga pertama, diperoleh:

5. Modal awal = M = 4.500.000 Periode = t = 4 bulan Modal akhir = M4 = 4.682.700 Besar suku bunga: M4 = M (1 + i)4 ⇒ 4.682.700 = 4.500.000 (1 + i)4 (1 + i)4 = 1,0406 ⇔ 1 + i = ⇔ 1 + i = 1,01 ⇔ i = 1,01 – 1 ⇔ i = 0,01 ⇔ i = 1% ⇔ Jadi, suku bunga yang dibebankan atas pinjaman tersebut sebesar 1% per bulan.

A = a1 + b1 ⇔ a1 = A – b1 =A–M×i = 850.000 – 9.500.000 × 0,04 = 850.000 – 380.000 = 470.000 Jadi, angsuran pertamanya sebesar Rp470.000,00. 4. Jawaban: b Suku bunga = i = 2,5% = 0,025 per periode Angsuran kelima = a5 = 300.000 Bunga pertama = b1 = 56.000 Oleh karena sudah diketahui besarnya bunga pertama, maka untuk menentukan nilai anuitas perlu ditentukan besarnya angsuran pertama. Hubungan antara angsuran pertama dan kelima sebagai berikut. a5 = a1 (1 + i)4 ⇒ 300.000 = a1 (1 + 0,025)4 ⇔ 300.000 = a1 (1,025)4 ⇔ 300.000 = a1 × 1,1038 ⇔ a1 = 271.788,37 Anuitas merupakan jumlahan antara angsuran pertama dan bunga pertama, diperoleh: A = a1 + b1 = 271.788,37 + 56.000 = 327.788,37 Jadi, besarnya anuitas adalah Rp327.788,37. 5. Jawaban: c Pinjaman = M = 15.000.000 Suku bunga = i = 1,5% = 0,015 per bulan Periode = t = 1 tahun = 12 bulan


69

Besarnya anuitas: A =

× − + −

=

× − + −

=

− −

=

−

=

= 1.375.305,62 Jadi, nilai anuitas dari pinjaman tersebut adalah Rp1.375.305,62. 6. Jawaban: a Pinjaman = M = 4.800.000 Suku bunga = i = 2% = 0,02 per bulan Periode = t = 5 bulan Besarnya anuitas: A = =

× − + −

× − + −

9. Jawaban: c Pinjaman = M = 15.000.000 Suku bunga = i = 2% = 0,02 per bulan Periode = t = 10 bulan Langkah menentukan sisa pinjaman ke-8 dapat dilakukan dengan menghitung nilai anuitas terlebih dahulu, yaitu: A =

× − + −

=

× − + −

=

− −

=

− −

=

=

−

=

=

= 1.018.027,57 Jadi, besar anuitasnya adalah Rp1.018.027,57. 7. Jawaban: b Suku bunga = i = 1,5% = 0,015 per bulan Angsuran kedua = a2 = 320.000 Angsuran kelima: a5 = a2 (1 + i)5 – 2 = a2 (1 + i)3 = 320.000 (1 + 0,015)3 = 320.000 (1,015)3 = 320.000 × 1,0457 = 334.624 Jadi, besar angsuran pada bulan kelima adalah Rp334.624,00. 8. Jawaban: d Pinjaman = M = 10.000.000 Anuitas = A = 650.000 Suku bunga = i = 2% = 0,02 per bulan Untuk menentukan besar angsuran ke-10, dapat ditentukan besarnya bunga pertama, diperoleh: b1 = M × i = 10.000.000 × 0,02 = 200.000

70

Dari bunga pertama dapat ditentukan angsuran pertama, yaitu: A = a1 + b1 ⇒ 650.000 = a1 + 200.000 ⇔ a1 = 450.000 Besar angsuran ke-10: a10 = a1 (1 + i)9 = 450.000 (1 + 0,02)9 = 450.000 (1,02)9 = 450.000 × 1,1951 = 537.795 Jadi, besar angsuran ke-10 adalah Rp537.795,00.


−

= 1.669.449,08 Besarnya angsuran pertama: a1 = A – b1 =A–M×i = 1.669.449,08 – 15.000.000 × 0,02 = 1.669.449,08 – 300.000 = 1.369.449,08 Sisa pembayaran setelah t periode: St = M –

+ −

Untuk t = 8 diperoleh: S8 = M –

+ −

= 15.000.000 –

+ −

= 15.000.000 –

−

= 15.000.000 –

−

= 15.000.000 –

×

= 15.000.000 – 11.756.720,35 = 3.243.279,65 Jadi, sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-8 adalah Rp3.243.279,65.

10. Jawaban: e Pinjaman = M = 35.000.000 Suku bunga = i = 1,2% = 0,012 per bulan Periode = t = 4 tahun = 48 bulan Nilai anuitas: A =

× − + −

=

× − + −

=

− −

=

−

=

= 963.523,74 Besarnya angsuran pertama: a1 = A – b1 =A–M×i = 963.523,74 – 35.000.000 × 0,012 = 963.523,74 – 420.000 = 543.523,74 Sisa pembayaran setelah t periode: St = M –

+ −


+ −

= 35.000.000 –

+ −

= 35.000.000 –

−

= 35.000.000 –

−

= 35.000.000 –

×

= 35.000.000 – 15.739.541,64 = 19.260.458,36 Jadi, sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-25 adalah Rp19.260.458,36. B.

Uraian

1. Pinjaman = M = 3.000.000 Suku bunga = i = 2% = 0,02 per bulan Anuitas = A = 200.000 a. Bunga pertama b1 = M × i = 3.000.000 × 0,02 = 60.000 Jadi, besar bunga pertama adalah Rp60.000,00.

b.

Angsuran ke-6 Besarnya angsuran ke-6 terkait dengan angsuran pertama, sehingga besar angsuran pertama harus ditentukan terlebih dahulu. A = a1 + b1 ⇒ 200.000 = a1 + 60.000 a1 = 140.000 ⇔ Besar angsuran ke-6: a6 = a1 (1 + i)5 = 140.000 (1 + 0,02)5 = 140.000 (1,02)5 = 140.000 × 1,1041 = 154.574 Jadi, besar angsuran ke-6 adalah Rp154.574,00.

2. Anuitas = A = 2.000.000 Angsuran pertama = a1 = 1.640.696,60 Suku bunga = i = 2% = 0,02 per bulan a. Periode pinjaman Hubungan antara anuitas dan angsuran pertama seperti berikut. A = a1 (1 + i)t ⇒ 2.000.000 = 1.640.696,60 (1 + 0,02)t ⇔ 2.000.000 = 1.640.696,60 (1,02)t ⇔ 1,02t = 1,2189 ⇔ log 1,02t = log 1,2189 ⇔ t × log 1,02 = log 1,2189 ⇔ t × 0,0086 = 0,086 ⇔ t = 10 Jadi, pinjaman tersebut akan lunas selama 10 bulan. b. Besar pinjaman Besar pinjaman dapat dikaitkan dengan besar bunga pertama. Oleh karena diketahui anuitas dan angsuran pertama, maka besar bunga pertama sebagai berikut. A = a1 + b1 ⇒ 2.000.000 = 1.640.696,60 + b1 ⇔ b1 = 359.303,40 Besar pinjaman: b1 = M × i ⇒ 359.303,40 = M × 0,02 ⇔ M = 17.965.170 Jadi, besar pinjaman semula adalah Rp17.965.170,00. 3. Suku bunga = i = 1,8% = 0,018 per bulan Angsuran kedua = a2 = 720.000 Hubungan antara angsuran kedua dan kelima dinyatakan seperti berikut. a5 = a2 (1 + i)5 – 2 diperoleh:


71

a5 = a2 (1 + i)3 = 720.000 (1 + 0,018)3 = 720.000 (1,018)3 = 720.000 × 1,055 = 759.600 Jadi, besar angsuran kelima adalah Rp759.600,00. 4. Pinjaman = M = 12.000.000 Suku bunga = i = 1,5% = 0,015 per bulan Periode = t = 2 tahun = 24 bulan Nilai anuitas: A =

× − + −

× − + −

× − + −

=

× − + −

=

− −

=

− −

=

−

=

=

= 599.000 Besarnya angsuran pertama: a1 = A – b1 =A–M×i = 599.000 – 12.000.000 × 0,015 = 599.000 – 180.000 = 419.000 Sisa pembayaran setelah t periode: St = M –

+ −


+ −

= 12.000.000 –

+ −

= 12.000.000 –

−

= 12.000.000 –

−

Pilihan Ganda

1. Jawaban: a Modal awal = M = 15.000.000 Suku bunga = i = 1,5% = 0,015 per bulan Periode = t = 10 bulan Jumlah uang Pak Roni:

72

5. Pinjaman = M = 1.500.000 Suku bunga = i = 4% = 0,04 per bulan Periode = t = 5 bulan Nilai anuitas:

=

−

×


A =

=

A.

= 12.000.000 –


= 336.889,39 Bunga pertama: b1 = M × i = 1.500.000 × 0,04 = 60.000 Angsuran pertama: a1 = A – b1 = 336.889,39 – 60.000 = 276.889,39 Sisa pinjaman setelah angsuran pertama: S1 = M – a1 = 1.500.000 – 276.889,39 = 1.223.110,61 Dengan langkah yang sama, diperoleh tabel pelunasan seperti berikut. Anuitas

Bulan Ke-

Pinjaman Awal Bulan Ke-

Bunga

Angsuran

Sisa Pinjaman Bulan Ke-

1 2 3 4 5

1.500.000,00 1.223.109,64 935.143,67 635.659,05 324.195,05

60.000,00 48.924,39 37.405,75 25.426,36 12.967,80

276.890,36 287.965,97 299.484,61 311.464,00 311.227,25

1.223.109,64 935.143,67 635.659,05 324.195,00 0

M10 = M (1 + i)10 = 15.000.000 (1 + 0,015)10 = 15.000.000 (1,015)10 = 15.000.000 × 1,1605 = 17.407.500 Jadi, jumlah uang Pak Roni setelah disimpan selama 10 bulan sebesar Rp17.407.500,00.

2. Jawaban: d Suku bunga = i = 8% = 0,08 per semester Periode = t = 2 tahun = 4 semester Modal akhir = M4 = 10.884.000 Besar pinjaman semula: M4 = M (1 + i)4 ⇒ 10.884.000 = M (1 + 0,08)4 ⇔ 10.884.000 = M (1,08)4 ⇔ 10.884.000 = M × 1,3605 ⇔ M = 8.000.000 Jadi, besar pinjaman semula adalah Rp8.000.000,00. 3. Jawaban: d Modal awal = M = 6.000.000 Suku bunga = i = 1,8% = 0,018 per bulan Modal akhir = Mt = 6.920.400 Periode pembungaan: Mt = M (1 + i)t ⇒ 6.920.400 = 6.000.000 (1 + 0,018)t ⇔ 6.920.400 = 6.000.000 (1,018)t ⇔ 1,018t = 1,1534 ⇔ log 1,018t = log 1,1534 ⇔ t × log 1,018 = log 1,1534 ⇔ t × 0,0077 = 0,0619 ⇔ t=8 Jadi, periode pembungaan pinjaman tersebut selama 8 bulan. 4. Jawaban: b Modal awal = M = 12.000.000 Suku bunga = i = 6% = 0,06 per semester

Periode = t = 2 tahun 2 bulan = 4 semester Modal akhir:

Mt = M (1 + i)4 (1 + i × ) = 12.000.000 (1 +

0,06)4

(1 + 0,06 ×

)

(1,06)4

= 12.000.000 (1 + 0,02) = 12.000.000 × 1,2625 × 1,02 = 15.453.000 Jadi, besar modal akhirnya adalah Rp15.453.000,00. 5. Jawaban: b Modal awal: M = 12.500.000 Periode: t = 1 tahun = 12 bulan Modal akhir: M12 = 14.945.000 Besar suku bunga: M12 = M (1 + i)12 ⇒ 14.945.000 = 12.500.000 (1 + i)12 ⇔ (1 + i)12 = 1,1956 ⇔

1+i=

⇔ 1 + i = 1,015 ⇔ i = 1,015 – 1 ⇔ i = 0,015 ⇔ i = 1,5% Jadi, suku bunga yang dibebankan adalah 1,5%.

6. Jawaban: c Modal awal = M = 2.000.000 Suku bunga = i = 1% = 0,01 per bulan Periode = t = 1,5 tahun = 18 bulan Bunga merupakan selisih antara modal akhir dikurangi modal awal. Besar modal akhirnya seperti berikut. M18 = M (1 + i)18 = 2.000.000 (1 + 0,01)18 = 2.000.000 (1,01)18 = 2.000.000 × 1,1961 = 2.392.200 Besar bunga: B = M18 – M = 2.392.200 – 2.000.000 = 392.200 Jadi, bunga yang diperoleh Damar sebesar Rp392.200,00. 7. Jawaban: b Modal awal = M = 20.000.000 Suku bunga = i = 1,1% = 0,011 per bulan Modal akhir = Mt = 22.312.000 Periode pembungaan: Mt = M (1 + i)t ⇒ 22.312.000 = 20.000.000 (1 + 0,011)t ⇔ 22.312.000 = 20.000.000 (1,011)t ⇔ 1,011t = 1,1156 ⇔ log 1,011t = log 1,1156 ⇔ t × log 1,011 = log 1,1156 ⇔ t × 0,0048 = 0,048 ⇔ t = 10 Jadi, modal tersebut diinvestasikan selama 10 bulan. 8. Jawaban: a Modal awal = M = 5.000.000 Suku bunga = i = 1% = 0,01 per bulan Periode = t = 1 tahun 5 bulan = 17 bulan Pinjaman yang harus dikembalikan: M17 = M (1 + i)17 = 5.000.000 (1 + 0,01)17 = 5.000.000 (1,01)17 = 5.000.000 × 1,1843 = 5.921.500 Jadi, jumlah pinjaman yang harus dikembalikan oleh Rangga sebesar Rp5.921.500,00. 9. Jawaban: c Modal awal = M = 25.000.000 Periode = t = 4 tahun Modal akhir = M4 = 39.337.500 Besar suku bunga: M4 = M (1 + i)4 ⇒ 39.337.500 = 25.000.000 (1 + i)4 ⇔ (1 + i)4 = 1,5735 ⇔

1+i=


73

⇔ 1 + i = 1,12 ⇔ i = 1,12 – 1 ⇔ i = 0,12 ⇔ i = 12% Jadi, besar suku bunga yang diberikan adalah 12%. 10. Jawaban: c Suku bunga = i = 9% = 0,09 per semester

Periode = t = 2 tahun 4 bulan = 4 semester Modal akhir = Mt = 17.955.600 Besar investasi:

Nilai anuitasnya: A = a1 + b1 = 282.645,56 + 56.000 = 338.645,56 Jadi, nilai anuitasnya adalah Rp338.645,56. 13. Jawaban: b Pinjaman = M = 12.000.000 Suku bunga = i = 5% = 0,05 per semester Periode = t = 2 tahun = 4 semester Nilai anuitas: A =

Mt = M (1 + i)4 (1 + i × ) 17.955.600 = M (1 + 0,09)4 (1 + 0,09 × ) ⇔ 17.955.600 = M (1,09)4 (1 + 0,06) ⇔ 17.955.600 = M × 1,4119 × 1,06 ⇔ M = 12.000.000 Jadi, uang yang diinvestasikan sebesar Rp12.000.000,00.

11. Jawaban: b Pinjaman = M = 3.000.000 Suku bunga = i = 1% = 0,01 per bulan Periode = t = 4 bulan Nilai anuitas: A=

× − + −

=

× − + −

=

− −

=

−

=

= 769.230,77 Jadi, nilai anuitasnya adalah Rp769.230,77. 12. Jawaban: c Suku bunga = i = 1,5% = 0,015 per bulan Angsuran kelima = a5 = 300.000 Bunga pertama = b1 = 56.000 Oleh karena nilai anuitas merupakan jumlahan antara angsuran pertama dan bunga pertama, maka harus ditentukan nilai angsuran pertama terlebih dahulu. Angsuran pertama: a5 = a1 (1 + i)5 – 1 ⇒ 300.000 = a1 (1 + 0,015)4 ⇔ 300.000 = a1 (1,015)4 ⇔ 300.000 = a1 × 1,0614 ⇔ a1 = 282.645,56

74

=

× − + −

=

− −

⇒


× − + −

=

−

=

= 3.384.094,75 Jadi, nilai anuitasnya sebesar Rp3.384.094,75. 14. Jawaban: c Pinjaman = M = 5.000.000 Suku bunga = i = 1,8% = 0,018 per bulan Periode = t = 1 tahun = 12 bulan Untuk menentukan angsuran pertama diperlukan nilai anuitas dan bunga pertama seperti berikut. Nilai anuitas: A =

× − + −

=

× − + −

=

− −

=

−

=

= 467.047,22 Besar bunga pertama: b1 = M × i = 5.000.000 × 0,018 = 90.000 Besar angsuran pertama: A = a1 + b1 ⇒ 467.047,22 = a1 + 90.000 ⇔ a1 = 377.047,22 Jadi, besar angsuran pertamanya adalah Rp377.047,22.

15. Jawaban: e Pinjaman = M = 10.000.000 Anuitas = A = 800.000 Suku bunga = i = 1,2% = 0,012 per bulan Untuk menentukan besar bunga ke-7 diperlukan nilai angsuran ketujuh. a7 = a1 (1 + i)6 = (A – b1) (1 + i)6 = (A – M × i) (1 + i)6 = (800.000 – 10.000.000 × 0,012) (1 + 0,012)6 = (800.000 – 120.000) (1,012)6 = 680.000 × 1,0742 = 730.456 Besar bunga ke-7: A = a7 + b7 ⇒ 800.000 = 730.456 + b7 ⇔ b7 = 69.544 Jadi, besar bunga ke-7 yang ditanggung adalah Rp69.544,00. 16. Jawaban: d Pinjaman = M = 10.000.000 Anuitas = A = 750.000 Suku bunga = i = 2% = 0,02 per bulan Nilai angsuran ke-10: a10 = a1 (1 + i)9 = (A – b1) (1 + i)9 = (A – M × i) (1 + i)9 = (750.000 – 10.000.000 × 0,02) (1 + 0,02)9 = (750.000 – 200.000) (1,02)9 = 550.000 × 1,1951 = 657.305 Jadi, besar angsuran ke-10 adalah Rp657.305,00. 17. Jawaban: b Suku bunga = i = 1,5% = 0,015 per bulan Angsuran kedua = a2 = 675.000 Angsuran keenam: a6 = a2 (1 + i)6 – 2 = a2 (1 + i)4 = 675.000 (1 + 0,015)4 = 675.000 (1,015)4 = 675.000 × 1,0614 = 716.445 Jadi, besar angsuran pada bulan keenam adalah Rp716.445,00. 18. Jawaban: a Pinjaman = M = 9.000.000 Periode = t = 12 bulan Suku bunga = i = 1% = 0,01 per bulan Untuk menentukan besar bunga ke-11 diperlukan nilai anuitas dan angsuran ke-11 sebagai berikut.

Nilai anuitas: A=

× − + −

=

× − + −

=

− −

=

−

=

= 799.289,52 Nilai angsuran ke-11: a11 = a1 (1 + i)10 = (A – b1) (1 + i)10 = (A – M × i) (1 + i)10 = (799.289,52 – 9.000.000 × 0,01) (1 + 0,01)10 = (799.289,52 – 90.000) (1,01)10 = 709.289,52 × 1,1046 = 783.481,20 Besar bunga ke-11: A = a11 + b11 ⇒ 799.289,52 = 783.481,20 + b11 ⇔ b11 = 15.808,32 Jadi, besarnya bunga ke-11 adalah Rp15.808,32. 19. Jawaban: d Pinjaman = M = 12.000.000 Suku bunga = i = 1,3% = 0,013 per bulan Periode = t = 9 bulan Langkah menentukan sisa pinjaman ke-7 dapat dilakukan dengan menghitung nilai anuitas terlebih dahulu, yaitu: Nilai anuitas: A =

× − + −

=

× − + −

=

− −

=

−

=

= 1.422.060,16 Besarnya angsuran pertama: a1 = A – b1 =A–M×i = 1.422.060,16 – 12.000.000 × 0,013 = 1.422.060,16 – 156.000 = 1.266.449,08


75

Sisa pembayaran setelah t periode: St = M –

= 25.000.000 –

+ −



+ −

= 12.000.000 –

+ −

= 12.000.000 –

−

= 12.000.000 –

−

= 12.000.000 –

×

= 12.000.000 – 9.215.852,54 = 2.784.147,46 Jadi, sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-7 adalah Rp2.784.147,46. 20. Jawaban: b Pinjaman = M = 25.000.000 Suku bunga = i = 1% = 0,01 per bulan Periode = t = 2 tahun = 24 bulan Nilai anuitas: A =

× − + −

=

× − + −

=

− −

=

−

1. Modal awal = M = 5.000.000 Suku bunga = i = 1,1% = 0,011 per bulan Periode = t = 2 tahun = 24 bulan a. Jumlah uang Feri M24 = M (1 + i)24 = 5.000.000 (1 + 0,011)24 = 5.000.000 (1,011)24 = 5.000.000 × 1,3003 = 6.501.500 Jadi, jumlah uang Feri setelah 2 tahun adalah Rp6.501.500,00. b. Besar bunga Bunga merupakan selisih antara modal akhir dan modal awal, diperoleh: B = M24 – M = 6.501.500 – 5.000.000 = 1.501.500 Jadi, besar bunga yang diperoleh Feri adalah Rp1.501.500,00. 2. Modal awal = M = 15.000.000 Suku bunga = i = 8% = 0,08 per semester

Modal akhir:

Mt = M (1 + i)3 (1 + i × )

= 1.177.024,48 Besarnya angsuran pertama: a1 = A – b1 =A–M×i = 1.177.024,48 – 25.000.000 × 0,01 = 1.177.024,48 – 250.000 = 927.024,48 Sisa pembayaran setelah t periode:

+ −

Untuk t = 20 diperoleh:

+ − 25.000.000 –

+ −

S20 = M –

76

Uraian

=

B.

Periode = t = 1 tahun 9 bulan = 3 semester

=

St = M –

×

= 25.000.000 –

−

= 25.000.000 –

−


= 15.000.000 (1 + 0,08)3 (1 + 0,08 × ) = 15.000.000 (1,08)3 (1 + 0,04) = 15.000.000 × 1,2597 × 1,04 = 19.651.500 Jadi, nilai akhir modal yang diinvestasikan adalah Rp19.651.500,00. 3. Suku bunga = i = 1,8% = 0,018 per bulan Periode = t = 3 tahun = 36 bulan Modal akhir = M36 = 22.808.400 Besar pinjaman semula: M36 = M (1 + i)36 ⇒ 22.808.400 = M (1 + 0,018)36 ⇔ 22.808.400 = M (1,018)36 ⇔ 22.808.400 = M × 1,9007 ⇔ M = 12.000.000 Jadi, jumlah pinjaman Bu Dewi semula adalah Rp12.000.000,00.

4. Modal awal = M = 15.000.000 Periode = t = 2 tahun = 24 bulan Modal akhir = M24 = 21.442.500 Besar suku bunga: M24 = M (1 + i)24 ⇒ 21.442.500 = 15.000.000 (1 + i)24 ⇔ (1 + i)24 = 1,4295 ⇔

1+i=

b.

Angsuran bulan ketujuh Angsuran bulan ketujuh berkaitan dengan nilai angsuran bulan pertama. Angsuran bulan pertama: A = a1 + b1 ⇒ 700.000 = a1 + 65.000 ⇔ a1 = 635.000 Besar angsuran bulan ketujuh: a7 = a1 (1 + i)6 = 635.000 (1 + 0,01)6 = 635.000 (1,01)6 = 635.000 × 1,0615 = 674.052,50 Jadi, besar angsuran bulan ketujuh adalah Rp674.052,50.

⇔ 1 + i = 1,015 ⇔ i = 1,015 – 1 ⇔ i = 0,015 ⇔ i = 1,5% Jadi, besar suku bunga yang diberikan adalah 1,5% per bulan. 5. Modal awal = M = 12.000.000 Suku bunga = i = 2% = 0,02 per bulan Modal akhir = Mt = 14.341.200 Periode pembungaan: Mt = M (1 + i)t ⇒ 14.341.200 = 12.000.000 (1 + 0,02)t ⇔ 14.341.200 = 12.000.000 (1,02)t ⇔ 1,02t = 1,1951 ⇔ log 1,02t = log 1,1951 ⇔ t × log 1,02 = log 1,1951 ⇔ t × 0,0086 = 0,0774 ⇔ t=9 Jadi, periode pembungaan pinjaman tersebut selama 9 bulan. 6. Pinjaman = M = 20.000.000 Suku bunga = i = 1,2% = 0,012 per bulan Periode = t = 1 tahun = 12 bulan Nilai anuitas: A =

× − + −

=

× − + −

=

− −

=

−

=

= 1.799.100,45 Jadi, nilai anuitasnya adalah Rp1.799.100,45. 7. Pinjaman = M = 6.500.000 Anuitas = A = 700.000 Suku bunga = i = 1% = 0,01 per bulan a. Bunga bulan pertama b1 = M × i = 6.500.000 × 0,01 = 65.000 Jadi, besar bunga bulan pertama adalah Rp65.000,00.

8. Anuitas = A = 1.000.000 Angsuran pertama = a1 = 835.500 Suku bunga = i = 1% = 0,01 per bulan Besar pinjaman semula berkaitan dengan besarnya bunga bulan pertama, yaitu: A = a1 + b1 ⇒ 1.000.000 = 835.500 + b1 ⇔ b1 = 164.500 Besar pinjaman: b1 = M × i ⇒ 164.500 = M × 0,01 ⇔ M = 16.450.000 Jadi, besar pinjaman semula adalah Rp16.450.000,00. 9. Pinjaman = M = 8.500.000 Suku bunga = i = 1,4% = 0,014 per bulan Periode = t = 1 tahun = 12 bulan Nilai anuitas: A =

× − + −

=

× − + −

=

− −

=

−

=

= 774.235,52 Besarnya angsuran pertama: a1 = A – b1 =A–M×i = 774.235,52 – 8.500.000 × 0,014 = 774.235,52 – 119.000 = 655.235,52 Sisa pembayaran setelah t periode: St = M –

+ −


77


+ −

= 8.500.000 –

+ −

= 8.500.000 –

−

= 8.500.000 –

−

= 8.500.000 –

×

= 8.500.000 – 6.238.778,20 = 2.261.221,80 Jadi, sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-9 adalah Rp2.261.221,80. 10. Pinjaman = M = 4.500.000 Suku bunga = t = 2% = 0,02 per bulan Periode = t = 6 bulan Nilai anuitas: A = =

78

× − + −

× − + −


=

− −

=

−

=

= 803.571,43 Bunga pertama: b1 = M × i = 4.500.000 × 0,02 = 90.000 Angsuran pertama: a1 = A – b1 = 803.571,43 – 60.000 = 743.571,43 Sisa pinjaman setelah angsuran pertama: S1 = M – a1 = 4.500.000 – 743.571,43 = 3.756.428,57 Dengan langkah yang sama, diperoleh tabel pelunasan seperti berikut.

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. menjelaskan konsep komposisi transformasi geometri; 2. menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi transformasi geometri. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik mampu menunjukkan perilaku cermat, teliti, bertanggung jawab, tangguh, konsisten dan jujur, serta responsif dalam memecahkan masalah nyata sehari-hari.

Komposisi Transformasi Geometri

Konsep Komposisi Transformasi Geometri

• • • •

Mengingat kembali konsep translasi, refleksi, rotasi, dilatasi, dan transformasi linear Menjelaskan konsep komposisi transformasi geometri Menyajikan komposisi transformasi geometri dalam bentuk matriks Menjelaskan beberapa komposisi transformasi geometri khusus

• •

Komposisi Transformasi Geometri pada Kurva

• •

Menjelaskan cara menentukan persamaan bayangan kurva oleh komposisi transformasi geometri Menentukan persamaan bayangan kurva oleh komposisi transformasi geometri

Menunjukkan sikap cermat, teliti, bertanggungjawab, konsisten dan jujur, serta responsif dalam menyelesaikan masalah nyata sehari-hari. Memecahkan masalah dengan menggunakan konsep dan aturan komposisi beberapa transformasi geometri koordinat.


79

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c ⎛ x − 1⎞ ⎟ , B(6, –5), dan B′(–2, 4). Diketahui T = ⎜ ⎝y + 2⎠ ⎛ x − 1⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ y + 2⎠

B(6, –5) ⎯⎯⎯⎯⎯→ B′(x′, y′) = B′(–2, 4) ⎛ x′ ⎞ ⎛ 6 + (x − 1) ⎞ ⎜ ′⎟ = ⎜ ⎟ y ⎝ ⎠ ⎝ −5 + (y + 2) ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 5+x ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝ −3 + y ⎠ 5 + x = –2 ⇔ x = –7 –3 + y = 4 ⇔ y=7 x + y = –7 + 7 = 0 Jadi, nilai x + y = 0.

⇔

2. Jawaban: a Diketahui persamaan lingkaran x2 + (y – 5)2 = 16 sehingga titik pusatnya adalah (0, 5). R[O(0,0), 90°] (0,5) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → (−5,0) Jadi, bayangan titik pusatnya adalah (–5, 0).

3. Jawaban: a Perpotongan garis 3x + 5y = –9 dan –2x + 3y = –13 sebagai berikut. 3x + 5y = –9 ×2 6x + 10y = –18 –2x + 3y = –13 × 3 –6x + 9y = –39 –––––––––––– + 19y = –57 ⇔ y = –3 y = –3 ⇒ 3x + 5y = –9 ⇔ 3x – 15 = –9 ⇔ 3x = 6 ⇔ x=2 Diperoleh titik potong A(2, –3). ⎛ −6 ⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ 1⎠

A(2, –3) ⎯⎯⎯⎯→ A′(2 – 6, –3 + 1) = A′(–4, –2) Jadi, bayangan titik A adalah A′(–4, –2). 4. Jawaban: e Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan 3x – 4y – 12 = 0. ⎛ x′ ⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎛x⎞ ⎜ ′⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ y ⎝ ⎠ ⎝2 7⎠ ⎝y⎠ −1

⇔

80

⎛x⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ x′ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝y⎠ ⎝ 2 7 ⎠ ⎝ y′ ⎠


⇔

−3 ⎞ ⎛ x′ ⎞ ⎛x⎞ 1 ⎛ 7 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ 7 − 6 ⎝y⎠ ⎝ −2 1 ⎠ ⎝ y ′ ⎠

⇔

⎛x⎞ ⎛ 7 −3 ⎞ ⎛ x′ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝y⎠ ⎝ −2 1 ⎠ ⎝ y ′ ⎠

⎛x⎞ ⎛ 7x′ − 3y′ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝y⎠ ⎝ −2x′ + y′ ⎠ Diperoleh: x = 7x′ – 3y′ y = –2x′ + y′ Substitusikan x = 7x′ – 3y′ dan y = –2x′ + y′ ke dalam persamaan 3x – 4y – 12 = 0. 3x – 4y – 12 = 0 ⇔ 3(7x′ – 3y′) – 4(–2x′ + y′) + 12 = 0 ⇔ 21x′ – 9y′ + 8x′ – 4y′ – 12 = 0 ⇔ 29x′ – 13y′ – 12 = 0 ⇔ 29x – 13y – 12 = 0 Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah 29x – 13y – 12 = 0.

⇔

5. Jawaban: d Misalkan T1 adalah matriks transformasi refleksi terhadap sumbu X dan T2 adalah matriks rotasi 3 2

π berlawanan arah jarum jam dan berpusat di

titik O(0, 0). ⎛1 0 ⎞ ⎟ T1 = ⎜ ⎝ 0 −1⎠ ⎛ 0 1⎞ ⎟ T2 = ⎜ ⎝ −1 0 ⎠ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎟⎜ ⎟ T2 D T1 = ⎜ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝ 0 −1⎠ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎟⎜ ⎟. Jadi, perkalian matriksnya adalah ⎜ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝ 0 −1⎠

6. Jawaban: e ⎛a⎞ ⎛c⎞ T1 = ⎜ ⎟ dilanjutkan T2 = ⎜ ⎟ dapat diwakili oleh ⎝b⎠ ⎝ d⎠ ⎛a + c⎞ ⎟ , sehingga: T= ⎜ ⎝b + d⎠ ⎛ −5 + 8 ⎞ ⎛3⎞ ⎟ = ⎜ ⎟ T = ⎜ ⎝ 4 + ( −10) ⎠ ⎝ −6 ⎠ ⎛3⎞ Jadi, translasi tersebut dapat diwakili oleh T = ⎜ ⎟ . ⎝ −6 ⎠

7. Jawaban: a M

y = −x A(–5, –10) ⎯⎯⎯⎯ → A′(10, 5)

⎛2⎞ T=⎜ ⎟

⎝9⎠ A′(10, 5) ⎯⎯⎯⎯ → A′′(10 + 2, 5 + 9) = A′′(12, 14) Jadi, bayangan titik A adalah A′′(12, 14).

8. Jawaban: b 1

[O(0, 0), ]

1

1

2 P(8, 12) ⎯⎯⎯⎯⎯ → P′( 2 × 8, 2 × 12) = P′(4, 6)

Mx → P′′(4, –6) P′(4, 6) ⎯⎯⎯ Jadi, bayangan titik P adalah P′′(4, –6).

9. Jawaban: b Rotasi 35° berlawanan arah jarum jam dengan pusat titik O(0, 0) dilanjutkan dengan rotasi 55° berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat O(0, 0) dapat diwakili oleh rotasi (35° + 55°) = 90° berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat O(0, 0). R[O(0, 0), 90° ] C(–5, –1) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → C′′(–(–1), –5) = C′′(1, –5) Jadi, bayangan titik C adalah C′′(1, –5).

2. Diketahui persamaan lingkaran (x – 5)2 + (y + 1)2 = 36. Titik pusat lingkaran adalah (5, –1). Misalkan bayangan titik pusat tersebut adalah A′(x′, y′). x′ = x cos α – y sin α = 5 × cos (–90°) – (–1) × sin (–90°) = 5 × 0 – (–1) × (–1) = –1 y′ = x sin α – y cos α = 5 × sin (–90°) – (–1) × cos (–90°) = 5 × (–1) + (–1) × 0 = –5 Cara lain: Rotasi 90° searah jarum jam sama dengan rotasi 270° berlawanan arah jarum jam. R[O(0, 0), 270° ] A(5, –1) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ A′(–1, –5) Jadi, bayangannya adalah A′(–1, –5).

3. a.

transformasi R dikerjakan terlebih dahulu.

10. Jawaban: a Kedua rotasi tersebut berlawanan arah sehingga kedua rotasi dapat diwakili oleh rotasi 120° – 30° = 90° berlawanan arah jarum jam.

3

R[O[0, 0), π]

2 B(4, –9) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → B′(–9, –4)

⎛ −5 ⎞ T=⎜ ⎟

R[O(0, 0), 90° ] D(4, –9) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → D′′(–(–9), 4) = D′′(9, 4) Jadi, bayangan titik D adalah D′′(9, 4).

b.

B. Uraian 1. a.

⎛4⎞ T=⎜ ⎟ ⎝8⎠

A(–5, –6) ⎯⎯⎯⎯ → A′(–5 + 4, –6 + 8) = A′(–1, 2) Jadi, bayangannya adalah A′(–1, 2).

b. c.

M

y = −x → A′(–(–6), –(–5)) A(–5, –6) ⎯⎯⎯⎯ = A′(6, 5) Jadi, bayangannya adalah A′(6, 5). Misalkan A′(x′, y′) adalah bayangan titik A(–5, –6) oleh dilatasi dengan faktor skala 2 dan titik pusat (1, 1). x′ = kx – ka + a = 2 × (–5) – 2 × 1 + 1 = –10 – 2 + 1 = –11 y′ = ky – kb + b = 2 × (–6) – 2 × 1 + 1 = –12 – 2 + 1 = –13 Jadi, bayangannya adalah A′(–11, –13).

Komposisi transformasi T D R berarti

⎝ 1⎠ B′(–9, –4) ⎯⎯⎯⎯→ B′′(–9 – 5, –4 + 1) = B′′(–14, –3) Jadi, bayangan titik B adalah B′′(–14, –3). Komposisi transformasi R D T berarti transformasi T dikerjakan terlebih dahulu. ⎛ −5 ⎞ T=⎜ ⎟

⎝ 1⎠ B′(4 – 5, –9 + 1) B(4, –9) ⎯⎯⎯⎯→

= B′(–1, –8) 3 R[O[0, 0), π] 2

B′(–1, –8) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → B′′(–8, 1) 4. Komposisi refleksi tersebut dapat diwakili oleh rotasi dengan pusat O(0, 0) dan sudut putar 180°. R[O[0, 0), 180°] A(1,1) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → A′′(x′′, y′′) x′′ = x cos 180° – y sin 180° = 1 × (–1) – 1 × 0 = –1 y′′ = x sin 180° + y cos 180° = 1 × 0 + 1 × (–1) = –1 Diperoleh A′′(–1, –1). R[O[0, 0), 180°] B(5,1) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → B′′(x′′, y′′) x′′ = x cos 180° – y sin 180° = 5 × (–1) – 1 × 0 = –5


81

y′′ = x sin 180° + y cos 180° = 5 × 0 + 1 × (–1) = –1 Diperoleh B′′(–5, –1). R[O[0, 0), 180°] C(5,4) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → C′′(x′′, y′′) x′′ = x cos 180° – y sin 180° = 5 × (–1) – 4 × 0 = –5 y′′ = x sin 180° + y cos 180° = 5 × 0 + 4 × (–1) = –4 Diperoleh C′′(–5, –4). Jadi, bayangan titik A, B, dan C adalah A′′(–1, –1), B′′(–5, –1), dan C′′(–5, –4).

5. Untuk titik A(–5, 3) diperoleh: ⎛3⎞ T=⎜ ⎟ ⎝7⎠

A(–5, 3) ⎯⎯⎯⎯ → A′(–5 + 3, 3 + 7) = A′(–2, 10)

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Ambil titik (x, y) yang terletak pada garis 3x – 5y = 20. My = x

(x, y) ⎯⎯⎯⎯ → (y, x) ⎛2⎞ T=⎜ ⎟

⎝ 1⎠ (y, x) ⎯⎯⎯⎯ → (x′, y′) = (y + 2, x + 1) Diperoleh: x′ = y + 2 ⇔ y = x′ – 2 y′ = x + 1 ⇔ x = y′ – 1 Substitusikan x = y′ – 1 dan y = x′ – 2 ke dalam persamaan 3x – 5y = 20. 3x – 5y = 20 ⇔ 3(y′ – 1) – 5(x′ – 2) = 20 ⇔ 3y′ – 3 – 5x′ + 10 = 20 ⇔ 3y′ – 5x′ = 13 ⇔ –5x + 3y = 13 Jadi, persamaan bayangan garis k adalah –5x + 3y = 13.

2. Jawaban: d Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan y = x2 + 3x – 3. R[O(0, 0), 90° ] (x, y) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → (–y, x) M

x (–y, x) ⎯⎯⎯ → (x′, y′) = (–y, –x) Diperoleh: x′ = –y ⇔ y = –x′ y′ = –x ⇔ x = –y′

82


M

y A′(–2, 10) ⎯⎯⎯ → A′′(–2(–2), 10) = A′′(2, 10)

Untuk titik B(2, 1) diperoleh: ⎛3⎞ T=⎜ ⎟

⎝7⎠ B(2, 1) ⎯⎯⎯⎯ → B′(2 + 3, 1 + 7) = B′(5, 8) M

y B′(5, 8) ⎯⎯⎯ → B′′(–5, 8) Persamaan garis yang melaui titik A′′(2, 10) dan B′′(–5, 8) sebagai berikut.

x − x1 x 2 − x1

=

y − y1 y 2 − y1

⇔

x−2 −5 − 2

= 8 − 10

⇔

x−2 −7

y − 10

=

y − 10 −2

⇔ 2x – 4 = 7y – 70 ⇔ 2x – 7y = –66 Jadi, persamaan garis lurus tersebut adalah 2x – 7y = –66.

Substitusikan x = –y′ dan y = –x′ ke dalam persamaan y = x2 + 3x – 3. y = x2 + 3x – 3 ⇔ –x′ = (–y′)2 + 3(–y′) – 3 ⇔ –x′ = (y′)2 – 3y′ – 3 ⇔ –x = y2 – 3y – 3 ⇔ x = –y2 + 3y + 3 Jadi, persamaan bayangannya adalah x = –y2 + 3y + 3. 3. Jawaban: a Persamaan garis yang melalui titik A(2, 1) dan B(8, –5) sebagai berikut. x − xA xB − x A

⇔

x−2 8−2

⇔

x−2 6

=

y − yA yB − y A

y −1

= −5 − 1 y −1

= −6 ⇔ –x + 2 = y – 1 ⇔ x+y=3 Ambil titik (x, y) yang terletak pada garis x + y = 3. M

y (x, y) ⎯⎯⎯ → (–x, y)

[O(0, 0), 2]

→ (x′, y′) = (–2x, 2y) (–x, y) ⎯⎯⎯⎯⎯ Diperoleh x′

x′ = –2x ⇔ x = – 2 y′

y′ = 2y ⇔ y = 2

x′

y′

Substitusikan x = – 2 dan y = 2 ke dalam persamaan x + y = 3. x+y=3 x′

⇔

y′

–2 + 2 =3 ⇔ –x′ + y′ = 6 ⇔ –x + y = 6 Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah –x + y = 6. 4. Jawaban: a Ambil titik (x, y) yang terletak pada elips

x2 4

+

y2 9

= 1.

My = x

→ (y, x) (x, y) ⎯⎯⎯⎯ ⎛ −2 ⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ 1⎠

(y, x) ⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (y – 2, x + 1) Diperoleh: x′ = y – 2 ⇔ y = x′ + 2 y′ = x + 1 ⇔ x = y′ – 1 Substitusikan x = y′ – 1 dan y = x′ + 2 ke dalam x2 4

persamaan x2 4

+

y2 9

+

y2 9

= 1.

=1

⇔

(y′ − 1)2 4

+

(x′ + 2)2 9

=1

⇔

(x + 2)2 9

+

(y − 1)2 4

=1

+

(y − 1)2 4

5. Jawaban: e ⎛ −6 ⎞

⎛5⎞

Translasi T1 = ⎜ 3 ⎟ dilanjutkan T2 = ⎜ 2 ⎟ dapat ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1⎞

diwakili oleh T = ⎜ 3 + 2 ⎟ = ⎜ 5 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1⎞ T =⎜ ⎟

⎛ −3 ⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

(4 – x, y) ⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (4 – x – 3, y + 4) = (1 – x, y + 4) Diperoleh: x′ = 1 – x ⇔ x = 1 – x′ y′ = y + 4 ⇔ y = y′ – 4 Substitusikan x = 1 – x′ dan y = y′ – 4 ke dalam persamaan x2 + y2 = 4. x2 + y2 = 4 ⇔ (1 – x′)2 + (y′ – 4)2 = 4 ⇔ 1 – 2x′ + (x′)2 + (y′)2 – 8y′ + 16 = 4 ⇔ (x′)2 + (y′)2 – 2x′ – 8y′ + 17 = 4 ⇔ (x′)2 + (y′)2 – 2x′ – 8y′ + 13 = 0 ⇔ x2 + y2 – 2x – 8y + 13 = 0 Jadi, persamaan bayangan adalah x2 + y2 – 2x – 8y + 13 = 0. 7. Jawaban: b Persamaan garis dengan gradien –2 dan melalui titik A(1, 3) sebagai berikut. y – yA = m(x – xA) ⇔ y – 3 = –2(x – 1) ⇔ y – 3 = –2x + 2 ⇔ 2x + y = 5 Ambil titik (x, y) yang terletak pada garis 2x + y = 5. y=4 (x, y) ⎯⎯⎯⎯ → (x, 8 – y)

⎛ 2⎞ T=⎜ ⎟

= 1.

⎛ −6 + 5 ⎞

M

x=2 (x, y) ⎯⎯⎯⎯ → (4 – x, y)

M

Jadi, persamaan bayangan elips tersebut adalah (x + 2)2 9

6. Jawaban: a Ambil titik (x, y) yang terletak pada lingkaran x2 + y2 =4

⎝ 5⎠ (x, y) ⎯⎯⎯⎯ → (x′, y′) = (x – 1, y + 5) Diperoleh: x′ = x – 1 ⇔ x = x′ + 1 y′ = y + 5 ⇔ y = y′ – 5 Substitusikan x = x′ + 1 dan y = y′ – 5 ke dalam persamaan (x – 1)2 + (y + 2)2 = 16. (x – 1)2 + (y + 2)2 = 16 ⇔ (x′ + 1 – 1)2 + (y′ – 5 + 2)2 = 16 ⇔ (x′)2 + (y′ – 3)2 =16 ⇔ x2 + (y – 3)2 = 16 Jadi, persamaan bayangannya adalah x2 + (y – 3)2 = 16.

⎝ −5 ⎠ (x, 8 – y) ⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (x + 2, 8 – y – 5) = (x + 2, –y + 3) Diperoleh: x′ = x + 2 ⇔ x = x′ – 2 y′ = –y + 3 ⇔ y = –y′ + 3 Substitusikan x = x′ – 2 dan y = –y′ + 3 ke dalam persamaan 2x + y = 5. 2x + y = 5 ⇔ 2(x′ – 2) + (–y′ + 3) = 5 ⇔ 2x′ – 4 – y′ + 3 = 5 ⇔ 2x′ – y′ = 6 ⇔ 2x – y = 6 Jadi, persamaan bayangannya adalah 2x – y = 6.

8. Jawaban: c ⎛2⎞ ⎛a⎞ Translasi T1 = ⎜ ⎟ dilanjutkan translasi T2 = ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝b⎠ ⎛2 + a⎞ ⎟. dapat diwakili oleh translasi T = ⎜ ⎝ 1+ b ⎠


83

Ambil titik (x, y) yang terletak pada garis 2x + y = 3. ⎛2 + a⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ 1+ b ⎠

(x, y) ⎯⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (x + a + 2, y + b + 1) Diperoleh: x′ = x + a + 2 ⇔ x = x′ – a – 2 y′ = y + b + 1 ⇔ y = y′ – b – 1 Substitusikan x = x′ – a – 2 dan y = y′ – b – 1 ke dalam persamaan 2x + y = 3. 2x + y = 3 ⇔ 2(x′ – a – 2) + (y′ – b – 1) = 3 ⇔ 2x′ – 2a – 4 + y′ – b – 1 = 3 ⇔ 2x′ + y′ – 2a – b – 5 = 3 ⇔ 2x′ + y′ = 2a + b + 8 ⇔ 2x + y = 2a + b + 8 Diketahui persamaan bayangan garis adalah 2x + y = 10 sehingga diperoleh: 2x + y = 2a + b + 8 ⇔ 10 = 2a + b + 8 ⇔ 2a + b = 2 Jadi, nilai 2a + b = 2. 9. Jawaban: e ⎛2⎞ Translasi T1 = ⎜ ⎟ dilanjutkan T2 = ⎝ −2 ⎠

⎛3⎞ ⎜ ⎟ dapat ⎝ −1⎠

⎛ 2+3⎞ ⎛5⎞ ⎟ = ⎜ ⎟. diwakili oleh T = ⎜ − 2 − 1 ⎝ ⎠ ⎝ −3 ⎠ Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan lingkaran (x – 1)2 + (y + 5)2 = 9. ⎛ 5⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠

(x, y) ⎯⎯⎯⎯→ (x + 5, y – 3) Mx (x + 5, y – 3) ⎯⎯⎯ → (x′, y′) = (x + 5, –y + 3) Diperoleh: x′ = x + 5 ⇔ x = x′ – 5 y′ = –y + 3 ⇔ y = –y′ + 3 Substitusikan x = x′ – 5 dan y = –y′ + 3 ke dalam persamaan (x – 1)2 + (y + 5)2 = 9. (x – 1)2 + (y + 5)2 = 9 ⇔ ((x′ – 5) – 1)2 + ((–y′ + 3) + 5)2 = 9 ⇔ (x′ – 6)2 + (–y′ + 8)2 = 9 ⇔ (x′ – 6)2 + (–(y′ – 8))2 = 9 ⇔ (x′ – 6)2 + (y′ – 8)2 = 9 ⇔ (x – 6)2 + (y – 8)2 = 9 Jadi, persamaan bayangannya adalah (x – 6)2 + (y – 8)2 = 9.

10. Jawaban: c Rotasi 64° berlawanan arah jarum jam dan berpusat di titik O(0, 0) dilanjutkan rotasi 26° berlawanan arah jarum jam berpusat di titik O(0, 0) dapat diwakili rotasi (64° + 26°) = 90° berlawanan arah jarum jam dan berpusat di titk O(0, 0). Ambil titik (x, y) yang terletak pada elips

84


(x + 2)2 5

+

(y − 1)2 4

= 1.

R[O(0, 0), 90° ] (x, y) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → (–y, x)

M

y (–y, x) ⎯⎯⎯ → (x′, y′) = (y, x)

Diperoleh y = x′ dan x = y′. Substitusikan x = y′ dan y = x′ ke persamaan (x + 2)2 (y − 1)2 + = 1. 5 4 (x + 2)2 (y − 1)2 + =1 5 4 (y′ + 2)2 (x′ − 1)2 ⇔ + =1 5 4 2 2 (x − 1) (y + 2) + =1 ⇔ 4 5

Jadi, persamaan bayangannya adalah (y + 2)2 5

(x − 1)2 4

+

= 1.

B. Uraian 1. Ambil titik (x, y) yang terletak pada garis 2x – 5y = 10. ⎛ 2⎞ T=⎜ ⎟

⎝ −3 ⎠ (x, y) ⎯⎯⎯⎯→ (x + 2, y – 3)

M

y = −x (x + 2, y – 3) ⎯⎯⎯⎯ → (x′, y′)= (–(y – 3), –(x + 2)) = (–y + 3, –x – 2) Diperoleh: x′ = –y + 3 ⇔ y = –x′ + 3 y′ = –x – 2 ⇔ x = –y′ – 2 Substitusikan x = –y′ – 2 dan y = –x′ + 3 ke dalam persamaan 2x – 5y = 10. 2x – 5y = 10 ⇔ 2(–y′ – 2) – 5(–x′ + 3) = 10 ⇔ –2y′ – 4 + 5x′ – 15 = 10 ⇔ 5x′ – 2y′ = 29 ⇔ 5x – 2y = 29 Jadi, persamaan bayangannya adalah 5x – 2y = 29.

2. Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan y = x2 – 3x + 7. M

y (x, y) ⎯⎯⎯ → (–x, y)

R[O(0, 0), − 90° ] (–x, y) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (y, x) Diperoleh y = x′ dan x = y′. Substitusikan x = y′ dan y = x′ ke dalam persamaan y = x2 – 3x + 7. y = x2 – 3x + 7 ⇔ x′ = (y′)2 – 3(y′) + 7 ⇔ x′ = (y′)2 – 3y′ + 7 ⇔ x = y2 – 3y + 7 Jadi, persamaan bayangannya adalah x = y2 – 3y + 7.

3. Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan (x – 3)2 + (y + 1)2 = 16. ⎛2⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ −1⎠

(x, y) ⎯⎯⎯⎯→ (x + 2, y – 1) [O(0, 0), 2]

x′ − 4 2

y′ = 2y – 2 ⇔ y =

y′ + 2 2

Substitusikan x =

x′ − 4 2

dan y =

y′ + 2 2

⇔ ⇔

−

3 ⎞⎟ ⎠

2

⎛ x′ − 4 − 6 ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

+ 2

+

⎛ x′ − 10 ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

⇔

⎛ y′ + 2 ⎜ 2 ⎝

ke dalam

⎛ y′ + 2 + 2 ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ y′ + 4 ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

2

+ +

= 16 = 16

(y′ + 4)2 4

= 16

⎛1 0 ⎞ ⎟ Titik (x, y) ditransformasikan oleh matriks ⎜ ⎝1 2 ⎠ sehingga diperoleh: ⎛1 0 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝1 2 ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ x + 2y ⎠ Diperoleh titik (x, x + 2y). Titik (x, x + 2y) direfleksikan terhadap sumbu X sehingga diperoleh: Mx (x, x + 2y) ⎯⎯⎯ → (x′, y′) = (x, –x – 2y) Diperoleh: x = x′ y′ = –x – 2y ⇔ 2y = –x – y′ ⇔ 2y = –x′ – y′

− x′ − y′ 2

Substitusikan x = x′ dan y = persamaan (x –

2)2

+

y2

= 16.

− x′ − y′ 2

= 16

4(y′)2

– 8x′ + 16 + + 2x′y′ + = 64 ⇔ ⇔ 4x2 – 8x + 16 + x2 + 2xy + 4y2 = 64 ⇔ 5x2 + 4y2 – 8x + 2xy + 16 = 64 ⇔ 5x2 + 4y2 – 8x + 2xy – 48 = 0 Jadi, persamaan bayangannya adalah 5x2 + 4y2 – 8x + 2xy – 48 = 0.

⎛ 1 0⎞ ⎟ Titik (x, y) ditransformasi oleh matriks ⎜ ⎝ 2 1⎠

⎛ 0 −1⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎝ −1 2 ⎠ ⎝ 2x + y ⎠

= 16

4. Ambil titik (x, y) yang terletak pada lingkaran (x – 2)2 + y2 = 16.

y=

(x′)2

⎛ 0 −1⎞ ⎜ ⎟ sehingga: ⎝ −1 2 ⎠

⇔ (x′ – 10)2 + (y′ + 4)2 = 64 ⇔ (x – 10)2 + (y – 4)2 = 64 Jadi, persamaan bayangannya adalah (x – 10)2 + (y – 4)2 = 64.

⇔

4(x′)2

⎛ 1 0⎞⎛ x⎞ ⎛ x ⎞ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ sehingga diperoleh: ⎜ ⎝ 2 1 ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ 2x + y ⎠ Titik (x, 2x + y) ditransformasi oleh matriks

2

2

2

(x′ − 10)2 4

⇔

⎞ + 1⎟ ⎠

(x′)2 – 2x′ + 4 +

= 16

5. Komposisi transformasi N D M berarti transformasi M dikerjakan terlebih dahulu. Ambil (x, y) yang terletak pada persamaan y = x + 2.

persamaan (x – 3)2 + (y + 1)2 = 16. (x – 3)2 + (y + 1)2 = 16 ⎛ x′ − 4 ⎜ 2 ⎝

2

⎛ − x′ − y′ ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2 (x′) + 2x′y′ + (y′)2 4

(x′ – 2)2 +

⇔ ⇔

→ (x′, y′) (x + 2, y – 1) ⎯⎯⎯⎯⎯ = (2(x + 2), 2(y – 1)) = (2x + 4, 2y – 2) Diperoleh:

x′ = 2x + 4 ⇔ x =

(x – 2)2 + y2 = 16

ke dalam

⎛ x′ ⎞ ⎛ −2x − y ⎞ ⎜ ′⎟ = ⎜ ⎟ ⎝y ⎠ ⎝ 3x + 2y ⎠

⇔

Diperoleh: x′ = –2x – y ⇔ y = –2x – x′ y′ = 3x + 2y ⇔ y=

⎛ −2x − y ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ − x + 4x + 2y ⎠

y′ − 3x 2

. . . (1) . . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: –2x – x′ =

y′ − 3x 2

⇔ –4x – 2x′= y′ – 3x ⇔ –x = 2x′ + y′ ⇔ x = –2x′ – y′ . . . (3) Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1). y = –2x – x′ = –2(–2x′ – y′) – x′ = 4x′ + 2y′ – x′ = 3x′ + 2y′ . . . (4) Substitusikan x = –2x′ – y′ dan y = 3x′ + 2y′ ke dalam persamaan y = x + 2. y=x+2 ⇔ 3x′ + 2y′ = (–2x′ – y′) + 2 ⇔ 5x′ + 3y′ = 2 ⇔ 5x + 3y = 2 Jadi, persamaan bayangannya adalah 5x + 3y = 2.


85

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b ⎛a⎞ Misalkan translasi tersebut T = ⎜ ⎟ . ⎝b⎠ ⎛a⎞ T=⎜ ⎟ ⎝b⎠

C(6, –2) ⎯⎯⎯⎯ → C′(6 + a, –2 + b) = C′(4, 8) Diperoleh: 6 + a = 4 ⇔ a = –2 –2 + b = 8 ⇔ b = 10 ⎛ −2 ⎞ Jadi, translasinya adalah T ⎜ ⎟ . ⎝ 10 ⎠

2. Jawaban: a My = − x A(4, –2) ⎯⎯⎯⎯ → A′(2, –4) Diperoleh: a + 3 = 2 ⇔ a = –1 b – 2 = –4 ⇔ b = –2 Jadi, nilai a = –1 dan b = –2.

3. Jawaban: a

⎛a⎞ T=⎜ ⎟ ⎝b⎠

C(–5, –4) ⎯⎯⎯⎯ → C′(–5 + a, –4 + b) = C′(3, 9) Diperoleh: –5 + a = 3 ⇔ a = 8 –4 + b = 9 ⇔ b = 13 ⎛8⎞ Diperoleh T = ⎜ ⎟ . ⎝ 13 ⎠ Bayangan titik D(8, 10) sebagai berikut. ⎛8⎞ T=⎜ ⎟

⎝ 13 ⎠ D(8, 10) ⎯⎯⎯⎯ → D′(8 + 8, 10 + 13) = D′(16, 23)

Jadi, bayangan titik D adalah D′(16, 23). 4. Jawaban: e Diketahui titik C′(–2, –4) sehingga diperoleh: x′ = x cos α – y sin α ⇔ –2 = x cos (–270°) – y sin (–270°) ⇔ –2 = 0 – y × 1 y =2 y′ = x sin α + y cos β ⇔ –4 = x sin (–270°) + y cos (–270°) ⇔ –4 = x + 0 ⇔ x = –4 Jadi, koordinat titik C(–4, 2). 5. Jawaban: d Diketahui P(1, 5) sehingga a = 1 dan b = 5. Dari titik A(2, 3) dan A′(–1, 9) diperoleh x = 2, y = 3, x′ = –1, dan y′ = 9.

86


x′ = kx – ka + a ⇔ –1 = k × 2 – k × 1 + 1 ⇔ –1 = k + 1 ⇔ k = –2 Jadi, nilai k = –2. 6. Jawaban: d M

x A(4, –11) ⎯⎯⎯ → A′(4, 11)

M

y = −4 A′(4, 11) ⎯⎯⎯⎯ → A(4, 2 × (–4) – 11) = A′′(4, –19) Jadi, bayangannya adalah A′′(4, –19).

7. Jawaban: a Misalkan titik (x, y) terletak pada persamaan 2x – 3y = 6. Bayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadap ⎛ −2 ⎞ translasi T = ⎜ ⎟ sebagai berikut. ⎝5⎠ ⎛ −2 ⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

(x, y) ⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (x – 2, y + 5) Diperoleh: x′ = x – 2 ⇔ x = x′ + 2 y′ = y + 5 ⇔ y = y′ – 5 Substitusikan x = x′ + 2 dan y = y′ – 5 ke dalam persamaan 2x – 3y = 6. 2x – 3y = 6 ⇔ 2(x′ + 2) – 3(y′ – 5) = 6 ⇔ 2x′ + 4 – 3y′ + 15 = 6 ⇔ 2x′ – 3y′ = –13 ⇔ 2x – 3y = –13 Jadi, persamaan bayangan garis h adalah 2x – 3y = –13. 8. Jawaban: c Misalkan titik (x, y) terletak pada persamaan x2 + y2 – 2x + 8y – 16 = 0. Bayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadap garis y = –x adalah (x′, y′) = (–y, –x). Diperoleh: x′ = –y ⇔ y = –x′ y′ = –x ⇔ x = –y′ Substitusikan x = –y′ dan y = –x′ ke dalam persamaan x2 + y2 – 2x + 8y – 16 = 0. x2 + y2 – 2x + 8y – 16 = 0 ⇔ (–y′)2 + (–x′)2 – 2(–y′) + 8(–x′) – 16 = 0 ⇔ (y′)2 + (x′)2 + 2y′ – 8x′ – 16 = 0 ⇔ y2 + x2 + 2y – 8x – 16 = 0 ⇔ x2+ y2 – 8x + 2y – 16 = 0 Jadi, persamaan bayangannya adalah x2+ y2 – 8x + 2y – 16 = 0.

9. Jawaban: a ⎛3⎞ T=⎜ ⎟ ⎝5⎠

→ B′(2 + 3, 2 + 5) = B′(5, 7) B(2, 2) ⎯⎯⎯⎯ Mx = −1

B(5, 7) ⎯⎯⎯⎯ → B′′(2 × (–1) – 5, 7) = B′′(–7, 7) Jadi, bayangan titik B adalah B′′(–7, 7). 10. Jawaban: c ⎛ −6 ⎞ ⎛4⎞ Komposisi translasi T1 = ⎜ ⎟ dilanjutkan T2 = ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝ −3 ⎠ dapat diwakili oleh: ⎛ −6 + 4 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎟ = ⎜ ⎟ T3 = ⎜ ⎝ 5 + −3 ⎠ ⎝2⎠ Jadi, komposisi translasi tersebut dapat diwakili ⎛ −2 ⎞ T3 = ⎜ ⎟ . ⎝2⎠

11. Jawaban: e ⎛ −1 0 ⎞ ⎟ sebagai Bayangan C(–4, 3) oleh matriks ⎜ ⎝ 2 1⎠ berikut. ⎛ −1 0 ⎞ ⎛ − 4 ⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 2 1⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ −5 ⎠ Diperoleh C′(4, –5). ⎛ 0 1⎞ ⎟ sebagai Bayangan C′(4, –5) oleh matriks ⎜ ⎝ −1 3 ⎠ berikut. ⎛ 0 1⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −5 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 1 3 5 − − ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ −19 ⎠ Jadi, bayangan titik C adalah C′′(–5, –19).

12. Jawaban: a Matriks transformasi refleksi terhadap garis y = x ⎛ 0 1⎞ ⎟. adalah ⎜ ⎝ 1 0⎠ Matriks transformasi rotasi 90° searah jarum jam ⎛ 0 1⎞ ⎟. dan berpusat di titik O(0, 0) adalah ⎜ ⎝ −1 0 ⎠ Perkalian matriks komposisi transformasinya sebagai berikut. ⎛ x′′ ⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ′′ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝y ⎠ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ −1⎠

13. Jawaban: d Komposisi translasi T1 dan T2 dapat diringkas menjadi:

⎛ (a + 1) + (a − 9) ⎞ ⎟ T= ⎜ ⎝ (b − 3) + (2b + 4) ⎠ ⎛ 2a − 8 ⎞ ⎟ = ⎜ ⎝ 3b + 1 ⎠ ⎛ 2a − 8 ⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ 3b + 1 ⎠

B(6, –3) ⎯⎯⎯⎯⎯→ B′′(2a – 2, 3b – 2) = B′′(10, 19) Diperoleh: 2a – 2 = 10 ⇔ 2a = 12 ⇔ a=6 3b – 2 = 19 ⇔ 3b = 21 ⇔ b=7 Jadi, nilai a = 6 dan b = 7. 14. Jawaban: e M

y=x A(8, –9) ⎯⎯⎯⎯ → A′(–9, 8)

My

A′(–9, 8) ⎯⎯⎯ → A′′(9, 8) Jadi, koordinat bayangan titik A adalah A′′(9, 8). 15. Jawaban: b Dari permasalahan tersebut diketahui B(–1, 10), titik pusat C(2, 3), dan faktor skala –2. Dengan demikian diperoleh x = –1, y = 10, a = 2, b = 3, dan k = –2. Bayangan titik B(–1, 10) oleh dilatasi dengan titik pusat (2, 3) dan faktor skala –2 adalah B′(x′, y′). x′ = kx – ka + a = (–2) × (–1) – (–2) × 2 + 2 =8 y′ = ky – kb + b = (–2) × 10 – (–2) × 3 + 3 = –11 Diperoleh B′(8, –11) Titik B′(8, –11) direfleksikan terhadap sumbu X sehingga diperoleh: Mx B′(8, –11) ⎯⎯⎯ → B′′(8, 11) Jadi, bayangan titik B adalah B′′(8, 11) .

16. Jawaban: a Komposisi rotasi tersebut dapat diwakili oleh rotasi dengan pusat titik O(0, 0) dan sudut rotasi (200° + 70°) = 270° searah jarum jam. Diketahui titik C′′(–8, 10) sehingga diperoleh: x′′ = x cos α – y sin α ⇔ –8 = x cos (–270°) – y sin (–270°) ⇔ –8 = 0 – y × 1 ⇔ y=8 y′′ = x sin α + y cos α ⇔ 10 = x sin (–270°) + y cos (–270°) ⇔ 10 = x + 0 ⇔ x = 10 Jadi, koordinat titik C(10, 8). Matematika Kelas XII

87

17. Jawaban: b Komposisi rotasi tersebut dapat diwakili oleh rotasi dengan pusat titik A(1, 2) dan sudut rotasi (–90° + 120°) = 30°. R[A(1, 2), 30°]

B(6, 8) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → B′′(x, y) = B′′(a, b + 1) x′′ = x cos α – y sin α = 6 cos (30°) – 8 sin (30°) =6×

1 2

1 2

21. Jawaban: a R[O(0, 0), 90° ]

S(2, 4) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ S′(–4, 2) M

3

y=x S′(–4, 2) ⎯⎯⎯⎯ → S′′(2, –4)

Jadi, bayangan titik S adalah S′′(2, –4) .

=3+ 4 3 Diperoleh a = 3 3 – 4 dan b + 1 = 3 + 4 3 atau b=2+ 4 3 a+b= 3 3 –4+2+ 4 3 Jadi, nilai a + b = 7 3 − 2 .

M

18. Jawaban: e Komposisi rotasi tersebut dapat diwakili oleh rotasi (–90° + 45°) = –45°. R[O(0, 0),

°]

− 45 D(7, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ D′′(x′′, y′′) x′′ = x cos α – y sin α = 7 × cos (–45°) – 1 × sin (–45°)

7 2

1 2

2 +

2

⇔ x=

2 = 4 2

1 2

⇔ ⇔

19. Jawaban: a ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝6⎠

⎛ 2 + (−4) ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎟ = ⎜ ⎟. dapat diwakili oleh T3 = ⎜ ⎝ 7 + 6 ⎠ ⎝ 13 ⎠

A(–3, 8)

A′′(–3 – 2, 8 + 13) = A′′(–5, 21)

M

y = −x A′′(–5, 21) ⎯⎯⎯⎯ → A′′′(–21, 5) Jadi, koordinat bayangan titik A′′ adalah A′′′(–21, 5).

88


x′ − y′ 3

dan y = y′ ke dalam

persamaan –2x + y = 8. –2x + y = 8

Jadi, koordinat titik D′′( 4 2 , −3 2 ).

⎛ −2 ⎞ T3 = ⎜ ⎟ ⎝ 13 ⎠ → ⎯⎯⎯⎯⎯

x′ − y 3 x′ − y′ 3

Substitusikan x =

2 = −3 2

⎛2⎞ Komposisi translasi T1 = ⎜ ⎟ dan T2 = ⎝7⎠

y=x (y, 3x + y) ⎯⎯⎯⎯ → (x′, y′) = (3x + y, y) Diperoleh: y = y′ x′ = 3x + y

⇔ x=

y′′ = x sin α + y′ cos α = 7 × sin (–45°) + 1 × cos (–45°) =–7 2 +

22. Jawaban: d Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan –2x + y = 8. ⎛ 0 1⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 3 1⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ 3x + y ⎠

= 7 3 −2

=

⎛ −7 ⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ 1⎠

Jadi, koordinat bayangannya adalah A′′′(2, 6).

= 3 3 −4 y′′ = x sin α + y cos α = 6 sin (30°) + 8 cos (30°) 1

R[O(0, 0), 90° ]

A(–5, 9) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ A′′(9, 5) → A′′′(9 – 7, 5 + 1) = A′′′(2, 6) A′′(9, 5) ⎯⎯⎯⎯⎯

1

3 –8× 2

=6× 2 +8×

20. Jawaban: c Rotasi 25° searah jarum dengan pusat O(0, 0) dilanjutkan dengan rotasi 65° searah jarum jam dengan pusat O(0, 0) dapat diwakili oleh rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat O(0, 0).

⎛ x′ − y′ ⎞ ⎟ ⎝ 3 ⎠

+ y′ = 8

−2x′ + 2y′ 3

+ y′ = 8

–2 ⎜

⇔ –2x′ + 2y′ + 3y′ = 24 ⇔ –2x′ + 5y′ = 24 ⇔ –2x + 5y = 24 Jadi, persamaan bayangan garis h adalah –2x + 5y = 24. 23. Jawaban: e ⎛ x ′ ⎞ ⎛ 2 −2 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ′⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ y ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 2 1⎠ ⎝ y ⎠ ⎛ −6 −2 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ 1 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ 2 ⎛ −6x − 2y ⎞ ⎟ = ⎜ ⎝ 2x + y ⎠

Diperoleh: x′ = –6x – 2y ⇔ 2y = –6x – x′ ⇔

−6x − x′ 2

y=

. . . (1)

y′ = 2x + y ⇔ y = y′ – 2x . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). y= ⇔

−6x − x′ 2

y′ – 2x =

x=

x′ − 2y′ 2

Substitusikan x =

x′ − 2y′ 2

ke dalam persamaan

y = y′ – 2x. y = y′ – 2x

M

⎛ x′ − 2y′ ⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠

= y′ – x′ + 2y′ = –x′ + 3y′

⇔ x=

Substitusikan x =

x′ − 2y′ 2

dan y = –x′ + 3y′ ke

dalam persamaan 5x – 2y = 20. 5x – 2y = 20 ⎛ x′ − 2y′ ⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠

⇔

⎛3 5⎞⎛ x ⎞ ⎛ 3x + 5y ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 1 2 y ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ x + 2y ⎠ Bayangannya (3x + 5y, x + 2y) Titik (3x + 5y, x + 2y) dicerminkan terhadap sumbu X sehingga bayangannya sebagai berikut. x → (x′, y′) = (3x + 5y, –x – 2y) (3x + 5y, x + 2y) ⎯⎯⎯ Diperoleh: x′ = 3x + 5y

= y′ – 2 ⎜

⇔ 5⎜

25. Jawaban: c Ambil titik (x, y) yang terletak pada garis x – 2y = 5. Bayangan titik (x, y) oleh transformasi matriks ⎛3 5⎞ ⎜ ⎟ sebagai berikut. ⎝ 1 2⎠

−6x − x′ 2

⇔ 2y′ – 4x = –6x – x′ ⇔ 2x = x′ – 2y′ ⇔

3x – 7y = 21 ⇔ 3(2 – x′) – 7(y′ + 5) = 21 ⇔ 6 – 3x′ – 7y′ – 35 = 21 ⇔ –3x′ – 7y′ – 29 = 21 ⇔ –3x′ – 7y′ = 50 ⇔ –3x – 7y = 50 Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah –3x – 7y = 50.

– 2(–x′ + 3y′) = 20

5x′ − 10y′ 2

+ 2x′ – 6y′ = 20

⇔ 5x′ – 10y′ + 4x′ – 12y′ = 40 ⇔ 9x′ – 22y′ = 40 ⇔ 9x – 22y = 40 Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah 9x – 22y = 40. 24. Jawaban: c Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan 3x – 7y = 21. M

y (x, y) ⎯⎯⎯ → (–x, y) ⎛ 2⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ −5 ⎠

(–x, y) ⎯⎯⎯⎯⎯ → (x′, y′) = (2 – x, y – 5) Diperoleh: x′ = 2 – x ⇔ x = 2 – x′ y′ = y – 5 ⇔ y = y′ + 5 Substitusikan x = 2 – x′ dan y = y′ + 5 ke dalam persamaan 3x – 7y = 21.

x′ − 5y 3

. . . (1)

y′ = –x – 2y ⇔ x = –y′ – 2y . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: ⇔

x=

⇔

–y′ – 2y =

x′ − 5y 3 x′ − 5y 3

⇔ –3y′ – 6y = x′ – 5y ⇔ –y = x′ + 3y′ ⇔ y = –x′ – 3y′ Substitusikan y = –x′ – 3y′ ke dalam persamaan x = –y′ – 2y. x = –y′ – 2y = –y′ – 2(–x′ – 3y′) = –y′ + 2x′ + 6y′ = 2x′ + 5y′ Substitusikan x = 2x′ + 5y′ dan y = –x′ – 3y′ ke dalam persamaan x – 2y = 5. x – 2y = 5 ⇔ (2x′ + 5y′) – 2(–x′ – 3y′) = 5 ⇔ 2x′ + 5y′ + 2x′ + 6y′ = 5 ⇔ 4x′ + 11y′ = 5 ⇔ 4x + 11y = 5 Jadi, bayangan garis tersebut adalah 4x + 11y = 5. 26. Jawaban: d Ambil titik (x, y) yang terletak pada lingkaran x2 + (y – 4)2 = 16. M

y → (–x, y) (x, y) ⎯⎯⎯


89

Bayangan titik (–x, y) oleh dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 3 sebagai berikut. x′ = k(–x) = –3x y′ = ky = 3y x′

y′

Substitusikan x = –

y′ 3

dan y =

ke dalam

⇔

(− ) + ( x′ 2 3

⇔

(x′)2 9

⇔

(x′)2 9

y′ 3

−4

)

2

⎛ y′ − 12 ⎞ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠

+

(y′ − 12)2 9

= 16 = 16

⇔ (x′)2 + (y′ – 12)2 = 144 ⇔ x2 + (y – 12)2 = 144 Jadi, persamaan bayangannya adalah x2 + (y – 12)2 = 144. 27. Jawaban: b Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan (x − 1)2 5

(y − 6)2 10

+

= 1.

Diperoleh x′ = 2x – 4 atau x =

⇔

(( ) )

⇔

(( ) − )

⇔ ⇔ 90

(x − 1)2 5

(y − 6)2 10

+ x′+ 4 2

−1

5

x′+ 4 2

2 2

5

x′ + 4 2

dan y′ = 2y –

y′ + 1 . 2

Substitusikan x =

(x − 1)2 5

⇔

(x + 2)2 20

+

(y − 11)2 40

=1

(y − 11)2 40

= 1.

(x + 2)2 20

+

⎛ 1 1⎞ ⎛ x ⎞ ⎛x + y⎞ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎝0 4⎠⎝ y ⎠ ⎝ 4y ⎠ Diperoleh: x′ = x + y ⇔ x = x′ – y . . . (1) y′ = 4y y′

⇔ y= 4 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). y′

(x, y) ⎯⎯⎯⎯⎯ → (x – 1, y + 1) Titik (x – 1, y + 1) didilatasi dengan pusat (2, 3) dan faktor skala 2 sehingga diperoleh: x′ = k(x – 1) – ka + a = 2(x – 1) – 2 × 2 + 2 = 2x – 2 – 4 + 2 = 2x – 4 y′ = k(y + 1) – kb + b = 2(y + 1) – 2 × 3 + 3 = 2y + 2 – 6 + 3 = 2y – 1

persamaan

=1

x = x′ – y = x′ – 4

⎛ −1⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ 1⎠

1 atau y =

(y′ − 11)2 40

⎛ x′ ⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ 0 2 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ′⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ y ⎠ ⎝ 2 0 ⎠ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ y ⎠

= 16

2

+

+

28. Jawaban: a Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan y = x2 – 2.

persamaan x2 + (y – 4)2 = 16. x2 + (y – 4)2 = 16

(x′ + 2)2 20

Jadi, persamaan bayangan elips tersebut

Diperoleh x = – 3 dan y = 3 . x′ 3

⇔

x′ + 4 2

+

dan y =

(y − 6)2 10

y′ + 1 2

= 1.

=1 +

(( ) )

+

(( ) − )

2

2

( ) x′+ 2 2

5

−6

12 2

10

+ +

( ) y′−11 2

10

10

2

⇔

y′ 4

= ⎜ x′ −

⇔

y′ 4

= (x′)2 – 2 +

⎛ ⎝

–2

x′y′

⇔ (x′)2 + ⇔

y′ ⎞ 4 ⎟⎠

(y′)2 16

x2 +

x′y′

(y′)2 16

–2

y′

– 2 – 4 –2 =0

y2 16

xy

y

– 2 – 4 –2=0 2 2 ⇔ 16x + y – 8xy – 4y – 32 = 0 Jadi, persamaan bayangannya adalah 16x2 + y2 – 8xy – 4y – 32 = 0. 29. Jawaban: e Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan 2x – 7y = 14. My

=1 2

=1

2

(y′−11)2 4

y′

dan y = 4 ke dalam

(x, y) ⎯⎯⎯ → (–x, y)

2

10

y′+1 2

2

(x′+ 2)2 4

5

y′+1 2

ke dalam

y′

Substitusikan x = x′ – 4 persamaan y = x2 – 2. y = x2 – 2

=1 =1


⎛2⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ −1⎠

(–x, y) ⎯⎯⎯⎯⎯ → (–x + 2, y – 1) M

x (–x + 2, y – 1) ⎯⎯⎯ → (x′, y′) = (–x + 2, –y + 1) Diperoleh: x′ = –x + 2 ⇔ x = –x′ + 2

y′ = –y + 1 ⇔ y = –y′ + 1 Substitusikan x = –x′ + 2 dan y = –y′ + 1 ke dalam persamaan 2x – 7y = 14. 2x – 7y = 14 ⇔ 2(–x′ + 2) – 7(–y′ + 1) = 14 ⇔ –2x′ + 4 + 7y′ – 7 = 14 ⇔ –2x′ + 7y′ – 3 = 14 ⇔ –2x′ + 7y′ = 17 ⇔ –2x + 7y = 17 Jadi, persamaan bayangan akhir dari garis tersebut adalah –2x + 7y = 17. 30. Jawaban: d Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan y = x2 – 2x + 6. R[O(0, 0), − 90° ]

(x, y) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ (y, –x) [O(0, 0), ]

D 2 (y, x) ⎯⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (2y, 2x) Diperoleh:

x′

y′

y′ = 2x ⇔ x = 2

x′

dan y = 2 ke dalam per-

samaan y = x2 – 2x + 6. y = x2 – 2x + 6 2

⇔

x′ 2 x′ 2

⇔

x′ =

⇔

x=

⇔

Jadi, x=

y2 2

= =

⎛ y′ ⎞ ⎛ y′ ⎞ ⎜ 2 ⎟ – 2⎜ 2 ⎟ + 6 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (y′)2 – y′ + 6 4 (y′)2 – 2y′ + 12 2 y2 – 2y + 12 2

persamaan

bayangannya

adalah

– 2y + 12.

B. Uraian 1. a.

b.

1

=6× 2 +8× Diperoleh:

1 2

3 =3+ 4 3

a= 3 3 –4 b+1=3+ 4 3 ⇔ b=2+ 4 3 a – b = ( 3 3 – 4) – (2 + 4 3 ) = –6 – 3 Jadi, nilai a – b = –6 – 3 .

⎛ −4 ⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠→ ⎯⎯⎯⎯⎯

x′ = 2y ⇔ y = 2

y′

1

1 2

3 –8× = 3 3 –4 2 y′ = x sin α + y cos α = 6 sin (30°) + 8 cos (30°) =6×

4. Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan y = 2x2 – 3x + 5.

M

x (y, –x) ⎯⎯⎯ → (y, x)

Substitusikan x = 2

R[A(1, 2), 30°]

3. B(6, 8) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B′(x′, y′) = B′(a, b + 1) x′ = x cos α – y sin α = 6 cos (30°) – 8 sin (30°)

(x, y) (x′, y′) = (x – 4, y + 3) Diperoleh: x′ = x – 4 ⇔ x = x′ + 4 y′ = y + 3 ⇔ y = y′ – 3 Substitusikan x = x′ + 4 dan y = y′ – 3 ke dalam persamaan y = 2x2 – 3x + 5. y = 2x2 – 3x + 5 ⇔ y′ – 3 = 2(x′ + 4)2 – 3(x′ + 4) + 5 ⇔ y′ – 3 = 2((x′)2 + 8x′ + 16) – 3x′ – 12 + 5 ⇔ y′ – 3 = 2(x′)2 + 16x′ + 32 – 3x′ – 7 ⇔ y′ – 3 = 2(x′)2 + 13x′ + 25 ⇔ y′ = 2(x′)2 + 13x′ + 28 ⇔ y = 2x2 + 13x + 28 Jadi, persamaan bayangan parabola tersebut adalah y = 2x2 + 13x + 28. ⎛ − 2 1 ⎞ ⎛ −9 ⎞ ⎟⎜ ⎟ 5. ⎜ ⎝ 1 −1⎠ ⎝ 2 ⎠

⎛ 18 + 2 ⎞ ⎛ 20 ⎞ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎝ −9 − 2 ⎠ ⎝ −11⎠

R[O(0, 0), 270° ]

M

y = −1 A(–6, 10) ⎯⎯⎯⎯ → A′(–6, 2 × (–1) – 10) = A′(–6, –12) Jadi, bayangannya adalah A′(–6, –12).

R[O(0, 0), −90°]

A(–6, 10) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → A′(10, –(–6)) = A′(10, 6) Jadi, bayangannya adalah A′(10, 6).

⎛ 2 1⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 16 − 2 ⎞ ⎛ 14 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ 2. ⎜ = ⎜ − 2 0 − 2 − 16 − 0 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ −16 ⎠ Jadi, bayangan titik B adalah B′(14, –16).

(20, –11) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ (–11, –20) Jadi, bayangan titik A adalah A′′(–11, –20). 6. A(–5, 9)

⎛ a − 1⎞ T=⎜ ⎟ ⎝b + 4⎠ ⎯⎯⎯⎯⎯→

A′(–5 + (a – 1), 9 + (b + 4)) = A′(7, 4)

Diperoleh: –5 + (a – 1) = 7 ⇔ a–6=7 ⇔ a = 13 9 + (b + 4) = 4 ⇔ 13 + b = 4 ⇔ b = –9


91

⎛ a ⎞ ⎛ 13 ⎞ Diperoleh translasi T = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ ⎝ −9 ⎠

B(2, 1)

⎛ 13 ⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ −9 ⎠ → ⎯⎯⎯⎯⎯

B′(2 + 13, 1 – 9) = B′(15, –8)

Mx

→ B′′(15, 8) B′(15, –8) ⎯⎯⎯ Jadi, bayangan titik B adalah B′′(15, 8). My

→ A(–a, b) 7. A(a, b) ⎯⎯⎯ [O(0, 0), − 2]

→ A′′(–a × (–2), b × (–2)) A′(–a, b) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = A′′(6, 10) Diperoleh: –a × (–2) = 6 ⇔ 2a = 6 ⇔ a=3 b × (–2) ⇔ –2b = 10 ⇔ b = –5 Diperoleh koordinat titik A(a, b) = A(3, –5).

Diperoleh: x′ = –x + 1 ⇔ x = –x′ + 1 y′ = y + 2 ⇔ y = y′ – 2 Substitusikan x = –x′ + 1 dan y = y′ – 2 ke dalam persamaan y = 2x2 – 4x + 5. y = 2x2 – 4x + 5 ⇔ y′ – 2 = 2(–x′ + 1)2 – 4(–x′ + 1) + 5 ⇔ y′ – 2 = 2((x′)2 – 2x′ + 1) + 4x′ – 4 + 5 ⇔ y′ – 2 = 2(x′)2 – 4x′ + 2 + 4x′ + 1 ⇔ y′ – 2 = 2(x′)2 + 3 ⇔ y = 2x2 + 5 Jadi, persamaan bayangannya adalah y = 2x2 + 5. 10. a.

Ambil titik (x, y) yang terletak pada lingkaran (x – 1)2 + (y + 2)2 = 49. [O(0, 0), 4]

(x, y) ⎯⎯⎯⎯⎯ → (4x, 4y) M

y = −x (4x, 4y) ⎯⎯⎯⎯ → (x′, y′) = (–4y, –4x) Diperoleh: x′ = –4y

⎛ 27 ⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ −25 ⎠

A(3, –5) ⎯⎯⎯⎯⎯→ A(3 + 27, –5 – 25) = A′(30, –30) Jadi, koordinat bayangan titik A oleh translasi

x′

⇔ y=–4 y′ = –4x

⎛ 27 ⎞ ⎟ adalah A′(30, –30). T= ⎜ ⎝ −25 ⎠

y′

⇔ x=–4

8. Koordinat titik A dicari dengan cara berikut. 3x + 2y= 17 × 2 6x + 4y= 34 2x – 3y = 7 ×3 6x – 9y = 21 –––––––––– – 13y = 13 ⇔ y=1 y = 1 ⇒ 3x + 2y = 17 ⇔ 3x + 2 = 17 ⇔ 3x = 15 ⇔ x=5 Diperoleh titik A(5, 1).

y′

⇔

M

y=x A′(–1, 5) ⎯⎯⎯⎯ → A′′(5, –1)

⇔

Dengan demikian diperoleh titik A′′(5, –1) = B(5, –1).

⇔

⎛4⎞ T=⎜ ⎟ ⎝7⎠

(x – 1, y + 2) ⎯⎯⎯ → (x′, y′)= (–(x – 1), y + 2) = (–x + 1, y + 2)

92


2

x′

⎛

⎞

⎞⎞ ⎠⎠

2

⎛

2

2 ⎞⎞ ⎠⎠

⎛ x′ ⎝

+ 1⎟ ⎟ + ⎜ − ⎜ − 2 ⎟ ⎟ 4 ⎛ y′ ⎜4 ⎝

⎝

2

′

= 49 = 49

2

⎞ ⎛x ⎞ + 1⎟ + ⎜ − 2 ⎟ = 49 ⎠ ⎝4 ⎠

⎛ y′ + 4 ⎞ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠

2

(y′ + 4)2 16

2

+

⎛ x′ − 8 ⎞ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠

+

(x′ − 8)2 16

= 49 = 49

⇔ (x′ – + (y′ + = 784 ⇔ (x – 8)2 + (y + 4)2 = 784 Jadi, persamaan bayangannya adalah (x – 8)2 + (y + 4)2 = 784.

Jadi, bayangan titik B adalah B′(9, 8).

My

⎞

− 1⎟ + ⎜ − + 2 ⎟ ⎠ ⎝ 4 ⎠

8)2

B(5, –1) ⎯⎯⎯⎯ → B′(9, 8)

(x, y) ⎯⎯⎯⎯→ (x – 1, y + 2)

⎛ ⎛ y′ ⎜− ⎜ ⎝ ⎝4

⇔

A(5, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ A′(–1, 5)

⎛ −1⎞ T=⎜ ⎟ ⎝2⎠

⎛ y′ ⎜− 4 ⎝

⇔

R[O(0, 0), 90° ]

9. Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan y = 2x2 – 4x + 5.

x′

Substitusikan x = – 4 dan y = – 4 ke dalam persamaan (x – 1)2 + (y + 2)2 = 49. (x – 1)2 + (y + 2)2 = 49

b.

4)2

Diketahui jari-jari bayangan lingkaran = = 28, sehingga luasnya: L = πr2 22

784

= 7 × 28 × 28 = 2.464 satuan luas Jadi, luas bayangan lingkaran tersebut 2.464 satuan luas.

A.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: a Nilai determinan utama:

n −5 = –7 −3 n + 2

⇔ n(n + 2) – (–5) × (–3) = –7 ⇔ n2 + 2n – 15 = –7 ⇔ n2 + 2n – 8 = 0 ⇔ (n + 4)(n – 2) = 0 ⇔ (n + 4) = 0 atau (n – 2) = 0 ⇔ n = –4 atau n =2 Jadi, nilai n adalah 2 atau –4. 2. Jawaban: b Nilai determinan variabel z:

1 2

Dz =

0 1 1 −1 −2 2

−2

–

–

+

8 3⎞ Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien ⎛⎜ ⎟. ⎝ −3 −1⎠ 8 3 D= = 8 × (–1) – 3 × (–3) = –8 + 9 = 1 −3 −1

Dy = x=

3

1 −1 8

4

−3

1

Dx D

=

= m × (–3) – 5(m – 1) = –3m – 5m + 5 = –8m + 5

= –7

5

14 −3

= 6 × (–3) – 5 × 14 = –18 – 70 = –88

⇔

8=

−88 −8m + 5

⇔

1=

−11 −8m + 5

⇔ –8m + 5 = –11 ⇔ –8m = –16 ⇔ m=2 Jadi, nilai m adalah 2. 5. Jawaban: d Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien

⎛ 0 2 −1⎞ ⎜ ⎟. ⎜4 3 0 ⎟ ⎜ 1 −3 2 ⎟ ⎝ ⎠

D =

−7 1

6

Dx D

= 4 × (–1) – 3 × 1 = –4 – 3 = –7

= 8 × 1 – 4 × (–3) = 8 + 12 = 20

5

m − 1 −3

+

3. Jawaban: c

4

m

D =

x=

= 1 × (–1) × 0 + 0 × (–2) × (–2) + 1 × 2 × 1 – 1 × (–1) × (–2) – 1 × (–2) × 1 – 0 × 2 × 0 =0+0+2–2+2–0 =2

Dx =

= 20

5⎞ ⎛ m ⎜ ⎟. ⎝ m − 1 −3 ⎠

1 +

20 1

4. Jawaban: c Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien

Dx =

0 −1

0 −2

1

–

=

D

Jadi, penyelesaiannya adalah (–7, 20). D = –7

⇔

Dy

y=

–

0 4

−1 0

2 3

1 −3 –

0 4

2 –

1 +

2 3 −3 +

+

= 0 × 3 × 2 + 2 × 0 × 1 + (–1) × 4 × (–3) – (–1) × 3 × 1 – 0 × 0 × (–3) – 2 × 4 × 2 = 0 + 0 + 12 + 3 – 0 – 16 = –1


93

Dx =

2 3

−1 0

4 0

2

−1 −3

−1 −3 –

–

–

2 3

+

b.

+

Dy =

−1 0

4 0

+

Nilai

–

–

–

4 0

1

−1

+

−1 −2

c.

+

+

= 0 × 0 × 2 + 4 × 0 × 1 + (–1) × 4 × (–1) – (–1) × 0 × 1 – 0 × 0 × (–1) – 4 × 4 × 2 = 0 + 0 + 4 – 0 – 0 – 32 = –28

0 4

Dz =

2 3

4 0

0 4

–

–

−6 3

+

d.

y= z=

Dx D Dy D

Dz D

=

21 −1

=

−28 −1

= 28

=

−52 −1

= 52

= –21

a.

b1 b2

c1 c2

≠

=

−2 4

a1 a2

=

=

1 – 2

−1 2

94

1 2

a1 a2

=

b1 b2

=

c1 c2

.

1 2

, dan

c1 c2

=

a1 a2

≠

b1 b2

= 3,

=

9 −3

= –3, dan

c1 c2

=

a1 a2

≠

b1 b2

=

c1 c2

.

x – 2y = 1 –2x + 4y = 2 memiliki nilai a1 = 1,

=

1 −2

b1 b2

=

−2 4

=

b1 b2

≠

c1 c2

c1 c2

, SPLDV tidak memiliki

1 2

=– ,

1 2

= – , dan

c1 c2

.

Oleh karena

a1 a2

=

a1 a2

b1 b2

≠

.

penyelesaian. Jadi, SPLDV yang tidak memiliki penyelesaian adalah pilihan d. 7. Jawaban: d ⎛ −6 5 ⎞ Diketahui M = ⎜ ⎟. ⎝ −2 2 ⎠

.

1 2

=– ,

b1 b2

=

b1 b2

=

2 −4

1 2

= – , dan

.

Diperoleh nilai

3 1

=

Diperoleh nilai

⎧ − x + 2y = −2 SPLDV ⎨ memiliki nilai a1 = –1, ⎩ 2x − 4y = 4 a2 = 2, b1 = 2, b2 = –4, c1 = –2, dan c2 = 4.

Nilai

SPLDV

=

⎧ a1x + b1y = c1 SPLDV ⎨ tidak memiliki penyelesaian ⎩a 2 x + b2 y = c 2 =

3 6

= –3.

Nilai

6. Jawaban: d

a1 a2

=

a2 = –2, b1 = –2, b2 = 4, c1 = 1, dan c2 = 2.

Jadi, penyelesaiannya adalah (–21, 28, 52).

jika

b1 b2

.

Diperoleh nilai

= 0 × 3 × (–1) + 2 × 0 × 1 + 4 × 4 × (–3) – 4 × 3 × 1 – 0 × 0 × (–3) – 2 × 4 × (–1) = 0 + 0 – 48 – 12 – 0 + 8 = –52 x=

a1 a2

−3 +

1 2

=– ,

⎧ 3x + 9y = −6 SPLDV ⎨ x − 3y = 3 memiliki nilai a1 = 3, ⎩ a2 = 1, b1 = 9, b2 = –3, c1 = –6, dan c2 = 3.

Nilai

2 3

1 +

1 2

1 −2

=

1 −3 −1

–

=

a1 a2

Diperoleh nilai

0 4

1 −1 2

x + 3y = –1 –2x – 6y = –2 memiliki nilai a1 = 1,

a2 = –2, b1 = 3, b2 = 6, c1 = –1, dan c2 = –2.

= 4 × 3 × 2 + 2 × 0 × (–1) + (–1) × 0 × (–3) – (–1) × 3 × (–1) – 4 × 0 × (–3) – 2 × 0 × 2 = 24 + 0 + 0 – 3 – 0 – 0 = 21

0 4

SPLDV

4 0

a1 a2

=

Ulangan Akhir Semester 1

c1 c2

.

c1 c2

⎛ 2 −5 ⎞ 1 ⎛ 2 −5 ⎞ ⎜ ⎟ =–2 ⎜ ⎟ ⎝ 2 −6 ⎠ ⎝ 2 −6 ⎠ Misalkan bayangan titik P setelah ditransformasi oleh matriks M–1 adalah P′(x′, y′), maka:

M–1 =

1 −12 + 10

⎛ xP ⎞ ⎛ x′ ⎞ -1 ⎜ ⎟ = M ⎜y ⎟ ⎝ y′ ⎠ ⎝ P⎠ ⎛ 2 −5 ⎞ ⎛ 3 ⎞ =–1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 −6 ⎠ ⎝ −2 ⎠

⎛ 2 × 3 + ( −5) × ( −2) ⎞ =–1 ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 × 3 + ( −6) × ( −2) ⎠

⎛ x′ ⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⎜ y′ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 3 −5 ⎠ ⎝ ⎠ −1

⎛x⎞ ⎜y⎟ ⎝ ⎠

⎛ x′ ⎞ ⎜ y′ ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 6 + 10 ⎞ =–1 ⎜ ⎟ 2 ⎝ 6 + 12 ⎠

⎛ x ⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⇔ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎝ y ⎠ ⎝ 3 −5 ⎠

⎛ 16 ⎞ =–1 ⎜ ⎟ 2 ⎝ 18 ⎠

⎛ −5 − 2 ⎞ ⎛ x ′ ⎞ ⎛x⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = –⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ −3 − 1 ⎠ ⎝ y ′ ⎠ ⎝y⎠

⎛ −8 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −9 ⎠ Jadi, bayangan titik P setelah ditransformasi oleh matriks M–1 adalah P′(–8, –9).

8. Jawaban: c Bayangan titik K(p, –q) setelah ditransformasi oleh 2 ⎞ ⎛q matriks M = ⎜ ⎟ adalah K′(q, p), maka: ⎝ 5 q − 1⎠ 2 ⎞ ⎛ xK ′ ⎞ ⎛q ⎜ y ′⎟ = ⎜ ⎟ 5 q − 1⎠ ⎝ K ⎠ ⎝

⎛ xK ⎞ ⎜y ⎟ ⎝ K⎠

⇔

2 ⎞ ⎛p⎞ ⎛ q⎞ ⎛q ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝p⎠ ⎝ 5 q − 1⎠ ⎝ −q ⎠

⇔

⎛ q⎞ ⎛ pq − 2q ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝p⎠ ⎝ 5p − q(q − 1) ⎠

⎛ pq − 2q ⎞ ⎛ q⎞ ⎟⎟ ⎜ ⎟ = ⎜⎜ 2 ⎝p⎠ ⎝ 5p − q + q ⎠ Dari kesamaan matriks diperoleh: q = pq – 2q ⇔ 3q = pq p=3 ⇔ p = 5p – q2 + q 3 = 5 × 3 – q2 + q ⇔ 3 = 15 – q2 + q ⇔ 2 q – q – 12 = 0 ⇔ (q – 4)(q + 3) = 0 ⇔ ⇔ (q – 4) = 0 atau (q + 3) = 0 q = 4 atau q = –3 ⇔ Diketahui koordinat titik K′(q, p). Untuk q = 4 diperoleh K′(4, 3) dan untuk q = –3 diperoleh K′(–3, 3). Jadi, koordinat titik K′ adalah (4, 3) atau (–3, 3). ⇔

9. Jawaban: e Misalkan titik (x, y) pada garis 3x – y = –1 dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh ⎛ −1 2 ⎞ matriks M = ⎜ ⎟ adalah (x′, y′), maka ⎝ 3 −5 ⎠ diperoleh kesamaan matriks:

⎛x⎞ ⇔ ⎜ ⎟= ⎝y⎠

⎛ 5 2 ⎞ ⎛ x′ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 3 1⎠ ⎝ y′ ⎠

⎛ x ⎞ ⎛ 5x ′ + 2y ′ ⎞ ⇔ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎝ y ⎠ ⎝ 3x ′ + y ′ ⎠ Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: x = 5x′ + 2y′ . . . (1) y = 3x′ + y′ . . . (2) Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan garis 3x – y = –1 sehingga diperoleh: 3x – y = –1 ⇔ 3(5x′ + 2y′) – (3x′ + y′) = –1 15x′ + 6y′ – 3x′ – y′ = –1 ⇔ 12x′ + 5y′ = –1 ⇔ Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′) dan (x′, y′) memenuhi persamaan 12x′ + 5y′ = –1, maka persamaan bayangan garis 3x – y = –1 adalah 12x + 5y = –1. Jadi, persamaan bayangan garis 3x – y = –1 setelah ditransformasi oleh matriks M = ⎛ −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ adalah 12x + 5y = –1. ⎝ 3 −5 ⎠

10. Jawaban: c Misalkan titik (x, y) pada kurva 4x2 – y2 = 2 dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh ⎛2 3⎞ matriks M = ⎜ ⎟ adalah (x′, y′), maka ⎝4 5⎠ diperoleh kesamaan matriks: ⎛ x′ ⎞ ⎛2 3⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ y′ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝4 5⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ ⎠ −1

⎛ x′ ⎞ ⎜ y′ ⎟ ⎝ ⎠

⇔

⎛x⎞ ⎛2 3⎞ ⎜y⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝4 5⎠

⇔

⎛x⎞ 1 ⎜y⎟ = –2 ⎝ ⎠

⎛ 5 −3 ⎞ ⎛ x ′ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ −4 2 ⎠ ⎝ y ′ ⎠

⇔

⎛x⎞ 1 ⎜y⎟ = –2 ⎝ ⎠

⎛ 5x ′ − 3y ′ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ −4x ′ + 2y ′ ⎠


95

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: x=

1 – 2

(5x′ – 3y′)

. . . (1)

1 2

y = – (–4x′ + 2y′)

. . . (2)

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan kurva 4x2 – y2 = 2 sehingga diperoleh: 4x2 – y2 = 2 1 2

⇔

1 2

4(– (5x′ – 3y′))2 – (– (–4x′ + 2y′))2 = 2

⇔

4×

⇔

1 4

(5x′ – 3y′)2 –

1 4

(–4x′ + 2y′)2 = 2

25x′2 – 30x′y′ + 9y′2 –

1 4

(16x′2

– 16x′y′ + 4y′2) = – 30x′y′ + – 4x′2 + 4x′y′ – y′2 = 2 ⇔ 21x′2 – 26x′y′ + 8y′2 = 2 ⇔ 21x′2 + 8y′2 – 26x′y′ = 2 ⇔ Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′) dan (x′, y′) memenuhi persamaan 21x′2 + 8y′2 – 26x′y′ = 2, maka persamaan bayangan kurva 4x2 – y2 = 2 adalah 21x2 + 8y2 – 26xy = 2. Jadi, persamaan bayangan kurva 4x2 – y2 = 2 setelah 25x′2

9y′2

⎛2 3⎞ ditransformasi oleh matriks M = ⎜ ⎟ adalah ⎝4 5⎠ 21x2 + 8y2 – 26xy = 2.

11. Jawaban: b CD − CA − HD + EF

= (6 + 6 + 1) î + (–8 – 3 – 2) ˆj + (2 – 9 – 2) kˆ = 13 î – 13 ˆj – 9 kˆ G Jadi, vektor u = 13 î – 13 ˆj – 9 kˆ . 14. Jawaban: d JJJG JJJG AB : AC = 3 : 2 JJJG JJJG ⇔ 3 AC = 2 AB G G G G ⇔ 3( c – a ) = 2( b – a ) G G G G ⇔ 3c – 3a = 2b – 2a G G G ⇔ 3c = 2b + a G ⇔ 3 c = 2(– î + 2 ˆj + 5 kˆ ) + (5 î – 7 ˆj + 5 kˆ ) G ⇔ 3 c = 3 î – 3 ˆj + 15 kˆ G c = î – ˆj + 5 kˆ ⇔ Jadi, koordinat titik C adalah (1, –1, 5). 15. Jawaban: d ⎛3⎞ ⎛ −2 ⎞ G G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a = ⎜ 4 ⎟ dan b = ⎜ 5 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛3⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛5⎞ G G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a – b = ⎜ 4 ⎟ – ⎜ 5 ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎜2⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛3⎞ ⎛5⎞ G G G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a · ( a – b ) = ⎜ 4 ⎟ · ⎜ −1⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= (3)(5) + (4)(–1) + (–1)(2) = 15 – 4 – 2 = 9

= CD + AC + DH + EF 16. Jawaban: d

= AC + CD + DH + HG = AG 12. Jawaban: a G u = 4 î – 2 ˆj + kˆ G v = – î + 4 ˆj – 2 kˆ JG w = 2 î + ˆj – 3 kˆ JG G G G p = 4u – 2 v – w

(zu = 1) (zv = –2) (zw = –3)

zp = 4zu – 2zv – zw = 4 × 1 – 2(–2) – (–3) = 4 + 4 + 3 = 11

G Jadi, komponen vektor p pada arah sumbu Z adalah 11. 13. Jawaban: a G G G G u = 2a – 3b + c G = 2(3 î – 4 ˆj + kˆ ) – 3(–2 î + ˆj + 3k ) + ( î – 2 ˆj – 2 kˆ ) = 6 î – 8 ˆj + 2 kˆ + 6 î – 3 ˆj – 9 kˆ + î – 2 ˆj – 2 kˆ

96


⎛x⎞ ⎛ 2⎞ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ a = ⎜ 3 ⎟ ; b = ⎜ −6 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ G G |a | = |b | ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

2 2 2 x 2 + 32 + 22 = 2 + (−6) + 3 13 + x2 = 49 x2 = 36 x=±6

⎛6⎞ G ⎜ ⎟ Untuk x = 6 maka a = ⎜ 3 ⎟ . ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ G G a · b = 6 × 2 + 3 × (–6) + 2 × 3 = 12 – 18 + 6 = 0 G G G G Oleh karena a · b = 0 maka a dan b membentuk sudut 90°.

⎛ −6 ⎞ G ⎜ ⎟ Untuk x = –6 maka a = ⎜ 3 ⎟ . ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ G G a · b = –6 × 2 + 3 × (–6) + 2 × 3 = –12 – 18 + 6 = –24 G G G G Oleh karena a · b < 0 berarti a dan b membentuk sudut tumpul. Jadi, pernyataan yang benar pilihan d. 17. Jawaban: d

G G Misalkan α adalah sudut antara vektor u dan v . 1

1

Sin α = 5 24 maka cos α = 5 . G G G G | u + v |2 = (uG + v )2 G G G = (uG )2 + 2 uG · v G+ ( v )2 G = | u |2 + 2| u | | v | cos α + | v |2 1

= 42 + 2 × 4 × 5 × 5 + 52 = 49 G G ⇔ | u + v | = 49 = 7 satuan 18. Jawaban: e G a = 2 î + 4 ˆj – kˆ G b = 2 î – 2 ˆj + kˆ G c = x î + y ˆj + z kˆ G G G Vektor c tegak lurus a dan b , berarti G G a · c = 0 ⇒ 2x + 4y – z = 0 G G b · c = 0 ⇒ 2x – 2y + z = 0 G | c | = 41 ⇒ x2 + y2 + z2 = 412 Eliminasi x dari persamaan 1 dan 2: 2x + 4y – z = 0 2x – 2y + z = 0 –––––––––––––– – 6y – 2z = 0 ⇔ z = 3y Eliminasi z dari persamaan 1 dan 2: 2x + 4y – z = 0 2x – 2y + z = 0 –––––––––––––– + 1 4x + 2y = 0 ⇔ x = – 2 y

G Oleh karena vektor c membentuk sudut tumpul dengan sumbu Y arah positif maka y = –2 41. ⇒ z = 3 × y = 3 × (–2 41) = –6 41 1

1

⇒ x = – 2 y = – 2 × (–2 41) = 41 G Jadi, vektor c = 41 î – 2 41 ˆj – 6 41 kˆ 41( î – 2 ˆj – 6 kˆ ).

= 19. Jawaban: b

⎛4⎞ G a = 4 î – 5 ˆj + 3 kˆ = ⎜ −5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎛ 1⎞ G b = î + p ˆj + kˆ = ⎜ p ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ G G ⎛ 4 ⎞ ⎛ 1⎞ a · b = ⎜ −5 ⎟ ⎜ p ⎟ = 4 – 5p + 3 = 7 – 5p ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 1⎠ G G 2 Panjang b = | b | = 12 + p2 + 1 = p + 2 G G G Panjang proyeksi a pada b = 2 × panjang b G G a·b G b

⇒

7 − 5p

⇔

. . . . (1) . . . . (2) . . . . (3)

p2 + 2

1

⇔

p= 2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ y + 9y = 41 2

2

41 2 y 4

= 412

y2 = 4 × 41 y = ± 2 41

2 = 2 p +2

atau p = –3 1

Jadi, nilai p = –3 atau p = 2 . 20. Jawaban: b G G Proyeksi b pada c = =

G G b⋅c G | c |2

=

G c

−2(−3) + 4(2) + 5(1) ( (−3)2 + 22 + 12 )2

1

2

p2 + 2

⇔ 7 – 5p = 2(p2 + 2) ⇔ 7 – 5p = 2p2 + 4 2 ⇔ 2p + 5p – 3 = 0 ⇔ (2p – 1)(p + 3) = 0 ⇔ 2p – 1 = 0 atau p + 3 = 0

Substitusi z = 3y dan x = – 2 y ke persamaan 3: x2 + y2 + z2 = 412 1 2 y 4

1

= 2

19 14

⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

−57 ˆ i 14

19 19 + ˆj + kˆ 7 14 G G Jadi, proyeksi vektor b pada c adalah

=

−57 ˆ i 14

+

19 ˆ j 7

+

19 ˆ k 14

.


97

21. Jawaban: a Modal awal = M = 6.500.000 Suku bunga = i = 1,4% = 0,014 per bulan Periode = t = 1 tahun = 12 bulan Jumlah pinjaman yang dikembalikan: M12 = M (1 + i)12 = 6.500.000 (1 + 0,014)12 = 6.500.000 (1,014)12 = 6.500.000 × 1,1816 = 7.680.400 Jadi, pinjaman yang harus dikembalikan sebesar Rp7.680.400,00. 22. Jawaban: d Suku bunga = i = 8% = 0,08 per semester Periode = t = 2 tahun = 4 semester Modal akhir = M4 = 10.884.000 Besar pinjaman semula: M4 = M (1 + i)4 ⇒ 10.884.000 = M (1 + 0,08)4 ⇔ 10.884.000 = M (1,08)4 ⇔ 10.884.000 = M × 1,3605 ⇔ M = 8.000.000 Jadi, besar pinjaman semula adalah Rp8.000.000,00. 23. Jawaban: b Modal awal = M = 9.000.000 Periode = t = 2 tahun = 24 bulan Modal akhir = M24 = 14.475.600 Besar suku bunga: M24 = M (1 + i)24 ⇒ 14.475.600 = 9.000.000 (1 + i)24 ⇔ (1 + i)24 = 1,6084 ⇔

1+i=

24 1,6084

⇔ 1 + i = 1,02 ⇔ i = 0,02 ⇔ i = 2% Jadi, besar suku bunga yang diberikan adalah 2%. 24. Jawaban: c Modal awal = M = 20.000.000 Suku bunga = i = 1,1% = 0,011 per bulan Modal akhir = Mt = 22.312.000 Periode pembungaan: Mt = M (1 + i)t ⇒ 22.312.000 = 20.000.000 (1 + 0,011)t ⇔ 22.312.000 = 20.000.000 (1,011)t ⇔ 1,011t = 1,1156 ⇔ log 1,011t = log 1,1156 ⇔ t × log 1,011 = log 1,1156 ⇔ t × 0,0047 = 0,047 ⇔ t = 10 Jadi, modal tersebut diinvestasikan selama 10 bulan.

98


25. Jawaban: a Modal awal = M = 5.000.000 Suku bunga = i = 4,2% = 0,042 per semester 2

Periode = t = 4 tahun 4 bulan = 8 3 semester Nilai akhir pinjaman: 2

Mt = M (1 + i)8 (1 + i × 3 ) 2

= 5.000.000 (1 + 0,042)8 (1 + 0,042 × 3 ) = 5.000.000 (1,042)8 (1 + 0,028) = 5.000.000 × 1,3898 × 1,028 = 7.143.500 Jadi, nilai akhir pinjaman tersebut adalah Rp7.143.500,00. 26. Jawaban: b Pinjaman = M = 15.000.000 Suku bunga = i = 2% = 0,02 per bulan Periode = t = 2 tahun = 24 bulan Nilai anuitas: A =

M×i 1 − (1 + i)− t

=

15.000.000 × 0,02 1 − (1+ 0,02)−24

=

300.000 1 − (1,02)−24

=

300.000 1 − 0,6217

=

300.000 0,3783

= 793.021,41 Jadi, nilai anuitasnya sebesar Rp793.021,41. 27. Jawaban: a Suku bunga = i = 1,2% = 0,012 per bulan Angsuran kedua = a2 = 480.000 Angsuran ke-9: a9 = a2 (1 + i)9 – 2 = 480.000 (1 + 0,012)7 = 480.000 (1,012)7 = 480.000 × 1,0871 = 521.808 Jadi, besar angsuran ke-9 adalah Rp521.808,00. 28. Jawaban: c Pinjaman = M = 15.000.000 Suku bunga = i = 1,5% = 0,015 per bulan Periode = t = 1 tahun = 12 bulan Besarnya angsuran pertama merupakan selisih antara nilai anuitas dengan bunga pertama.

Nilai anuitas: A =

M×i 1 − (1 + i)− t

Nilai anuitas: A =

M×i 1 − (1 + i)− t

=

35.000.000 × 0,015 1 − (1 + 0,015)−12

=

18.000.000 × 0,015 1 − (1 + 0,015)−15

=

225.000 1 − (1,015)−12

=

270.000 1 − (1,015)−15

=

225.000 1 − 0,8364

=

270.000 1 − 0,7998

=

225.000 0,1636

=

270.000 0,2002

= 1.375.305,62 Nilai bunga pertama: b1 = M × i = 15.000.000 × 0,015 = 225.000 Nilai angsuran pertama: a1 = A – b1 = 1.375.305,62 – 225.000 = 1.150.305,62 Jadi, angsuran pertamanya sebesar Rp1.150.305,62. 29. Jawaban: b Pinjaman = M = 12.000.000 Anuitas = A = 750.000 Suku bunga = i = 2% = 0,02 per bulan Untuk menentukan nilai bunga pada anuitas ke-8, harus ditentukan nilai angsuran pertama dan angsuran ke-8 terlebih dahulu. Nilai angsuran pertama: a1 = A – b1 =A–M×i = 750.000 – 12.000.000 × 0,02 = 750.000 – 240.000 = 510.000 Nilai angsuran ke-8: a8 = a1 (1 + i)7 = 510.000 (1 + 0,02)7 = 510.000 (1,02)7 = 510.000 × 1,1487 = 585.837 Nilai bunga ke-8: b8 = A – a8 = 750.000 – 585.837 = 164.163 Jadi, besarnya bunga pada anuitas ke-8 adalah Rp164.163,00. 30. Jawaban: b Pinjaman = M = 18.000.000 Suku bunga = i = 1,5% = 0,015 per bulan Periode = t = 15 bulan

= 1.348.651,35 Besarnya angsuran pertama: a1 = A – b1 =A–M×i = 1.348.651,35 – 18.000.000 × 0,015 = 1.348.651,35 – 270.000 = 1.078.651,35 Sisa pembayaran setelah t periode: St = M –

a1 ((1 + i)t − 1) i


a1 ((1 + i)10 − 1) i

= 18.000.000 –

1.078,651,35 ((1 + 0,015)10 − 1) 0,015

= 18.000.000 –

1.078,651,35 (1,01510 − 1) 0,015

= 18.000.000 –

1.078,651,35 (1,1605 − 1) 0,015

= 18.000.000 –

1.078,651,35 × 0,1605 0,015

= 18.000.000 – 11.541.569,45 = 6.458.430,55 Jadi, sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-10 adalah Rp6.458.430,55. 31. Jawaban: d A(1, 2)

R[O(0, 0), 45°] ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

A′(x′, y′) = A′(a 2 , 2b 2 )

x′ = x cos α – y sin α = 1 × cos (45°) – 2 × sin (45°) 1

1

=1× 2 2 –2× 2 2 1

=–2 2 y′ = x sin α + y cos α = 1 × sin (45°) + 2 × cos (45°) 1

1

=1× 2 2 +2× 2 2 3

= 2

2


99

Diperoleh: x′ = kx – ka + a = 4 × (–3) – 4 × 1 + 1 = –15 y′ = ky – kb + b =4×1–4×2+2 = –2 Diperoleh A′(–15, –2). Titik A′(–15, –2) direfleksi terhadap sumbu Y sehingga:

Diperoleh: a 2 =

1 –2

2

1

⇔ a=–2 3

2b 2 = 2

2

3

⇔ b= 4 1

3

a+b=–2 + 4 =

M

y → A′′(15, –2) A′(–15, –2) ⎯⎯⎯ Jadi, bayangan titik A adalah A′′(15, –2).

1 4 1

Jadi, nilai a + b = 4 . 32. Jawaban: c Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan y = x2 – 3x + 5. ⎛ −4 ⎞ T=⎜ ⎟

⎝ 3⎠ (x′, y′) = (x – 4, y + 3) (x, y) ⎯⎯⎯⎯→ Diperoleh: x′ = x – 4 ⇔ x = x′ + 4 y′ = y + 3 ⇔ y = y′ – 3 Substitusikan x = x′ + 4 dan y = y′ – 3 ke dalam persamaan y = x2 – 3x + 5. y = x2 – 3x + 5 ⇔ y′ – 3 = (x′ + 4)2 – 3(x′ + 4) + 5 ⇔ y′ – 3 = (x′)2 + 8x′ + 16 – 3x′ – 12 + 5 ⇔ y′ – 3 = (x′)2 + 5x′ + 9 ⇔ y′ = (x′)2 + 5x′ + 12 ⇔ y = x2 + 5x + 12 Jadi, persamaan bayangan parabola tersebut adalah y = x2 + 5x + 12.

33. Jawaban: e

R[O(0, 0), 90° ] B(a, b) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B′(–b, a)

M

y=x → B′′(a, –b) B′(–b, a) ⎯⎯⎯⎯ Diketahui B′′(–1, 12) sehingga diperoleh: a = –1 –b = 12 ⇔ b = –12 Jadi, koordinat titik B(–1, –12).

36. Jawaban: a Titik P(x, y) adalah titik pusat lingkaran dengan persamaan (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 sehingga diperoleh titik P(3, –1). M

y = −x → P′(1, –3) P(3, –1) ⎯⎯⎯⎯

⎛ −7 ⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

P′(1, –3) ⎯⎯⎯⎯→ P′′(1 – 7, –3 + 2) = P′′(–6, –1) Jadi, koordinat bayangan titik P adalah P′′(–6, –1). 37. Jawaban: b [O(0, 0), − 3] M(8, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ M′(–24, –3)

Titik M(–24, –3) ditransformasi oleh matriks ⎛a⎞ T=⎜ ⎟ ⎝b⎠

A(–6, 10) ⎯⎯⎯⎯ → A′(–6 + a, 10 + b) Mx → A′′(–6 + a, –(10 + b)) A′(–6 + a, 10 + b) ⎯⎯⎯

Dari soal diketahui A′′(–4, –15) sehingga diperoleh: –6 + a = –4 ⇔ a=2 –(10 + b) = –15 ⇔ 10 + b = 15 ⇔ b=5 a+b=2+5 =7 Jadi, nilai a + b = 7. 34. Jawaban: e Komposisi N D M berarti transformasi M dikerjakan terlebih dahulu. [B(1, 2), 4] → A′′(x′, y′) A(–3, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯

100

35. Jawaban: a Misalkan titik B(a, b).


⎛ −1 0 ⎞ A= ⎜ ⎟ sehingga diperoleh: ⎝ 2 1⎠ ⎛ x′′ ⎞ = ⎛ −1 0 ⎞ ⎛ −24 ⎞ = ⎛ 24 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ′′ ⎟ ⎝ 2 1 ⎠ ⎝ −3 ⎠ ⎝ −51⎠ ⎝y ⎠ Jadi, bayangan titik M adalah M′′(24, –51).

38. Jawaban: b Ambil titik (x, y) yang terletak pada garis 5x – 2y = 20. ⎛ 1 2⎞ ⎛x⎞ ⎛ x + 2y ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ −x ⎠ M

y = −x → (x′, y′) = (x, –x – 2y) (x + 2y, –x) ⎯⎯⎯⎯ Diperoleh: x = x′

⇔ ⇔ ⇔

Jadi, persamaan bayangan lingkaran tersebut 9(x – 1)2 + (y + 9)2 = 144.

y′ = –x – 2y 2y = –x – y′ 2y = –x′ – y′ y=

40. Jawaban: c

− x′ − y′ 2

Ambil titik (x, y) yang terletak pada elips

Substitusikan x = x′ dan y = persamaan 5x – 2y = 20. 5x – 2y = 20 ⇔ 5x′ –

− x′ − y′ ⎞ 2 ⎛⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

− x′ − y′ 2

ke dalam

(x − 1)2 5

= 20

R[O(0, 0), − 90° ]

(x + 2, y + 3) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (y + 3, –(x + 2)) Diperoleh: x′ = y + 3 ⇔ y = x′ – 3 y′ = –(x + 2) ⇔ x + 2 = –y′ ⇔ x = –y′ – 2 Substitusikan x = –y′ – 2 dan y = x′ – 3 ke dalam

⎛ 0 1⎞ Lingkaran ditransformasi oleh matriks ⎜ ⎟ ⎝ −3 0 ⎠ sehingga diperoleh:

⇔

→ (x′, y′) = (–y, –3x) (y, –3x) ⎯⎯⎯ Diperoleh: x′ = –y ⇔ y = –x′ y′ = –3x y′ 3

Substitusikan x = – persamaan (x –

⇔

⎛ y′ ⎜− 3 ⎝ ⎛ ⎛ y′ ⎜−⎜ ⎝ ⎝3

((−y′ − 2) − 1)2 5

+

3)2

2

− 3 ⎞⎟ + (–x′ + 1)2 = 16 ⎠

2

⎞ + 3 ⎟⎞ ⎟ + (–(x′ – 1))2 = 16 ⎠⎠

⎛ y′ ⎜3 ⎝

+

3 ⎞⎟ ⎠

2

2

⇔

⎛ y′ + 9 ⎞ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠

⇔

(y′ + 9)2 9

+ (x′ –

1)2

= 16

+ (x′ – 1)2 = 16 + (x′ –

1)2

= 16

⇔

(y′ + 9)2 + 9(x′ – 1)2 = 144

⇔

9(x – 1)2 + (y + 9)2 = 144

B.

=1

((x − 3) + 3)2 4

=1

(x′)2 4

=1

⇔

(−(y′ + 3))2 4

+

(x′)2 4

=1

⇔

(y′ + 3)2 5

+

(x′)2 4

=1

(y′ + 3)2 5

=1

x 4

+ (y + = 16. 2 (x – 3) + (y + 1)2 = 16

(y′ + 3)2 4

+

+

2

1)2

= 1.

( − y′ − 3)2 5

x2 4

Jadi,

dan y = –x′ ke dalam

(y + 3)2 4

⇔

⇔ y′ 3

+

(x − 1)2 5

My

⇔

(x − 1)2 5

persamaan

⎛ 0 1⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ − 3 0 y ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ −3x ⎠

⇔

= 1.

⎛2⎞ T=⎜ ⎟

39. Jawaban: c Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan (x – 3)2 + (y + 1)2 = 16.

x=–

(y + 3)2 4

⎝3⎠ (x, y) ⎯⎯⎯⎯ → (x + 2, y + 3)

⇔ 5x′ + x′ + y′ = 20 ⇔ 6x′ + y′ = 20 ⇔ 6x + y = 20 Jadi, persamaan bayangannya adalah 6x + y = 20.

⇔

+

+

persamaan 2

(y′ + 3) 5

+

bayangannya

adalah

= 1.

Uraian

1. Misalkan: x = banyak menu A (porsi) y = banyak menu B (porsi) z = banyak menu C (porsi) Menu

Lemak (gram)

Karbohidrat (gram)

Protein (gram)

A(x) B(y) C(z)

1 2 2

2 1 4

3 3 3

Jumlah

15

24

30

Menu A, B, dan C masing-masing mengandung lemak 1 gram, 2 gram, dan 2 gram, sedangkan jumlah lemak yang dianjurkan terdapat dalam ketiga menu 15 gram, maka: x + 2y + 2z = 15 . . . (1)


101

Menu A, B, dan C masing-masing mengandung karbohidrat 2 gram, 1 gram, dan 4 gram, sedangkan jumlah karbohidrat yang dianjurkan terdapat dalam ketiga menu 24 gram, maka: 2x + y + 4z = 24 . . . (2) Menu A, B, dan C masing-masing mengandung protein 3 gram, sedangkan jumlah protein yang dianjurkan terdapat dalam ketiga menu 30 gram, maka: 3x + 3y + 3z = 30 ⇔ x + y + z = 10 . . . (3) Dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh SPLTV sebagai berikut. x + 2y + 2z = 15 2x + y + 4z = 24 x + y + z = 30 Menentukan nilai x, y, dan z menggunakan determinan matriks. Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien

= 1 × 1 × 10 + 2 × 24 × 1 + 15 × 2 × 1 – 15 × 1 × 1 – 1 × 24 × 1 – 2 × 2 × 10 = 10 + 48 + 30 – 15 – 24 – 40 =9 Dengan demikian, diperoleh: x= y= y=

2. a.

–

–

+

–

+

+

+

+

+

1 15 2 1 15 Dy = 2 24 4 2 24 1 10 1 1 10 –

–

+

+

b. +

= 1 × 24 × 1 + 15 × 4 × 1 + 2 × 2 × 10 – 2 × 24 × 1 – 1 × 4 × 10 – 15 × 2 × 1 = 24 + 60 + 40 – 48 – 40 – 30 =6 1 2 15 1 2 Dz = 2 1 24 2 1 1 1 10 1 1 –

102

–

–

+

=2

=

9 3

=3

+

+


⎛ xA ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ yA ⎠

⎛ −3 ⎞ ⎛ p 6 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −6p − 1⎠ ⎝ 5 −4 ⎠ ⎝ q ⎠

⎛ −3 ⎞ ⎛ −3p + 6q ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −6p − 1⎠ ⎝ −15 − 4q ⎠ Dari kesamaan matriks diperoleh: –3 = –3p + 6q ⇔ –1 = –p + 2q ⇔ p = 2q + 1 –6p – 1 = –15 –4q ⇔ –6(2q + 1) – 1 = –15 – 4q ⇔ –12q – 6 – 1 = –15 – 4q ⇔ –8q – 7 = –15 ⇔ –8q = –8 ⇔ q=1 Dengan demikian, diperoleh: p = 2q + 1 = 2 × 1 + 1 = 3 Jadi, nilai p = 3 dan q = 1. Diketahui koordinat titik B(p, q) dan matriks

⇔

= 15 × 1 × 1 + 2 × 4 × 10 + 2 × 24 × 1 – 2 × 1 × 10 – 15 × 4 × 1 – 2 × 24 × 1 = 15 + 80 + 48 – 20 – 60 – 48 = 15

–

6 3

Hasil transformasi titik A(–3, q) oleh matriks

⇔

15 2 2 15 2 Dx = 24 1 4 24 1 10 1 1 10 1 –

Dz D

=

=5

⎛ xA ′ ⎞ ⎛ p 6 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ y A ′ ⎠ ⎝ 5 −4 ⎠

=1×1×1+2×4×1+2×2×1–2×1×1 –1×4×1–2×2×1 =1+8+4–2–4–4 =3

–

D

15 3

⎛p 6 ⎞ M= ⎜ ⎟ adalah A′(–3, –6p – 1), maka: ⎝ 5 −4 ⎠

1 2 2 1 2 2 1 4 2 1 1 1 1 1 1 –

Dy

=

Jadi, agar kebutuhan zat gizi Pak Burhan terpenuhi ia harus mengonsumsi menu A sebanyak 5 porsi, menu B sebanyak 2 porsi, dan menu C sebanyak 3 porsi.

⎛ 1 2 2⎞ ⎜ ⎟. ⎜2 1 4⎟ ⎜ 1 1 1⎟ ⎝ ⎠ D =

Dx D

⎛ −q 2 ⎞ M= ⎜ ⎟ , maka koordinat titik B(3, 1) ⎝ −3 p ⎠ ⎛ −1 2 ⎞ dan matriks M = ⎜ ⎟. ⎝ −3 3 ⎠ Misalkan bayangan titik B(3, 1) setelah ditransformasi oleh matriks M adalah B′(x′, y′), maka:

Dari gambar terlihat P′Q′R′S′ memiliki sepasang sisi sejajar, yaitu P′Q′ sejajar dengan R′S′. Dengan demikian, P′Q′R′S′ berbentuk trapesium sebarang.

⎛ x′ ⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ xB ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ y′ ⎠ ⎝ −3 3 ⎠ ⎝ yB ⎠ ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ −3 3 ⎠ ⎝ 1 ⎠

4. a.

C(2, 3, 2)

⎛ −1× 3 + 2 × 1 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −3 × 3 + 3 × 1⎠ ⎛ −3 + 2 ⎞ ⎛ −1⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −9 + 3 ⎠ ⎝ −6 ⎠ Jadi, bayangan titik B(p, q) jika ditransformasi oleh matriks M adalah (–1, –6).

3. a.

Segi empat PQRS ditransformasi oleh matriks ⎛1 2 ⎞ M = ⎜ ⎟ menghasilkan bayangan ⎝ 0 −3 ⎠ P′Q′R′S′, maka:

⎛ xP ′ x Q ′ xR ′ ⎜ ⎝ yP ′ y Q ′ yR ′ ⎛1 2 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 0 −3 ⎠

xS ′ ⎞ ⎟ yS ′ ⎠

⎛ xP ⎜ ⎝ yP

xQ yQ

⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 0 10 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 −3 ⎠ ⎝ −5 3 ⎛ 0 − 10 10 + 6 = ⎜ ⎝ 0 + 15 0 − 9

b.

G JJJG AB = b – ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 2⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ JJJG G AC = c –

G a

⎛ 4⎞ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 – ⎜ ⎟ = ⎜ −2 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ G a

⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 3 ⎟ – ⎜ 4 ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ JJJG JJJG

AB ⋅ AC cos ∠A = JJJG JJJG

| AB | | AC |

xS ⎞ ⎟ yS ⎠

xR yR 0 4

=

−5 ⎞ ⎟ 0 ⎠

⎛ −1⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ −1⎠ ⎝ 1 ⎠ ( (−1)2 + (−2)2 + (−1)2 )( (−2)2 + (−1)2 + 12

3 2 + 2 −1 = 6 6 6 1 cos 2 = 60°

=

0+8

−5 + 0 ⎞ ⎟ 0 − 12 0 + 0 ⎠

8 −5 ⎞ ⎛ −10 16 = ⎜ ⎟ 15 − 9 − 12 0 ⎠ ⎝ Jadi, koordinat P′(–10, 15), Q′(16, –9), R′(8, –12) dan S′(–5, 0). Gambar P′Q′R′S′ pada koordinat kartesius sebagai berikut. Y

P′

B(3, 2, 0)

A(4, 4, 1)

15 12 9

∠A = arc G JJJG G BA = a – b

⎛ 4⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 4⎟ – ⎜ 2⎟ = ⎜ 2⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ JJJG G G BC = c – b ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 3⎟ – ⎜ 2⎟ = ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 0⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ cos ∠B =

6

JJJG JJJG BA ⋅ BC JJJG JJJG | BA | | BC |

⎛ 1 ⎞⎛ −1⎞ ⎜ 2 ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠⎝ 2 ⎠

3 –9

S′ –6

–3

0

3

6

9

12

X

15

–3

=

–6 –9

Q′

1

= 2

=

12 + 22 + 12 (−1)2 + 12 + 22 −1+ 2 + 2 6 6

3

1

= 6 = 2

–12 R′


103

b.

1

∠B = arc cos 2

b.

= 60° ∠C = 180° – 60°– 60° = 60° Jenis segitiga ABC adalah segitiga sama sisi.

c.

|AB| =

6 satuan

|BC| =

6 satuan

|AC| = 6 satuan Keliling = |AB| + |BC| + |AC| =

6 +

6 +

7. Pinjaman = M = 12.500.000 Suku bunga = i = 1,8% = 0,018 per bulan Periode = t = 2 tahun = 24 bulan a. Nilai anuitas

6

= 3 6 satuan 1

Luas = 2 |AB||AC| sin A 1

= 2 × 1

6 ×

A =

6 sin 60°

1

= 2 ×6× 2 3 =

3 2

3 satuan luas

5. Suku bunga = i = 6% = 0,06 per semester 1

Periode = t = 4 tahun 2 bulan = 8 3 semester Modal akhir = Mt = 24.385.500 a. Investasi awal b.

1

Mt = M (1 + i)8 (1 + i × 3 ) 1

b.

⇒ 24.385.500 = M (1 + 0,06)8 (1 + 0,06 × 3 ) ⇔ 24.385.500 = M (1,06)8 (1 + 0,02) ⇔ 24.385.500 = M × 1,5938 × 1,02 ⇔ M = 15.000.000 Jadi, uang yang diinvestasikan sebesar Rp15.000.000,00. Besar bunga B = Mt – M = 24.385.500 – 15.000.000 = 9.385.500 Jadi, besar bunga yang diperoleh adalah Rp9.385.500,00.

6. Pinjaman = M = 4.000.000 Suku bunga = i = 2% = 0,02 per bulan Anuitas = A = 200.000 a. Besar bunga pertama b1 = M × i = 4.000.000 × 0,02 = 80.000 Jadi, besar bunga pertama adalah Rp80.000,00.

104


Besar angsuran ke-10 Nilai angsuran pertama: a1 = A – b1 = 200.000 – 80.000 = 120.000 Nilai angsuran ke-10: a10 = a1 (1 + i)9 = 120.000 (1 + 0,02)9 = 120.000 (1,02)9 = 120.000 × 1,1951 = 143.412 Jadi, besar angsuran ke-10 adalah Rp143.412,00.

M×i 1 − (1 + i)− t

=

12.500.000 × 0,018 1 − (1 + 0,018)−24

=

225.000 1 − (1,018)−24

=

225.000 1 − 0,6517

=

225.000 0,3483

= 645.994,83 Jadi, nilai anuitasnya adalah Rp645.994,83. Sisa pinjaman anuitas ke-18 Besarnya angsuran pertama: a1 = A – b1 =A–M×i = 645.994,83 – 12.500.000 × 0,018 = 645.994,83 – 225.000 = 420.994,83 Sisa pembayaran setelah t periode: St = M –

a1 ((1 + i)t − 1) i


a1 ((1 + i)18 − 1) i

= 12.500.000 –

420,994,83 ((1 + 0,018)18 − 1) 0,018

= 12.500.000 –

420,994,83 (1,01818 − 1) 0,018

= 12.500.000 –

420,994,83 (1,3787 − 1) 0,018

= 12.500.000 –

420,994,83 × 0,3787 0,018


8. a.

Diketahui titik A′(12, –5), titik A(3, 7), dan

Mx → B′(–6, –2) B(–6, 2) ⎯⎯⎯

⎛a + 2⎞ translasi T = ⎜ ⎟ ⎝ b − 1⎠

R[O(0, 0), 90° ] B′(–6, –2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B′′(2, –6) Jadi, koordinat bayangan titik B oleh komposisi transformasi N D M adalah B′′(2, –6).

⎛a + 2⎞ T=⎜ ⎟

⎝ b − 1⎠ A(3, 7) ⎯⎯⎯⎯⎯ → A′(3 + a + 2, 7 + b – 1) = A′(12, –5) Diperoleh: 3 + a + 2 = 12 ⇔ a + 5 = 12 ⇔ a=7 7 + b – 1 = –5 ⇔ 6 + b = –5 ⇔ b = –11 Diperoleh a = 7 dan b = –11.

⎛a⎞ ⎛ 7 ⎞ T= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ b ⎝ ⎠ ⎝ −11⎠ ⎛ 7 ⎞ T=⎜ ⎟

⎝ −11⎠ B(1, 10) ⎯⎯⎯⎯⎯ → B′(8, –1) Jadi, bayangan titik B adalah B′(8, –1).

b.

⎛a − 2⎞ ⎛ 7−2 ⎞ ⎛5⎞ T= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝b + 3⎠ ⎝ −11 + 3 ⎠ ⎝ −8 ⎠

10. Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan (x − 1)2 6

9. a.

Komposisi transformasi M D N berarti titik B dirotasi 90° berlawanan arah dengan jarum jam dan berpusat di titik O(0, 0) dan dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu X. R[O(0, 0), 90° ] B(–6, 2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B′(–2, –6)

b.

Mx → B′′(–2, 6) B′(–2, –6) ⎯⎯⎯ Jadi, koordinat bayangan titik B oleh komposisi transformasi M D N adalah B(–2, 6). Komposisi transformasi N D M berarti titik B direfleksi terhadap sumbu X dan dilanjutkan dengan rotasi 90o berlawanan arah dengan jarum jam dan berpusat di titik O(0, 0).

(y + 3)2 8

= 1.

⎛ 4⎞ T=⎜ ⎟

⎝ −2 ⎠ (x, y) ⎯⎯⎯⎯→ (x + 4, y – 2) R[O(0, 0), 270°]

(x + 4, y – 2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (y – 2, –(x + 4)) Diperoleh: x′ = y – 2 ⇔ y = x′ + 2 y′ = –(x + 4) ⇔ –y′ = x + 4 ⇔ x = –y′ – 4 Substitusikan x = –y′ – 4 dan y = x′ + 2 ke dalam persamaan

(x − 1)2 6

+

(x − 1)2 6

⎛ 5⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ −8 ⎠

C(–5, 6) ⎯⎯⎯⎯→ C′(0, –2) Jadi, bayangan titik C adalah C′(0, –2).

+

⇔

(−y′ − 4 − 1)2 6

+

(y + 3)2 8

= 1.

(y + 3)2 8

=1

(x′ + 2 + 3)2 8

=1

+

⇔

( − y′ − 5)2 6

+

(x′ + 5)2 8

=1

⇔

(−(y′ + 5))2 6

+

(x′ + 5)2 8

=1

⇔

(y′ + 5)2 6

+

(x′ + 5)2 8

=1

⇔

(x + 5)2 8

+

(y + 5)2 6

=1

Jadi,

persamaan

(x + 5)2 8

+

(y + 5)2 6

bayangannya

adalah

= 1.


105

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. mendeskripsikan konsep jarak dan sudut antara garis, garis dan bidang, serta bidang dan bidang pada dimensi tiga; 2. menentukan jarak dan sudut antargaris, antarbidang, serta antara garis dan bidang pada bangun ruang dimensi tiga. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai diharapkan peserta didik bersikap teliti, cermat, dan percaya diri dalam menyelesaikan soal dimensi tiga.

Dimensi Tiga

Jarak dalam Ruang

• • • • • •

Menentukan jarak antara dua titik Menentukan jarak antara titik dan garis Menentukan jarak antara titik dan bidang Menentukan jarak antara dua garis Menentukan jarak antara garis dan bidang Menentukan jarak antara dua bidang

• •

106

Dimensi Tiga

Sudut dalam Ruang

• • •

Menentukan sudut antara dua garis Menentukan sudut antara garis dan bidang Menentukan sudut antara dua bidang

Bersikap cermat dan teliti dalam menentukan jarak dan sudut dalam ruang dimensi tiga. Mampu menyelesaikan permasalahan jarak dan sudut dalam ruang dimensi tiga.

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Jarak titik A ke titik T sama dengan panjang ruas garis AT. ADHE dan BCGF merupakan persegi dengan titik pusat berturut-turut P dan Q. Perhatikan gambar bidang diagonal ABTGH berikut. H

maka panjang AC = AH = CH = 8 2 cm. Segitiga ACH sama sisi, maka jarak titik C ke garis AH sama dengan jarak titik C ke P dengan P titik tengah AH.

G

1

F

E

Q

P

4 cm

Panjang rusuk = 8 cm AC, AH dan CH merupakan diagonal sisi kubus,

D

T C

1

AP = 2 AH = 2 × 8 2 = 4 2 cm Segitiga APC siku-siku di P, maka: AC2 − AP2

CP = =

ADHE dan BCGF merupakan persegi dengan panjang sisi 4 cm, maka panjang diagonalnya AH

(8 2)2 − (4 2)2

=

128 − 32

= BG = 4 2 cm.

=

96

A

8 cm

1

B

1

BQ = 2 BG = 2 × 4 2 = 2 2 cm Segitiga BQT siku-siku di Q, maka: QT =

2

BT − BQ

2

= 4 6 cm Jadi, jarak titik C ke diagonal sisi AH adalah 4 6 cm. 3. Jawaban: c

=

(2 6)2 − (2 2)2

=

24 − 8

P

= 16 = 4 cm PT = PQ + QT = 8 + 4 = 12 cm AP = BQ = 2 2 cm Segitiga APT siku-siku di P, maka: 2

AP + PT

AT =

2

(2 2)2 + 122

=

8 + 144

=

152 = 2 38 cm

Jadi, jarak titik A ke titik T adalah 2 38 cm. 2. Jawaban: a Kubus ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut.

E

G F

P D A

C

D A

A

B

C

Jarak titik C ke garis TA sama dengan panjang CP. ABCD merupakan persegi dengan panjang sisi 8 cm, maka panjang diagonalnya = AC = 8 2 cm.

=

H

T

T

C

TA = TC = AC = 8 2 cm, maka TAC merupakan segitiga sama sisi sehingga P merupakan titik tengah TA. 1

1

AP = 2 AT = 2 × 8 2 = 4 2 cm Segitiga ACP siku-siku di P, berarti: CP =

AC2 − AP2

=

(8 2)2 − (4 2)2

=

128 − 32

=

96

= 4 6 cm Jadi, jarak titik C ke garis TA adalah 4 6 cm.

B


107

4. Jawaban: e S

R

P

K

3 cm

L

M 4 cm

M

Jarak titik R ke garis PM sama dengan panjang ruas garis RT dimana T pada garis PM dengan RT tegak lurus PM. Segitiga PQR siku-siku di Q, maka:

=

32 + 4 2

=

9 + 16

= 25 = 5 cm Segitiga PMR siku-siku di R, maka:

=

52 + 122

=

25 + 144

1

luas segitiga PRM adalah L = 2 × PM × RT atau 1

L = 2 × PR × RM. Dari kedua rumus luas segitiga PRM tersebut diperoleh:

⇔ ⇔

1

RT =

= 100 = 10 cm 1

1

AO = 2 AC = 2 × 10 = 5 cm Segitiga TAO siku-siku di O, maka: TA 2 − AO2

=

102 − 52

=

100 − 25

=

75

6. Jawaban: c Perhatikan gambar T limas T.KLM di samping. Jika titik Q pada garis TP sehingga garis KQ Q tegak lurus garis TP, M maka: K Jarak (K, TLM) P = jarak (K, TP) L = jarak (K, Q) = KQ ΔKLM siku-siku di A dan sama kaki dengan panjang KL = KM = 4, maka ∠KLM = ∠KML = 45° 1

P titik tengah LM, maka panjang LP = 2 LM = 2 2 cm. ΔKLP siku-siku di P dan besar ∠KLP = ∠KLM = 45°, maka ΔKLP sama kaki dan panjang KP = LP

1

× 13 × RT = 2 × 5 × 12 1 × 5 × 12 2 1 2 × 13

36 + 64

dan panjang LM = 4 2 cm.

× PM × RT = 2 × PR × RM 1 2

=

Jadi, jarak titik T ke bidang ABCD adalah 5 3 cm.

= 169 = 13 cm T pada PM sehingga RT tegak lurus PM, maka

1 2

62 + 8 2

= 5 3 cm

PR2 + RM2

PM =

=

TO =

PQ 2 + QR2

PR =

AB2 + BC2

AC =

T

12 cm

N

R

P

Q

Jarak titik T ke bidang ABCD sama dengan jarak titik T ke titik O, yaitu panjang ruas garis TO. Segitiga ABC siku-siku di B, maka:

60

= 13

60

Jadi, jarak titik R ke garis PM adalah 13 cm.

= 2 2 cm. ΔTKP siku-siku di K dan sama kaki dengan panjang

5. Jawaban: a Limas T.ABCD digambarkan sebagai berikut.

TK = KP = 2 2 cm, maka ∠KPT = ∠KTP = 45°

T

10 cm D A

108

O 6 cm

C B

Dimensi Tiga

8 cm

dan panjang TP = 2 2 × 2 = 4 cm. Titik Q tepat berada di tengah-tengah TP. Oleh karena ΔKPQ siku-siku di P dan ∠KPQ = ∠KPT = 45°, maka segitiga ΔKPQ siku-siku sama kaki sehingga: 1

1

KQ = PQ = 2 PT = 2 × 4 = 2 cm Jadi, jarak titik K ke bidang TLM adalah 2 cm.

7. Jawaban: c H

G F

E

R

E

G

Jarak antara garis PQ dan AG sama dengan panjang ruas garis RS. Ruas garis AB merupakan rusuk, maka AB = 9 cm. Ruas garis AH merupakan diagonal sisi, maka AH = 9 2 cm. Ruas garis AG merupakan diagonal

D

C P

A

ruang, maka AG = 9 3 cm.

Q

B

1

Luas segitiga AGH adalah L = 2 × AG × HS atau

P

Jarak titik E ke bidang BGD sama dengan jarak titik E ke garis GP dengan P titik tengah BD, yaitu sama dengan panjang EQ. EG dan AC merupakan diagonal sisi, maka panjang EG = AC = 12 2 cm. 1 2

AP =

1 2

AC =

1 2

⇔

1

× AG × HS = 2 × AH × HG 1 2

⇔

× 12 2 = 6 2 cm

HS =

AE2 + AP2

1

=

122 + (6 2)2

=

144 + 72

=

216

9. Jawaban: a Balok PQRS.TUVW digambarkan sebagai berikut.

1 2

U

S P

1

× 6 6 × EQ = 2 × 12 2 × 12 3 6 EQ = 72 2

⇔

EQ = =

72 2 3 6 24 = 3

8. Jawaban: c Perhatikan kubus ABCD. EFGH dan bidang diagonal ABGH berikut.

E

G F

R

P

G

B

A

B

62 + 82

=

36 + 64

=

100 = 10 cm 1

1

L = 2 × UV × VW, maka:

⇔

C

=

Luas segitiga UVW adalah L = 2 × UW × VX atau 1 2

S

P D

A

Q

H

Q

UV 2 + VW 2

UW =

8 3 cm

Jadi, jarak titik E ke bidang BGD adalah 8 3 cm.

Q

8 cm

R 6 cm

Jika X merupakan titik pada garis WU sehingga VX tegak lurus WU, maka: jarak (RV, QSWU) = jarak (V, QSWU) = jarak (V, WU) = jarak (V, X) = VX Segitiga UVW siku-siku di V, maka:

× EG × PR

⇔

4 cm

× GP × EQ

1

1 2

V

X

T

atau L = 2 × EG × PR, maka:

H

3

3

Luas ΔEGP dapat dituliskan L =

1 2

= 3 6 cm

1

W

× GP × EQ =

9 2 3

=

Jadi, jarak antara garis PQ dan AG adalah 2 6 cm.

GP = EP = 6 6 cm

⇔

9 2 ×9 9 3

RS = 2 HS = 2 × 3 6 = 2 6 cm

= 6 6 cm

1 2

1

× 9 3 × HS = 2 × 9 2 × 9

P merupakan titik tengah AH dan Q merupakan titik tengah GH, maka R merupakan titik tengah HS sehingga:

Segitiga APE siku-siku di A, maka: EP =

1

L = 2 × AH × GH, maka:

1

× UW × VX = 2 × UV × VW 1 2

1

× 10 × VX = 2 × 6 × 8 ⇔ 5 × VX = 24 ⇔ VX = 4,8 cm Jadi, jarak garis RV ke bidang QSWU adalah 4,8 cm. Matematika Kelas XII

109

10. Jawaban: c Balok KLMN.OPQR digambarkan sebagai berikut. R

Q

P

O

8 cm N K

14 cm

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jika P merupakan titik tengah GH, tentukan: a. jarak titik P ke garis CF; b. jarak titik P ke bidang ACGE. Jawaban: a. P H G

M 10 cm

L

E

Garis KR dan MQ bersilangan Jarak (KR, MQ) = jarak (KNRO, MQ) = jarak (KRNO, Q) = jarak (R, Q) = RQ = 14 cm Jadi, jarak garis KR dan garis MQ adalah 14 cm.

D

H

2 6 cm

A

a.

8 cm

Titik P merupakan titik tengah bidang EFGH. Jarak titik A ke titik P sama dengan panjang ruas garis AP. Segitiga EFG siku-siku di F, maka: 2

=

82 + 62

=

64 + 36

b.

AE2 + EP2

=

(2 6)2 + 52

=

24 + 25

= 49 = 7 cm Jadi, jarak titik A ke titik tengah bidang EFGH adalah 7 cm. Jarak (A, EFGH) = jarak (A, E) = AE = 2 6 cm Jadi, jarak titik A ke bidang EFGH adalah

110

Dimensi Tiga

9 + 36

=

45 = 3 5 cm

PQ =

1

2 6 cm.

=

1

EP = 2 EG = 2 × 10 = 5 cm Segitiga AEP siku-siku di E, maka: AP=

32 + 62

1

FQ = 2 FC = 2 × 6 2 = 3 2 cm Segitiga FQP siku-siku di Q, maka:

= 100 = 10 cm 1

=

PC = PF = 3 5 cm

2

EF + FG

EG =

PG2 + GF 2

PF =

C 6 cm

B

C

Q

FC = 6 2 cm. Segitiga PGF siku-siku di G, maka:

F

D

F

B

Panjang PF = PC, maka segitiga PFC sama kaki dan PQ tegak lurus FC dengan Q titik tengah FC. Jarak titik P dengan garis FC sama dengan panjang ruas garis PQ. FC merupakan diagonal sisi, maka panjang

G

P

P

C

A

B. Uraian 1. Balok ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut. E

F

PF 2 − FQ 2

=

(3 5)2 − (3 2)2

=

45 − 18

=

27 = 3 3 cm

Jadi, jarak titik P ke garis CF adalah 3 3 cm. b.

H E

P

G H

F

P

G R

C

D A

B

E

F

Jarak (P, ACGE) = jarak (P, EG) = jarak (P, R) = PR Sudut-sudut segitiga PRG dan segitiga EHG sama besar,maka kedua segitiga tersebut sebangun sehingga:

PR EH

= EG

⇔

PR 6

Jarak (PQ, RSTU) = jarak (Q, RSTU) = jarak (Q, RU) = jarak (Q, X) = QX

PG

⇔

1

=

PR =

⇔

PR =

2

×6

6 2

1

Luas ΔQRU dapat dirumuskan L = 2 × RU

3 2

3 2

1

× QX atau L = 2 × QR × QU. Dari kedua rumus luas ΔQRU tersebut diperoleh:

2 cm

1 2

Jadi, jarak titik P ke bidang ACGE adalah 3 2

2 cm.

⇔

W U

V

4. R

S P

1

H

G

Q E

QV = =

92 + 122

=

81 + 144

= 225 = 15 cm Jadi, jarak antara garis PQ dan garis WV adalah 15 cm. Perhatikan sisi QRVU berikut. U

V

6 cm

Q

9 cm

P

R

B

P

B

Jarak (ACH, BEG) = jarak (P, BEG) = jarak (P, BQ) = jarak (P, R) = PR BD merupakan diagonal bidang, maka BD = 6 2 cm. 1

1

BP = 2 BD = 2 × 6 2 = 3 2 cm ΔBPQ siku-siku di P, maka: BP2 + PQ 2

=

(3 2)2 + 62

=

18 + 36

=

54 = 3 6 cm 1

Luas ΔBPQ dapat dirumuskan L = 2 × BQ × PR 1

atau L = 2 × BP × PQ. Dari kedua rumus luas segitiga ΔBPQ tersebut diperoleh:

⇔ 15 cm X

R

C

A

1 2 12 cm

6 cm

D

BQ =

QR2 + RV 2

Q

F

Q

Panjang balok: p = PQ = 15 cm Lebar balok: A = QR = 9 cm Luas balok: L = 846 cm2 ⇒ 2 × (pA + pt + At) = 846 ⇔ 2 × (15 × 9 + 15 × t + 9 × t) = 846 ⇔ 135 + 15t + 9t = 423 ⇔ 24t = 288 ⇔ t = 12 cm Diperoleh RV = t = 12 cm. a. Jarak (PQ, WV) = jarak (Q, WV) = jarak (Q, V) = QV ΔQRV siku-siku di R, maka:

b.

1 2

× 15 × QX = 2 × 9 × 12 ⇔ 7,5 QX = 54 ⇔ QX = 7,2 cm Jadi, jarak antara garis PQ dan bidang RSTU adalah 7,2 cm.

3. Balok PQRS.TUVW digambarkan sebagai berikut. T

1

× RU × QX = 2 × QR × QU

1

× BQ × PR = 2 × BP × PQ 1 2

1

× 3 6 × PR = 2 × 6 × 3 2

⇔

3 6 PR = 18 2

⇔

PR =

18 2 3 6

=

6 3

= 2 3 cm

Jadi, jarak antara bidang ACH dan bidang BEG adalah 2 3 cm.


111

5. Limas T.ABCD digambarkan sebagai berikut. T T

=

64 − 16

=

48

= 4 3 cm R

A

D

Q

B

4 P

4

C Q

4 3

P

Jarak (AD, TB) = jarak (AD, TBC) = jarak (Q, TBC) = jarak (Q, TP) = jarak (Q, R) = QR Segitiga PCT siku-siku di P, maka: CT 2 − PC2

PT =

PT = QT = QP = 4 3 cm, berarti segitiga TPQ sama sisi dan R titik tengah PT. Segitiga PQR siku-siku di R, maka:

=

(4 3)2 − (2 3)2

=

48 − 12

= 36 = 6 cm Jadi, jarak antara garis AD dan TB adalah 6 cm.

82 − 42

=

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b

2. Jawaban: a W

T

U

P O

3

B

Sudut antara garis AC dan TC adalah adalah ∠ACT = ∠PCT = α dengan P merupakan titik tengah AC. Segitiga ABC siku-siku di B, maka: 2

=

3 +3

=

9+9

=

18

RU =

2

1

1

PC = 2 AC = 2 × 3 2 = 3 2 cm 2 Segitiga TPC siku-siku di P, maka: PC

RV2 + UV2

=

62 + 82

=

36 + 64

=

100 = 10 cm UV

= 3 2 cm

3 2

2

1

2 Cos α = TC = = 3 2 ⇔ α = 45° Jadi, besar sudut antara garis AC dan TC adalah 45°.

Dimensi Tiga

R 8 cm

Garis SW sejajar RV. Sudut antara garis RU dan SW sama dengan sudut antara garis RU dan RV, yaitu ∠URV. Segitiga RUV siku-siku di V, maka:

AB2 + BC2

AC =

Q

12 cm

C 3

6 cm

S

D A

V

T 3

112

QP2 − PR 2

QR =

8

sin ∠URV = UR = 10 = 0,8 Jadi, nilai sinus sudut antara garis RU dan SW adalah 0,8. 3. Jawaban: b H E

G F

R

P

C

D A

B

Q

Misalkan panjang rusuk kubus a cm.

Misalkan R titik tengah CG, maka AC sejajar PR sehingga sudut antara PQ dan AC sama dengan sudut antara PQ dan PR, yaitu ∠QPR. AC merupakan diagonal sisi kubus, maka AC =

Panjang diagonal sisi CH = HF = a 2 cm. 1

6 2 cm.

PA 2 + AQ2 2

=

PA + AB + BQ 2

=

3 +6 +3

=

9 + 36 + 9

H

32 + 32

=

9+9

=

= = =

C

A

B

A

Sudut antara AE dan bidang AFH sama dengan sudut antara AE dan AP dengan P titik tengah HF, yaitu ∠EAP = α. EG merupakan diagonal bidang, maka: EG = 4 2 cm

2

2

PR + PQ − QR 2 PR PQ

AP =

(6 2)2 + (3 6)2 − (3 2)2 2×6 2 ×3 6

72 + 54 − 18 36 × 12 108 36 × 2 3 1 3 = 2 2 3

1

EP = 2 EG = 2 × 4 2 = 2 2 cm Segitiga AEP siku-siku di E, maka:

2

AE2 + EP2

=

42 + (2 2)2

=

16 + 8

=

24 = 2 6 cm EP

Sin α = AP =

2 2 2 6

3

1

= 3 3

6. Jawaban: a T T 9 cm

4. Jawaban: d P

G

H

P

F

S P

D A

1 3

1

3.

E

=

Jadi, nilai sin α = 3 3 .

Jadi, nilai kosinus sudut antara PQ dan AC adalah

H

P

4 cm

= 3 2 cm Pada segitiga PQR berlaku aturan kosinus:

1 2

E

D

18

=

a 2

F

1

cos ∠QPR =

1

= 2

G

P

E

2

QC2 + CR2

=

2

2 cm

⇔ ∠HCP = 30° Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh garis CH dengan bidang ACGE adalah 30°.

2

= 54 = 3 6 cm Segitiga QCR siku-siku di C, maka: QR =

sin ∠HCP = CH =

a 2

5. Jawaban: c

2

2

a 2

HP

PR = AC = 6 2 cm Segitiga ABQ siku-siku di B, maka AQ 2 = AB2 + BQ2. Segitiga PAQ siku-siku di A, maka: PQ =

1

HP = 2 HF = 2 × a 2 cm =

C

C

B

Proyeksi CH pada ACGE adalah CP, berarti sudut antara AH dan ACGE adalah ∠HCP.

6 cm

R 6 cm

O Q

α

R

O

Proyeksi TR pada bidang alas PQRS adalah OR, maka sudut antara TR dan bidang alas PQRS adalah ∠TRO = α. PQRS merupakan persegi dengan panjang sisi 6 cm, maka panjang diagonal PR = 6 2 cm. Matematika Kelas XII

113

1

8. Jawaban: b

1

OR = 2 PR = 2 × 6 2 = 3 2 cm Segitiga TOR siku-siku di O, maka: TO =

TR2 − OR2

=

92 − (3 2)2

=

81 − 18

=

63

T T

P R

= 3 7 cm

Q 3 7

TO

S

2

1

tan α = OR = × = 2 14 3 2 2 Jadi, tangen sudut antara garis TR dan bidang alas 1

PQRS adalah 2 14 .

PQ2 + QR2

QR = =

62 + 62

=

36 + 36

=

72

T 4 C

= 6 2 cm

2

1

D

4

2

PS =

PQ 2 − QS2

=

62 − (3 2)2

AB2 − BD2

=

36 − 18

=

42 − 22

=

18

=

16 − 4

= 3 2 cm

=

12

Sudut antara garis TA dengan bidang ABC adalah ∠TAD = α. Segitiga ABD siku-siku di D, maka:

TD = AD = 2 3 cm Pada segitiga TAD berlaku aturan kosinus: TD2 = AD2 + TA2 – 2 AD TA cos α (2 3

)2

= (2 3

)2

+

42

tan α = PS = =1 3 2 ⇔ α = 45° Jadi, besar sudut antara bidang TQR dan PQR adalah 45° . 9. Jawaban: e

– 2 × 2 3 × 4 × cos α

12 = 12 + 16 – 16 3 cos α

⇔

H E

G

P

P

F

α

16 3 cos α = 16 α 16 16 3

1 3

3 3

cos α =

adalah

1 3

3.

Dimensi Tiga

=

×

C

D

1

= 3 3 Jadi, nilai kosinus sudut antara TA dan bidang ABC

⇔

114

3 2

TP

= 2 3 cm

⇔

1

QS = 2 QR = 2 × 6 2 = 3 2 cm ΔPQS siku-siku di S, maka:

B

AD =

S

Sudut antara bidang TQR dan PQR sama dengan antara garis TS dan PS dengan S titik tengah QR, yaitu ∠PST = α. ΔPQR siku-siku di P, maka:

7. Jawaban: b

A

α P

A

B

D

Sudut (DEG, BEG) = sudut (DP, BP) = ∠DPB =α

B

BD dan HF merupakan diagonal bidang kubus, maka panjang BD = HF = 8 2 cm. HP =

1 2

HF =

1 2

× 8 2 = 4 2 cm

Segitiga DHP siku-siku di H, maka:

=

82 + (4 2)2

=

64 + 32

=

96

= 4 6 cm

( 8 2 )2 = ( 4 6 )2 + ( 4 6 )2

– 2 × 4 6 × 4 6 × cos α ⇔ 128 = 96 + 96 – 192 cos α ⇔ 192 cos α = 96 + 96 – 128 ⇔ 192 cos α = 64 64

⇔

=

9 + 16

8

B. Uraian H 1.

O

α

C

A

B

DF dan BH berpotongan di O. Sudut antara DF dan BH sama dengan ∠BOF. BH merupakan diagonal ruang, panjang BH y

= 6 3 cm. 1

= 2 2

2 2 2 cos ∠BOF = BO + OF − BF

2 BO OF

bidang BEG adalah 2 2 . 10. Jawaban: b T

A

C

=

Q

O

Sudut antara bidang TAD dan bidang TBC sama dengan sudut antara TP dan TQ dengan P dan Q titik tengah AD dan BC, yaitu ∠PTQ. PQ = AB = 6 cm PO =

PQ =

27 + 27 − 36 54 18 1 = 3 54

=

Jadi, nilai kosinus sudut antara DF dan BH adalah

B

1 2

(3 3)2 + (3 3)2 − 62 2×3 3 ×3 3

=

D

1 2

× 6 = 3 cm

1

BO = BF = 2 BH = 2 × 6 3 = 3 3 cm Pada segitiga BOF berlaku aturan kosinus:

1

Jadi, nilai tangen sudut antara bidang DEG dan

P

Q

F D

3

2 2 1

3

G

E

1

= 2 2 tan α =

O

7

32 − 12

=

3

bidang TBC adalah 25 .

1

9 −1

P

5

7

cos α = 192 = 3

=

5

cos ∠PTQ = 25 Jadi, nilai kosinus sudut antara bidang TAD dan

Dari nilai cos α = 3 diperoleh: y=

32 + 42

⇔

BP = DP = 4 6 cm Pada segitiga DBP berlaku aturan kosinus: BD2 = DP2 + BP2 – 2 DP BP cos α ⇔

=

= 25 = 5 cm Pada segitiga PTQ berlaku aturan kosinus, yaitu: PQ2 = TP2 + TQ2 – 2 TP TQ cos ∠PTQ ⇔ 62 = 52 + 52 – 2 × 5 × 5 cos ∠PTQ ⇔ 36 = 25 + 25 – 50 cos ∠PTQ ⇔ 50 cos ∠PTQ = 25 + 25 – 36 ⇔ 50 cos ∠PTQ = 14

DH2 + HP2

DP =

T

PO2 + OT2

PT =

1 3

.

2.

Q H E

F

Segitiga POT siku-siku di O, maka: R A

G

D

Q C

P

B

R


P

115

Misalkan R titik tengah AD, maka BD sejajar PR. Sudut antara PQ dan BD sama dengan sudut antara PQ dan PR, yaitu ∠QPR. Segitiga PBC siku-siku di B, maka:

=

⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

=

9 4

2

−3

D

3

2

PC + CQ

=

⎛3 ⎜ ⎝2

=

45 4

=

54 4

5 ⎞⎟ ⎠

2

+

2

⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

2

6 cm

3 2

AP + AR

= =

9 4

=

18 4

2

+

+

⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

2

=

102 + 102

=

100 + 100

=

200 1

1

1

1

DP =

OD2 + OP2

=

(5 2)2 + 52

=

50 + 25

=

75

2

9 4

= 5 3 cm Pada segitiga DOP berlaku:

3

cos ∠QPR = = =

2× 9 2 9 2

2

3 2

3 2

2×

3 2

3 2

ABCD adalah 3 3 . 2

6

12 1

= =

1

( 2) + ( 6) − ( 6) 2

12 1 2 3

1

= 6 3 Jadi, nilai kosinus sudut antara PQ dan BD adalah .

Dimensi Tiga

1

Sin α = DP = 5 3 = 3 3 Jadi, nilai sinus sudut antara garis PD dan bidang

PR2 + PQ2 − QR2 2 PR PQ 3 2

5

OP

= 2 2 cm Pada segitiga PQR berlaku aturan kosinus:

116

AB2 + AD2

OP = 2 OT = 2 × 10 = 5 cm Segitiga DOP siku-siku di O, maka:

6 cm

2

⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

O

OD = 2 BD = 2 × 10 2 = 5 2 cm

Segitiga APR siku-siku di A, maka: PR =

α

= 10 2 cm

3 2

=

RQ = PQ =

D

B

BD =

9 4

+

O

Sudut antara garis PD dengan bidang ABCD adalah ∠PDO = α. Segitiga ABD siku-siku di A, maka:

= 2 5 cm Segitiga PCQ siku-siku di C, maka: PQ =

C

A

2

+9

45 4

=

P

P

PB2 + BC2

PC =

1 3 6

T

3.

4.

W

V

T

U

S P

W

R M

Q

α S

M

Proyeksi garis MW pada bidang PQRS adalah garis MS, maka sudut antara garis MW dan bidang PQRS sama dengan sudut antara garis MW dan garis MS, yaitu ∠SMW = α. Segitiga PMS siku-siku di P, maka:

Titik O merupakan titik tengah bidang ABCD dan titik P merupakan titik tengah bidang EFGH. Sudut antara bidang BDG dan bidang BDHF sama dengan sudut antara garis OG dan OP, yaitu ∠GOP = α. OP = AE = a cm EG merupakan diagonal bidang, maka panjang EG

PM2 + PS2

MS = =

42 + 82

=

16 + 64

=

80

= 4 5 cm Segitiga MSW siku-siku di S, maka: MW =

MS2 + SW2

=

(4 5)2 + 42

=

80 + 16

=

96

= a 2 cm. 1

4

SW

1

sin ∠SMW = MW = 4 6 = 6 6 Jadi, nilai sinus sudut antara garis MW dan bidang PQRS adalah 5.

H

P

E

A

α

B

=

3 2 a 2 1 a 2

6 cm a 1 a 2

6

2 6

=

×

6 6

=

1 3

6

Jadi, nilai kosinus sudut antara bidang BDG dan bidang BDHF adalah

1 3

6.

Segitiga APE siku-siku di A, maka:

D

P

C

B

Segitiga ABP siku-siku di P, maka:

AB2 + BP2

=

(6 3)2 + (3 3)2

=

108 + 27

=

135 = 3 15 cm

AP2 + AE2

PE =

G

6 3

AP =

1 2 a 2

=

F

6 3

a2 +

2

O

H

A

=

a 2

G

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Kubus ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut.

E

( 2)

OP

P

C O

a2 +

cos α = OG =

F D

=

6. G

a

OP2 + PG2

OG =

= 4 6 cm

1 6

1

2 cm PG = 2 EG = 2 × a 2 = 2 Segitiga POG siku-siku di P, maka:

=

(3 15)2 + (6 3)2

=

135 + 108

=

243

= 9 3 cm Jadi, jarak antara titik P dan titik E adalah 9 3 cm. 2. Jawaban: d Limas T.KLMN digambarkan sebagai berikut. T 3 cm

N K

O 6 cm

L

M 6 cm


117

Segitiga LMN siku-siku di M, maka:

4. Jawaban: b Panjang rusuk kubus: CD = 5 cm

NM2 + ML2

NL = =

6 +6

=

36 + 36

=

72

2

Panjang diagonal sisi kubus: DE = 5 2 cm

2

Panjang diagonal ruang kubus: CE = 5 3 cm H

G E

E

F

= 6 2 cm OL =

1 2

NL =

1 2

× 6 2 = 3 2 cm

A

Segitiga TOL siku-siku di O, maka:

P

C

D

C

D

B

TL =

TO2 + OL2

=

32 + (3 2)2

Jarak titik D ke garis CE sama dengan panjang ruas garis DP dengan titik P pada CE dan DP tegak lurus CE. Segitiga CDE siku-siku di D. Luas segitiga CDE

=

9 + 18

dapat dirumuskan L = 2 × CE × DP atau

=

27

L = 2 × CD × DE. Dari kedua rumus luas segitiga CDE tersebut diperoleh:

1

1

= 3 3 cm Jadi, jarak titik T ke titik L adalah 3 3 cm.

1 2

3. Jawaban: c Perhatikan gambar berikut. W

⇔

T

Y

X

S

= 9 cm. QY : YU = 2 : 1, berarti QY = = 12 cm. ΔRQY siku-siku di Q, maka: 2

RQ + QY

R

X

Q

RX : XS = 3 : 2, berarti RX =

=

3 3+2

3

RS = 5 × 15

2 QU 2 +1

=

2 3

× 18

2

25 + 144

RY2 + RX2

=

132 + 92

=

169 + 81

=

250

= 5 10 cm Jadi, jarak antara titik X dan Y adalah 5 10 cm. 118

Dimensi Tiga

1 2

×5×5 2 1 2

×5 3

=

5 2 3

=

5 3

3 3

×

6

Jadi, jarak titik D ke garis CE adalah

5 3

6 cm.

5. Jawaban: c H E

52 + 122

= 169 = 13 cm ΔRXY siku-siku di R, maka: XY =

DP =

R 5

15

=

1

× 5 3 × DP = 2 × 5 × 5 2

⇔

18

Y

RY =

1 2

V U

P

1

× CE × DP = 2 × CD × DE

T

G

T

F P

P D

C

A

A

B

Q

C

Jarak titik A ke garis CT sama dengan panjang ruas garis AP dimana P pada garis CT dengan AP tegak lurus CT. EG dan AC merupakan diagonal sisi, maka panjang EG = AC = 9 2 cm. Segitiga AET siku-siku di E dengan: AE = 9 cm 1

1

ET = 2 EG = 2 × 9 2 =

9 2

2 cm

Segitiga AMN siku-siku di N, maka:

AE2 + ET2

AT = =

81 +

=

243 2

=

81× 6 4

AM = 4 5 cm

81 2

1

9 2

=

6 cm 9 2

dengan AT = CT =

6 cm. Jika Q merupakan

titik tengah AC, QT merupakan garis tinggi segitiga ACT sehingga QT = AE = 9 cm. 1

Luas segitiga ACT dapat dirumuskan L = 2 × CT 1

× AP atau L = 2 × AC × QT. Dari kedua rumus luas segitiga ACT tersebut diperoleh: 1 2

× CT × AP = 1 2

⇔

×

9 2

AP = =

F

A

8 cm

F

A

C B

M

CE merupakan diagonal ruang, maka CE = 4 3 cm. Segitiga AME siku-siku di A, maka: AE = 4 cm

18 3

×

9 2

×

6 3 3

= 6 3

1

1

AM = 2 AB = 2 × 4 = 2 cm EM =

AE2 + AM2

G

=

42 + 22

8 cm

=

16 + 4

=

20

AG = 8 3 cm. Segitiga AEM siku-siku di A, maka: AE = 8 cm 1

EM = 2 EH = 2 × 8 = 4 cm AM =

G

×9 2 ×9

Segitiga AMG sama kaki, maka MN tegak lurus AG dengan N titik tengah AG. Jarak titik M dengan garis AG sama dengan panjang ruas garis MN. AG merupakan diagonal ruang, maka panjang

1

32 = 4 2 cm

E

C 8 cm

B

=

H

N D

80 − 48

1 2

6. Jawaban: d Kubus ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut. E

=

D

Jadi, jarak titik A ke garis CT adalah 6 3 cm.

H

(4 5)2 − (4 3)2

7. Jawaban: a Kubus ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut.

1 1 2

=

Jadi, jarak titik M ke garis AG adalah 4 2 cm.

× AC × QT

6 × AP = 2 × 9 2 × 9

⇔

M

AM2 − AN2

MN =

Segitiga ACT merupakan segitiga sama kaki

1 2

1

AN = 2 AG = 2 × 8 3 = 4 3 cm

= 2 5 cm CM = EM = 2 5 cm CM2 + EM2 = ( 2 5 )2 + ( 2 5 )2 = 20 + 20 = 40 EC2 = ( 4 3 )2 = 48 Oleh karena CM2 + EM2 < EC2, segitiga EMC merupakan segitiga tumpul yang digambarkan sebagai berikut. E 2 3 cm

AE2 + EM2

=

64 + 16

=

80 = 4 5 cm

MG = AM = 4 5 cm

N 2 3 cm

O

M

2 5 cm

C


119

Jarak titik E ke garis CM sama dengan panjang ruas garis EO. Segitiga NMC siku-siku di N, maka:

MC2 − CN2

MN = =

(2 5)2 − (2 3)2

=

20 − 12

=

8 = 2 2 cm

9. Jawaban: b Garis PR tegak lurus dengan garis TP dan PQ, maka PR tegak lurus dengan bidang TPQ sehingga jarak titik R ke bidang TPQ sama dengan panjang ruas garis PR. Segitiga PQR siku-siku di P, maka: PR =

QR2 − PQ2

=

92 − (3 6)2

=

81 − 54

=

27

1

Luas ΔEMC dapat dituliskan L = 2 × MC × EO 1

atau L = 2 × CE × MN, maka: 1 2

× MC × EO = 1 2

⇔

1 2

× CE × MN

× 2 5 × EO =

⇔

= 3 3 cm

1 2

Jadi, jarak titik R ke bidang TPQ adalah 3 3 cm.

× 4 3 × 2 2

5 EO = 4 6

⇔

EO =

4 6 5

H

=

4 5

30 cm

Jadi, jarak titik E ke CM sama dengan

4 5

V M

9 cm

Q

D

Q

C P

A

D

B

2 = 2 12 = 4 3 cm 1

DP = 2 DB = 2 × 4 3 = 2 3 cm Segitiga DPH siku-siku di D, maka:

DH2 + DP2

HP =

RQ2 + QU2

=

(2 6)2 + (2 3)2

=

122 + 92

=

24 + 12

=

144 + 81

= 36 = 6 cm Segitiga DPH siku-siku di D. Luas segitiga DPH 1

dapat dirumuskan L = 2 × HP × DQ atau 1

Luas segitiga QRU adalah L = 2 × RU × QM atau 1

L = 2 × QR × QU, maka: × RU × QM = 1 2

1 2

× QR × QU

× 15 × QM =

1 2

× 12 × 9

⇔ 15 × QM = 108 ⇔ QM = 7,2 Jadi, jarak titik Q ke bidang RSTU adalah 7,2 cm.

Dimensi Tiga

P

Jarak titik D ke bidang ACH sama dengan jarak titik D ke garis HP dengan P titik tengah AC, yaitu sama dengan panjang DQ.

1

= 225 = 15 cm

120

Q

DB = 2 6 ×

R

12 cm

RU =

⇔

H

Panjang rusuk DH = 2 6 cm DB merupakan diagonal sisi, maka:

Jarak (Q, RSTU) = jarak (Q, RU) = jarak (Q, M) = QM Segitiga QRU siku-siku di Q, maka:

1 2

G F

E

30 cm.

8. Jawaban: d Perhatikan sisi QRVU pada balok PQRS.TUVW. U

10. Jawaban: e Limas ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut.

1

L = 2 × DP × DH. Dari kedua rumus luas segitiga DPH tersebut diperoleh: 1 2

⇔ ⇔ ⇔

1

× HP × DQ = 2 × DP × DH 1 2

1

× 6 × DQ = 2 × 2 3 × 2 6 3 DQ = 6 2 DQ = 2 2 cm

Jadi, jarak titik D ke bidang ACH adalah 2 2 cm.

11. Jawaban: c Balok KLMN.OPQR digambarkan sebagai berikut. R

H

Q

O N K

L

12 cm

=

144 + 36

C

A

B

Garis XY sejajar dengan bidang ADHE. Garis XY pada bidang BCGF dan jarak bidang BCGF dengan bidang ADHE sama dengan panjang rusuk AB = 4 3 cm. Jadi, jarak garis XY ke bidang ADHE adalah 4 3 cm. 14. Jawaban: b T

6 5 cm.

A

T

P

C

D

A

B

R C

Q

62 + 62

=

36 + 36

10

P

Q

O

P

CT2 − PC2

=

152 − 102

=

225 − 100

=

125

PT = QT = 5 5 cm dan PQ = AB = 20 cm, berarti segitiga TPQ sama kaki. Segitiga TOP siku-siku di O, maka: 1

= 72 = 6 2 cm Segitiga TAC sama sisi dengan TA = TC = AC = 6 2 cm, maka ∠C = 60° dan QC =

1 2

AC

OT =

QR

sin ∠C = QC ⇔ QR = QC sin ∠C 3 =

PT2 − OP2

=

(5 5)2 − 102

=

125 − 100

= 25 = 5 cm Luas segitiga PQT

= 3 2 × sin 60° 1 2

1

OP = 2 PQ = 2 × 20 = 10 cm

= 3 2 cm. Pada segitiga QCR berlaku:

= 3 2 ×

B

R

C 10

= 5 5 cm

AB2 + BC2

=

Q

PT =

Jarak (PQ, TC) = jarak (Q, TC) = jarak (Q, R) = QR Segitiga ABC siku-siku di B, maka: AC =

D

jarak (BC, TAD) = jarak (P, TAD) = jarak (P, TQ) = jarak (P, R) = PR Segitiga PCT siku-siku di P, maka:

12. Jawaban: e T

T 15

= 180 = 6 5 cm Jadi, jarak garis KN dan garis PQ adalah

A

X

D

M 10 cm

KL2 + LP2 122 + 62

F

6 cm

Garis KN dan garis PQ sejajar, maka: jarak (KN, PQ) = jarak (K, PQ) = jarak (K, P) = KP Segitiga KLP siku-siku di L, maka:

=

G

Y

E

P

KP =

13. Jawaban: a Kubus ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut.

3 2

L=

6

Jadi, jarak garis PQ ke garis TC adalah

3 2

1 2

dapat

× QT × PR atau L =

1 2

dirumuskan

× PQ × OT. Dari

kedua rumus luas segitiga PQT tersebut diperoleh: 6 cm.


121

1 2

16. Jawaban: b

1

× QT × PR = 2 × PQ × OT 1 2

⇔

× 5 5 × PR = 5 2

⇔

1 2

S

× 20 × 5

P

PR = =

N

50 5 2

20 5

K

5 5 5

×

= 4 5

Jadi, jarak garis BC ke bidang TAD adalah 4 5 cm. 15. Jawaban: d Kubus ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut. S

H R

E D A

E

C

Q

F

T A

B

8 cm

10 2 cm. 1

PX = 2 PR = 2 × 10 2 = 5 2 cm Segitiga PXY siku-siku di X, maka: PY =

PX2 + XY2

=

(5 2)2 + (10 2)2

=

50 + 200

= 250 = 5 10 cm Segitiga PXY siku-siku di X. Luas segitiga PXY 1

dapat dirumuskan L = 2 × PY × ZX atau

=

42 + 82

=

16 + 64

L = 2 × PX × XY. Dari kedua rumus luas segitiga PXY tersebut diperoleh:

=

80 = 4 5 cm

1

1 2 1

1

atau L = 2 × PB × PR. Dari kedua rumus luas segitiga BPR tersebut diperoleh:

⇔

1

× PY × ZX = 2 × PX × XY 1 2

1

× 5 10 × PY = 2 × 5 2 × 10 2

⇔

5 10 × PY = 100

⇔

PY = =

1

× BR × PT = 2 × PB × PR 1 2

=

1

× 4 5 × PT = 2 × 4 × 8

⇔

2 5 × PT = 16

⇔

PT =

⇔

PT =

16 2 5 8 5 5

Jadi, jarak bidang PQHE ke bidang BCSR adalah 5 cm.

10 10

= 2 10 cm

2 10 cm. 17. Jawaban: b Kubus ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut. H E

A

Dimensi Tiga

100 5 10 20 × 10 20 10 10

Jadi, jarak antara bidang PLN dan SQM adalah

G F

D

122

M 10 cm

Jarak (PLN, SQM) = jarak (PLN, X) = jarak (PY, X) = jarak (Z, X) = ZX PQRS merupakan persegi dengan panjang sisi 10 cm, maka panjang diagonalnya = PR =

P 4 cm B

Luas ΔBPR dapat dirumuskan L = 2 × BR × PT

8 5

10 2 cm

BT2 + PR2

BR =

⇔

L

1

R

Jarak (PQHE, BCSR) = jarak (P, BCSR) = jarak (P, BR) = jarak (P, T) = PT Segitiga BPR siku-siku di P, maka:

1 2

Y 10 cm

G F

P

Q Z

5 × PR = 50

⇔

R

X

C B

Sudut antara TA dan TC adalah ∠ATC = α. Segitiga ABC siku-siku di B, maka:

Jarak (AD, GH) = jarak (AD, EFGH) = jarak (A, EFGH) = jarak (A, E) = AE

AC =

= 6 2 cm Jadi, jarak antara garis AD dan GH adalah 6 2 cm. 18. Jawaban: a Balok ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut. H

G

E

C

F

D

C

A

A

B

6 3

P 6

B

Garis BF dan garis AG bersilangan, maka: jarak (BF, AG) = jarak (BF, ACGE) = jarak (B, ACGE) = jarak (B, AC) = jarak (B, P) = BP Segitiga ABC siku-siku di B, maka: AC =

AB2 + BC2

=

62 + (6 3)2

=

36 + 108

=

144 = 12 cm

⇔

× AB × BC. Dari kedua rumus luas 1

× AC × BP = 2 × AB × BC 1 2

=

25 + 25

=

50

= 5 2 cm Pada segitiga TAC berlaku aturan kosinus: AC2 = TA2 + TC2 – 2 TA TC cos α ⇔ ( 5 2 )2 = 52 + 52 – 2 × 5 × 5 × cos α ⇔ 50 = 25 + 25 – 50 cos α ⇔ 50 cos α = 0 ⇔ cos α = 0 ⇔ α = 90° Jadi, besar sudut antara garis TA dan TC adalah 90°. 20. Jawaban: b H

G

E

F P

A

segitiga ΔABC tersebut diperoleh: 1 2

52 + 52

C 6 cm

D

1

atau L =

=

15 cm

Luas ΔABC dapat dirumuskan L = 2 × AC × BP 1 2

AB2 + BC2

1

× 12 × BP = 2 × 6 × 6 3

B

9 cm

Sudut antara antara garis BP dan CG adalah ∠BPC. CP : PG = 3 : 2 3

3

⇔ CP = 5 CG = 5 × 15 = 9 cm Segitiga BCP siku-siku di C, maka: BP =

BC2 + CP2

=

62 + 92

⇔

6 BP = 18 3

=

36 + 81

⇔

BP = 3 3

=

117

Jadi, jarak garis BF ke garis AG adalah 3 3 cm. 19. Jawaban: e

= 3 13 cm BC

T

adalah C

D A

6

2

Sin ∠BPC = BP = 3 13 = 13 13 Jadi, nilai sinus sudut antara garis BP dan CG 2 13

13 .

B


123

21. Jawaban: c EG sejajar AC, berarti besar sudut antara garis AC dan BG sama dengan besar sudut antara garis EG dan BG yaitu ∠BGE. Oleh karena segitiga BEG sama sisi, besar ∠BGE = 60°. Jadi, besar sudut antara garis AC dan BG adalah 60°. 22. Jawaban: d Proyeksi titik F pada bidang ADHE adalah titik E, berarti α = ∠FDE. Panjang rusuk EF = 6 cm Panjang diagonal ruang DF sin α =

=

H E D

C

A

B

=

1 3

1 3

3.

6 3

Jadi, nilai sin α =

E

G F

D

C B

3

D A

BD = 5 2 cm

1

V

S

PX2 + PS2

=

42 + 42

=

16 + 16

= 32 = 4 2 cm Segitiga SXY siku-siku di S, maka: XY =

124

=

( 5 2)2 + 52

Y

SX2 + SY2

=

25 2

=

150 4

+ 25

BP

= 5 2 5 2

5 2

6 cm

2 6

=

1 3

1 3

3.

=

1 3

3

25. Jawaban: d W

V

T

P

U

S 9 cm

Q

α 6 cm R 8 cm

Sudut antara bidang PQVW dan SRVW sama dengan sudut antara garis QV dan RV, yaitu ∠QVR = α. Segitiga QRV siku-siku di Q, maka: QV =

QR2 + RV2

=

(4 2)2 + 22

=

=

32 + 4

82 + 6 2

=

64 + 36

=

36 = 6 cm

=

100 = 10 cm

Dimensi Tiga

2 cm

2

Jadi, nilai sin α =

R

5 2

BP2 + BF2

sin α = FP =

Segitiga PSX siku-siku di P, maka: XS =

1

X

Q

B

Sudut antara garis BF dan bidang ACF sama dengan sudut antara BF dan PF dengan P titik tengah AC, berarti α = ∠BFP. BD merupakan diagonal bidang, maka:

2

α

P

P

B

1

1

Y

C P

BP = 2 BD = 2 × 5 2 =

SY : YR = 1 : 1, berarti SY = 1 + 1 SR = 2 × 4 = 2 cm. Proyeksi garis XY pada bidang PSWT adalah XS, maka sudut antara XY dan PSWT adalah ∠SXY = α.

S

F α

2

X

G F

FP =

U

2.

H

PX : XT = 2 : 1, berarti PX = 2 + 1 PT = 3 × 6 = 4 cm.

T

2 3

24. Jawaban: c E

23. Jawaban: b

W

2

4 2

PSWT adalah

F

A 6

G

H

V = 6 3 cm EF DF

XS

= 3 2 cos α = XY = 6 Jadi, nilai kosinus sudut antara garis XY dan bidang

QR

8

4

sin α = QV = 10 = 5 Jadi, nilai sinus sudut antara bidang PQVW dan

Segitiga DHP siku-siku di D, maka: HP =

DH2 + DP2

=

42 + (2 2)2

=

16 + 8

=

24 = 2 6 cm

4

SRVW adalah 5 . 26. Jawaban: c Bidang TBC dan bidang ABCD berpotongan pada garis BC. P titik tengah AD, maka TP dan OP tegak D lurus BC. Sudut antara bidang TBC dan bidang A 8 alas ABCD adalah ∠TPO = α. Segitiga ABC siku-siku di B, maka:

T

C O

B

4

DH

8 P

tan α = DP = 2 2 = 2 Jadi, nilai tangen sudut antara bidang ACH dengan bidang ABCD adalah 28. Jawaban: e T T

AB2 + BC2

AC = =

82 + 82

=

64 + 64

=

128 = 8 2 cm 1

2.

A C D

B

1

AO = 2 AC = 2 × 8 2 = 4 2 cm Segitiga AOT siku-siku di O, maka:

α

A

Sudut antara bidang TBC dan ABC sama dengan antara garis TD dan AD dengan D titik tengah BC, yaitu ∠ADT = α. ΔABC siku-siku di C, maka:

AB2 + AC2

AT2 − AO2

BC =

=

82 − (4 2)2

=

82 + 82

=

64 − 32

=

64 + 64

=

32 = 4 2 cm

=

128 = 8 2 cm

OT =

1

1

BD = 2 BC = 2 × 8 2 = 4 2 cm ΔABD siku-siku di D, maka:

4 2

AD =

AB2 − BD2

=

82 − (4 2)2

=

64 − 32

tan α = OP = = 2 4 Jadi, tangen sudut antara bidang TBC dan bidang alas adalah

2.

27. Jawaban: e H

H

F

D

C P

A

= 32 = 4 2 cm ΔTAD siku-siku di A, maka:

G

E

D

B

α

P

Sudut antara bidang ACH dengan bidang ABCD adalah ∠DPH = α. BD merupakan diagonal sisi, maka panjang BD = 4 2 cm. 1

1

1

OP = 2 AB = 2 × 8 = 4 cm Segitiga POT siku-siku di O, berarti: OT

D

1

DP = 2 BD = 2 × 4 2 = 2 2 cm

TD =

TA2 + AD2

=

42 + (4 2)2

=

16 + 32

=

48 = 4 3 cm 4 2

AD

3

1

cos α = TD = × = 3 6 4 3 3 Jadi, nilai kosinus sudut antara bidang TBC dan ABC adalah

1 3

6. Matematika Kelas XII

125

29. Jawaban: c Sudut antara bidang TAB dan TBC sama dengan sudut antara TP dan TQ dengan P dan Q titik tengah AD dan BC, berarti α = ∠PTQ. PQ = AB = 2 cm 1

T

Pada segitiga TCD berlaku aturan kosinus: TC2 = CD2 + TD2 – 2 CD TD cos α – 2 × 3 3 × 3 11 × cos α

P

D

A

C Q B

TP =

1

TA − AP

⇔

108 = 27 + 99 – 18 33 cos α

⇔

18 33 cos α = 18

⇔

AP = 2 AD = 2 × 2 = 1 cm 2

( 6 3 )2 = ( 3 3 )2 + ( 3 11 )2

⇔

Dari nilai cos α =

2

y=

25 − 1

=

24

=

33 − 1

= 2 6 cm

=

32 = 4 2

cos α =

11 12

Jadi, nilai cos α =

32 33

sin α =

TP2 + TQ2 − PQ2 2 × TP × TQ

=

24 + 24 − 4 2×2 6 ×2 6

44

11

= 48 = 12

.

1 33

=

6 3

1

1 33

1.056 .

Q P

O C

α

12 cm

6 3

B

N

Sudut (TAB, ABC) = sudut (DT, DC) = ∠TDC = α Segitiga BCD siku-siku di D, maka: 2

2

BC − BD

K

S 8 cm

L

62 − 3 2

=

36 − 9

=

82 + 62

=

27

=

64 + 36

=

100

TD =

TA2 − AD2

=

(6 3)2 − 32

=

108 − 9

=

99

= 3 11 cm

Dimensi Tiga

M 6 cm

Jarak titik P dan titik S sama dengan panjang ruas garis PS. ΔKLN siku-siku di K dengan, maka:

=

= 3 3 cm Segitiga TAD siku-siku di D, maka:

126

1.056

Jadi, nilai sinus sudut antara bidang TAB dan

R

CD =

α

1. Balok KLMN.OPQR digambarkan sebagai berikut. 6 3

D

y

B. Uraian

T

3

diperoleh:

33

bidang ACB adalah

30. Jawaban: e

A

1 33

( 33)2 − 12

=

TQ = TP = 2 6 cm

1 33

cos α =

LK 2 + KN2

LN =

= 10 cm Titik S pada garis LN dengan perbandingan LS : SN = 3 : 2, maka: 3

LS = 3 + 2 LN 3

= 5 × 10 = 6 cm

ΔPSL siku-siku di L, maka: 2

PS =

PL + LS

1

Luas TSQ dapat dituliskan L = 2 × TS × QU atau

2

1

=

122 + 62

=

144 + 36 =

L = 2 × SQ × TO, maka: 180

1 2

⇔

= 6 5 cm

1 2

⇔

Jadi, jarak antara titik P dan titik S adalah 6 5 cm. 2. Pada limas T.PQRS diketahui panjang PQ = 6 cm, PS = 4 cm, dan tinggi limas 6 cm. Tentukan jarak antara titik Q dan garis TS. Jawaban: Limas T.PQRS digambarkan sebagai berikut.

1

× TS × QU = 2 × SQ × TO 1

× 7 × QU = 2 × 2 13 × 6 1 2

× 2 13 × 6

⇔

QU =

⇔

QU = 7 13

1 2

×7

12

T

12

Jadi, jarak titik Q dan garis TS adalah 7 13 cm. 3.

6 cm S

62 + 42

=

36 + 16

=

52

G

P C

A

R

E

B

F

Jarak (P, ACGE) = jarak (P, EG) = jarak (P, R) = PR EG merupakan diagonal sisi, maka panjang EG = 12 2 cm. 1

Luas segitiga PEG dirumuskan L = 2 × EG × PR

= 2 13 cm 1

H

F D

PQ2 + PS2

=

G

4 cm

Q

ΔPQS siku-siku di P, maka: QS =

H

E

R

O 6 cm

P

P

1

OS = 2 QS = 2 × 2 13 = ΔTOS siku-siku di O, maka: TS =

TO2 + OS2

=

62 + ( 13)2

=

36 + 13

13 cm

= 49 = 7 cm Perhatikan gambar ΔTPR berikut.

1

atau L = 2 × EP × HG. Dari kedua rumus luas segitiga PEG tersebut diperoleh: 1 2

1

× EG × PR = 2 × EP × HG 1 2

⇔

1

× 12 2 × PR = 2 × 6 × 12

⇔

6 2 PR = 36

⇔

PR =

6 2

= 3 2 cm

Jadi, jarak titik P ke bidang ACGE adalah 3 2 cm.

T

4. Balok PQRS.TUVW digambarkan sebagai berikut. W

U

V

T S

O

Q

jarak (Q, TS) = jarak (Q, U) = QU

U S

P

8 cm

Q

4 cm R 5 cm


127

a.

b.

Jarak (PT, QRVU) = jarak (P, QRVU) = jarak (P, Q) = PQ = 8 cm Jadi, jarak antara garis PT dan bidang QRVU adalah 8 cm. Perhatikan gambar sisi atas balok berikut. T

X

P

8 cm

=

42 + 82

=

16 + 64

=

80

U

=

64 − 16

4 cm

=

48

Q

= 4 3 cm

TO =

TM2 − OM2

=

(4 3)2 − 42

=

48 − 16

=

32

1

1

atau L = 2 × PQ × TP, maka: × TQ × PX =

1 2

× PQ × TP

× 4 5 × PX =

1 2

×8×5

⇔

PX =

1

atau L = 2 × OM × OT. Dari kedua rumus luas segitiga TOM tersebut diperoleh: 1 2

⇔

1

× TM × ON = 2 × OM × OT 1 2

1

× 4 3 × ON = 2 × 4 × 4 2

⇔

2 5 PX = 20

⇔

2 3 × ON = 8 2

⇔

20 2 5

ON =

8 2 2 3

4

⇔ PX = 2 5 cm Jadi, jarak garis PS dan bidang QRWT adalah

= 3 6 cm Jadi, jarak antara bidang PQRS dan TBC adalah

2 5 cm.

4 3

5.

T

Q O

H E

B

M

O

Jarak (PQRS, TBC) = jarak (O, TBC) = jarak (O, TM) = jarak (O, N) = ON

Dimensi Tiga

G F

D

N

C

D P

6 cm.

6. a.

T

R

S

128

1

dan OM = 2 AB = 4 cm, maka:

Luas segitiga TOM dirumuskan L = 2 × TM × ON 1

A

Segitiga TOM siku-siku di O dengan TM = 4 3 cm

= 4 2 cm

Luas segitiga TPQ dirumuskan L = 2 × TQ × PX

1 2

TB2 − BM2 82 − 42

= 4 5 cm

⇔

TM =

TP2 + PQ2

TQ =

1 2

1

dan BM = 2 TC = 4 cm, maka:

=

Jarak (PS, QRWT) = jarak (P, QRWT) = jarak (P, QT) = jarak (P, X) = PX Segitiga TPQ siku-siku di P, maka:

⇔

Segitiga TBM siku-siku di M dengan TB = 8 cm

M

A

C B

Garis AB dan garis CH bersilangan. Garis BC tegak lurus dengan garis AB dan CH, maka jarak antara garis AB dan CH sama dengan panjang ruas garis BC = 8 cm. Jadi, jarak antara garis AB dan CH adalah 8 cm.

P

H

b. E

H

8.

G

G

E

F

F

Q C

D A

A

B

= 6 2 cm. EC merupakan diagonal ruang, maka EC

CE = 8 3 cm. Segitiga CGP siku-siku di G, maka:

= 6 3 cm. Segitiga CGE siku-siku di G, maka:

=

82 + 4 2

=

64 + 16

2

CP − PQ 2

1

a.

b.

4 2

D

2

(4 5) − (4 3)

=

80 − 48

=

32 = 4 2 cm

G

C B

BD dan FH sejajar. Sudut antara BD dan EG yang bersilangan sama dengan sudut antara FH dan EG. Oleh karena FH dan EG merupakan pasangan diagonal bidang maka FH tegak lurus EG dan besar sudut antara keduanya 90°. Jadi, besar sudut antara garis BD dan EG adalah 90°. CF dan DE sejajar. Sudut antara CF dan GE yang bersilangan sama dengan sudut antara DE dan GE yaitu ∠DEG. Oleh karena segitiga DEG sama sisi maka ∠DEG = 60°. Jadi, besar sudut antara garis CF dan GE adalah 60°.

C 6

O

A

B

6

Sudut antara garis TC dan bidang ABCD sama dengan sudut antara garis TC dan OC, yaitu ∠TCO. Segitiga ABC siku-siku di B, maka: AB2 + BC2

AC =

F D

T

9.

2

Jadi, jarak titik P ke CE adalah 4 2 cm.

E

1

EFGH adalah 3 6 .

=

H

6 2

EG

cos α = EC = = 3 6 6 3 Jadi, nilai kosinus sudut antara EC dan bidang

80 = 4 5 cm EP = CP = 4 5 cm Segitiga CPQ siku-siku di Q, maka: PQ =

Sudut antara EC dan bidang EFGH sama dengan sudut antara EC dan EG yaitu ∠CEG = α. EG merupakan diagonal bidang, maka EG

CG2 + GP2

=

A

B

Garis CE dan garis GH bersilangan. Titik P dan Q berturut-turut merupakan titik tengah GH dan CE. Garis PQ tegak lurus dengan garis CE dan GH, maka jarak antara garis CE dan GH sama dengan panjang ruas garis PQ. CE merupakan diagonal ruang, maka

CP =

7.

C

D

=

62 + 6 2

=

36 + 36

=

72 = 6 2 cm 1

1

OC = 2 AC = 2 × 6 2 = 3 2 cm Segitiga TOC siku-siku di O, maka: TO =

TC2 − OC2

=

(4 2)2 − (3 2)2

=

32 − 18 = TO

14 cm 14

1

tan ∠TCO = OC = = 3 7 3 2 Jadi, nilai tangen sudut antara garis TC dan bidang 1

ABCD adalah 3 7 .


129

10.

H E

Segitiga AEP siku-siku di E, maka:

G

P

E F

α

P

8 cm C

D A

B

A

Sudut antara bidang EFGH dan AFH sama dengan sudut antara EP dan AP dengan P titik tengah HF yaitu ∠APE = α. EG merupakan diagonal bidang, maka: EG = 8 2 cm 1

1

EP = 2 EG = 2 × 8 2 = 4 2 cm

130

Dimensi Tiga

AP =

AE2 + EP2

=

64 + 32

=

96

= 4 6 cm 8

AE

2

1

sin α = AP = 4 6 = 6 = 3 6 Jadi, nilai sinus sudut antara bidang EFGH dan 1

AFH adalah 3 6 .

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. mendeskripsikan identitas penjumlahan dan selisih sinus, identitas penjumlahan dan selisih kosinus; 2. menerapkan identitas penjumlahan dan selisih sinus, identitas penjumlahan dan selisih kosinus dalam pemecahan masalah; 3. membuktikan berbagai identitas trigonometri menggunakan identitas penjumlahan dan selisih sinus, identitas penjumlahan dan selisih kosinus; 4. terampil menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan trigonometri. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik: 1. menunjukkan sikap rasa ingin tahu dalam mempelajari trigonometri; 2. bersikap pantang menyerah dalam menyelesaikan permasalahan trigonometri dan permasalahan sehari-hari.

Trigonometri

Identitas Trigonometri Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut

•

•

•

•

Menyebutkan identitas sinus penjumlahan dan selisih dua sudut dan menggunakannya untuk menyelesaikan permasalahan. Menyebutkan identitas kosinus penjumlahan dan selisih dua sudut dan menggunakannya untuk menyelesaikan permasalahan. Menyebutkan identitas tangen penjumlahan dan selisih dua sudut dan menggunakannya untuk menyelesaikan permasalahan. Membuktikan identitas trigonometri menggunakan identitas sinus, kosinus, dan tangen penjumlahan dan selisih dua sudut.

• •

Identitas Trigonometri Sudut Rangkap dan Sudut Pertengahan

•

•

•

Menyebutkan identitas trigonometri sudut rangkap dan menggunakannya untuk menyelesaikan permasalahan. Menyebutkan identitas trigonometri sudut pertengahan dan menggunakannya untuk menyelesaikan permasalahan. Membuktikan identitas trigonometri menggunakan identitas sudut rangkap dan sudut pertengahan.

Identitas Perkalian dan Penjumlahan/Selisih Sinus dan Kosinus

•

•

•

Menyebutkan identitas perkalian sinus dan kosinus dan menggunakannya untuk menyelesaikan permasalahan. Menyebutkan identitas penjumlahan/selisih sinus dan kosinus dan menggunakannya untuk menyelesaikan permasalahan. Membuktikan identitas trigonometri menggunakan identitas perkalian dan penjumlahan/selisih sinus dan kosinus.

Menunjukkan sikap ingin tahu dan pantang menyerah dalam menyelesaikan permasalahan matematika dan sehari-hari. Terampil membuktikan berbagai identitas trigonometri menggunakan identitas penjumlahan dan selisih sinus, identitas penjumlahan dan selisih kosinus.

Matematika Kelas XII Peminatan

131

6. Jawaban: b

A. Pilihlah jawaban yang tepat. 1. Jawaban: c Berdasarkan identitas kosinus dan sinus penjumlahan dua sudut diperoleh sebagai berikut. i) cos (2a + b) = cos 2a cos b – sin 2a sin b Pernyataan i) benar. ii) cos (a + 2b) = cos a cos 2b – sin a sin 2b Pernyataan ii) salah. iii) sin (a + 2b) = sin a cos 2b + cos a sin 2b Pernyataan iii) salah. iv) sin (2a – b) = sin 2a cos b – sin 2a sin b Pernyataan iv) benar. Jadi, pernyataan yang benar i) dan iv). 2. Jawaban: a sin 35° cos 40° – cos 35° sin 40° = sin (35° – 40°) ← Identitas sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β = sin (–5°) = cos (90° – (–5°)) = cos 95°

1

2

= =

2 × 6 +

1 2 1 4

3 +

1 2

2 ×

=

3 +1 1− 3 × 1

=

3 +1 1− 3

=

3+ 2 3 + 1 1− 3

=

4+2 3 −2

×

3 10

cos β =

sin (α + β) = sin α cos β – cos α sin β

= =

1

1

1

132

Trigonometri

2 2 5

=

1 5

×

1 10

×

5 5

10

5

β

3

3

sin x = 5 , x sudut tumpul

5

3

4

cos x = – 5

x 4

1+ 3 1+ 3

5

y 12

12

cos y = 13 , y sudut lancip 5

3

sin y = 13 cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y

1

4

12

48

15

3

5

= (– 5 ) × 13 + 5 × 13 1

= 2 × cos θ + 2 3 × sin θ + 2 × cos θ – 2 3 × sin θ = 2 cos θ + 2 cos θ = cos θ

=

1 2

7. Jawaban: b

5. Jawaban: a sin (30° + θ) + cos (60° + θ) = (sin 30° cos θ + cos 30° sin θ) + (cos 60° cos θ – sin 60° sin θ) 1

3 1 × – 10 2 3 1 – 20 20 2 20

=

13

= –2 –

1

1 10

sin β =

4. Jawaban: e tan 105° = tan (60° + 45°) tan 60° + tan 45° 1 − tan 60° tan 45°

1

α

1

tan β = 3 , β sudut lancip

1 2

2

=

2

1 2

cos α =

3. Jawaban: d sin 75° = sin (45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° 1 2 1 4

1 2

sin α = 2 2 = = 2 α sudut lancip tan α = 1

= – 65 + 65 33

= – 65

1

8. Jawaban: b tan (x + y) = 33

2

tan x + tan y 1 − tan x tan y 3 + tan y 1 − 3 tan y

⇔ ⇔

dan tan C = 3 . Pada segitiga berlaku: A + B + C = 180° ⇔ A + B = 180° – C

= 33 = 33

⇔ 3 + tan y = 33 – 99 tan y ⇔ tan y + 99 tan y = 33 – 3 ⇔ 100 tan y = 30 ⇔

tan y =

30 100

⇔

tan y =

3 10

⇔ ⇔ ⇔

tan A + tan B = –tan C (1 – tan A tan B) 2

= – 3 (1 – 13)

3 . 10

Jadi, nilai tan y =

13

2

= – 3 (–12)

9. Jawaban: d sin (p – q) = sin p cos q – cos p sin q ⇔

tan A + tan B 1 − tan A tan B tan A + tan B tan (180° – C) = 1 − tan A tan B tan A + tan B –tan C = 1 − tan A tan B

tan (A + B) =

sin 30° = sin p cos q –

=8 Jadi, nilai tan A + tan B = 8.

1 6

1

4

2

C

3

12. Jawaban: e

1

⇔ sin p cos q = sin 30° + 6 1

2

= 2 + 6 = 6 = 3

10. Jawaban: c cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B ⇔

cos

⇔

π 3 1 2

= =

⇔

sin A sin B =

⇔

sin A sin B =

⇔

sin A sin B =

5 – sin 8 5 – sin 8 5 1 – 8 2 5−4 8 1 8

A sin B 5

A sin B

= =

+ =

3

sin A = 5

c.

Dari sin C =

2 13

dan C sudut lancip

diperoleh cos C = 3

13

7

4

cos B = 5 2 1

sin B = 5 2

2 13

.

cos C = cos (180° – (A + B)) = –cos (A + B) = –(cos A cos B – sin A sin B) 7

4

3

1

= –( 5 × 5 2 – 5 × 5 2 ) = –( =–

Jawaban: d

cotan B = 7

cos A = 5

Jika tan A tan B = 13, nilai tan A + tan B = . . . . a. –18 d. 8 b. –8 e. 18 20 3

B 1

4

1 8 3 4

11. Diketahui segitiga lancip ABC dengan sin C =

3

A

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B 5 8 6 8

7

50 = 5 2

=–

28 25 2

–

3 25 2

)

25 25 2 1 2

=–

1 2

2

Oleh karena cos C negatif berarti sudut C merupakan sudut tumpul. Jadi, besar sudut C = 135°.


133

13. Jawaban: a ∠ACB = 180° – (60° + 75°) = 45° sin 75° = sin (30° + 45°) = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45° 1

1 2

1 4

2 +

= 2 × =

1 4

Ingat aturan sinus: AC sin 75°

1 2

2 +

C

75° 60° B 300 cm

A 1 2

3 ×

2

6

a sin A

b sin B

=

c

= sin C .

sin 75°

AB

= sin 45° ⇔ AC = sin 45° × AB 1 4

=

2+ 1 2

1

=(2 +

1 4

6

2 1 2

× 300

⇔

– sin α × (– 2 ) + cos α × (– 2 3 )

3 ) cm.

1

1 − 2 tan A 2 + tan A

. . . (1)

1 3

3 tan A − 1 tan A + 3

. . .(2)

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 3 tan A − 1 tan A + 3 1 − 2 tan A 3 tan A − 1 = 2 + tan A tan A + 3

B. Uraian 1. a.

10

cos A = – 26 dan A di kuadran III sehingga: p =

262 − 102

=

676 − 100

=

576 = 24 24

sin A = – 26 tan A = sin B = q =

24 10 3 dan 5

=

25 − 9

⇔

=

16 = 4

⇔ (1 – 2 tan A)(tan A + 3) = (3 tan A – 1)(2 + tan A) ⇔ –2 tan2 A – 5 tan A + 3 = 3 tan2 A + 5 tan A – 2 ⇔ –5 tan2 A – 10 tan A + 5 = 0 ⇔ tan2 A + 2 tan A – 1 = 0 ⇔ (tan A + 1)2 – 2 = 0 ⇔ (tan A + 1)2 = 2

134

tan A = –1 ±

Trigonometri

2

26 p A 10

B di kuadran II sehingga:

52 − 32

tan B =

⇔

1

= 2 sin α

1

⇔ 3 (tan A – tan B) = 1 + tan A tan B ⇔ 3 tan A – 1 = tan A tan B + 3 tan B ⇔ 3 tan A – 1 = (tan A + 3) tan B tan B =

1

1

1

⇔

1

= sin α + 2 sin α + 2 sin α + 2 3 cos α

tan (A – B) = 3

=

1

1

tan B =

⇔

1

3 ) cm

= 2 ⇔ 2 (tan A + tan B) = 1 – tan A tan B ⇔ 2 tan B + tan A tan B = 1 – 2 tan A ⇔ tan B (2 + tan A) = 1 – 2 tan A

tan A − tan B 1 + tan A tan B

15. Bentuk sederhana dari sin α – sin (α – 120°) – sin (α – 240°) adalah . . . . a. sin α d. 2 sin α b. cos α e. 2 cos α c. sin 2α Jawaban: d sin α – sin (α – 120°) – sin (α – 240°) = sin α – (sin α cos 120° – cos α sin 120°) – (sin α cos 240°– cos α sin 240°) = sin α – sin α cos 120° + cos α sin 120° – sin α cos 240° + cos α sin 240°

– 2 3 cos α

1 2 tan A + tan B 1 − tan A tan B

⇔

2 – 1.

= sin α – sin α × (– 2 ) + cos α × 2 3

14. Jawaban: b tan (A + B) =

2 =

tan A = –1 +

3 ) × 300

= 150(1 + Jadi, panjang AC = 150(1 +

⇔ tan A = –1 + 2 atau tan A = –1 – 2 ⇔ tan A = 0,414 atau tan A = –2,414 Oleh karena A sudut lancip maka tan A bernilai positif sehingga nilai tan A yang memenuh adalah

4

cos B = – 5 3

tan B = – 4

5 B

3 q

tan A + tan B 1 − tan A tan B

=

=

24 3 + (− ) 10 4 24 3 1− × (− ) 10 4

− 3 +1 1+ 3

=

−3 + 3 + 3 − 1 1+ 2 3 + 3

=

48 − 15 20 40 + 72 40

=

−4 + 2 3 4+2 3

=

−16 + 8 3 + 8 3 − 12 16 − 12

=

−28 + 16 3 4

tan (A + B) =

33

40

= 20 × 112 33 56

= b.

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B 24

4

10

3. a.

3

= – 26 × (– 5 ) – (– 26 ) × 5 96

30

= 130 + 130 126

= 130

2. a.

1 2

×

1 2

+ (–

1 2

2+

1 2

3 ×

1 2

1 2

3 ×

2 – (–

2 1 ) 2

× 1 4

=

1 4

2 +

1 4

6 –

1 4

6 +

=

1 4

2 +

1 4

2 =

1 2

2

1

1 2

2 –

1

1 2

–(2 2 × 1

1 4

= (– 4 2 – 1

=–4 2 –

1 4

1

= –2 2 – c.

2)

1 2

1 2

2 ×

1 ) 2

1

6 –

1 4

1 4

2) 2

=

(− 3) + 1 1 − (− 3) × 1

×

= tan (25° – 85°) = tan (–60°) = –tan 60° =– 3 4

5

13

144

= 12

α 2

132 − 52 =

4 β 2

5 −4

=

5

9 =3

Oleh karena α di kuadran I maka cos α dan tan α bernilai positif. 3

4

12

12

cos α = 5 dan tan α = 3 Oleh karena β di kuadran I maka cos β dan tan β bernilai positif. sin β = 13 dan tan β = 5 sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β 4

tan 345° × tan 15° = tan (300° + 45°) × tan (60° – 45°) =

6

5

3

12

= 5 × 13 + 5 × 13

6

tan 300° + tan 45° 1 − tan 300° tan 45°

1 2

=

Diketahui sin α = 5 , cos β = 13 , α dan β di kuadran I

2.

2)

6 )–(4 6 + 1 4

3 2

tan 25° − tan 85° 1 + tan 25° tan 85°

5

1 2

1 2

3 ×

3 +

6 – 1 2

3

2

cos 165° – cos 15° = cos (120° + 45°) + cos (45° – 30°) = (cos 120° cos 45° – sin 120° sin 45°) – (cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°) = ((– 2 ) ×

b.

4. a.

1 2

Jadi, nilai sin 75° + sin 195° = b.

= –7 + 4 3

= − −1 2 = ( 2 )

sin 75° + sin 195° = sin (30° + 45°) + sin (240° – 45°) = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45° + (sin 240° cos 45° – cos 240° sin 45°) =

4−2 3

× 4−2 3

sin 86° cos 26° − cos 86° sin 26° sin 49° sin 86° − cos 49° cos 86° sin 86° cos 26° − cos 86° sin 26° = −(cos 49° cos 86° − sin 49° sin 86°) sin (86° − 26°) sin 60° = −(cos (49° + 86°)) = −cos 135° 1 2

63 65

=

3 −1 1+ 3

×

×

tan 60° − tan 45° 1 + tan 60° tan 45°

20

36

= 65 + 65 56

= 65

3 −1 1+ 3 × 1 Matematika Kelas XII Peminatan

135

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β = = tan (α – β) = = = = b.

2

2

tan α − tan β 1 + tan α tan β

2

⇔ cos A cos B – sin A sin B = 3 . . . (1)

−

1+ 20 15

cos (A + B) = 3

12 5 4 12 × 3 5

4 3

−

1+

1

cos (A – B) = 2

36 15

1

⇔ cos A cos B + sin A sin B = 2 . . . (2)

48 15

−16 15 63 15

1

5. Diketahui cos (A + B) = 3 dan cos (A – B) = 2 . Tentukan nilai tan A tan B. Jawaban:

3 5 4 12 × 13 – 5 × 13 5 15 48 33 – 65 = – 65 65

= −

Tambahkan persamaan (1) dan persamaan (2):

16 63

2

2

cos A cos B – sin A sin B = 3

3

Diketahui sin α = 3 , cos β = 4 , α di kuadran II dan β di kuadran IV.

1

cos A cos B + sin A sin B = 2 ––––––––––––––––––––––––––– + 7

3

4

2

42 − 32 =

7

α

α

32 − 22 =

2 cos A cos B = 6

3

2

5

Oleh karena α di kuadran II maka cos α dan tan α bernilai negatif. 2

5 3

dan tan α = – 5 Oleh karena β di kuadran IV maka sin β dan tan β bernilai negatif.

cos α = –

sin β = –

7 4

7

⇔ cos A cos B = 12 Kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1):

dan tan β = −

7 3

cos A cos B – sin A sin B = 3

1

cos A cos B + sin A sin B = 2 ––––––––––––––––––––––––––– – 1

–2 sin A sin B = 6

1

⇔

sin A sin B = – 12

tan A tan B =

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β =

2 3

3 4

=

6 + 35 12

×

+ (–

5 3

) × (–

7 4

=

2

× ( 4 ) – ( 3 ) × (–

−3 5 + 2 7 12 tan α − tan β

tan (α + β) = 1 + tan α tan β =

=

=

136

Trigonometri

(−

2 5

1 + (− −

2 5

1+

+

− 12 7 12

1

=–7

1

Jadi, nilai tan A tan B = – 7 .

3

5 ) 3

1

=

)

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β = (–

sin A sin B cos A cos B

) − (− 2 5

)(−

7 ) 3 7 ) 3

13

Tentukan: a. tan (A – B), b. tan C. Jawaban: 3

B

tan A = 4 5

sin A = 5

2 7 3 5

3 5+2 7 3 5

cos B = − 12 .

3

7 3

−6 + 35 3 5

7 ) 4

3

6. Diketahui segitiga ABC dengan tan A = 4 dan

−6 + 35

= 3 5+2 7

cos A =

4 5

cos B =

12 − 13

3

13

12

A 4

5

B di kuadran II

c.

5 13

sin B =

= 5

tan B = − 12 a.

= tan A − tan B 1 + tan A tan B

tan (A – B) =

3 4

= =

3 4

=

5

d.

− (− 12 ) 3 5 × (− 12 ) 4

1+

+

1− 7 6 11 16

=

×

=

5 12

=

56 33

=

tan C = tan (180° – (A + B)) = –tan (A + B)  tan A + tan B 

= –  1 − tan A tan B  

7. a.

=

 1  3 –  21   16 

8. a. 16

= – 63

sin (45° + θ) – sin (45° – θ) = (sin 45° cos θ + cos 45° sin θ) – (sin 45° cos θ – cos 45° sin θ) = (

=

1 2

+ = =

1 2

2

1 2

2 sin θ)

2 cos θ + 1 2

2

1 2

2 sin θ – 1 2 cos θ 2

2 sin θ

2 sin θ +

1 2

b.

2 sin θ

2 sin θ (terbukti)

sin (30° + θ) + cos (60° + θ) = (sin 30° cos θ + cos 30° sin θ) + (cos 60° cos θ – sin 60° sin θ) =

= =

( 1 cos θ + 1 3 sin θ) + ( 1 cos θ 2 2 2 1 – 3 sin θ) 2 1 1 1 cos θ + 1 3 sin θ + cos θ – 2 2 2 2 1 1 cos θ + 2 cos θ 2

tan 45° + tan θ 1 − tan 45° tan θ 1 + tan θ 1 − 1× tan θ 1 + tan θ 1 − tan θ 1+ 1−

sin θ cos θ sin θ cos θ

= =

cos θ + sin θ cos θ − sin θ

(terbukti)

sin (A + B) cos (A − B)

=

sin A cos B + cos A sin B cos A cos B + sin A sin B

=

sin A cos B cos A sin B + cos A cos B cos A cos B cos A cos B sin A sin B + cos A cos B cos A cos B

=

sin A sin B + cos A cos B sin A sin B × 1+ cos A cos B

=

tan A + tan B 1 + tan A tan B

2 cos θ + 1 2 sin θ) – ( 1 2 cos θ

1 2

–

b.

=

1 − tan θ 1 + 1× tan θ 1 − tan θ (terbukti) 1 + tan θ

cos θ + sin θ cos θ cos θ − sin θ cos θ



 3 + (− 5 )  –  4 3 125  1 − × (− )  4 12 

tan 45° − tan θ 1 + tan 45° tan θ

tan (45° + θ) =

5 12

3 4

= b.

tan (45° – θ)

×

1 cos A cos B 1 cos A cos B

(terbukti)

cos (A − B) − cos (A + B) sin (A + B) + sin (A − B)

=

(cos A cos B + sin A sin B) − (cos A cos B − sin A sin B) sin A cos B + cos A sin B + sin A cos B − cos A sin B

=

2 sin A sin B 2 sin A cos B

=

sin B cos B

= tan B (terbukti)

3 sin θ

= cos θ (terbukti)


137

π

π

BC =

9. 3 cos (θ + 4 ) = cos (θ – 4 ) π

π

⇔ 3 cos θ cos 4 – 3 sin θ sin 4 = cos θ cos

π 4

+ sin θ sin

π

π 4

= sin θ sin ⇔ ⇔

2 cos θ cos 2×

1 2

π 4

2 cos θ = 4 ×

=

16 × 2

4

3

=

π 4

1 2

4 4 2

2 , cos β =

2 sin θ

4

sin θ

= 5

⇔

1 2

= tan θ

= 10 2

2

1

= 3 cm DB = AB – AD =7–3 = 4 cm

138

tan (α – β) =

AC2 − CD2

9

Trigonometri

C

5 cm

A

2 , dan tan β = 1.

3

1

3

2 + 10

2

7

Jadi, nilai tan θ = 2 .

=

1 2

1

= cos θ

25 − 16

=

2 + 5 × 2 = 5 × 2 2

2 4

=

4

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

⇔

10. AD =

4

sin α = 5 , cos α = 5 , tan α = 3 , sin β = 4 2

π 4

= 4 sin θ sin 1 2

16 + 16

Diperoleh:

π

+ 3 sin θ sin

=

=4 2

⇔ 3 cos θ cos 4 – cos θ cos 4 π 4

DB2 + DC2

=

4 cm

α

= β

D 7 cm

B

tan α − tan β 1 + tan α tan β 4 3

−1 4 3

1+ × 1 1 3 7 3

1

= 7

7

1

Jadi, nilai sin (α + β) + tan (α – β) = 10 2 + 7 .

4

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: a i) sin 2α = 2 sin α cos α sehingga sin 2θ = 2 sin θ cos θ. Pernyataan i) benar. ii) cos 2α = 2 cos2 α – 1 sehingga cos 2θ = 2 cos2 θ – 1. Pernyataan ii) benar. iii) cos 2α = cos2 α – sin2 α sehingga cos 2θ = cos2 θ – sin2 θ ⇔ cos 2θ = sin2 θ – cos2 θ Pernyataan iii) benar. iv) cos 2α = 1 – 2 sin2 α sehingga cos 2θ = 1 – 2 sin2 θ ⇔ cos 2θ = – (2 sin2 θ – 1). Pernyataan iv) salah. v)

tan 2α =

2 tan α 1 − tan2 α

sehingga tan 2θ =

2 tan θ 1 − tan2 θ

.

Pernyataan v) salah. Jadi, pernyataan yang benar i), ii), dan iii).

6 +

8

− 97

−8

−9

= 3 × 7 24

= 7

3

=37 5. Jawaban: e Identitas trigonometri sudut pertengahan 1 − cos θ 2 1 + cos θ 2

1

cos

6 + 2 ).

1 2

=

3

1 4

π+1

2+1 2 2+2 4

=

4. Jawaban: e

π) + 1

2

1

= 4 ( 6 + 2)

1 8

2

=

Jadi, nilai 2 sin 52,5° cos 52,5° adalah

1

cos (2 ×

1

cos 8 π =

1 ( 4

cos 2x + 1 2

Oleh karena 8 π berada di kuadran I maka cos 8 π bernilai positif.

2

6

16 9

−3

=

⇔ cos x = ±

1

cos α = 0,6 = 10 = 5 Oleh karena α di kuadran IV maka tan α bernilai negatif.

1−

6. Jawaban: e cos 2x = 2 cos2 x – 1

= 2 3 × 2 2 + 2× 2 2 =

8

−3

1 − cos θ 1 − cos θ 1 tan 2 θ = ± 1 + cos θ = cos θ + 1 Pernyataan pada pilihan a, b, c, dan d salah dan pernyataan pada pilihan e benar. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan e.

3. Jawaban: a 2 sin 52,5° cos 52,5° = sin (2 × 52,5°) = sin 105° = sin (60° + 45°) = sin 60° × cos 45° + cos 60° × sin 45°

1 4

4

1 − (− 3 )2

=

1

1

1 4

2(− 3 )

=

1 − tan2 α

cos 2 θ = ±

= sin 60° = 2 3

1

4

2 tan α

1

= –(–sin 60°)

1

tan 2α =

sin 2 θ = ±

2. Jawaban: b sin2 75° – cos2 75° = –(cos2 75° – sin2 75°) = –(cos 2 × 75°) = –(cos 150°) = –(cos (90° + 60°))

1

tan α = – 3

1

52 − 32

5 =

= 2 2+ 2

16 = 4

α 3 Matematika Kelas XII Peminatan

139

7. Jawaban: a Diketahui tan θ =

15 . 8

3

Oleh karena 2 π < θ < 2π (θ terletak di kuadran IV) maka sin θ bernilai negatif dan cos θ bernilai positif. 15

17

15

8

sin θ = – 17 dan cos θ = 17 3 π 2

10. Jawaban: a

< θ < 2π

θ 8

1 3 1 1 ( π) < 2 θ < 2 (2π) 2 2

⇔

3 π 4

⇔

1 θ 2

<

Oleh karena

9. Jawaban: b sin a – cos a = 2p ⇔ (sin a – cos a)2 = (2p)2 ⇔ sin2 a – 2 sin a cos a + cos2 a = 4p2 ⇔ sin2 a + cos2 a – 2 sin a cos a = 4p2 ⇔ 1 – 2 sin a cos a = 4p2 ⇔ 1 – 4p2 = 2 sin a cos a ⇔ 1 – 4p2 = sin 2a 2 Jadi, nilai sin 2a = 1 – 4p . 1 − sin 2A cos 2A

=

<π

=

3 1 1 π < 2 θ < π ( 2 θ terletak di kuadran II), 4

1 − cos θ 2 8 17

1−

=

2 9 17

= =

⇔

cos2 A − sin2 A

=

sin A − cos A − sin A − cos A

=

sin A cos A − − cos A − cos A − sin A cos A − − cos A − cos A

9 34

= 1 + tan A

cos2

11. Jawaban: b 5

θ–1

cos2

=2

θ–1

tan θ =

sin θ cos θ

5

sin θ cos θ

× 2 sin θ cos θ= – 13 5

⇔

1 – 2 sin2 θ = – 13

⇔

cos 2θ = – 13

5

5

25

169

= 2( 169 ) – 169 119

= – 169

3 5

3 5

⇔ 1–

= 2( − 13 )2 – 1

3

cos θ =

1 – tan θ sin 2θ = – 13

cos 4θ = 2 cos2 2θ – 1

= 2 cos2 θ

⇔ cos θ =

×

1 − cos A 1 − cos A

1 − tan A

⇔ cos2 θ = 5

140

sin2 A − 2 sin A cos A + cos2 A

− tan A + 1

8. Jawaban: d θ sudut lancip atau 0° ≤ θ ≤ 90° sehingga 0° ≤ 2θ ≤ 180°. Oleh karena cos 2θ bernilai positif maka kemungkinan sudut 2θ berada di kuadran I sehingga sin θ, cos θ, dan tan θ bernilai positif.

⇔

cos2 A − sin2 A

= tan A + 1

3

1 5 6 5

(sin2 A + cos2 A) − 2 sin A cos A

2

= 34 34

cos 2θ = 2

cos2 A − sin2 A

(sin A − cos A)(sin A − cos A)

1

1

1 − 2 sin A cos A

= −(sin A − cos A)(sin A + cos A)

sin 2 θ bernilai positif. sin 2 θ = +

=

119

2 5

sehingga sin θ = 2

=

Trigonometri

5 3 5

=

2 3

×

Jadi, nilai cos 4θ = – 169 .

3 3

1

= 3 6

12. Jawaban: a cos

1 2

4)

x +1 2x

θ=

 x + 1  2x 

1

⇔

2

(cos 2 θ)2 =  

x +1 2x

⇔

1 cos2 2

θ =

⇔

1 cos2 2

θ =x+1

2x

1

⇔ 2x cos2 2 θ – x = 1 1

⇔(2 cos2 2 θ – 1) x = 1 ⇔ x cos θ = 1 ⇔ x2 –

x = 1 x2

1

= ( cos θ )2 – =

1 2

cos θ

1 cos θ

1 2 ) cos θ

– cos2 θ

13. Jawaban: b cos 2x – 3 cos x + 2 = 0 ⇔ 2 cos2 x – 1 – 3 cos x + 2 = 0 ⇔ 2 cos2 x – 3 cos x + 1 = 0 ⇔ (2 cos x – 1)(cos x – 1) = 0 ⇔ 2 cos x – 1 = 0 atau cos x – 1 = 0 Untuk 2 cos x – 1 = 0, diperoleh nilai x berikut. 2 cos x – 1 = 0 ⇔ 2 cos x = 1 cos x =

⇔ 1)

π 3

π 3

+ k × 2π

k=0 ⇒ x= 2)

1 2

cos x = cos x=

π 3

π 3

x = (– ) + k × 2π k=1 ⇒ x=

5 3

+ 2 = 0 adalah {0,

π

Untuk cos x – 1 = 0 diperoleh nilai x berikut. cos x – 1 = 0 ⇔ cos x = 1 ⇔ cos x = cos 0 3) x = 0 + 2kπ k=0 ⇒ x=0 k = 1 ⇒ 0 + 2π = 2π

π 3

,

5 3

π, 2π}.

14. Jawaban: d sin2 2x – 2 sin x cos x – 2 = 0 ⇔ (sin 2x)2 – sin 2x – 2 = 0 ⇔ (sin 2x + 1)(sin 2x – 2) = 0 ⇔ sin 2x = –1 atau sin 2x = 2 sin 2x = 2 → tidak ada nilai x yang memenuhi sin 2x = –1 = sin 270° 1)

⇔

1 (

= secan2 θ – cos2 θ = 1 + tan2 θ – cos2 θ = (sin2 θ + cos2 θ) + tan2 θ – cos2 θ = tan2 θ + sin2 θ

⇔

x = (2π – 0) + k × 2π = 2π + k × 2π k = 0 ⇒ x = 2π Jadi, himpunan penyelesaian cos 2x – 3 cos x

2) ⇔ ⇔

2x = 270° + k × 360° x = 135° + k × 180° k = 0 → x = 135° k = 1 → x = 315° 2x = (180° – 270°) + k × 360° 2x = –90° + k × 360° x = –45° + k × 180° k = 1 → x = 135°

Jadi, himpunan penyelesaiannya {135°, 315°}. 15. Jawaban: c 3

tan 2a = – 4 2 tan a 1 − tan2 a

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

3

=–4

8 tan a = –3 + 3 tan2 a 3 tan2 a – 8 tan a – 3 = 0 (3 tan a + 1) (tan a – 3) = 0 1

tan a = – 3 atau tan a = 3

Oleh karena tan a > 0 maka nilai yang memenuhi tan a = 3. 1

tan (a – b) = 2 ⇔

tan a − tan b 1 + tan a tan b

⇔

3 − tan b 1 + 3 tan b

1

= 2

1

= 2 ⇔ 6 – 2 tan b = 1 + 3 tan b ⇔ –5 tan b = –5 ⇔ tan b = 1 Jadi, nilai tan2 a – tan2 b = 32 – 12 = 8.


141

B. Uraian 1. a.

tan 2θ =

1 – 2

Diketahui sin θ =

dan θ di kuadran IV.

Oleh karena θ di kuadran IV maka tan θ bernilai negatif dan cos θ bernilai positif. tan θ = –

1 3

1

=

2

1

θ

=

3

3 2

dan cos θ = 1 2

3 2

cos 2θ =

)

cos2

θ–


=

2(− 1 − (−

c.

1 ) 3 1 2 ) 3

9

=

−5 26

=

)

=

10


5

= − 13 cos 2θ = cos2 θ – sin2 θ 1

= ( − 26 )2 – ( 26 )2

12

4 3 4 ( )2 3

2( ) 1− 8 3

1−

16 9

8 3 7 −9

8

24

16

= − 25

= − 26

= 26 = 13

3

= 25 – 25

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

1

θ

7

dan cos θ =

25

4

4 5

3 5

Oleh karena θ di kuadran II maka sin θ bernilai positif dan cos θ bernilai negatif.

= 26 – 26

5

= (– )2 – (– )2

tan 2θ =

5

3 5

24

5

−5 26

dan tan θ = 3

= 25 cos 2θ = cos2 θ – sin2 θ

1

)(

dan θ di kuadran III.

4

4 5

4 5

−2 3 2 3

θ

1 26

3 5

= 2(– )(– )

1 5

Trigonometri

25

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

2 3 1 1− 3

−

26

142

24 25

Diketahui cos θ = –

sin θ = –

Diketahui tan θ = – dan θ di kuadran II.

= 2(

−5

Oleh karena θ di kuadran III maka sin θ bernilai negatif dan tan θ bernilai positif.

=– 3

1 26

1 25

5

=

sin θ =

1−

= − 12

sin2 θ

=

b.

2 5

2

3 2 1 =( ) – (– )2 2 2 3 1 2 1 = 4 – 4 = 4 = 2

tan 2θ =

1

1 − (− 5 )2

= – 5 × 24

3 2

=–

2(− 5 )

2

=

sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 2(– )(


9

24

= 3 × −7 = − 7 2. a.

2 – 4 sin2 112,5° = 2(1 – 2 sin2 112,5°) = 2(cos (2 × 112,5°)) = 2(cos 225°) = 2(cos (180° + 45°)) = 2(–cos 45°) 1

= 2(– 2 2 ) =– 2

b.

2 tan 67,5° (1 − tan 67,5°)(1+ tan 67,5°)

=

c.

2 tan 67,5° 1 − tan2 67,5°

= 5(

1 − cos 315 2

= 5(

1 − cos (360° − 45°) 2

=5

= ± 1+ b b b b

=±

b−a b b+a b

C

C

b−a

5

= 2 2− 2

sin 2A = 2 sin A cos A a

c

(terbukti)

cos 2A = 2cos2 A – 1 c 2( b )2 2

2c b2

2

b−a

= (± b + a )2 = b + a (terbukti)

B

=

+

tan2 2 = (tan 2 )2

4. a.

1 + cos 2x sin 2x

–1 b2 b2

–

2c − b b2

2

(terbukti)

=

1 + (2 cos 2 x − 1) 2 sin x cos x 2 cos 2 x 2 sin x cos x 2 cos x cos x 2 sin x cos x cos x sin x

= =

b

c

=

a b a b

−

b−a

2

2ac b2

(terbukti)

= ± b+a

A

=

b−a 2 b−a ) = 2b 2b

a b a b

=±

)

=2× b × b

b.

b−a 2b

1 − cos C

1−

)

a sin A = b c cos A = b c sin C = b a cos C = b

=

=±

C

C

2 2− 2 4

2

tan 2 = ± 1 + cos C

)

3. Segitiga ABC siku-siku di B sehingga diperoleh:

a.

d.

1 − cos 45° 2

1−

a b

−

C

= 5(

=5

b b

sin2 2 = (sin 2 )2 = (±

1 − cos 2 × 157,5 2

1 2

2

=±

10 sin 78,75° cos 78,75° = 5 × 2 sin 78,75° cos 78,75° = 5 sin (2 × 78,75°) = 5 sin 157,5° Oleh karena sin 157,5° bernilai positif, bentuk di atas dapat dinyatakan:

=5

a b

1−

=±

= tan (2 × 67,5°) = tan 135° = tan (90° + 45°) = –cotan 45° = –1 c.

1 − cos C 2

c

sin 2 = ±

= a

= cotan x (terbukti)

C

b.

cos x + sin x cos x − sin x

–

cos x − sin x cos x + sin x

=

(cos x + sin x)(cos x + sin x) − (cos x − sin x)(cos x − sin x) (cos x − sin x)(cos x + sin x)

=

cos2 x + 2 sin x cos x + sin2 x − (cos2 x − 2 sin x cos x + sin2 x) cos2 x − sin2 x

=

cos 2 x + 2 sin x cos x + sin2 x − cos 2 x + 2 sin x cos x − sin2 x cos 2x

=

4 sin x cos x cos 2x

=

2 × 2 sin x cos x cos 2x

=

2 sin 2x cos 2x

= 2 tan 2x (terbukti)


143

1−

c.

1+

1−

1 tan2 2 x 2 1 tan 2 x

= 1+

5. sin γ = tan β (1 – cos γ)

1 x 2 2 1 cos x 2 1 sin2 x 2 1 cos2 x 2

sin2

1 2

1 2 21 cos x 2 1 1 cos2 x + sin2 x 2 2 21 cos x 2

= =

1

1

1

1

cos2 2 x − sin2 2 x cos2 2 x + sin2 2 x

cos x 1

= cos x (terbukti)

1. Jawaban: d sin x cos y =

⇔ sin γ =

sin β − sin β cos γ cos β

(x + y) + sin (x – y))

Pernyataan i) dan ii) salah. 1

cos x cos y = 2 (cos (x + y) + cos (x – y)) Pernyataan iii) dan v) salah. Jadi, pernyataan yang benar adalah iv).

= 20 × {–

1

= 2 [sin (52,5° + 7,5°) – sin (52,5° – 7,5°)]

= 2 sin

2)

1

1

3−

1 4

3)

2

=6× =6×

1 (cos (75° + 195°) + cos (75° 2 1 (cos 270° + cos (– 120°)) 2

= 3(cos 270° + cos 120°) = 3(0 –

144

1 2

)=

3 –2

Trigonometri

– 195°))

1 (2a 2

+ 4b) sin

1 (2a 2

+ 4b) cos

1 (2a 2

– 4b)

= 2 cos (a + 2b) sin (a – 2b) Pernyataan pada pilihan c benar. cos 2a + cos 4b = 2 cos

3. Jawaban: c 6 cos 75° cos 125°

1 1 (2a + 4b) cos (2a – 4b) 2 2

= 2 sin (a + 2b) cos (a – 2b) Pernyataan pada pilihan a dan b salah. sin 2a – sin 4b = 2 cos

= 2(2 3 – 2 2 ) 1 4

[cos (x + 2y + 2y – x)

5. Jawaban: c 1) sin 2a + sin 4b

= 2 (sin 60° – sin 45°)

=

1 2

– cos (x + 2y – 2y + x)} = –10(cos 4y – cos 2x) = –10(cos 4y – cos 2x)

2. Jawaban: b cos 52,5° sin 7,5°

1 1

(1 – cos γ)

4. Jawaban: b 20 sin (x + 2y) sin (2y – x)

A. Pilihan Ganda 1 (sin 2

sin β cos β

⇔ sin γ cos β = sin β – sin β cos γ ⇔ sin γ cos β + sin β cos γ = sin β ⇔ sin γ cos β + cos γ sin β = sin β ⇔ sin (γ + β) = sin β Pada ∆ABC berlaku α + β + γ = 180° sehingga β + γ = 180° – α. ⇔ sin (180° – α) = sin β ⇔ sin α = sin β ⇔ α= β Oleh karena α = β maka ∆ABC mempunyai dua sudut sama besar sehingga ∆ABC merupakan segitiga sama kaki.

cos2 x − sin2 x

=

⇔ sin γ =

1 (2a 2

– 4b)

= 2 cos (a + 2b) cos (a – 2b) Pernyataan pada pilihan d dan e salah. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan c. 6. Jawaban: d sin 75° – sin 165° = 2 cos

1 (75° 2

+ 165°) sin

= 2 cos 120° sin (–45°)

1 (75° 2

– 165°)

= –2 cos 120° sin 45° = –2 × =

1 2

1 (– ) 2

×

1 2

sin 150° + sin 120° cos 120° − cos 300°

2

1

=– 2 × ( 2 + 4

2

1

1 2

= – (1 +

cos 145° − cos 95° sin 145° − sin 95°

= =

−2 sin 2 cos

1 1 (145° + 95°) sin (145° − 95°) 2 2 1 1 (145° + 95°) sin (145° − 95°) 2 2

10. Jawaban: e sin 20° sin 40° sin 80° = (sin 20° sin 40°) sin 80° 1 2

= – (cos (20° + 40°) – cos (20° – 40°)) sin 80°

− sin (90° + 30°)

=– (

− cos 30°

=–

1 2

= – (cos 60° – cos (–20° )) sin 80° 1 1 2 2

= − sin 30° 1

−2 3 1

−2

=

2 sin

1 ((45 − a)°+ 2 1 ((45 + a)° + 2

(45 + a)°) cos (45 − a)°) cos

1 ((45 − a)° − (45 + a)°) 2 1 ((45 + a)° − (45 − a)°) 2

= cos 45° cos ( − a) 1 2 1 2

2 cos a 2 cos a

=

1 4

sin 80° +

1 4

sin 60° –

=–

1 4

sin 80° +

1 4

×

=

= – 2 cos 15° cos 15° = cos (60° – 45°) = cos 60° cos 45° + sin 60° sin 45°

=

3 + 1 sin 100°

(sin 80°– sin 100°) +

2 +

4

1 8

1 8

3 1 8

3

3

3

2 sin (195° + 105°) cos (195° + 105°) + cos (195° − 105°)

=

2 sin 300° cos 300° + cos 90°

=

1 2

1 8

sin (–100°)

=

1

×

1 – 4

1 2

1 4

11. Jawaban: e tan 195° + tan 105°

−2 × (− 2 ) × (−1)

1 2 1 4

1 2

× ( (sin (–20° + 80°)

=–

=

2 cos 15°

=

1 2

1 4

2 sin 135° cos 15° −2 sin 210° sin ( − 90°) 1 2

sin 80° +

cos (–20°) sin 80°

= – (2 × 0 × sin (–10)) +

=1

sin 150° + sin 120° cos 120° − cos 300°

2×

1 4

1 2

1 4

9. Jawaban: e

=

sin 80° +

= – (2 cos 90° sin (–10°)) +

sin 45° cos a

=

– cos (–20°)) sin 80°

– sin (–20° – 80°))

cos (45 − a)° + cos (45 + a)° sin (45 + a)° + sin (45 − a)°

2 cos

1 4

= –

3

8. Jawaban: d

=

3)

−2 sin 120° sin 25° 2 cos 120° sin 25° − sin 120° cos 120°

= cos (90° + 30°)

=

6)

= – (2 + 2 3 ) 4

7. Jawaban: e

=

= – 2 cos 15°

1

2 × (− 1 2

1 2

3)

+0

= –2 3

1

2 + 2 3 × 2 2 6


145

12. Jawaban: c sin A + sin B cos A + cos B

⇔

⇔

1

= 1 – 8 (6 – 2 5 )

1 2 2 1 6 2

=

1

= 1 – 4 (3 – 5 )

( ) cos ( ) 2 cos ( ) cos ( ) = sin ( ) cos ( )= A+B 2 A +B 2

2 sin

A −B 2 A −B 2

A +B 2 A+B 2

A +B

2 1

1

3

1

1 3

1

A +B    2 

cos

A −B    2 

=

1 2

A −B

1

A −B    2 

1 2

2

  2 × 2 × cos  2  = 2 2 1

⇔

cos   

=

⇔ sin x cos x =

2

1

2

 

A −B

= 2 cos2  2  – 1

= 1 – 2(

1

= 2( 2 2 )2 – 1

=1–

2

=2× 4 –1 =1–1=0

(a 2 -- 1)2 2

2

+2×

= –cos 36° + sin 18°

1 2

sin 18°

1

1

= 1 – 2 × 16 (5 – 2 5 + 1)

1

1

1

1

2

3 1

⇔

–2 sin 2 (2x) sin 2 (2 × 3 π) = 2

⇔

–2 sin x sin 3 π = 2

2

1

3

1

3

1

–2 sin x × 2

3 = 2

3 1

⇔

sin x = – 2

⇔

  sin x = sin  − 6 π   

1)

1

1

x = – 6 π + k × 2π 11

1

Oleh karena sin 18° = 4 ( 5 – 1) = 4 5 – 4 maka: cos 36° = 1 – 2 sin 18° = 1 – 2( 4 ( 5 – 1))2

2

⇔

= 2 cos 36° sin (–30°) + 2 cos 60° sin 18°

Trigonometri

a2 − 1 2 ) 2

cos (x + 3 π) – cos (x – 3 π) = 2

1 1 = 2 cos 2 (6° + 66°) sin 2 (6° – 66°) 1 1 + 2 cos 2 (78° + 42°) sin 2 (78° – 42°)

1

a2 − 1 2

15. Jawaban: a

13. Jawaban: b sin 6° – sin 42° – sin 66° + sin 78° = sin 6° – sin 66° + sin 78° – sin 42° = sin 6° – sin 66° + sin 78° – sin 42°

1 (– 2 )

= a2 = a2 = a2 = a2

sin4 x + cos4 x = (sin2 x)2 + (cos2 x)2 = (sin2 x + cos2 x)2 – 2 sin2 x cos2 x = 12 – 2(sin x cos x)2

A − B cos (A – B) = cos  2  

146

1

14. Jawaban: d sin x + cos x = a Kedua ruas dikuadratkan. ⇔ (sin x + cos x)2 2 ⇔ sin x + 2 sin x cos x + cos2 x ⇔ sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x ⇔ 1 + 2 sin x cos x

1

= 2 cos 36° ×

1

1

sin A + sin B = 2 2

⇔

1

=–2

cos  2  = 2

⇔ 2 sin

1

=–4 – 4 5 + 4 5 – 4

sin  2  = 2 A +B

sin 6° – sin 42° – sin 66° + sin 78° = –cos 36° + sin 18° = –( 4 + 4 5 ) + 4 5 – 4

A+B

1 3

tan  2  =

1

= 4 + 4 5

1 3

A +B

⇔

1

2 6

k = 1 → x= 6 π 2)

1

x = (π – (– 6 π)) + k × 2π 7

⇔ x = 6 π + k × 2π 7

k = 0 → x= 6 π 7

11

Jadi, nilai x yang memenuhi 6 π dan 6 π .

3. Jawaban: a. cos θ + cos 2θ + cos 3θ = cos 2θ + cos θ + cos 3θ

B. Uraian 1. a.

2 cos 127,5° cos 97,5° 1

= 2 × 2 [cos (127,5° + 97,5°) + cos (127,5° – 97,5°)] = cos 225° + cos 30° = cos (180 + 45)° + cos 30° = –cos 45° + cos 30° 1

1

1

b.

=–2 2 + 2 3 b.

= cos 5θ + cos 7θ + cos 9θ + cos 3θ

1

= –12 × 2 [sin (82,5° + 37,5°) – sin (82,5° – 37,5°)] = –6(sin 120° – sin 45°) –

=3–3 c.

1 2

2)

4 sin 20° sin 40° sin 80° 4 sin 20° sin 40° sin 80° = 2 (2 sin 20° sin 40°) sin 80° = 2 (cos 20° – cos 60°) sin 80° = 2 cos 20° sin 80° – 2 cos 60° sin 80° = 2 sin 80° cos 20° – 2 cos 60° sin 80° 1

= (sin 100° + sin 60°) – 2 × 2 sin 80° = sin (180° – 80°) + sin 60° – sin 80° = sin 80° +

1 2

3 – sin 80°

=– b.

1 4

=

2 sin 6θ [cos (−θ) + cos 3θ] 2 cos 6θ [cos (−θ) + cos 3θ]

=

sin 6θ cos 6θ

= tan 6θ 4. a.

cos5 θ = cos θ cos θ cos3 θ 1

= 2 (cos 2θ + cos 0) cos 3 θ 1

= 2 (cos 2θ + 1) cos 3 θ 1

= 2 (cos 2θ cos θ + cos θ) cos 2 θ

1 1

(cos 165° + cos 465°)(sin 15° + sin 105°) = (2 cos 315° cos (–150°))(2 sin 60° cos (–45°)) = 2 × 2 cos 315° cos 150° sin 60° cos 45° = 4 × cos (270° + 45°) cos (90° + 60°) sin 60° sin 45° = 4 sin 45°(–sin 60°) sin 60° sin 45° 1 2

2 sin 6θ cos (−θ) + 2 sin 6θ cos 3θ 2 cos 6θ cos (−θ) + 2 cos 6θ cos 3θ

1 1

1

=4×

=

= 2 ( 2 (cos 3θ + cos θ) + cos θ) cos 2 θ

= 2 3 2. a.

sin 3θ + sin 5θ + sin 7θ + sin 9θ cos 3θ + cos 5θ + cos 7θ + cos 9θ sin 5θ + sin 7θ + sin 9θ + sin 3θ

–12 cos 82,5° sin 37,5°

1 = –6(– 2

2 × (– 1 3 ) × 1 3 × 1 2 2

×2×3 =–

2

2

3 2

cos 20° – cos 80° – cos 40° = (cos 20° – cos 80°) – cos 40° = (–2 sin 50° sin (–30°)) – cos 40° = –2 sin 50°(–sin 30°) – cos 40° = 2 sin 50° sin 30° – cos 40° = 2 sin 50° ×

1 2

– cos 40°

= sin 50° – cos 40° = cos 40° – cos 40° =0

1

= cos 2θ + 2 cos 2 (θ + 3θ) cos 2 (θ – 3θ) = cos 2θ + 2 cos 2θ cos (–θ) = cos 2θ + 2 cos 2θ cos θ = cos 2θ (1 + 2 cos θ)

3

= 2 ( 2 cos 3θ + 2 cos θ) cos 2 θ 1

= 4 (cos 3θ + 3 cos θ) cos 2 θ 1

= 4 (cos 3θ cos θ + 3 cos θ cos θ) cos θ 1 1

= 4 ( 2 (cos 4θ + cos 2θ) 1

+ 3 × 2 (cos 2θ + cos 0)) cos θ 1

= 8(cos 4θ + cos 2θ + 3 cos 2θ + 3) cos θ 1

= 8(cos 4θ cos θ + 4 cos 2θ cos θ + 3 cos θ) 1 1

= 8( 2(cos 5θ + cos 3θ) 1

+ 4 × 2 (cos 3θ + cos θ) + 3 cos θ) 1

= 16 (cos 5θ + cos 3θ + 4 cos 3θ + 4 cos θ + 6 cos θ) 1

= 16 (cos 5θ + 5 cos 3θ + 10 cos θ) 1

= 16 (10 cos θ + 5 cos 3θ + cos 5θ) (terbukti) Matematika Kelas XII Peminatan

147

sin5 θ = sin θ sin θ sin3 θ

b.

5. 1)

1 2

= – (cos 2θ – cos 0) sin3 θ 1 2

=

2)

2θ sin θ – sin θ) sin2 θ

1 1

= – ( 2 (sin 3θ – sin θ) – sin θ) sin2 θ 2

A + B + C= 180° ⇔ B + C – 2C = 180° – A – 2C ⇔ B – C = 180° – (A + 2C)

⇔ 2 sin ( 2 ) cos ( 2 ) = 2 sin 2( 2 )

3

1 4 1 – (sin 3θ sin θ – 3 sin θ sin θ) sin θ 4 1 1 1 – (– (cos 4θ – cos 2θ) – 3 × (– ) 4 2 2

3)

B+C

1 8 1 – (–cos 8

B+C

4θ sin θ + cos 2θ sin θ

1 2 1 × (sin 2

1 2

= – (– (sin 5θ – sin 3θ) + (sin 3θ – sin θ) +3 =–

1 (–sin 16

=

5θ + sin 3θ + sin 3θ – sin θ

1 – (–sin 5θ + 5 sin 3θ – 10 sin θ) 16 1 (10 sin θ – 5 sin 3θ + sin 5θ) (terbukti) 16

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30° 2 ×

1 2

3 –

1

= 4 6 – 4 2

1 2

2 ×

1 2

B−C

B+C

B

C

B

C

⇔ cos 2 cos 2 + sin 2 sin 2 B

C

B

C

= 2 (cos 2 cos 2 – sin 2 sin 2 ) B

C

B

C

⇔ sin 2 sin 2 + 2 sin 2 sin 2 B

C

B

C

= 2 cos 2 cos 2 – cos 2 cos 2 B

C

B

C

⇔ 3 sin 2 sin 2 = cos 2 cos 2 sin

⇔

cos

B 2 B 2

C 2 C cos 2

= 3

C

1

sin

B

⇔

1

tan 2 tan 2 = 3 B

C

1

Jadi, nilai tan 2 tan 2 adalah 3 .

2. Jawaban: c tan 15° = tan (60° – 45°) =

tan 60° − tan 45° 1 + tan 60° × tan 45°

=

3 −1 1+ 3 × 1

= =

Trigonometri

B+C

⇔ cos ( 2 ) = 2 cos ( 2 )

3θ – sin θ) – 3 sin θ)

+ 3 sin 3θ – 3 sin θ – 6 sin θ) =

B−C

B+C

+ 3 cos 2θ sin θ – 2 sin θ) 1 8

B+C

= 2 × 2 sin ( 2 ) cos ( 2 )

= – (–cos 4θ + cos 2θ + 3 cos 2θ – 3) sin θ =

B−C

⇔ 2 sin ( 2 ) cos ( 2 )

(cos 2θ – cos 0)) sin θ

148

A

= =

1

B−C 2

⇔

= – (sin 3θ – 3 sin θ) sin2 θ

1 1

=

A

= 90° – 2

= 90° – ( 2 + C) sin B + sin C = 2 sin A ⇔ sin B + sin C = 2 sin (180° – (B + C)) ⇔ sin B + sin C = 2 sin (B + C)

= – ( 2 sin 3θ – sin θ) sin2 θ 2 2

1 2

B+C 2

⇔

= – (cos 2θ – 1) sin3 θ 1 – (cos 2

Jumlah besar sudut segitiga = 180° A + B + C = 180° ⇔ B + C = 180° – A

3 −1 3 +1

×

3−2 3 +1 3 −1

3 −1 3 −1

=

4−2 3 2

=2–

3

3. Jawaban: c

5

4

cos α = 13 sin β = 5 sin λ = sin (180° – (α + β)) = sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

5 1 5 1 8 (sin 12 π sin 12 π + cos 12 π cos 12 π) 5 1 5 1 = 8 (cos 12 π cos 12 π + sin 12 π sin 12 π) 5 1 = 8 (cos ( 12 π – 12 π)) 4 = 8 (cos ( 12 π)) 1 = 8 (cos ( 3 π)) 1 =8× 2 =4

12

3

5

36

20

= – 65 + 65 =–

16 65

7. Jawaban: e π

α–β= 3

4. Jawaban: d 4

7

sin A = 5

25

A

4

B

7

24

3

cos α cos β + sin α sin β = 2

⇔

cos α cos β + 4 = 2

1

24

1

= 4 – 4 =0 8. Jawaban: c

3

7

sin (α – β) = 5

= 5 × (– 25 ) + 5 × 25 72

28

44

⇔

= – 125 + 125 = – 125

⇔

5. Jawaban: e 1

tan α – tan β = 3

3

sin α cos β – cos α sin β = 5 1 5

3

– cos α sin β = 5 2

⇔

sin α cos α

1 1

1

B sudut tumpul (kuadran II) maka cos B = – 25 . cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B 4

1

⇔

cos α cos β = 4 cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

A sudut lancip (kuadran I) maka cos A = 5 .

24

cos (α – β) = cos 3

⇔

3

3

π

⇔

sin B = 25

5

4

= 13 × (– 5 ) + 13 × 5

–cos α sin β = 5

sin β

1

⇔

⇔

sin α cos β − sin β cos α cos α cos β

= 3

1

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

⇔

sin α cos β − cos α sin β

⇔

– cos β = 3

1

=

⇔ sin α cos β – cos α sin β =

1 3

⇔

16

1

=–5

48 65

×

sin (α – β) = 65

6. Jawaban: b 12

sin α = 13 (α lancip)

3

cos β = – 5 (β tumpul)

5

12

13

2

= 5 – 5

1 3

48 65

2

cos α sin β = – 5

4

9. Jawaban: e cos x = a cos 2x = 2 cos2 x – 1 = 2a2 – 1 cos 4x = 2 cos2 2x – 1 = 2(2a2 – 1)2 – 1 = 2(4a4 – 4a2 + 1) – 1 = 8a4 – 8a2 + 2 – 1 = 8a4 – 8a2 + 1

β 3

α 5


149

10. Jawaban: c sin2 62° – cos2 62° = –(cos2 62° – sin2 62°) = –(cos (2 × 62°)) = –(cos 124°) = –(–0,6) = 0,6

14. Jawaban: e 1

sin α = 3 p=

11. Jawaban: e Diketahui sin 3° = p.

2

= –(( 1 − p

1− p

=

)2

–

1

p

3°

3

(sin α + cos α)2 = ( 4 )2 9

sin2 α + 2 sin α cos α + cos2 α = 16

⇔

1 + 2 sin α cos α =

⇔

2 sin α cos α =

⇔

sin 2α =

9 16 7 – 16 7 – 16

13. Jawaban: d cos 2α = 2 cos2 α – 1 cos 2α + 1 2

Oleh karena 157,5° berada di kuadran II maka cos 157,5° bertanda negatif. ⇔ cos 157,5° = – =– =–

150

Trigonometri

α

p

1 –2

cos 315° + 1 2 1 2

sudut lancip. Akibatnya, cos 2 α pasti berupa bilangan positif.

2+2 4

2+ 2

1+

=

2 3

2

=

5 6

=

5 6

×

6 6

1

= 6

30

15. Jawaban: d 2 cos2 θ = 1 + 2 sin 2θ ⇔ 2 cos2 θ – 1 = 2 sin 2θ ⇔ cos 2θ = 2 sin 2θ 1

⇔

5

1

2θ

tan 2θ = 2 2 Oleh karena 2θ sudut lancip maka diperoleh sin 2θ =

1 5

dan cos 2θ =

2 . 5

Oleh karena 2θ sudut lancip maka θ juga sudut lancip sehingga tan θ bernilai positif. tan θ =

=

1 − cos 2θ 1 + cos 2θ 1− 1+

2 5 2 5

5 −2

=

5 5+2 5

=

2 +1 2

1 + cos α 2

1

cos 2 α =

1 − p2

p2)

3

=

4 =2

1

sin α + cos α = 4

cos α = ±

=

1

12. Jawaban: b

⇔

9−5

5

α adalah sudut lancip sehingga 2 α juga berupa

2

= –(1 – p2 – p2) = –(1 – 2p2) = 2p2 – 1 Jadi, nilai sin 276° = 2p2 – 1.

⇔

=

3

2

sin 276° = sin (270° + 6°) = –cos 6° = –cos (2 × 3°) = –(cos2 3° – sin2 3°)

⇔

32 − ( 5)2

cos α = 3 1 − p2 1

Diperoleh cos 3° =

5 sehingga:

5 −2 5 −2 × 5+2 5 −2

=

( 5 − 2)2 5−4

=

( 5 − 2)2

Jadi, nilai tan θ =

=

5 –2

5 – 2.

tan 2A + tan B

16. Jawaban: d

tan (2A + B) = 1− tan 2A tan B cos θ 1 − sin θ

⇔ ⇔

1 1 θ − sin2 θ 2 2 1 1 sin2 θ − 2 sin θ 2 2

cos2 cos2

1 θ 2

(cos (cos

+

1 θ+ 2 1 θ− 2

sin sin

1 θ)(cos 2 1 θ)(cos 2

1 2 1 θ 2

1 θ− 2 1 θ− 2

cos

− sin

sin sin

×

1 2

cos θ 1

1

1 − tan 2 θ

⇔ ⇔

=a

=a

= –3(– 1 2 ) = 3 2

=a

2

cos 50° + cos 40° sin 50° + sin 40°

1

=

=a–1

=

a −1

1

tan 2 θ = a + 1

⇔

17. Jawaban: a Eliminasi tan A dari kedua persamaan: 2 tan A + tan B = 4 × 1 2 tan A + tan B = 4 17 tan A – 3 tan B = – 2

2

19. Jawaban: a

a tan 2 θ + tan 2 θ = a – 1 (a + 1) tan

13

– 9

18. Jawaban: a 6 sin 112,5° sin 22,5° = –3(cos 135° – cos 90°) = –3(cos (90 + 45°) – 0) = –3(–sin 45°)

1

1 θ 2

4

13

1 + tan 2 θ = a – a tan 2 θ 1

+3

1− 3 × 3

= −33

1 2

1

⇔

4 3

=a

cos θ

1

1 + tan 2 θ

⇔

1 θ) 2 1 θ) 2

=

1

1 2 1 θ 2

cos θ + sin θ

⇔

1 2

cos θ

=a

× 2 2 tan A – 6 tan B = –17 ––––––––––––––––– – 7 tan B = 21 ⇔ tan B = 3

=

1 2 1 (50° 2

1 2 1 (50° 2

2 cos (50° + 40°) cos (50° − 40°) 2 sin

+ 40°) cos

2 cos 45° cos 5° 2 sin 45° cos 5° 1 2 cos 45° sin 45°

=

2 1 2

2

− 40°)

=1

20. Jawaban: e cos 195° – sin 15° = cos (270° – 75°) – sin 15° = –sin 75° – sin 15° = –(sin 75° + sin 15°) = –(2 sin 45° cos 30°) 1

1

Substitusikan nilai tan B = 3.

= –2 × 2 2 + 2 3

2 tan A + tan B = 4 ⇒ 2 tan A + 3 = 4 ⇔ 2 tan A = 1

=–

⇔ tan 2A =

2 tan A 1− tan2 A

1

tan A = 2

1 2

6

21. Jawaban: a 4

Diketahui tan x = 3 .

1

= = =

2× 2

1−  1   2

1 1

1− 4 1 3 4

4

= 3

3

2

4

Oleh karena x lancip maka cos x = 5 dan sin x = 5 . cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x = 2(2 cos2 x – 1) cos x = 4 cos3 x – 2 cos x 3

3

27

6

= 4( 5 )3 – 2( 5 ) = 4( 125 ) – ( 5 ) 42

= – 125


151

22. Jawaban: b ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

1

⇔ 1)

25. Jawaban: c

cos 4x + 3 sin 2x = –1 (1 – 2 sin2 2x) + 3 sin 2x = –1 2 sin2 2x – 3 sin 2x – 2 = 0 (2 sin 2x + 1)(sin 2x – 2) = 0 2 sin 2x + 1 = 0 atau sin 2x – 2 = 0

Diketahui α + β = 90° maka sin α = sin (90° – β) = cos β dan cos α = cos (90° – β) = sin β. cos 2α − cos 2β sin 2α

← (tidak memenuhi)

sin 2x = – 2 atau

sin 2x = 2

1

=

sin 2x = – 2

1

sin 2x = – 2

⇔ sin 2x = (180° – 210°) + k × 360° ⇔ 2x = –30° + k × 360° ⇔ x = –15° + k × 180° k = 1 ⇒ x = 165° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {105°, 165°}. 23. Jawaban: b sin C =

5 6

sin (A + B) =

−1(sin α cos β − cos α sin β) sin α cos α

=

− sin α cos β sin α cos α

=

− cos β cos α

+

sin β sin α

=

− sin α cos α

+

sin β cos β

+

cos α sin β sin α cos α

= – tan α + tan β = tan β – tan α 26. Jawaban: b

2 sin 6x sin 3x − sin 6x

= 2 cos 6x sin 3x − cos 6x

1

= 2(6 + 2)

sin 6x (2 sin 3x − 1)

sin 6x

= cos 6x (2 sin 3x − 1) = cos 6x = tan 6x

8

= 2 × 6

27. Jawaban: d

2 3

π

π

2 cos (x + 4 ) = cos (x – 4 )

24. Jawaban: d

π

π

π

π

⇔ 2(cos x cos 4 – sin x sin 4 ) 1 (A 2

5

= cos x cos 4 + sin x sin 4

– B) 2

3 + B)

π

1

3

1

1

1

4

1

⇔ 1

cos 2 (A – B) = 2 3 maka sin 2 (A – B) = 2 1

1

cos A – cos B = –2 sin 2 (A + B) sin 2 (A – B) = –2 ×

Trigonometri

×

1 2

=

π

π

π

π

= sin x sin 4 + 2 sin x sin 4

cos 2 (A + B) = maka sin 2 (A + B) = 5 5

4 5

π

⇔ 2 cos x cos 4 – cos x cos 4

1 3

4

152

=

−2 sin 6x sin (−3x) − sin 6x

1

1 (A 2

sin 90° sin (α − β) sin α cos α

= 2 cos 6x sin 3x − cos 6x

sin A cos B = 2 (sin (A + B) + sin (A – B))

=

−2 sin (α + β) sin (α − β) 2 sin α cos α

cos 3x − cos 9x − sin 6x

1

1

(2α − 2β)

2 sin α cos α

= sin 9x − sin 3x − cos 6x

5 6

sin (A – B) = sin 30° = 2

1 5

1 2

cos 3x − sin 6x − cos 9x sin 9x − cos 6x − sin 3x

5 6

⇔ sin (180° – (A + B)) = ⇔

1 2

−2 sin (2α + 2β) sin

=–

⇔ sin 2x = sin 210° ⇔ 2x = 210° + k × 360° ⇔ x = 105° + k × 180° k = 0 ⇒ x = 105° 2)

=

4 –5

cos x cos 4 = 3 sin x sin 4

⇔ cos x × ⇔

1 2

3 = 3 sin x × 1 3

3 sin x = cos x

⇔

sin x cos x

⇔

tan x = 3

1

= 3

1

2

28. Jawaban: a cos 2x – 2 cos x = –1 ⇔ 2 cos2 x – 1 – 2 cos x = –1 ⇔ 2 cos2 x – 2 cos x = 0 ⇔ 2 cos x (cos x – 1) = 0 ⇔ 2 cos x = 0 atau cos x – 1 = 0 Untuk 2 cos x = 0 diperoleh nilai x berikut. 2 cos x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔

cos x = cos x=±

π 2

π 2

+ k2π

Untuk k = 0 diperoleh: x=

2)

1

⇔ x = (π – (– 6 π) + k × 2π 7

⇔ x = 6 π + k × 2π 7

k = 0 → x = 6π 7

30. Jawaban: d cos 4x + cos 2x = 0 ⇔ 2 cos 3x cos x = 0 ⇔ cos 3x = 0 atau cos x = 0 a.

3 2

Untuk cos 3x = 0 π

cos 3x = 0 ⇔ cos 3x = cos 2

Untuk k = 1 diperoleh:

=

π 2

1)

+ 2π

π

3x = 2 + k × 2π π

2

⇔ x= 6 +k× 3π

π

1

k=0 →x = 6π

Untuk cos x – 1 = 0 diperoleh nilai x berikut. cos x – 1 = 0 ⇔ cos x = 1 ⇔ cos x = cos 0 ⇔ x = ± 0 + k2π Untuk k = 0 ⇒ x = 0 Untuk k = 1 ⇒ x = 2π Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {0,

1 2

3 2

π,

4

⇔

5

k=1→x= 6π 3

k=2→x= 2π 2)

π

3x = – 2 + k × 2π π

2

⇔ x=–6 +k× 3π 3

k = 1 → x = 6π

π, 2π}.

7

k=2→x= 6π

29. Jawaban: a 3 cos 2x + 5 sin x + 1 = 0 ⇔ 3(1 – 2 sin2 x) + 5 sin x + 1 = 0 ⇔ 3 – 6 sin2 x + 5 sin x + 1 = 0 ⇔ –6 sin2 x + 5 sin x + 4 = 0 ⇔ (–3 sin x + 4)(2 sin x + 1) = 0

11

b.

k=3→x= 6 π Untuk cos x = 0 π

cos x = 0 ⇔ cos x = cos 2 1) 1

π

x = 2 + k × 2π π

sin x = – 3 atau sin x = – 2

k=0→x= 2

Tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan 2)

4

sin x = – 3 karena batas nilai minimum sin x adalah –1. 1)

11

Jadi, himpunan penyelesaiannya { 6 π, 6 π}.

π 2

x=–

1

sin x = – 2

π

x = – 2 + k × 2π 9

1

k=1 →x = 6π

sin x = – 2

1

⇔ sin x = sin ( – 6 π) 1

x = – 6 π + k × 2π

1

3

5

Jadi, himpunan penyelesaiannya { 6 π, 6 π, 6 π, 7 6

9

11

π, 6 π, 6 π}.

11

k=1→x= 6 π


153

B. Uraian 1. a.

3. a.

sin (200° + a) cos (20° – a) – cos (200° + a) sin (20° – a) = sin ((200° + a) – (20° – a)) = sin (180° + 2a) = –sin 2a

b.

cos (200° – a) cos (70° – a) – sin (200° – a) sin (70° – a) = cos ((200° – a) + (70° – a)) = cos (270° – 2a) = –sin 2a

cos 67° cos 22° + sin 67° sin 22° sin 130° cos 110° + cos 130° sin 110° cos (67° − 22°)

= sin (130° + 110°) cos 45°

= sin 240° =

1 2 1 −2

=

2 − 3

2 3

1

=–3 b.

4. a.

25

(tan 187,5° + tan 52,5°)(tan 187,5° − tan 52,5°)

= (1 − tan 187,5 tan 52,5°)(1 + tan 187,5° tan 52,5°) = tan (187,5° + 52,5°) tan (187,5° – 52,5°) = tan 240° tan 135°

7

90° < θ < 135° ⇔ 180° < 2θ < 270° Oleh karena 180° < 2θ < 270° maka tan 2θ bernilai positif, sin 2θ bernilai negatif, dan cos 2θ bernilai negatif.

3 (–1)

2. Tentukan nilai bentuk trigonometri berikut. a.

cos 15° − cos 75° sin 195° + sin 75°

b.

sin 105° − sin 15° cos 255° + cos 165°

24

sin 4θ = 2 sin 2θ cos 2θ 24

336

= 625 cos 4θ = 2 cos2 2θ – 1

−2 sin 45° sin (−30°)

= 2 sin 135° cos 60°

b.

2×

1 2 1 2

2× 2×

2 cos 60° sin 45° 2 cos 210° cos 45°

=

2 cos 60° sin 45° 2(− cos 30°) cos 45°

=

2× 2 × 2 × (−

1 2

1 − 3

=–

1 2

3) ×

1 3

Trigonometri

98

= 625 – 1 527

=1

=

1

154

1 2 1 2

sin 105° − sin 15° cos 255° + cos 165°

=

7

= 2(– 25 )2 – 1

2 sin 45° sin 30° 2 cos 45° cos 60° 2×

7

= 2 × (– 25 ) × (– 25 )

cos 15° − cos 75° sin 195° + sin 75°

=

7

Diperoleh sin 2θ = – 25 dan cos 2θ = – 25

Jawaban:

=

24

2θ

=– 3

a.

24

6

tan2 187,5° − tan2 52,5° 1 − (tan 187,5 tan 52,5°)2

=

3

tan 2θ = 3 7 = 7

3

b.

Oleh karena 90° < θ < 135° maka sin θ bernilai positif, cos θ bernilai negatif, dan tan θ bernilai negatif. 1 − cos 2θ 2

sin θ =

7

1 − (− 25 )

=

2 1 2

= – 625

2

2

16 25

= 4

= 5

cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y

1 + cos 2θ 2

cos θ = –

5

7

1 + (− 25 )

=–

40

9 25

72

32

3

16

b.

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y 12

5. a.

tan x =

6

= – 130 = – 65

=–5 12 5

12

= 130 – 130

2

=

8

= 13 × 10 – 13 × 10

8

5

6

= 13 × 10 + 13 × 10

sehingga:

96

30

= 130 + 130 126

= 130 p

63

= 65

12

122 + 52

=

144 + 25

=

169

= 13 sin x = cos x = sin y =

12 13 5 13 6 10

sinA

⇔

sehingga:

p=

102 − 62

=

100 − 36

=

64 = 8

tan B = 2 1

tan B = 2 ⇔ cotan B = 2 7 tan A = 2 cotan B 6

p

b.

1

⇔ 7 tan A = 2( 2 ) ⇔

1

tan A = 7

tanA + tan B

tan (A + B) = 1 − tanA tan B =

8

cos y = 10 6

tan y = 8

cos B

14 cos A = 4 sin B 7 tan A = 2 cotan B (dapat ditunjukkan)

⇔

10

= 5

⇔ 5 cos (A – B) = 9 cos (A + B) ⇔ 5(cos A cos B + sin A sin B) = 9(cos A cos B – sin A sin B) ⇔ 5 cos A cos B + 5 sin A sin B = 9 cos A cos B – 9 sin A sin B ⇔ 14 sin A sin B = 4 cos A cos B

5

p=

9

cos (A − B) cos (A + B)

6. a.

=

1 7

+2 1

1− 7 × 2 15 7 5 7

=3


155

7.

A + B + C = 180° ⇔ A + B = 180° – C ⇔ C = 180° – (A + B) sin 2A + sin 2B + sin 2C = (sin 2A + sin 2B) + sin 2C = 2 sin (A + B) cos (A – B) + 2 sin C cos C = 2 sin (180° – C) cos (A – B) + 2 sin C cos C = 2 sin C cos (A – B) + 2 sin C cos C = 2 sin C (cos (A – B) + cos C) = 2 sin C (cos (A – B) + cos (180° – (A + B))) = 2 sin C (cos (A – B) – cos (A + B)) = 2 sin C (–2 sin A sin (–B)) = 2 sin C (2 sin A sin B) = 4 sin A sin B sin C (terbukti)

8.

b.

tan (180° – 2α) = –tan 2α =

−2 tan α 1 − tan2 α

( ) 1− ( ) 12 5

−2

=

=

2

12 5

24 5 −119 25 −

24

25

= 5 × 119 120

= 119 9. cos 2x = 2 cos2 x – 1 3

cos 2x + 1 2

cos x = – 13 cm

13 cm

=–

α A

=–

α 5 cm

CD =

D

5 cm

B

132 − 52

=

144

a

12

sin α = 13

1

x a

5

cos α = 13 12

sin x

tan x = cos x = 180° = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 2α

sin C = sin (180° – 2α) = sin (2α) = 2 sin α cos α 5

= 2 ( 13 )( 13 ) 120

= 169

156

1 a +1

sin x =

12

Trigonometri

a − 1+ a + 1 2(a + 1)

= – a +1

a +1

tan α = 5 ∠A + ∠B + ∠C ⇔ ∠C ⇔ ∠C ⇔ ∠C

2

a

AC2 − AD2

=

a −1 +1 a +1

= – a +1

= 12 cm

a.

3

Oleh karena 2 π < 2x < 2π ⇔ 4 π< x < π maka cos x bernilai negatif.

C

1

=

a +1 −

=– =–

a a +1

1 a

1 a

a

10. a.

cos 2x – sin x = 0 ⇔ (1 – 2 sin2 x) – sin x = 0 ⇔ 2 sin2 x + sin x – 1 = 0 ⇔ (2 sin x – 1)(sin x + 1) = 0 ⇔

sin x =

1 2

b. ⇔ ⇔

atau sin x = –1

⇔

Pada interval 0 ≤ x ≤ 2π: sin x =

1 2

berlaku untuk x =

π 6

cos (75° – x) – cos (15° – x) = 0

dan x =

5π 6

3π

sin x = –1 berlaku untuk x = 2

π

5π

3π

Jadi, himpunan penyelesaiannya { 6 , 6 , 2 }.

⇔ ⇔

1

1

–2 sin 2 (90° – 2x) sin 2 (60°) = 0 –2 sin (45° – x) sin 30° = 0 1

–2 sin (45° – x) × 2 = 0 sin (45° – x) = 0 sin (45° – x) = sin 0°

45° – x = 0° + k × 360° ⇔ –x = –45° + k × 360° ⇔ x = 45° – k × 360° k = 0 → x = 45° 45° – x = 180° + k × 360° ⇔ –x = 135° + k × 360° ⇔ x = –135° – k × 360° k = –1 → x = 225° Jadi, himpunan penyelesaiannya {45°, 225°}.


157

A. Pilihlan Ganda 1. Jawaban: e ΔPQR siku-siku di Q. W

V

T

U

12 cm

A 12 cm

Q

=

122 + 122

=

2 × 122

= 12 2 cm

16 + 16

=

32 = 4 2 cm

1

= 2 × 12 2

=

(6 2) + 12

=

216

82 − (2 2)2

=

64 − 8

=

56 = 2 14 cm

1 2

D

O

B

1

1

× 4 2 × 2 14 = 2 × 8 × BE BE =

4 2 × 2 14 8

=

28 = 2 7 cm

Jadi, jarak titik B ke rusuk TD adalah 2 7 cm. EP =

2

= 6 6 cm Jadi, jarak titik A dengan titik V adalah 6 6 cm. 2. Jawaban: a T

E C

4 cm

BT 2 − OB2

3. Jawaban: d

AR2 + VR2

Oleh karena BE tegak lurus dengan DT maka BE merupakan jarak titik B ke garis AT.

4 cm

O

T

⇔

= 6 2 cm Jarak titik A ke titik V adalah AV. ΔARV siku-siku di R.

D

B

4 cm

= 2 2 cm

=

⇔

2

4 2 2

4 cm

A

1

1

158

=

4 cm

Luas ΔBTD = 2 × BD × OT = 2 × DT × BE

AR = 2 PR

A

42 + 42

OT =

PQ 2 + QR2

PR =

AV =

=

DO = OB = 2 = BT = AT = 8 cm Perhatikan ΔTOB.

R

C

D

AB2 + AD2

BD

S P

BD =

B


EF2 + FP2

H

=

( 3a )2 + ( 3 a)2 2

=

9a2 +

= EQ =

45 2 a 4

1 EH 2

=

3

A

3 a 2

=

( 2 a)2 + ( 2

=

9a2 4

3a

+

P

45 2 a 4

5)2 3

= 2a 6 3

C

D

= 2a 5

EQ2 + EP2 3

F

E

9 2 a 4

PQ =

G

Q

Jadi, panjang PQ = 2 a 6 .

B

6. Jawaban: a

4. Jawaban: b T

H F

E

8

E

G

6 cm P

A

C 8

4

B

D

A

TC2 − CD2

BE =

=

82 − 42

=

64 − 16 = 4 3 cm

=

AD = TD = 4 3 cm

=

Misalkan TE = x, maka DE = 4 3 – x. AE2 = AD2 – DE2 = AT2 – TE2

1 2

⇔ 48 – 48 + 8 3 x – x2 = 64 – x2 ⇔ ⇔ ⇔

8 3 x = 64

⇔

x=

AE =

AT 2 − TE2

=

82 − 3 3

=

64 −

=

128 3

=

(

8 2 3

8

64 8 3

=

8 3

AB2 + AE2

3 cm

P 6 cm

64 + 36

1

48

24

AP = 10 = 5 cm

Jadi, jarak titik A ke bidang BCHE adalah 5 cm. 7. Jawaban: c

64 3

H

G F

E

H

8

= 3 6 cm

5. Jawaban: b Proyeksi dari garis AH ke bidang ACGE adalah AO.

(

=

a2 +

1 2 a 2

=

3a2 2

1 a 2

=

1 a 2

2

H

G O

E

AE2 + EO 2 a2 +

B

8 cm

× AB × AE = 2 × BE × AP AB × AE = BE × AP 8 × 6 = 10 × AP 48 = 10 × AP

8

=

A

24

2

Jadi, jarak titik A ke bidang TBC adalah 3 6 cm.

AO =

E

82 + 62

⇔

)

B

= 100 = 10 cm Luas segitiga ABE:

⇔ (4 3 )2 – (4 3 – x)2 = 82 – x2 ⇔

11 cm 8 cm

Berdasarkan gambar di atas, jarak titik A ke bidang BCHE ditunjukkan oleh garis AP. Perhatikan segitiga ABE.

Jarak titik A ke bidang TBC sama dengan jarak titik A ke garis TD, yaitu panjang AE. TD =

C

D

4

)

F

2

C

D A

a cm

B

6 cm

Jadi, panjang proyeksi AH pada bidang ACGE

C

D A

15 cm

B

A

G

P

Jarak titik H ke garis AG sama dengan panjang ruas garis PH. GH merupakan rusuk kubus, panjang GH = 15 cm. AH merupakan diagonal sisi, panjang AH = 15 2 cm. AG merupakan diagonal ruang, panjang AG = 15 3 cm. Segitiga AGH siku-siku di H.

1

adalah 2 a 6 cm. Matematika Kelas XII

159

=

15 2 × 15 15 3

=

15 2 3

15

= 3

×

3 3

=

5 2 a 4

=

1 a 2

2

2

H

2

=

12 + 9

=

144 + 81

=

225

F

20 cm

D 12 cm T α

TC2 + CG2 2

= G

E

= 15 cm GT =

5 cm

⇔ cos α =

8. Jawaban: a Sudut antara GT dan ABCD adalah ∠GTC. CD + DT

a

A

B

KI2 + KJ2 − IJ2 2 × KI × KJ 5 2 a 4

3a 2 = 10 a 2 3 = cm 10 1 Diperoleh sin α = 10

AB

225 + 400

=

625

=

62 − 32

= 25 cm

=

36 − 9

CD =

3

TD = H E

I

α

=

T

AC2 − AD2 9 cm

FG A

2

KL + LI 1 2

a2 + ( a)2

K

D O

B

6 cm

C

AT 2 − AD2

=

92 − 3 2

=

81 − 9

cos ∠TDC =

B

= = = =


A

= 72 = 6 2 cm Sudut antara bidang TAB dan bidang ABC adalah sudut TDC. C

D

= 2a Perhatikan ΔILK siku-siku di L. KI =

G

J F

L

Panjang KJ = BG = a 2

2

1

= 10 10

= 27 = 3 3 cm Perhatikan ΔADT.

3 . 5

9. Jawaban: a Sudut yang dibentuk oleh garis BG dan bidang ABI adalah ∠IKJ.

1

3

AD = 2 = 2 = 3 cm

15

1

α

6

=

Panjang IJ =

10

10. Jawaban: d

15 + 20

1 2

4

5×a 2

1

cos α = GT = 25 = 5

160

+ 2a2 − 1 a2

2 × 1a 2

=

Jadi, nilai cos α =

α


C 18 cm

2

TC

2

1

Jadi, jarak H ke diagonal ruang AG adalah 5 6 cm.

TC =

J

K KI = 2 a 5 cm Pada ΔIKJ berlaku aturan kosinus: IJ2 = KI2 + KJ2 + 2 × KI × KJ cos α

6

=5 6

2

1 a 2

I 5

AH × GH AG

a2 + a2 a

⇔ PH =

1 4

=

1

1

2

1

LΔAGH = 2 × AG × PH = 2 × AH × GH

CD2 + TD2 − CT 2 2 × CD × TD

(3 3)2 + (6 2)2 − 92 2×3 3 ×6 2 27 + 72 − 81 36 6 1 2 6

1 12

× 6 =

=

6 6 6 12

18 36 6

6 12

Oleh karena cos ∠TDC =

1 12

C

138 12

maka sin ∠TDC = =

138 .

12

D

138 .

11. Jawaban: b Sudut antara bidang BDG dan BDE seperti pada gambar yaitu α. Perhatikan segitiga EOG.

α

6

=

42 + 42

=

16 + 16

=

32

H

=

82 + (2 2)2

=

64 + 8

=

72

α

C

O

4 cm

4 cm

A

4 2 G

α O

=

1 3

2 6

3.

G E F

D

.

P F

C

B

Sudut antara bidang ABCD dan BCHE adalah ∠ABE = α. Misal: EA = a EA

EA tan α

=

a 1 2

= 2a

⇔ a2 + (2a)2 = (2 10)2 ⇔ a2 + 4a2 = 40 ⇔ 5a2 = 40 ⇔ a2 = 8 ⇔

D

α 2a

A

B

EA2 + AB2 = EB2 G

2 10

a

C

α

A

tan α = AB ⇔ AB =

H

a=2 2

Jarak E ke bidang ABCD = panjang EA = a = 2 2 . Jadi, jarak E ke bidang ABCD adalah 2 2 cm.

Q a

1 a 2 1 a 2

E

6 2

12. Jawaban: c

A

=

H

6 2

144 7 9

α

sin α = AP

13. Jawaban: b

Jadi, nilai cosinus sudut antara bidang BDG dan

E

1

B

E

72 + 72 − 32 2×6 2 ×6 2

BDE adalah

3 2 a 2

= 2 a 6 Segitiga APQ siku-siku di Q.

1 3

EO 2 + OG2 − EG2 2 × EO × OG

7 9

=

2

1

= 112 =

2 a 2 + ( a 2)

= 3 3 Jadi, nilai sinus sudut antara AP dan BDHF adalah

OG = EO = 6 2 cm

=

1

=

F

= 6 2 cm

cos α =

AE2 + EP2

AQ

= 4 2 cm AE2 + AO2

1

1

G

E

D

EO =

1

AP =

AB2 + BC2

EG = AC =

AC merupakan diagonal sisi, maka AC = a 2

AE = a dan EP = AQ = 2 a 2

T

8 cm

adalah

138

AQ = 2 AC = 2 a 2

Jadi, sinus sudut antara bidang TAB dan bidang ABC 1 12

Proyeksi garis AP pada bidang BDHF adalah garis PQ, sehingga sudut antara AP dengan BDHF adalah ∠APQ = α. Misalkan panjang rusuk kubus = a

B Matematika Kelas XII

161

14. Jawaban: c AC = diagonal alas AC =

2

AB2 + AD2

BD =

2

AB + BC

G

2

82 + 82

=

2

=

(6 2) + (6 2)

=

72 + 72

=

TA = TB = TC = TD = 8 cm

T

D F

144

H

A

α

I

O

1

2

B 6

E 6 2 cm

= 12 cm

= 8 2 cm

C cm

cos α = =

1

Oleh karena AE = 2 AB dan TG = 2 CT, maka dengan proyeksi diperoleh:

1

1

1

1

= 2 × 18 = 9 cm 2

HI + IG 62 + 92

=

36 + 81 =

G

117 cm

11

7

=

cm

HG =

HI

cos α = HG =

6

H

6

=

17. Jawaban: c

I

12

C

D A

1

E

B

3 ) = 4 × 2 × 8 × TE + 8 × 8

64 3 16

3

A

5

cos B = – 13

sin A = 5

12

3

sin B = 13

cos A = 5

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B 3

5

4

48

= − 65 + 65 33

TE2 + EB2

= 65

(4 3)2 + 42

Jadi, nilai cos (A – B) = 65 .


12

= 5 × (− 13 ) + 5 × 13 15

=4 3

B

5

4

α

13

5

4

= 8 cm 162

6 cm

T

⇔ 64 + 64 3 = 16 TE + 64

TB =

α

2

117 .

15. Jawaban: c Sudut antara garis TB dan bidang ABCD adalah ∠TBD = α. AB = BC = CD = AD = 8 cm Luas permukaan limas: Llimas = 4 × LΔTAB + LABCD

⇔ TE =

1

117

Jadi, nilai cos α = 117

⇔ 64(1 +

9 cm

16. Jawaban: c cos α cos β – sin α sin β = cos (α + β) 2 cos 23,5° cos 21,5° – 2 sin 23,5° sin 21,5° = 2(cos 23,5° cos 21,5° – sin 23,5° sin 21,5° ) = 2 cos (23,5° + 21,5°) = 2 cos 45° =2× 2 2 =

6 117

= 117

2 2

= 2 2 ⇔ α = 45° Jadi, besar sudut antara garis TB dan bidang ABCD adalah 45°.

Diketahui CG = 2 CT, maka GI = 2 TO

2

82 + (8 2)2 − 82 2×8×8 2

=

12

AH = HO = OI = IC = 4 = 3 cm Sehingga panjang HI = 6 cm

TB2 + BD2 − TD2 2 × TB × BD

33

18. Jawaban: a

Jumlah besar sudut segitiga = 180° ⇔ A + B + C = 180° ⇔ C = 180° – (A + B) tan C = tan (180° – (A + B)) = –tan (A + B)

D 7 C 25

tan A + tan B

= – 1 − tan A tan B

15

A

y° x° B

=–

15 5 + (− 12 ) 8 15 5 1 − 8 × (− 12 )

=–

45 − 10 24 75 1 + 96

=–

35 24 25 1+ 32

=–

35 32 × 24 57

Perhatikan ΔABC siku-siku di B.

AC2 − BC2

AB =

252 − 152

= =

625 − 225

=

400 = 20

Perhatikan ΔACD siku-siku di D. 2

AD =

140

= – 171

2

AC − CD

=

252 − 72

=

625 − 49

=

20. Jawaban: e p =

576 = 24

sin x° = cos x° = sin y° = cos y° =

BC AC

=

AB AC CD AC

= =

AD AC

=

15 25

3 5

=

20 25

=

9 +1

=

10

=

72 125

=

100 125

3

1 10 3 10 1 10

=2×

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y ×

=

1

sin 2x = 2 sin x cos x

24 25

=

p x

=

3 p

cos x =

7 25

3 5

1 p

sin x =

4 5

=

32 + 12

24 25

+

+

28 125

=

4 5

4 5

×

3 10

×

6

= 10

7 25

3

= 5 21. Jawaban: d

Jadi, nilai sin (x + y)° =

1 + cos 2x 1 − cos 2x

4 . 5

19. Jawaban: c

=

1 + (2 cos2 x − 1) 1 − (1 − 2 sin2 x)

=

2 cos2 x 2 sin2 x

= cotan2 x 17

22. Jawaban: c cos 52,5° sin 7,5°

15 5

A

B

12

8

tan A =

13

15 8

tan B =

5 – 12

=

1 (sin 2

(52,5° + 7,5°) – sin (52,5° – 7,5°))

=

1 (sin 2

60° – sin 45°)

=

1 1 ( 2 2

3 –

1 2

2)=

1 4

( 3 –

2)


163

28. Jawaban: d

23. Jawaban: a

cos 130° – cos 110° = p

cos 75° – cos 15° sin 75° – sin 15°

= =

–2 sin 2 cos

⇔ –2 sin (

1 (75° + 15°) 2 1 (75 ° + 15°) 2

sin sin

1 (75° – 15°) 2 1 (75 ° – 15°) 2

–2 sin 45° sin 30° 2 cos 45° sin 30°

= − sin 45° 1

–2 2 1 2

2

2

⇔

–2 sin 120° sin 10° = p

⇔

–2 × 2 3 × sin 10° = p

⇔

– 3 sin 10° = p

1

2(cos θ + sin θ) sin 2θ + cos 2θ + 1

=

2(sin θ + cos θ) 2 cos θ (sin θ + cos θ) 1 = sec θ cos θ

=

1

1

= 2 (sin (180° – C) + sin (A – B)) 1

= 2 (sin C + sin 30°) 1

5

1

8

1

= 2 (6 + 2) = 2 (6) 8

2

= 12 = 3 26. Jawaban: e 1

1

2 sin 2 (3A + A) cos 2 (3A − A) 1 2

1

−2 sin (3A + A) sin 2 (3A − A) 2 sin 2A cos A −2 sin 2A sin A

= –cotan A

27. Jawaban: b 2π

A +B 2

= 3π

4π

A −B 2

= 3π

A+B= 3 ⇔ A–B= 3 ⇔

p2 3

=1–2×(

sin A cos B = 2 (sin (A + B) + sin (A – B))

=

−p 2 ) 3

2(cos θ + sin θ) 2 sin θ cos θ + 2 cos 2 θ − 1 + 1

25. Jawaban: d Jumlah besar sudut segitiga = 180° ⇔ A + B + C = 180° ⇔ A + B = 180° – C

=

=1–2×( =

=

sin 3A + sin A cos 3A − cos A

sin 10° =

−p 3

cos 20° = 1 – 2 sin210°

= –1

24. Jawaban: b

1

2

A +B

= 2 sin 1

1 3

)

3 − 2p2 3

29. Jawaban: b ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

cos 4x – sin 2x 1 – 2 sin2 2x – sin 2x 2 sin2 2x + sin 2x – 1 (2 sin 2x – 1)(sin 2x + 1) 2 sin 2x – 1 = 0 atausin 2x + 1 1

sin 2x = 2 atau

=0 =0 =0 =0 =0

sin 2x = –1

1

a.

sin 2x = 2 = sin 30° Penyelesaian: 1) 2x = 30° + k × 360° ⇔ x = 15° + k × 180° Untuk k = 1, maka x = 195° 2) 2x = 150° + k × 360° ⇔ x = 75° + k × 180° Untuk k = 1, maka x = 255° b. sin 2x = –1 = sin 270° Penyelesaian: 1) 2x = 270° + k × 360° ⇔ x = 135° + k × 180° Untuk k = 1, maka x = 315° 2) 2x = –90° + k × 360° ⇔ x = –45° + k × 180° Untuk k = 2, maka x = 315° Jadi, nilai x yang memenuhi adalah {195°, 255°, 315°} 30. Jawaban: c cos 6x +

A −B

sin A + sin B = 2 sin ( 2 ) cos ( 2 ) 2 3

π cos

1

π 1

= 2 × 2 3 × (– 2 ) = – 2 3 164

) sin ( 130° − 110° ) = p

⇔

cos 45°

=

130° + 110° 2


3 cos 3x = 2

⇔

cos 6x +

3 cos 3x – 2 = 0

⇔

2 cos2 3x – 1 +

3 cos 3x – 2 = 0

⇔

cos2

3 cos 3x – 3 = 0

2

3x +

⇔

(2 cos 3x –

⇔ 2 cos 3x – ⇔ a.

3 = 0 atau cos 3x +

cos 3x = cos 3x =

3 )(cos 3x +

1 2

1 2

3 atau

3)=0 3 =0

cos 3x = – 3

3 = cos 30°

Penyelesaian: 1) 3x = 30° + k × 360° ⇔ x = 10° + k × 120° Untuk k = 0, maka x = 10° Untuk k = 1, maka x = 130° Untuk k = 2, maka x = 250° 2) 3x = –30° + k × 360° ⇔ x = –10° + k × 120° Untuk k = 1, maka x = 110° Untuk k = 2, maka x = 230° b.

cos 3x = – 3 (tidak ada nilai x yang memenuhi)

Oleh karena 0° ≤ x ≤ 80°, nilai x yang memenuhi adalah {10°, 110°, 130°}. B. Uraian 1. H

G

1

Luas segitiga ACO = 2 × AC × OQ 1

= 2 × AO × CP 1 2

⇔

4 2 × 4 = 2 6 × CP

⇔

16 2 = 2 6 × CP

⇔

CP =

16 2 2 6

⇔

CP =

16 12 12

⇔

CP = 4 ( 2 3 )

⇔

CP = 8 3 cm 3

8 3

3 cm.

2. a.

H E

G F

O

C

D D

6 6

3

F

P

×

Jadi, jarak titik C ke bidang AFH adalah

O E

1

× AC × OQ = 2 × AO × CP ⇔ AC × OQ = AO × CP

C

A

6 cm

6 cm B

AC dan AH merupakan diagonal bidang. A

B

Panjang AC = AH = 6 2 cm. AH

Jarak titik C ke bidang AFH ditunjukkan oleh garis CP. Perhatikan segitiga ACO.

AB2 + BC2

AC =

6 2

AO = HO = 2 = = 3 2 cm 2 Jarak titik C dengan garis AH = panjang OC

=

42 + 42

=

AC2 − AO2

=

16 + 16

=

(6 2)2 − (3 2)2

=

32

=

72 − 18

=

54

=

9 × 6 = 3 6 cm

= 4 2 cm EO =

1 2

AC =

1 2

× 4 2 = 2 2 cm

AO =

AE2 + EO2

=

42 + (2 2)2

=

16 + 8

=

24

= 2 6 cm

Jadi, jarak titik C ke garis AH adalah 3 6 cm. b.

Jarak titik C ke garis AG adalah CP. AC merupakan diagonal bidang kubus. Panjang AC = 6 2 cm. AG merupakan diagonal ruang kubus. Panjang AG = 6 3 cm.


165

H E

cos α = TD =

F

P

C

4. BD = =

Perhatikan ΔACG. Luas segitiga ACG: × AC × CG = ×6 2 ×6=

⇔

CP = = =

=

1 2 1 2 1 2

× AG × CP × 6 3 × CP ×6 2×6 1 2

×6 3

6 2

×

3

6 3

3 3

BC2 + CD2

T 4 cm

42 + 42

4 cm

2 × 42

4 cm C

4 cm

B

TB2 + BD2 −TD2 2 × TB × BD

cos ∠TBD =

42 + (4 2)2 − 42

=

6 =2 6

D

A

= 4 2 cm Sudut antara rusuk TB dengan bidang ABCD adalah ∠TBD. Perhatikan ΔTBD.

Jadi, jarak titik C ke garis AG adalah 2 6 cm. 3.

5

= 36 3 5

B

1 L=2 1 ⇔ 2

3

12

Jadi, nilai konsinus α adalah 36 3 .

D A

5 3

DE

G

2×4×4 2 (4 2)2

=

=

2×4×4 2

T

4 2 2×4

1

= 2 2

1

Oleh karena cos ∠TBD = 2 2 maka besar ∠TBD = 45°.

13

13

C A 5

D

10

E 5

B

Oleh karena ABC segitiga sama sisi maka 1

DE = 3 DC.

BC2 − BD2

DC =

a2 + 2 a2

=

3 2 a 2

a

a

cos α =

=

75

=

TD =

3 cm

TA 2 − AD2

=

132 − 52

=

169 − 25

= 144 = 12 cm Ulangan Tengah Semester 2

a

= =

C a

a

A

B

6 cm

= 2

100 − 25

DC =

F

D

1

=

=

DE =

E

1

CO = AO = 2

5 3

G O α

a2 + ( 2 a 2)2

=

102 − 52

1 3

H

AE2 + EO2

AO =

=

= 5 3 cm

166

5. Sudut antara bidang AFH dan bidang CFH adalah AOC = α.

6 cm

AO 2 + CO2 − AC2 2 × AO × CO

(

a 2

6

) +( 2

a 2

a

6

)

2

− (a 2 )

2

a

2× 2 6 × 2 6 3 2

3

a 2 + 2 a 2 − 2a 2

3

3

2 × 2 a2

a2 3a2

1

= 3

Diperoleh sin α = Jadi, nilai sin α =

8 =2 2

α 1 2 2 3 2 2 3

.

1

6. cos (A + B) = 2 ⇔ A + B = 60°

=

1

sin (A – B) = 2 ⇔ A – B = 30° ––––––––– + 2A = 90° ⇔ A = 45° Substitusikan A = 45° ke dalam persamaan A + B = 60° diperoleh ⇒ 45° + B = 60° ⇒ B = 15°.

−63

9. ⇔ ⇔ ⇔

1

= =

=1 7.

1 2 + 2 1 1 + 2 + 4 1 +4 3

(1 +

1 2

3)

3

3 tan A tan B = tan A – tan B – ⇔

3 tan A tan B +

⇔

3

3 = tan A – tan B

2 sin β

⇔

sin α = cos α

2 sin (90 – α)

⇔

sin α = cos α

2 cos α

⇔

sin α =

2 cos2 α

⇔

sin α =

2 (1 – sin2 α)

⇔

sin α =

2 –

⇔

3 = tan (A – B)

⇔

⇔

tan A − tan B 1 + tan A tan B

3 =

⇔ ⇔

A – B = 60°

⇔

cos (A – B) = cos 60° 1

3

1

3

( 2 sin α – 1)(sin α +

2 sin α + 1 = 0

1

1

10. ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

8.

sin2 x – 2 sin 2x = 0 sin2 x – sin x cos x = 0 sin x (sin x – cos x) = 0 sin x = 0 atau sin x – cos x = 0 sin x = 0 atau sin x = cos x

⇔ sin x = 0 atau 5

4 A 3

A 12

5

12

sin A = 13 maka cos A = 13 4

3

sin B = 5 dan sudut B tumpul maka cos B = – 5 . tan (A – B) = = =

sin (A − B) cos (A − B) sin A cos B − cos A sin B cos A cos B + sin A sin B 5 × ⎛ − 3 ⎞ − 12 13 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 13 12 13

⎛ ⎝

⎞ 5⎠

× ⎜− 3 ⎟ +

×

4 5

sin α = – 2

2


3

5

2=0

1

1

=–4 – 4 = –1 Jadi, nilai cos (A + B) = –1. 13

2)=0

atau sin α +

1 2 atau sin α = 1 = 2

2 =0

1

cos A cos B = 2 – 4 = – 4 cos (A + B)= cos A cos B – sin A sin B 1

2 sin2 α + sin α –

sin α yang memenuhi adalah sin α = 2 2 .

cos A cos B + 4 = 2

⇔

2 sin2 α

Oleh karena α merupakan sudut lancip maka nilai

⇔ cos A cos B + sin A sin B = 2 ⇔

Jumlah besar sudut segitiga = 180° α° + β° + 90° = 180° α° + β° = 90° β = 90° – α

⇔

3 (1 + tan A tan B) = tan A – tan B

⇔

63

tan α =

1

= sin2 45° + 2 (1 + cos 30°) )2

−36 + 20 65

= −16 = 16

sin2 A + cos2 B = sin2 A + 2 (1 + cos 2B) 1 (2 1 2

−15 − 48 65

sin x cos x

=1

⇔ sin x = 0 atau tan x = 1 a. sin x = 0 = sin 0° Penyelesaian: 1) x = 0° + k × 360° 2) x = 180° + k × 360° Untuk k = 0 maka x = 180° b. tan x = 1 = tan 45° Penyelesaian: x = 45° + k × 180° Untuk k = 0, maka x = 45° Untuk k = 1, maka x = 225° Jadi, nilai x yang memenuhi {45°, 180°, 225°}.

5 ×4 13 5


167

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. mendeskripsikan dan menerapkan integral tentu dalam membuktikan dan menentukan luas daerah di bawah kurva; 2. mendeskripsikan dan menerapkan integral tentu dalam membuktikan dan menentukan volume benda putar; 3. mendeskripsikan dan menerapkan integral tentu dalam membuktikan dan menentukan panjang kurva. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik diharapkan memiliki sikap teliti, cermat, kritis, dan kreatif dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan integral tentu.

Penerapan Integal Tentu

Luas Daerah

• • • •

Menentukan luas daerah di bawah kurva y = f(x) dan di atas sumbu X. Menentukan luas daerah di bawah sumbu X dan di atas kurva y = f(x) Menentukan luas daerah di bawah kurva y = f(x) dan di atas kurva y = f(x). Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan menentukan luas daerah menggunakan integral.

Panjang Kurva

Volume Benda Putar

•

•

•

•

Menentukan volume daerah benda putar yang dibatasi oleh kurva dan garis sumbu diputar mengelilingi sumbu X. Menentukan volume daerah benda putar yang dibatasi oleh kurva dan garis sumbu diputar mengelilingi sumbu Y. Menentukan volume daerah benda putar yang dibatasi oleh dua kurva dan diputar mengelilingi sumbu X. Menentukan volume daerah benda putar yang dibatasi oleh dua kurva dan diputar mengelilingi sumbu Y.

• •

Menentukan panjang kurva y = f(x) pada interval x = a sampai dengan x = b. Menentukan panjang kurva yang melibatkan dua fungsi (x(t), y(t)) pada interval t yang ditentukan.

Bersikap teliti, cermat, dan kreatif dalam menyelesaikan permasalahan sehari-hari terutama dalam menggunakan konsep integral tentu.

168

Penerapan Integral Tentu

3. Jawaban: d Perpotongan kedua kurva: x+y–6=0

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Persamaan garis: 2x + 3y – 12 = 0 ⇔ 3y = –2x + 12 2

⇔

x+

x –6=0

⇔

( x )2 +

x –6=0

⇔ ( x + 3)( x – 2) = 0

y =–3x + 4

2 Daerah yang diarsir dibatasi oleh garis y = – 3

x+4

dan sumbu X pada interval –1 ≤ x ≤ 3. Luas daerah yang diarsir: 3

⇔

⇔

x = –3 atau

−1

2. L u a s d a e r a h y a n g d i b a t a s i o l e h k u r v a y = –x 2 + 3x + 10 dan sumbu X untuk –1 ≤ x ≤ 5 adalah . . . satuan luas. a. 24 d. 54 b. 36 e. 60 c. 42 Jawaban: d Y

II 4

6

X

Untuk

x = –3, tidak ada nilai x yang memenuhi.

Untuk

x = 2 ⇔ ( x )2 = 22 ⇔ x = 4. x dan sumbu X

4

Luas daerah I: LI =

∫ x dx

0

Daerah II dibatasi garis y = 6 – x dan sumbu X pada interval 4 ≤ x ≤ 6. 6

Luas daerah II: LII =

∫ (6 – x) dx

4

Luas daerah yang diarsir:

= = X

1 2 3 4 5

4

6

0 4

4 6

0

4

∫ x dx + ∫ (6 – x) dx

∫ x dx – ∫ (x – 6) dx

4. Jawaban: a Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x – 8 dan sumbu X pada interval [0, 3] dapat digambarkan sebagai berikut.

y = –x2 + 3x + 10

Luas daerah yang diarsir: 5

=

I 0

x

L = LI + LII

10

L =

x+y–6=0 y=

Daerah I dibatasi oleh kurva y = pada interval 0 ≤ x ≤ 4.

2

L = ∫ (– 3 x + 4) dx

–2 –1 0

x =2

Y 6

∫ y dx

−1 5

Y

∫ (–x2 + 3x + 10) dx

−1

–2

0

y = x2 – 2x – 8 3

X

4

5

1 3 = ⎡ − 3 x 3 + 2 x 2 + 10x ⎤ ⎣ ⎦ −1

125

75

1

3

= (– 3 + 2 + 50) – ( 3 + 2 – 10) 125

1

126

72

75

–8

3

= – 3 – 3 + 2 – 2 + 50 + 10 = – 3 + 2 + 60 = –42 + 36 + 60 = 54 satuan luas

Luas daerah yang diarsir: b

L =

∫ –y dx

a

3

= – ∫ (x2 – 2x – 8) dx 0


169

7. Jawaban: a

3

⎤ ⎡ 1 = – ⎢ 3 x3 – x2 – 8x ⎥ ⎦0 ⎣ = –[(9 – 9 – 24) – 0] = –(–24) = 24 satuan luas

Y

5. Jawaban: b Menentukan perpotongan dua kurva. y = x2 y=x+6 –––––––––––– – 0 = x2 – x – 6 ⇔ (x + 2)(x – 3) = 0 ⇔ x = –2 atau x = 3 Daerah yang diarsir berada di bawah kurva y = x + 6 dan di atas kurva y = x2 pada interval –2 < x < 3. Luas daerah yang diarsir: 3

−2

−2

6. Jawaban: a x+y=2 ⇔ y=2–x Menentukan perpotongan dua kurva. y = x2 y=2–x ––––––––––– – 0 = x2 + x – 2 0 = (x + 2)(x – 1) x = –2 atau x = 1 Y

y2 = x2

–2 –1 0

1

= (2(1) –

1 2

1

(1) – 2

1


1 3

2

0

1

1

2

= ∫ (–x + 2 – x2) dx + ∫ (x2 – (–x + 2)) dx 0

=

1

1

1 3⎤ ⎡ 1 2 ⎢⎣ − 2 x + 2x − 3 x ⎥⎦ 0

1

1

+

2

⎡1 3 1 2 ⎤ ⎢⎣ 3 x + 2 x − 2x ⎥⎦ 1

8

1

1

= (– 2 + 2 – 3 – 0) + (( 3 + 2 – 4) – ( 3 + 2 – 2)) 1

2

1

=16 +(3 +16) = 3 satuan luas

2

4

0 2

2 4

0 4

2 4

0

2

4

3

= ∫ 2 x dx + ∫ (2 x dx – ∫ (2x – 4) dx

1

= ∫ 2 x dx – ∫ (2x – 4) dx

(1) )

1

8

7

1

L = ∫ (y1 – y2) dx + ∫ (y2 – y1) dx

= ∫ 2 x dx + ∫ (2 x – (2x – 4)) dx

= (2 – 2 – 3 ) – (–4 – 2 + 3 ) 10

x−2

= 0−2 ⇔ y = –x + 2

2

1 3⎤ x 3 ⎥⎦ −2

1

20

27

1

= 6 – (– 3 ) = 6 + 6 = 6 = 4 2 satuan luas 170

y−0 2−0

Luas daerah yang diarsir: L = L1 + L2

– (2(–2) – 2 (–2)2 – 3 (–2)3)

7

Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan (0, 2)

4

∫ (2 – x – x2) dx −

y1 = –x + 2

L2 = ∫ (2 x – (2x – 4)) dx.

−2

−

2

0

−2 1

1 2 x 2

1

Pada interval 2 < x < 4 daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva y = 2 x dan garis y = 2x – 4, luasnya

1

=

X 0

L1 = ∫ 2 x dx.

∫ (y1 – y2) dx

⎡ ⎢⎣2x

II

2

X

2


=

I

8. Jawaban: c Parabola y2 = 4x untuk y > 0 dapat dituliskan menjadi y = 2 x . Pada interval 0 < x < 2 daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva y = 2 x dan sumbu X, luasnya

y1 = 2 – x

L=

2

3

L = ∫ ((x + 6) – x2) dx = ∫ (–x2 + x + 6) dx

y2 = x2


2

9. Jawaban: e Menentukan perpotongan dua kurva: y = x2 – 6x + 8 y=x–2 –––––––––––––––– – 0 = x2 – 7x + 10 ⇔ 0 = (x – 2)(x – 5) ⇔ x = 2 atau x = 5 Y y1 = x – 2

y2 = x2 – 6x + 8

10. Jawaban: e Perpotongan kurva y = x3 – x2 – 6x dan sumbu X (garis y = 0): x3 – x2 – 6x = 0 ⇔ x(x2 – x – 6) = 0 ⇔ x(x + 2)(x – 3) = 0 ⇔ x = 0 atau x = –2 atau x = 3 Daerah antara kurva y = x3 – x2 – 6x dan sumbu X digambarkan dengan daerah yang diarsir berikut. Y y = x3 – x2 – 6x

II I 0

2

–2

X 4

X

3

0

5

Daerah I pada interval 2 ≤ x ≤ 4 dan dibatasi oleh garis y1 = x – 2 dan sumbu X. Luas daerah I: 4

Luas daerah yang diarsir: L = LI + LII

LI = ∫ y1 dx 2 4

= ∫ (x – 2) dx 2

4

1 = ⎡ x 2 − 2x ⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 2 = (8 – 8) – (2 – 4) = 0 – (–2) = 2 satuan luas

(x2

– 6x + 8)) dx

1

8 3

– 12)) – ((

81 4

– 9 – 27) – 0)

3

B. Uraian

5

– 50) – (56 – 1

1

Luas daerah yang diarsir: L = LI + LII 1

=2+16 =

= (0 – (4 +

= 21 12 satuan luas

64 3

– 40)

= –4 6 – (–5 3 ) = 1 6 satuan luas

1 36

3

13

7 1 = ⎡ x 2 − x 3 − 10x ⎤ 3 ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 4

1

0

1

4

–

0

⎤ ⎤ 1 1 ⎡ 1 ⎡1 = ⎢ 4 x4 – 3 x3 – 3x2 ⎥ – ⎢ 4 x4 – 3 x3 – 3x2 ⎥ ⎦ −2 ⎣ ⎦0 ⎣

= 20 12

= ∫ (7x – x2 – 10) dx

=

3

= –(–5 3 ) – (–15 4 )

4 5

125 3

0

−2

LII = ∫ (y1 – y2) dx

175 ( 2

−2

= ∫ (x3 – x2 – 6x) dx – ∫ (x3 – x2 – 6x) dx

5

= ∫ ((x – 2) –

3

0

Daerah II pada interval 4 ≤ x ≤ 5 dan dibatasi oleh garis y1 = x – 2 dan parabola y2 = x2 – 6x + 8. Luas daerah II: 4 5

0

= ∫ y dx + ∫ (– y) dx

satuan luas

1. Daerah yang diarsir dibatasi parabola y = 8 – 2x2 dan garis y = 2 – x pada interval 0 ≤ x ≤ 2. Luas daerah yang diarsir: 2

L = ∫ ((8 – 2x2) – (–x + 2)) dx 0 2

= ∫ (6 – 2x2 + x) dx 0

2

2 1 = ⎡6x − 3 x 3 + 2 x 2 ⎤ ⎣ ⎦0

16

= 12 – 3 + 2 – 0 2

= 8 3 satuan luas Matematika Kelas XII

171

2.

Y

II 0

–3 –2

Y

y = x2 – 4

D

X

2 3

y = (x + 2)2

10

I –3 –2

–4

0

X

1

y = 10 – x2

b.

Daerah I di bawah sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2. Luas daerah I: 2

2

0

0 2

Luas daerah D 1

L = ∫ ((10 – x2) – (x + 2)2) dx −3 1

LI = – ∫ y dx = – ∫ (x2 – 4) dx

= ∫ ((10 – x2) – (x2 + 4x + 4)) dx −3

1 3 = – ⎡⎢ x − 4x ⎤⎥ ⎣3 ⎦0

8

1

= ∫ (6 – 2x2 – 4x) dx

16

−3

= –( 3 – 8 – 0) = 3 satuan luas

1

2 = ⎡6x − 3 x 3 − 2x 2 ⎤ ⎣ ⎦ −3

Daerah II di atas sumbu X pada interval 2 ≤ x ≤ 3. Luas daerah II:

2

54

= (6 – 3 – 2) – (–18 – (– 3 ) – 18)

3

LII = ∫ y dx

1

1

= 3 3 – (–18) = 21 3

2 3

1

= ∫ (x2 – 4) dx

Jadi, luas daerah D adalah 21 3 satuan luas.

2

3

4.

1 3 = ⎡⎢ 3 x − 4x ⎤⎥ ⎣ ⎦2

y3 = x2 – 2 y2 = x

Y

= (9 – 12) – ⎛⎜ 8 − 8 ⎞⎟ ⎝3

= –3 +

⎠

II

16 3

–1

I

7

= 3 satuan luas

⎯→

1

X

2

III

Luas daerah: L = LI + LII 16

7

= 3 + 3 23 = 3 satuan luas

3. a.

Menentukan titik potong antara kedua kurva. (x + 2)2 = 10 – x2 2 ⇔ x + 4x + 4 = 10 – x2 ⇔ 2x2 + 4x – 6 = 0 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ (x – 1)(x + 3) = 0 ⇔ x = 1 atau x = –3

y1 = –x2

Luas daerah yang diarsir = LI + LII. Menentukan LI. LI = – =–

0

∫ (y2 – y1) dx

−1 0

∫ (x + x2) dx

−1

=

⎡1 – ⎢ 3 x3 ⎣

⎤ + 1 x2 ⎥ 2 ⎦

0 −1

1

1

= –(0 – ( 6 )) 1

= 6 satuan luas

172


1

= –((0 + 0) – (– 3 + 2 ))

Luas gabungan daerah II dan III: Lgab = =

5. a.

2

yang dibatasi kurva y = cos x dan sumbu X

∫ (y2 – y3) dx

0 2

π

∫ (x –

(x2

pada interval 0 < x < 2 . π

– 2) dx

0

=

L=

2

∫ (x –

x2

+ 2) dx ⎤

1

1

2

=2–

1

b.

+4

π

10

π

y = cos x pada interval 0 < x < 4 : π

Menentukan LIII. 1

LI =

LIII = – ∫ (y3 – y1) dx 0 1 0 1

1

⎤

⎦0

1

⎤

Luas daerah di antara kurva y = sin x dan

⎦

y = cos x pada interval 4 < x < π:

⎡ 2 3 = – ⎢⎣( 3 (1) − 2(1)) − 0 ⎥

π

π

LII = ∫ (sin x – cos x) dx π 4

luas

4

4

= 3 – 3

π

π

= (–cos π – sin π) – (–cos 4 – sin 4 )

6

= 3 =2 Luas daerah yang diarsir: L = LI + LII

1

1

= (1 – 0) – (– 2 2 – 2 2 ) = (1 + 2 ) satuan luas Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = sin x dan y = cos x pada interval 0 < x < π adalah: L = LI + LII

1

= 6 +2 1

=26

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah

π

= ⎡ − cos x − sin x ⎤ π ⎣ ⎦

LII = Lgab – LIII

luas.

π

= ( 2 2 + 2 2 ) – (0 + 1) = ( 2 – 1) satuan luas

1

⎡ = – ⎢ 3 x3 − 2x ⎥

10

π

π

0

=

∫ (cos x – sin x) dx

0

= (sin 4 + cos 4 ) – (sin 0 + cos 0)

= – ∫ (2x2 – 2) dx

2 –( 3 – 2) 4 satuan 3

4

4 = ⎡⎣ sin x − ( − cos x)⎤⎦ 0

= – ∫ (x2 – 2 + x2) dx

2

= sin 2 – sin 0 = 1 – 0 = 1 satuan luas Kurva y = sin x dan y = cos x berpotongan di x = 4 . Luas daerah di antara kurva y = sin x dan

= 3 satuan luas

⎣

π

π

= ( 2 (2)2 – 3 (2)3 + 2(2)) – 0 8 3

∫ cos x dx

= ⎡ sin x ⎤ 2 ⎣ ⎦0

⎡ = ⎢ 2 x2 − 3 x3 + 2x ⎥ ⎣ ⎦0 1

2

0

0

=

Luas daerah yang dimaksud yaitu luas daerah

= ( 2 – 1) + (1 + 1 26

satuan

2)

= 2 2 satuan luas


173

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Daerah yang dibatasi garis y = 6 – 2x, sumbu X, dan sumbu Y digambarkan sebagai berikut.

Daerah antara kurva y = 2x – x2 dan sumbu X digambarkan dengan daerah yang diarsir berikut. Y

Y 0

6

X

2

y = 6 – 2x

Daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X, maka volume benda putar yang terjadi adalah: X

3

0

Daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X, volumenya:

b

V = π ∫ y2 dx a 2

= π ∫ (2x – x2)2 dx 0 2

3

V = π ∫ (6 – 2x)2 dx

= π ∫ (4x2 – 4x3 + x4) dx

0

0

3

= 4π ∫ (9 – 6x + x2) dx 0

3

⎡ ⎤ 1 = 4π ⎢ 9x – 3x2 + 3 x3 ⎥ ⎦0 ⎣ = 4π(27 – 27 + 9 – 0) = 36π satuan volume 2. Jawaban: a Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan (0, –2) adalah x = y + 2. Daerah yang dibatasi garis x = y + 2 dan sumbu Y pada interval [0, 4] diputar mengelilingi sumbu Y, volume benda putar yang terjadi: 4

2

0

=

32

32

= π(( 3 – 16 + 5 ) – 0) 2

2

= π(10 3 – 16 + 6 5 ) 16

1

= 15 π = 1 15 π satuan volume 4. Jawaban: c π

V = π ∫ sin2 x dx 0 π

1

1

= π ∫ ( 2 – 2 cos 2x) dx 0

V = π ∫ (y + 2) dy 1 3

2

1 ⎡ 4 ⎤ = π ⎢ 3 x3 – x4 + 5 x5 ⎥ ⎣ ⎦0

4

⎤ ⎡ π ⎢ (y + 2)3 ⎥ ⎣ ⎦0

1

= 3 π(216 – 8) 1

= 69 3 π satuan volume 3. Jawaban: c Perpotongan antara kurva y = 2x – x2 dan sumbu X (garis y = 0): 2x – x2 = 0 ⇔ x(2 – x) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 2

π

1 ⎡ 1 = 2 π ⎢ (x – 2 sin 2x) ⎤⎥ ⎣ ⎦0 1

1

= 2 π((π – 0) – (0 – 0)) = 2 π2 satuan volume 5. Jawaban: a y2 = x2

y1 = 2x + 3

Y 9

3 2 1 –2 –10

1 2 3 x=3

174


X

Volume benda putar:

Volume benda putar:

3

1

V = π ∫ (y12 – y22) dx

1

V = π ∫ (( y 3 )2 – (y2)2) dy

0 3

0 1

2

= π ∫ ((2x + 3)2 – (x2)2) dx

= π ∫ ( y 3 – y4) dy

= π ∫ (4x2 + 12x + 9 – x4) dx

⎡3 5 = π ⎢ y3 ⎣5

0 3

0

0

=π =

⎡4 3 x ⎣⎢ 3

+ 6x2 + 9x − 1 x5 ⎤⎥ 5

π ( 4 (3)3 3

+ 6(3) + 9(3) − 2

3

=

⎦0

1 (3)5 5

3 π( 5

1

⎤

− 1 y5 ⎥

–

⎦0

5

1 5

2

– 0) = 5 π satuan volume

8. Jawaban: a

− 0)

Y

243

= π (36 + 54 + 27 − 5 ) 243 5

= π(117 – 342

y = x2 + 1 3

y=3

)

2

= 5 π = 68 5 π satuan volume

1

6. Jawaban: d y2 = x2

0

Y

y1 = 2x

X

y = x2 + 1 ⇔ x2 = y – 1 Volume benda putar:

4

3

3

V = π ∫ x 2 dy = π ∫ (y – 1) dy 1

1

=π 2

0

X

=

⎡1 2 ⎢⎣ 2 y

9 π(2

− y ⎤⎥

3

⎦1

1

– 3 – ( 2 – 1))

= 2π satuan volume Volume benda putar:

9. Jawaban: a

2

V =π =π =π =π

∫ (y – y ) dx 2 1

0 2

Y

2 2

3

∫ ((2x)2 – (x2)2) dx

0 2

–3

∫ (4x – x ) dx 2

4

X

2 3

0

0

⎡4 3 ⎢⎣ 3 x

− 1 x5 ⎤⎥

–3

⎦0

5

4

2

1

Volume benda putar:

= π (( 3 (2)3 – 5 (2)5) – 0) 32

2

32

3

1

V = π ∫ ( 4 5 x2)2 dx + π ∫ (9 – x2) dx

=π( 3 – 5 )

0 2

64

= 15 π satuan volume 7. Jawaban: c Batas-batas daerah yang diarsir menurut sumbu Y. 1

Batas atas: y = x3 ⇔ x = y 3 Batas bawah: y2 = x Kedua kurva berpotongan di titik (0, 0) dan (1, 1), berarti batas-batas nilai y adalah 0 ≤ y ≤ 1.

=π∫

0

2

5 ( 16

3

x4) dx + π ∫ (9 – x2) dx 2

2

3

⎡ 1 ⎤ ⎡ ⎤ 1 = π ⎢ 16 x5 ⎥ – π ⎢ 9x – 3 x3 ⎥ ⎦0 ⎦2 ⎣ ⎣ 8

= π(2 – 0) + π((27 – 9) – (18 – 3 )) 8

14

= 2π + 3 π = 3 π satuan volume


175

10. Jawaban: a Daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X.

1

= π(18 – 0) – 3 π(0 – 27) = 18π + 9π = 27π satuan volume

a

∫ (y12 – y22) dx

VX = π

Y

y2 = x2

0 a

y1 = a2

a2

∫ ((a2)2 – (x2)2) dx

=π

0 a

∫ (a4 – x4) dx

=π

0

⎡ 4 ⎢⎣a x

=π

= π(a – 5

0

a

−

1 5⎤ x 5 ⎥⎦ 0

1 5

a – 0)

a

X

2. Persamaan parabola yang memotong sumbu X di titik (1, 0) dan (5, 0) serta memotong sumbu Y di titik (0, 5) adalah y = (x – 1)(x – 5). 1

V = π ∫ ((x – 1)(x – 5))2 dx 0 1

= π ∫ (x – 1)2 (x – 5)2 dx 0 1

5

= π ∫ (x2 – 2x + 1)(x2 – 10x + 25) dx

4

= 5 πa5 satuan volume Daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu Y. a2

a2

0

0

0 1

= π ∫ (x4 – 12x3 + 46x2 – 60x + 25) dx 0

VY = π ∫ x2 dy = π ∫ y dy a2

1 = π ⎡⎢ y2 ⎤⎥ ⎣ 2 ⎦0

8

= π(7 15 – 0)

1

= 2 π((a2)2 – 02)

8

= 7 15 π satuan volume

1

= 2 πa4 satuan volume 4 5

VX = VY ⇒ 4 5

⇔ ⇔

1

3. Daerah D dibatasi oleh garis y = 2x, y = 3 – x, dan sumbu X.

πa5 = 2 πa4

Y

1

1 2

)=0

4 5

1 2

a–

⇔ a4 = 0 atau ⇔ a = 0 atau

a=

2 y=3–x

D 0

5

a= 8

a. 5

Oleh karena a ≠ 0 maka nilai a = 8 .

1

X

3

Daerah D diputar mengelilingi sumbu X, volumenya: 1

3

VX = π ∫ (2x)2 dx + π ∫ (3 – x)2 dx

5

Jadi, nilai a = 8 .

0

1

1

3

= π ∫ 4x2 dx + π ∫ (9 – 6x + x2) dx

B. Uraian

0

1. Persamaan garis melalui titik (5, 0) dan (0, 5) adalah: x+y=5 ⇔ x=5–y Daerah yang diarsir dibagi menjadi dua bagian. Bagian I dibatasi oleh garis x = 3 dan sumbu Y pada interval [0, 2]. Bagian II dibatasi oleh garis x = 5 – y dan sumbu Y pada interval [2, 5]. Volume benda putar: VY = VI + VII 2

5

= π ∫ (3)2 dy + π ∫ (5 – y)2 dy 0

2

2

5

⎡ 1 ⎡ ⎤ ⎤ = π ⎢ (9y) ⎥ – 3 π ⎢ (5 – y)3 ⎥ ⎦0 ⎦2 ⎣ ⎣ 176

y = 2x

3

πa5 – 2 πa4 = 0

4 πa4 ( 5

1

⎡ 1 ⎤ 46 = π ⎢ ( 5 x5 – 3x4 + 3 x3 – 30x2 + 25x) ⎥ ⎦0 ⎣


=π

1

1

⎡4 3 ⎤ ⎢⎣ 3 x ⎥⎦ 0

1 ⎤ ⎡ + π ⎢9x − 3x2 + x3 ⎥ ⎣

3

3

⎦1

4 1 = π ( 3 – 0) + π ((27 – 27 + 9) – (9 – 3 + 3 4 8 = 3π+ 3π

= 4π satuan volume b.

Daerah D diputar mengelilingi sumbu Y. y=3–x⇔ x=3–y y = 2x

1

⇔ x= 2y

))

Volume benda putar yang terjadi: 2

1

= 12 π(8 – 0) + π(4 – 3)

1

VY = π ∫ ((3 – y)2 – ( 2 y)2) dy

2

= 3π+π

0

2

1

= π ∫ (9 – 6y + y2 – 4 y2) dy 0 2

2


3

=π

⎡ ⎢⎣9y

− 3y2 + 1 y3 ⎤⎥ 4

Y

5.

= π ∫ (9 – 6y + 4 y2) dy 0

4

2

⎦0

= π ((18 – 12 + 2) – 0) = 8π satuan volume

D 2 1

4. Substitusikan persamaan y = 2x ke dalam persamaan y = 4 – 2x2 diperoleh: 2x = 4 – 2x2 2 ⇔ 2x + 2x – 4 = 0 ⇔ x2 + x – 2 = 0 ⇔ (x + 2)(x – 1) = 0 ⇔ x = –2 atau x = 1 Substutusikan x = 1 ke dalam persamaan y = 2x diperoleh: y=2×1=2 Diperoleh titik potong garis dan parabola (1, 2) sebagai batas integrasi. a. Daerah yang diarsir mempunyai batas atas y = 4 – 2x2 dan batas bawah y = 2x pada interval 0 ≤ x ≤ 1. Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X, volume benda putar yang terbentuk:

–2

a.

1

= π ∫ (16 – 20x2 + 4x4) dx 0

1

20 4 ⎡ ⎤ = π ⎢ 16x – 3 x3 + 5 x5 ⎥ ⎣ ⎦0 2

= π(10 15 – 0)

−2 1

= π ∫ (x2 – 4x + 4 – x4) dx −2

=π

⎡1 3 ⎢⎣ 3 x

1

− 2x2 + 4x − 1 x5 ⎤⎥ 5

1 1 8 = π (( 3 – 2 + 4 – 5 ) – (– 3 2 4 = π (2 15 – (–12 15 )) 2 = 14 5 π satuan volume

⎦ −2

32

– 8 – 8 + 5 ))

Perhatikan daerah D. Jika daerah D diputar mengelilingi sumbu Y, volume benda putar yang terjadi sama dengan volume daerah D di kuadran II (di kiri sumbu Y) diputar mengelilingi sumbu Y. Untuk menghitungnya, daerah D dibagi menjadi dua bagian yaitu bagian I pada 0 ≤ y ≤ 2 dan bagian II pada 2 ≤ y ≤ 4. VI = π ∫ y dy

Menurut sumbu Y, daerah I mempunyai batas kanan x =

Jika daerah D diputar mengelilingi sumbu X, volume benda putar yang terjadi adalah:

2

2

= 10 15 π satuan volume 1 2

0

1

b.

0

x+y=2 X 1 2

VX = π ∫ ((2 – x)2 – (x2)2) dx

1

V = π ∫ (4 – 2x2)2 – (2x)2 dx

b.

y = x2

y pada interval 0 ≤ x ≤ 2 dan 1

daerah II mempunyai batas kanan x2 = 2 – 2 y pada interval 2 ≤ x ≤ 4.

0

2

1 ⎤ = π ⎡⎢ y2 ⎥ ⎣ 2 ⎦0

1

= 2 π (4 – 0) = 2π satuan volume 4

2

V =π∫

0

1

1 (2

4

y)2 dy + π ∫ (2 – 2

2

4

0

2

1 2

VII = π ∫ (y – (2 – y)2) dy

y) dy

2 4

= π ∫ (5y – y2 – 4) dy

1

= 4 π ∫ y2 dy + π ∫ (2 – 2 y) dy 2

2

4

⎡ 1 ⎡ 1 1 ⎤ ⎤ = 4 π ⎢ 3 y3 ⎥ + π ⎢ 2y – 4 y2) ⎥ ⎦ ⎦2 ⎣ ⎣ 0

=π

⎡5 2 ⎢⎣ 2 y

− 1 y3 − 4y ⎤⎥ 3

4

⎦2


177

64

VY = VI + VII

8

= π ((40 – 3 – 16) – (10 – 3 – 8))

1

= 2π + 3 3 π

2 2 = π (2 3 – (– 3 )) 1 = 3 3 π satuan volume

Panjang kurva x2 + y2 = 4 di kuadran I dari y = 0 sampai dengan y = 1 adalah:

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: e

y = y

x= dx dy

1 2

=

y

−

1 2

1 2

S =

=

d

=

2 y

y dari y = 0 sampai dengan

∫ 1+

0 4

=

∫ 1+

0

2

1 4y

y

⎞ ⎟

4 − y2 ⎟⎠

⎝

2

dy

2

y ∫ 1 + 4 − y2 dy

0

2

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝2 y ⎠

1

∫ 1 + ⎛⎜⎜ − 1

=

1

c

=

2

⎞ dy ∫ 1 + ⎛⎜⎝ dx dy ⎟⎠

0

⎞ dy ∫ 1 + ⎛⎜⎝ dx dy ⎟⎠

4

d c

1

Panjang kurva x = y = 4 adalah: S=

1


=

4 − y2 y2 + 2 4−y 4 − y2

∫

0

dy

1

=

4 4 − y2

∫

0

dy

dy

dy

4. Jawaban: d

2. Jawaban: c y = x3 + 1

Turunan dari x = 2 sin 3t adalah

dy = 3x2 dx

Turunan dari y = 3 cos 2t adalah

Panjang kurva y = x3 + 1 dari x = –1 sampai dengan x = 1 adalah: b

S=

⎛ dy ⎞ ∫ 1 + ⎜⎝ dx ⎟⎠ dx

=

∫

−1

=

1 + (3x)2 dx

=

1

=

4 ∫ 1 + 9x dx

−1

=

3. Jawaban: a x2 + y2 = 4 ⇔ x2 = 4 – y2 ⇔ x=

=

1

−

= –y(4 – y2)) 178

+ ⎛⎜ dy ⎞⎟ ⎝ dt ⎠

2

dt

2 2 ∫ (6 cos 3t) + (−6 sin 2t) dt

0 π

2 2 ∫ 36 cos 3t + 36 sin 2t dt

0 π

2 2 ∫ 36(cos 3t + sin 2t) dt

0 π

2 2 ∫ 6 cos 3t + sin 2t dt π

cos2 3t + sin2 2t dt

0

5. Jawaban: e

1 2 −

2

π

=6∫

⇔ x = (4 – y ) = 2 (4 – y2)

⎛ dx ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠

∫

0

4 − y2 1 2 2

dx dy

b a

a

1

× (–2y) 1 2

=–

y = 2 2x – 5 y

4 − y2


dy dt

= 6 cos 3t. = –6 sin 2t.

Panjang kurva x = 2 sin 3t dan y = 3 cos 2t dari t = 0 sampai dengan t = p: S =

2

dx dt

dy dx

=2 2

Panjang garis y = 2 2 x – 5 dari y = 1 sampai dengan y = 8: b

S =

dy dx

1

1

3

1

= 3 × 2 x2 – 2 x 1

1

1

= 2 x2 – 2 x

2

⎞ dx ∫ 1 + ⎛⎜⎝ dy ⎟ dx ⎠

−

−

1 2

1 2

1

a

∫ 1 + (2 2) dx

Panjang kurva y = 3 x x – dengan x = 100:

8

S =

8

=

2

−1

b

∫ 1 + 8 dx

=

2

⎛ dy ⎞ ∫ 1 + ⎜⎝ dx ⎟⎠ dx

a

−1

∫

0 100

8

0

−1

8

100

= ⎡⎢ 3x ⎤⎥ ⎣ ⎦ −1 = 3(8 – (–1)) =3×9 = 27 satuan panjang

0 100 0

dy dx

=

+4 1

3

b

1.000

=( 3

1 2

⎛

⎞

3 ∫ 1 + ⎜⎝ 2 x 2 ⎟⎠ dx 0

=

9 ∫ 1 + 4 x dx

=

∫ (1 +

= ⎡⎢ ⎣

=

1 9 4

×

3 2

(1 +

3 ⎛ 8 ⎜ ⎛ 13 ⎞ 2 ⎜⎜ ⎟ 27 ⎝ ⎝ 4 ⎠

dx

3

=

8 13 13 − 8 ( 27 8

=

13 13 − 8 27

x –x

⎞ ⎟

)

dy dx

1

1

1

= x3 – 4 x–3 Panjang kurva y = dengan x = 2: b

S =

x4 4

+

1 8x 2

dari x = 1 sampai

2

⎛ dy ⎞ ∫ 1 + ⎜⎝ dx ⎟⎠ dx

a 2

1 −3 3 ∫ 1 + ( x − 4 x ) dx 2

1

x 1 2

1 8x 2 1 + 8 x–2

= 4 × 4x3 + 8 × (–2)x–3

=

1

1

+

= 4 x4

satuan panjang

y = 3x x – =

1

⎤ ⎥⎦ 0

– 1)

7. Jawaban: e 3 2

3 2

– 12 ⎟⎠

=

x4 4

1

9 x) 4

8 13 13 ( 27 8

1 3

y =

1

0

1.000 3

8. Jawaban: a

0

=

1

+ 10) – ( 3 + 1)

+ 10 – 3 – 1 = 342 satuan panjang

1

9 2 x) 4

1 100

1 100

3

⎛ dy ⎞ ∫ 1 + ⎜⎝ dx ⎟⎠ dx

=

dx

⎠

2

⎤ ⎡ 1 = ⎢ 3 x2 + x2 ⎦1 ⎣

a

1

⎝2

dx

3

2

1

∫

2

2 1 ⎤ ⎡ 1 = ⎢ 2 × 3 x2 + 2 × 2 x2 ⎦1 ⎣

= 2 x2 Panjang kurva dari x = 0 sampai x = 1: S =

1 1 100 ⎛ 1 1 − ⎞ ⎜ x2 + x 2 ⎟

0

dx

1 1 + 2 + 4 x −1 dx

⎛ 1 1 1 −1 ⎞ ⎜ x2 + x 2 ⎟ 2 ⎝2 ⎠

∫

=

6. Jawaban: c 3 2

1 x 4

∫

=

2

1 1 1 1 + 4 x − 2 + 4 x −1 dx

∫

=

∫ 3 dx

y= x

∫

=

9 dx

−1

=

⎛ 1 1 1 −1 ⎞ 1 + ⎜⎝ 2 x 2 − 2 x 2 ⎟⎠

100

8

=

x dari x = 1 sampai

2

=

1 1 −6 6 ∫ 1 + x − 2 + 16 x dx 1


179

10. Jawaban: b

2

=

1

∫

1

2

=

1 16

x6 + 2 +

⎛ 3 1 −3 ⎞ ⎜x + x ⎟ 4 ⎝ ⎠

∫

1

x −6 dx

2

dx

Turunan dari x = 2 sin t adalah dt = 2 cos t. dy

Turunan dari y = 2 cos t adalah dt = –2 sin t.

dx

Panjang kurva x = 2 sin t dan y = 2 cos t dari t = 0

2

= ∫ ⎛⎜ x3 + 1 x −3 ⎞⎟ 4 ⎝ ⎠ 1

dx

2

sampai dengan t = 3 π: 2

1 1 ⎤ ⎡ 1 = ⎢ 4 x4 + 4 × −2 x–2 ⎥ ⎦1 ⎣

b

S =

a

2

1 ⎤ ⎡ 1 = ⎢ 4 x4 – 2 ⎥ 8x ⎦1 ⎣ 1

=

1

1

8

4

=

= 4 – 32 – 32 + 32 27

=

9. Jawaban: d y = (4 – y )

2

3

1

2

= 2 (4 – y 3 )2 × (– 3 y 1

2

−

=

1 3

)

1

= 2 3

Panjang kurva x = (4 – y )

3 2

∫

dari y = 1 sampai

= =

(

−

−

)

2 1 2 3 2

1 3

2

2

∫ 1 + y 3 (4 − y 3 ) dy 1

=

8

−

1

=

∫ 4y

−

2 3

dy

1

=

8

−

4(1) dt

∫

2 π 3

∫ 2 dt

4

dy

B. Uraian y = x2 + 3x – 4 dy dx

= 2x + 3

Bentuk integral yang menyatakan panjang garis y = x2 + 3x – 4 dari x = 0 sampai dengan x = 3:

1

∫ (2 y 3 ) dy

S=

1

3 = ⎡⎢ 2 × y 2 ⎣

2

= ⎡⎢ 3 y 3 ⎣

2 3

2 3

b

2

⎛ dy ⎞ ∫ 1 + ⎜⎝ dx ⎟⎠ dx

a 8

⎤ ⎥⎦ 1

8

⎤ ⎥⎦ 1

b

= =

2 3

= 3( 8 – 1 ) = 3(4 – 1) = 9 satuan panjang 180

π

= 3 π satuan panjang

1. a.

2 3

∫ 1 + 4y − 1 dy

8

2 π 3

2

⎠

8

4(cos2 t + sin2 t) dt

∫

= 2( 3 π – 0)

∫ 1 + −y (4 − y ) 1

2 π 3

2

2

8

4 cos2 t + 4 sin2 t dt

∫

= ⎡⎢ 2t ⎤⎥ 3 dt ⎣ ⎦0

1 + ⎛⎜ dx ⎞⎟ dy dy ⎝

c

2 π 3

0

y = 8: d

(2 cos t)2 + (−2 sin t)2 dt

∫

0

= – y 3(4 – y 3 )2

S =

⎝ dt ⎠

0

2 3 3 2

−

2

+ ⎛⎜ dy ⎞⎟ dt

0

= 3 32 satuan panjang

dx dy

2 π 3

2

0

= (4 – 32 ) – ( 4 – 8 ) 1

⎛ dx ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠

∫


2 ∫ 1 + (2x + 3) dx

a b

2 ∫ 1 + 4x + 12x + 9 dx

a b

=

2 ∫ 4x + 12x + 10 dx

a

dx

x = 4t2 ⇒ dt = 8t

b.

dy

y = 3t + 5 ⇒ dt = 3 Panjang kurva x = 4t2 dan y = 3t + 5 dari y = 1 sampai dengan y = 4: b

⎛ dx ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠

∫

S =

a

2

dengan y = 3: d

S =

=

⎝ dt ⎠

1 4

1

3

2. y = dy dx

2 2 ) 3

+

3

3

2

=

1 2

=

1

= 3x(x +

2

1 + 9x 4 + 6x 2 dx

∫

−2 5

(3x 2 + 1)2 dx

∫

=

−2

∫

2

(3x + 1) dx

−2 5

= ⎡⎢ x3 + x ⎤⎥ ⎣ ⎦ −2 = (125 + 5) – (–8 – 2) = 130 – (–10) = 140 satuan panjang 3. x =

y3 12

+

1 y

1

1

= 12 × 3y2 + (–1)y–2 =

1

12

17

= 6 satuan panjang 3

⇔ 3y – 1 = x 2 3

⇔ 3y = x 2 + 1

1 4

2

dy dx

1

1

3

1

1

1

= 3 × 2 x2 = 2 x2 Panjang kurva (3y – 1)2 = x3 dari x = 0 sampai dengan x = 5: b

S =

2

⎛ dy ⎞ ∫ 1 + ⎜⎝ dx ⎟⎠ dx

a

=

∫

0

2

⎛1 1⎞ 1 + ⎜⎝ 2 x 2 ⎟⎠ dx

5

=

1 ∫ 1 + 4 x dx

0 5

–2

y –y

3

⇔ y = 3 x2 + 3

5

= 12 y3 + y–1 dx dy

4

1

5

=

1

4. (3y – 1)2 = x3

5

=

3

⎤ ⎥⎦1

1 y

1

27

2

−2

1

= 12 – 12 – 12 + 12

1 + 9x 2 (x 2 + 3 ) dx

∫

+ y −4 dy

∫ ( 4 y2 + y–2) dy

9

2

5

=

+ y −4 dy

= ( 4 – 3 ) – ( 12 – 1)

1 ⎛ 2 ⎞ 1 + ⎜⎝ 3x(x 2 + 3 ) 2 ⎟⎠ dx

−2

dy

+ y −2 )2 dy

⎡ 1 = ⎢ 12 y3 – ⎣

a

∫

1 2

+

1 2

2

3

2

5

1 2 y 4

−

)

1 ⎤ ⎡ 1 1 = ⎢ 4 × 3 y3 + −1 y–1 ⎥ ⎦1 ⎣

⎛ dy ⎞ ∫ 1 + ⎜⎝ dx ⎟⎠ dx

=

− y −2

1

1 2

Panjang kurva y = (x2 + 3 ) dari x = –2 sampai dengan x = 5. b

(

3

2 2 ) 3

2

∫

1

= 2 (x2 + 3 ) × 2x

S =

1 4 y 16

∫

1 2 y 4

1 4 y 16

∫ 1+ 1

=

dari y = 1 sampai

⎠

(

∫ 1+

3

2

1

(x2

⎝

3

=

∫ 64t + 9 dt

=

∫

1

2 2 ∫ (8t) + (3) dt

1 y

2

3

2

+ ⎛⎜ dy ⎞⎟ dt

+

1 + ⎛⎜ dx ⎞⎟ dy dy

c

4

=

y3 12

Panjang kurva x =

=

1

1

∫ (1 + 4 x ) 2 dx

0


181

=

3

3

5

1 2 ⎤ 1 3 (1 + 4 x ) ⎥ × ⎦0 4 2

= ⎡⎢ ⎣

1

3 ⎛ 8 ⎜ ⎛ 9 ⎞2 ⎜⎜ ⎟ 3 ⎝⎝ 4 ⎠

=

8 27 ( 3 8

=

8 19 ( ) 3 8

=

19 3

3 2

–1

=

1 3

=

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

=

– 1)

satuan panjang 3t2

– 5 adalah

dx dt

1

1 3

1

3

= 6t.

2

3

2 = 3 × 3 ⎡⎢ (1 + t2 )2 ⎤⎥ dt ⎦1 ⎣ 3

3

= 2(10 2 – 2 2 ) = 2(10 10 – 2 2 )

sampai dengan t = 3:

a

3

1

Panjang kurva x = 3t2 – 5 dan y = 2t3 + 3 dari t = 0

⎛ dx ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠

2 ∫ 6t (1 + t ) dt

= 3 ∫ (1 + t2 ) 2 d(1 + t2)

dy

∫

1 3

= 3 ∫ (1 + t2 )2 × 2t dt

Turunan dari y = 2t3 + 3 adalah dt = 6t2.

S =

2 2 ∫ 36t (1 + t ) dt

1

5. Turunan dari x =

b

2 4 ∫ 36t + 36t dt

= (20 10 – 4 2 ) satuan panjang

2

+ ⎛⎜ dy ⎞⎟ dt ⎝ dt ⎠

3

=

2 2 2 ∫ (6t) + (6t ) dt 1

2. Jawaban: c

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Daerah yang diarsir dibatasi oleh parabola y = (2 – x)2 dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2. Luas daerah yang diarsir:

Y 9

5

2

L = ∫ (2 – x)2 dx 0 2

= ∫ (4 – 4x + x2) dx 0

= ⎡4x − 2x + ⎣ 2

8

–1 0

2 1 3⎤ x 3 ⎦0

= (8 – 8 + 3 ) – 0 8

= 3 satuan luas

X 1 2 3 4 5 2 y = –x + 4x + 5


L

=

∫ y dx 1

4

=

∫ (–x2 + 4x + 5) dx 1

4

1 3 2 = ⎡⎣ − 3 x + 2x + 5x ⎤⎦ 1

182


64

1

⇔

= (– 3 + 32 + 20) – (– 3 + 2 + 5) 64

x = –4 atau x = 2 ⇔ ⇔ (tidak ada) x=4

1

= (– 3 + 52) – (– 3 + 7) −64

= 3

( x + 4)( x – 2) = 0

1

+ 3 + 52 – 7

Y 8

−63

x+y=8

= 3 + 45 = –21 + 45

y=2 x

= 24 satuan luas 3. Jawaban: c

II

I

Y 4

8

4

O

X

Daerah I dibatasi oleh kurva y = 2 x dan sumbu X pada interval 0 < x < 4. 4

–3 –2 –1 0

1

2

Luas daerah I adalah LI =

X

3

Daerah II dibatasi oleh garis y = 8 – x dan sumbu X pada interval 4 < x < 8.

y = 4 – x2


8

1

L

= =

∫ y dx

Luas daerah II adalah LII =

∫ (4 – x2) dx

Luas daerah yang diarsir: L = LI + LII

−1 1 −1

1

1 = ⎡4x − 3 x 3 ⎤ ⎣ ⎦ −1

=

1

1

= (4 – 3 ) – (–4 + 3 ) 11

11

=

22

1

= 3 – (– 3 ) = 3 = 7 3 satuan luas 4. Jawaban: c 3

Y

L = ∫ (−x 2 + 4x) dx

y = –x2 + 4x

1

4

8

0

4

4

8

0

4

∫ 2 x dx +

= ⎡ − 1 x 3 + 2x 2 ⎤ ⎢⎣ 3 ⎥⎦1 = (–9 + 18) – =

1 (– 3

∫ 2 x dx – ∫ (x – 8) dx

6. Jawaban: e Gambar daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 6x + 8 dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 4 sebagai berikut. Y

f(x) = x2 – 6x + 8

8

+ 2) 0

1

2

3

4

X

satuan luas

5. Jawaban: e Menentukan perpotongan kedua kurva. Substitusikan y = 2 x ke dalam persamaan x + y = 8. x+y=8 ⇔ ⇔

∫ (8 – x) dx.

4

∫ (8 – x) dx

3

1 73

∫ 2 x dx.

0

x+2 x =8 2

( x ) +2 x –8=0

I O

III 2

II 4

6

X

Pada gambar tampak luas daerah I sama dengan luas daerah III. Luas daerah yang diarsir: L = LI + LII + LIII = 2 LI + LII


183

2

4

0

2

= 2 ∫ (x2 – 6x + 8) dx + 2

= 2 ∫ (x – 6x + 8) dx – 2

0

∫ –(x2 – 6x + 8) dx

0

1

4

∫ (x – 6x + 8) dx 2

2

7. Jawaban: d Menentukan titik potong kedua kurva. Eliminasi y dari kedua persamaan kurva diperoleh: y = 4 + 2x – x2 y=4–x –––––––––––– – 0 = 3x – x2 ⇔ x(3 – x) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 3 Daerah yang diarsir berada di bawah kurva y1 = 4 + 2x – x2 dan di atas kurva y2 = 4 – x pada interval 0 < x < 3. Luas daerah yang diarsir: 3

L =

1

L = ∫ (x – x2) dx

∫ (y1 – y2) dx

1 ⎡1 ⎤ = ⎢ x2 − x3 ⎥ 3 ⎣2 ⎦0

1

1

1

= ( 2 – 3 ) – 0 = 6 satuan luas 10. Jawaban: c Daerah yang diarsir berikut merupakan daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 4x + 3 dan y = x – 1. Y

y2 = x2 – 4x + 3 y1 = x – 1

3

0 –1

1

2

3

X

4

–2

0 3

=

∫ ((4 + 2x – x2) – (4 – x)) dx


0

4

3

=

L=

∫ (3x – x2) dx

0

=

8. Jawaban: a a

a

1

1

L = ∫ y dx = ∫ (x + 3) dx ⇔ ⇔

10 =

⇔

10 =

1 ( 2 a2 + 1 2 a + 2

1 3a) – ( 2 1 3a – 3 2

+ 3)

⇔ a2 + 6a – 27 = 0 ⇔ (a – 3) (a + 9) = 0 ⇔ a – 3 = 0 atau a + 9 = 0 ⇔ a = 3 atau a = –9 Oleh karena a > 1 maka a = 3. Jadi, nilai a = 3. 9. Jawaban: a Menentukan titik potong antara kedua kurva. Substitusikan y = x2 ke dalam persamaan y = x. x2 = x 2 ⇔ x –x=0 ⇔ x(x – 1) = 0 ⇔ x = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = 0 atau x=1

184


1 4

∫ ((x – 1) – (x2 – 4x + 3)) dx

1 4

=

∫ (–x2 + 5x – 4) dx

=

⎡ 1 3 ⎢⎣ − 3 x

=

1 –3

a

⎡1 ⎤ 10 = ⎢ x 2 + 3x ⎥ ⎣2 ⎦1

∫ (y1 – y2) dx

1

⎤ + 5 x2 − 4x ⎥ 2

× 43 +

4

⎦1

5 2

1

5

× 42 – 4 × 4 – (– 3 × 13 + 2 × 12

– 4 × 1) 64

1

5

= (– 3 + 40 – 16) – (– 3 + 2 – 4) 8

11

= 3 – (– 6 ) 16

11

27

9

= 6 + 6

= 6 = 2 satuan luas 11. Jawaban: c Menentukan titik potong antara kedua kurva. Eliminasi y dari kedua persamaan kurva. y = x2 – x – 2 y=x+1 ––––––––––––––––– – 0 = x2 – 2x – 3 ⇔ (x + 1)(x – 3) = 0 ⇔ x + 1 = 0 atau x – 3 = 0 ⇔ x = –1 atau x=3

Y

y1 = x + 1

y2 = x2 – x – 2

13. Jawaban: d 3x – 2y = –6 ⇔ 3x = 2y – 6 2

⇔ x= 3y–2 1

X

–1 0

3

0 3

2 3

2

V = π ∫ ( 3 y – 2)2 dy 3

2

2

= π ∫ 2 ( 3 y – 2)2 d( 3 y – 2)

–2

0


3

L = ∫ (y1 – y2) dx = ∫ ((x + 1) – (x2 – x – 2)) dx 0 3

0

1

2

2

= 2 π (( 3 × 3 – 2)3 – ( 3 × 0 – 2)3) 1

= 2 π(0 – (–8)) = 4π satuan volume

= ∫ (2x – x2 + 3) dx 0

3

1 = ⎡ x 2 − 3 x 3 + 3x ⎤ ⎣ ⎦0

14. Jawaban: b 3

V = π ∫ (3x – 2)2 dx

= (9 – 9 + 9) – 0

Y

y = 3x – 2

1 3

= 9 satuan luas 12. Jawaban: c Menentukan titik potong kedua kurva. Substitusikan y = 6x – x2 ke dalam persamaan y = x2 – 2x. 6x – x2 = x2 – 2x ⇔ 2x2 – 8x = 0 ⇔ 2x(x – 4) = 0 ⇔ 2x = 0 atau x – 4 = 0 ⇔ x = 0 atau x=4 Y

3

⎤ 2 1 ⎡ 2 = π × 3 × 3 ⎢ ( 3 y – 2)3 ⎥ ⎦0 ⎣

y=

x2

– 2x

= π ∫ (9x2 – 12x + 4) dx 1

3

= π ⎡⎣ 3x 3 − 6x 2 + 4x ⎤⎦ 1 = π((81 – 54 + 12)

X 0 –2

2 3

1

3

– (3 – 6 + 4)) = π(39 – 1) = 38π satuan volume 15. Jawaban: b Daerah yang dibatasi garis 2x + y = 4, sumbu X, dan sumbu Y digambarkan sebagai berikut. Y

0

2

4 6 4 X y = 6x – x2

4

Luas = ∫ ((6x – x2) – (x2 – 2x)) dx

2x + y = 4

0 4

= ∫ (8x – 2x2) dx 0

X

2

O

4

2 = ⎡4x 2 − 3 x 3 ⎤ ⎣ ⎦0

= 4 × 42 – = 64 –

128 3

2 3

=

× 43 – 0 64 3

satuan luas

Daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu Y, volumenya: 4

1

V = π ∫ (2 – 2 y)2 dy 0

4

1

= π ∫ (4 – 2y + 4 y2) dy 0

4 1 = π ⎡⎢ 4y – y2 + 12 y3 ⎤⎥ ⎣ ⎦0


185

19. Jawaban: c Volume benda putar:

16 = π ⎡⎢ (16 – 16 + 3 ) – 0 ⎤⎥ ⎦ ⎣ 16

= 3 π satuan volume

4

4

2

2

16. Jawaban: a Persamaan garis melalui titik (–2, 0) dan (0, 4) adalah: 4x – 2y = –8 ⇔ 2y = 4x + 8 ⇔ y = 2x + 4

4 4

=π∫

2

2

4

⎡ 4 ⎤ = π ⎢− 3 ⎥ ⎣ 3y ⎦ 2

2

−4 4 – (– )) 192 24 1 1 = π(– + ) 48 6 −1 8 = π( + ) 48 48 7 = π( ) 48 7 = π satuan volume 48

= π(

−2

1

= π ∫ 2 (2x + 4)2 d(2x + 4) −2

2

1 1 = 2 π × 3 ⎡⎢ (2x + 4)3 ⎤⎥ ⎣ ⎦ −2 1

= 6 π((2 × 2 + 4)3 – (2 × (–2) + 4)3) 1

= 6 π(83 – 0)

20. Jawaban: d Volume benda putar:

256

= 6 π = 3 π satuan volume

4

Vy = π ∫ (x12 – x22) dy

17. Jawaban: c 1

V = π ∫ (x2 – 1)2 dx

0 4

Y

−1 1

1

= 2π ∫ (x2 – 1)2 dx 0 1

= 2π ∫ (x4 – 2x2 + 1) dx 0

1

–1

0

=

1

= π ∫ (y – 4 y) dy

Y

y = 4x22 y = x12

4

y=4

0

y = x2 – 1 1

X

4

–1

⎦0

– 0)

3

= π ∫ 4 y dy 0

⎤

= π ⎡⎢ y2 ⎥ ⎣8 ⎦ 3

= 2π ⎡⎢ 1 x 5 − 2 x 3 + x ⎤⎥ 3 ⎣5 1 2 = 2π( 5 – 3 + 1 3 − 10 + 15 = 2π( 15 )

dy

4

V = π ∫ (2x + 4)2 dx

512

y4

= π ∫ 4y–4 dy

Volume benda putar:

2

2

Vy = π ∫ x2 dy = π ∫ ( y 2 )2 dy

=

3 π( 8

4

–2 –1 0

0

× 42 –

3 8

× 02)

= π(6 – 0) = 6π satuan volume 21. Jawaban: b

16 π satuan volume 15

Y

y2 = x2 + 1

y1 = x + 3

18. Jawaban: d Persamaan parabola dengan puncak (3, 0) dan melalui titik (0, 9) adalah y = (x – 3)2. 3

3

V = π ∫ (x – 3)4 dx 0

3

1 = 5 π ⎡⎢ (x – 3)5 ⎤⎥ ⎣ ⎦0 1

= 6 π(0 – (–243)) 1

= 6 π × 243 = 40,5π satuan volume

186

1


–1

0

2

X

2

X

Volume benda putar:

3

=

2

V = π ∫ (y – y ) dx 2 1

−1

2 2

= π ∫ ((x + 3)2 – (x2 + 1)2) dx −1

2

243

= π(144 – 108 + 27 – 5

−1

2

2

3

2

2

(2 – (–1) ) + 3(2 – (–1) ) 1

= π(– (32 – (–1)) – 3 (8 – (–1)) + 3(4 – 1) 5 + 8(2 + 1))) =

1 π(– 5

× 33) –

1 3

1

1

1

= π(13 – ( 5 + 3 )) 11

= π(13 – 15 )

+ 8(2 – (–1)) 1

16

– 3 + 12 – 9 + 5 )

= π(66 – 48 5 – 5 3 )

2

1 1 = π ⎡ − x5 − x3 + 3x 2 + 8x ⎤ 3 ⎣⎢ 5 ⎦⎥ −1 3

16

1

= π ∫ (–x4 – x2 + 6x + 8) dx

(2 – (–1) ) –

1

– 12 × 12 + 9 × 1 – 5 × 15))

−1

1 3

1

16

= π ∫ (x2 + 6x + 9) – (x4 + 2x2 + 1) dx

5

3

= π(( 3 × 33 – 12 × 32 + 9 × 3 – 5 × 35) – ( 3 × 13

2

5

1

16 3 1 5 2 = π ⎡⎣ 3 x − 12x + 9x − 5 x ⎤⎦

2

1 = π(– 5

∫ (16x2 – 24x + 9 – x4) dx

4

= 12 15 π satuan volume 23. Jawaban: e y=x+2

Y

×9+3×3+8×3

33

= π(– 5 – 3 + 9 + 24) =

117 5

2

π satuan volume –2

22. Jawaban: e

X

1 2 y = 4 – x2

Y y2 = x2

0

Volume benda putar:

9

1

V = π ∫ ((4 – x2)2 – (x + 2)2) dx −2 1

= π ∫ ((x4 – 8x2 + 16) – (x2 + 4x + 4)) dx −2 1

= π ∫ (x4 – 9x2 – 4x + 12) dx −2

1

⎡ 1 ⎤ = π ⎢ 5 x5 – 3x3 – 2x2 + 12x ⎥ ⎦ −2 ⎣ –3 –2 –1 0 –1

1

2

3

–2 –3 y1 = 4x – 3 3

V =

∫ (y12 – y22) dx 1

X

1

= π( 5 (1 – (–32)) – 3(1 – (–8)) – 2(1 – 4) + 12(1 – (–2))) 1

= π( 5 × 33 – 3 × 9 – 2 × (–3) + 12 × 3) 33

= π( 5 – 27 + 6 + 36) 108


3

=π

∫ ((4x – 3)2 – (x2)2) dx 1


187

24. Jawaban: a Y

2

y2 = 2x

–2 –1 0 –1

26. Jawaban: d y = x2 – 3x + 2

y1 = 2x + 4

1

dy dx

Parabola di bawah sumbu X, maka: y<0 ⇔ x2 – 3x + 2 < 0 ⇔ (x – 1)(x – 2) < 0 ⇔ 1
X

2

= 2x – 3

–2

b

2

S =

V = π ∫ (y – y ) dx 2 1

−1

2 2

a

2

2

= π ∫ ((2x + 4)2 – (2x2)2) dx

=

−1

2

= π ∫ (4x + 16x + 16 – 4x ) dx 2

4

=

−1

⎣

2

2

⎦ −1

=

4

= π( 3 (23 – (–1)3) + 8(22 – (–1)2) + 16(2 – (–1)) 4 5

(25 – (–1)5))

4 = π( 3

(8 + 1) + 8(4 – 1) + 16(2 + 1) –

4

4 5

1

27. Panjang kurva (x, y) dengan x = 2t + 3 dan y = 2t2 dari t = 1 sampai dengan t = 4 adalah . . . .

(32 + 1)

∫

a.

1

4

4

∫

b.

1

132

= π(12 + 24 + 48 – 5 )

4

∫

c.

2

= π(84 – 26 5 )

1 4

3


∫

d.

1

25. Jawaban: a

4

2x + 1 ⇔ y2 = 2x + 1 ⇔ 2x = y2 – 1 x=

2

y –

∫

c

=

3

4 + 8t 2 dt 4 + 16t 2 dt

1

b

S =

∫

a

dy

2

∫ 1+ y dy


dy dt

dx dt

= 2.

= 4t.

Panjang kurva (x, y) dengan x = 2t + 3 dan y = 2t2 dari t = 1 sampai dengan t = 4:

2

1

188

2 + 8t 2 dt

Turunan dari y = 2t2 adalah 1

S =

2 + 4t 2 dt

Turunan dari x = 2t + 3 adalah

1 2

Panjang kurva x = 2 y2 – 2 dari y = 1 sampai dengan y = 3 adalah: 1 + ⎛⎜ dx ⎞⎟ ⎝ dy ⎠

1

2 + 2t 2 dt

Jawaban: e

=y

d

∫

e.

y=

1 2

2 ∫ 4x − 12x + 10 dx

4

= π( 3 × 9 + 8 × 3 + 16 × 3 – 5 × 33)

dx dy

2 ∫ 1+ 4x − 12x + 9 dx 1

= π ⎡ 34 x3 + 8x 2 + 16x − 54 x5 ⎤

⇔

2 ∫ 1+ (2x − 3) dx 1

2

–

2

⎞ dx ∫ 1 + ⎛⎜⎝ dy ⎟ dx ⎠

=

2

2

+ ⎛⎜ dy ⎞⎟ dt ⎝ dt ⎠

4

2 2 ∫ 2 + (4t) dt

1 4

=

⎛ dx ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠

∫ 4 + 16t 2 dt 1

28. Jawaban: b x=y 3 +1 dx dy

=

2

dx dy

3

d

1

= 2y(y2 + 1) 2

2

c

=

d

∫

S =

2

∫ 1 + ( 3) dy

c

2 6

=

∫

=

∫ 2 dy

4 2 = ⎡⎢ y3 + y ⎤⎥

⎣3

=(

128 3

+ 4) – ( 2 3

2 3

+ 1)

128 3

–

=

126 3

+ 3 = 42 + 3 = 45 satuan panjang

+4–1

2

⎛3 1⎞ 1 + ⎜⎝ 2 x 2 ⎟⎠ dx

12

∫

0

B. Uraian 1.

12

9 ∫ 1 + 4 x dx

Y 2

0

12

9

0

0

4 (1 9

1

+

4 = ⎡⎢ ×

1 3 2

⎣ 9

( 28

3 2

x=4

1 2

∫ (1 + 4 x) dx

0

⎦1

=

2

a

∫

2 ∫ (2y + 1) dy

1

⎛ dy ⎞ ∫ 1 + ⎜⎝ dx ⎟⎠ dx

12

4

=

1 2

b

=

2 2 ∫ (2y + 1) dy 1

Panjang kurva y = x x – 2 dari x = 0 sampai dengan x = 12:

=

4

=

y=x x –2= x –2

=

4 2 ∫ 1 + 4y + 4y dy 1

3 2

=

dy

4

=

29. Jawaban: b

x

)

1 2

1

= 2(6 – 2) =2×4 = 8 satuan panjang

S =

(

1 + 2y(y 2 + 1) 2

2 2 ∫ 1 + 4y (y + 1) dy

6

= ⎡⎢ 2y ⎤⎥ ⎣ ⎦2

3 2

⎠

4

=

2

=

⎝

1

6

dy dx

2

1 + ⎛⎜ dx ⎞⎟ dy dy

4

∫ 1+ 3 dy

2

=

3

2

Panjang kurva x = 3 (y2 + 1) 2 dari y = 1 sampai dengan y = 4:

⎞ dy ∫ 1 + ⎛⎜⎝ dx dy ⎟⎠

6

1

3

= 3 × 2 (y2 + 1) 2 × 2y

Panjang garis x = y 3 + 1 dari y = 2 sampai dengan y = 6: S =

3

2

x = 3 (y2 + 1) 2

9 2 x) 4

(1 + 3

d(1 +

9 x) 4

3 2

12 9 ⎤ x) ⎥ 4 ⎦0

)

=

8 27

=

8 27

(28 28 – 1)

=

8 27

(56 7 – 1) satuan panjang

– 12

2

4

6

8

X x + 4y = 8

x + 4y = 8 ⇔ 4y = 8 – x 1

⇔

y=2– 4x Luas daerah yang diarsir: 4

L= =

∫ y dx

0 4

∫ (2 –

0

1 4

x)) dx

30. Jawaban: b Matematika Kelas XII

189

4

8

1 ⎤ ⎡ = ⎢2x − x2 ⎥ = (8 – 2) – (0 – 0) = 6 ⎣

= ( 6 – 0) + (16 – 8) – (8 – 2)

⎦0

8

4

Jadi, luas daerah tersebut 6 satuan luas. 2. a.

Menentukan titik potong kurva dengan sumbu X. x2 – 4x + 3 = 0 ⇔ (x – 1)(x – 3) = 0 ⇔ x – 1 = 0 atau x – 3 = 0 ⇔ x = 1 atau x=3

= 3 +2 1

= 3 3 satuan luas 4.

Y

3

L = – ∫ (x2 – 4x + 3) dx

II

1

–3

3

1 3 2 = – ⎡⎣ 3 x − 2x + 3x ⎤⎦ 1

X

3

0 I

1

= –((9 – 18 + 9) – ( 3 – 2 + 3)) 1

1

= –(0 – 1 3 ) = 1 3 satuan luas

b.

Menentukan titik potong kurva dengan sumbu X. 8 – 2x2 = 0 ⇔ 2x2 = 8 ⇔ x2 = 4 ⇔ x=± 4 ⇔ x = 2 atau x = –2

0

LI = – ∫ x3 dx −3

0

⎡1 ⎤ = – ⎢ x4 ⎥ ⎣ 4 ⎦ −3 1

1

2

= –( 4 × 04 – 4 × (–3)4)

−2

= –(0 – 4 ) = 4 satuan luas

L = ∫ (8 – 2x2) dx

81

2

81

Daerah II sama bentuk dan ukuran dengan daerah I

2 = ⎡8x − 3 x 3 ⎤ ⎣ ⎦ −2

81

2

2

= (8 × 2 – 3 × 23) – (8 × (–2) – 3 × (–2)3) 16

16

maka LII = LI = 4 satuan luas. 81

= (16 – 3 ) – (–16 – (– 3 ))

162

= 4

32

1

= 32 – 3

= 40 2 satuan luas 5. a.

1

= 21 3 satuan luas

Y

3. Daerah yang diarsir dibagi menjadi dua bagian. Daerah I dibatasi parabola y =

1 2

2

x dan

sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2. Daerah II dibatasi garis y = 4 – x dan sumbu X pada interval 2 ≤ x ≤ 4. Luas daerah yang diarsir: L = LI + LII 2

4

1

= ∫ 2 x2 dx + ∫ (4 – x) dx 0

=

190

2

⎡ 1 ⎢⎣ 6

2

81

Jadi, L = LI + LII = 4 + 4

⎡

1

4

x3 ⎤⎥ + ⎢⎣ 4x – 2 x2 ⎤⎥ ⎦0 ⎦2


Daerah D

4

y2 = x2 – 3x – 4 –1 0

–4

4

X y1 = –x2 + 3x + 4

b.

Luas daerah D:

7.

Y 9

4

L = ∫ (y1 – y2) dx −1 4

= ∫ ((–x2 + 3x + 4) – (x2 – 3x – 4)) dx −1 4

= ∫ (–2x2 + 6x + 8) dx −1

4

⎡ 2 ⎤ = ⎢ – 3 x3 + 3x2 + 8x ⎥ ⎦ −1 ⎣ 128

–3

2

= (– 3 + 48 + 32) – ( 3 + 3 – 8) =

128 (– 3

+ 80) –

2 (3

a.

V x = π ∫ y2 dx 0 3

130

=

+

= π ∫ (9 – x2)2 dx

255 3

0 3

= π ∫ (81 – 18x2 + x4) dx

125

= 3

0

3

⎡ ⎤ 1 = π ⎢ 81x – 6x3 + 5 x5 ⎥ ⎦0 ⎣

2

= 41 3 2

1

Jadi, luas daerah D adalah 41 3 satuan luas. 6. a.

Y

Volume daerah D diputar terhadap sumbu X: 3

– 5)

= – 3 + 85 130 – 3

X 3 y = 9 – x2

0

= π((81 × 3 – 6 × 33 + 5 × 35) – 0) 243

Daerah D

= π(243 – 162 + 5 )

y = 8x – 2x2

= π(81 + 5 )

243

648

= π( 5 ) 648

y = 4x – x2

0

b.

4

X

b.

Luas daerah D:

9

V y = π ∫ x2 dy

4

L = ∫ ((8x – 2x2) – (4x – x2)) dx

0 9

0 4

= π ∫ (9 – y) dy

= ∫ (4x – x2) dx 0

0

9

⎡ ⎤ 1 = π ⎢ 9y – 2 y2 ⎥ ⎦0 ⎣

4

⎡ ⎤ 1 = ⎢ 2x2 – 3 x3 ⎥ ⎦0 ⎣ 1

1

= (2 × 42 – 3 × 43) – (2 × 02 – 3 × 03) 64

= (32 – 3 ) – 0 2

= 5 π satuan volume Volume daerah D diputar terhadap sumbu Y:

= 10 3 satuan luas

1

= π((9 × 9 – 2 × 92) – 0) 81

= π(81 – 2 ) 81



191

8.

Y

4

1 1 1 ⎤ ⎡ 1 = ⎢ 2 × 4 x4 + 2 × −2 x–2 ⎥ ⎦1 ⎣

1

4

π

π 2

0

3 2

X

2π

π

1

= ( 8 × 44 –

y = sin x

–1

1

π

= (32 – 64 )

2

Volume = π ∫ sin x dx 0 π

1

1

⎣2

= = 4

x 8

9. y =

1

= 8 x4 + dy dx

π

–

1 4

sin 0))

1 4x 2 1 –2 x 4

1

Panjang kurva (x, y) dengan x = 3 sin 2t dan 1

y = 3 cos 2t dari t = 0 sampai dengan t = 4 π:

=

x4 8

dengan x = 4:

1 4x 2

+

dari x = 1 sampai

2

=

1

(

1 3 x 2

1

− 2 x −3

)

2

dx

=

1 6 1 1 −6 ∫ 1 + 4 x − 2 + 4 x dx 1

4

=

∫

1

4

=

∫

1

2

+ ⎛⎜ dy ⎞⎟ dt ⎝ dt ⎠

(6 cos 2t)2 + (−6 sin 2t)2 dt

∫

1 π 4

36 cos2 2t + 36 sin2 2t dt

∫

1 π 4

36(cos2 2t + sin2 2t) dt

∫

1 π 4

36 × 1 dt

∫

=

1 π 4

∫ 6 dt

0

1 6 x 4

1 1 + 2 + 4 x −6 dx

⎛ 1 3 1 −3 ⎞ ⎜ x + x ⎟ 2 ⎝2 ⎠

2

dx

= ∫ ⎛⎜ 1 x3 + 1 x −3 ⎞⎟ ⎝2 ⎠ 2 1

1

= ⎡⎢ 6t ⎤⎥ 4 ⎣ ⎦0

dx


π

dt

1

= 6( 4 π – 0) 3

4

192

1 π 4

2

0

4

=

⎛ dx ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠

0

a

∫ 1+

∫

0

=

⎛ dy ⎞ ∫ 1 + ⎜⎝ dx ⎟⎠ dy

4

b

0

1

Panjang kurva y =

=

16

dy

a

1

b

8

Turunan dari y = 3 cos 2t adalah dt = –6 sin 2t.

= 2 x3 – 2 x–3

S =

1

– 4)

10. Turunan dari x = 3 sin 2t adalah dt = 6 cos 2t.

S =

= 8 × 4x3 + 4 × (–2)x–3 1

)

dx

1 π π(( 2 – 4 sin 2π) – (0 π π( 2 – 0) – 0) 1 2 π satuan volume 2

+

1 4 × 12

7

⎦0

4

1

) – ( 8 × 14 –

= 32 64 satuan panjang

0

1 ⎡1 ⎤ = π ⎢ x − sin 2x ⎥

1 4 × 42 1 –(8

= 32 – 64 – 64 + 54

= π ∫ 2 (1 – cos 2x) dx

=

1 ⎤ ⎡ 1 = ⎢ 8 x4 – 2 ⎥ 4x ⎦1 ⎣

= 2 π satuan panjang

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. menentukan integral tak tentu fungsi trigonometri; 2. menentukan integral tentu fungsi trigonometri; 3. menentukan ciri bentuk integral yang harus diselesaikan menggunakan metode substitusi; 4. menentukan hasil integral tak tentu menggunakan metode substitusi; 5. menentukan hasil integral tentu menggunakan metode substitusi; 6. menemukan ciri bentuk integral yang harus diselesaikan menggunakan metode parsial; 7. menentukan hasil integral tak tentu menggunakan metode parsial; 8. menentukan hasil integral tentu menggunakan metode parsial. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik bersikap teliti dan pantang menyerah ketika mempelajari integral parsial dan dalam menerapkan di kehidupan sehari-hari.

Integral Parsial

Integral Trigonometri dan Integral Substitusi

• • • • • •

Menjelaskan integral fungsi trigonometri. Menentukan integral tak tentu fungsi trigonometri. Menentukan integral tentu fungsi trigonometri. Menjelaskan integral substitusi. Menentukan integral tak tentu menggunakan cara substitusi. Menentukan integral tentu menggunakan cara substitusi.

Integral Parsial

• • •

Menjelaskan integral parsial. Menentukan integral tak tentu menggunakan cara parsial. Menentukan integral tentu menggunakan cara parsial.

Bersikap teliti dan pantang menyerah ketika mempelajari integral parsial dan dalam menerapkan di kehidupan sehari-hari.


193

A. Pilhan Ganda

5. Jawaban: d π

1. Jawaban: c

∫ (sin 3x + cos x) dx

∫ (cos 2x – 2 sin x) dx = ∫ cos 2x dx – 2 ∫ sin x dx 1 2 1 2

= =

0

⎤

⎡ 1 = ⎢ − cos 3x + sin x ⎥

sin 2x – 2(–cos x) + c

=

sin 2x + 2 cos x + c

=

2. Jawaban: d = ∫ (tan x sec x +

sec2

= ∫ tan x sec x dx + ∫ = sec x + tan x + c

1 π 3

x) dx

sec2

−π

x dx

π 4

1

π

1

−5

1

1

1

)+c

7. Jawaban: b 2 π 3

∫ cos (3x – π) dx =

1 π 2

(sin 2x + 3 cos x) dx

=

0 1 π ⎤3

=

= ⎡ − 1 cos 2x + 3 sin x) ⎢ ⎥ ⎣ 2

⎦0

2π

1

π

1

1

1

= (– 2 × (– 2 ) + 3( 2 3 ) – (– 2 + 0) 1

3

1

= ( 4 + 2 3 ) – (– 2 ) 3

3

= 4 + 2 3 3

= 4 (1 + 2 3 )

=

1

= (– 2 cos 3 + 3 sin 3 ) – (– 2 cos 0 + 3 sin 0) 1

⎡1 ⎢⎣ 3 sin (3x

∫ (sin x + cos x)(sin x – cos x) dx

0

π 3

∫ (sin2 x – cos2 x) dx

0

=

π 3

∫ –(cos2 x – sin2 x) dx

0

= – ∫ cos 2x dx 0

⎦ π 2

1 3 (sin (2π – π) – sin ( 2 π – π)) 3 1 1 (sin π – sin 2 π) 3 1 1 (0 – 1) = – 3 3

π 3

=

2 π 3

− π)⎤⎥ 1

8. Jawaban: e

π 3

Integral Parsial

1

=–4 3

4. Jawaban: e

194

1

=0– 2(2 3 )

π

cosec (3x –

1

= 2 sin π – 2 sin 3 π

π

) cosec (3x – 4 ) dx

π 4

2π

1

cosec (ax + b) + c

1

∫

π

= 2 sin ( 3 + 3 π) – 2 sin (–2π + 3 π)

= – 3 cosec (3x + (– 4 )) + c

1 π 3

π) dx

−π

π

=

2

+ 0) = 3

1

= ∫ cotan (3x + (– 4 )) cosec (3x + (– 4 )) dx 1 –3

1

sin π) – (– 3 cos 0 + sin 0)

3 = ⎡⎢ 1 sin (2x + 1 π)⎤⎥ 3 ⎦ ⎣2

∫ cotan (ax + b) cosec (ax + b) dx ∫ cotan (3x –

1 3

∫ cos (2x +

3. Jawaban: c =

⎦0

6. Jawaban: b

∫ sec x (tan x + sec x) dx

1 –a

⎣ 3 1 (– 3 cos 3π + 1 1 ( 3 + 0) – (– 3

π

11. Jawaban: c Misalkan:

π

=

⎤3 ⎡ 1 ⎢⎣ − 2 sin 2x ⎥⎦ 0

⇔

2π

1

= – 2 (sin 3 – sin 0) =– =–

1 1 ( 2 2 1 3 4

du

⇔ (2x + 3) dx = 3

3 – 0)

∫

9. Jawaban: c Misalkan: u = 2x2 + 8x + 1 ⇔ du = (4x + 8) dx

∫ (2x + 4) 2x + 8x + 1 dx =

∫ 2x2 + 8x + 1 (2x + 4) dx

=

∫ 2x + 8x + 1

=

4x + 8 ( 2

) dx

1 2

∫ u du 1

= 2

1

∫ u2 du

1

2

1

3 2

3

2x + 3 3x 2 + 9x − 1

=∫u

−

1 2

= 1

∫

u

3

1

2

= 3

du

−

1 2

du

1

3x 2 + 9x − 1 + c

12. Jawaban: c Misalkan: u = x2 + 1 ⇔ du = 2x dx ∫12x(x2 + 1)2 dx = 6 ∫ (x2 + 1)2(2x dx) = 6 ∫ u2 du 1

= 6 ∫ 3 u3 + c = 2(x2 + 1)3 + c 1

1

∫ 12(x2 + 1)3 dx = 14

= 3u u +c

a

1

= 3 (2x2 + 8x + 1) 2x 2 + 8x + 1 + c 10. Jawaban: d Misalkan: u = 2x3 – 5 ⇔ du = 6x2 dx

=

2x 2

dx

− 5)5

∫ 2x2(2x3 – 5) −

−

5 7

dx

5 7

=

∫ (2x3 – 5) (2x2 dx)

=

∫u 1

= 3

1

−

5 7

∫u 7

1 3

⎡⎣2(x 2

1

+ 1)3 ⎤⎦ a = 14

⇔ 2((1 + 1)3 – (a2 + 1)3) = 14 ⇔ 8 – (a2 + 1)3 = 7 ⇔ (a2 + 1)3 = 1 ⇔ a2 + 1 = 1 ⇔ a2 = 0 ⇔ a=0 13. Jawaban: c Misalkan: u = sin 2x 1

1

5 − 7

∫ cos 2x sin 2x dx = ∫ (sin 2x) 2 (cos 2x dx)

du

1

2 7

2

= 6 u7 + c 7

2

7 7 (2x 3 6

− 5)2 + c

1

= ∫ u 2 ( 2 du) 1

= 2

1

= 6 (2x3 – 5) 7 + c =

⇔

du = 2 cos 2x dx ⇔ 2 du = cos 2x dx

du

= 3(2 u )+c 7

1

= 3 (2u 2 ) + c

= 3u +c

7 (2x 3

−

( 3 )

= 2 ( 3 u2) + c

∫

dx

= ∫ (3x2 + 9x – 1) 2 ((2x + 3) dx)

2

2

u = 3x2 + 9x – 1 du = (6x + 9) dx = 3(2x + 3) dx

1

∫ u 2 du 2

3

= 2 × 3 u2 + c 1

= 3u u +c 1

= 3 sin 2x

sin 2x + c


195

14. Jawaban: b Misalkan: u = cos 2x

c.

∫ 6 sec2 3x dx = 6 ×

d.

∫ cos4 2x sin 2x dx =∫ =

1 –2

=

1 –2

du 2

(–

∫

u4

×

1

du

1

+c 2.

a.

x 2

⇔ du = 2 cos ⇔

du 2

x 2

⎡1 ⎢⎣ 2 1 =(2

dx

x

= cos 2 dx

= (0

x

b.

du

= ∫ u3 ( 2 )

x sin4 2

π

π

c.

2

1

1

2 4 ) 2

3

∫ 3 sin 2x dx

⎡ 3 ⎢⎣ − 2

π

cos

⎤3 2x ⎥ ⎦0

2π

3 3

1

3

3

= – 2 (– 2 – 1)

∫ (cos x + 2 sin x) dx = ∫ cos x dx + 2 ∫ sin x dx

∫ sin (2x +

2 3

π) dx

1

2

= – 2 cos (2x + 3 π) + c

196

π 3

= – 2 (cos 3 – cos 0)

= sin x + 2(–cos x) + c = sin x – 2 cos x + c b.

) – sin 0)

∫ 6 sin x cos x dx

=

B. Uraian a.

4

0

= 8 – 32 = 32

1.

π (– 4

π 3

=

π

1

= 8 × 14 – 8 × ( 1

⎦

4

0

= 8 sin4 2 – 8 sin4 4 1

π

1

π x sin4 2 ⎤ π ⎦

1

π 4

= –2 (– 2 2 – 0) = 2

x

2

=

π

∫ 2 cos ( 4 – x) dx

= –2 (sin

∫ sin3 2 cos 2 dx π ⎡1 ⎣8

π 2

⎣ −1

+c

x

π

2 1 cos 3x ⎤⎥ 3 ⎦0 1 3π 1 sin π – 3 cos 2 ) – ( 2 1 1 – 0) – (0 – 3 ) = 3

sin 2x −

2 2 π = ⎡⎢ sin ( − x)⎤⎥ π

= 2 × 4 u4 + c =

∫ (cos 2x + sin 3x) dx

=

cos 2 dx

1 8

π 2

0

Misalkan: u = sin

1

3

= –6 cos 3 x – 2 sin 2x + c

15. Jawaban: a

1

1

= 2(–3 cos 3 x) – 3( 2 sin 2x) + c

1

x 2

x – 3 cos 2x) dx 1

= – 10 cos5 2x + c

∫ sin3

∫ (2 sin

1 3

= 2 ∫ sin 3 x dx – 3 ∫ cos 2x dx

)

1 5 u 5

tan 3x + c

= 2 tan 3x + c

du

du = –2 sin 2x dx ⇔ sin 2x dx = – 2

u4

1 3

Integral Parsial

9

= – 2 (– 2 ) = 4 3.

a.

f′(x) = 12 cos 2x f(x) = ∫ 12 cos 2x dx 1

= 12 × 2 sin 2x + c = 6 sin 2x + c

1

sin 0 – 3 cos 0)

d.

⎛ π⎞

f ⎜⎝ 12 ⎟⎠ = 8 ⇔ 6 ⇔ ⇔

⎛ π⎞ sin 2 ⎜⎝ 12 ⎟⎠ π 6 sin 6 1 6× 2

u = 4 – 3x2

Misalkan:

du

⇔ du = –6x dx ⇔ x dx = −6

+c=8

∫

+c=8

3x (4 − 3x 2 )2

dx = 3 ∫ (4 – 3x2)–2(x dx) du

= 3 ∫ u–2 ( −6 )

+c=8

⇔ 3+c=8 ⇔ c=5 Diperoleh f(x) = 6 sin 2x + 5. b.

⎛π⎞ f ⎜⎝ 4 ⎟⎠

= 6 sin = 6 sin

⎛π⎞ 2 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ π 2

3

= −6 1

a.

Misalkan:

∫

2 5−x

+5

1

= 2u + c

+5

u=5–x ⇔ du = –1 dx ⇔ dx = –du

dx = ∫

2 u

(–du)

= –2 ∫ u

−

1 2

5. a.

Misalkan:

=

1 +c 8 − 6x2

+c

u = x2 – 4x – 1 ⇔ du = (2x – 4) dx

Misalkan:

= –2 × 2u 2 + c

= ∫ (x2 – 4x – 1)–2(2 – x) dx

= –4 5 − x + c

= – 2 ∫ (2x2 – 4x – 1)–2(2x – 4) dx

1

u = x2 – 3 ⇔ du = 2x dx ⇔ 2x dx = du

1

1

1

= 2u + c

1

= 4 (x2 – 3)4 + c

=

u = 2x – 3 ⇔ du = 2 dx ⇔ dx =

∫ u–2 du

= – 2 × −1 u–1 + c

1

Misalkan:

1

=–2

= 4 u4 + c

1 2(x 2 − 4x − 1)

+c

2

2−x 2 (x − 4x − 1)2 0

∫

du 2

∫ (4x – 6) 2x − 3 dx

dx 2

⎡ ⎤ 1 = ⎢ 2 ⎥ 2(x − 4x − 1) ⎣ ⎦0

1 2

= ∫ 2(2x – 3)(2x – 3) dx 3

= 2 ∫ (2x – 3) 2 dx 3

1 2(4 − 3x2 )

2−x

∫ 2x(x2 – 3)3 dx = ∫ (x2 – 3)3(2x dx ) = ∫ u3 du

c.

=

∫ (x 2 − 4x − 1)2 dx

du 1

b.

1

= – 2 × −1 u–1 + c

=6×1+5 = 11 4.

∫ u–2 du

=

du

= 2 ∫ u2 × 2

1 2(22 − 4(2) − 1)

1

1

–

1 2(02 − 4(0) − 1)

2

= – 10 + 2 = 5

3

= ∫ u 2 du 2

5 2

= 5u +c 2

= 5 (2x – 3)2 2x − 3 + c

b.

π 2

∫ (1 – cos x) sin x dx

0

Misalkan:

u = 1 – cos x du

⇔ dx = sin x ⇔ du = sin x dx Matematika Kelas XII

197

∫(1 – cos x) sin x dx

π

1

1

= 2 (1 – cos 2 )2 – 2 (1 – cos 0)2

= ∫ u du

1

1

1

= 2 (1 – 0)2 – 2 (1 – 1)2

= 2 (1 – cos x)2 + c

1

= 2 (1) – 2 (0)

∫ (1 – cos x) sin x dx

= 2

= 2 u2 + c

1

π 2

1

1

0

π

2 1 = ⎡ (1 − cos x)2 ⎤ ⎣2 ⎦0

A. Pilihan Ganda 1.

1

∫ 8x (6x − 1) 3 dx

Jawaban: c Misalkan: u = 4x ⇔ du = 4 dx dv = (x – 2)3 dx ⇔ v = ∫ (x – 2)3 dx = ∫ (x – 2)3 d(x – 2) =

1 4

(x –

= (4x) ×

4

= x(x –

–

4

(x –

4

1 4

1

4

2)5

= 14 (6x − 1) 3 (8x + 1) + c

(x – 2)4(4 dx) 3.

Jawaban: a

∫

+c

x dx 1− x

1

= –∫ x (1 − x) 2 × (–1) dx 1

1

= –∫ x d(2 (1 − x) 2 )

1

= –x × 2 (1 − x) 2 + ∫ 2 (1 − x) 2 dx

1

= 5 (4x + 2)(x – 2)4 + c

4

= –2x 1 − x + 3

dv = (6x − 1) dx 3

4.

1

1

4

= 8 (6x − 1) 3 ∫ u dv = uv – ∫ v du

Integral Parsial

2

3

= –2x (1 − x) 2 + 2 × 3 (1 − x) 2 + c

1 3

⇔ v = 4 × 6 (6x − 1)

1

1

Jawaban: a Misalkan: u = 8x ⇔ du = 8 dx

198

7

1

1

= 5 (x – 2)4(5x – (x – 2)) + c

2.

7

1

= 14 (6x − 1) 3 (14x – (6x – 1)) + c

(x – 2)4 – ∫ 1 5

3

= x (6x − 1) 3 – 14 (6x − 1) 3 + c

2)4

= x(x – 2)4 – ∫ (x – 2)4 d(x – 2) 2)4

4

1

= x (6x − 1) 3 – 7 × 6 (6x − 1) 3 + c

∫ u dv = u v – ∫ v du ∫ 4x(x – 2)3 dx 1 4

4

1

= 8x × 8 (6x − 1) 3 – ∫ 8 (6x − 1) 3 × 8 dx

4 3

(1 − x)3 + c

Jawaban: e ∫ x2(x + 1)7 dx = ∫ u dv Misalkan: u = x2 ⇔ du = 2x dx dv = (x + 1)7 dx ⇔

1

v = 8 (x + 1)8

∫ u dv = u v – ∫ v du

∫ (3x + 1) cos x dx

1

1

1

= x2 × 8 (x + 1)8 – ∫ 8 (x + 1)8 2x dx 1

1

= 8 x2(x + 1)8 – 4 ∫ x(x + 1)8 dx Menentukan ∫ x(x + 1)8 dx Misalkan: u1 = x ⇔ du1 = dx dv1 = (x + 1)8 dx

1

7.

Jawaban: d ∫ 3x sin (x – 2) dx = ∫ u dv Misalkan: u = 3x ⇔ du = 3 dx dv = sin (x – 2) dx ⇔ v = –cos (x – 2) ∫ 3x sin (x – 2) dx = ∫ u dv = ∫ uv – ∫ v du = 3x (–cos (x – 2)) – ∫ –cos (x – 2)(3 dx) = –3x cos (x – 2) + 3 sin (x – 2) + c

8.

Jawaban: a Fungsi 4x2 cos2 x dipecah menjadi fungsi 2x2 dan 2 cos2 x = 1 + cos 2x. Fungsi 2x2 diturunkan sampai diperoleh nilai nol, sedangkan (1 + cos 2x) diintegralkan

v1 = 9 (x + 1)9 ∫ u1 dv1 = u1v1 – ∫ v1 du1 1

1

= x × 9 (x + 1)9 – ∫ 9 (x + 1)9 dx 1

1

1

= 9 x(x + 1)9 – 9 × 10 (x + 1)10 + c 1

1

= 9 x(x + 1)9 – 90 (x + 1)10 + c

∫ u dv 1

1

1

1

1 2 x (x 8

1 36

= 8 x2(x + 1)8 – 4 ∫ x(x + 1)8 dx 1

3

= 2 (3x + 1) sin 2x + 4 cos 2x + c

1

⇔

1

= 5.

+ 1)8 –

x(x + 1)9 +

⇔

v=

1 –2

4x

x+

– +

0

1 2

sin 2x

1 2

x2 – 4 cos 2x

1

1 6

x3 –

1 8

sin 2x

∫ 2x2 cos2 x dx 1

cos 2x

1

1

= 2x2(x + 2 sin 2x) – 4x( 2 x2 – 4 cos 2x) 1

1

1

= x × (– 2 cos 2x) – ∫ – 2 cos 2x dx 1

= – 2 x cos 2x + 2 ∫ cos 2x dx 1

1

1

1

1

= – 2 x cos 2x + 2 × 2 sin 2x + c = – 2 x cos 2x + 4 sin 2x + c 6.

1 + cos 2x

+

4

∫ u dv = u v – ∫ v du

1

2x2

(x + 1)10 + c

Jawaban: a ∫ x sin 2x dx = ∫ u dv Misalkan: u = x ⇔ du = dx dv = sin 2x dx ⇔ ∫ dv = ∫ sin 2x dx

Diintegralkan

Diturunkan

= 8 x2(x + 1)8 – 4 ( 9 x(x + 1)9 – 90 (x + 1)10 + c 1 360

1

= (3x + 1) × 2 sin 2x – ∫ 2 sin 2x × 3 dx

Jawaban: a Misalkan: u = 3x + 1 ⇔ du = 3 dx 1

dv = cos 2x dx ⇔ v = 2 sin 2x ∫ u dv = uv – ∫ v du

1

+ 4( 6 x3 – 8 sin 2x) + c 2

= 2x3 + x2 sin 2x – 2x3 + x cos 2x + 3 x3 1

– 2 sin 2x + c 2

1

= 3 x3 + x cos 2x + (x2 – 2 ) sin 2x + c 9. Jawaban: b ∫ 12x(3x – 2)3 dx = ∫ u dv Misalkan: u = 12x ⇔ du = 12 dx dv = (3x – 2)3 dx 1

1

⇔ v = 4 × 3 (3x – 2)4 + c 1

= 12 (3x – 2)4 + c


199

∫ u dv = uv – ∫ v du

2

1

1

= 12x × 12 (3x – 2)4 – ∫ 12 (3x – 2)4 × 12 dx 12

1

1

= x(3x – 2)4 – 12 × 5 × 3 (3x – 2)5 + c

10

1

= 15 – 15 9

= 15

1

= x(3x – 2)4 – 15 (3x – 2)5 + c

3

= 5

2 3

11. Jawaban: b Menggunakan aturan Tanzalin. Fungsi diuraikan menjadi 2 bagian yaitu f(x) = x2

∫ 12x(3x – 2)3 dx

0

2

1 = ⎡ x(3x − 2)4 − 15 (3x − 2)5 ⎤ 3 ⎣ ⎦0

2

1

= 3 – 15 – (0 – 0)

1

Bagian Diturunkan

1

= ( 3 (0)4 – 15 (0)5) – (0(–2)4 – 15 (–2)5) =0–0–0–

x −1.

dan g(x) =

Bagian Diintegralkan

x2 ⎯⎯⎯ ⎯⎯+⎯ ⎯⎯⎯ → 2x ⎯⎯ ⎯⎯⎯– ⎯⎯⎯ ⎯→ 2 ⎯⎯ ⎯⎯⎯+ ⎯⎯⎯ ⎯→ 0

32 15

32

= – 15

10. Jawaban: d Misalkan: u = x + 1 ⇔ du = dx

1

2

3

1

3

1

v = 3 (2x − 1) 2 × 2

⇔

v = 3 (2x − 1) 2 3

3

1

7

2 8 = ⎡ x 2 (x − 1) x − 1 − x(x − 1)2 x − 1 15 ⎣3

3

1

1

5

2

1

1

1

2x − 1 + c

+

16 (x − 1)3 105

2

= ( 3 × 22 × 1 ×

8

1 – × 2 × 12 × 15

2

∫ (x + 1) 2x − 1 dx

16

+ 105 × 03 ×

1 2

1

1 = ⎡ 31 (x + 1)(2x − 1)( 2x − 1) − 15 (2x − 1)2 2x − 1⎤ 1 ⎣ ⎦ 2

1 –

2

x − 1⎤ ⎦1

13 × 1 ) – ( 3 × 12 × 0 ×

1

Integral Parsial

16

∫ x2 x − 1 dx

= 3 (x + 1)(2x – 1) 2x − 1 – 15 (2x – 1)2

200

5

8

2

= 3 (x + 1) (2x − 1) 2 – 3 × 5 (2x − 1) 2 × 2 + c

3

3

2

= 3 x2 (x − 1) 2 – 15 x (x − 1) 2 + 105 (x − 1) 2

1

1

1

7

+ 2 × 105 (x − 1) 2 + c

⇔

–(3 × 2 ×0×

7

8 (x − 1) 2 105

5

4

8

∫ dv = ∫ (2x − 1) 2 dx

2x − 1 dx ⇔

×2×1×

3

2

= (x + 1) × 3 (2x − 1) 2 – ∫ 3 (2x − 1) 2 dx

=

5

4 (x − 1) 2 15

= x2( 3 (x − 1) 2 ) – 2x × 15 (x − 1) 2


1 (3

3

2 (x − 1) 2 3

∫ x2 x − 1 dx

∫ (x + 1) 2x − 1 dx = ∫ u dv

dv =

x −1

1 15

× 12 × 1

1)

1 – × 02 × 15

1)

8

16

16

8

16

1 + × 105

0 – × 1 × 02 × 15

0 184

= 3 – 15 + 105 = 105 12. Jawaban: a ∫ 4x cos 2x = ∫ u dv Misalkan: u = 4x ⇔ du = 4 dx dv = cos 2x dx

0

∫ dv = ∫ cos 2x dx

⇔

1

⇔

v = 2 sin 2x ∫ u dv = u v – ∫ v du

1

1

1

1

1

π 4

∫ 4x cos 2x dx π

π

π

= (2 × 4 sin 2 + cos 2 ) – (2 × 0 sin 0 + cos 0) π

= 2 + 0 – (0 + 1)

π

π

π

1

π

1

π

1

1

= 4 × 0 + 4 × 1 – 0 – 4 × (–1) 2

= 4

14. Jawaban: a ∫ 12 x sin x cos x dx = ∫ 6x × 2 sin x cos x dx = ∫ 6x sin 2x dx Misalkan: u = 6x ⇔ du = 6 dx dv = sin 2x dx 1

⇔ v = – 2 cos 2x

π

∫ 12 x sin x cos dx = ∫ u dv = uv – ∫ v du

= 2 –1 1

= 2 (π – 2)

1

π 2

∫ x sin (2x –

= –3x cos 2x + ∫ 3 cos 2x dx

) dx = ∫ u dv

3

= –3x cos 2x + 2 sin 2x + c

Misalkan: u = x ⇔ du = dx

π

π

dv = sin (2x – 2 ) dx 1 –2

∫ 12x sin x cos x dx

cos (2x –

π 2

π 3

)

= ⎡ −3x cos 2x + ⎣

∫ u dv = uv – ∫ v du 1 2

cos (2x –

π 2 π

1

1 )–∫–2

cos (2x – π

1

π 2

π 2

1

) dx

2π

3

2

3π

3

1

3

1

= (–3π × 1 + 2 × 0) – (– 3 × (– 2 ) + 2 × 2 3 ) 3π

3

π

= –3π – 2 – 4 3

3π

7

π 2

3π

= –3π + 0 – 6 – 4 3

+ 4 sin (2x – 2 ) + c

∫ x sin (2x –

3

= (–3π cos 2π + 2 sin 2π) – (– 3 cos 3 + 2 sin 3 π)

π

) dx = 2 x cos (2x – 2 ) 1

π

sin 2x ⎤ π ⎦

3 2

3

= – 2 x cos (2x – 2 ) + 4 sin (2x – 2 ) + c

∫ x sin (2x –

1

= 6x × (– 2 cos 2x) – ∫ – 2 cos 2x × 6 dx

13. Jawaban: d

0

π

1

1

= [ 2x sin 2x + cos 2x ]04

π 2

π

0

= 2

0

=x–

π

1

= 4 × cos 2 + 4 sin 2 – 0 – 4 sin (– 2 )

= 2x sin 2x – 4 × 2 × 2 × (–cos 2x) + c = 2x sin 2x + cos 2x + c

⇔ v=

π

– ( 2 × 2 cos (0 – 2 ) + 4 sin (0 – 2 )

= 4x( 2 sin 2x) – ∫ 2 sin 2x × 4 dx

π

π

1

= 2 × 2 × cos (π – 2 ) + 4 sin (π – 2 )

3

3

=–2π– 4 3 ) dx π

1 π 1 π = ⎡ x cos (2x − ) + sin (2x − )⎤ 2 ⎣2 2 4 2 ⎦0

15. Jawaban: d ∫ x2 cos x dx = ∫ u dv Misalkan: u = x2 ⇔ du = 2x dx dv = cos x dx ⇔ ∫ dv = ∫ cos x dx ⇔ v = sin x


201

∫ x2 cos x dx = ∫ u dv = uv – ∫ v du

b.

= x2 × sin x – ∫ sin x × 2x dx = x2 sin x – ∫ 2x sin x dx ∫ 2x sin x dx = ∫ u1 dv1 Misalkan: u1 = 2x ⇔ du1 = 2 dx dv1 = sin x dx ⇔ v = –cos x ∫ 2x sin x dx = ∫ u1 dv1 = u1v1 – ∫ v1 du1 = 2x(–cos x) – ∫ –cos x 2 dx = –2x cos x + 2 sin x + c 2 ∫ x cos x dx = x2 sin x – ∫ 2x sin x dx = x2 sin x + 2x cos x – 2 sin x + c

1

⇔ v = ∫ (1 − x) 2 dx

2

= – 3 (1 – x) 1 − x

∫ x 1 − x dx 2

π

π

π

= (( 2 )2 sin 2 + 2 × 2 cos 2 – 2 sin 2 ) – (02 sin 0 + 2 × 0 cos 0 – 2 sin 0)

2.

a.

π

× 1 + 2 × 2 × 0 – 2 × 1) – (0 + 0 – 2 × 0)

1

B. Uraian Misalkan: u = 6x ⇔ du = 6 dx dv = (2x + 3)3 dx v = ∫ (2x + 3)3 dx 1

b.

1

= 4 (2x + 3)4 × 2 1

= 8 (2x + 3)4 ∫ 6x(2x + 3)3 dx 1

1

= 6x × 8 (2x + 3)4 – ∫ 8 (2x + 3)4 × 6 dx 3

3

3

3

= 4 x(2x + 3)4 – 4 ∫ (2x + 3)4 dx 1

1

= 4 x(2x + 3)4 – 4 × 2 × 5 (2x + 3)5 + c 3

3

= 4 x(2x + 3)4 – 40 (2x + 3)5 + c

202

Integral Parsial

2

2

2

4

3

2

5

= – 3 x(1 – x) 1 − x – 15 (1 – x)2 1 − x + c

= 4 π2 – 2

a.

2

= – 3 x(1 – x) 1 − x + 3 × (– 5 (1 − x) 2 ) + c

π

1.

2

= – 3 x(1 – x) 1 − x + 3 ∫ (1 − x) 2 dx

= ⎡⎣ x 2 sin x + 2x cos x − 2 sin x ⎤⎦ 2 0

π2 4

3

2

= – 3 x(1 – x) 1 − x – ∫ – 3 (1 − x) 2 dx

∫ 12x sin x cos x dx

=(

3

2

= – 3 (1 − x) 2

0

π

1

dv = (1 − x) 2 dx

π 2

π

Misalkan: u = x ⇔ du = dx

Misalkan: u = 3 – 2x ⇔ du = –2 dx dv = sin x dx ⇔ v = ∫ sin x dx = –cos x ∫ u dv = uv – ∫ v du ∫ (3 – 2x) sin x dx = (3 – 2x)(–cos x) – ∫ (–cos x) (–2dx) = –(3 – 2x) cos x – 2 ∫ cos x dx = (2x – 3) cos x – 2 sin x + c Misalkan: u = x2 ⇔ du = 2x dx dv = cos x dx ⇔ v = ∫ cos x dx = sin x ∫ u dv = uv – ∫ v du = x2 sin x – ∫ (sin x) (2x dx) = x2 sin x – 2 ∫ x (sin x dx) = x2 sin x – 2 ∫ x d(–cos x) = x2 sin x – 2 (x (–cos x) – ∫ (–cos x) dx) = x2 sin x – 2 (–x cos x + ∫ cos x dx) = x2 sin x – 2 (–x cos x + sin x) + c = x2 sin x + 2x cos x – 2 sin x + c = (x2 – 2) sin x + 2x cos x + c 1

3.

a.

∫ x(1 – 2x)5 dx = ∫ u dv 1 2

Misalkan: u = x ⇔ du = dx dv = (1 – 2x)5 dx

1

⇔

1

256

v = 6 (1 – 2x)6 × −2

= 0 – 0 – (– 7

1

256

= – 12 (1 – 2x)6

= 7

∫ u dv

352

= 7

= uv – ∫ v du 1

1

1

1

c. 1

2

= 50 7

∫ 6x 5 − x dx = ∫ u dv 1

Misalkan: u = 6x ⇔ du = 6 dx

= – 12 x(1 – 2x)6 + 12 × 7 (1 – 2x)7 × −2 + c 1

768

+ 56

5

= x(– 12 (1 – 2x)6 – ∫ – 12 (1 – 2x)6 dx 1

768

– 56 )

1

dv =

= – 12 x(1 – 2x)6 – 168 (1 – 2x)7 + c


1

∫ x(1 – 2x)5 dx

3

2

3

⎡ − 1 x(1 − 2x)6 ⎣ 12

3

2

1

– =

1 – 12

+

×

×

06

–

1 168

×

∫ 6x 5 − x dx 1

07)

5

3 5 ⎡ ⎤ 8 = ⎢ −4x(5 − x) 2 − (5 − x) 2 ⎥ 5 ⎣⎢ ⎦⎥1

1 168

13

3

5

8

= (–4 × 5 × 0 2 – 5 × 0 2 )

3

3

∫ (3x – 1)(x – 3)6 dx = ∫ u dv

Misalkan u = 3x – 1 ⇔ du = 3 dx

256

= 0 – 0 – (–32 – 5 )

1

dv = (x – 3)6 dx ⇔ v = 7 (x – 3)7 ∫ u dv = uv – ∫ v du 1

256

= 32 + 5

1

= (3x – 1) × 7 (x – 3)7 – ∫ 7 (x – 3)7 × 3 dx =

1 7

(3x – 1)(x – 3)7 –

1

3 7

5

8

– (–4 × 1 × (22 )2 – 5 × (22 )2 )

1

×

1 8

3

(x – 3)8 + c

= 7 (3x – 1)(x – 3)7 – 56 (x – 3)8 + c 3

∫ (3x – 1)(x – 3)6 dx 1

=

5

8

5

= – 168 b.

5

2

= –4x (5 − x) 2 – 5 (5 − x) 2 + c

1

1 2

2

= –4x (5 − x) 2 – 3 × 6 × 5 (5 − x) 2 + c

1

1 − (1 − 2x)7 ⎤ 1 168 ⎦

= (– 12 × 1 × (–1)6 – 168 (–1)7) 1 (– 12

3

2

= 6x(– 3 (5 − x) 2 ) – ∫ – 3 (5 − x) 2 × 6 dx

1 2

=

3

2

5 − x dx × v = – (5 − x) 2 3

1

= 83 5

0

4.

a.

∫ (x + 1) sin x dx = ∫ u dv

−1

Misalkan: u = x + 1 ⇔ du = dx dv = sin x dx ⇔ v = –cos x dx ∫ u dv = uv – ∫ v du = (x + 1)(–cos x) – ∫ –cos x dx = –(x + 1) cos x + sin x + c 0

⎡ 1 (3x − 1)(x − 3)7 ⎣7 1

−

3

3 (x − 3)8 ⎤ 56 ⎦1

–

×2×

(–2)7

= [ −(x + 1) cos x + sin x ]−1 0

3

= ( 7 × 8 × 07 – 56 × 08) 1 (7

∫ (x + 1) sin x dx

−1

–

3 56

(–2)8)

= (–(0 + 1) cos 0 + sin 0) – (–(–1 + 1) cos (–1) + sin (–1))


203

b.

= (–1 × 1 + 0) – (0 – sin 1) = –1 + sin 1 = sin 1 – 1

= (0 – 0 – 4 sin 6) – (0 – 2 – 0)

3

= 2 – 4 sin 6

1

3

∫ (3 – x)2 cos 2x dx = ∫ u dv

5.

0

Misalkan: u = (3 – x)2 ⇔ du = –2(3 – x) dx ⇔ du = (2x – 6) dx dv = cos 2x dx 1

⇔

v = 2 sin 2x ∫ u dv = uv – ∫ du

∫ 4x2 cos2 x dx = ∫ 2x2 2 cos2 x dx = ∫ 2x2(cos 2x + 1) dx = ∫ (2x2 cos 2x + 2x2) dx = ∫ 2x2 cos 2x dx + ∫ 2x2 dx Misalkan: ∫ 2x2 cos 2x dx = ∫ u dv 1

1

– ∫ 2 sin 2x × (2x – 6) dx 1

1

1

= 2 (3 – x)2 sin 2x – 2 ∫ (2x – 6) sin 2x dx ∫ (2x – 6) sin 2x dx = ∫ u1 dv1 Misalkan: u1 = 2x – 6 ⇔ du1 = 2 dx dv1 = sin 2x dx 1

⇔ v1 = – 2 cos 2x

1

dv1 = sin 2x dx ⇔ v = – 2 cos 2x

∫ u1 dv1 = u1v1 – ∫ v1 du1 1

1

= x(– 2 cos 2x) – ∫ – 2 cos 2x dx 1

1

1

= – 2 cos 2x + 4 sin 2x . . . (3) Substitusikan persamaan (3) ke (2). ∫ 2x2 cos 2x dx = ∫ u dv = x2 sin 2x – 2 ∫ x sin 2x dx

= (2x – 6)(– 2 cos 2x) 1

– ∫ – 2 cos 2x(2dx) 1

= –(x – 3) cos 2x + 2 sin 2x + c

1

= x2 sin 2x – 2 (– 2 x cos 2x

1 1 (3 – x)2 sin 2x – 2 ∫ (2x – 6) sin 2x dx 2

(3 –

x)2

sin 2x –

1 2

1

+ 4 sin 2x) + c

(–(x – 3) cos 2x

1

= x2 sin 2x + x cos 2x – 2 sin 2x + c

1

+ 2 sin 2x) + c 1

1

= 2x2 × 2 sin 2x – ∫ 2 sin 2x 4x dx = x2 sin 2x – ∫ x sin 2x dx . . . (2) Misalkan: ∫ x sin 2x dx = ∫ u1 dv1 u1 = x ⇔ du1 = dx

∫ u1 dv1 = u1v1 – ∫ v1 du

1 2

1

= 2 (3 – x)2 sin 2x – 2 (3 – x) cos 2x 1

– 4 sin 2x + c

π

∫ 2x2 cos 2x dx π 2

π

= ⎡ x 2 sin 2x + x cos 2x − 1 sin 2x ⎤ π 2 ⎣ ⎦

3

∫ (3 – x)2 cos 2x dx

2

0

1 1 1 = ⎡⎣ 2 (3 − x)2 sin 2x − 2 (3 − x) cos 2x − 4 sin 2x ⎤⎦

1

1

1

3 0

= ( 2 × 02 × sin 6 – 2 × 0 × cos 6 – 4 sin 6) 1

1

1

– ( 2 × 32 sin 0 – 2 × 3 cos 0 – 4 sin 0)

204

Integral Parsial

. . . (1)

dv = cos 2x dx ⇔ v = 2 sin 2x ∫ u dv = uv – ∫ v du

1

=

1

u = 2x2 ⇔ du = 4x dx

= (3 – x)2 × 2 sin 2x

∫ u dv =

3

1

π

= (π2 sin 2π + π cos 2π – 2 sin 2π) – (( 2 )2 sin π π

1

+ 2 cos π – 2 sin π)

1

= (π2 × 0 + π × 1 – 2 × 0) – (

π2 4

π

π

× 0 + 2 × (–1)

1

2

2

– 2 × 0) π

π

2 ∫ 2x2 dx = ⎡⎣ 3 x 3 ⎤⎦ π π

2

1

=π+(2 + 2) =

3 2

π+

2

= 3 π3 – 3 (

π3 8

)

7

= 12 π3

1 2

π

∫ 4x2 cos2 x dx π 2

= ∫ 2x2 cos 2x dx + ∫ 2x2 dx 3

1

7

= 2 π + 2 + 12 π3

4.

A. Pilihan Ganda 1.

Jawaban: b 1

= ∫ (cos2 2x + sin2 2x)(cos2 2x – sin2 2x) dx

1

∫ sin ( 2 x – π) cos ( 2 x – π) dx 1

= ∫ 1 × cos 2(2x) dx

1

= ∫ 2 sin 2( 2 x – π) dx =

1 2

= ∫ cos 4x dx 1

∫ sin (x – 2π) dx

= 4 sin 4x + c

1

5.

= – 2 cos (x – 2π) + c 2.

1

1

3

∫ sec x

cotan2

x dx = ∫ =∫ =∫

1 cos x

×

cos2 x sin2 x

cos x dx sin2 x cos x 1 sin x sin x

1

= – 2 cos 8x – 2 cos 2x + c 6.

dx

1

= 4(– 8 cos 8x + (– 2 cos 2x)) + c

= 2 × 2 sin x cos x + c = 3 sin x cos x + c Jawaban: d

Jawaban: c

∫ 8 sin 5x cos 3x dx = 4 ∫ 2 sin 5x cos 3x dx = 4 ∫ (sin (5x + 3x) + sin (5x – 3x)) dx = 4 ∫ (sin 8x + sin 2x) dx

Jawaban: d ∫(3 – 6 sin2 x) dx = ∫ 3(1 – 2 sin2 x) dx = 3 ∫ cos 2x dx = 3 × 2 sin 2x + c

3.

Jawaban: d ∫ (cos4 2x – sin4 2x) dx

Jawaban: a π 2

∫ (4 cos 2x – 3 sin 3x) dx π

dx

= ∫ cotan x cosec x dx = –cosec x + c

3

=

1 ⎡ ⎢⎣4 × 2

π 2

sin 2x − 3 × (− 1 cos 3x)⎤⎥ π 3

⎦

3

π

⎡ ⎤2 = ⎣ 2 sin 2x + cos 3x ⎦ π 3


205

3π

2π

= (2 sin π + cos 2 ) – (2 sin 3 + cos π)

7.

π 3

∫ (sin x + cos x)(sin x – cos x) dx

= (0 + 0) – ( 3 + (–1)) =1–

10. Jawaban: e

0

3 =

Jawaban: e

π 3

∫ (sin2 x – cos2 x) dx

0

∫ 1 − cos 2x dx =

= ∫ 2 sin2 x dx

π 3

∫ –(cos2 x – sin2 x) dx

0

π 3

= ∫ 2 sin x dx

= – ∫ cos 2x dx

= – 2 cos x + c

0

π

π

∫ 1 − cos 2x

=

0

π

⎤3 ⎡ 1 ⎢⎣ − 2 sin 2x ⎥⎦ 0

1

2π

= ⎡⎣ − 2 cos x ⎤⎦ 0

= – 2 (sin 3 – sin 0)

= – 2 cos π – (– 2 cos 0)

= – 2 ( 2 3 – 0) = – 4 3

= – 2 × (–1) + =

2 +

1 1

2×1

1

11. Jawaban: d Misalkan: u = 1 + 2x – x2

2

du dx

= 2 2 8. Jawaban: d

= 2 – 2x = –2(x – 1) du

⇔ (x – 1) dx = −2

1 π 2

∫ (4x – sin x) dx

∫

0

1

= ⎡ 2x2 + cos x ⎤ 2 ⎦0 ⎣ 1

x −1 (1 + 2x − x 2 )3

dx = ∫ (1 + 2x – x2)–3 × (x – 1) dx du

π

= ∫ u–3 × −2

1

= −2

1

= (2( 2 π)2 + cos 2 π) – (0 + cos 0) 1

1

= ( 2 π2 + 0) – 1 1

1

= 4 (1 + 2x – x2)–2 + c

9. Jawaban: b

∫ sin (2x +

0

1

= – 2 × −2 u–2 + c

= 2 π2 – 1 π 4

∫ u–3 du

π 4

) dx =

⎡ 1 ⎢⎣ − 2

cos (2x +

π ) 4 ⎥⎦ 0

3π

1

=

π ⎤4

π

= – 2 (cos 4 – cos 4 ) =

1 –2

1 (– 2

=

1 –2

(– 2 )

=

1 2

2

2 –

1 2

2)

1 4(1 + 2x − x 2 )2

+c

12. Jawaban: e Misalkan: u = sin 2x ⇔

du dx

= 2 cos 2x du

⇔ cos 2x dx = 2

∫ sin2 2x cos 2x dx = ∫ u2 ×

du 2

1

∫ u2 du

1

1

= 2

= 2 × 3 u3 + c 1

= 6 sin3 2x + c

206

Integral Parsial

13. Jawaban: c

∫ 3x 3x 2 + 1 dx =

1 ∫ 2

3x 2 + 1 × 6x dx 1

1

= 2 ∫ (3x 2 + 1) 2 d(3x2 + 1) 1

= 2

1

∫ u2 du

1

1

15. Jawaban: c ∫ x(x – 4)6 dx = ∫ u dv Misalkan: u = x ⇔ du = dx 1

dv = (x – 4)6 dx ⇔ v = 7 (x – 4)7 + c ∫ u dv = uv – ∫ v du 1

= 2 × 2u +c 1

= 2 (3x 2 + 1) 1

∫ 3x 3x 2 + 1 dx =

1 3

=

1 3

0

1

16. Jawaban: a ∫ 6x dx = ∫ u dv Misalkan: u = 6x ⇔ du = 6 dx

1

3⎤ ⎡ 2 ⎢⎣(3x + 1) 2 ⎥⎦ 0

3 2

3 2

((3 + 1) − (0 + 1) )

1

3

2

x − 1 dx ⇔ v = (x − 1) 2 + c 3 ∫ u dv = uv – ∫ v du dv =

3

2

3

2

= 6x × 3 (x − 1) 2 – ∫ 3 (x − 1) 2 (6 dx)

7

= 3

3

2

3

8

5

2

= 4x (x − 1) 2 – 3 × 6 × 5 (x − 1) 2 + c

14. Jawaban: a

5

= 4x (x − 1) 2 – 5 (x − 1) 2 + c

π

∫ sin 2x cos x dx

0

8

= 4x(x – 1) x − 1 – 5 (x – 1)2 x − 1 + c

π

= ∫ (2 sin x cos x) cos x dx

8

0

= (4x – 5 (x – 1))(x – 1) x − 1 + c

π

= ∫ 2 sin x cos2 x dx

12

8

= ( 5 x + 5 )(x + 1) x − 1 + c

0

Misalkan: u = cos x du dx

1

= 7 x(x – 4)7 – 56 (x – 4)8 + c

3 2

= 3 (8 – 1)

⇔

1

= x × 7 (x – 4)7 – ∫ 7 (x – 4)7 dx

3 2

= –sin x ⇔ sin x dx = –du

∫ 2 sin x cos2 x dx = ∫ 2 u2 (–du) = –2 ∫ u2 du

17. Jawaban: b ∫ u dv = uv – ∫ v du 1

1

1 3

= 24x x − 4 – 16(x – 4) x − 4 + c

1 3

= –2( cos3 x) + c π

π

0

0

∫ 2 sin x cos2 x dx = –2 ⎡⎣ 31 cos3 x ⎤⎦ 1

=

2 –2(– 3

=

4 3

= (24x – 16(x – 4)) x − 4 + c = (24x – 16x + 64) x − 4 + c = (8x + 64) x − 4 + c

1

= –2( 3 (–1)3 – 3 (1)3) =

– )

3

2

= 24x (x − 4) 2 – 24 × 3 (x − 4) 2 + c

= –2( u3)

1 –2(– 3

1

= 12x × 2 (x − 4) 2 – ∫ 2 (x − 4) 2 (12 dx)

1 3

)

18. Jawaban: d

∫ (x + 5) 4 − 3x dx = ∫ u dv

Misalkan: u = x + 5 ⇔ du = dx dv =

4 − 3x dx 2

3

1

2

3

⇔ v = 3 (4 − 3x) 2 × −3 + c = – 9 (4 − 3x) 2


207

∫ u dv = uv – ∫ v du 3

2

3

2

= (x + 5)(– 9 (4 − 3x) 2 ) – ∫ 3 (4 − 3x) 2 dv 3

2

2

5

2

= – 9 (x + 5) (4 − 3x) 2 – 3 × 5 (4 − 3x) 2 1

× −3 + c 3

2

5

4

= – 9 (4 − 3x) 2 (x + 5) – 45 (4 − 3x) 2 + c 2

3 2

2

3

= – 45 (4 − 3x) {(5(x + 5) + 2(4 – 3x)} + c = – 45 (4 − 3x) 2 (33 – x) + c

22. Jawaban: c Misalkan: u = 4x ⇔ du = 4 dx dv = (x – 2)3 dx ⇔ v = ∫ (x – 2)3 dx 1

= 4 (x – 2)4 ∫ u dv = u v – ∫ v du ∫ 4x(x – 2)3 dx 1

1

1

1

= 5 (x – 2)4(5x – (x – 2)) + c

1

= (6x + 9)( 3 sin 3x) – ∫ 3 sin 3x (6 dx) 1

= (2x + 3) sin 3x + 2 × 3 × cos 3x + c 2

= (2x + 3) sin 3x + 3 cos 3x + c

1

= 5 (4x + 2)(x – 2)4 + c 23. Jawaban: a Menggunakan aturan Tanzalin. Fungsi diuraikan menjadi 2 bagian yaitu f(x) = 6x3 dan g(x) = (x + 1)5. Bagian Diturunkan

20. Jawaban: c ∫ sin2 x cos3 x dx = ∫ sin2 x cos2 x cos x dx = ∫ sin2 x (1 – sin2 x) cos x dx = ∫ sin2 x cos x dx – ∫ sin4 x cos x dx = ∫ sin2 x d(sin x) – ∫ sin4 x d(sin x)

(x + 1)5 ⎯⎯⎯+ ⎯⎯→ 1 6 18x2 6 (x + 1) ⎯⎯⎯– ⎯⎯→ 1 36x ⎯ (x + 1)7 42 ⎯⎯+ ⎯⎯→ 1 36 (x + 1)8 336 ⎯⎯⎯– ⎯⎯→ 1 0 (x + 1)9 3.024

1

21. Jawaban: b Menggunakan aturan Tanzalin.

0

∫ 6x3(x + 1)5 dx

Turunan

=x× 1

1 1 = ⎡6x 3 × (x + 1)6 − 18x 2 × (x + 1)7 + 36x 6 42 ⎣

4x + 1 1 6

3

(4x + 1) 2

1 60

+

1 (x + 1)8 336

3 2

(4x + 1) – 3 2

1 60

5 2

(4x + 1) + c

Integral Parsial

− 36 ×

5

(4x + 1) 2

7

3

0

1 (x + 1)9 ⎤ 3.024 ⎦ −1

= ⎡ x 3 (x + 1)6 − 3 x 2 (x + 1)7 + ⎣

= 60 (4x + 1) (10x – (4x + 1)) + c

208

−1

Integral

∫ x 4x + 1 dx 1 6


6x3

= 3 sin3 x – 5 sin5 x + c

x -------------------1 -------------------0

1

= x(x – 2)4 – 5 (x – 2)5 + c

dv = cos 3x dx ⇔ v = 3 sin 3x + c ∫ u dv = uv – ∫ v du 1

3

1

= 60 (6x – 1)(4x + 1) 2 + c

= (4x) × 4 (x – 2)4 – ∫ 4 (x – 2)4(4 dx) = x(x – 2)4 – ∫ (x – 2)4 d(x – 2)

19. Jawaban: a ∫ (6x + 9) cos 3x dx = u dv Misalkan u = 6x + 9 ⇔ du = 6 dx

1

3

1

= 60 (4x + 1) 2 (10x – 4x – 1) + c

3 x(x + 1)8 28

3

−

0

1 (x + 1)9 ⎤ 84 ⎦ −1

1

= (03 × 16 – 7 × 02 × 17 + 28 × 0 × 18 – 84 × 19) 3

3

1

– ((–1)3 × 06 – 7 × (–1)2 × 07 + 28 × 08 – 84 × 09)

8

π 2

= (0 – 0 + 0 – 3 ) – (0 – 0 + 0 + 0) =–

∫ x2 sin 2x π 4

1 84

24. Jawaban: c ∫ (x2 + 1) cos x dx Misalkan: u = x2 + 1 ⇔ du = 2x dx dv = cos x dx ⇔ v = ∫ cos x dx = sin x ∫ u dv = uv – ∫ v du ∫ (x2 + 1) cos x dx = (x2 + 1) sin x – ∫ sin x (2x dx) Menentukan hasil ∫ 2x sin x dx u1 = 2x ⇔ du1 = 2 dx dv1 = sin x dx ⇔ v 1 = ∫ sin x dx = –cos x

∫ 2x sin x dx = ∫ u1 dv1 = u1v1 – ∫ v1 du1 = 2x(–cos x) – ∫ (–cos x) 2 dx = –2x cos x + 2 sin x + c Sehingga: ∫ (x2 + 1) cos x dx = (x2 + 1) sin x + ∫ 2x sin x dx = x2 sin x + sin x + 2x cos x – 2 sin x + c = (x2 – 1) sin x + 2x cos x + c

π

1 2 1 1 = ⎡ − 2 x cos 2x + 2 x sin2x + 4 cos 2x ⎤ 2π ⎣ ⎦

1 (– 2

=

π ( 2 )2

cos π +

π

π

1

1 2

×

π 2

4

sin π + π

1

1 4

cos π)

π

1

π2 8

×0

π

– (– 2 ( 4 )2 cos 2 + 2 × 4 sin 2 + 4 cos 2 ) =–

π2 8

π

1

(–1) + 4 × 0 + 4 × (–1) +

π

1

– 8 ×1–4 ×0 =

π2 8

π

1

– 4 – 8

1

= 8 (π2 – π – 2) B. Uraian 1.

a.

∫ (sin 2x – 5 cos x) dx 1

= – 2 cos 2x – 5 sin x + c b.

1

∫ 4 sec2 ( 3 π – 2x) dx 1

π

= 4 ∫ sec2 ((–2)x + 3 π) dx

0

= 4 × −2 tan ((–2)x + 3 π) + c

∫ (x2 + 1) cos x dx

1

π

2 = ⎡⎣(x − 1)sin π + 2x cos x ⎤⎦ 0 = (π2 – 1) sin π + 2π cos π – ((02 – 1) sin 0 + 2 × 0 cos 0) = (0 – 2π) – (0 + 0) = –2π

1

= –2 tan ( 3 π – 2x) + c c.


x2 --------------------2x -------------------2 -------------------0

sin –

1 2

3 x 2

cos 2x

1

– 4 sin 2x 1 8

cos 2x

1

= –cosec 2x + c

2.

a.

π 3

∫ 4 sin (2x –

0

π 2

) dx π

π ⎤3 ⎡ 1 = 4 ⎢ − cos (2x − )⎥ 2 ⎦0 ⎣ 2

2π

π

π

= –2(cos ( 3 – 2 ) – cos (0 – 2 )) π

π

= –2(cos 6 – cos (– 2 )) 1

∫ x2 sin 2x dx 1

∫ 2 cosec 2x cotan 2x dx = 2 × (– 2 cosec 2x) + c

25. Jawaban: d Menggunakan aturan Tanzalin. Bagian Diturunkan

1

1

1

= ∫ – 2 x2 cos 2x + 2 x sin 2x + 4 cos 2x + c

= –2( 2 3 – 0) =– 3


209

b.

π 4

b

∫ (2 sin x + 6 cos x) dx −

π 2

5.

π

b

= [ −2 cos x + 6 sin x ] 4 π −

= –2 cos 1

= –2 ( 2

π 4

π + 6 sin 4 1 2 ) + 6( 2

⎡ ⎤ ⎢sin x ⎥ = c ⎣ ⎦a ⇔ sin b – sin a = c

⇔

3

π

π

– (–2 cos (– 2 ) + 6 sin (– 2 ))

b

∫ sin 2x dx

2 ) – (0 – 6)

a

=– 2+3 2+6

⎤ 1 = ⎡⎢− cos 2x ⎥ ⎣ 2

=6+2 2 3.

∫

4x 2 − x2

4x 2−x

2

=

1

=

−

= –2 ×

1 1 2

1 2

du

6.

= –4 u + c

1

+ sin2 b) – (– 2 + sin2 a)

∫ sin 2x dx = c(sin a +

a

Misalkan: u = x ⇔ du = dx dv = cos (3x + 1) dx 1

v = ∫ cos (3x + 1) dx = 3 sin (3x + 1) ∫ x cos (3x + 1) dx

= –4 2 − x 2 + c Misalkan: u = x ⇔ du = dx dv = cos x dx ⇔ v = ∫ cos x dx = sin x

Misalkan: u = 3 – 2x ⇔ du = –2 dx dv = sin x dx ⇔ v = ∫ sin x dx = –cos x ∫ (3 – 2x) sin x dx = ∫ u dv = uv – ∫ v du = (3 – 2x)(–cos x) – ∫ (–cos x)(–2 dx) = –(3 – 2x) cos x – 2 ∫ cos x dx = (2x – 3) cos x – 2 sin x + c

⎦a

sin b).

1

b.

+

b

⎤ sin2 x ⎥ ⎦a

Dapat ditunjukkan bahwa

u +c

∫ x cos x dx = ∫ u dv = uv – ∫ v du = x sin x – ∫ sin x dx = x sin x + cos x + c

⎡ 1 ⎢⎣ − 2 1 (– 2

b

b

1 2

= –4 u2 + c

a.

⎤

= sin2 b – sin2 a = (sin b – sin a)(sin b + sin a) = c (sin b + sin a) = c (sin a + sin b)

× (–2) du

1 u2

= –2 ∫ u

4.

⎦a

1 ⎣ 2

dx

dx = ∫

b

⎡ = ⎢− (1 − 2 sin2 x)⎥

Misalkan: u = 2 – x2 ⇔ du = –2x dx ⇔ –2 du = 4x dx

∫

∫ cos x dx = c

a

1

1

= x × 3 sin (3x + 1) – ∫ 3 sin (3x + 1) dx x

1

x

1

= 3 sin (3x + 1) – 3

∫ sin (3x + 1) dx

= 3 sin (3x + 1) + 9 cos (3x + 1) + c 7.

Misalkan: u = sin3 x du = 3 sin2 x cos x dx 1

⇔ sin2 x cos x dx = 3 du ∫ x sin2 x cos x dx 1

= ∫ x 3 d(sin3 x) x

1

x

1

x

1

x

1

x

1

= 3 sin3 x – 3 ∫ sin3 x dx = 3 sin3 x – 3 ∫ (1 – cos2 x) sin x dx = 3 sin3 x + 3 ∫ (1 – cos2 x)d(cos x) 1

= 3 sin2 x + 3 (cos x – 3 cos3 x) + c 1

= 3 sin2 x + 3 cos x – 9 cos3 x + c

210

Integral Parsial

2

8.

a.

Menentukan

∫

1

1 3

2x2(4 – 2x)4 dx menggunakan

∫ (x – 1)2(3x – 1)3 dx

0

aturan Tanzalin. Misalkan f(x) = 2x2 dan g(x) = (4 – 2x)4 Bagian Diturunkan


2x2

2x)4

(x – ⎯⎯⎯ + ⎯⎯→ 1 4x – 10 (4 – 2x)5 ⎯⎯⎯ – ⎯⎯→ 1 4 ⎯ (4 – 2x)6 + 120 ⎯⎯⎯ ⎯→ 1 0 – 1.680 (4 – 2x)7

∫

2x2(4

–

2x)4

⎡ 1 (x − 1)2 (3x − 1)4 − 1 (x − 1)(3x − 1)5 + 1 (3x − 1)6 ⎤ 3 90 1.620 ⎣ 12 ⎦0

1

1

1

2

1

1

1

1

dx

1

1

1

1

1

= (0 – 0 + 0) – ( 12 + 90 – 1.620 )

1

1

1

= – 12 + 90 – 1.620

1

1

59

= – 810

1

= – 5 x2(4 – 2x)5 – 30 x(4 – 2x)6 – 420 (4 – 2x)7 2

2

2x2(4

–

2x)4

9.

dx 2

1 1 1 = ⎡⎣ − 5 x 2 (4 − 2x)5 − 30 x(4 − 2x)6 − 420 (4 − 2x)7 ⎤⎦ 1

1 (– 5

× 22 × 05 –

1 30

1

× 2 × 06 –

1 420

1

∫ 24x3(2 – x)5 dx 1

Misalkan f(x) = 24x3 dan g(x) = (2 – x)5 Bagian Diturunkan

32

× 07)

1

64

128

= (0 – 0 – 0) – (– 5 – 30 – 420 ) 928

= 0 – (– 105 )

∫ 24x2(2 – x)5 dx

928

= 105

1

Menentukan

∫ (x – 1)2(3x – 1)3 dx meng-

gunakan aturan Tanzalin. Misalkan f(x) = (x – 1)2 dan g(x) = (3x – 1)3 Bagian Diturunkan ⎯⎯+ ⎯

1

= 24x3(– 6 (2 – x)6) – 72x2( 42 (2 – x)7)

1 3

1

12

1

– 21 (2 – x)9

(3x – 1)3 1

2(x – 1) (3x – 1)4 12 ⎯⎯⎯– ⎯⎯→ 1 2 ⎯ (3x – 1)5 180 ⎯⎯+ ⎯⎯→ 1 0 – 3.240 (3x – 1)6

3

= –4x3(2 – x)6 – 7 x2(2 – x)7 – 7 (2 – x)8

Bagian Diintegralkan ⎯→

1

+ 144x(– 336 (2 – x)8) – 144( 3.024 (2 – x)9)

0

(x – 1)2⎯


24x3 ⎯ (2 – x)5 ⎯⎯+ ⎯⎯→ 1 72x2 ⎯ – 6 (2 – x)6 ⎯⎯– ⎯⎯→ 1 144x (2 – x)7 42 ⎯⎯⎯+ ⎯⎯→ 1 144 – 336 (2 – x)8 ⎯⎯⎯– ⎯⎯→ 1 0 (2 – x)9 3.024

– (– 5 × 12 × 25 – 30 × 1 × 26 – 420 × 27)

b.

2

– ( 12 × (–1)2 × (–1)4 – 90 (–1) × (–1)5

+ 4(– 1.680 (4 – 2x)7)

=

=

+ 1.620 (–1)6)

1

1

⎡(x − 1)2 × 1 (3x − 1)4 − 2(x − 1) × 1 (3x − 1)5 + 2 × 1 (3x − 1)6 ⎤ 3 12 180 3.240 ⎣ ⎦0

= ( 12 × (– 3 )2 × 04 – 90 (– 3 ) × 05 + 1.620 × 06)

= 2x2(– 10 (4 – 2x)5) – 4x( 120 (4 – 2x)6)

∫

1

=

2

∫ 24x3(2 – x)5 dx 1

12 3 1 = ⎡⎣−4x3 (2 − x)6 − 7 x2 (2 − x)7 − 7 (2 − x)8 − 21(2 − x)9 ⎤⎦

2

1


211

12

3


1

= (–4 × 23 × 06 – 7 × 22 × 07 – 7 × 2 × 08 – 21 × 09) 12 – (–4 × 13 × 16 – 7 12

× 12 × 17 –

3

3 7

× 1 × 18 –

1 21

∫

× 19)

dx 1

1

1

1

1

1

= –8x(4 – x)2 – 8 ∫ (4 – x)2 (–1) dx

130

= 0 – (– 21 )

= –8x(4 – x)2 – 8 ∫ (4 – x)2 d(4 – x)

130

= 21

2

1

3

= –8x(4 – x)2 – 8 × 3 (4 – x)2 + c

Misalkan: u = 4x ⇔ du = 4 dx dv =

1 4−x

16

= –8x 4 − x – 3 −

dx = (4 – x)

1 2

dx

−

1

= – ∫ (4 – x) 2 (–1) dx −

1 2

= – ∫ (4 – x) d(4 – x) −

= –2(4 – x)

1 2

16

3

b.

∫ f(x) dx = –8x 4 − x –

0

16

16 3

(4 − x)3 + c. 3

(4 − x)3 ⎤⎦ 0 128

= (–24 – 3 ) – (0 – 3 ) 88

128

=– 3 + 3 40

= 3

Integral Parsial

(4 − x)3 + c

Jadi, ∫ f(x) dx = –8x 4 − x – 3

1

⇔ v = ∫ (4 – x) 2 dx

212

1

= 4x(–2(4 – x)2 ) – ∫ (–2(4 – x)2 ) 4dx

= 0 – (–4 – 7 – 7 – 21 )

10. a.

4x 4−x

Pilihan Ganda 1. Jawaban: a a. x2 – 3 > 6 ⇔ x2 – 9 > 0 ⇔ (x – 3)(x + 3) > 0 Pembuat nol: (x – 3)(x + 3) = 0 ⇔ x – 3 = 0 atau x + 3 = 0 ⇔ x = 3 atau x = –3 Penyelesaian dalam bentuk diagram: –

–

+ . . . (1)

–3

b.

3

x2 + 2x ≤ 8 ⇔ + 2x – 8 ≤ 0 ⇔ (x + 4)(x – 2) ≤ 0 Pembuat nol: (x + 4)(x – 2) = 0 ⇔ x + 4 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –4 atau x=2 Penyelesaian dalam bentuk diagram: x2

+

–

+

–4

. . . (2)

2

Dari penyelesaian (1) dan (2) diperoleh:

–3

3

(1)

(2) –4

–3

2

Dari irisan kedua diagram di atas diperoleh penyelesaian –4 ≤ x < –3. Jadi, HP = {x | –4 ≤ x < –3, x ∈ R}. 2. Jawaban: c Garis x – y = 3 melalui titik (0, –3) dan (–3, 0). Daerah penyelesaian x – y < 3 di kiri garis putusputus x – y = 3. Parabola y = –x2 + 2x + 8 memiliki nilai a = –1. Oleh karena a = –1 < 0 maka grafik parabola terbuka ke bawah.

Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan y ≤ –x2 + 2x + 8 diperoleh: 0 ≤ –02 + 2 × 0 + 8 ⇔ 0 ≤ 8 Oleh karena 0 ≤ 8 bernilai benar maka daerah penyelesaian dibatasi parabola y = –x2 + 2x + 8 dan memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian yang sesuai adalah pilihan c. 3. Jawaban: b Diketahui persamaan x + y = –2 dan y = 2x2 – x – 4. Substitusikan y = 2x2 – x – 4 ke dalam persamaan x + y = 2. x + y = –2 ⇔ x + 2x2 – x – 4 = –2 ⇔ 2x2 – 2 = 0 ⇔ x2 – 1 = 0 ⇔ (x – 1)(x + 1) = 0 ⇔ x – 1 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 1 atau x = –1 Substitusikan x = 1 dan x = –1 ke dalam persamaan x + y = –2. Untuk x = 1 diperoleh: 1 + y = –2 ⇔ y = –3 sehingga penyelesaiannya (1, –3). Untuk x = –1 diperoleh: –1 + y = –2 ⇔ y = –1 sehingga penyelesaiannya (–1, –1). Jadi, HP = {(–1, –1), (1, –3)}. 4. Jawaban: c Diketahui persamaan y = –x 2 + kx – 5 dan y = x2 + 2x – 3. Substitusikan y = –x 2 + kx – 5 ke dalam persamaan y = x2 + 2x – 3. y = x2 + 2x – 3 2 ⇔ –x + kx – 5 = x2 + 2x – 3 2 ⇔ 2x + (2 – k)x + 2 = 0 Sistem persamaan memiliki satu penyelesaian jika D = 0. Persamaan kuadrat 2x2 + (2 – k)x + 2 = 0 memiliki nilai a = 2, b = 2 – k dan c = 2. D = b2 – 4ac = 0 ⇔ (2 – k)2 – 4 × 2 × 2 = 0 ⇔ 4 – 4k + k2 – 16 = 0 ⇔ k2 – 4k – 12 = 0 ⇔ (k – 6)(k + 2) = 0 ⇔ k – 6 = 0 atau k + 2 = 0 ⇔ k = 6 atau k = –2 Jadi, nilai k adalah –2 atau 6. Matematika Kelas XII

213

5. Jawaban: e Grafik fungsi melalui titik (0, 2), (1, 3), dan (2, 5). Fungsi eksponen yang memenuhi adalah y = 2x + 1. Cek beberapa titik. f(0) = 20 + 1 = 1 + 1 = 2 (terpenuhi) f(1) = 21 + 1 = 2 + 1 = 3 (terpenuhi) f(2) = 22 + 1 = 4 + 1 = 5 (terpenuhi)

Pembuat nol: (x + 5)(x + 2)(x – 2) = 0 ⇔ x + 5 = 0 atau x + 2 = 0 atau x – 2 = 0 x = –5 atau x = –2 atau x= 2 ⇔ Penyelesaian dalam bentuk diagram: –

+ –5

6. Jawaban: c ⎛3⎞ ⎜4⎟ ⎝ ⎠

⇔

⎛3⎞ ⎜4⎟ ⎝ ⎠

⇔

⎛3⎞ ⎜4⎟ ⎝ ⎠

3 − 2x

=

⎛ 64 ⎞ ⎜ 27 ⎟ ⎝ ⎠

=

⎛4⎞ ⎜3⎟ ⎝ ⎠

=

⎛3⎞ ⎜4⎟ ⎝ ⎠

3 − 2x

3 − 2x

3(2x − 5)

–2

2

9. Jawaban: b x+2 x−3

≤–x+3

2 x+3

≤0

⇔

(x + 2)(x + 3) +2(x− 3) (x − 3)(x + 3)

≤0

⇔

x 2 + 5x + 6 + 2x − 6 (x − 3)(x + 3)

≤0

⇔

x 2 + 7x (x − 3)(x + 3)

≤0

⇔

x(x + 7) (x − 3)(x + 3)

≤0

−3(2x − 5)

7. Jawaban: d 2 log (2x – 4) ≤ log (x – 1) + log (x + 4) ⇔ log (2x – 4)2 ≤ log (x – 1)(x + 4) ⇔ (2x – 4)2 ≤ (x – 1)(x + 4) 2 ⇔ 4x – 16x + 16 ≤ x2 + 3x – 4 ⇔ 3x2 – 19x + 20 ≤ 0 ⇔ (3x – 4)(x – 5) ≤ 0 4 3

+

Dari diagram di atas diperoleh penyelesaian x ≤ –5 atau –2 ≤ x ≤ 2. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x ≤ –5 atau –2 ≤ x ≤ 2.

2x − 5

⇔ 3 – 2x = –3(2x – 5) ⇔ 3 – 2x = –6x + 15 ⇔ 4x = 12 ⇔ x=3 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 3.

⇔

–

≤x≤5

. . . (1)

Syarat numerus: a. 2x – 4 > 0 ⇔ x > 2 . . . (2) b. x – 1 > 0 ⇔ x > 1 . . . (3) c. x + 4 > 0 ⇔ x > –4 . . . (4) Dari syarat (1), (2), (3), dan (4) diperoleh:

⇔

x+2 x−3

+

Pembuat nol pembilang: x(x + 7) = 0 ⇔ x = 0 atau x + 7 = 0 ⇔ x = 3 atau x = –3 Pembuat nol penyebut: (x – 3)(x + 3) = 0 ⇔ (x – 3) = 0 atau x + 3 = 0 ⇔ x = 3 atau x = –3 Penyelesaian dalam bentuk diagram: –

+

5

4 3

2 1

2

–

–5

+

–2

2

Dari diagram diperoleh penyelesaian –7 ≤ x < –3 atau 0 ≤ x < 3. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah –7 ≤ x ≤ –3 atau 0 ≤ x < 3. 10. Jawaban: c

–4

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 2 < x ≤ 5. 8. Jawaban: d x3 + 5x2 – 4x ≤ 20 3 ⇔ x + 5x2 – 4x – 20 ≤ 0 ⇔ (x + 5)(x2 – 4) ≤ 0 ⇔ (x + 5)(x + 2)(x – 2) ≤ 0

|3x – 2| < x + 1 ⇔ –(x + 1) < 3x – 2 dan 3x – 2 < x + 1 ⇔ –x – 1 < 3x – 2 dan 2x < 3 ⇔ 4x > 1 dan 2x < 3 1

⇔

1

x > 4 dan x < 1 2 1 4

⇔ 1

1

Jadi, HP = {x | 4 < x < 1 2 }.

214

Latihan Ujian Nasional

1

< x<12

11. Jawaban: d Titik C(1, 2) merupakan titik tengah segmen garis x A + xB 2

AB, maka xc = xc = ⇔ 1=

dan yc =

y A + yB 2

.

x A + xB 2

⇔ 2=

y+0 2

⇔ y=4 Jadi, koordinat titik A adalah (–2, 4). 12. Jawaban: e

A

10 cm

p

B

D 12 cm

CD = garis tinggi AD = p Menurut dalil proyeksi berlaku: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB × p ⇔ 102 = 122 + 82 – 2 × 12 × p ⇔ 100 = 144 + 64 – 24p ⇔ 24p = 108 ⇔ p = 4,5 cm ΔADC siku-siku di D, maka berlaku dalil Pythagoras: CD2 = AC2 – AD2 ⇔ CD2 = 82 – p2 ⇔ CD2 = 64 + (4,5)2 ⇔ CD2 = 64 – 20,25 ⇔ CD2 = 43,75 175

⇔ CD2 = 4 ⇔ CD2 =

175 4

⇔ CD2 =

25 4

5

⇔ CD2 = 2

⇔ ⇔

2 cos

65° + 55° ( 2

) sin (

65° − 55° 2

)=m

2 cos 60° sin 5° = m 1

2 × 2 × sin 5° = m ⇔ sin 5° = m cos 10° = 1 – 2 sin2 5° = 1 – 2m2

y A + yB 2

8 cm

sin 65° – sin 55° = m

⇔

x+4 2

⇔ 2=x+4 ⇔ x = –2 yc =

13. Jawaban: a

14. Jawaban: e f(x) = x4 – 2x3 + ax2 + 7x – 1 f(x) dibagi x – 2 sisanya 17, berarti f(2) = 17. f(2) = 17 ⇔ 24 – 2 × 23 + a × 22 + 7 × 2 – 1 = 17 ⇔ 16 – 16 + 4a + 14 – 1 = 17 ⇔ 4a = 4 ⇔ a=1 Diperoleh: f(x) = x4 – 2x3 + x2 + 7x – 1 f(–1) = (–1)4 – 2 × (–1)3 + (–1)2 + 7 × (–1) – 1 = 1 + 2 + 1 – 7 – 1 = –4 Jadi, f(x) dibagi (x + 1) sisanya –4. 15. Jawaban: c Persamaan parabola x2 – 14x – 8y + 41 = 0 memiliki variabel x2, maka grafik parabola tegak sehingga persamaan direktriksnya sejajar sumbu X. Titik fokus dan persamaan direktriks parabola dapat dicari dengan cara manipulasi aljabar berikut. x2 – 14x – 8y + 41 = 0 ⇔ x2 – 14x = 8y – 41 2 ⇔ x – 14x + 49 = 8y – 41 + 49 ⇔ (x – 7)2 = 8y + 8 ⇔ (x – 7)2 = 8(y + 1) Persamaan parabola (x – 7)2 = 8(y + 1) memiliki titik puncak P(7, –1) dan 4p = 8 ⇔ p = 2. Titik fokus parabola adalah F(7, –1 + p) = F(7, –1 + 2) = F(7, 1). Persamaan direkstriks adalah y = –1 – p = –1 – 2 = –3. Jadi, titik fokus parabola adalah F(7, 1) dan persamaan direktriksnya y = –3. 16. Jawaban: d Ellips berpusat di titik O(0, 0). Fokus ellips adalah F(0, –2) berada pada sumbu Y,

×7

maka persamaan ellips berbentuk 7 1

Luas ΔABC = 2 × AB × CD 1

5

= 2 × 12 × 2 7 = 3 × 5 7 = 15 7 Jadi, luas segitiga adalah 15 7 cm2.

F(0, –2) maka c = 2. Panjang sumbu mayor = 8 maka: 2a = 8 ⇔ a = 4. b2 = a2 – c2 = 42 – 22 = 16 – 4 = 12 Jadi, persamaan ellips adalah

x2 12

x2 b2

+

+

y2 16


y2 a2

= 1.

= 1.

215

17. Jawaban: c Persamaan parabola dapat dituliskan dalam bentuk

Persamaan lingkaran L2:

(x2 – 8x) –

y2 3

= –15

x2 + y2 – 14x – 4y + 52 = 0 ⇔ (x2 – 14x) + (y2 – 4y) = –52 2 ⇔ (x – 8x + 49) + (y2 – 4y + 4) = –52 + 49 + 4 ⇔ (x – 7)2 + (y – 2)2 = 1 ⇔ (x – 7)2 + (y – 2) = 12 Dengan demikian, lingkaran L2 memiliki titik pusat P2(7, 2) dan jari-jari r2 = 1. Jarak kedua pusat lingkaran:

⇔ (x2 – 8x + 16) –

y2 3

= –15 + 16

|P1P2| =

⇔

y2 3

=1

umum

(x − h)2 a2

–

(y − k)2 b2

= 1 dengan cara sebagai

berikut. 3x2 – y2 – 24x + 45 = 0 ⇔ 3x2 – 24x – y2 = –45 ⇔ 3(x2 – 8x) – y2 = –45 ⇔

⇔

(x – 4)2 – (x − 4)2 12

y2

– ( 3)2 =1 Dari persamaan hiperbola di atas diperoleh: titik puncak P(4, 0). a2 = 12 ⇔ a = 1 b2 = ( 3 )2 ⇔ b = 3 Persamaan asymtot hiperbola: b

(y – 0) = ± a (x – 4) ⇔

y=±

3 1

(x – 4)

⇔ y = ± 3 (x – 4) Jadi, persamaan asymtot hiperbola adalah y = ± 3 (x – 4). 18. Jawaban: d Kedudukan dua lingkaran tersebut dapat diketahui dengan cara membandingkan antara jarak kedua pusat lingkaran dan selisih atau jumlah kedua jarijari lingkaran. Titik pusat dan jari-jari kedua lingkaran dapat dicari dengan cara membentuk persamaan lingkaran menjadi (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Persamaan lingkaran ini memiliki titik pusat P(a, b) dan jari-jari r. Persamaan lingkaran L1: x2 + y2 – 8x – 4y + 16 = 0 ⇔ (x2 – 8x) + (y2 – 4y) = –16 2 ⇔ (x – 8x + 16) + (y2 – 4y + 4) = –16 + 16 + 4 ⇔ (x – 4)2 + (y – 2)2 = 4 ⇔ (x – 4)2 + (y – 2) = 22 Dengan demikian, lingkaran L1 memiliki titik pusat P(4, 2) dan jari-jari r1 = 2.

216


(xP − xP )2 + (yP − yP )2 1

2

1

=

(4 − 7)2 + (2 − 2)2

=

(−3)2 + 02

2

= 9 =3 r1 + r2 = 2 + 1 = 3 Oleh karena |P1P2| = r1 + r2 maka kedua lingkaran bersinggungan di luar. 19. Jawaban: b Persamaan lingkaran yang berbentuk x2 + y2 – Ax 1

1

– By + C = 0 memiliki titik pusat P(– 2 A, – 2 B) dan jari-jari r =

1

1

(− 2 A)2 + (− 2 B)2 − C .

Dengan demikian, diperoleh: Titik pusat lingkaran L1 1

1

P1 (– 2 × (–6), – 2 × 2) = P1(3, –1) Jari-jari lingkaran L1:

32 + (−1)2 − 6

r1 =

9 + 1− 6

=

= 4 =2 Titik pusat lingkaran L2: 1

1

P2(– 2 × (–10), – 2 × 2) = P2(5, –1) Jari-jari lingkaran L2: r2 = =

52 + (−1)2 − 22

25 + 1 − 22

= 4 =2

Sketsa kedudukan kedua lingkaran sebagai berikut. Y

Dx =

2

–

A

1 –2 –1 0 –1

1

2

P1

3

4 5 6 P P3 2

–2 –3

7

8

B

(AP1 )2 − (P1P3 )2

=

22 − 12

=

4 −1

dan berjari-jari r3 = 3 sebagai berikut. (x – xP3)2 + (y – yP3)2 = r32 ⇔ (x – 4)2 + (y + 1)2 = ( 3 )2 2 ⇔ x – 8x + 16 + y2 + 2y + 1 = 3 ⇔ x2 + y2 – 8x + 2y + 17 – 3 = 0 ⇔ x2 – y2 – 8x + 2y + 14 = 0 Jadi, persamaan lingkaran adalah pilihan b. 20. Jawaban: a Penyelesaian sistem persamaan dicari menggunakan determinan matriks. Dari SPLT diperoleh matriks koefisien

⎛ 1 −2 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 3 1 ⎟ . ⎜ 2 1 −1⎟ ⎝ ⎠

D = –

0 1

2

−1 2

1

–

−2 3

0 1 +

1

+

+

–

0 1 0 1 0 1

2 7 −1 2 7 –

+

+

+

= 1 × 1 × (–1) + 0 × 1× 2 + 0 × 0 × 7 – 0 × 1 × 2 – 1 × 1 × 7 + 0 × 0 × (–1) = –1 + 0 + 0 – 0 – 7 – 0 = –8

1 −2 0 1 0 3 1 0 2

–

1 –

−2 3

7 2 –

+

1 +

+

= 1 × 3 × 7 + (–2) × 1 × 2 + 0 × 0 × 1 – 0 × 3 × 2 – 1 × 1 × 1 – (–2) × 0 × 7 = 21 – 4 + 0 – 0 – 1 – 0 = 16 Dengan demikian, diperoleh: −16

D

x = Dx = −8 = 2 y=

Dy D

D

−8

= −8 = 1 16

z = Dz = −8 = –2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 1, –2)}. 21. Jawaban: d Misalkan bayangan titik A(–8, 3) setelah ⎛ −4 2 ⎞ ditransformasikan oleh matriks M = ⎜ ⎟ ⎝ 0 1⎠ adalah A′(x′, y′), maka:

1 −2 0 3 –

–

Dz =

= 3 Persamaan lingkaran yang berpusat di P3(4, –1)

−1 7

1

–

1 0 0 1

Dy =

=

7

–

–4

Persamaan lingkaran yang akan dicari memiliki titik pusat P3(4, –1) dan jari-jari r3 = |AP3|. r3 = |AP3|

0 1

= 0 × 3 × (–1) × (–2) × 1× 7 + 0 × 0 × 1 – 0 × 3 × 7 – 0 × 1 × 1 – (–2) × 1 × (–1) = 0 – 14 + 0 – 0 – 0 – 2 = –16

X

–5

0 −2 1 3

−2 3

1 0 +

+

1

⎛ x′ ⎞ ⎛ −4 2 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ y′ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝ y ⎠ +

= 1 × 3 × (–1) + (–2) × 1 × 2 + 0 × 0 × 1 – 0 × 3 × 2 – 1 × 1 × 1 – (–2) × 0 × (–1) = –3 – 4 + 0 – 0 – 1 – 0 = –8

⎛ −4 2 ⎞ ⎛ −8 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 1⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎛ −4 × ( −8) + 2 × 3 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 0 × ( −8) + 1× 3 ⎠ ⎛ 32 + 6 ⎞ ⎛ 38 ⎞ = ⎜ = ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 0+3 ⎠ ⎝3⎠ Jadi, bayangan titik A adalah A′(38, 3). Matematika Kelas XII

217

22. Jawaban: e Misalkan titik(x, y) pada garis x – 2y = 2 dan bayangan titik (x, y) setelah ditransformasi ⎛3 2⎞ olrhmatriks M = ⎜ ⎟ adalah (x′, y′), maka: ⎝ 2 1⎠ ⎛ x′ ⎞ ⎛3 2⎞ ⎛x⎞ ⎜ y′ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2 1⎠ ⎝ y ⎠ −1 ⎛x⎞ ⎛ 3 2 ⎞ ⎛ x′ ⎞ = ⎜y⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y′ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2 1⎠ ⎝ ⎠ ⎛x⎞ ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ x ′ ⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = –1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝y⎠ ⎝ −2 3 ⎠ ⎝ y ′ ⎠ ⎛x⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ x ′ ⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝y⎠ ⎝ 2 −3 ⎠ ⎝ y ′ ⎠ ⎛ − x′ + 2y′ ⎞ ⎛x⎞ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝y⎠ ⎝ 2x′ − 3y′ ⎠ Dari kesamaan matriks diperoleh: x = –x′ + 2y′ dan y = 2x′ – 3y′ Substitusikan x dan y ke dalam persamaan garis x – 2y = 2. x – 2y = 2 ⇔ –x′ + 2y′ – 2(2x′ – 3y′) = 2 x′ + 2y′ – 4x′ + 6y′ = 2 ⇔ –5x′ + 8y′ = 2 ⇔ Jadi, persamaan bayangan garis adalah –5x + 8y = 2.

⇔

23. Jawaban: d G a = 2 î + 3 ˆj + kˆ G b = î + 2 ˆj + 3 kˆ Diperoleh: G G a + b = (2î + 3ˆj + kˆ ) + ( î + 2 ˆj + 3 kˆ ) = 3 î + 5 ˆj + 4kˆ G G a – b = (2 î + 3 ˆj + kˆ ) – ( î + 2 ˆj + 3 kˆ ) = î + ˆj – 2 kˆ Misalkan α merupakan besar sudut antara vektor G G G G ( a – b ) dan vektor ( a + b ) sehingga: G G G G (a + b) ⋅ (a − b)

cos α = | aG + bG | | aG − bG | = =

3 × 1+ 5 × 1+ 4 × ( −2) 2

3 + 52 + 42

12 + 12 + ( −2)2

π

Oleh karena cos α = 0 maka α = 2 .

218


−3 × 4 + 2 × 2 + 4 × 6

=

−12 + 4 + 24 ( 16 + 4 + 36)2

( 42 + 22 + 62 )2

(4i + 2j + 6k)

(4i + 2j + 6k)

16 = 56 (4i + 2j + 6k) 2 = 7 (4i + 2j + 6k) 8

4

12

= 7 î + 7 ˆj + 7 kˆ G G 8 4 Jadi, vektor proyeksi p pada r adalah 7 î + 7 ˆj 12 ˆ + k. 7

25. Jawaban: c Diketahui: M = 5.000.000 i = 2% = 0,02 per bulan n = 1 tahun = 12 bulan Jumlah uang yang harus dikembalikan = M12. M12 = M(1 + i)12 = 5.000.000 (1 + 0,02)12 = 5.000.000 × (1,02)12 = 5.000.000 × 1,2682 = 6.341.000 Jadi, jumlah uang yang harus dikembalikan Bu Dewi setelah 1 tahun adalah Rp6.341.000,00. 26. Jawaban: a Diketahui: Banyak percobaan n = 10 kali. Kejadian yang diharapkan = muncul mata dadu 2 sebanyak 5 kali, maka x = 5. 1

=0

π

=

1

12 + 12 + ( −2)2

Jadi, besar sudutnya adalah 2 .

G G

G p ⋅r G a = | Gr |2 r

Peluang muncul mata dadu 2 = 6 .

3+5−8 32 + 52 + 42

24. Jawaban: b G G Vektor p tegak lurus dengan q sehingga: G G p · q =0 ⇔ a×4+2×2+4×2=0 ⇔ 4a + 4 + 8 = 0 ⇔ 4a + 12 = 0 ⇔ a = –3 G Diperoleh p = −3i + 2j + 4k . G G Misalkan a merupakan vektor proyeksi p pada G r , maka:

5

Peluang tidak muncul mata dadu 2 = 1 – 6 = 6 . Peluang muncul mata dadu 2 sebanyak 5 kali = P(X = 5) 1

= P(5; 10; 6 )

1

Segitiga DHP siku-siku di H. Luas segitiga DHP

5

= 10C5 × ( 6 )5 × ( 6 )10 – 5

= 0,0130 Jadi, peluang muncul mata dadu 2 sebanyak 5 kali adalah 0,0130. 27. Jawaban: b

1

dapat dirumuskan L = 2 × DP × HQ atau 1

L = 2 × DH × HP. Dari kedua rumus luas segitiga DHP tersebut diperoleh: 1 2

My = x

A(x, y) ⎯⎯⎯⎯ → A′(y, x)

⇔

My = x A(–4, 8) ⎯⎯⎯⎯ → A′(8, –4)

x′′ R[P(4, 3), 90° ] ⎛ x′ ⎞ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎛⎜ ⎞⎟ ⎜ ′⎟ ⎝y ⎠ ⎝ y′′ ⎠

1

× DP × HQ = 2 × DH × HP 1 2

× 3 10 × HQ =

⇔ HQ

= =

⎛ cos 90° −sin 90° ⎞ ⎛ x′ − 4 ⎞ ⎛4⎞ ⎡ x′′ ⎤ ⎢ y′′ ⎥ = ⎜⎝ sin 90° cos 90° ⎟⎠ ⎝⎜ y′ − 3 ⎠⎟ + ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎣ ⎦

29. Jawaban: c T T

A C H

P

6 2

Q C 6 6

A

D

B

Jarak titik H ke garis DP adalah HQ. EFGH berupa persegi dengan panjang sisi 6 cm, maka panjang diagonalnya = HF = EG = 6 2 cm. 1

HP = 2 HF

D

B

Sudut antara bidang TBC dan ABC sama dengan sudut antara garis TD dan AD dengan D titik tengah BC, yaitu ∠ADT = α. ΔABC siku-siku di A, maka: 2 2 BC = AB + AC 2 2 = 6 +6

= 36 + 36 72 1

1

BD = 2 BC = 2 × 6 2 = 3 2 cm ΔABD siku-siku di D, maka:

DH2 + HP2 2

=

(6 2) + (3 2)

=

72 + 18

=

90

= 3 10 cm

α

= 6 2 cm

= 3 2 cm Segitiga DHP siku-siku di H, maka:

2

A

D

=

1

= 2 ×6 2

DP =

10

6

G

D

10 10

Jadi, jarak titik H ke garis DP adalah 5 10 cm.

28. Jawaban: a

F

×

6

⎛7⎞ ⎛ 11⎞ ⎛4⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝4⎠ ⎝7⎠ Jadi, bayangan titik A adalah A′′(11, 7).

E

12 10

= 5 10 cm

⎛4⎞ ⎛ 0 −1⎞ ⎛ 4 ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜3⎟ ⎟⎜ 1 0 − 7 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

P

6 2×3 2 3 10

12

= ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ −4 − 3 ⎠

H

×6 2 ×3 2

= 10

⎛4⎞

⎛ 0 −1⎞ ⎛ 8 − 4 ⎞

1 2

AD =

AB2 − BD2

2 2 = 6 − (3 2)

=

36 − 18

=

18

= 3 2 cm


219

ΔTAD siku-siku di A, maka:

32. Jawaban: e 1

2 2 T D = TA + AD

∫x

0

2 2 = (3 2) + (3 2)

2

1 1

(x 3 + 1)4 dx = ∫ 3 × 3x2(x3 + 1)4 dx 0 1 1

= 18 + 18

= 3 ∫ (x 3 + 1)4 d(x 3 + 1) 0

= 36 = 6 cm

1 1 3 5 = 3 ⎡⎣ 5 (x + 1) ⎤⎦ 0

TA

1

1

3 2

1

sin α = TD = = 2 2 6 Jadi, nilai sinus sudut antara bidang TBC dan ABC

1 3 5 = 15 ⎡⎣(x + 1) ⎤⎦ 0 1

1

= 15 ((13 + 1)5 – (03 + 1)5)

adalah 2 2 .

1

30. Jawaban: a

= 15 (25 – 1)

3

α sudut lancip dan sin α = 5 , maka: 2 2 x = 5 −3 =

25 − 9

3

= 16 =4

1

= 15 (32 – 1) 31

x

α

4

Diperoleh cos α = 5 . 12

β sudut lancip dan cos β = 13 , maka: y=

132 − 122 13

y

= 169 − 64

12

= 25 =5 5 13

Diperoleh sin β =

β

12

. 4

5

= 5 × 13 + 5 × 13 36

33. Jawaban: c Daerah yang diarsir dapat dibagi menjadi dua, yaitu daerah di bawah sumbu X dan daerah di atas sumbu X. Daerah I di bawah sumbu X berada pada interval –2 ≤ y ≤ 0, dibatasi kurva x2 + y2 = 4 dan sumbu Y. Daerah II di atas sumbu X berada pada interval 0 ≤ y ≤ 2, dibatasi kurva x 2 + y 2 = 4 dan (y – 1)2 – x = 1. Dari x 2 + y 2 = 4 diperoleh persamaan x1 = –

4 − y2

Dari (y – – x = 1 diperoleh persamaan x2 = (y – 1)2 – 1. Luas daerah I: 0

LI

= – ∫ x1 dy −2

20

0

= 65 + 65

= – ∫ (– −2

56

= 65

4 − y2

) dy

0

Jadi, nilai sin (α + β) =

56 65

= ∫

.

−2

sin 135° − sin 15° = cos 135° + cos 15° = =

2 cos 2 cos

135° + 15° 135° − 15° sin 2 2 135° + 15° 135° − 15° cos 2 2

sin 60° cos 60° 1 2

=


3 1 2

3

4 − y2

dy

Luas daerah II:

31. Jawaban: a

220

.

1) 2

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β 3

1

= 15 = 2 15

5

2

LII

= ∫ (x2 – x1) dy 0

2

= ∫ [((y – 1)2 – 1) – (– 0

4 − y2

)] dy

2

= ∫ ((y – 1)2 – 1 + 0

4 − y2

) dy

2

1

2

= ∫ ((y – 1)2 – 1) dy + ∫ 0

0

2

2

0

0

= ∫ (y2 – 2y) dy + ∫

4 − y2

dy

1

+ 2 × (– 8 sin 2x) + c

4 − y2

dy

1

1

– 4 sin 2x + c

2

0

4−y

−2

2

dy + ∫ (y2 – 2y) dy 0

(2x − 1) + 4x 2 − 6x − 5

2

2

= ∫

4 − y2

−2

dy + ∫

0

(y2

– 2y) dy

34. Jawaban: d Y

y = x2

lim ((2x – 1) – 4x 2 − 6x − 5 )

2 = xlim → ∞ ((2x – 1) – 4x − 6x − 5 ) ×

dy

4 − y2

0

36. Jawaban: d x→∞

2

+ ∫

(2x − 1) + 4x 2 − 6x − 5

= xlim →∞

(2x − 1)2 − ( 4x 2 − 6x − 5)2

= xlim →∞

4x 2 − 4x + 1 − (4x 2 − 6x − 5)

(2x − 1) + 4x 2 − 6x − 5

y = 2x

4

(2x − 1) + 4x 2 − 6x − 5

2x + 6

= xlim →∞ 0

X

2

=π =π

(2x − 1) + 4x 2 − 6x − 5 2+

= xlim →∞

Volume benda putar: V

1

= 2 x2 sin 2x + 2 x cos 2x

Luas daerah yang diarsir: L = LI + LII = ∫

1

∫ x2 cos 2x dx = x2 × 2 sin 2x – 2x × (– 4 cos 2x)

2−

2

∫ ((2x)2 – (x2)2) dx

=

∫ (4x2 – x4) dx

=

0 2 0

1 + x

6 x

4−

6 x

−

5 x2

2+0 2−0+ 4−0−0 2 2+2

1

= 2

2

= π ⎡ 4 x3 − 1 x5 ⎤ 5 ⎣3 ⎦0 =π

⎛ 4 ⎜(3 ⎝

=π

⎛ 32 32 ⎞ ⎜ 3 − 5 ⎟ ⎝ ⎠

×2

5

37. Jawaban: d

1 ⎞ − × 25 − 0) ⎟ 5 ⎠

lim

x→0

(2 sin2 2x) sin x = xlim →0 x 2 tan 3x

64

= xlim →0

= 15 π satuan volume 35. Jawaban: b ∫ x2 cos 2x dx merupakan integral parsial. Hasil integral dapat dicari dengan cara sebagai berikut. Bagian yang Diturunkan Bagian yang Diintegralkan +

2x

–

–

▲

+

1 2

▲

0

cos 2x ▲

x2 2

(1 − cos 4x) sin x x 2 tan 3x

–

sin 2x 1 4 1 8

cos 2x sin 2x

2 sin 2x · sin 2x · sin x x · x · tan 3x

x

· x

lim sin 2x · sin 2x · sin x · = xlim →0 2 · x→0 x x x 2

2

1

1

x tan 3x

8

=2× 1 × 1 × 1 × 3 = 3 38. Jawaban: d Misalkan u = x2 dan v = sin 3x. u′ = 2x v′ = 3 cos 3x f′(x) = u′v + uv′ = 2x sin 3x + x2 × 3 cos 3x = 2x sin 3x + 3x2 cos 3x Jadi, turunan dari f(x) = x2 sin 3x adalah f′(x) = (2x sin 3x + 3x2 cos 3x.


221

39. Jawaban: c f(x) = x3 – 2x2 + 3 Gradien garis singgung kurva: m = f′(x) = 3x2 – 4x. Gradien garis singgung kurva di titik x = 2: m = f′(2) = 3 × 22 – 4 × = 12 – 8 = 4 Ordinat titik singgung: y = f(2) = 23 – 2 × 22 + 3 = 8 – 8 + 3 = 3 Koordinat titik singgung (2, 3). Persamaan garis singgung kurva di titik A(2, 3) dan bergradien m = 4: y – yA = m(x – xA) ⇔ y – 3 = 4(x – 2) ⇔ y – 3 = 4x – 8 ⇔ y = 4x – 5 Jadi, persamaan garis singgungnya y = 4x – 5.

222


40. Jawaban: d Suatu akar persamaan kuadrat f(x) = 0 terletak pada interval a < x < b jika f(a) dan f(b) berbeda tanda. Misalkan f(x) = x2 – x – 4. x –4 –3 –2 –1 2 3 4

Nilai f(x) = x2 – x – 4 f(–4) = 14 f(–3) = 8 f(–2) = 2 f(–1) = –2 f(2) = –2 f(3) = 2 f(4) = 8

Dari tabel di atas diperoleh nilai f(2) = –2 dan f(3) = 2. Oleh karena f(2) dan f(3) berbeda tanda maka salah satu akar x2 – x – 4 = 0 terletak pada interval 2 < x < 3.

Kunci Jawaban Intan Pariwara Kelas 12 Matematika Peminatan

Recommend Documents