LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE CHI-CUADRADO
Definición:
Se dice que la variable aleatoria continúa X tiene distribución chi-cuadrado con r grados de libertad, y se denota por X – X2 (r), si su función de densidad es:
x= 2-r2rr2 xr/2-1e-x/2, si x 00, si x <0
Donde r es un número entero positivo. Su gráfica, para distintos valores de los grados de libertad se muestra
NOTA:
Si X~X2(r), esto es, si X ~ r (r/2 , ½), entonces,
Su media es µ=r
Su varianza es σ2=2r
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO
Las siguientes propiedades (cuya prueba omitimos) son de importancia para el desarrollo de algunas aplicaciones.
Si Z ~ N(0.1), entonces Z2 ~ X2 (1)
Si Z1, Z2,…, Zr son r variables aleatorias independientes tales que Z1 ~ N (0.1). Para cada i = 1, 2, 3, …, r, entonces,
i=1rZi2 ~ x2(r)
Con frecuencia x2 (r) se define como la suma de los cuadrados de r variables aleatorias independientes distribuidas cada una como N (0.1).
Propiedad Reproductiva de la distribución chi-cuadrado
Si X1, X2,…, Xk, son k variables aleatorias independientes tales que Xi ~ x2 (ri), para cada i = 1, 2, 3,…, k, entonces,
i=1kXi ~ X2(r1+r1+…+rk)
USO DE LA TABLA CHI-CUADRADO
Las probabilidades que origina la distribución chi-cuadrado, X ~ X2 (r), se pueden obtener de programas de cómputo estadístico, de calculadoras con estadística avanzada o una tabla de probabilidades. En la tabla de probabilidades chi-cuadrado se puede encontrar la probabilidad 1 – α dado el valor c = X1-α,r2 (o recíprocamente), mediante la relación PX X1-α,r2=1- α como se indica en la siguiente figura.
EJEMPLO 1:
Si X~X2(26), obtenga:
P[ X 17.29]
P[ X 38.89]
P[13.84 X 45.64]
P[ X 40]
Solución:
Aplicando la tabla del chi-cuadrado se tiene que
P[ X 17.29] = 0,10
P[ X 38.89] = 1 - 0.95 = 0,05
P[13.84 X 45.64] = 0,99 – 0,025 = 0,965
P[ X 40] 0.950 que corresponde al valor 38.89 , el más cercano a 40.
Si queremos un valor más preciso, usamos interpolación:
Valor de chi-cuadrado: 38.89 40 41.92
Área acumulada correspondiente: 0.95 P0 0.975
Luego P0-0.950.975-0.95= 40 -38.8941.92-38.89 , donde resulta P0 =0.9592
EJEMPLO 2:
Si X~X(r), halle:
a tal que P[ X a] = 0.995 si r = 30
a y b tales que P[ a X b] = 0.95 y P[ x > b] = 0.025 si r = 13
a tal que P[ X a] = 0.015 si r = 8
Solución:
P[ X a] = 0.995 implica a = 53.67, para 30 grados de libertad.
P[ X > b] = 0.025 implica P[ X b] = 0.975, entonces, b = 24.74
Por otra parte, 0.95 = P[ a X b] = P[ X b] - P[ X a]
De donde resulta, P[ X a] = 0.975 – 0.95 = 0.025. Luego a = 5.01
P[ X a] = 0.015, implica, a = 1.65, que corresponde al área más cercana que es 0.10.
SI queremos un valor más preciso, usamos interpolación:
Área acumulada: 0.010 0.015 0.025
Valor de chi-cuadrado: 1.65 a 2.18
Luego a - 1.652.18 - 1.65= 0.015- 0.0100.025-0.010 , de donde se obtiene a = 1.8267