LA ESTADISTICA EN EDUCACION SECUNDARIA
INDICE Estadística descriptiva
3
Análisis de datos
3
Tabla de frecuencias
4
Características de una muestra
6
Medidas de tendencia central
6
Medidas de dispersión
6
Teoría de probabilidades
7
Aplicaciones del método Montecarlo
4
El método Montecarlo en la Educación !ecundaria
6
"esarrollo de actividades de aprendi#a$e
%&
!ituaciones de evaluación
3%
Materiales de consulta DESCRIPTIVA
3'ESTADÍSTICA
ANÁLISIS DE DATOS Cuando aplicamos la estadística( )a sea en su parte descriptiva o inferencial( estaremos enfrentados a la obtención de mediciones de una o más variables procedentes de una población* A estas mediciones las llamamos datos( ) +eneralmente las clasificamos en cuatro tipos, nominales, ordinales, de intervalo y porcentaje. -os datos datos nomin nominale aless son medici medicione oness .ue simple simpleme mente nte clasi clasific fican an las las unidad unidades es de la poblaci pob lación ón o muestra mues tra en cate+or cate +orías ías** Estos Est os datos dato s .ue también tamb ién llamamos llam amos datos dato s cate+óricos( son nombres o eti.uetas .ue identifican la cate+oría a la cual pertenecen* E$emplos de éstos son, la filiación política de los estudiantes de una facultad( el se/o de los m0si m0sico coss de una una or.u or.ues esta ta(( etcé etcéte tera ra** 1b 1bsé sérv rves esee .u .uee en esto estoss caso casoss sólo sólo e/is e/iste te la cate+ori#ación en unidades simples* -os datos ordinales pertenecen a mediciones .ue permiten .ue éstas sean ordenadas con respecto a la variable variable de interés* Este Este tipo de datos nos permite indicar la s cantidade can tidadess relativas de una cierta propiedad .ue .u e posee una unidad medida* E$empl E$emplos os de éstos éstos son, son, los in+resos( se+0n puestos( de los empleados de una institución bancaria( la efectividad en el desempe2o de un profesor por e$emplo en una escala de a '( etcétera* etcétera* -os datos de intervalo son medidas .ue nos permiten determinar cierta característica .ue posee la variable estudiada* estudiada * Estos datos son siempre numéricos( numéricos ( ) per miten obtener diferencias diferencias entre las unidades medidas para la variable considerada* !on los tipos de datos a los cuales estamos más 5abituados( ) al+unos e$emplos serían, la temperatura en +rados Celsius( el diámetro de una esfera en centímetros( el salario de un obrero en pesos( etcétera* or 0ltimo( los de ra#ón o porcenta$e son mediciones .ue permiten la determinación de cuantas veces es detentada la característica medida por la unidad obtenida de una muestra con respecto a otra unidad de la misma muestra* E$emplos de éstos datos son, los porcenta$es de desempleo en un país o re+ión( porcenta$es de consumo de los diversos alimentos por una población( o los porcenta$es de edades o se/os en una escuela* Estos datos representan la culminación en el proceso estadístico de medición* ara este caso( los resultad resultados os pued pueden en utili# utili#arse arse para cate+ori cate+ori#ar( #ar( ordenar( ordenar( diferenci diferenciar ar ) efectuar efectuar mediciones m0ltiples de una unidad con respecta a otra* Es importante reconocer .ue el ori+en o punto cero carece de si+nificado para estos datos* or e$emplo( cero desempleo( cero in+resos o cero mu$eres mu$ere s en una escuela tienen un si+nificado preciso inmediato* inmediato* !in embar+ embar+o( o( los cuatro cuatro tipos tipos de datos datos rese2a rese2ados dos se a+rupa a+rupan( n( para para la ma)oría ma)oría de las las aplicaci aplicaciones ones estadístic estadísticas( as( en dos clases* clases* -os datos datos nominale nominaless y ordinal ordinales es se clasifican como datos cualitativos, mientras .ue los datos de intervalo y de tasa son clasificados como cuantitativos.
-a ma)oría de los métodos prácticos para anali#ar datos son esencialmente simples simples en en concepto* "ependiendo del uso .ue se pretenda dar al análisis de los datos( éstos presentan una descripción sumaria del comportamiento del fenómeno a estudiar* En la ma)oría de los casos serán utili#ados dos o más métodos de análisis para obtener ma)or claridad en la descripción .ue se desea* Al+unos de éstos son, +raficación de al+una característica contra el tiempo( distribuciones de frecuencia( 5isto+ramas( obtención de características de la muestra( como pueden ser, media( desviación estándar( mediana( moda( percentiles( medidas de tendencia central )o medidas de dispersión* dispersión* 8na ve# .ue se 5an obtenido los datos es mu) instructivo +raficar la salida "Y” contra el tiempo en el cual el e/perimento e/perimento fue reali#ado* reali#ado* Entre los fenómenos posibles .ue pueden llamar nuestra atención en tales +ráficas podemos mencionar, 9
9 9
Al+u Al+una nass obse observ rvac acio ione nes( s( prin princi cipa palm lmen ente te al inic inicio io del del e/pe e/peri rime ment nto( o( .u .uee se encuentran más dispersas de lo esperado: estas mediciones pueden representar una curva de aprendi#a$e del e/perimentador con respecto a la situación del e/perimento( ) deben( en lo posible( ser repetidas* !e pudi pudiera era obser observar var al+un al+unaa tenden tendenci ciaa dentro dentro de cada cada día o seman semanaa o mes: mes: este 5ec5o puede representar fenómenos tales como calentamiento de la ma.uinaria( ma.uinaria( fati+a del operador( o sencillamente tendencias relacionadas con el tiempo* -a variab variabil ilid idad ad pued puedee decr decrec ecer er o incr increm emen enta tars rse e con con el tiem tiempo po:: esto esto puede puede deberse a la curva de aprendi#a$e( al material nuevo( cambios en lotes de materiales de insumo( etcétera*
TABLA DE FRECENCIAS -a tabla de frecuencias o distribución distribución es una 5erramienta estadística estadística para representar un con$unto numeroso de datos en una forma .ue 5a+a más clara las medidas de tendencia central ) de dispersión( al i+ual .ue la ocurrencia ocu rrencia de frecuencias relativas para los datos* datos* -a tabla %* muestra los datos observados .ue representan las medidas de la resistencia eléctrica de && bobinas* -a mera observación de estos datos no proporciona información relevante ) carece de si+nificado*
Ta!la Ta!la "#$# ;alores de resistencias 15ms de && bobinas 3*37 3*3' 3*33 3*34 3*%< 3*3& 3*33 3*34 3*3' 3*3& 3*33 3*3' 3*3% 3*34 3*36 3*36 3*3' 3*3= 3*44 3*36 3*3= 3*34 3*3& 3*36 3*%< 3*%7 3*4 3*36 3*3 3*3' 3*3' 3*3 3*4& 3*37 3*3' 3*3= 3* 3' 3*3< 3*3 3*3' 3*34 3*3% 3*%= 3*3 3*36 3*3 3*34 3*36 3*36 3*3% 3*3' 3*34 3 37 3*3= 3*37 3*3 3*33 3*37 3*3% 3*3%
3*33 3*3< 3*3% 3*33 3*%< 3*3% 3*33 3*37 3*3 3*3' 3*34 3*34 3*3= 3*3& 3*3'
3*3< 3*4 3*33
3*3% 3*36 3*34
3*3< 3*37 3*34
3*4& 3*37 3*36
3*33 3*36 3*3'
3*36
3*3
3*3&
3*33
3*3
-a tabla %*% muestra los datos a+rupados* >ótese cómo la columna llamada ?conteo de frecuencias? 5ace más evidente en dónde está locali#ada la tendencia central ) .ué tan dispersas están las mediciones* -a columna llamada ?frecuencia? es sencillamente un conteo de éstas* -a columna llamada ?frecuencia acumulativa? muestra el n0mero de bobinas con resistencia
Ta!la %*%* "istribución de frecuencias de los valores de las resistencias recuencia absoluta acumulada
recuencia relativa porcentuali#ada
recuencia relativa acumulada porcentuali#ada
@ntervalos
recuencia absoluta
3*%7 B 3*3&
'
'
'
'
3*3& B 3*33
%3
%=
%3
%=
3*33 B 3*36
37
6'
37
6'
3*36 B 3*3<
%6
<
%6
<
3*3< B 3*4%
=
<<
=
<<
3*4% B 3*4'
&&
&&
Ense+uida se presentan los pasos necesarios para construir un dia+rama de frecuencia* * "ecida el n0mero de intervalos la tabla %*4 provee una +uía adecuada para la ma)oría de los casos .ue se presentan* Esta tabla no debe considerarse rí+ida ) puede a$ustarse a las necesidades del usuario: sólo se pretende proporcionar un resumen claro de los datos .ue revelen cual.uier patrón oculto en éstos*
TABLA %*3* >0mero de intervalos en una distribución de frecuencia >0mero de observaciones >0mero de celdas recomendadas %&'& ' '&& 7 &%&& < %&'&& '&&&& 3
Más de &&&
% %* Calcule apro/imadamente la amplitud del intervalo* El tama2o del intervalo es i+ual a la diferencia entre el valor de la ma)or menos la menor observación dividido entre el n0mero de intervalos* Dedondee este n0mero a un valor conveniente*
3* Constru)a los intervalos definiendo sus límites* ara cálculos posteriores, a -os límites del intervalo no deben tener más decimales .ue de los .ue posean los datos* b -os tama2os de los intervalos deben permanecer constantes en todo el proceso de cálculo ) construcción del dia+rama de frecuencia* 4* Cuente cada observación contenida en cada intervalo ) enliste la frecuencia absoluta para cada intervalo* E/isten varias maneras de presentar la distribución de frecuencia en forma +ráfica* El más popular es el 5isto+rama de frecuencias* -a fi+ura %* muestra los datos de las resistencias de las bobinas en forma de un 5isto+rama de frecuencia* Este dia+rama es sencillo de construir e interpretar ) por esto es ampliamente utili#ado para un análisis elemental de datos*
CARACTERÍSTICAS DE NA %ESTRA& %EDIA' %EDIANA' %ODA' VARIAN(A' PERCENTILES -a estadística descriptiva debe enfrentar con un método simple la manera de e/traer información de una masa de n0meros( .ue a primera vista carecen de periodicidad o ra#ón de ser* Esta información de los datos puede estar relacionada a un ?valor típico? o central, media( mediana( moda: o a una medida de ?cuanta variabilidad? esté presente varian#a( desviación estándar o a una medida de frecuencia percentiles* -os primeros dos valores valor central típico ) variabilidad serán discutidos ense+uida*
%EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL -a ma)oría de las distribuciones ofrecen una ?tendencia central?( o sea( una forma tal .ue las mediciones se apilan en un área comprendida entre dos e/tremos* -a tendencia central es uno de los conceptos fundamentales en el análisis estadístico* E/isten tres principales indicadores de tendencia central, la media aritmética( la mediana ) la moda*
-a media aritmética o promedio es un dato cuantitativo ) se define como la suma de las mediciones dividido entre el n0mero de datos .ue e/isten en la muestra( ) es utili#ada para distribuciones simétricas o apro/imadamente simétricas( o también para distribuciones con una clara ausencia de un pico dominante* -a media aritmética (X) es la medida más utili#ada en traba$os de control de calidad: se emplea a menudo para reportar medidas promedio de porcenta$es defectuosos en las cartas de control( .ue en estudios de la calidad se dise2aron para anali#ar ) mantener control de este parámetro* Así( las cartas de control proporcionan los pri meros indicios de cambios si+nificativos en el valor central( ) por tanto( una llamada de atención para su pronta corrección* -a mediana los datos se arre+lan de acuerdo a su tama2o se utili#a para reducir los efectos de los valores e/tremos( o para datos .ue pueden ser ordenados pero .ue no son cuantitativamente medibles forma( color( aspecto( olores o para al+unas situaciones especiales de prueba* -a moda el valor .ue ocurre con más frecuencia en los datos es utili#ada en distribuciones severamente asimétricas( .ue describen una situación irre+ular( o cuando son encontrados dos picos( o para eliminar los efectos de los valores e/tremos*
%EDIDAS DE DISPERSI)N En el pará+rafo anterior presentamos al+unas de las medidas de tendencia central para datos cuantitativos( sin embar+o( estas medidas nos presentan sólo una parte del todo* Es claro .ue nuestra información estaría incompleta sin una medida de la variabilidad o dispersión de los datos considerados* -os datos recolectados de una muestra o de una población están siempre dispersos alrededor de un punto ) en una #ona de tendencia central* A la e/tensión de esta dispersión es lo .ue llamamos variación o variabilidad* -a medición de la dispersión es la se+unda medida fundamental en el análisis estadístico* E/isten varios parámetros para medir la dispersión* El más sencillo de todos es el ran+o( .ue es simplemente la diferencia entre el valor má/imo ) el mínimo de todos los datos de una población o muestra* Como el ran+o está basado sólo en dos valores( es mu) 0til cuando el n0mero de observaciones es pe.ue2o alrededor de & o menos* -as medidas más importantes de la variación son, la desviación media( la desviación estándar( la varian#a ) el coeficiente de variación
TEORÍA DE PROBABILIDADES * SS APLICACIONES %a+# L,is Palomares Alvari-o Introd,..i/n a la 0ro!a!ilidad recuentemente se usa el término probabilidad para su+erir .ue e/iste duda o incertidumbre sobre lo .ue ocurrió( lo .ue ocurre u ocurrirá* -a e/periencia 5umana demuestra .ue e/iste una serie de 5ec5os( acontecimientos( e/perimentos cu)os resultados no se pueden determinar anticipadamente( pero .ue sin embar+o si es posible definir( estimar o predecir el probable resultado* odemos conocer el pasado( pero nunca el futuro( pero e/iste un permanente interés por despe$ar las incertidumbres*
-as situaciones .ue implican incertidumbre varían desde simples $ue+os de a#ar( como la ruleta( los dados( los naipes( la lotería( etc* a otros e/perimentos ) acontecimientos tan variados( comple$os e importantes dentro de las ciencias médicas( ciencias sociales( la economía( las industrias( los ne+ocios( los se+uros( etc* ermanentemente interesa predecir o estimar lo .ue sucederá en ciertas circunstancias* 8n empresario puede decidir la comerciali#ación de un producto si conoce .ue la probabilidadF de é/ito es mu) alta* El aficionado de f0tbol( puede apostar contra su e.uipo favorito si sabe .ue la probabilidad .ue +ane es mu) pe.ue2a* El a+ricultor no sembrará demasiadas 5ectáreas de café si la probabilidad de .ue ba$e el precio es mu) elevada* Es posible .ue nin+uno de ellos sepa definir o medir la probabilidad( pero si encontrará 0til la idea de estimar intuitivamente: así como ellos( t0 también estas elaborando supuestos en relación a la ocurrencia de un 5ec5o( es decir estas preocupado en aspectos .ue pertenecen al campo de la probabilidadF( la e/pectativa ) los supuestos* ero( G.ué es probabilidadH( Gcómo se puede medirH( Gcómo se usaH* -as respuestas a estas pre+untas son preocupación de esta a)uda* En principio será necesario tener idea de al+unos conceptos previos( como, • E/perimento aleatorio • Espacio muestral de un e/perimento • Evento de un espacio muestral
Fen/meno aleatorio o e10erimento aleatorio Es un fenómeno .ue puede repetirse varias veces( no se sabe .ue resultado se obtendrá en cada repetición( pero si se sabe cuál es el con$unto de todos los resultados posibles* E$emplos, a -an#ar un dado normal( esperar .ue se deten+a ) leer el n0mero .ue aparece en la cara superior* b -an#ar dos monedas ) cuando 5a)an caído leer las fi+uras .ue aparecen en el lado superior* c Ele+ir al a#ar una persona de un +rupo ) decir su se/o*
Es0a.io m,estral Es el con$unto de todos los resultados posibles de un e/perimento aleatorio* Ieneralmente se le representa por Ω ome+a* E$emplos, a El espacio muestral de lan#ar un dado es( Ω J K ( % ( 3( 4( '( 6L b El espacio muetral de lan#ar dos monedas es( Ω J Kcc( cs( sc( ssL c El espacio muestral de ele+ir una persona de un +rupo es( Ω J K5ombre( mu$erL
Evento o s,.eso Es un subcon$unto una parte del espacio muestral* Ieneralmente se le representa por una letra ma)0scula*
E$emplos, -ue+o de lan#ar un dado( cu)o espacio muestral es( Ω J K ( %( 3( 4( '( 6 L( el evento de obtener un n0mero menor .ue 3 es( A J K( %L el evento de obtener un n0mero primo es( J K%( 3( 'L el evento de obtener un n0mero ma)or .ue 6 es( C J K L El evento de obtener un n0mero menor .ue 7 es( " J K ( %( 3( 4( '( 6L
Notas& a "os eventos se llaman dis$untos( o e/clu)entes cuando no pueden ocurrir a la ve#( es decir si A ∩ J K L b "os eventos son complementarios cuando la reunión de los dos es i+ual al espacio muestral ) son e/clu)entes* Es decir( si A ∪ J Ω ) además A ∩ J K L E2em0los& En el espacio muestral de lan#ar un dado( A J K%( 3L ) J K'( 6L son eventos e/clu)entes A J K%( 3L ) C J K( 4( '( 6L son eventos complementarios Pro!a!ilidad de ,n evento "ado un evento A de un espacio muestral Ω( la probabilidad .ue ocurra A es( >0mero de elementos de A A J >0mero de elementos de Ω ;eamos al+unos e$emplos, a !i se 5ace rodar un dado correcto e/perimento aleatorio se puede obtener como resultado cual.uiera de sus seis caras o lados Espacio muestral K( %( 3( 4( '( 6L .ue tiene el dado casos posibles( esto si+nifica .ue la suerte o probabilidadF .ue tiene cada cara es 6* !i a5ora se espera obtener un n0mero para( tenemos .ue pensar .ue 5a) tres caras el evento es K%( 4( 6L .ue cumplen la condición de ser n0mero par casos favorables( lue+o la probabilidadF de obtener n0mero par será 36 es decir N* "e este e$emplo se deduce, 3 casos favorables obtener par J J J 6 % casos posibles En términos de con$untos( sería, Ω J K
: % : 3 : 4 : ' : 6L
A J K% : 4 : 6L
El espacio muestral Ω tiene 6 elementos( nΩ J 6( ) el evento tiene 3 elementos
nA J 3 nA 3 A J J J nΩ 6 % b !i el e/perimento es lan#ar dos monedas ) observar el resultado( su espacio muestral es( Ω J Kcc( sc( cs( ssL -a probabilidad de obtener dos caras es la probabilidad del evento A J KccL Entonces esa probabilidad es( dos caras J KccL J A J O c El e/perimento consiste en lan#ar dos monedas ) un dado( ) observar el resultado obtenido* !u espacio muestral es( Ω J Kcc( cc%( cc3( cc4( cc'( cc6( sc( sc%( sc3( sc4( sc'( sc6( cs( cs%( cs3( cs4( cs'( cs6( ss(ss%( ss3( ss4( ss'( ss6L GCuál es la probabilidad de obtener dos caras ) un n0mero parH El evento es, A J Kcc%( cc4( cc6L Como A tiene 3 elementos ) Ω tiene %4 elementos( entonces, dos caras ) un n0mero par J A J 3%4 J = J &(%'
Pro0iedades de las 0ro!a!ilidades -as propiedades fundamentales de las probabilidades son tres, a -a probabilidad es un n0mero positivo menor o i+ual a uno & ≤ A ≤
A J & ( si A J K L A J ( si A J Ω
b -a probabilidad .ue no ocurra un evento es i+ual a uno menos la probabilidad .ue si ocurra el evento* no A J AP J B A c -a probabilidad .ue ocurra un evento A o un evento es i+ual a la suma de las probabilidades de A ) de ( menos la probabilidad .ue ocurran A ) a la ve#* A ∪ J A Q B A ∩ !i los eventos A ) son dis$untos entonces( A ∪ J A Q
Ta!las de 3re.,en.ia !on tablas de traba$o estadístico( .ue presentan la distribución de un con$unto de elementos de acuerdo a las cate+orías de la variable* En ellas se observa la frecuencia o repetición de cada uno de los valores de la variable .ue se obtiene después de reali#ar la operación de tabulación* -as frecuencias pueden ser de dos tipos, absolutas ) relativas* -as tablas de frecuencia sirven también para or+ani#ar los datos* ;eamos dos e$emplos, *
!e 5a consultado a los alumnos de una sección por el n0mero de 5ermanos .ue tiene( obteniéndose como resultado la si+uiente tabla de frecuencias, >S de 5ermanos & % 3 4
frecuencia % 7 < 4 3
El n0mero 7 .ue está delante del indica .ue 5ubieron siete alumnos .ue declararon tener un solo 5ermano* También se puede ver .ue 5a) dos alumnos .ue son 5i$os 0nicos( por.ue declaran no tener 5ermano* Tres alumnos tienen 4 5ermanos* En total fueron consultados %' alumnos( eso se ve en la suma de las frecuencias* !i además se .uiere saber .ue parte del total corresponde a cada n0mero de 5ermanos( se obtiene la frecuencia relativa* ara eso basta dividir la frecuencia del n0mero .ue le corresponde a cada n0mero de 5ermanos entre el total* Así( %%' J &(&=: 7%' J &(%=: <%' J &(36: 4%' J &(6: 3%' J &(% Entonces la tabla sería, >0mero de 5ermanos & % 3 4 Total
frecuencia frecuencia absoluta relativa % &(&= 7 &(%= < &(36 4 &(6 3 &(% %' (&&
%* A5ora .ueremos presentar en una tabla de frecuencias el n0mero de sacos de papa .ue Dicardo cosec5ó por día durante la semana pasada( en la c5acra .ue tiene en el distrito de Dicrán de la provincia de Runín en el departamento del mismo nombre*
"ía
>0mero de recuencia sacos relativa -unes ' &('6%' Martes 7 &(%=7' Miércoles 4 &(%'&& Rueves ' &('6%' ;iernes = &(%'&&& !ábado 3 &(&<37' Total 3% (&&&&& >otas, En ambos e$emplos se puede observar al+unas cosas resaltantes, a -a suma de las frecuencias relativas es i+ual a uno* b -as frecuencias relativas son n0meros decimales positivos menores .ue uno* !erá cero si la frecuencia absoluta para esa cate+oría de la variable es cero*
Fre.,en.ia y 0ro!a!ilidades En la tabla de frecuencias .ue corresponde al n0mero de 5ermanos .ue tienen los alumnos de una sección, >0mero de 5ermanos & % 3 4 Total
frecuencia frecuencia absoluta relativa % &(&= 7 &(%= < &(36 4 &(6 3 &(% %' (&&
!i se .uiere saber cuál es la probabilidad .ue un alumno de esa sección ele+ido al a#ar ten+a un solo 5ermano( se puede decir .ue es 7 de %'( o lo .ue es lo mismo, J 7%' J &(%= "e donde se puede concluir .ue, & J &(&= : % J &(36 : 3 J &(6 ) 4 J &(% En otras palabras la probabilidad de cada una de las cate+orías de la variable n0meros de 5ermanos( es i+ual a la frecuencia relativa* >otas, a En muc5os casos( la frecuencia relativa de una tabla de frecuencias representa también la probabilidad de una cate+oría de la variable*
b >o se puede decir .ue esto es válido para todos los casos* or e$emplo( para la otra tabla de frecuencias( la .ue corresponde al n0mero de sacos de papa* "ía
>0mero de recuencia sacos relativa -unes ' &('6%' Martes 7 &(%=7' Miércoles 4 &(%'&& Rueves ' &('6%' ;iernes = &(%'&&& !ábado 3 &(&<37' Total 3% (&&&&& >o tendría nin+0n sentido decir .ue la probabilidad de martes es &(%=7'* Esto ocurre por.ue el 7 .ue corresponde al martes no indica el n0mero de veces .ue aparece martes( sino el n0mero de sacos de papa .ue se cosec5ó ese día* ;eamos( en cambio otro e$emplo, Dicardo está estudiando el n0mero de sacos .ue cosec5a por día durante un mes( sin importarle de .ué día de la semana se trata: entonces tiene la si+uiente tabla de frecuencias, >0mero de recuencia recuencia sacos absoluta relativa 3 4 &(333 4 7 &(%333 ' < &(3&&& 6 ' &(667 7 3 &(&&& = % &(&667 total 3& (&&&& Entonces si( la probabilidad de cosec5ar 4 sacos en un día ele+ido al a#ar es, &(%333* -o mismo se puede decir de las otras cate+orías de la variable n0mero de sacos cosec5ados por día*
Distri!,.i/n de 0ro!a!ilidad 8na distribución de probabilidad es una fórmula( tabla o +ráfico .ue proporciona la probabilidad asociada a cada cate+oría de la variable* uesto .ue cada cate+oría de la variable( en una tabla de frecuencias( tiene una determinada frecuencia absoluta( es posible encontrar la probabilidad de ocurrencia de la cate+oría*
En los casos de nuestro traba$o las distribuciones de probabilidad serán presentadas 0nicamente ba$o la forma de tablas o cuadros de distribución* ;eamos las tablas de distribución de probabilidades de los dos e$emplos anteriores* En el caso del n0mero de 5ermanos de los alumnos de una sección se tendría, / /
&
%
3
4
&(&=
&(%=
&(36
&(6
&(%
En el caso del n0mero de sacos de papa cosec5ados por día( la tabla de distribución de probabilidades sería, / /
3
4
'
6
7
=
&(333 &(%333 &(3&&& &(667 &(&&& &(&666
También podría presentarse como tablas verticales*
Sim,la.i/n En síntesis la simulación es la reproducción de un proceso o de un fenómeno mediante otro más sencillo o más cómodo de mane$ar( .ue evoluciones de manera seme$ante al primero* "esde el punto de vista matemático( simulación es un procedimiento cuantitativo .ue conduce una serie de e/perimentos de tanteos or+ani#ados en un modelo de un proceso para predecir la conducta de ese proceso con el tiempo* ese a .ue los matemáticos recomiendan el uso de la simulación solo como 0ltimo recursoF( es una de las técnicas de la ciencia administrativa más ampliamente usadas*
Ra4ones 0ara el ,so de la sim,la.i/n& a or la dificultad .ue representa la observación real del fenómeno* b -a observación del fenómeno real es mu) costosa* c -a observación del fenómeno real toma demasiado tiempo* d -a operación real del fenómeno resulta demasiado destructiva* Limita.iones de la sim,la.i/n& a >o es precisa* >o es un proceso de optimi#ación( no proporciona una respuesta sino un con$unto de respuestas del fenómeno ba$o diferentes condiciones de operación* b 8n buen modelo de simulación muc5as veces es mu) caro ) toma a veces demasiado tiempo elaborarlo*
c >o todas las situaciones se pueden simular( las me$ores son las .ue involucran incertidumbre* d Ienera formas de evaluar el fenómeno más no proporciona soluciones al mismo*
El m5todo %onte.arlo El método Montecarlo es un método de simulación de procesos para +enerar valores de una variable de acuerdo con una distribución de probabilidades conocida* Cuando se inicia el proceso( un +enerador de n0meros aleatorios produce un n0mero* -os n0meros producidos deben tener una distribución de probabilidad uniforme( es decir( deben ser i+ualmente probables* "espués la transformación convierte los n0meros con distribución uniforme en el valor .ue se desea( de acuerdo con la distribución .ue se .uiere* En el fondo no es más .ue la ad$udicación de n0meros de manera proporcional a las probabilidades( para lue+o( al a#ar e/traer los n0meros ) teóricamente e$ecutar el proceso se+0n el n0mero e/traído* E$emplo, María vive mu) cerca del cole+io( durante varias semanas 5a tomado el tiempo .ue demora en lle+ar desde su casa al cole+io ) 5a obtenido los si+uientes resultados, Tiempo En minutos % 4 =
frecuencia frecuencia acumulada < < 4' '4 6 6&
A partir de esa información 5a encontrado la distribución de probabilidad( para cada uno de esos tres tiempos de lle+ada de su casa al cole+io* -o+rando incluso construir la tabla si+uiente, Tiempo En minutos % 4 =
robabilidad robabilidad acumulada &(' &(' &(7' &(<& &(& (&&
A5ora vamos a sim,lar los tiem0os de lle+ada de $6 ve.es .ue María va desde su casa al cole+io* >o será necesario .ue María realice sus despla#amientos* -a simulación lo 5aremos con el método Montecarlo* rimero precisamos los n0meros .ue le corresponderán a cada variación de la variable tiempo .ue demora en lle+ar desde su casa al cole+io*
Tiempo En minutos 3 4 <
robabilidad robabilidad acumulada &(' &(' &(7' &(<& &(& (&&
>0mero .ue le corresponde "e a ' de 6 a <& de < a &&
En trocitos de papel escribimos los n0meros desde el 5asta el &&* -os ponemos en una bolsa ) al a#ar e/traemos un n0mero* !i el n0mero .ue salió es 43( entonces el tiempo es 4 minutos por.ue 43 está de 6 a <&( .ue corresponde a 4 minutos* De+resamos el n0mero a la bolsa( ) e/traemos otro n0mero al a#ar* !i el n0mero .ue sale es 3( el tiempo es % minutos* "e este mismo modo e/traemos los & n0meros ) en cada e/tracción anotamos el n0mero de minutos .ue le corresponde* >o puede olvidarse de re+resar el n0mero .ue se 5a e/traído* Evidentemente si las probabilidades son más sencillas( por e$emplo con un solo decimal( solo sería necesario traba$ar con los n0meros del al &* El método de simulación Montecarlo( se puede aplicar a toda situación en la .ue se cono#can los valores de las variables ) sus probabilidades( con la condición .ue la probabilidad sea total( es decir( .ue la suma de las probabilidades sea * >o se puede aplicar este método de simulación si no se conoce de antemano las probabilidades .ue le corresponde a cada cate+oría de la variable*
APLICACIONES DEL %7TODO %ONTECARLO SISTE%A DE COLAS -a compa2ía ero/( empresa .ue se dedica especialmente a la venta de fotocopiadoras( usó una simulación de para anali#ar la eficacia del servicio proporcionado por su duplicadora modelo <%&&* -as llamadas de los clientes para solicitar servicio de mantenimiento de ur+encia ) de mantenimiento preventivo re+ular lle+abanF en forma aleatoria a la unidad de servicio técnico representativo local( las .ue eran atendidas por una unidad conformada por un representante técnico de la empresa* !e .uería saber cuántas personas deberían atender esas solicitudes( de modo .ue los clientes estén satisfec5os ) la empresa no invierta muc5o dinero* Con una simulación de este sistema( la ero/ e/ploró varios tama2os de unidades de servicio desde 5asta ' personas representantes técnicos* Encontraron .ue las unidades de 3 técnicos serían más eficaces .ue las de .ue venia usando* SISTE%A DE INVENTARIOS El banco de san+re de un Uospital tenían un +ran problema en el mantenimiento de un stocV de bolsas de san+re( debido especialmente a tres cosas, primero a la aleatoriedad de la
demanda( también por.ue se trata de un bien perecedero )( por 0ltimo( al alto costo por no tener el stocV adecuado* !e usó una simulación para permitir al 5ospital e/plorar las diferentes políticas de inventarios en un esfuer#o para encontrar la política más efica#* "e ese modo los +astos por la falta de stocV ) la satisfacción de los solicitantes me$oraron notablemente*
8E9OS DE NE9OCIOS -as ne+ociaciones .ue se 5acen en el mundo +erencial real son mu) diversos( variados ) aleatorios* ormar a una persona para .ue pueda desempe2arse adecuadamente en ese mundo no es fácil* -a simulación de muc5os $ue+os de ne+ocios usada en las escuelas de administración de empresas en pro+ramas de entrenamiento es una buena solución en estos casos* !e 5an construido modelos de firmas ) de industrias completas .ue permiten insumos e/ternos para ciertas variables como el precio del producto* -os $u+adores( estudiantes de +erencia introducen sus decisiones( procesan el modelo para el si+uiente periodo ) se dan los resultados a los $u+adores para otro ciclo de decisión* "e este modo se está lo+rando .ue los futuros +erentes esté preparados a resolver situaciones mu) seme$antes a los de la realidad( de manera efica#* TO%A DE DECISIONES :%ANAS 1tra aplicación de la simulación es para imitar los procesos de toma de decisiones de un individuo o un +rupo* or e$emplo( se constru)o un modelo de simulación para imitar el proceso por medio del cual en una ciudad se alteró los re+lamentos de #onificación con ob$eto de satisfacer nuevas necesidades* En este tipo de simulación no busca la optimi#ación( ni si.uiera las me$oras* Más bien se trata de automati#ar un proceso 5umano* El modelo de creado se $u#+ó e/itoso( por.ue en la ma)oría de los casos la decisión tomada fue la misma .ue la de los participantes 5umanos*
EL %7TODO %ONTECARLO EN LA EDCACI)N SECNDARIA
%a+# L,is Palomares Alvari-o %)DLO
D1>1!T@CA>"1 EL
8T8D1 $#
PLANEA%IENTO "entro de los contenidos básicos de Matemática para el tercer a2o de Educación !ecundaria se encuentran los correspondientes a robabilidades( ) .ue pese a su +ran importancia .ue tiene dentro de la actividad 5umana ) a su estrec5a relación con fenómenos reales en su ori+en 5istórico( su tratamiento en el campo educativo está desatendido )( muc5as veces( i+norado por los docentes* W es .ue en +eneral todo lo correspondiente a las probabilidades( como contenido matemático( es de un nivel alto de abstracción( lo .ue conduce a un desarrollo sobre todo teórico mu) rí+ido ) con simbolo+ía mu) dispersa*
O!2etivos • • • •
ropiciar la observación de la realidad para descubrir situaciones .ue involucran probabilidades* Capturar la información de situaciones reales para modelarlas teóricamente dentro del marco de la teoría de las probabilidades* rocesar la información utili#ando técnicas creativas .ue permitan pro)ectar el modelo a otras situaciones afines de la realidad* "esarrollar la capacidad de traba$o individual sin menoscabo de la actividad colaborativa ) de la interacción profesoralumno*
Nivel y %odalidad
Teniendo en cuenta .ue la Educación !ecundaria está dentro del pro+rama de emer+encia educativa ) reconociendo la importancia del tema ) su relativo abandono( el módulo multimedia .ue se está elaborando corresponde al >ivel de Educación !ecundaria de Menores( se+undo ciclo( en la modalidad de Educación a "istancia*
Área del C,rr;.,lo El área del currículo al cual corresponden los contenidos .ue se desarrollan con este material corresponden al Xrea de Matemática*
Nom!re del %/d,lo Teniendo en cuenta .ue el título debe cumplir varias funciones( entre otras motivar la atención del usuario( apro/imarse al contenido del currículo .ue corresponde ) su+erir al+uno de sus ob$etivos( se 5a ele+ido poner como nombre a este softYare, ronosticando el futuroF
Rela.i/n .on el C,rr;.,lo Na.ional "e ra#onamiento ) demostración, @dentificar datos e informaciones pertinentes( con los .ue puede formular con$eturas* 1r+ani#ar los datos disponibles para poder lue+o procesarlos con facilidad ) claridad* @nterpretar los datos e informaciones .ue implícitamente aparecen en las situaciones de estudio* ormular con$eturas acerca de los resultados .ue obtendrá lue+o de aplicar los procesos pertinentes* Decrear las le)es .ue encierran las situaciones probabilísticas* Evaluar sus resultados en relación a los .ue le ofrece la realidad de la .ue fue e/traída la situación* "e interpretación de +ráficos, @dentificar los +ráficos ) los códi+os .ue la realidad ofrece para distin+uir una situación probabilística* Anali#ar los datos disponibles de esa realidad con la intención de or+ani#arlos adecuadamente para la obtención de buenos resultados* ormulación de e$emplos ) contrae$emplos .ue le permitan apro/imarse a la estructura de la situación ) la futura e/tracción de lo si+nificativo de la misma* "e la resolución de problemas, @dentificar procesos para poder enfrentar las situaciones problemáticas con las 5erramientas adecuadas* Anali#ar las situaciones problemáticas para determinar la ruta .ue me$or conviene se+uir en la b0s.ueda de su solución* @nterpretar los resultados de la manera más conveniente( teniendo en cuenta la realidad de la .ue fue e/traída la situación* Evaluar todo el proceso con el fin de proponer ) utili#ar alternativas de me$ora o adaptación para el lo+ro de los me$ores resultados de los problemas*
"# DISE,5 es im0ortante el m/d,lo El solo 5ec5o de ser una 5erramienta para colaborar con el aprendi#a$e de las probabilidades ) una de sus aplicaciones( el Modelo de simulación MontecarloF dice )a bastante de la importancia del módulo: pero 5a) al+o más( ) puede ser de ma)or relevancia todavía* El tema de las probabilidades en +eneral( en el ámbito del aprendi#a$e de la matemática en el nivel secundario( no 5a alcan#ado todavía el nivel de atención necesaria )( muc5o menos( el interés de los docentes por me$orar su statu.uo en el amplio panorama en .ue se desenvuelve la educación matemática de los alumnos* Al estudio de las probabilidades( los docentes lo tratan como el patito feo del pro+ramaF* Está ubicado al final( con mu) poco énfasis( demostrado por las po.uísimas líneas .ue se le dedica: por tanto se le desarrolla si 5a) tiempo( si los otros temas 5an sido )a aprendidos( en fin( dentro de un ambiente de cenicientaF: lo .ue ni se lo merece ni es $usto .ue ocurra( dado .ue muc5as de las situaciones de la vida corriente se desarrollan como refle$os claros de los modelos probabilísticos( con cu)o conocimiento a.uéllas serían me$or interpretadas( lo .ue conllevaría a elevar su conocimiento ) enri.uecer la aplicación de sus resultados* Con este módulo se pretende .uebrar esa situación de indi+encia en .ue se encuentra el estudio de las probabilidades( ) especialmente esa importante aplicación( para .ue de ese modo los alumnos )( sobre todo( los profesores se inicien en la introducción del maravilloso universo de las probabilidades*
B= ?,5 se es0era del al,mno •
•
• •
•
Zue el alumno descubraF .ue en su mundo( en su vida diaria( e/iste matemática en cantidades( ) .ue los n0meros ) las probabilidades lo rondan con una cercanía sorprendente ) una docilidad e/traordinaria* Zue puedan comen#ar a verF su mundo no solo con los sentidos sino con la ra#ón( para descubrir las venta$as ) desventa$as .ue les ofrece( pero( sobre todo( para admirar su maravilla* Zue sea capa# de reconocer una situación .ue involucra probabilidades* Zue pueda abstraer lo suficiente una situación como para .ue identifi.ue la posibilidad de utili#ar el modelo de Montecarlo en su comprensión( su desarrollo e interpretación* Zue sea capa# de crear situaciones realesF donde se pueda modelar con las probabilidades ) resolver los problemas con el modelo Montecarlo*
•
Zue esté en condiciones de evaluar su participación ) la de sus compa2eros en la b0s.ueda de resolver problema( primero los for#adamente presentados )( más adelante( los e/traído de la realidad*
C= Re.,0era.i/n de sa!eres 0revios El módulo está preparado para .ue en un inicio el estudiante se formule ) responda al+unas interro+antes esenciales* GCómo se reconoce un e/perimento probabilístico aleatorioH GZué se entiende por espacio muestral de un e/perimentoH GCómo se encuentra la probabilidad de un eventoH
D= Desarrollo de las a.tividades @ estrate+ias de a0rendi4a2e •
•
•
• • •
•
resentación de una situación inicial( de la vida diaria( donde se aprecie la necesidad de un e/perimento aleatorio( su espacio muestral ) la aplicación de conocimientos de probabilidades* !e enri.uece la situación inicial proponiendo otras condiciones .ue conducen a una simulación con el modelo Montecarlo( lo .ue obli+a a pensar en otras alternativas de acción( más avan#adas .ue las empleadas 5asta el momento* !e su+iere al+unas acciones .ue involucran la participación de los compa2eros del alumno con la finalidad de obtener resultados .ue permitan modelar me$or la situación* !e conduce el pensamiento ló+ico 5acia la posibilidad de 5acer intervenir al+unos cálculos .ue favorecen la consecución de la solución de la situación* !e presenta otras situaciones .ue tienen estructura seme$ante ) .ue por consi+uiente pueden ser modeladas de manera análo+a a la primera* !e aclara el proceso se+uido ) se le formali#a( utili#ando la simbolo+ía ) terminolo+ía matemática adecuadas al nivel ) a la situación( de$ando clarada la estructura de un problema .ue puede ser abordado ) resuelto utili#ando el modelo Montecarlo* !e formali#a el proceso( tanto de identificación de situaciones como de resolución de las mismas ) de interpretación de resultados( llamando a cada concepto con la denominación matemática institucionali#ada*
E= Tareas o e2er.i.ios de a0li.a.i/n "urante el proceso( en repetidas oportunidades( se solicita al alumno .ue identifi.ue( ima+ine ) formule situaciones de la vida diaria de su realidad con estructura seme$ante a la propuesta( con la finalidad .ue pueda( de un lado fi$ar las condiciones ) características de tales situaciones )( de otro lado( mostrar el nivel de avance de sus conocimientos al
respecto( especialmente en lo .ue corresponde a la aplicación de los al+oritmos adecuados para la solución de las situaciones* Estas situaciones( fruto de la ima+inación ) creatividad del alumno( deberán ser recolectadas por el profesor( para ser comentadas en reunión de toda la clase( una ve# .ue todos los alumnos 5a)an interactuado con el material*
F= Re3le1iones .o+nitivas Al final del traba$o el alumno se enfrenta a una serie de pre+untas .ue el mismo debería formularse( ) .ue es inducido a responderlas( entendiendo .ue esa actividad colaborará con su aprendi#a$e* GZué 5e aprendido con este móduloH G"e .ué so) capa# lue+o de traba$ar con este móduloH Guedo identificar las diferencias entre una simulación ) un pronóstico en un ambiente probabilísticoH GZué parte del módulo me presentó dificultades ) cómo lo+ré superarlasH
DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES @ ESTRATE9IAS DE APRENDI(A8E !e sabe .ue no es posible saber e/actamente lo .ue ocurrirá en el futuro( pero en al+unos casos es posible apro/imarse bastante a lo .ue debe ocurrir* Con este módulo aprenderás a pronosticar lo .ue sucederá en el futuro( de manera apro/imada( usando tus conocimientos de probabilidades* [ATD\;ETE]
Presenta.i/n En la vida diaria la ma)oría de los procesos se desarrollan de manera aleatoria* Es decir( pueden repetirse varias veces( no se sabe .ue resultado se obtendrá( pero si se conocen todos los resultados posibles* >o se puede predecir con se+uridad cómo se desarrollará un proceso dado( por e$emplo una fiesta( un partido de f0tbol( un e/amen( etc* etc* !ería mu) interesante saber con .ué probabilidad un evento posible tendrá lu+ar* -os procesos reales son( en +eneral( tan complicados .ue está le$os de nuestras posibilidades anali#arlo mediante cálculos precisos ) se+uros*
ero( en muc5os casos( es posible simularlos mediante el Método Montecarlo( obteniéndose entonces un resultado bastante apro/imado de la probabilidad de ocurrencia de un evento en especial* En este módulo tendrás la oportunidad de $u+ar con las probabilidades para pronosticar el futuro*
Sit,a.i/n ini.ial
Introd,..i/n Roa.uín es un ni2o .ue vive en ucará( un pueblito de la sierra del departamento del Cu#co* !u papá tiene una pe.ue2a tienda de alimentos( donde también vende unos pastelitos .ue prepara su mamá* Todos los días do2a !aturnina prepara & pastelitos( pero ocurre .ue 5a) días .ue no los vende todos( debiendo consumirlos o re+alarlos al final de la tarde( por.ue no se pueden +uardar para el día si+uiente*
Fen/meno aleatorio G!e podrá saber cuántos pastelitos se venderán ma2anaH [Claro( .ue no]( pero se sabe .ue deben ser desde & 5asta &( no es posible otro n0mero* GCuál es la posibilidad de .ue ma2ana venda solo tres pastelitosH [>o se puede saber]( pero es posible* Guede ser .ue se vendan tres pastelitos H* GConoces otras situaciones parecidas a ésta( donde 5a) un fenómeno .ue se puede repetir varias veces( cu)os resultados no se puedan conocer( pero .ue si se sabe cuáles son esos resultados posibles( ) .ue no puede ocurrir otra cosa diferenteH* [iensa]( ) anótalos en tu cuaderno( para mostrarlos después a tu profesor ) comentarlos con él* En resumen, 8n fenómeno .ue puede repetirse varias veces( cu)o resultado no se conoce( pero si se sabe cuáles son los posibles resultados( se llama 3en/meno aleatorio o e10erimento aleatorio*
Es0a.io m,estral
W el con$unto de todos los resultados posibles de un fenómeno aleatorio se llama es0a.io m,estral ) se representa por ^ Así( en la situación de la venta de pastelitos se tiene, Ω J {&: : %: 3: 4: ': 6: 7: =: <: & } Escribe a5ora en tu cuaderno los espacios muestrales de las situaciones .ue tenías escritas para presentarle al profesor* A.uí te presento un e$emplo sencillo -an#ar un dado normal( esperar .ue se deten+a ) leer el n0mero .ue aparece( es un fenómeno aleatorio( ) su espacio muestral es Ω J {: %: 3: 4: ': 6 }
Pro!a!ilidad de ,n evento En el caso de la venta de pastelitos no sabíamos cuál era la probabilidad de vender 3( pero en el caso del dado si sabemos cuál es la probabilidad de .ue sal+a 3* Es uno de seis* Es decir( la probabilidad de obtener un tres al lan#ar un dado es uno de seis* Esto se escribe, robabilidad .ue sal+a 3 J .ue sal+a 3 J de 6 J un se/to J 6 1 simplemente, 3 J 6 -a probabilidad .ue sal+a más de 4( es dos de seis* [E/plícanos Gpor .ué( la probabilidad .ue sal+a 4( es dos de seisH] [Claro]( más de 4 son el ' ) el 6( entonces( sal+a más de 4 J sal+a ' ó 6 J % de 6 J %6 J 3 1( sencillamente, K': 6L J 3 "ime a5ora GCuál es la probabilidad .ue al lan#ar un dado se obten+a un n0mero parH E/plícanos Gpor .uéH* Escribe tus conclusiones en tu cuaderno*
"e los e$emplos .ue propusiste anteriormente para mostrarlos al profesor presenta al+unos e$emplos de probabilidades ) muéstralos a tu profesor para comentarlos con él*
Frecuencia y probabilidades
Introd,..i/n Al+unos días( los clientes .uieren comprar más pastelitos cuando )a se vendieron todos* Roa.uín está preocupado por las pérdidas de su mamá( tanto cuado no vende todos los pastelitos .ue prepara como cuando le piden más de los die# .ue siempre prepara( Roa.uín se .ueda pensando* GCómo pudiera saber cuanto venderá ma2ana para decirle .ue prepare esa cantidadH* GCómo 5arías t0 para saber cuanto venderá ma2ana la mamá de Roa.uínH* >o creo .ue eso sea fácil( piensa Joaquín, pero se acuerda que su mamá tiene registradas las ventas de todos los días desde ace veinte días*
Ta!la de 3re.,en.ias [Entonces( si se sabe cuantos pastelitos 5a vendido en los 0ltimos días se podrá saber cuántas veces se 5a vendido cada n0mero de pastelitos] W eso puede a)udar para saber cuánto se vende un día cual.uiera* Esta es la lista del n0mero de pastelito vendidos en esos veinte días ' 7 < =
& 4 6 7
7 4 '
7 ' '
6 6 =
6 7 7
A)0dale a Roa.uín a construir una tabla donde se pueda ver cuántas veces se repite cada n0mero* Así( el 4 se 5a repetido % veces( entonces la frecuencia de 4 será %*( ) así sucesivamente( 5asta 5aber encontrado las frecuencias de todos los n0meros* Entonces se tendrá una tabla* Tu tabla debe ser parecida a esta
>S de pastelitos vendidos frecuencia 4 % ' 4 6 4 7 6 = % < & total %& GCómo entiendes el n0mero 6 .ue está frente al 7H [Claro]( en 6 de los %& días no necesariamente consecutivos la mamá de Roa.uín vendió 7 pastelitos* -o mismo( en % de los %& días vendió = pastelitos( etc* Anota en tu cuaderno la e/plicación de cada n0mero .ue aparece en la columna de frecuencias( para mostrarlo más tarde al profesor ) 5acer comentarios con él*
Distri!,.iones de 0ro!a!ilidad 8tili#ando la información de la tabla de frecuencias se puede calcular la probabilidad de .ue en un día cual.uiera se venda 6 pastelitos* >S de pastelitos vendidos recuencia 4 % ' 4 6 4 7 6 = % < & total %& !e divide el n0mero de días .ue se vendió 6 pastelitos entre el n0mero total de días* [or supuesto]( 4 dividido por %& Entonces( 6 J 4%& J ' J &(%
@+ual podrás encontrar las probabilidades de cada una de las otras cantidades vendidas* "ividiendo entre %& cada una de las frecuencias( para obtener la probabilidad .ue le corresponda( de este modo 5abrás lo+rado construir una tabla de probabilidades* Completa entonces la si+uiente tabla, ventas 4 ' 6 7 = < & total
probabilida frecuencia d % 4 4 &(%& 6 % %&
Cuando 5a)as terminado de llenar la tabla preséntala a tu profesor para conversar con él sobre tus respuestas* Terminados todos los cálculos se tendría la si+uiente tabla, ventas 4 ' 6 7 = < &
frecuencia probabilidad % &(& 4 &(%& 4 &(%& 6 &(3& % &(& &(&' &(&' %& (&&
A esta tabla se le llama ta!la de distri!,.i/n de 0ro!a!ilidad( or.ue la unidad se 5a distribuido entre los oc5o resultados posibles* or eso la suma de las oc5o probabilidades es uno* Godrías e/plicar lo .ue si+nifica cada n0mero .ue está frente a cada frecuenciaH GCuál es la probabilidad .ue un día cual.uiera do2a !aturnina venda los 7 pastelitos .ue elaboróH* [Claro]( 6%&: o lo .ue es lo mismo .ue 3& ó finalmente &(3&* .ue resulta de efectuar la división
Entonces, 7 J &(3& @+ual se entienden los otros n0meros* Escribe en tu cuaderno tus e/plicaciones de cada n0mero de la columna probabilidad( para .ue los muestres ) comentes lue+o a tu profesor*
El Método Montecarlo
A5ora si( vamos a pronosticar el futuro( [prepárate] ara eso necesitamos una tabla de probabilidades* 8saremos la .ue constru)ó Roa.uín a partir de las ventas de pastelitos durante veinte días
Introd,..i/n ventas 4 ' 6 7 = < &
probabilida frecuencia d % &(& 4 &(%& 4 &(%& 6 &(3& % &(& &(&' &(&' %& (&&
Con esta información vamos a crear un modelo .ue permita simular lo .ue pasará ma2ana* Toma una 5o$a de papel en blanco pártelo de modo .ue ten+as %& peda#os* En cada peda#o escribe un n0mero del 4 al &( se la si+uiente manera, El n0mero 4 escribes en % peda#os El n0mero ' escribes en 4 peda#os El n0mero 6 escribes en 4 peda#os El n0mero 7 escribes en 6 peda#os El n0mero = escribes en % peda#os El n0mero < escribes en peda#o El n0mero & escribes en peda#o
"obla los peda#os de papel( de modo .ue no se pueda ver el n0mero escrito* Me#cla los papeles doblados ) e/trae uno de ellos* Anota el n0mero e/traído* Esa 0odr;a ser la cantidad de pastelitos .ue venda ma2ana*
El %5todo %onte.arlo ara convencernos de .ue el proceso es válido( es decir .ue se puede utili#ar como un modelo de la realidad( tendríamos .ue ver si esos resultados se repiten* ero esto también podemos simularlo* ara esto( dobla nuevamente el tro#o de papel( me#cla los papeles doblados ) e/trae otro peda#o( anota el n0mero e/traído( vuélvelo a doblar( mé#clalos ) e/trae otro n0mero( anótalo* Depite el proceso 5asta .ue ten+as unos %& n0meros* Cuenta entonces cuántas veces salió cada uno de los siete n0meros* Anota tus resultados en tu cuaderno para mostrarlos ) comentarlos( lue+o( con tu profesor* Estos resultados no convencen fácilmente( entonces vamos a reali#ar una actividad .ue nos a)ude a entender me$or lo anterior* ide a)uda a unos cinco ami+os* Zue cada uno ten+a sus veinte tro#os de papel con sus respectivos n0meros escritos en los mismos( tal como t0 lo 5iciste anteriormente* Zue cada uno repita el proceso, e/traer un n0mero( anotarlo( doblar el papel( ponerlo $unto con el resto( me#clarlo bien( e/traer un n0mero anotarlo( doblar el papel( etc* etc* 5asta .ue cada uno ten+a %& n0meros* Cuando tus ami+os 5an terminado su tarea( re0ne todos los resultados en un solo ) observa cuántas veces salió cada n0mero* Tu tabla final debe ser mu) parecida a esta, El 4( salió & veces El '( salió %& veces El 6( salió %& veces El 7( salió 3& veces El =( salió & veces El <( salió ' veces El &( salió ' veces Tal ve# no ten+as e/actamente esas cantidades( pero es claro .ue si se aumenta el n0mero de veces .ue se repite el proceso( la cantidad de oportunidades .ue sale cada n0mero permitirá obtener probabilidades mu) parecidas a la tabla de probabilidades ori+inal* Este proceso de simular un fenómeno real mediante utili#ando probabilidades se llama %5todo de %onte.arlo*
!e llama así( por.ue fue en el Casino de Montecarlo( de la ciudad de Mónaco( donde comen#ó su estudio( observando los resultados de la ruleta* Evidentemente este método no sirve para adivinar .ué n0mero saldrá en la si+uiente $u+ada( pero permite modelar muc5as situaciones de la vida corriente( en las .ue no es posible tener resultados 5istóricos( por.ue las repeticiones reales serían mu) costosas o por.ue tomarían muc5o tiempo ) esfuer#o reali#arlas*
A licaciones del Método Montecarlo
Introd,..i/n En la vida diaria la ma)oría de los procesos se desarrollan de manera aleatoria* Es decir( pueden repetirse varias veces( no se sabe .ue resultado se obtendrá pero si se conocen todos los resultados posibles* >o se puede predecir con se+uridad cómo se desarrollará un proceso dado( por e$emplo una fiesta( un partido de f0tbol( un e/amen( etc* etc* !ería mu) interesante saber con .ué probabilidad un evento posible tendrá lu+ar* -os procesos reales son( en +eneral( tan complicados .ue están le$os de nuestras posibilidades anali#arlos mediante cálculos precisos ) se+uros* ero( en muc5os casos( es posible simularlos mediante el Método Montecarlo( obteniéndose entonces un resultado bastante apro/imado de la probabilidad de ocurrencia de un evento en especial en la realidad*
Es.o+iendo 2,+,etes 8n padre sale con sus cinco 5i$os para comprarles un $u+uete para cada uno* -le+an a una tienda donde 5a) precisamente cinco $u+uetes diferentes( entonces cada uno eli+e( sin decirle a los demás( el $u+uete .ue .uisiera .ue le compren* Claro .ue no todos los $u+uetes 5abrán sido ele+idos* !e .uiere entonces saber tres cosas • • •
Gcuántos $u+uetes de$aron de ser ele+idosH( Gcuáles son los $u+uetes menos ele+idosH( ) Gcuál es la probabilidad .ue un $u+uete cual.uiera no sea ele+idoH
1bservar este fenómeno en la realidad sería mu) difícil( ) para calcular su probabilidad tendría .ue ocurrir muc5as veces( lo .ue complica a0n más las posibilidades de verlo realmente* Entonces vamos a simularlo* repara cinco tro#os de papel( cada uno con un n0mero( del al '* 8n n0mero corresponde a un $u+uete bien determinado: dóblalos( mé#clalos bien ) eli+e uno al a#ar ) anota el n0mero* "óblalo nuevamente( $0ntalo con los otros( mé#clalos ) eli+e uno al a#ar* Anota el n0mero ) repite el proceso( 5asta tener cinco n0meros* -os n0meros anotados corresponden a los $u+uetes ele+idos* "e ese modo se podrá saber( por simulación( cuales fueron los $u+uetes no ele+idos* or e$emplo( si salieron los n0meros ( %( '( %( 3( el $u+uete 4 no fue ele+ido 4( 3( %( '( %( el $u+uete no fue ele+ido 3( ( ( '( %( el $u+uete 4 no fue ele+ido* G!erá verdad .ue los $u+uetes 4 ) son los .ue más frecuentemente no son ele+idosH G!erá verdad .ue siempre solo un $u+uete no es ele+idoH ara apro/imarnos a una buena respuesta( repetiremos el proceso unas %& veces* ara esto pide a)uda a 4 de tus ami+os* Zue cada uno de tus cuatro ami+os realice el proceso de ele+ir cinco n0meros ) anotarlos Anota todos los resultados en una lista ) responde las si+uientes pre+untas, GCuáles son los $u+uetes menos ele+idosH GEn promedio cuántos $u+uetes no fueron ele+idosH GCuál es la probabilidad .ue un $u+uete determinado no sea ele+idoH Anota las respuestas en tu cuaderno* usca otras situaciones en tu vida corriente .ue se pare#can a ésta para .ue puedas encontrar las probabilidades mediante el método Montecarlo* Muéstrale lue+o a tu profesor tus respuestas ) las situaciones .ue 5as encontrado para comentarlos con él*
Los 0astelitos de do-a Sat,rnina -os pastelitos de do2a !aturnina tienen pasas* En la masa .ue 5ace para die# pastelitos ella pone die# pasas ) me#cla mu) bien la masa* "espués ella corta la masa en die# partes del mismo volumen* Esos peda#os de pasta de transforman lue+o en pastelitos* !e .uiere saber Gcuántos pastelitos tienen &( ( %( 3( ó más de 3 pasasH -a simulación de este fenómeno es relativamente fácil*
repara die# tro#os de papel en los .ue se 5a escrito un n0mero del & al < el & reempla#a al &* "óblalos( mé#clalos( eli+e al a#ar un tro#o( anota el n0mero .ue salió* "obla nuevamente el papel( mé#clalo( eli+e uno al a#ar( anota el n0mero( etc( etc( Depite el proceso 5asta tener die# n0meros anotados* A5ora )a tienes escritos los die# n0meros .ue fueron ele+idos al a#ar* GCuántos n0meros fueron ele+idos & vecesH GCuántos n0meros fueron ele+idos ve#H GCuántos n0meros fueron ele+idos % vecesH GCuántos n0meros fueron ele+idos 3 vecesH GCuántos n0meros fueron ele+idos más de 3 vecesH Te pon+o un e$emplo para .ue puedas presentar tus resultados* or e$emplo( si fueron ele+idos los n0meros, ( 7( %( =( =( =( %( 6( 3 ) & veces fueron ele+idos, &( 4( '( < ve#( fueron ele+idos, 3( 6 ) 7 % veces( fueron ele+idos, ) % 3 veces( fue ele+ido, Más de 3 veces( no fue ele+ido nin+uno
Total, Total, Total, Total, Total
4 n0meros 3 n0meros % n0meros n0mero & n0meros
A5ora anota tus resultados( de manera parecida al e$emplo* Iracias al método Montecarlo podemos tener al+una se+uridad .ue esto .ue acaba de suceder aleatoriamente puede ocurrir en la realidad* En el e$emplo se ve .ue los resultados fueron descendentes 4( 3( %( ) &* G!iempre será así( en forma descendenteH ara responder esta pre+unta ) también para conocer el promedio de veces .ue aparece cada n0mero( vamos a repetir el proceso && veces( con la a)uda de tus ami+os* usca die# ami+os* Zue cada uno ten+a sus die# papelitos con los n0meros del & al <* Zue cada uno de tus die# ami+os eli$a un papelito con reposición 5asta tener die# n0meros* Zue cada uno anote la cantidad de n0meros .ue fueron ele+idos cero veces( una ve#( dos veces( tres veces ) más de tres veces* Copia en tu cuaderno un cuadro parecido a este ) llénalo con los resultados de tus die# ami+os,
;eces &
%
3
4
Ami+os ' 6
7
=
<
&
% 3 Más de 3 Cuando 5a)as terminado de llenar el cuadro( calcula el promedio de cada una de las veces .ue salió un n0mero ele+id Copia entonces este otro cuadro en tu cuaderno ) llénalo con los promedios .ue 5a# obtenido* >S de veces & % 3 más de 3
romedio
-os promedios .ue tienes escritos en el cuadro de tu cuaderno están mu) cerca de la respuesta a la pre+unta( GCuántos de los pastelitos de do2a !aturnina tienen cero pasas( una pasa( dos pasa( tres pasas ) más de tres pasasH* resenta tus resultados al profesor( e/plícale cómo los 5as obtenido ) coméntalos con él*
El 0ro!lema del aniversario edro feste$ó su cumplea2os con una pe.ue2a fiesta con sus ami+os* El total de asistentes a la fiesta de edro fueron %3 personas* Al día si+uiente sur+ió la pre+unta, GCuántas personas .ue asistieron a la fiesta tendrán su aniversario el mismo día del a2oH* Como )a no están las personas para pre+untarles ) llamarlas por teléfono sería mu) traba$oso ) molestoso para ellos( se decidió simular la situación* repara die# papelitos con los n0meros de & al <* "obla los papelitos( mé#clalos ) eli+e uno al a#ar* Anota su n0mero( dóblalo nuevamente( mé#clalo con los demás( eli+e uno( anota su n0mero ) contin0a 5asta tener tres n0meros*
!i la terna de n0meros está fuera del con$unto K&&: &&%: &&3: *********: 364: 36'L( se dice .ue es una terna mala ) la elimina ) nuevamente reali#as el proceso 5asta tener una terna !,ena Este proceso se debe repetir 5asta tener %3 ternas de n0meros dentro del con$unto indicado( pero( como te ima+inas( ese traba$o sería mu) tedioso ) 5asta aburrido* Entonces me$or pedimos a)uda a tus ami+os* usca cuatro ami+os ) .ue cada uno ten+a sus die# papelitos enumerados del & al <* E/plícales el $ue+o( sobre todo lo .ue si+nifica una terna !,ena* Zue tus ami+os ) t0 doblen sus papelitos( los me#clen( e/trai+an uno al a#ar ) .ue anoten el n0mero e/traído* "oblen nuevamente el papelito( lo me#clen con los demás ) e/trai+an un papelito al a#ar( anoten el n0mero ) contin0en( 5asta tener una terna !,ena* Cuando cada uno de tus ami+os tiene cinco ternas buenas ) t0 tres ternas buenas( pídeles .ue te dicten sus ternas encontradas* Escribe en una sola lista las %3 ternas* Ase+0rate .ue todas son realmente ternas buenas( si no( se vuelve a e$ecutar el proceso 5asta obtener una terna buena* Mira la lista ) cuenta cuántos n0meros se repiten* "eben ser pocos o nin+uno* Te presento dos listas de ternas obtenidas por otras personas( para verlas como e$emplos, -ista , %67 '3 &=7
'% &%
<3 &<%
%64 7=
&33 &<4
= 7=
%6& &6
&& %=
&%3 %63
3 &6=
6< 3'
-ista %, '4 &4< %<%
44 47
3%& &=
%4= <4
%'% 344
33= %4
3'' 344
7% %4'
4< 336
%&7 %%4
%&< 66
Como puedes ver en la lista ( el n0mero 7= se repite dos veces( lo .ue .uiere decir .ue 5a) dos personas .ue tienen su aniversario el día 7= del a2o* !ería interesante .ue averi+_es .ué día del a2o es el n0mero 7= En la lista %( el n0mero 344 se repite dos veces( lo .ue .uiere decir .ue 5a) dos personas .ue tienen su aniversario ese día del a2o* Es admirable como( en solo %3 personas( puede 5aber al+unas .ue ten+a su aniversario el mismo día del a2o GnoH G!erá verdad .ue siempre 5a) un n0mero .ue se repiteH( Gno podrá 5aber más de dos( o nin+unoH ara me$orar la idea de este problema vamos a repetir die# veces el mismo proceso* Todo el proceso se reali#ará 5asta tener die# veces %3 n0meros*
ara esto necesitamos %% ami+os más t0( para .ue sean %3 personas .ue reali#an la simulación* usca %% ami+os ) re+resas a continuar traba$ando T0 ) tus %% ami+os reali#an la actividad* Cada uno( con los die# peda#os de papel .ue tiene con los n0meros del & al <( reali#a el proceso 5asta tener una terna buena* T0 anotas las %3 ternas( ) nuevamente las %3 personas procesan los papelitos 5asta tener una terna buena* -as anotas ) repiten el proceso completo 5asta .ue ten+as & listas de %3 ternas buenas* En cada una de las die# listas de %3 ternas buenas .ue tienes marca los n0meros .ue se repiten* inalmente cuenta( cuántas listas de las die# tienen n0meros .ue se repiten( no importa cuáles ni cuántas veces( ) cuántas listas no tienen n0meros .ue se repiten* Teóricamente debes tener cerca de ' .ue si tienen ) ' .ue no tienen* ;erifica lo tu)o* Escribe todos tus resultados en tu cuaderno para .ue lue+o los muestres a tu profesor ) los comentes con él*
Am0lia.i/n de .on.e0tos En todo el traba$o probabilístico reali#ado en este módulo se 5a utili#ando uno de los procedimientos más sencillos ) eficaces para +aranti#ar el a#ar( es el muestreo simple( .ue consiste en ele+ir n0meros a partir de papeles doblados con un n0mero en su interior* -a simulación de situaciones en la realidad se reali#a utili#ando otras técnicas como, • -as 5o$as de n0meros aleatorios • -as calculadoras pro+ramables • -as computadoras El empleo de estas técnicas escapa al nivel de este módulo( pero si tienes interés puedes solicitarle a tu profesor o profesora para .ue te indi.ue donde encontrar la información al respecto*
OTRAS APLICACIONES DEL %7TODO %ONTECARLO A5ora tendrás oportunidad de enfrentar al+unas otras situaciones donde se aplica el Método Montecarlo* En cada caso( ima+ina el modelo .ue utili#arás para enfrentar la situación( así como el material .ue necesitarás para eso* En cual.uier momento puedes conversar con tu profesor o tu profesora para traba$ar me$or la situación*
Personas solitarias M J K&( ( %( ******(
El 2,e+o de .ain y a!el Caín ) Abel deciden $u+ar de la manera si+uiente, lan#an una moneda donde cara es ) sello es & 5asta obtener en forma se+uida ó & * En el primer caso( si sale ( +ana Caín( en el se+undo caso si sale & +ana Abel* E$emplo, -a serie de resultados &&& tiene una lon+itud de = ) +ana Caín* -a serie &&& tiene lon+itud ' ) +ana Abel* !imule '& veces una serie +anadora ) encuentre las probabilidades respectivas de victorias de Caín ) de Abel( así como las lon+itud promedio de una serie +anadora*
Los no ele+idos +anan !e lan#a un dado normal seis veces* El n0mero ( de n0meros .ue no salieron( es el +anador* or e$emplo( en el resultado ω J 6%%364( no salieron el ni el '( entonces ω J %* a !imule %& veces el $ue+o* b Encuentre la probabilidad del evento J % c "etermine el promedio de los +anadores
El se-or de los anillos !e tiene seis tiras del mismo tama2o envueltos con un papel de modo .ue se pueden ver los dos e/tremos de las tiras* "e uno de los e/tremos se anudan de dos en dos las tiras( lue+o se 5ace lo propio del otro e/tremo* !imula %& veces la e/periencia( dedu#ca Gcuál es la probabilidad de 5aber construido un anillo con las seis tirasH
SITACIONES DE EVALACI)N Sit,a.iones de eval,a.i/n
A5ora puedes poner a prueba tus conocimientos sobre probabilidades ) el método Montecarlo* !i consideras .ue no estás preparado todavía( puedes re+resar ) comen#ar a traba$ar con el módulo* Más tarde volverás a estas situaciones de evaluación* Situación inicial
Xlvaro( runo ) Carla 5an escrito su nombre en peda#os de papel( los 5an doblado( los pusieron en una ca$a ) los me#claron bien* 8n fenómeno aleatorio consiste en e/traer de la ca$a( en forma sucesiva( uno por uno los tres nombres ) escribirlos en el orden .ue salen* a Gor .ué este fenómeno es aleatorioH b GCuál es su espacio muestralH c !e sabe .ue el orden alfabético es, Xlvaro( runo( Carla( es decir Xlvaro es primero( runo es se+undo ) Carla es tercera* GCuál es el evento formado por los elementos del espacio muestral .ue no tienen nin+0n nombre bien ubicado alfabéticamenteH* d GCuál es la probabilidad .ue al ele+ir un elemento del espacio muestral éste ten+a un nombre bien ubicado alfabéticoH Escribe tus respuestas en tu cuaderno para .ue después puedas corre+irlas con tu profesor o profesora* recuencia y pro#a#ilidad
"on Ruan vende man#anas por ca$ones* `ltimamente los clientes de don Ruan se 5an .ue$ado por.ue encuentran al+unas man#anas malo+radas en los ca$ones* "on Ruan 5a revisado %& ca$ones ) 5a encontrado los si+uientes resultados, >S de man#anas malo+radas & % 3 4 ' total
>S de ca$ones = % 3 4 % %&
a GCuál de las dos columnas indica la frecuenciaH b GZué si+nifica el n0mero 4 .ue está en la columna de n0mero de ca$onesFH c GZué si+nifica el n0mero ' .ue está en la columna de n0mero de man#anas malo+radasFH d GCuántos ca$ones encontró don Ruan .ue tenían al menos una man#ana malo+radaH e G"on Ruan encontró al+0n ca$ón .ue tenía 7 man#anas malo+radasH f GCuál es la probabilidad .ue al esco+er al a#ar uno de esos %& ca$ones se encuentre solo dos man#anas malo+radasH + GCuál es la probabilidad .ue al ele+ir uno de esos %& ca$ones se encuentre más de % man#anas malo+radas*
5 Constru)e la tabla de distribución de probabilidades de esta tabla de frecuencias* Escribe tus respuestas en tu cuaderno para .ue después puedas corre+irlas con tu profesor o profesora* El Método Montecarlo
Aplica la técnica de Montecarlo para +enerar %& valores para la si+uiente tabla de distribución de probabilidad, / /
% &*
4 &*%
6 &*3
= &*3
& &*
Escribe tus respuestas en tu cuaderno para .ue después puedas corre+irlas con tu profesor o profesora* Aplicaciones del método Montecarlo Los números de la tinka
En la tinVa se e/traen 6 n0meros del con$unto K( %( 3( 4( *****( 4'L* !imule %& veces este e/perimento aleatorio aplicando el método Montecarlo* 8tili#ando tus propios resultados responde entonces( Gcuál es la probabilidad de .ue en una $u+ada de la tinVa 5a)an al menos un par de n0meros consecutivosH* Escribe tus respuestas en tu cuaderno para .ue después puedas corre+irlas con tu profesor o profesora*
Sol,.ionario Situación inicial
a Es un fenómeno aleatorio por.ue puede repetirse varias veces( no se sabe en .ue orden saldrán los nombres( pero si se sabe cuales son los posibles ordenes son los .ue aparecen en el espacio muestral* b Ω J KXlvaro( runo( Carla( Xlvaro( Carla( runo( runo( Xlvaro( Carla( runo( Carla( Xlvaro( Carla( Xlvaro( runo( Carla( runo( Xlvaro L c El evento de los elementos .ue no tienen nin+0n nombre bien ubicado( alfabéticamente es, A J Kruno( Carla( Xlvaro( Carla( Xlvaro( runo L d Como el evento de los elementos .ue tienen uno bien ubicado alfabéticamente es, J KXlvaro( Carla( runo( runo( Xlvaro( Carla( Carla( runo( XlvaroL( entonces su probabilidad es, 36 J N J &(' >o puede 5aber solo dos elementos bien ubicados por.ue entonces el tercero también estaría bien ubicado alfabéticamente*
Frecuencia y probabilidades
a -a frecuencia es la columna de n0mero de ca$onesF por.ue indica el n0mero de veces .ue se repite la variación de la variable n0mero de man#anas malo+radas por ca$ónF b El n0mero 4 si+nifica .ue don Ruan encontró 4 ca$ones .ue contenía 3 man#anas malo+radas* c El n0mero ' indica .ue se encontraron ' man#anas malo+radas* d "on Ruan encontró .ue 5abían % ca$ones .ue tenían al menos una man#ana malo+rada %& ca$ones menos = .ue no tenían man#anas malo+radas* e "on no encontró ca$ón .ue tuviera 7 man#anas malo+radas* El ma)or n0mero de man#anas malo+radas .ue encontró en un ca$ón es '* f -a probabilidad de encontrar solo dos man#anas malo+radas es 3%&( o lo .ue es lo mismo( &('* + -a probabilidad de encontrar más de dos man#anas malo+radas( .uiere decir .ue podemos encontrar 3( 4 ó ' man#anas malo+radas( entonces la probabilidad es, 6%&( es decir( &(3&* 5 -a tabla de distribución de probabilidad debe ser, >S de man#anas robabilidad malo+radas & &(4& &(& % &(' 3 &(%& 4 &(& ' &(&' total (&& El método Montecarlo
reparar & papelitos con los n0meros %( 4( 6( =( &( de la si+uiente manera, papelito con el n0mero % % apelitos con el n0mero 4 3 papelitos con el n0mero 6 3 papelitos con el n0mero = papelito con el n0mero & "oblar los papelitos( me#clarlos bien ) ele+ir al a#ar uno ) anotar el n0mero: doblar el papelito e/traído( me#clarlo con los demás( ele+ir uno al a#ar ) anotar el n0mero* Depetir todo el proceso 5asta tener %& n0meros ele+idos* Aplicaciones del método Montecarlo Los números de la tinka
!e busca la participación de %& personas* Cada una tiene un con$unto de 4' papelitos doblados( con los n0meros del al 4' escritos en su interior* Cada persona me#cla bien los papelitos( eli+en al a#ar seis papelitos( sin reposición( ) anota los seis n0meros obtenidos* Ese es el resultado de una $u+ada de la tinVa*
