LICEO DOMINGO MATTE PEREZ MATEMATICA NIVEL: SEGUNDO AÑO MEDIO PROFESORES: CECILIA MENDEZ M, correo electrónico c!en"e#!$!%il&co! EUGENIO TORO, correo electrónico etoro$terr%&cl 'OSE ZAV ZAVALA PINILLA, correo electrónico
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NOM(RE DE LA UNIDAD FUNCIONES SU(UNIDAD: LA FUNCION FUNCION LINEAL LINEAL ) LA FUNCION AFIN AFIN Aprendizaje Aprendizaje esperado Analizar situaciones y fenómenos que se pueden modelar utilizando las funciones lineal y afín, establezcas la dependencia entre las variables y la expreses gráca y algebraicamente. algebraicamente. !onocer la expresión algebraica y gráca de las funciones lineal y afín, traducir de un registro a otro. "esolver problemas que se pueden modelar usando las funciones lineal y afín. •
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INSTRUCCIONES: #esarrolle #esarrolle los ejercicios ejercicios siguiendo los ejemplos dados para cada tipo de función.
$ugerencia% revisar página &&&.vitutor.com que contiene ejercicios resueltos y videos de &&&.youtube.com relacionados con la función lineal, función afín y ecuación de la recta.
LA FUNCION LINEAL 'a *+nción line%l es del tipo% f ( x) = y = mx , con m ε ℜ (m pertenece a los n)meros reales*. f ( x ) o y se conocen como imagen de x, y es el valor de para un determinado valor de $u gráca es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. x
/
0
3
4
/
3
1
5
2
2 y - /x 2 +jemplo% $upongamos que nos piden gracar la función y = 2 x ara ello debemos construir una tabla de valores que relacione las variables independiente y dependiente.
+jemplo de cálculo de valores% $upongamos que x - , entonces y = 2 ⋅1 = 2 . 'uego cuando x-, y-/ $upongamos que x - 0, entonces y = 2 ⋅ 3 = 6 . 'uego cuando x-0, y-1 'a representación gráca es la siguiente%
PENDIENTE m es la pendiente de la recta. $i P 1 ( x1 , y1 ) y P 2 ( x2 , y2 ) entonces la pendiente de
m=
y2
−
y1
x2
−
x1
P P 2 1
es%
'a pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de las abscisas (eje x*. $i m es positivo (m 6 2*, la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje 78 es agudo.
$i m es negativo (m 9 2*, la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje 78 es obtuso.
LA FUNCION AFIN 'a función afín es del tipo% y = mx + n : donde m es la pendiente o inclinación de la recta y n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de las ordenadas (eje y* +jemplo% y = 2 x + 3
;abla de valores y = 2 x + 3 x 2 0 4 / < = +jemplo de cálculo de valores% $i x-2, entonces y = 2 ⋅ 0 + 3 = 0 + 3 = 3 $i x-, entonces y = 2 ⋅1 + 3 = 2 + 3 = 5 $i x-/, entonces y = 2 ⋅ 2 + 3 = 4 + 3 = 7
E'EMPLOS DE APLICACI.N .= !alcular los coecientes de la función f ( x) = y = mx + n , si f (0) = 3 y f (1) = 4 . a* "epresentar grácamente la función. b* >ndicar si es creciente o decreciente. $i f (0) = 3 , entonces tenemos que 3 = m ⋅ 0 + n = 0 + n = n : por lo tanto n = 3 $i f (1) = 4 , entonces tenemos que 4 = m ⋅1 + 3 4−3 = m m =1
'uego la función es% f ( x) = y = x + 3
/.= "epresenta la función, sabiendo que tiene pendiente origen − 1 . y
= −
−
3 y ordenada en el
3x − 1
;abla de valores x 2 =
y
= −
3x − 1
y = −3 ⋅ 0 − 1 = 0 − 1 = −1 y
= −
3 ⋅1 − 1 =
−
3 −1 =
−
y = −3 ⋅ −1 − 1 = 3 − 1 = 2
0.= "epresenta la función que tiene por pendiente 3 y pasa por el punto (?0, /*. $olución% Aplicando la denición tenemos% y 3xn $i para x = −3 , y = 2 entonces / - 3 (?0* n y luego n- 3 'a función es f ( x) = y = 4 x + 14 ;abla de valores
4
x
y = 4 x + 14
3.= +n las 2 primeras semanas de y = 4 ⋅ 0 + 14 = 0 + 14 = 14 2 cultivo de una planta, que medía / cm, se Ba observado que su crecimiento es y = 4 ⋅1 + 14 = 4 + 14 = 18 directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana Ba y = 4 ⋅ −1 + 14 = −4 + 14 = 10 = pasado a medir /.4 cm. +stablecer una función a n que dC la altura de la planta en función del tiempo y representar grácamente. $olución% Altura inicial = 2cm Crecimiento semanal = 2.5 − 2 = 0.5 Luego la función es la siguiente: y= 0.5 x + 2
'a representación gráca es la siguiente :
5.-Tres kilogramos de peerre!es "alen #$ %. &scri'e ! representa la función (ue define el coste de los peerre!es en función de los kilogramos comprados.
)olución:
18 3
=
6
luego
y
=
6 x
1.= or el alquiler de un cocBe cobran 22 D diarios más 2.02 D por Eilómetro. +ncuentra la función que relaciona el coste diario con el n)mero de Eilómetros y represCntala. $i en un día se Ba BecBo un total de 022 Em, FquC importe debemos abonarG $olución% 'a función está dada por el cargo jo de 22 D por día y la cantidad de Eilómetros que se recorren por día, cuyo costo es de 2,02 D por Eilómetro y queda expresada así%
/ 0&1 - 2300 y - 2.0 022 22 - 340 5 <.= Hn taxista cobra la bajada de bandera a I /22 y luego cobra I 422 por cada Eilometro recorrido. F!uánto debe pagar Jarla por un recorrido de 3 EilómetrosG $olución% 'a función que relaciona la distancia recorrida con el cobro en pesos es la siguiente% f ( x) = 200 + 500 ⋅ x , donde x representa la cantidad de Eilómetros recorridos. f (4) = 200 + 500 ⋅ 4 = 200 + 2000 = 2.200
5.= +ncontrar la distancia entre el origen del sistema de coordenadas y el punto ( 4,5) . y 2
C
=
( x
2
−
x1 )
2
+
( y
2
−
y1 )
2
C 2 2
C
4 KKKKKKKKKKKKKKKK. . . ! . . . . . 2 3
=
( 4 − 0) 2 + ( 5 − 0 ) 2
=
4
2
C
C =
2
=
+
5
2
16 + 25 41
! - 1,320/
x
L.= +n la función y = 3 x − 1 , si x - 4, Fcuál es el valor de f ( 5) o imagen de 4G $olución% para encontrar la imagen de 4 o f ( 5) reemplazamos en la función el valor de x, quedando f ( 5) = 3 ⋅ 5 − 1 = 15 − 1 = 14
E'ERCICIOS PROPUESTOS .= "epresenta grácamente la función y - x /.= "epresenta grácamente la función y - /x 0.= "epresenta grácamente la función y - /x M 3.= "epresenta grácamente la función y - =/x M 4.= "epresenta grácamente la función y - Nx 1.= "epresenta grácamente la función y - Nx M <.= "epresenta grácamente la función que tiene pendiente − 2 y ordenada en el origen − 2 5.= "epresenta grácamente la función que tiene pendiente 0 y pasa por el punto ( 2,7 ) L.= +n las 2 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía / cm, se Ba observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana Ba pasado a medir 0 cm. +stablecer una función a n que dC la altura de la planta en función del tiempo y representar grácamente . 2.= or el alquiler de un cocBe cobran I/2.222 diarios más I.422 por Eilómetro recorrido. +ncuentra la función que relaciona el costo diario con el n)mero de Eilómetros y represCntala. $i en un día se Ba recorrido un total de 342 Em, FquC cantidad de dinero debemos pagarG .= Hn taxista cobra por la bajada de bandera I 42 y I <42 por cada Eilometro recorrido. F!uántos Eilómetros recorrió Orancisco si debe pagar I .142 por un viajeG
ECUACION DE LA RECTA +n una recta, la pendiente
es siempre constante. $e calcula mediante la
ecuación
:
$e puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto=pendiente*% y − y1 = m( x − x1 )
+sta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos. 'a pendiente m es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas 6. 'a ecuación de la recta que pasa por el punto pendiente dada
y tiene la
m es%
E7e!8lo 'a ecuación de la recta que pasa por el punto A (/, ? 3* y que tiene una pendiente de ? P 0. Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente% y − y1 = m( x − x1 ) "eemplazamos los valores de x , y m 1
y − ( − 4 )
= −
1 3
1
y
( x − 2)
3( y + 4) = −1( x − 2) 3 y + 12 = − x + 2 x + 3 y + 12 = 2 x + 3 y + 10 = 0
'a ecuación es 'a ecuación encontrada se conoce como ec+%ción ener%l "e l% rect%. Forma simplificada de la ecuación de la recta
$i se conoce la pendiente !, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, n*, podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y 9
y 3 / m x 9 x 3;%
y − n = m( x − 0)
y − n = mx y = mx + n
+sta es la segunda forma de la ecuación de la recta la que se conoce como ec+%ción 8rinci8%l "e l% rect% y se utiliza cuando se conoce la pendiente y
la ordenada al origen, que llamaremos n. +l termino n de la ecuación principal de la recta se llama coeciente de posición de la recta e indica el valor de la ordenada del punto donde la recta se intersecta con el eje y. +n la ecuación principal de la recta y = mx + n , m es la pendiente y n es el coeciente de posición .
Rect% <+e 8%=% 8or "o= 8+nto= ;enemos una recta que pasa por dos puntos cualquiera A( x , y * y Q( x /, y /*, consideremos un punto ! ( x, y ) luego m AC = m BC , es decir que la pendiente AC es igual a la pendiente AB . +ntonces% #espejando%
y − y1 x − x1 y − y1
=
=
y2
−
y1
x2
−
x1
y2
−
y1
x2
−
x1
⋅
( x − x1 )
'a ecuación de la recta que pasa por dos puntos se puede obtener a partir de la fórmula% y − y1
=
y2 − y1 x2 − x1
⋅
( x − x1 )
RECTAS PARALELAS ) PERPENDICULARES . $i dos rectas son paralelas, tienen la misma inclinación por lo tanto sus pendientes son iguales. m1
=
m2
#os rectas son perpendiculares, si y solo sí el producto de las pendientes es igual a − 1 , es decir m1 ⋅ m2
1
= −
+jemplos de aplicación . .= Rallar la ecuación de la recta que tiene 8en"iente ! / 1 e interce8to n / 30 . ;enemos que Ballar la ecuación de la recta, esto es, / !- 2 n. Hsamos la información que tenemos%
! / 1 y n / 30 y sustituimos en la ecuación / 1- 2 30. 'a ecuación que se pide es / 1- 2 30. Sótese que esta forma principal (simplicada o explícita* tambiCn podemos expresarla como una ecuación general%
> 1- > 30 / 0, la cual amplicamos por M, quedando como > 2 1- 2 30 / 0, que luego ordenamos, para quedar 1- > 2 30 / 0
/.= Rallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 3, ?; y tiene pendiente ! / > @. ;enemos que Ballar la ecuación de la recta, esto es, / !- 2 n. Hsamos a información% ! / > @ y sustituimos en la ecuación%
/ > @- 2 n ABora tenemos que buscar la : usamos el otro dato: la recta pasa por el punto 3, ?;, por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. $e sustituyen esos valores de - / 3, / ? en la ecuación que estamos buscando% ? / > @ 3; 2 n #espejamos la variable n en%
? / > @ 3; 2 n
?/>@2n ?2@/n n/B $ustituimos el valor de n en la ecuación que buscamos% / > @- 2 B 'a ecuación en su forma principal (simplicada o explícita* es / > @- 2 B. 'a cual tambiCn podemos expresar en su forma general%
/ > @- 2 B 2 @- > B / 0 la cual ordenamos y queda
@- 2 > B / 0 0.= Rallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (/, M 3* y que tiene una pendiente de M P0 Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente%
> 3 / !- > -3; > >; / > 31- > ?; 1 2 ; / >3- > ?; 1 2 3? / >- 2 ? 1 23? 2 - > ? / 0 1 2 - 2 30 / 0 - 2 1 2 30 / 0 3.= #etermina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P3, ?; y 1, ; "eemplazamos los valores en la formula% y − y1
=
Tueda%
y2
−
x2
−
y1
x1
⋅
( x − x1 )
y − 2 =
4−2 3 −1
⋅
( x − 1)
y − 2 =
2 2
⋅
( x − 1)
y − 2 = 1⋅ ( x − 1)
y> ? / - > 3 y
=
x + 2 −1
y = x + 1
>-23/0
Ec+%ción 8rinci8%l Ec+%ción ener%l
4.= #etermina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P3, 1; y P?>1, >?; $abemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es% y − y1
=
y2
−
y1
x2
−
x1
⋅
( x − x1 )
"eemplazamos los valores%
"esolvemos%
y − 3 =
−
2−3
−
3− 4
y − 3 =
−
5
−
7
y − 3 =
5 7
y − 3 =
Amplicamos por <
⋅
⋅
( x − 4)
( x − 4)
x−
5 7
5 7
x−
⋅
4
20 7
7 ⋅ ( y − 3) = 5 x − 20 7 y − 21 = 5 x − 20
7 y = 5 x − 20 + 21
#ividimos por <
y =
5x 7
+
1 7
1.= Rallar la ecuación de la recta cuya pendiente m - M: y que pasa por el punto (M/, 0*
$abemos que la ecuación de la recta cuya pendiente se conoce y que pasa por un punto determinado es% y − y1
"eemplazamos los valores
=
m ⋅ ( x − x1 )
y M 0 - M(x /* y M 0 - Mx M / xyM-2
<. Rallar la ecuación de la recta cuya pendiente m - /: y que pasa por el punto (M0P/, M* y − y1
"eemplazando los valores
=
m ⋅ ( x − x1 )
y - /(x 0P/* y - /x 0 y- /x / /x M y / - 2
+cuación principal +cuación general
5. Rallar la ecuación de la recta cuya pendiente m - 2: y que pasa por el punto (M0, 2* y M 2 - 2(x 0* y-2 L. Rallar la ecuación de la recta cuya pendiente m- M3: y que pasa por el punto (/P0, M/* y / - M3(x M /P0* y / - M3x 5P0
y = −4x + 8
3
y = −4x + 2
3
−2
y M /P0 M 3x - 2 3x M y /P0 - 2
+cuación principal de la recta
+cuación general de la recta
2.= Rallar la e cuación de la recta r , que pasa por A(,4*, y es paralela a la recta s U /x y / - 2.
'a ecuación general de la recta s es 2 x + y + 2 = 0 y = −2 x − 2 #espejando ara Ballar la ecuación de r, sabemos que la pendiente es =/ y que pasa por el punto A (,4* y − y1 = m ⋅ ( x − x1 ) "eemplazando queda% #espejando
y − 5 = −2 ⋅ ( x − 1) y − 5 = −2 x + 2 y
2x + 7
= −
.= #eterminar si la siguiente pareja de rectas son paralelas o perpendiculares% x + 3 y − 1 = 0 3 x − y + 2 = 0 y ara determinar si una pareja de rectas es paralela, ambas deben tener la misma pendiente. ara determinar si una pareja de rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es igual a =. 3 x − y + 2 = 0 − y = −3 x − 2
x + 3 y − 1 = 0
3 y
= −
x +1
y = 3 x + 2
y
=−
1 3
x +1
Ambas rectas no tienen la misma pendiente, por lo tanto no son paralelas. +l producto de sus pendientes es 3 ⋅ −
1 3
=−
3 3
= −1 ,
luego la pareja de
rectas es perpendicular.
E7ercicio= 8ro8+e=to=& .= +ncuentra la distancia y la pendiente entre los puntos A( − 3,2) y B( 4,5 ) . /.= $i se conoce la longitud VxW del lado de un cuadrado, escribe una función que determine su perímetro. !onfeccionar una tabla de valores, dándole diversos valores a VxW(a lo menos seis valores*. Xracar la función. 0.= "epresente en un plano cartesiano las rectas y = x − 2 e y = −2 x + 5 3.= Raga un gráco de cada una de las siguientes rectas y luego determine cada pendiente y coeciente de posición% a* 2 x + 5 y − 6 = 0 b* y = −2 x + y − 5 = 0 c* −
4 3
x + 4 y + 2 = 0
4.= #etermine la ecuación de la recta que pasa por cada par de puntos% a* ( − 4,5) y ( 2,−6 ) b* ( 0,0 ) y ( 2,−3) c* ( − 1,−7 ) y ( 3,5) d* ( − 4, −3) y ( − 8,−3) 1.= #etermine la ecuación de la recta dada su pendiente m y un punto de ella% a* m = 4, ( 3,−2 ) b* m = −2, ( 7,4 ) c* m = 5, ( − 3,0) <.= 'as coordenadas de los vCrtices de un cuadrilátero son A( − 3,2 ) , B (1,−5 ) , C ( 8,1) y D( 4,4 ) . #ibuje el cuadrilátero en un plano cartesiano y luego determine la ecuación de la recta de sus lados y sus diagonales. 5.= #etermine en quC punto la recta 3 x − 2 y − 6 = 0 intercepta al eje x.