UNFV – Facultad de Arquitectura y Urbanismo
RECTA
Formas de la ecuación de una recta.
Hasta el momento, se han dado algunas características de la recta tales como la distancia entre dos puntos, su pendiente, su ángulo de inclinación, relación entre ellas, etc. Con ello ya tenemos elementos que nos servirán para la obtención de la ecuación en sus distintas formas. La recta se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que al tomarse de dos en dos se obtiene la misma pendiente. Forma ordinaria de la ecuación de una recta.
La ecuación de la recta se expresa en trminos de la pendiente m y la ordenada al origen b. y
y b
b x
Figura (A)
Figura ( B)
x
!i la pendiente m, "la cual cual representa la inclinación de la recta# es positiva obtendremos una gráfica como la de la figura "$# y si m es negativa obtendremos una gráfica como la de la figura "%#, cabe mencionar que "b# representa el valor de la ordenada " y#, donde la recta intersecta al e&e y .
y ' mx ( b.
Forma general de la ecuación de una recta. )n esta forma, la ecuación de la recta se representa por coeficientes enteros y debe ser igualada a cero, su forma simbólica es* $x ( %y ( C ' +
Nota: Cuando la ecuación se presente en sta forma, el termino A deberá ser positivo.
onde $, % y C son los coeficientes de la ecuación, x e y son las variables.
Forma punto - pendiente de la ecuación de una recta.
-na de las primeras formas de representar la ecuación de una recta es la llamada punto pendiente, como su nombre lo indica, los datos que se tienen son un punto y una pendiente. !ea A"x/, y/# el punto dado y m la pendiente dada de la recta, entonces si consideramos otro punto cualquiera "x, y#, que forme parte de dicha recta, por la definición de recta se tiene que* y ! y " # m $ x ! x" % y y m $grupando trminos nos queda* 1
x
x1
&'emplos resueltos. &'emplo ". Hallar la ecuación ordinaria de la recta que pasa por el punto $"0, 1# y tiene una pendiente de m '2. y y1 m( x x ) y 4 2 x 10 1 y
4
2( x
( 5))
y
2 x 10
y
4
2( x
5)
y
2x
4
14
&'emplo (. Hallar la ecuación ordinaria de la recta que pasa por el punto $"2, 0# y tiene una pendiente de m '3 4 2. y y1 m( x ) 2 y x ! 10 1 x
y
5
2
y
5
2( y
2 5)
2 y 10
( 2))
2 y
x 1!
( x y ( x
2)
( x x
2) !
y
x 1! 2
x 2
"
Forma punto- punto.
!ean A"x/, y/# y "x2, y2# dos puntos de la recta. Con estos dos puntos se puede obtener su pendiente* m'
y 2 # y1 x 2 # x1
!i sustituimos está pendiente en la ecuación yy /' m "x 5 x/#, obtendremos la ecuación de la recta cuando se conocen dos puntos. y y/'
y 2 # y1 "x 5 x/# x 2 # x1
&'emplos resueltos. &'emplo ". 6btener la ecuación de la recta en su forma general que pasa por los puntos $"0,3# y %"2, 1# y ( 3' / "x (0# y # y1 yy/' 2 "x x/# Como la piden en su forma general, se debe x 2 # x1 obtener de la siguiente manera.
4 # (#) y"3#' 2 # (#5)
"x "0##
$x (%y (C ' + y ( 3' x (0 x ( y (30'+
"x (0# 4 y ( 3' 5 2
x ( y 2'+ Como el trmino $ debe ser positivo multiplicamos por "/# toda la ecuación. x ! y )(# *
&'emplo (. Hallar y graficar las ecuaciones de las rectas "en su forma general# determinadas por los lados de un triángulo cuyos vrtices son los puntos $"3, 2# %"2, 0# y C"1, /#
Como nos piden las ecuaciones en su forma general, se deben obtener con el siguiente orden. Ax )y )+ # *
&cuación de la recta A. yy/'
y 2 # y1 x 2 # x1
y"2#'
"x x/#
5 # (#2) "x "3## 2 # (#)
&cuación de la recta +. yy/'
y 2 # y1 "x x/# x 2 # x1
y0' # 1 # "x 2# 5 4#2
y (2'
y (2'
5
2 "x (3#
2
$ 5
"x (3#
&cuación de la recta A+. yy/'
y 2 # y1 "x x/# x 2 # x1
y"2#' # 1 # (# 2) 4 # (#)
y 0' # ! "x 2#
y (2' # 1 2 "x (3#
2
4
2"y 0#' 7"x 2#
y (2' 1 "x (3# $
2y/+'7x(/2
0"y (2#' 8"x (3#
7x(2y/+/2'+
0y(/+'8x(2/
7x(2y22'+
8x(0y(/+2/'+
x )y!""#*
"x "3##
8"y (2#' /"x (3#
2
8y(/1' x (3 x ( 8y (/1 3'+
8x(0y//'+
x ( 8y (//'+
,x!-y )""#*
x ! ,y !""#*
Ecuación de la recta en su forma simétrica.
La ecuación de una recta en su forma simtrica es aquella que está dada en trminos de las distancias de los puntos de intersección de la recta al origen del sistema coordenado, como se muestra en la siguiente figura. Cabe recordar que en una coordenada "x, y#, y x recibe el nombre de abscisa, y recibe el nombre de ordenada. %"+,b#
e acuerdo a la figura la ordenada al origen es 9b: "distancia entre el origen y el punto de intersección de la recta con el e&e y#.
b $"a,+# x
+
La abscisa al origen es 9a: "distancia entre el origen y el punto de intersección de la recta con el e&e x#.
a
!i A"a, +# y "+, b# son dos puntos de la recta, al sustituirlos en la ecuación en su forma puntopunto tenemos que* agrupando trminos y # y1 yy/' 2 "x x/# ab' bx ( ay dividiendo entre ab
x 2 # x1
y+'
b # 0 "x a#
ab
bx
a y
0#a
ab
ab
ab
b y'
#a
"x a#
!i multiplicamos por a ay ' # ab "x a# #a ay' b"xa# ay' bxab
1
x
y
x
y
a
b
a
b
&cuación simétrica.
de
la
1
recta
en
forma
&'emplos resueltos. &'emplo ". Hallar la ecuación simtrica de la recta cuya abscisa al origen es 3 y la ordenada al origen es 1. Cabe recordar que la abscisa al origen es el punto de intersección de la recta con el e&e x y la ordenada al origen es el punto de intersección de la recta con el e&e y.
)ntonces a' 3 y b' 1 !ustituyendo en la ecuación simtrica tendríamos que*
x a
y
b x
de la
forma
'/
y
4
'/
&'emplo (. Hallar la ecuación simtrica de la recta cuya ecuación general es* 2x 3y(/2'+ ;ara obtener la ecuación simtrica, lo que debemos hacer es que el trmino independiente sea igual a /. 2x 3y ' /2 ividimos entre /2 toda la ecuación.
2 x
y 12
12
12
12
x
y
!
4
1
