Objetivo general
Desarrollar y analizar el modelo físico y matemático de un sistema masa-resorte, de un grado de libertad, bajo vibración libre, sin amortiguamiento, con movimiento de traslación puro. Objetivos Específicos Determinar la ecuación diferencial de movimiento de un sistema masaresorte en función de la variable x.
X es la posición de la masa con respecto a la posición de equilibrio estático. Identificar y resolver el tipo de ecuación diferencial que resulta. Determinar la ecuación diferencial de movimiento de un sistema masaresorte en función de la variable y. Y es la posición de la masa con respecto a la posición del resorte no deformado. Identifique y resuelva el tipo de ecuación diferencial que resulta. Determinar las condiciones iniciales de movimiento y aplicarlas en la solución de las ecuaciones diferenciales desarrolladas.
Teoría Un sistema masa-resorte vibrará libremente al desplazarse de su posición de equilibrio
estático y liberarse. El sistema es conservativo, no está sujeto a fuerzas no-conservativas ni a excitaciones externas. La ecuación gobernante del movimiento oscilatorio es una ecuación diferencial de segundo grado, homogénea con coeficientes constantes. La solución de dicha ecuación corresponde a la solución complementaria en donde las constantes dependen de las condiciones iniciales del sistema. Dependiendo de la referencia utilizada, la ecuación diferencial podría ser homogénea o no homogénea.
Equipos y materiales utilizados
computadora y software SciLab. Procedimiento
A. el instructor de laboratorio les asignara un valor de masa, tres valores de constante de resorte y las condiciones iniciales con las cuales deben desarrollar esta experiencia de laboratorio. B. Obtener el modelo matemático del sistema masa-resorte de un grado de libertad construido. C. Resolver la ecuación diferencial de movimiento aplicando los valores y condiciones iniciales mediante SciLab. D. Graficar la posición, la velocidad y la aceleración. E. El instructor de laboratorio les entregará las gráficas de posición, velocidad y aceleración correspondientes a la respuesta de un sistema masa-resorte con masa, elasticidad y condiciones iniciales desconocidas. Ver preguntas en el punto 4 y 5.
Resultados
20 N/m 8 N/m 4 N/m
= √
5kg 5kg 5kg
Respuesta de un sistema masa-resorte
2 1.265 0.8944
.
0.201 0.142
=
3.142 4.967 7.042
0.5 1.25 2
=
̇ 2
̈ 1
2 1.5
1.5 1.75
Para la condición 1,
k=20 N/m , x(0)=0 ;
x¨(0)=1
La onda de color verde es la grafica de posición, se ve que empieza en 0 cuando la condicion inicial es 0.
La onda de color morado representa la aceleración, con valor 1 en la condicion inicial 0.
La onda color rojo es la grafica de velocidad, que empieza en -0.5 para la condicion inicial 0.
Para la condición 2,
k=8 N/m , x(0)=1 ;
x¨(0)=-1
La onda de color verde es la grafica de posición, que empieza en 1 cuando la condicion inicial es 0.
La onda de color morado representa la aceleración, con valor -1 en la condicion inicial 0.
La onda color rojo es la grafica de velocidad, que empieza en -1.5 para la condicion inicial 0.
Para la condición 3,
k= 4 N/m , x(0)= 2 ;
x’(0)=0
La onda de color verde es la grafica de posición, que empieza en 2 cuando la condicion inicial es 0.
La onda de color morado representa la aceleración, con valor 0 en la condicion inicial 0.
La onda color rojo es la grafica de velocidad, que empieza en -1.5 para la condicion inicial 0.
Preguntas 1-) ¿Qué concluye respecto a las frecuencias angulares naturales, frecuencias naturales y periodos naturales de oscilación para los sistemas Masa-Resorte estudiados? R:/ La frecuencia natural es una magnitud escalar que varía de forma lineal con respecto a la frecuencia angular, siendo la frecuencia natural una magnitud vectorial que nos indica el número de vueltas que da un cuerpo por unidad de tiempo. Así mismo el periodo está directamente relacionado con la frecuencia natural y por ende también con la frecuencia angular. 2-) ¿Cómo compara las amplitudes de posición, velocidad y aceleración para los tres sistemas estudiados? R/: al mantener la masa constante y cambiar la constante de resorte en cada sistema estudiado, se observa la variación existente entre los 3 parámetros, en la tabla llenada en la parte superior se observa que cuando disminuye la velocidad, aumenta la posición y la aceleración del cuerpo.
3-) ¿Cuál de los 3 métodos considera más conveniente? R:/ Pese a que no utilizamos más que Scilab, pienso que es la opción más conveniente porque es un programa gratuito muy fácil de descargar y es muy sencillo a la hora de construir sistemas.
4-) Determinar la masa, la constante de elasticidad, la frecuencia angular natural y las condiciones iniciales del problema indicado por el instructor en el punto e.
Condiciones iniciales obtenidas de las gráficas:
(0) = 2 ′(0) = 7 ′′(0) = −16 = 2.2 ̈ + = 0
= = 0.45 ℎ = √
= 2 = 2.856 /
Conclusiones
Se Desarrolló el modelo matemático de un sistema masa resorte utilizando SciLab, se utilizaron los datos proporcionados por la profesora. Se graficaron 3 sistemas en los que se mantuvo constante la masa y se varió la constante del resorte. Se observaron y verificaron las condiciones iniciales de movimiento del sistema, y se calculó el periodo, la frecuencia natural, la frecuencia angular. Se observó la relación existente entre los parámetros de frecuencia natural, frecuencia angular y periodo. Bibliografía
Vibraciones mecánicas, Rao, 5ta edición.
