UNIV UNIVER ERSI SIDA DAD D TECN TECNOL OL GICA GICA DE DE PANAMÁ CENTRO REGIONAL DE CHIRIQUÍ FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA DINÁMICA APLICADA
LABORATORIO #4 TÍTUTLO DE LA EXPERIENCIA: OSCILACIÓN DE UN PÉNDULO SIMPLE ELABORADO POR: PROFESORA:
Resumen La realización de este laboratorio tiene como objetivo principal Determinar los parámetros principales de un sistema de péndulo simple bajo vibración libre no amortiguada. Para realizar esta experiencia se eligen tres longitudes de cuerdas distintas. Para cada una de las tres experiencias a realizar se fija un extremo del hilo monofilamento al marco, y el otro extremo a la esfera de acero. Se desplaza la esfera de acero de la posición de equilibrio estático a unos 10 grados y se libera, para así medir el tiempo de oscilación para tres ciclos de movimiento. Se calcula el periodo promedio de la oscilación. Además, la frecuencia natural y la frecuencia natural circular.
Palabras Claves
Péndulo simple: se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable. Si la partícula se desplaza a una posición (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar. Frecuencia angular: se refiere a la frecuencia del movimiento circular expresada en proporción del cambio de ángulo, y se define como veces la frecuencia. Centro de gravedad: es el centro de simetría de masa, donde se intersecan los planos sagital, frontal y horizontal. En dicho punto, se aplica la resultante de las fuerzas gravitatorias que ejercen su efecto en un cuerpo.
Introducción
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El péndulo simple se define en física como un punto material de masa m suspendido de un hilo de longitud y masa despreciable en el campo de gravedad de la tierra. Cuando hacemos oscilar la masa, desplazándola de modo que el hilo forme un ángulo muy pequeño con la vertical, describe aproximadamente un movimiento armónico simple. En efecto, al soltar la masa en reposo desde una posición A, la fuerza que actuará sobre ella será la componente tangencial del peso. El objetivo general y los específicos de esta experiencia son:
Objetivo General: 1. Determinar los parámetros principales de un sistema de péndulo simple bajo vibración libre no amortiguada. Desarrollar y analizar el modelo matemático. Comparar resultados teóricos y experimentales.
Objetivos Específicos: 1. Medir la longitud, masa y periodo de oscilación de un péndulo simple. 2. Obtener la ecuación diferencial no lineal del movimiento de un péndulo simple. 3. Obtener la ecuación diferencial linealizada con respecto a la posición de equilibrio estático.
Equipo y Materiales Hilo de monofilamento de pesca, esfera de acero, marco soporte, balanza, metro, cronometro, pie de rey.
Análisis y resultados Determinación de la ecuación diferencial de una masa puntual: Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable. Si la partícula se desplaza a una posición (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.
̈ +=0
Para oscilaciones pequeñas,
Donde;
≈ ̈ +=0 = ̅ + ̅ = 0 =̅ ̈ +=0 () = + Para una masa puntual
Procedimiento a. Escoja una esfera de acero, mida el diámetro de la misma, determine su masa y su momento masa de inercia respecto a su centro de gravedad b. Fije un extremo del hilo monofilamento al marco, fije el otro extremo a la esfera de acero. Mida una longitud de 20 cm entre el extremo fijo y el centro de masa de la esfera. c. Desplace la esfera de acero de la posición de equilibrio estático y libere. Mida el periodo de oscilación de tres ciclos de movimiento. Obtenga el periodo. d. Determine la frecuencia circular natural y la frecuencia natural de oscilación a partir del periodo natural medido.
e. Obtenga el modelo matemático del sistema péndulo simple para una masa puntual. f. Resuelva la ecuación diferencial de movimiento para la condición inicial del punto c. g. Obtenga analíticamente la frecuencia angular natural, la frecuencia natural y el periodo natural de movimiento. h. Obtener el modelo matemático del sistema péndulo simple para una masa esférica. i. Resuelva la ecuación diferencial de movimiento para la condición inicial del punto c. j. Obedecer analíticamente la frecuencia angular natural, la frecuencia natural y el periodo natural de movimiento. k. Graficar la posición, la velocidad y la aceleración. l. Repita de punto b al 1. Para las longitudes de hilo monofilamento de 40 cm y 60 cm.
Análisis y Resultados L(mm) 200
Masa puntual M(g) = 24.5 J( )= T (medida) =0.933 s f (medida) =1.07 hz Wn (medida)= 6.72 rad/s Wn (calculada)=7.00 rad/s f (calculada) =1.11 hz T (calculada)= 0.90
9.68 10−
Masa esférica M(g) = 24.5 J( )= T (medida) =0.933 s f (medida) =1.07 hz Wn (medida)= 6.72 rad/s Wn (calculada)=6.99 rad/s f (calculada) =1.1132 hz T (calculada)= 0.8983
9.68 10−
L(mm) 400
Masa puntual M(g) = 24.5 J( )= T (medida) =1.244 s f (medida) =0.8038 hz Wn (medida)= 5.05 rad/s Wn (calculada)=4.94 rad/s f (calculada) =0.7878 hz T (calculada)= 1.2694
Masa esférica M(g) = 24.5 J( )= T (medida) =1.244 s f (medida) =0.8038 hz Wn (medida)= 5.05 rad/s Wn (calculada)=4.9487 rad/s f (calculada) =0.7876 hz T (calculada)= 1.2696
L(mm) 600
Masa puntual M(g) = 24.5 J( )= T (medida) =1.544 s f (medida) =0.6477 hz Wn (medida)= 4.06 rad/s Wn (calculada)=4.04 rad/s f (calculada) =0.6429 hz T (calculada)= 1.555 s
Masa esférica M(g) = 24.5 J( )= T (medida) =1.544 s f (medida) =0.6477 hz Wn (medida)= 4.06 rad/s Wn (calculada)=4.0411 rad/s f (calculada) =0.6431 hz T (calculada)= 1.5548 s
3.866 10− 3.866 10−
8.696 10− 8.696 10−
Preguntas:
(0) = ̇(0) =0() ̇() ′ ′ ′ =cos. ()= () = cos
1. Encuentre la solución de la ecuación diferencial de movimiento, linealizada, para y . Asuma parámetros concentrados. Obtenga expresiones de posición , la velocidad y la aceleración . Grafique los resultados, utilice Excel para dos ciclos de movimiento. Se obtuvo la solución de la ecuación diferencial para la posición , la velocidad (t) y la aceleración (t). Se asume una solución de Entonces:
Se remplazan las condiciones iniciales y se obtiene que:
̈ ()
= ()= ()= cos
Para estas ecuaciones obtenidas, se realizan las gráficas de posición, velocidad y aceleración para la longitud de 60cm.
2. Calcule la frecuencia natural, el periodo del movimiento y la frecuencia natural angular de oscilación. R:/ Los valores fueron calculados y presentados en la tabla 1. 3. Compare los resultados teóricos con los experimentales. Explique la diferencia. R:/ los resultados teóricos muestran el movimiento del péndulo idealizado, considerando que el movimiento se da completamente en un eje pero los resultados medidos muestran cómo se movió el péndulo en una situación real, donde el desplazamiento no fue completamente sobre un eje, las diferencias entre los valores teóricos y experimentales son producto de los pequeños errores que se dan en la longitud de la cuerda, en el ángulo de desplazamiento de la esfera y en el periodo medido en las oscilaciones. 4. Obtenga la solución de la ecuación diferencial, mediante MatLab/SciLab. Grafique la posición, velocidad y aceleración. Para dos ciclos de movimiento. R:/ Utilizando la herramienta Matlab se obtiene la solución de la ecuación diferencial para una masa puntual, que resulta ser:
=0.1745 9.8 1 ()
Solución de la ecuación diferencial para masa puntual para l= 0.6 m, donde u= . La posición es:
Determinación de la ecuación de velocidad y aceleración para l = 0.6m
En donde: Como a posición es:
=0.1745 9.8 1 () Entonces; La velocidad es:
̇ = 0.√ 546 9.8 1 () La aceleración es:
̈ = 1.1 7 9.8 1 () Desplazamiento vs tiempo para l = 0.6 m y dos ciclos de desplazamiento.
Velocidad vs tiempo para l = 0.6 m
Aceleración vs tiempo para l = 0.6 m
5. Desarrolle el diagrama de bloques correspondiente, obtenga la solución mediante Simulink/Xcos. Grafique la posición, velocidad y aceleración. Para dos ciclos de movimiento. 6. Obtenga la ecuación diferencial linealizada con respecto a la posición de equilibrio estático. Considere la masa como una esfera, mida su diámetro y calcule su momento de inercia con respecto a su centro de gravedad. Repita los puntos 1 y 2.
Diagrama de bloques para el desplazamiento de la masa esférica.
Desplazamiento vs tiempo para una masa esférica y l= 0.6m.
Velocidad vs tiempo para una masa esférica y l=0.6m.
Aceleración vs tiempo de una masa esférica para l=0.6 m.
7. ¿Qué concluye respecto a las frecuencias angulares naturales, frecuencias naturales y periodos naturales de oscilación, para los sistemas de péndulo simple estudiados? R:/ Como sabemos si existe una mayor longitud de cuerda por lo tanto mayor será el período de oscilación. También se puede observar que a menor periodo la frecuencia natural será mayor y con ello la frecuencia natural circular; y viceversa (a mayor periodo menor será la frecuencia natural y la frecuencia natural circular). 8. ¿Cómo se comparan los resultados teóricos con los experimentales? R:/ los resultados experimentales tienen valores muy cercanos a los teóricos, todos los valores experimentales difirieron en menos de 5% para los valores de frecuencias y periodos calculados teóricamente. Esto nos indica que el procedimiento realizado al laboratorio fue satisfactorio y fue muy cercano a la experiencia deseada en el laboratorio.
Conclusión Como se puede ver en la tabla de datos, a medida que disminuimos la longitud del péndulo, disminuye también el periodo del mismo, por lo que aumenta su frecuencia; es decir, entre mayor sea la longitud de la cuerda, más oscilaciones podrá hacer el péndulo en un segundo. Esto se puede demostrar en la ecuación de la frecuencia circular natural, tanto para la masa puntual y la esférica, en donde, para esta última influye el momento de inercia de este. Es notable que el hecho de asumir una masa puntual no representa un error considerable en el estudio (respecto a la masa esférica real), por lo que, es conveniente utilizar esta aproximación, para facilitar el análisis. Por otra parte, el error que representa la medición del periodo puede ser más significativo (como se puede ver para el caso del=20 cm), por lo que considero necesario la implementación de un software, ya que da resultados más exactos y el proceso es bastante sencillo (comparado con la medición de los tiempos). Este tipo de movimiento describe una función senoidal casi perfecta, por lo que es fácil predecir o determinar el desplazamiento del mismo en un determinado tiempo.
Referencias bibliográficas 1. Vibraciones Mecánicas. Singiresu S. Rao. Quinta edición. PEARSON EDUCATION, México, 2012. 2. Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley. Richard G. Budynas y J. Keith Nisbett. Octavaedición. McGraww-Hill/Interamericana, 2008. 3. Tutorial para la herramienta de Simulink (Matlab). Recuperado de: http://personales.unican.es/corcuerp/matlab_simulink/Slides/Ejemplos_Simulink.pd f
