UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS - UFAL CENTRO DE TECNOLOGIA ENGENHARIA CIVIL
RELATÓRIO DE AULA PRÁTICA
DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONARIAS
Andrey Palmeira Oliveira
Maceió - 2011
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS - UFAL CENTRO DE TECNOLOGIA ENGENHARIA CIVIL
RELATÓRIO DE AULA PRÁTICA
DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONARIAS
Relatório de atividades apresentado ao professor Pedro Valentin dos Santos como pré requisito para a obtenção de nota na disciplina Laboratório de Física 1
Andrey Palmeira Oliveira
Maceió - 2011 2
RESUMO
O experimento realizado busca determinar a dimensão de objetos aleatórios com irregularidades múltiplas em sua constituição. Para isso foram utilizadas duas folhas de papel de tamanho A4, as quais foram divididas em pedaços de diferentes tamanhos, amassadas buscando o maior padrão possível e para as quais se atribuíram massas de de 1u a 64u. Com o uso de uma régua milimetrada foram feitas múltipla medidas do diâmetro de cada bolinha, os valores obtidos foram expostos em tabelas e gráficos considerando suas incertezas. E através da analise das medidas e das tabelas e gráficos construídos foi possível determinar a dimensão das bolinhas.
3
SUMÁRIO INDTRODUÇÃO.........................................................................................................................05 MATERIAIS E METODOS...................................................................................................................................06 RESULTADO E DISCURSÕES..............................................................................................................................07 CONCLUSÕES............................................................................................................................09 REFERÊNCIAS...........................................................................................................................10
4
INTRODUÇÃO Sabemos que a geometria é bastante utilizada nas diversas áreas. Uma das mais conhecidas é a chamada Geometria Euclidiana, onde estudamos as figuras mais simples e conhecidas da geometria: pirâmides, círculos, retas, quadrados etc. Neste contexto a idéia de dimensão já está em nossas mentes. Porém quando nos deparamos com fenômenos e formas imperfeitas, irregulares, como ramos de árvores, alvéolos pulmonares, as nuvens e outras formas encontradas na natureza que não podem ser explicados nos moldes da matemática convencional temos a necessidade de buscar outros objetos, um deles seria a “geometria da natureza” chamada de “Geometria Fractal”.
Esta geometria originou-se de estudos e pesquisas baseados em fenômenos como “estrutura do ruído nas comunicações telefônicas, a flutuação dos preços nas operações do mercado, no estudo empírico da geometria dos litorais”. “Para GUZMÁN (1993), fractais são objetos
matemáticos originados mediante a iteração infinita de um processo geométrico perfeitamente especificado. Esses processo geométrico elementar, geralmente de natureza muito simples, determina perfeitamente a estrutura final. Devido à repetição infinita ou quase infinita efetuada, tem uma complicação aparente final extraordinária”.
A geometria dos fractais nos últimos anos tem se tornado bastante difundida no meio científico. Devido as suas características ela representa, descreve e mede de forma eficiente situações consideradas imprevisíveis e caóticas. Assim, em um universo cheio de superfícies irregulares, fractal é uma nova linguagem geométrica descoberta através da “Teoria do Caos”. Uma característica que chama a atenção é que a geometria fractal admite a possibilidade de existirem dimensões fracionárias (como é o caso do experimento apresentado posteriormente). No experimento a ser realizado, será verificada a aplicação da geometria fractal para o caso em que uma folha de papel é transformada numa bola de papel depois de ser amassada, ou seja, um corpo de duas dimensões será transformando em um corpo de 3 dimensões. O ato de amassar o papel implica na fragmentação de uma área em áreas menores. O experimento envolve a medição de uma grandeza (diâmetro das esferas de papel) e a verificação da dependência deste com a massa M da bola.
5
MATERIAIS E METODOS
Material Utilizado:
Régua milímetrada
2 Folhas de Papel de tamanho A4
Procedimento Experimental 1. Guardamos uma folha de papel A4 e dividimos a outra folha em “metades”,
como indicado na figura .
2. Construímos sete bolas de papel amassado com os pedaços indicados na figura 3. Atribuímos a menor fração da folha massa 1 e as seguintes massas 2, 4, 8, ... 4. Fizemos cinco medidas do diâmetro em pontos diferentes em cada uma das bolas de papel, usando a régua. 5. Construímos uma tabela com essas medidas dos diâmetros. 6. Em seguida foi calculado o valor médio das medidas e sua incerteza. 7. Com os valores obtidos através do item anterior foi criado um gráfico log-log de onde foi extraído 8. Com a o valor de foi determinada a dimensão(d)
6
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Para um melhor entendimento no estudo de fractais medimos cinco vezes o diâmetro das sete esferas, cujas massas são diferentes, e construímos a tabela 1 mostrada a seguir: M 1
2
4
8
16
32
64
D1
0,6
0,9
1,5
2,1
2,6
3,1
4,4
D2
0,7
1,0
1,4
2,2
2,4
3,2
4,1
D3
0,7
1,0
1,4
2,1
2,5
3,4
4,3
D4
0,6
1,1
1,5
2,0
2,4
3,3
4,5
D5
0,7
1,0
1,3
1,9
2,6
3,2
4,3
0,66
1,0
1,42
2,06
2,5
3,24
4,32
D
0,048
0,04
0,064
0,088
0,08
0,088
0,104
D (cm)
∆
Tabela 1: Dados referente a medição dos diâmetros das sete bolinhas de papel com a régua.
De acordo com os dados da tabela 1 construímos o gráfico log-log onde o diâmetro da bolinha de papel está em função da massa . Sabemos que para formas geométricas elementares d possui um valor inteiro e é interpretado como a dimensão do objeto. Assim o diâmetro de uma esfera de aço maciça cuja densidade é uniforme pode ser calculado pela seguinte expressão: D = KM1/d
[1]
Onde D é o diâmetro da bolinha de papel, K é uma constante, M é a massa e d é a dimensão do objeto. Portanto , tomando o logaritmo em ambos os lados da equação obtemos: log (D) = log (K) + 1/d .log (M) => log (D) = 1/d. log (M) + log (K) [2]
7
Percebemos que a expressão [2] tem a forma da equação de uma reta onde y = ax + b. Porém, observamos pelo gráfico, que se assemelha a uma reta, que os pontos não estão regularmente na mesma reta. A partir do gráfico foi calculado a inclinação máxima (α1), a inclinação mínima(α2) e a
inclinação média(<α>) da função. Como a inclinação média é igual a ·, temos que:
Dessa forma, . ||||
Onde ∆ =
=0,05
Então temos que :
Logo, podemos encontrar o valor da dimensão do objeto e da constante K : 1/d = 0,36 => d = 2,780,01 Para calcular o valor da constante k, iremos substituir os valores da bolinha de massa 1 na equação
.
Mas , então
8
CONCLUSÕES
De acordo com o experimento realizado observa-se que a dimensão da bolinha de papel não resultou em um valor inteiro. Esse fato é justificável, pois uma vez que a dimensão original do papel utilizado foi dois então a dimensão das bolinhas de papel devem ser maior que dois. Além disso, observa-se que o valor encontrado para a dimensão da bolinha de papel foi menor que três , tal fato também era esperado pois , a dimensão três corresponde a dimensão de uma esfera perfeita o que não era o caso, devido o material utilizado e as irregularidades do objeto. Salienta-se também o fato de que a dimensão da bolinha de papel não poderia ultrapassar o valor três, pois a dimensão três corresponde a dimensão do espaço a qual vivemos, portanto seria impossível embeber um objeto de dimensão maior que 3 nesse espaço. Diante dos resultados obtidos chega-se a conclusão que a bolinha de papel é um tipo de objeto com forma geométrica irregular e por isso o valor da sua dimensão não corresponde a um valor inteiro e sim um valor fracionário. A partir disso podemos dizer que as bolinhas de papel podem ser chamadas de fractais e sua dimensão é denominada fractal.
9
REFERÊNCIAS
FORTANA, A.; COLLIN A. Geometria Fractal, Fractais, Dimensão. LAUX, P.; AGUIRRE A. Estimativa da dimensão fractal de nuvens em imagem de satélites meteorológicos. Curso de Especialização em Interp. de Imagens Orbitáis e Suborbitáis ;Santa Maria – RS – Brasil. BARBOSA, R. M. Descobrindo a Geometria Fractal – para a sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2002. .
PINTO, S.C.D. Estimação da dimensão fractal de imagens STF.(2001).São Carlos
10
