PÉNDULO DE TORSIÓN C.E. Hernández, E. Becerra, Z. Sarmiento, J.C. Macea, J. Velandia, N. Acuña Estudiantes de Ingeniería Industrial
Universidad del Atlántico Facultad de Ingeniería Fecha de entrega: abril 16 de 2009
RESUMEN. Muchos tipos de movimiento se repiten una y otra vez, la vibración de un cristal de cuarzo en un reloj de pulso, el péndulo oscilante de un reloj con pedestal, las vibraciones sonoras producidas por un clarinete o un tubo de órgano y el movimiento periódico de los pistones de un motor de automóvil. A esto se conoce como movimiento periódico u oscilatorio. El péndulo de torsión es un caso especial de movimiento oscilatorio, más exactamente de péndulo. Aunque no es un péndulo en sentido estricto, puesto que las oscilaciones no se deben a la fuerza de la gravedad, las fórmulas matemáticas que describen su movimiento son similares a las de un péndulo simple. Así el péndulo de torsión es un mecanismo que nos permite hallar el momento de inercia de diferentes objetos o de un conjunto de objetos, teniendo en cuenta el análisis de su Período de oscilación y la relación con un ángulo de giro dado. El presente informe se desarrolla a manera de artículo científico, en él se estudia la relación de los ángulos de giro para un péndulo de torsión, con los períodos de oscilación de dicho péndulo. Con los datos obtenidos en la experiencia, se determinaron los momentos de inercia de diferentes objetos. Para ello se establecieron algunas fórmulas matemáticas y se tuvo en cuenta el cálculo de error de las mediciones obtenidas. De la misma forma se halló el centro de masa para varios cuerpos colocados en distintos puntos del péndulo y con los resultados se compararon los valores calculados experimentalmente con otras ecuaciones teóricas. PALABRAS CLAVE: Péndulo de torsión, Ángulo de giro, Fuerza de restitución, Momento de inercia, Centro de masa.
ABSTRACT. Many types of movement repeat themselves again and again, the vibration of a crystal of quartz in a clock of pulse, the oscillating pendulum of a clock with pedestal, the sonorous vibrations produced by a clarinet or a pipe of organ and the periodic movement of the pistons of an engine of car. To this it is known as periodic or oscillatory movement. The pendulum of twist is a special case of oscillatory movement, more exactly of pendulum. Though it is not a pendulum in strict sense, since the oscillations do not owe by force of the gravity, the mathematical formulae that describe
his movement are similar to those of a simple pendulum. This way the pendulum of twist is a mechanism that allows us to find the moment of inertia of different objects or of a set of objects, bearing in mind the analysis of his Period of oscillation and the relation with an angle of given draft. The formless present develops like scientific article; in it there is studied the relation of the angles of draft for a pendulum of twist, with the periods of oscillation of the above mentioned pendulum. With the information obtained in the experience, there decided the moments of inertia of different objects. For it some mathematical formulae were established and there was born in mind the calculation of mistake of the obtained measurements. Of the same form the center of mass was situated for several bodies placed in different points of the pendulum and with the results there were compared the values calculated experimentally with other theoretical equations. KEY WORDS: Pendulum of twist, Angle of draft, Force of restitution, Moment of inertia, Center of mass.
INTRODUCCIÓN Uno de los movimientos más importantes, en el estudio de las oscilaciones o vibraciones, es el movimiento descrito por el péndulo de torsión; el cual describe un movimiento giratorio que parte de su posición inicial y luego regresa a ella después de haber tenido una vibración. Es menester para el estudio de este movimiento, tener en cuenta un ángulo θ de giro que representa el desplazamiento. Así como también el
momento de inercia de la varilla que forma el eje de rotación de dicho sistema de rotación o torsión, y el tiempo en que se realiza su oscilación, es decir, su periodo. El Péndulo o balanza de torsión fue diseñado originalmente por el geólogo británico John Michell, y mejorado por el químico y físico de la misma nacionalidad Henry Cavendish. El instrumento fue inventado de forma independiente por el físico francés Charles-Augustin de Coulomb en el año 1777, que lo empleó para medir la atracción eléctrica y magnética. (1) La práctica de este laboratorio, nos permitirá analizar de una mejor manera el fenómeno descrito por el movimiento del péndulo de torsión, cuyas características, dependen en gran forma del momento de inercia intrínseco en la varilla que se utilice para realizar el experimento. Este momento de inercia es uno de los objetivos a encontrar con la realización de mencionada actividad, en la cual se trabajo de manera sencilla y eficaz para obtener datos congruentes con el comportamiento esperado. No obstante, fue necesaria la toma de diferentes mediciones de un mismo dato y su cálculo de error relativo, así tendremos un valor medio o aproximado del verdadero. En el presente trabajo se discutirán los resultados obtenidos en la práctica, estudiándolos de manera cuidadosa, mediante su tratamiento con la ayuda de las ecuaciones de momento de inercia y movimiento oscilatorio para péndulo de torsión, halladas en la
teoría que describen dicho sistema. Con esto encontraremos fácil el manejo de movimientos que tengan relación con este, y asimilaremos de mejor forma el tema péndulo de torsión; además de que con los resultados que se obtuvieron en la práctica, aprenderemos una forma sencilla de hallar el momento de inercia de diferentes cuerpos en relación al período de varillas con la ayuda de este tipo de péndulo, pues este momento de inercia es de gran importancia en el estudio de la física y de la estática.
DISCUSIÓN TEÓRICA “Cualquier movimiento puede descomponerse como combinación de movimientos
lineales y de rotación. Si el momento cinético lineal de un cuerpo se define como p = m v; el momento angular de un cuerpo rígido en rotación es otra magnitud vectorial que se define como el producto del momento de inercia y la velocidad angular, L = I ω. Para un movimiento lineal la actuación de una fuerza F es la responsable de que p varíe con el tiempo; de forma que el parámetro p se conserva si existe una resultante de fuerzas nula. De la misma manera, en un movimiento circular la actuación del momento creado por una fuerza, M, origina una variación de L con el tiempo; por lo que si no se aplica externamente ningún momento de una fuerza, se cumple el principio de conservación del momento angular L.” (2) Alonso Finn, Física Vol. I, pág. 371 El momento de inercia I, definido respecto a un eje específico de rotación o eje de giro, es el equivalente a la masa m en la analogía lineal. De la misma manera que ω es la equivalente a la velocidad lineal v. Tanto I como ω dependen de la distancia radial R al eje de giro, parámetro que caracteriza el movimiento rotatorio junto a la masa y la velocidad en un movimiento lineal. El momento de inercia de una masa puntual de masa m con respecto a un eje de giro se define como: 2
I = m R
Siendo R la distancia al eje de giro. “El
Péndulo o Balanza de torsión es un mecanismo particularmente útil para medir el momento de Inercia de un objeto de forma irregular. Está formado por una varilla metálica que por un extremo lleva suspendido un objeto por su centro de masa, en el caso de esta práctica un disco metálico y con cilindros con orificios. Cuando a los cuerpos suspendidos se le aplica un par de fuerzas retorciendo la varilla un ángulo θ, éste ejerce sobre los distintos cuerpos un momento o torque de una fuerza que llamamos τ, que es la fuerza recuperadora del sistema, y se ejerce alrededor de la varilla que se opone al desplazamiento θ. Su cantidad es proporcional al ángulo. La
fuerza está dada por: τ = -kθ
Donde k es el coeficiente de torsión de la varilla”. (2)
Cuando dejamos oscilar libremente los cuerpos en cuestión (considerando despreciable el rozamiento con el aire), se origina un movimiento angular armónico simple, cuyo periodo T (tiempo transcurrido en realizar una oscilación completa) viene dado por la expresión:
(1) Es decir, que el periodo de oscilación es función de el momento de inercia de los objetos suspendidos sobre la varilla y que giran alrededor del eje de rotación, y del coeficiente de torsión del alambre, K. Para la siguiente experiencia como desconocemos el valor de K, para calcular I utilizaremos dos cuerpos de geometría conocida. Entonces, si colocamos sobre el disco dos cilindros, cada uno de masa M, a la misma distancia r’ de la varilla, el nuevo periodo de oscilación viene dado por la fórmula:
(2) Donde I' es el momento de inercia de los dos cilindros respecto al eje de rotación del sistema, de valor conocido: 2
I' = 2M r'
(3)
Siendo r' la distancia del eje de rotación al centro de masa los cilindros. De las ecuaciones (1) y (2), eliminando K, se obtiene el momento de inercia del disco metálico cuestión que se halla en función de los cilindros y los diferentes periodos de oscilación, que se medirán en esta práctica:
Y la constante de torsión estaría dada por:
MÉTODOS EXPERIMENTALES En la práctica de Péndulo de torsión se hizo énfasis en el cálculo de los momentos de inercia para un disco metálico de masa m. Ello teniendo en cuenta la relación de período y desplazamiento angular para dicho sistema, así como también de las distancias o radios de algunos objetos de geometría regular, como lo son dos cilindros de masa conocida. De esta relación de distancias, desplazamientos angulares y períodos podremos deducir experimentalmente el momento de inercia. Se tomaron un número de oscilaciones fijas para todos los análisis, este fue de 5 vueltas por evento. Se calculo el tiempo que tardaban dichas oscilaciones en relación con la variación del ángulo de giro θ , así también el radio o distancia del eje de rotación o varilla hasta uno de los extremos del disco y al centro de las circunferencias. Además para la exactitud y precisión, se realizaron 3 medidas por dato. El sistema de péndulo de torsión consiste en un objeto, en este caso un disco metálico, suspendido de una varilla y esta se encuentra unida al centro de dicho disco como muestra la figura 1.
Varilla
Disco
FIGURA 1. Sistema de Péndulo de Torsión
ANÁLISIS DE RESULTADOS En el laboratorio se obtuvieron los siguientes datos: N° OSCILAC. 5 5 5 5 5
t1 4,23 3,5 4,2 4,6 4,12
TIEMPO (S) t2 t3 4,25 4,24 3,54 3,57 4,12 4,05 4,14 3,98 4,12 4,38
tmed 4,24 3,54 4,12 4,24 4,21
Tmed
T cuad med
θ
0,85 0,71 0,82 0,85 0,84
0,72 0,50 0,68 0,72 0,71
10 15 20 5 25
TABLA 1. Datos de tiempo de oscilación, período y período cuadrado para el disco (primera parte del laboratorio).
N° OSCILAC. 5 5 5 5 5 5 5
t1 6,85 6,32 6,4 6,59 7,27 7,34 6,82
TIEMPO (S) t2 t3 6,77 7,05 6,14 6,34 7,62 6,94 6,99 7,47 7,38 7,02 7,2 6,89 6,97 7,12
tmed 6,89 6,27 6,99 7,02 7,22 7,14 6,97
T´med
T´ cuad med
θ
1,38 1,25 1,40 1,40 1,44 1,43 1,39
1,90 1,57 1,95 1,97 2,09 2,04 1,94
10 15 20 5 25 30 22
TABLA 2. Datos de tiempo de oscilación, período y período cuadrado para el disco y el aro metálico (segunda parte del laboratorio).
N° OSCILAC. 5 5 5 5 5
t1 4,49 4,9 4,85 4,98 4,76
TIEMPO (S) t2 t3 4,98 4,5 5,08 4,88 5,29 4,74 4,62 5,15 4,69 4,49
tmed 4,66 4,95 4,96 4,92 4,65
T´´med
T´´ cuad med
θ
0,93 0,99 0,99 0,98 0,93
0,87 0,98 0,98 0,97 0,86
10 15 20 25 30
TABLA 3. Datos de tiempo de oscilación, período y período cuadrado para el disco y los dos cilindros en el centro (tercera parte del laboratorio).
N° OSCILAC. 5 5 5 5 5 5 5
t1 5,95 5,965 6,04 5,82 5,62 6,19 6,27
TIEMPO (S) t2 t3 6,14 5,59 5,73 5,63 6,21 6,02 5,59 6,04 5,91 5,83 6,14 6,01 6,2 6,17
tmed 5,89 5,78 6,09 5,82 5,79 6,11 6,21
T´´´med
T´´´ cuad med
θ
1,18 1,16 1,22 1,16 1,16 1,22 1,24
1,39 1,33 1,48 1,35 1,34 1,49 1,54
5 10 15 20 25 30 35
TABLA 4. Datos de tiempo de oscilación, período y período cuadrado para el disco y los dos cilindros ubicados a una distancia x del eje (cuarta parte del laboratorio).
Grafica 1: variación del periodo debido al cambio del ángulo desplazado
Los datos que aparecen en la grafica son los arrojados por la primera parte del laboratorio que consistía solamente en hacer oscilar un disco sujetado de un eje vertical ubicado en el centro de dicho disco. Y de acuerdo a dichos datos podemos decir que hay un momento en que el periodo disminuye en este caso disminuyo cuando el ángulo era de 15.
Grafica 2: variación del periodo debido al cambio del ángulo desplazado Los datos que aparecen en la grafica son los arrojados por la segunda parte del laboratorio que consistía en hacer oscilar un disco y un aro montado en este, sujetado de un eje vertical ubicado en el centro de dicho disco. Y de acuerdo a dichos datos podemos decir que hay un momento en que el periodo disminuye, en este caso disminuyo cuando el ángulo era de 15; pero a diferencia de la parte primera el periodo tiende a sufrir una mayor variación cuando el ángulo de desplazamiento es cambiado ligeramente, cosa que no era tan notoria en la parte primera.
ANGULO DESPLAZA DO Vs PERIODO DE OSCIL ACION
1,000 0,980 0,960
D O I 0,940 R E P 0,920
Serie1
0,900 0,880 10
15
20
25
30
ANGULO
Grafica 3: variación del periodo debido al cambio del ángulo desplazado Los datos que aparecen en la grafica son los arrojados por la tercera parte del laboratorio que consistía en hacer oscilar un disco y dos sólidos en forma de cilindro uno encima del otro ubicados en el centro del disco mencionado con anterioridad, sujetado de un eje vertical ubicado en el centro de dicho disco. Y de acuerdo a la grafica podemos decir que tiene forma (parecida) de una parábola negativa. Ósea que el periodo de oscilación aumenta en un intervalo del ángulo en este caso de 10-20 y disminuye el periodo el intervalo 20-30.
Grafica 4: variación del periodo debido al cambio del ángulo desplazado Los datos que aparecen en la grafica son los arrojados por la cuarta parte del laboratorio que consistía en hacer oscilar un disco y dos sólidos en forma de cilindro, cada uno ubicado a una distancia (S1=7cm S2=9cm), del eje vertical de rotación ubicado en el centro del disco mencionado con anterioridad, Y de acuerdo a la grafica podemos decir que cada ángulo mínimo desplazado provoca una variación del periodo de una manera inmediata y por decirlo así sensible al cambio de ángulo.
Parte 1: Momento de Inercia para el aro metálico: Teniendo en cuenta que la masa del aro es 4147 gramos y su radio al eje esta dado por 11.9cm, entonces tenemos que:
I´= 2M (r´)2 = 2(4147)(11.9)2 = 1174.51g.cm2 Luego tenemos que el momento del sistema es:
Este valor nos indica el momento de inercia generado por el aro sobre el sistema de péndulo de torsión, teniendo en cuenta la variación de los ángulos, es decir en función de su desplazamiento angular.
Parte 2: Momento de Inercia para dos cilindros a los cuales pasa el eje de rotación por su centro: Teniendo en cuenta que la masa de los cilindros esta dado por 2000 gramos y sus radios al eje de rotación son 4.75 cm, tenemos que:
VALOR VARIABLE (unidades) I´´=2M(r´´) 2 90250 2 I´´´=2M(r´´´) 90250 Tabla 5. Momento de Inercia de los cilindros con respecto al eje
Este valor nos indica el momento de inercia cuando los dos cilindros son intersecados en su centro por el eje de rotación.
Parte 3: Momento de Inercia para los dos cilindros ubicados una distancia x del eje de rotación del sistema:
VALOR VARIABLE (unidades) I´´=2M(r´´) 2 196000 2 324000 I´´´=2M(r´´´) Tabla6. Momento de Inercia de los cilindros con respecto al eje
Esto representa el momento de inercia de los dos cilindros cuando están a una distancia x del eje de rotación. Podemos decir entonces que el momento de Inercia para cualquier objeto que no tenga una geometría definida o para un conjunto de partículas que tengan una distribución uniforme, puede ser calculado a partir de un sistema de péndulo de torsión. Como fue mostrado anteriormente, ello depende sólo del período de oscilación. No obstante la variación en los ángulos genera un cambio en el desplazamiento angular del sistema, aún así la velocidad tiende a ser mayor y por consiguiente la diferencia de tiempos no es muy grande, lo que nos dice que también resulta ser directa con el momento de inercia. Decimos además que un sistema de péndulo de torsión es armónico simple, ya que presenta oscilaciones periódicas y porque existe una fuerza de restitución que llamamos τ que hace retornar el movimiento al punto de equilibrio (θ = 0º) del sistema. De esta forma estamos diciendo que dicho movimiento se encuentra función del desplazamiento angular es decir de un ángulo θ y del momento de inercia.
CALCULOS DE ERRORES: PERIODO(S) θ
10 15 20 5 25
Tprom 0,848 0,707 0,825 0,848 0,841
Desviacion (D) D1
D2
D3
-0,002 -0,007 0,015 0,072 -0,017
0,002 0,001 -0,001 -0,020 -0,017
0,000 0,007 -0,015 -0,052 0,035
Dprom
I
%Er
0,001 0,005 0,010 0,048 0,023
(0,848-0,002)
0,236 0,990 1,818 7,226 3,059
(0,707-0,007) (0,825-0,015) (0,858-0,062) (0,85-0,026)
Tabla1: calculos de errores de la primera parte del lab.
PERIODO(S) θ
10 15 20 5 25 30
Tprom 1,378 1,253 1,397 1,403 1,445 1,429
Desviacion (D) D1
D2
D3
-0,008 0,011 -0,117 -0,085 0,009 0,039
-0,024 -0,025 0,127 -0,005 0,031 0,011
0,032 0,015 -0,009 0,091 -0,041 -0,051
Dprom
I
%Er
0,021 0,017 0,084 0,060 0,027 0,034
(1,382-0,028) (1,248-0,020) (1,402-0,122) (1,406-0,088) (1,44-0,036) (1,423-0,045)
2,026 1,603 8,702 6,259 2,500 3,162
Dprom
I
%Er
0,043 0,017 0,044 0,040 0,021
(0,947-0,049) (0,996-0,020) (1,003-0,055) (0,977-0,053) (0,925-0,027)
5,174 2,008 5,484 5,425 2,919
Tabla 2: calculo de errores para la segunda parte del lab.
PERIODO(S) θ
10 15 20 25 30
Tprom 0,931 0,991 0,992 0,983 0,929
Desviacion (D) D1
D2
D3
-0,033 -0,011 -0,022 0,013 0,023
0,065 0,025 0,066 -0,059 0,009
-0,031 -0,015 -0,044 0,047 -0,031
Tabla 3: calculo de errores para la tercera parte del lab.
PERIODO(S) θ
5 10 15 20 25 30 35
Tprom 1,179 1,155 1,218 1,163 1,157 1,223 1,243
Desviacion (D) D1
D2
D3
0,011 0,038 -0,010 0,001 -0,033 0,015 0,011
0,049 -0,009 0,024 -0,045 0,025 0,005 -0,003
-0,061 -0,029 -0,014 0,045 0,009 -0,021 -0,009
Dprom
I
%Er
0,040 0,025 0,016 0,030 0,022 0,014 0,006
(1,173-0,055) (1,1595-0,034) (1,223-0,019) (1,163-0,045) (1,153-0,029) (1,22-0,018) (1,244-0,010)
4,689 2,889 1,554 3,869 2,515 1,475 0,804
Tabla 4: calculo de errores para la cuarta parte del lab.
CONCLUSIONES 1. El péndulo de torsión es un sistema que nos permite determinar el centro de masa o momento de inercia de algunos objetos de formas complicadas, así como también de un conjunto de objetos distribuidos en diferentes posiciones, ello teniendo en cuenta la relación de período de oscilación y su ángulo de giro. 2. El momento de inercia depende principalmente del radio o distancia del objeto al eje de rotación y la masa del objeto u objetos en cuestión. 3. La constante de torsión para este sistema de péndulo de torsión, es directa con el momento de inercia del objeto e inversa a la diferencia de períodos de oscilación, y estos a su vez están dependiendo del ángulo de giro. 4. Se dice que este sistema es armónico simple, ya que presenta oscilaciones periódicas y porque existe una fuerza de restitución que llamamos τ que hace retornar el movimiento al punto de equilibrio (θ = 0º) del sistema. De esta forma
estamos diciendo que dicho movimiento se encuentra función del desplazamiento angular es decir de un ángulo θ y del momento de inercia.
REFERENCIAS 1. Garage Muelle de torsión de las puertas de garaje Tutorial de Richard J Kinch. Incluye un análisis de las fórmulas desde un punto ingeniaeril con abundantes propiedades de materiales. 2. Alonso Finn, Física Vol. I, pág. 371.
