UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA y ELECTRÓNICA
FISICA I – FI203M FI203M INFORME DE LABORATORIO N°5 TEMA: “Dinámica de Rotación”
DOCENTE: Zambrano Alva Sandra INTEGRANTES: Cardenas Tintaya Italo Auccalla Romero Diego Rios Quispe Sergio Andres Garcia Torres Luis Alfredo
20170097J 20170398J 20170230A 20170219H
LIMA 2017-I
LABORATRIO DE FISICA I FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA
Dinámica de rotación 1. Objetivo Observar el movimiento de rodadura de una rueda de Maxwell y a partir de las mediciones efectuadas determinar el momento de inercia de la rueda con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro de su gravedad 2. Equipo Un par de rieles paralelos (como plano inclinado) Una rueda de Maxwell Un cronometro digital Un pie de rey Una regla milimetrada Una balanza Un nivel
Figura 2.1: Rieles paralelos en una base de madera
Figura 2.3: Pie de Rey
FIEE
Figura 2.2: Rueda de Maxwell
Figura 2.4: Regla milimetrada
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Figura 2.5: Balanza Electrónica
Figura 2.6: Nivel de burbuja
3. Fundamento Teórico Energía cinética rotacional: Un objeto rotatorio en torno a un eje fijo permanece estacionario en el espacio, así que no hay energía cinética asociada con el movimiento traslacional. No obstante, las partículas individuales que conforman el objeto en rotación se mueven a través del espacio; siguen trayectorias circulares. En consecuencia, con el movimiento rotacional hay energía cinética asociada.
Figura 3.1: un cuerpo rígido en rotación en torno al eje con rapidez angular
La figura 3.1 muestra al objeto en rotación e identifica una partícula sobre el objeto ubicada a una distancia del eje de rotación. Si la masa de la –ésima partícula es y su rapidez tangencial es , su energía cinética es:
= 12 2
Ecuación 3.1: Energía cinética de la i -ésima partícula
FIEE
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LABORATRIO DE FISICA I FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA La energía cinética total del objeto rígido en rotación es la suma de las energías cinéticas de las partículas individuales:
= = 12 2 = 12 2 2
Ecuación 3.2: Energía cinética total del cuerpo rígido
donde se factorizó de la suma porque es común a toda partícula. Esta expresión se simplifica al definir la cantidad entre paréntesis como el momento de inercia :
= 2
Ecuación 3.3: Momento de Inercia de las i-ésimas partículas
Calculo del momento de inercia: El momento de inercia de un objeto extendido se evalúa al considerar el objeto dividido en muchos elementos pequeños, cada uno de los cuales tiene masa . Se usa la definición y se toma el límite de esta suma a medida que . En este límite, la suma se convierte en una integral sobre el volumen del objeto:
Δ
= ∑ 2 Δ
Δ → 0
= Δlim→0 2 Δ =
Ecuación 3.4: Momento de inercia de un cuerpo rígido
Ley de la Conservación de energía: Las fuerzas no conservativas no pueden representarse en términos de energía potencial; no obstante, podemos describir sus efectos en términos de energías distintas de la cinética y la potencial. Cuando un automóvil con frenos bloqueados se derrapa hasta detenerse, se calientan los neumáticos y el camino. La energía asociada a este cambio en el estado de los materiales se denomina energía interna. Cuando se eleva la temperatura de un cuerpo, aumenta su energía interna; si se reduce su temperatura, disminuye su energía interna. Para captar el significado de la energía interna, consideremos un bloque que se desliza por una superficie áspera. Cuando se desliza, la fricción realiza trabajo negativo sobre el bloque, y el cambio de energía interna del bloque y la superficie es positivo (ambos se calientan). Experimentos cuidadosos demuestran que el aumento en la energía interna es exactamente igual al valor absoluto del trabajo efectuado por la fricción. Dicho de otro modo,
Δ =
Ecuación 3.5: Variación de energía interna
FIEE
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Expandiendo la Ecuación 3.5 tendríamos:
ΔK+ΔU+ Δ = 0 Δ ΔK ΔU = = Ecuación 3.6: Conservación de energía
donde es la energía cinética, es la energía potencial y es la variación de la energía interna Dos de los mecanismos del sistema tiene notaciones simbólicas bien establecidas. Para trabajo, y para calor, . Los otros cuatro no tienen símbolos establecidos, así que se le llamara (ondas mecánicas), (transmisión eléctrica) y (radiación (transferencia de materia), electromagnética). La expansión completa de la Ecuación 3.6 seria:
ΔK+ΔU+ Δ = + + + + Ecuación 3.6: Expansión de la conservación de energía
Determinación experimental del momento de inercia: Para obtener el momento de inercia de un cuerpo en forma experimental permitiremos que este ruede sin resbalar por un plano inclinado. Además, debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones: La conservación de la energía mecánica Los conceptos de energía cinética de rotación y de traslación El desplazamiento del cuerpo debe ser sólo por rodadura sin deslizamiento. La posición del cuerpo está representada por la posición de su centro de masa "G".
Figura 3.2: Diagrama con la ubicación del riel inclinado u la rueda de Maxwell
La rueda de Maxwell consta de un aro de radio y de un eje cilíndrico concéntrico de radio ( ). Al dejar al eje sobre los rieles el sistema experimentara un movimiento de rodadura. En la Figura 3.2 se muestra una rueda de Maxwell en dos posiciones de su movimiento. y son las posiciones del centro de gravead de la rueda en los puntos más alto y más bajo de la trayectoria. Por el principio de conservación de energía:
<
+ = +
FIEE
Ecuación 3.7
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Si en
la rueda parte del reposo
ℎ = ℎ + +
Ecuación 3.8
Las pérdidas por fricción, se deben a la fricción por desplazamiento (calor perdido por rozamiento) y la fricción por rodadura (calor producido por la deformación de las superficies en contacto). Las pérdidas por rodadura son despreciables en caso de cuerpos rígidos. Si ahora evitamos el deslizamiento (patinaje) podemos suponer que las pérdidas por fricción son insignificantes. El movimiento de rodadura puede ser considerado como un conjunto continuo de rotaciones sucesivas con velocidad angular alrededor de un eje de giro móvil que pasa por los puntos e contacto entre el eje cilíndrico y los rieles . Se cumple la relación , donde es la velocidad del centro de gravedad, es la velocidad angular alrededor de y es la distancia de a (radio del eje cilíndrico). Otra manera de visualizar el movimiento de rodadura , quizás más natural, es considerando como la composición de una traslación del centro de masa , mas una rotación simultánea, con velocidad angular alrededor de . Se puede demostrar que . Tomando el segundo punto de vista, la energía cinética consta de dos partes:
=
= = +
donde significa energía cinética de traslación y cinética de rotación.
= =
= 12 + 12
Ecuación 3.9
significa energía
Ecuación 3.10
Donde es la velocidad del centro de masa, es el momento de inercia respecto al eje de rotación que pasa por (que en este caso es el de simetría). Pero , entonces:
1 1 ℎ = ℎ + 2 + 2
Ecuación 3.11
De esta expresión podemos calcular si conociéramos . Se observara en este que el movimiento de traslación tanto del centro de gravedad como del eje instantáneo de rotación es uniformemente acelerado. Tendremos por lo tanto:
es decir:
=
= 12 , = ∶
Ecuación 3.12
4. Procedimiento 4.1. Usando un nivel de burbuja, nivele el plano que sirve de soporte a los rieles. FIEE
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4.2. Marque en los rieles los puntos A 0, A1, A2, A3, A4, separados unos 10 cm entre sí. 4.3. Mida con el pie de rey el diámetro del eje cilíndrico que se apoya sobre los rieles. Tenga en cuenta que el eje ha sufrido desgaste desigual. 4.4. Fije la inclinación de los rieles de manera que la rueda experimente un movimiento de rodadura pura (sin patinaje). 4.5. Coloque la rueda en reposo en la posición A 0, suéltela y simultáneamente comience a medir tiempo (es decir, t 0 = 0); mida los intervalos de tiempo t 1, t2, t3, y diez mediciones para t 4. 4.6. Mida la masa del volante y la diferencia de las alturas entre las posiciones G0 y G4. 4.7. Modifique la inclinación de los rieles (teniendo cuidado de evitar el deslizamiento de la rueda) y mida 3 veces t 4 y la nueva diferencia de alturas entre G0 y G4. 4.8. Mida los radios, espesores y longitudes de la rueda de Maxwell y su eje (como para calcular su volumen). 4.9. Suspenda la rueda de Maxwell de su borde inferior y mida el periodo de su oscilación alrededor de un eje paralelo a su eje de simetría. (Estos datos debe guardarlos para el siguiente experimento).
FIEE
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5. Calculo y Resultados
,,
5.1. Considerando los tiempos promedios para , grafique los puntos . ¿Es el movimiento de traslación uniformemente acelerado?
0,0,, ,…,
Los valores hallados para la curva de
∆X
son los siguientes:
Tabla N°1: tiempos medidos en laboratorio
T1
T2
T3
6.06
6.85
5.98
8.2
8.47
8.34
10.7
10.92
10.28
12.2
12.79
12.32
T4
12
T5
T6
12.1
T7
13.1
T8
12.1
12.96
T9
T10
11.91
12.2
T prom
=6.297 =8.337 =10.63 =12.368
GRAFICO N°1 0.45 y = 0.0025x2 + 0.0022x - 0.0012
0.4 0.35
) m 0.3 ( o t 0.25 n e i m 0.2 a z 0.15 a l p s 0.1 e d
0.05 0
-0.05 0
2
4
6
8
10
12
14
tiempo (seg)
Grafico 1: De acuerdo a los datos, la gráfica es de una función exponencial.
FIEE
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5.2.
Grafique también . De acuerdo a la tabla N°1
GRAFICO N°2 0.45 0.4
152.967424, 0.4
) 0.35 m ( 0.3 o t n e 0.25 i m a 0.2 z a l p 0.15 s e d 0.1
113.067778, 0.3 69.50001111, 0.2 39.64801111, 0.1
0.05 0
0, 0 0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
(tiempo)^2 (seg)^2
5.3. Suponiendo que la aceleración de traslación es constante y aplicando la desviación estándar y propagación de errores, calcular: a. La aceleración del centro de masa a G. Se conoce que la aceleración es la segunda derivada de la trayectoria, por lo tanto, al momento de efectuar la derivada de la fórmula hallada al momento de ajustar la curva, se puede fácilmente demostrar cuál es la aceleración del centro de masa .
Esta es la expresión representada por medio de la derivada
= Al momento de analizar este resultado se obtiene lo siguiente:
0.0025 + 0.0022 0.0012 = = 0.005
Por lo tanto, la aceleración será igual a:
FIEE
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b. La velocidad de traslación V 4, del centro de masa en posición G 4. Se conoce que la velocidad es la primera derivada de la trayectoria, por lo tanto, al momento de derivar la fórmula hallada en la expresión se encuentra la velocidad del centro de masa en la posición . La expresión representada por medio de la derivada es:
V
= Al momento de realizar este resultado se halla lo siguiente:
+ 0.0022 0.0012 0. 0 25 = = 0.005 +0.0022 Por lo tanto, la velocidad será igual a:
= 0.05 +0.0022
El valor de
es de 12..368 y
∆ = 0.4
Por lo tanto la ecuación quedaría de la siguiente forma:
= 0.00512.368 +0.0022 = 0.06406
c. La velocidad angular de la rueda en el instante t 4. Se conoce que:
= . ±∆ Por lo tanto, de los datos previamente hallados, se conoce que el radio de la varilla es: TABLA DE DIÁMETROS MEDIDOS:
á
Promedio
FIEE
0.0023 0.006 0.00145 Página | 1
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= 2 = 0.00145 2 = 0.00725 Además se conoce de la parte (b) de esta pregunta, que la velocidad es:
= 0.06406 = = 0.0.67406 25 = 0.0.06406 725 = 8,833
Al momento de acomodar la fórmula previamente establecida, se encuentra que la velocidad angular , es igual a:
d. El momento de inercia de la volante usando a ecuación 3.11
1 1 ℎ – ℎ = 2 + 2 Como se desea hallar el momento de inercia de la volante, se debe poner toda ecuación en términos de .
Por lo tanto, la fórmula se halla así:
= 2 ..ℎ ℎ 12
FIEE
Los valores conocidos previamente son los siguientes:
= 9.8 = 0.347 = 0.06406 = 0.00725 ℎ = 0.104 ℎ = 0.041
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Resolviendo con los datos obtenidos se llega a lo siguiente:
347 0.725[9.80.1049.80.041 = 2 0.0.06406 12 0.06206] = 4,023. e. ¿Cuáles son las mediciones que introducen mayor incertidumbre en el cálculo del momento de inercia? La desigualdad de los rieles sobre las cuales la rueda de Maxwell se desplaza, al medir el tiempo con el cronometro no se hace una medición exacta solo una aproximada ya que depende de cuán rápido reaccione la persona que está haciendo la medición, también influye la medición de las alturas con respecto al soporte.
Otra de las causas de incertidumbre sería el error observado al medir la masa de la rueda de Maxwell.
f. ¿Cómo influye la longitud del recorrido sobre el valor de I? El momento de inercia no tiene efecto alguno debido a la inclinación observada por la trayectoria, ni la longitud del recorrido. g. ¿Cómo influye la inclinación de los rieles sobre el valor de I? De la siguiente definición:
I = r2 dm Se observa que no se muestra en ningún momento que la inclinación tendrá efecto alguno en la medición del momento de inercia. Esto demuestra entonces que la inclinación en los cuales se encuentren los rieles no afectará de ninguna manera a los resultados obtenidos por medio de los cálculos.
∫²
h. Calcule el momento de inercia a partir de la definición: I = y las mediciones geométricas efectuadas sobre la rueda y el eje cilíndrico. Compare con (d). Primero, debe hallarse la densidad de la rueda de Maxwell, mediante la siguiente ecuación: masa
FIEE
volumen
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LABORATRIO DE FISICA I FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA Los resultados, son los siguientes:
Volumen A (Varilla del medio) = VolumenB
r h = (0.0032 ) (0.149)
(Cilindro
(0.0115
2
del
medio)
=
4.21 x10
6
m
3
( R 2 r 2 ) h =
2
) (0.0032 ) (0.0227)
8.79 x10 6 m 3 VolumenC (Barrita de la rueda) = b a h = 0.0327 0.0097 0.0063
1.99 x10
6
m
3
VolumenD (Rueda exterior) = 7.547 x10
5
m
VolumenTOTAL 4.21 x10
6
( R 2 r 2 ) h = (0.0512 ) (0.042 ) (0.024)
3
= V A + VB + 6VC + VD +
1.7952 x10
8.79 x10 4
m
6
6
+ 1.99 x10 +
7.547 x10
5
3
masa
volumen
0.347kg
1.7952 x10
1932.9
4
m3
1932.9
kg m3
kg m3
Para calcular el momento de inercia total, se necesita tomar cada cuerpo independientemente: Para A (Varilla del medio): 2
V r h V 2 r h r
Si: I A
r 2 m( )
Se sabe que:
m V m 2 h r .r
En (α) r
I A
r 2 2 h r r 0
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LABORATRIO DE FISICA I FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA r
I A
r
2 h r r I A 2 h r r 3
3
0
0
r
r 2 h 4 4
I A
0
r = 0.003 h = 0.149 ρ = 1932.9
I
A
3.6643 x10
8
Kg .m 2
Para B (Cilindro del medio): Si:
I B
r m 2
Se sabe que:
m V m .2 h r .r
R1
I A
r
2
2 h r r
r
R1
I B
2 h r r 3
r
I B
R1
r 2 h 4 4
r
r = 0.003 R 1= 0.0115 h = 0.0227 ρ = 1932.9
B 1.19986
I
6
x10 Kg .m
2
Para C (Barrita de la Rueda):
= = 1932.91.9910− = 3.84610− Dividimos el paralelepípedo en placas rectangulares de lados espesor dx .
a y b y
de
El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es
FIEE
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Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia x es
El momento de inercia del sólido en forma de paralelepípedo es
/ 1 = −/ (12 + ) = 12 + − 3. 8 4610 0.0097 +0.0327 =
12 = 3.728610− .
Para D (Rueda Exterior): 2
V r h V 2 r h r I D
r m r .V
I D
r 2 h r r
2
2
2
R2
I D
2 h r r 3
r 2
I D
R2
r 4 4
2 h
r 2
r 2 = 0.04 R 2 = 0.051 h = 0.024 ρ = 1932.9
I
D
3.06427882 Kg .m
2
Ahora se debe hallar el momento de inercia total, el cual es:
FIEE
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I A I B
I T
6 I C
I D
3.064282294 Kg .m
2
Al momento de analizar esta información, y compararla con el momento de inercia experimental hallado en la parte (d) de esta pregunta, se puede observar que existe un error, sin embargo, este es casi despreciable, algunos de los factores que pueden haber hecho que esto sea posible son las fuerzas externas actuantes en el proceso del cálculo del momento de inercia experimental.
I T I
3.064282294 Kg .m
4.023 Kg .m
2
2
(HALLADO EN D)
6. Observaciones: La medición de las alturas de los puntos marcados en el recorrido y la toma de
los tiempos al recorrer las determinadas distancias fueron los datos que indujeron más error Al momento de ajustar una curva, en la cual se encuentran los valores encontrados en las experiencias del laboratorio, es importante poder saber que estos ayudan a encontrar una uniformidad en los resultados que siempre puede variar debido a los errores existentes. Por este motivo, las curvas se ajustan a valores promedio que pueden dar un comportamiento aceptable de l os hallazgos en el laboratorio.
Al momento de soltar la Rueda de Maxwell en algunas ocasiones el error al tomar los tiempos de descenso era demasiado grande, debido al rozamiento entre los rieles y el eje de la rueda.
7. Bibliografía Fisica para ciencias e ingeniería Volumen 1 Serway-Jewett: pag. 276 - 277 Fisica Universitari volumen 1 Sears Zemansky: pag. 231 Manual de laboratorio de física general: pag. 64 - 66
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