UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA, ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES
LABORATORIO Nº 5 DINÁMICA DE ROTACIÓN
Profesores responsables de la práctica:
Sandro Rodriguez
Alumnos
còdigo
Felipe Vilca , Christian Andreè
20142205F
Orotuma Muñoz , Omar Frank
20140400F
Rojas Ibañez , eberth
20140421C 20140421C
Tejada Lopez Jorge Luis
20140504F 20140504F
Fecha de Realización Realización de práctica: práctica: 28 de junio del 2014 Fecha de presentación presentación del informe: informe: 4 de julio julio del 2014
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Un cuerpo rígido en un caso especial e importante de los sistemas constituidos por muchas partículas, este es, un cuerpo en el cual las distancias entre todos sus componentes que pertenecen constantes bajo la aplicación de una fuerza o momento. Un cuerpo rígido, por consiguiente, conserva su forma durante su movimiento. Podemos distinguir dos tipos de movimiento de un cuerpo rígido. El movimiento de traslación cuando todas las partículas describen trayectorias paralelas de modo que las líneas que unen dos puntos cualesquiera del cuerpo permanecen siempre paralelas a su posición inicial. El movimiento es de rotación alrededor de un eje cuando todas las partículas describen trayectorias circulares alrededor de una línea denominada eje de rotación. El eje puede estar fijo o puede estar cambiando su dirección relativa con respecto al cuerpo durante el movimiento. El movimiento más general de un cuerpo rígido puede siempre considerarse como una combinación de una rotación y una traslación. Esto significa que siempre es posible encontrar un sistema de referencia en traslación pero no rotando en el cual el movimiento del cuerpo parezca solamente de rotación.
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rotacional. Entender la dinámica de los cuerpos en movimiento rotacional. Conservación Analizar dicho sistema mecánico a partir del Principio de Conservación de la Energía Mecánica. Entender el concepto de inercia rotacional. Calcular el momento de inercia de los cuerpos. Observar el movimiento de rodadura de una rueda de Maxwell y a partir
de las mediciones efectuadas determinar el momento de inercia de la rueda con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro de su gravedad.
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DINÁMICA DE ROTACIÓN
Es un cuerpo rígido, como aquel, en el cual las distancias entre sus partículas cualesquiera permanecen constantes en el tiempo. En un cuerpo rígido se distingue dos tipos de movimiento: traslación y rotación. TRASLACIÓN PURO Algunos definen como aquel movimiento en el que todos los puntos del cuerpo se mueven en la misma dirección, con la misma velocidad y aceleración en cada punto. Otra definición es donde las partículas tienen la misma velocidad o trayectoria. V Q
V
Q
ROTACION PURO
Alrededor de un eje, cuando todas las partículas del cuerpo rígido describen trayectorias circulares. En este caso un punto del cuerpo permanece fijo.
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CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA
⃗
Sea una partícula de masa m, que tiene una velocidad y por lo tanto la cantidad de movimiento lineal o momento es
⃗ .
z
Entonces el momento
⃗
angular (momento cinético) se define por el producto vectorial:
m
0
y
⃗ x ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN
Sea un cuerpo de masa M que que gira con velocidad angular A
Tomamos una masa
, alrededor del eje AA’.
que está situado a una dis-
tancia del eje de rotación y que tiene una veloci-
, por cinemática sabemos para la masa : todas las partículas describen trayectorias trayectorias dad
circulares alrededor de eje AA’. Luego la energía
cinética del cuerpo está dado como la suma de las A’
energías cinéticas de la partícula.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA, ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES Ec Ec Ec
1 2 1 2 1
m1v12
1 2
m2 v22
m1 2 r12 2
2
1 2
1
m3 v32 ...., como todas las partículas tienen las mismas
2
m2 2 r12 2
1 2
.
m3 2 r 32 ...
(m1r12 m2 r22 m3 r 32 ...)
n
Donde
mi ri
2
I , es el momento de inercia del cuerpo y,
i 1
Ec
1 2
2 I Ec
1 2
2 I Ec
1 2
2 I Ec
1 2
2 I Ec
1 2
2 I Ec
1 2
2 I Ec
1 2
2 I
TEOREMA DE STEINER O DE LOS EJES PARALALOS Sea C el centro de masa del cuerpo rígido y sea el sistema coordenado X’Y’Z’ que pasa por C. El sistema XYZ, pasa por el punto A. Cualesquiera
Y
Y’
del cuerpo y sea a la distancia entre los ejes paralelos Z y Z’, alrededor de los
cuales giran el cuerpo.
m
Luego si : es el momento de inercia
A
Del cuerpo con respecto a su centro de masa y queremos hallar el momento de
a X
inercia del cuerpo rígido con respecto al eje Z que pasa por A. Se tendrá:
C
X’
YY’
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA, ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES HACIENDO UN ANÁLISIS a. Conservación de la energía mecánica b. descomposición de la energía cinética en energía de traslación y energía de rotación. La rueda de Maxwell consta de un arco de radio R y de un eje cilíndrico concéntrico de radio r (r
Figura 1
de la trayectoria. Por el principio de conservación conservación de energía: energía:
EP( 0 ) EC( 0) EP( 4 ) EC ( 4 ) W fricción (13.1) Si en G0 la rueda rueda parte parte del reposo reposo Mgh0 Mgh4 EC( 4 ) W fricción
(13.2)
Las pérdidas por fricción, Wfricción , se deben a la fricción por desplazamiento (calor perdido por rozamiento) y a la fricción por rodadura (calos producido por la deformación de las superficies en contacto). Si ahora evitamos el deslizamiento (patinaje) podemos suponer que las pérdidas por fricción son insignificantes. El movimiento de rodadura puede ser considerado como un conjunto continuo de rotaciones rotaciones sucesivas con velocidad angular alrededor de un eje de giro móvil que pasa por el punto de contacto entre lo eje cilíndrico y los rieles . Se cumple la relación , donde VG es la velocidad del centro de gravedad, es al velocidad angular alrededor alrededor de Ai y r es la distancia de G a Ai (radio del eje cilíndrico).
Otra manera de visualizar el movimiento movimiento de rodadura, quizás más natural, es considerado como la composición de una traslación de centro de masa G, más una rotación simultánea, con velocidad angular alrededor de G.
Se puede demostrar que (verifíquelo).
Tomando el segundo punto de vista, la energía cinética consta de dos partes:
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donde ECT significa energía cinética de traslación ECR energía cinética de rotación
EC
1 2
MVG2
1 2
I G 2
(1 (13.4 )
donde VG es la velocidad del centro de masa, I G es el momento de inercia respecto al eje de rotación que pasa por G (que en este caso es el de simetría). Pero VG=VA= , entonces:
1 I GV G2 Mgh0 Mgh4 MV . 2 2 2 r 1
2 G
(13.5)
De esta expresión podemos podemos calcular I G si conociéramos V G . Se observará en este experimento que el movimiento de traslación tanto del centro de gravedad como del eje instantáneo de rotación es uniformemente acelerado.
MATERIALES
Un par de rieles paralelos.
Un cronómetro digital.
Un pie de rey.
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Una regla milimetrada. milimetr ada.
Un nivel.
PROCEDIMIENTO 1. Usando el nivel de burbuja, nivele el plano que sirve de soporte de los rieles. 2. Marque en los rieles los puntos separados unos 10 cm entre si. 3. Mida con el pie de rey el diámetro del eje cilíndrico que se apoya sobre los rieles. Tenga en cuenta que el eje ha sufrido desgaste desigual. 4. Fije la inclinación de los rieles de manera que la rueda experimente un movimiento de rodadura pura (sin patinaje). 5. Coloque la rueda en reposo en la posición , suéltela y simultáneamente comience a medir el tiempo (es decir, ); mida los intervalos de tiempo correspondientes a los tramos , respectivamente. Tome tres mediciones para y diez mediciones para . 6. Mida la masa de la volante y la diferencia de las alturas entre las posiciones . 7. Modifique la inclinación de los rieles (teniendo cuidado de evitar el desplazamiento de la rueda) y mida 3 veces y la nueva diferencia de las alturas entre . 8. Mida los radios espesores y longitudes de la rueda de Maxwell y su eje (como para calcular su volumen)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA, ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES 9. Suspenda la rueda de Maxwell de su borde inferior y mida el periodo de su oscilación alrededor de un eje paralelo a su eje de simetría. (Estos datos deben ser guardados para el siguiente experimento).
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA, ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES Tiempo t1(A0 -A1) t2(A0 -A2) t3(A0 - A3) t4(A0 - A4)
Tiempo medidos en el laboratorios promedio 7,99 7,07 6,99 7,35 9,53 10,31 10,46 10,1 11,27 12,74 11,92 11,97 13,79 13,52 14,14 13,81
0 10 20 30 40
0 7,35 10,1 11,97 13,81
0 54,0225 102,01 143,2809 190,9924
GRAFICANDO LOS PUNTOS:
A A ( A A) A A A A
14 12 10 o p m e i T
8 6 4 2 0 0
10
20
30 Distancia
40
50
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:
Para el tramo Datos:
Remplazando los datos:
Para el tramo
Datos:
Remplazando los datos:
Para el tramo
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA, ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES Datos:
Remplazando los datos:
Para el tramo
Datos:
Remplazando los datos:
GRAFICANDO
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tramo (A0 -A1) (A0 -A2) (A0 - A3) (A0 - A4)
10 20 30 40
7.35 10.1 11.97 13.02
54.0225 102.01 143.2809 169.5204
distancia VS tiempo al cuadrado 180 160 o d 140 a r d 120 a u 100 c l a 80 o p 60 m e i t 40 20 0 0
10
20
30
40
50
distancia
Suponiendo que la aceleración de traslación es constante y aplicando la desviación standard propagación de errores, calcular:
a) La aceleración del centro de masa
∑ Datos:
Hallando la aceleración promedio:
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Remplazando los datos:
] [ ] [ ] [ ] [ [ ]
Como la desviación es muy pequeña:
b) La velocidad de traslación, , del centro de masa en posición .
Datos:
y
Como: Remplazando los datos:
c) La velocidad angular de la rueda en el instante
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y Como:
Datos:
d) El momento de inercia de la rueda de Maxwell. Para utilizar la siguiente formula:
Debemos hallar las diferentes alturas: Hallando la altura h 3 0 Por semejanza
40cm 6,1 cm 3
x
9,9 cm h 3
10cm 4 3.8cm
Entonces
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA, ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES Hallando la altura h 2 0
Por semejanza 40cm
6,1 cm
20cm
X 9,9 cm
4
Entonces
3.8cm
Hallando la altura h 1 Por semejanza
0 1
40cm
30cm
6,1 cm
X h1
9,8 cm
4
Entonces
3.8cm
Debemos conocer la masa de la rueda de Maxwell; para ello a la masa total le restaremos la masa del eje.
HALLANDO LA MASA DEL EJE: Datos:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA, ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES Densidad del eje: 7.8 g/
Como:
Necesitaremos hallar el volumen del eje:
Volumen(V1)
V1=bh
b: base V1V1=(
r:radio=0,315cm V = h: altura=14,7cm 1
V1=4.58cm3 Entonces la masa del eje sería:
m= 7.8 g/
m=35.724 Por lo que la masa de la rueda de Maxwell quedaría quedaría 296.83 g También necesitaremos necesitaremos las velocidades en cada uno de los tramos, las cuales la hallaremos conjuntamente con el momento de inercia
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA, ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES Datos: Formulas que se va utilizar:
Como
Para
y
:
Siendo su
,
y
Remplazando los datos:
Para
Siendo su
,
y
Remplazando los datos:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA, ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES Para
Siendo su
,
y
Remplazando los datos:
Para
Siendo su
,
y
Remplazando los datos:
e) ¿Cuáles son las mediciones que introducen mayor error en el cálculo de momento de inercia?
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA, ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES 1. El desnivel de la superficie (mesa) sobre que se trabaja. tr abaja. 2. La medición de los puntos A0,A1,A2,A3 yA4 ya que la regla pose un cierto error. 3. La rueda no realiza rodadura pura ya que debido a la impureza y rugosidad la rueda solo se traslada en ciertos tramos. 4. Al soltar la rueda; no siempre sale con velocidad cero (reposo); sino que al soltar adquiere una cierta velocidad debido al contacto con la mano al soltar. 5. También hay errores en el cálculo de las alturas (h 0,h1,h2,h3yh4). f)
Cómo influye la longitud del recorrido sobre el valor de “I”
TRAMO (A0 -A1) (A0 -A2) (A0 - A3) (A0 - A4)
DISTANCIA(m) 0.1 0.2 0.3 0.4
MOMENTO DE ) INERCIA ( 0.240 0.270 0.280 0.256
En los 3 primeros puntos observados el Momento de Inercia aumenta al aumentar la distancia (A0 – An), pero en le último caso vemos que Momento de Inercia disminuye. Debemos recordar que estos resultados son resultados experimentales por lo que se ven afectados por la incertidumbre y los errores en los cálculos.
g) ¿Cómo influye la inclinación de los rieles rieles sobre el valor de “I”?
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Hallando el ángulo inicial: 0 40cm
6.1 cm
8.77° 9,9 cm
4 39.5 cm
3.8cm
Hallando el ángulo ángulo para la nueva inclinación: 0
40cm 4.5 cm
7.8 cm
4
39.5 cm
3.3 cm
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Hallando Datos:
El tiempo sea el promedio aritmético de los tres tiempos tomados en el laboratorio.
EXPERIMENTO 1 2 3 PROMEDIO Como:
Como:
TIEMPO 13.74 13.28 13.63 13.55
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Por conservación de la energía mecánica:
ÁNGULO 8.77° 6.49°
IG(momento de inercia) 0.256 0.270
Concluimos que a mayor ángulo aumenta el momento de inercia.
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Antes de iniciar el experimento se debe tener presente de que la mesa de trabajo este nivelada. Al iniciar el movimiento, el impulso que se le da a la rueda debe ser mínimo ya que se asume que parte del reposo. Al iniciar el movimiento se debe observar que la rueda de Maxwell solo realiza movimiento de rotación más no de traslación (rotación pura). Para garantizar la rotación y evitar evitar las asperezas del riel se debe pasar con tiza. Se debe evitar tocar el riel o la mesa de trabajo durante el recorrido de la rueda de Maxwell. Solo debe ser uno el alumno que haga iniciar el movimiento de la rueda ya que puede ser que se le de diferentes velocidades iniciales.
De los resultados obtenidos podemos concluir lo siguiente:
El Momento de Inercia por lo general aumenta al aumentar la distancia recorrida por la rueda de Maxwell. El Momento de Inercia por por lo general aumenta al aumentar el ángulo de inclinación del riel. El tiempo varía con el desplazamiento de una forma de tipo cuadrática. La aceleración en le punto es igual al aceleración del centro de masa ya que la desviación estándar de las aceleraciones es despreciable.
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I. Marcelo Alonso, Edward Finn – Física I II.Humberto Leyva Naveros – Física I III.Tipler Mosca – Física I
