Juan Blanco H
INFERENCIA ESTADISTICA Laboratorio # 1
1. En una distribución normal con media 56 y desviación estándar de 21, ¿qué tan grande se debe tomar una muestra para que haya al menos 90% de posibilidades de que su media sea mayor que 52? 2. Al revisar las ventas habidas desde la apertura de un restaurante hace seis meses el dueño encontró que la cuenta promedio por pareja era de $26.000 con una desviación estándar de $5.650. ¿Qué tan grande será una muestra de clientes para que la probabilidad sea al menos 95,44% de que el costo promedio por comida para la muestra se encuentre entre $25.000 y $27.000? 3. En una muestra de 16 observaciones de una distribución normal con una media de 150 y una varianza de 256, cuál es: a) P ( < 160) b) P ( > 142) 4. El precio medio de venta de casas nuevas durante el último año en cierta ciudad americana fue de 116.000 dólares. La desviación estándar de la población fue de 26.000 dólares. Se toma una muestra aleatoria de 100 casas nuevas de esta ciudad. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta sea menor que 115.000 dólares? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta esté entre 112.000 dólares y 119.000 dólares? c) Sin hacer cálculos, razonar en cuál de los siguientes rangos resulta más probable que se encuentre la media muestral de los precios en venta: 113.000 dólares 114.000 dólares 115.000 dólares 116.000 dólares
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115.000 dólares 116.000 dólares 117.000 dólares 118.000 dólares
5. El tiempo que dedican a estudiar los estudiantes de cierto campus en la semana anterior a los parciales sigue una distribución normal con una desviación típica de 8,4 horas. Se toma una muestra aleatoria de estos estudiantes con el fin de estimar el tiempo medio de estudio para esta población de estudiantes. estudiantes. a) ¿Qué tamaño ha de tener la muestra para poder asegurar que la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional en más de dos horas sea menor que 0,05? b) Sin realizar los cálculos, razonar sí se quiere un tamaño muestral mayor o menor que el del apartado a) para poder garantizar que la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional en más de dos horas sea menor que 0,10? 6. El dueño de una tienda de discos ha comprobado que el 18% de los clientes que entran en su tienda realizan alguna compra. Cierta mañana, entraron en esta tienda 180 personas, que pueden ser consideradas como una muestra aleatoria de todos los clientes. -1Juan Blanco H
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a) ¿Cuál será la media de la proporción muestral? b) ¿Cuál la varianza de la proporción muestral? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea menor que 0,15? 7. De acuerdo con los datos del Ministerio de Hacienda, el 15% de las declaraciones de venta, del año pasado darán lugar a una devolución. Se tomo una muestra aleatoria de 100 declaraciones. a) ¿Cuál es la media de la distribución en el muestreo de proporción muestral de declaraciones que darán lugar a una devolución? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea mayor que 0,08? 8. Una corporación está considerando una nueva emisión de bonos convertibles. Sus directores piensan que la oferta resultará atractiva para el 21% de los accionistas actuales. Supongamos que su creencia es acertada, Se toma una muestra aleatoria de 130 accionistas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que esta proporción muestral sea superior a 0,18? b) ¿Cuál es la probabilidad de que está proporción muestral esté entre 0,18 y 0,22? c) Supongamos que se toma ahora una muestra de 500 accionistas. Sin realizar los cálculos, razonar si las probabilidades correspondientes a los apartados a) y b) resultaran en este caso mayores, menores o iguales que las calculadas para la muestra anterior. 9. Se toma una muestra aleatoria de 100 votantes con el fin de estimar la proporción de votantes de Bogotá, que esta a favor de un aumento en la sobretasa sobre la gasolina para contar así con ingreso adicional para reparaciones de la malla vial. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar el error estándar de la proporción muestral de esta medida? 10. Supongamos que el 52% de los colombianos adultos opinan que el nivel actual de déficit del presupuesto nacional puede causar un daño importante a la economía de la nación a largo plazo. ¿Cuál es la probabilidad de que más del 55% de los componentes de una muestra aleatoria de 250 colombianos adultos tengan esta opinión? 11. El incremento porcentual del salario de los educadores de la educación media privada sigue una distribución normal con una media del 12,2% y una desviación típica de 3,6%. Se toma una muestra aleatoria de 81 de estos educadores. ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad de los individuos de la muestra tengan incrementos salariales menores del 10%? 12. Cuando un proceso de producción está funcionando correctamente, la resistencia en ohmios de los componentes que produce sigue una distribución normal con desviación estándar, 3,6. Se toma una muestra aleatoria de cuatro componentes. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea superior a 30? 13. Un fabricante de calzado garantiza que sus zapatos durarán, en promedio, 3 años con una desviación típica de un año. Si 5 de estos pares de zapatos tienen duraciones de 1,9, 2,4, 3,0, 3,5 y 4,2 años, ¿esta el fabricante convencido aún de que sus zapatos tienen una desviación estándar de 1 año?
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14. Un fabricante de latas de sardinas está interesado en que el peso medio de su producto esté próximo al peso anunciado. Además desea que no haya mucha variabilidad en los pesos de las latas de sardinas, ya que de lo contrario, una gran proporción de latas diferirá, sensiblemente el peso anunciado. Asumamos que la distribución poblacional de los pesos es normal. Se toma una muestra aleatoria de veinte latas. Hallar los números K 1 y K 2 que verifican: P (S2 /σ2 < K 1) = 0,05
y
(S2 / σ2 > K 2) = 0,05
15. Se ha comprobado que en cierta población colombiana, las facturas de energía eléctrica durante el mes de Diciembre siguen una distribución normal con una desviación estándar de $10.000. Se toma una muestra aleatoria de 25 facturas. a) Hallar la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea menor a $7.500. b) Hallar la probabilidad de que la desviación típica muestral sea mayor que $15.000 16. Se quiere someter a todos los estudiantes de una Universidad a un test de 100 preguntas de selección múltiple. Inicialmente, en un estudio piloto, se somete a este test a una muestra aleatoria de 20 estudiantes. Supongamos que para la población completa de todos los estudiantes de la Universidad, la distribución del número de respuestas correctas sigue una normal con varianza 250. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea menor que 100? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 500? 17. Se extrae una muestra aleatoria de 15 economistas y se les pregunta sobre su predicción acerca de la tasa de inflación para el próximo año. Supongamos que las predicciones para la población completa de economistas sigue una distribución normal con una desviación estándar de 1,8%. a) 0,01 es la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea mayor que ¿qué número? b) 0,025 es la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea menor que ¿qué número? 18. Si tomamos dos muestras independientes de tamaño n 1 = 6 y n2 = 10 de dos poblaciones normales con la misma varianza poblacional, encuentre el número b tal que. P [S12 / S22 ≤ b] = 0,95 19. Si dos muestras aleatorias independientes de tamaño n 1 = 7 y n2 = 13 se toman una población normal, ¿cuál es la probabilidad de que la varianza de la primera sea al menos tres veces más grande que la segunda? 20. Para una distribución F encuentre: a) f 0,05 con v1 = 7 y v2 = 15. b) f 0,05 con v1 = 15 y v2 = 7. c) f 0,01 con v1 = 24 y v2 = 19. d) f 0,95 con v1 = 19 y v2 = 24. e) f 0,99 con v1 = 28 y v2 = 12.
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21. Una compañía manufacturera asegura que las pilas utilizadas en las mascotas virtuales (Tamagotchi) duran un promedio de 30 horas. Para conservar este promedio se prueban 16 pilas mensualmente. Si el valor calculado de t cae entre -t 0,025 y t 0,025 , la compañía está satisfecha con su afirmación. ¿Qué conclusión sacaría la empresa de una muestra que tiene una media y = 27,5 horas y una desviación estándar S = 5 horas? Suponga que la distribución de las duraciones de las pilas es aproximadamente normal. 22. Encuentre P (-t 0,025 < T < t 0,025). 23. Encuentre K de tal forma que P (K < T < -1,761) = 0,045 para una muestra aleatoria de tamaño 15 seleccionada de una distribución normal. 24. Encuentre: a) P (T < 2,365) cuando v = 7. b) P (T > 1,318) cuando v = 24. c) P (- 1,356 < T < 2,179) cuando v = 12. d) P (T > -2,567) cuando v = 17. e) P (- t 0,005 < T < t 0,01). f) P (T > -t 0,025). g) t 0,025 cuando v = 14. 25. Dada la población uniforme discreta 1/3
x = 2, 4, 6.
p (x) = 0
en cualquier otro caso.
Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 54, seleccionada con reemplazo, de una media muestral mayor que 4,1 pero menor que 4,4. Asuma que las medias se redondean hasta décimas. 26. Se quiere someter a todos los empleados de una gran universidad a un test de 100 preguntas de elección múltiple. Inicialmente, en un estudio piloto, se somete a este test a una muestra aleatoria de 20 trabajadores. Supongamos que, para la población completa de todos los trabajadores de la Universidad, la distribución del número de respuestas correctas sigue una normal con varianza 250. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea menor que 100? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea menor que 500? 27. Las rentabilidades mensuales de cierto tipo de acciones son independientes unas de otras, y siguen una distribución normal con desviación típica 1,7. Se toma una muestra de doce meses a) Hallar la probabilidad de que la desviación típica muestral sea menor que 2,5 b) Hallar la probabilidad de que la desviación típica muestral sea mayor que 1 28. Un agente está considerando seis fondos de inversión diferentes. El número medio de días que tardan en vencer estos fondos es 41 39 35 38 33 38 -4Juan Blanco H
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Se eligen al azar dos de estos fondos a) ¿Cuál es el número de posibles muestras de dos fondos? b) Hacer una lista de todas las posibles muestras c) Hallar la función de probabilidad de la distribución en el muestreo de la media muestral d) Comprobar directamente que la media de la distribución en el muestreo de la media muestral es igual a la media poblacional 29. Cierto año, el 40% de las ventas a domicilio fueron parcialmente financiadas por el vendedor. Se examina una muestra aleatoria de 250 ventas. a) 0,8 es la probabilidad de que la proporción muestral sea mayor que ¿qué cantidad? b) 0,9 es la probabilidad de que la proporción muestral sea menor que ¿qué cantidad? c) 0,7 es la probabilidad de que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional ¿en qué cantidad? 30. Las puntuaciones obtenidas en un examen de ingreso por todos los candidatos a entrar a cierta facultad de Ingeniería sigue una distribución normal con una media de 420 y una desviación típica de 100. Se extrae una muestra aleatoria de 25 puntuaciones. a) Hallar la probabilidad de que la media muestral de las puntuaciones sea mayor que 450 b) Hallar la probabilidad de que la media muestral de las puntuaciones tome un valor que esté entre 400 y 450 c) 0,10 es la probabilidad de que la media muestral de las puntuaciones sea mayor que ¿qué número? d) 0,10 es la probabilidad de que la media muestra de las puntuaciones sea menor que ¿qué número? e) 0,05 es la probabilidad de que la desviación típica muestral de las puntuaciones sea mayor que ¿qué número? f) 0,05 es la probabilidad de que la desviación típica muestral de las puntuaciones sea menor que ¿qué número? g) Si se toma una muestra de 50 exámenes, la probabilidad de que la media muestral de las puntuaciones sea mayor que 450 ¿será mayor, menor o la misma que la obtenida en el apartado? 31. Se tienen dos poblaciones normales e independientes, donde la media de la segunda población es 0,65 menor que la de la primera; si se obtienen muestras de tamaño 100 y 120 y si las respectivas desviaciones típicas poblacionales son 12 y 8, se pide determinar la probabilidad de que, en un par de muestras, la diferencia entre ambas medias muestrales sea superior a 1 en valor absoluto. 32. Se obtiene una muestra aleatoria de 100 elementos de una población normal, que tiene media 50 y desviación estándar 8. Luego se saca otra muestra aleatoria de 400 elementos de una población normal que tiene media 40 y desviación estándar 12. Encontrar la probabilidad de que: a) La media de la primera muestra exceda a la de la segunda en 8 o más. b) Ambas medias difieran, en valor absoluto, en 12 o más.
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33. En un restaurante, el consumo medio por desayuno es de $1.980, con una desviación estándar de $150. En un segundo restaurante las correspondientes cifras son $1.920 y $120. Si se eligen al azar 80 boletas de pago del primer restaurante y una muestra aleatoria de 60 del segundo, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia entre los consumos medios de ambas muestras sea mayor que $100 en valor absoluto? 34. Dos marcas, A y B de tabletas antiácidas efervescentes registran el mismo promedio de disolución en agua, con desviación estándar de 12 segundos para la marca A y 24 segundos para B. Suponiendo que el tiempo de disolución esté normalmente distribuido, ¿cuál es la probabilidad de que, con una muestra de 36 tabletas de cada marca, las tabletas B registren un promedio de tiempo de disolución, cuando menos 5 segundos más rápido que A? 35. Dos fábricas A y B productoras de bombillas afirman que el promedio de duración de ellas es de 1.500 y 1.450 horas, respectivamente, con desviaciones típicas de 90 y 100 horas. Si se compran 100 bombillas de cada fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia en duración entre las dos marcas sea mayor de 40 horas? -336. Dos marcas de bombillas de alumbrado público, A y B tienen una duración promedio de 1.400 y 1.200 horas, respectivamente, y sus varianzas de 40.000 y 10.000 horas. Se extrae una muestra aleatoria de 125 por cada marca. Determine la probabilidad de que: a) La marca A tenga una vida media de por lo menos 160 horas más que B. b) La marca A tenga una vida media de por lo menos 250 horas más que B. 37. Dada la siguiente información acerca de las vidas útiles de dos marcas de pilas de 9 voltios Marca A (horas): media = 51; Desviación típica = 8; Marca B (horas): media = 50; desviación típica = 6. Si se selecciona una muestra aleatoria de 100 pilas de cada marca, ¿cuál es la probabilidad de que la vida útil media de la marca A: a) Sea superior a la de la marca B en 0,6 horas o más. b) Sea inferior a la de la marca B en 0,6 horas o más. 38. Se sabe que los pesos de ciertas bolsitas aromáticas tienen una media de 25 gramos, con desviación típica de 5 gramos. Si se toman dos muestras de 100 bolsitas cada una, ¿cuál es la posibilidad que los resultados de estas muestras difieran en más de 2 gramos? 39. Dos fábricas A y B, producen artículos similares. La producción de A contiene 7% de defectuosos, y la de B contiene, 5%. Si se extrae una muestra aleatoria de 2.000 de cada una de las producciones de las fábricas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos muestras revelen una diferencia en el número de los defectuosos del 1% o más? 40. Se sabe que cierta marca de crema para las manos satisface el 65% del mercado. ¿Cuál es la probabilidad de que dos muestras aleatorias de 200 usuarios cada una, muestre una diferencia mayor del 10% en las proporciones del uso de la crema? 41. Ciertas encuestas a televidentes, revelan que el 25% de los hombres y 33% de las mujeres de clase media, ven la telenovela de las 8 y ½ de la noche (Pedro el escamoso). ¿Cuál es la probabilidad de que en dos muestras aleatorias de 150 hombres y 100 mujeres respectivamente, pertenecientes a dicho estrato social, se encuentre que la proporción de hombres que ha visto el programa sea igual o mayor que la proporción de mujeres? -6Juan Blanco H
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42. Una de las facultades de la Universidad tienen 100 profesores, 60 de los cuales además del título profesional han hecho estudios de postgrado. Se extraen dos muestras, en forma independiente, de tamaño 36 cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos muestras difieran en 8 o más profesores con estudios de postgrado? 43. Se sabe que cierta marca de dentífrico satisface el 65% del mercado. ¿Cuál es la probabilidad de que dos muestras aleatorias de 200 usuarios cada una, revelen una diferencia mayor del 10% en las proporciones del uso del dentífrico? 44. Se sabe que cierto producto satisface el 72% del mercado. Tomamos dos muestras (independientemente) de la misma población, de tamaño 150 cada una. ¿Hallar la probabilidad de que revelen una diferencia: a) Mayor del 6%? b) En la segunda muestra la diferencia sea superior en un 5%? 45. En una agencia de empleo se sabe que por cada 100 personas que lo solicitan, 50, además de ser bachilleres, tienen alguna experiencia sobre el trabajo a desarrollar. Se extraen 2 muestras de la misma población, en forma independiente, de tamaño 36 cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos muestras difieran en 8 o más personas que tengan alguna experiencia sobre el trabajo? 46. En dos fábricas A y B, que producen determinados artículos para hombre; se sabe que el 8 y 12% de la producción es defectuosa. Si se extrae una muestra de 400 artículos de cada lote producido, en cada fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que las dos muestras revelen una diferencia inferior al 3%?
“Se llama experiencia a una cadena de errores”
Jardiel.
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INFERENCIA ESTADISTICA Laboratorio I Respuestas
1. 46 3. a) 0,9938 b) 0,9772 5. a) 68 7. a) 0,15 b) 0,9750 9. 0,05 11. 0 13. Intervalo entre 0,484 y 11,143 con un nivel de confianza del 95%; la desviación estándar si es de 1 año. 15. a) Alrededor de 0,05 b) 0,00001 (Casi cero) 17. a) 2,6 b) 1,14 19. 0,05 21. t = - 2,00 ; afirmación válida 23. K = - 2,97 25. 0,1912 27. a) entre 0,975 y 0,99 b) alrededor de 0,975 29. a) 0,374 b) 0,440 c) 0,032 31. 0,5203 33. 0,0409 35. 0,7703 37. a) 0,6554 b) 0,0548 39. 0,9082 41. 0,0869 43. 0,0358 45. 0,0614
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