I.
Las Las pr prefer eferen enc cias ias reg regul ular ares es Las preferencias regulares satisfacen los siguientes supuestos (además de los 3 axiomas de las preferencias): i.
Monotonicidad. a) Débil b) Fuerte uponemos !ue cuanto más" me#or$ es decir" !ue %ablamos de bienes & no de males. 'l supuesto de la monotonicidad débil !uiere decir !ue una cesta !ue contenga como mnimo la misma cantidad de ambos bienes !ue otra es como mnimo igual de buena !ue la ésta. 'n palabras matemáticas" si
( x
1
, x 2 ) ≧ ( y 1 , y 2 ) ⟹ ( x 1 , x 2 ) ≳ ( y 1 , y 2 ) .
La monotonicidad fuerte !uiere decir !ue una cesta !ue contenga como mnimo la misma cantidad de todos los bienes !ue otra & más de alguno de ellos es estrictamente me#or !ue ésta. 'n otras palabras:
( x x
1
, x 2 ) ≥ ( y 1 , y 2) ⟹ ( x 1 , x 2 ) ≻ ( y 1 , y 2)
Donde
≥ impl implic ica a
¿
& por lo tan tanto
( x
1
, x 2 ) ≻ ( y 1 , y 2) . (o
implica *) 'n el libro de +arian el supuesto de preferencias mon,tonas se re-ere a monotinicidad fuerte. 'ste 'ste supues supuesto to de cuant cuanto o más" más" me#or/ me#or/ proba probable blemen mente te solo solo se cumpla cumpla %asta un determina determinado do punto. 0or lo tanto" tanto" el supuesto de !ue las prefer preferenc encias ias son mon,to mon,tonas nas indica indica !ue solo 1amos 1amos a examinar las situaciones !ue se encuentren antes de alcan2ar el punto de saciedad.
La monotonicidad estricta implica monotonicidad pero si s,lo %a& monotona no %a& monotona estricta. La monotonicidad o monotona fuerte implica !ue las cur1as de indiferencia tienen pendiente negati1a. i partimos de la cesta
( x
1
, x2)
& nos despla2amos en sentido ascendente & %acia la
derec%a" nos despla2amos necesariamente a una posici,n me#or. i nos despla2amos %acia aba#o & %acia la i2!uierda nos despla2amos a una posici,n peor. 0or lo tanto" para despla2arnos a una posici,n indiferente" debemos despla2arnos o bien" %acia la i2!uierda & en sentido ascendente" o bien %acia la derec%a & en sentido descendente$ la cur1a de indiferencia debe tener pendiente negati1a.
continuaci,n más supuestos !ue suelen utili2arse para garanti2ar !ue las funciones de demanda de consumo se comportarán correctamente: ii.
4on1exidad no estricta +amos a suponer !ue se pre-eren los medios a los extremos. 's decir" si tenemos dos cestas de bienes extremos
( y
1
( x
1
, x2 )
&
, y 2 ) en la misma cur1a de indiferencia & tomamos una media
ponderada de las dos cestas:
(
1 1 1 1 x 1+ y 1 , x 2 + y 2 2 2 2 2
)
La cesta media será al menos tan buena como cada una de las dos cestas extremas. 'sta cesta media ponderada contiene la cantidad media del bien 5 & la cantidad media del 6 presente en las 6 cestas. De %ec%o" 1amos a adoptar este supuesto en el caso de cual!uier 1
peso t situado entre 7 & 5 & no s,lo cuando es por lo tanto" !ue si
( x
1
(5)888888
2
. upondremos
, x 2 ) ∼ ( y1 , y 2 )
[t x
1
( 1 −t ) y 1 , t x 2 + ( 1−t ) y 2 ] ≿ ( x 1 , x 2 )
0 ≤t ≤ 1
0ara cual!uier t tal !ue
. '#emplo: 4%ocolates &
man2anas
( 6,2 ) , ( 4,3 ) ,t = 1 , ( 1− t )= 2
Datos:
3
3
La canasta media ponderada sera:
[ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ] [ ] [ ] 1
6
3
2+
+4
8 2
,
3 3
2 3
,2
1 3
+3
2 3
+2
6+ 8 2+ 6
,
3
3
14 8 3
,
3
'ntonces:
( ) ( ) 14 8 3
,
3
14 8 3
,
3
≿ ( 6,2 )
≿ ( 4,3 )
otar !ue en (5)" la media ponderada de las dos cestas asigna un peso t a la cesta x & un peso 59 t a la cesta &. 0or consiguiente" la distancia !ue %a& entre la cesta x & la cesta media es una proporci,n t de la distancia !ue %a& entre la cesta y & la x" a lo largo de la recta !ue une las 6 cestas. ;ué signi-ca este supuesto sobre las preferencias desde el punto de 1ista geométrico< igni-ca !ue el con#unto de cestas
( x
preferidas débilmente a la suponemos !ue
( y
1
, y 2 ) &
1
, x 2 ) es un con#unto con1exo" pues
( x
1
, x 2 ) son cestas indiferentes. i se
pre-eren las medias a los extremos" todas las medias ponderadas
( x
de
( y
1
1
, x2)
&
( y
1
, y2)
se pre-eren débilmente a
( x
1
, x2)
&
, y 2 ) . =n con#unto con1exo tiene la propiedad de !ue si se
toman dos puntos cuales!uiera del con#unto & se tra2a el segmento !ue los une" este segmento pertenece en su totalidad al con#unto.
Las preferencias con1exas son a!uellas indiferencia tienen segmentos rectilneos. iii.
cu&as
cur1as
de
4on1exidad estricta igni-ca !ue la media ponderada de dos cestas indiferentes se pre-ere estrictamente a las dos cestas extremas. 'n términos matemáticos: t x 1 ( 1 −t ) y 1 , t x 2 + ( 1−t ) y 2 ≻ ( x 1 , x 2 )
[
]
Las preferencias estrictamente con1exas deben tener cur1as de indiferencia !ue sean cur1ilneas. '#emplo: ea 1
2
t = , ( 1−t )= , ( 6,2 ) , ( 4,3 ) . 'ntonces: 3 3
( ) ( )
14 8 , ≻ ( 6,2 ) 3 3 14 8 3
,
3
≻ ( 4,3 )
La convexidad estricta implica convexidad pero no al revés. +amos a 1eri-car !ué cur1as de indiferencia satisfacen: monotona" monotona estricta" con1exidad & con1exidad estricta. 's decir" !ué preferencias son regulares (!ue satisfacen monotona estricta & con1exidad).
4umple con monotona estricta & con1exidad estricta. ∴
Las preferencias son
regulares
ota: antes de explicar" se>alar cuál es el con#unto débilmente preferido.
4umple con monotona estricta & con1exidad" mas no %a& con1exidad estricta. ∴
Las preferencias son
regulares
4umple s,lo con monotona & con1exidad" ninguna de las 6 en forma estricta. ∴
Las preferencias no
son regulares
o %a& monotonicidad estricta" existe monotona por!ue existe preferencia débil. ?a& preferencia débil cuando %a& indiferencia. i1.
0referencias c,nca1as on a!uellas en la !ue al indi1iduo no le gusta consumir los bienes #untos. (pre-ere los extremos !ue combinar los bienes)
4umple con monotonicidad estricta (todas las cur1as de indiferencia !ue tengan pendiente negati1a cumplen monotona estricta). o existe con1exidad ni con1exidad estricta ∴
Las preferencias no
son regulares II.
0referencias no con1exas
?a& monotona estricta pero no %a& con1exidad estricta ni con1exidad ∴
Las preferencias no
son regulares
@A: 4on s,lo encontrar un punto !ue satisfaga la monotonicidad fuerte" entonces se dice !ue las preferencias son regulares. 0ara los bienes neutrales:
atisface monotonicidad & con1exidad" pero no con1exidad estricta ni monotona estricta. ∴
Las preferencias no
son regulares
0ara los males:
?a& con1exidad pero no %a& monotona estricta ni monotona. o %a& con1exidad estricta s,lo con1exidad. ∴
Las preferencias no
son regulares
Aarea:
o %a& monotona estricta pero s monotona. o %a& con1exidad estricta pero si con1exidad. ∴
Las preferencias no
son regulares
Las preferencias con1exas implican bienes !ue se consumen #untos. III.
Belaci,n marginal de sustituci,n La pendiente de las cur1as de indiferencia en un determinado punto se llama la BM. La BM mide la relaci,n en !ue el consumidor está dispuesto a sustituir un bien por otro. La pendiente de la cur1a de indiferencia se expresa de la siguiente Δ x 2
forma:
Δ x 1 .
os indica la cantidad del bien 6 !ue se está dispuesto a renunciar por unidad adicional del bien 5" & de esta forma seguir disfrutando del mismo bienestar !ue antes. ('s decir" permanecer indiferente). uponemos !ue la pendiente de la cur1a de indiferencia se puede aproximar de la siguiente forma: d x2 Δ x 2 d x1
=
lim
Δ → 0
( ) Δ x 1
CLa pendiente de una cur1a en un punto es su deri1ada Δ x 2 's decir" cuando se escriba el cociente Δ x " siempre supondremos 1
!ue tanto el numerador como el denominador son cifras pe!ue>as" !ue representan 1ariaciones marginales con respecto a la cesta de consumo inicial. 0or lo tanto" el cociente !ue de-ne la BM siempre describirá la pendiente de la cur1a de indiferencia" es decir" la relaci,n en la !ue el
consumidor está dispuesta a sacri-car una pe!ue>a cantidad del bien 5 a cambio de un pe!ue>o aumento del consumo del bien 6. 0ara !ue !uede más claro" 1amos a distinguir 6 conceptos diferentes: 5) Belaci,n de sustituci,n (B) 6) Belaci,n marginal de sustituci,n (BM) La relaci,n de sustituci,n es la pendiente de la cur1a de indiferencia en un inter1alo. La BM es la pendiente de la cur1a de indiferencia en un determinado punto.
Belaci,n de sustituci,n del bien 6 por el bien 5: =nidades de x 2 al !ue se está dispuesto a renunciar por 5 unidad adicional de x 1
La BM también representa la
máxima cantidad del bien !ue esto& dispuesto a renunciar por unidad adicional de x 1 .
BM: Δ x 2 Δ x 1 4uando
Δ x 1 → 0
=nidades de x 2 al !ue se está dispuesto a renunciar por 5 unidad adicional de x 1
osotros siempre nos referimos a la BM & no a la B. 'n la -gura se muestra como calcular la BM. +eamos nue1amente el e#emplo de 'lisa. uponga !ue 'lisa consume %amburguesas & 6 pelculas en el punto c. u BM se calcula midiendo la magnitud de la pendiente de la cur1a de indiferencia en el punto c. 0ara medir esta magnitud" colo!ue una lnea recta !ue sea tangente a la cur1a de indiferencia en el punto c.
lo largo de la lnea" a medida !ue el consumidor de %amburguesas disminu&e en 57 unidades" el consumo de pelculas aumenta en E. 0or lo tanto" en el punto c" 'lisa está dispuesta a renunciar al consumo de 6 %amburguesas por unidad adicional de pelculas. 's decir" su BM es 6. (De otra forma" 'lisa está dispuesta a renunciar a una pelcula por 6 %amburguesas adicionales) Aenemos !ue:
2 p1 + 6 p 2= 30
'ntonces: x 2=
6=
=
2
m p1 x 1 − p2 p2
30
−
2 p 1
p2 30
p 2
p 2
−
4 p 1
p2
Besol1iendo el sistema: 4 p 1 + 2 p 2=30
−(2 p +6 p =30) 1
2
4 p 1 + 2 p 2=30
−2 p −6 p =−30 1
2
2 p1 −4 p 2 =0
De donde se obtiene: 2 p1
=4 p
2
p1=2 p 2
demás
&
4 p 1 + 2 p 2=30
(
4 2 p2
8 p 2
) + 2 p =30 2
+ 2 p = 30 2
10 p 2=30
Finalmente: p2=3
&
p1=6
m m =10, =5 p2 p1
uponga a%ora !ue 'lisa consume pelculas & una %amburguesa & media en el punto g. u BM se mide a%ora mediante la pendiente de la cur1a de indiferencia en el punto g. 'sa pendiente es la misma !ue la pendiente de la tangente a la cur1a de indiferencia en el punto g. !u" a medida !ue el consumo de %amburguesas disminu&e en .E unidades" el consumo de pelculas aumenta en G. 0or lo tanto" en el punto g" 'lisa está dispuesta a renunciar a media %amburguesa para incrementar su consumo de pelculas en una unidad adicional.
'n este e#emplo" nuestra cur1a de indiferencia es con1exa al origen. 4uando las cur1as de indiferencia son con1exas en sentido estricto" la BM (la pendiente de la cur1a) disminu&e cuando aumenta el consumo
del bien 5 (a medida !ue nos mo1emos a la derec%a & descendemos sobre la cur1a). medida !ue aumenta el consumo de pelculas de 'lisa & disminu&e su consumo de %amburguesas" su BM disminu&e" De una BM de 6 a una BM de H. 'n el caso de las preferencias estrictamente mon,tonas" las cur1as de indiferencia tienen pendiente negati1a. 0or lo tanto" la BM siempre implica reducir el consumo de un bien para conseguir una ma&or cantidad del otro bien. 'n realidad" la BM es el 1alor absoluto de la pendiente de las cur1as de indiferencia. Las preferencias !ue son estrictamente mon,tonas & con1exas estrictas" tienen una BM negati1a & decreciente en 1alor absoluto. ('#emplo" la cur1a de una funci,n 4obb9Douglas)
Las cur1as de indiferencia de los sustitutos perfectos se caracteri2an por el %ec%o de !ue la BM es constante. ('s la misma en todos los puntos)
La BM de las cur1as de indiferencia de bienes complementarios perfectos no existe" pues no existe la deri1ada en el 1értice. 's decir" tampoco nos interesa la BM de cur1as de indiferencia con pendientes positi1a (males). La pendiente de la cur1a de indiferencia tiene otra interpretaci,n" mide: la disposici,n marginal a pagar.
i el bien 6 representa el consumo de todos los demás bienes & se mide en pesos o en cantidad de pesos !ue podemos gastar en ellos" la BM del buen 6 por el bien 5 es la cantidad de pesos !ue estamos dispuestos a reducir del gasto en todos los demás bienes para consumir una unidad adicional del bien 5. 0or lo tanto" mide la disposici,n marginal a parar para consumir una unidad adicional del bien 5. Nota: Disposici,n marginal a pagar es diferente a lo !ue tengamos !ue pagar realmente" con una cantidad dada de consumo adicional. Lo !ue tengamos !ue pagar dependerá del precio del bien en cuesti,n & lo !ue estemos dispuestos a pagar no dependerá del precio sino de las preferencias.
