Latihan soal induksi matematika Contoh 1 :
Buktikan bahwa : 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1) untuk setiap n bilangan integer positif Jawab :
q Basis : Untuk n = 1 akan iperoleh : 1 = ½ 1 ! (1+1) "#1 = 1 q $nuksi : %isalkan untuk n = k asu%sikan 1 + 2 + 3 + …+ k = ½ k (k+1) q aib! Untuk n = k+1 berlaku 1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = ½ (k+1) (k+2) &awab : q 1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = (k+1) (k+2) ' 2 1 + 2 + 3 + …+ k + (k+1) = (k+1) (k+2) ' 2 k (k+1) ' 2 + (k+1) = (k+1) (k+2) ' 2 (k+1) k'2 +1 = (k+1) (k+2) ' 2 (k+1) ½ (k+2) = (k+1) (k+2) ' 2 (k+1) (k+2) ' 2 = (k+1) (k+2) ' 2 q *esi%pulan : 1 + 2 + 3 + …+ n = ½ n (n +1) Untuk setiap bilanga bulat positif n Contoh 2 :
Buktikan bahwa : 1 + 3 + + … + n = (2n , 1) = n2 untuk setiap n bilangan bulat positif Jawab :
q Basis : Untuk n = 1 akan iperoleh : 1 = 12 "# 1 = 1 q $nuksi : %isalkan untuk n = k asu%sikan 1 + 3 + + …+ (2k , 1) = k2 q aib! Untuk n = k + 1 berlaku 1 + 3 + + …+ (2 (k + 1) , 1) = (k + 1)2 1 + 3 + + …+ (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + + …+ ((2k + 1) , 2) + (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + + …+ (2k , 1) + (2k + 1 ) = (k + 1)2 k 2 + (2* + 1) = (k + 1)2 k 2 + 2* + 1 = k 2 + 2* + 1 *esi%pulan : 1 + 3 + + … + n = (2n , 1) = n2 Untuk setiap bilangan bulat positif n Contoh 3 :
Buktikan bahwa : - 3 + 2n aalah kelipatan 3 untuk setiap n bilangan bulat positif Jawab :
q Basis : Untuk n = 1 akan iperoleh : 1 = 13 + 2(1) "# 1 = 3 . kelipatan 3 q $nuksi : %isalkan untuk n = k asu%sikan k 3 + 2k = 3/ q aib! Untuk n = k + 1 berlaku (k + 1)3 + 2(k + 1) aalah kelipatan 3 (k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2 (k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3)
(k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1) $nuksi 3/ + 3 (k 2 + k + 1) 3 (/ + k 2 + k + 1) *esi%pulan : - 3 + 2n aalah kelipatan 3 Untuk setiap bilangan bulat positif n
Induksi Mat Matem emat atik ika a Induksi matematika (mathematical (mathematical induction) induction) adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli. Akan tetapi sebelum membahas mengenai induksi matematika, kita akan membahas suatu prinsip yang digunakan untuk membuktikan induksi matematika, yaitu prinsip terurut rapi (well-ordering (well-ordering principle) principle) dari bilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalah himpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, … yang dapat dituliskan sebagai berikut.
Setelah mengingat mengenai himpunan bilangan asli, sekarang perhatikan prinsip terurut rapi dari bilangan asli berikut. Prinsip Terurut Terurut Rapi Bilangan Asli Setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari N memiliki anggota terkecil. Secara lebih ormal, prinsip tersebut menyatakan bah!a untuk setiap himpunan tidak kosong V yang yang merupakan himpunan bagian dari N dari N , maka ada v" anggota # sedemikian sehingga v" $ v untuk setiap v anggota V . %erdasarkan prinsip terurut rapi di atas, kita akan menurunkan prinsip induksi matematika yang dinyatakan dalam bentuk himpunan bagian N . Prinsip Induksi Induksi Matematika Misalkan S adalah himpunan himpunan bagian N yang yang memiliki 2 sifat: !" S memiliki anggota bilangan !# dan 2" $ntuk setiap k anggota N% &ika k anggota S% maka k ' ! anggota S. Maka diperoleh S ( N. Sebelum membuktikan prinsip induksi matematika di atas secara ormal, kita akan mencoba memahaminya dengan menggunakan eek domino seperti berikut.
&ada gambar (a) di atas kita melihat sebaris ' domino pertama yang ditata rapi dengan arak antara masingmasing domino yang berdekatan kurang dari tinggi domino. Sehingga, ika kita mendorong domino nomor k ke ke kanan, maka domino tersebut akan merebahkan domino nomor (k (k * * 1). &roses ini ditunukkan oleh gambar (b). +ita tentu akan berpikir bah!a apabila proses ini berlanut, maka domino nomor (k ( k * * 1) tersebut uga akan merebahkan domino di sebelah kanannya, yaitu domino nomor ( k * * 2), dan seterusnya. %agian (c) menggambarkan bah!a dorongan terhadap domino pertama merupakan analogi dari bilangan 1 menadi anggota himpunan S . al ini merupakan langkah dasar dari proses eek domino. Selanutnya, ika k anggota anggota S akan akan menyebabkan (k ( k * * 1) anggota S , akan memberikan langkah indukti dan melanutkan proses perebahan domino. Sehingga, pada akhirnya kita akan melihat bah!a semua domino akan rebah. Atau dengan kata lain, domino yang memiliki nomor urut semua bilangan asli akan rebah. al ini merupakan analogi dari S - N - N . %agaimana dengan bukti ormal dari prinsip induksi matematika Bukti Andaikan S / N / N . 0aka himpunan N himpunan N S bukan bukan merupakan himpunan kosong, sehingga berdasarkan prinsip terurut rapi, himpunan tersebut memiliki anggota terkecilm terkecilm. +arena 1 anggota S (berdasarkan hipotesis 1), maka m 1. etapi hal ini akan mengakibatkan bah!a m 1 uga merupakan bilangan asli. +arena m 1 4 m dan madalah anggota terkecil dari 5 S, maka m 1 anggota S. Sekarang kita akan menggunakan hipotesis 2 bah!a k - m 1 merupakan anggota S, maka k * * 1 - (m ( m 1) * 1 - m uga anggota S. Akan tetapi pernyataan ini akan kontradiksi bah!a m bukan anggota S. Sehingga 5 S adalah himpunan kosong atau dengan kata lain 5 - S. Selain diormulasikan seperti di atas, &rinsip Induksi 0atematika uga dapat dinyatakan sebagai berikut.
6ntuk setiap n anggota 5, misalkan ) misalkan ) (n) merupakan suatu pernyataan tentang n. Apabila7 1. ) (1) (1) benar. 2. 6ntuk setiap k anggota anggota 5, ika ) ika ) (k ) benar, maka ) maka ) (k * * 1) benar. 0aka ) 0aka ) (n) benar untuk setiap n anggota 5. ubungan &rinsip Induksi 0atematika tersebut dengan sebelumnya adalah dengan memisalkan S - 8n 8n anggota N anggota N 9 ) 9 ) (n) adalah benar:. Sehingga kondisi 1 dan 2 pada &rinsip Induksi 0atematika di a!al secara berturutturut berkorespondensi dengan kondisi 1 dan 2 pada &rinsip Induksi 0atematika terakhir. Selain itu, kesimpulan S - N - N uga uga berkorespondensi dengan kesimpulan ) kesimpulan ) (n) benar untuk setiap n anggota 5. Asumsi bah!a ;ika ) ;ika ) (k ) benar< dinamakan hipotesis induksi. 6ntuk membangun hipostesis 2, kita tidak perlu menghiraukan kebenaran dari ) dari ) (k ), ), tetapi yang perlu kita hiraukan adalah =aliditas dari ;ika ) ;ika ) (k ), ), maka ) maka ) (k * * 1)<. 0isalkan, ika kita akan mengui pernyataan ) pernyataan ) (n)7 ;n - n * ><, maka secara logis kondisi (2) adalah benar, dengan menambahkan 1 pada kedua sisi ) sisi ) (k ) untuk mendapatkan ) mendapatkan ) (k * * !). Akan tetapi, karena pernyataan &(1)7 ;1 - ?< adalah salah, kita tidak dapat menggunakan Induksi 0atematika untuk menyimpulkan bah!a n - n * > untuk setiap n anggota 5. &ada beberapa kasus, kadang ) kadang ) (n) bernilai salah untuk beberapa bilangan asli tertentu tetapi bernilai benar untuk n @ n". &rinsip Induksi 0atematika dapat dimodiikasi untuk mengatasi kasus seperti itu. Prinsip Induksi Induksi Matematika (versi (versi kedua) Misalkan n* anggota N dan misalkan )n" merupakan pernyataan untuk s etiap bilangan asli n + n*. ,pabila: !" )ernyataan )n " benar# * 2" $ntuk setiap k + n %* &ika )k" benar mengakibatkan )k )k ' !" benar. Maka )n" benar untuk semua n + n *. %erikut ini adalah beberapa contoh yang menunukkan bagaimana Induksi 0atematika dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan tentang bilangan asli. Contoh 1: Pengubinan dengan Tromino iberikan suatu papan catur 2 n B 2n (n (n "), dengan salah satu persegi di bagian pook dihilangkan, buktikan bah!a papan catur tersebut ters ebut dapat ditutup sempurna dengan tromino. (romino adalah gambar yang terdiri dari 3 persegi yang sisinya saling bersinggungan, tetapi 3 persegi tersebut tidak dalam satu barisan yang beraar) Bukti &ernyataan tersebut benar untuk n - 1 karena secara elas papan catur 21 B 21 yang salah satu persegi bagian pook dihilangkan memiliki bentuk yang sama dengan tromino. Andaikan pernyataan tersebut benar untuk k anggota N anggota N . iberikan papan catur dengan ukuran k * * 1 k * * 1 2 B 2 yang salah satu persegi di bagian pook dihilangkan. %agilah papan catur tersebut menadi ' papan catur 2 k B 2k A, %, C, dan , dengan satu di antaranya, yaitu A, memiliki bagian yang salah satu persegi di pook hilang. hilang. empatkan 1 tromino, , di tengahtengah tengahtengah k * * 1 k * * 1 papan catur 2 B 2 sedemikian sehingga persegipersegi tromino tersebut berada di bagian %, C, dan . +emudian gunakan kasus n - k untuk untuk menutup bagian A, % , C , dan dengan tromino. &roses tersebut akan menutup papan catur 2 k * * 1 B 2k * * 1 tepat sempurna dengan trominotromino. (Dambar di ba!ah ini mengilustrasikan untuk kasus n - 3).
Contoh 2: Jumlah n Bilangan Asli Pertama %uktikan untuk setiap n anggota N anggota N , umlah dari n bilangan asli pertama diberikan oleh rumus,
Bukti +ita akan mencoba membuktikan pernyataan di atas dengan &rinsip Induksi 0atematika yang dibahas di a!al. 0isalkan S adalah adalah himpunan yang memuat n anggota N anggota N sedemikian sedemikian sehingga rumus di atas bernilai benar. +ita harus mengui apakah kondisi (1) dan (2) pada &rinsip Induksi 0atematika terpenuhi. Eika n - 1, maka 1 1F2 G 1 G (1 * 1) sehingga 1 anggota S , dan (1) terpenuhi. Selanutnya, andaikan k anggota anggota S maka maka kita akan menunukkan k * * 1 uga akan menadi anggota S . Eika k angota angota S , maka
Eika kita menambahkan k * * 1 pada persamaan di atas, maka akan diperoleh
+arena persamaan di atas merupakan pernyataan untuk n - k * * 1, maka kita menyimpulkan bah!a k * * 1 anggota S . Sehingga, kondisi (2) terpenuhi. Sebagai hasilnya, menurut &rinsi Induksi 0atematika kita memperoleh bah!a S - N - N , atau dengan kata lain persamaan tersebut berlaku untuk semua bilangan asli. http://yos3prens.wordpress.com/2013/10/06/induksi-matematika/
ali ini Zuwail Zuwaily y akan mencoba menjelaskan menjelaskan menenai !nduksi "atematika# "atematika# kebetulan materi ini Zuwaily sedan pelajari di tempat kuliah. $emoa berman%aat ya... &&
'pa itu !nduksi "atematika( !nduksi "atematika adalah suatu metode pembuktian yan absah dalam metode "atematika.
)ankah-lankah !nduksi "atematika adalah sebaai berikut: 1. p*n p*n++ , 1 adala adalah h benar benar --- --- *ba *basis sis+. +. 2. "isa "isalkan# lkan# kita asumsi asumsikan kan p*n+ p*n+ adalah adalah benar benar --- --- *induk *indukti%+. ti%+. 3. p *n 1 1+# +# jua jua ha haru rus s benar benar..
ontoh 1 "isalkan:
ontoh 2 erhatikan tabel berikut ini ilanan enap
enjumlahan ilanan
4asi 5erkaa
ke-n
enap
l
n
1
2
2
12
2
27
6
23
3
276
12
37
7
2768
20
79
...
...
...
...
n
2 7 6 8 ... 2n
...
n*n 1+
$ehina didapat: 2 7 6 8 ... 2n , n*n 1+
"aka !nduksi "atematikanya: 1. *1+ , n*n1+ , 1 *1 1+ ,1.2 , 2 --- enar 2. *n+ , n*n 1+ "isalkan n , 3 *3+ , 3 *3 1+ ,3.7 , 12 --- enar 3. ntuk *n 1+ 2 7 6 8 ... 2n , n*n 1+ "aka: 2 7 6 8 ... 2n 2n , *n 1+ **n 1+ 1+ , *n 1+ *n 2+ $ehina *unakan si%at-si%at bilanan+: 2 7 6 8 ... 2n 2n , *2 7 6 8 ... 2n+ 2n , n*n 1+ 2*n 1+ , *n 1+ *n 2+ 5erbukti 'ntara ruas kanan dan ruas kiri sama.
http://;uwaily.blospot.com/2013/03/contoh-soal-induksi-matematika.html<.u9a1=!>3-o