REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA UNIVERSITARIA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DEL ESTADO PORTUGUESA JUAN DE JESÚS MONTILLA
Informe de investigación UNIDAD 1: Lenguaje
Leonardo Jesús Meléndez Sulbaran C.I.V-18.671.986 Sección: 132
Acarigua, 22 de julio de 2014
Contenido Introducción .......................................................................................................................................4 Elementos del lenguaje ......................................................................................................................5 Axioma ...........................................................................................................................................5 Postulado .......................................................................................................................................5 Definición .......................................................................................................................................5 Proposición ....................................................................................................................................5 Escolio ............................................................................................................................................5 Lema...............................................................................................................................................5 Teorema .........................................................................................................................................5 Corolario ........................................................................................................................................5 Tipos de lenguaje ...............................................................................................................................5 Lenguaje Natural: ...........................................................................................................................5 Lenguaje Artificial:..........................................................................................................................5 Mención y usos de los signos .............................................................................................................6 Genéricos .......................................................................................................................................6 Aritmética y álgebra .......................................................................................................................6 Lógica proposicional.......................................................................................................................7 Lógica de predicados......................................................................................................................8 Teoría de conjuntos........................................................................................................................9 Funciones .....................................................................................................................................10 Números.......................................................................................................................................10 Órdenes parciales.........................................................................................................................11 Geometría euclídea ......................................................................................................................12 Combinatoria ...............................................................................................................................12 Análisis funcional..........................................................................................................................12 Cálculo..........................................................................................................................................12 Ortogonalidad ..............................................................................................................................13 Álgebra matricial ..........................................................................................................................13 Teoría de rejas..............................................................................................................................14 Función del lenguaje ........................................................................................................................14 Proposiciones ...................................................................................................................................14 Lenguaje objeto y metalenguaje ......................................................................................................15
Objeto de la lógica ...........................................................................................................................15 Designado y denotado de un signo ..................................................................................................15 Designado: ...................................................................................................................................15 Bibliografía .......................................................................................................................................17
Introducción La enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que roza lo misterioso, y no hay explicación para ello. No es en absoluto natural que existan “leyes de la naturaleza”, y mucho menos que el hombre sea capaz de descubrirlas. El milagro de lo apropiado que resulta el lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que no comprendemos ni nos merecemos. Eugene Wigner (premio Nobel en 1963) Para aprender Matemáticas hace falta conocer su idioma, sus palabras clave, los objetos que se utilizan y las herramientas necesarias para manejar esos objetos.
Elementos del lenguaje Axioma Enunciado o fórmula que se admite sin demostrar.
Postulado Supuesto que se establece para fundar una demostración, una teoría o un cuerpo de doctrina.
Definición Declaración del significado de un término o signo, es decir, del uso que de él se va a hacer.
Proposición Enunciado de una verdad demostrada, o que se trata de demostrar.
Escolio Proposición aclaratoria.
Lema Proposición que es preciso demostrar antes de establecer un teorema.
Teorema Proposición que afirma una verdad demostrable. Consta de tres partes: hipótesis (lo que se supone), tesis (lo que se va a demostrar) y demostración (la prueba de la tesis).
Corolario Proposición que se deduce por sí sola del demostrado anteriormente. En otros términos los elementos del lenguaje también pueden ser los siguientes: Símbolos matemáticos, Frase matemática, Objetos matemáticos, Números, Letras, Números y Letras.
Tipos de lenguaje Lenguaje Natural: Es la lengua o idioma hablado o escrito por humanos para propósitos generales de comunicación. Son aquellas lenguas que han sido generadas espontáneamente en un grupo de hablantes con propósito de comunicarse, a diferencia de otras lenguas, como puedan ser una lengua construida, los lenguajes de programación o los lenguajes formales usados en el estudio de la lógica formal, especialmente la lógica matemática.
Lenguaje Artificial: Es un idioma que ha sido total o parcialmente construido, planeado o diseñado por seres humanos a partir del estudio de las lenguas naturales. Los lenguajes de programación y los lenguajes matemáticos son lenguajes formales y no son considerados ideolenguas porque no son idiomas. Tampoco se considera ideolengua a la evolución histórica, y por lo tanto no planeada conscientemente, de cualquier lengua natural.
Mención y usos de los signos Genéricos Símbolo
Nombre
igualdad
se lee como
Categoría
igual a
todos
x = y significa: x e y son nombres diferentes que hacen referencia a un mismo objeto o
ente. 1+2=6−3 definición
se define como
todos
x := y o x ≡ y significa: x se define como otro nombre para y (notar, sin embargo, que ≡
puede también significar otras cosas, como congruencia) P :⇔ Q significa: P se define como lógicamente equivalente a Q cosh x := (1/2)(exp x + exp (− x )); A XOR B :⇔ ( A
B)
¬( A
B)
Aritmética y álgebra Símbolo
Nombre
adición
se lee como
Más
Categoría
aritmética y álgebra
4 + 6 = 10 significa que si a cuatro se le agrega 6, la suma, o resultado, es 10. 43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9 sustracción
menos
aritmética
9 − 4 = 5 significa que si 4 es restado de 9, el resultado será 5. El símbolo 'menos' también se utiliza para denotar que un número es negativo. Por ejemplo, 5 + (−3) = 2
significa que si 'cinco' y 'menos tres' son sumados, el resultado es 'dos'. 87 − 36 = 51
multiplicación
Por
aritmética
7 × 6 = 42 significa que si se cuenta siete veces seis, el resultado será 42. 4 × 6 = 24 ó 4 * 6 = 24 ó 4 · 6 = 24 división
entre, dividido por
aritmética
significa que si se hace seis pedazos uniformes de cuarenta y dos, cada pedazo será de tamaño siete.
Sumatoria
suma sobre ... desde ... hasta ... de
aritmética
∑k =1n ak significa: a1 + a2 + ... + an ∑k =14 k ² = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
productorio
producto sobre... desde ... hasta ... de aritmética
∏k =1n ak significa: a1a2···an ∏k =14 (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360
Lógica proposicional Símbolo
Nombre
implicación material o en un solo sentido
se lee como
implica; si .. entonces; por lo tanto
Categoría
lógica proposicional
A ⇒ B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero también; si B es verdadero entonces nada se dice sobre A.
→ puede significar lo mismo que ⇒, o puede ser usado para denotar funciones, como
se indica más abajo. x = 2 ⇒ x ² = 4 es verdadera, pero 4 = x ² ⇒ x = 2 es, en general, falso (ya que x podría
ser −2)
doble implicación
si y sólo si; sii, syss
lógica proposicional
A ⇔ B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa si B es falsa. x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 = y
conjunción lógica o intersección y en una reja
lógica proposicional, teoría de rejas
la proposición A ∧ B es verdadera si A y B son ambas verdaderas; de otra manera es falsa. n < 4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3 cuando n es un número natural
disyunción lógica o unión en una o, ó reja
lógica proposicional, teoría de rejas
la proposición A ∨ B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si ambas son falsas, la proposición es falsa. n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 cuando n es un número natural
negación lógica
no
lógica proposicional
la proposición ¬ A es verdadera si y sólo si A es falsa. una barra colocada sobre otro operador es equivalente a un ¬ colocado a la izquierda. ¬( A ∧ B) ⇔ ( A) ∨ ( B); x ∉ S ¬
¬
⇔
( x ∈ S)
¬
Lógica de predicados Símbolo
Nombre
cuantificador universal
se lee como
para todos; para cualquier; para cada
Categoría
lógica de predicados
∀ x : P( x ) significa: P( x ) es verdadera para cualquier x ∀ n ∈ N: n² ≥ n
cuantificador existencial
existe por lo menos un/os
lógica de predicados
∃ x : P( x ) significa: existe por lo menos un x tal que P( x ) es verdadera. ∃ n ∈ N: n + 5 = 2n
cuantificador existencial con marca de existe un/os único/s unicidad
lógica de predicados
∃! x : P( x ) significa: existe un único x tal que P( x ) es verdadera. ∃! n ∈ N: n + 1 = 2
reluz
tal que
∃ x : P( x ) significa: existe por lo menos un x tal que P( x ) es verdadera. ∃ n ∈ N: n + 5 = 2n
lógica de predicados
Teoría de conjuntos Símbolo
Nombre
delimitadores de conjunto
se lee como
el conjunto de ...
Categoría
teoría de conjuntos
{a,b,c} significa: el conjunto consistente de a, b, y c N = {0,1,2,...}
notación constructora de conjuntos
el conjunto de los elementos ... tales que teoría de ... conjuntos
{ x : P( x )} significa: el conjunto de todos los x para los cuales P( x ) es verdadera. { x | P( x )} es lo mismo que { x : P( x )}. {n ∈ N : n² < 20} = {0,1,2,3,4} conjunto vacío
conjunto vacío
teoría de conjuntos
{} significa: el conjunto que no tiene elementos; ∅ es la misma cosa. {n ∈ N : 1 < n² < 4} = {} pertenencia de conjuntos
en; está en; es elemento de; es miembro teoría de de; pertenece a conjuntos
a ∈ S significa: a es elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es elemento del
conjunto S (1/2)−1 ∈ N; 2−1 ∉ N subconjunto
es subconjunto de
teoría de conjuntos
A ⊆ B significa: cada elemento de A es también elemento de B A ⊂ B significa: A ⊆ B pero A ≠ B A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R
unión de conjuntos
la unión de ... y ...; unión
teoría de conjuntos
A ∪ B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y también todos
aquellos de B, pero ningún otro. A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B
intersección de conjuntos
teoría de conjuntos
la intersección de ... y ...; intersección
A ∩ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos que A y B tienen en
común. { x ∈ R : x ² = 1} ∩ N = {1} complemento de un conjunto
teoría de conjuntos
menos; sin
A \ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos de A que no se
encuentran en B {1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}
Funciones Símbolo
Nombre
se lee como
aplicación de función; agrupamiento
de
Categoría
funciones
para aplicación de función: f ( x ) significa: el valor de la función f sobre el elemento x para agrupamiento: realizar primero las operaciones dentro del paréntesis. Si f ( x ) := x ², entonces f (3) = 3² = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, pero 8/(4/2) = 8/2 = 4 mapeo funcional
de ... a
funciones
: X → Y significa: la función f mapea el conjunto X al conjunto Y Considérese la función f : Z → N definida por f ( x ) = x ²
Números Símbolo
Nombre
números naturales
se lee como
N
Categoría
números
N significa: {1,2,3,...}, pero véase el artículo números naturales para una convención
diferente. {|a| : a ∈ Z} = N números enteros
Z
números
Z significa: {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,...}
{a : |a| ∈ N} = Z números racionales
Q
números
Q significa: { p/q : p, q ∈ Z, q ≠ 0}
3.14 ∈ Q ; π ∉ Q números reales
R
números
R significa: {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q , el límite existe}
π ∈ R; √(−1) ∉ R
números complejos
C
números
C significa: {a + bi : a, b ∈ R} i = √(−1) ∈ C
raíz cuadrada
la raíz cuadrada de; la principal raíz cuadrada de
números reales
√ x significa: el número positivo cuyo cuadrado es x √( x ²) = | x |
infinito
infinito
números
∞ es un elemento de la recta real extendida mayor que todos los números reales;
ocurre frecuentemente en límites limx→0 1/| x | = ∞ valor absoluto
valor absoluto de
números
| x | significa: la distancia en la recta real (o en el plano complejo) entre x y [[zero], se le llama también módulo] |a + bi | = √(a² + b²)
Órdenes parciales Símbolo
Nombre
comparación
se lee como
es menor a, es mayor a
Categoría
órdenes parciales
x < y significa: x es menor a y ; x > y significa: x es mayor a y 3 <4 5 >4 Símbolo
Nombre
comparación
se lee como
Categoría
es menor o igual a, es mayor o igual a
órdenes parciales
x ≤ y significa: x es menor o igual a y ; x ≥ y significa: x es mayor o igual a y x ≥ 1 ⇒ x ² ≥ x
Geometría euclídea Símbolo
Nombre
pi
se lee como
Categoría
pi
Geometría euclideana
π significa: la razón de la circunferencia a su diámetro. A = πr ² es el área de un círculo con radio "r"
Combinatoria Símbolo
Nombre
factorial
se lee como
factorial
Categoría
combinatoria
n! es el producto 1×2×...× n
4! = 24
Análisis funcional Símbolo
Nombre
norma
se lee como
norma de; longitud de
Categoría
análisis funcional
x es la norma del elemento x de un espacio vectorial normado x +y ≤ x + y
Cálculo Símbolo
Nombre
se lee como
Categoría
integración
integral desde ... hasta ... de ... con respecto a ...
cálculo
∫ab f ( x ) d x significa: el área, con signo, entre el eje- x y la gráfica de la función f entre x = a y x = b
∫0b x² d x = b³/3; ∫ x ² d x = x ³/3
derivación
derivada de f; f prima
cálculo
'( x ) es la derivada de la función f en el punto x , esto es, la pendiente de la tangente en ese lugar. Si f ( x ) = x ², entonces f '( x ) = 2 x y f ' '( x ) = 2 gradiente
del, nabla, gradiente de
∇ f (x1, …, xn) es el vector de
cálculo
derivadas parciales (df / dx 1, …, df / dx n)
Si f ( x , y , z) = 3 xy + z² entonces ∇ f = (3y , 3 x , 2z) derivada parcial
derivada parcial de
cálculo
Con f (x1, …, xn), ∂f/∂xi es la derivada de f con respecto a xi, con todas las otras variables mantenidas constantes. Si f (x, y) = x²y, entonces ∂ f /∂x = 2xy
Ortogonalidad Símbolo
Nombre
perpendicular x
se lee como
es perpendicular a
Categoría
ortogonalidad
y significa: x es perpendicular a y ; o, más generalmente, x es ortogonal a y .
Álgebra matricial Símbolo
Nombre
perpendicular
se lee como
traspuesta
Categoría
matrices y vectores
(a,b) con al lado o a modo de potencia significa que el vector se debe colocar no de izquierda a derecha, sino de arriba a abajo. En numerosos trabajos de investigación se utiliza esta sintaxis al no poder representar en un documento vectores verticales.
Teoría de rejas Símbolo
Nombre
fondo x =
se lee como
el elemento fondo
Categoría
teoría de rejas
significa: x es el elemento más pequeño.
Función del lenguaje Las funciones del lenguaje se refieren al uso de la lengua que hace un hablante. Son los diferentes objetivos, propósitos y servicios que se le dan al lenguaje al comunicarse, dándose una función del lenguaje por cada factor que tiene éste, en donde la función que prevalece es el factor en donde más se pone énfasis al comunicarse. Las funciones del lenguaje son herramientas que sirve para la comunicación, cumple una función de acuerdo con lo que la gente quiera lograr. Se distinguen 3 funciones: Informar: el hablante utiliza el lenguaje para transmitir información, para comunicar conocimiento. Expresar: el hablante no comunica conocimiento, sino que comunica sus sentimientos, emociones, estados de ánimo u opiniones. Dar directivas: el hablante lo utiliza para obtener resultados, para que su oyente haga o deje de hacer algo, para provocar o impedir una determinada acción o conducta por parte del receptor. Hay dos formas q son actos del habla por los q el emisor intenta q el receptor haga algo.
Proposiciones Denominadas a través de letras minúsculas, las proposiciones matemáticas tienen un valor de verdad (que será la verdad o la falsedad de su enunciado). De acuerdo a sus características, es posible distinguir entre proposiciones simples (que carecen de conectores lógicos) y proposiciones compuestas (cuentan con más de un conector lógico). Dentro de estos grupos también pueden advertirse otras clasificaciones: proposiciones relacionales, proposiciones predicativas, etc. Puede entenderse a las proposiciones matemáticas como expresiones de juicio que no pueden resultar verdaderas y falsas de manera simultánea. Por ejemplo: a: 9 es múltiplo de 3
Dicha expresión es una proposición matemática que resulta verdadera, ya que 3 x 3 es igual a 9 y, por lo tanto, 9 es un múltiplo de 3. Como decíamos líneas arriba, la proposición matemática también puede ser falsa: b: 7 es múltiplo de 3
En este caso, la proposición es falsa ya que 7 no está entre los múltiplos de 3 (3 x 2 = 6 , 3 x 3 = 9 ).
Lenguaje objeto y metalenguaje Podemos hablar en castellano, en inglés, en japonés o en árabe sobre personas, sobre cualquier tipo de objetos, sobre hechos, sucesos, etc. Pero podemos hablar también en esas lenguas sobre otras lenguas. Así, en una clase de inglés cabe hablar en castellano, por ejemplo, sobre el inglés. Siguiendo una convención terminológica muy extendida, podemos decir que, en ese contexto, el inglés es el lenguaje-objeto es decir, el lenguaje considerado como objeto que se presenta a nuestra consideración y el castellano es el metalenguaje es decir, el lenguaje por medio del cual podemos hablar acerca del lenguaje-objeto Pero obsérvese que la distinción no es absoluta. En otro contexto, en el de una clase de castellano impartida en Escocia, pongamos por caso, el lenguaje-objeto será el castellano y el metalenguaje será con toda probabilidad el inglés. De manera que el lenguajeobjeto es la lengua o el lenguaje sobre el que se dicen cosas; el metalenguaje, la lengua en que se las dice, cuando se está hablando sobre una lengua o lenguaje. No cabe duda de que podemos hablar sobre una lengua utilizando para ello esa misma lengua. La mayoría de las clases de gramática castellana que se dan en el Bachillerato si no todas se dan en castellano; es decir, se habla en castellano acerca del castellano. Así pues, en este contexto el castellano es a la vez el lenguajeobjeto y el metalenguaje. Hay algunos autores por ahora en clara minoría en la literatura filosófica que prefieren no aplicar esta terminología para este último caso, aconsejando hablar simplemente de uso reflexivo del lenguaje: de que el lenguaje se usa o utiliza, en el caso descrito en último lugar, reflexivamente.
Objeto de la lógica Así como el objeto de estudio tradicional de la química es la materia, y el de la biología la vida, el de la lógica es la inferencia. La inferencia es el proceso por el cual se derivan conclusiones a partir de premisas. La lógica investiga los principios por los cuales algunas inferencias son aceptables, y otras no. Cuando una inferencia es aceptable, lo es por su estructura lógica, y no por el contenido específico del argumento o el lenguaje utilizado. Por esta razón la lógica se considera una ciencia formal, como la matemática, en vez de una ciencia empírica.
Designado y denotado de un signo Designado: • Es el conjunto de características al que hace referencia el juicio. • Comprende el conjunto de notas o características que se refieren a determinados objetos o
entidades. • Se encuentra en el plano ideal, en el de los conceptos, no en el plano real. • Todo signo tiene designado, pero no todo signo tiene denotado. Así, palabras como
duende, centauro, etc, tienen designado tienen denotado puesto que
Denotado:
(porque sabemos lo que ellas significan), pero no no hay duendes ni centauros.
• Es el conjunto de todas las entidades que poseen las características del de signado. • Está dado por el conjunto de objetos o entidades a los que hace referencia un signo. • Hay términos que no tienen denotación, como por ejemplo: fantasma, tiene denotación (las
características a las que hace referencia) pero no posee denotación, ya que suponemos que no hay en la realidad seres que sean fantasmas.
Bibliografía Elementos del lenguaje: http://cipri.info/resources/Lenguaje_Matematico.pdf, http://www.buenastareas.com/ensayos/Lenguaje-Matematico/7087894.html. Lenguaje Natural : http://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_natural Lenguaje Artificial: http://es.wikipedia.org/wiki/Lengua_construida Simbolos matematicos: http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:S%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos
