Ley de Darcy y Unidades de Darcy

Unidades de Darcy y de Poiseuille

Cuando un fluido se mueve en un medio poroso el gasto (q) es función del área de la sección transversal, es función igual a la viscosidad del fluido. Ecuación de Darcy para flujo lineal Horizontal:

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

q= gasto del fluido

A= Área

µ= viscosidad

k= permeabilidad

P= presión

L= longitud

Despejamos la permeabilidad (k):





  

La longitud (L) se mide desde la cara del inicio de flujo hasta donde sale, en caso de yacimiento con buzamiento se mide desde donde inicia el flujo a través de la inclinación. Determinación de unidades de Darcy Darcy: Es el gasto que fluye de 1 cm 3/seg a través de un medio poroso que tiene una sección transversal, que tiene un área de 1 cm 2, que tiende a una caída de presión () de 1 atm y el fluido tiene una viscosidad de 1 centi poise (c.p.), y recorre una longitud a 1cm q= 1

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A= 1  = 

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Entonces sustituyendo en la ecuación de permeabilidad:

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Y si necesitamos eliminar unidades, sabemos que:   





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Sustituimos y despejamos y queda: 



    





   

Sustituyendo en la ecuación de la permeabilidad (k):                              

Entonces necesitamos saber las unidades de poiseuille para poder determinar las unidades de Darcy: 1 Poise ()=

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Procedemos a sustituir en la ecuación de Darcy, tomando en cuenta la conversión de atmosfera a unidades comunes, entonces: 1 atm= 1033

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Ley de Darcy

La permeabilidad se define como la capacidad que tiene una roca de permitir el flujo de fluidos a través de sus poros interconectados. Si los poros de la roca no se encuentran interconectados no puede existir permeabilidad. Un ingeniero hidráulico francés de nombre Henry Darcy fue el primero que realizó estudios relacionados con el flujo de fluidos a través de medios porosos. En 1856 Darcy publicó su trabajo, en el cual se describían estudios experimentales de flujo de agua a través de filtros de arena no consolidada, los cuales tenían como objetivo procesar los requerimientos diarios de agua potable del pueblo de Dijon (Francia). El equipo utilizado por Darcy (figura 2.1) consistió en un gran cilindro que contenía un paquete de arena no consolidada de un metro de longitud, el cual estaba sostenido entre dos pantallas de gasa permeable. En cada extremo había un manómetro conectado, los cuales medían la presión en la entrada y la salida del filtro cuando se dejaba fluir agua a través del paquete de arena no consolidada. La ecuación 2.1 expresa los resultados de los experimentos desarrollados por Darcy.

Figura 2.1. Aparato experimental de Darcy Ec.2.1 Donde: v = Velocidad aparente de flujo (cm/seg). L = Longitud del empaque de arena (cm). Δh = Diferencia de los niveles manométricos (cm).

K = Constante de proporcionalidad (permeabilidad). La velocidad, v, de la ecuación de Darcy es una velocidad aparente de flujo. La







Todos los experimentos fueron realizados con agua, los efectos de la densidad del fluido y su viscosidad sobre el flujo no fueron investigados por Darcy. Adicionalmente, el cilindro se mantuvo siempre en posición vertical. Estudios posteriores realizados por otros investigadores, repitieron el experimento de Darcy en condiciones menos restrictivas. Una de las primeras modificaciones realizadas al experimento de Darcy fue orientar el paquete de arena a diferentes ángulos, como se muestra en la figura 2.2

Figura 2.2. Aparato experimental de Darcy modificado Se encontró que independientemente de la orientación del paquete de arena, la diferencia Δh era siempre la misma para una determinada tasa de flujo La presión en cualquier punto en la trayectoria del flujo, que esta a una cierta altura Z, con relación a un cierto plano de referencia o datum , puede ser expresada como: Ec.2.2 La ecuación 2.2 puede reescribirse como: Ec.2.3 Si se escribe la ecuación 2.1 en forma diferencial se tiene: Ec.2.4 Diferenciando la ecuación 2.3 con respecto a L se tiene:







Ec.2.6 El término:

Corresponde a la energía potencial por unidad de masa, y se denomina de Fluido .

Potencial

El potencial de un fluido se expresa usualmente con el símbolo Ф y se define

como el trabajo requerido por un proceso, donde no hay fricción, para transportar una unidad de masa del fluido desde un estado de presión atmosférica y elevación cero, a un cierto punto de elevación Z. El flujo de fluidos entre 2 puntos A y B, esta gobernado por la diferencia de potencial entre esos dos puntos, a saber:

Experimentos realizados con una variedad de líquidos diferentes indican que la Ley de Darcy puede ser generalizada como sigue: Ec.2.7 Se ha determinado que la constante K solo depende de la naturaleza de la roca y se ha definido como permeabilidad. Esta es la llamada permeabilidad absoluta de la roca, siempre que el medio poroso este completamente saturado con un solo fluido, y en teoría tendrá el mismo valor independientemente de la naturaleza de ese fluido. La dirección de flujo se define como positiva en la dirección positiva de L, es decir si la distancia se toma positiva en la dirección de flujo, entonces el gradiente de potencial debe ser negativo en esa misma dirección, debido a que los fluidos se mueven desde niveles de alto potencial a niveles de bajo potencial, y entonces para que v sea positiva se tiene que: Ec.2.8







Ec.2.9 La figura 2.3 muestra gráficamente la relación entre el ángulo de inclinación del estrato y Z.

Figura 2.3. Relación entre la orientación del estrato y la altura De la figura 2.3 se tiene: Ec.2.10 Si además se asume la condición de flujo estacionario o estado estable, en la cual la presión no depende del tiempo sino de la posición, se tiene que: Ec.2.11 Sustituyendo las ecuaciones 2.9, 2.10 y 2.11 en la ecuación 2.8 se tiene: Ec.2.12 Si la sección transversal de flujo es constante, la ecuación 2.12 puede integrarse entre 2 puntos cualesquiera para obtener: Ec.2.13 Para flujo horizontal (Senθ = 0) se puede obtener la ecuación de Darcy en su

forma más simple:









K = Permeabilidad. (darcys) A = Área de la sección transversal total (cm2) μ = Viscosidad del fluido. (centipoises) ΔP/ΔL = Gradiente de presión. (atm/cm)

La ecuación 2.14 puede ser expresada en unidades de campo: q en barriles por día, A en pie2 y ΔP/ΔL en lpc/pie, manteniendo K en darcys y μ en centipoises. La ecuación queda de la siguiente forma: Ec.2.15 Algunos autores emplean la unidad de permeabilidad denominada permio, definida por: Permio = 1.127 darcys

Ec.2.16

El propósito de esta definición es eliminar la constante 1.127 d e la ecuación 2.15. Validez de la ecuación de Darcy

A pesar de que la ecuación de Darcy ha sido aceptada por la industria petrolera como válida, es conveniente definir mejor las condiciones bajo las cuales se puede suponer válida. La determinación experimental de la ecuación de Darcy considera: - Flujo en estado estable En las pruebas de laboratorio, debido al tamaño de los núcleos, las condiciones de flujo transitorio duran usualmente pocos minutos, sin embargo en la práctica, debido a la naturaleza de los fluidos y las dimensiones del yacimiento, se pueden originar condiciones de flujo transitorio durante meses o incluso años. - Flujo laminar. La ecuación de Darcy es inválida para números de Reynolds mayores de uno. Afortunadamente en aplicaciones prácticas, generalmente el flujo es laminar. Sin embargo, en las cercanías del pozo cuando las velocidades son elevadas, por







cualquier dirección. En la práctica, la naturaleza de los procesos que dieron origen a la roca, y las grandes extensiones areales del yacimiento pueden producir variaciones en la permeabilidad en varias direcciones.







Ley de Poiseuille La ley de Poiseuille (también conocida como ley de Hagen-Poiseuille después de los experimentos llevados a cabo por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797-1884) en 1839) es la ley que permite determinar el flujo laminar estacionario ΦV de un líquido incompresible y uniformemente viscoso (también denominado fluido newtoniano) a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante. Esta ecuación fue derivada experimentalmente en 1838, formulada y publicada en 1840 y 1846 por Jean Louis Marie Poiseuille (1797-1869). La ley queda formulada del siguiente modo:

donde V es el volumen del líquido que circula en la unidad de tiempo t , vmedia la velocidad media del fluido a lo largo del eje z del sistema de coordenadas cilíndrico, R es el radio interno del tubo, Δ p es la caída de presión entre los dos extremos, η es la viscosidad viscosidad dinámica y L la longitud característica a lo largo del eje z. La ley se puede derivar de la ecuación de Darcy-Weisbach, desarrollada en el campo de la hidráulica y que por lo demás es válida para todos los tipos de flujo. La ley de Hagen-Poiseuille se puede expresar también del siguiente modo:

donde Re es el número de Reynolds y ρ es la densidad del fluido. En esta forma la ley aproxima el valor del factor de fricción, la energía disipada por la pérdida de carga, el factor de pérdida por fricción o el factor de fricción de Darcy λ en flujo laminar a muy bajas velocidades en un tubo cilíndrico. La derivación teórica de la fórmula original de Poiseuille fue realizada independientemente por Wiedman en 1856 y Neumann y E. Hagenbach en 1858 (1859, 1860). Hagenbach fue el primero que la denominó como ley de Poiseuille.







Cálculo de la fórmula

Consideremos una tubería horizontal de radio R constante y dentro de ella dos secciones transversales 1 y 2 separadas una distancia L. Estas secciones delimitan un trozo de tubería que en la imagen adjunta queda delimitada por los puntos ABCD. Dentro de la tubería indicada consideramos a su vez un cilindro coaxial delimitado por los puntos abcd con área 2 de tapas A = π r y radio r . Debido a la viscosidad del fluido, sobre este cilindro actúa un esfuerzo cortante Que llamaremos T provocado por una fuerza cortante F sobre un área longitudinal AL = 2π r L. Esta fuerza será igual a F = p1 A − p2 A tendrá un sentido izquierda - derecha igual al desplazamiento del fluido, provocado por un gradiente de presión en la que p1 es mayor que p2 (no guiarse por el dibujo adjunto, aún no encontré la manera de cambiarlo). Integrando las fuerzas que actúan sobre el cilindro considerado, se obtiene la expresión de la ley de Poiseuille. De acuerdo a la primera ley de Newton, si p1 y p2 son las presiones aplicadas en el centro de gravedad del área transversal del cilindro en las secciones 1 y 2 tenemos que:







Simplificando queda:

Con lo que:

Integrando esta ecuación:

El valor de la constante C queda determinada por las condiciones en los límites. Es decir cuando r =R entonces v = 0. Por lo que:

Sustituyendo el valor de C en la ecuación inicial tenemos que:









Para calcular el caudal en la tubería vamos a considerar un anillo diferencial de espesor dr entre dos circunferencias concéntricas con el eje de la tubería y radios r y r + dr . En este caso la expresión del caudal queda: dQ = 2πrdrv

Sustituyendo la expresión de la velocidad calculada anteriormente tenemos que:

Integrando la ecuación anterior entre los límites 0 y R podremos calcular el caudal total:







que no deja de ser otra expresión de la ley de Poiseuille para la pérdida de presión en una tubería de sección constante con flujo laminar. Si dividimos y multiplicamos el segundo miembro de la ecuación anterior por la expresión 2ρvmediag tenemos que:

donde es la pérdida de carga y es la expresión del número de Reynolds, con lo que la pérdida de carga queda expresada del siguiente modo:

comparando esta última expresión con la ecuación de Darcy-Weisbach se deduce el valor de λ:







Flujo Radial en Serie

Ley de Darcy y Unidades de Darcy

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