PRESENTACION: Este documento como tal plantea un análisis de la ley de Stokes, teniendo en cuenta sus aspectos históricos, en el marco de las teorías físicas la cuales influencio directa como indirectamente. Como son los casos de la cuantización de la carga en (1909), por Robert Millikan, y el movimiento browniano analizado desde una perspectiva mecanicista por Albert Einstein en (1905), y verificada posteriormente por Jean Perrin desde (1908 a 1913). Presentamos también, una serie de controversias, alrededor de la carga eléctrica y del movimiento browniano, en las cuales vemos la influencia que tuvo sobre estas la ley de Stokes como punto de discusión y como una ley f undamental que se cumple no solo en el campo de la física macroscópica sino que también a niveles microscópicos. La ley de Stokes, que usualmente se ve en los libros de física planteada sin ninguna deducción matemática, por ser de carácter complejo, es presentada aquí desde un análisis moderno, con una notación asequible, a diferencia de los originales en los cuales se utiliza una notación diferente, propia de la época.
INTRODUCCION: La ley de Stokes, que es el objeto de estudio en este trabajo fue desarrollada y presentada por G.G Stokes (1819-1903), en su serie de estudios titulados "on the effect of the internal friction of fluids f luids on the motion of pendulums " de una manera analítica. Dicha ley, que describe la fuerza de arrastre que experimenta una partícula esférica en un flujo f lujo laminar, fue objeto de estudio por reconocidos investigadores en el campo de la física f ísica galardonados con el premio Nobel. El primero de ellos R. Millikan (1868-1953), debatió con algunos de sus homólogos tratando de demostrar la cuantización de la carga eléctrica. El segundo, J. Perrin (1870-1942), culminaría la obra mecanicista comprobando el carácter molecular de la materia en un periodo que abarca desde 1908 a 1913. Y en estos dos aspectos particulares de la historia, la realidad molecular y la cuantización de la carga, se pone en juego la ley de Stokes. No obstante, se presenta en este trabajo una propuesta en torno a la ley de Stokes, resaltando su importancia en el desarrollo histórico y epistemológico de las teorías de la física. Esto se realizará a partir de un desarrollo cronológico enfocado en una relación física-matemática. El contendido de este trabajo esta dado de la siguiente manera: Capítulo 1, se hace una introducción a las ecuaciones de Navier-Stokes, culminando en el trabajo particular de Stokes, que es la determinación de los esfuerzos cortantes que experimenta una esfera moviéndose en un fluido viscoso, la cual se conoce como la ley de Stokes. Stokes . En el Capítulo 2, se pone en contexto el movimiento browniano, y se presenta el trabajo de Einstein, Langevin y el trabajo de Perrin, con algunas controversias que se dieron en el marco de esta teoría. En el Capítulo 3, se encuentra el trabajo de Millikan, sobre la cuantización de la carga, junto con una serie de controversias que dieron lugar a la batalla del electrón, y en el cual, hacemos énfasis en la ley de Stokes, como una ecuación valida en la descripción del
experimento de la gota de aceite. Por último, en el Capítulo 4, presentamos las conclusiones del trabajo. La Ley de Stokes se refiere a la fuerza de fricción experimentada por objetos esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de bajos números de Reynolds. Fue derivada en 1851 por George Gabriel Stokes. En general la ley de Stokes es válida en el movimiento de partículas esféricas pequeñas moviéndose a velocidades bajas.
LEY DE STOKES se refiere a la fuerza de fricción experimentada por objetos esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de bajos números de Reynolds. En general la ley de Stokes es válida en el movimiento de partículas esféricas pequeñas moviéndose a velocidades bajas. Fue derivada en 1851 por George Gabriel Stokes. En un fluido en resposo una particuala que cae esta sometida a dos tipos de fuerzas cuando [ 1 ] y [ 2 ] se igualan se obtiene la velocidad de asentamiento de la partícula. Ecuación general que describe la caída de un cuerpo esférico en un fluido en reposo. cuando la coagulación es completa, el flujo laminar permite una mayor separación (sedimentación) de las partículas suspendidas en el agua, que el flujo turbulento. un flujo estrictamente laminar esta caracterizado por R<0.1 , pero si R<0.5 se logra una excelente sedimentación.
LEY DE STOKES fb=pgv (p. Arquimides) fg=(ps)gv La F que impulsa la particula hacia abajo El liquido genera sobre la partícula una fuerza de fricción (fr). donde: cd: coeficiente de fricción de Newton A: área transversal de la partícula vs: velocidad de asentamiento para el caso de partículas esféricas El coeficiente cd varia con el R así. En la region de flujo turbulento ( 7 ) en ( 6 ) y despejando entonces [8] en [ 5 ] LEY DE STOKES [8] Flujo laminar μ=viscocidad cinematica [Stokes] o [ cm^2/s] μ=u/p
Sobre todo cuerpo que se mueve en un fluido viscoso actúa una fuerza resistente que se opone al movimiento. La Ley de Stokes expresa que para cuerpos esféricos el valor de esta fuerza es [1]: Fr
6 rv
(1)
donde η es el coeficiente de viscosidad del fluido, o viscosidad absoluta, r el radio de la esfera y v la velocidad de la misma con respecto al fluido. Si consideramos un cuerpo que cae libremente en el seno de un fluido, al cabo de cierto tiempo, cuando el peso sea equilibrado por la fuerza F r y por el empuje de Arquímedes, habrá adquirido una velocidad constante v = v l, llamada velocidad límite. Es decir, según la Segunda Ley de Newton [1]: gV gV 6 rv
(2)
donde ρ y ρ' corresponden a la densidad del cuerpo y del fluido, respectivamente. El primer miembro de la ecuación anterior corresponde al peso de la esfera, el primer término del miembro de la derecha al empuje del fluido, y el segundo término a la fuerza resistente. A partir de la ecuación (2) puede obtenerse la siguiente expresión para la viscosidad: 2
2 gr 9
vl
(3)
Si las magnitudes utilizadas en la ecuación (3) se expresan en el Sistema Internacional, la unidades de η quedan expresadas en poises (1 P = 1 g cm 1 s 1).
La ec. (3) puede reescribirse como: vl
2
(4)
(5)
r
donde:
2 g 9
La ecuación anterior indica que el valor de la velocidad límite tendrá una relación lineal con el cuadrado del radio de la esfera. Por otra parte, la pendiente de la recta v l vs. r 2 estará relacionada con la viscosidad del fluido. Teniendo en cuenta las ecuaciones (4) y (5) se diseñó y montó un experimento, en el cual se dejaron caer por el interior de un tubo de vidrio lleno de glicerina, esferas de acero de distinto diámetro. A partir de la medición de la velocidad límite alcanzada por las mismas se comprobó si la ley de potencias expresada en la ecuación (4) se cumple. Utilizando la ecuación (5) se determinó el coeficiente de viscosidad de la glicerina.
TIPOS DE SEDIMENTACIÓN
SEDIMENTACIÓN Realiza la separación de las partículas mas densas que el agua, y que tengan una velocidad de sedimentación tal, que permita que lleguen al fondo del tanque sedimentador en un tiempo económicamente aceptable.
SEDIMENTACIÓN INDUCIDA Las partículas que se sedimentan son aglomerarles, es decir que durante la sedimentación se aglutinan entre si cambiando de forma, tamaño y aumentando el peso especifico.
SEDIMENTACIÓN SIMPLE Las partículas que se asientan son discretas, es decir partículas que no cambian de forma, tamaño o densidad durante el descenso en el fluido. se presenta en los desarenadores.
TIPOS DE SEDIMENTACIÓN los criterios para el diseño de los sediementadores para agua coagulada se basan en la sedimentación de partículas discretas , f enómeno que trata de representar la
LEY DE STOKES Método del hidrómetro para la textura del suelo
La textura del suelo está determinada por la cantidad y proporción de arena, limo y arcilla en ella. La arcilla es mucho más fina que la ar ena y si es el compuesto predominante, el suelo tendrá una textura fina y será pegajoso cuando esté húmedo y duro al secar. Las características de suelos afectados por la textura incluyen el drenaje, su capacidad de retención de agua, la susceptibilidad a la erosión y el contenido de materia orgánica. Una manera de determinar la textura exacta y el porcentaje de cada tipo de partícula, es utilizar el método del hidrómetro para determinarla.
Un cuerpo que cumple la ley de Stokes se ve sometido a dos fuerzas, la gravitatoria y la de arrastre. En el momento que ambas se igualan su aceleración se vuelve nula y su velocidad constante.
La ley de Stokes se refiere a la fuerza de fricción experimentada por objetos esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de bajos números de Reynolds. Fue derivada en 1851 por George Gabriel Stokes tras resolver un caso particular de las ecuaciones de Navier-Stokes. En general la ley de Stokes es válida en el movimiento de partículas esféricas pequeñas moviéndose a velocidades bajas. La ley de Stokes puede escribirse como:
donde R es el radio de la esfera, v su velocidad y η la viscosidad del fluido. La condición de bajos números de Reynolds implica un flujo laminar lo cual puede traducirse por una velocidad relativa entre la esfera y el medio inferior a un cierto valor crítico. En estas condiciones la resistencia que ofrece el medio es debida casi exclusivamente a las fuerzas de rozam iento que se oponen al deslizamiento de unas capas de fluido sobre otras a partir de la capa límite adherida al cuerpo. La ley de Stokes se ha comprobado experimentalmente en multitud de fluidos y condiciones. Si las partículas están cayendo verticalmente en un fluido viscoso debido a su propio peso puede calcularse su velocidad de caída o sedimentación igualando la fuerza de fricción con el peso aparente de la partícula en el fluido.
donde: V s es la velocidad de caída de las partículas (velocidad límite) g es la aceleración de la gravedad, ρ p es la densidad de las partículas y ρf es la densidad del fluido. η es la viscosidad del fluido. r es el radio equivalente de la partícula.
APLICACIONES La ley de Stokes es el principio usado en los viscosímetros de bola en caída libre, en los cuales el fluido está estacionario en un tubo vertical de vidrio y una esfera, de tamaño y densidad conocidas, desciende a través del l íquido. Si la bola ha sido seleccionada correctamente alcanzará la velocidad terminal, la cual puede ser medida por el tiempo que pasa entre dos marcas de un tubo. A veces se usan sensores electrónicos para fluidos opacos. Conociendo las densidades de la esfera, el líquido y la velocidad de caída se puede calcular la viscosidad a partir de la fórmula de la ley de Stokes. Para mejorar la precisión del experimento se utilizan varias bolas. La técnica es usada en la industria para verificar la viscosidad de los productos, en caso como la glicerina o el sirope.
La importancia de la ley de Stokes está ilustrada en el hecho de que ha jugado un papel crítico en la investigación de al menos 3 Premios Nobel.1 La ley de Stokes también es importante para la compresión del movimiento de microorganismos en un fluido, así como los procesos de sedimentación debido a la gravedad de pequeñas partículas y organismos en medios acuáticos. 2 También es usado para determinar el porcentaje de granulometría muy fina de un suelo mediante el ensayo de sedimentación. En la atmósfera, la misma teoría puede ser usada para explicar porque las gotas de agua (o los cristales de hielo) pueden permanecer suspendidos en el aire (como nubes) hasta que consiguen un tamaño crítico para empezar a caer como lluvia (o granizo o nieve). Usos similares de la ecuación pueden ser usados para estudiar el principio de asentamiento de partícul as finas en agua u otros fluidos. Flujo de Stokes alrededor de una esfera Flujo estacionario de Stokes En flujos de Stokes con un número de Reynolds muy bajo, la aceleración convectiva se puede considerar nula en los términos de la ecuación de NavierStokes. En ese caso las ecuaciones del flujo se igualan a las de un flujo incompresible y estacionario:3
donde:
p es la presión del fluido (en Pa), u es la velocidad del flujo (en m/s), y -1 ω es la vorticidad (en s ), definida como Usando algunas propiedades del cálculo de vectores, estas ecuaciones se pueden mostrar como resultado de una ecuación de Laplace para la presión y cada uno de los componentes del vector vorticidad:3 and Fuerzas adicionales como la gravedad o la flotabilidad no han sido tomados en cuenta, pero pueden ser fácilmente añadidos a la ecuación ya que son lineales, así que se puede aplicar la superposición lineal a las soluciones.
¿La ley de Stokes es aplicable a la caída de partículas de una arena en
una probeta de sedimentación? Para un material con partículas densas como lo es el caso de la arena no es posible aplicar la ley de Stokes ya que al tener partículas con una densidad relativamente alta estas características no permiten que se mantengan en suspensión considerándola con las partículas de los suelos finos, estas se precipitaran con mayor rapidez invalidando la ley de St okes ya que esta ley se cumple para el movimiento de partículas pequeños y velocidades bajas. ¿El análisis por hidrómetro determina exactamente el tamaño de las partículas de un suelo? El ensayo de hidrómetro no determina con exactitud el tamaño de partículas de un suelo ya que en el laboratorio se puede producir errores además que el hidrómetro es un instrumento al que se le deben hacer unas correcciones lo que quiere decir que este método da un tamaño aproximado de las partículas de suelo todo depende de que bien sea echo el ensayo y que bien este calibrado el instrumento. ¿Porque usted corrige la distancia de caída de las partículas durante el análisis del hidrómetro? La corrección de la distancia de caída de las partículas durante el análisis de hidrómetro se debe a que los hidrómetros están calibrados para hacer la lectura al nivel libre del líquido. Al formarse el menisco alrededor del vástago, la lectura correcta no puede hacerse, ya que las suspensiones de suelo no son transparentes, por lo que se necesita leer donde termina el menisco y corregir la lectura sumando la altura del menisco. Esta corrección se hace sumergiendo el hidrómetro en agua destilada y haciendo dos lecturas en la escala; hidrométrico se debe ¿Qué modificaciones serian requeridas si uno llevara a cabo un análisis
por hidrómetro en una probeta de 2000ml en vez de una de 200ml? Al realizar un ensayo hidrométrico en una probeta de 2000ml se debe tener en cuenta las siguientes modificaciones el hidrómetro utilizado debe ser de mayor capacidad para hacer lecturas, la cantidad de suelo tiene que ser mayor ya que el volumen de agua es el doble de lo normal y por último la cantidad de defloculante debe aumentar ya que el descenso de p artículas es mucho mayor.
¿Qué forma es asumida para las partículas de suelo cuando se interpretan los resultados de un análisis por sedimentación? ¿Esta suposición aplica para las partículas de arcilla? El análisis del ensayo de hidrómetro se realiza siguiendo los parámetros establecidos por la ley de Stokes la cual enuncia que si una partícula esférica cae dentro del agua adquiere pronto una velocidad que depende del diámetro de la partícula, de su densidad y de la viscosidad, es por eso que para el ensayo también se supone que la forma de las partículas del suelo son esféricas y aplica para las arcillas
OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL. Hacer un análisis físico-matemático de la ley de Stokes que aparece en la teoría de fluidos, e indagar sobre su papel desempeñado en el desarrollo de l as teoria fisicas.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS. Deducir la ley de Stokes, comprender su formulación y los limites en los cuales es aplicable. Presentar en orden cronológico como la l ey de Stokes influencio en la explicación del movimiento browniano y en la cuantización de la carga. A partir de un desarrollo histórico dar a conocer las controversias de los conceptos físicos que se han originado en torno a la ley de Stokes
APLICACIONES La ley de Stokes es el principio usado en los viscosímetros de bola en caída libre, en los cuales el fluido está estacionario en un tubo vertical de vidrio y una esfera, de tamaño y densidad conocidas, desciende a través del líquido. Si la bola ha sido seleccionada correctamente alcanzará la velocidad terminal, la cual puede ser medida por el tiempo que pasa entre dos marcas de un tubo. A veces se usan sensores electrónicos para fluidos opacos. Conociendo las densidades de la esfera, el líquido y la velocidad de caída se puede calcular la viscosidad a partir de la fórmula de la ley de Stokes. Para mejorar la precisión del experimento se utilizan varias bolas. La técnica es usada en la industria para verificar la viscosidad de los productos, en caso como la glicerina o el sirope. La importancia de la ley de Stokes está ilustrada en el hecho de que ha jugado un papel crítico en la investigación de al menos 3 Premios Nobel.1 La ley de Stokes también es importante para la compresión del movimiento de microorganismos en un fluido, así como los procesos de sedimentación debido a la gravedad de pequeñas partículas y organismos en medios acuáticos. 2 También es usado para determinar el porcentaje de granulometría muy fina de un suelo mediante el ensayo de sedimentación. En la atmósfera, la misma teoría puede ser usada para explicar porque las gotas de agua (o los cristales de hielo) pueden permanecer suspendidos en el aire (como nubes) hasta que consiguen un tamaño crítico para empezar a caer como lluvia (o granizo o nieve). Usos similares de la ecuación pueden ser usados para estudiar el principio de asentamiento de partículas f inas en agua u otros fluidos .
Flujo de Stokes alrededor de una esfera Flujo estacionario de Stokes En flujos de Stokes con un número de Reynolds muy bajo, la aceleración convectiva se puede considerar nula en los términos de la ecuación de NavierStokes. En ese caso las ecuaciones del flujo se igualan a las de un flujo incompresible y estacionario:3
Usando algunas propiedades del cálculo de vectores, estas ecuaciones se pueden mostrar como resultado de una ecuación de Laplace para la presión y cada uno de los componentes del vector vorticidad:3
Fuerzas adicionales como la gravedad o la flotabilidad no han sido tomados en cuenta, pero pueden ser fácilmente añadidos a la ecuación ya que son lineales, así que se puede aplicar la superposición lineal a las soluciones En fluidodinámica la velocidad límite o velocidad terminal es la velocidad máxima que alcanzaría un cuerpo moviéndose en el seno de un fluido infinito bajo la acción de una fuerza constante. Un ejemplo es el caso de la velocidad límite alcanzada por un paracaidista en caída libre que cae desde suficiente altura.
INFORME DE LABORATORIO DE LA LEY DE STOKES El movimiento de un cuerpo en un medio viscoso es influenciado por la acción de una fuerza viscosa, F v, proporcional a la velocidad, v, es definida por la relación Fv = bv, conocida como Ley de Stokes. En el caso de esferas en velocidades bajas Fv = 6pηrv, siendo r el radio de la esfera y η el coeficiente de viscosidad del medio. Si una esfera de densidad mayor que la de un líquido fuese soltada en la superficie del mismo, en el instante inicial la velocidad es cero, pero la fuerza resultante acelera la esfera de forma que su velocidad va aumentando pero de forma NO uniforme
Se puede verificar que la velocidad aumenta no uniformemente con el tiempo pero alcanza un valor límite, que ocurre cuando la fuerza resultante fuese nula. Las tres fuerzas que actúan sobre la esfera están representadas en la figura 1 y son además e la fuerza viscosa, el peso de la esfera, P y el empuje, E. Igualando la resultante de esas tres fuerzas a cero obtenemos la velocidad límite VL.
Donde ρ y ρ’ son las densidades de la esfera y del medio respectivamente y g es la aceleración de la gravedad (9,81 cm s-2)
El objetivo de este experimento es investigar el movimiento de una esfera en un medio viscoso (glicerina con agua) y determinar la viscosidad de la mezcla y el porcentual de agua en la glicerina Emplearemos un tubo de vidrio con una escala graduada, en la posición vertical, conteniendo la mezcla . Como se trata de un fluido viscoso, al moverse por el mismo, la esfera causa un movimiento que afecta la fuerza viscosa Para tener en cuenta este efecto se considera la corrección de Ladenburg que depende del radio de la esfera, del radio del tubo y de su altura. Así, la f uerza viscosa en el tubo, en realidad debe ser escrita como F’v = K(6πηrv), donde K es el factor de Ladenburg: K = (1+2,4r/A)(1+3,3r/H), donde A y H son respectivamente el radio del tubo y la altura total del fluido en el tubo Por tanto la velocidad corregida es:
Siendo VL la velocidad que de hecho se mide y que está dada por la ecuación vL = (2/9) [(ρ – ρ’)/η] g r 2
Material Utilizado Tubo de vidrio con glicerina, soporte con marcas graduadas, conjunto de esferas, paquímetro, micrómetro, cronómetro y termómetro de mercurio.
Procedimiento y tratamiento de los datos El arreglo experimental debe ser montado conforme mostramos en la figura a continuación. La velocidad límite será determinada experimentalmente a partir de la distancia entre las marcas ajustables, medida con una regla y el tiempo de recorrido entre las marcas medido con un cronómetro. Serán utilizadas esferas de acero con diámetro variado de 1 a 6 mm. La densidad del acero es ρa = 7.82 g/cm3 y la de la glicerina a 20ºC, ρg = 1.26 g/cm3. La viscosidad de la glicerina pura a 20ºC y η = 14.9 g cm-1 s-1 (1 g cm-1 s-1 = 1 Poise).
Antes de iniciar el experimento, debemos hacer un cálculo del factor de correlación de Landenburg para cada esfera, colocando los resultados en una tabla que deberá contener también columnas para el tiempo de caída de cada esfera, t, y la velocidad medida, VL y la velocidad corregida V C. Rellenamos la tabla y a medida que el experimento va siendo realizado vamos reflejando los datos en un gráfico V L x r 2 . En ese mismo gráfico colocamos también VL x r 2. Obtenemos a partir del gráfico apropiado el coeficiente de viscosidad y su error. Determinamos la temperatura del líquido y consultando el gráfico estimamos la concentración del agua en la glicerina. Principales cuidados: 1 – Es importante estimar el espacio necesario para alcanzar la velocidad límite, a partir de la superficie de la glicerina antes de posicionar los marcadores. 2 – Hacer repetidas medidas de tiempo de caída de las esferas para disminuir el error, principalmente para las esferas mayores. 3 – Retiramos cada esfera luego de cada medida 4 – No arroje las esferas y utiliza una pinza para colocarlas en la superficie del líquido y así minimizar su velocidad inicial
Viscosidad dinámica de la mezcla glicerina-agua. Las concentraciones son dadas en porcentaje de masa de glicerina. 1mPa s = 10-3 Pa s.
Importancia sedimentológica de la ley de stoke
En el ámbito geológico, mas específicamente en la sedimentología, la ley de stoke nos indica que tan lejos podría llegar una partícula sedimentaria(en la practica son millones de partículas), por supuesto conociendo aproximadamente el tamaño de las mismas y su velocidad, cuando se refiere a velocidad es menester conocer que tanta energía tiene el medio por el c ual se transportan las partículas, y el tamaño de la partícula
se podría deducir con análisis granulométrico in situ, sin embargo se podría obtener una estimación (algo generalizada) conociendo el tipo de partícula
CONCLUSIONES Iniciamos analizando la ley de Stokes, que es una ley en la cual el mecanicismo tiene sus bases, para terminar en una serie de controversias, lideradas prácticamente entre dos posturas: Continua y discreta; aunque, Jean Perrin trato de evitar enfrentamientos concluyendo que las dos posturas habían triunfado y no necesitan oponerse entre sí. Una de las razones por las cuales hemos optado en hacer un análisis matemático de la ley de Stokes, se debe a que consideramos imprescindible saber de donde es deducida, ya que en algunos textos se presenta de manera superficial, dejando algunos interrogantes acerca de si es empírica o es un resultado analítico. Es para nosotros de vital importancia desde un punto de vista pedagógico, analizar el contexto histórico de algunas de las leyes que enseñamos al enfrentarnos a una clase, y mostrar las influencias que muchas de estas leyes tuvieron en un determinado momento, mostrando así sus implicaciones y haciendo desde nuestro punto de vista que el aprendizaje sea significativo. Desde un punto de vista histórico, la ley de Stokes se vincula directamente con el desarrollo de las teorías mecanicistas lideradas por el físico Ludwig Boltzmann, y seguidas posteriormente por Einstein. A continuación presentamos un cuadro
cronológico en el que mostramos como la ley de Stokes i nfluencio en el desarrollo de las teorías A mayor tamaño de partícula, mayor velocidad de sedimentación. A mayor temperatura, mayor velocidad de sedimentación, porque decrece la viscosidad. un sedimentador se diseña ra remover un tamaño de partícula mínima y todos los tamaños superiores al mínimo.
ANEXOS:
