Universidad Nacional de San Crist´obal obal de Huamanga Facultad acul tad de Ingenier Inge nier´´ıa de Minas, Mina s, Geolog Geo log´´ıa y Civil Civ il Departa Depa rtamento mento Acad´emico emic o de d e Mate M atem´ m´ atic at ica a y F´ısic ısicaa ´ a de Estad Area Are Est ad´´ıstic ısticaa
“Inf “I nferen erenci ciaa Esta Estadd´ısti ıstica” ca”
Alejandro Guillermo Monz´ on on Montoya http://www.estadistica.260mb.com http://www.estadisticaunsch.blogspot.com
o http://amonzon.tk o http://amonzonblog.tk
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´ AYACUCHO, PERU 27 de diciembre de 2010
´Indice general 1. Pru Prueba ebass de hip´ otesis otesis
5
1.1. 1. 1. Err Errore oress de tipo tipo I y tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.. Pa 1.2 Pasos sos a seguir seguir para una una prueba prueba de hip´ otesis . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3. 1. 3. Pru Prueba eba de de hip´ hip´ otesis para la media poblacional . . . . . . . . . . . . . . otesis
7
1.3.1. 1.3 .1. Cua Cuando ndo el valor valor de la varia varianza nza poblacion poblacional al es conoc conocido ido . . . . .
7
1.3.2. 1.3 .2. Cua Cuando ndo el valor valor de la varianz varianzaa poblacional poblacional no es conocido conocido . . .
9
1.4. 1. 4. Pru Prueba eba de de hip´ hip´ otesis para la proporci´ otesis on p . . . . . . . . . . . . . . . . . on
10
1.5. 1. 5. Pru Prueba eba de de hip´ hip´ otesis para la varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . otesis
12
1.6.. Com 1.6 Compara paraci´ ci´ on de medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on
13
1.7.. Dif 1.7 Diferen erencia cia de de medias medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.8. 1. 8. Pru Prueba eba de de hip´ hip´ otesis sobre dos proporciones otesis proporciones . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.9.. Prue 1.9 Prueba ba para la igualdad igualdad de dos varianz varianzas as . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3
Cap´ıtulo 1 Prue Prueba bass de hip´ hip´ otes otesis is La prueba prueb a de d e hip´ h ip´otesis otesi s estad´ e stad´ıstica ıstic a es e s una de las areas ´ m´as as importante impo rtantess de d e la teor´ıa ıa de la decisi´on. on. Esta prueba consiste en determinar si una afirmaci´ on on supuesta de un par´ametro ametro de una poblaci´ on, es contradicha o no por los resultados de una muestra. on,
Definici´ on on 1 (Hip´ otesis ote sis estad est ad´ ´ıstica ıst ica)) Es un supuesto acerca de la distribuci´ on de probabilidad de una o m´ as variables aleatorias. En la pr´ actica, la distribuci´on on de la poblaci´ on es a menudo impl´ impl´ıcitamente supuesta, especific´ especific´ andose una hip´ otesis con el valor o los valores del par´ ametro o los par´ ametros que la definen.
Ejemplos: i) El promedio promedio poblacional poblacional de la altura altura de los peruanos peruanos es 1,60m. 1,60m. µ = 1, 60 ii) La varianza poblacional de los salarios de los obreros de la industria textil es (S/. S/. 500)2 σ 2 = (S/. S/. 500)2 =250 000 soles2 iii) La distribuci´on on de los pesos de los alumnos de Ciencias Ciencias F´ısico Matem´ aticas aticas es normal. En la prueba de hip´ otesis, otesis, la suposici´on on que deseamos probar recibe el nombre de hip´ otesis nula nula y se representa con H 0 . Si los resultados de la muestra no apoyan la hip´otesis otesis nula, debemos concluir que no son verdaderos. Cada vez que rechazamos la hip´otesis otesis nula, la conclusi´on on que aceptamos es llamada llamada hip´ otesis alternativa y se representa por H 1 .
Ejemplo 1 Si H 0 : µ = µ = 1, 60 5
´ CAP ´ ITULO ITULO 1. PRUEB PRUEBAS AS DE HIP HIP OTESIS
6
H 1 : µ = 1, 60
̸
Luego de formular la hip´otesis otesis nula y la hip´ h ip´otesis otesis alternativa se fija el nivel de significancia adecuado (α (α); el nivel de significancia indica el porcentaje de medias muestrales que se encuentra fuera de ciertos l´ımites. Supongamos que α = 5 %
Se rechaza H rechaza H 0 si el estimador de la muestra muestra cae en cualquiera cualquiera de las regiones de rechazo. Se acepta H acepta H 0 si el estimador se ubica en la regi´on on de aceptaci´ on. on.
1.1 1.1.
Err rro ores res de de tip tipo o I y tip tipo o II
En toda prueba de hip´ otesis es posible cometerse dos tipos de errores: rechazar la otesis hip´otesis H otesis H 0 , cuando en realidad es verdadera o aceptarla cuando es falsa. Al rechazar una hip´otesis otesis nula cuando es verdadera se comete el error de tipo I y se le representa por α (nivel de significancia de la prueba). Al aceptar una hip´otesis otesis nula cuando es falsa se comete el error de tipo II y se le representa por β . ´ DECISION
H 0 es verdadera
H 1 es verdadera
Aceptar H 0 Decisi´on o n corr correc ecta ta
Erro Errorr de tipo tipo II
Aceptar H 1
Erro Errorr de tipo tipo I
Decis ecisi´ i´ on on correcta
α = P = P [error [error tipo I] = P = P [rechazar [rechazar H 0 /H 0 es verdadera] β = P [error P [error tipo II] = P = P [aceptar [aceptar H H 0 /H 0 es falsa] El riesgo de cometer estos 2 tipos de errores son inversamente proporcionales; es decir que cuanto menor sea el riesgo de cometer un error de tipo I, tanto mayor ser´ a el riesgo de cometer un error de tipo II, y viceversa. Sin embargo, es posible reducir ambos tipos de errores en forma simult´anea, anea, aumentando el tama˜ no no de la muestra.
´ 1.2. 1.2. PASOS ASOS A SEGUIR SEGUIR PARA PARA UNA PRUEBA PRUEBA DE HIP OTESIS
1.2.
7
Pasos a seguir para una prueba prueba de hip´ otesis otesis
Sea el par´ametro ametro θ. i) Formular ormular las hip´otesis otesis nula y alternativa de acuerdo al problema. H 0 : θ = θ = θ 0 H 1 : θ < θ0 , θ > θ0 , θ = θ 0
̸
ii) Escoger un nivel de significancia α (probabilidad m´axima axima aceptable de incurrir en un error de tipo I). iii) Escoger el e l estad´ estad´ıstico de prueba apropiado apr opiado suponiendo sup oniendo que H que H 0 es cierta. iv) Establecer las regiones de aceptaci´ aceptac i´on on y de rechazo. v) Calcular Calcular el valor de la prueba estad´ estad´ıstica de una muestra aleatoria de tama˜ no n no n.. ´ Rechazar H vi) CONCLUSION: Rechazar H 0 si el valor del estimador calculado cae en la regi´on on cr´ cr´ıtica y aceptar ac eptar si cae en la regi´ r egi´ on on de aceptaci´ on. on.
1.3. .3.
Pru rue eba de hip´ ipotesis o ´tesis para la media poblacional
1.3.1. 1.3.1.
Cuando Cuando el valo valorr de la varia varianza nza poblaci poblaciona onall es conocido conocido
i) Hip´otesis otesis estad´ estad´ıstica: Hay tres formas de plantear plantear las hip´ otesis otes is estad´ısticas; ıstica s; de ellas elegimos la que se ajusta a nuestro problema. a)
H 0 : µ = µ = µ 0
b) H 0 : µ = µ = µ 0
c) H 0 : µ = µ = µ 0
H 1 : µ < µ0
H 1 : µ > µ0
H 1 : µ = µ 0
̸
ii) Elegir el nivel de significancia α; los valores de α m´as a s usua usuale less son: son: 10 %, 5 % y 1 %. iii) El estad´ estad´ıstico de prueba es X es X y y la funci´on on de probabilidad es: Z =
X µ σ/ n
iv) Regi´on on de aceptaci´ on on y de rechazo:
−√ → N (0 N (0,, 1)
´ CAP ´ ITULO ITULO 1. PRUEB PRUEBAS AS DE HIP HIP OTESIS
8
v) Valor experime experiment ntal: al: Se obtiene obtiene reemplaz reemplazando ando valores alores en la funci´ funci´ on pivotal del paso (iii). Es decir: Z 0 =
X µ0 σ/ n
−√
donde X es es la media muestral, µ0 es la media supuesta de la poblaci´ on, on, σ es la desviaci´on on est´ andar andar poblacional y n es el tama˜ no no de la muestra. vi) Si Z 0
∈ R.A./H , se acepta H (rechazamos H ). Si Z ∈ R.R./H , se rechaza H (aceptamos H ). 0
0
0
0
1
0
1
ladri llos cree cree que la calidad de los ladril los est´a disminuEjemplo 2 Un comprador de ladrillos yendo. De experiencias anteriores se sabe que la resistencia media al desmoronamiento de tales ladrillos es 200kg, con una desviaci´ on est´ andar de 10kg. Una muestra de 100 ladrillos arroja una media de 195kg. Probar la hip´ otesis de que la calidad media no ha cambiado contra la alternativa que ha disminuido.
Ejemplo 3 Se sabe que el consumo mensual “per c´ apita”de un determinado producto tiene distribuci´ on normal, con una desviaci´ on est´ andar de 2kg. El gerente de una firma que fabrica fabri ca ese producto resuelve retirar el producto de la l´ınea ınea de producci´ producci´ on si la media del consumo per c´ apita es menor que 8kg; en caso contrario, continuar´ a fabricando. Fue realizada una investigaci´ on de mercado; tomando una muestra de 25 individuos 25
se verific´ o que
∑
X i = 180kg 180kg,, donde X i representa el consumo mensual del i-´esimo esimo
i=1
individuo de la muestra. a) Construir una prueba de hip´ otesis adecuada, utilizando α = 0, 05, 05, y en base a la muestra seleccionada determinar la decisi´ on a ser tomada por el gerente. b) Si el gerente hubiese fijado α = 0, 01, 01, ¿la decisi´ on ser´ıa ıa la misma? mis ma? c) Si la desviaci´ on est´ andar de la poblaci´ on fuese 4kg ¿cu´ al ser´ıa ıa la decisi´ decis i´ on?
´ 1.3. 1.3. PRUE PRUEBA BA DE HIP HIP OTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL
9
Ejemplo 4 Una m´ aquina que empaqueta bolsas de caf´ e autom´ aticamente est´ a regulada para embalar bolsas cuyos pesos se distribuyen normalmente, con media µ y varianza 400. El valor de µ puede ser fijado en un mostrador situado en una posici´ on un poco inaccesible de esa m´ aquina. aquina . La m´aquina aquina fue regulada regulada para µ = µ = 500gr 500gr.. Se decide escoger una muestra de 16 bolsas a cada media hora con la finalidad de verificar si la producci´ on est´ a bajo control o no, es decir, si µ si µ = 500gr 500gr o no. Si una de esas muestras tiene una media X = X = 492gr 492gr,, ¿parar´ ¿parar´ıas o no la producci´ producci´ on para verificar si el mostrador est´ a o no en la posici´ on correcta?
1.3.2. 1.3.2.
Cuando Cuando el valo valorr de la varianz arianza a poblacio poblacional nal no es conoconocido
Sea x Sea x 1 , x2 , . . . , xn una muestra aleatoria de una poblaci´on N on N ((µ, σ 2 ). i) Hip´otesis: otesis: a)
H 0 : µ = µ = µ 0
b) H 0 : µ = µ = µ 0
c) H 0 : µ = µ = µ 0
H 1 : µ < µ0
H 1 : µ > µ0
H 1 : µ = µ 0
̸
ii) Nivel Nivel de significancia: significancia: α iii) Cuando n
≤ 30: n
t =
X µ S/ n
−√ → t n − 1), 1), (
Cuando n > 30: Z =
donde S 2 =
X µ S/ n
−√ ∼ N (0 N (0,, 1)
iv) Regi´on on de aceptaci´ on on y de rechazo:
v) Valor experimental: experimental: t0 =
X µ0 , S/ n
−√
n
≤ 30
∑ i=1
(xi
2
− x) n−1
´ CAP ´ ITULO ITULO 1. PRUEB PRUEBAS AS DE HIP HIP OTESIS
10 Z 0 = vi) Si t0(o Z 0)
X µ0 , S/ n
−√
n > 30
∈ R.A./H , se acepta H ; por lo tanto se rechaza H rechaza H . Si t (o Z ) ∈ R.R./H , se rechaza H y se acepta H . 0
0
0
0
0
1
0
1
Ejemplo 5 Un fabricante afirma que sus cigarros contienen 30mg de nicotina. Una muestra de 25 cigarros da una media de 31,5mg y una desviaci´ on est´ andar de 3mg. Suponiendo que el contenido de nicotina en cada cigarro es una v.a. con distribuci´ on normal, normal, ¿al nivel nivel del 5 %, los dat datos os refutan refutan o no la afirmaci afirmaci´ on ´ del fabricante? dis tribuidor dor de d e cosm´eticos eticos ha conseguido cobrar sus cuentas cue ntas pendientes pendie ntes Ejemplo 6 Un distribui en un plazo medio de 22 d´ıas, durante durante el a˜ no pasado. Este promedio se considera un est´ andar para medir medir la l a eficiencia eficie ncia del d el departamento departa mento de d e cr´edito edito y cobranzas. Sin S in embargo, durante el mes en curso, un chequeo aleatorio de 81 cuentas dio como resultado un promedio promedio de 24 d´ıas, con una desviaci´ on est´ andar de 9 d´ıas. La gerencia cree cree que el cobro cobro de cuentas se est´a realizando realizando m´ as despacio y est´ a interesada en averiguar si el tiempo promedio de las cuentas por cobrar ha aumentado; ¿Es significativo el resultado al nivel nivel del 5 %?
1.4.
Prueba d de e hi hipotesis o ´tesis para la proporci´ prop orci´ on on p de una poblaci obl aci´ ´ on on Bernou Ber noulli lli
Sea x1 , . . . , xn una m.a. seleccionada de una poblaci´ on on Bernoulli, donde p es la proporci´ on on poblacional. n
Sea p = pˆ = donde X
∼ ∼
∑
X i
i=1
=
n B (n, p).
n´umero umero de ´exitos exitos en la muestra X = n n
Para n suficientemente grande (n (n
la proporci´ on on muestral,
≥ 30) se tiene que pˆ ∼ N ( p,
pq n
)
i) Hip´otesis: otesis: a)
H 0 :
p = p = p 0
H 1 :
p < p0
b)
H 0 :
p = p = p 0
c) H 0 : p = p = p 0
H 1 :
p > p0
H 1 : p = p 0
̸
ii) Nivel Nivel de significancia significancia α. iii) Z 0 =
X np0 pˆ p0 = p (1 p np0 (1 p0 )
√ − − � − 0
−
n
0
)
∼ N (0, (0, 1)
´ ´ P 1.4. 1.4. PRUE PRUEBA BA DE HIP HIP OTESIS PARA LA PROPORCI ON
11
iv) Regi´on on de aceptaci´ on on y de rechazo:
v) Si Z 0
∈ R.A./H , se acepta H . 0
0
ingenieroo de transp transporte orte afirma que el 30 % de los veh veh´´ıculos ıculos demoran demoran Ejemplo 7 Un ingenier m´ as de 5 minutos para pasar por una garita de control. Con el fin de evaluar esta afirmaci´ on se escogi´ o una muestra muestra aleatoria de 400 veh veh´´ıculos y se encontr´ o que 100 de ellos demoraron m´ as de 5 minutos en pasar la garita. 1. Al nivel de signific significaci´ aci´ on del 1 %, ¿presenta ¿presenta esta muestra muestra suficiente evidencia evidencia que indique que el por porcent centaje aje de veh veh´´ıculos que demoran m´ as de 5 minutos en pasar tal garita es diferente de 0,3? 2. Calcular Calcular la prob probabilida abilidadd de tomar la decisi´ decisi´ on errada de aceptar la afirmaci´ on del ingeniero cuando la verdadera proporci´ on de d e todos los veh veh´´ıculos que usan m´ as de 5 0, 0202) 0202) minutos para pasar la garita es 0,2. (Rpta: β (Rpta: β = P [ P [aceptar H 0/p = /p = 0, 2] = 0,
Ejemplo 8 En una estaci´on on de televisi´on on se afirma que 60 % de los televisores estaban sintonizando su programa especial del ultimo ´ domingo. Una red competidora desea contrastar esa afirmaci´ on y decide para esto usar una m.a. de 200 familias, encontrando que 100 de las familias encuestadas sintonizan ese programa. A un nivel de signifi significcancia ancia del 1 %, es cierto cierto lo que afirma la estaci estaci´ on ´ televisora?
Ejemplo 9 El consumidor de un cierto producto acus´ o al fabricante diciendo que m´ as de 20 % de las unidade unidadess que fabrica fabrica son defe defectuosa ctuosas. s. Par Paraa confirma onfirmarr su acusac acusaci´ i´ on, el consumidor us´o una un a m.a. de tama˜ tamano ˜ 50, donde 27 % de las unidades unidades eran defectuos defectuosas. as. ¿Qu´ ¿Q u´e conclus conc lusi´ i´ on se puede extraer? Usar α = 0,1
NOTA: (Prueba con muestras peque˜nas) nas) Sea x Sea x la la cantidad de ´exitos exitos en una un a muestra aleatoria peque˜ pequena ˜ de tama˜ no n no n (n < 30)
Prueba unilateral cola derecha: Se calcula
∑� � n
P = P [ P [X
≥ ≥ x cuando p = p = p ] = 0
k=x
n k n p q k 0 0
k
−
´ CAP ´ ITULO ITULO 1. PRUEB PRUEBAS AS DE HIP HIP OTESIS
12
y se rechaza H rechaza H 0 : p = p = p 0, si el valor de P de P es es menor o igual que el nivel de significaci´on on α.
Prueba unilateral cola izquierda: Se calcula
∑� � x
P = P [ P [X
≤ ≤ x cuando p = p = p ] = 0
k=0
n k n p q k 0 0
k
−
y se rechaza H rechaza H 0 : p = p = p 0, si el valor de P de P es es menor o igual que el nivel de significaci´on on α. Si x < np0 se calcula Prueba bilateral: Si x
∑� �
−
∑� �
−
x
P = P [ P [X
≤ ≤ x cuando p = p = p ] = 0
k=0
n k n p q k 0 0
k
y si x si x > np0 se calcula n
P = P [ P [X
= p ] = ≥ ≥ x cuando p = p 0
k=x
n k n p q k 0 0
k
Se rechaza H rechaza H 0 : p = p = p 0 , si P
≤ ≤ α/ α/2. 2.
Ejemplo 10 Un producto cambiar´ a sus actuales envases s´ olo si al menos menos el 80 % de los consumidores habituales opinan a favor del cambio. Si en una muestra aleatoria de 15 consumidores se encontr´ o que 9 opinaron a favor del cambio y al nivel de significaci´ on 05, ¿se deber´ 061 > α = 0, 05, deber´ıan cambiar cambiar los actuales envases?. RPTA: RPTA: Dado que P que P = 0, 061 > α = 0, 05, 05, no se debe rechazar H 0 .
1.5 1.5.
Pru rueb eba a de hip hipotesis o ´tesis para la varianza
Sea x Sea x 1, . . . , xn una muestra aleatoria seleccionada de una poblaci´ on N on N ((µ, σ 2) donde µ y σ2 son desconocidas. i) Hip´otesis: otesis:
a) H 0 : σ2 = σ 02
b) H 0 : σ 2 = σ 02
H 1 : σ2 > σ02
H 1 : σ 2 < σ02
ii) Nivel Nivel de significancia significancia α. iii) χ20
=
(n
iv) Regi´ Region o´n de aceptaci´ on on y de rechazo:
2
− 1)S 1)S →χ σ 2 0
2 (n−1)
c)
H 0 :
σ2 = σ 02
H 1 :
σ2 = σ 02
̸
´ DE MEDIAS 1.6. COMPARA COMPARACI CI ON
v) Si χ20
13
∈ R.A./H , se acepta H . 0
0
Ejemplo 11 Un profesor profesor de biolog biolog´ıa de la UNSCH cree cree que la varianza varianza del tiempo tiempo de vida de cierto organismo al ser expuesto a un agente mortal, es a lo m´ as 625 min 2 . Una m.a. de 15 organismos dio una varianza de 1225. ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para concluir que la tesis del profesor acerca de la variabilidad es incorrecta? Asumir que la v.a. tiene distribuci´ on N ( N (µ, σ 2 ).
Ejemplo 12 Una de las maneras de mantener bajo control la calidad de un producto es controlar su varianza. Una m´ aquina para enlatar conserva de pescado est´ a regulada para llenar con una desviaci´ on est´ andar de 10gr y media 500 gr. El peso de cada lata de conserva sigue una distribuci´ on N ( N (µ, σ 2 ). ¿Dir´ıa ıa usted que la m´ aquina ha sido adecuadamente regulada en relaci´ on a la varianza, si una muestra de 16 latas de conserva dio una varianza de 169 gr 2 ?.
1.6. 1.6.
Comp Compar arac aci´ i´ on de medias de dos pob poblaciones normales independientes de varianzas conocidas
i) Hip´otesis: otesis:
a) H 0 : µ1 = µ 2
b) H 0 : µ1 = µ = µ 2
c) H 0 : µ1 = µ = µ 2
H 1 : µ1 < µ2
H 1 : µ1 > µ2
H 1 : µ1 = µ 2
̸̸
ii) Nivel Nivel de significancia significancia α. iii) Z 0 =
(X 1
− X ) − (µ − µ ) = 2
�
σ12 n1
1
+
σ22 n2
iv) Regi´on on de aceptaci´ on on y de rechazo:
2
X 1
� − σ12 n1
X 2
+
σ22 n2
→ N (0 N (0,, 1)
´ CAP ´ ITULO ITULO 1. PRUEB PRUEBAS AS DE HIP HIP OTESIS
14
v) Si Z 0
∈ R.A./H , se acepta H . 0
0
Ejemplo 13 Un dise˜ nador de productos est´ a interesado en reducir el tiempo de secado de una pintura. Se prueban dos f´ ormulas de pintura; la f´ ormula 1 tiene el contenido qu´ımico ım ico est´ es t´ andar, y la f´ ormula 2 tiene un nuevo ingrediente secante que debe reducir el tiempo de secado. De la experiencia se sabe que la desviaci´ on est´ andar del tiempo de secado es 8 minutos, y esta variabilidad inherente no debe verse afectada por la adici´ on del nuevo ingrediente. ingrediente. Se pintan 10 espec espec´ımenes con la f´ ormula 1, y otros 10 con la f´ ormula 2. Los dos tiempos promedio de secado muestrales son X X 1 = 121 y X X 2 = 112 , ′
′
respectivamente. ¿A que conclusiones puede llegar el dise˜ nador del producto sobre la eficacia del nuevo ingrediente, utilizando α = 0, 05? 05?
1.7.
Docima ´ ocima de hip´ otesis otesis sobre las medias medias de dos poblaciones poblaciones normales normales independien independientes, tes, varianarianzas desconocidas
i) Hip´otesis: otesis: a) H 0 : µ1 = µ = µ 2
b)
H 1 : µ1 < µ2
H 0 :
µ1 = µ 2
H 1 :
µ1 > µ2
c)
H 0 :
µ1 = µ 2
H 1 :
µ1 = µ 2
ii) Nivel Nivel de significancia significancia α. iii) CASO 1: σ12 = σ 22 = σ 2 t0 =
X 1
�
− X
2
(n1 −1)S 12 +(n2 −1)S 22 n1 +n2 −2
�
1 n1
CASO 2: σ12 = σ 22
̸̸
t0 =
X 1
� − S 12 n1
X 2
+
S 22 n2
∼t
(v ) ,
donde
+
1 n2
� → �
v =
t(n
+n2 −2)
S 12 n1
S 22 n2
S2
1
+
2
� �
n1 +1
2
� � −2 S2
1
n1
�
2
2
+
n2
n2 +1
̸̸
´ 1.8. 1.8. PRUE PRUEBA BA DE HIP HIP OTESIS SOBRE DOS PROPORCIONES
15
iv) Regi´on on de aceptaci´ on on y de rechazo:
v) Si t0
∈ R.A./H , se acepta H . 0
0
Ejemplo 14 Un fabric fabricant antee de monito monitorres prueb pruebaa dos dise˜ dise˜ nos de micro microcircuito circuito para determinar si pro producen ducen un flujo de corriente equivalente. El departamento de ingenier´ ingenier´ıa ha obtenido los datos siguientes: Dise˜ no 1:
n1 = 15
X 1 = 24, 24, 2
S 12 = 10
Dise˜ no 2:
n2 = 10
X 2 = 23, 23, 9
S 22 = 20
Con α = 0, 10, 10, determinar si existe alguna diferencia significativa en el flujo de corrient orrientee prome promedio dio entr entre los dos dise˜ nos, nos, donde donde se supone supone que las dos pobl oblacio aciones nes son normales, pero no es posible suponer que las varianzas desconocidas σ12 y σ22 sean iguales.
1.8.
Prueba Prueba de hip´ otesis otesis sobre dos proporciones proporciones
i) Hip´otesis: otesis: a) H 0 : p1 = p 2
b) H 0 : p1 = p 2
c) H 0 : p1 = p 2
H 1 : p1 < p2
H 1 : p1 > p2
H 1 : p1 = p 2
̸̸
ii) Nivel Nivel de significancia significancia α. iii) Z 0 =
p p1
p p2
� � − � ∼ p pq q
1
n1
+
N (0 N (0,, 1), 1), donde p = p =
1
n2
iv) Regi´on on de aceptaci´ on on y de rechazo:
X 1 + X 2 n1 + n2
y
q q = =1
p p
−
´ CAP ´ ITULO ITULO 1. PRUEB PRUEBAS AS DE HIP HIP OTESIS
16
v) Si Z 0
∈ R.A./H , se acepta H . 0
0
uan dos tipos diferentes de soluciones para pulir, para su posible Ejemplo 15 Se eval´ uso en una operaci´ on de pulido en la fabricaci´ on de lentes intraoculares utilizados en el ojo humano despu´es es de una cirug´ cirug´ıa de cataratas. cataratas. Se pulen 300 lentes con la primera soluci´ on y, de ´estos, estos, 253 no presentaron presentaron defectos inducidos por el pulido. Despu´es es se pulen otros 300 lentes con la segunda soluci´ on, de los cuales 196 resulta resultan n satisfactorio satisfactorios. s. ¿Existe alguna raz´ on para creer que las dos soluciones para pulir son diferentes? Utilizar α = 0, 01
Ejemplo 16 Los administradores de los hospitales, en muchos casos, se encargan de obtener y calcular algunas estad´ estad´ısticas que son de suma importancia par paraa los m´ edicos edicos y para los encargados de decidir en el hospital. En los registros del Hospital Regional de Ayacucho se tiene que 80 hombres, de una muestra de 900 hombres, y 51 mujeres, de una muestra de 800 mujeres, ingresaron al hospital por causa de alguna enfermedad ven´ ven´erea erea.. ¿Puede ¿Puede o no considerarse onsiderarse que estos datos present presentan an evidencia evidencia suficiente suficiente en el sentido sentido de que existe existe una mayor tasa de afec afecciones ven´ere ereas en los hombres hombres que ingresan al hospital? otesis son de la forma: NOTA: Si las hip´otesis a) H 0 : p1 H 1 : p1
− p − p
2
= p 0
b) H 0 : p1
2
< p0
H 1 : p1
la funci´on on pivotal es: Z 0 =
1.9. 1.9.
− p = p = p − p > p 2
0
2
0
c)
H 0 :
p1
H 1 :
p1
− p = p = p − p̸̸ = p 2
0
2
0
( p p1 p p2 ) p0 p p1 q q 1 p p2 q q2 + n1 n2
� − −
Prue Prueba ba para para la igua iguald ldad ad de dos dos var varia ianz nzas as
Supongamos que se tiene inter´es es en dos poblaciones p oblaciones normales nor males independientes, indep endientes, donde las medias y varianzas de la poblaci´ on, on, µ1 , σ12 , µ2 y σ22, son desconocidas. Se desea probar
17
1.9. PRUEBA PRUEBA PARA PARA LA IGUALDAD IGUALDAD DE DOS VARIAN VARIANZAS ZAS
la hip´otesis otesis sobre la igualdad de las dos varianzas. Supongamos que para ello se tienen disponibles dos muestras aleatorias; una de tama˜ no no n1 tomada de la poblaci´on o n 1, y la otra de tama˜ no no n2 proveniente de la poblaci´on o n 2, y sean S 12 y S 22 las varianzas muestrales. i) Hip´otesis: otesis: a)
H 0 :
σ12
= σ 22
H 1 :
σ12 > σ22
� � � � σ12 =1 σ22 σ12 > 1 σ22
b) H 0 : H 1 :
σ12
= σ 22
σ12 = σ 22
̸̸
� � � ̸� σ12 =1 σ22 σ12 =1 σ22
ii) Nivel Nivel de significancia: significancia: α. iii)
S 12 F 0 = 2 S 2
∼ F
(n1 −1,n2 −1)
iv) Regi´on on de aceptaci´ on on y de rechazo:
v) Si F 0
∈ R.A./H , se acepta H . 0
0
NOTA: Como las etiquetas asignadas a las poblaciones son arbitrarias, hagamos que σ12 sea la varianza de la poblaci´on on que se propone prop one como la mayor. n´ıas de compuestos qu´ qu´ımicos pueden surtir materia materi a prima. prima . La Ejemplo 17 Dos compa˜ concentraci´ on de un elemento en particular en este material es importante. La concentraci´ on promedio de ambos proveedores es la misma, pero se sospecha que la variabilidad en la concentraci´ on puede diferir entre las dos compa˜ n´ıas. ıa s. La desv de svia iaci´ ci´on on est´ es t´ andar de la concentraci´ concentraci´ on en una m.a. de 15 lotes producidos por la compa˜ n´ıa 1 es 4,7gr/l, mientras que para la compa˜ n´ıa 2, una m.a. de 20 lotes propor proporciona ciona una desviaci´ desviaci´ on est´ andar de 5,8gr/l. ¿Existe evidencia suficiente para concluir que las varianzas de las dos poblaciones son diferentes? Usar α Usar α = 0, 05. 05.