Modelado Matemático y Simulación con MatLab Para estudiantes de Ingeniería Ricardo J. De Armas C. David Macías M. Amed A. Alfonso C.
Volumen 1
Con este libro se pretende hacer una propuesta tanto metodológica como de enfoque de contenidos para el desarrollo de la competencia de modelado matemático y simulación. La propuesta va dirigida tanto a docentes como estudiantes de las carreras de ingeniería. El proceso de construir un modelo matemático para resolver o analizar un problema de la vida real, es un proceso que no surge de manera natural o espontánea de las estructuras mentales de las personas. Para asimilarlo e interiorizarlo, se requiere inicialmente del acompañamiento de un especialista. Esta es la razón por la cual además de presentar una estructura de contenidos con un enfoque que da lugar a dicha organización, se hace una propuesta metodológica que da lugar a un acompañamiento en el proceso de aprendizaje de los estudiantes, hasta el logro de una autonomía total en su ejecución. La metodología propuesta consiste en presentar de forma incompleta, tareas sobre procesos de modelado, la actividad de los estudiantes consiste en completar el proceso. A medida que se avanza en el aprendizaje de los estudiantes, sobre la competencia de modelado, se reduce la ayuda dada sobre el proceso y por tanto se aumenta la exigencia a los estudiantes. El problema propuesto a los estudiantes tiene una doble intencionalidad, por un lado el desarrollo de la competencia sobre modelado matemático, y por el otro la aprehensión de los contenidos asociados al problema objeto de estudio. La representación mental del problema produce una tensión cognitiva orientada a la búsqueda de la información de contenidos que no posee el estudiante y que son necesarios para la solución del problema. Para el desarrollo de las habilidades cognitivas relacionadas con la competencia de modelado matemático, se utiliza la teoría de los conjuntos-T de los profesores Ricardo J. de Armas C. y David Macías M. Se espera que el libro sea de ayuda para los orientadores del proceso de aprendizaje en este campo y aporte en el desarrollo de la competencia de modelado matemático y simulación en los estudiantes.
“Hay que empezar haciendo lo posible
para terminar realizando lo imposible” Er nesto Gu evara
“Que todo nuestro conocimiento empieza con la experiencia, es efectivamente cosa sobre la cual no hay duda…, pero, aunque nuestro conocimiento empieza con la experiencia, no nace todo él de la experiencia” I mmanuel Kant
Agradecimientos
Los autores expresan sus agradecimientos a la doctora Edel Serrano I. directora del Departamento de Matemáticas de la Universidad Central por su gestión ante la Facultad de Ingeniería para que aprobaran los tiempos y recursos necesarios para investigar y escribir este material. También extienden sus agradecimientos a todos los estudiantes y profesores de la Facultad de Ingeniería quienes han aportado directa o indirectamente al enriquecimiento del libro con observaciones, sugerencias y material didáctico; por ejemplo, los estudiantes que construyeron en MatLab las ilustraciones que aparecen en la portada.
Contenido
Introducción...........................................................................................................................6 Capítulo 1. Modelos Matemáticos ……………………………………………………….10
1.1. Introducción...................................................................................................................10 1.2. Sistema...........................................................................................................................12 1.3. Los modelos ………………..........................................................................................14 1.4. Los modelos matemáticos..............................................................................................15 1.5. Simulación......................................................................................................................17 1.6. El modelado matemático................................................................................................18 1.7. La competencia de modelado matemático.....................................................................19 1.8. Los Conjuntos-T……………………………………………………………………….20 1.9. Limitaciones en la formulación del modelo matemático...............................................25 1.10. Recomendaciones y Reflexiones….…………..........................................................26 Capítulo 2. Introducción a MatLab ……………………………………………………...28
2.1. Introducción...................................................................................................................28 2.2. Matrices..........................................................................................................................29 2.3. Gráficas en dos dimensiones..........................................................................................41 2.4. Programación con MatLab.............................................................................................56 2.4.1 Archivos en MatLab..................................................................................................56 2.4.2 Diagramas de flujo....................................................................................................56 2.4.3 Estructuras básicas de programación........................................................................57 2.5. Diseño de interfaces gráficas.........................................................................................80 2.5.1. Creando el ambiente de trabajo GUIDE…………………………………………...81 2.5.2. Controles de una GUIDE…………………………………………………………..82 2.6. Diseño de figuras cerradas en dos dimensiones.............................................................96 2.7. Animación de trayectorias............................................................................................101 Capítulo 3. Modelos Determinísticos ……………………………………………...……106
3.1. Introducción.................................................................................................................106
3.2. Modelado matemático del crecimiento de la población humana.................................108 3.3. Modelado matemático de la población del mundo en el siglo XX..............................115 3.4. Modelado matemático de la población de Kenia (1950-1990)....................................123 3.5. Modelado matemático de las especies Linces contra Conejos.....................................130 3.6. Modelado matemático de un Sistema Eléctrico...........................................................138 3.7. Modelado matemático de un Sistema Mecánico..........................................................145 3.8. Modelado matemático de un Sistema Mecánico con amortiguamiento.......................154 3.9. Modelado matemático de un cuerpo en caída libre......................................................163 3.10. Modelado matemático del movimiento de proyectiles……………………………170 Capítulo 4. Modelos Estocásticos ……………………………………………………….180
4.1. Introducción.................................................................................................................180 4.2. Generación de números aleatorios...............................................................................182 4.2.1. Los números aleatorios…………………………………………………………….182 4.2.1.1. Algoritmo de cuadrados medios…………………………………………………182
4.2.1.2. Algoritmo congruencial lineal…………………………………………………...184 4.2.1.3. Algoritmo congruencial cuadrático…………………………………………...…187 4.2.2. Números aleatorios con MatLab…………………………………………………...188 4.2.3. Señales con ruido……………………………………………………………..……189
4.3. Conceptos Estadísticos.................................................................................................190 4.3.1. Variables aleatorias…………………………………………………………...……190 4.3.2. Promedio Móvil……………………………………………………………………190
4.3.3. Distribución de probabilida d……………………………………………………….192 4.3.4. Esperanza matemática o valor esperado…………………...………………………193
4.4. Simulación de las temperaturas de una estufa..............................................................196 4.5. Simulación los tiempos de atención de un cajero en el banco.....................................198 4.6. Simulación del número de piezas en una línea de ensamble.......................................201 4.7. Modelado matemático de la cola en el banco..............................................................207 Referencias Bibliográficas………………………………………………………………212
Introducción
Los problemas de la vida real (p. ej., describir el crecimiento en el tiempo de dos especies que interactúan en una comunidad cerrada donde una es la depredadora y la otra es la presa que cuenta con abundante alimentación) se pueden solucionar usando ya sea el método científico o construyendo un modelo matemático. El método científico consiste en: “observar y describir”, “desarrollar hipótesis o explicaciones”, “comprobar por
experimentación dichas hipótesis” y “aplicar estos conocimientos en la resolución de problemas similares”. La construcción de un modelo matemático consiste en: “definir el problema”, “identificar las teorías que lo gobiernan”, “formular el modelo matemático”, “resolver el modelo”, “interpretar los resultados”, “predecir hechos acerca del mundo real”, “validar el modelo” y “determinar las limitaciones del mismo”.
La construcción de un modelo matemático para resolver problemas de la vida real presenta varias ventajas. Una está vinculada con la optimización de recursos económicos. Es decir, los modelos matemáticos no requieren inicialmente gastos materiales significativos para su formulación; es más económico y rápido elaborar un modelo matemático que describa el comportamiento de un sistema depredador – presa y usar el computador para experimentar, que empezar con un determinado número de cada una de las especies y tener que esperar cierto tiempo para poder experimentar con ellas. Otra ventaja se encuentra en el sistema educativo. El desarrollo de la competencia de modelado matemático y simulación en la formación del ingeniero le permite entre otras cosas: relacionar las matemáticas con otras disciplinas y conectarse con los problemas sensibles de la sociedad. En este nuevo contexto educativo, el estudio de las matemáticas deja de ser considerado como el trabajo con conceptos abstractos alejados de la actividad humana (Brito-Vallina et ál., 2011). La competencia de modelado matemático y simulación se entiende como el conjunto de habilidades cognitivas específicas que requiere una persona para formular un modelo matemático y resolver un problema de la vida real. Estas habilidades cognitivas específicas son: la habilidad para explicar brevemente y sin ambigüedades de qué se trata el problema, la habilidad para describir el entorno físico del problema, la habilidad de establecer
objetivos para resolver el problema, la habilidad para manejar la información científica que se relaciona con el problema, la habilidad para establecer las variables de interés, los parámetros constantes y un conjunto de suposiciones razonables (las hipótesis) sobre las variables de acuerdo con las teorías que gobiernan el problema y la traducción al lenguaje matemático de todas las suposiciones, la habilidad para analizar tablas de datos (reconocimiento de patrones, interpretación numérica, gráfica y sugerir representaciones algebraicas), la habilidad de usar las matemáticas y/o las estadísticas para solucionar los modelos matemáticos, habilidad para programar las soluciones matemáticas (simular y animar), la habilidad para interpretar matemáticamente los resultados de la simulación, la habilidad para validar los modelos matemáticos y por último la habilidad para limitar el modelo matemático (sin atribuirle cualidades que no llega a poseer). Para desarrollar la competencia de modelado matemático y simulación en la formación de los ingenieros, en este libro se usa la teoría de los conjuntos-T propuesta por los profesores Ricardo J. De Armas y David Macías M. (2013) que siguen la trayectoria Brito-Vallina et ál. (2011), misma que estructura de modo sistémico el desarrollo de la habilidad de modelar teniendo en cuenta la clasificación de los principales modelos matemáticos para las ingenierías. Para cada problema de la vida real que se propone, el estudiante debe construir un conjunto-T compuesto por ocho tareas que le permite alcanzar la solución del mismo y de
aquellos que le son similares. La ejecución de cada tarea trae consigo la entrega de unos productos específicos que serán evaluados por un especialista (p. ej., el profesor). Cada producto tiene como finalidad formativa el desarrollo de alguna de las habilidades específicas que hacen parte del conjunto de habilidades de la competencia de modelado matemático y simulación. Al desarrollar la competencia de modelado matemático y simulación se tiene que lidiar con algunos obstáculos epistemológicos. Por ejemplo, la resistencia a los trabajos de esta naturaleza por parte de la mayoría de los estudiantes. Estos, al ser el resultado de experiencias de enseñanza tradicionales presentan dificultades para: escribir, leer, entender
e interpretar; es decir, para hacer una lectura significativa cuando son colocados frente a un texto. Otro ejemplo, tiene que ver con la poca disposición que tienen hacia las tareas de investigación. El poco manejo (o nada) que evidencia la mayoría sobre las herramientas computacionales dificulta el desarrollo de la competencia. Para superar estos obstáculos, en este libro se acompaña a los estudiantes en el desarrollo de las tareas hasta el logro de una autonomía total en su ejecución. Se presentan inicialmente tareas con desarrollos incompletos (la parte faltante se encuentra subrayada) y como actividad de los estudiantes se solicita la completitud de dicha tarea. La exigencia de completitud va aumentando progresivamente hasta el logro del desarrollo total de la tarea por parte de los estudiantes. El manejo computacional es solucionado con el capítulo dos. La ejecución de las tareas produce una tensión cognitiva1 que los lleva a la necesidad de la búsqueda de una información. Esa información la pueden tener, no recordarla o no poseerla. Si no disponen definitivamente de ella deben buscarla, entenderla y aplicarla. El libro se organiza de la siguiente manera: en el primer capítulo, se crea el vocabulario (sistema, modelo, modelos matemáticos, simulación, modelado matemático y simulación) que se emplea en los demás capítulos. Además contiene la estrategia educativa propuesta para el desarrollo de la competencia de modelado matemático y simulación. En el segundo capítulo se desarrollan ejemplos y se proponen ejercicios que demandan el manejo de comandos básicos del programa MatLab que le permitirán al usuario entre otras cosas: graficar, programar, simular y animar los modelos matemáticos. Se seleccionó este programa por ser amigable, robusto y de manejo casi obligatorio para la mayoría de las ingenierías. En el tercer capítulo se resuelven problemas de la vida real que demandan la formulación de modelos determinísticos para ser solucionados. En el cuarto y último capítulo se resuelven problemas de la vida real que demandan la formulación de modelos estocásticos para ser solucionados. A pesar de la variedad de modelos matemáticos que existen, se escogieron estos, porque los estudiantes ya los han manipulado en áreas como la Química, la Física y la Biología entre otras; lo que facilita el trabajo pedagógico de los orientadores del proceso de aprendizaje en este campo. Por tratarse este texto del primer
1
Estado anímico de excitación, impaciencia, esfuerzo o excitación producido por determinadas circunstancias o actividades.
volumen o nivel introductorio al modelado matemático y simulación, los problemas de la vida real fueron escogidos con el mismo criterio de selección de los modelos. Es de resaltar que el libro va dirigido a los estudiantes de pregrado de ingeniería. Los trabajos publicados sobre el modelado matemático disponibles en el medio educativo para ser desarrollados en clases son muy escasos; problema que se agudiza en los niveles de pregrado. Se espera que este material sea de mucha ayuda a los orientadores del proceso de aprendizaje en este campo y les permita desarrollar la competencia de modelado matemático y simulación de sus estudiantes.
Capítulo 1 Modelos Matemáticos 1.1. Introducción
Según Maldonado et ál. (2013) la ingeniería, entendida como ciencia de síntesis, está orientada a generar soluciones a problemas del entorno 2, por integración de conocimientos de diferente srcen y a probar estas soluciones tomando los modelos conceptuales (matemáticos) como dispositivos para lidiar con la complejidad de los sistemas como referentes de conocimiento. De acuerdo con esto surgen las siguientes preguntas: ¿cuáles son las competencias o habilidades3 cognitivas matemáticas que requiere el ingeniero para resolver los problemas del entorno?, ¿las habilidades matemáticas que se desarrollan en los cursos tradicionales de matemáticas son las que requiere el ingeniero para resolver problemas del entorno?, ¿por qué los modelos matemáticos se han vuelto un tema de interés general tanto a nivel nacional como mundial en la formación de los ingenieros? y ¿los profesores de matemáticas están preparados para desarrollar las habilidades matemáticas de los ingenieros para resolver los problemas del entorno? Los siguientes párrafos dan cuenta de estas preguntas. El ingeniero es una persona con competencias y habilidades matemáticas que le permiten entre otras cosas: interpretar los problemas del entorno, manejar la información científica, formular modelos matemáticos para resolver los problemas del entorno, usar herramientas computacionales, trabajar en equipos interdisciplinarios y comunicar sus resultados usando lenguajes precisos como el matemático.
2
Entiéndase como problemas de la naturaleza y de la sociedad. Es el sistema de acciones u operaciones que usa la persona cuando debe ejecutar una tarea para obtener un(os) producto-(s) que será-(n) valorado-(s) por un especialista. 3
En la mayoría de los cursos tradicionales de matemáticas dirigidos a los ingenieros, se enfatiza mucho en los ejercicios de cálculo; algo que está lejos de desarrollar las competencias y habilidades matemáticas que requiere el ingeniero para resolver los problemas del entorno. Los modelos matemáticos se han vuelto un tema de interés general tanto a nivel mundial como nacional, porque por medio de ellos, los ingenieros pueden relacionar las matemáticas con otras disciplinas, conectarse con los problemas sensibles de la sociedad y proponer soluciones. Este interés se puede evidenciar en varios estudios internacionales dirigidos por la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE, 2003), en particular, el del Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos PISA (Programme for International Assessment) que mide la capacidad para resolver problemas usando modelos matemáticos (OCDE, 2007). Los modelos matemáticos son inevitables en el quehacer del ingeniero. Poco se ha trabajado en modelos didácticos para el aprendizaje del modelado matemático en los estudiantes a pesar de que en casi todas las áreas hay modelos matemáticos aplicados (Física, Química, Biología y Economía, entre otras). Estos modelos les son dados en estado terminal a los estudiantes para ser aplicados, es decir, no son productos de un proceso de formulación. Los orientadores del proceso de aprendizaje en este campo no han recibido unas directrices de cómo utilizar una estrategia de formular modelos matemáticos para resolver los problemas del entorno en la enseñanza formal; esto se está construyendo de manera empírica por cada uno de los docentes encargados de orientar dicho proceso o como viene ocurriendo en los cursos de formación continua o disciplinas de posgrado de Educación Matemática. Dos son los objetivos que se proponen en este capítulo. El primero tiene que ver con la comprensión en contexto de los conceptos: sistema, modelo, modelo matemático, simulación, modelado matemático y simulación; que permitirá crear el vocabulario que se usará en el resto del libro. Se debe ser conciente que en el ámbito científico para construir modelos matemáticos hay que disponer de conocimientos especializados de las temáticas
en donde se contextualizan los problemas del entorno, algo que no es posible en los niveles de pregrado de ingeniería; pero lo que sí es viable como segundo objetivo, es la metacognición4 del ejercicio de formulación de un modelo matemático para resolver problemas del entorno. El capítulo se organiza de la siguiente manera: desde la sección 1.2 hasta la sección 1.5 se analizan y definen los conceptos de: sistema, modelo, modelo matemático, simulación, proceso de modelado matemático y simulación, respectivamente, en la sección 1.6 se analiza el proceso de modelado matemático, en la sección 1.7 se presenta una definición sobre la competencia de modelado matemático, en la sección 1.8 se presenta una estrategia educativa para desarrollar la competencia de modelado matemático, en la sección 1.9 se revisan algunas limitaciones que se deben tener en cuenta a la hora de formular un modelo matemático y en la última sección, la sección 1.10 se presentan algunas reflexiones y recomendaciones útiles para el modelado matemático. 1.2. Sistema
La realidad es una red compleja de relaciones entre objetos por lo que su análisis es una tarea nada fácil. Sin embargo, una estrategia de análisis que se ha mostrado efectiva desde hace más de cincuenta años, es tratarla como un sistema. Este término aparece en una variedad de contextos: académicos, empresariales y hasta populares con distintas interpretaciones por lo que se debe ser cuidadoso con el mismo. En este libro, cuando se use el término sistema se estará haciendo referencia a una porción de la realidad. El análisis riguroso de la realidad, es decir, el análisis de una multiplicidad de relaciones entre los objetos de la porción de la realidad, demanda del diseño de sistemas complejos que contienen componentes que proceden de tecnologías heterogéneas (Mecánica, Electrónica, Industrial, Sistemas y Ambiental entre otras). Este tipo de sistemas requiere de ingenieros trabajando en equipos interdisciplinarios aportando conocimientos, competencias y habilidades específicas de acuerdo con los perfiles respectivos.
4
El estudiante es conciente del proceso a seguir en el modelado matemático de un fenómeno y su importancia en la optimización de recursos.
Definir sistema no es sencillo. Las definiciones de sistemas en la literatura científica contienen invariantes como: colección, componentes, funciones, interactuar, propósitos y realidad. De acuerdo con estas puede establecerse la siguiente definición. Definición 1. Sistema
Es una colección de componentes relacionadas que desarrollan funciones específicas para cumplir con un propósito definido en la realidad. Ejemplos de sistemas:
El cuerpo humano
La Tierra
El universo
Sistema ecológico
Sistema mecánico
Sistema eléctrico
Sistema de servicio Sistema de producción
La empresa
Cada uno de estos sistemas contiene componentes relacionados que cumplen funciones específicas con un determinado propósito. Los sistemas pueden interactuar con su entorno, formar parte de otros sistemas o estar constituidos por otros sistemas. Existen sistemas: estáticos, dinámicos, materiales, inmateriales, vivos e inanimados. 1.3. Los modelos
En los sistemas acontecen una variedad de fenómenos que se pueden explicar, describir o predecir usando modelos. Por medio de estos, los seres humanos han logrado articular de
una manera sistemática los conocimientos que se obtienen de la experiencia mediante el proceso de investigación. Definición 2. Modelos
Son representaciones simplificadas que describen sistemas, soportados en unos supuestos teóricos o teorías y creados para fines determinados. El término modelo fuera del ámbito científico da lugar a ambigüedades y confusiones por su carácter polisémico. En la ciencia se pueden encontrar una variedad de modelos como por ejemplo: los físicos, los abstractos, los dinámicos, los estáticos, los empíricos, los explicativos, los determinísticos, los estocásticos, los de simulación y los analíticos entre otros.
Los modelos físicos son réplicas físicas a menor escala.
Los modelos abstractos usan símbolos para representar los sistemas estudiados.
Los modelos estáticos describen una relación, o un conjunto de relaciones, que no cambia en el tiempo.
Los modelos dinámicos describen una relación, o un conjunto de relaciones, que varía en el tiempo.
Los modelos empíricos describen un conjunto de relaciones, sin representar explícitamente los procesos o mecanismos que operan el sistema real; el objetivo es predecir y no explicar.
Los modelos explicativos representan la dinámica interna del sistema de interés; el objetivo de estos modelos es explicar el comportamiento del sistema por medio de la representación de los mecanismos causales de dicho comportamiento.
Los modelos determinísticos no contienen variables aleatorias; las predicciones obtenidas usando modelos determinísticos para un conjunto específico de condiciones serán siempre las mismas.
Los modelos estocásticos contienen una o más variables aleatorias; las predicciones obtenidas usando un modelo estocástico para un conjunto específico de condiciones
no siempre son las mismas, ya que las variables aleatorias dentro del modelo pueden tomar diferentes valores cada vez que se resuelve el modelo.
Los modelos analíticos son aquellos que se pueden resolver matemáticamente en forma cerrada.
Los modelos de simulación son aquellos para los cuales es imposible encontrar una solución analítica debido a que la función, o el conjunto de ecuaciones que describen es demasiado compleja y deben resolverse numéricamente usando un conjunto de operaciones aritméticas.
1.4. Los modelos matemáticos
En ciertas ocasiones la descripción del comportamiento de los fenómenos que acontecen en un sistema demanda el uso de lenguajes especializados como el matemático. Es decir, se deben usar los modelos matemáticos. Definición 3. Modelos Matemáticos
Son representaciones simplificadas en lenguaje matemático (usualmente funciones o ecuaciones) que describen sistemas y son creados para fines determinados. Ejemplos de modelos matemáticos: a) La representación matemática
describe la relación entre los habitantes
el tiempo en una comunidad. ( es una razón de crecimiento). b) La representación matemática
describe la relación entre la posición
con el tiempo de una masa sujetada a un resorte ( y del sistema masa-resorte).
y
son parámetros constantes
c) La representación matemática describe la relación entre la carga y el tiempo en el capacitor de un circuito RLC en serie ( , y son parámetros contantes).
d) La representación matemática posición
describe la relación entre la
con el tiempo de un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba. (
la posición inicial,
la velocidad inicial y
es
corresponde al valor de la gravedad)
e) La representación matemática
describe la relación entre los
tiempos de servicio de un servidor y los clientes en la caja de un banco, si se sabe por los datos históricos que estos siguen una distribución de probabilidad exponencial con media de 3 minutos por cliente. ( son números aleatorios) f) La representación matemática promedio
velocidades
describe la relación entre el tiempo
que espera un cliente en la cola de un banco para ser atendido y las y
(
es la velocidad de llegada de clientes al banco y
velocidad de atención del servidor).
es la
Los modelos matemáticos a pesar de que reflejan solo una dimensión del sistema modelado, pueden también describir una clase completa de sistemas, es decir, el modelo construido a partir de la observación de un fenómeno en particular puede permitir la descripción del mismo fenómeno en otros contextos o de otros fenómenos. Los modelos matemáticos no requieren inicialmente gastos materiales significativos para su formulación, por ejemplo, es más económico y rápido elaborar un modelo matemático que describa el crecimiento de una población biológica, que empezar con un determinado número de individuos y tener que esperar cierto tiempo para poder experimentar con ellos. De acuerdo con Brito Vallina et ál., (2011) los modelos matemáticos se pueden clasificar atendiendo a:
La teoría o técnica básica utilizada en su elaboración.
La naturaleza de los procesos que lo componen.
La estructura matemática.
En la primera clase se encuentran los modelos: de transporte, de balance de población y los empíricos. En la segunda clase se encuentran los modelos: determinísticos y los estocásticos, los estacionarios y los no estacionarios, los de parámetro combinado y los de parámetros distribuidos. En la tercera clase se encuentran los modelos: de ecuaciones algebraicas (lineales y no lineales), de ecuaciones diferenciales (ordinarias o parciales), de ecuaciones integrales y de ecuaciones en diferencias (en una dimensión y multidimensionales). En un modelo matemático siempre es posible identificar dos conjuntos: uno de relaciones (de igualdad y/o de desigualdad) y otro de variables sobre las que se definen las relaciones, que reflejan la esencia de los sistemas en observación. Históricamente, la construcción de los modelos matemáticos se ubica en el renacimiento constituyendo el inicio de la ciencia moderna. 1.5. Simulación
El término “simulación” apareció en el año 1940, cuando el matemático húngaro,
nacionalizado estadounidense Von Neuman junto con el matemático, polacoestadounidense Stanislau Ulam que trabajaban en el proyecto manhattan (construcción de la primera bomba atómica antes que los nazis lo consiguieran), hicieron referencia al término Simulación Montecarlo, en el Laboratorio Nacional de los Álamos de California, durante la segunda guerra mundial; resolviendo problemas de reacciones nucleares cuya solución experimental era muy costosa y el análisis matemático demasiado complejo. Se vieron obligados a usar modelos matemáticos para imitar y describir paso a paso el comportamiento de dichas reacciones nucleares. Definición 4. Simulación
Es el uso de un modelo matemático para imitar, o describir paso a paso (a través de una computadora) el comportamiento del sistema que se está analizando.
La simulación presenta varias desventajas. Una tiene que ver con los resultados; estos al ser de carácter numérico pueden ser imprecisos debido al truncamiento o redondeo de las cifras decimales y con el tiempo se convertirán en unas cifras muy significativas al obtenerse el error. La simulación se puede usar cuando: los procedimientos matemáticos son muy complejos y engorrosos, se necesita controlar experimentos por un cierto periodo de tiempo para observar el comportamiento del sistema y se requiere que un proceso sea estudiado en menos tiempo del real. También tiene aplicación en la educación como laboratorios de aprendizaje (p. ej., interactuar con fenómenos naturales para comprenderlos) y en el entrenamiento profesional (p. ej., simuladores de vuelo para el entrenamiento de pilotos). Las simulaciones en este libro se desarrollan en el ambiente de desarrollo de interfaces gráficas de usuarios de MatLab denominado GUIDE. Ejercicio 1.
Escribir un ensayo cuyo tema es “La realidad y los modelos matemáticos”.
1.6. El modelado matemático
Un problema del entorno puede resolverse construyendo un modelo matemático o usando el método científico. Cualquiera de estos procesos requiere de la ejecución de una serie de pasos. Definición 5. Modelado Matemático
Es el proceso de construcción o formulación de un modelo matemático. Los pasos que se siguen en el proceso de modelado matemático y simulación se ilustran en la figura 1. Este modelo frecuentemente aparece asociado a nombres como: Gerda de Vries, (2001) y Brito-Vallina et ál., (2011) entre otros.
Figura 1: Ilustra los pasos del proceso de modelado matemático y simulación
En este esquema se resaltan cuatro características: la relación con el mundo real, la estructura matemática, la inferencia matemática y las predicciones sobre el sistema representado (Maldonado et ál., 2013). 1.7. La competencia de modelado matemático
La competencia de modelado matemático se entiende como el conjunto de habilidades cognitivas específicas que permiten al sujeto formular un modelo matemático y resolver un problema del entorno. A continuación se detalla este conjunto de habilidades cognitivas.
Habilidad para explicar brevemente y sin ambigüedades de qué se trata el problema que se debe resolver. Habilidad para describir el entorno físico del problema que se debe resolver. Habilidad para establecer objetivos que permiten resolver el problema. Habilidad para manejar la información científica que se relaciona con el problema. Habilidad para establecer las variables de interés, los parámetros constantes y un conjunto de relaciones razonables (las hipótesis) sobre las variables de acuerdo con la teoría que gobierna el problema y la representación matemática de todas las relaciones. Habilidad para analizar tablas de datos (reconocimiento de patrones, interpretación numérica, gráfica y sugerir representaciones algebraicas). Habilidad de usar las matemáticas y/o las estadísticas para solucionar los modelos matemáticos. Habilidad para programar las soluciones matemáticas (simular y animar).
Habilidad para interpretar los resultados de la solución. Habilidad para validar modelos matemáticos. Habilidad para limitar el modelo matemático (sin atribuirle cualidades que no llega a poseer).
1.8. Los Conjuntos-T
Una estrategia educativa para desarrollar la competencia de modelado matemático y simulación es hacer uso de los conjuntos-T5. Definición 6. Conjunto-T
Es el conjunto formado por un mínimo número de tareas cuyas ejecuciones reiterativas permiten el desarrollo de una o varias competencias; entendiéndose como tarea el estímulo que activa configuraciones mentales y/o operaciones intelectuales para obtener un producto cuya validez está determinada por un especialista.
Hay tareas que son necesarias para desarrollar una competencia pero no son suficientes; “el mínimo número de tareas” en la definición seis hace referencia a las tareas que son necesarias y suficientes. La ejecución de tareas adicionales implica un grado mayor de especialización en el sujeto. Cada tarea ejecutada permite el desarrollo de una o varias habilidades específicas. La finalidad de la tarea es la obtención de un producto. En el caso del modelado matemático se proponen los siguientes los productos:
Una proposición
Un listado
Un párrafo
Un texto
Una tabla de datos
Un código Una interface
5
La teoría de los conju ntos-Tes autoría de los profesores Ricardo J. De Armas C. y David Macías M.
Una animación
Un artículo
Un prototipo o maqueta
Se hace una aclaración sobre los tres primeros productos. La proposición es un enunciado al cual se le puede asignar dos valores: o bien es verdadero, o bien es falso. El párrafo es la secuencia organizada de varias proposiciones coherentemente relacionadas, interna y externamente por conectivos y signos de puntuación, que expresa una idea principal, pensamiento o idea temática. Un texto está compuesto por uno o más párrafos y que gira alrededor de un tema. Cada conjunto de tareas sigue trayectorias bien definidas y desglosadas en diferentes pasos organizados por un especialista o especialistas. Para el desarrollo de la competencia de modelado matemático y simulación se requiere de la ejecución de ocho tareas. Este conjunto se denotará como
y se hará mención a él como conjunto-
T para el desarrollo de la competencia de modelado matemático y simulación. Una
trayectoria para este conjunto-T es la propuesta (con algunos ajustes) por Brito-Vallina et ál., (2011). Los nombres de cada tarea se presentan a continuación.
: “Definición del problema” : “Teorías que gobiernan el problema” : “Formulación del modelo matemático” : “Solución matemática del modelo” : “Representación computacional de la solución ” : “Interpretación de los resultados” : “Validación del modelo” : “Limitaciones del modelo”
Se debe tener en cuenta que algunas tareas pueden pertenecer a más de un conjunto-T. Por ejemplo, algunas tareas del conjunto-T para desarrollar la competencia de modelado matemático y simulación hacen parte también del conjunto-T para desarrollar la competencia del método científico establecido en 1620 por Francis Bacon. La figura 2
presenta el proceso de modelado matemático y simulación acompañado por su respectivo Conjunto-T.
Figura 2: Ilustra el proceso de modelado matemático y simulación (negro) y el respectivo conjunto-T (rojo)
Los productos esperados (indicadores de logros) en cada tarea se presentan a continuación; los comentarios que aparecen dentro de los paréntesis corresponden a las tareas del método científico.
“Definición del problema”
Se deben entregar tres productos.
Párrafo. Se explica brevemente y sin ambigüedades de qué se trata el problema.
Párrafo. Se describe: las condiciones iniciales, el entorno físico del problema y los factores que no se incluyen en el modelo. (Observación y descripción)
Listado. Contiene el objetivo o los objetivos propuestos para resolver el problema.
“Teorías que gobiernan el problema”
Se debe entregar por lo menos uno de los siguientes productos: Listado. Contiene los conocimientos construidos por la comunidad científica que se
relacionan con el problema y ayudan a formular el modelo matemático.
Tabla de datos. Cuando no se disponga de teorías o conocimientos científicos relacionados con el problema, se debe manipular una tabla con datos experimentales.
“Formulación del modelo matemático”
Se debe entregar por lo menos uno de los siguientes productos:
Texto. Se establecen las variables de interés (independiente y dependiente), los parámetros constantes y un conjunto de suposiciones razonables (las hipótesis) que describan las relaciones entre las variables de interés de acuerdo con la teoría que gobierna el problema y por último la traducción al lenguaje matemático de todas las suposiciones. (Desarrollo de hipótesis o explicaciones)
Texto. Cuando se manipule la tabla se elabora un texto con el análisis de los datos reconociendo patrones, interpretándolos numéricamente, gráficamente e incluso sugiriendo una representación algebraica.
“Solución matemática del modelo”
Se debe entregar un producto.
Texto. Contiene la solución analítica (cuando existe un algoritmo) o la solución aproximada (numérica). En el caso de no contar con las soluciones anteriores tratar con técnicas estadísticas. “Representación computacional de la solución”
Se deben entregar por lo menos dos de los siguientes productos:
Código. La solución programada.
Interface. La interface para ejecutar las simulaciones (experimentación).
Animación. La animación del comportamiento de las variables de interés cuando sea posible.
“Interpretación de los resultados”
Se deben entregar dos productos.
Tabla con datos. Contiene los datos de las variables de interés obtenidos con la interface. Texto. Contiene de acuerdo con los datos de la tabla, la descripción matemática del comportamiento de las variables de interés. Además, contiene entre otras respuestas, la respuesta detallada de la pregunta ¿si eran los resultados que se esperaban?
“Validación del modelo”
Se deben entregar dos productos.
Tabla de datos. Contiene datos de:
-
Las variables de interés obtenidos con la interface.
-
La realidad.
-
El cálculo de errores relativos porcentuales.
Texto. Contiene la gráfica que contrasta los datos reales contra los datos de la interface. Explica que tanto se aproximan los datos de la interface con los datos reales. Indica si es necesaria una redefinición del modelo matemático ya sea aumentando su nivel de resolución (es decir, incluyendo variables que no eran de interés) o reiniciando el ciclo. (Comprobación por experimentación de dichas hipótesis)
“Limi tacion es del m odelo ”
Se debe entregar un producto. Texto. Contiene: las limitaciones del modelo y el rango de aplicabilidad. (Aplicación de estos conocimientos en la resolución de problemas similares)
1.9. Limitaciones en la formulación del modelo
Según Brito-Vallina et ál. (2011) se deben tener en cuenta algunas limitaciones relacionadas con la formulación de los modelos matemáticos que en unos casos, pueden producir graves errores y, en otros casos pérdida de tiempo y esfuerzos innecesarios.
La primera tiene que ver con la disponibilidad y la exactitud de los datos necesarios
para formular el modelo matemático. La segunda tiene que ver con los métodos matemáticos disponibles para la solución de los modelos matemáticos.
1.10.
La tercera tiene que ver con la atribución al modelo de cualidades que no llega a poseer.
Recomendaciones y Reflexiones
A continuación se presentan unas recomendaciones y reflexiones (Serrano, 2004) que se deben tener en cuenta a la hora de formular modelos matemáticos.
Recomendación
Debido a la complejidad de los sistemas, al formular un modelo matemático, se tienen que hacer simplificaciones que hacen que esta imagen matemática sea una aproximación a la realidad que trata de reproducir.
Reflexión
El carácter aproximativo de los modelos matemáticos, más que un defecto resulta ser una de sus ventajas. Se podría pensar que lo más deseable sería una representación matemática idéntica al sistema. Esto generalmente es imposible, además sería poco útil ya que el modelo matemático sería muy difícil de analizar. El ideal es el modelo matemático más simple que aún guarde las características del sistema que se desea reproducir. Esto encierra al sistema dentro de un marco teórico más fácil de manejar. Se deben entonces encontrar
caminos para simplificar el modelo matemático sin sacrificar rasgos esenciales de la situación del mundo real.
Recomendación
Es recomendable empezar desarrollando un modelo matemático relativamente simple y mejorarlo progresivamente. Esta es una buena estrategia en modelado matemático ya que al introducir cada factor es posible observar su efecto. Así, el mismo proceso de la construcción del modelo matemático, permite probar o rechazar hipótesis que serían muy difíciles de comprobar de manera experimental.
Reflexión
Para un sistema particular, se puede construir una infinidad de modelos matemáticos. Unos enfocados a algunas características del sistema, otros a otras, unos más complejos y otros más simples. Así, los modelos matemáticos no se pueden clasificar como correctos o incorrectos. En su lugar, se habla de si un modelo matemático es apropiado, aplicable o no a cierta situación. Para esto se manejan las limitaciones del modelo matemático que se generan en su diseño.
Recomendación
La representación matemática
⁄
, por ejemplo, describe la relación de distancia y
tiempo de un objeto en caída libre. Sin embargo, se deben conocer sus limitaciones para poder usar en predicciones. Una situación como la caída de una hoja de papel, no puede representarse con este modelo matemático ya que la resistencia del aire en este caso es muy grande, misma que no está considerada en la representación. Así se puede decir que este modelo matemático es aplicable en situaciones donde la resistencia del aire sea despreciable.
Ejercicio 2.
Escribir un ensayo cuyo tema es “el modelado matemático y el método científico en la educación superior”.
En el siguiente capítulo se crea el espacio dedicado al desarrollo de las habilidades computacionales necesarias para el modelado matemático y simulación.
Capítulo 2 Introducción a MatLab
1.11.
Introducción
¿Qué es MatLab? Es un software de la empresa Mathworks ubicada en Natick pueblo del estado estadounidense de Massachusetts. La primera versión del mismo fue desarrollada en la década de 1970 por el norteamericano Cleve Moler, profesor de matemáticas y ciencias de la computación por casi 20 años de las Universidades de Nuevo México, de Michigan y de Stanford. 6 El nombre simboliza Matriz Laboratorio o Laboratorio de Matrices. Es un lenguaje de programación basado en arreglos (matrices) que con el tiempo se ha convertido en una herramienta didáctica para el desarrollo de cursos tanto avanzados como introductorios en matemática e ingeniería. MatLab, además de ser utilizado en el desarrollo de los algoritmos, análisis de datos, visualización y cálculo numérico también es utilizado en áreas tan variadas como los automóviles, los aviones, los audífonos, teléfonos celulares, los precios de derivados financieros y académicos. Las aplicaciones están organizadas en librerías especializadas o en cajas de herramientas (en inglés toolboxes). En este capítulo se desarrollan ejemplos y se proponen ejercicios que demandan el manejo de comandos básicos del programa que le permiten al usuario entre otras cosas: graficar, programar, simular y animar los modelos matemáticos.
6
http://ordenador.wingwit.com/Programacion/computer-programming-languages/87495.html
El objetivo del capítulo es crear el espacio dedicado al aprehendizaje de las herramientas computacionales necesarias para el modelado matemático y simulación. Cabe anotar que las soluciones que se presentan para resolver los ejemplos propuestos no son únicas. El capítulo se organiza de la siguiente manera: en la sección 2.2 se revisa la edición de matrices, en la sección 2.3 se estudian los comandos que permiten graficar funciones en dos dimensiones, en la sección 2.4 se analizan las estructuras básicas de programación, en la sección 2.5 se construyen interfaces, en la sección 2.6 se diseñan figuras en dos dimensiones y en la última sección, es decir en la sección 2.7 se desarrollan animaciones de trayectorias.
Figura 1. Símbolo del programa MatLab (Ilustración tomada de imágenes en tic-tac.teleco.uvigo.es
1.12.
Matrices
Para editar matrices en la ventana de comandos (o consola como se le conoce también), se utilizarán los paréntesis cuadrados o corchetes “ [ ]”, separando los datos por espacios o comas, a la vez que las filas se separan por punto y coma (figura 1).
Figura 1: Ilustra la ventana de comandos (en inglés Command Window)
Ejemplo 1. Edición de Vectores y Matrices
Editar en la ventana de comandos las siguientes matrices:
a)
c)
e)
b)
d)
Solución
a) A = [ 1 2 3; 2 1 4 ] a) A = [ 1, 2, 3; 2, 1, 4 ] b) B = [ -1 2; 0 0.5; 9 -7 ] c) C = [ 3 0 5; 4 1 4; 2 0 3 ] d) D = [ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ] e) E = [ -1; -2; -3 ] Sugerencia Para borrar una variable específica se escribe el comando clear dejando un espacio y escribiendo el nombre de la variable que se desea borrar. Utilizando sólo el comando clear se borran todas las variables que se tienen asignadas en la memoria. Para borrar únicamente el contenido de la pantalla se escribe el comando clc seguido de ENTER. Ejemplo 2. Operaciones básicas entre Matrices
Con las matrices definidas en el ejemplo 1, computar, si es posible, las siguientes operaciones: a) AB b) BA + C c) D + E d) A – B e)
Solución
Los símbolos + - * / son los operadores para suma, resta, multiplicación y división respectivamente (como en una calculadora).
Recomendación Para no estar escribiendo las mismas instrucciones cada rato, se usan las teclas
, . Estas
devuelven a la ventana de comandos las instrucciones establecidas previamente y guardadas en el histórico de comandos (en inglés Command History). a) A * B b) B * A + C c) D + E Error using + Matrix dimensions must agree. MatLab indica que hay un error porque las matrices no son del mismo tamaño. d) A – B Error using – Matrix dimensions must agree. MatLab indica que hay un error porque las matrices no son del mismo tamaño. e) E * E Error using * Inner matrix dimensions must agree. MatLab indica que hay un error porque las matrices no se pueden multiplicar. e)
Para poder elevar al cuadrado cada elemento de la matriz E se tiene que escribir
los dos caracteres Sugerencia
que corresponden a la potenciación de arreglos.
Para comprender los mensajes de error que nos muestra MatLab, se debe, frecuentemente hacer uso de la teoría del Álgebra Lineal. Tenga en cuenta cuando escriba los nombres de comandos, funciones y variables que MatLab distingue entre mayúsculas y minúsculas. Ejemplo 3. Operaciones con Matrices Traspuestas
Con las matrices definidas en el ejemplo 1, computar, si es posible, las operaciones con las matrices traspuestas. a) b)
c) d) e)
Solución
Para obtener la matriz traspuesta se debe usar la comilla simple ’ a) A’ b) B’ * A’ c) ( A * B )’ d) ( C + B * A )’ e) D’ - E’ Error using - Matrix dimensions must agree. MatLab indica que hay un error porque las matrices no son del mismo tamaño. Ejemplo 4. Las entradas de una Matriz
Definir la matriz A en la ventana de comandos.
) Determinar el tamaño y el valor de las entradas indicadas: a) b) c) d) e)
Solución
A = [ 1 -2 3 4; 5 2 7 8; 9 0 8 7; 6 5 4 3; 2 1 0 9] size(A) El comando size( ) nos indica el número de filas y el número de columnas de una matriz.
a) A (1, 1) b) A (1, 2) c) A (2, 1) d) A (4, 4) e) A (5, 5) Index exceeds matrix dimensions. MatLab nos indica que hay un error porque la matriz no tiene estas dimensiones. Esta matriz no tiene cinco columnas. Ejemplo 5. Selección de filas y co lumnas
Definir la matriz A en la ventana de comandos.
( ) Seleccionar únicamente las filas y columnas que se indican en cada caso: a) Fila uno b) Fila tres c) Columna uno d) Columna cuatro e) Desde la fila uno hasta la fila tres. f) Desde la fila dos hasta la fila cuatro. g) Desde la columna uno hasta la columna tres.
h) Desde la columna dos hasta la cuatro. i) La segunda y la cuarta fila únicamente. j) La primera y la tercera columna únicamente. Solución
A = [ 6 1 1 2; 7 2 3 4; 8 3 5 6; 9 4 7 8; 0 5 9 0] a) A ( 1 , : ) b) A ( 3 , : ) c) A ( : , 1 ) d) A ( : , 4 ) e) A ( 1 : 3 , : ) f) A ( 2 : 4 , : ) g) A ( : , 1 : 3 ) h) A ( : , 2 : 4 ) i) A ( [ 2 4 ] , : ) j) A ( : , [ 1 3 ] ) Ejemplo 6. Submatrices
Definir la matriz A en la ventana de comandos.
Definir la submatriz B a partir de la matriz A.
Solución
A = [ 2, 1, 1, 1 ; 0, 2, 2, 2 ; 3, 0, 1, 3 ] B=A(1:2,1:3) Ejemplo 7. Formatos Numéricos
Definir la matriz A en la ventana de comandos.
Usar los siguientes formatos numéricos: a) format long b) format rat c) format short Solución
El resultado numérico que se obtiene en la ventana de comandos se puede visualizar en diferentes formatos: a) Para obtener más de cuatro dígitos después del punto decimal en la ventana de comandos se debe escribir format espacio long y a continuación se define el vector A. format long
b) Para obtener una forma racional en la ventana de comandos se debe escribir format espacio rat y a continuación definir el vector A. format rat
c) Para obtener cuatro dígitos después del punto decimal en la ventana de comandos se debemos escribir format espacio short y a continuación definir el vector A. format short
Si no se indica lo contrario, por defecto se obtienen cuatro cifras decimales en la ventana de comandos. Ejemplo 8. Matrices Especiales
Definir las matrices especiales que se indican: a) La matriz A es una matriz de 3 x 4 de ceros. b) La matriz A es una matriz de 4 x 5 de unos. c) La matriz A es una matriz identidad de 3 x 3. d) La matriz A es una matriz de números aleatorios de 3 x 2. Definir la matriz A en la ventana de comandos:
e) La matriz U es la matriz triangular superior de A. f) La matriz L es la matriz triangular inferior de A. g) La matriz M es una matriz mágica de 3 x 3. Solución
a) A = zeros ( 3 , 4 ) b) A = ones ( 4 , 5 ) c) A = eye ( 3 ) d) A = rand (3 , 2 ) A = [ 3,3,0,1 ; 6,4,0,3 ; 0,7,1,2 ; 9, 5, 1, 8 ] e) U = triu ( A ) El comando triu( ) extrae la parte superior de A. f) L = tril ( A ) El comando tril( ) extrae la parte inferior de A.
g) M = magic ( 3 ) ¿Por qué se les denominan matrices mágicas? Ejemplo 9. Cambios e intercambios
Definir la matriz A en la ventana de comandos:
a) Cambiar la entrada
por 8.
b) Cambiar los valores de la tercera fila por 5.
c) Cambiar los valores de la segunda columna por 1. d) Intercambiar las filas 2 y 3. e) Intercambiar las columnas 2 y 3. Solución
A=[1234;2530;1415;0908] a) A ( 3 , 2 ) = 8 b) A ( 3 , : ) = 5 c) A ( : , 2 ) = 1 d) A ( [ 2 , 3 ] , : ) = A ( [ 3 , 2 ] , : ) e) A ( : , [ 2 , 3 ] ) = A ( : , [ 3 , 2 ] ) Ejemplo 10. Construcción de Matrices
Construir una matriz A tomando como filas los siguientes vectores: A1 = [ 1 2 3 ] A2 = [ 4 5 6 ] A3 = [ 7 8 9 ]
Solución
A1 = [ 1 2 3 ] A2 = [ 4 5 6 ] A3 = [ 7 8 9 ] A = [ A1 ; A2 ; A3 ]
Ejercicio 1.
1. Definir o editar en la ventana de comandos las siguientes matrices:
2. Indicar el error que se cometió en cada caso al editar la matriz A. Explicar las respuestas. a) A = [ 0 1 0 1 ; 1 0 1 0 ; 0 11 0 ; 1 0 0 1 ] b) A = [ 0 1 0 1 ; 1 1 0 ; 0 1 1 0 ; 1 0 0 1 ] c) A = [ 0 1 0 1 ; 1 0 1 0 ; 0 1 1 0 1 0 0 1 ] d) A = [ 0 1 0 1 ; 1010 ; 0 1 1 0 ; 1 0 0 1 ] 3. La operación C + B no es posible efectuarla para las matrices del ejercicio 1. Editar las instrucciones adecuadas para poder sumar estas dos matrices. 4. Proponer tres matrices A, B, y C para verificar la propiedad asociativa para el producto entre matrices. Es decir, probar que A(BC) = (AB)C.
5. Escribir las instrucciones que permitan obtener las cuatro submatrices que se indican con las líneas punteadas A1, A2, A3, A4.
6. Definir la matriz
()
en la ventana de comandos. Explicar la respuesta de
MatLab cuando se le piden los siguientes productos: a) A * A b) A . * A 7. Definir la matriz cuadrada A en la ventana de comandos.
( )
Describir en cada caso el comportamiento de a)
cuando
b) A * A * A * … * A ( n veces )
8. Sea la matriz
.
Escribir las instrucciones utilizadas para construir la matriz B.
.
Instrucciones:
La primera fila B1 es la segunda columna de A.
La segunda fila B2 es la primera columna de A.
La tercera fila B3 es el cuadrado de la primera fila de A.
La cuarta fila B4 es la raíz cuadrada de la cuarta fila de A.
La raíz cuadrada la podemos obtener con la instrucción sqrt( ).
9. Sea la matriz
. Escribir las instrucciones para determinar:
a) La matriz equivalente A1 después de multiplicar por 3 la primera fila de A. b) La matriz equivalente A2 después de multiplicar por 2 la segunda columna de A. c) La matriz equivalente A3 después de multiplicar por -9 la primera fila y sumarla a la fila cuatro de A. 1.13.
Gráficas en dos dimensiones
Los comandos que permiten graficar funciones en dos dimensiones se ilustran en los siguientes ejemplos. Con MatLab es posible agrupar y superponer las gráficas de dichas funciones. Tenga en cuenta que en este volumen se manejan funciones en dos dimensiones pero el programa también lo hace con tres dimensiones, funciones vectoriales, etc. Ejemplo 1. Función exponencial decreciente
Dibujar la gráfica de la función exponencial decreciente indicadas.
con las características
a) El dominio es el intervalo [ -2, 1.5 ]. El paso entre los datos es 0.01. b) Etiqueta del eje horizontal ‘x’. c) Etiqueta del eje vertical ‘f ( x )’. d) Título de la gráfica ‘Función Exponencial Decreciente ’.
Solución
Para graficar funciones de una variable independiente, se determina primero el dominio o el intervalo donde se desea obtener la gráfica. Esto se hace definiendo un vector de n datos con el nombre de la variable independiente, en el que se especifican: el valor inicial, el intervalo entre puntos consecutivos (denominado el paso) y el valor final.
a) x = -2 : 0.01 : 1.5 ; ¿Por qué se escribe el punto y coma al final de la instrucción? El punto y coma que se escribe al final de la instrucción evita que MatLab despliegue los resultados en la ventana de comandos. f = exp ( - x ) ; Para construir la gráfica se usa el comando plot( ) plot ( x, f ) b) xlabel (‘ x ’) c) ylabel ( ‘ f ( x ) ’ ) d) title ( ‘ Función Exponencial Decreciente ’ ) Ejemplo 2. Función exponencial creciente
Dibujar la gráfica de la función exponencial creciente indicadas.
con las características
a) El dominio es el intervalo [ -2, 2]. El paso entre los datos es 0.2. b) Etiqueta del eje horizontal ‘x’. Tamaño 15. c) Etiqueta del eje vertical ‘f ( x )’. Tamaño 15. d) Título de la gráfica ‘Función Exponencial Creciente’. e) Con cuadrícula. f) La gráfica debe estar ubicada en la región
;
.
Solución
a) x = -2 : 0.2 : 2 ; f = exp ( x ) ; plot ( x, f ) b) xlabel ( ‘ x ’ , ‘fontsize’ , 15 ) c) ylabel ( ‘ f ( x ) ’ , ‘fontsize’ , 15 ) d) title (‘ Función Exponencial Creciente ’) e) grid on f) axis ( [ -3, 4, -1, 8 ] ) El comando axis( ) permite escalar los ejes y cambiar su apariencia. Ejemplo 3. Función trigonométrica Seno
Dibujar la gráfica de la función trigonométrica indicadas.
con las características
a) El dominio es el intervalo [ -4 , 4 ]. El dominio es un vector con 200 datos. b) La gráfica de color rojo. El tamaño de línea 3. c) Etiqueta del eje horizontal ‘ t ’. Tamaño 14. d) Etiqueta del eje vertical ‘ y(t) ’. Tamaño 14. e) Título de la gráfica ‘Función Seno’. Tamaño 14. f) Con cuadrícula. g) La gráfica debe estar ubicada en la región
.
;
Solución
Un comando que también se puede usar para definir el vector del dominio es linspace(min,máx,N ). Cuando no se indica un valor para N , MatLab presenta por defecto un vector linealmente espaciado de 100 datos.
a) t = linspace ( -4*pi, 4*pi, 200 ) ; y = sin ( t ) ; b) plot ( t, y, ‘r’, ‘linewidth’, 3 ) c) xlabel ( ‘ t ’ , ‘fontsize’ , 14 ) d) ylabel ( ‘ y ( t ) ’ , ‘fontsize’ , 14 ) e) title (‘ Función Seno ’ , ‘fontsize’, 14 ) f) grid on g) axis ( [ -2 * , 2 * Sugerencia
, -1.5, 1.5 ] )
Cuando no se quiere manejar la cuadrícula se escribe el comando grid off Ejemplo 4. Función trigonométrica coseno
Dibujar la gráfica de la función trigonométrica indicadas.
con
las características
a) El dominio es el intervalo [ -4 , 4 ]. El dominio es un vector con 300 datos. b) La gráfica de asteriscos de color rojo. c) La gráfica dentro de un cuadrado, sin cambiar el rango de los ejes. Solución
a) t = linspace ( -4*pi, 4*pi, 300 ) ; y = cos ( t ) ; b) plot ( t, y, ‘* r’ ) c) axis square Sugerencia Para consultar todo lo que MatLab puede desarrollar con las gráficas, como por ejemplo los colores que maneja, se escribe el comando help plot seguido de ENTER. A continuación
aparecerá una descripción del comando plot en la ventana de comandos. Esto aplica para cualquier otro comando. Ejemplo 5. Función exponencial
Dibujar la gráfica de la función exponencial
con las características indicadas.
a) El dominio es el intervalo [ -3, 6 ]. El paso de 0.01. b) La gráfica de color negro. El tamaño de línea 4. Solución
a) x = -3 : 0.01 : 6 ; y = exp ( -
);
b) plot ( x, y, ‘k’, ‘linewidth’, 4 ) Ejemplo 6. Función definida como un producto
Dibujar la gráfica de la función
con las características indicadas.
a) Dominio el intervalo [ -3, 3 ]. El dominio es un vector con 500 datos. b) La gráfica de color verde. El tamaño de línea 2. Solución
a) x = linspace ( -3 , 3 , 500 ) ; y = x. * exp ( -
2);
Cuando escribimos los caracteres .* se está pidiendo a MatLab una multiplicación de arreglos. b) plot ( x, y, ‘ g ’ , ‘linewidth’, 2 )
Ejemplo 7. Gráficas en figuras separadas
Dibujar las gráficas de las funciones características indicadas.
y
en dos figuras por separado con las
a) Primero borre todas las variables definidas b) Dominio el intervalo [ -1, 3 ] ; El paso de 0.01 c) Ambas figuras con cuadrícula Solución
a) clear all b) x = -1 : 0.01 : 3 ; f = exp ( -
);
g = 2 * exp ( -
);
c) plot ( x, f ), grid on figure
c) plot ( x, g ), grid on
Ejemplo 8. Gráficas en la misma figura
Dibujar las gráficas de las funciones características indicadas.
a) Dominio el intervalo [ -1, 3 ].
y
El dominio es un vector con 50 datos.
agrupándolas en una sola figura con las
b) La gráfica de
con trazo continuo de color rojo y la gráfica de
discontinuo de color azul.
con trazo
c) Una leyenda que referencie a cada una de las funciones Solución
a) x = linspace ( -1, 3, 50 );
f = exp (); g = 2 * exp (); b) plot ( x, f, ‘r’, x, g, ‘b.’ ) c) legend ( ‘ f ( x ) ’ , ‘ g ( x ) ’ ) El comando legend( ) nos permite identificar la gráfica de cada una de las funciones. Ejemplo 9. Variables Lógicas
a) Escribir un vector x con los números del 1 hasta el 9. b) Escribir c) Escribir d) Escribir
.
. .
Solución
Para crear variables lógicas se utilizan los operadores relacionales ilustrados en la tabla 1.
Menor que Mayor que Menor o igual que Mayor o igual que Igual Distinto
Tabla 1: Operadores relacionales
Estos operadores se combinan con los operadores lógicos de la tabla 2.
& |
Tabla 2: Operadores lógicos
a) x = 1 : 1 : 9 b) x > 4 c) ( 2 < x ) & ( x < = 6 ) d) ( 3 < = x ) & ( x < = 5 )
Ejemplo 10. Función definida a trozos
Dibujar la gráfica de la función
definida a trozos con las características indicadas.
a) Dominio el intervalo [ -2, 3 ].
El dominio es un vector con 500 datos. b) La gráfica de color rojo. Tamaño 3. Se debe observar la discontinuidad. c) Con cuadrícula. Solución
a) x = linspace ( -2, 3, 500 ) ; f=(
).*(x<0) + (1).*((0<=x)&(x<1)) + (-x+2) .* (1<=x) ;
b) plot (x, f, ‘r.’ , ‘linewidth’ , 3 ) c) grid on
Ejemplo 11. Función definida por secciones
Dibujar la gráfica de la función indicadas:
definida por secciones con las características
a) Dominio el intervalo [ -3, 4 ]. El dominio es un vector con 600 datos. b) La gráfica de color negro. Tamaño 4. No se debe observar las discontinuidades. c) Con cuadrícula. d) El tamaño de los números de los ejes es 15. e) El color del fondo es blanco. f) El color del fondo es amarillo. Solución
a) x = linspace ( -3, 4, 600 ) ;
f = ().*(x<-1) + (0).*((-1<=x)&(x<2)) + (x) .* (2<=x) ; b) plot (x, f, ‘k’ , ‘linewidth’ , 4 ) c) grid on
d) set ( gca , ‘fontsize’ , 15 ) El comando set( ) permite manipular las propiedades del objeto y el comando gca permite manipular manualmente el tamaño de los ejes. e) set ( gcf, ‘color’ , ‘w’ ) f) set ( gcf, ‘color’, ‘y’) El comando gcf permite manipular la figura actual.
Ejemplo 12. Gráficas dentro de Matrices
Dibujar en una matriz de tamaño 2x2 las gráficas de las funciones potencias que se indican a continuación:
La gráfica de
La gráfica de
La gráfica de
La gráfica de
es de color rojo. es de color negro. es de color verde. es de color azul.
El dominio es un vector con 400 datos en el intervalo [ -1, 1 ]. Todas las gráficas con cuadrículas. Solución
x = linspace ( -1, 1, 400 ) ; f1 = x ; f2 = f3 = f4 =
; ; ;
Para construir la matriz de 2 filas con 2 columnas cuyas entradas sean las gráficas, se escribe el comando subplot. subplot (221), plot ( x, f1 , ‘r’ ), grid on El 2 indica el número de filas, el 2 el número de columnas y el 1 corresponde a la gráfica de la función.
subplot (222), plot ( x, f2 , ‘k’ ), grid on subplot (223), plot ( x, f3 , ‘g’ ), grid on
subplot (224), plot ( x, f4 , ‘b’ ), grid on
Sugerencia No se debe cerrar la gráfica sino minimizarla para no perder la información editada. Ejemplo 13. Gráficas dentro de Matrices
Dibujar en una matriz de tamaño 4x1 las gráficas de las funciones trigonométricas que se indican a continuación.
La gráfica de La gráfica de
La gráfica de
La gráfica de
es de color negro. es de color azul. es de color rojo. es de color verde.
El dominio es un vector con 500 datos en el intervalo [ 0, 2 ]. Todas las gráficas con cuadrículas. El color de fondo es amarillo. Solución
x = linspace ( 0, 2*pi, 500 ) ; y1 = sin (x) ; y2 = sin ( 2*x ) ; y3 = sin ( 3*x ) ; y4 = sin ( 4*x ) ; Los datos de entrada del comando subplot se pueden separar también por comas. subplot (4,1,1), plot ( x, y1 , ‘k’ ), grid on subplot (4,1,2), plot ( x, y2 , ‘b’ ), grid on subplot (4,1,3), plot ( x, y3 , ‘r’ ), grid on subplot (4,1,4), plot ( x, y4 , ‘g’ ), grid on set ( gcf, ‘Color’, ‘y’)
Ejercicio 2.
1. Volver a escribir el vector x usando la instrucción linspace. a) x = -5 : 0.01 : 5 ; b) x = -3 : 0.1 : 9 ; c) x = -10 : 0.2 : 10 ; d) x = 0 : 0.001 : 8 ; e) x = 2 : 0.5 : 50 ; 2. Volver a escribir el vector x indicando el paso entre los datos. a) x = linspace ( -6, 6, 100 ); b) x = linspace ( -2, 2, 500 ); c) x = linspace ( 0, 10, 1000 ); d) x = linspace ( -pi, pi, 20 ); e) x = linspace ( 0, 50, 300 ); 3. Dibujar las gráficas de las funciones trigonométricas agrupándolas en una misma figura y con las características indicadas:
a) Dominio el intervalo [ -2 , 2 ]. El dominio contiene 500 datos. b) La gráfica de
es de color rojo, la gráfica de
es de color verde y la gráfica de
es de color azul.
c) Una leyenda que referencie a cada una de las funciones.
4. En la figura 2 se ilustra la gráfica de la función instrucciones que la caracterizan.
. Escribir las
Figura 2: Gráfica de
5. En la figura 3 se ilustra la gráfica de la función instrucciones que la caracterizan.
Figura 3: Gráfica de
6. Dibujar la gráfica de la función indicadas.
. Escribir las
definida por secciones con las características
a) Dominio el intervalo [ -10, 10 ].El dominio es un vector con 300 datos. b) La gráfica de color rojo. Tamaño 3. Se deben observar las discontinuidades. c) Con cuadrícula. d) La gráfica debe estar ubicada en la región
;
e) El tamaño de los números de los ejes es 18 f) El color del fondo es blanco
7. Dibujar la gráfica de la función indicadas:
definida por intervalos con las características
a) Dominio el intervalo [ -5, 5 ]. El dominio es un vector con 100 datos. b) La gráfica de color magenta. Tamaño 3. Se deben observar las discontinuidades. c) Con cuadrícula. d) El tamaño de los números de los ejes es 18. e) El color del fondo es blanco. f) Etiqueta para el eje horizontal ‘ x ’. Tamaño 18. g) Etiqueta para el eje vertical ‘ f ( x ) ’. Tamaño 18. h) Título ‘Función a intervalos ’. 8. Dibujar en una matriz de tamaño 1x2 las gráficas de las funciones que se indican a continuación:
La gráfica de
La gráfica de
es de color rojo. es de color azul
El dominio de las funciones es un vector de 600 datos en el intervalo [ color del fondo es verde.
,
]. El
9. Dibujar en una matriz de tamaño 2x1 las gráficas de las funciones que se indican a continuación:
La gráfica de
La gráfica de
es de color rojo. es de color azul.
El dominio de las funciones es un vector de 250 datos en el intervalo [ 0, 8 ]. El color del fondo es blanco.
10. Escribir los comandos que se usaron para obtener la gráfica que se ilustra en la figura 4.
Figura 4: Gráfica del ejercicio 10
11. De acuerdo con las instrucciones, escribir la fórmula de la función definida a trozos. Dibujar con lápiz y papel la gráfica. t = -2 : 0.001 : 2; y = (-1).*((-2<=t)&(t<-1)) + (0)*((-1
grid on
axis ( [ -3, 3, -2, 2 ] )
1.14.
Programación con MatLab
MatLab proporciona un lenguaje de programación robusto con un ambiente computacional interactivo y amigable. Una de las ventajas que se tiene al programar en MatLab sobre otros lenguajes de programación, es que MatLab no requiere que se declaren las variables y sus tipos al principio del programa ya que estas se definen automáticamente cuando se usan por primera vez. 2.4.1. Archivos en MatLab
Los archivos que contienen código MatLab se denominan archivos-M (en inglés M-files) y tienen la extensión.m. Existen dos tipos de estos archivos: los guiones y las funciones.
Los guiones (en inglés scripts) no aceptan datos de entrada o producen argumentos de salida. Manejan datos de variables que se han usado previamente.
Las funciones (en inglés functions) pueden aceptar datos o argumentos de entrada y regresan también datos de salida. Las variables internas de una función son variables locales.
Para editar un archivo-M se puede usar un editor de textos como Word; lo único que se debe hacer al terminar es guardar el archivo de texto con la extensión.m. 2.4.2. Diagramas de flujo
Un diagrama de flujo (en inglés flowchart) es una de las técnicas que se utilizan para representar los algoritmos. En la figura 5, se ilustran algunos de los símbolos usados en el diseño de los diagramas de flujo. Recuerde que un algoritmo se define como un conjunto finito de instrucciones precisas con un propósito específico.
Figura 5: Se ilustran algunos símbolos de un diagrama de flujo
2.4.3. Estructuras básicas de programación
El aprehendizaje de las estructuras de programación permite, entre otras cosas: programar, simular y animar las soluciones de los modelos matemáticos. Ejemplo 1. Estructura if - end
Tiene la forma general: if
condición instrucciones
end
Dibujar un diagrama de flujo para esta estructura. Solución
Figura 6: Se ilustra el diagrama de flujo de la estructura if - end
La condición del if puede contener operadores lógicos. Si la condición se cumple entonces se ejecutan las instrucciones siguientes hasta el end. Si la condición no se cumple, el programa ejecuta la primera instrucción después de end. Esta instrucción requiere ser cerrada por lo que el end se coloca en el punto donde se unen las dos bifurcaciones sí y no. Ejemplo 2. Archivo-m function
Escribir en un archivo-m function el siguiente programa:
Asigna el valor de la función
si
.
si
y asigna el valor de la función
a) Dibujar el diagrama de flujo, b) Codificar usando la estructura if – end. Solución
a) El diagrama de flujo se ilustra en la figura 7
Figura 7: Se ilustra el diagrama de flujo del ejemplo 2
b) La forma general del formato función (function) es: function
[ y ] = operación ( x )
y = instrucciones end
x es el argumento o parámetro de entrada
y es argumento o parámetro de salida de la función
operación es el nombre que se le asigna a la función
Para escribir el código se accede al editor (figura 8). Esto puede hacerse desde el menú usando la ruta: File / New / Function
Figura 8: Ilustra la plantilla del formato function (versión R2011a)
El símbolo % se usa para escribir los comentarios que detallan y explican los códigos. Es decir, si se inicia con este símbolo, MatLab interpretará esto como una línea de comentarios. La codificación se escribirá sobre la plantilla como se ilustra en la figura 9 después de borrar los comentarios de color verde.
Figura 9: Ilustra el código del ejemplo 2
Se guarda el documento con la extensión m. Hay que tener en cuenta que el nombre de la función debe coincidir con el nombre del archivo-M con el cual se guarda. De no ser así, se podrán presentar errores de directorio y/o ejecución. A continuación en la ventana de comandos aparecerá un mensaje de error como se muestra en la figura 10.
Figura 10: Ilustra un mensaje de error arrojado por MatLab
MatLab está indicando que no se ha definido el argumento o la variable x. Por tanto, se debe ingresar los valores seguidos de ENTER para que devuelva las respectivas salidas. Por ejemplo para: x = -10, x = 0, x = 25 escribimos: ejemplo2( -10 ) ejemplo2( 0 ) ejemplo2( 25 ) Ejemplo 3. Archivo-m function
Escribir en un archivo-m function el siguiente programa: Extrae la diagonal principal de una matriz cuadrada M . Si la matriz no es cuadrada arroja un mensaje.
a) Dibujar el diagrama de flujo. b) Codificar usando la estructura if – end.
Solución
a) El diagrama de flujo es tarea para el lector. b) El código se ilustra en la figura 11.
Figura 11: Ilustra el código del ejemplo 3
MatLab contiene muchas funciones ubicadas en librerías especializadas llamadas toolboxes. Por ejemplo, la función que nos permite extraer la diagonal de una matriz es diag( ) . Cuando se quiere enviar mensajes al usuario se emplean funciones como las siguientes: disp( ‘mensaje’ ) MatLab le muestra un mensaje al usuario. error( ‘mensaje’ ) MatLab le muestra un mensaje al usuario y además detiene la ejecución
del programa. Estas funciones se manejan como subrutinas para escribir programas más complejos. Ejemplo 4. Estructura if - else - end
Una segunda forma del if – end es la inclusión de la cláusula else. Esta nueva cláusula le permite al programador el uso de un solo if en muchos casos para ejecutar dos bloques de instrucciones.
La forma general es: if
condición instrucciones a1 instrucciones a2 * * instrucciones an
else instrucciones b1 instrucciones b2 * * instrucciones bn end
Dibujar un diagrama de flujo para esta estructura. Solución
Figura 12: Ilustra el diagrama de flujo de la estructura if – else - end
Si la condición se cumple, se ejecutan las instrucciones a1 a la an . Después de la instrucción an , MatLab continúa con la instrucción que sigue el end. Si la condición no se cumple, se ejecutan las instrucciones b1 a la bn . Cuando se termina la instrucción bn , MatLab continua con la instrucción que sigue el end. Claramente se ve que el if – el se– e nd sustituye a dos if – end. El programador tiene la libertad de usar la estructura que crea más conveniente.
Ejemplo 5. Archivo m-function
Escribir en un archivo-m function el siguiente programa: Calcula las soluciones de un sistema de dos ecu aciones con dos incógnitas
Usando La Regla de Cramer.
a) Dibujar el diagrama de flujo. b) Codificar usando la estructura if – else - end. Solución
a) El diagrama de flujo es tarea para el lector. b) El código se ilustra en la figura 13.
Para el caso particular
los parámetros de entrada son respectivamente:
a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, b1 = 2, b2 = -1, b3 = 3
Figura 13: Código del ejemplo 5
Para obtener los dos resultados, en la ventana de comandos se escribe: [ x, y ] = ejemplo5 ( 1, 1, 2, 2, -1, 3 ) ¿Qué sucede con los valores [ x, y ] = ejemplo5 ( 1, 1, 2, 1, 1, 3 )? Cuando se necesita manejar más de dos bloques de instrucciones se usa la forma if – else if - else– end.
Ejemplo 6. Archivo m-function
Escribir en un archivo-m function el siguiente programa: Determina si un número es positivo, es negativo o es nulo.
a) Dibujar el diagrama de flujo. b) Codificar usando la estructura if – e lseif – else - end.
Solución
a) El diagrama de flujo es tarea para el lector. b) El código se ilustra en la figura 14.
Figura 14: Se ilustra el código del ejemplo 6
Ejemplo 7. Estructura swi tch - case - end
Se usa cuando se quiere revisar si una expresión es igual a algún valor determinado. No se puede usar para revisar condiciones como a > 5 o b switch
expresión case valor 1 instrucciones a1 instrucciones a2 * * instrucciones an case valor 2 instrucciones b1 instrucciones b2 *
3. La forma general es:
instrucciones bn case valor 3 instrucciones c1 instrucciones c2 * * instrucciones cn case valor m instrucciones m1 instrucciones m2 * * instrucciones mn otherwise instrucciones … end
Dibujar un diagrama de flujo para esta estructura. Solución
Figura 15: Ilustra el diagrama de flujo de la estructura switch – case - end
Cada valor puede ser numérico o una cadena de texto. Además, cada case puede tener uno o más valores, como en: case { valor1 valor2, …, valork }
instrucción 1 instrucción 2 * * instrucción m En este caso si la expresión es igual a cualquiera de los valores valor1, valor2, … , valork se ejecutan las instrucciones 1 a la m. Ejemplo 8. Archivo-function
Escribir en un archivo-m function el siguiente programa: Extrae: la diagonal principal de una matriz, la matriz triangular inferior, la matriz triangular superior y la traza (o suma de los elementos de la diagonal principal).
a) Dibujar el diagrama de flujo. b) Codificar usando la estructura switch – case - end.
Solución
a) El diagrama de flujo es tarea para el lector. b) El código se ilustra en la figura 16.
Figura 16: Se ilustra el código del ejemplo 8
Ejemplo 9. Archivo-m function
Escribir en un archivo-m function el siguiente programa: Construye la gráfica de la función potencia
:
Lineal (n = 1) Cuadrática (n = 2) Cúbica (n = 3) n=…
a) Dibujar el diagrama de flujo. b) Codificar usando la estructura switch – case - end. Solución
a) El diagrama de flujo es tarea para el lector. b) El código se ilustra en la figura 17.
Figura 17: Ilustra el código del ejemplo 9
Ejemplo 10. Archivo-m function
Escribir en un archivo-m function el siguiente programa: Construye la gráfica de las funciones: Exponencial decreciente; Exponencial creciente; Logarítmica con base 10; Seno; Coseno.
a) Dibujar el diagrama de flujo. b) Codificar usando la estructura switch – case - end. Solución
a) El diagrama de flujo es tarea para el lector. b) El código se ilustra en la figura 18.
Figura 18: Ilustra el código del ejemplo 10
Ejemplo 11. Estructura condicional for - end
La instrucción for la usamos para formar ciclos o bucles de instrucciones que se tienen que repetir un número determinado de veces. for variable = expresión instrucciones a1 instrucciones a2 * * instrucciones an end
Dibujar un diagrama de flujo para esta estructura.
Solución
Figura 19: Ilustra el diagrama de flujo de la estructura condicional for – end
Aquí, I es la variable de control,
es el valor inicial,
es el valor final y
es el
incremento. En esta instrucción, si se cumple que variable=expresión entonces se ejecutan las instrucciones de la 1 a la n para continuar después de la instrucción que está después del end. Si no se cumple, ya no se ejecutan las instrucciones de la 1 a la n y la siguiente
instrucción que se ejecuta es la que está después del end. Es posible que las instrucciones de la 1 a la n no se ejecuten ni una sola vez. El end de este ciclo se sitúa exactamente donde está el indicador de retorno representado por el círculo. Ejemplo 12. Archivo-m function
Escribir en un archivo-m function el siguiente programa: Determina la suma de las n primeras potencias del número 2. Es decir,
∑
.
a) Dibujar el diagrama de flujo. b) Codificar usando la estructura condicional for - end . Solución
a) El diagrama de flujo es tarea para el lector. b) El código se ilustra en la figura 20.
Figura 20: Ilustra el código del ejemplo 12
Al ejecutar el programa aparecerá un error en la ventana de comandos. ¿Por qué? Resulta que cuando el for inicia no encuentra el primer valor para la suma. Para solucionar el problema, escribimos antes del for , la instrucción: suma = 0; Ejemplo 13. Archivo-m script
Escribir en un archivo-m script el siguiente programa: Construye una matriz de m x n
cuyos valores se obtienen sumando la fila i con la
columna j respectivamente.
a) Dibujar el diagrama de flujo. b) Codificar usando la estructura for - end .
Solución
La for se puede anidar, es decir, dentro de un ciclo de for puede haber uno o más ciclos de for como se muestra a continuación.
a) El diagrama de flujo es tarea para el lector. b) El código se ilustra en la figura 21.
Figura 21: Ilustra el código del ejemplo 13
Después del último end se coloca la instrucción disp(A) para que nos muestre la matriz. En algunas ocasiones se necesita que el contador no varíe de uno en uno. Para ello, se indica el tamaño de paso en la instrucción for . Recomendación MatLab dispone de operaciones matriciales y vectoriales optimizadas por lo que se debe evitar en lo posible el uso de bucles, ya que hacen que los programas funcionen más lentamente. Ejemplo 14. Estructura condicional whil e - end
El condicional while
indeterminado de veces.
se usa para repetir un conjunto de instrucciones un número
La diferencia con el for es que éste se ejecuta un número determinado de veces. La forma general del condicional while es: while
condicion instrucciones a1 instrucciones a2 * * instrucciones an
end
Dibujar un diagrama de flujo para esta estructura. Solución
Figura 22: Ilustra el diagrama de flujo de la estructura whil e - end
La manera como un while funciona es la siguiente: Si la condición no se cumple, entonces se ejecuta la primera instrucción después del end.
Si la condición se cumple, se ejecutan todas las instrucciones de la 1 a la n . En este punto se revisa si la condición se cumple todavía, y de ser así se vuelven a ejecutar las instrucciones de la 1 a la n y se vuelve a revisar la condición. Este proceso se repite hasta que la condición no se cumple, en cuyo caso se salta a ejecutar la primera declaración después del end. El end de este condicional, se ubica en la salida negativa después de todo el proceso de repetir como se puede observar en la figura 22. Ejemplo 15. Archivo-m script
Escribir en un archivo-m script, el siguiente programa: Calcula el mayor número n que cumple la condición
a) Dibujar el diagrama de flujo. b) Codificar usando la estructura for - end . Solución
a) El diagrama de flujo es tarea para el lector. b) El código se ilustra en la figura 23.
¿Por qué
Figura 23: Ilustra el código del ejemplo 15
?
.
Ejemplo 16. Archivo-m script
Escribir en un archivo-m script el siguiente programa: Construye la tabla de valores de la función
.
Solución
El código se ilustra en la figura 24.
Figura 24: Ilustra el código del ejemplo 16
Tenga en cuenta que para % 4.0 f % hace referencia al formato numérico 4 indica que hay cuatro dígitos antes del punto decimal 0 indica que después del punto decimal no va ningún dígito f hace referencia al punto flotante
Ejemplo 17. Archivo-m script
Escribir en un archivo-m script el siguiente programa:
Construye la tabla de los valores redondeados con un dígito después del punto decimal de las funciones:
y
.
Solución
El código se ilustra en la figura 25.
Figura 25: Ilustra el código del ejemplo 17
Ejercicio 3.
1. Escribir en un archivo-m function, el siguiente programa: Lee las coordenadas del punto de la función
.
y determina si pertenece o no a la gráfica
a) Dibujar el diagrama de flujo.
b) Codificar usando la estructura if - else - end . 2. Escribir en un archivo-m function, el siguiente programa: Calcula las raíces (o soluciones) de la ecuación
.
a) Dibujar el diagrama de flujo. b) Codificar usando la estructura if - elseif - else - end . 3. Escribir en un archivo-m function, el siguiente programa: Presenta las gráficas de las funciones trigonométricas.
a) Dibujar el diagrama de flujo. b) Codificar usando la estructura swi tch - case - end . 4. Escribir en un archivo-m function, el siguiente programa: Determina la suma de los primeros términos de la serie
a) Dibujar el diagrama de flujo. b) Codificar usando la estructura condicional for - end . 5. Escribir en un archivo-m function, el siguiente programa: El desarrollo de la productoria
a) Dibujar el diagrama de flujo.
∏
.
b) Codificar usando la estructura condicional for - end . 6. Escribir en un archivo-m script, el siguiente programa: Calcula el mayor número n tal que
a) Dibujar el diagrama de flujo.
.
b) Codificar usando la estructura condicional whi le - end . 7. Escribir en un archivo-m script, el siguiente programa: La tabla de valores de las funciones trigonométricas seno y coseno.
a) Dibujar el diagrama de flujo. b) Codificar usando la estructura condicional if - else - end . 8. Escribir en un archivo-m script, el siguiente programa:
.
La tabla de valores de las funciones logaritmo con base 10 y logaritmo con base el número e de Euler.
a) Dibujar el diagrama de flujo. b) Codificar usando la estructura if - else - end . 1.15.
Diseño de interfaces gráficas
Una interface gráfica es el vínculo que se establece entre el usuario y un programa computacional. Están constituidas por botones y ventanas entre otros controles; por medio de los cuales el usuario se comunica con el programa durante las operaciones que se desean realizar, facilitando la entrada y salida de datos.
Figura 26: Ilustra una interface Gráfica en construcción
Se les denomina GUI porque su nombre en inglés es Graphical User Interface. Las ventanas de Word, las ventanas de Excel y las ventanas de MatLab son ejemplos de interfaces. Éstas también se conocen como interfaces de usuario.
Para construir interfaces gráficas con MatLab, se usa el ambiente de desarrollo de interfaces gráficas GUIDE (en inglés GUI Development Environment). Para esto primero se escogen los controles y a continuación se definen las acciones que cada uno va a realizar. 2.5.1.
Creando el ambiente de trabajo GUIDE
Existe una manera de abrir el ambiente de desarrollo de la interfaces y es escribiendo guide en la ventana de comandos. Una vez hecho lo anterior el programa mostrará una ventana de diálogo con opciones para construir la GUI o si se desea mejor abrir y revisar una interface ya existente. (Figura 27)
Figura 27: Ilustra la ventana de dialogo GUIDE Quick Start
Si selecciona una nueva GU I ; aparecerá a continuación el área de diseño mostrando en la parte superior los menús y las opciones de GUIDE. En la parte izquierda se aprecian los diferentes controles y en la parte central el área de diseño (la cuadrícula) en donde se ubicarán los respectivos controles (Figura 28).
Figura 28: Ilustra el área de trabajo
2.5.2.
Controles de una GUIDE
A continuación se listan algunos controles básicos de GUIDE con sus respectivos nombres:
Figura 29: Ilustra el control Push Button
Figura 30: Ilustra el control Slider
Figura 31: Ilustra el control Edit Text
Figura 32: Ilustra el control Static Text
Figura 33: Ilustra el control de Pop-up Menu
Figura 34: Ilustra el control Axes
Cada uno de estos controles maneja un conjunto específico de propiedades. Para acceder a ellas se hace a través del inspector de propiedades. Ejemplo 1. El Inspector de Propiedades del control Edit Text
Algunas de las propiedades del control Edit T ext que se ilustran en la figura 35.
Figura 35: Ilustra el inspector de propiedades del Edit Text
Solución
Este inspector se puede obtener clickeando dos veces la parte izquierda del apuntador (ratón). El inspector de propiedades permite cambiar entre otras cosas:
El color de la letra usando ForegroundColor
El tamaño de la letra usando FontSize
Un letrero fijo usando String
El nombre con el que se llamará al control usando Tag
Cada control que se esté manipulando tiene su propio conjunto de propiedades.
Ejemplo 2. Construyendo de una interface
Construir una interface como la que se ilustra en la figura 36. En ésta, el usuario obtiene dos gráficas: la gráfica de la función trigonométrica seno de una frecuencia fija (azul) y la de la función seno con distintas frecuencias (rojo).
Figura 36: Ilustra la interface que se va a construir en el ejemplo 2
Solución
Se escribe en la ventana de comandos guide Aparece a continuación la ventana de diálogo de la figura 37.
Figura 37: Ilustra la ventana de diálogo GUIDE Quick Start
¿Qué se hace? Se escoge la opción OK. Aparece el área de trabajo o diseño de la figura 38.
Figura 38: Ilustra el área de trabajo
¿Qué se hace? Se arrastran de la parte izquierda los controles que se necesitan para la interface y se ubican de acuerdo con el diseño establecido. (Figura 39)
Figura 39: Ilustra los controles arrastrados al área de trabajo que se necesitan
¿Qué se hace? Se modifican y programan los respectivos controles que se encuentran referenciados con números dentro de círculos. Esto se puede realizar en cualquier orden.
Control 1 Inspector de propiedades
¿Qué se hace? En el String el block de notas que aparece se deja en blanco y se escribe
Frecuencia del Seno
con el color de fondo, el color de letra, y el tamaño de letra que se necesite.
Control 2 Inspector de propiedades
¿Qué se hace? En el String se escribe Ingrese la frecuencia
Control 3 Inspector de propiedades
Se arrastra de la paleta de controles de la parte izquierda el control Axes; se ubica y después se despliega en el área de trabajo.
Control 4 Inspector de propiedades
¿Qué se hace? En el String se escribe Salir Para escribir los códigos se sigue la ruta: ViewCallback
Callback
Para programar la acción que llevará a cabo un control cuando el usuario lo presione, se clickea en la parte derecha del apuntador (ratón). A continuación MatLab muestra el editor
para las funciones o plantilla en donde se escribirán todos los códigos de la interface. Primero pide guardar la información (si aún no ha guardado nada). En este ejemplo se denominará interfaceuno.m . MatLab nos ubica y nos indica donde se deben escribir el respectivo código. OJO NO ES EN CUALQUIER LUGAR. Después de lo indicado con color azul y debajo de los comentarios en verde. ¿Cómo salir o cerrar la interface? La interface se puede cerrar escribiendo en el archivo interfaceuno.m
la instrucción close(gcbf) o close(interfaceuno) después de los
comentarios en color verde como lo muestra la figura 40.
Figura 40: Ilustra el código del control 4
Control 5 Inspector de propiedades
¿Qué se hace?
El String se deja en blanco
En el Tag se escribe Frecuencia ViewCallback
Callback
Aparece nuevamente el editor de funciones del archivo.m donde se escriben las instrucciones al final de los comentarios escritos en verde como se ilustra en la figura 41.
Figura 41: Ilustra el código del control 5
El comando str2double captura la cadena de caracteres (o el ‘String’) del c ontrol Edit T ext y lo pasa a un formato numérico doble definiendo de ésta manera las variables internas. Por último, se corre la interface ejecutando en la parte superior el ícono que dice Run
.
Ejemplo 3. Construcción de una interface
Construir una interface como la que se ilustra en la figura 42. En ésta el usuario obtiene dos figuras: la de la función trigonométrica coseno con una frecuencia fija (negro) y la del coseno con distintas frecuencias (azul).
Figura 42: Ilustra la interface del ejemplo 3
Solución
Control 1 Inspector de propiedades
¿Qué se modifica? String: Se escribe Frecuencia del Coseno FontSize: Se cambia a 18 BackgroundColor: Se cambia a blanco ForegroundColor: Se cambia a rojo
Control 2
Área de trabajo Inspector de propiedades
¿Qué se hace?
El Color: Se cambia por el color rojo
Control 3 Inspector de propiedades
¿Qué se hace? String: Se escribe Ingrese la frecuencia FontSize: Se cambia a 18 BackgroundColor: Se cambia a blanco ForegroundColor: Se cambia a rojo
Control 4 Inspector de propiedades
¿Qué se hace? String: Se escribe Salir FontSize: Se cambia por 18 BackgroundColor: Se cambia a blanco ForegroundColor: Se cambia a rojo ViewCallback
Callback
¿Qué se programa? close(interfacedos)
Control 5 Inspector de propiedades
¿Qué se hace? String: Se deja en blanco
FontSize: Se cambia por 18 BackgroundColor: Se cambia por blanco ForegroundColor: Se cambia por rojo Tag: Se escribe frecuencia ViewCallback
Callback
¿Qué se programa? f = srt2double(get(handles.frecuencia,’string’));
x = linspace(0,2*pi,500); y=cos(x); y1=cos(f*x); plot(x,y,’k’,x,y1,’b’,’linewidth’,3)
grid on axis([0,2*pi,-1.5,1.5])
Control 5 Inspector de propiedades
Se Arrastra de la parte izquierda y se ubica en el área de trabajo el control Axes.
Ejercicio 4.
1. Construir una interface en donde el usuario obtiene la gráfica de la función exponencial decreciente dada por le indique. (Figura 43)
desde 0 hasta el año que se
Figura 43: Ilustra la interface del ejercicio 1
2. Construir una interface en donde el usuario obtenga la gráfica de la función trigonométrica dada por
desde 0 hasta el valor que se le indique.
3. Construir una interface en donde el usuario obtenga la gráfica de la función dada por
desde 0 hasta el valor que se le indique.
1.16.
Diseño de figuras cerradas en dos dimensiones
Con éste programa es posible dibujar y colorear figuras cerradas ubicándolas sobre cuadrículas (plano cartesiano) y determinando después cada una de las líneas que la componen. Ejemplo 1. Rectángulo
Dibujar un rectángulo con vértices (0,0), (2,0), (2,1) y (0,1) como el de la figura 44.
Figura 44. Ilustra el rectángulo
Solución
x = [ 0 2 2 0 0 ]; y = [ 0 0 1 1 0]; plot( x, y ) fill(x, y, 'y' ) axis off El comando fill permite colorear el interior de la figura y la instrucción axis off permite ocultar los ejes de coordenadas.
Ejemplo 2. Depósito de agua
Dibujar un depósito de agua de forma rectangular con vértices (0,0), (4,0), (4,2) y (0,2) como el de la figura 45.
Figura 45. Ilustra el depósito de agua
Solución
x = [ 0 4 4 0 0 ]; y = [ 0 0 2 2 0 ]; axis([0,5,0,2]) axis square axis off hold on plot( x, y, 'k' ) fill( x, 0.5*y, 'b' ) El comando axis square presenta en forma cuadrada los ejes de coordenadas y el comando hold on mantiene los ajustes que le realicemos a los gráficos.
Ejemplo 3. Círculo
Dibujar un círculo como el de la figura 46.
Figura 46. Ilustra el círculo
Solución
Para dibujar círculos se usan parametrizaciones en coordenadas polares. theta = 0:pi/100:2*pi; r = 5; x = r*cos(theta); y = r*sin(theta); axis([-8,8,-8,8]) axis off axis square hold on plot( x, y, 'k' ) fill(x, y, 'r' )
Ejemplo 4. Avión
Dibujar un avión como el de la figura 47. Los vértices vienen dados de la siguiente manera: (-3.5,-1), (-3,-1), (-2.5,-0.5), (0,-1), (0,-3), (1,-3), (1.5,-1), (3.5,-0.5), (4,0), (3.5,0.5), (1.5,1), (1,3), (0,3), (0,1), (-2.5,0.5), (-3,1) y (-3.5,1).
Figura 47. Ilustra el avión
Solución
x = [-3.5,-3,-2.5,0,0,1,1.5,3.5, 4,3.5,1.5,1,0,0,-2.5,-3,-3.5,-3.5]; y = [-1,-1,-0.5,-1,-3,-3,-1,-0.5,0,0.5,1,3,3,1,0.5,1,1,-1]; axis([-8,8,-8,8]) axis off axis square hold on plot( x, y, 'k' ) fill(x, y, 'r' )
Ejemplo 5. El Robot
Dibujar un robot como el de la figura 48. Los vértices vienen dados de la siguiente manera: (-2,-1), (-1.5,-1), (-1.5,1.5), (-1,1.5), (-1,-4), (-1.5,-4), (-1.5,-5), (-0.5,-5), (-0.5,-1), (0.5,-1), (0.5,-5), (1.5,-5), (1.5,-4), (1,-4), (1,1.5), (1.5,1.5), (1.5,-1), (2,-1), (2,3), (1,5), (-1,5), (-1,3) y (-2,3).
Figura 48. Ilustra el robot
Solución
x = [-2,-1.5,-1.5,-1,-1,-1.5,-1.5,-0.5,-0.5,0.5,0.5,1.5,1.5,1,1,1.5,1.5,2, 2,1,1,-1, -1,-2,-2]; y = [-1,-1,1.5,1.5,-4,-4,-5,-5,-1,-1,-5,-5,-4,-4,1.5,1.5,-1,-1,3,3,5,5,3, 3,3]; axis([-8,8,-8,8]) axis off axis square hold on plot( x, y, 'k' ) fill(x, y, 'm' )
1.17.
Animación de trayectorias
En MatLab se pueden desarrollar animaciones de trayectorias. La animación se realiza cuadro a cuadro; este proceso está representado en un diagrama de flujo como:
un ciclo repetitivo de borrar el objeto,
calcular su nueva posición al incrementar el tiempo,
y redibujar en la nueva posición.
Para hacer real la animación, se debe recurrir a la velocidad del procesador del computador donde se va a correr el programa para así tomar un incremento de tiempo adecuado y evitar así que el movimiento se vea muy lento o muy veloz. Ejemplo 1. Movimiento de un objeto circular
Animar el movimiento de un objeto circular cuya trayectoria la describe la función dada por
, donde
es la frecuencia.
Solución
A continuación se presenta el código de la animación de la trayectoria. ************************************************************************* % Se ingresa la frecuencia w function [ ] = animacionejemplo1( w ) t = 0; while t < 2*pi t = t + 0.05;
ys = sin( *t ); clf; % Borra la figura % Círculo theta = 0 : pi/100 : 2*pi; r = 0.03; xo = r * cos(theta); yo = r * sin(theta);
% Área del movimiento axis( [ -0.1, 6.5, -3, 3 ] ) axis square axis off hold on % Suma de coordenadas x = xo + t; y = yo + ys; plot( x, y ) fill( x, y, ‘r’) pause(0.01)
% Velocidad del procesador
end end *************************************************************************
Ejemplo 2. Movimiento de un avión
Animar el movimiento del avión construido en el ejemplo 4 de la sección 1.6, cuya trayectoria la describe la función dada por Solución
.
A continuación se presenta el código de la animación de la trayectoria. ************************************************************************* % Se ingresa el tiempo ta function [ ] = animacionejemplo2( ta ) t = 0; while t < ta t = t + 0.02; yl = log( t ); clf; % Borra la figura
% Avión xo = [-3.5,-3,-2.5,0,0,1,1.5,3.5, 4,3.5,1.5,1,0,0,-2.5,-3,-3.5,-3.5]; yo = [-1,-1,-0.5,-1,-3,-3,-1,-0.5,0,0.5,1,3,3,1,0.5,1,1,-1]; % Modificación de la escala xo = 0.1 * xo; yo = 0.1 * yo; % Área del movimiento axis( [ 0, 11, -5, 5 ] ) axis square axis off hold on % Suma de coordenadas x = xo + t; y = yo + yl; plot( x, y, ‘k’ ) fill( x, y, ‘b’) pause(0.01)
% Velocidad del procesador
end end ************************************************************************* Ejemplo 3. Movimiento de un Robot
Animar el movimiento del robot construido en el ejemplo 5 de la sección 1.6, cuya trayectoria la describe la función dada por:
Solución
A continuación se presenta el código de la animación de la trayectoria. ************************************************************************* % Se ingresa el tiempo ta function [ ] = animacionejemplo3( ta ) t = 0; while t < ta t = t + 0.02; yt = (0)*(t<=2)+(1.5*t-3).*((2
% Velocidad del procesador
end *************************************************************************
En el siguiente capítulo se crea el espacio en donde los ingenieros usando como excusa la formulación de los modelos determinísticos para resolver problemas del entorno puedan desarrollar las habilidades cognitivas necesarias para la formulación de modelos matemáticos en general.
Capítulo 3 Modelos Determinísticos
1.18.
Introducción
Los modelos determinísticos son modelos matemáticos que describen fenómenos que no contemplan la existencia del azar ni el principio de incertidumbre. Es decir, no contienen variables aleatorias; las predicciones obtenidas para un conjunto específico de condiciones son siempre las mismas. Por medio de estos, es posible conocer el estado del sistema transcurrido cierto tiempo una vez que se han dado valores a los distintos parámetros que aparecen en el modelo. En general los modelos determinísticos son útiles para describir los sistemas que evolucionan con el tiempo. Un ejemplo es el conjunto de ecuaciones diferenciales de un sistema físico que puede predecir la evolución en el tiempo de un buen número de magnitudes características del sistema. El objetivo de este capítulo es crear el espacio en donde los estudiantes usando como excusa la formulación de los modelos determinísticos para resolver problemas del entorno puedan desarrollar las habilidades cognitivas propias de la competencia de modelado matemático. . El proceso de construir un modelo matemático para resolver o analizar un problema del entorno, es un proceso que no surge de manera natural ni espontánea de las estructuras mentales de las personas. Para asimilarlo e interiorizarlo, se requiere inicialmente del acompañamiento de un especialista. Esta es la razón por la cual en este capítulo y en el siguiente se acompaña a los estudiantes en el desarrollo de las tareas hasta el logro de una autonomía total en su ejecución. Se presentan inicialmente tareas con desarrollos
incompletos (la parte faltante se encuentra subrayada) y como actividad de los estudiantes se solicita la completitud de dicha tarea. La exigencia de completitud va aumentando progresivamente hasta el logro del desarrollo total de la tarea por parte de los estudiantes. La ejecución de las tareas produce una tensión cognitiva que los lleva a la necesidad de la búsqueda de una información. Esa información la pueden tener, no recordarla o no poseerla. Si no dispone definitivamente de ella debe buscarla, entenderla y aplicarla.
El capítulo se organiza de la siguiente manera: en la sección 3.2 el modelo matemático es formulado a partir del conocimiento científico que se tiene sobre el problema, en la sección 3.3 el modelo es formulado a partir de la información contenida en una tabla de datos (uso de técnicas estadísticas), en la sección 3.4 el modelo es formulado usando la derivación numérica, en la sección 3.5 el modelo formulado es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, en la sección 3.6 se modela un circuito eléctrico RLC en serie con una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes, en la sección 3.7 se aprecia como el sistema masa resorte también puede ser descrito con una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes, en la sección 3.8 se mejora la resolución del modelo de la sección inmediatamente anterior al incluir una fuerza de amortiguamiento y dejando como tarea la inclusión de otra fuerza en el sistema, en la sección 3.9 se formula el modelo idealizado de caída libre y al finalizar el modelado se pide reiniciar el ciclo teniendo en cuenta la resistencia al objeto debida al aire, en la última sección, es decir, en la sección 3.10 se formula el modelo idealizado que representa el proyectil como una partícula con aceleración (debida a la gravedad) constante en magnitud - dirección y se pide reiniciar el ciclo teniendo en cuenta la resistencia del proyectil debida al aire. Para la lectura del libro, se debe tener en cuenta, que al ser los casos de modelado matemático independientes entre sí, se hace necesario para un mejor tratamiento de los mismos, que cada uno disponga de su propia numeración en lo que respecta a las ecuaciones, las figuras y las tablas.
1.19.
Modelado matemático del crecimiento de la población humana
Problema
Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo. La población inicial
se duplicó en 5 años y después de
años la comunidad contaba con una población de habitantes. ¿En cuánto tiempo se triplicará la población? y ¿en cuánto tiempo se cuadruplicará la población? 7
Introducción
Una de las primeras personas que intentó explicar el crecimiento de la población humana usando las matemáticas fue el economista inglés Thomas Robert Malthus. “Para 1798, Malthus ya había publicado de forma anónima la primera edición de su ensayo sobre el principio de la población, obra que se reeditó en 1803 con importantes modificaciones. El libro nació como consecuencia de las discusiones entre él y su padre quien sostenía que la miseria era una consecuencia del papel desempeñado por malas instituciones, ya que la Tierra podía alimentar a todos los seres humanos, y lo único necesario era que mejorase la asistencia pública contenida en las leyes de pobres inglesas, para conseguir así una mayor igualdad social. Malthus difería radicalmente de esta hipótesis, pues sostenía que el crecimiento demográfico es mayor que el de los medios de subsistencia, afectados por la ley de rendimientos decrecientes. Así, mientras la población crece en progresión geométrica, la producción de alimentos lo hace en progresión aritmética.
7
Zill, D., G. y Cullen, M., R. (2002). Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera. 5ª Edición. México: Thomson Learning. p. 216-229
Figura 1: Thomas Robert Malthus (Ilustración tomada de biografías y vidas.com/biografía/m/malthus.htm)
Los momentos de crisis de subsistencia se resolverían gracias a las hambrunas, guerras y epidemias por las que disminuiría la población, sobre todo la perteneciente a los grupos más desfavorecidos.” 8
Defi ni ción del probl ema
El problema consiste en poder formular un modelo matemático que describa la relación entre las variables: “número de personas de la comunidad” y “el tiempo”.
La comunidad cuenta inicialmente con
habitantes; al cabo de 5 años la población es de
y después de 10 años población es de 10000 habitantes. Esta población crece con una
razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo. El modelo no tendrá en cuenta: el número de personas que nacen ni el número de personas que mueren, el número de personas que entran ni el número de personas que salen de la comunidad, los problemas de hambrunas, las epidemias ni las guerras. Para resolver este problema se debe obtener una expresión matemática que permita conocer el número de personas de la comunidad en cualquier instante de tiempo. 8
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/m/malthus.htm
Teor ías que gobiern an el pr oblema
Los conocimientos científicos que se relacionan con este problema y permiten formular el modelo matemático son:
Cantidades proporcionales Cuando dos cantidades
y
son proporcionales, se escribe
. Esto significa
que una cantidad es un múltiplo constante de la otra, es decir, denomina constante de proporcionalidad.
(r se
Hipótesis de Thomas Robert Malthus La hipótesis malthusiana supone que la razón a la que crece la población de un país en cierto tiempo es proporcional a la población total del país en ese momento. En otras palabras, mientras más gente haya en el tiempo presente, más gente habrá en el futuro.
F or mu laci ón del modelo m atemáti co
Las variables de interés son: el tiempo que se denominará número de personas de la comunidad que se denominará
(variable independiente) y el (variable dependiente). La
hipótesis malthusiana establece la siguiente relación entre las variables de interés: “ la razón a la que crece la población
de un país en cierto tiempo
es proporcional a la población
total del país en ese momento”. La traducción al lenguaje matemático de esta hipótesis es:
(1)
(2)
Es decir,
Donde
se denomina la razón de crecimiento. Esta población crece en forma geométrica,
¿por qué?... completar la información. La representación matemática (2) describe la relación entre el número de personas
de la comunidad y el tiempo .
Solución matemáti ca del modelo
El modelo matemático (2) corresponde a una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. La solución se puede obtener de manera analítica usando el método de separación de variables. Comprobar que la solución explícita que permite conocer el número de personas
en un determinado tiempo viene dada por la siguiente expresión:
(3)
Determinar el valor del parámetro , usando la condición inicial
valor de , usando la información información
. Determinar el valor de
. Determinar el , usando la
. Para conocer el tiempo que se requiere para que la
comunidad alcance un determinado número de personas despejar en (3) la variable .
(4)
Repr esentación computaci onal de la solu ción
Para analizar el crecimiento de la población de la comunidad construir una interface gráfica como la que se ilustra en la figura 2. En esta, es posible conocer el número de personas en un determinado tiempo. Los datos de entrada son los años y los datos de salida el número de personas en la comunidad.
Figura 2: Interface para la simulación numérica del crecimiento de la población
I nter pr etación de los r esul tados
Usar la interface para construir una tabla con los datos de las variables de interés (denomínela tabla 1). Determine la población desde 1980 hasta el año 1990. (Sugerencia: registre el tiempo como
años)
Redactar el texto con la respuesta de preguntas como ¿los resultados son los que se esperaban? Val idación del modelo
La tabla 2, contiene algunos datos reales de la comunidad durante los años comprendidos entre 1980 y 1990.
Tiempo
Población
(años)
(miles)
1980
6597
1981
7579
1982
8708
1983
10001
1984
11491
1985
13203
1986
15170
1987 1988
17431 20003
1989
23012
1990
26440
Tabla 2: Datos reales de la comunidad (Fuente: Elaboración propia)
Construir la tabla 3 con los datos de:
Las variables de interés obtenidos con la interface.
Los datos reales de la tabla 2.
El cálculo de errores relativos porcentuales.
Construir la gráfica que contrasta los datos reales contra los datos de la interface. Redactar el texto indicando que a pesar de no haber errores matemáticos las predicciones de la interface son inaceptables. En este caso es necesaria una redefinición del modelo matemático ya sea aumentando su nivel de resolución (es decir, incluyendo variables que no eran de interés) o reiniciando el ciclo de modelado. Si las predicciones son aceptables analizar la exactitud y su rango de aplicabilidad.
L imi taciones del modelo
Este modelo se podrá aplicar únicamente a problemas de crecimiento de poblaciones con las siguientes características...Completar la información.
Referencias
Referenciar el material que consultó y/o los sitios de la web que visitó.
Soluci ón del pr oblema
Redactar la solución del problema
Entre el 1800 y el 2000 la población humana se multiplicó por seis. ¿Ha seguido el ritmo el abastecimiento de alimentos? ¿Habrá alimentos suficientes para mantener la población esperada de 9200 millones en 2050? 9
9
http://www.sesbe.org/evosite/history/humanecol.shtml.html
1.20.
Modelado matemático de la población del mundo en el siglo XX
Problema
La tabla 1 contiene información de la población del mundo durante el siglo XX. ¿De qué manera está creciendo la población mundial? 10
Tabla 1: Población mundial en e l siglo XX
Introducción
La población de 7000 millones de personas ha provocado preocupaciones a nivel mundial. Algunas personas miran esta cifra de manera negativa y advierten sobre las amenazas contra el medio ambiente y los múltiples desafíos económicos y sociales provenientes del aumento de la población global. En 1987, la población del mundo ya había sobrepasado la 10
Stewart, J. (2002). Cálculo. Trascendentes Tempranas. Cuarta Edición. México: Thomson Learning. p. 24-48
frontera de los 5000 millones de personas pero antes que la población del mundo alcanzara esta cantidad, los expertos y analistas del tema habían advertido sobre el riesgo del aumento demográfico, revisando las predicciones demográficas y las fuentes limitadas de los recursos de la Tierra.
Figura 1: Caricaturización sobre el problema de la sobrepoblación mundial (Ilustración tomada de Overpopulation – Conserve Energy Future) 11
(Fuente )
Defi ni ción del probl ema
El problema consiste en poder formular un modelo matemático que describa la relación entre las variables “número de personas en el mundo” y “el tiempo correspondiente a los
años del siglo XX”, a partir de la información de la tabla 1. Los datos se registran cada diez años desde el año 1900 hasta el 1990, y el último registro después de 6 años en 1996. La población inicial es de 1650 millones de habitantes. Estos datos no se pueden describir de la misma manera a como se desarrolló en la sección 3.2. 11
Ibidem
¿Por qué?...Completar el párrafo con la respuesta. El modelo no tendrá en cuenta…Completar la información. Para resolver este problema se debe obtener una expresión matemática que permita conocer el número de personas de la población mundial en el siglo XX.
Teor ías que gobiernan el pr oblema
Los conocimientos científicos que se relacionan con este problema y permiten formular el modelo matemático son:
Ajuste de curvas El ajuste de curvas es un proceso mediante el cua l…Completar la información
Interpolación de datos La interpolación de datos es...Completar la información...
Extrapolación de datos La extrapolación de datos es… Completar la información...
F or mu laci ón del modelo m atemáti co
Las variables de interés son: el tiempo que se denominará
(variable independiente) y el
número de personas de la población mundial que se denominará
(variable dependiente).
Después de analizar los datos, se ve que no empatan con lo propuesto en la hipótesis Malthusiana por lo que no se podrá usar el modelo matemático
. Para
visualizar el comportamiento de los datos, construir el diagrama de dispersión que se ilustra en la figura 2.
⁄
Figura 2: Diagrama de dispersión de la población del mundo del siglo XX
Este diagrama de dispersión sugiere los siguientes modelos matemáticos: lineal, cuadrático, cúbico y exponencial.
Lineal
Cuadrático
Cúbico
Exponencial
Solución matemáti ca del m odelo
El modelo lineal es dado por la expresión algebraica Construir el ajuste lineal que se ilustra en la figura 3.
.
Para determinar los valores de y se usa el comando de MatLab polyfit.
Figura 3: Ajuste lineal de los datos
El modelo cuadrático es dado por la expresión algebraica Construir el ajuste cuadrático que se ilustra en la figura 4.
.
Para determinar los valores de , y se usa el comando de MatLab polyfit.
Figura 4: Ajuste Cuadrático de los datos
El modelo cúbico es dado por la expresión algebraica
. Construir el
ajuste cúbico e ilustrarlo en una figura (denomínarla figura 5). Para determinar los valores de los coeficientes se usa el comando de MatLab polyfit.
El modelo exponencial es dado por la expresión algebraica valores de
y
. Para determinar los
se hace necesario primero linealizar la ecuación usando el logaritmo
natural. Construir el ajuste exponencial e ilustrarlo en la figura (denominarla figura 6). Para
determinar los valores de y se usan el comando de MatLab polyfit. La tabla 2 se construyó con el propósito de escoger el modelo matemático que describe mejor el comportamiento de los datos. Determinar si los datos de la tabla 2 son correctos o se deben ajustar nuevamente. ¿Es el ajuste cúbico el modelo matemático que mejor describe el comportamiento de los datos? Explicar.
Tabla 2: Modelos matemáticos sugeridos (Fuente: Elaboración propia)
Repr esentación computaci onal de la solu ción
Para analizar el crecimiento de la población mundial construir una interface gráfica como la que se ilustra en la figura 7. Los datos de entrada son los años y los datos de salida la población mundial.
Figura 7: Interface para la simulación de la población mundial
I nter pr etación de los r esul tados
Usar la interface para construir una tabla con los datos de las variables de interés (denominarla tabla 3). Determine la población desde 1900 hasta 1996. Interpolar algunos datos. Redactar el texto con las respuestas de preguntas como ¿los resultados son los que se esperaban?
Val idación del modelo
Construir la tabla 4 con los datos de:
Las variables de interés obtenidos con la interface (tabla 3).
Los datos reales (tabla 1)
El cálculo de errores relativos porcentuales.
Construir la gráfica que contrasta los datos reales contra los datos de la interface. Redactar el texto indicando si las predicciones son inaceptables y no hay errores matemáticos. En este caso es necesaria una redefinición del modelo matemático ya sea aumentando su nivel de resolución (es decir, incluyendo variables que no eran de interés) o reiniciando el ciclo de modelado. Si las predicciones son aceptables analizar la exactitud y su rango de aplicabilidad (extrapolar datos). L imi taciones del modelo
Este modelo se podrá aplicar únicamente a problemas de crecimiento de poblaciones con las siguientes características...Completar. Referencias
Referenciar el material que consultó y/o los sitios de la web que visitó.
Soluci ón del pr oblema
Redactar la solución del problema
1.21.
Modelado matemático de la población de Kenia (1950-1990)
Problema
En años recientes la población de Kenya ha crecido rápidamente como se puede analizar en la tabla 1. Predecir la población en tiempos futuros. 12
Tabla 1. Población de Kenia
Introducción
El nombre oficial es República de Kenia o Kenya. Es un país perteneciente al continente africano. Tal como se observa en el mapa (figura 1), Kenya se encuentra en la zona este del continente africano y tiene fronteras al norte con Etiopía, al este con Somalia, al sur con Tanzania, al oeste con Uganda y al noroeste con Sudán. Su capital es Nairobi. La población estimada a julio de 2001 fue de 30.765.916 habitantes.
12
Ecuaciones diferenciales a través de gráficas, modelos y datos. David Lomen. David Lovelock. México 2000. Compañía Editorial Continental.
Figura 1: República de Kenya (Ilustración tomada de www.operationworld.org)
Defi ni ción de la sit uación pr oblema
El problema consiste en poder formular un modelo matemático que describa la relación entre las variables…Completar Para el modelado matemático los datos se registran cada cinco años desde el año 1950 hasta 1990. La población inicial, es decir, la población para el año 1950 es de …Completar millones de habitantes. Estos datos no se pueden modelar de la misma manera a como se desarrolló en la sección 3.2. ¿Por qué? El modelo no tiene en cuenta …Completar. Para resolver este problema se debe obtener una expresión matemática que permita … Completar Teor ías que gobi ern an el pr obl ema
El conocimiento científico que se relaciona con este problema y permite formular el modelo matemático es:
La derivación numérica Es una técnica numérica que permite determinar de manera aproximada... Completar
F or mu laci ón del modelo m atemáti co
Las variables de interés son: el tiempo que se denominará
(variable independiente) y el
número de personas de la población de Kenia que se denominará
(variable dependiente).
Si se analiza la tabla 1, se ve que la población en el año 1950 es de …completar millones de habitantes. Esta se duplica en algún punto entre 1970 y 1975 (tomando entre 20 y 25 años), y luego se duplica de nuevamente por 1990 (tomando entre 15 y 20 años). Así, el tiempo en que se duplica la población no es constante, pero es decreciente. Este crecimiento de población no puede satisfacer, por consiguiente, el tipo de modelo que se utilizó en la sección 3.2, porque esta describe duplicaciones contantes. Para modelar el crecimiento de la población de Kenya se debe despejar en el modelo matemático
la constante de
proporcionalidad . Es decir,
(1)
Para obtener información del conjunto de datos para Kenya acerca de la parte izquierda de (1) se aproxima esta cantidad mediante las derivadas numéricas, por ejemplo, el cociente central, en cuyo caso:
(2)
La tabla 2 muestra el resultado de los cálculos numéricos. Completar la tabla.
Año
Población (Millones)
1950
6.265
1955
7.189
0.000000
1960
8.332
0.030724
1965
9.749
-------------
1970
11.498
-------------
1975
13.741
-------------
1980
16.632
-------------
1985
20.353
-------------
1990
25.130
0.000000
0.028752
Tabla 2. Derivada numérica para
Graficar el diagrama de dispersión de la derivada numérica
contra
figura 2). Graficar el diagrama de dispersión de la aproximación numérica
(denomínela
contra
(denomínela figura 3). ¿Cuál de los dos diagramas de dispersión sugiere una relación lineal?
, (3)
El análisis sugiere que el crecimiento de la población en Kenya es similar al de la sección
3.2, exceptuando que la tasa de crecimiento
no es constante pero es una función del
tiempo linealmente creciente, que arroja como modelo matemático la ecuación diferencial:
Obtener los valores de
, (4)
y :
Solución matemáti ca del modelo
El modelo matemático formulado en la tarea anterior corresponde a una ecuación diferencial ordinaria de primer orden separable. La solución se puede obtener de manera analítica usando el método de separación de variables. Determinar si la solución general implícita corresponde a la expresión matemática dada por:
(5)
Se deja que
corresponda al año 1950 y se evalúa
en (5) para encontrar la
solución particular. Comprobar si la solución particular implícita corresponde a la siguiente expresión matemática:
(6)
Determinar si la solución explícita corresponde a la siguiente expresión matemática:
(7)
Repr esentación computaci onal de la solu ción
Para analizar el crecimiento de la población de Kenya construir una interface como la de la figura (denomínela figura 4) en donde determine el número de habitantes de Kenya en cualquier instante de tiempo de manera numérica y gráfica. Los datos de entrada son los años y los datos de salida corresponden al número de habitantes. I nter pr etación de los r esul tados
Usar la interface para construir una tabla con los datos de las variables de interés (denomínela tabla 3). Registre los datos desde 1950 hasta 1990 de cinco en cinco años.
Redactar el texto con las respuestas de preguntas como ¿los resultados son los que se esperaban? Val idación del modelo
Construir la tabla 4 con los datos de:
Las variables de interés obtenidos con la interface (Tabla 3). Los datos reales (Tabla 1).
El cálculo de errores relativos porcentuales.
Construir la gráfica que contrasta los datos reales contra los datos de la interface. Redactar el texto indicando si las predicciones son inaceptables y no hay errores matemáticos. En este caso es necesaria una redefinición del modelo matemático ya sea aumentando su nivel de resolución (es decir, incluyendo variables que no eran de interés) o reiniciando el ciclo de modelado. Si las predicciones son aceptables analizar la exactitud y su rango de aplicabilidad. L imi taciones del modelo
Este modelo se podrá aplicar únicamente a problemas de crecimiento de poblaciones con las siguientes características ...Completar la información Referencias
Referenciar los materiales que consultó y/o los sitios de la web que visitó.
Soluci ón del pr oblema
Redactar la solución del problema
1.22.
Modelado matemático de las especies Linces contra Conejos
Problema
La tabla 1 contiene la información sobre el índice de capturas de linces y conejos entre los años 1900 y 1920 hechas en un bosque al norte de Canadá. Describir el crecimiento de estas especies que interactúan. Los conejos cuentan con un amplio suministro de alimentos mientras que las linces se alimentan de los conejos. 13
Tabla 1. Capturas de Linces y conejos en miles
Introducción 13
Stewart, J. (2002). Cálculo. Trascendentes Tempranas. Cuarta Edición. México: Thomson Learning. p. 24-48
“Como resultado de la alta tasa a la que los seres orgánicos tienden a incrementarse se
srcina de manera inevitable una batalla por la existencia. Todo ser, que durante su vida natural produce varios huevos o semillas, debe sufrir destrucción durante cierto periodo de su vida y durante cierta estación o año esporádico; de otro modo, con base en el principio de incremento geométrico, su número aumentaría con rapidez a tales dimensiones que ningún país podría soportar el producto. En consecuencia, cuando se producen más individuos de los que pueden sobrevivir, debe haber siempre una batalla por la existencia, ya sea un individuo con otro de la misma especie o con los de distintas especies o con las condiciones físicas de la vida. Se aplica la doctrina de Malthus con fuerza múltiple a los reinos vegetal y animal, porque en este caso no puede haber aumento artificial de alimento ni restricción prudente del matrimonio. Aunque algunas especies podrían estar creciendo ahora, más o menos con rapidez, en número, no todas pueden hacerlo, porque el mundo no lo soportaría. La cantidad de alimento para cada especie da por supuesto el límite extremo al que puede aumentar cada una; pero muy a menudo no la obtención de alimento, sino servir de presa a otros animales, es lo que determina el número promedio de una especie.” 14
Figura 1: Lince-cazando-Conejo (Ilustración tomada de historiadeunlinceiberico.wordpress.com)
Defi ni ción del probl ema 14
Charles Darwin. “Struggle por Existence”, The Origin of Species. Capítulo 3. De la sexta edición en inglés.Appleton, Nueva York, 1882.
El problema consiste en poder formular un modelo matemático que describa la relación entre las variables: “número de conejos”, “número de linces” y “el tiempo” a partir de la
información de la tabla 1. Redactar el párrafo que describe las condiciones dadas, el entorno físico para el modelado matemático. Indicar que aspectos no tiene en cuenta este modelo. Para resolver este problema se debe obtener una expresión matemática que permita conocer el número de conejos y el número de linces en cualquier momento.
Teor ías que gobiern an el pr oblema
Los conocimientos científicos que se relacionan con el problema y permiten formular el modelo matemático son:
Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden son...se resuelven...Completar la información
Modelo de Lotka - Volterra El modelo de Lotka - Volterra nos dice que...Completar la información
F or mu laci ón del modelo m atemáti co
Las variables de interés son: el tiempo que se denominará
(variable independiente), el
número de conejos que se denominará (variable dependiente) y el número de linces que se denominará (variable dependiente). El modelo no tiene en cuenta el número de
especies que mueren por enfermedad o de vejez. Resulta que sin depredadores, el amplio
suministro de alimentos permitiría que la razón a la que crecen los conejos sea proporcional a la cantidad de conejos en cualquier instante de tiempo. Traducido al lenguaje matemático, esto es:
Donde
(1)
es una constante positiva. Resolver la ecuación diferencial (1).
Sin presas, se supone que la población de depredadores disminuye con una rapidez proporcional a sí misma. Traducido al lenguaje matemático, esto es:
Donde
(2)
es una constante positiva. Resolver la ecuación diferencial (2).
Hasta aquí se tiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
(3)
Naturalmente que (3) no describe los datos de la tabla 1. En esta los conejos y las linces crecen y decrecen simultáneamente. ¿Qué sucede cuando las dos especies están presentes? La causa principal de muerte entre las presas es que sean devoradas por los depredadores. La supervivencia de los depredadores depende del suministro de alimento, es decir de las presas. Cuando las dos especies entran en contacto se equilibran a un nivel proporcional. Los depredadores devoran a las presas hasta que haya una proporción entre dos especies. Es decir, debe existir un término término
que controla el crecimiento de los conejos y un
que controla el aumento de la tasa de las linces. Esta relación se representa
mediante el siguiente modelo matemático:
(4)
Este sistema de ecuaciones diferenciales se conoce como sistema de ecuaciones de Lotka Volterra 15.
Solución matemáti ca del modelo
Para poder resolver el modelo (4) se debe primero determinar los valores de los parámetros
,
,
y
. Es decir, se necesitan cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Hacer
en (3) y
en (4) y comprobar que:
(5)
Realizar el siguiente análisis numérico para obtener los datos promedios de
̅
y . Se eligen
los datos comprendidos entre dos valores máximos (o mínimos) y se determina la media
̅
para estimar
y
. Por ejemplo, en el caso de los conejos se considerar la población
comprendida entre los años 1903 y 1913 (sin incluir el último).
Para los linces los comprendidos entre 1904 y 1915.
15
Matemático italiano (Volterra) y Ucraniano (Lotka) . Estas ecuaciones fueron p ropuestas de manera independiente y se usan para describir dinámicas de sistemas biológicos en el que dos especies interactúan, una como presa y otra como depredador
De esta manera:
y
.
Todavía se necesitan otras dos ecuaciones para poder estimar todos los coeficientes. Para ello se razona de la siguiente manera: cuando la población de depredadores sea muy baja, es de esperar que las presas estén creciendo de manera exponencial. A partir de esta hipótesis se calcula
. En efecto, en la tabla 1 se observa que una población baja de linces,
y al mismo tiempo un crecimiento rápido de los conejos, corresponde al año comp letar…. Para estos años los datos son
en 1910 y
en 1911. Se sustituye en
la fórmula del crecimiento exponencial obtenida al resolver la ecuación (1):
(6)
En el otro caso, una población muy baja de conejos que implica un ritmo elevado en el descenso de la población de linces, se da en el año completar…. Sean
. Se sustituye en la fórmula obtenida al resolver la ecuación (2):
(7)
De los resultados anteriores se deduce que:
;
;
y
Entonces, el modelo depredador – presa para la tabla de datos 1es:
(8)
.
Uno de los métodos numéricos usados para resolver (8) es el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Resolver este sistema usando MatLab.
Repr esentación computaci onal de la solu ción
Para analizar el comportamiento de la población de conejos y de linces respectivamente, construir una interface gráfica como la de la figura 1 que permite conocer en cualquier instante de tiempo el número animales de cada especie. Los datos de entrada son los años y los datos de salida son el número de individuos de cada especie.
Figura 1: Interface para la simulación del sistema depredador-presa
I nter pr etación de los r esul tados
Usar la interface para construir una tabla con los datos de las variables de interés (denomínela tabla 2). Registrar los datos cada año desde 1900 hasta el 1920.
Redactar el texto con las respuestas de preguntas como ¿los resultados son los que se esperaban?
Val idación del modelo
Construir la tabla 3 con datos de:
Las variables de interés obtenidos con la interface (Tabla 2). Los datos reales (Tabla 1).
El cálculo de errores relativos porcentuales.
Construir la gráfica que contrasta los datos reales contra los datos de la interface. Redactar el texto indicando si las predicciones son inaceptables y no hay errores matemáticos. En este caso es necesaria una redefinición del modelo matemático ya sea aumentando su nivel de resolución (es decir, incluyendo variables que no eran de interés) o reiniciando el ciclo de modelado. Si las predicciones son aceptables analizar la exactitud y su rango de aplicabilidad. L imi taci ones del modelo matemáti co
Este modelo se podrá aplicar únicamente a poblaciones de dos especies que interactúan con las siguientes características…Completar Referencias
Referenciar los materiales que consultó y/o los sitios de la web que visitó.
Soluci ón del pr oblema
Redactar la solución del problema
1.23.
Modelado matemático de un Sistema Eléctrico
Problema
El circuito
en serie que se ilustra en la figura 1 es importante para la construcción de
otros circuitos y redes eléctricas más complicadas. Este contiene una resistencia de
ohms,
un inductor de henrys, un condensador con capacitancia de farads en serie con una fuente de fuerza electromotriz (tal como una batería o un generador) que proporciona un voltaje de
corriente de
voltios en el instante . Cuando el circuito está cerrado el resultado es una amperes y una carga de
coulombs en el capacitor en el instante .
Describa el comportamiento de la carga en el capacitor en cualquier instante en un circuito RLC en serie. 16
Figura 1: Circuito RLC en serie
Introducción
Un circuito eléctrico es un sistema cuyas componentes pueden ser: diodos, termistores, resistencias, inductancias, fuentes y capacitores entre otros, conectados eléctricamente entre sí con el propósito de generar, transportar o modificar señales electrónicas o eléctricas. Recuerde que la corriente es la circulación de cargas o electrones a través del circuito cerrado, que se mueven siempre del polo negativo al polo positivo de la fuente de
16
Zill, D. G. y Cullen, M. R. (2002). Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera. 5ª Ed. México: Thomson Learning. p. 181 – 198.
suministro de fuerza electromotriz. El voltaje o la “diferencia potencial eléctrica” es una
comparación de la energía que experimenta una carga entre dos ubicaciones.
Defi ni ción del pr oblema
El problema consiste en poder formular un modelo matemático que describa la relación entre las variables “cantidad de carga en el capacitor” y “el tiempo” en un circuito serie. El circuito contiene...completar la información. Para el tiempo de
coulombs y la corriente
porque el voltaje
es de
segundo la carga
en
es
amperes. Las vibraciones eléctricas son libres
voltios. El modelo no tiene en cuenta…completar la
información.
Para resolver este problema se debe obtener una expresión matemática que permita conocer la carga del capacitor en cualquier instante de tiempo.
Teor ías que gobiern an el pr oblema
Los conocimientos científicos que se relacionan con este problema y permiten formular el modelo matemático son:
Resistencia Es toda oposición que encuentra la corriente a su paso por un circuito eléctrico cerrado, atenuando o frenando...completar la información
Inductancia Inductancia (también denominada inductancia propia) es la propiedad de un circuito o elemento de un circuito para retardar... completar la información. Se simboliza con la letra
y se mide en henrios
y su representación gráfica es por medio de
un hilo enrollado, algo que recuerda que la inductancia se debe a un conductor ligado a un campo magnético como se ilustra en la figura 2. Completar con una figura.
Capacitor o condensador Se asemeja mucho a una batería, pues al igual que ésta su función principal es... Completar la información
Leyes de Kirchhoff Las leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la conservación de la energía y la carga en los circuitos eléctricos. Fueron descritas por primera vez en 1845 por el físico alemán …Completar la información
Ley de corrientes de Kirchhoff Esta ley también es llamada ley de nodos o primera ley de Kirchhoff nos dice que en cualquier nodo, la suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De forma equivalente, la suma de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero.
Ley de tensiones de Kirchhoff Esta ley es llamada también Segunda ley de Kirchhoff, ley de lazos de Kirchhoff o ley de mallas de Kirchhoff nos dice que en un lazo cerrado, la suma de todas las caídas de tensión es igual a la tensión total suministrada. De forma equivalente, la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico en un lazo es igual a cero.
Ley de Ohm La ley de Omh establece que la intensidad de la corriente que circula entre dos puntos de un circuito eléctrico es proporcional a la tensión eléctrica entre dichos puntos. Esta constante es la conductancia eléctrica, que es el inverso de la resistencia eléctrica.
F or mu laci ón del modelo m atemáti co
(variable independiente) y la
constantes son: la inductancia , la resistencia , el capacitor
y la fuente o voltaje . La
Las variables de interés son: el tiempo que se denominará carga del capacitor que se denominará
(variable dependiente). Los parámetros
segunda ley de Kirchhoff dice que la suma de la caída de los voltajes de las componentes del sistema, es igual al valor del voltaje de entrada del sistema. Esto traducido al lenguaje algebraico es:
(1)
Donde las caídas de voltaje correspondientes son:
(2) (3)
(4)
De acuerdo con esto se tiene que:
(5)
La relación entre la corriente
, y la carga del capacitor
(6)
(7)
es:
Se sustituye (6) y (7) en (5).
(8)
Entonces, la relación entre la carga del capacitor y el tiempo para el caso representada por la siguiente expresión algebraica:
viene
(9)
Solución matemáti ca del modelo
El modelo matemático (9) corresponde a una ecuación diferencial lineal de orden dos, homogénea con coeficientes constantes. La solución se puede obtener de manera analítica usando la ecuación auxiliar o característica.
Las raíces son
. De acuerdo con el discriminante
tener tres posibles respuestas: Resolver Caso I. Caso II.
(10)
el circuito puede
Caso III.
Repr esentación computaci onal de la solu ción
Para analizar el comportamiento de la carga en el capacitor en un circuito
se debe
construir una interface como la que se ilustra en la figura 2. Los datos de entrada son: la
resistencia, la inductancia, el capacitor, la carga inicial y el tiempo. El dato de salida es la carga en el capacitor.
Figura 2: Interface para la simulación de la carga en el capacitor en un circuito
I nter pr etación de los r esul tados
Usar la interface para construir una tabla con los datos de las variables de interés que ilustre las tres respuestas del circuito para los mismos tiempos de manera simultánea (denomínela tabla 1). Graficar en una misma figura las tres gráficas respectivas de cada respuesta. Redactar el texto con las respuestas de preguntas como: ¿los resultados eran los que se esperaban?
Val idación del modelo
Construir la tabla 2 con datos de:
Las variables de interés obtenidos con la interface para los tres casos (tabla 1).
Los datos reales (Investigar para los tres casos).
El cálculo de errores relativos porcentuales.
Construir la gráfica que contrasta los datos reales contra los datos de la interface para cada caso. Redactar el texto indicando si las predicciones son inaceptables y no hay errores matemáticos. En este caso es necesaria una redefinición del modelo matemático ya sea aumentando su nivel de resolución (es decir, incluyendo variables que no eran de interés) o reiniciando el ciclo de modelado. Si las predicciones son aceptables analizar la exactitud y su rango de aplicabilidad.
L imi taciones del modelo
Este modelo se podrá aplicar únicamente a problemas similares que involucran circuitos
en
serie
con
vibraciones
eléctricas
libres
y
con
las
siguientes
características…Completar la información Referencias
Referenciar el material que consultó y/o los sitios de la web que visitó.
Soluci ón del pr oblema
Redactar la solución del problema Escribir los enunciados de tres situaciones problemas que se puedan resolver usando la interface. El primero para la respuesta sobreamortiguada, el segundo para la respuesta críticamente amortiguada y el tercero para la respuesta subamortiguada.
1.24.
Modelado matemático de un Sistema Mecánico
Problema
Comprender el movimiento oscilatorio que se srcina cuando se libera una masa suspendida de un resorte sujetado a una base que ha sido desplazada de su posición de equilibrio, permite solucionar una variedad de problemas sobre dispositivos mecánicos que contienen entre sus componentes masas y resortes. Describir el movimiento oscilatorio de un sistema masa resorte. 17
Introducción
En la naturaleza se pueden observar una variedad de objetos que repiten sus movimientos de manera regular regresando siempre a la posición de partida después de un intervalo fijo de tiempo.
Figura 1: La Tierra orbitando (Ilustración tomada de conradoconocimientodelmedio.wikispaces.com) 17
Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. (2002). Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera. 5ª Edición. México: Thomson Learning. p. 216-229.
Por ejemplo:
La Tierra vuelve a la misma posición en su órbita alrededor del Sol cada año, dando por resultado la variación entre las cuatro estaciones.
La Luna vuelve a la misma relación con la Tierra y el Sol, dando por resultado una luna llena aproximadamente una vez al mes.
Una masa suspendida de una cuerda, que es alejada de su vertical, se mueve hacia adelante y hacia atrás volviendo a la misma posición a intervalos regulares.
A este tipo de movimiento se le denomina movimiento periódico. Un caso particular es el llamado movimiento oscilatorio que se produce cuando la fuerza actuante es proporcional al desplazamiento y en dirección opuesta al mismo. Defi ni ción del probl ema
El problema consiste en poder formular un modelo matemático que describa la relación entre las variables “posición de la masa” suspendida verticalmente de un resorte sujetado a
una base fija que ha sido desplazada de su posición de equilibrio y “el tiempo”. Al iniciar el movimiento la posición de la masa con respecto al eje de referencia su velocidad es
es
y
. La masa y el resorte no se encuentran sumergidos en ningún líquido o
medio viscoso. El modelo no tiene en cuenta las fuerzas de fricción sobre la masa ni el resorte; no existen fuerzas externas interactuando con la masa. La masa del resorte es despreciable por lo que no produce desplazamiento del mismo debido a su peso. Para resolver este problema se deben obtener expresiones matemáticas que permiten conocer:
La posición de la masa en cualquier instante del tiempo. El tiempo que se requiere para alcanzar una determinada posición.
El tiempo que tarda la masa en volver a su posición inicial, es decir, conocer el periodo.
Teor ías que gobi ern an el pr obl ema
Los conocimientos científicos que se relacionan con este problema y permiten formular los modelos matemáticos son:
La Ley de Hooke La ley de Hooke fue formulada por... establece que...Completar
La segunda ley de Newton La segunda ley de Newton fue formulada por... y establece que...Completar
F or mu laci ón del modelo m atemáti co
Las variables de interés son: el tiempo que se denominará posición de la masa que se denominará
(variable independiente) y la
(variable dependiente). Los parámetros constantes
que se manejan son: la constante de elasticidad del resorte que se denominará
y la
longitud natural del resorte que se denominará . En la figura 2 se ilustran tres posibles escenarios del sistema masa resorte.
Figura 2: Escenarios del sistema masa resorte
Escenario uno: Resorte en reposo
Cuando la masa no interactúa con el resorte, este permanece en reposo porque su peso no produce desplazamientos por ser su masa despreciada en este modelado matemático.
Escenario dos: Sistema masa resorte
Cuando la masa se suspende verticalmente del resorte sin ser desplazada aún de su posición de equilibrio
, el sistema permanece en reposo después de alargar el resorte una
longitud . Para que esto suceda el peso de la masa es contrarrestado por la fuerza de restitución del resorte . En lenguaje matemático, esto es, . Aplicando la Ley
de Hooke se tiene que:
(1)
Escenario tres: Sistema masa resorte en acción
Cuando la masa se libera verticalmente desde una posición la posición de se tiene que:
por debajo (o por encima) de
comienza el movimiento del sistema. Por la segunda ley de Newton
(2)
Sustituyendo por (1) y realizando las respectivas simplificaciones en (2) se obtiene: (3)
La aceleración es igual a la segunda derivada de la posición
de la masa. Es decir:
(4)
Entonces, la relación entre la posición de la masa y el tiempo viene representada por la siguiente expresión matemática:
(5)
Solución matemáti ca del modelo
El modelo matemático (5) es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden homogénea con coeficientes constantes. La solución se obtiene de manera analítica usando la ecuación auxiliar o característica.
(6)
Las raíces complejas son
respectivamente. La solución general es
, donde
De acuerdo con las condiciones iniciales
.
e
, probar que la posición
de la masa en cualquier instante viene dada por la expresión:
(7)
El tiempo
que se requiere para alcanzar la posición
se calcula dibujando primero el
triángulo rectángulo de la figura 3.
Del triángulo se obtienen las siguientes relaciones:
Figura 3: Triángulo rectángulo
(8) (9) (10)
Para 0y
y
diferentes de cero,
es la amplitud de la oscilación y
es la fase angular entre
. Sustituir (8), (9) y (10) en (7) y aplicar la fórmula de los cosenos para probar que:
Probar que el tiempo expresión algebraica:
(11)
que se requiere para alcanzar la posición
viene dado por la
(11)
Si el tiempo se mide en segundos, la frecuencia circular
tiene dimensiones radianes por
segundo (rad/s). El periodo del movimiento es…completar…y queda definido por:
segundos
La frecuencia es
(12)
en hertzios (Hz) que mide el número de oscilaciones (ciclos) por
segundo. Se debe tener en cuenta que la frecuencia se mide en ciclos sobre segundo, en tanto que la frecuencia circular tiene como dimensión radianes por segundo.
Repr esentación computaci onal de la solu ción
Para analizar el movimiento del sistema masa resorte construir una interface como la que se ilustra en la figura 4. Los datos de entrada son: la contante de elasticidad del resorte, la
masa, la posición inicial de la masa, la velocidad inicial de la masa y el tiempo. Los datos de salida son: la posición de la masa y el periodo. Animar en MatLab el movimiento de la masa en dos dimensiones.
Figura 4: Interface para la simulación de un sistema masa-resorte
I nter pr etación de los r esul tados
Usar la interface para construir una tabla de datos con las variables de interés (denomínela tabla 1) de manera que pueda responder con argumentos numéricos si está de acuerdo o no con la siguiente afirmación. “La trayectoria o el lugar geométrico que describen las posiciones sucesivas en el plano bidimensional por las que pasa la masa en su movimiento es una onda sinusoide como se ilustra en la figura 5 .”
Figura 5: Trayectoria sinusoide (Ilustración tomada de deisysegurawordpress.com)
Redactar el texto con las respuestas de preguntas como: ¿los resultados son los que se esperaban?
Val idación del modelo
Construir la tabla 2 con los datos de:
Las variables de interés obtenidos con la interface (tabla 1).
Los datos reales (Investigar).
El cálculo de errores relativos porcentuales.
Construir la gráfica que contrasta los datos reales contra los datos de la interface. Redactar el texto indicando si las predicciones son inaceptables y no hay errores matemáticos. En este caso es necesaria una redefinición del modelo matemático ya sea aumentando su nivel de resolución (es decir, incluyendo variables que no eran de interés) o reiniciando el ciclo de modelado. Si las predicciones son aceptables analizar la exactitud y su rango de aplicabilidad.
L imi taciones del modelo
Este modelo se podrá aplicar únicamente a sistemas en los que la masa y el resorte no se encuentran sumergidos en ningún líquido o medio viscoso, no se tienen en cuenta las fuerzas de fricción sobre la masa y el resorte; no existen fuerzas externas interactuando con la masa del resorte es despreciada.
Referencias
Referenciar el material que consultó y/o los sitios de la web que visitó.
Soluci ón del pr oblema
Redactar la solución del problema Escribir los enunciados de dos situaciones problemas similares que se puedan resolver con la interface gráfica.
1.25.
Modelado matemático de un Sistema Mecánico con amortiguamiento
Problema
Describir el comportamiento del movimiento de una masa suspendida en un medio viscoso que cuelga de un resorte sujetado a una base fija después que ha sido desplazada de su posición de equilibrio como lo ilustra la figura 1. 18
Figura 1: Masa interactuando con un medio viscoso
Introducción “La descripción del movimiento armónico libre de la sección 3.7 no es tan real como parece
dado que el movimiento descrito por el modelo matemático
supone que no
actúan fuerzas retardadoras sobre la masa en movimiento. A menos, que la masa esté suspendida en un vacío perfecto, debe existir por lo menos una fuerza opuesta debida al medio que lo rodea.”19
18
19
Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera. Quinta Edición. México. 2002. Thomson Learning. Página 216-229 Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera. Quinta Edición. México. 2002. Thomson Learning. Página 216-229
Defi ni ción del pr oblema
El problema consiste en poder formular un modelo matemático que describa la relación entre las variables “posición de una masa” suspendida en un medio viscoso que cuelga de
un resorte sujetado a una base fija después que ha sido desplazada de su posición de equilibrio y “el tiempo”.
El medio viscoso donde se introduce la masa actúa como fuerza de fricción modificando el movimiento. En el modelo la masa del resorte es despreciable, por lo cual no se observa desplazamiento del resorte debido a su peso. Para resolver este problema se debe obtener una expresión matemática que permita conocer la posición de la masa en cualquier instante del tiempo.
Teor ías que gobiern an el pr oblema
Los conocimientos científicos que se relacionan con este problema y permiten formular los modelos matemáticos son:
La Ley de Hooke La ley de Hooke fue formulada por... establece que...Completar
La segunda ley de Newton La segunda ley de Newton fue formulada por... y establece que...Completar
F or mu laci ón del modelo m atemáti co
Las variables de interés son: el tiempo que se denominará (variable independiente) y la posición de la masa que se denominará (variable dependiente). Los parámetros constantes
que se manejan son: la constante de elasticidad del resorte que se denominará
, la
constante de amortiguamiento que se denominará , la masa del resorte que se denominará
, la posición inicial que se denominará
y la velocidad inicial que se denominará
Escenario uno: Resorte en reposo
Figura 2. Resorte no estirado
es la constante del resorte es la longitud natural del resorte
Escenario dos: Sistema masa resorte en reposo
Figura 3. Resorte estirado Modelo diagramático de las fuerzas que actúan sobre la masa
Las fuerzas que actúan sobre la masa son:
el peso de la masa
.
es la fuerza de restitución del resorte
(1)
Aplicando la Ley de Hooke se tiene que: (2)
Escenario 3: Sistema masa resorte en acción
Las fuerzas que actúan sobre la masa son:
el peso de la masa es la fuerza de restitución del resorte es la fuerza de amortiguamiento
(3)
Aplicando la Ley de Hooke,
Por (2) se tiene que:
(4) (5)
(6)
(7)
En la teoría de mecánica, suponen que las fuerzas de amortiguación que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a una potencia de su velocidad instantánea
. En los problemas
de modelado matemático en Hidrodinámica, la fuerza de amortiguación es proporcional a
. En este caso se supone que esta fuerza de amortiguamiento está dada por un
múltiplo constante de la velocidad instantánea
(pruebas experimentales), es decir,
Donde
(8)
es una constante de amortiguación positiva. Entonces (7) se expresa como:
(9) (10) (11)
;
La expresión algebraica (11) representa la relación entre la posición de la masa y el tiempo cuando existe una fuerza de amortiguamiento. Solución matemáti ca del modelo
El modelo matemático (11) es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden homogénea y con coeficientes constantes. La solución se obtiene de manera analítica usando la ecuación auxiliar o característica.
Las raíces complejas son:
Caso I.
√ √
(12)
(13) (14)
El sistema se encuentra sobreamortiguado.
(15)
Con las condiciones iniciales obtener los valores para
Caso II.
y
dados a continuación:
(16)
(17)
El sistema se encuentra críticamente amortiguado.
Con las condiciones iniciales obtener los valores para
(18)
y
dados a continuación:
(19) (20)
Caso III.
[√ √ ] En este caso el sistema está subamortiguado.
Con las condiciones iniciales obtener los valores para
(22)
√
(23)
y
(21)
dados a continuación.
Repr esentación computaci onal de la solu ción
Construir una interface gráfica como la que se ilustra en la figura 4 para analizar el movimiento del sistema masa resorte con amortiguamiento y poder obtener información del mismo. Completar con las unidades respectivas Los datos de entrada son: la constante de elasticidad del resorte, la constante de amortiguamiento, la masa, la posición inicial, la velocidad inicial y el tiempo. Los datos de salida son la posición de la masa y el periodo. Animar en MatLab el movimiento en dos dimensiones.
Figura 4: Interface para simulación de un sistema masa-resorte con amortiguamiento
I nter pr etación de los r esul tados
Usar la interface para construir una tabla con los datos de las variables de interés que contenga los resultados de los tres casos para los mismos tiempos (denomínela tabla 1).
Graficar en una misma figura las tres gráficas respectivas. Redactar el texto con las respuestas de preguntas como: ¿los resultados son los que se esperaban?
Val idación del modelo
Construir la tabla 2 con los datos de: Las variables de interés obtenidos con la interface para los tres casos (tabla 1).
Los datos reales (Investigar para los tres casos).
El cálculo de errores.
Construir la gráfica que contrasta los datos reales contra los datos de la interface para cada caso. Redactar el texto indicando si las predicciones son inaceptables y no hay errores matemáticos. En este caso es necesaria una redefinición del modelo matemático ya sea aumentando su nivel de resolución (es decir, incluyendo variables que no eran de interés) o reiniciando el ciclo de modelado. Si las predicciones son aceptables analizar la exactitud y su rango de aplicabilidad.
L imi taciones del modelo
Este modelo se podrá aplicar únicamente a sistemas en los que la masa y el resorte se encuentran...Completar la información. ¿Qué puede decir del modelo matemático de la sección 3.6 y el modelo matemático formulado en esta sección?
Referencias
Referenciar el material que consultó y/o los sitios de la web que visitó.
Soluci ón del pr oblema
Redactar la solución del problema Escribir el enunciado de tres situaciones problemas similares que se puedan resolver con la interface. El primero para el caso sobreamortiguado, el segundo para el caso críticamente amortiguado y el tercero para el caso subamortiguado. Mejorar la resolución del modelo desarrollando nuevamente las tareas pero teniendo en cuenta esta vez una fuerza externa actuando en el sistema.
1.26.
Modelado matemático de un cuerpo en caída libre
Problema
Describir el comportamiento del movimiento de un objeto que es lanzado verticalmente desde el techo de un edificio de altura
, con una velocidad inicial
alcanzando cierta
altura por ir frenando su ascenso la acción de la gravedad y desciende por el mismo camino hasta caer en el piso, alcanzando con esto su altura máxima en como lo ilustra la figura 1. Se hace caso omiso de los efectos del aire. 20
Figura 1: Objeto lanzado desde el techo de un edificio
20
Sears. F. W., Zemansky. M. W., Young. H. D. y Freedman. R. A. Física Universitaria Vol. 1. Décimo primera edición. Pearson Educación. México. 2004. Página 58 – 59.
Introducción “El ejemplo más conocid o de movimiento con aceleración (casi) constante es la caída de un
cuerpo bajo la influencia de la atracción gravitacional de la Tierra. Este fenómeno ha interesado a filósofos y científicos desde la antigüedad. En el siglo IV a.C, Aristóteles pensaba (erróneamente) que los objetos pesados caen con mayor rapidez que los ligeros, en proporción con su peso. Diecinueve siglos después, Galileo afirmó que los cuerpos caían con una aceleración constante e independiente de su peso. Según se cuenta, Galileo experimentaba dejando caer balas desde la Torre inclinada de Pisa. Desde entonces, la caída de los cuerpos se ha estudiado con gran precisión. Si puede descontarse el efecto del aire, Galileo está en lo cierto; todos los cuerpos en un lugar específico caen con la misma aceleración hacia abajo, sea cual sea su tamaño o peso. Si la distancia de caída es pequeña en comparación con el radio terrestre, la aceleración es constante. En esta sección se formula un modelo matemático idealizado en el que se hace caso omiso de los efectos del aire, la rotación terrestre y la disminución de la aceleración de la altitud. A éste modelo matemático idealizado comúnmente se le conoce con el nombre de caída libre, aunque incluye también el movimiento ascendente.” 21
Defi ni ción del probl ema
El problema consiste en poder formular un modelo matemático que describa la relación entre las variables “posición de un objeto” que es lanzado verticalmente desde el techo de
un edificio de altura
, con una velocidad inicial
alcanzando cierta altura por ir
frenando su ascenso la acción de la gravedad y desciende por el mismo camino hasta caer en el piso y “el tiempo” .
La posición inicial es
y velocidad inicial
. La aceleración constante
de un cuerpo en caída libre se llama aceleración debida a la gravedad, y se denota su
magnitud con . Se usa el valor aproximado de 21
cerca de la superficie de la superficie
Francis W. Sears. Mark W. Zemansky. Hugh D. Young. Roger A. Freedman. Física Universitaria Vol. 1. Décimo primera edición, Pearson Educación, México, 2004.
terrestre
⁄
. Este modelo no tiene en cuenta los efectos del aire, la rotación terrestre
ni la disminución de la aceleración de la altitud. Para resolver este problema se deben obtener expresiones matemáticas que permiten:
Conocer la posición del cuerpo en cualquier instante del tiempo.
Conocer la altura máxima alcanzada por el cuerpo.
Calcular el tiempo total de vuelo del cuerpo.
Teor ías que gobiernan el pr oblema
Los conocimientos científicos que se relacionan con este problema y permiten formular los modelos matemáticos son:
La segunda Ley de Newton... Completar
F or mu laci ón del modelo m atemáti co
Las variables de interés son: el tiempo que se denominará posición del cuerpo que se denominará
(variable independiente) y la
(variable dependiente). Los parámetros constantes
que se manejan son: la posición inicial del cuerpo que se denominará inicial del cuerpo que denominaremos
, la velocidad
. Se pueden considerar también como variables de
interés: la posición máxima del cuerpo que se denominará cuerpo en caer al suelo que se denominará referencia vertical para el objeto en subida.
y el tiempo en que tarda el
. En la figura 2 se establece el sistema de
Figura 2: Referencia de la posición
De la figura 2 se obtiene:
(1) (2) (3)
Se sabe que la aceleración es igual a la segunda derivada de la posición del cuerpo. Entonces, la relación entre la posición del cuerpo y el tiempo viene representada por la siguiente expresión matemática:
(4)
Solución matemáti ca del modelo
El modelo matemático (4) es una ecuación diferencial de segundo orden. La solución se obtiene separando las variables de la siguiente manera:
∫ ∫ (5)
(6)
El valor de
se calcula con la condición inicial
.
(8)
Se integra nuevamente:
El valor de
(9)
se calcula con la condición inicial
. Entonces, la posición del
cuerpo en función del tiempo viene dada por la expresión algebraica: (10)
La altura máxima del cuerpo se alcanza cuando la velocidad final se vuelve cero.
(11)
(12)
Sustituir (12) en la ecuación (10) y obtener la expresión:
(13)
El tiempo total de vuelo se refiere al tiempo que tarda el cuerpo en llegar al suelo. Cuando
el cuerpo llega al suelo su altura es cero, por tanto
. (14)
Dado que no se pueden tener tiempos negativos, se descarta la solución con la función suma, obteniendo vuelo total:
. Finalmente se tiene una función del tiempo de
(17)
Repr esentación computaci onal de la solu ción
Construir una interface gráfica como la de la figura 3 para analizar el movimiento del cuerpo. En esta se podrá conocer la posición actual del objeto, su altura máxima y el tiempo total de vuelo. Los datos de entrada son: la posición inicial del cuerpo, la velocidad inicial, y el tiempo. Los datos de salida son la posición del cuerpo, su altura máxima y su tiempo total de vuelo. Animar el movimiento del objeto subiendo y bajando en dos dimensiones.
Figura 3: Interface para la simulación de un cuerpo en caída libre
I nter pr etación de los r esul tados
Usar la interface para construir una tabla con los datos de las variables de interés (denomínela tabla 1). Redactar el texto con las respuestas de preguntas como ¿los resultados eran los que se esperaban?
Val idación del modelo
Construir la tabla 2 con los datos de:
Las variables de interés obtenidos con la interface (tabla 1).
Los datos reales (Investigar).
El cálculo de errores relativos porcentuales. Construir la gráfica que contrasta los datos reales contra los datos de la interface. Redactar el texto indicando si las predicciones son inaceptables y no hay errores matemáticos. En este caso es necesaria una redefinición del modelo matemático ya sea aumentando su nivel de resolución (es decir, incluyendo variables que no eran de interés) o reiniciando el ciclo de modelado. Si las predicciones son aceptables analizar la exactitud y su rango de aplicabilidad. L imi taciones del modelo
Este modelo se podrá aplicar únicamente a objetos lanzados ...Completar la información. Referencias
Referenciar el material que consultó y/o los sitios de la web que visitó.
Soluci ón del pr oblema
Redactar la solución del problema Escribir el enunciado de dos situaciones problemas similares. Resolverlos con la interface gráfica. Mejorar la resolución del modelo matemático desarrollando nuevamente todas las tareas pero teniendo en cuenta en esta ocasión la resistencia debida al aire.
1.27.
Modelado matemático del movimiento de proyectiles
Problema
Describir el comportamiento de la trayectoria de un proyectil que es lanzado con un
determinado ángulo de elevación , con una velocidad inicial
y desde cierta altura
con respecto al suelo sin tener en cuenta en el mismo la resistencia del aire, la curvatura y la rotación de la Tierra. Introducción
“Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue una
trayectoria determinada totalmente por los efectos de la aceleración gravitacional y la resistencia del aire. Una pelota bateada, un balón lanzado (figura 1), un paquete soltado de un avión y una bala disparada de un rifle son proyectiles. El camino que sigue el proyectil es su trayectoria.
Figura 1: Balón lanzado
Para analizar este tipo de movimiento tan común, se parte de un modelo matemático idealizado que representa el proyectil como una partícula con aceleración (debida a la gravedad) constante en magnitud y dirección. Se hace caso omiso de los efectos del aire, de la curvatura y de la rotación de la Tierra. Como todos los modelos matemáticos este tiene limitaciones. La curvatura de la Tierra es considerada en el vuelo de misiles de largo alcance, y la resistencia del aire es crucial para un paracaidista. No obstante, se puede aprender mucho analizando este sencillo modelo matemático. ” 22 Defi ni ción de la situ ación pr oblema
El problema consiste en poder formular un modelo matemático que describa la relación entre las variables “posición d e un proyectil” que es lanzado con un determinado ángulo de
elevación , con una velocidad inicial tiempo”.
y desde cierta altura
con respecto al suelo y “el
El proyectil es lanzado con las siguientes condiciones iniciales: ángulo de elevación velocidad inicial
y desde cierta altura
de la posición son
,
con respecto al suelo. Las coordenadas iniciales
. Debido a la fuerza de la gravedad, el proyectil tiende a llegar
hasta cierta altura y luego desciende. Este modelo no tiene en cuenta la fricción del aire, la curvatura y la rotación de la Tierra. Para resolver este problema, se debe obtener una expresión matemática que permita conocer las coordenadas instante del tiempo.
en el plano
de la trayectoria del proyectil en cualquier
Teor ías que gobiern an el pr oblema
Los conocimientos científicos que se relacionan con este problema y permiten formular el modelo matemático son...Completar la información 22
Francis W. Sears. Mark W. Zemansky. Hugh D. Young. Roger A. Freedman. Física Universitaria Vol. 1.
Décimo primera edición, Pearson Educación, México, 2004. Páginas 87 – 93.
F or mu laci ón del modelo m atemáti co “Primero, se observa que el movimiento de un proyectil está limitado a un plano vertical
determinado por la dirección de la velocidad inicial. La razón es que la aceleración debida a la gravedad es exclusivamente vertical; la gravedad no puede mover un proyectil lateralmente. Por tanto, este movimiento es bidimensional. Se llamará al plano de movimiento plano
, con el eje horizontal y el
vertical hacia arriba.
Para analizar el movimiento de proyectiles se tratan las coordenadas componente
de la aceleración es cero, y la componente
debe recordar que, por definición, coordenadas escogidas,
e
por separado. La
es constante e igual a
. Se
siempre es positiva pero, por las direcciones de
es negativa. Así, se puede analizar el movimiento de un
proyectil como una combinación de movimiento horizontal con velocidad constante y movimiento vertical con aceleración constante. Se pueden expresar todas las relaciones vectoriales de posición, velocidad y aceleración con ecuaciones independientes para las componentes horizontales y verticales. El movimiento real es la superposición de los dos movimientos.” 23
Figura 2: Trayectoria del proyectil (La ilustración es tomada de galia.fc.uaslp.mx)
23
Francis W. Sears. Mark W. Zemansky. Hugh D. Young. Roger A. Freedman. Física Universitaria Vol. 1. Décimo primera edición, Pearson Educación, México, 2004.
⃗
Entonces, las componentes de la aceleración cinemática se tiene que:
son
y
. De acuerdo con la
(1)
La expresión matemática (1) representa la relación entre las coordenadas en el plano del proyectil y el tiempo.
Solución matemáti ca del modelo
Los modelos matemáticos en (1) corresponden a ecuaciones diferenciales de segundo orden de variables separables. La solución viene dada de la siguiente manera:
Abscisa
∫ ∫ (2)
(3)
El valor de
se determina con la condición inicial
(4)
Se integra nuevamente:
(5)
.
El valor de
se determina con la condición inicial
.
(6)
Se deja que quede en términos de la velocidad inicial, de la posición inicial y del ángulo de lanzamiento.
Figura 3: Condiciones iniciales del proyectil (www.universoformulas.com)
(7)
Ordenada
∫ ∫ El valor de
se determina con la condición inicial
(8)
(9)
.
(10)
Se integra nuevamente:
(11)
El valor de
se determina con la condición inicial
.
(12)
Se deja que
quede en términos de la velocidad inicial, de la posición inicial y del ángulo
de lanzamiento.
Entonces, las coordenadas del punto dadas por:
(13)
que describen la trayectoria del proyectil vienen
(14)
Comprobar que la altura máxima viene dada por la siguiente expresión matemática:
(15)
Comprobar que el tiempo total de vuelo viene dado por la siguiente expresión matemática:
(16)
Comprobar que el alcance máximo del proyectil viene dado por de la siguiente expresión matemática:
(17)
Repr esentación computaci onal de la solu ción
Construir una interface gráfica para analizar la trayectoria del proyectil. En esta, el usuario ingresa los datos de: la posición inicial de la abscisa, la posición inicial de la ordenada, la velocidad inicial, el ángulo de lanzamiento y el tiempo. La interface le devuelve los datos de: las coordenadas del proyectil en el respectivo tiempo, la altura máxima, el tiempo de vuelo y el alcance máximo. Animar el movimiento del proyectil.
I nter pr etación de los r esul tados
Usar la interface para construir una tabla con los datos de las variables de interés (denomínela tabla 1). Redactar el texto con las respuestas de preguntas como ¿los resultados eran los que se esperaban?
Val idación del modelo
Construir la tabla 2 con los datos de:
Las variables de interés obtenidos con la interface (tabla 1).
Los datos reales (Investigar).
El cálculo de errores relativos porcentuales.
Construir la gráfica que contrasta los datos reales contra los datos de la interface. Redactar el texto indicando si las predicciones son inaceptables y no hay errores matemáticos. En este caso es necesaria una redefinición del modelo matemático ya sea aumentando su nivel de resolución (es decir, incluyendo variables que no eran de interés) o reiniciando el ciclo de modelado. Si las predicciones son aceptables analizar la exactitud y su rango de aplicabilidad.
L imi taciones del modelo
Este modelo matemático se podrá aplicar únicamente a...Completar la información.
Referencias
Referenciar el material que consultó y/o los sitios de la web que visitó.
Soluci ón del pr oblema
Redactar la solución del problema Escribir los enunciados de tres situaciones problemas similares. Resolverlos por medio de la interface. Mejorar la resolución del modelo matemático desarrollando nuevamente todas las tareas pero teniendo en cuenta en esta ocasión la resistencia debida al aire.
“Parece ser uno de los rasgos fundamentales de la naturaleza el que
las leyes físicas se describan en términos de una teoría matemática de gran belleza y poder, necesitándose unas matemáticas enormemente elevadas para entenderlas. Se puede uno preguntar: ¿por qué la naturaleza está construida a lo largo de estas líneas? Solamente se puede responder que nuestro conocimiento presente parece mostrar que la naturaleza está construida de esta forma. Lo único que podemos hacer es simplemente aceptarlo”. Paul A. M. Dirac Físico británico (1902-1984) Premio Nobel de Física en 1933
En el siguiente capítulo se crea el espacio en donde los ingenieros usando como excusa la formulación de los modelos estocásticos para resolver problemas de la vida real pueden desarrollar las habilidades cognitivas necesarias para la formulación de modelos matemáticos en general.
Capítulo 4 Modelos Estocásticos
1.28.
Introducción
Los modelos estocásticos (no determinísticos) son modelos matemáticos que describen fenómenos que contemplan la existencia del azar y del principio de incertidumbre. Es decir, contienen variables aleatorias que siguen distribuciones de probabilidad; las predicciones obtenidas para un conjunto específico de condiciones no son siempre las mismas. Estos modelos son más difíciles de trabajar que los determinísticos porque requieren del conocimiento del cálculo de probabilidades. Los sistemas de servicios (p. ej., un banco) o de producción (p. ej., la industria) se caracterizan por presentar numerosos procesos en los que el comportamiento de las variables involucradas es de naturaleza aleatoria. El objetivo de este capítulo es crear el espacio en donde los ingenieros usando como excusa la formulación de los modelos estocásticos para resolver problemas del entorno puedan desarrollar las habilidades cognitivas propias de la competencia de modelado matemático. Para lograr el objetivo se requiere repasar algunos conceptos de estadística necesarios en la formulación de estos modelos. El capítulo se organiza de la siguiente manera: en la sección 4.2 se generan números aleatorios por medio de algoritmos clásicos de tipo determinístico, en la sección 4.3 se presentan algunos conceptos de estadística que tienen relación con la simulación de variables aleatorias, en la sección 4.4 se simulan las temperaturas de una estufa que siguen una distribución uniforme, en la sección 4.5 se simulan los tiempos de atención de un cajero en el banco que siguen una distribución exponencial, en la sección 4.6 se simula el
número de piezas que entran a una línea de producción de una planta que siguen una distribución de Poisson y por último, en la sección 4.7, se modela el comportamiento de una cola en el banco usando la metodología empleada en el capítulo tres. Para la lectura del libro, se debe tener en cuenta, que al ser los casos de modelado matemático independientes entre sí, se hace necesario para un mejor tratamiento de los mismos, que cada uno disponga de su propia numeración en lo que respecta a las ecuaciones, las figuras, las tablas y los ejercicios.
1.29.
Generación de números aleatorios
4.2.1. Los números aleatorios
Los números aleatorios son números que se utilizan en: los juegos de azar, la teoría de juegos, la teoría de decisión, la animación por ordenador, la resolución de integrales, test para localización de errores en chips, la teoría de muestras, la transmisión de datos desde un satélite y en las finanzas. En general, cuando se requiere simular aleatoriedad en determinadas variables de interés, se utilizan estas secuencias de números. Formalmente los números aleatorios son secuencias de números distribuidos en el intervalo
[0, 1] como por ejemplo
como . La secuencia
contiene
a las que se hará referencia
números aleatorios diferentes y
recibe el nombre de periodo o ciclo de vida del generador que la creó. Estas secuencias siguen una distribución de probabilidad uniforme definida por:
La media de estas secuencias es y la varianza
(1)
aproximadamente. ¿Cómo se generan los
números aleatorios? Actualmente se encuentran una variedad de algoritmos utilizados para generar secuencias de números aleatorios. A continuación se presentan algunos ejemplos de generadores de tipo determinístico. 4.2.1.1. Algoritmo de cuadrados medios
La rutina del algoritmo de cuadrados medios es:
Datos de entrada Requiere un número entero detonador (llamado semilla)
con D dígitos.
Se recomienda que D > 3.
Paso 1
se construye con los D dígitos del centro de dígitos del centro.
.
Paso 2
se construye con los D dígitos del centro de . dígitos del centro.
Paso 3 Se repite el paso 2 hasta obtener los N números aleatorios deseados.
Este algoritmo no congruencial fue propuesto en la década de los cuarenta del siglo XX por Von Neumann y Metropolis.24 A continuación se generan los cinco primeros números aleatorios a partir de la semilla
Solución
.
.
Sugerencia Para poder escoger en este caso los cuatro dígitos del centro se debe agregar un cero a la izquierda.
24
García D. E., García R. H., Cárdenas B. L. E., (2006). Simulación y análisis de sistemas con ProModel. México: Pearson. 1ª Ed.
La secuencia es
. El algoritmo de cuadrados
medios generalmente es incapaz de generar una secuencia de
con periodo de vida N
grande.
Ejercicio 1
1. Generar los siguientes diez números aleatorios. Es decir, desde
hasta
.
2. ¿Cuál es el comportamiento del algoritmo de cuadrados medios cuando se utiliza la semilla
?
3. Usar el algoritmo de cuadrados medios para generar los primeros diez números aleatorios a partir de la semilla
.
4.2.1.2. Algoritmo congruencial lineal
Las ecuaciones recursivas del algoritmo congruencial lineal para generar números aleatorios son:
Ecuación Recursiva
Donde
es la semilla o detonante con D dígitos.
es una constante multiplicativa. es una constante aditiva.
es el módulo
Números Aleatorios
El módulo es el resto o residuo de una división. En MatLab con el comando mod (abreviatura de módulo), se puede calcular el módulo entre dos números enteros. Por ejemplo, para obtener 736 mod 100 se escribe en la ventana de comandos mod (736, 100).
Este algoritmo congruencial25lineal fue propuesto por D. H. Lehmer en 1951. Según Law y Kelton es el más usado . A continuación se generan los primeros cuatro números aleatorios con los parámetros: arbitraria.
,
,
y
escogidos de manera
Solución
La secuencia es
.
Ejercicio 2
Generar los siguientes diez números aleatorios. Es decir, desde
hasta
.
Para que el algoritmo congruencial lineal sea capaz de lograr el máximo periodo de vida es preciso que se cumplan las condiciones sugeridas por Banks, Corson, Nelson y Nicol.
25
García D. E., García R. H., Cárdenas B. L. E., (2006). Simulación y análisis de sistemas con ProModel. México: Pearson. 1ª Ed. 26 García D. E., García R. H., Cárdenas B. L. E., (2006). Simulación y análisis de sistemas con ProModel. México: Pearson. 1ª Ed.
26
,
g debe ser un número entero. a = 1 + 4k k debe ser un número entero. b debe ser relativamente primo a m. Comprobar que bajo estas condiciones se obtiene un periodo máximo de vida de con los parámetros
,
,
y
.
Solución
Vuelve el algoritmo a trabajar con la semilla repitiendo de nuevo las secuencias de números aleatorios. Se comprueba entonces que este generador, con esta semilla, produce únicamente ocho números aleatorios distintos. Ejercicio 3
Explicar qué le sucede al algoritmo congruencial lineal cuando se viola una de las condiciones. Usar los parámetros:
,
,
y
.
4.2.1.3. Algoritmo congruencial cuadrático
Las ecuaciones recursivas del algoritmo congruencial cuadrático para generar variables aleatorias son:
Ecuación Recursiva
Números Aleatorios
Para que el algoritmo sea capaz de lograr el máximo 27 periodo de vida N, es preciso que se cumplan las condiciones sugeridas por L’Ecuyer.
g debe ser un número entero. a debe ser un número par. c debe ser un número impar.
.
Comprobar que bajo estas condiciones se obtiene un periodo de vida máximo de N = m con los parámetros:
,
,
,
y
.
Solución
7143
Se comprueba entonces que este generador, con esta semilla, produce únicamente ocho números aleatorios distintos. 27
García D. E., García R. H., Cárdenas B. L. E., (2006). Simulación y análisis de sistemas con ProModel. México: Pearson. 1ª Ed.
Ejercicio 4
1. Generar, a partir del algoritmo congruencial cuadrático, suficientes números enteros hasta alcanzar el periodo de vida, proponiendo parámetros sugeridos por L’Ecuyer.
2. Programar en MatLab el generador congruencial de números aleatorios
con
y determinar el ciclo o periodo de vida.
Se debe tener en cuenta que una vez que el generador construye las secuencias de números aleatorios, estas deben ser sometidas a una serie de pruebas estadísticas que indican si los números que la integran son aptos para ser usados en las simulaciones.
4.2.2. Números aleatorios con MatLab
Con MatLab se pueden obtener matrices con números aleatorios usando el comando rand. Por ejemplo, construir las matrices de números aleatorios que se indican. a) A es una matriz aleatoria de 5 x 5. b) B es una matriz aleatoria de 4 x 3. c) C es una matriz aleatoria de 1 x 10. d) D es una matriz aleatoria de 5 x 1. Solución a) A = rand ( 5 , 5 ) b) B = rand ( 4 , 3 ) c) C = rand ( 1 , 10 ) d) D = rand ( 5 , 1 ) 4.2.3. Señales con ruido
Una señal es una función portadora de información. Cuando se registran pueden presentar artefactos o ruidos por diferentes causas.
Ejemplo
La señal
está definida por
a. Graficar la señal
.
b. Adicionarle ruido aleatorio. c. Graficar la señal con ruido. d. Graficar ambas señales (sin ruido y con ruido) en una misma figura. Solución a. t = linspace(0 ,2*pi, 200) ;
;
plot ( t, y, ‘k’, ‘linewidth’, 3)
b. yruido = y + rand(1,200); c. t = linspace(0 ,2*pi, 200) ; yruido = y + rand(1,200); plot ( t, yruido, ‘b’, ‘linewidth’, 3) d. plot ( t, y, ‘k’, t, yruido, ‘b’, ‘linewidth’, 3)
4.3. Conceptos Estadísticos
4.3.1. Variables aleatorias
Las variables aleatorias son funciones que asignan números reales a los elementos del espacio muestral. Tienen un comportamiento no determinístico o probabilístico en la realidad. Son ejemplos de variables aleatorias: las temperaturas de una estufa, los tiempos de servicio en la caja del banco, el número de clientes que llegan cada hora a un banco y el número de piezas que entran a una planta de ensamble entre otras. Estas pueden ser continuas (los dos primeros ejemplos) o discretas (los otros dos ejemplos).
Ejemplo
Cuando se lanza un dado, el resultado puede ser cualquiera de las caras. Una variable aleatoria para este experimento aleatorio podría ser la función X que asigna “el número total de puntos negros de cada cara”. Es decir,
.
Generar variables aleatorias permite el análisis y la optimización de los sistemas de servicios y producción. 4.3.2. Promedio Móvil
El método de promedio móvil simple se utiliza cuando se quiere dar más importancia a conjuntos de datos más recientes para obtener una previsión. Cada punto de un promedio móvil de una serie temporal es la media aritmética de un número de puntos consecutivos de la serie, donde el número de puntos es elegido de tal manera que los efectos estacionales y/o irregulares sean eliminados. El promedio móvil se define como:
∑
(1)
Ejercicio 1
Completar el promedio móvil en los últimos cinco datos de los números de la tabla y graficar los promedios. T
X
Valor promediado en los
1
4
2
3
-
3
3.5
-
4
4.2
-
5 6
5 3.1
3.94 3.76
7
3.6
3.88
8
4.3
?
últimos cinco datos -
9
3.4
?
10
3
?
Tabla 1: Promedio Móvil
Figura 1: Datos de x y del promedio móvil de x
4.3.3. Distribución de probabilidad
Es una función que asigna a los elementos de una variable aleatoria un valor de probabilidad. Cualquier tabla, fórmula o gráfico que contiene todos los valores de la variable aleatoria y sus respectivas probabilidades, se le conoce con el nombre de distribución de probabilidad de la variable aleatoria. La distribución de probabilidad debe cumplir las siguientes propiedades:
Las probabilidades son positivas y están en un rango que va desde 0 hasta 1.
La suma de todas las probabilidades es uno.
Ejemplo
Determinar si la función
donde puede asumir los valores
aleatoria X es una distribución de probabilidad o no lo es.
de la variable
Solución Se determinan las probabilidades de cada elemento de la variable aleatoria:
La primera condición se cumple porque la función
. La segunda condición no se cumple porque
tanto,
no es una distribución de probabilidad.
asigna valores positivos en el rango
. Por
4.3.4. Esperanza matemática o valor esperado
Para variables aleatorias discretas finitas, si la variable aleatoria conjunto de valores definido por:
∑
, la esperanza matemática de
es discreta finita, con es el número real
(1)
Para variables aleatorias continuas, la esperanza matemática de la variable aleatoria función de densidad
es el número real definido por:
∫
(2)
con
Ejemplo
La variable aleatoria continua
tiene la siguiente función de densidad o probabilidad:
Calcular el valor de .
Calcular el valor esperado de .
Solución Por ser una función de densidad o de probabilidad, el área bajo la curva es uno. Esto es,
∫ ∫ ∫ (1)
(2)
(3)
Entonces,
El valor esperado de X es:
∫
(4)
(5)
Ejercicio 2
1. Determinar si la función definida por la siguiente tabla corresponde o no a una distribución de probabilidad.
-3
-2
-1
0
1
2
3
0.1
0.2
0.1
0.2
0.1
0.2
0.1
Determinar la media o el valor esperado. 2. Dada la función
a) Comprobar que
es una función de densidad.
b) Calcular la esperanza matemática de la variable aleatoria de densidad
.
3. La variable aleatoria de densidad de es:
que tiene por función
simboliza el tiempo de una llamada telefónica y la función
Para un valor de
mayor que cero determinar el valor de .
4. Definir las siguientes distribuciones de probabilidad: a) Exponencial b) Uniforme c) Poisson d) Normal e) Weibull f) Binomial 4.4. Simulación de las temperaturas de una estufa
Problema
Simular las temperaturas de una estufa si se sabe por los datos históricos que estas siguen una distribución de probabilidad uniforme dentro del rango de
a
.28
Solución (M é todo de la tr ansfor mada i nversa)
Las temperaturas producidas por una estufa son variables aleatorias continuas que por lo general siguen una distribución de probabilidad uniforme. No es posible determinar con certeza la temperatura en un instante dado. 28
García D. E., García R. H., Cárdenas B. L. E., (2006). Simulación y análisis de sistemas con ProModel. México: Pearson. 1ª Ed.
Las temperaturas siguen una distribución de probabilidad uniforme dada por:
(1)
La función de probabilidad acumulada se obtiene resolviendo la siguiente integral:
∫
(2) (3)
La variable x despejada se expresa como:
(4)
Se utilizan los números aleatorios dado que las temperaturas son datos de naturaleza aleatoria por lo que se escribe
en vez de
.
(5)
En este caso, el generador de las temperaturas viene dado por:
(6).
Ejercicio 1
Construir una tabla de datos para simular las temperaturas de la estufa como se ilustra la figura 1.
Figura 1: Ilustra una tabla de los datos de las temperaturas de una estufa
Ejercicio 2
Construir una interface gráfica como la que se ilustra en la figura 2. En esta, se simulan las temperaturas de la estufa.
Figura 2: Interface para la simulación de las temperaturas de una estufa
4.5. Simulación de los tiempos de atención de un cajero en el banco
Problema
Simular los tiempos de servicio en la caja de un banco si se sabe por los datos históricos que estos siguen una distribución de probabilidad exponencial con media de 3 minutos por cliente.29 Solución (M é todo de la tr ansformada i nver sa)
Los tiempos de atención de un cajero en un banco son variables aleatorias continuas. No es posible determinar con exactitud cuánto tiempo demora el servidor atendiendo un cliente. Estos datos usualmente siguen una distribución de probabilidad exponencial. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial con media dada por:
∫
(1)
La función de probabilidad acumulada se obtiene resolviendo la siguiente integral: (2)
(3)
La variable x despejada se expresa como:
29
(4)
García D. E., García R. H., Cárdenas B. L. E., (2006). Simulación y análisis de sistemas con ProModel. México: Pearson. 1ª Ed.
Se utilizan los números aleatorios dado que los tiempos de servicio en la caja del banco son
datos de naturaleza aleatoria por lo se escribe
en vez de
.
(5)
En este caso el generador de los tiempos de servicio viene dado por:
(6)
Ejercicio 1
Construir una tabla de datos para simular los tiempos de atención en el banco. Ejercicio 2
Construir una interface gráfica como la que se ilustra en la figura 1. En esta se simulan los tiempos de atención del cajero.
Figura 1: Interface para la simulación de tiempos de atención
4.6. Simulación del número de piezas entrando en una línea de ensamble
Problema
Simular el número de piezas que entran a una planta de ensamble de una industria. Se sabe por los datos históricos que estas siguen una distribución de probabilidad de Poisson con media de 2 piezas por hora. 30
Solución (M é todo de la tr ansfor mada i nver sa)
El número de piezas que entran a una línea de producción de una planta son variables aleatorias discretas que por lo general siguen una distribución de probabilidad Poisson. No es posible determinar con certeza el número de piezas en un instante dado. El número de piezas que entran a la planta sigue una distribución de probabilidad de Poisson con media dada por:
Para las variables
. En este caso se tiene que:
Para las variables 30
(1)
(2)
.
García D. E., García R. H., Cárdenas B. L. E., (2006). Simulación y análisis de sistemas con ProModel. México: Pearson. 1ª Ed.
La siguiente tabla contiene simultáneamente las probabilidades puntuales acumuladas
para las variables
.
X
f(x)
F(x)
X
f(x)
F(x)
0
0.1353
0.1353
5
0.0360
0.9834
1 2
0.2706 0.2706
0.4060 0.6766
6 7
0.0120 0.0034
0.9954 0.9989
3
0.1804
0.8571
8
0.0008
0.9997
4
0.0902
0.9473
9
0.0001
0.9999
y las
Tabla 1: Probabilidades puntuales y acumuladas
El generador del número de piezas que entran a la planta es de naturaleza discreta y se define con la siguiente regla que involucra los intervalos de la distribución acumulada de probabilidad:
(3)
Ejercicio 1
Construir una tabla de datos para simular los tiempos de atención en el banco.
Ejercicio 2
Construir una interface gráfica como la que se ilustra en la figura 4. En esta, se simulan el número de piezas que entran a la planta de ensamble.
Figura 4: Interface para la simulación
4.7. Modelado matemático de la cola en el banco
Problema
Suponga que a un banco con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Los datos históricos muestran que el número de clientes que llegan sigue una distribución de Poisson y los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. Determinar: a) La probabilidad que el servidor esté ocupado. b) La probabilidad que no hayan clientes o que el servidor se encuentre desocupado u ocioso. c) La probabilidad que al llegar al banco haya determinado número recibiendo el servicio y otros formando la cola.
de clientes, uno
d) El número promedio de clientes en el banco. e) El número promedio de clientes en la cola. f) El tiempo promedio que espera un cliente en la cola para ser atendido. g) El tiempo promedio que espera un cliente en el banco.
Introducción
Un banco es una estación que proporciona servicios que los clientes necesitan o deben tomar. La existencia de clientes que requieren o deben tomar estos servicios srcina el fenómeno de las colas. Para optimizar las operaciones bancarias se debe estudiar el comportamiento de las mismas. La cola más sencilla de describir es cuando el banco dispone de un solo servidor; el número de clientes que llegan sigue una distribución de Poisson y los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. Los otros casos de colas corresponden a variaciones de estos factores: dos o más servidores, distintas
distribuciones de probabilidad para la llegada de los clientes y los tiempos de atención de los servidores.
Defi ni ción del probl ema
El problema consiste en poder formular un modelo matemático que describa la relación entre las variables aleatorias “promedio de llegada de los clientes” y “promedio de atención a los clientes”
Los tiempos de atención y el número de llegadas de los clientes que ingresan al banco se producen de manera no determinística o probabilística (Marcoviana). Las distribuciones de probabilidad son: exponencial para los tiempos de servicio y de Poisson para el número de llegadas de los clientes. El banco dispone de un solo servidor; la velocidad de llegada es menor que la velocidad de atención. Es decir, se trata de un sistema estable. Este modelo asume la siguiente disciplina de cola: el primer cliente en llegar es el primero en ser atendido y no existe una atención especial para los clientes que se encuentren por fuera de la cola. En la figura 1 se ilustran los elementos que componen una cola simple del sistema bancario.
Figura 1: Elementos que componen una cola simple
Para resolver este problema se deben obtener expresiones matemáticas que permiten conocer: a) La probabilidad que el servidor esté ocupado. b) La probabilidad que no hayan clientes o que el servidor se encuentre desocupado u ocioso. c) La probabilidad que al llegar al banco haya determinado número recibiendo el servicio y otros formando la cola. d) El número promedio de clientes en el banco. e) El número promedio de clientes en la cola.
de clientes uno
f) El tiempo promedio que espera un cliente en la cola para ser atendido. g) El tiempo promedio que espera un cliente en el banco.
Teor ías que gobiernan el pr oblema
Los conocimientos científicos que se relacionan con este problema y permiten formular los modelos matemáticos son:
El cálculo de probabilidades…Completar la información
Teoría de Nacimiento y Muerte…Completar la información
La serie geométrica…Completar la información
La fórmula de Little John…Completar la información
La Mecánica clásica…Completar la información
Notación Kendall…Completar la información
F or mu laci ón del modelo m atemáti co
Las variables de interés son: la velocidad promedio del número de clientes que llegan por hora que se denominará
(variable…..completar) y la velocidad promedio del tiempo para
ofrecer el servicio a los clientes por hora que se denominará
(variable…completar).
Objetivo a) La probabilidad que el servidor esté ocupado se denominará
. Deducir por qué la
probabilidad que el servidor esté ocupado en términos de las velocidades viene dada por la expresión matemática:
(1)
Objetivo b) La probabilidad que no hayan clientes o que el servidor se encuentre desocupado u ocioso se denominará
. Deducir por qué la probabilidad que no hayan clientes o que el servidor
se encuentre desocupado u ocioso en términos de las velocidades viene dada por la expresión matemática:
(2)
Objetivo c)
La probabilidad que al llegar al banco haya determinado número recibiendo el servicio y otros formando la cola se denominará probabilidad que al llegar al banco haya determinado número
de clientes uno
. Deducir por qué la
de clientes, uno recibiendo
el servicio y otros formando la cola; en términos de las velocidades viene dada por la expresión matemática:
(3)
Objetivo d) El número promedio de clientes en el banco se denominará inglés a longitud (length) y
donde
corresponde en el
corresponde en el inglés a sistema (system). Deducir por qué
el número promedio de clientes en el banco en términos de las velocidades viene dado por la expresión matemática:
(4)
Objetivo e) El número promedio de clientes en la cola se denominará
en donde
corresponde en el
inglés a cola (queue). Deducir por qué el número promedio de clientes en la cola en términos de las velocidades viene dado por la expresión matemática:
(5)
Objetivo f) El tiempo promedio que espera un cliente en la cola para ser atendido se denominará donde
en
corresponde en el inglés a esperar (wait). Deducir por qué el tiempo promedio
que espera un cliente en la cola para ser atendido en términos de las velocidades viene dado por la expresión matemática: (6) Objetivo g)
El tiempo promedio que espera un cliente en el banco para ser atendido se denominará La figura 2 ilustra los tiempos del cliente en la estación.
.
Figura 2: Tiempos del cliente en la estación
El tiempo
de un cliente es . Deducir por qué el tiempo promedio que espera un cliente
en el banco en términos de las velocidades viene dado por la expresión matemática:
(7)
Solución matemáti ca del m odelo
¿Qué sucede con las soluciones de los modelos formulados en la tarea anterior?
Repr esentación computaci onal de la solu ción
Para analizar las colas en el banco construir una interface como la que se ilustra en la figura 3. La interface indica entre otras cosas si el sistema es estable o inestable. Los datos de entrada son:… Los datos de salida son:….
Figura 3: Ilustra la interface para la simulación de la cola en un banco
I nter pr etación de los r esul tados
Usar la interface para construir una tabla con los datos de las variables de interés (denomínela tabla 1). Dejar fijo el valor de
y variar . La tabla debe contener una
columna para cada una de las salidas de la interface con los valores correspondientes a la
variación de .
Construir las siguientes gráficas: a. b. c. d. e.
Vs Vs Vs Vs Vs
f.
Vs
Redactar el texto con las respuestas de preguntas como: ¿los resultados eran los que se esperaban?
Val idación del modelo
¿Cómo se validan los modelos obtenidos?
L imi taciones del modelo
Estos modelos matemáticos se podrán aplicar únicamente a las colas que se forman en aquellos bancos (o estaciones de servicio) que...Completar la información Referencias
No olvide referenciar el material que consultó y/o los sitios de la web que visitó.
Soluci ón del pr oblema
Redactar la solución del problema Desarrolle nuevamente todas las tareas pero con dos servidores. Seleccione un sistema de producción y formule un modelo matemático para el mismo.
Referencias
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