Libro Sergio Barrera

TRATAMIENTO AVANZADO

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1. DETERM DETERMINA INACIO CION N DE CAUDALES DE DISEÑO 1.1. _____________________________ ___________________________________________ _____________________________ _____________________ ______ USOS DEL AGUA Los diferentes usos del agua en una comunidad pueden clasificarse en tres Grupos: Doméstico, Público y Comercial e Industrial. La siguiente tabla resume los usos principales y las cantidades de agua asociadas con cada uno de ellos:

Doméstico Bebida, Comida, Limpieza mínima Una Ducha Llenado del tanque de un inodoro Riego de Jardines (Por metro cuadrado por día)

Público

(Volúmenes en litros) 20 a 30 40 a 80 8 a 15 2 (Volúmenes en litros)

Lavado de Calles (Por metro cuadrado) 1 Riego de Jardines Públicos durante la sequía 2 Escuelas (por niño cada día) 50 - 80 Hospitales (por cama cada día) 200 a 650 Mercado (por metro cuadrado por día) 5 Oficina (por trabajador por día) 80 Planta de tratamiento (para lavado de filtros, tuberías etc, por persona en la localidad por día) 1a2

Comercial Hoteles (por cama ocupada por día) Matadero (por animal) Lavandería (por kg de ropa seca)

(Volúmenes en litros) 100 a 150 lts 600 lts 40 a 70 lts

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Industrial

(Volúmenes en metros cúbicos)

Refina Refi naci ción ón de Petr Petrol oleo eo (Por (Por cada cada 1000 1000 lts. lts. de crud crudo) o) Extracción de Carbón (por tonelada producida) Producción de Acero (Por tonelada) Producción de Papel (por tonelada producida) Industria Lechera (por cada 1000 lts. de leche) Curtido de pieles (por piel) Textiles (por tonelada)

7 a 70 1.5 a 25 8 a 20 400 a 60 600 2a6 1a2 230 a 270

1.2. ____________________________ ___________________________________________ _____________________________ _____________________ _______ PREDICCION DEL CONSUMO PER CAPITA La utilización de datos de consumo reales para la predicción del consumo futuro es la práctica mas recomendable. Para ello se divide el consumo doméstico realmente facturado (diferente a la producción de la planta) entre el número de habitantes servidos. Sinembargo, la demanda per cápita calculada con esta metodología incluye la totalidad totalidad del consumo cons umo de las clases socioeconómicas mas altas, así como la de industrias de pequeño tamaño que no se suele diferenciar de la puramente doméstica. Las expansiones de las redes de distribución casi siempre cobijan a los barrios subnormales de las ciudades en crecimiento, donde el consumo es menor; el resultado es que las ampliaciones de las zonas pobres de la ciudad se sobrediseñan. Las fugas y conexiones fraudulentas incrementan la demanda per cápita. Las fugas varían de sector a sector, y depende dependen n del del estado de las tuberías y de la presión de servicio. Otro factor que afecta el cálculo del consumo per cápita es la mala operación de los medidores, los cuales están diseñados para registrar consumos asociados con caudales relativamente grandes. Para caudales pequeños las lecturas de los medidores son menores que el consumo real; el medidor de 5/8" AWWA (American Water Works Association) tiene un caudal mínimo de registro de 0.25 gals/min (1.3 metros cúbicos por día !). El problema se presenta como consecuencia del traslado de los diseños de medidores de los paises europeos y de Norteamérica al trópico. Las bajas temperaturas del invierno boreal no permiten la construcción de tanques en las casas por problemas de congelamiento; en estos países la demanda se ejerce directamente sobre la red, con todas las variaciones asociadas con el consumo horario, sin que exista ninguna capacidad de amortiguamiento de la demanda en tanques domésticos. Los medidores utilizados en las zonas templadas del planeta están construidos para


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registrar los caudales altos que se extraen directamente de la red, y no los bajos caudales con los cuales se llena llenan n los los tanques de de las casas casa s de las zonas tropicales. Nótese que en el caso de los edificios de apartamentos, en donde hay un medidor localizado a la entrada de cada apartamento, la lectura de consumo es más real. Las necesidades mínimas para garantizar la subsistencia del ser humano se reducen a unos 15-20 lts por persona por día. Algunos factore fac toress socioeconómicos pueden incrementar la demanda hasta sobrepasar los 400 lts por persona por día. Los factores que inluencian de una forma u otra el consumo per cápita se describen a continuación.

1.2. 1.2.11 Tama Tamaño ño de la Pob Pobla laci ción ón A me medi dida da que que crece y se desarr desarroll olla a económicamente una comunid comunidad ad mejoran las costumbres higiénicas de las clases económicas mas altas. Aparecen Aparecen el baño baño diario diario (el (el cual, cual, paradojic paradojicamen amente, te, es muy poco practicado en las desarrolladas comunidades europeas), el lavado de carros, el riego jardin jardines es etc. Adiciona Adicionalmen lmente te se desarr desarroll ollan an el comercio y la indust industri ria a de pequeño, cuya demanda pocas veces se puede separar de la doméstica. La siguiente tabla resume las normas del del INSFOPAL (Instituto Nacional de Fomento Municipal) con respecto a consumo y tamaño de la población; estos valores no contemplan la demanda de las industrias de mayor tamaño, la cual debe diferenciarse.

POBLACION 1.000 5.000 25. 000 50. 000 1 00.0 00

1.2.2

CONSUMO PER CAPITA 100 lts/Hab/día 125 lts/Hab/día 150 lts/Hab/día 160 lts/Hab/día 170 lts/Hab/día

Tipo de Servicio

Existen diferentes calidades en el suministro de agua potable a una comunidad. El más elemental de todos es el de una pila pública, de la cual se extrae el agua con baldes o recipientes similares. La dificultad del transporte hasta los sitios donde se utiliza reduce la demanda de agua a valores muy cercanos a las necesidades de subsistencia. A medida que se mejora el sistema de distribución, incurriendo en costos muy altos, aumenta la demanda de agua por la facilidad el consumo. Valores típicos de la demanda per cápita para diferentes tipos de servicio se resumen en la siguiente tabla:

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TIPO DE SERVICIO Pilas publicas Una conexión (salida) po por casa Un Inodoro, una ducha y un lavamanos por casa Dotación sanitaria completa

DEMANDA PER CAPITA 25 lts/hab/día 50 lts/hab/día 100 lts/hab/día 200 lts/hab/día

Tradicionalmente en Colombia se ha pensado que todos los sistemas de distribución de agua deben entregarla por medio de conexiones domiciliares, asociadas con una alta demanda. Los proyectos asociados son altamente costosos, imposibles de financiar. El país debe tener presente la falta de recursos al dimensionar las obras, y considerar alternativas como la de pilas públicas para satisfacer las necesidades de los estratos socioeconómicos mas bajos. De otra manera se llega al sofisma de que "como los pobres merecen un suministro de agua igual al de los ricos, no se les da agua potable por que no hay con que".

1.2.3 Existenci Existencia a de medidores medidores para conexione conexioness domicil domiciliares iares La instalación de medidores en las conexiones domiciliarias puede llegar a reducir los consumos hasta en un u n 40%. Un problema de escasez de agua en un sistema de suministro puede solucionarse instalando medidores a las conexiones de mayor consumo. De hecho, es frecuente encontrar situaciones en las cuales un reducido número de usuarios es responsable de la mayor parte de la demanda; la instalación de medidores a estos usuarios puede reducir notoriamente la demanda. La presencia de medidores debe acompañarse de un sistema de tarifación proporcional al consumo. La escala de tarifas puede crecer proporcionalmente al consumo, desestimulando aún mas la demanda de agua. La curva de demanda de agua tiene algunas características pecualiares. Las industria industriass tienen tienen una curva de demanda demanda bastant bast antee elástica, especialmente aquellas que representan la mayor demanda. En el otro extremo están los consumidores domiciliarios, los cuales por encontrarse mas cerca de la demanda de supervivencia tienen asociada una curva de demanda prácticamente inelástica. En algunas localidades apartadas de la costa colombiana se llega a pagar algo así como 50 veces mas por el agua que en los barrios del norte de la ciudad de Bogotá!

1.2.4 Clima


El consumo per cápita tiende a ser mas alto en las localidades aridas, precisamente dende se consigue menos agua. El consumo se incrementa debido a la mayor pérdida de humedad del organismo a través de la piel, y se incrementan asimismo las necesidades de riego de jardines. Este fenómeno se detecta en una misma localidad en diferentes épocas del año. El consumo durante los meses de verano puede ser un 10% a un 40% mayor que el promedio evaluado para todo el año.

1.3. ________________________________________________________________ PROYECCIONES DE POBLACION El otro parámetro del cual depende directamente el consumo en una localidad es la población servida. Las obras civiles pueden durar mas de treinta años en servicio, y es necesario proyectar un plan de desarrollo a largo plazo que tenga en cuenta el crecimiento de la población en ese período. Los factores que se deben tener en cuenta para determinar la población de diseño son los siguientes:

1.3.1. Periodos de Diseño de las Obras De acuerdo con la experiencia, las obras civiles pueden durar en servicio de 30 a 40 años. En esta categoría caben las Bocatomas Fijas, Presas y Embalses, Estaciones de Bombeo, Plantas de Tratamiento, Tuberías de las redes primaria y secundaria,Tanques de almacenamiento y Alcantarillados. Con el fin de mejorar los aspectos económicos y financieros de un proyecto, se puede trabajar con vidas útiles de 40 años. Los equipos mecánicos, bombas y motores, tienen vidas útiles de 10 a 1 5 años. Las tasas de costo de oportunidad del capital que se invertirá en el proyecto son importantes para la definición de la magnitud de las obras, dado que influencian el valor presente neto de las diferentes alternativas, favoreciendo unas y desfavoreciendo otras. Con tasas relativamente altas conviene retrasar los desembolsos, dado que entre mas tarde se incurra en un egreso menor es su influencia en el valor presente de la alternativa. Si se construyen inicialmente obras de gran capacidad se trabajará durante toda la vida útil del proyecto por debajo de la capacidad de las obras construidas. Al finalizar la vida útil del proyecto no habrá ningún valor de salvamento de las obras. Por otra parte si el desarrollo del sistema de suministro se hace modularmente, una parte sustancial de la inversión se retrasa en el futuro, reduciendo el VPN y los costos financieros. Cuando

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termine la vida útil de las primeras fases construidas, las ampliaciones todavía estarán en servicio y tendrán un valor de salvamento. Hoy en día existe la tendencia a construir con horizontes de unos 10 años, para reducir el lucro cesante y minimizar los costos de inversión inicial. Por otra parte, no es conveniente reducir exageradamente el horizonte de diseño puesto que se pierden posibles economías de escala resultantes de la reducción de los costos por metro cúbico de capacidad instalada, cuando se amplía la capacidad de las obras.

1.3.2 Demografía El crecimiento de una población depende de una gran cantidad de factores. Como base de la modelación se puede definir la siguiente relación: Población = Población inicial + Nacimientos - Muertes + Inmigración - Emigración

El número de nacimientos y de muertes depende principalmente del tamaño de la población; el grado de desarrollo económico, que determina las condiciones generales de salud pública, influye hondamente en las tasas de mortalidad infantil. En ese sentido el desarrollo de un sistema de agua potable para una localidad puede cambiar las tendencias de mortalidad infantil, al reducir una de las causas más frecuentes de enfermedad en las naciones del tercer mundo. La distribución por edades de la población incide directamente en la tendencia al crecimiento; en los paísis del tercer mundo la mortalidad en la población infantil es muy alta. La población juvenil y adulta menor de 50 años tiene muy bajas tasas de mortalidad comparada con el resto de la población. La emigración y la emigración dependen de las ventajas económicas comparativas de la localidad y su región con el resto del país. La prosperidad económica es un importante motor de relocalización de poblaciones en cualquier nación de la tierra. En el caso Colombiano la violencia ha jugado un papel fundamental en la dinámica poblacional de ciertas ciudades. La presión de la guerrilla moviliza grandes poblaciones de campesinos hacia los cascos urbanos, generando serios problemas de salud pública por escasez de servicios. El crecimiento demográfico de una población es muy dificil de predecir. De acuerdo con los datos demográficas ininterrumpidos de dos siglos en los Estados Unidos, no existe un método que se ajuste a todos los casos. Un modelo matemático tiene validez en algunas situaciones pero no en todas. La única conclusión válida del análisis de toda la información es que el grado de acierto desmejora a medida que crece el intervalo de tiempo


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para el cual se hace la predicción. Los datos de los censos son un punto de partida que contiene integrada la influencia de todos los factores que afectan el crecimiento demográfico. A partir de ellos se pueden extrapolar las tendencias futuras con alguno de los métodos que se enumeran a continuación.

1.3.3. Crecimiento Aritmético Las poblaciones de pequeño tamaño localizadas en las cercanías de polos de desarrollo importantes tienden a presentar una tendencia al crecimiento aritmético. Hay poblaciones en Colombia que no crecen en absoluto o que incluso decrecen con el tiempo. Los siguientes son los datos censales de la población de El Doncello en el departamento del Caquetá. 1.964 1.973 1.984

2.898 4.834 8.444

En la gráfica siguiente, la linea recta corresponde a una regresión de mínimos cuadrados definida de acuerdo con las siguientes ecuaciones: y

=

+

y

(

mx

n

y

=

∑ yi xi

i =1 n

∑

xi2

i=1

− −

− x) n yx

()

nx

2

Remplazando en las ecuaciones anteriores "x" por el año y "y" por la población, se extrapola para el año 2002 una población de 13.300 habitantes.

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14.000 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 0 1.960

1.965

1.970

1.975

1.980

1.985

1.990

1.995

2.000

2.005

1.3.4. Crecimiento Exponencial Cuando se eliminan las componentes de inmigración y emigración del modelo de crecimiento demográfico, los únicos factores que afectan al crecimiento de una población son los nacimientos y las muertes. Como ambos factores dependen del tamaño de la población, es posible plantear la siguiente ecuación diferencial: dP dt

=

rP

⇒

P

=

P0 ert

extrayendo logaritmos a ambos lados de la ecuación: ln P

=

ln P0

+

rt

En el caso de que el crecimiento obedezca a un modelo exponencial, existirá una relación lineal entre los logaritmos de la población y el tiempo. En el papel denominado logarítmico, las abcisas correspondientes a la población se localizan a una distancia del eje que es proporcional a su logaritmo, en vez de su valor aritmético. A continuación se grafican los datos de la población de El Doncello en papel logarítmico:


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100.000

10.000

1.000 1.960

1.965

1.970

1.975

1.980

1.985

1.990

1.995

2.000

2.005

La recta que se muestra es el resultado de plantear una regresión de mínimos cuadrados entre el tiempo y el logaritmo de la población (Se remplaza "y" en las ecuaciones por ln P); ella parece ajustarse mejor a los datos censales que la modelación lineal. Sinembargo debe tenerse en cuenta que las escalas logarítmicas comprimen de una manera considerable las variaciones, y que efectos importantes pueden quedar enmascarados detrás del escalamiento. La población extrapolada por el modelo exponencial para el año 2002 es de 22.300 habitantes (68% mayor).

1.3.5. Crecimiento Logístico El modelo de crecimiento logístico es un modelo de desarrollo exponencial en el cual r, la tasa de crecimiento, se considera variable y función de la población: dP dt

=

 

r 1 −

P   P K 

En este modelo, a medida que la población crece, la tasa de crecimiento se disminuye gradualmente. Esta situación corresponde a ciudades que se encuentran cercanas a sus condiciones de saturación por espacio, por calidad de los servicios o por su sistema de acopio de insumos.

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Cada nuevo habitante encuentra condiciones de vida de menor calidad, lo cual reduce la inmigración y puede favorecer la emigración. Del análisis matemático de la ecuación diferencial planteada anteriormente, se deduce que la Población de Saturación es igual a K; cuando la población llega a este nivel su velocidad del crecimiento se vuelve cero. La solución a la ecuación diferencial es la siguiente: P

=

K 1 + ea − rt

en donde a es una constante de integración que depende de la población inicial y que mide su cercanía a la población de saturación. La forma típica de la curva "sigmoidea" se muestra a continuación. 2.000.000 1.800.000 1.600.000 1.400.000 1.200.000 1.000.000 800.000 600.000 400.000 200.000 0 1.980

1.985

1.990

1.995

2.000

2.005

2.010

2.015

2.020

2.025

Existe la posibilidad de encontrar una relación lineal entre el tiempo y una función de la población, de la siguiente manera: − ea rt

=

K P

−1 ⇒

a − rt

=

ln

K

− P P

Se ha diseñado un "papel logístico" en el cual se grafica el tiempo en una escala aritmética y la población en una escala proporcional a la función de la derecha de la última igualdad. Para introducir los puntos en el modelo y graficarlos en el papel es necesario conocer de antemeno el valor de la población de saturación (K). El modelo, por lo tanto, solo se puede utilizar cuando la población de saturación se puede estimar, y no sirve


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para predecirla o calcularla.

1.3.6. Regresión entre Población y Tasa de Crecimiento Cuando se quiere aplicar un modelo exponencial con tasa de crecimiento variable y existe una buena cantidad de información censal disponible, es posible efectuar una regresión entre la tasa de crecimiento exponencial y el tiempo, o la población. Para ello se aplica la siguiente relación exponencial entre diferentes períodos: Pi + 1

=

r ∆t i

Pi e i

⇒

r i

=

 P  ln  i + 1   P i  ∆t i

La regresión lineal entre la tasa de crecimiento r y la población, se aproxima al modelo logistico. En muchos casos puede tener más sentido graficar la dependencia de la tasa de crecimiento con respecto al tiempo, para detectar cambios en los patrones de crecimiento que obedecen principalmente a cambios en las condiciones socioeconómicas comparativas de la localidad.

1.3.7. Otras metodologías Es posible modelar el crecimiento por grupos de edades y distribución de sexos, considerando que los nacimientos solamente ocurren en unos cuantos grupos etarios. Los índices de mortalidad también dependen de la edad. Esta metodología es ideal cuando se tiene la suficiente información, y cuando el número de hijos por pareja ha cambiado en los últimos años y por lo tanto lo harán las tendencias de crecimiento de la población. Cuando no se dispone de datos censales es factible calcular la población actual por medios indirectos, tales como el conteo de casas en fotografías aereas y la realización de un censo al azar para determinar el número promedio de habitantes por vivienda. También es posible consultar el número de residencias inscritas a la Energía, al Acueducto, al catastro etc. En estos casos de mínima información las tendencias de crecimiento pueden suponerse iguales a las de poblaciones vecinas o socioeconómicamente similares, para las cuales haya más información disponible. En los Estados Unidos, donde hay disponibles datos de censos cada diez años desde hace más de cien años, se ha llegado a la conclusión de que no hay un método mejor que otro para TODAS las poblaciones, y que a medida que aumenta el intervalo de extrapolación el error de estimación de

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la población tiende a aumentar. Por ello es fundamental el criterio en la escogencia del método adecuado a cada localidad, así como adoptar horizontes de diseño no muy elevados.

1.4. ________________________________________________________________ CAUDALES DE DISEÑO El Consumo Promedio Anual (CMA) es el resultado de multiplicar la población de diseño por el consumo per cápita proyectado. Ambos parámetros son influenciados por factores socioeconómicos muy dificiles de cuantificar, y la posibilidad de sub y sobrediseños es muy alta. El criterio y el conocimiento de sistemas de suministro de poblaciones similares es fundamental. La fuente de agua debe tener un caudal promedio anual mínimo por lo menos igual a este valor. En caso de que ello no ocurra, la fuente no es suficiente ni siquiera con almacenamiento de los excedentes de invierno. Las diferencias anuales en el consumo son causadas por el clima. El Consumo Máximo Diario (CMD) corresponde al caudal promedio del día de mayor demanda del año, y se calcula multiplicando el consumo promedio anual por un factor de amplificación que varía entre 1.1 y 1.4. La demanda instantanea durante el día de mayor demanda se distribuye de una forma muy desigual. En la gráfica siguiente se muestran la forma de la curva de consumo para un barrio de clase media de la ciudad de Bogotá, que será analizada cuantitativamente más adelante para la determinación del volumen de almacenamiento. La linea horizontal representa el promedio durante las 24 horas, que, como se trata del peor día del año, debe ser el Consumo Máximo Diario. El pico máximo, o Caudal Máximo Horario (CMH) se calcula multiplicando el Consumo Máximo Diario por un factor de amplificación que varía entre 1.4 y 1.8. Este factor depende casi exclusivamente del tamaño de la población servida; la demanda instantanea de un grupo pequeño de personas es irregular y presenta variaciones abruptas, mientras que cuando la población es mayor la demanda se distribuye estocásticamente de una forma más continua y uniforme. Adicionalmente al consumo propiamente dicho es necesario considerar pérdidas por el mal estado de las tuberías de la red, y el consumo de agua en la planta que puede ser considerable. Las fugas son normalmente del orden del 20% del caudal que fluye por la red, pero pueden eventualmente representar el 40 o 50% en una red deteriorada y en mal estado. El consumo interno de la planta de tratamiento está entre el 5% y el 10% del total tratado.


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Los caudales de diseño de cada una de las componentes del sistema de captación, tratamiento y suministro dependen de las características de su funcionamiento. Ante la imposibilidad de variar el caudal tratado en la planta de acuerdo con las variaciones horarias de la demanda, se ha optado por operarla con un caudal constante que deberá ser: Qdiseño = Consumo Máximo Diario + Pérdidas + Uso de la planta

Con este criterio de operación la planta suministra el consumo promedio en 24 horas de la localidad. En las horas pico este caudal será superado por la demanda mientras que en las horas de menor consumo ocurrirá lo contrario. Se requiere entonces almacenamiento del agua tratada. 8.0 7.0 6.0 O M5 . 0 U S N4 . 0 O C %3 . 0

2.0 1.0 0.0 0

3

6

9

12

15

18

21

24

HORA DEL DIA

Todas las obras del sistema de captación y tratamiento se diseñan con este caudal. A partir de la salida de la planta de tratamiento habrá que descontar el consumo de la planta; la conducción hasta la red y la red de distribución se diseñan con el Consumo Máximo Horario + Pérdidas, en el supuesto equivocado de que la demanda instantanea se ejerce directamente sobre la red .

En los países de la zonas templadas del planeta, en donde nació la Ingeniería, no se pueden construir tanques de almacenamiento domiciliares puesto que el agua se congelaría durante los meses de invierno. El frío es tal que se debe dejar siempre una llave abierta para prevenir el congelamiento en las tuberías que podría romperlas. En los países del trópico el clima permite la construcción de tanques en las viviendas; la demanda instantanea se ejerce a ellos y no a la red de distribución. Cada vez que se utiliza agua el nivel del tanque baja

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rápidamente; el llenado posterior podría hacerse con caudales mucho menores que los de la demanda inmediata. El análisis anterior indica que los caudales de diseño de la red de distribución, la parte más costosa del sistema de suministro, podrían reducirse a algún valor intermedio entre el Consumo Máximo Diario y el Consumo Máximo Horario.

1.5. ________________________________________________________________ ALMACENAMIENTO Las diferencias entre el consumo de la localidad y la producción de la planta deben ser absorbidas en sistemas de almacenamiento. En la siguiente tabla se presentan los caudales horarios de agua registrados un barrio de la ciudad de Bogotá, normalizados por el número de habitantes. H or a Consumo hora C on su mo P ro du cc ió n D if er en ci a (% del total) Acumulado Acumulada 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1.589 1.438 1.338 1.293 1.269 1.578 4.456 6.417 6.899 7.621 7.597 6.766 6.346 5.699 5.630 4.961 4.536 4.192 3.983 3.890 3.954 3.825 2.760 1.962 1.589

0 1.51 2.90 4.22 5.50 6.92 9.94 15.38 22.03 29.29 36.90 44.08 50.64 56.66 62.33 67.62 72.37 76.74 80.82 84.76 88.68 92.57 95.86 98.22 100.00

0 4.17 8.33 12.50 16.67 20.83 25.00 29.17 33.33 37.50 41.67 45.83 50.00 54.17 58.33 62.50 66.67 70.83 75.00 79.17 83.33 87.50 91.67 95.83 100.00

0 2.65 5.43 8.28 11.17 13.91 15.06 13.79 11.30 8.21 4.76 1.75 -0.64 -2.50 -3.99 -5.12 -5.70 -5.90 -5.82 -5.59 -5.35 -5.07 -4.20 -2.39 0.00

En la tercera columna de la tabla se han calculado los consumos


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acumulados, en porcentaje del volumen total consumido en el día. La cuarta columna contiene el acumulado proporcionado por la planta, la cual produce un caudal uniforme durante las 24 horas del día. La última columna contiene la diferencia entre los volúmenes acumulados producidos y consumidos. A continuación se grafican el consumo horario y la producción constante de la planta. Nótese que más o menos hasta las seis de la mañana el consumo de la población está por debajo del caudal producido por la planta, y por lo tanto se producen excedentes que es necesario acumular para su utilización posterior. A partir de esta hora y hasta las 17 Hrs. el consumo es mayor que lo que se produce, y es necesario consumir reservas almacenadas. Finalmente, entre las 17 y las 24 Hrs. es necesario almacenar nuevamente los excedentes. El almacenamiento de las horas nocturas se utiliza en las horas de mayor consumo, de tal manera que los tanques de almacenamiento estarán llenos a las 6 horas y vacíos a las 17.

8.0 7.0 6.0 O M5 . 0 U S N4 . 0 O C %3 . 0

2.0 1.0 0.0 0

3

6

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12

15

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HORA DEL DIA

Para calcular el almacenamiento a continuación se grafican los volúmenes consumidos y ofrecidos, como porcentaje del total consumido en el día (ver gráfica) La diferencia máxima hacia abajo se produce a las 6 horas, y representa el 15.06% del total del día. Este es el volumen que debe almacenarse entre las 0 y las seis horas. Sinembargo hacia las 12M el consumo y la oferta acumulados se han igualado, indicando que todo lo producido en el día ya se ha consumido y que es necesario tener un volumen adicional, proveniente del día anterior, para cubrir las horas pico. Este volumen será la diferencia máxima hacia arriba, que de acuerdo con

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la tabla se dá a las 17 horas y es el 5.9% del volumen diario total. 100.0

80.0 O M U 60.0 S N O C 40.0 %

20.0

0.0 0

3

6

9

12

15

18

21

24

HORA DEL DIA

En las condiciones analizadas se requerirá entonces un volumen de almacenamiento del 21.0% (20.96; ojo a la aproximación), en total acuerdo con las normas del viejo INSFOPAL. Debe tenerse en cuenta, sinembargo, que la curva ha sido obtenida a partir de la producción de aguas negras, con el fín de evitar la amortiguación de la demanda que se dá en los tanques domiciliarios de las casas. En la realidad la demanda sobre la red de distribución es más uniforme de lo que se supone, debido a que los altos caudales instantaneos se extraen de los tanques de las casas y los edificios, y que en estos el volumen se repone en un tiempo más largo con un caudal más bajo. En otras palabras los tanques de las viviendas deberían ser tenidos en cuenta, al menos parcialmente, en el cálculo de la capacidad de almacenamiento del sistema.

1.6. ________________________________________________________________ INCENDIO La demanda por incendio es dificil de manejar. Los grandes caudales que se requieren para combatir una conflagración superan con mucho los caudales de diseño de las localidades más pequeñas. Las principales


recomendaciones que al respecto tenían las normas del viejo INSFOPAL mencionan un caudal por hidrante de 5 lts/seg, hidrantes separados cada 300 mts. y una capacidad de almacenamiento de 2 horas con ese caudal. 5 lts/seg es el caudal promedio consumido por una localidad de 3.500 personas, con una dotación de 125 lts/Hab/día. En una nación tan atrasada en agua potable como Colombia, no tiene sentido determinar el caudal de diseño en función de un eventual incendio. Por esta razón las normas del INSFOPAL exigían una justificación para considerarlo en el proceso de diseño para poblaciones con menos de 10.000 habitantes. Aún las norma de 5 lts/seg se queda corta al analizar los consumos por incendio. En los Estados Unidos se utiliza la siguiente ecuación para determinar los requisitos de agua para incendio: F

=

3.7 C A0.5

Donde: C es un coeficiente que depende del tipo de construcción que se debe proteger, y tiene los siguientes valores: 1.5 Para construcción de madera 1.0 Para construcción ordinaria 0.8 Para construcción no combustible 0.6 Para construcción resistente A es el area en mt2 de un conjunto de 3 a 6 pisos contiguos del edificio que se quiere proteger. El valor mínimo recomendado es de 30 lts/seg, y el máximo es de 500 lts/seg (Equivalente al consumo de 350.000 personas !!!). Estos hechos sugieren que las necesidades definidas por el INSFOPAL representan apenas un intento de considerar el problema, sin llegar, ni de lejos, a resolverlo. Lo más probable es que sin agua ni equipo suficiente, un grupo de bomberos jamás podrá controlar un incendio en Colombia a menos que se ataque muy inicialmente. Ese intento de considerar el incendio pero con medidas de tercera es un error de planteamiento. Resulta más honesto y claro reconocer que en el estado actual de la economía no vale la pena tenerlo en cuenta.

21

22


2. ACUEDUCTOS El flujo de agua en una tubería o en un canal se rige en todo momento por la ley fundamental del universo: la Segunda Ley de la Termodinámica. Según ella predice, el movimiento del agua ocurrirá en una dirección tal que la energía del agua se reducirá en una cantidad que debe convertirse en fricción; en turbulencia; en calor; es decir, en entropía. La segunda ley también predice que entre más veloz sea el proceso (Cualquier Proceso!), la cantidad de energía que se pierde o se degrada por unidad de tiempo debe ser mayor. Habiendo definido previamente los diferentes tipos de energía que puede tener el agua (Cinética y Potencial, esta última de posición y de presión), la segunda ley se aplica al desplazamiento de una masa de agua entre dos puntos A y B, de la siguiente forma (No se consideran insumos de energía, p.e. proveniente de una bomba): Z A

+

P A

γ

+

v 2A 2 g

− h fAB =

Z B

+

P B

γ

+

vB2 2 g

La energía total inicial E A se reduce en una cantidad h fAB que, de acuerdo con la segunda ley, debe incrementarse con la velocidad del proceso. Las pérdidas de energía se pueden predecir utilizando alguna de las siguientes ecuaciones.

2.1. ________________________________________________________________ ECUACIONES PARA EL CALCULO DE PERDIDAS EN TUBERIAS

2.1.1. Ecuación de Darcy-Weisbach -Henri Darcy (1803-1858) y Julius Weisbach (1806-1871). h f

=

L v2

f D 2 g

La ecuación es homogenea, y es válida para cualquier sistema de


23

unidades. Por otra parte el factor de fricción f no es constante, y depende de las características de la tubería y el flujo. Para flujo laminar, sabiendo que la fuerza de corte entre capas de fluido es proporcional al gradiente de velocidades, se puede deducir la siguiente expresión para el factor de fricción: 64µ

=

f

=

ρ v D

64 Re

En esta relación Re es el número de Reynolds, que resulta de dividir la cantidad de momentum del agua que fluye por la tubería entre las fuerzas de viscosidad que tratan de frenar el movimiento. Cuando el número de Reynolds se hace demasiado grande (>2000), la masa de agua que fluye por el centro de la tubería pierde estabilidad por la lejanía de las fuerzas de fricción en las paredes de la tubería, las cuales son el único control de la cantidad de movimiento de la masa de agua. Las lineas de flujo se vuelven inestables y comienzan a oscilar generando el fenómeno conocido como turbulencia. Sinembargo, la masa de agua que fluye por la periferia de la sección todavía se encuentra controlada por la fricción contra las paredes. En estas condiciones se dice que el flujo es hidráulicamente liso. Th. von Karman (1930) desarrolló la siguiente expresión para el factor de fricción f: 1 f

=

 Re

2 log



f 

2.51

 

Es interesante notar que para flujo hidráulicamente liso el factor de fricción es independiente del grado de rugosidad del material de las paredes. La ecuación anterior es válida siempre y cuando la capa laminar tenga un espesor mayor que 1.7e, siendo "e" el tamaño de las imperfecciones del material. Al aumentar la velocidad dentro del tubo la zona turbulenta crece hasta que finalmente las oscilaciones en las lineas de flujo interactuan las imperfecciones de las paredes, desarrollandose totalmente la turbulencia. Para las condiciones de flujo totalmente turbulento von Karman encontró que el factor de fricción podría expresarse como: 1 f

=

 D  2 log 3.7   e

En estas condiciones se pierde por completo la influencia del número de Reynolds en el factor de fricción. El único parámetro que influye es la rugosidad relativa e/D. Entre estas dos condiciones, cuando el espesor de la capa laminar se encuentra entre 0.08e y 1.7e, el flujo no se puede representar por ninguna de las dos relaciones anteriores. En el año de 1939 C.F. Colebrook reunió las dos ecuaciones en una para representar la zona de transición:

24


1 f

=

 Re

2 log



f

2.51

+

3.7

D

 

e

Ninguna de las ecuaciones para el cálculo del factor de fricción, con la excepción de la de flujo completamente laminar, se puede utilizar explícitamante en la práctica. Louis F. Moody (1944) Desarrolló el conocido diagrama de Moody para la solución de las ecuaciones en un mundo sin calculadoras ni computadores electrónicos. El diagrama define cuatro zonas diferentes: 1. 2. 3. 4.

Régimen laminar (f solamente depende de Re) Régimen crítico, inestable, en la cual el flujo puede ser laminar o hidráulicamente liso. Régimen de flujo hidráulicamente liso (f depende de Re y de e/D) Régimen Turbulento (f depende solamente de e/D)

2.1.2. Ecuación de Hazen - Williams La utilización de la ecuación de Darcy-Weisbach con las ecuaciones de von Karman y Colebrook estuvo limitada hasta el advenimiento de las calculadoras y los computadores electrónicos. La práctica de la Ingeniería Sanitaria se basó durante mucho tiempo en fórmulas empíricas, las cuales fueron desarrolladas en condiciones similares a las condiciones de operación de los sistemas de suministro. La mas utilizada en los Estados Unidos y, en consecuencia, Latinoamérica, es la acuación de Hazen Williams, que en el sistema internacional de unidades tiene la siguiente forma: v

=

0.85 C R0.63 S 0.54

C = Constante de no rugosidad R = Radio Hidráulico = Area/Perímetro mojado S = Pendiente hidráulica = Pérdidas/Longitud Debido a que la ecuación no es homogenea, la constante C varía para diferentes sistemas de unidades. La ecuación fué desarrollada para diámetros mayores de 5 cm y velocidad menor de 3 mts/seg. La inmensa mayoría de situaciones encontradas en la práctica de la Ingeniería Sanitaria cumple con estos requisitos. Sinembargo, hay algunas


25

situaciones en las cuales Para tuberías de sección circular que transportan flujo a presión (sección llena), es posible desarrollar la ecuación hasta las siguientes expresiones:

=

Q

H f

63 0. 54 54 0.278 C φ 2. 63 S

10.78 L  Q 

=

1.85

  φ 4.87  C 

Estas ecuaciones, totalmente explícitas, permiten resolver directamente una serie de problemas cuya solución con las ecuaciones de Darcy-Weisbach y Colebrook es engorrosa y complicada. No es de extrañar que la mayoría de las obras existentes en los Estados Unidos y Latinoamérica se hayan diseñado con la ecuación de Hazen-Williams.

2.1.3. 2.1.3. Ecuación Ecuación de Mannin Manning g (Robert (Robert Manning, Manning, 1895) La ecuación de Manning es muy similar a la de Hazen - Williams: v

=

1 N

R 2 / 3 S 1 / 2

Nótese que en ambas ecuaciones los exponentes del radio y la pendiente hidráulicos son prácticamente idénticos. Por cuestiones de costumbre e historia dificiles de aclarar hoy en día, La ecuación de Manning se prefiere para el cálculo y diseño de tuberias de alcantarillado, en las cuales el flujo no es a presión y no llena las tuberías.

2.1.4. 2.1.4. Otras Otras Ecuaci Ecuacione oness Históricamente las formulas anteriormente descritas son el resultado del desarrollo de fórmulas mas antiguas como la de Chezy, y que son válidas para un espectro más amplio de aplicaciones: v

=

C RS

Con los avances de la hidráulica en la segunda mitad del siglo pasado las "constantes" se fueron desarrollando como expresiones de variables geométricas e hidráulicas, hasta llegar a las previamente descritas. En el presente curso se utilizará la ecuación de Hazen - Williams para el diseño

26


de lineas de conducción de agua a presión, y la de Manning para el diseño de alcantarillados.

2.2. ____________________________ ___________________________________________ _____________________________ _____________________ _______ PRESIONES Y CONSUMO La gráfica representa un sistema de suministro con bombeo y almacenamiento. La bomba localizada en el punto A suministra una cabeza piezométrica de 50 mts, que se puede considerar constante (En la realidad, como se verá más adelante, la cabeza suministrada por las bombas es menor a caudales mayores). Dadas las características de las tuberías que se indican en la figura y sabiendo que el coeficiente C para la ecuación de Hazen-Williams es de 130 (Concreto liso), determine: 1. Máxima Máxima canti cantidad dad de agua agua que puede puede consumir consumirse se en en el punto punto B. 2. Consum Consumoo en B asocia asociado do con con la ausenc ausencia ia de flujo flujo en en el ramal ramal BC. BC. 3. Fluj Flujoo hacia el tanque tanque C cuando cuando no se consume agua en B, B, y la correspondiente correspondiente presión de servicio en B.

3

2

3

C

2 50 mts

1 1 B

42 mts Ø 250 mm

A

Ø 300 mm 1500 mts

9 mts

900 mts

En la mayoría de problemas encontrados en la Ingeniería Sanitaria, las cabezas de velocidad son muy pequeñas comparadas con los términos de fricción. Adicionalmente, una vez el agua se ha acelerado, conserva su velocidad con cambios mínimos en su transcurso por la red de distribución; distribución; en este caso los términos de cabeza de velocidad son aproximadamente iguales a ambos lados de la ecuación de Bernoulli y se cancelan.


27

eliminando los términos de cabeza de velocidad: Z A

+

P A

− h fAB =

γ

Z B

+

P B

γ

La ecuación de Bernoulli indica que la cabeza piezométrica del agua se reduce de acuerdo con las pérdidas hidráulicas a lo largo de la conducción. A medida medida que el flujo flujo se se incr increme ementa, nta, las pérdida pérdidass se incrementan incrementan y el agua llega al punto de entrega con menor cabeza piezométrica. Invirtiendo Invirtiendo el razonamiento, puede decirse que para que llegue el mayor caudal posible es necesario que la cabeza piezométrica de llegada sea mínima; esto es, que el el nivel hidrostático hidrost ático del agua en el punto B coincida coincid a con la cota del del terreno. Eventualmente, el agua se podría entregar con una cabeza piezométrica por debajo de la cota del terreno, pero ello implicaría que se estaría obteniendo por debajo del suelo; sería necesario entonces bombearla para poderla utilizar. El anterior razonamiento lleva a que la máxima cantidad de agua que puede fluir por el ramal AB está asociada a la linea de cabezas piezométricas identificada en la gráfica con el número 1 (Tenga en cuenta que como ambos ramales AB y BC se unen en B, la cabeza piezométrica en B es igual para ambas tuberías). Aplicando la ecuación de Bernoulli para la tubería AB con la linea piezométrica 1 (Recuerde que la diferencia entre las cabezas piezométricas son las pérdidas): 50

⇒

− h fAB =

 1.85 ⇒  130   

(10.7 )(1. 500 500 )  Q

=

41

9

4.87

0.3

Q

=

mt 3

0.217 seg

Nótese que si se hubieran introducido los términos térm inos de cabeza cabez a de velocidad, velocidad, las solución de las ecuaciones se hubiera complicado enormemente (No se conocen ni la velocidad ni el caudal, los cuales tienen exponentes distintos en la ecuación de energía). Para el caudal encontrado la velocidad y la cabeza de velocidad del agua son: Q

=

v

2

v B 2 g

A

=

=

0.217

π0.15 2

=

mt 3.07 seg

0.48 mt

Lo cual corresponde aproximadamente al 1% de las pérdidas. Para el tramo BC con la curva piezométrica 1:

28


42 − h fBC

⇒

=

33

=

9

(10.7 )( 900 900)  Q 0.25

4.87

1.85

  130  

⇒

Q

=

0.1572

mt 3 seg

El caudal que se consume en B será la suma del que fluye por ambos ramales: Q = 0.217 + 0.157 = 0.384

La ausencia de caudal en el ramal BC está asociada a una cabeza piezométrica en en B de de 42 mts, esto es to es, no hay pérdida pérdidass entre entre los dos dos puntos. Nótese que que la presión de llegada llegada en B por ambas ambas tuberías debe ser la misma, debido a que los caudales que llegan por AB y por CB se encuentran físicamente en el mismo punto. 50

⇒

− h fAB = 8

=

42

(10.7 )(1. 500 500 )  Q 4.87

0.3

1.85

  130  

⇒

=

Q

0.0902

mt 3 seg

Para la linea de energía 3 (Sin consumo en B) se desconoce la cabeza piezométrica en B, y por lo tanto no se pueden determinar explícitamente los caudales. En este caso se puede remplazar la tubería por una equivalente con las mismas propiedades hidráulicas del conjunto de las dos tuberías AB y BC.

2.3. ____________________________ ___________________________________________ _____________________________ _____________________ _______ TUBERIAS EQUIVALENTES En el problema anterior se sabe que: h fAC

=

10.7 L AB Q 1.85 1.85 φ AB 4.87 C AB

+

10.7 L BC Q 1.85 1.85 φ BC 4.87 C BC

=

K AB Q 1.85

+ K BC Q 1.85

Las características de la ecuación de Hazen-Williams hacen posible encontrar una tubería equivalente, en la cual un caudal genera las mismas pérdidas que en el sistema que se quiere representar; es decir, el conjunto de las dos tuberías se comporta como una tubería. Basta garantizar que para un caudal cualquiera Q 0 las pérdidas en la tubería real


29

y en la tubería equivalente sean iguales, para que la constante k sea igual, y por lo tanto la relación entre caudales y pérdidas se cumpla para cualquier otro caudal.

Y si la constante para la tubería equivalente es igual a la suma de las otras dos, la equivalencia se mantendrá para todos los caudales. Por ejemplo, para un caudal unitario: H

=

(10.7)(1500)(1)1.85 (0.3)4.87 (130)1.85

+

(10.7)(900)(1)1.85 (0.25)4.87 (130)1.85

(10.7) L Eq (1)1.85

=

φ Eq

4.87

1.85

C Eq

Se pueden escoger dos parámetros cualesquiera de la tubería equivalente (ØEq y CEq por ejemplo), y determinar el tercero utilizando la igualdad. Suponiendo un diámetro de 0.25 mts. y un coeficiente C de 130, se encuentra una longitud de 1517 mts.. Cuando no hay consumo en B el agua fluye directamente por el sistema desde A hasta C. La energía disponible será igual a la diferencia de cabezas piezométricas entre el punto inicial y final (Despreciando las cabezas de velocidad); sabiendo que las pérdidas entre A y C son de 8 mts: Q

 8  = (0.278)(130)( 0. 25)2.63   1517 

0.54

=

0.0555

mt 3 seg

Para el cálculo de la presión de servicio en la situación del problema, se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B: P B

γ

=

50 −

(10.7)(1500)( 0. 055)1.85 (0.3)4.87 (130)1.85

−9 =

39.9 mts

Esto quiere decir que, cuando no hay consumo, el nivel del agua llegará hasta 39.9 mts. por encima de la cota del terreno en el punto B. El problema se hubiera podido resolver explicitamente despejando el caudal de la primera ecuación de este numeral. La metodología de la tubería equivalente, por otra parte, permite el análisis de sistemas más complejos con tuberías en serie y en paralelo. Una conclusión importante es que a medida que se incrementa el consumo necesariamente se reducen las presiones, debido a la conversión de la energía "piezométrica" (posición + Presión) en energía cinética y en las pérdidas asociadas al movimiento de la masa de agua.

30


Para tuberías en paralelo el flujo total para unas pérdidas conocidas debe ser igual al de la tubería equivalente con las mismas pérdidas. Esta condición permite encontrar la longitud equivalente. El siguiente problema ilustra la aplicación de la metodología a un sistema con tuberías en paralelo y en serie:

PROBLEMA Para el sistema mostrado encuentre: a) Las pérdidas cuando fluyen 100 lt/seg por todo el sistema. b) El caudal cuando las pérdidas totales entre A y D suman 50 mts.

A

400 mt Ø 0.2 mts 1000 mts. Ø 0.2 mts

B

800 mts Ø 0.15 mts

800 mts. Ø 0.15 mts

C

D Suponganse unas pérdidas entre B y C de 10 mts. En estas condiciones, para el ramal superior: Q

=

(0.278)(130)( 0. 2)

2.63

 10  1000   

0.54

=

0.0436

mt 3 seg

y para el ramal inferior: Q

 10  = (0.278)(130)( 0. 15)2.63    800 

QTOTAL

=

0.0436

+

0. 0231

=

0.54

=

0.0231

0. 0667

mt 3 seg

mt 3 seg

Para la tubería equivalente se escogen los siguientes parámetros: Ø=200 mm; C=130; Aplicando la ecuación de Hazen Williams y la condición de que para unas pérdidas de 10 mts el caudal debe ser 66.7 lts/seg, se


31

despeja la longitud equivalente: 10

10.7 L Eq (0.0667)1.85

=

=>

(0.2)4.87 (130)1.85

L Eq

=

450 mt

Todo el tramo comprendido entre A y C se puede remplazar por una sola tubería de 850 mts. de longitud, 200 mm. de diámetro y C=130. Esto puede hacerse debido a que la tuberia equivalente del tramo BC se escogió con idénticas propiedades hidráulicas a la tubería AB. Si se supone un caudal de 100 lts/seg: 10.78( 850)( 0. 1)1.85

=

h AC .

10.78(800 )(0. 1)1.85

=

hCD.

0.15

H TOTAL

=

0.24.871301.85

=

4.87

130

1.85

40.0 mts

=

157.8 mts

197.8 mts.

Para la tubería equivalente se pueden escoger los siguientes parámetros: Ø=200 mm; C=130; Aplicando la ecuación de Hazen-Williams y la condición de que para un caudal de 100 lts/seg las pérdidas deben ser de 197.8 mts, se despeja la longitud equivalente: 197.8

=

10.7 L Eq (0.1)1.85 (0.2)

4.87

1.85

(130)

=>

L Eq

=

4.200 mts.

La primera pregunta se respondió al hacer los cálculos del numeral II, porque se tuvo la previsión de hacer los cálculos con un caudal de 100 lts/seg; en este caso las pérdidas serán de 197.8 mts. Cuando las pérdidas son 50 mts, el caudal que fluye por la tubería equivalente es: Q

 50  = 0. 278(130)( 0. 2)2.63    4.200

0.54

=

0.0480

mt 3 seg

Es importante recalcar que se puede reducir el número de operaciones, asignando a la tubería equivalente unas características (Ø, C) iguales a las de otros tramos en serie. De esta forma las longitudes se pueden sumar directamente. También es posible hacer los cálculos de tuberías equivalentes en serie con el caudal para el cual se preguntan las pérdidas.

32


2.4. ________________________________________________________________ DISEÑO DE LINEAS DE CONDUCCION El problema de diseño de lineas de conducción por gravedad se reduce a encontrar el diámetro de la tubería que, de acuerdo con la topografía del terreno, conduce el caudal de diseño convirtiendo en pérdidas la diferencia de niveles. Planteando la ecuación de Bernoulli entre los puntos de salida y llegada de la tubería se obtiene la siguiente ecuación: Z 1

+

P1

+

γ

v12 2 g

−

h f

=

Z 2

+

P2

γ

+

v22 2 g

Si se conocen los términos de cabeza piezométrica del agua a la entrada y a la salida ( H y H ) y se desprecian las cabezas de velocidad, el diámetro puede calcularse de la siguiente ecuación: 1

H1

−

2

h f

=

H2

=>

∆H =

10.7LQ1.85

φ 4.87C 1.85

Deben conocerse la longitud de la tubería, el caudal, la constante C (Es decir el material), y la diferencia de cabezas piezométricas. La cabeza piezométrica en el punto inicial de la tubería corresponde al nivel del agua en el tanque o embalse que alimenta el flujo. La cabeza piezométrica en el punto final es función de la cota del punto y de la presión con la cual debe entregarse el agua a la red de distribución; mas adelante se verá la forma de calcular esta última.

PROBLEMA Para la topografía mostrada, diseñe una tubería que transporte 100 lts/seg, entregando el agua en B con una cabeza de presión de 10 mts. Tenga en cuenta que las distancias horizontales están medidas en kmts., mientras que las verticales lo están en metros. Se puede considerar que las longitudes son iguales a las distancias horizontales. Como el agua debe llegar con una cabeza de presión de 10 mts. la cabeza disponible para el flujo será de 60 - 20 = 40 mts. De la


33

ecuación de Hazen-Williams se despeja el diámetro de la tubería:

40

=

10.78 (5. 000 )  0. 1 

φ

4.87

1.852

⇒ φ =

100   

0.318 mts

=

12. 53"

70

A

60 50 ) . s t m ( 40 a z e b 30 a C

B

Cota del Terreno

20

C

10 0 0

1

2 3 Distancia (kmts)

4

5

La solución de la ecuación arroja diámetros que, obviamente, no se consiguen comercialmente. Si se escoge el diámetro comercial inmediatamente inferior, las pérdidas serán MAYORES que los 40 mts. con los cuales se encontró el diámetro, y el agua llegará con cabeza piezométrica MENOR que la deseada. Por otra parte, si se escoge el diámetro inmediatamente superior, las pérdidas serán MENORES, y se llegará con una cabeza piezométrica MAYOR que la requerida, desperdiciando capacidad hidráulica y por lo tanto sobrediseñando la conducción. Es posible encontrar un sistema en el cual no se desperdicie capacidad, haciendo que las pérdidas sean exactamente iguales a la diferencia de cotas. El primer tramo de longitud L 1 se construye con el diámetro inmediatamente superior; en el siguiente tramo se instala el diámetro inmediatamente inferior. Suponiendo que para la localidad los diámetros comercialmente disponibles son 12” y 14” (0.305 mts y 0.356 mts): 40 mts

 0.1  =   (0.356 )4.87  100  10.78 L1

1.852

+

− L1)  0.1  1.852 100    (0.305 )4.87

10. 78(5000

34


Se despeja una longitud L1 igual a 1708 mts. Con estas longitudes y con los diámetros se calcula la linea de cabezas piezométricas que se muestra en la figura: 70

Cambio de diámetro

A

60

Cabeza Piezométrica 50 ) . s t m ( 40 a z e b 30 a C

B

Cota del Terreno

20

C

10 0 0

1


4

5

Entre los 3.5 kmts y los 4.6 kmts. de la conducción, las características topográficas del terreno y la fricción en la tubería se combinan para producir una cabeza piezométrica (H) menor que la cabeza de posición (z). En esta condición: H

<

z

=>

z

+

P

γ

<

z

=>

P

γ

<

0

No se pueden permitir presiones negativas en ningún punto de la tubería, debido a que se podría succionar agua y aire en pequeños orificios, a que se puede presentar compresión y pandeo, y a la posibilidad de que el agua comience a hervir dentro de la tubería. Las burbujas de vapor generadas por la baja presión se colapsan violentamente en zonas de mayor presión deteriorando muy rápidamente el material de la tubería. Aún a presiones por encima de la presión de vapor el agua desprende burbujas de gases disueltos, principalmente aire, que le restan capacidad hidráulica a la tubería. Por esta razón debe comprobarse que la cabeza piezométrica sea siempre mayor que la de posición en todos los puntos de cota máxima relativa. En el caso del problema sería necesario replantear todo el diseño, con el fin llegar al punto crítico (B) con una cabeza piezométrica igual a la cota


35

del del terreno. La solución de de mínimo costo cos to llevará a cuatro tramos tram os de diámetro diferente, al aplicar los criterios de diseño a los dos tramos resultantes: 70

Cambio de diámetro

A

60 50 ) . s t m ( 40 a z e b 30 a C

B

20

C

10 0 0

1


4

5

Tenga en cuenta que, para evitar el desarrollo de presiones negativas, es conveniente colocar la tubería de mayor diámetro al principio. Al ser menores las pérdidas al comienzo, la linea de cabezas piezométricas desciende menos.

2.5. _____________________________ ___________________________________________ _____________________________ _____________________ ______ METODOS NUMERICOS PARA LA SOLUCION DEL PROBLEMA DE FLUJO EN REDES La metodología de tuberías equivalentes pierde sentido cuando en puntos intermedios de la tubería se extrae agua. En este caso no puede aplicarse ninguna ecuación para el cálculo de pérdidas, debido a que el caudal no es constante a lo largo del tramo.

2.5.1. 2.5.1. Método Método de Hard Hardy y Cross Cross Para el análisis de la red mostrada se conocen todos los caudales extraidos en los "nudos" y el caudal de entrada. No se conoce la forma como el agua se distribuye en las tuberías, ni las pérdidas de presión que

36


dichos flujos causan en la red, ni las presiones de servicio, objeto final del análisis. La suma de caudales extraidos de la red debe ser igual al caudal que entra, puesto que el agua es un fluido incompresible y no puede almacenarse en las tuberías una vez estas están llenas:

=

Q Entrada

Q

∑ Qi Q

Entrada

Q

1

2

Q Q

3

8

Q

Q 7

Q

6

Q

5

4

Es posible hacer una suposición sobre la forma en que el agua se distribuye al llegar al nodo de entrada. Si se asigna un valor cualquiera al caudal q1: Q

Q

Entrada

q q

Q

Q

1

q

1

2

2

q 9

Q 3

8

q

q 8

q Q

7

7

Q

q 6

6

q Q

5

5

3

4

Q

4

A continuació continuación n se puede pueden n calcular calcular todos los otros caudales caudales de la malla. Para ello se aplica la ecuación de balance de masas en los nudos:


−

37

q2

=

q1

q3

=

q2

−

Q2

q4

=

q3

−

Q3

Q1

Al llega llegarr de vuelta al nodo nodo inicia iniciall de la malla, malla, la ecuación de balance de caudales pareciera no cumplirse, puesto que todos los caudales que figuran en la ecuación (QEntrada, q 1 y q9 se han determinado al resolver otras ecuaciones. La pregunta es entonces: ¿Se cumple el balance de masa con esos valores?. La respuesta es afirmativa, debido a que esta ecuación serviría para determinar Q ENTRADA , si no se hubiera utilizado previamente la ecuación de balance para toda la malla. Estos caudales "inventados" no satisfacen satis facen una condición condición hidráuli hidráulica ca que debe complirse. La presión de llegada al nudo inicial, después de recorrer todo el circuito, debe coincidir con la presión de salida para el caudal q1 debido a que el nudo es puntual y el agua "no sabe" por que tubo va a fluir, o por donde llegó al nudo. El agua no puede fluir en la forma en que se muestra en la figura, puesto que las pérdidas que ocurren al recorrer horariamente la malla le restan cabeza piezométrica al flujo. Es indispensable que haya algunos flujos contrahorarios, para que al barrer horariamente la malla se produzcan pérdidas "negativas"; esto es, que la cabeza reducida por las pérdidas de los caudales horarios, se recupere al encontrar tuberías con caudales contrahorarios (Recuerde que la cabeza es mayor en el nudo desde el cual parte el flujo, y menor en el nudo al cual llega). Aplican Aplicando do cualqu cualquier iera a de las ecuaciones previamente mencionadas mencionadas para el cálculo de pérdidas hidráulicas en tuberías, se puede encontrar el desbalance de presiones con la siguiente fórmula: H Total

=

n

∑ hi

i=1

=

n

∑ ki q xi

i =1

Si se aplica la ecuación de Hazen-Williams el exponente x es de 1.85. Las ecuaciones de Manning y Darcy-Weisbach utilizan un exponente cuyo valor es 2.0. Nótese que la constante ki no es constante si se utiliza la ecuación de Darcy - Weisbach, debido a que el factor de fricción f depende del caudal. Las pérdidas deben sumarse algebraicamente. Esto es, si el caudal es horario las pérdidas son positivas. Si el caudal es contra-horario las pérdidas son "ganancias" de cabeza y deben ser negativas. Al existir un desbalance, se hace necesario corregir todos los caudales de la malla para

38


tratar trat ar de eliminar estas est as pérdidas acumuladas acumu ladas en el circuito. Ahora bién, analizando el nudo 2 se puede ver que que si se corrige el caudal q 1 agregandole una corrección ∆Q, debe necesariamente agregarsele al caudal q 2 la misma corrección, correcci ón, para que se cumpla el balance de masas en el nudo nudo 1 (Fíjese en que los caudales extraidos de los nodos de la red no van va n a variar v ariar a lo largo del análisis): Q

1

q + ∆ Q

q + ∆Q 2

1

Cuando se analiza un nudo al cual llega un caudal contrahorario, para seguir garantizando el balance de masa en los nodos la corrección debe restarse al caudal. Esto es, la corrección tiene el mismo signo para todos los caudales de la red (Si es positiva se suma a los caudales horarios; horarios; si es negativa se suma algebraicamente).

Q

i

q

q + ∆Q i

- ∆Q

i+1

Las pérdidas evaluadas después de la corrección son las siguientes: HCorregido

=

n

∑ ki (qi + ∆Q ) x

i=1

La sumatoria puede expandirse de acuerdo con la teoría del binomio de Newton: HCorregido

=

n

∑

i=1

k i q xi

+

n

∑

i =1

x Qki q xi − 1

∆

+

n

∑ x(x − 1)∆Q2 ki q xi − 2 + …

i=1

La corrección ∆Q debe ser tal que estas nuevas pérdidas sean cero, forzando la condición de que al recorrer un circuito la cabeza cabez a piezomét piez ométrica rica a la llegada debe ser igual a la de la salida. Despreciendo las sumatorias en que ∆Q tiene exponentes de 2 o más, y teniendo en cuenta que la primera sumatoria es igual a las pérdidas evaluadas antes de corregir, se encuentra la siguiente expresión: 0

=

n

HTotal

+ x∆ Q ∑

i =1

k i q xi − 1

=

HTotal

n

q xi

i =1

qi

+ x∆Q ∑ k i


39

Teniendo en cuenta que el término k i q xi corresponde a las pérdidas hi en la tubería i-èsima antes de aplicar la corrección, la ecuación se desarrolla hasta encontrar la siguiente expresión para la corrección de caudal en la malla: n

∆Q = −

H Total n

x

∑ qhii

∑ hi

= − i =n1 x

i=1

∑ qhii

i=1

PROBLEMA Para el sistema de distribución mostrado se conocen las longitudes, diámetros y coeficientes de rugosidad de las tuberías. Igualmente se conoce la demanda en cada uno de los nodos, y la cota correspondiente (Ver Tablas). Determine las presiones de consumo en cada nodo suponiendo que los 90 lts/seg se suministran con una cabeza piezométrica de 80 mts. 90.lts/seg

20 lts/seg

1

400 mt 150 mm

370 mts

370 mts.

5

100 mt

150 mm 4

45 lts/seg

2

300 mt 3 150 mm

1 lt/seg

24 lts/seg

Para el cálculo de los caudales que fluyen por las tuberías es necesario suponer unos flujos iniciales, mostrados en el gráfico siguiente, que se corrigen utilizando la metodología de Hardy Cross. La suposición inicial se muestra en la gráfica y en la columna de caudales de la primera iteración. La constante ki para cada tubería se calcula utilizando la ecuación de Hazen Williams:

40


k i

=

10.78 Li

φ 4.87C i1.85 90.lts/seg

20 lts/seg 50

1

2 30

40

29

5

5 45 lts/seg

3

4

1 lt/seg

24 lts/seg

Nodos 1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

Li

Øi

400 370 300 100 360

0.15 0.15 0.15 0.15 0.30

ki 5408.6 5002.9 4056.4 1352.1 166.5

Las iteraciones para la determinación de los caudales de la malla se muestran a continuación. Se consideran positivos los caudales horarios, y las pérdidas asociadas. La sumatoria de pérdidas hi se hace algebraicamente. Por otra parte, los términos en la última columna (hi/qi) Se suman en valor absoluto, debido a que la corrección tiene el mismo sentido para todas las tuberías de la malla, y por lo tanto todos los términos de la sumatoria tienen el mismo signo. Los caudales correspondientes a la cuarta iteración son correctos desde el punto de vista práctico, dada la magnitud del error de cierre en la malla. Con estos caudales se pueden determinar las presiones de consumo asociadas con cada nudo. En la siguiente tabla se calcula la cabeza piezométrica en todos los nudos, restando las pérdidas del tramo a la cabeza piezométrica en el nudo inicial. Se ha partido de un valor arbitrario de la cabeza piezométrica en el primer nudo (80 mt). A continuación se extrae la cota del terreno a la cabeza piezométrica, para encontrar la cabeza de presión de servicio. Comparando los valores resultantes en todos los nodos, se encuentra que en el nudo 4 la presión de servicio es


41

mínima (29,13 mts). Si se diseña la malla con una presión mínima de10 mts, sobrarán 19,13 mts de cabeza en todos los nudos de la red. Las dos columnas finales de la tabla anterior son las cabezas piezométricas y de presión después de descontar el exceso. ITERACION 1 Nodos 1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

ITERACION 2

Qi

Hi

Hi/Qi

50.00 30.00 29.00 5.00 -40.00

21.192 7 .619 5 .802 0.075 -0.432

0.4238 0.2540 0.2001 0.0150 0.0108

∑ ∆Q

34.257 0.9036 -20.49

Qi

1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

Qi

Hi

∑ ∆Q

1 2 3 4 5

80.00 76.87 76.93 77.03 78.75

ITERACION 4

Hi/Qi

Qi

Hi

Hi/Qi

17.78 -2.22 -3.22 -27.22 -72.22

3.130 0 .1760 -0.062 0.0278 - 0.099 0 .0309 -1.720 0.0632 -1.288 0.0178

∑ ∆Q

∑ ∆Q

-0.039 0.3157 0.07

CP Inic. CP Final 2 3 4 5 1

7.964 0.4914 -8.76

20.75 4.164 0.2007 0.75 0.008 0.0110 -0.25 -0.001 0.0035 -24.25 -1.389 0.0573 -69.25 -1.192 0.0172 1.590 0.2897 -2.97

CABEZAS PIEZOMETRICAS Nodos

Hi/Qi

29.51 7.989 0.2707 9.51 0.909 0.0956 8.51 0.600 0.0706 -15.49 - 0.606 0.0391 -60.49 -0.928 0.0153

ITERACION 3 Nodos

Hi

76.87 76.93 77.03 78.75 80.04

PRESIONES EN LOS NUDOS N OD O C. Piez. C ot a C. Presión C. Piez. C. Presión 1 2 3 4 5

80.00 76.87 76.93 77.03 78.75

50.20 45.20 44.90 47.90 45.80

29.80 31.67 32.03 29.13 32.95

60.87 57.74 57.80 57.90 59.62

10.67 12.54 12.90 10.00 13.82

2.5.2. Diseño de redes de distribución Se presenta en el siguiente problema la metodología que se sigue normalmente en el diseño de redes de distribución de pequeño tamaño. El caso real casi siempre es mas complejo, debido a que el analista debe partir de una situación existente que dista mucho de ser la ideal con respecto a los objetivos del diseño.

42


PROBLEMA 60

100

95

100

70

1

60 5

4

3

2

21 100

6

20

13

100

19 12

7

90 9

8

10

11

18

90 14

100

17

19

16

2 lt/seg 16

15

17

18

15

1 lt/seg

80

14 11

13 12

La gráfica presenta las curvas de nivel y el trazado de las calles de una zona residencial para la cual se proyecta una población de 3500 personas. Con el fin de conducir el agua por gravedad la entrada a la red


43

local se hace por el punto más alto de la zona, en el nudo #1. Diseñe las tuberías de la red matriz (linea gruesa) para un consumo per cápita de 170 lts/Hab/día. (C=100). Las condiciones hidráulicas para el diseño de los elementos de la red matriz se determinan de la siguiente manera: Consumo Medio Anual = (Población)(Consumo per cápita) Q

=

(3.500 Hab)(170 )

lts / Hab

1día

día

86.400 seg

=

6.88

lts seg

Consumo Máx Diario = 1.3 Consumo Medio Anual = 1.3(6.88) = 8.94 lt/seg Cons. Máx. Horario = 1.5 Consumo Máx. Diario = 1.5(8.94) = 13.41 lt/seg Caudal de diseño = C.M. Diario + Consumo Industrial = 16.41 lts/seg Consumo mtlineal

=

C .M .Horario Longitud

=

13.41lts / seg 7120mts

=

0.001883

lts / seg mt

Para determinar los diámetros requeridos en cada tramo de la red primaria, es necesario plantear una hipótesis de alimentación, en la cual se basa todo el diseño. Esta hipótesis es equivalente al prediseño estructural requerido antes del análisis de distribución de fuerzas en estructuras hiperestáticas. A diferencia del problema estructural los diámetros de las tuberías rara vez se alteran después del análisis. La hipótesis de alimentación predice los caminos que sigue el agua por la red secundaria desde la red matriz hasta los puntos de consumo. La definición de las rutas del agua debe tener en cuenta que esta tiende a fluir por el camino de menor resistencia, esto es, por la red primaria. No existe una hipótesis óptima; sinembargo, la aplicación racional del principio previamente definido conduce a diseños muy similares por parte de diferentes analistas. En la gráfica siguiente se presenta una hipótesis de alimentación, en la cual se definen las rutas del agua desde la red primaria hasta los sitios de consumo. Los espacios en blanco al final de las flechas indican la terminación del flujo en el tramo correspondiente. Los caudales extraidos de cada nodo se pueden estimar conociendo las longitudes de los tramos servidos desde cada nudo ( De la hipótesis de alimentación). El consumo se supone uniforme a lo largo de toda la red; el caudal extraido de cada nodo se estima multiplicando la longitud de los tramos servidos desde el nodo por el consumo por metro lineal de red, el cual es diferente en zonas de diferente densidad de población. En la tabla se presentan las demandas en los nodos, calculadas de acuerdo con la

44


metodología. 60

100

95

100

70 1

60 5

4

3

2

100 6

13

7

12

100

90 8

9

10

11

90 14

19

100

15

16

17

18

80

HIPOTESIS DE ALIMENTACION CALCULO DEL CONSUMO EN LOS NODOS NOD O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Longitud

CONSUMO

Propia Aferente Total Doméstic Industrial Total 0 230 230 0.433 0.433 60 170 230 0.433 0.433 100 545 645 1.214 1.214 95 360 455 0.856 0.856 100 340 440 0.828 0.828 100 260 360 0.678 0.678 100 250 350 0.659 0.659 190 150 340 0.640 0.640 95 180 275 0.518 0.518 100 275 375 0.706 0.706 90 160 250 0.471 0.471 100 260 360 0.678 0.678 100 270 370 0.696 0.696 90 260 350 0.659 0.659 200 280 480 0.903 2 2.903 95 280 375 0.706 0.706 100 275 375 0.706 0.706 100 400 500 0.941 1 1.941 90 270 360 0.678 0.678 L TOTAL 7120 Q TOTAL 16.400

COTA 21.00 20.00 19.00 17.90 17.10 16.00 15.20 14.30 15.00 16.00 16.90 17.90 19.00 13.50 12.10 12.80 13.40 13.90 15.90


45

La información de la demanda en los nudos no es suficiente para encontrar los caudales que fluyen por las tuberías de la red matriz. La ecuación de continuidad exige que a la red se introduzca por el nodo 1 la misma cantidad de agua que se extrae en todos los nodos (16.4 lts/seg). Sabiendo que en el nodo 1 se extraen 0.433 lts/seg se calcula para el elemento1-2 un flujo de 15.967 lts/seg. El principio de continuidad no puede aprovecharse en el siguiente nodo, debido a que se tiene solamente una ecuación (Qentrada = Qsalida) y dos incógnitas (Q 2-3 y Q2-13). Es necesario remplazar la ecuación que falta por una suposición sobre la forma como se reparte el flujo al llegar al nudo 2; en el ejemplo se ha supuesto que se reparte en caudales iguales (Por esta razón se subrayan los caudales correspondientes). Con estos dos valores de caudal se puede aplicar la ecuación de continuidad para encontrar los caudales en las tuberías de la malla superior.

1

0.433 15.967

5.697

0.828

5

6.553

4

7.767

3

4.869

7.767

0.856

6

0.678

1.214

13

4.191

12 0.518

3.533

8

0.640

9

0.706

10

0.669

1.187

11

0.471

1.893 4.030

14

19 0.706

0.678

0.706 3.353

2.903

2.903

0.678 6.393

3.562

0.659

0.696 7.071

7

0.659

0.433

2

15

16 0

17 0.706

18 1.412

1.941

Cuando se encuentra alguna de las tuberías de la malla inferior es

46


necesario hacer una nueva suposición sobre la distribución del flujo. En el presente problema se asumió un caudal cero en la tubería 15-16 (El caudal asociado con la suposición se presenta subrayado). El número total de suposiciones de distribución de caudales es igual al número de circuitos de la red matriz. La hipotesis de alimentación puede cambiar como consecuencia del análisis, debido a que algunos caudales eventualmente pueden cambiar de signo al hacer el balance hidráulico. Sinembargo los ajustes son menores y rara vez se replantea la hipótesis si esta ha sido bién elaborada. Con los caudales de las tuberías y conociendo las cotas del terreno en los extremos de cada tramo, es posible encontrar los diámetros para los cuales el agua fluye por gravedad. Para ello se aplica la ecuación de Hazen Williams, igualando las pérdidas hidráulicas en cada tramo a la diferencia de cotas en el terreno:

∆ Z =

10.78 Li qi1.85

φ 4i .87C i1.85

Al aplicar esta metodología la linea de cabeza piezométrica se mantiene aproximadamente paralela a la superficie del terreno, debido a que la reducción en la cabeza piezométrica (pérdidas) es igual a la reducción en la cabeza de posición del terreno. De esta forma se garantiza una cabeza de presión (igual a C. Piezométrica - C. Posición) uniforme en todos los sitios de consumo, evitando la acumulación o la falta de presión en algunos sitios de la red. Tres factores impiden el funcionamiento de la red con cabeza de presión constante: •

No se consiguen los diámetros despejados de la Igualdad.

•

La necesidad de mantener un diámetro mínimo para evitar obstrucciones.

•

Existencia de tramos de pendiente muy baja o negativa.

Como no se consiguen los diámetros despejados de la igualdad, se seleccionan los diámetros comerciales inmediatamente superiores los cuales producen pérdidas menores. Esto se traduce en una ligera acumulación de presion la cual se puede utilizar para disminuir el diámetro requerido en alguno de los tramos siguientes. En la tabla, la columna Cabeza Final contiene esta cabeza acumulada, la cual se calcula aplicando la ecuación de Hazen-Williams con el diámetro comercial. La


47

diferencia entre estas pérdidas y el cambio de cotas entre los extremos es la presión acumulada en el tramo. Con el fin de evitar obstrucciones se recomienda un diámetro mínimo de 3" para elementos de la red matriz. Para tramos finales sin posibilidades de continuación se pueden utilizar diámetros menores. Es inevitable la presencia de tramos con pendientes naturales muy bajas (incluso negativas) para los cuales el diámetro requerido sería demasiado grande. Para evitar el problema se controla la velocidad de diseño, la cual tiene una cota inferior. Para uno de tales tramos el diámetro máximo estará determinado por esta velocidad mínima. DISEÑO DE LOS ELEMENTOS DE LA RED N OD OS

Li

Qi

C a b e za C ot a DIAMETRO C a b e za In ici al Final Teoría Comerc Final

ki

1 2 60 15.967 21.000 20.00 0.136 0.152 20.421 0 .0034 2 3 100 7.767 20.421 19.00 0.107 0.127 19.804 0 .0139 3 4 95 6.553 19.804 17.90 0.094 0.102 18.533 0.0392 4 5 100 5.697 18.533 17.10 0.095 0.102 17.501 0 .0413 5 6 100 4.869 17.501 16.00 0.089 0.102 16.729 0 .0413 6 7 100 4.191 16.729 15.20 0.083 0.102 16.144 0 .0413 7 8 90 3.533 16.144 14.30 0.074 0.076 14.586 0.1508 2 13 100 7.767 20.421 19.00 0.107 0.127 19.804 0.0139 13 12 100 7.071 19.804 17.90 0.097 0.102 18.264 0 .0413 12 11 90 6.393 18.264 16.90 0.098 0.102 17.114 0 .0372 11 19 90 4.030 17.114 15.90 0.084 0.102 16.625 0 .0372 19 18 100 3.353 16.625 13.90 0.068 0.076 15.054 0 .1676 18 17 100 1.412 15.054 13.40 0.054 0.076 14.737 0 .1676 17 16 95 0.706 14.737 12.80 0.040 0.076 14.653 0 .1592 16 15 100 0.000 14.653 12.10 0.000 0.076 14.653 0 .1676 11 10 100 1.893 17.114 16.00 0.066 0.076 16.569 0 .1676 10 9 95 1.187 16.569 15.00 0.051 0.076 16.350 0.1592 9 8 100 0.669 16.350 14.30 0.039 0.076 16.271 0 .1676 8 14 90 3.562 15.428 13.50 0.073 0.076 13.847 0 .1508 14 15 100 2.903 13.847 12.10 0.071 0.076 12.643 0 .1676 (1) Podría seleccionarse un diámetro menor para la tubería 2-3 (2) Para el elemento 8-14 se toma como cabeza inicial en el nudo 8 e l promedio entre las cabezas de llegada de las tuberías 7-8 y 9-8, previamente calculadas.

Una vez calculados los diámetros es necesario encontrar los caudales que efectivamente son conducidos por las tuberías. Para ello se realiza un análisis iterativo de Hardy Cross, corrigiendo los caudales en cada circuito para garantizar pérdidas acumuladas iguales a cero. Nótese que la metodología utilizada conduce a redes hidráulicamente corregidas, debido a que las pérdidas a lo largo de una trayectoria cualquiera se aproximan a la diferencia de cotas entre la entrada y la salida. De esta forma al recorrer un circuito cerrado se vuelve a la cota de partida, aproximandose las pérdidas a cero. En la siguiente página se incluyen las iteraciones para la corrección de la red del problema. En el

48


cálculo de la corrección de caudal para una malla se ha aplicado la siguiente ecuación (Para la ecuación de Hazen-Williams el coeficiente x es de 1.85):

∆Q = −

∑ hi h x ∑ i qi

ITERACION 1 NODOS 2 3 4 5 6 7 2 13 12 11 10 9

3 4 5 6 7 8 13 12 11 10 9 8

11 10 9 8 14 16 17 18 19 11

10 9 8 14 15 15 16 17 18 19

ITERACION 3

Qi

Hi

Hi/Qi

Qi

Hi

Hi/Qi

Qi

Hi

Hi/Qi

-7.767 -6.553 -5.697 -4.869 -4.191 -3.533 7.767 7.071 6.393 1.893 1.187 0.669

-0.618 -1.271 -1.032 -0.772 -0.585 -1.558 0.618 1 .539 1 .150 0 .546 0.219 0.080

0.080 0.194 0.181 0.159 0.140 0.441 0.080 0.218 0.180 0.288 0.184 0.119

-7.365 -6.151 -5.295 -4.466 -3.789 -3.130 8.170 7.473 6.796 2.030 1.324 0.807

-0.560 -1.130 -0.901 -0.658 -0.485 -1.245 0.678 1 .705 1 .287 0 .621 0.268 0.113

0.076 0.184 0.170 0.147 0.128 0.398 0.083 0.228 0.189 0.306 0.202 0.140

-7.291 -6.077 -5.221 -4.393 -3.715 -3.056 8.243 7.547 6.869 2.013 1.307 0.789

-0.550 -1.105 -0.878 -0.638 -0.468 -1.192 0.690 1.737 1.313 0.611 0.261 0.108

0.075 0.182 0.168 0.145 0.126 0.390 0.084 0.230 0.191 0.304 0 .200 0 .137

SUMAS -0.308 ∆Q 0.074

2.252

SUMA ∆Q

-0.110 0.027

2.232

SUMAS -1.684 2.262 ∆Q 0.402

NODOS

ITERACION 2

Qi

Hi

Hi/Qi

Qi

Hi

Hi/Qi

Qi

Hi

Hi/Qi

-1.893 -1.187 -0.669 -3.562 -2.903 0.000 0.706 1.412 3.353 4.030

-0.546 -0.219 -0.080 -1.582 -1.204 0 .000 0 .084 0 .317 1 .571 0 .490

0.288 0.184 0.119 0 .444 0.415 0.000 0.118 0.225 0.469 0.121

-2.030 -1.324 -0.807 -3.297 -2.638 0.265 0.971 1.676 3.618 4.295

-0.621 -0.268 -0.113 -1.371 -1.009 0 .014 0 .151 0 .436 1 .809 0 .551

0.306 0.202 0.140 0.416 0.382 0.000 0.155 0.260 0.500 0.128

-2.013 -1.307 -0.789 -3.206 -2.547 0.356 1.062 1.768 3.709 4.386

-0.611 -0.261 -0.108 -1.302 -0.945 0.025 0.178 0.481 1.894 0.573

0.304 0.200 0.137 0.406 0.371 0.000 0.168 0.272 0.511 0.131

SUMAS -0.421 0.091

2.489

SUMA ∆Q

-0.077 0.017

2.498

SUMAS -1.168 2.384 ∆Q 0.265

∆Q

El método de corrección puede ser trabajado en computadores, no así el proceso de diseño en el cual hay que tomar un gran número de decisiones con criterios bastante dificiles de programar. El problema más dificil de resolver en el computador está relacionado con la existencia de zonas en las cuales es necesario a veces acumular rápidamente presiones con el fin de suministrar presión a zonas altas o con pendientes naturales muy bajas. Tenga tambien en cuenta que la distribución del caudal en cada malla es una decisión del analista que influenciará todo el proceso de


49

diseño. CARACTERISTICAS DEL FLUJO EN LOS ELEMENTOS N ODOS Li Qi Ø v 1 2 3 4 5 6 7 2 13 12 11 19 18 17 16 11 10 9 8 14

2 3 4 5 6 7 8 13 12 11 19 18 17 16 15 10 9 8 14 15

60 100 95 100 100 100 90 100 100 90 90 100 100 95 100 100 95 100 90 100

15.967 7.296 6.082 5.225 4.397 3.720 3.061 8.239 7.542 6.865 4.459 3.781 1.840 1.134 0.429 2.161 1.456 0.938 3.133 2.475

0.1524 0.1270 0.1016 0.1016 0.1016 0.1016 0.0762 0.1270 0.1016 0.1016 0.1016 0.0762 0.0762 0.0762 0.0762 0.0762 0.0762 0.0762 0.0762 0.0762

0.875 0.576 0.750 0.645 0.542 0.459 0.671 0.650 0 .930 0.847 0.550 0 .829 0 .404 0.249 0 .094 0 .474 0.319 0.206 0.687 0 .543

hf 0.579 0.550 1.107 0.880 0.639 0.469 1.195 0 .689 1 .735 1.312 0.590 1 .963 0 .518 0.201 0 .035 0 .697 0.319 0.149 1.248 0 .896

Con los resultados de la corrección de caudales se calculan las presiones en cada nodo aplicando la ecuación de Hazen Williams. Se desprecian tácitamente en la ecuación de Bernoulli los términos de cabeza de velocidad al igualar la diferencia de presiónes a las pérdidas. Para encontrar la Cabeza de presión requerida a la entrada de la red, se calculan primero las cabezas piezométricas en todos los nodos, suponiendo una presión de entrada cualquiera (100 mts. en la tabla que se muestra más adelante). Al sustraerse a estas la cabeza de posición (de la topografía del terreno) se obtiene la presión de servicio en las condiciones críticas de operación (Caudal máximo horario + Consumo Industrial). Se selecciona la menor de todas (79 mts en el nudo 1), y se sustrae a todas las cabezas el excedente de esta sobre la presión mínima requerida, la cual se ha fijado en 30 mts. La cabeza piezométrica a la entrada a la red de distribución es entonces 100-(79-30) = 51 mts. Este valor es fundamental en el diseño de la linea de conducción desde la fuente.

50


CARACTERISTICAS DEL CONSUMO EN LOS NODOS N O D O C on su mo C . P i e z . C OT A C. Pre s. C. Pres. C. Piez. Temp. Temp. Final Final 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

0.433 100.000 0.433 99.421 1.214 98.871 0.856 97.765 0.828 96.885 0.678 96.246 0.659 95.777 0.640 94.582 0.518 94.670 0.706 94.989 0.471 95.686 0.678 96.998 0.696 98.732 0.659 93.334 2.903 92.438 0.706 92.414 0.706 92.615 1.941 93.133 0.678 95.096

21.00 20.00 19.00 17.90 17.10 16.00 15.20 14.30 15.00 16.00 16.90 17.90 19.00 13.50 12.10 12.80 13.40 13.90 15.90

79.00 79.42 79.87 79.86 79.79 80.25 80.58 80.28 79.67 78.99 78.79 79.10 79.73 79.83 80.34 79.61 79.22 79.23 79.20

10.21 10.64 11.09 11.08 11.00 11.46 11.79 11.50 10.88 10.20 10.00 10.31 10.95 11.05 11.55 10.83 10.43 10.45 10.41

31.21 30.64 30.09 28.98 28.10 27.46 26.99 25.80 25.88 26.20 26.90 28.21 29.95 24.55 23.65 23.63 23.83 24.35 26.31

2.6. ________________________________________________________________ ANALISIS DE REDES CON NODOS DE CABEZA CONOCIDA La complejidad del problema de flujo en redes con nodos de cabeza piezométrica conocida depende del número de nodos con tal restricción. En el caso de poblaciones pequeñas con un solo tanque de almacenamiento, el análisis es idéntico al de redes sin restricciones de cabeza. El caudal que fluye del tanque hacia red es igual al consumo total; las presiones en los nodos deberán calcularse a partir de la cabeza piezométrica de salida del agua del tanque. La cabeza de entrada a la red no se podrá escoger arbitrariamente, y estará determinada completamente por la presión en el nodo del tanque. En el caso de dos o mas tanques el problema se complica debido a que no se conoce el aporte de cada uno de ellos a la red. El análisis requiere de la introducción de mallas adicionales, una por cada tanque adicional, para tener en cuenta el hecho de que a lo largo de la trayectoria que une dos tanques las pérdidas deben ser iguales a la diferencia entre los niveles de agua. En el ejemplo que se ilustra a continuación se estudia la situación


51

hidráulica de una malla conectada con el tanque de almacenamiento de la planta de tratamiento, y con dos tanques localizados dentro de la red. Se requiere verificar el flujo de agua desde los diferentes tanques durante las condiciones de demanda máxima horaria que se muestran en la figura. Tanque de almacenamiento de la planta de tratamiento

90 mts

1

1000 mts Ø 20 cmts

10

10

3

lts seg

200 mt

lts seg

2

Ø 15 cm

150 mts Ø 10 cm 15

lts seg

150 mts Ø 10 cm

4

200 mt

63 mts

8

150 mts Ø 10 cm

9 25 mts Ø 10 cm

10

200 mt lts seg

5

Ø 15 cm

150 mts Ø 10 cm

6 25 mts Ø 10 cm

lts 15 seg

Ø 15 cm

64mts

7

150 mts Ø 10 cm

10 lts 5 seg

10

lts seg

150 mts Ø 10 cm 10

150 mts Ø 10 cm

11

lts seg

Para el análisis hidráulico de la red por el método de Cross es necesario partir de una situación en la cual se cumpla el balance de masas en todos los nudos. Es necesario suponer los caudales que fluyen desde cada tanque; nótese que la cantidad total de agua que entra a la red debe ser necesariamente igual al consumo, y que solo se pueden suponer dos de los tres caudales provenientes de los tanques. Existen condiciones adicionales (ecuaciones) a las de sumatoria de pérdidas hidráulicas en los circuitos iguales a cero. En cualquier trayectoria que una dos tanques, la suma de las pérdidas deberá ser igual a la diferencia de niveles del agua en los dos tanques. Para incluir estas restricciones adicionales en la metodología de Hardy Cross, se incluyen elementos ficticios que unen los tanques formando nuevas mallas; en estos elementos las pérdidas hidráulicas no dependen del caudal, y se mantienen constantes e iguales a la diferencia de niveles de los tanques

52


durante todo el análisis. Al garantizar que las pérdidas en una de estas mallas son cero, se garantiza que las pérdidas entre los tanques son iguales pero de signo contrario a las que ocurren en la tubería ficticia que cierra el circuito. 90 mts

1

50

10

10

3

lts seg

20

lts seg

2

10 15

lts seg

63 mts

5

4

9

15

lts 10 seg

5 15

0

8

64mts

20 5

6

20

lts seg

5

5

10 5

7

lts seg

10

lts seg

5

5 11

10

lts seg

En los nodos asociados con un tanque no tiene que complirse el balance de masas, por cuanto puede haber almacenamiento. En la gráfica se han dibujado los elementos ficticios y se ha trazado una hipótesis inicial de distribución en la cual ha sido necesario suponer los caudales provenientes de los tres tanques (cuya suma debe ser igual al consumo total), así como un caudal por cada una de las tres mallas que conforman la red real. También se han nomenclado los nodos para efectos del análisis hidráulico. Las pérdidas en las tuberías ficticias son siempre constantes; por lo tanto el término hi/Qi asociado a estos elementos no entra en la sumatoria (Recuerde que este término considera el cambio generado en las pérdidas del tramo por la corrección de caudal ∆Q que se aplicará a la malla, y que el caudal se mantiene constante en los elementos a lo largo del análisis). Se ha supuesto un valor de C de 100 en todas las tuberías.


ITERACION 1 Nodos 1 2 3 4 8 1

2 3 4 9 9 8

2 2 4 3

3 5 5 4

Qi

50 21.21 20 3.16 10 4.74 0 0.00 -15 -1.67 0 -27.00 ∑ 0.43 ∆Q -20 20 5 -10

∑ ∆Q 4 5 5 10 9 10 4 9

-5 5 -5 0

∑ ∆Q 5 6 6 11 10 11 5 10

-5 5 -5 -5

∑ ∆Q 1 6 5 2 1

7 7 6 5 2

Hi

Hi/Qi

53

ITERACION 2 Qi

Hi

Hi/Qi

ITERACION 3 Qi

Hi

Hi/Qi

ITERACION 4 Qi

Hi

0.424 0.158 0.474 0.000 0.111 0.000 1.167 -0.200

47.19 19.06 0.404 23.12 4.13 0.179 13.12 7.83 0.597 1.04 0.07 0.069 -15.20 -1.71 0.113 -0.20 -27.00 0.000 ∑ 2.37 1.361 ∆Q -0.943

47.36 19.18 0.405 21.07 3.48 0.165 11.07 5.71 0.516 -1.47 -0.14 0.093 -16.14 -1.91 0.119 -1.14 -27.00 0.000 ∑ -0.68 1.298 ∆Q 0.283

47.19 19.05 22.32 3.87 12.32 6.97 -1.75 -0.19 -15.86 -1.85 -0.86 -27.00 ∑ 0.85 ∆Q

-3.16 17.08 0.24 -4.74 9.42

0.158 0.854 0.049 0.474 1.534 -3.320

-23.12 14.07 2.92 -13.12

-21.07 -3.48 0.165 16.29 11.69 0.717 2.47 0.07 0.027 -11.07 -5.71 0.516 ∑ 2.56 1.425 ∆Q -0.971

-22.32 14.87 0.93 -12.32

-0.24 1.31 -0.24 0.00 0.83

0.049 0.263 0.049 0.000 0.360 -1.242

-2.92 -2.42 -6.24 -1.04

-1.31 0.22 -1.31 -1.31 -3.72

0.263 0.044 0.263 0.263 0.832 2.418

0 26.00 0.000 20 2.85 0.142 5 1.31 0.263 -20 -17.08 0.854 -50 -21.21 0.424 ∑ -8.12 1.683 ∆Q 2.609

∑ ∆Q

∑ ∆Q -5.19 7.42 -2.58 -1.34

∑ ∆Q

-4.13 8.91 0.09 -7.83 -2.96

0.179 0.633 0.031 0.597 1.439 1.111

-0.09 -0.34 -0.37 -0.07 -0.87

0.031 0.142 0.059 0.069 0.301 1.568

-1.41 0.45 -0.39 -0.11 -1.46

0.271 0.061 0.150 0.086 0.568 1.385

2.609 26.00 0.000 22.61 3.57 0.158 5.19 1.41 0.271 -14.07 -8.91 0.633 -47.19 -19.06 0.404 ∑ 3.01 1.466 ∆Q -1.111

-2.47 -1.38 -4.67 1.47

∑ ∆Q -2.70 8.80 -1.20 -1.52

∑ ∆Q

-0.07 -0.12 -0.21 0.14 -0.27

0.027 0.088 0.046 0.093 0.254 0.568

-0.42 0.62 -0.09 -0.15 -0.03

0.155 0.071 0.078 0.096 0.400 0.046

1.498 26.00 0.000 21.50 3.25 0.151 2.70 0.42 0.155 -16.29 -11.69 0.717 -47.36 -19.18 0.405 ∑ -1.20 1.429 ∆Q 0.452

∑ ∆Q -0.93 -0.05 -4.11 1.75

∑ ∆Q -3.10 8.85 -1.15 -2.04

∑ ∆Q

H i/Qi 0.404 0.173 0.566 0.108 0.117 0.000 1.367 -0.336

-3.87 0.173 9.87 0.664 0.01 0.012 -6.97 0.566 -0.96 1.414 0.367 -0.01 0.012 0.00 0.005 -0.17 0.041 0.19 0.108 0.01 0.166 -0.030 -0.54 0.175 0.63 0.071 -0.09 0.075 -0.25 0.123 -0.25 0.445 0.306

1.950 26.00 21.95 3.38 3.10 0.54 -14.87 -9.87 -47.19 -19.05 ∑ 1.00 ∆Q

0.000 0.154 0.175 0.664 0.404 1.397 -0.388

Después de balancear la malla, los flujos provenientes de cada uno de los tanques corresponden a los caudales de las tuberías 1-2, 8-9 y 7-6. La determinación de las presiones en cada uno de los nudos de la red se efectúa de la misma forma que en el caso anterior.

2.7. ________________________________________________________________ METODOLOGIAS COMPUTACIONALES PARA EL ANALISIS

54


DE REDES La metodología de H. Cross fué ampliamente utilizada antes del advenimiento y popularización de los computadores electrónicos, debido a la posibilidad de manejarla manualmente. Sinembargo, desde el punto de vista computacional el método es poco efectivo debido a la lentitud de la convergencia y a la posibilidad de que en algunas situaciones complejas no haya convergencia. A comienzos de la década de los sesentas se propuso la utilización del método de Newton-Raphson para la solución del sistema de ecuaciones de balance de masas en los nudos y pérdidas de cabeza en circuitos o entre nodos con cabeza conocida. Ultimamente se han encontrado métodologías de solución del sistema de ecuaciones, que convergen mas rápidamente y que tienen un planteamiento mas sencillo.

2.7.1. ECUACIONES DE ENERGIA Y BALANCE DE MASAS Consideremos nuevamente el último problema. Las ecuaciones que deben ser satisfechas por las variables hidráulicas se listan a continuación. Se han definido los caudales en la dirección que va desde el primer hacia el segundo subíndice.


55

90 mts

1

10

10

3

lts seg

lts seg

2

64mts

7 15

lts seg

4

63 mts

15

8

lts seg

10

9

15

10

6

5 lts seg

10 lts seg

11

lts seg

5

10

1. Ecuaciones de continuidad en los nodos: Nodo 2

q1 − 2

−

q2 − 3

−

Nodo 3

q2 − 3

−

q3 − 4

Nodo 4

q3 − 4

−

q4 − 5

−

q4 − 9

Nodo 5

q2 − 5

+

q4 − 5

−

q5 − 6

Nodo 6

q5 − 6

−

q7 − 6

−

q6 − 11

=

10

Nodo 9

q8 − 9

−

q4 − 9

−

q9 − 10

=

10

Nodo 10

q5 − 10

−

q9 − 11

Nodo 11

q6 − 11

−

q10 − 11

q2 − 5

=

−

=

10

=

15

10

−

q10 − 11

=

10

=

q5 − 10

=

5

15

lts seg

56


No es necesario garantizar el balance total de la red, debido a que si hay balance en todos los nudos debe haber balance en el conjunto. Para las ecuaciones de energía descritas a continuación, la constante k ij es la constante de proporcionalidad entre las pérdidas y la potencia x del caudal para la tubería ij (Si se usa la ecuación de Hazen-Williams, la potencia es 1.85). 2. Ecuaciones de pérdidas entre dos tanques iguales a la diferencia de niveles: k1 − 2 q11−.852

+

k 2 − 3 q12.85 −3

+

k3 − 4 q13.85 −4

+

k4 − 9 q14.85 −9

−

k1 − 2 q11−.852

+

k 2 − 5 q12.85 −5

+

k5 − 6 q15.85 −6

+

k6 − 7 q16.85 −7

=

k8 − 9 q18.−859

=

(90 − 63)

(90 − 64 )

La tercera ecuación, que establecería la pérdida de cabeza entre los otros dos tanques, es combinación lineal de las otras dos.

3. Ecuaciones de pérdidas en circuitos cerrados iguales a cero: k 2 − 5 q12.85 −5

−

k 4 − 5 q14.85 −5

−

k3 − 4 q13.85 −4

−

k 5 − 10 q15.85 − 10

−

k 9 − 10 q19.85 − 10

−

k4 − 9 q14.85 −9

k 6 − 11q16.85 − 11

−

1.85 k10 − 11q10 − 11

−

k5 − 10 q15.85 − 10

k2 − 3 q12.85 −3

+

=

k4 − 5 q14.85 −5

+

k5 − 6 q15.85 −6

0

= =

0 0

Las ecuaciones de los dos últimos grupos, denominadas ecuaciones de energía, introducen la no linealidad y la asimetría en el sistema de ecuaciones.

2.7.2. METODO DE LA TEORIA LINEAL El sistema puede volverse "momentaneamente" lineal si se incorpora una fracción de la potencia x en la constante que multiplica al caudal: hij

=

k ijqij x

=

(k ijqij x−1 ) qij

=

Lijqij

El método de la teoría lineal parte de unos valores cualesquiera de los caudales qij, diferentes de cero, con los cuales se calculan las "constantes


57

lineales" Lij. La solución del sistema lineal resultante permite conocer una primera aproximación de los caudales, que son las incógnitas del sistema de ecuaciones. Es necesario contar con un procedimiento para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, no simétricos. Con los caudales resultantes de la primera iteración se recalculan los valores de Lij y se vuelve a resolver el sistema lineal, ahora con coeficientes diferentes. En cada una de las iteraciones se debe resolver un diferente sistema lineal de ecuaciones simultaneas; en el caso del problema anterior hay 13 incógnitas y 13 ecuaciones. Debido a la gran cantidad de operaciones matemáticas involucradas, la aplicación manual del método no es recomendable. Por otra parte converge mas rápidamente hacia la solución que los métodos de Cross, y sin tantos problemas de estabilidad. Una vez encontrados los valores de los caudales, las presiones en los nodos se encuentran descontando las pérdidas hidráulicas en cada uno de los tramos a partir de uno cualquiera de los nodos de cabeza piezométrica conocida (Recuerde que la malla ya está hidráulicamente ajustada). Este método tiene el grave inconveniente de que la linearización supone que la relación entre cabeza y caudal pasa por el origen.

2.7.3. METODOS DE GRADIENTE Más razonable es suponer un comportamiento lineal a partir del caudal encontrado para la iteración iésima: ‘ h = k ij(qij + ∆qij) x = kijqij x +

xkijqij x−1∆ qij

La diferencia de comportamiento se ilustra en la gráfica de la página siguiente. La linearización momentanea entre iteraciones utilizando la pendiente o Gradiente, resulta en una convergencia considerablemente más acelerada.

58


x

h i j = r ijq i j hij

Teoría Lineal

Teoría Lineal con gradiente

q ij 2.8. ________________________________________________________________ ALGUNAS NORMAS SOBRE ACUEDUCTOS Se listan a continuación algunas normas del desaparecido INSFOPAL. •

El sistema de acueducto nunca podrá localizarse por debajo del de aguas negras.

• •

Se debe utilizar la ecuación de Hazen-Williams, con un coeficiente de rugosidad de 140 para tuberías de asbesto cemento (Nuevas). La velocidad mínima de diseño será de 0.45 mts.

•

La velocidad máxima de diseño, de acuerdo con la siguiente tabla: Ø v max (") mt/se g 3 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

•

0.80 1.00 1.30 1.50 1.70 1.90 2.00 2.20 2.40 2.50 2.60 2.80

La cabeza mínima de presión en areas residenciales será de 10 mts.,


59

para las condiciones de demanda horaria máxima. •

La cabeza mínima de presión en areas comerciales será de 15 mts., para las condiciones de demanda horaria máxima.

•

La cabeza máxima permitida en la red será de 50 mts.

•

El error máximo de cierre de mallas permitido para el método de Cross será de 1mt.

•

El diámetro mínimo será de 3“ (En tramos secundarios se podrá aceptar 2“).

2.8. ________________________________________________________________ BOMBEO Considerese el sistema mostrado en la figura. Para conducir agua desde el punto 1 al punto 2 debe introducirse energía por medio de una bomba. La cantidad de energía para una masa unitaria de agua se puede calcular a partir del planteamiento de la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2: Z 1

+

P1

γ

+

v12 2 g

+

H d

−

H f

=

Z 2

+

P21

γ

+

v22 2 g

A la energía disponible inicialmente se ha agregado la componente proveniente de la bomba (Hd). Posteriormente se verá como relacionar esta energía específica con la energía por unidad de tiempo (Potencia) que la bomba transmite al flujo.

60


Linea Piezométrica 2

H

d

∆Z 1

Tubería

Teniendo en cuenta que la velocidad inicial es cero en la mayoría de problemas de bombeo, y que la presión de salida es igual a la de llegada (Atmosférica), se puede desarrollar la siguiente expresión para la cabeza dinámica de la bomba:

=

H d

(Z2

− Z1) + H f +

v22 2 g

El término de diferencia de las cabezas de posición corresponde a la cabeza estática que debe vencer la bomba cuando no hay caudal. Cuando el caudal crece, la energía suministrada por la bomba también debe servir para acelerar el flujo (De ahí la aparición de la cabeza de velocidad), y para contrarrestar las pérdidas. Si se analiza el movimiento de un volumen de agua ∆ V entre dos puntos separados por una altura h, el incremento de energía potencial será:

∆ E =

(∆W )h

=

(ρ g∆V ) h

Cuando existe un movimiento de agua entre los dos puntos, la tasa de aplicación de la energía por unidad de tiempo será: P

=

∆E = ∆t

ρ g∆Vh

∆t

=

Qρ gh

La ecuación sirve para calcular la energía puramente hidráulica asociada con un caudal conocido, y una diferencia de niveles. Al mismo tiempo sirve para relacionar lo que se ha denominado cabeza dinámica de


61

la bomba ( H ) con la potencia hidráulica asociada. d

Potencia Hidráulica

=

Ph

=

Qρ gH d

La potencia rotacional transmitida por el motor al impulsor de la bomba es igual al producto de la velocidad angular ω y del torque T transmitido por el eje. Posteriormente se verán los principios de funcionamiento de las bombas mas comunmente utilizadas en la práctica. Una buena parte de la energía rotacional introducida a la bomba se convierte en turbulencia de la masa de agua, reduciendo la energía puramente hidráulica absorbida por el flujo: eb

=

Pot. hidráulica absorbida por el flujo Pot. rotacional de entrada a la bomba

=

Qρ gH d

ω T

<

1

Por otra parte, la conversión de energía eléctrica a energía rotacional en el motor de la bomba no es completamente eficiente: em

=

Pot. rotacional de salida del motor

=

Pot. eléctrica de entrada al motor

ω T IV

<

1

Con el fin de encontrar un sistema bomba-motor que transmita al flujo la potencia hidráulica requerida ( Qρ gH d), se debe dividir esta por las dos eficiencias (Bomba y Motor). De esta forma se obtiene una potencia que, multiplicada por ambas eficiencias, confiere al flujo la potencia requerida. Las características del consumo de energía se ilustran en el siguiente problema:

2.8.1. CALCULO DE LA CABEZA DINAMICA Se requiere bombear 1 metro cúbico por segundo de agua venciendo una diferencia de nivel de 30 mts. La tubería tiene un diámetro de 1 mt, una longitud de 10 kmts y está hecha de concreto (C=130). Si el KilovatioHr de electricidad vale $20, cual es el costo mensual de energía?. Suponga una eficiencia del 65% para el motor eléctrico y del 50% para la bomba. Despreciando los términos de cabeza de velocidad y teniendo en cuenta que las presiones de salida y de llegada del agua son iguales (Presión atmosférica), se puede calcular la cabeza dinámica requerida: Hd

= ∆Z + H f =

30 mts +

(10.7)(10. 000) 14.87

1.85

 1  130 

=

43.1 mts.

62


Cálculo de Potencias y Costos

Ph

Pe

= =

Costo Mes

Qρ gHd

Ph ebe m

=

=

 mt  kg  mt  = 1  1.000 3  9.8 2 [ 43.2 mt ] = mt   seg   seg   4.22 x105 Vats. (0. 5)( 0. 65)

12.98 x105 Vats.

=

5

4. 22x 10

kg − mt 2 seg3

12.98 x105 Vats.

1Kw 30 dias 24 Hr $50 (1 mes) mes dia Kw − Hr 1.000Vats.

=

$46.7mill.

El problema se ha simplificado para ilustrar las implicaciones económicas que se derivan de las consideraciones puramente hidráulicas, y la forma de cuantificarlas. Realmente es imposible predecir la eficiencia del sistema Bomba-Motor antes de haber seleccionado la bomba de acuerdo con los requisitos de cabeza dinámica.

2.8.2. TIPOS DE BOMBAS Las bombas mas utilizadas en sistemas de suministro son centrífugas. A pesar de una serie de inconvenientes que se verán más adelante, su facilidad de operación y mantenimiento las hace ideales para el trabajo continuo. El principio básico por el cual actúan fué demostrado por Demour, en 1730!. El funcionamiento se basa en la aceleración centrífuga asociada con el movimiento rotacional de una masa de agua (Ver gráfica).

El efecto de la rotación es impulsar centrífugamente el agua del brazo horizontal hacia afuera, creando succión en el brazo vertical. Un esquema de una bomba centrífuga mas elaborada, pero todavía muy lejana de la ideal, se muestra a continuación:


63

Entrada

Salida

Al Motor

El agua en la periferia del cilindro tiene mayor presión que la de la entrada, por efecto de la aceleración centríguga. Esta bomba, sinembargo, tiene dos problemas. El movimiento del rotor induce al agua a rotar dentro del cilindro, generando pérdidas considerables por fricción contra las paredes. Para permitir el flujo del agua a presión y evitar la rotación, el rotor se coloca excentricamente dentro de la carcasa, y la salida se hace tangencialmente. Adicionalmente, existe una turbulencia creada por la aceleración de Coriolis asociada con el movimiento radial del agua. A medida que se desplaza hacia afuera el agua encuentra zonas de velocidad tangencial mayor (v = ωr); el efecto inercial hace que el agua "se quede" con respecto a los álabes que se mueven mas rápido y que terminan por alcanzarla (en el sentido radial). El agua se desvía de su trayectoria radial, empujada por esta aceleración de Coriolis, generandose fricción y turbulencia. Con el fin de reducir el efecto, los álabes se deben curvar en la dirección contraria a la rotación, lo cual permite que la salida de la masa de agua se efectúe radialmente. La voluta que encierra al rotor tiene dimensiones crecientes hacia la salida para mantener una velocidad constante del flujo, el cual aumenta en esa dirección (ver figura). Las bombas centrífugas tienen una serie de características de funcionamiento que las hacen muy especiales. En primer lugar la eficiencia de conversión de energía mecánica (Rotacional) a energía hidráulica es baja, debido a las pérdidas por fricción y turbulencia asociadas con las altas velocidades del agua en el rotor. La cabeza neta de succión de la bomba (NPSH, ver mas adelante) es muy alta, debido también a las elevadas velocidades del agua a la entrada a los álabes. Esto puede generar cavitación dentro de la bomba, como se verá más adelante.

64


Por otra parte los costos de instalación y mantenimiento son bastante reducidos debido a la práctica inexistencia de problemas operativos; a que requieren muy poco espacio y no necesitan reductores acoplados al motor; otra gran ventaja sobre las bombas de desplazamiento positivo es la uniformidad del caudal y la presión del agua bombeada.

2.8.3. COMPORTAMIENTO CENTRIFUGAS

Y

EFICIENCIA

DE

BOMBAS

La cabeza dinámica transmitida al flujo por una bomba centrífuga depende directamente del caudal que pasa por la bomba. A medida que aumenta el caudal las pérdidas se incrementan por incremento en la cabeza interna de velocidad, y la energía transmitida a una masa unitaria de agua se reduce; la relación entre cabeza y caudal es una parábola de orden 2, indicando la directa influencia de las pérdidas en la cabeza dinámica. Cuando la bomba impulsa caudales muy bajos la eficiencia tiende a cero, debido a que la energía hidráulica absorbida es función del caudal y de la cabeza dinámica: Ph

=

Qρ gHd

A medida que crece el caudal impulsado crece la energía transferida al flujo; inicialmente la reducción en la cabeza dinámica no es comparable al incremento de caudal. Sinembargo la reducción en la cabeza dinámica termina por ser importante, y la energía transmitida al flujo vuelve a


65

reducirse. En esta condición las pérdidas se vuelven demasiado grandes por efecto del incremento de velocidad. Hay un solo valor del caudal para el cual la conversión de energía rotacional a energía hidráulica es óptima. Esto quiere decir que una bomba se diseña para operar en unas condiciones específicas; forzar una bomba a operar en condiciones alejadas a este punto óptimo puede resultar altamente costoso (Ver gráfica). kw

mts

%

80

90

100

70

80

90

60

70

50

60

40 30 20 10 0

Cabeza Dinámica

80

Eficiencia

70 60

50

50

40

40

Potencia de Entrada

30

30

20

20

10

10

0 0,00

0 0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

3

( )

mt CAUDAL seg

¿Que ocurre cuando una bomba se conecta a una tubería? En la gráfica siguiente se han dibujado la curva característica de la bomba y la del sistema. Esta última es el resultado de calcular para cada caudal la potencia que debe introducirse externamente, medida en términos de cabeza, con la siguiente ecuación: Hd

=

( Z2

− Z 1 ) +

v22

2g

+

H f

Para el caudal A, la potencia suministrada por la bomba excede la potencia consumida por el flujo; el flujo se acelerará. Para el caudal C la potencia suministrada por la bomba es menor que la requerida para mantener ese caudal en el sistema. Para el caudal B, donde se cortan las curvas, la bomba suministra exáctamente lo que se requiere para mantener ese caudal en el sistema.

66


90 H d (mts)

80

Cabeza dinámica requerida por el flujo

Cabeza Dinámica de la bomba

70 60 50 40 30 20 10 0 0,00

A 0,10

0,20

0,30

B

0,40

0,50

0,60

C 0,70

0,80

0,90

1,00

3

CAUDAL

( ) mt seg

2.8.4. SELECCION DE BOMBAS Cuando se analiza el comportamiento de una bomba con diferentes motores, el incremento de la velocidad del rotor se traduce en un incremento en el efecto centrífugo y un aumento en la cabeza dinámica. La eficiencia casi siempre aumenta, debido a que el diseño de la forma de los álabes se hace para altas velocidades de rotación. La información sobre cabezas dinámicas y eficiencias se puede incluir en una sola gráfica, llevando los puntos de eficiencia a unas curvas de "isoeficiencia" en el plano Q vs. Hd (Ver figura).

PROBLEMA Una bomba debe conducir 7 lt/seg de agua entre dos tanques separados por una distancia de 1 Kmt y una diferencia de niveles de 35 mts. Si se usa una tubería de acero de 10 cmts. de diámetro, seleccione la bomba más adecuada, de acuerdo con las curvas características de las bombas. Suponga para el analisis un coeficiente C para la ecuación de Hazen-Williams de 110. CALCULO DE LA CABEZA DINAMICA DE LA BOMBA Hd

=

( Z2

− Z 1 ) +

v22

2g

+

H f


67

68


3

=

v2

Q A

=

0.007 mt seg  (0.1 mt )2  π 4   

=

0.89

mt seg

v22

⇒

2g

=

0.0405 mt

1.85

H

=

H d

=

(19.7)(1. 000)  0.007  0.14.87



110

35 + 0.0405 + 113. 7

=

 =

13.68 mt

48. 7 mts.

Los caudales y cabezas de operación de las bombas resultan de cortar gráficamente las curvas características con la función:

h

=

35 mt

+

2

[ ] Q A

2g

+

(10.7)(1.000) 0.14.87

1.85

Q 110 

Del gráfico de selección de bombas se determina que las bombas IV y V pueden ser utilizadas en las siguientes condiciones:

BOMBA IV IV V V

RPM

Q

H

3550 3850 3250 3550

lt/seg 6.8 8.1 6.0 8.4

mts 46 52 45 54

La selección definitiva depende de varios factores: 1. 2. 3.

Economía de Costos Iniciales vs. Falta de capacidad en el futuro Costos de la energía asociada con la operación de la bomba (Q ρgh/e) Posibilidad de variación de cabezas y caudales

2.8.5. ALTURA MAXIMA DE SUCCION Analizando la linea piezométrica en un problema de bombeo se ve que se presentan presiones negativas en el tramo anterior a la bomba, debido a que la cabeza de posición es mayor que la piezométrica. A medida que el agua asciende hasta la bomba, el incremento en la energía potencial se acompaña con una reducción en la presión. La energía específica


69

aportada por la bomba se aplicará al final de este tramo de succión. Linea Piezométrica 2

H

d

∆Z

e 1

Tubería

Si se plantea la ecuación de Bernoulli entre el punto 1 y la entrada a la bomba: Z 1

+

P1

γ

2

v1

+

2g

−

H fs

=

Z e

+

Pe

γ

2

+

ve

2g

El término Hfs corresponde a las pérdidas en el tramo de succión. Sabiendo que la presión inicial es igual a la presión atmosférica (En este prblema es fundamental tenerla en cuenta!) y que la velocidad inicial del agua es cero, se llega a la siguiente ecuación para la presión a la entrada de la bomba: Pe

γ

=

Patm

γ

−

( Ze

− Z 1 ) −

ve2

2g

−

H fs

A medida que aumenta la altura de la bomba con respecto al agua (Ze - Z1), la presión de entrada disminuye. El acelerar el flujo o aumentar las pérdidas en el tramo de succión también la reduce. Finalmente la presión se reduce hasta un valor que coincide con la presión de vapor a esa temperatura y el agua, literalmente, comienza a hervir. La presión de vapor es una propiedad del agua que depende únicamente de la temperatura, de la forma mostrada en la tabla y en la gráfica de la página siguiente. En la gráfica la presión de vapor está expresada en atmósferas. Por definición, una atmósfera es la presión atmosférica a nivel del mar (1 Atmósfera = 101.357 Pascales). Por definición igualmente, 100°C es la temperatura a la cual hierve el agua en el nivel del mar. Por lo tanto, la

70


curva deberá pasar necesariamente por el punto (100°, 1 Atm.). La gráfica explica igualmente el por qué si se aumenta la presión por encima de una atmósfera (Como en una olla a presión o en un autoclave), el agua hierve a una mayor temperatura. Por otra parte si la presión se reduce, el agua hierve a menor temperatura. Temp. Presión de Vapor °Cent. -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Atms. Pascales 0.004162 422 0.006027 611 0.008600 872 0.012102 1227 0.016804 1703 0.023042 2335 0.031222 3165 0.041831 4240 0.055446 5620 0.072747 7373 0.094526 9581 0.121700 12335

Temp. Presión de Vapor °Cent. 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110

Atms. Pascales 0.15531 15742 0.19656 19923 0.24679 25014 0.30752 31169 0.38043 38559 0.46740 47374 0.57047 57821 0.69192 70131 0.83421 84553 1.00000 101357 1.19220 120838 1 .41390 143309

1,6 ) . s m t A ( r o p a V e d n ó i s e r P

1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90 100 110

Temperatura ( ra os ent gra os)

Para el caso del bombeo, existe una condición crítica en la cual se alcanza en algún punto de la tubería una presión igual a la de vapor. El agua comenzará a hervir, y las burbujas formadas coalescerán violentamente cuando el agua recupere presión, después de su paso por la bomba. El fenómeno, conocido como cavitación, produce impactos violentos contra el cuerpo de la bomba y la tubería, que las deterioran en un tiempo muy corto.


71

El sitio mas desfavorable para la ocurrencia del fenómeno no es la entrada a la bomba. La bomba misma genera una succión (Pérdida de Presión) adicional, debido a que dentro del rotor la velocidad del agua puede alcanzar valores muy altos; este incremento en la velocidad se hace nuevamente a costa de la cabeza de presión. La succión adicional depende del tipo de bomba y de las características de la operación; la cabeza neta de succión positiva de la bomba (NPSH por "Net Positive Suction Head") se incrementa con el caudal de una forma propia de cada bomba. En las curvas características suministradas por los fabricantes deben figurar las curvas Q vs. NPSH. La condición límite para que se produzca el fenómeno de cavitación en algún punto interno de la bomba será entonces: Pi

γ

=

Pvapor

γ

=

Patm

γ

2

−

( Ze

− Z 1 ) −

ve

2g

−

H fs

−

NPSH

El subíndice i de la presión indica que esta se calcula para el punto interno de la bomba en el cual la presión es mínima. De la anterior ecuación se puede deducir la altura máxima de succión a la que puede localizarse la bomba por encima de la lámina de agua: ( Ze

− Z 1 )max =

Patm

− Pvapor γ

−

ve2

2g

−

H fs

−

NPSH

Analizando esta ecuación se deduce que si no existen ni pérdidas, ni cabeza de velocidad, ni succión de la bomba, la altura máxima a la que podría colocarse esta con respecto al nivel del agua es de unos 10 mts (Esta es la presión atmosférica al nivel del mar expresada en términos de cabeza de agua). A esta cifra, la única positiva en la ecuación, deben restarse los demás términos de la ecuación. Existiendo tan poco rango de juego, no se pueden despreciar en el análisis ni la cabeza de velocidad, ni las pérdidas menores. Eventualmente la succión de la bomba, las pérdidas en el tramo de succión y la cabeza de velocidad pueden ser muy grandes, o el agua estar muy caliente, y la cabeza máxima de succión se vuelve negativa. Ello indica que la bomba debe colocarse por debajo de la lámina de agua.

72


3. ALCANTARILLADOS Los elementos de un sistema de alcantarillado son tuberías enterradas en cuyos extremos se construyen pozos de inspección. El flujo no debe llenar la tubería, para evitar la acumulación de presión que haría fluir las aguas negras hacia afuera por las uniones y orificios. El análisis hidráulico de ductos circulares en los cuales el flujo no alcanza a llenar la sección es bastante complicado, y se basa en métodos gráficos.

3.1. ________________________________________________________________ HIDRAULICA DE LOS CONDUCTOS CIRCULARES D S e n θ 2 2

D

θ

D Cos θ 2 2 d

De acuerdo con las propiedades geométricas del círculo se pueden establecer las siguientes relaciones como funciones del ángulo θ, para caudales que no alcancen a llenar la tubería. Se ha utilizado la ecuación de Manning para el cálculo de la velocidad. Area

=

a

=

θr 2 2

1

θ 

θ 

− 2rSen   rCos  = 2 2  2

D2 8

[θ − Senθ ]


73

D

Perímetro

=

p

=

θ

Altura

=

d

=

D

Radio hidr.

=

a

=

Velocidad

=

Caudal

p

v

D

−

2

2

 1 − 4 

D

=

=

1 n

2

R

D

=

av

2

2

8

3

Cos

θ 2

=

D θ  1 − Cos   2 2

Senθ 

θ

s

1 2

  =

1  D  Senθ   1−     n  4  θ  

1  D  Sen − θ θ [ ] n  4  1 − 

Senθ     θ  

2

3

s

2

3

s

1 2

1 2

La pendiente hidráulica utilizada en la ecuación de Manning corresponde a la pendiente con la cual se construye la tubería, y no varía con la altura del flujo. Tenga en cuenta que todas las relaciones planteadas son válidas unicamente si el flujo es uniforme. El problema mas frecuente en análisis de alcantarillados es el encontrar la velocidad y altura del flujo cuando fluye un caudal conocido. La solución directa implicaría encontrar el ángulo θ como una función del caudal. Con el ángulo calculado de esta relación se podrían encontrar las demás variables. Desafortunadamente el procedimiento no se puede aplicar debido a la imposibilidad de encontrar la función analítica inversa a la del caudal como función de θ. Es necesario recurrir a métodos gráficos para encontrar los valores del ángulo (y de todas las demás variables), conociendo el caudal. Para las condiciones de caudal en las cuales el flujo llena la tubería, las variables tienen los valores que se definen mas adelante. Igualmente se han "normalizado" los valores de las funciones para flujo parcial, con respecto a las de flujo lleno. Area

=

A

Altura

=

D

=

π

D

2

4

=> =>

a A d D

= =

1

[θ − Senθ ]

2π

θ  1 − Cos 1 2  2 

74


Velocidad

=

V

Caudal = AV =

=

1  D 

2

3

s

N  4 

π D2 1  D  4 N  4 

2

1

3

s

2

1

2

=> =>

v V q Q

= =

N  n

1

1 − 

[θ 2π

Senθ 

θ

2

3

 N 

− Senθ ] 1 − n

Senθ 

θ

2



Las relaciones entre las variables son independientes del diámetro de la tubería; de hecho solo dependen del ángulo θ que define la altura del flujo. Nótese que se ha permitido la introducción de un n de la ecuación de Manning diferente al N de las condiciones de flujo lleno. Experimentalmente se ha encontrado que la relación de Manning no se cumple exáctamente en determinados rangos de caudal. A medida que la altura del flujo se reduce cambia la forma de la sección, reduciendo las fuerzas de viscosidad y favoreciendo la turbulencia. Experimentos llevados a cabo hace unos 50 años por Thomas R. Camp permitieron remediar esta inconsistencia al introducir un n variable, función de la fracción llena d/D. Cuando se selecciona un valor para cualquiera de las relaciones (d/D por ejemplo), automáticamente se determina un valor de θ y de las variables que a su vez dependen de ese valor. Las gráficas que se muestran a continuación se han encontrado calculando todas las variables para valores diferentes del ángulo θ, y graficándolas contra los valores calculados para d/D. Antes del advenimiento de los computadores la única solución práctica era la solución gráfica. Las curvas fueron utilizadas para encontrar los valores de d/D y v/V a partir del valor de q/Q. Es posible linearizar por tramos cualquiera de las funciones, para encontrar por interpolación los valores de la función inversa (Los puntos para la linearización se encuentran suponiendo θ y calculando las demás variables; es necesario conocer la relación N/n). Este método es ideal para trabajar en el computador, aún utilizando hojas electrónicas. El siguiente ejemplo ilustra la aplicación del método gráfico en el análisis de tuberías.

PROBLEMA Se tiene una tubería de alcantarillado de 25 cmts de diámetro y pendiente del 1% con respecto a la horizontal. Si el coeficiente para la ecuación de Manning (Flujo lleno) es de 0.013, determine con las curvas la altura del flujo y la velocidad en la tubería cuando fluyen 48 lts/seg. La velocidad para condiciones de flujo lleno se puede encontrar aplicando la relación de Manning:

3


V

=

1

R N

2

3

1

S

2

75

 0.25  = 0.013  4  1

2

3

1

0.01

2

=

1.211

mt seg

En estas condiciones el flujo será: Q

=

AV

=

π

D2 4

=

V

π

0.0252 4

(1.211)

= 0.0595

mt 3 seg

La relación q/Q se calcula entonces como 0.048/0.0595 = 0.800. Para este valor se determina de las gráficas una relación d/D de 0.76 (De la curva q/Q). Con este valor de d/D se encuentra una relación v/V de 0.98 (De la curva v/V). 1 0.9

v/V

0.8 0.7

q/Q

0.6

d/D 0.5 0.4

r/R =

τ/Τ

1.1

1.2

0.3 0.2

n/N

0.1 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

v/V

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.3

q/Q r/R N/n

La profundidad y velocidad del flujo serán entonces: d = 0.76D = (0.76)( 25) = 18.8 cmts. v = 0.98V = (0.98)(1.211) = 1.19 mt/seg

Como se verá más adelante, la profundidad y velocidad del flujo son los parametros de diseño de la transición entre dos tramos consecutivos de alcantarillado.

3.2.

76


________________________________________________________________ AUTOLIMPIEZA En el proceso de diseño de un sistema de alcantarillado, no solamente hay que tener en cuenta la capacidad hidráulica. Es necesario verificar que se genere un esfuerzo de corte contra las paredes de la tubería suficiente para arrastrar los sólidos asociados con las aguas negras. De no garantizarse así, los sólidos se sedimentarán y con el paso del tiempo la tubería terminará obstruyendose. A continuación se desarrolla una expresión para el cálculo del esfuerzo de corte. En el movimiento de un pequeño volumen de control a lo largo de una distancia ∆L en una tubería inclinada, ocurren dos fenómenos. El esfuerzo de corte contra las paredes de la tubería tiende a frenar el flujo, mientras que la pérdida de energía potencial de posición tiende a acelerarlo. Siendo p el perímetro "húmedo" del flujo, a el area seccional ocupada por el agua en la tubería, s la pendiente de la tubería y τ el esfuerzo de corte promedio contra las paredes (ver figura):

∆L ∆x

Area en la cual actúa el esfuerzo de corte p ∆x Magnitud de la fuerza de corte τ (p∆x) Trabajo hecho por la fuerza de corte τ (p∆x) ∆L Volumen de agua en el Vol. de Control Peso de agua en el Vol. de control

a ∆x γ (a ∆x)

Pérdida de altura al recorrer ∆L Pérdida de energía potencial

s ∆L γ (a∆x) s ∆L


77

Cuando el flujo alcanza condiciones de uniformidad ambos efectos se contrarrestan. La fuerza de fricción contra las paredes iguala a la componente del peso del agua en la dirección de la tubería. La misma condición puede plantearse diciendo que la energía potencial que se pierde por el cambio de posición se iguala con la energía que se pierde por fricción: (p∆ x) ∆ L γ (a∆ x) s ∆ L = τ (p

De la anterior igualdad se deduce: τ

=

γs

a p

=

γ sr

en donde r es el radio hidráulico (area sobre perímetro humedo de la sección). La aplicación de la teoría de limpieza es fundamental cuando se analiza el caudal máximo diario en una tubería diseñada para el caudal máximo maximorum. El primero es el que con seguridad se repite cada 24 horas, y debe ser capaz de arrastrar los sólidos acumulados durante el resto de la operación diaria. El segundo es un caudal que solamente ocurrirá una vez durante toda la vida útil de la tubería, y es el que se usa como caudal de diseño. El caudal medio diario es proporcional al consumo de agua por unidad de superficie, y proporcional al area cuyo drenaje es transportado por la tubería. Conocido el caudal promedio de aguas negras, es posible estimar el caudal máximo diario y el máximo maximorum. Para ello se utilizan relaciones fijadas por normas, como las que se grafican en la página siguiente. Una vez conocido el caudal máximo de aguas negras se deben agregar las infiltraciones al alcantarillado, las conexiones erradas de aguas lluvias y las aguas residuales generadas por los grandes usuarios. Con este caudal integrado de diseño se calcula el diámetro de la tubería tratando de aprovechar la pendiente del terreno, utilizando la ecuación de Manning: Q Diseño

=

AV

=

π

D

2

4

1  D 

N  4 

2

3

s

1

2

=>

D

 4 5 3 NQ Diseño  =   1 2  π s 

3

8

78


Caudal Máximo del día normal

Caudal Medio Diario

Caudal Máximo Maximorum

1000

) 100 g e s / s t l ( l a d u a 10 C

1

1

10 100 Caudal Medio Diario de Aguas Negras (lts/seg)

1000

3.2.1. CRITERIO CRITERIO DE DE LIMPIEZA LIMPIEZA UTILIZA UTILIZADO DO EN COLOMBIA COLOMBIA A continua continuación ción debe verificar verificarse se el esfuerzo esfuerzo de corte genera generado do por el caudal caudal máximo diario. Experimentalmente se ha encontrado que el esfuerzo de corte suficiente para limpiar los sólidos característicos de las aguas negras se alcanza cuando la velocidad del agua es de 0.6 mts/seg y el flujo llena la tubería. Esta condición se produce para una pendiente específica, que se puede calcular de la relación de Manning: V

=

0.6

mts seg

=

1

2

1

R 3 S 2 N

Nótese que el esfuerzo de corte generado por esta velocidad depende del diámetro de la tubería. Esta condición de autolimpieza se ha utilizado para el diseño de alcantarillados de aguas negras durante muchos años. En las últimas décadas, sinembargo, ha sido léntamente desplazado por el


79

criterio de esfuerzo cortante requerido para arrastrar los sólidos. En Europa y Brazil ya existen normas sobre valores mínimos del esfuerzo de corte que debe producir el caudal máximo diario; estos valores oscilan entre 1 N/mt 2 en Brazil hasta 6.2 N/mt 2 en el Reino Unido. En Colombia se sigue utilizando, aunque mal comprendido, el criterio que se basa en una velocidad mínima a flujo lleno. En las condiciones de de operación operació n de la tubería (pendiente real real y sección parcialmente llena), llena), deberá producirse un esfuerzo de corte igual al de la situación que se ha definido como autolimpiante; esto es: τ

=

γ RS

=

R

=>

γ rs

=

r

s S

Las minúsculas identifican la situación real; las mayúsculas la situación de flujo lleno lleno y V = 0.6 mt/seg. Para la situación Real: Area

=

a

=

Perímetro

=

p

=

Altura

=

d

=

Radio hidr.

=

a

Velocidad

Caudal

=

p

=

v

=

D

=

D2

8

θ

D 2

D

2

1 − Cos 

θ  2 

D  Senθ  1 −   4  θ 

1  D  Senθ   1−  n  4  θ  

2

8

[θ − Senθ ]

[θ −

2

3

s

1

2

1  D  Senθ   1− Senθ ]  n  4  θ  

2

3

s

1

2

En las anteriores ecuaciones q, θ, v y s corresponden a la situación de la tubería en la cual el caudal q genera el mismo esfuerzo de corte que la situación hipotética (V = 0.6 mt/seg y sección llena). Si las variables de la situación real se identifican con letras minúsculas y las de la situación hipotética con mayúsculas ( ojo a la diferencia con la teoría anterior ), es posible encontrar las siguientes expresiones para la relación entre ellas:

80


d D

=

1 θ  1 − Cos 2  2  2

v V

=

1  D  Senθ   3 12 s 1− n  4  θ   1  D 

2

3

Q

=

n

1

S 2

N  4  q

N 

 = [θ − Senθ ]1 − 2π n  1 N

Senθ 

θ

2

1 −

Senθ 



s   S  3

1

θ

2

s   S  3

1

2

2

Existe una relación que debe cumplirse si los esfuerzos de corte son iguales en ambas condiciones , y que permite remplazar la relación s/S en las dos ecuaciones anteriores. s S

=

R

=

r

D D 

1− 4 

4 Senθ 

θ

θ

=

θ



− Senθ

Con esta expresión para la relación entre las pendientes (s/S) se pueden replantear las relaciones v/V y q/Q, como funciones del ángulo θ: v V q Q

=

Senθ 

n

θ

1 −

2

 θ   θ − Senθ 

N 

 = [θ − Senθ ]1 − 2π n  1 N

1

3

2

 θ   θ − Senθ 

Senθ 

θ

2

3

1

2

El proceso para graficar estas relaciones es similar al que se utilizó para el análisis de la hidráulica de conductos circulares. Las relaciones d/D, s/S, v/V y q/Q se determinan para diferentes valores del ángulo θ. Posteriormente se grafican todos contra los valores de d/D. De esta forma se obtienen las curvas que se muestran en la gráfica siguiente, y cuya utilización se ilustra en el siguiente ejemplo:

PROBLEMA Diseñe un elemento de alcantarillado que conduzca un caudal máximo maximorum de 11.5 lts/seg, con una caida de 80 cmts. en una longitud de 80 mts. Verifique la capacidad de limpieza de la tubería si el caudal máximo diario es de 6.9 lts/seg.


81

La pendiente del terreno es: 0.8 80

=

s

=

0.01

(1%)

El diámetro que se requiere para transportar el caudal de diseño será:

 4 5 3 NQ Diseño  =   1 2  πs 

D

3

8

 45 3 (0.013)( 0. 0115)  =   1 2   π (0.01)

3

8

=

0.1350 mts.

Este caudal puede ser transportado por una tubería de 8" ( para alcantarillado Ø min = 8" ). Para que la tubería sea "autolimpiante" es necesario que la situación de trabajo sea equivalente a la condición de flujo lleno con velocidad de 0.6 mt/seg. En este caso hipotético:

=

Q

AV

(8)( 0.0254)  = π   2 

2

(0.6)

=

19.46

lts seg

La pendiente que produciría en la tubería estas condiciones de autolimpieza se puede deducir de la ecuación de Manning, para las condiciones de tubería llena y velocidad 0.6 mt/seg: 2

=

0.6

1  (8)(0.0254)  3 12  S 0.013  4

=>

S

=

0.00323

(0.32%)

Para el caso del caudal máximo diario (de la gráfica): q Q s

= =

6.9 19.5

=

(0.32)(1.1)

0.36 =

=>

d D

=

0.47

=>

s S

=

1.1

0.35%

Para el análisis anterior, recuerde que todas las relaciones son funciones únicamente de d/D. Esto quiere decir que este es el único parámetro posible de búsqueda. Esto indica que el caudal máximo diario limpia la tubería con la pendiente del terreno (1%), pues al ser mayor la pendiente del terreno que la autolimpiante, se producirán esfuerzos de corte mayores.

82


s/S 1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0.9 1.0

1.1 1.2

1.0 0.9

s/S

0.8 0.7

q/Q

0.6 0.5

d/D

v/V

0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3

0.4

0.5 0.6 0.7 0.8

v/V

q/Q

El criterio de limpieza anteriormente descrito tiene una inconsistencia importante. En el caso de que la limpieza exigiera aumentar la pendiente, se podría reducir el diámetro. Esta posibilidad no ha sido tenida en cuenta por los métodos de diseño tradicionales.

3.2.2. OTROS CRITERIOS DE LIMPIEZA El criterio de limpieza que se basa en los esfuerzos de corte generados por el caudal máximo diario en la tubería, exigen el desarrollo de una teoría para encontrar los esfuerzos de corte. Es posible desarrollar una ecuación adimensional de la siguiente forma: D 

τ

Τ

=

γ rs γ Rs

=

r R

=

4

1 − 

D

Senθ 

θ 4

 =

1−

Senθ

θ

la cual puede graficarse contra d/D de la misma forma en que se hizo con las demás variables hidráulicas adimensionales. El siguiente ejemplo ilustra el cálculo del esfuerzo cortante en una tubería:

PROBLEMA


83

Calcule el esfuerzo de corte que produce un caudal de 6.9 lts/seg en una tubería de 8" de diámetro con una pendiente del 1%. El caudal que llena la tubería con la pendiente del terreno se calcula aplicando la ecuación de Manning:

=

Q

π

D

2

1  D 

2

8

3

4 N  4 

s

1

2

=

[(8)( 0.0254)]

π

(0.013)( 4)

5

3

=

0.01

3

34.2

lt seg

El esfuerzo de cortante que se produce en estas condiciones es:

Τ =

Rs γ

=

1.000

kg 3

mt

9.8

mt (8)( 0.0254) mts. seg

2

4

(0.01)

=

4.98

=>

τ

=

Nw 2

mt

De la gráfica siguiente: q Q

=

6.9 34.2

=

0.2

d

=>

D

=

0.34

Τ

0.76

1.0 0.9 0.8

v/V

0.7 0.6

d/D

q/Q

0.5

r/R = τ /T

0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0

0.1 0.2

0.3

0.4

0.5

v/V

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

q/Q r/R N/n

El esfuerzo de cortante será:

τ = (0.76)(4.98) = 3.78 Pascales El criterio de velocidad 0.6 mts/seg llenando el canal puede desarrollarse a un esfuerzo de corte mínimo para cada diámetro de

84


tubería. La pendiente que llena la tubería de diámetro D con una velocidad vL (0.6). se calcula a partir de la ecuación de Manning: v L

=

0.6

=

1  D 

N  4 

2

2

3

s

1

2

=>

s

[ Nv L ]

=

4

[ 4] D

3

El esfuerzo de corte asociado con esta condición autolimpiante se puede calcular así: 2

τ

=

γ Rs

D Nv = γ   [ L ]4 =  4  [ D ] 3

4

2

[ NvL ] γ 1

[ D 4]

3

A continuación se presenta gráficamente la relación, para una velocidad autolimpiante de 0.6 y un coeficiente de Manning de 0.013. 1.8 1.6 1.4

τ

1.2

Nwt 2

mt

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Diámetro (mts.)

3.3. DISEÑO DE SISTEMAS DE ALCANTARILLADO En el siguiente problema se ilustra la metodología de diseño de un alcantarillado de Aguas Negras:


100 1

0.25

5 2 . 0

5

85

100 2

0.25

0 5 . 0

0.50

6

100 3

0.25

4

100

0 5 . 0

0.50

7

0.50

8

130 0 8 . 0

0 4 . 0

9

0.49

0.49

2 3 . 0

6 1 . 0

13

10

0 8 . 0

0.49

5 2 . 0

17

14

0 5 . 0

18

11

0.49

12

80

2 3 . 0

0.49

15

0.49

16

0 5 . 0

19

100

20

PROBLEMA Diseñe el sistema de alcantarillado de aguas negras para el barrio mostrado, con los siguientes parámetros de diseño:

86


Densidad de Población:

300 Hab/Ha.

Consumo per cápita

300 lts/Hab/Día

Infiltración

0.3 lts/seg/ha

Factores de Seguridad

Ø 8" - 24" 1/0.6 Ø 24" - 1.2 mts 1/0.7 Ø 1.2 mt - 1/0.9

Relación Qmax/Qmed

De acuerdo con las gráficas.

Qmedio anual

Hab   lts.  = 300 = 300  Ha.   Hab − dia 

lts   seg   = Qmedio A. Negras = 0.8 1.041 Ha    

lts

1. 041

lts

0.831

seg

Ha

seg

Ha

Los cálculos se presentan en las tablas de la página siguiente.


87

88


3.4. ________________________________________________________________ EMPATE DE LINEAS DE ENERGIA La transición hidráulica entre tramos consecutivos de alcantarillado debe analizarse cuidadosamente cuando se trabaja con diámetros o velocidades grandes. Considérese el caso ilustrado en la siguiente gráfica:

Curva de "Remanso"

d1

v1

d2

v

2

El flujo llega a la transición con unas condiciones de profundidad y velocidad diferentes a las de la tubería de salida. Las condiciones de "llegada" y "salida" al pozo de inspección corresponden a las condiciones de flujo uniforme para las dos tuberías; se supone que las tuberías son lo suficientemente largas como para que se alcance la condición de flujo uniforme. Ahora bién, ello puede requerir que el agua se remanse en el pozo de inspección, como se muestra en la figura, para acumular cabeza de posición para impulsar el flujo hasta la velocidad y profundidad asociadas con el flujo uniforme. Para evitar el "remanso" se construye un salto en el fondo del pozo de inspección como el que se muestra en la figura siguiente. Para encontrar la magnitud del salto se plantea la ecuación de Bernoulli considerando la energía a la llegada y a la salida. Se ha escogido como nivel de referencia la base del canal a la salida:

[d1 + ∆h] +

P1

γ

2

+

v1

2g

− h f =

d 2

+

P2

γ

2

+

v2

2g


89

Transición entre dos flujos uniformes d1 v1 d2

∆h

v2

Las presiones inicial y final son iguales a la presión atmosférica y se cancelan de la igualdad. Experimentalmente se comprueba que las pérdidas producidas en la transición del flujo son proporcionales al valor absoluto de la diferencia de cabezas de velocidad. Se despeja entonces la siguiente relación para ∆h:

 = d 2 + 

∆h

  − d 1 +  2g   v22

  + 2g  v12

k

v22

2g

−

v12

2g

Experimentalmente se encuentra que la constante k es de 0.1 para aceleración del flujo y 0.2 para reducción de la velocidad. En la práctica el fondo del canal en el pozo de inspección se construye suavemente variado, para reducir la turbulencia asociada con el escalón. Eventualmente el signo de ∆h puede ser negativo, indicando la posibilidad de elevar el fondo de la tubería de salida. En la práctica esto no se hace, para evitar sedimentación del material suspendido detrás del escalón. El siguiente ejemplo ilustra el diseño de la transición:

PROBLEMA Un tramo de alcantarillado de 1.0 mt. de diámetro conduce un caudal de 1 mt. cúbico/segundo con una pendiente del 0.3%. El tramo se debe empatar con otro de pendiente 1.8% y diámetro 0.65 mts. Cual es la caida adicional para la transición? Conducto de llegada

D = 1.0 mt. s=0.3%

N=0.013

2

V

1 1  1.0  3 2 0 . 003 = = [ ]   0.013  4 

1.672

mts. seg

q = 1 mt 3 /seg

90


Q

=

π

(1.0 )

2

4

3

=

(1.672)

1. 313

mt

seg

=>

q Q

=

1 .0 1.313

=

0.76

Para estas condiciones se encuentra en las gráficas: d D

=

0.74

v

y

V

d

=

(1.00)( 0. 74)

v

=

(1.672)( 0. 97)

Conducto de Salida

=

=

0.97

0. 74 mts.

=

1. 622

mts. seg

D = 0.65 mt. s=1.8%

N=0.013

q = 1 mt 3 /seg

2

V

Q

1  0.65  3 2 0 . 018 = = [ ]   0.013  4 

1

= π

(0.65)

2

4

=

(3.07)

3.07

mt3 1.020 seg

mts. seg

=>

q Q

=

1.0 1.020

=

0.98

Para estas condiciones se encuentra en las gráficas: d D

=

0.89

v

y

V

=

1.04

d

=

(0.65)( 0. 89)

=

0. 579 mts.

v

=

(3.07)(1. 04)

=

3. 19

mts. seg

Para la Transición:

∆h

 = 0.579 + 

   3.192 1.6722  1.6722   − 0.74 + 2(9.8)  + 0.1 2(9.8) − 2(9.8)  = 2(9.8)      3.192

0.253 mts.

Nótese que en este problema no se pueden despreciar las cabezas de velocidad, debido a que son los términos de mayor magnitud de la ecuación.

3.5. ________________________________________________________________ ANALISIS DINAMICO DEL FLUJO EN REDES DE ALCANTARILLADO


El método racional para el análisis y diseño de tuberías de alcantarillado no es muy racional, después de todo, puesto que desprecia las importantes variaciones del caudal que se presentan a medida que el agua avanza por el sistema de drenaje. Existe una gran capacidad de almacenamiento de agua en las tuberías, que hace que los caudales instantaneos en las entradas de la red se distribuyan en tiempos mas largos a medida que el agua viaja por el sistema. Igualmente se desprecia el hecho de que los tiempos de viaje a lo largo de distintas rutas no coinciden, llegando los picos de caudal en tiempos diferentes a los colectores mas grandes. El método racional por lo general conduce a colectores sobrediseñados, especialmente los tramos de mayor diámetro que son considerablemente costosos. En la ciudad de Bogotá se han detectado casos de colectores cuya capacidad de diseño debería estar copada por el total desarrollo del area que sirven, y por los cuales fluye apenas una fracción de su capacidad máxima. La práctica de la Ingeniería Sanitaria no ha encontrado necesario modelar las ecuaciones de Navier Stokes para representar el problema dinámico del flujo en las redes de alcantarillado, debido a que las variaciones del caudal son relativamente lentas y el flujo puede representarse con mucha aproximación como un flujo siempre uniforme.

3.4.1. Modelo del almacenamiento lineal Partiendo del supuesto de que las variaciones en los caudales de entrada ocurren en tiempos sustancialmente mayores que el tiempo que el agua demora en recorrer la longitud del tramo, es razonable suponer que el flujo alcanza a responder en condiciones de flujo uniforme a lo largo del tramo. El aumento de nivel a medida que la tubería se llena conlleva el almacenamiento de agua en cada tramo, reduciendo los caudales de salida y amortiguando la hidrógrafa. En este caso: I

−

O

=

dS dt

Donde I y O son los caudales de entrada y salida al tramo, respectivamente, y S es el volumen de agua almacenada en la tubería. En el caso en que las variaciones de los caudales de entrada sean bastante lentas, el flujo se puede considerar permanentemente uniforme. La profundidad del agua se mantendrá aproximadamente constante en toda la tubería, y variará muy lentamente. En estas condiciones, el

91

92


volumen de agua almacenado (S) en cualquier instante será el producto entre el area del flujo y la longitud de la tubería: I

−

O

d (aL)

=

=

dt

L

da dt

=

L

δa δq

dq dt

El objetivo de la última transformación es el encontrar una ecuación diferencial que permita el desarrollo de una expresión analítica para el caudal de salida Q. La ecuación se puede simplificar al existir una relación bastante sencilla entre el area y el caudal en tuberías de sección circular, la cual se puede derivar de las dos expresiones de las variables (a y q) como función del ángulo θ, de la misma forma en que se desarrolló la teoría de análisis en los numerales anteriores. En la figura se grafica la relación entre las variables normalizadas.

1.0 0.9 0.8 0.7

a/A

0.6 0.5

a/A = 0.756 q/Q + 0.119

0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

q/Q

A y Q corresponden al area y al caudal cuando la sección fluye llena. En la mayor parte del rango de valores normales encontrados en una tubería de alcantarillado, la relación se aproxima bastante bién a la recta cuya ecuación se presenta en la gráfica. En estas condiciones:

δa δq

=

0.756

A Q

=

1 0.756 V

Y remplazando términos en la ecuación 2:


I− O

=

93

L (0.756)

A dq

=

Q dt

0. 756

L dq

=

V dt

k

dq dt

k es el tiempo que tarda la onda de flujo en recorrer la tubería. Es posible aproximar el caudal de entrada (I) a una linea recta de pendiente m: I

=

+

I0

mt

e introduciendo esta expresión en la ecuación anterior: O

+

k

dq

=

dt

+

I0

mt

La solución de esta ecuación diferencial es: O

= [ O0 −

I0

+

mk ] e

t

+ [ I0 +

k

mt

−

mk]

Con esta ecuación se encuentran los caudales de salida al final de los intervalos de integración. El método pierde aproximación cuando el flujo es muy bajo o cercano a la capacidad máxima de la tubería, debido a que la curva A/A vs. Q/Qf se aleja de la relación lineal supuesta; una solución podría ser el trabajar con una recta distinta en el rango inferior de caudales. f

PROBLEMA Determine la hidrógrafa de salida de la hoya simplificada que se muestra en la figura, cuando cae sobre el area de drenaje una precipitación como la mostrada mas adelante. Los números arriba de las flechas indican el area en hectareas drenada por cada colector. Las longitudes y propiedades hidráulicas de las tuberías del colector principal se consignan en la tabla de cálculos. DIAGRAMA DEL COLECTOR 4.2

0

4.5

5.1

4.3

4.5

3.5

2.5

1

2

3

4

5

6

4.0

7

5.1

3.4

4.2

2.8

4.1

8

9

10

11

12

13

94


35 30 25

Intensidad 20 mm/Hr 15 10 5 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

Tiempo (Minutos)

HIDROGRAFA DE LA TORMENTA Los cálculos de las hidrógrafas de salida de cada tramo se presentan en la tabla de la página siguiente. Para cada tramo se han definido dos columnas; en la primera se ha calculado el caudal de entrada, igual a la suma entre el caudal de salida del tramo anterior y el caudal drenado hacia el nodo. En la segunda se ha aplicado la teoría del almacenamiento lineal para encontrar la hidrógrafa de salida. Se ha supuesto que las hoyas de drenaje son pequeñas y que la hidrógrafa de los caudales laterales es igual a la curva de intensidad de la tormenta multiplicada por el area (Método Racional!). En la gráfica siguiente se muestran las hidrógrafas encontradas a la salida del tramo 5-6 y al final del emisario. Las gráficas han sido normalizadas, dividiendo por el area de drenaje asociada y expresando el resultado en mm/hr para comparar con la intensidad de la tormenta de diseño. Nótese que a medida que el agua avanza a lo largo de la red el flujo se va retrasando, el caudal pico va disminuyendo y la hidrógrafa se dispersa en el tiempo.


AQUI VA LA HOJA DE EXCEL

95

96


35 30 25

Intensidad (mm/Hr)

20 15 10 5 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Tiempo (Minutos)

En el caso de areas relativamente grandes se consiguen reducciones del caudal de diseño mayores entre menor sea la pendiente y mayores sean el diámetro y la longitud de la tubería, puesto que así se almacena una mayor cantidad de agua.

3.4.2. Método TRRL (ILLUDAS etc..) Existe una forma de trabajar la ecuación de continuidad (1) por diferencias finitas, que no requiere el planteamiento de la relación entre area y caudal desarrollada en el método del almacenamiento lineal. Considérese nuevamente la ecuación (1): I

−

O

=

dS dt

La ecuaciòn se puede trabajar utilizando diferencias finitas. Con el fin de obtener una mejor aproximación, se pueden promediar los caudales y los almacenamientos al comienzo y al final del intervalo de tiempo ∆t: I1

+ I2 2

∆t −

O1

+ O2 2

∆t =

S2

−

S1

y reordenando términos para dejar los términos conocidos a la izquierda y los desconocidos a la derecha:


I1

+ I2 2

∆t −

O1 2

97

∆t +

S1

=

O2

+

S2

2

∆t

El lado izquierdo de la igualdad se puede calcular a partir de las condiciones iniciales del intervalo de tiempo, y del caudal de entrada al comienzo y final del intervalo. El lado derecho es una función de la geometría y los parámetros hidráulicos de la tubería. Si el flujo es uniforme, el volumen almacenado en el tramo es igual a la longitud de la tubería multiplicada por el area de flujo, y la función de la derecha de la igualdad se convierte en: S+

O 2

∆t =

aL

+

O 2

∆t

En esta expresión A es el area de flujo, la cual se supone constante a todo lo largo del tramo; Q es el caudal a la salida, asociado con el area A. El valor que debe tener la expresión se puede determinar de la ecuación (9). Existe sinembargo el problema de que es extremadamente dificil expresar el area y el caudal en términos de una sola variable, para encontrar el caudal al final del intervalo. Siguiendo la metodología con la cual se desarrollaron en numerales anteriores los criterios de análisis hidráulico de tuberías, es posible considerar el area y el caudal como funciones del ángulo θ subtendido por el flujo: S+

O 2

∆t =

aθ L +

aθ v θ 2

 

∆t =

aθ L +

1 nθ

2

rθ 3 s

1 2

∆t   2

y remplazando: I1

+ I2 2

∆t −

O1 2

∆t +

a1L

=

 + 

aθ  L

1 nθ

2

rθ 3 s

1 2

∆t   2

Los valores de esta función no sólamente dependen de las variables geométricas e hidráulicas de la sección. La longitud de la Tubería (L) y el intervalo de integración ( ∆t) forman parte de la expresión, que no puede ser simplificada. Conociendo todos los términos a la izquierda de la ecuación se puede encontrar el valor del ángulo θ correspondiente a la igualdad, por aproximaciones iterativas (es imposible plantear una función inversa para encontrar el ángulo). Una vez encontrado, se procede a calcular el caudal y el area asociados, con los cuales quedarán definidas las condiciones iniciales para el siguiente intervalo de integración.

98


3.4.3. Método Muskingum - Cunge Cunge desarrolló un método para resolver aproximadamente la ecuación de continuidad: I

−

O

=

dS dt

El almacenamiento (S) puede separarse en una componente prismática (asociada con el caudal O constante a lo largo de toda la tubería) y en una componente no prismática dependiente de la diferencia I - Q, y variable a lo largo de toda la longitud de la tubería (Ver gráfica).

I-Q

I Q

L

Si la onda de caudal tarda un tiempo K en recorrer la tubería, el volumen de agua asociado con esa distribución se puede calcular así: S

=

KO

+ φ K ( I − O) =

K[φI + (1 − φ)O]

El término KO representa el volumen de agua almacenado "prismáticamente" dentro de la tubería. El volumen almacenado "no prismáticamente" se considera una fracción φ , menor que 0.5, del flujo I Q sostenido durante el tiempo K. Planteando la ecuación de continuidad entre dos puntos separados en el tiempo por un intervalo ∆t:


K[φI2

99

+ (1 − φ)O2 ] − K[φI1 + (1 − φ)O1] = ∆t

I1

+ I2 2

−

O1

+ O2 2

Reordenando términos:

 

O2  (1 − φ )

 + 1 = ∆t 

2K

 2K   2K   2K  + 1 + I2 1 −  + O1(1 − φ) − 1 ∆t   ∆t   ∆t  

I1 φ

y finalmente se despeja el caudal O 2:

=

O2

C1I1

+

C2 I2

+

C3 O1

donde: C 1

=

φ K + ∆t 2

C2

(1 − φ ) K + ∆t 2

∆t − φK 2 = (1− φ)K + ∆t 2

C3

− ∆t 2 = (1− φ)K + ∆t 2 (1− φ)K

Para el flujo en canales es posible desarrollar ensayos de campo y plantear regresiones para determinar K y Ø. Cunge (1969) demostró que si: K

=

φ =

∆x δq

δa

=

L c

1 O  1−   2 bcS0 ∆x 

=

1 O  1−   2 bcS0 L 

donde: L c b S0

es la longitud del tramo, es la celeridad de la onda para el caudal Q, es la anchura de la superficie de agua para el caudal Q, es la pendiente de la tubería,

la solución es una aproximación de la ecuación de difusión. También demostró que si K y Ø se toman como constantes en el análisis, la solución es una aproximación de las ecuaciones cinemáticas de la onda, resultado de despreciar los términos de aceleración y presión en la ecuación de momentum. En este caso el flujo estará descrito principalmente por la

100


ecuación de continuidad: δ Q δ x S0

+ =

A δ δ t

=

q

S f

El método de Muskingum-Cunge ofrece varias ventajas comparado con otros métodos similares, debido a que no hay involucrada una metodología de diferencias finitas aplicada a una ecuación diferencial. Los únicos problemas que pueden presentarse en la modelación son la presencia de condiciones aguas abajo que puedan propagarse aguas arriba, y las variaciones pronunciadas de la velocidad de propagación de la onda asociadas con cambios importantes en la sección con variaciones de la altura del flujo (p.e. la inundación de areas grandes a lado y lado del canal principal). Ninguna de estas restricciones se aplica en el caso de alcantarillados. Consideremos nuevamente el problema resuelto anteriormente:

PROBLEMA Determine la hidrógrafa de salida de la hoya simplificada que se muestra en la figura, cuando cae sobre el area de drenaje una precipitación como la mostrada en la gráfica. Los números arriba de las flechas indican el area en hectareas drenada por cada colector. Las longitudes y propiedades hidráulicas de las tuberías se consignan en la tabla de cálculos. ESQUEMA DEL COLECTOR

4.2

0

4.5

5.1

4.3

4.5

3.5

2.5

1

2

3

4

5

6

4.0

7

HIDROGRAFA DE LA TORMENTA

5.1

3.4

4.2

2.8

4.1

8

9

10

11

12

13


101

35 30 25

Intensidad 20 mm/Hr 15 10 5 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

Tiempo (Minutos)

En la solución del problema por el método Muskingum-Cunge se ha despejado la velocidad de onda de la relación lineal existente entre area y caudal, desarrollada para la teoría del almacenamiento lineal: A A f

=

0.756

Q Qf

+ 0.119 =>

δ Q δ A

=

1

Q f

0.756 A f

=

1.323V f

La velocidad del agua en la tubería llena, V f , se calcula utilizando la ecuación de Manning: V f

=

1  D  N  4 

2

3

s

1

2

Nótese que con esta simplificación el valor de K coincide con el valor determinado para el parámetro k utilizado en la metodología del almacenamiento lineal. Para el cálculo del factor Ø se ha utilizado una anchura de la lámina de agua b representativa del flujo en la mayor parte de condiciones de caudal ( b = 0.85D). En la gráfica se muestran las hidrógrafas encontradas a la salida del tramo 5-6 y al final del emisario. Las gráficas han sido normalizadas, dividiendo por el area de drenaje asociada y expresando el resultado en mm/hr para comparar la dispersión de las hidrógrafas con la de la tormenta de diseño. Se incluyen en trazado gris las curvas correspondientes encontradas utilizando el método del almacenamiento lineal.

102


35 30 25 20 i mm/hr 15 10 5 0 0

1

2

3

4

5

6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Tiempo (min)


aqui va la hoja de excel

103

104


4. CALIDAD DEL AGUA 4.1. ________________________________________________________________ EQUILIBRIO DE REACCIONES QUIMICAS Supongase un proceso químico en el cual dos especies A y B reaccionan para convertirse en dos productos C y D:

 → C + D A + B ←

4. 1

La doble flecha indica la posibilidad de que el proceso se revierta al encontrarse en el mismo lugar una molécula de C con una de D. La factibilidad del proceso reverso puede ser muy baja, dependiendo de las características termodinámicas del proceso; se considera para dar mayor generalidad al análisis siguiente. A medida que la reacción se desarrolla después de poner en contacto las especies A y B, las concentraciones de los reactivos disminuyen mientras que las de los productos se incrementan. Algunas moléculas de los productos, sinembargo, se encontrarán en el espacio para revertir el proceso y convertirse nuevamente en los reactivos A y B. Después de transcurrido cierto tiempo los "flujos" en las dos direcciones de la reacción se igualan, alcanzandose un estado de equilibrio dinámico en el cual las concentraciones se mantienen constantes en el tiempo. En este caso las derivadas de todas las concentraciones con respecto al tiempo se vuelven cero. Supongase que después de alcanzar estas condiciones se incrementa externamente la concentración del reactivo A. Al aumentar la cantidad de moléculas de A se incrementa la probabilidad de que las moléculas de B se encuentren en un punto del espacio con ellas (Este encuentro es necesario para que la reacción se desarrolle. La "Magnitud" de las flechas de la reacción dependerá de que tan factible es que las moléculas reaccionen una vez se encuentren). Esto hace que la reacción "prospere" hacia la derecha, desapareciendo algo de B y aumentando las concentraciones de C y D. Algo similar ocurre cuando se aumenta la concentración de B en el medio; en este caso algo de A desaparece para convertirse en los


105

productos C y D. La probabilidad de que una molécula de A ocupe un sitio determinado del espacio es proporcional al número de moléculas de A presentes en el medio; esto es, proporcional a su concentración. Otro tanto ocurrirá con las moléculas del compuesto B. La probabilidad de que una de A y una de B coincidan en el mismo sitio del espacio será proporcional al producto de las probabilidades debido a que los eventos son totalmente independientes. La probalilidad de que las moléculas de A y B se encuentren es proporcional al producto de sus concentraciones. La cantidad de reactivos que se convierte en productos por unidad de tiempo será también proporcional a esta probabilidad. La magnitud de la constante de proporcionalidad es función de la viabilidad termodinámica de la reacción. La cantidad de A y de B que aparece por efectos de la reacción "reversa" será proporcional al producto de las concentraciones de B y C en el medio en el cual ocurre la reacción. En estas condiciones la tasa de cambio de la concentración del reactivo A se puede calcular como: d [A] dt

= − k 1[ A ][ B ] + K 2 C [ ][ D ]

4. 2

Los paréntesis indican concentraciones de los diferentes compuestos. En las condiciones de equilibrio de la reacción la tasa de cambio deberá ser igual a cero y por lo tanto:

−K 1[ A ][ B ] + K 2 C [ ][ D ] =

0

C D ⇒ [ ][ ] =

[ A ][ B ]

K 1 K 2

=

K Equilibrio

4. 3

La constante de equilibrio de la reacción depende únicamente de los valores de k1 y k2, los cuales dependen únicamente de las propiedades termodinámicas de las reacciones directa y reversa. Es por lo tanto independiente de las concentraciones de productos y reactivos y función de la temperatura. Los efectos ocasionados por las variaciones de concentración de alguna de las cuatro especies químicas se explican cuantitativamente analizando la condición de equilibrio. Al aumentar la concentración de A, por ejemplo, se reduce la de B y aumentan las de C y D para mantener la igualdad matemática. Analogamente, al disminuir las concentraciones de productos (C y D) deben reducierse las concentraciones de A y de B al tiempo que tiende a mitigarse la reducción en la concentración de C y D con el producto de la reacción de A y B. En la gráfica siguiente se muestra la variación de las concentraciones de B y C como función de las concentraciones de A en el

106


medio en el cual ocurre la reacción. 1

C y B e d n ó i 0.1 c a r t n e c n o C 0.01 0.001

0.1

10

1000

Concentración de A

4.2. ________________________________________________________________ EL PH (POTENCIA DE CONCENTRACIÓN DE HIDRÓGENOS) La concentración de iones hidrógeno define una serie de propiedades importantes del agua. A un pH bajo (Alta concentración de hidrógenos) la mayoría de materiales de construcción se disuelve en el agua, generandose problemas de corrosión. Al contrario, en condiciones alcalinas el agua tiende a depositar material calcareo que obstruye las tuberías. El pH afecta todas las reacciones químicas en las cuales se ven involucrados los iones hidrógeno. + La acidez (Iones H ) convierte los iones insolubles que forman el material de construcción en iones solubles que son removidos por las lluvias: CO3=

+ H+   →

HCO3−

4. 4

PO4≡

+ H+   →

HPO4=

4. 5

La corrosión ácida de los metales ocurre como consecuencia de la formación de corrientes de electrones que oxidan los metales, al ponerlos


107

en contacto con los iones hidrógeno del agua que tienen mayor avidez por los electrones del metal que el metal mismo:

Oxidación del Hierro 0

Fe

++

Fe

+ 2e

-

Reducción del Hidrógeno 2H

+

+ 2e

-

H2

Flujo de Electrones

Formación de celdas de oxidación - reducción

Por esta razón funciona un fenómeno de naturaleza eléctrica llamado “protección catódica”. La estructura de metal que se quiere proteger del ambiente húmedo y ácido se conecta por medio de un cable a un bloque de un metal que se oxide con mayor facilidad. De esta manera, cuando el hidrógeno le robe los electrones al hierro, este a su vez absorberá los del metal al cual está conectado. El proceso es muy similar al que ocurre en una batería, en la cual se generan electrones en procesos de oxidación reducción. Las tasas de corrosión de los metales dependen de los contenidos de humedad del aire y de la temperatura. La resistencia estructural de los metales también se reduce como consecuencia del ataque químico de la atmósfera. De acuerdo con la ecuación presentada más adelante, una pequeña fracción de las moléculas de agua se rompe para formar iones hidrógeno e hidroxilo:

 → H + H 2O ←

+ OH −

4. 6

Esta reacción de disociación-asociación se caracteriza por tener una constante de equilibrio definida por la siguiente relación:

108


[ H + ][OH − ] = [ H2O]

4. 7

K eq.

Teniendo en cuenta que en la mayoría de los casos la cantidad de agua disociada es mínima, la concentración de agua es prácticamente inalterable y puede involucrarse como una constante en la ecuación:

[H + ][ OH − ] = [H 2O ]

K Eq

⇒ [H + ][ OH − ] = [H 2O ]K Eq =

10−14 (T = 25° C )

En el caso del agua químicamente pura los iones hidrógeno e hidroxilo provienen en su totalidad de la disociación de moléculas de agua y sus concentraciones serán iguales (medidas en moles o en número de moléculas por unidad de volumen). Para esta condición especial se puede despejar la concentración de iones hidrógeno: 2 [H + ][ OH − ] = [H + ] =

10−14

⇒ [H + ] =

moles 10−7 lt

4. 8

Por razones de conveniencia en el manejo algebráico de los términos y a la forma en que los aparatos electrónicos registran la concentración de iones hidrógeno, se prefiere hacer referencia a ella en forma logarítmica, definiendo la potencia de la concentración de hidrógenos ( La pH?):

= − log10 [H + ]

pH

4. 8

Para las condiciones de neutralidad anteriormente se encuentra un valor del pH:

= − log10 [H + ] = − log10 (10−7 ) =

pH

7.0

del

agua

analizadas

4. 9

La concentración de iones hidroxilo se puede despejar de la ecuación de equilibrio: −

[OH ]

=

10−14 [H + ]

4. 10

Esto quiere decir que aún cuando las concentraciones de iones hidrógeno son muy altas (Bajo valor del pH) existen en el agua iones hidroxilo. La relación predice un decrecimiento de la concentración de hidroxilos a medida que se incrementa la de hidrógenos.


109

4.3. ________________________________________________________________ ALCALINIDAD La alcalinidad y la acidez se pueden definir como la resistencia que ofrece el agua a las variaciones del pH; la alcalinidad mide la resistencia a la acidificación y es causada por especies químicas que absorben iones hidrógeno, como los hidróxidos, los carbonatos y bicarbonatos: OH − + H +

←  →H 2O

4. 11

CO 3= + H +

←  → HCO 3−

4. 12

HCO 3− + H +

←  → H 2CO 3

4. 13

De la misma forma, la acidez del agua es generada por la presencia de especies que absorben iones hidroxilo o liberan iones hidrógeno (ver química del sulfato de aluminio). La acidez y la alcalinidad son propiedades importantes para el tratamiento, debido a que afectan todas las reacciones en que participan los iones hidrógeno o hidroxilo. Especificamente los procesos de coagulación con sulfato de aluminio (sulfato de aluminio) y cal (óxido o hidróxido de calcio); la remoción de calcio y magnesio con adición de cal y soda (Carbonato de sodio), y la desinfección con cloro interfieren con el equilibrio ácido-base del agua e interfieren con la alcalinidad y acidez. Las especies consumidoras de hidrógenos que se encuentran con mayor frecuencia en el agua son las relacionadas con los carbonatos, los cuales absorben la acidez del agua de acuerdo con las últimas reacciones descritas. Existe una importante relación entre el pH y las especies carbónicas predominantes. A medida que la concentración de hidrógenos aumenta (baja el pH) los carbonatos se convierten en bicarbonatos (ver teoría del equilibrio químico). Si la concentración de hidrógenos se eleva lo sificiente se formará ácido carbónico el cual a su vez se descompone para liberar gas carbónico en forma de burbujas (Esta es la razón por la cual el limón causa efervescencia en las gaseosas). Una buena cantidad de iones hidrógeno se consume en el proceso de conversión. El agua rica en especies carbónicas presentará una alta resistencia a la acidificación ( alta alcalinidad), debido a que una parte importante de los iones hidrógeno que se introduzcan al agua desaparecerá consumida por los carbonatos y bicarbonatos. A una temperatura de

110


25°C las constantes de equilibrio de la disociación del ácido carbónico tienen los siguientes valores:

[ H + ][ HCO− ] = 3

[ H2 CO3 ]

[ H + ][CO= ] = [ HCO− ] 3

=

K 1

K 2

10 − 6.35

4. 14

. 10 −1033

=

4. 15

3

Cuando la concentración de iones hidrógeno es igual a K 1 (pH = 6.35 = pK de la reacción), se igualan las concentraciones de bicarbonatos y ácido carbónico:

[HCO 3− ] =

[H 2CO 3 ]

K 1 [H + ]

=

1

4. 16

Este será el "punto de quiebre" de la reacción; si se aumenta la concentración de hidrógenos (bajando el pH) habrá más ácido carbónico que bicarbonatos. Si se aumenta el pH habrá mayor cantidad de bicarbonatos. Algo similar ocurre con la ecuación de disociación del segundo hidrógeno. Cuando el pH del agua es 10.33 la concentración de hidrógenos será igual a la constante K2 y la concentración de carbonatos será igual a la de bicarbonatos. Si el pH crece por encima de ese valor aumenta la concentración de carbonatos. Si el pH desciende los carbonatos se convierten en bicarbonatos. Este comportamiento es característico de los iones provenientes de los "ácidos débiles". Estos iones, a diferencia de los provenientes de "ácidos fuertes", tienen afinidad química por los iones hidrógeno. El resultado es que si la concentración de hidrógenos en el agua es relativamente alta, los iones en cuestión comenzarán a absorberlos. Algo similar ocurre con los compuestos alcalinos. Existen Bases fuertes que liberan muy facilmente los hidroxilos contenidos en la molécula, y bases débiles que tienen mayor afinidad por ellos. A continuación se definen las características de algunos compuestos:

ACIDOS FUERTES (Aniones altamente solubles) Sulfúrico

H2 SO4

Clorhídrico

HCl

 →

 →

H

2H+

+

+

Cl

+

SO4= −

(Ión Sulfato) (Ión Cloruro)


111

(Ión Nitrato)  → H + + NO3− BASES FUERTES (Cationes altamente solubles) Nítrico

HNO3

→ Na + Soda Cáustica NaOH 

OH −

+

Cal (Apagada) Ca(OH2 )  → Ca ++

2OH −

+

ACIDOS DEBILES (Cationes poco solubles) Carbónico

Fosfórico

H2 CO3

 →

H+

+

HCO3−

HCO3

−

 →

H

+

+

CO3

(Ión Carbonato)

H3 PO4

 →

H+

+

H2 PO4−

(Ión F. diácido)

H2 PO4−

 →

H+

+

HPO4=

(Ión F. monoácido)

=

 →

HPO4

H

+

(Ión bicarbonato)

=

≡

+

(Ión ortofosfato)

PO4

BASES DEBILES Hidróxido de Aluminio Al(OH )3

 →

Al(OH ) 2+

+

 →

Al(OH )

Al(OH )2

Al(OH ) ++

 →

Al +++

OH −

+

++

+

+

−

OH

OH −

Hidróxido Férrico Fe(OH )3

 →

Fe(OH ) 2+

Fe(OH )2+

 →

Fe(OH ) ++

Fe(OH ) ++

Amoníaco

NH3

+

 → H+

Fe +++

  →

OH −

+

+

NH4+

+

OH −

OH −

(Ión Amonio)

112


________________________________________________________________ CUANTIFICACION DE LA ALCALINIDAD Todos los iones provenientes de la disolución de bases y ácidos débiles interfieren con el equilibrio ácido-base del agua, generando resistencia a las variaciones en el pH. El agua sin estos iones (por ejemplo el agua destilada) no ofrece resistencia a las variaciones del pH; todos los iones hidrógeno o hidroxilo agregados externamente aparecerán en el agua alterando el pH. Es posible utilizar las ecuaciones de equilibrio para calcular las cantidades de carbonatos, bicarbonatos y ácido carbónico a medida que se va alterando el pH. Siendo A la concentración de ácido carbónico, B la de bicarbonatos, C la de carbonatos y H la de hidrógenos: HC B HB A

=

K 2

4. 17

=

K 1

4. 18

Adicionalmente es necesario tener en cuenta que a pesar de que unas especies carbónicas se convierten en otras, la cantidad total permanece constante: A

+

B

+

C

=

4. 19

T 0

Utilizando las tres ecuaciones anteriores, se despeja la siguiente expresión para la concentración de bicarbonatos: B

=

T 0

1

+

H K 1

+

K 2

4. 20 H

En la siguiente tabla se han calculado las concentraciones de todas las especies relacionadas, a intervalos regulares del pH, para una cantidad total de especies carbónicas de 2. En las penúltima columna se ha calculado la cantidad de ácido que se debe agregar al agua pura para llegar al correspondiente pH. Esta es el incremento en la concentración de iones hidrógenos, con respecto a la situación inicial, a la cual se agrega la diferencia en la concentración de iones hidroxilos, los cuales se deben neutralizar con parte del ácido que se agrega. En la última columna se calculan las cantidades de ácido necesarias, para llegar al valor del pH correspondiente, en el agua con los


113

carbonatos. En este caso es necesario agregar las cantidades de hidrógenos que se consumen en la conversión de carbonatos a bicarbonatos, y de bicarbonatos a ácido carbónico. En la siguiente gráfica se muestran las curvas. Nótese la poquísima resistencia que exhibe el agua pura a las variaciones del pH alrededor de la neutralidad, debida a que el pH es una función logarítmica. pH

H

14.0 1.000E-14 13.5 3.162E-14 13.0 1.000E-13 12.5 3.162E-13 12.0 1.000E-12 11.5 3.162E-12 11.0 1.000E-11 10.5 3.162E-11 10.0 1.000E-10 9 .5 3.162E-10 9 .0 1.000E-09 8 .5 3.162E-09 8 .0 1.000E-08 7 .5 3.162E-08 7 .0 1.000E-07 6 .5 3.162E-07 6 .0 1.000E-06 5 .5 3.162E-06 5 .0 1.000E-05 4 .5 3.162E-05 4 .0 1.000E-04 3 .5 3.162E-04 3 .0 1.000E-03 2 .5 3.162E-03 2 .0 1.000E-02 1 .5 3.162E-02 1 .0 1.000E-01 0 .5 3.162E-01 0 .0 1.000E+00

OH 1.000E+00 3.162E-01 1.000E-01 3.162E-02 1.000E-02 3.162E-03 1.000E-03 3.162E-04 1.000E-04 3.162E-05 1.000E-05 3.162E-06 1.000E-06 3.162E-07 1.000E-07 3.162E-08 1.000E-08 3.162E-09 1.000E-09 3.162E-10 1.000E-10 3.162E-11 1.000E-11 3.162E-12 1.000E-12 3.162E-13 1.000E-13 3.162E-14 1.000E-14

CANTIDADES Cantidades de ácido Carbonato Bicarbonato Ac.Carb Neutra Con Carb. 2.000E+00 1.999E+00 1.996E+00 1.987E+00 1.958E+00 1.873E+00 1.648E+00 1.193E+00 6.373E-01 2.575E-01 8.918E-02 2.895E-02 9.108E-03 2.759E-03 7.641E-04 1.732E-04 2.888E-05 3.661E-06 4.000E-07 4.120E-08 4.160E-09 4.173E-10 4.177E-11 4.178E-12 4.178E-13 4.179E-14 4.179E-15 4.179E-16 4.179E-17

4.275E-04 1.351E-03 4.267E-03 1.343E-02 4.186E-02 1.267E-01 3.523E-01 8.067E-01 1.362E+00 1.741E+00 1.907E+00 1.957E+00 1.947E+00 1.865E+00 1.634E+00 1.171E+00 6.175E-01 2.475E-01 8.552E-02 2.786E-02 8.894E-03 2.821E-03 8.930E-04 2.825E-04 8.933E-05 2.825E-05 8.934E-06 2.825E-06 8.934E-07

9.571E-12 9.566E-11 9.552E-10 9.508E-09 9.372E-08 8.966E-07 7.886E-06 5.711E-05 3.050E-04 1.233E-03 4.268E-03 1.386E-02 4.359E-02 1.320E-01 3.657E-01 8.289E-01 1.382E+00 1.752E+00 1.914E+00 1.972E+00 1.991E+00 1.997E+00 1.999E+00 2.000E+00 2.000E+00 2.000E+00 2.000E+00 2.000E+00 2.000E+00

0.000 0.684 0.900 0.968 0.990 0.997 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.001 1.003 1.010 1.032 1.100 1.316 2.000

0.000 0.685 0.904 0.981 1.031 1.123 1.351 1.806 2.363 2.743 2.915 2.984 3.034 3.129 3.365 3.828 4.382 4.752 4.914 4.972 4.991 4.997 5.000 5.002 5.009 5.031 5.100 5.316 6.000

Una medida de la resistencia a la acidificación, o alcalinidad , es la cantidad de ácido que hay que agregar para llegar hasta el último quiebre (punto de cambio de color del anaranjado de metilo). Debido a que en la mayoría de los casos el pH de aguas superficiales y subterraneas se encuentra cercano a la neutralidad, el contenido de carbonatos e hidróxidos es muy bajo. La alcalinidad "natural" está casi siempre asociada al contenido de bicarbonatos, los cuales absorben acidez para convertirse en ácido carbónico. La cantidad de hidrógenos que se requieren para neutralizar una especie química depende de dos cosas: de su concentración y de el número

114


de hidrógenos que se requieren para neutralizar cada ión. Por esta e sta razón la alcalinidad causada por cada anión se mide en equival equivalent entes es, resultado de multiplicar el número de moles (proporcional al número de iones) por el número de hidrógenos que se requieren en la neutralización del ión (igual al estado de valencia).

alcalinidad de hidróxidos

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0.0

alcalinidad de carbonatos

alcalinidad de bicarbonatos

Agua con carbonatos

fenolftaleina

Anaranjado de metilo

Agua sin carbonatos

1 .0

2.0

3.0

4.0

5 .0

6.0

Cantidad de ácido Siendo m el peso molecular del ión, v su estado de valencia y c su concentración en gramos por litro, la alcalinidad aportada por un anión será: A

=

C v m

=

C m v

=

C

" peso equivalent equivalentee"

4. 21

Se consigue el mismo resultado al dividir la concentración en gramos por litro ( C) por un peso peso equivale equivalente nte, resultado de dividir el peso molecular por su estado de valencia. Desafortunadamente la práctica de la Ingeniería Sanitaria ha recurrido a la oscura costumbre de referirse al contenido de alcalinidad en términos de "concentración como Carbonato de Calcio", la cual es el resultado de multiplicar la concentración en equivalentes por el peso equivalente del carbonato de calcio: 50. Consideremos el ejemplo de una muestra de agua que ha arrojado en


115

un análisis químico una concentración de 428 mg/lt de iones bicarbonato. Cual será la alcalinidad asociada, expresada como carbonato carbonato de calcio? En equivalentes por litro la alcalinidad será:

Alc .

=

[HCO 3− ] en mg lt

−

Peso equivalente del HCO 3

=

428 mg lt 61 gm eq

=

7.03 meq . lt

4.23 Para expresarla como carbonato de calcio es necesario considerar que cada equivalente de alcalinidad pesa lo mismo que un equivalente de carbonato de calcio (50 gms/Eq.): Alc .

meq .   50 gm  = =  7.03 lt   eq  

352 mg lt Como CaCO 3

4.24

4.3.1. 4.3.1. NEUTRALI NEUTRALIDAD DAD ELECTRI ELECTRICA CA Las especies químicas con cargas eléctricas no neutralizadas por la absorción o cedencia de electrones son altamente reactivas. Reciben el nombre genérico de radicales y generalmente reaccionan con otras especies presentes en el medio para formar compuestos neutros de naturaleza iónica o covalente; su tiempo de permanencia en el ambiente es extremadamente corto. En condiciones naturales todos los compuestos en contacto con el agua son estables, sin carga eléctrica neta. Esto hace que por cada carga positiva que resulte de la solución de una sal en el agua entrará una carga positiva proveniente de la molécula hidratada. El número total de cargas eléctricas asociadas con los cationes (iones positivos) será igual al número de cargas asociadas con los aniones. El número de moles de un ión, de acuerdo con la ley de Avogadro, es proporcional al número de iones contenidos en el agua. Al multiplicar la cantidad de moles por el número de cargas aportado por cada ión, se obtiene una medida de las cargas eléctricas asociadas; vale decir, la concentración en equivalentes por litro es proporcional a las cargas eléctricas. Al ser el agua eléctricamente neutra, la suma de las concentraciones de cationes debe ser igual a la suma de las concentraciones de aniones, cuando todas se expresan en equivalentes por litro. Esta propiedad se puede y debe verificar en los análisis fisicoquímicos que se le hacen al agua. En caso de que no se cumpla algunas concentraciones pueden estar equivocadas, o falta por determinar la concentración de algún ión adicional presente en el agua.

116


El análisis de la electroneutralidad se ilustra en la siguiente tabla. Las primeras cuatro columnas contienen la información necesaria para calcular el peso equivalente de cada ión. La quinta columna contiene la concentración de cada ión en mg/Lt, tal y como se reporta en los resultados del ensayo fisicoquímico. La sexta columna es la concentración en equivalentes por litro, resultado de dividir la concentración en mg/Lt por el peso equivalente. La última columna contiene las sumas. ION Calcio Magnesio Sodio Bicarbonato S ulfato Cloruro

Peso Valencia Peso Concentración SUMAS Molecular Equiv ale nte mg/lt me q/lt 40.0 24.3 23.0 61 61.0 96.0 35.4

2 2 1 1 2 1

20.00 12.15 23.00 61.00 48.00 3 5 .4 0

120 30 10 428 10 50

6. 6.00 2.47 0.43 7.02 0.21 1.41

8. 8 .90

8.64

La diferencia entre el contenido de cationes y aniones es lo suficientemente pequeña para ser aceptable.

4.4. ____________________________ ___________________________________________ _____________________________ _____________________ _______ CALIDAD DEL AGUA DE CONSUMO Los costos asociados con la construcción del sistema de distribución son mucho mayores que los asociados con el tratamiento. Por esta razón la solución mas económica para suministrar agua para usos diferentes es la construcción de un solo sistema de distribución, por el cual se suministra agua adecuada al uso público que requiere mejor calidad. El uso público que requiere mas alta calidad es el consumo humano directo; el agua no debe ser vehículo de gérmenes patógenos, debe tener un sabor agradable al paladar y debe ser estéticamente atractiva para el consumo. Algunas industrias, especialmente las de producción de bebidas, deben realizar tratamientos adicionales para acondicionar el agua a sus necesidades. Con algunos problemas menores, el agua químicamente pura es apta para el consumo humano. La solubilización de gases atmosféricos, la meteorización de rocas y minerales, la actividad biológica y la contaminación introducen al agua materia "extraña", la cual puede desmejorar su calidad desde el punto de vista del consumo. De acuerdo con el tamaño del material extraño en el agua, este se divide en dos categorías: material disuelto (iones y moléculas) y material en suspensión


117

(partículas). Las normas norteamericanas para agua potable (Environmental Protection Agency) son las siguientes:

Inorgánicos Arsénico Bario Cadmio Cromo Plomo Mercurio Nitrato (N) Selenio Plata Fluor

0,05 1 0,01 0,05 0,05 0, 002 10 0,01 0,05 (T>90.5°F) 1,4

Organoclorados Endrín Lindano Methoxychlor Toxafeno

0,0002 0,004 0 ,1 0,005

Clorofenoles 2,4-D 0 ,1 2,4,52,4,5-TP TP (Silvex (Silvex)) 0,001

Otros orgánicos Trihalometanos

0 ,1

Normas estéticas Turbiedad 1 (Media mensual) Cloruros 2 50 Color 15 Cobre 1 Corrosividad No corrosiva Ag. espumantes 0,5 Hierro 0 ,3 Manganeso 0,05 Olor 3 (Umbral de olor) pH 6,5 - 8,5 Sulfatos 2 50 Sólidos Dis Disueltos 500 Zinc 5

118


4.5. ________________________________________________________________ OTRAS PROPIEDADES CONFERIDAS AL AGUA POR LOS SOLIDOS DISUELTOS

4.5.1. DUREZA La Dureza es una propiedad química causada por la presencia de cationes polivalentes. Estos reaccionan con las moléculas de jabón formando compuestos insolubles que se precipita formando un residuo de color blanquecino durante un proceso de lavado. El agua "blanda" permite un lavado facil, con muy poco jabón. El agua dura consume jabón antes de permitir la formación de espuma e iniciar la acción detergente. Los iones responsables de la dureza del agua son normalmente el calcio y el magnesio; menos frecuentemente el Hierro, el Estroncio y el Manganeso. Los cationes polivalentes llegan al agua al fluir esta por estratos de rocas moderadamente solubles. Por esta razón la dureza es un problema típico de las aguas subterraneas. Durante los meses de sequía, cuando las corrientes superficiales se nutren principalmente de aguas freáticas, la dureza y el contenido de especies disueltas en el agua tiende a aumentar. Los detergentes sintéticos responden mucho menos a la dureza del agua, debido a que contienen aditivos (fosfatos, por ejemplo) que teniendo mayor afinidad por los iones calcio y magnesio los precipitan, evitando la formación de precipitados a partir de las moléculas de detergente. La presencia de iones calcio conjuntamente con iones bicarbonato genera incrustaciones de material calcareo en calderas, tuberías de agua caliente y en ollas y utensilios en que se hierva el agua, al evaporarse el gas carbónico. Esto trae como consecuencia la desaparición de iones hidrógeno del agua, necesarios para la formación del gas a partir de iones bicarbonato. El resultado es el incremento del pH que favorece la formación decarbonatos que se precipitan con los iones calcio (Ver capítulo referente a alcalinidad):

 → H 2CO 3 CO 2 + H 2O ←

4. 22

H 2CO 3

←  → H + + HCO 3−

4. 23

HCO 3−

←  → H + + CO 3=

4. 24


119

Se han utilizado un gran número de unidades de dureza. Las unidades mas utilizadas en este lado del Atlántico son miligramos por litro como Carbonato de calcio, el cual resulta de multiplicar por 50 la concentración en equivalentes de la suma de cationes responsables (ver sección 5.6, Alcalinidad). En Europa se han utilizado varias unidades diferentes (Clark o grado Inglés, Grado Francés, Grado alemán, Granos por galón etc.), lo cual indica la falta de una medida de facil definición y utilización. En el futuro seguramente se trabajarán como unidades de dureza la suma en miliequivalentes por litro de los iones responsables. Sinembargo hoy en día el criterio de calidad conocido como dureza tiende a desaparecer, para ser remplazado por las concentraciones de cada uno de los cationes polivalentes que la causan. El consumo de jabones naturales y la obstrucción de tuberías puede llegar a ser de tal magnitud que para ciertas comunidades resulta económicamente atractivo remover la dureza en la planta de tratamiento. Tradicionalmente los métodos de remoción han sido de naturaleza química, agregando compuestos que generan precipitados de Carbonato de calcio e hidróxido de magnesio. Ca

++

Mg++

=

+

CO3

  →

+

2OH −

  →

CaCO3 Mg(OH )2

4. 25 4. 26

En las últimas décadas se ha puesto de moda la utilización de Zeolitas y resinas de intercambio iónico. Cuando el agua dura entra en contacto con un lecho granular de uno de estos compuestos se efectúa un intercambio de iones entre el agua y el sólido; la resina rica en iones sodio los cede al agua y absorbe iones calcio. ZeNa 2 + Ca ++

←  → ZeCa + 2Na +

4. 27

Después de cierto tiempo de operación se acaba la capacidad de intercambio de la resina; esta puede regenerarse con un baño de una solución altamente concentrada de cloruro de sodio. La diferencia de concentraciones entre la fase líquida y la resina "empuja" ahora los iones sodio hacia la ella, desplazando los iones calcio absorbidos durante el ciclo de operación del sólido: ZeCa + Na +

←  → ZeNa 2 + Ca ++

4. 28

Existe evidencia de que el consumo de agua moderadamente dura podría reducir la incidencia de enfermedades cardiovasculares. Por otra

120


parte se sospecha que el consumo excesivo de calcio asociado con suministros de aguas duras puede favorecer la formación de cálculos renales. La dureza admisible en aguas de uso industrial depende del tipo de industria. El caso mas frecuente es el de la alimentación de calderas para producción de vapor; cuando se utilizan aguas subterraneas para este fín casi siempre es necesario "suavizar" el agua haciendola fluir a través de un lecho de intercambio iónico. Por otra parte la dureza como tal no tiene ninguna importancia en la utilización del agua para riego. Sinembargo, las concentraciones de calcio y magnesio influencian la capacidad de intercambio de iones sodio con el suelo. Si el contenido de sodio en el agua es alto comparado con los de calcio y magnesio, suelos ricos en arcillas pueden absorber los iones y reducir la permeabilidad. El suelo se "desflocula", perdiendo la estructura de grumos que permite la aireación y el flujo de agua, y se vuelve una masa gredosa compacta. La dificultad del movimiento del agua reduce considerablemente la fertilidad del suelo. Para definir la tendencia del agua a intercambiar iones sodio con el suelo se ha desarrollado un coeficiente semiempírico, la relación de absorción de sodio R.A.S. (S.A.R. en la literatura en Inglés), el cual se define de la siguiente manera: R . A. S .

=

[Na + ] 0.5 ([Ca ++ ] + [Mg ++ ])

4. 29

Todas las concentraciones están en equivalentes. Algunos cultivos de frutas son sensibles a R.A.S. del agua de riego del orden de 4; valores hasta de 18 pueden ser considerados aceptables. Sinembargo debe tenerse presente que el contenido y tipo de arcillas presentes en el suelo juegan un papel fundamental en la capacidad de absorción y en el efecto de los iones.

4.5.2. HIERRO El hierro es el cuarto elemento mas abundante en la corteza terrestre. Es un elemento escencial para el desarrollo de la vida en el planeta, requerido igualmente por plantas y animales. En algunos cuerpos de agua la carencia de hierro es el factor limitante para el crecimiento de las poblaciones de algas y plantas; como estas son la fuente de alimentación de los demás eslabones de la cadena biológica el lago tendrá muy poca productividad. El hierro es componente vital de la


121

hemoglobina, la sustancia gracias a la cual el oxígeno es transportado a las células de todos los vertebrados, y algunos invertebrados. El hierro puede estar disuelto en forma de ión ferroso bivalente. Sinembargo ell oxígeno de la atmósfera lo oxida con relativa facilidad a ión férrico trivalente el cual es para efectos prácticos insoluble. La presencia de hierro divalente (Disuelto) es frecuente en agua extraida de pozos profundos o de las capas inferiores de un embalse, en donde la falta de oxígeno favorece la formación del ión ferroso soluble a través de procesos catalizados por bacterias. En estas condiciones anaeróbicas el azufre proveniente de la materia orgánica en descomposición se encuentra en su forma reducida, ión sulfuro, el cual tiene afinidad por los iones metálicos. La ausencia de oxígeno conduce a la formación de sulfuro ferroso (FeS), el cual es responsable del color negro de los lodos minerales que se depositan en el fondo de lagos y corrientes sin oxígeno. Una vez se pone en contacto con el oxígeno atmosférico, el hierro se oxida cediendo un electrón al oxígeno para convertirse en ión férrico: 2Fe ++

+

1  → 2Fe +++ O 2 ← 2

O = + H +

+ O =

←  → OH −

4. 30 4. 31

El ión férrico tiene un alto grado de afinidad con los iones hidroxilo del agua, y se "hidrata" rápidamente para formar el hidróxido correspondiente, poco soluble y altamente incrustante. Las tuberías que conducen agua de pozo oxigenada transportan un sedimento rojizo y desarrollan en poco tiempo una incrustación de color amarillo rojizo característico:

 → FeOH ++ + H + Fe ++ + + H 2O ← FeOH ++

+ H 2O ←  → Fe (OH )2+ + H + +

 → Fe (OH )3 + H + Fe (OH )2 + H 2O ←

4. 32 4. 33 4. 34

En cultivos regados con esta agua incrustante se sellan los poros del suelo impidiendose la aireación y el paso del agua. La piscicultura se v e adversamente afectada por el hierro debido a que los óxidos e hidróxidos forman suspensiones de partículas gelatinosas que se depositan en las agallas de los peces impidiendo la respiración. En lagos y corrientes el material puede compactarse en el fondo con el paso del tiempo, formado costras muy resistentes que acaban con el

122


desarrollo normal de la vida béntica (Huevos de truchas y salmones, invertebrados, plantas etc.), y con los demás seres vivos que interactúan con ella. En ausencia de oxígeno (por ejemplo en las capas inferiores de agua en un lago, en los sedimentos de un cuerpo de agua o en aguas subterraneas), la carencia de oxígeno favorece la reducción del ión férrico a ión ferroso. De esta forma los compuestos férricos precipitados en condiciones aeróbicas se solubilizan generando nuevamente los problemas asociados con el hierro disuelto. Existen unos generos muy especializados de bacterias, Crenothrix, Leptothrix y Gallionella que obtienen energía biológica de la reacción de oxidación del hierro ferroso a férrico. En condiciones de ausencia de luz y concentraciones relativamente bajas de oxígeno estas bacterias pueden formar grandes masas de lama de color pardo rojizo; el color está asociado a los precipitados que se forman inmediatamente ocurre la oxidación. Paralelamente se reduce la capacidad hidráulica de las tuberías, y se taponan los orificios de salida del agua. Aparecen problemas de olores y sabores asociados con la descomposición de la masa de bacterias. El primer indicio de su presencia es la aparición de materia orgánica rojiza mal oliente en el agua drenada de hidrantes, tanques y puntos muertos de las tuberías. En pozos contaminados con crecimientos de estas bacterias puede requerirse el tratamiento con sulfato de cobre, hipoclorito de sodio, agua oxigenada, permanganato de potasio u otro agente desinfectante. Muchos agentes desinfectantes son poderosos oxidantes que convierten los iones ferrosos a férricos, incrementando la capacidad de incrustación del agua. El oxígeno contenido en el agua puede oxidar el hierro de las tuberías y accesorios, solubilizandolo en forma de iones ferrosos. Estos iones sufren una oxidación posterior depositandose en puntos localizados mas adelante del punto de corrosión. El oxígeno genera paradójicamente corrosión e incrustación de las tuberías metálicas. En ausencia de oxígeno el agente receptor de los electrones donados por el hierro al convertirse en ión ferroso puede ser el ión hidrógeno. Los iones hidrógeno atrapan los electrones, para convertirse en hidrógeno molecular gaseoso, como se mencionó anteriormente: Fe 0

←  → Fe ++ + 2e −

2H + + 2e −

←  → H 2

4. 35 4. 36

La mejor forma de prevenir la corrosión es forzar la formación de una delgadísima capa de material protector contra la superficie interna de las


tuberías. Esto se puede lograr manipulando el pH para generar especies incrustantes, como se verá en el capítulo de estabilización química, o agregando esporádicamente compuestos precipitables como fosfatos, silicatos o silice activada. Otros efectos del hierro en el agua son la aparición de manchas de un color amarillo rojizo en la porcelana sanitaria y en la ropa después del lavado. Concentraciones moderadas de hierro imparten al agua un sabor metálico desagradable. La manera mas económica de remover el hierro ferroso es la aireación por goteo sobre bandejas de fondo permeable llenas de carbón, el cual sirve como agente catalizador de la oxidación. El precipitado resultante se puede remover por sedimentación. Algunos compuestos provenientes de la descomposición del material vegetal (Sustancias Húmicas) poseen una gran capacidad de absorción de cationes. Esta propiedad es responsable de la retención de nutrientes como el calcio, potasio y magnesio en la capa de humus de un suelo saludable. Igualmente puede ser retenido el hierro ferroso, impidiendo su oxidación. El agua que contenga este tipo de hierro "orgánico", medido en el ensayo de hierro total pero no en el de hierro soluble, debe tratarse no por aireación, sino por coagulación convencional para remoción del material en suspensión. El cuerpo humano adulto requiere para sus necesidades metabólicas unos 2 mg/día de hierro. El límite de hierro total aceptado como norma para agua potable es 0.3 mg/lt, para evitar el sabor metálico y prevenir los fenómenos descritos anteriormente, y no por consideraciones de toxicidad.

4.5.3. MANGANESO El manganeso es un micronutriente escencial para el desarrollo de la vida animal y vegetal. La carencia del metal puede afectar el crecimiento y desarrollo de las plantas. Una dieta pobre en manganeso puede desmejorar la capacidad reproductiva de los animales, y ocasionar deformidades y mal desarrollo en los animales jóvenes. Por otra parte altas concentraciones de manganeso pueden ser tóxicas para el ser humano. Los problemas derivados de la presencia de manganeso en el agua son muy similares a los causados por el hierro. Altas concentraciones pueden producir problemas de sabor, y las ropas se manchan de un color pardo oscuro o negro después del lavado. La porcelana sanitaria se mancha de un color pardo oscuro o negro. La forma manganosa, soluble, está presente en el agua falta de

123

124


oxígeno. La aireación permite la oxidación a la forma mangánica, bastante insoluble. El manganeso es menos frecuente que el hierro en la corteza terrestre, y por ello las concentraciones suelen ser mucho menores que las del hierro. Los dos elementos casi siempre se encuentran juntos en el agua, generando problemas similares. El límite aceptable para agua potable ha sido fijado en 0.05 mg/lt. En concentraciones del orden de 1mg/lt el manganeso en las aguas de riego puede ser tóxico para las plantas, especialmente en suelos con un pH menor de 6.0.

4.5.4. SULFATOS Y SULFUROS En concentraciones superiores a los 250 mg/lt la presencia de iones sulfato confiere al agua propiedades laxantes, especialmente en individuos no acostumbrados a su consumo. Sinembargo hay muchos lugares en el mundo con suministros con concentraciones por encima de 1000 mg/lt, sin evidencia de deterioro en la salud de los usuarios. Dada la altísima solubilidad de los sulfatos, es imposible removerlos del agua por precipitación química. Los únicos procesos disponibles en la actualidad para su remoción son bastante costosos: Intercambio iónico, Osmosis invertida, electrodiálisis o destilación. Los sulfatos alcanzan los cuerpos de agua naturales, especialmente las aguas subterraneas, al disolverse el yeso y otros minerales que los contienen. La explotación de minerales también puede producir grandes cantidades de sulfatos, el exponer a la acción del oxígeno atmosférico los sulfuros contenidos en la mena del mineral y en los estratos adyacentes. La acción de unos especializados géneros de bacterias convierte el ácido sulfhídrico (debil) en ácido sulfúrico (Fuerte): H 2S + 2O 2

  → H 2SO 4

4. 37

Los sulfatos casi siempre están presentes en el drenaje de las pilas de desechos de las explotaciones mineras. Su formación va acompañada de un dramático descenso del pH, debido a que el ión sulfato no tiene ninguna afinidad por los iones hidrógeno. Los hidrógenos asociados con los iones bisulfuro y el ácido sulfhídrico se liberarán en su totalidad cuando el anión pase de sulfuro a sulfato. Otra fuente de iones sulfato es la descomposición aeróbica de la materia orgánica, específicamente de la descomposición de proteinas ricas en los aminoácidos cistina y cisteina. En ausencia de oxígeno, bacterias reductoras aprovechan los oxígenos del ión para oxidar la materia orgánica. Los sulfuros resultantes de la reducción de los sulfatos pueden precipitar iónes metálicos, formando


125

lodos inorgánicos de color negro característico: Fe ++

+ S =   → FeS

4. 38

Cuando existen condiciones moderadamente ácidas en el agua los iones sulfuros se convierten en ácido sulfhídrico, generando problemas de olores cuando el gas escapa a la atmósfera: S = + H +

←  → HS −

HS − + H +

←  → H 2S

4. 39 4. 40

Nótese que los iones sulfuro contienen cierto grado de alcalinidad. El ácido sulfhídrico y los sulfuros son tóxicos para la vida acuática.

4.5.5. AMONIACO, NITRITOS Y NITRATOS Debido a su falta de reactividad, el nitrógeno atmosférico disuelto en el agua no le confiere ninguna propiedad importante, salvo por la sobresaturación de gases mencionada anteriormente y que puede ser fatal para los buzos cuando la descompresión es muy rápida. El amoníaco, y su forma soluble, el ión amonio; los nitritos y nitratos generan una serie de reacciones en el equilibrio biológico de un cuerpo de agua que pueden afectar seriemante su potabilidad y tratabilidad. El amoníaco es el resultado de la descomposición de una gran variedad de compuestos orgánicos, principalmente las proteinas. El gas es tóxico para los peces y los pequeños crustaceos que forman el zooplancton. La dosis letal para exposiciones cortas puede ser de apenas 0.2 mg/lt para algunas especies. En condiciones de abundancia de iones hidrógeno (pH moderadamente bajo), se convierte en iones amonio y se solubiliza perdiendo su toxicidad:

 → NH 4+ NH 3 + H + 

4. 41

Cuando el pH del agua sube como consecuencia de la extracción de gas carbónico por las algas, se producen burbujas de amoníaco y se produce la muerte de los peces, principalmente la de los salmónidos. Especies mas resistentes pero menos explotables económicamente, como las carpas, se adueñan de los lagos y lagunas en las cuales se producen crecimientos desmesurados de algas. La actividad desarrollada por los géneros de bacterias Nitrosomonas

126


y Nitrobacter oxida el amoniaco a nitritos y nitratos. En presencia de oxígeno las mencionadas bacterias pueden extraer energía biológica de la reacción: NH 3

Nitrosomonas + O 2    → NO 2 + H 2O + H +

4. 42

NO 2−

Nitrobacterias + O 2    → NO 3−

4. 43

Los iones nitrato son la fuente principal del nitrógeno requerido por las plantas para la síntesis de proteinas, bases orgánicas y ácidos nucléicos. Después del carbono, el oxígeno y el hidrógeno, el nitrógeno es el elemento mas comunmente encontrado en las moléculas orgánicas. Las principales fuentes de nitratos en el agua son: -

Oxidación de amoniaco proveniente de la descomposición de materia orgánica (Aguas Negras, Basureros, residuos orgánicos industriales).

-

Oxidación del nitrógeno atmosférico por fuegos y descargas eléctricas naturales.

-

Escorrentía de terrenos que por erosión pierden la capa fertil.

-

Escorrentía de tierras de cultivo en las cuales se utilizan abonos químicos.

Se encuentran altas concentraciones de nitratos en pozos y abrevaderos a los cuales llegan la infiltración de pozos sépticos y la escorrentía sobre pastos y areas que almacenen materias fecales. En algunos casos los nitratos son reducidos a nitritos en el tracto intestinal de los mamíferos, para posteriormente ser absorbidos por el torrente sanguineo. La hemoglobina de la sangre reacciona directamente con los iones nitritos para formar un compuesto denominado metemoglobina, reduciendo la capacidad de transporte de oxígeno de la sangre. La enfermedad resultante, metemoglobinemia, puede ser fatal en niños menores de 3 meses. Por esta razón se ha fijado un límite máximo de 10 mg/lt para el nitrógeno en forma de nitrátos en el agua. Por otra parte nitritos y nitratos son altamente solubles (No tienen afinidad por los cationes), lo cual hace imposible su precipitación química. El tratamiento convencional del agua no remueve cantidades apreciables de nitratos y nitritos. Algunas especies de peces son altamente sensibles al contenido de nitratos el agua. Los salmónidos pueden verse afectados por


concentraciones del orden de 0.1 mg/lt. La presencia de cantidades excesivas de nitratos (y/o fosfatos) en los cuerpos de agua puede desatar una serie de acontecimientos catastróficos para cuerpos de agua naturales. En primer lugar ocurre una explosión en las poblaciones de algas en el agua. Súbitamente el agua se colorea fuertemente (Verde oscuro, verde claro o marrón), enturbiandose simultaneamente. Paralelamente se produce un aumento del pH (Hasta 11 o 12), como consecuencia de la absorción de gas carbónico por las algas. El efecto se hace mas notorio durante las horas de luz, cuando se desarrolla la fotosíntesis, y a medida que avanza la estación seca. La sobreproducción de oxígeno puede llegar a tales extremos que se encuentren concentraciones del doble de las concentraciones de saturación en el agua. Finalmente las algas empiezan a morir. Grandes cantidades de aceites almacenados por las células se liberan, y aparece una capa de nata aceitosa de apariencia desagradable. En esta fase del proceso la putrefacción acaba con el oxígeno del agua y sobreviene la muerte de los pescados; la superficie se llena de cuerpos muertos. El agua burbujea como consecuencia de los gases producidos por la descomposición de la materia muerta. Después de acabado el oxígeno, grandes poblaciones de bacterias utilizan los oxígenos contenidos en los iones nitrato para oxidar la materia orgánica muestra. El resultado de esta denitrificación es la formación de burbujas de nitrógeno molecular, con el subsiguiente retorno a la atmósfera. La anoxia (falta de oxígeno) puede llegar a extremos tales que la oxidación se realiza utilizando sulfatos, con la generación de sulfuros y ácido sulfhídrico, o incluso gas carbónico, generandose metano. Grandes masas de lodo se desprenden del fondo y llegan a la superficie empujadas por los gases en formación. Los elevados valores del pH contribuyen a la muerte de los peces, al convertirse los iones amonio en gas amoníaco tóxico. Paralelamente a la desaparición de los pescados ocurre la muerte de los crustaceos y demás organismos que forman el zooplancton, los cuales representaban el único control que podría tener la creciente población de algas. Biológicamente el cuerpo de agua pierde estabilidad después de la aparición del fenómeno conocido como Eutroficación. La eutroficación genera sabores y olores en el agua. Aparecen problemas de tratabilidad, debido al mayor contenido de materia orgánica, de turbiedad y de aceites. Tradicionalmente se ha utilizado para el control de las algas el sulfato de cobre, el cual se dosifica en pequeñas dosis al comienzo de la estación seca para prevenir el crecimiento descontrolado de las algas. Mas prudente como medida de largo plazo es el control de las fuentes de nutrientes: nitratos y fosfatos.

127

128


4.5.6. FOSFATOS Las principales fuentes de fosfatos a los cuerpos de agua son actualmente las aguas negras domésticas, la escorrentía producida en cultivos en los cuales se usan fertilizantes y algunas industrias, incluidas las del agro en las cuales se generan grandes cantidades de residuos fecales animales. La mayoría de los fosfatos presentes en las aguas negras domésticas provienen de los detergentes sintéticos, a los cuales se les agregan como aditivos para mejorar la acción de limpieza. En el caso de detergentes para lavadoras de platos los fosfatos representan la mayor parte del detergente. Las materias fecales también son ricas en fosfatos y por si solas pueden generar eutroficación de cuerpos de agua. Los fertilizantes químicos utilizados en la explotación agrícola intensiva son sales solubles de Nitratos, Fosfatos y Potasio. Las aguas lluvias pueden transportar grandes cantidades de estos nutrientes, especialmente cuando los fertilizantes se usan en cantidades mayores a las requeridas por los cultivos. En aguas dedicadas al consumo humano, la presencia de fosfatos puede ser perjudicial para la remoción del material en suspensión utilizando sulfato de aluminio como agente coagulante. Los iones fosfato y aluminio tienen afinidad el uno por el otro, y se precipitan con facilidad en forma de fosfato de aluminio. Esta propiedad incrementa las cantidades de sulfato de aluminio que deben utilizarse en el tratamiento. En los paises industrializados se ha llegado a remover los fosfatos presentes en el efluente de las plantas de tratamiento de aguas negras, con el fin de prevenir la eutroficación que podría generarse en los cuerpos de agua receptores. Uno de los métodos de tratamiento es precisamente la adición de Sales de aluminio.

 → 2 Al +++ + 3SO 4= Al 2 (SO 4 )3 ←

4. 44

Al ++ + + PO 4≡

4. 45

←  → AlPO 4

Los fosfatos confieren alcalinidad al agua debido a que absorben iones hidrógeno: PO 4≡ + H +

←  → HPO 4=

4. 46

HPO 4= + H +

←  → H 2PO 4−

4. 47

H 2PO 4− + H +

←  → H 3PO 4

4. 48


Debido a esta propiedad son utilizados como amortiguadores de pH en varias aplicaciones ("buffers", en inglés, o "Tampones" (!), según la terminología mejicana). La solubilización de fosfatos ocurre en la boca de los seres humanos. Los ácidos orgánicos generados por bacterias que se nutren de las azucares que quedan después de la comida reaccionan con los fosfatos que forman los dientes, disolviendolos y generando caries. Aunque no pueden establecerse reglas generales al respecto, el nutriente cuya ausencia limita el crecimiento de algas en los cuerpos de agua dulce es casi siempre el fosforo. En agua de mar es mas frecuente la carencia de nitratos.

4.5.7. SALINIDAD La mayor fracción de los sólidos disueltos en el agua está normalmente compuesta de los iones cloruro, sodio y potasio, y se denomina genéricamente salinidad. Los principales efectos de un elevado contenido de estos iones son el sabor salado y problemas de tensión arterial alta. Dosis diarias de sodio por encima de 500 mg pueden ser críticas para individuos con alta presión sanguinea; el incremento de iones en la sangre genera una mayor retención de líquidos que se traduce en un incremento de la presión sanguinea. La remoción del sodio del agua de consumo, así como la de cualquier especie disuelta, es extremadamente costosa. Donde sea posible es mejor recurrir a otra fuente de agua, mas lejana o profunda, en lugar de someter una fuente salada a tratamiento. Por otra parte se encuentra en la literatura evidencia de que concentraciones de NaCl del orden de 60 mg/lt puede representar el umbral de detección del sabor salado en el agua. El límite aceptable para agua potable parece estar alrededor de 250 mg/lt de cloruros. Los cloruros no tienen efectos fisiológicos adversos; en algunos sitios del mundo se han consumido aguas con cencentraciones de 1000 mg/lt de cloruros sin efectos en la salud. Concentraciones del orden de 700 mg/lt en el agua de consumo pasan desapercibidas para la mayor parte de los seres humanos.

4.5.8. COBRE Pequeñas cantidades de cobre en el agua pueden promover la corrosión de la tubería de acero galvanizado utilizada en sistemas de suministro, al atacar el recubrimiento de aluminio y zinc. Por otra parte la ingestión de sales de cobre es poco peligrosa para la mayoría de los seres humanos. Dosis de 60 a 100 mg causan síntomas de gastroenteritis,

129

130


nausea e irritación del intestino. Se encuentra en la literatura un caso de gastroenteriris en Inglaterra causado por la preparación de te con agua proveniente de una fuente altamente corroida. Se ha sabido sin embargo que algunos trabajadores de la industria del cobre han absorbido cantidades suficientes para que el pelo y la piel se coloreen de verde, sin mostrar sintomatología de intoxicación. El sulfato de cobre se utiliza con mucha frecuencia en el tratamiento del agua para prevenir los crecimientos de algas. A pesar de que en concentraciones altas puede ser tóxico para los peces, el cobre en concentraciones menores de 1 mg/lt puede prevenir el desarrollo de las algas y la generación de malos olores y sabores asociados con su descomposición.

4.5.9. GASES DISUELTOS Los gases que componen el aire se disuelven en cantidades variables en el agua. Hay unos totalmente inertes, cuya presencia en el agua no ocasiona ningún efecto mensurable. Por otra parte el oxígeno disuelto desarrolla la oxidación de los metales con los cuales el agua entra en contacto, generando problemas de corrosión. En lo posible debe evitarse el exceso de aireación. El gas carbónico, generado por la respiración de la mayoría de células del planeta, interactúa con el agua para formar un ácido muy debil, el ácido carbónico:

 → H 2CO 3 CO 2 + H 2O ←

4. 49

H 2CO 3

←  → H + + HCO 3−

4. 50

HCO 3−

←  → H + + CO 3=

4. 51

Los bicarbonatos y carbonatos resultantes en el agua pueden precipitar los iones calcio en tuberías que conduzcan agua caliente (Ver Dureza). A la temperatura normal del ambiente los carbonatos de calcio pueden manipularse químicamente para formar una delgadísima capa sobre la parde de las tuberías, que prevenga la acción de especies oxidantes y corrosivas como el oxígeno o el cloro. Posteriormente se cuantificará el problema en el capítulo sobre estabilización química. Otros gases proveniente de la actividad biológica son el amoníaco, resultante de la descomposición de proteinas y bases orgánicas, y el ácido sulfhídrico, resultante de la descomposición de proteinas y de la reducción


131

biológica de los iones sulfatos:

 → CO 2 + H 2SO 4 + S = + ... M . Orgánica + SO 4= 

4. 52

La presencia de amoníaco juega un papel importante en los fenómenos que ocurren cuando se fertiliza un cuerpo de agua (Ver Eutroficación). La sobresaturación de cualquier gas en el agua puede dar lugar a la formación de burbujas dentro del torrente sanguineo de los peces. Las burbujas obstruyen los vasos sanquineos de menor tamaño produciendo la muerte del animal por embolia. El problema puede presentarse también en los invertebrados (zooplancton), pero a concentraciones mayores que las que causan la muerte de los vertebrados. Los peces mas sensibles al fenómeno son los salmónidos: truchas y salmones. Las causas de la sobresaturación pueden ser varias:

• Altos niveles de fotosíntesis de algas, que sobresaturan el agua de oxígeno.

• Aireación en las Rápidas de Embalses y en obras de disipáción de energía en las cuales el agua atrapa burbujas de aire que son llevadas a profundidades en las cuales la presión es bastante alta, con concentraciones de saturación mucho mayores que las existentes en la superficie.

• Contaminación térmica, que al elevar la temperatura reduce la concentración de saturación de todos los gases en el agua, generando saturación con las concentraciones anteriores a la contaminación.

132


5. COAGULACION 5.1. ________________________________________________________________ SUSPENSIONES COLOIDALES Los materiales del tamaño de las arenas se remueven fácilmente del agua puesto que su velocidad de sedimentación es considerable. El material muy fino, correspondiente a las arcillas principalmente, tiene velocidades de sedimentación tan lentas, que cualquier corriente causada por diferencias de densidad o por vientos muy suaves impide su sedimentación. Más aún: existe una fuerza de repulsión entre ellas que les impide agrgarse para formar partículas mayores, debido a que la mayoría absorbe cargas negativas. Las arcillas, bacterias y muchos compuestos orgánicos exhiben esta propiedad. La presencia de este material "coloidal" en el agua le confiere una apariencia lechosa denominada turbiedad. La razón de este fenómeno es que las partículas son tan pequeñas que no pueden absorber los fotones de radiación luminosa, pero son lo suficientemente grandes como para hacerles cambiar de dirección. La luz se dispersa, generando en el agua la apariencia neblinosa característica del agua con arcillas en suspensión. Se denomina coagulación al proceso de remoción del material suspendido por medio de sales y compuestos orgánicos que promueven la formación de partículas grandes a partir de las más pequeñas. El agua entra a este proceso cargada de material en suspensión de muy pequeño tamaño, el cual poco a poco se agrega en partículas grandes, visibles a simple vista, que pueden removerse en una unidad de sedimentación.

5.2. ________________________________________________________________ DESESTABILIZACION POR COMPRESION DE LA CAPA DE REPULSION Cuando el agua se enriquece de iones las cargas negativas de la superficie de las partículas de arcilla atraen los iones positivos, neutralizando la carga a su alrededor; los iones negativos se dispersan en


133

la solución. Una vez neutralizadas las cargas superficiales es posible que las partículas se acerquen lo suficiente para que fuerzas muy fuertes pero de distancia de acción muy corta, denominadas fuerzas de Van der Walls, las unan. Este proceso puede ser promovido por una agitación controlada del agua que favorezca el contacto de unas partículas con las otras. La turbiedad de los ríos se coagula y precipita cuando estos desembocan en el mar, debido al elevado contenido de sales del agua y a la agitación permanente de la masa de agua. Experimentalmente se encuentra que entre más cargas positivas tenga un ión, más efectivo es en la neutralización de las cargas negativas presentes en la superficie de las partículas. La ley experimental de Hardy - Schultze predice que por cada carga positiva adicional, el potencial coagulante de la sal correspondiente se multiplica unas treinta veces. Las sales ideales para efectuar la neutralización son las de aluminio y hierro férrico, las cuales al disolverse en el agua generan cationes trivalentes:

 → 2 Al +++ Al 2 (SO 4 )3 ←  → Fe +++ Fe Cl 3 ←

+

3SO 4=

+ 3Cl −

5.3. ________________________________________________________________ DESESTABILIZACION POR INMERSION EN UN PRECIPITADO DE CARGA CONTRARIA Algunos compuestos cuando son agregados al agua forman suspensiones cargadas positivamente. El mismo ión aluminio forma especies químicas con cargas positivas al reaccionar con el agua:

 → Al (OH )++ + H + Al ++ + + H 2O ←  → Al (OH )2+ + H + Al (OH )+ + H 2O ←  → Al (OH )3 + H + Al (OH )+ + H 2O ← Al precipitarse el hidróxido - Al(OH)3, que termina por aparecer en el agua, la suspensión resultante se carga positivamente. Las partículas de arcilla cargadas negativamente son rodeadas por una nube de partículas en formación cargadas positivamente. El precipitado químico arrastra consigo al material coloidal, inmerso en una nube de carga contraria. Nótese que los iones sulfato cargados negativamente ayudan a precipitar

134


el hidróxido. El mismo proceso ocurre con el ión férrico, y en mucho menor grado con el calcio.

5.4. ________________________________________________________________ ADICION DE POLIMEROS Algunas moléculas orgánicas contienen un número gigantesco de cargas positivas. La molécula de polidialildimetilamonio mostrada más adelante puede llegar a tener un peso molecular de centenas de miles, y varios millares de cargas positivas asociadas. Si estas moléculas se agregan en pequeñas dosis, las partículas cargadas negativamente se adherirán a ella formando flóculos de mayor tamaño. Los polímeros, sinembargo, tienen el problema de que, agregados en exceso, pueden convertir la suspensión negativa en una cargada positivamente. El exceso de polímeros re-estabiliza la suspensión. Los polímeros aniónicos tienen cargas negativas, y son utilizados como ayudantes del proceso de floculación cuando se forma un precipitado de hidróxidos. Los no - iónicos son ideales para desestabilizar las emulsiones de grasas, por las cuales tienen una gran afinidad. Finálmente los amfolíticos, que se cargan positiva o negativamente, tienen un comportamiento que depende del pH. Si el contenido de iones hidrógeno es muy alto, los hidrógenos se absorben y la molécula se carga positivamente. Si es muy bajo, los hidrógenos se pierden y dejan detrás una carga negativa. En un rango intermedio de pH pueden llegar a funcionar de las dos maneras. CATIONICOS

ANIONICOS

Polidialildimetilamonio n

CH2 CH

CH2

CH2

N CH2

n CH2

CH

+

Acido Poliacrílico

CH2

CH2

O

CH C OH


135

NO IONICOS

AMFOLITICOS

Polióxido de etileno n CH2

CH

NH

CH CO NH

CH CO

n

O ( CH 2 )4 NH3 +

( CH2 )2 C

O

OH

5.5. ________________________________________________________________ QUIMICA DEL SULFATO DE ALUMINIO Aplicando la teoría de equilibrio del capítulo anterior, se pueden extraer varias conclusiones del sistema de reacciones del Sulfato de Aluminio con el agua:

 → 2 Al +++ Al 2 (SO 4 )3 ←

+

3SO 4=

 → Al (OH )++ + H + Al ++ + + H 2O ←  → Al (OH )2+ + H + Al (OH )+ + H 2O ←  → Al (OH )3 + H + Al (OH )+ + H 2O ←  → AlO 2− + H 2O + H + Al (OH )3 ← A.

B.

La hidratación del Sulfato de Aluminio produce iones hidrógeno que acidifican el agua. El Sulfato de Aluminio es por lo tanto un compuesto ácido y corrosivo que tiende a disolver el material de construcción y los metales no protegidos. Los tanques de almacenamiento y las lineas de conducción de las soluciones de Sulfato de Aluminio deben ser de plástico. Si el agua contiene especies químicas que absorban los iones hidrógeno generados, el punto de equilibrio tenderá a correrse hacia la

136


derecha y hacia abajo en todas las reacciones. La hidratación prospera y termina por generar el hidróxido de aluminio precipitable. Las especies neutralizadoras de hidrógenos que se pueden encontrar en el agua son los iones hidroxilos, carbonatos, bicarbonatos, fosfatos, silicatos y otros aniones similares. La especie neutralizadora mas frecuente es el ión bicarbonato, debido a la solución de carbonatos inorgánicos y al gas carbónico aportado al agua por la actividad biológica. Las siguientes reacciones ilustran la naturaleza de la neutralización desarrollada por los compuestos carbónicos: CO 3= HCO 3−

 → HCO 3− H + ←

+ +

H + ←  → HCO 3−

Si el agua contiene alcalinidad y la hidratación prospera, las impurezas suspendidas se remueven por arrastre dentro del precipitado de hidróxido de aluminio cargado positivamente. No se presenta reestabilización de la suspensión por exceso de coagulante, y la concentración de partículas no es muy importante puesto que la sedimentación del hidróxido es independiente de la cantidad de partículas. C.

Si el agua no tiene alcalinidad la hidratación del Sulfato de Aluminio no prospera igual. Las especies químicas predominantes serán las resultantes de las reacciones intermedias. Estas, debido a su naturaleza iónica, no se precipitan. A partir de estos iones se forman polihidróxidos de aluminio cargados positivamente (Ver figura). En este caso la remoción de la turbiedad es idéntica a la que se produce cuando se agregan polímeros al agua, existiendo el peligro de reestabilizar la suspensión por un exceso de coagulante o por exceso de agitación. La concentración inicial de partículas en el agua es importante para conseguir un floc de cierta sedimentabilidad, dado que entre mas partículas haya originalmente mas facilmente pueden crecer los agregados en formación. El agua mas dificil de tratar es la que tiene baja alcalinidad y bajo contenido de partículas.


H2O

OH OH (H2O)4 Al

OH Al

OH

137

OH Al

OH H2O

OH Al

OH OH

H2O

OH

OH Al

OH H2O

OH Al

OH OH

H2O

OH

OH Al

OH H2O

Al(H2O)4 OH

OH

D.

Las soluciones de Sulfato de Aluminio se pueden conservar siempre y cuando sean concentradas. Al aumentar la cantidad de agua de dilución las reacciones avanzan hacia la derecha, dado que el agua participa como un reactivo, y se puede formar el hidróxido de aluminio que se precipita y escapa de la solución. El efecto se acentúa con el tiempo haciendo que las soluciones diluidas y viejas tengan malas propiedades coagulantes.

E.

Existe una dependencia entre la cantidad de Sulfato de Aluminio agregado al agua y el contenido de material en suspensión no removido que tiene la forma mostrada en la figura.

2,5 2,0

s e l a u 1,5 d i s e R 1,0 S S

Sin Alcalinidad

Con Alcalinidad

0,5 0,0 0

1

2 3 4 Concentración de coagulante

5

6

5.6. ________________________________________________________________ FLOCULACION

138


Una vez incorporados los agentes químicos en el proceso de mezcla rápida, es necesario agitar controladamente la masa de agua para favorecer los choques entre partículas necesarios para formar flocs de diametro mayor, los cuales serán removidos en la sedimentación. Es necesario generar un gradiente de velocidades en la masa de agua que permita que diferencias de velocidad de las partículas las llevan a colisionar entre si. Para la determinación de los parámetros que definen la calidad de la floculación, considerese una suspensión de partículas de diámetro d. En la figura siguiente se muestra la situación asociada con el movimiento de dos de ellas, una de las cuales se toma como punto de referencia. Si las diferencias de velocidad y las trayectorias hacen que sus centros pasen a una distancia menor que la suma de sus radios, se producirá colisión entre ellas. Esto define una circunferencia de diámetro 2d, la cual se desplaza conjuntamente con la partícula de referencia (Ver figura). 2x

∆V

= y

δv δy

∆y 2d

d

V

En la mitad superior de la circunferencia la velocidad de las capas de agua es mayor que la de la partícula, y se producirá un paso de agua desde atrás hacia adelante. En la mitad inferior la velocidad del agua es menor que la de la partícula, y hay un flujo neto hacia atrás. La cantidad de agua que atraviesa por esta circunferencia por unidad de tiempo depende de la diferencia de velocidades entre su centro y la lámina de agua. Para el diferencial de area realzado en negro se puede establecer que la cantidad de agua que pasa por unidad de tiempo es: dQ

=

vdA

 ∂ v  =  y  ( 2 x dy ) =  ∂y 

∂v y ∂y

2

r 2 − y 2 dy


139

En la mitad inferior de la circunferencia el agua pasa con una dirección diferente, debido a que la velocidad de la lámina es menor que la de la partícula (por efectos del gradiente). Con el fin de evitar que al integrar este caudal se anule con el que atraviesa la mitad superior, se integra entre 0 y r, y se multiplica por 2: r

Q

∂v = 2 ∫ 2 y ∂y 0

2

r

− y

2

dy

∂v r = 4 ∫ y ∂y 0

r 2 − y 2 dy

=

4 ∂v 3 d 3 ∂y

El gradiente de velocidades se puede sacar de la integral debido a que se trabaja con un gradiente promedio para toda la masa de agua. En algunos casos problemáticos esta consideración no se cumple; en sistemas bién operados la mezcla es uniforme en todo el volumen de floculación y la suposición tiene validez. Por convención el gradiente de velocidades se representa con la letra G. La cantidad de agua que pasa entonces en un tiempo t por la superficie circular será entonces:

∆V =

4 Gd 3 ∆t 3

Siendo N el número de partículas por unidad de volumen de agua, la cantidad de partículas que han pasado en el tiempo ∆t por la circunferencia será: # Partículas

=

# Colisiones

=

4 NGd 3 ∆t 3

El número de choques que habrá sufrido la partícula será igual al número de partículas que pasan por la circunferencia de diámetro 2d. El crecimiento de las partículas, fundamental para conseguir la sedimentación del material suspendido, depende directamente del número de colisiones. De la ecuación se ve que el volumen total de partículas (proporcional al producto entre N y el diámetro al cubo) influye proporcionalmente en la calidad de la floculación. Esto quiere decir que el proceso es mejor entre mas material en suspensión. Igualmente importante es el producto entre G y ∆t (Gradiente de velocidades y tiempo de floculación). Este es un parámetro adimensional que se ha propuesto como parámetro de diseño debido a que al no tener unidades no se ve influenciado por ninguna dimension. Del anterior análisis se desprendería que entre mas alto sea el

140


gradiente de velocidades, mejor será la floculación. Existe sinembargo un límite máximo asociado con la resistencia al corte del floc en formación; los esfuerzos generados por altos gradientes pueden romperlos. En procesos en los cuales estos son resistetes (remoción de dureza con el proceso calsoda o floc de hidróxido de aluminio) se puede trabajar con altos gradientes y mayor eficiencia. El floc que se forma cuando la alcalinidad es baja y el agua tiene poco material en suspensión es poco resistente y debe trabajarse con gradientes bajos.

5.6.1. CONSUMO DE ENERGIA El proceso de agitación consume energía, debido a la necesidad de vencer las fuerzas de viscosidad que frenan el movimiento del agua. Para el cálculo de la energía requerida para mantener un gradiente de velocidades promedio, se analiza un pequeño volumen de agua sobre el cual actúan los esfuerzos de corte asociados. Para facilitar el desarrollo se ha asumido que el gradiente de velocidades existe en la dirección vertical.

τ

∆z

v + ∆v

∆x ∆y

τ

v

De acuerdo con la definición de viscosidad: τ

=

µ

∂v = ∂y

µ G

La energía introducida al agua dentro del paralelepípedo en un tiempo ∆t es igual al trabajo desarrollado por las fuerzas de corte en las caras


141

superior e inferior del volumen:

Trabajo

=

∑ (F • ds )

=

τ ( ∆x ∆z )( v + ∆v ) ∆t − τ ( ∆x ∆z )v ∆t

Energía t∆ x∆z∆ v∆t ∆y = = τG∆V = µG2 ∆V ∆t ∆y Tiempo Para unas condiciones de agitación totalmente uniformes en todo el volumen de floculación la potencia requerida por unidad de volumen será igual a: Potencia

=

Potencia de Agitación Volumen

=

µ G 2

La ecuación permite encontrar la cantidad de energía mecánica o hidráulica que debe convertirse en agitación para conseguir un gradiente de velocidades determinado. Existen dos tipos diferentes de floculación. En la floculación mecánica la agitación se introduce al flujo utilizando paletas accionadas por motores eléctricos; en los floculadores hidráulicos se inducen en el flujo altas pérdidas de energía por cambios de velocidad que llevan asociado un grado proporcional de turbulencia.

5.6.2. FLOCULADORES MECANICOS Para el cálculo de la potencia eléctrica que debe convertirse en agitación en un floculador mecánico, se debe analizar primero la magnitud de la fuerza que debe accional las paletas dentro del agua. De acuerdo con la teoría de mecánica de fluidos, esta fuerza será: F

=

v 2 C D Aρ 2

Si la superficie de las paletas está orientada perpendicularmente al movimiento, el coeficiente de arrastre C D depende solamente de la forma del area. Los otros términos de la ecuación son el area de la superficie en movimiento, la densidad del fluido y la velocidad relativa de la superficie con respecto al fluido. La potencia necesaria para mantener el movimiento, energía por unidad de tiempo, será:

142


P

=

Fv

=

CD Aρ

v3 2

El proceso de diseño de floculadores mecánicos parte de los siguientes parámetros de diseño: -

Gradiente de velocidades y tiempo de floculación.

-

Temperatura (influye en la cantidad de energía al alterar la viscosidad).

-

Forma de las paletas (C D).

-

Velocidad de las paletas relativa al agua (No puede ser muy alta porque generaría gradiente locales de velocidad muy altos que romperían los flocs en formación)

5.6.3. FLOCULADORES HIDRAULICOS Un floculador hidráulico es una estructura en la cual se generan pérdidas hidráulicas que se convierten en turbulencia. Siendo h las pérdidas hidráulicas en la estructura de floculación, la energía de posición perdida por un volumen de agua ∆ V al recorrer la unidad será:

∆E =

h ∆W

=

h ρ g∆ V

La potencia hidráulica, o energía de posición convertida en turbulencia por unidad de tiempo, será entonces: Potencia

=

∆E = ∆t

h ρ g∆ V ∆t

=

Q ρ gh

En los floculadores de mamparas las pérdidas se producen forzando al flujo a cambiar de dirección un sinúmero de veces. La cabeza de velocidad se pierde y debe ser generada en cada codo de la estructura.


143

d

v

2

v

1

v

1

b

PLANTA DE UN CANAL DE MAMPARAS Suponiendo que se pierde toda la cabeza de velocidad al llegar al codo y que debe generarse nuevamente después de dar la vuelta, las pérdidas serán: v 12 v 22 + (m − 1) + Pérdidas por fricción contra las paredes 2m 2 g 2 g

=

h total

En la ecuación anterior m es el número total de mamparas. Debido a las relaciones que se encuentran entre las velocidades v1 y v2 en floculadores diseñados de acuerdo a las normas, se pueden calcular las pérdidas utilizando solamente una de las dos velocidades: v 12 + Pérdidas por fricción contra las paredes 3.2 m 2 g

=

h total

Las pérdidas por fricción contra las paredes, que también generan turbulencia, se pueden calcular utilizando la ecuación de Manning: h f

=

L

(nv )

2

4

r 3

El proceso de diseño de floculadores hidráulicos parte de los siguientes parámetros de diseño: -

Gradiente de velocidades y tiempo de floculación, que determinan la calidad de la floculación.

144


-

Temperatura (influye en la cantidad de energía al alterar la viscosidad).

-

Velocidad del agua (Si es muy grande, el gradiente localizado en los codos puede ser muy alto; si es muy baja los flocs se pueden depositar en el mismo floculador, en donde no hay sistemas de recolección y manejo de lodos.

-

Relaciones geométricas entre las variables que definen la geometría del floculador, para prevenir un comportamiento hidráulico poco favorable. Especificamente se recomienda que la relación entre b y d (ver figura) no sea demasiado grande, para prevenir que la turbulencia solamente afecte la zona aledaña al codo, generandose zonas muertas en la parte central de los canales: 5

b d

≤

≤

10

PROBLEMA Diseñe un floculador mecánico para tratar 100 lt/seg con los siguientes parámetros de diseño: G = 50/seg I. V

II.

Tiempo de Foc. = 30 Min

T = 15°C (µ = 0.012 gm/cm/seg)

Volumen de Floculación:

=

QT

 lts   60 seg   1 mt 3  =  100 30 min   = min   1000 lt   seg   

180 mt 3

Potencia de Agitación:

P = µ G 2V = 0.012

gm 2500 kg 3 100 cm = 550 Vatios mt 180 ( ) cm − seg seg 2 mt 1000 gm

III. Area de las paletas, con velocidad de las paletas de 0.6 mt/seg, y considerando la velocidad del agua con respecto a las paletas como el 75% de la velocidad de las paletas. El valor del coeficiente de arrastre se ha tomado como 1.8 (Depende de la forma de las paletas): P

=

550

=

v3 CD Aρ 2

3

=

kg [(0.75)(0.6)] (1.8A)(1000) 3 mt 2


145

De donde se despeja un área de 6.58 metros cuadrados.

PROBLEMA Diseñe un canal de Mamparas para tratar el mismo flujo del problema anterior, con los mismos parámetros de diseño. De todas las variables geométricas e hidráulicas asociadas con la unidad en funcionamiento, se deben seleccionar como parámetros de diseño las que influyan sobre la calidad del proceso. La profundidad, por ejemplo, es poco importante, mientras que la velocidad del agua es fundamental. Para este diseño se ha seleccionado un valor de 0.2 mt/seg, de acuerdo con las normas. Al mantener los mismos requisitos de caudal, tiempo de retención y gradiente de velocidades los requisitos de volumen y potencia son iguales a los del problema anterior. A partir del segundo punto el problema se desarrolla de la siguiente manera: P

h

=

550

=

v 12 3.2 m 2 g

⇒

⇒

b

=

mb

=

v 1T

Q ρ gh

⇒

m

=

h

=

550 Vatios mt 3 1000 kg mt 0.1 9.81 ( ) seg mt 3 seg 2

gh 1.6v 12

=

=

0.55 mt .

84

0.2 30 60 = ( )( )( ) = 84

4.28 mt

Adoptando una relación b/d = 5:

b d

Q

=

=

5

vA

⇒

=

d

vyd

=

⇒

b 5

y

=

=

4.28

Q vd

5

=

=

0.85 mt . mt 3 0.1 seg mt 0.2 ( 0.85 mt ) seg

=

0.59 mt

A continuación se puede verificar la suposición de que las pérdidas hidráulicas por fricción contra las paredes del canal son despreciables comparadas con las introducidas por los codos. Para ello se utiliza la ecuación de Manning; se adopta un valor de n = 0.013 para las paredes de

146


cemento o asbesto-cemento del canal: h f

=

L

(nv ) 4

r

3

2

= ( 84 )( 4.28 )

( ( 0.013 )( 0. 2 ) )

2 4

 ( 0.85 )( 0.59 )   ( 2 )( 0.59 ) + 0.85  

3

=

0.016 mts

Las pérdidas por fricción contra las paredes son apenas el 3% de las pérdidas generadas en los codos, lo cual valida el no haberlas tenido en cuenta. Si se quiere se puede introducir este término en la ecuación para el cálculo del gradiente de velocidades. Sinembargo la aproximación general de los datos del problema hace innecesario corregir las pérdidas totales en ese 3% de su valor. Nótese que la difeencia de niveles del agua entre la entrada y la salida es de 54 cmts, y que la profundidad del flujo se ha supuesto constante e igual a 59 cmts. Para garantizar esto es necesario que el fondo del canal tenga una pendiente hacia adelante que haga descender el nivel 54 cmts en toda la longitud. Si esto no se hace así el agua se irá acelerando por efecto de la reducción del area de flujo, concomitante con el descenso de nivel.

5.6.4. FLOCULADORES DE FLUJO VERTICAL El principal problema que tienen los canales de tabiques anteriormente descritos, es que funcionan de tal manera que no pueden construirse muy profundos y por lo tanto ocupan una superficie que puede ser muy grandes. Desde hace varios años se han venido impóniendo los floculadores de flujo vertical, en los cuales el agua se mueve alternativamente hacia arriba y hacia abajo. Estos tienen la ventaja de que se pueden construir de hasta unos 3 mts de profundidad, reduciendo las necesidades de area. Sinembargo la experiencia ha demostrado que los lodos tienden a depositarse en los codos inferiores. Una solución a este problema son los floculadores tipo Alabama, que con ciertas modificaciones se han puesto de moda en América Latina. A continuación se muestran una planta y un corte típicos.


Los criterios de diseño para estos floculadores son los siguientes: •

Número de cámaras y profundidad.

•

El gradiente de velocidades, que depende diractamente de las pérdidas hidráulicas.

•

La velocidad de paso, que genera las pérdidas, tiene límites máximo y mínimo. El area de paso entre cámaras influencia la velocidad, las pérdidas y el gradiente de velocidad.

147

148


Detalle de la estructura de paso

5.6.5. COMPORTAMIENTO DE UNIDADES DE FLOCULACION Las unidades de floculación hidráulicas tienen varias ventajas sobre las mecánicas. En primerísimo lugar, no requieren motores, reductores, lineas de energía ni mantenimiento mecánico. El patrón de flujo es de tipo pistón, lo cual favorece los contactos entre partículas. Su principal desventaja es que su comportamiento depende del caudal, dado que solamente se cumplen los parámetros de diseño para el caudal de diseño, el cual solamente ocurrirá durante un tiempo muy corto en la vida útil de la planta.

5.7. ________________________________________________________________ SEDIMENTACION

5.7.1. TIPOS DE SEDIMENTACION Existen 4 fenomenos de sedimentación, caracterizados por diferentes tipos de interacción entre las partículas: 1.

Sedimentación tipo Arenas


La sedimentación de partículas de tamaño mayor se caracteriza por una ausencia de interacción entre ellas. Cada una se mueve verticalmente sin interactuar con las demás. Los choque producidos por la difeencia de velocidades no generan partículas de mayor tamaño, y la velocidad de sedimentación de una partícula permanece constante con el tiempo. 2.

Sedimentación Floculante

Cuando existe algún grado de afinidad entre las partículas los choque entre ellas aumentan su tamaño. La velocidad de sedimentación aumenta a medida que avanza el proceso. 3.

Sedimentación en Bloque

Cuando la concentración de partículas es muy alta unas "empujan" a las otras en su movimiento vertical generandose una sedimentación en bloque de toda la masa de partículas. La velocidad de sedimentación está determinada por la dificultad del agua de pasar a través de las partículas. 4.

Sedimentación con compresión

A medida que los lodos se acumulan en el fondo de una estructura de sedimentación las partículas comienzan a entrar en contacto unas con otras. El peso de nuevas capas de material sedimentado comprime las inferiores, produciendose una pérdida adicional de agua por efectos de la compresión de los lodos.

5.7.2. SEDIMENTACION TIPO ARENAS En un proceso de sedimentación de partículas independientes actúan solamente dos fuerzas: la gravedad y la resistencia del agua al movimiento. De acuerdo con la teoría de mecánica de fluidos sobre el arrastre del agua sobre un cuerpo en movimiento:

Donde:

W

= ( ρ s − ρ )gV

F

v s 2 C D Aρ 2

=

149

150


W

es el peso de la partícula

ρs

es la densidad de la partícula

ρ

es la densidad del agua

g

es la aceleración de la gravedad

V

es el volumen de la partícula

F

es la fuerza de resistencia del agua al movimiento de la partícula

CD es un coeficiente de arrastre, el cual depende del grado de turbulencia del movimiento y de la forma de la partícula. A

es el area de la partícula perpendicular a la dirección del movimiento

vs

es la velocidad de sedimentación

Al iniciarse el proceso, la velocidad de sedimentación y la fuerza de arrastre son cero. La partícula se acelera por efecto de la atracción de la gravedad; a medida que la velocidad aumenta se incrementa la fuerza de fricción, disminuyendose la aceleración. Finalmente se llega a una velocidad para la cual la fuerza de arrastre iguala al peso de la partícula; la suma de fuerzas y la aceleración son cero en esta condición final. En la práctica la velocidad final se alcanza muy rápidamente; la mayor parte del proceso de sedimentación ocurre a esta velocidad. Cuando las fuerzas se igualan: 2( ρ s − ρ ) gV v s 2 ⇒ v s = (ρ s − ρ ) gV = C D Aρ C D Aρ 2 Para partículas esféricas la relación entre volumen y area perpendicular al flujo se puede calcular así: V A

=

4

3

d 3π 8 ⇒ 2 π d 4

v s

=

4 ( ρ s − ρ )d g C D ρ 3

Esta expresión, conocida como Ley de Newton se puede desarrollar encontrando experimentalmente los valores del coeficiente de arrastre CD. Este depende del grado de turbulencia introducida al agua por el movimiento de la partícula, el cual es una función del número de Reynolds.


151

Experimentalmente se encuentra la siguiente relación: CD

24 =

Re

+

3 Re

+ 0.35

Para Re =

v s dρ

µ

< 104

En el rango de tamaños y velocidades de sedimentación con que se trabaja normalmente en procesos de sedimentación (exceptuando los desarenadores), el Número de Reynolds es menor de 0.5. En estas condiciones los términos segundo y tercero de la función son despreciables comparados con el primero; por lo tanto: C D

=

24 Re

=

24 µ vd ρ

Esta expresión para el coeficiente de arrastre corresponde a condiciones de flujo totalmente laminares. Remplazando en la ecuación de Newton y despejando la velocidad de la igualdad resultante se encuentra la Ley de Stokes: v s

=

g ( ρ s − ρ )d 2

18 µ

Un corolario interesante de la ley de Stokes es que la velocidad de sedimentación se incrementa con la temperatura , debido a la reducción de la viscosidad del agua. Esto hace que el proceso de sedimentación sea mas eficiente para agua caliente (lo mismo sucede con la floculación y la filtración). Por esta razón los diseños "paquete" diseñados en Europa y los Estados Unidos, para temperaturas extremas en el orden de los 0°C, podrían hacerse mas económicos.

5.7.3. TEORIA DE SEDIMENTADORES Hasta hace relativamente pocos años, las estructuras en las cuales se sedimentaba el agua floculada eran simples tanques en los cuales la lenta velocidad del agua permitía la remoción de las partículas. El caso mas frecuente, a partir del cual definiremos los aspectos mas relevantes de la teoría de sedimentación, fué el de tanques de sección rectangular. En estos sedimentadores el espacio se puede dividir en cuatro regiones (Ver figura) .

152


E N T R A D A

vH v

s

S A L I D A

LODOS

VELOCIDAD DE SEDIMENTACION > VELOCIDAD CRITICA A la llegada del agua existe, dependiendo de las características de la entrada, una zona en la cual se produce turbulencia debida a la transición desde la floculación. Esta turbulencia impide la sedimentación, y por ello la zona de entrada es muerta para efectos de la sedimentación. Hay una zona intermedia en la cual se produce efectivamente la sedimentación, En ella las lineas de flujo son horizontales y el agua se mueve con una velocidad vh constante en toda la sección (En la realidad las fuerzas de fricción contra las paredes son muy pequeñas para frenar la inercia del agua, y se producen vórtices característicos de turbulencia). Por debajo de la zona de sedimentación debe existir una zona de lodos en la cual se debe ir acumulando el material proveniente de las capas superiores. Esta masa de lodos no puede participar del movimiento horizontal del agua, o de lo contrario el material en suspensión terminaría por alcanzar las estructuras de salida. El fondo de los sedimentadores convencionales siempre tiene una pendiente como la mostrada en la figura, para favorecer el movimiento de los lodos hacia la estructura de recolección y evacuación. Finalmente hay otro espacio muerto, la zona de salida, en la cual el agua se "prepara" para salir del sedimentador. En ella las lineas de flujo se contraen para buscar la estructura de vertimiento; la turbulencia y la mayor velocidad asociadas con la contracción de las lineas de flujo impide la sedimentación. Dependiendo de la velocidad de sedimentación de las partículas, es posible encontrar dos situaciones diferentes. Las más grandes se sedimentan rápidamente, entrando a la zona de lodos antes de que el agua penetre a la zona de salida. Se considera que estas se remueven en su


153

totalidad, sin importar la altura a la cual entran al sedimentador. En la gráfica se muestran las trayectorias de partículas con la misma velocidad de sedimentación, que entran a la zona de sedimentación a diferentes alturas. A medida que disminuye la velocidad de sedimentación, las partículas de las capas superiores de agua entran a la zona de lodos mas adelante. Existe una condición crítica definida por la velocidad de sedimentación que hace que la partícula que entra al sedimentador en la capa superior llega a la zona de lodos justo antes de la zona de salida (Ver Figura). L E N T R A D A

vH

S A L I D A

v

C

H

LODOS

VELOCIDAD DE SEDIMENTACION = VELOCIDAD CRITICA La velocidad crítica se calcula sabiendo que la partícula que sigue la trayectoria diagonal recorre horizontalmente una distancia L y verticalmente una distancia H durante el tiempo T de permanencia en el tanque: T

=

L v H

=

H v C

⇒

v C

=

v H

H L

Al multiplicar y dividir por la anchura b del sedimentador, se obtiene el siguiente resultado: v C

=

v H

H b L b

=

v H Area Vertical Area Horizontal

=

Q AH

!

Si la velocidad de sedimentación es menor que la velocidad crítica, las partículas de las capas inferiores alcanzan la zona de lodos. Las que entran en las capas superiores llegan a la zona de salida y no se

154


remueven. L E N T R A D A

vH

vs

S A L I D A

h H

LODOS

VELOCIDAD DE SEDIMENTACION
5.7.4. CALCULO DE REMOCION DEL MATERIAL EN SUSPENSION Si la velocidad de sedimentación es igual para todas las partículas, su concentración permanece constante en las capas inferiores (Esto no es cierto en la zona de lodos). Siendo la concentración inicial igual en toda la columna, por cada partícula que salga de un volumen de control llegará otra proveniente de las capas superiores. Como todas se mueven con la misma velocidad no hay movimientos relativos entre ellas. La capa superior de agua queda libre de partículas en una altura h: h

=

v s T

=

v s

H v C

En el resto de la altura (H-h) la remoción es nula. Suponiendo una concentración de entrada x, la masa de partículas que permanece en las capas inferiores cuando el agua llega a la zona de salida será: M

=

qx

=

Av H x

 v  = (H − h )bv H x H − s H  bv H x v C  

La concentración resultante de la unión de las dos zonas, una sin partículas y la otra igual a como entró, se puede calcular dividiendo la masa de partículas por unidad de tiempo, definida en la ecuación anterior,


155

por el caudal total en que se distribuye a la salida del sedimentador:

=

x salida

M Q

 v s  H − v H  bv H x  v  C  =  = 1 − s  x Hbv H  v C 

Con respecto de la concentración de entrada, la remoción es la relación entre la velocidad de sedimentación, propia de las partículas, y la velocidad crítica, propia de las dimensiones del sedimentador y el caudal. El agua que entra a la zona de sedimentación contiene partículas de muchos tamaños. Para calcular la remoción promedio es necesario considerar por separado grupos de partículas con igual velocidad de sedimentación. Suponga que se tiene la curva mostrada. La curva es una granulometría del material contenido en el agua, en la cual se ha cambiado el tamaño de las partículas, en el eje horizontal, por su velocidad de sedimentación. Posteriormente se explicará la forma de obtener la curva sin conocer la granulometría.

% de Remoción para v = v

% en peso con v < v

c

s

100 90 80 70 e j a t n e c r o P

60 50 40 dp

30

P

20 10 0 0

1

2

3

v 4 s

v

c

6

Velocidad de Sedimentación ( mm/seg )

7

8

9

156


El rectángulo resaltado en negro representa una fracción dP del peso total de las partículas, la cual tiene asociada una velocidad de sedimentación vs < vc. La cantidad que se remueve de estas partículas será: Cantidad Removida

=

v dp s v C

y la remoción total del material que se sedimenta con velocidad menor que la velocidad crítica del sedimentador será entonces: P

Remoción

=

v s dP v 0 C

∫

P

=

1 v s dP v C 0

∫

=

Area Achurada v C

La remoción del material que se sedimenta con velocidad mayor que la crítica (100% - P) es completa, y debe agregarse a la del material mas fino. La remoción total de material suspendido vendrá dada entonces por: Remoción Total

=

Area Achurada v C

+ (100 − P )

Para cada velocidad crítica seleccionada se puede calcular el porcentaje de remoción correspondiente. Para el caso ilustrado en la gráfica (v c = 0.5 cm/seg), el valor de P es de 58.7 y el del area sombreada 184.5 (Cuales son las unidades?). La remoción total será entonces:

Remoción Total

=

 mm 184.5   seg  ( % ) 5 mm seg

+ (100 − 58.7 ) % =

78.2%

Si el cálculo se efectúa para diferentes valores de la velocidad crítica, se podrá obtener la curva de remoción contra velocidad crítica que se muestra en la figura. Esta permite encontrar, con unos objetivos de tratamiento definidos de antemano, la velocidad crítica con que debe diseñarse el sedimentador.

PROBLEMA Para un caudal de 100 lts/seg de agua con las curvas de sedimentación definidas en las figuras anteriores, encuentre el area requerida en la unidad de sedimentación para remover el 90% del material en suspensión. De acuerdo con la gráfica de Remoción vs. Velocidad crítica, es necesario un valor de vc de 3 mm/seg. El area horizontal de sedimentación


157

se puede calcular de la relación que define la velocidad crítica: 3

v C

=

Q AHorizontal

⇒

AH

=

Q v C

=

0.1 mt seg 0.003 mt seg

=

33.3 mt 2

Por paradójico que parezca la profundidad del sedimentador, o de la zona de sedimentación, no influye en la remoción ! (?)

5.7.5. OBTENCION DE LA CURVA DE SEDIMENTACION La curva de sedimentación en la cual se basa la totalidad del análisis se puede obtener de una forma bastante sencilla. Para ello se llena de agua una columna de sedimentación, de la cual se extraen muestras después de determinados tiempos. Analizando la figura de la página siguiente, en la cual se ilustra la sedimentación de partículas del mismo tamaño:

H

Situación Inicial Concentración Uniforme

1.

H

T <

H vS

H

T >

H vS

Las partículas se desplazan sin movimientos relativos entre ellas, pués todas tienen la misma velocidad de sedimentación. Se forma entonces una linea por encima de la cual ya no quedan partículas, mientras que por debajo la concentración es igual a la inicial; la masa se mueve en bloque. Solamente habrá aumento de la concentración en la zona inferior de la columna, en la cual se van acumulando las partículas sedimentadas desde arriba.

158


2.

Si la velocidad de sedimentación de las partículas es menor que la relación entre la altura H y el tiempo transcurrido entre el comienzo del proceso y la toma de la muestra, la concentración de partículas detectada en la muestra será idéntica a la inicial. Si, por otra parte, vs > H/T, la concentración detectada deberá ser cero.

3.

Teniendo en cuenta que la muestra de agua contiene partículas con diferentes velocidades de sedimentación, se puede asegurar que la muestra tomada a un tiempo T contendrá solamente las partículas con vs < H/T, en concentraciones idénticas a las encontradas en la muestra original.

4.

Los puntos de la curva de sedimentación tienen como ordenada el valor de H/T, y como abcisa el contenido de material en suspensión (como porcentaje del total), en la muestra tomada en el tiempo T.

PROBLEMA Diseñe un sedimentador de flujo horizontal con los siguientes parámetros de diseño: lts

Q

=

100

L

=

v H T

=

1

y

=

v C T

=

1.3

Anchura

seg

=

=

vC

1.3

mt

T

hr

=

3.5 hr

cm 3600 seg 1 mt ( 3.5 hr ) seg hr 100 cm

Q v H y

mt ( 3.5 hr ) hr

=

=

vH

=

=

1

cm seg

126 mts .

4.55 mts .

0.1 ( 0.001)( 4.55 )

=

2.19 mts .

Para este diseño la relación entre longitud y anchura es demasiado grande (126/2.19). Se puede reducir la velocidad horizontal hasta 0.25 cm/seg para obtener un mejor diseño. L

=

v H T

=

0.25

cm 3600 seg 1 mt ( 3.5 hr ) seg hr 100 cmt

=

31.5 mts .


Anchura

=

Q v H y

=

159

0.1 ( 0.025 )( 4.55 )

=

8.8 mts .

El sedimentador tendrá entonces las siguientes dimensiones: Volumen

=

QT

Area

bL

=

=

= ( 0.1)( 3. 5 )( 3600 ) =

1260 mt 3

(31.5)(8.8) = 277 mt 2

5.7.6. SEDIMENTACION FLOCULANTE A medida que las partículas se desplazan verticalmente en un proceso de sedimentación, las de mayor tamaño terminan por alcanzar a otras que, por su menor tamaño, tienen menores velocidades de sedimentación. Esta floculación hace que las partículas crezcan de tamaño y que su velocidad vaya en aumento. Para medir el incremento en la eficiencia causado por este fenómeno, se ha desarrollado un ensayo de columna con varias salidas como la que se muestra en la figura. A diferentes intervalos de tiempo se extraen muestras de agua a diferentes alturas, y se determina el porcentaje de remoción del material en suspensión para cada tiempo y cada altura. El resultado es una tabla como la que se muestra, con la cual se pueden construir curvas de isoremoción . h 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

t

10

20

30

40

50

60

70

80

100 53 44 38 33 29 26 23 20 18 16 14 12 10 9 7

100 67 60 56 53 50 48 46 44 42 41 39 38 37 35 34

100 73 68 64 61 59 57 56 54 53 51 50 49 48 47 46

100 76 72 69 67 65 63 62 60 59 58 57 56 55 54 53

100 79 75 72 70 68 67 66 64 63 62 61 61 60 59 58

100 81 77 75 73 71 70 69 68 67 66 65 64 63 63 62

100 82 79 76 75 73 72 71 70 69 68 67 67 66 65 65

100 83 80 78 76 75 74 73 72 71 70 70 69 68 68 67

90 100 110 120 100 84 81 79 78 76 75 74 73 73 72 71 71 70 70 69

100 85 82 80 79 78 77 76 75 74 73 73 72 72 71 71

100 86 83 81 80 79 78 77 76 75 75 74 73 73 72 72

100 86 84 82 81 80 79 78 77 76 76 75 75 74 74 73

160


Tiempo (min) 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

0.00 0.20 0.40 0.60

80%

0.80 1.00 t 1.20 m d 1.40 a d i 1.60 d n u 1.80 f o r P 2.00

2.20 2.40 2.60 2.80 3.00

20% 40%

60%

Las curvas o la tabla pueden utilizarse para calcular la remoción cuando se escogen una profundidad y un tiempo de sedimentación.

PROBLEMA Para las curvas mostradas, encuentre el porcentaje de remoción en un sedimentador de 2 mts. de profundidad con un tiempo de retención de 60 min. Para el cálculo de la remoción se promedia ponderadamente la remoción para las alturas extremas de cada intervalo. A pesar de que en este caso las alturas son iguales, se ha incluido la altura como factor de ponderación.


161

Remoción ∆ h r ∆h % Prom 0.0 100 0.2 81 90.3 0 .2 18.1 0.4 77 78.9 0 .2 15.8 0.6 75 75.8 0 .2 15.2 0.8 73 73.6 0 .2 14.7 1.0 71 71.9 0 .2 14.4 1.2 70 70.5 0 .2 14.1 1.4 69 69.2 0 .2 13.8 1.6 68 68.1 0 .2 13.6 1.8 67 67.0 0 .2 13.4 2.0 66 66.1 0 .2 13.2 SUMAS 2 146.3 Remoción ponderada 73.1 h

5.7.7 SEDIMENTACION ACELERADA Desde hace varias décadas se concluyó que el area horizontal del tanque podía incrementarse, reduciendo la velocidad crítica, por medio de bandejas horizontales. Desafortunadamente la remoción de lodos es poco menos que imposible. En la década de los sesentas se desarrolló la teoría y la práctica de los sedimentadores de placas y de tubos, en los cuales las bandejas se colocan inclinadas: el agua ascendente deposita sobre ellas el material que trae en suspensión. Los lodos resbalan pendiente abajo, y pueden ser recolectados en una tolva en la parte inferior de la estructura. En la gráfica se muestra uno de los canales por donde fluye el agua. En el tríangulo de velocidades se puede aplicar la ley del seno: v a Sen ( 90 + θ − ψ )

=

v C Sen ψ

Sen ( 90 + θ − ψ )

=

Cos ( θ − ψ )

v a Cos θ + Sen θ Tan ψ

=

v C

⇒

v C

=

=

Cos θ Cos ψ + Sen θ Sen ψ v a L Cos θ + Sen θ e

162


e

vc

L

90 - θ

va ψ

θ

L

es la longitud de los canales.

e

es la anchura de los canales

V a

es la velocidad del agua

vc

es la velocidad crítica

θ

Esta ecuación permite encontrar, para un arreglo dado de las placas, la velocidad del agua requerida para conseguir una velocidad crítica. En los floculadores de placas es fundamental mantener el número de Reynolds muy bajo (< 200) para evitar que la turbulencia levante los lodos de la cara de las placas donde se están sedimentando.

PROBLEMA Diseñe un sedimentador de placas con las características geométricas que se enumeran a continuación, para tratar 100 lts/seg. Inclinación de las placas: Espaciamiento entre placas: Longitud de las placas Anchura de las placas:

60° 5 cmts. 1.20 mts 2.40 mts.


Espesor de las placas: Temperatura del agua: Número de Reynolds:

163

1 cmt. 15°C (µ = 0.012 gm/cm/seg) 130

La velocidad del agua se encuentra del número de Reynolds:

Re

=

va ρ e

µ

(130)( 0. 012)

=>

=

va

1

gm cm

3

gm cm − seg

=

0.312

(5cmt )

cm seg

La turbulencia a la entrada hace reducir longitud de los canales efectiva para la sedimentación. La reducción depende directamente de la turbulencia, y se considera proporcional al número de Reynolds:

 L  =  e  efectiva

L − 0.058(Re ) e

= 15.72

La velocidad crítica de sedimentación será entonces:

vC

=

0.00312 mt seg

(15.7)Cos60° +

3600 Seg

Sen60°

Hr

=

1.289

mt Hr

Por lo tanto, el grado de remoción del material en suspensión debe ser similar al del sedimentador del problema anterior. El número de placas se puede calcular así: 3

=

Area Total

n( 2.40)( 0.05)

=

Q

=

v

0.100 mt seg 0.00312 mt seg

⇒

n

=

267

Las placas se pueden ordenar en 4 módulos de 67 placas cada uno. Cada uno de los módulos recibirá el agua floculada por trés tuberías colocadas por debajo de las placas. La dimensión horizontal de la zona ocupada por las placas será: x

= (67)

(0.05 + 0.01) Sen60°

=

4.64 mts.

A la longitud anterior se deberá adicionar la proyección horizontal de la longitud de las placas (1.20), y la anchura del canal de distribución de

164


agua floculada. A continuación se muestran una planta y un corte de una estructura de sedimentación acelerada:

Canaleta de recolección


165

6. FILTRACION 6.1. ________________________________________________________________ INTRODUCCION Se denomina filtración al paso del agua a través de un medio poroso. En el proceso se remueve material en suspensión de todo tipo, es decir bacterias, Color Natural, pequeñas partículas de material férrico y mangánico y turbiedad. Adicionalmente pueden removerse compuestos disueltos en el agua causantes de sabores y olores. Varios fenómenos son responsables de la remoción: 1.

Efecto de tamizado de partículas entre los granos del material filtrante. Este efecto solo es importante en la remoción del material de mayor tamaño, y extrañamente es responsable de solo una pequeña parte de la remoción conseguida en un filtro.

2.

Sedimentación, difusión e hidrodinámica de partículas. La fuerza de la gravedad, el movimiento browniano y los cambios de dirección de las lineas de flujo del agua impulsan las partículas hacia la superficie de los granulos del material del lecho filtrante, donde son atrapadas por los siguientes procesos.

3.

Floculación y Adsorción eléctrica. El contacto de las partículas con material adherido previamente al medio filtrante permite la "floculación por contacto". Las partículas adheridas a los gránulos del medio van creciendo a medida que se filtra mas agua. Las primeras partículas que se pegan al medio filtrante son atraidas por fuerzas de Van der Walls y fuerzas electrostáticas.

166


4.

Remoción de materia orgánica coloidal y disuelta por microrganismos

Cuando el agua contiene materia orgánica y la velocidad dentro del lecho filtrante es pequeña, se puede desarrollar una comunidad microbiana en la capa superior del filtro. Los microrganismos se alimentan de la materia orgánica, removiendola del agua; paralelamente se pueden absorber algunos compuestos inorgánicos, requeridos para el desarrollo de la masa biológica.

6.2. ________________________________________________________________ FILTRACION RAPIDA. OPERACION. El comportamiento hidráulico de un filtro se rige por la ley de Darcy: v

=

k h L

Donde: v

k h L

es la velocidad de acercamiento del agua al medio filtrante, la cual, para este tipo de unidades está en el orden de los 120 metros cubicos por metro cuadrado por dia. es la constante de permeabilidad del medio. representa las pérdidas hidráulicas asociadas con el movimiento del agua. es la longitud del medio filtrante.

Canal de Distribución A

a

L

h

d

B

Medio Filtrante Grava

Tubería de Lodos

C

Tubería de Agua Filtrada

OPERACION

Tanque de Agua Filtrada


167

A medida que el material en suspensión transportado por el agua se remueve en el filtro los intertsticios se van llenando, y el paso del agua se hace mas dificil. El filtro llega a obstruirse de tal forma que la presión y la velocidad del agua terminan por arrastrar material previamente removido. Antes de que esto ocurra las pérdidas hidráulicas pueden haber reducido considerablemente el caudal, si las cabezas de entrada y salida se mantienen constantes; por otra parte si el filtro se opera con un caudal constante, las pérdidas hidráulicas se pueden volver excesivas. El filtro ideal es aquel en el cual las pérdidas se vuelven excesivas al mismo tiempo en que comienza a desmejorarse la calidad del agua filtrada. En este filtro se utilizaría toda la capacidad de remoción del medio sin perder demasiada energía por pérdidas hidráulicas. Este filtro ideal requiere que los granulos de material esten ordenados por tamaños de gruesos a finos (ver figura).

FILTRACION IDEAL

FILTRACION REAL

En la filtración de gruesos a finos el estrato responsable de las mayores pérdidas hidráulicas (el de partículas de menor diámetro) se obstruye solamente después de que se ha utilizado la capacidad de remoción de las capas superiores, de diámetros mayores. Por el contrario, cuando la filtración se hace de finos a gruesos las pérdidas hidráulicas crecen muy rápidamente al colmatarse la capa superior, sin haberse aprovechado la capacidad de remoción de las capas de diámetros mayores. La condición real de filtración, de finos a gruesos, es resultado de la necesidad de lavar los filtros cuando la operación se hace ineficiente (Pérdidas excesivas o aumento de turbiedad en el agua de salida). La forma mas simple y económica de remover la suciedad acumulada es revertir el flujo de agua, con altas velocidades que fluidicen el lecho filtrante; esto es, que el arrastre sobre las partículas sea de tal magnitud que estas se levanten y pierdan contacto unas con otras. Los gránulos quedan suspendidos, y la abrasión asociada con los choques entre unos y otros remueve las impurezas acumuladas durante la operación. El

168


proceso puede (y debe) complementarse con el rompimiento inicial de la estructura del medio filtrante, conseguida por medio de chorros de agua a presión o por burbujas de aire introducidas en la base del lecho.

A

hL

B

Antracita

Tubería de Lodos


Arena Grava

C


LAVADO Este método de lavado, desafortunadamente, genera posteriormente una estratificación de finos a gruesos en el medio. Al ser suspendido el flujo reverso se sedimentan primero las partículas de mayor tamaño, quedando las mas finas en la parte superior del medio filtrante. Para obviar esta situación inconveniente se ha optado por dos soluciones diferentes:

6.2.1. Utilización de medio Mixto Por encima de la capa de arena puede colocarse una capa de un material de menor densidad y mayor tamaño. Si los diámetros se seleccionan cuidadosamente es posible que las partículas de mayor tamaño tengan una velocidad de sedimentación menor que las de menor tamaño, por su menor densidad. Por debajo de la capa de arena también se puede colocar una capa de material de densidad mayor y de tamaño menor, el cual por su mayor peso se sedimenta después del lavado con velocidades mayores que la de las partículas de arena. Un arreglo utilizado en los Estados Unidos se muestra en la figura. En Colombia está muy extendida la utilización de medio doble; Antracita en la capa superior y arena en la inferior.


169

ANTRACITA

ARENA

Zonas de Mezcla

ILMENITA O GRANATE

MEDIO TRIPLE

6.2.2. Filtración Reversa En lugar de aplicar el agua de arriba hacia abajo, el flujo se puede introducir en la dirección contraria de manera que este encuentre primero las capas inferiores de mayor tamaño. Desafortunadamente el método tiene el inconveniente de que el lecho se expande poco a poco a medida que las pérdidas crecen y la presión de poros aumenta. Puede llegarse al extremo de que la presión del agua alcanza a levantar el material produciendose rupturas súbitas en la estructura del medio que liberan grandes cantidades de suciedad previamente acumulada. Para prevenir el problema se colocan rejillas sobre la capa superior de material, las cuales mantienen la forma y estructura del medio. Igualmente se han diseñado sistemas en los cuales una parte del flujo se filtra de arriba hacia abajo en la mitad superior del lecho, y otra se filtra de abajo hacia arriba en la mitad inferior. La filtración reversa se ha ensayado con éxito en la URSS y en algunos paises europeos. En este lado del Atlántico es desconocida y no hay experiencia ni normas o recomendaciones para su diseño y operación.

6.3. ________________________________________________________________ MATERIAL PARA LECHOS FILTRANTES La granulometría de las arenas generadas por procesos normales de meteorización se ajusta bastante bién a una distribución Log-Normal. En

170


un papel de escala logarítmica en el eje de los tamaños y normal en el de porcentajes acumulados, la distribución de tamaños se podrá aproximar a una linea recta. Las características de la distribución se pueden definir por dos parámetros: El valor medio y la varianza de la distribución. En la práctica de la Ingeniería Sanitaria se han utilizado dos medidas diferentes definidas por Hazen a finales del siglo pasado: E

Tamaño Efectivo

El tamaño efectivo se define como el diámetro por debajo del cual se encuentra el 10% en peso (o volumen) del total de la arena. Hazen encontró experimentalmente que las características hidráulicas de un lecho de arena dependen básicamente de su tamaño efectivo. U

Coeficiente de Uniformidad

La uniformidad del material fué definida arbitrariamente por Hazen como la relación entre el diámetro por debajo del cual se encuentra el 60% de menor tamaño, y el tamaño efectivo. El coeficiente de uniformidad decrece cuando la arena es mas uniforme, puesto que los diámetros asociados con el 60% y el 10% de la distribución se acercan. En justicia el término debiera ser coeficiente de Dispersión, puesto que es mayor entre mas dispersos sean los tamaños presentes en el material Los tamaños de los materiales utilizados en diferentes tipos de medio filtrante se definen en la siguiente tabla:

Altura Típica Cm. Cm. ARENA

E mm.

Típico mm

U

Típico

60-80

70

0.35-0.7

0.5

1.3-1.7

1.5

ANTRACITA 20-60 ARENA 15-50

45 25

0.80-2.0 0.30-1.0

1 0.5

1.3-1.8 1.2-1.65

1.5 1.4

ANTRACITA 20-60 ARENA 20-40 ILMENITA 5-15

38 30 8

1.00-2.0 0.40-1.0 0.20-0.60

1.4 0.6 0.3

1.3-1.8 1.2-1.65 -

1.5 1.4 -

CARACTERISTICAS DE LECHOS FILTRANTES Un problema frecuente en el diseño y construcción de filtros es el de


la definición del proceso al cual debe someterse una arena de granulometría conocida para adecuarla a las exigencias de tamaños.

PROBLEMA Se dispone de una arena con la granulometría definida en la figura.

Nótese que la distribución, como ocurre con muchos suelos granulares de origen natural, se acomoda bastante bien a una distribución Log-Normal. Defina el proceso a que debe someterse para conseguir un tamaño efectivo de 0.5 mm y un coeficiente de uniformidad de 1.5.

SOLUCION Por definición: El 10% del peso total debe tener diámetros menores de 0.5 mm. El 60% del peso total debe tener diámetros menores de (0.5)(1.5)=0.75 mm. El 50% de la arena colocada en el filtro deberá estar entre 0.5 y 0.75 mm.

171

172


Solamente el 23% de la arena original tiene tamaños entre 0.5 y 0.75 mm. Este 23% será la mitad de la arena colocada en el filtro, luego solamente podrá utilizarse el 46% de la arena original. Por definición del tamaño efectivo de la arena del filtro, el 10% de esta deberá tener tamaños inferiores a 0.5 mm. Dado que solamente se puede usar el 46% de la arena original, este 10% de la arena colocada en el filtro corresponde a 4.6% en la original. De la granulometría de la arena sin procesar se determina que el 30% tiene un tamaño menor de 0.5mm. Si se requiere dejar únicamente el 4.6%, será necesario extraer un 30 - 4.6 = 25.4% del material más fino. De la curva de granulometría de la arena sin procesar se determina que extrayendo los tamaños inferiores a 0.44 mm. se elimina el 25.4% mas fino. De la arena original se sabe que: El 46% será utilizado para llenar los filtros. El 25.4% será descartado por ser demasiado fino. Por lo tanto, el resto de la arena original (100-46-25.4 = 100-71.4) deberá descartarse por ser demasiado grueso. Para determinar el tamaño por encima del cual hay que descartar el material basta con localizarse en el punto de la granulometría correspondiente al 71.4%. Por encima del tamaño asociado (1.1 mm) se encuentra el 28.6% en peso.

6.4. ________________________________________________________________ FILTRACION LENTA Todas las consideraciones hechas hasta este punto se refieren a la práctica de filtración de los tiempos modernos. Las primeras unidades de filtración construidas operaban con caudales muy bajos, en el orden de 10 metros cúbicos por metro cuadrado por día, o inclusive menor. En la capa superior del lecho se removía practicamente la totalidad del material en suspensión contenido en el agua. Directamente sobre la arena se desarrollaba una capa gelatinosa rica en bacterias y protozoarios, en donde se removían cantidades apreciables de material orgánico y sólidos disueltos. El filtro no se lavaba periódicamente; cuando el taponamiento llegaba a niveles excesivos simplemente se raspaba la capa superior de arena, se lavaba fuera del filtro y se volvía a instalar. Esta filtración lenta


173

cayó en desuso con el desarrollo de la práctica de la filtración rápida, debido a que las grandes areas en planta requeridas por las unidades lentas las hicieron antieconómicas. Hoy en día, sinembargo, un número considerable de ingenieros considera la filtración lenta como la alternativa mas apta para localidades pequeñas en zonas técnicamente poco desarrolladas. La filtración rápida requiere de un proceso previo de coagulación; de otra manera los sólidos suspendidos colmatarían muy rápidamente el filtro por los altos caudales procesados. A diferencia de la filtración rápida la filtración lenta produce un agua prácticamente potable con un mínimo de requisitos técnicos para su operación.

6.5. ________________________________________________________________ HIDRAULICA DE FILTRACION El cálculo de las pérdidas hidráulicas asociadas con el paso del agua por una unidad de filtración define la diferencia de cotas entre la entrada y la salida del agua. Si la diferencia en la planta llega a ser menor, el caudal que pasará por el filtro será menor. La mejor aproximación se logra aplicando la ecuación de Darcy-Weisbach al flujo del agua entre los intersticios de material: h

=

L  v 2  f   D  2 g 

Donde: f

es el factor de fricción, Inversamente proporcional al número de Reynolds debido a que el flujo es escencialmente laminar.

L

es la longitud del camino que recorre el agua dentro del medio filtrante

D

es el diametro promedio de los conductos por los cuales fluye el agua.

v

es la velocidad real del agua dentro de los intersticios del material.

Esta fórmula se puede desarrollar para el caso especial de la filtración teniendo en cuenta las siguientes equivalencias: D = 4r Siendo r el radio hidráulico de los conductos

174


El radio hidráulico se puede expresar así: r

=

Area de Flujo L Perímetro del conducto L

=

Volumen de agua Area sup erficial

La última igualdad no es estricta en sentido geométrico. Debe interpretarse mas bién como una relación de proporcionalidad entre los dos términos de la igualdad. Esta falta de rigor matemático será compensada al final del desarrollo introduciendo una constante que involucre esta y otras constantes de proporcionalidad que aparecerán mas adelante. Esta última constante deberá evaluarse experimentalmente. La relación válida para uno de los conductos será válida para la totalidad del filtro, al multiplicar el dividendo y el divisor de la expresión por el número total de conductos por los cuales fluye el agua. Volumen de Agua

=

Volumen de arena

= (1 − f )V TOTAL

Volumen de Agua

=

r

=

fV TOTAL (f = porosidad )

f V arena 1 − f

Volumen Total de Agua Area Superficial de la Arena

=

f Volumen de Arena 1 − f Superficie de la Arena

La relación entre el volumen y la superficie es igual para el total de la arena y para un grano promedio. Para el caso de partículas esféricas se puede calcular de la siguiente forma: Volumen

=

d 3 π 6

Superficie

= πd 2

⇒

Volumen Superficie

=

d 6

Para partículas no esféricas el diámetro se remplaza por el diámetro de la esfera de igual volumen. Ahora bién, si dejamos el volumen constante y alteramos la forma de la partícula a partir de la esfera, la relación entre volumen y superficie siempre dará menor puesto que la forma de superficie mínima que contiene un volumen determinado es la esfera. El factor de reducción de la relación se denomina esfericidad ( ψ ) y es 1.0 únicamente para partículas esféricas. En la siguiente gráfica se definen los valores de esfericidad y porosidad asociados con algunos tipos de suelos granulares (Del texto Elements of Water Supply and Wastewater


175

Disposal. Fair, Geyer y Okun).

D e sc r ip c ió n E s fe r ic i da d P or os id ad a. b. c. d. e. f.

Esférico Redondeado Desgastado Agudo Angular Molido

1.00 0 .9 8 0 . 94 0.81 0.78 0.70

0.38 0 .3 8 0 . 39 0.40 0.43 0.48

Con estas definiciones se puede concluir: r

=

f d ψ 1 − f 6

donde

d

=

3

6 V total

π

La velocidad promedio del agua entre los gránulos de material se puede calcular aplicando la ecuación de continuidad al flujo antes de y en el medio. Siendo v la velocidad de acercamiento del agua al medio filtrante, A el area en planta ocupada por el filtro, vr la velocidad intersticial del agua y Av el area de vacíos en un corte dentro del filtro: Q

=

vA

=

v r Av

⇒

v r

=

v

A Av

=

v

El número de Reynolds se puede calcular como:

A L Av L

=

Vol . Total v Vol . vacíos

=

v f

176


Re

=

Inercia Fuerzas vis cos as

Masa por unidad de tiempo µ Perímetro de fricción

=

=

D 2 v ρπ 4 f µπ D

Remplazando el diámetro en la ecuación por 4r ( r = radio hidráulico del conducto) y despreciando los términos constantes cuyo efecto se incluirá en una constante global al final del desarrollo: Re

=

v ρ r µ f

Introduciendo en la ecuación de Darcy-Weisbach todas las equivalencias desarrolladas e incluyendo la constante global de proporcionalidad (k): 2

h

 k   µ  (1 − f )2  6  = L     3 v    g   ρ  f  ψ d 

Ahora bién, si el lecho se encuentra estratificado después de un lavado reverso, cada estrato tendrá longitudes y tamaños diferentes; se supone que la forma y empaquetamiento de los granos es igual para todos los estratos: 2

h i

 k   µ  (1 − f )2  6  =     3 v    g   ρ  f  ψ 

Li d i 2

Podemos suponer que la longitud de un estrato es proporcional a su volumen (L = V/A), debido a que el area seccional es igual para todos los estratos. El volumen a su vez es proporcional al peso del estrato. Se concluye entonces que el estrato ocupará una fracción de la longitud total del lecho igual a la fracción del peso total asociada con el estrato. Esto es: Li = piL, donde pi es la fracción del peso total asociada con el estrato iésimo. Sumando las pérdidas ocurridas en todos los estratos y extrayendo de la sumatoria los términos constantes, se llega a la siguiente ecuación: H L

2

 k   µ  (1 − f )2  6  =     3 v    g   ρ  f  ψ 

∑

p i

d i 2

Para las condiciones normales de filtración se encuentra experimentalmente un valor de la constante k de 5.0 aprox. La ecuación


177

recibe en la literatura el nombre de ecuación de Carman-Kozeny. Un resultado interesante del desarrollo es que a medida que la temperatura del agua aumenta y su viscosidad se reduce, las perdidas hidráulicas se reducen. Dependiendo del rango de variación de la temperatura las pérdidas hidráulicas pueden llegar a reducirse hasta la mitad.

6.6. ________________________________________________________________ HIDRAULICA DEL LAVADO REVERSO Con el fin de localizar el borde de la canaleta de recolección de agua de es necesario calcular el grado de expansión producido durante el lavado reverso. Si la canaleta queda demasiado abajo se perderá parte del material del lecho filtrante durante el lavado. Para el cálculo del grado de expansión es necesario tener en cuenta que para suspender el material el empuje del agua debe contrarrestar su peso. Definiendo la siguiente terminología: Longitud del estrato i durante la expansión Porosidad del estrato i durante la expansión Pérdidas en el estrato i expandido Volumen Total del estrato Expandido Volumen de la arena durante la expansión Peso de la arena Presión asociada con las pérdidas hi Fuerza asociada con la presión anterior:

L ei f ei hi A L ei A L ei(1-f ei )

ρ A L ei(1-f )g ei )( ρ sρ ghi ρ Aρ ghi = A L ei(1-f ei )( ρ s )g

De acuerdo con la ecuación desarrollada para las pérdidas en el estrato, e igualando al término hi/Lei derivado de la última igualdad se encuentra que: h i Lei

2

2

=

 6  k µ (1 − f ei ) v  ψ d  3 g ρ f ei i 

De donde se deduce: 3 f ei 1 − f ei

2

=

 6  k µ v   g ρ s − ρ  ψ d i 

=

ρ s − ρ (1 − f ei ) ρ

178


Esta ecuación se utiliza para predecir la porosidad de el estrato iésimo cuando se hace un lavado reverso con velocidad de acercamiento del agua v. Con la porosidad del estrato expandido se puede calcular la longitud Lei teniendo en cuenta que el volumen de arena es igual antes y durante el lavado. A L i (1-f i ) = A L ei (1-f ei )

de donde se desprende: Lei

=

Li

(1 − f i ) (1 − f i ) = p i L (1 − f ei ) (1 − f ei )

Los valores de f ei utilizados en la sumatoria se calculan con la ecuación que los relaciona con las propiedades geométricas del lecho.

6.7. ________________________________________________________________ PERDIDAS HIDRAULICAS DURANTE EL LAVADO La experimentación ha demostrado que una vez el lecho filtrante se fluidiza, las pérdidas hidráulicas permanecen constantes, sin importar el grado de expansión. La razón de este hecho paradójico es que las pérdidas son responsables de mantener a flote el medio filtrante, cuyo peso se mantiene constante. A partir de las siguientes ecuaciones, desarrolladas anteriormente, puede simplificarse el cálculo de las pérdidas: A ρ gh i = A L ei (1-f )( ρ s- ei ρ )g Lei

=

Li

(1 − f i ) (1 − f i ) = p i L (1 − f ei ) (1 − f ei )

Simplificando términos en la primera ecuación y remplazando la longitud del estrato expandido (Lei) por la ecuación inferior, se obtiene el siguiente resultado: h i

=

p i L 1 ( − f i )

ρ s − ρ g ρ

El término p L i es, de acuerdo con desarrollos anteriores, la altura del


179

iésimo estrato. El resto del término es constante si la porosidad inicial de todos los estratos ( f i) es la misma. Sumando las pérdidas en todos los estratos, se llega a la siguiente ecuación: h

=

L 1 ( − f )

ρ s − ρ g ρ

la cual confirma el hecho de que las pérdidas son unicamente función del peso del material que se fluidiza.

6.8. ________________________________________________________________ PARAMETROS QUE DEFINEN LA CALIDAD DE LA FILTRACION Los parámetros determinantes de la calidad del proceso de filtración son la calidad del agua, la efectividad de la limpieza del lecho, la carga hidráulica, la profundidad del lecho y la granulometría del lecho filtrante. Las aguas de muy buena calidad no requieren filtros de gran capacidad, debido al poco material en suspensión que se debe remover. En estos casos se podría trabajar con unidades de grano mayor y profundidad menor, en las cuales las pérdidas hidráulicas y los costos de construcción son menores. Por otra parte, si el agua tiene una alta turbiedad las cantidades de material en suspensión que se deben remover en el filtro son altas. En este caso se requerirán unidades de grano mas pequeño (para aumentar el area de remoción) y/o de mayor profundidad, con los consiguientes sobrecostos de construcción y de operación. La tasa de aplicación del agua por unidad de superfice del filtro también es importante, debido a que a menor velocidad dentro del material filtrante mayor será la posibilidad de que el material en suspensión se adhiera a la superficie de los granos; una tasa de aplicación muy alta no permitirá igual remoción. Las siguientes son algunas de las recomendaciones sobre la construcción y operación de unidades de filtración: 4. Mínimo 2 unidades por planta, para garantizar operación en todo momento. Cuando se utiliza para lavado directamente el agua producida por las demás unidades de la planta, se requiere un mínimo de 5 unidades.

180


5. La altura total del lecho (incluida la grava) 1-1.20 mts. 6. Altura del agua sobre la arena 1-1.50 mts. 7. Carga Hidráulica 240 mt3 /mt2 /día (Corresponde a una velocidad de acercamiento del agua de 240 Mts/día) 8. Velocidad de acercamiento durante el lavado reverso 600-1.400 mt/día 9. Tiempo de lavado reverso 3-10 min. 10. La cabeza piezométrica del agua a la salida de las unidades de filtración debe estar por encima de la capa superior de medio filtrante, para prevenir el desarrollo de cabezas negativas y formación de burbujas de vapor dentro del material granular. Si se cumple la recomendación se garantiza que el agua en cualquier punto anterior a la salida tiene una cabeza piezométrica mayor que la cabeza de posición, y por lo tanto la presión será positiva dentro del medio. En caso de que se desarrollen burbujas de vapor dentro del medio el agua no fluirá por el espacio vacío, quedando este limpio al final de la corrida. El agua de lavado tenderá a irse principalmente por esta zona, debido a la mayor permeabilidad del material limpio. 11. Hay una larga lista de recomendaciones sobre la colocación de las canaletas, la resistencia química de la arena, la granulometría de la grava de soporte, las estructuras de recolección, los fondos falsos etc.. Los principales problemas operacionales de las unidades de filtración están asociados a la falta de uniformidad en la filtración y el lavado. La acumulación de suciedad en zonas en las cuales el lavado no es eficiente reduce la permeabilidad, formandose zonas muertas para efecto de la filtración. La mayor presión de poros en el lecho permite al agua ejercer toda la presión hidrostática sobre estas areas, llegandose a producir grietas dentro del medio por las cuales pasa la mayor parte del agua, sin filtrar. La inefectividad del lavado también va acompañada de la formación de compactas masas de material acumulado que reciben el nombre de "bolas de barro", las cuales por su mayor tamaño emigran durante el lavado hacia las capas inferiores de grava. El contenido de especies incrustantes en al agua favorece con el paso de los años el crecimiento de los granos del medio filtrante, cambiando la granulometría, alterando las propiedades hidráulicas y reduciendo la capacidad de filtración.


181

6.9. ________________________________________________________________ SISTEMAS DE FILTRACION La hidráulica del proceso de filtración está definida por la forma como se introduce y regula el caudal. Existen los siguientes tipos de operación:

6.9.1. Caudal Constante, Cabeza Variable (Q Constante, h variable) En este tipo de filtración el caudal de la planta se divide en el número de unidades de filtración. Así, el caudal que pasa por cada filtro es constante a lo largo de toda la operación. Durante la primera parte de la "corrida" del filtro las pérdidas hidráulicas son bajas debido la mayor permeabilidad del filtro limpio. A medida que pasa el agua la permeabilidad se reduce y las pérdidas aumentan. Si la cabeza piezométrica del agua filtrada está controlada (ver figura), al aumentar las pérdidas (h) el nivel del agua en la unidad se incrementará poco a poco. Canal de Distribución h

A

a

d

B

Antracita

Tubería de Lodos


Arena Grava

C


OPERACION Este sistema tiene la ventaja de introducir un caudal uniforme a lo largo de toda la operación, lo cual se traduciría en un mejor comportamiento del filtro (?). Tiene la desventaja de que es necesario permitir el ascenso del nivel del agua, requiriendose unidades más profundas y desperdiciandose energía de posición del agua en la primera parte de la corrida.

182


6.9.2. Caudal Constante, Cabeza Constante (h Constante, q Constante, Válvula en C) Según la ingeniería norteamaricana la variación de presiones asociada con la operación del sistema anteriormente descrito puede forzar la liberación de material acumulado. Con el fin de prevenir el fenómeno se desarrollaron complicadas válvulas automáticas de control de cabeza y caudal (ver fotocopias) las cuales se colocan a la salida del filtro (punto C). La válvula tiene un grado de apertura variable a lo largo de la corrida, que permite operar el filtro con caudal y cabeza constantes. Inicialmente, cuando el filtro está limpio, la valvula se cierra para generando pérdidas que impiden que el nivel del agua a la entrada descienda. Paulatinamente se va abriendo, para compensar el aumento en las pérdidas generado por la reducción de permeabilidad. Este sistema no requiere separación del caudal total en caudales iguales para cada unidad. El agua se puede introducir con la misma cota a todas las unidades. Sin embargo los problemas de mantenimiento de la valvula automática hacen complicada la operación del filtro.

6.9.3. Tasa Declinante (h Constante, q variable, Sin Válvula de Control de flujo) En los sistemas de tasa declinante el nivel del agua en todas las unidades de filtración es el mismo sin que haya valvulas de regulación de caudal. El agua tiende a pasar por la unidad mas limpia, en la cual la permeabilidad es mayor. Por las unidades "sucias" el flujo puede ser sensiblemente menor. Teóricamente el sistema tiene la ventaja de reducir las pérdidas hidráulicas puesto que la mayor parte del agua fluye por las unidades mas permeables. Esto permitiría construir filtros menos enterrados y reducir la capacidad de bombeo después del tratamiento. Sinembargo los sistemas de tasa declinante recargan hidráulicamente las unidades de filtración menos obstruidas, hasta tal punto que una operación no sincronizada con los lavados puede llevar a que todo el caudal de la planta pase por una sola unidad, con el consecuente aumento en las pérdidas hidráulicas. Al no haberse diseñado la planta para esta situación, el agua termina rebosandose a la entrada de los filtros. Se han construido algunas plantas en Colombia que no tienen sistema de almacenamiento de agua para lavado, y que para lavar un filtro confían en el agua producida por las demás unidades. Se han visto casos en que se permite la obstrucción de la mayoría de los filtros, quedandose la planta sin la posibilidad de lavarlos ! En un sistema de tasa declinante el caudal que pasa por una unidad


183

depende del grado de limpieza de las demás. Es necesario entonces definir las necesidades de limpieza del sistema de unidades en conjunto. Para ello se debe seguir un estricto orden en el lavado e impedir que el nivel del agua a la entrada, común a todos los filtros, se eleve demasiado. También es necesario exigir la construcción de un tanque de almacenamiento de agua para lavados. Entre las múltiples ideas que se plantean hoy en día para mejorar la filtración vale la pena mencionar la utilización de agua sin filtrar para el lavado, que requeriría descartar la producción del filtro inmediatamente después del lavado. La Ingeniería Sanitaria Norteamericana recomienda descartarla aún cuando se lave con agua filtrada. Económicamente se mejoraría el rendimiento del sistema, debido a que no se consumiría agua filtrada y, más importante, no se requerirían estructuras de almacenamiento de agua para lavado. El grave inconveniente de esta iniciativa es que, como el agua debe entrar por la base al filtro, existe la posibilidad de que un error cometido por el operador de la planta permita el paso de agua sin filtrar al tanque de aguas claras.

6.10. ________________________________________________________________ EJEMPLO: DISEÑO DE SISTEMA DE FILTRACION El caudal de lavado de una unidad de filtración debe ser igual al caudal producido por las unidades en operación. Teniendo en cuenta que la tasa de lavado (960 mt/día) es cuatro veces la tasa de filtración nominal (240 mt/día), el mínimo número de unidades que garantiza la disponibilidad de agua de lavado es de cinco. Sería recomendable construir una unidad adicional como medida de seguridad; se han presentado casos en los cuales una mala operación de la planta se ha traducido en la imposibilidad de lavar los filtros por incapacidad del sistema de generar el caudal de agua filtrada que se requiere. Para prevenir esta eventualidad se podría permitir la utilización de agua sedimentada para el lavado de los filtros. Las cinco unidades se deben colocar una a continuación de la otra para minimizar la longitud total de los muros. El area en planta de cada una de las unidades se puede calcular conociendo la velocidad de acercamiento del agua y el caudal: 3

Atotal

=

0.1114 mt seg mt 1dia 240 dia 86400seg

=

40.1 mt 2

184


Con el fin de reducir la profundidad de los filtros, en sistemas pequeños se puede colocar una canaleta de recolección de agua de lavado en uno de sus lados y a lo largo de la longitud del lecho. De esta manera se elimina la necesidad de agregar a la altura del filtro la altura de la canaleta. Es posible encontrar las dimensiones de las unidades que minimiza la longitud de los muros, de acuerdo con el siguiente método: b

l

e

=

Ltotal

3n(b + c) + (2n + 1)(l + d) + 2e

Donde: b

es la anchura del lecho filtrante

c

es la anchura de la canaleta de lavado más el espesor agregado de los muros de cada unidad en el sentido perpendicular a la longitud del lecho.

n

es el número de filtros (5)

l

es la longitud del lecho filtrante

d

es el espesor integrado de los muros en la dirección longitudinal del filtro.

e

es la anchura del canal de aguas filtradas.


185

Reemplazando la longitud por la relación entre el area y la anchura, derivando con respecto a la anchura e igualando a cero, se encuentra la anchura óptima: bóptima

=

(2n + 1) A 3n

=

(2 x 5 + 1)(8. 02) 3*5

= 2.43 mts.

Debido a las características de la canaleta de agua de lavado, es necesario soportar el lecho con viguetas orientadas a lo largo de la longitud. Siendo la anchura de las viguetas de 30 cmts., se decidió darle al lecho una anchura de 2.40 que corresponde a 8 viguetas. El sistema de filtración será de tasa declinante, con una carga nominal por unidad de 240 mt 3 /mt2 /día, de acuerdo con la práctica moderna de la filtración. Medio Filtrante

El tamaño efectivo debe ser tal que se produzca fluidización de todas las capas de arena con el caudal producido por cuatro unidades de filtración. Material de mayor tamaño produciría unas pérdidas menores durante la filtración, pero requeriría mayores caudales de lavado. El medio filtrante será de antracita y arena, con las siguientes especificaciones:

PARAMETRO

ANTRACITA ARENA

Tamaño efectivo e (mm.)

0.8

0.5

Coef. Uniformidad U

1.4

1.4

Profundidad (mts.)

0.45

0.26

En la tabla del final del numeral se presentan los cálculos relativos a la hidráulica de filtración y lavado. Hidráulica de la Filtración

Para el cálculo de las pérdidas y la estimación de las condidiones de lavado se ha considerado que la granulometría de la arena y de la antracita estará dada por las funciones que se grafican más adelante, que corresponden a los tamaños efectivos y coeficientes de uniformidad definidos previamente. Para el cálculo de las pérdidas hidráulicas durante la filtración con el filtro limpio se aplicó la ecuación de Carman-Kozeny para lechos estratificados por tamaño después del lavado reverso:

186


h L

=

k ν (1 − f ) g

f 3

2

2

 6  p v   ∑ 2i  ψ  d i

En donde: h L k

ν g f v ψ pi di

es la pérdida hidráulica en el medio limpio. es la profundidad del medio. es una constante que para filtro limpio se ha determinado experimentalmente como 5.0, aproximadamente. es la viscosidad cinemática para la menor temperatura del agua a lo largo del año (Para 21°C ν = 0.981 x 10 -6 m2 /seg). es la gravedad en la superficie de la tierra. es la porosidad del material del lecho (0.45 para la antracita y 0.40 para la arena). es la velocidad de acercamiento del agua (240 mt/día). es la esfericidad de las partículas del lecho filtrante (0.75 para la antracita y 0.82 para la arena). es la fracción del total del material del lecho contenido en el estrato i ésimo, definida por la granulometría del material. es el tamaño promedio de las partículas contenidas en el estrato i ésimo, definido por la granulometría del material.

Los valores adoptados para cada uno de los materiales corresponden a valores normalmente encontrados en lechos en operación. Las pérdidas totales durante la filtración con la unidad limpia y la tasa nominal de operación, incluyendo las pérdidas en el fondo falso, se estiman en 41.3 cmts. Existe la posibilidad de que el caudal filtrado por una unidad recién lavada sea demasiado grande, desmejorando la calidad del efluente. Para ello se recomienda estudiar durante el arranque de la planta el grado de apertura que debe tener la compuerta que comunica la base del filtro con el canal de aguas filtradas, durante la operación. Hidráulica del Lavado

Para el cálculo de la velocidad de sedimentación de las partículas después de la expansión de lavado se utilizó la ecuación de Newton, con un coeficiente de arrastre C D constante (Flujo turbulento) de 0.4. Todos los valores del número de Reynolds (Re en la tabla) se encuentran en la zona turbulenta. El grado de expansión durante el lavado se calculó a partir de los valores de la porosidad durante el lavado, utilizando las ecuaciones:


3

f ei

1 − f ei Le

=

=

k g

187

2

 6  v  γ S − 1  ψ d i  ν

L (1 − f )

∑ 1 −p f i

ei

En donde: f ei k

ν g γ S v

ψ pi di L e f

es la porosidad del estrato i-ésimo durante el lavado reverso (tiene un valor mínimo correspondiente a la porosidad del lecho sin expandir). es una constante que para lavado se ha determinado experimentalmente como 4.0, aproximadamente. es la viscosidad cinemática para la menor temperatura del agua (Para 21°C ν = 0.981 x 10 -6 m2 /seg). es la gravedad en la superficie de la tierra. es el peso específico del material del lecho (1.55 para la antracita, 2.65 para la arena) es la velocidad de acercamiento del agua durante el lavado (960 mt/día). es la esfericidad de las partículas del lecho filtrante (0.75 para la antracita y 0.82 para la arena). es la fracción del total del material del lecho contenido en el estrato iésimo, definida por la granulometría del material. es el tamaño promedio de las partículas contenidas en el estrato iésimo, definido por la granulometría del material. es la longitud del lecho filtrante durante la expansión. es la porosidad del lecho antes de la expansión.

La expansión total del lecho se calcula en 23 cmts (ver tabla). Para prevenir la pérdida de material filtrante durante el lavado se dejará una distancia de 49 cmts. desde la superficie de la antracita hasta la cota de la canaleta. Para el cálculo de las pérdidas hidráulicas durante el lavado reverso se ha utilizado la ecuación: h

=

L(γ S − 1)(1 − f )

Las pérdidas hidráulicas producidas durante el lavado se estiman en 65.1 cmts. Teniendo en cuenta que el funcionamiento de las unidades depende en buena parte del control del caudal de lavado, y que existe la posibilidad de que el diámetro de los granos crezca con el tiempo requiriendose un mayor caudal para fluidizar el material, se permitirán 80

188


cmts. en las pérdidas. Sinembargo, vale la pena recalcar que el exceso de pérdidas durante el lavado generadas por un caudal muy grande se puede traducir en pérdida del material del lecho y en desarreglo de la grava de soporte, con la subsecuente mala operación del filtro. Para controlar el caudal de lavado, es necesario determinar en la planta el grado de apertura que debe dársele a la compuerta que comunica la base del filtro con el canal de agua filtrada. Se recalca la necesidad de estudiar cuidadosamente el lavado de la unidad durante el arranque para evitar problemas posteriores.

Los tamaños efectivos y los coeficientes de uniformidad de la arena y la antracita han sido seleccionados de tal manera que la velocidad de sedimentación de la partícula más grande de antracita sea menor que la de la partícula más pequeña de arena. De esta forma se garantiza que los dos medios no se mezclan durante y después del lavado. La velocidad ascensional de lavado (960 mt/día) se ha seleccionado para que se produzca una expansión de por lo menos el 10% en todos los estratos del medio filtrante, y una expansión total entre 25% y 30%. Se recomienda colocar en el lecho filtrante antracita y arena muy uniformes; esto es, con coeficientes de uniformidad preferiblemente menores que los recomendados previamente. De esta forma se podría conseguir la expansión requerida durante el lavado (25 - 30%) con caudales menores, lo cual se traducirá en ahorro de agua filtrada. Igualmente los estratos de material fino se expanderían mucho menos, lo cual favorece la limpieza. En este caso las pérdidas hidráulicas se podrían reducir considerablemente , obligando a la realización de un estricto control de las cabezas disponibles durante el lavado . Todos los factores anteriores hacen recomendable tener un control independiente sobre los caudales de filtración y lavado de cada unidad. Se recomienda utilizar la compuerta que conduce las aguas hasta el canal de aguas claras como estructura de control. Fondo Falso y grava de soporte

El sistema de fondo falso será de viguetas de concreto prefabricadas, con forma de "V" invertida orientadas en la mayor dimensión del filtro debido a las características de la canaleta de recolección del agua de lavado. La anchura de cada una será de 0.30 mts, de acuerdo con la gráfica (Del texto Teoría y práctica de la Purificación del agua, Jorge Arboleda Valencia).


189

Las pérdidas hidráulicas producidas por los fondos falsos durante el lavado se han fijado en 25 cmts. de acuerdo con las recomendaciones. Teniendo en cuenta que el coeficiente de descarga en este sistema es de 0.65, y que se utilizarán tubos de 3/4” para atravesar las viguetas, el número de tubos por vigueta se calcula de la siguiente manera: v

=

=

c 2 gh

Qvigueta

=

960

0.65 ( 2)( 9. 81)( 0. 25)

mt dia

( 0.3 mt )(3. 34 mt )

=

=

1. 44

0. 01114

mt seg mt 3 seg

3

A paso falso fondo Tubos Vigueta

=

∆ xentre centros =

=

Q

0.01114 mt seg 1.44 mt seg

=

v

0.0074

π (0. 75x 0. 0254) 2 / 4 3.34 27 / 2

=

=

=

0.00774 mt 2

27

0.248 cmts

La velocidad de aproximación a las viguetas desde la base deberá mantenerse por debajo de 0.15 mts/seg, para garantizar la uniformidad del lavado. El caudal de lavado de la unidad entra a la base a lo largo de su longitud. La altura del agua por debajo del falso fondo se calcula de la siguiente manera:

190


0.0891

y

=

Qlavado l

mt 3 seg

0.15 v

=

mt seg

3.34 mts

=

0.178 mts

Para considerar la reducción de area generada por la columna de apoyo de la canaleta se adoptará una profundidad de 20 cmts. por debajo del fondo falso. La grava de soporte deberá tener la siguiente granulometría, en capas definidas desde el lecho de soporte hacia arriba:

ALTURA DE LA CAPA

TAMAÑO DE LA GRAVA

15.0 cmts 7.5 cmts 7.5 cmts 7.5 cmts 7.5 cmts

2" - 1" 1" - 1/2" 1/2" - 1/4" 1/4" - 1/8" 1/8" - 1/12"

Las siguientes tablas resumen el proceso de diseño de las unidades de filtración.

FILTRACION (Operacion) Caudal para filtración de la primera fase (mt3/seg) Tasa de filtración (mt/día) Superficie de filtración (mt2) Número de filtros (Se construye 1 adicional) Area por filtro (mt2) Anchura óptima (mt) Anchura escogida de los filtros (mt) Longitud de los filtros (mt) Anchura de las viguetas de fondo (mts) Número de Viguetas Pérdidas hidráulicas con filtro limpio (mts)

0.111333 240 40.08 5 8.02 2.42 2.40 3.34 0.30 8 0.40


191

FILTRACION (Lavado) Tasa de lavado (mts/dia) 960 Caudal de lavado por unidad (mt3/seg) 0.089 Caudal de lavado por vigueta (mt3/seg) 0.011 Coeficiente de pérdida en tubos falso fondo 0.650 Pérdidas introducidas por el falso fondo (mt) 0.250 Velocidad requerida para producir las pérdidas (mt/seg) 1.440 Area de paso por el falso fondo requerida (mt2) 0.007734 0.75 Diámetro de los tubos de paso (in.) Area por tubo (mt2) 0.000285 Tubos por canaleta 27 Espaciamiento entre centros de tubos (mts) 0.247 0.150 Velocidad de aproximación a base viguetas (mt/seg) Profundidad del agua bajo viguetas (mts) 0.178 0.200 Profundidad escogida del agua bajo viguetas (mts) Velocidad del agua (mt/seg) 0.360 Cabeza de velocidad en los tubos filtración (mts) 0.007 Pérdidas en las viguetas durante filtración (mts) 0.016 Area de la compuerta de entrada del agua filtrada (mt2) 0.160 Velocidad de paso por la compuerta (mt/seg) 0.557 Cabeza de velocidad en la compuerta (mt) 0.016

ALTURA TOTAL DEL FILTRO Altura de las viguetas y de la grava de soporte (mt) Altura de la arena expandida (mt) Altura de la antracita expandida (mt) Altura entre lecho expandido y borde de la canaleta (mt) Tirante sobre canaleta de lavado (mt) Tirante vertedero aguas claras (mt) COTA DE CANALETA DE LAVADO DESDE FONDO (mt) COTA DEL VERTEDERO DE A.C. DESDE FONDO (mt) COTA DE AGUA CON FILTRO LIMPIO (mt)

ALTURA TOTAL DEL FILTRO (mt)

0.520 0.329 0.602 0.490 0.050 0.050 2.141 2.991 3.454

4.267

En las gráficas de la página siguiente se muestran algunos cortes del sistema de filtración.

6.11. ________________________________________________________________ DISEÑO DE CANALETAS DE VERTIMIENTO LATERAL Las canaletas de vertimiento lateral se utilizan para recoger un caudal uniformemente distribuido a lo largo de toda su longitud. Son necesarias en el lavado de los filtros para garantizar la distribución del agua de lavado de la manera más uniforme posible. También se utilizan para recoger el agua a la salida de tanques de sedimentación, por la misma razón.

192


0.300

0.587

0.813 1.400 0.463 1.863

0.850 2.713 0.721

0.450 0.250 0.265 0.255 0.200 0.300


193

Para garantizar la uniformidad del vertimiento es importante que el nivel del agua dentro de la canaleta no sobrepase su altura (esto es, que la canaleta no se ahogue). Para ello es necesario verificar la altura h o máxima de la lámina de agua, inmediatamente contra la pared vertical del extremo opuesto al de la salida: q = Q/L

hS

h0

El diagrama de cuerpo libre del agua contenida en la canaleta se muestra en la figura. Las fuerzas horizontales que se muestran en los extremos corresponden al empuje de la pared y a la resistencia inercial del agua que "va por delante" de la que se encuentra saliendo. E0

ES

R

Aplicando el principio de conservación del momentum en la dirección horizontal para toda el agua contenida en la canaleta, se obtiene la siguiente igualdad:

∑

F

=

δ (mv ) δ t

⇒

h 02 γ 2

h s 2 − γ 2

=

Qv s ρ

La igualdad anterior se puede desarrollar teniendo en cuenta que: v s

=

Q h s b

La altura de la lámina de agua a la salida hs es la altura crítica del flujo. Esta se puede calcular teniendo en cuenta los principios de termodinámica que predicen que un sistema sin restricciones tenderá a un estado de mínima energía (esta Ley no tiene demostración). La energía específica del flujo en un canal es la suma de la energías cinética y piezométrica, esta

194


última definida por el nivel de la lámina de agua. Para una sección rectangular de altura y, y profundidad b se puede desarrollar la siguiente expresión: 2

=

Energía

y +

v 2 2 g

=

y +

 Q   by  2 g

⇒

δ E δ y

=

1−

Q 2 gb 2 y 3

La altura de energía mínima a la que tenderá el flujo cuando no existan restricciones de ninguna clase se encuentra igualando a cero la derivada con respecto a la altura. Para esta condición se despeja una altura "crítica" y c

=

3

Q gb 2

Remplazando en las ecuaciónes iniciales hs por yc se puede demostrar que: h 0

=

3 y c

=

1.732 y c

La canaleta deberá tener como mínimo esta altura, con el fin de que el vertimiento sea uniforme a lo largo de toda su longitud. Si se construye con una altura menor el flujo se ahogará en la parte inicial de la canaleta, lo que dará como resultado un menor vertimiento en esta zona creandose problemas en la uniformidad del lavado.


195

7. DESINFECCION La principal fuente de contaminación del agua con gérmenes patógenos son las materias fecales de portadores de enfermedades transmitidas por el agua. Con el fin de detectar y cuantificar la contaminación fecal del agua de consumo se ha desarrollado un ensayo de laboratorio para medir el contenido de las bacterias mas comunes en los residuos fecales. El grupo, denominado genéricamente Coliforme, se desarrolla en condiciones de laboratorio muy similares a las encontradas en el tracto intestinal de los mamiferos. La temperatura del ensayo es similar a la del cuerpo, y el medio de cultivo contiene lactosa, el azucar de la leche de los mamíferos.

7.1. ________________________________________________________________ NUMERO MAS PROBABLE DE BACTERIAS COLIFORMES Para la cuantificación de las concentraciones de bacterias se siembran tubos de ensayo que contienen un medio rico en lactosa, con diferentes diluciones de la muestra de agua que se quiere investigar. La aparición de gas dentro de los tubos después de 24 horas de incubación a 35°C es indicio de la presencia de bacterias en el inóculo. Se ha desarrollado una función de probabilidad que permite encontrar el número más probable de bacterias (NMP) en la muestra original, que depende de las diluciones que han arrojado resultados positivos. El valor obtenido está sujeto a las variaciones estadísticas de la función de probabilidad. Es necesario confirmar el origen fecal de las bacterias desarrolladas en los tubos de ensayo, debido a que algunas bacterias habitantes normales del suelo arrojan resultados positivos. Para ello se siembran otros tubos con el contenido de los tubos positivos, y se incuba nuevamente a 44.5°C. El crecimiento de bacterias en estas condiciones confirma su origen fecal. Las bacterias coliformes son los habitantes mas frecuentes del tracto intestinal de los mamíferos. Dependiendo del grado de dilución de las aguas negras, es posible encontrarlas en concentraciones de varios miles de millones por cada 100 mililitros de agua. Son por lo tanto indicadores excelentes de contaminación fecal, ya que se detectan en el agua después de diluir un milímetro cúbico de aguas negras en decenas de metros

196


cúbicos de agua pura. Vale la pena recalcar, sinembargo, que la presencia de coliformes no implica necesariamente la presencia de gérmenes patógenos; la ausencia tampoco garantiza la seguridad biológica del agua, debido a que algunos gérmenes patógenos (Quistes de amibas, Virus etc.) tienen una resistencia mucho mayor que la de las bacterias coliformes. La concentración máxima de coliformes permitida en agua potable es de 1 bacteria (NMP) por cada 100 mL de agua. La desinfección del agua no fué practicada rutinariamente sino hasta el año de 1880, cuando se divulgaron los resultados de las investigaciones de PASTEUR sobre la naturaleza biológica y microscópica de las enfermedades infecciosas. Es dificil comprender que hace tan solo unos cien años no se tenía una conciencia de higiene y saneamiento como la que hay hoy en día. No es de extrañar que en esas condiciones se produjeran con bastante frecuencia brotes epidémicos de enfermedades de origen hídrico como el cólera que azotaron a Asia y a Europa durante todo el siglo pasado.

7.2. ________________________________________________________________ AGENTES DESINFECTANTES Los métodos de tratamiento del agua cubiertos en el curso remueven cantidades apreciables de gérmenes patógenos, pero la remoción no es total. Por otra parte, la patogenicidad de algunos gérmenes puede mantenerse durante semanas o meses dependiendo de las condiciones ambientales. Los huevos de algunos parásitos intestinales pueden durar activos varios años en condiciones de sequedad absoluta; estos hechos hacen necesaria la desinfección regular del agua de consumo. Entre los diversos métodos que se han utilizado para la desinfección se cuentan el calor, el almacenamiento por largos períodos, la irradiación con luz ultravioleta o luz solar, la adición de iones metálicos tóxicos (Ag, Cu) y la adición de agentes oxidantes, entre los cuales vale la pena destacar los siguientes: Ozono O 3 Permanganatos (Sales del ión MnO 4− ) Halógenos (Cloro gaseoso, Hipocloritos, Iodo, Bromo) La eficiencia de la desinfección depende de los siguientes factores:


-

Tiempo de contacto y concentración de desinfectante.

-

Temperatura del agua (A mayor temperatura mayor velocidad de los procesos desinfectantes)

-

Turbiedad del agua (Los gérmenes patógenos se pueden esconder dentro de las partículas).

-

Características químicas del agua (Especialmente el pH).

-

Tipo de microrganísmos y concentración inicial (Virus y quistes de amibas son mas resistentes).

-

Permanencia de la especie desinfectante en el sistema de distribución de agua.

197

7.3. ________________________________________________________________ CLORACION El desinfectante mas utilizado universalmente es el cloro, el cual puede introducirse al agua en forma de cloro gaseoso o en forma de sales del ácido hipocloroso (Hipocloritos). Las reacciones del cloro gaseoso en el agua son las siguientes:

 → HOCl + HCl Cl 2 + H 2O ←  → H + HCl ←

+ Cl −

 → H + HOCl ←

+ OCl −

El ión cloruro presente en la molécula de ácido Clorhídrico (HCl) no tiene capacidad de oxidación puesto que ya capturó el electrón del átomo de hidrógeno. El cloro presente en el ácido hipocloroso (HOCl) no se ha reducido todavía y puede desarrollar una gran cantidad de reacciones de oxidación (Captura de electrones). La adición de cloro gaseoso al agua se traduce en la aparición de iones hidrógeno (Disminución del pH) provenientes de la disociación de los ácidos resultantes de su hidratación. Las reacciones de los hipocloritos en el agua son las siguientes:

198


 → Ca ++ + 2OCl − Ca (OCl )2 ←  → Na + NaOCl ←

+ OCl −

 → HOCl OCl − + H + ← Contrariamente a lo que ocurre con el cloro gaseoso, la adición de hipocloritos reduce las concentraciones de iones hidrógeno del agua (Aumento del pH), al consumirse estos en la formación del ácido hipocloroso. La especie qúimica que produce mejor desinfección es el ácido hipocloroso, tal vez a causa de la neutralidad eléctrica de la molécula la cual permite pasar a través de la pared celular cargada negativamente. El ión hipoclorito tiene carga negativa y es repelido por las cargas de la superficie celular. El resultado de este fenómeno es que el pH determina en buena parte la capacidad de desinfección del cloro, puesto a que el exceso de iones hidrógeno (pH ácido) favorece la formación del ácido (Ver fotocopias). El contenido de ácido hipocloroso y de ión hipoclorito se denomina cloro residual libre. El cloro residual libre puede auto oxidarse en presencia de la radiación solar: Radiación 2HOCl   → 2H + + 2Cl −

+ O 2

Este es el efecto que consume la mayor parte del cloro utilizado en piscinas. Para garantizar la persistencia del desinfectante es conveniente almacenar el agua tratada en condiciones de total oscuridad. El cloro residual libre tiene un altísimo potencial de oxidación. Por ello se consume en una serie de reacciones en las que participa la materia orgánica presente en el agua y algunas especies inorgánicas suceptibles de oxidarse (Iones Ferrosos, Manganosos, Sulfuros etc...). La presencia de todas estas especies en el agua crea lo que se denomina "demanda de cloro"; esto es, una cantidad de cloro que se debe agregar al agua y que no produce desinfección. Esta debe determinarse en ensayos de laboratorio antes del diseño de las instalaciones de dosificación. Característica de las reacciones del cloro con la materia orgánica es la formación de cloraminas a partir de moléculas de amoníaco:

 → NH 2Cl + H 2O HOCl + NH 3 ←  → NHCl 2 + H 2O HOCl + NH 2Cl ←


199

 → NCl 3 + H 2O HOCl + NHCl 2 ←  → N 2 + 2Cl − + 2H + 2NCl 3 + 2H 2O ←

+ O 2

Las cloraminas (Cloro residual combinado) tienen alguna capacidad de desinfección, y se utilizaron en alguna época como agentes desinfectantes. Presentaban ciertas ventajas con respecto al cloro residual libre, debido a su menor potencial de oxidación. Cuando se desinfecta con cloraminas la demanda de cloro no se ejerce totalmente, y no se las reacciones con ciertas formas de materia orgánica de alcanzan a desarrollarse. Sinembargo su menor efectividad como agentes desinfectantes y la posibilidad de que sean agentes cancerígenos ha hecho florecer la práctica de la denominada "Cloración a punto de quiebre", en la cual se agrega el cloro necesario para destruir las cloraminas y, en general, todas las formas similares de materia orgánica (Proteinas, Bases orgánicas etc..).

10 9 8 7 6

Demanda de Cloro

Cloro Residual 5 Total

Punto de Quiebre

4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Cloro añadido

En los últimos años la cloración se ha puesto en tela de juicio debido a la posibilidad de formación de trihalometanos cancerígenos (Triclorometano en este caso):

200


O

O

=

R C CH

3

+

3HOCl

=

R C OH + CHCl

3

+ H O 2

Los compuestos con los cuales reacciona el cloro para formar triclorometano provienen de la descomposición parcial de la materia vegetal y se encuentran presentes en el humus (sustancias húmicas). Algunas ciudades de Europa han preferido cambiar la cloración por ozonización, la cual genera compuestos menos peligrosos. Sinembargo el ozono se convierte muy rápidamente en oxígeno diatómico, el cual no tiene una acción germicida importante. El agua queda desprotegida sin concentraciones residuales del agente desinfectante, y cualquier contaminación que ocurra entre la planta y el consumo será potencialmente peligrosa. El cloro residual libre puede permanecer activo varios días en el agua, protegiendo el suministro de eventuales contaminaciones.


201

8. TRATAMIENTO AVANZADO 8.1. ________________________________________________________________ ABLANDAMIENTO El exceso de calcio y magnesio genera depósitos de incrustaciones en las superficies en contacto con el agua cuando esta se calienta. Adicionalmente al deterioro de las tuberías, el consumo de jabón durante el lavado se incrementa, generando demandas adicionales de detergentes y con ello mayor contaminación. Eventualmente es económicamente atractivo remover la dureza por medio de procesos fisicoquímicos. Existe evidencia de que el consumo de aguas muy blandas puede incrementar las incidencias de enfermedades cardíacas y favorecer la formación de depósitos de metales pesados en el hígado. Debe tenerse en cuenta que los procesos de ablandamiento no eliminan completamente la dureza, siendo el límite del tratamiento100 mg/lt como CaCO 3. Paralelamente se remueven también otros iones perjudiciales para la calidad del agua como el ferroso y el manganoso, que además de hacer al agua incrustante le confieren olor, sabor y color.

8.1.1. Proceso Cal - Soda Adicionalmente a la remoción de cationes polivalentes, el ablandamiento con cal y soda también reduce los contenidos de ácidos húmicos y fúlvicos, los cuales son precursores de los trihalometanos en la cloración, y los contenidos de material en suspensión. Las especies químicas requeridas para la remoción de los iones calcio y magnesio son cal y soda (no caústica). La cal se agraga para elevar el pH hasta un punto en el cual las especies carbónicas del agua se conviertan en carbonatos. En estas condiciones se forma carbonato de calcio:

202


 → Ca ++ Ca (OH )2 ← HCO 3− Ca ++

+ 2OH −

+ OH − ←  → CO 3= + H 2O

+ CO 3=   → CaCO 3

Nótese que la adición de cal incrementa las cantidades de calcio que hay que remover del agua. Sinembargo nótese también que por cada calcio agregado se generan dos iones carbonato, cada uno de los cuales remueve un calcio. El gas carbónico presente en el agua genera durante el proceso solamente un carbonato, el cual se requiere para la precipitación del calcio que se agregó con la cal para neutralizar su acidez

 → 2H 2O + Ca ++ CO 2 + H 2O + Ca (OH )2 ←

+ CO 3=

Es fundamental la presencia de iones bicarbonato en el agua. Cuando la dureza viene acompañada de sulfatos en lugar de bicarbonatos, es necesario agregar estos últimos al agua en forma de soda, también llamada ceniza de soda (Na 2CO3) El magnesio, por otra parte, no se precipita en forma de carbonato. Es necesario agregar cal en exceso para conseguir la formación del hiróxido: Mg ++

+ 2OH −   → Mg (OH )2

Para que haya suficientes iones hidroxilo es necesario elevar el pH hasta un valor de por lo menos 10.8.

8.1.2. Intercambio iónico

8.2. ________________________________________________________________ EQUILIBRIO QUIMICO La química de los carbonatos es de enorme importancia en el mantenimiento de sistemas de distribución de agua, debido a que el ión carbonato tiene una gran afinidad con los iones calcio, que favorece la


203

formación carbonato de calcio precipitable, el cual puede obstruir las tuberías. Por otra parte la formación de una delgada capa calcarea puede proteger la tubería del ataque corrosivo de otras especies químicas contenidas en el agua. Existe una condición en la cual el agua ni disuelve ni precipita material calcareo, condición que permite la creación de una capa muy delgada de carbonatos. Cuando esto ocurre se deben cumplir las condiciones de equilibrio para la precipitación y disolución de carbonatos, debido a que la concentración de ninguna de las especies involucradas se altera. Las siguientes reacciones estarán en equilibrio químico:

 → HCO 3− CO 3= + H 3 ← Ca ++

+ CO 3= ←  → CaCO 3

Es decir:

[Ca ++ ][ CO 3= ] = [CaCO 3 ]

K eq

[H + ][ CO 3= ] = [HCO 3− ]

K 2

Ahora bién, la cantidad de carbonato de calcio que puede estar presente en la fase líquida es tan pequeña que para efectos prácticos puede considerarse constante. Cualquier exceso por encima de esta cantidad desaparecerá muy rápidamente por efectos de la precipitación de la sal. La concentración del carbonato de calcio se puede incorporar a la constante de equilibrio, resultando una nueva constante de solubilidad de la sal:

[Ca ++ ][ CO 3= ] =

K eq CaCO [ 3]

=

K s

En la condición ideal de equilibrio químico el agua ni disuelve ni precipita carbonatos; las reacciones correspondientes deberán estar en equilibrio. Para cumplir las dos igualdades se puede encontrar una concentración de iones hidrógeno única, de la siguiente forma:

[CO 3= ] = [HCO 3− ]

K 2 [H + ]

y remplazando en la igualdad asociada a la precipitación de la sal:

Libro Sergio Barrera

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